1 I NUMERI NATURALI E I NUMERI DECIMALIcompitisostegno.weebly.com/uploads/1/9/1/7/19170051/sei_02906... · La tecnica della moltiplicazione con i numeri decimali, 68 68 6 Espressioni

IIIIII

Indice

2 Unità di apprendimento 1I NUMERI NATURALIE I NUMERI DECIMALI

3 Attività per iniziare verso le competenze fondamentali

4 1 Il sistema di numerazione decimale 7 2 I numeri naturali 8 3 I numeri decimali

11 4 Rappresentazione geometrica dei numeri Il ruolo dello zero, 13

14 5 Rappresentazione polinomiale dei numeri 15 Che cosa hai studiato 16 Ricorda

esercizi di consolidamento17 1 Il sistema di numerazione decimale 20 2 I numeri naturali 25 3 I numeri decimali 28 4 Rappresentazione geometrica dei numeri 31 5 Rappresentazione polinomiale dei numeri 32 Fai il tuo bilancio

35 Attività di recupero

37 Laboratorio per lo sviluppo delle competenzeApprofondimenti: 1. I numeri romani, 37 – 2. I diversi aspetti del numero naturale, 38.Problemi applicativi, 41. In collegamento con… Geografia, 43. Uso di strumenti: 1. La calcolatrice, 43 – 2. Un foglio elettronico: Excel, 45 – 3. Costruire successioni di numericon Excel, 50.

IV

52 Unità di apprendimento 2LE OPERAZIONI ARITMETICHE


54 1 L’addizione Proprietà dell’addizione, 55L’addizione in pratica, 56

57 2 La sottrazioneProprietà della sottrazione, 59La sottrazione in pratica, 59

60 3 Espressioni aritmetiche con addizioni e sottrazioni 61 4 Avvio alla soluzione dei problemi 63 5 La moltiplicazione

Proprietà della moltiplicazione, 64La tecnica della moltiplicazione tra due numeri naturali, 66La tecnica della moltiplicazione con i numeri decimali, 68

68 6 Espressioni e problemi con addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni 70 7 La divisione

Proprietà della divisione, 72La tecnica della divisione tra due numeri naturali, 73La tecnica della divisione con i numeri decimali, 74Quozienti approssimati, 75

78 8 Il ruolo di 0 nelle quattro operazioni 79 9 Il ruolo di 1 nella moltiplicazione e nella divisione 79 10Espressioni aritmetiche con le quattro operazioni

Diagrammi ad albero, 8081 11 Problemi con le quattro operazioni 82 Che cosa hai studiato

83 Ricorda

esercizi di consolidamento84 1 L’addizione 93 2 La sottrazione

100 3 Espressioni aritmetiche con addizioni e sottrazioni 102 4 Problemi 104 5 La moltiplicazione 112 6 Espressioni e problemi con addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni 115 7 La divisione 126 8 Espressioni aritmetiche con le quattro operazioni 132 9 Problemi di riepilogo con le quattro operazioni 135 Fai il tuo bilancio


V

140 Laboratorio per lo sviluppo delle competenze Approfondimenti: 1. Giustificazione della proprietà commutativa nell’addizione e nella moltiplica-zione, 140 – 2. Giustificazione della tecnica della moltiplicazione tra due numeri naturali, 142 – 3. Giustificazione della tecnica della divisione tra due numeri naturali, 144 – 4. I problemi, come capirlie come affrontarli, 145 – 5. Casi particolari di problemi, 147. Problemi applicativi: 1. L’applicazionedel metodo risolutivo di un problema mediante l’uso di tabelle, 148 – 2. Situazioni che danno originea problemi, 150 – 3. Problemi più impegnativi, 152. Uso di strumenti: 1. L’uso della memoria nellacalcolatrice, 154 – 2. Calcolare con Excel, 155.

160 Unità di apprendimento 3INDAGINI STATISTICHEE RAPPRESENTAZIONE DEI DATI


162 1 L’indagine statistica Scelta della popolazione, 162Determinazione dei caratteri dei dati, 163La raccolta delle informazioni, 164L’elaborazione delle informazioni, 165

166 2 Rappresentazioni grafiche Gli ideogrammi, 166I cartogrammi, 167Gli ortogrammi, 169Gli istogrammi, 170

172 3 Analisi della distribuzione dei dati La moda, 172La media aritmetica, 173La mediana, 174

176 Che cosa hai studiato

177 Ricorda

esercizi di consolidamento178 1 L’indagine statistica 183 2 Rappresentazioni grafiche 189 3 Analisi della distribuzione dei dati 194 Fai il tuo bilancio


199 Laboratorio per lo sviluppo delle competenze Approfondimenti: 1. Herman Hollerith e il censimento americano del 1890, 199. Progettidi ricerca, 200. In collegamento con… Storia, 201. Uso di strumenti: 1. Rappresentazionigrafiche con Excel, 201 – 2. Excel e le funzioni statistiche, 203.

