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Il lavoro dipende dal percorso??
x
y
A
B
21
B
A
rdFL
1
B
A
rdFL
2
21 LL
P
2
Il lavoro della forza peso
2 B
AAB dW2,
rP
jP
mg
B
A
B
A
B
AzyxAB dymgmgdydzPdyPdxPW2, 2, 2,
)(
AByyAB mgymgyymgW B
A
ABPBPBPB
APAPAP
yymgmgW
mgW
180cos
090cos
dP
dP
ABPBAPAB yymgWWW
1
kjir
dzdydxd
A x
yB
21
P
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Una forza si dice conservativa se:
il lavoro eseguito dalla forza sul punto materiale P mentre si sposta dalla posizione A alla posizione B dipende soltanto dalla posizione iniziale e dalla posizione finale non dal percorso effettuato, ossia dalla traiettoria seguita per andare da A a B, né da alcun altro parametro come la velocità o il tempo impiegato.
Le forze conservative I def.
B
A
B
A
AB rdFrdFW2,1,
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Forze conservative: II definizione
B
A
B
A
AB rdFrdFW2,1,
02,1,
B
A
B
A
AB rdFrdFW
02,1,
A
B
B
A
AB rdFrdFW
0 rdFWAB
Il lavoro effettuato da una forza conservativa su un percorso chiuso è nullo
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ABAB mgymgyW
mgyU
UUUW ABAB
Finale Iniziale
Esiste una funzione U, energia potenziale della posizione del punto materiale P
U(P) = U(x,y,z)
tale che il lavoro fatto dalla forza conservativa quando il punto materiale si sposta tra due punti qualsiasi, A e B, è dato dalla differenza tra i valori che la funzione U assume nel punto iniziale A meno quello che assume nel punto finale B.
Per l’energia potenziale non esiste una espressione generale, ma essa dipende dalla particolare forza conservativa cui essa si riferisce.!!
Le forze conservative e l’energia potenziale
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Ancora sull’energia potenziale
WPo P U U(Po) U(P)
Considerando i punti Po, quello iniziale, e P, il generico punto dello spazio:
U(P ) U(Po ) WPoP U(Po )
F d
r
Po
P
Per derivare la funzione energia potenziale occorre:
Fissare arbitrariamente un punto dello spazio Po.
Assegnare un valore arbitrario all’energia potenziale del punto Po.
Calcolare il lavoro effettuato dalla forza da Po al generico punto P lungo una qualsiasi traiettoria che connetta Po con P. Non è necessario specificare la traiettoria
Per derivare la funzione energia potenziale occorre: Fissare arbitrariamente un punto dello spazio Po.
Assegnare un valore arbitrario all’energia potenziale del punto Po.
Calcolare il lavoro effettuato dalla forza da Po al generico punto P lungo una qualsiasi traiettoria che connetta Po con P. Non è necessario specificare la traiettoria
Forza elastica
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Sistema blocco - molla
dxkxxUxUx
)()0()(0
2
2
1)( kxxU
Forza Gravitazionale
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Sistema blocco - terra
dymgyUyUy
)()0()(0
y
mgyyU )(
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Conservazione dell’energia
Se agiscono solo forze conservative:
kEW
UW 0 UEk
La somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, l’energia meccanica (ET), di un punto materiale che si muove sotto l’azione di
forze conservative resta costante durante il moto: cioè ET si conserva.
La somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, l’energia meccanica (ET), di un punto materiale che si muove sotto l’azione di
forze conservative resta costante durante il moto: cioè ET si conserva.
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Applicazione: Piano inclinato
La forza spostamento
non produce lavoro
N
ET si conserva !!
Punto di partenza
Punto di arrivo
Punto generico
EC = 0 U=mgho
EC = ½ mVf2
U = 0
EC = ½ mV 2 U = mgh
mgh0 = ½ mVf
2 Vf = 02gh
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Z
01 mghL
02 L Forza peso allo spostamento
oh
mghdzmgL0
03 )(
0321 rdgmLLL
Applicazione: piano inclinato
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(Ec + U) Punto generico = (Ec + U) Punto più alto
Nel punto più basso, la velocità è massima:
)cos(cos2v 0 gl
)cos1(2v 0 glo
E
00
)cos)(cos2(2
1v
2
10
2 glmmEc
U=mgl(1-cos )
Ec + U = costante
Applicazioni : il pendolo.
02 cos1v
2
1cos1 mglmmgl
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F = -Kx Forza conservativa
ET Si conserva!!
2
2
1KxU
0x 0x0 Ec = 0
U = ½ K X02
Ec = 0
U = ½ k X02 Ec =1/2 mVo2
U = 0
mkxxm
kkx /vvmv
2
1
2
10o
20
2o
2o
20
Applicazioni : Forza elastica
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Punto generico Ec = ½ mV U = ½ KX2 2
Applicazioni : Forza elastica
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Da quale altezza si deve partire per fare correttamente il giro?
ghVB 2BmV2/12
mghPerché il corpo possa arrivare in C
mghmVE BB 2/1 2
0BU
cc mVE 2/1RgmUc 2
2
Attenzione: Vc 0!
R
Applicazioni il giro della morte
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VC 0
0N Altrimenti il corpo si stacca!!
Condizione limite N diventa = 0 in C.
Conservazione dell’energia tra A e C
Applicazioni il giro della morte
R
mVNmg
c2
centrFNmg
R
mVmg
c2
RgVc
RmgmRgmghRmgmVmgh c 22
12
2
1 2
Rh2
5
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Il lavoro della forza di attrito
12,,,
2
11
2
11
2
1121
mgldsmgmgdsdW d
P
Pd
P
P d
P
P attPP
rF
imgiNF ddatt
costante
Il lavoro della forza di attrito dinamico non dipende solo dal punto iniziale e da quello finale, ma anche dalla lunghezza della traiettoria scelta
Su un percorso chiuso il lavoro è diverso da zero
La forza di attrito dinamico non è conservativa
La forza di attrito statico fa un lavoro è nullo
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Se agiscono anche forze non conservative:
kEW UWc +
cnc WWW nck WUE
L’energia meccanica non resta costante e la sua variazione è pari al lavoro delle forze non conservative.