VI

208 Unità di apprendimento 4LE POTENZE DI UN NUMERO NATURALE

209 Attività per iniziare

verso le competenze fondamentali210 1 L’elevamento a potenza

Quadrati e cubi dei numeri naturali, 211Tabella delle potenze, 212Le potenze dei numeri decimali, 213

213 2 Espressioni con le potenze

214 3 Le proprietà delle potenze Prodotto di potenze con la stessa base, 214Quoziente di potenze con la stessa base, 214Potenza di potenza, 215Prodotto di potenze con lo stesso esponente, 215Quoziente di potenze con lo stesso esponente, 216

217 4 Le potenze di 10 e il loro uso La struttura polinomiale di un numero, 218Numeri molto grandi, 218


221 Ricorda

esercizi di consolidamento222 1 L’elevamento a potenza

227 2 Espressioni con le potenze

228 3 Le proprietà delle potenze

233 4 Le potenze di 10 e il loro uso

235 Fai il tuo bilancio


240 Laboratorio per lo sviluppo delle competenze Approfondimenti: 1. Numeri quadrati, 240 – 2. Cenno sul concetto di logaritmo, 244 – 3. L’ordine di grandezza di un numero, 245 – 4. Valori approssimati, 246. Problemi appli-cativi: 1. Situazioni problematiche con indovinelli e storie, 248. Uso di strumenti: 1. L’ele-vamento a potenza con la calcolatrice, 251 – 2. La tabella delle potenze con Excel, 252 – 3. Excele la notazione esponenziale, 254.

VII

256 Unità di apprendimento 5MULTIPLI E DIVISORI DI UN NUMERO


258 1 Multipli e divisori di un numero La relazione di divisibilità, 258I multipli di un numero, 260I divisori o sottomultipli di un numero, 261Alcune proprietà dei multipli di un numero, 263Alcune proprietà dei divisori di un numero, 263

264 2 Criteri di divisibilità di un numero Criterio di divisibilità di un numero per 2, 264Criterio di divisibilità di un numero per 3, 265Criterio di divisibilità di un numero per 4, 265Criterio di divisibilità di un numero per 5, 266Criterio di divisibilità di un numero per 9, 266Criterio di divisibilità di un numero per 10, 100, 1000..., 266Criterio di divisibilità di un numero per 11, 266Criterio di divisibilità di un numero per 25, 267

268 3 I numeri primi Numeri primi e numeri composti, 268La ricerca dei numeri primi: il crivello di Eratostene, 268

270 4 La scomposizione di un numero in fattori primi Scomporre un numero in fattori primi, 270Divisibilità di un numero per un altro numero, 272Ricerca del quoziente di due numeri divisibili tra loro, 273Ricerca dei divisori di un numero, 273

275 5 Massimo comun divisore. Numeri primi tra loro Massimo comun divisore di due o più numeri, 275Metodi per trovare il MCD di due numeri, 276Numeri primi tra loro, 277Metodi per trovare il MCD di tre o più numeri, 277

280 6 Minimo comune multiplo Minimo comune multiplo di due o più numeri, 280Metodi per trovare il mcm di due numeri, 281Metodi per trovare il mcm di tre o più numeri, 282


285 Ricorda

esercizi di consolidamento286 1 Multipli e divisori di un numero 289 2 Criteri di divisibilità di un numero 296 3 I numeri primi

VIII

298 4 La scomposizione di un numero in fattori primi 301 5 Massimo comun divisore. Numeri primi tra loro 305 6 Minimo comune multiplo 312 Fai il tuo bilancio


317 Laboratorio per lo sviluppo delle competenze Approfondimenti: 1. Aritmetiche finite e prova del nove, 317 – 2. I quadrati magici, 321. Usodi strumenti: 1. Excel e la funzione RESTO, 324.

326 Unità di apprendimento 6I NUMERI RAZIONALI: FRAZIONI


328 1 Frazioni e unità frazionarie La frazione come operatore, 329La frazione come divisione indicata, 330

332 2 Frazioni proprie, apparenti, improprie Frazioni proprie, 332Frazioni apparenti, 332Frazioni improprie, 333

334 3 Frazioni equivalenti e proprietà invariantiva delle frazioni Proprietà invariantiva, 335Semplificazione di una frazione: frazioni riducibili e frazioni irriducibili, 336

339 4 L’ordinamento delle frazioni Frazioni con lo stesso denominatore, 339Frazioni con lo stesso numeratore, 340Frazioni con numeratore e denominatore diversi, 340

342 5 Le operazioni con le frazioni Addizione, 342Sottrazione, 344Frazioni complementari, 345Moltiplicazione, 345Frazione reciproca o inversa di una frazione data, 346Divisione, 346Frazioni a termini frazionari, 347Elevamento a potenza, 348

349 6 Espressioni con le frazioni 350 7 Problemi con le frazioni

Problema diretto: dato un numero o una grandezza, calcolarne una frazione, 350Problema inverso: calcolare un numero o una grandezza, conoscendone una frazione, 351

IX

Trovare due numeri conoscendo la loro somma e sapendo che uno di essi è una frazione del-l’altro, 353Trovare due numeri conoscendo la loro differenza e sapendo che uno di essi è una frazionedell’altro, 355


358 Ricorda

esercizi di consolidamento360 1 Frazioni e unità frazionarie 368 2 Frazioni proprie, apparenti e improprie 373 3 Frazioni equivalenti e proprietà invariantiva delle frazioni 378 4 L’ordinamento delle frazioni 384 5 Le operazioni con le frazioni 403 6 Esercizi di riepilogo sulle espressioni con frazioni 409 7 Problemi con le frazioni 421 Fai il tuo bilancio


427 Laboratorio per lo sviluppo delle competenze Approfondimenti: 1. Giustificazione della tecnica della moltiplicazione tra due frazioni, 427 –2. Le frazioni decimali, 428 – 3. Le potenze negative di 10, 429 – 4. La struttura polinomiale dei numeri decimali, 430 – 5. I numeri molto piccoli e la loro notazione scientifica, 431 – 6. L’ordine di grandezza dei numeri decimali, 432 – 7. Le percentuali, 433. Problemi appli-cativi: 1. Problemi di strategia, 434. Uso di strumenti: 1. Excel e le frazioni, 436.

438 Soluzioni

441 Tavole numeriche

• La frazione come rapporto e come quoziente

• I numeri razionali• Confronto tra numeri razionali• Operazioni tra numeri razionali

• I numeri naturali e decimali• Le operazioni con i numeri

naturali e decimali• Le grandezze e la loro misura• Operazioni con le grandezze

• Riconoscere frazioni equivalenti• Confrontare numeri razionali

e rappresentarli sulla rettanumerica

• Eseguire operazioni con i numeri razionali in forma di frazioni

• Eseguire semplici calcoli con numeri razionali usando metodi e strumenti diversi

• Esprimere i concetti di unità frazionaria, di frazione come rapporto, di frazione come quoziente, discutendone alcuni esempi

• Riconoscere frazioni proprie, improprie, apparenti e frazioni equivalenti,sapendo ridurre queste ultime ai minimi termini

• Ordinare le frazioni aventi lo stesso denominatore e denominatorediverso

• Addizionare, sottrarre, moltiplicare e dividere frazioni tra loro• Risolvere, adottando opportune strategie risolutive, problemi con

le frazioni

ABILITÁCONOSCENZE

COMPETENZE

�25

�

PREREQUISITI

Per ciascuna questione una sola risposta è esatta. Indica quale.

Le frazioni indicano il rapporto tra due numeri interi. Per esempio “prendi �23� di questa

tavoletta di cioccolato” significa che ne puoi prendere due parti su tre. Perché poi le cosesiano oneste, le parti nelle quali dividi l’intera tavoletta devono essere uguali tra loro.

In latino l’espressione ratio ha tra i suoi significati anche quelli di rapporto e di quozien-te. Per questo i numeri indicati sotto forma di frazione vengono comunemente chiamatiin matematica numeri razionali.

Qual è il disegno sul quale

ho colorato �23

�?

A B C

Quale frazione di ora rappresentano 30 minuti? �

310�A �

12

�B �610�C

Come si scrive un mezzocome frazione? �

115�A �

210�B �

12

�C

Come si scrive a parole

la frazione �120�? 2 volte 10A 2 decimiB 10 volte 2C

In quale disegno

ho colorato �34

�?

Vedremo in questa UAcome i numeri razionalipossano essere espressisia sotto forma di frazioni,sia sotto forma di numeridecimali.

A B C

Esercizi da pag. 360

Frazioni e unità frazionarieLa parola frazione deriva dal latino fràngere cioè “spezzare”. L’uso comu-ne della parola “frazione” al singolare, o di “frazioni” al plurale, si rife-risce appunto alla considerazione di una parte o di più parti di un tutto. Per esempio:

• solo una frazione dell’intero esercito riuscì a salvarsi;

• per alcune frazioni di secondo ho temuto il peggio;

• nello scontro solo una frazione minima dell’intero carico di bottiglie divino riuscì a rimanere indenne.

In matematica l’uso del termine è analogo a quello comune, ma più tec-nico e preciso.Per esempio, dato un intero, se lo suddividiamo in 3 parti uguali tra loro

e di queste ne prendiamo 2, diciamo che �23

� è la frazione dell’intero.

Le parti in cui viene diviso l’intero sono tutte uguali e il loro numero serveper denominare le frazioni così ottenute (mezzi, terzi, quarti, quinti ecc.).Questo numero si chiama per tale ragione denominatore, perché deno-mina una famiglia di frazioni, e viene scritto sotto una lineetta orizzontale. Il numero delle parti che si considerano viene invece scritto sopra lalineetta orizzontale e prende il nome di numeratore.Numeratore e denominatore sono anche detti termini della frazione.

La frazione che abbiamo scritto si legge due terzi. Terzi è il nome di fami-glia della frazione.La famiglia di frazioni con denominatore tre è la seguente:

�13

�; �23

�; �33

�; �43

�; �53

�……

Il rappresentante principale della famiglia ha per numeratore 1 e vienechiamato unità frazionaria.

UA6 I numeri razionali: frazioni

328

1

dell’intero23

intero suddivisoin 3 parti uguali

intero

�23

�

numeratore(numero di parti)

denominatore(dà il nome alla frazione)

termini della frazione

L’unità frazionaria �n1

� (dove n indica un qualsiasi numero naturale, eccetto lo zero)

rappresenta una delle n parti in cui è stato diviso l’intero.


verso le competenze fondamentali UA6

La frazione come operatore

La frazione come operatore su grandezzeQuando si utilizza una frazione per trovare una parte precisa di unagrandezza, possiamo dire che si utilizza una frazione come operatore sugrandezze. Il significato dell’espressione “operatore” è abbastanza evi-dente: la frazione indica in quale modo si deve operare.

La frazione come operatore su segmenti La frazione come operatore su superfici

Puoi anche considerare altre grandezze, per esempio la capacità. Essa èmisurata in litri. Sai anche tu, dalla pratica quotidiana, che si usano nor-malmente frazioni di litro, soprattutto quelle con denominatore 2, 4, 5,

10: �14

� di litro di vino; �12

� litro di latte; bottiglie da �34

� di litro; un bicchie-

re da �15

� di litro; un bicchierino da �110� di litro. Quest’ultima misura cor-

risponde a 1 dl. A quanto corrispondono le altre misure?

La frazione come operatore su quantitàLa frazione può essere utilizzata anche come operatore su quantità pre-cise di oggetti. Ecco alcuni esempi.

Per trovare i �23

� di 12 chiodi si procede in questo modo:

i �23

� di 12 chiodi sono 8 chiodi.

Per trovare i �57

� di 14 gettoni:

i �57

� di 14 gettoni sono ……. gettoni

329

Una frazione può essere considerata come un operatore su grandezze: il suo deno-minatore indica in quante parti uguali si deve dividere la grandezza, il suo numerato-re specifica quante di queste parti si devono considerare.

23

di

è

è

è

13

di

33

di

è

è

è

è

14

di

24

di

34

di

44

di

q12 q4 q8: 3 × 2

q14 q q: 7 × 5


Per trovare la frazione di un insieme di oggetti si divide dunque il loronumero per il denominatore della frazione e lo si moltiplica per ilnumeratore.

In generale, si può dire che:

La frazione come divisione indicataUna frazione può anche essere considerata in se stessa e non come unoperatore su grandezze o su quantità precise di oggetti. In questo casoessa indica il risultato della divisione tra numeratore e denomina-tore.

Il risultato di questa divisione, cioè il suo quoziente, non viene calcola-to, ma solo indicato sotto forma di frazione. Ricorda che si tratta sempredi divisioni tra numeri naturali, in quanto sia il numeratore che il deno-minatore di una frazione sono numeri naturali.


330

per trovare la frazione �mn

� di una grandezza o di una quantità, si

divide l’intero (grandezza o quantità) in n parti uguali (cioè quantene indica il denominatore) e si prendono m di queste parti (cioèquante ne indica il numeratore).

Risolvi sul tuo quaderno questi esercizi. Segui gli esempi.

�56

� di 24

�35

� di 40 �170� di 30 �

130� di 100 �

23

� di 27 �45

� di 45 �79

� di 81

check point

34

di¥ 3: 4

45

di di310

23

di

24: 6 ¥ 5

4 20

Una frazione può essere considerata come l’indicazione del quo-ziente della divisione tra il suo numeratore e il suo denominatore.



Esaminiamo ora alcuni casi di frazioni in cui il quoziente tra numerato-re e denominatore assume valori particolari.

• Se il numeratore è multiplo del denominatore, allora il valore delquoziente indicato dalla frazione è uguale a un numero naturale.

• Se il numeratore è uguale al denominatore, allora il valore del quo-ziente indicato dalla frazione è 1.

• Se il numeratore della frazione è uguale a 0 e il denominatore è diversoda 0, allora il valore del quoziente indicato dalla frazione è 0.

• Se il denominatore della frazione è 1 allora il valore del quozienteindicato dalla frazione è uguale al numeratore.

• Se il denominatore della frazione è uguale a 0 e il numeratore è diverso da0, allora la frazione non ha senso in quanto, come hai già visto nellaseconda unità di apprendimento, non è possibile dividere un numero per0. Infatti nessun numero moltiplicato per 0 può dare un numero naturale.

• Se il numeratore e il denominatore della frazione sono uguali a 0, allo-ra il valore del quoziente indicato dalla frazione è indeterminato. Infattiqualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0 per risultato.

331

�63

� = 6 : 3 = 2 perché 2 × 3 = 6 �122� = 12 : 2 = 6 perché 6 × 2 = 12

esempio

�77

� = 7 : 7 = 1 perché 1 × 7 = 7 �55

33� = 53 : 53 = 1 perché 1 × 53 = 53

esempio

�05

� = 0 : 5 = 0 perché 0 × 5 = 0 �204� = 0 : 24 = 0 perché 0 × 24 = 0

esempio

�51

� = 5 : 1 = 5 perché 5 × 1 = 5 �116� = 16 : 1 = 16 perché 16 × 1 = 16

esempio

�50

� = 5 : 0 è impossibileesempio

�00

� = 0 : 0 valore indeterminatoesempio

Costruisci sul tuo quaderno una tabella che riassuma i sei casi considerati in questepagine.

check point


Frazioni proprie, apparenti, improprieFrazioni proprieL’uso originario delle frazioni, come la loro stessa denominazione sug-gerisce, riguardava solo grandezze inferiori all’intera grandezza conside-rata, oppure quantità inferiori all’intero insieme considerato. Queste frazioni sono state chiamate frazioni proprie: esse esprimono unnumero che è sempre inferiore a 1.

Frazioni apparentiÈ possibile però considerare anche frazioni il cui valore è uguale o supe-riore all’intero.Vengono chiamate frazioni apparenti le frazioni il cui numeratore è mul-tiplo del denominatore. In questo caso si considera un numero di parti cheè uguale a 1, 2, 3, 4, … volte il numero delle parti nelle quali è stato divi-so l’intero.

Le frazioni uguali a 1 sono anch’esse frazioni apparenti. Per ottenereuna frazione uguale all’unità, basta prendere un numero di parti ugualeal numero delle parti nelle quali è stato diviso l’intero. In questo caso ilnumeratore è uguale al denominatore.


332

�14

�; �56

� �14

� �56

�

esempio

4 quarti = 1 intero �44

� = 1esempio

Una frazione si dice propria se il numeratore è minore del deno-minatore.

Una frazione si dice apparente se il numeratore è multiplo deldenominatore.

8 quarti = 2 interi �84

� = 2

12 quarti = 3 interi �142� = 3

esempio

2



Frazioni improprieQuando in una frazione il numeratore è maggiore del denominatore, allorala frazione viene chiamata frazione impropria. In questo caso il valoredella frazione è maggiore di 1. Quindi anche le frazioni apparenti, eccettoquelle uguali a 1, sono frazioni improprie.

Da quanto hai osservato deriva la seguente caratteristica delle frazioni.Alcune frazioni improprie possono essere espresse come un numeronaturale, e sono frazioni apparenti. Altre possono essere espresse comesomma di un numero naturale più una frazione propria, e vengono dettenumero misto.

333

Una frazione si dice impropria se il numeratore è maggiore deldenominatore.

3 terzi + 3 terzi + 1 terzo = 7 terzi

�33

� + �33

� + �13

� = �73

�

1 + 1 + �13

� = 2 + �13

�

3 terzi + 3 terzi + 3 terzi + 2 terzi = 11 terzi

�33

� + �33

� + �33

� + �23

� = �131�

1 + 1 + 1 + �23

� = 3 + �23

�

esempio

Un numero misto è formato da un numero naturale, detto parteintera, più una frazione propria, detta parte frazionaria.

�75

� = �55

� + �25

� = 1 + �25

� �163� = �

66

� + �66

� + �16

� = 1 + 1 + �16

� = 2 + �16

�

esempio

numero misto numero misto

Indica quali, tra le frazioni indicate, sono proprie, apparenti, improprie:

�57

�; �48

�; �89

�; �23

�; �16

�; �152�; �

146�; �

93

�; �261�

proprie: ……………………………………

apparenti: …………………………………

improprie: …………………………………

check point



334

Data una frazione �mn

�, con m numeratore e n denominatore pos-

siamo così riassumere quanto abbiamo visto finora.

STOP ricorda

19

18

17

16

16

16

16

16

16

15

15

15

15

15

14

14

14

14

13

12

1 intero

13

13

12

17

17

17

17

17

17

18

18

18

18

18

18

18

19

19

19

19

19

19

19

19

110

110

110

110

110

110

110

110

110

110

112

112

112

112

112

112

112

112

112

112

112

112

m < nm = nm > nm = k × nn = 1m = 0 e n ≠ 0m = 0 e n = 0m ≠ 0 e n = 0

Valori del numeratore e del denominatore

< 1= 1> 1= k= m= 0indeterminatoimpossibile

Valoredella frazione

frazione propriafrazione apparentefrazione impropriafrazione apparentefrazione apparente

frazione senza senso

Denominazione

Frazioni equivalenti e proprietà invariantiva delle frazioniOsserva il disegno a fianco. In esso sonorappresentati undici rettangoli uguali. Ilprimo in alto non è diviso; gli altri sonosuddivisi rispettivamente in 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, 12 parti.

Guardando attentamente, è possibile vederequali frazioni rappresentano le stesse por-zioni di rettangolo, che nel disegno sonoevidenziate con lo stesso colore.

12

24

36

48

510

612

18

16

14

12

16

16

18

18

18

110

112

14

110

110

110

110

112

112

112

112

112

112

16

16

13

19

13

26

412

39

112

112

112

19

19

FRAZIONI

PROPRIE IMPROPRIE

APPARENTI

il linguaggio degli insiemi

3



Tutte le frazioni che rappresentano le stesse porzioni di rettangolo sonoequivalenti tra loro, cioè hanno lo stesso valore e come operatori sull’inte-ro danno lo stesso risultato.

Un modo per verificare l’equivalenza di due frazioni è perciò quello di cal-colare il quoziente della divisione del numeratore per il denominatore.

Proprietà invariantivaOsserva le seguenti coppie di frazioni. In ciascuna coppia, la seconda fra-zione è ottenuta raddoppiando il denominatore della prima:

�13

� → �16

�; �15

� → �110�; �

16

� → �112�; �

130� → �

230�; �

34

� → �38

�

Il valore delle frazioni diventa maggiore, minore o resta uguale?Scoprilo, aiutandoti con un disegno.

In queste coppie, la seconda frazione è ottenuta raddoppiando il numera-tore della prima:

�13

� → �23

�; �15

� → �25

�; �16

� → �26

�; �130� → �

160�; �

34

� → �64

�


335

Due o più frazioni sono equivalenti, cioè hanno lo stesso valore, secome operatori sull’intero danno lo stesso risultato, oppure se, divi-dendo il loro numeratore per il rispettivo denominatore, si ottiene lostesso numero.

�12

� = �24

� = �36

� = �48

� = �150� = �

162� �

13

� = �26

� = �39

� = �142�

esempio

�35

� = 0,60 �160� = 0,60 �

195� = 0,60

�35

� ha lo stesso valore di �160�; dunque �

35

� è equivalente a �160�,

cioè: �35

� = �160�

�160� ha lo stesso valore di �

195�; dunque �

160� è equivalente a �

195�,

cioè: �160� = �

195�

Possiamo quindi dire che:

�35

�; �160�; �

195� sono equivalenti tra di loro, cioè: �

35

� = �160� = �

195�

esempio


Infine in queste coppie sono stati raddoppiati sia il numeratore sia ildenominatore delle frazioni:

�13

� → �26

�; �15

� → �120�; �

16

� → �122�; �

130� → �

260�; �

34

� → �68

�


In generale vale la seguente proprietà delle frazioni, detta proprietà inva-riantiva:

Se consideri la frazione come una divisione indica-ta, noti subito l’analogia esistente tra la proprietàinvariantiva delle frazioni e quella della divisione.

Prendi per esempio la frazione �42

� e moltiplica per 6 sia

il numeratore, sia il denominatore:

�42

××

66

� = �21

42�

Prendi ora le due frazioni �142� e �

21

42� e considerale come divisioni:

�42

� = 4 : 2 = 2 �21

42� = 24 : 12 = 2

Come vedi il quoziente è sempre 2. Perché?

Semplificazione di una frazione: frazioni riducibili e irriducibiliUtilizzando la proprietà invariantiva si possono trasformare le frazioniin modo che sia il numeratore sia il denominatore diventino numeri piùpiccoli, con i quali i calcoli sono più agevoli, senza che il valore della fra-zione cambi.Tale operazione si chiama semplificazione di una frazione, e consistenel dividere numeratore e denominatore per un loro divisore comune.


336

check pointProva a fare la stessa cosa moltiplicando per 3, per 4, per 10 prima solo il denomina-tore, poi solo il numeratore, infine il numeratore e il denominatore.Che cosa puoi concludere?

moltiplicando o dividendo sia il numeratore sia il denominatore diuna frazione per uno stesso numero, il valore della frazione noncambia, cioè si ottiene una frazione equivalente a quella data.

Semplificare una frazione significa trasformarla in un’altra equi-valente avente termini minori.

Proprietà invariantiva delladivisione: il quoziente tra duenumeri non cambia se entrambisi moltiplicano o si dividono per uno stesso numero diverso da zero.

STOP ricorda



Prova ora con questa frazione:

�12

34� = ?

Che cosa noti? Non è possibile dividere 13 e 24 per un divisore comu-ne, in quanto i due numeri sono primi tra loro.

Diciamo allora che la frazione �1520� è una frazione riducibile, perché 12 e

50 hanno un divisore comune, mentre �1234� è una frazione irriducibile

perché 13 e 24 non hanno un divisore comune.In generale:

E in questo caso è possibile semplificarla.

E in questo caso non è possibile semplificarla.

Riduzione di una frazione ai minimi terminiUtilizzando la proprietà invariantiva è possibile trasformare le frazioniriducibili con successive semplificazioni, in modo che il numeratore e ildenominatore siano i più piccoli possibili, senza che il valore della frazio-ne cambi. Ciò avviene quando numeratore e denominatore sono primitra loro. In questo caso, infatti, non hanno più alcun divisore in comu-ne. Questa operazione si chiama riduzione di una frazione ai minimitermini.

337

�15

20� = �1

520 :

:22

� = �265� si usa anche scrivere �

15

20�

esempio

�34

05� = �

23

�

�23

� è la frazione che si ottiene semplificando �34

05�, cioè dividendo sia il

numeratore, sia il denominatore prima per 5, poi per 3; �23

� è la frazio-

ne ridotta ai minimi termini perché 2 e 3 sono primi tra loro.

esempio

una frazione è riducibile se numeratore e denominatore ammet-tono divisori comuni.

Una frazione è irriducibile se numeratore e denominatore sononumeri primi tra loro.

Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando numera-tore e denominatore sono primi tra loro.

6 2

9 3

6

25


Per ridurre una frazione ai minimi termini puoi seguire questa pro-cedura.

1. Verifica che la frazione sia riducibile, cioè che i suoi termini nonsiano primi tra loro (se ciò fosse, allora la frazione sarebbe già ridotta aiminimi termini).

2. Trova il MCD tra numeratore e denominatore.

3. Dividi numeratore e denominatore per il loro MCD.

Puoi ridurre una frazione ai minimi termini anche con semplificazionisuccessive per divisori comuni: è un procedimento più lungo, ma si arri-va comunque allo stesso risultato.


338

Riduci la frazione �12040

� ai minimi termini.

1. 24 e 100 non sono primi tra loro.

2. Calcolo il loro MCD:

MCD (24; 100) = 4

3. Divido per 4 il numeratore e il denominatore della frazione data eottengo la frazione ridotta ai minimi termini:

�12040

� = �12040

::44

� = �265�

Analogamente:

�34

05� MCD (30; 45) = 15 �

34

05� = �3

405

::

11

55

� = �23

�

esempio

Completa la tabella sottostante, rispondendo sì o no.

Che cosa deduci dalle risposte date?

check point

�3402�

�23

�

�8910�

�17550

�

�5737�

�6840�

Frazione

...................................

...................................

...................................

...................................

...................................

...................................

È riducibile?

...................................

...................................

...................................

...................................

...................................

...................................

È irriducibile?

.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

Se puoi, riducila ai minimi termini



L’ordinamento delle frazioniCome i numeri naturali, anche le frazioni possono essere confrontate traloro. Cercheremo di trovare dei metodi per capire se una ha valore mag-giore, minore o uguale a quello di un’altra.

Frazioni con lo stesso denominatoreNel seguente tratto di retta graduata orientata sono indicati i punti cor-rispondenti al valore delle frazioni che hanno denominatore uguale, inquesto caso 8.

Confrontiamo tra loro le frazioni �38

� e �78

� e rappresentiamole sulla rettagraduata. Qual è la maggiore?

339

4

L’espressione latina ratio, come già detto all’inizio di questa UA, tra i suoi varisignificati ha anche quello di rapporto e di quoziente. Per questo le frazionisono denominate numeri razionali. Infatti, una frazione può essere consi-derata sia come un rapporto tra due numeri interi, sia come loro quoziente

indicato. Per esempio, la frazione �34

� può essere letta come indicazione del rap-

porto esistente tra 3 e 4 e come quoziente indicato tra 3 e 4.

D’altra parte, tutte le frazioni equivalenti a �34

� esprimono lo stesso rapportoe indicano lo stesso quoziente:

�34

� = �68

� = �192� = ...

3 : 4 = 6 : 8 = 9 : 12 = ... = 0,75

Per questo motivo tutte le frazioni equivalenti tra loro possono essere rappre-sentate da quella che è ridotta ai minimi termini. Per lo stesso motivo tutte lefrazioni equivalenti tra loro rappresentano lo stesso numero razionale: esseindicano lo stesso rapporto e lo stesso quoziente.

Numerirazionali e frazioniequivalenti

0 1

38

08

18

28

2

48

58

68

78

88

98

108

118

128

138

148

158

168

0 1

38

0 1

78


È evidente che la frazione maggiore è �78

�, quindi scriviamo �38

� < �78

�.

Frazioni con lo stesso numeratoreConsidera ora frazioni che hanno lo stesso numeratore, per esempio:

�34

� �35

� �37

�

e rappresentale sulla retta graduata orientata. Per farlo devi dividere l’u-nità rispettivamente in 4, 5 e 7 parti.

È facile constatare che il valore di queste frazioni è decrescente. Infatticalcolando il quoziente tra numeratore e denominatore e approssiman-do, ove necessario, il risultato ai centesimi, si ottiene:

3 : 4 = 0,75 3 : 5 = 0,60 3 : 7 = 0,43

Frazioni con numeratore e denominatore diversiSe le frazioni non hanno denominatore uguale, il primo passo per con-frontarle tra loro è rendere il denominatore uguale, sfruttando la proprietàinvariantiva delle frazioni.

Considera le due frazioni �25

� e �130�: qual è la maggiore?

È facile trasformare la prima frazione in una frazione con denomina-tore 10:

�25

� = �140� → �

140� > �

130� → �

25

� > �130�


340

Se due o più frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiorequella che ha il numeratore maggiore.

Una frazione impropria èsempre maggiore di una frazione propria.

STOP ricorda34

35

37

0

0

0 1

1

1

Se due o più frazioni hanno lo stesso numeratore, è maggiore la fra-zione che ha il denominatore minore.



Più in generale, per trasformare due frazioni in modo che abbiano lostesso denominatore, ossia per ridurre due frazioni allo stesso deno-minatore, basta seguire questa procedura.

1. Riduci le frazioni ai minimi termini.

2. Calcola il minimo comune multiplo dei denominatori, detto ancheminimo comune denominatore (mcd): questo è il denominatore cercato.

3. Dividi il mcd per il denominatore della prima frazione e moltiplica ilquoziente così ottenuto per il suo numeratore: questo è il primo nume-ratore cercato.

4. Dividi il mcd per il denominatore della seconda frazione e moltipli-ca il quoziente così ottenuto per il suo numeratore: questo è il secondonumeratore cercato.

341

Trasforma le seguenti frazioni in frazioni che hanno lo stesso deno-minatore e poi confrontale tra loro:

�152� �

49

�

1. Le due frazioni sono già ridotte ai minimi termini.

2. Il minimo comune multiplo dei denominatori è 36.

3. Divido 36 per il denominatore della prima frazione e moltiplico ilrisultato per il suo numeratore:

36 : 12 = 3 3 × 5 = 15; ottengo �13

56�

4. Divido 36 per il denominatore della seconda frazione e moltiplico ilrisultato per il suo numeratore:

36 : 9 = 4 4 × 4 = 16; ottengo �13

66�

A questo punto posso fare il confronto:

�152� = �

13

56� < �

13

66� = �

49

�

esempio

Frazioni che hanno lo stesso denominatore: è maggiore quella che ha ilnumeratore maggiore.

Frazioni che hanno lo stesso numeratore: è maggiore quella che ha ildenominatore minore.

Frazioni che hanno numeratori e denominatori diversi: prima le riducoallo stesso denominatore, poi confronto i numeratori.

Ordinamentodi frazioni


Le operazioni con le frazioniAddizioneAddizione tra frazioni che hanno lo stesso denominatoreL’addizione tra frazioni può essere eseguita immediatamente solo se lefrazioni hanno lo stesso denominatore.


342

5

Indica le frazioni sulle rette graduate orientate, poi completa ciascuna coppia con ilsegno opportuno: <, >, =.

�12

� > �13

� �23

� ..... �34

� �43

� ..... �34

� �64

� ..... �32

� �23

� ..... �32

� �14

� ..... �12

�

check point

0 1 2 3

0 1 2 3

0 1 2 3

La somma di due o più frazioni che hanno lo stesso denominato-re è una frazione che ha per denominatore lo stesso denominatoree per numeratore la somma dei numeratori.

�49

� + �39

�

Applicando la regola precedente si può scrivere:

�49

� + �39

� = �49+ 3� = �

79

�

Analogamente:

�35

� + �25

� = �3

5+ 2� = �

55

� = 1 �161� + �

16

� = �116+ 1� = �

162� = 2 �

38

� + �18

� = �3

8+ 1� = �

48

� = �12

�

esempio

49

39

79

49

39

79

1

2

2

1



Addizione tra frazioni che hanno denominatori diversiPer addizionare tra loro due o più frazioni che hanno denominatoridiversi, si riducono le frazioni date al minimo comun denominatore e poi sicalcola la loro somma, come nel caso precedente.

Addizione tra un numero naturale e una frazione. Numeri mistiPer eseguire l’addizione tra un numero naturale e una frazione basta tra-sformare la parte intera in una frazione apparente che ha lo stesso deno-minatore della frazione da addizionare, poi si opera come nelle addi-zioni tra frazioni che hanno lo stesso denominatore.

Se, al contrario, vuoi trasformare una frazione impropria in numeromisto, dividi il numeratore per il denominatore. Il quoziente sarà laparte intera, mentre il resto rappresenterà il numeratore della parte fra-zionaria con denominatore uguale a quello della frazione impropria.

343

Per addizionare tra loro due o più frazioni che hanno denomina-tori diversi, si riducono le frazioni al minimo comun denomina-tore, quindi si addizionano tra loro i rispettivi numeratori.

�38

� + �14

� = �38

� + �28

� = �3

8+ 2� = �

58

�

�152� + �

290� = �2

650� + �2

670� = �

256+0

27� = �

56

20� = �

11

35�

�54

� + �45

96� + �

322� = �20 +

1164 + 1� = �

33

56�

esempio

2613

307

8

1

16

15

2 + �34

� = �84

� + �34

� = �84+ 3� = �1

41�

5 + �26

� = �360� + �

26

� = �306+ 2� = �3

62� = �1

36�

3 + �23

� = �93

� + �23

� = �93+ 2� = �1

31�

esempio

�137� = 17 : 3 = 5 con resto 2 → 5 + �

23

�

�246� = 26 : 4 = 6 con resto 2 → 6 + �

24

� = 6 + �12

�

esempio

16

3

1

2


SottrazioneSottrazione tra frazioni che hanno lo stesso denominatorePer eseguire la sottrazione tra due frazioni che hanno lo stesso denomi-natore, e la prima è maggiore della seconda, si calcola immediatamentela differenza dei numeratori, mentre il denominatore rimane invariato.

Sottrazione tra frazioni che hanno denominatori diversiPer sottrarre una frazione da un’altra avente denominatore diverso, siriducono le frazioni date al minimo comun denominatore e poi si cal-cola la differenza come nel caso precedente.

Sottrazione tra un numero naturale e una frazionePer sottrarre una frazione da un numero naturale si trasforma il numeronaturale in una frazione apparente che ha lo stesso denominatore dellafrazione da sottrarre, poi si opera come nella sottrazione tra frazioni chehanno lo stesso denominatore.


344

La differenza tra due frazioni che hanno lo stesso denominatore, e laprima è maggiore della seconda, è una frazione che ha per denominatorelo stesso denominatore e per numeratore la differenza dei numeratori.

Applicando la regola precedente si può scrivere: �79

� − �39

� = �79− 3� = �

49

�

esempio

49

39

79

49

39

79

Per sottrarre tra loro due frazioni che hanno denominatori diver-si, e la prima è maggiore della seconda, si riducono le frazioni alminimo comun denominatore, quindi si sottrae il numeratore delsottraendo dal numeratore del minuendo.

�78

� − �46

� = �2214� − �1

264� = �21

2−4

16� = �

254�

esempio

1 − �23

� = �33

� − �23

� = �3

3− 2� = �

13

� 3 − �25

� = �155� − �

25

� = �15

5− 2� = �

153�

esempio



345

Frazioni complementari

Per trovare la frazione complementare di una frazione propria, bastaeseguire la sottrazione tra 1 e la frazione data.

MoltiplicazioneA differenza dell’addizione e della sottrazione fra due frazioni, la molti-plicazione può essere sempre eseguita immediatamente.

Quando si moltiplicano due o più frazioni tra loro può capitare che ilnumeratore di una abbia un divisore in comune con il denominatore diun’altra. In questo caso è più utile procedere a semplificazioni incrocia-te prima di eseguire la moltiplicazione.

La frazione complementare di �58

� è �38

�; infatti:

1 − �58

� = �88

� − �58

� = �8

8− 5� = �

38

�

La frazione complementare di �37

� è �47

�; infatti:

1 − �37

� = �77

� − �37

� = �7

7− 3� = �

47

�

esempio

58

1

38

37

1

47

Il prodotto di due o più frazioni è una frazione che ha per numera-tore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto deidenominatori.

Due frazioni si dicono complementari se la loro somma vale 1.

�23

� × �57

� = �23

××

57

� = �12

01�

esempio

�38

� × �152� = �

18

××

54

� = �352� �

43

� × �98

� × �12

� = �11

××

32

××

12

� = �34

�

esempio1

4

1 3

21

�25

� × 3 = �25

� × �31

� = �25

××

31

� = �65

�

3 × �56

� = �31

� × �56

� = �11

××

52

� = �52

�

esempio


Moltiplicazione di una frazione per un numero naturale o viceversaPer eseguire la moltiplicazione tra una frazione e un numero naturale oviceversa, basta considerare il numero naturale come una frazione condenominatore 1 e procedere come abbiamo già visto.

Frazione reciproca o inversa di una frazione data

Si vede facilmente che si ottiene una frazione inversa di una frazionedata scambiando tra loro numeratore e denominatore.

Dal momento che i numeri naturali possono essere trasformati in fra-zioni apparenti, anch’essi hanno la frazione inversa.

DivisioneHai già visto nelle operazioni con i numeri naturali che la divisione è l’o-perazione inversa della moltiplicazione. Infatti:

15 × 5 = 75

75 : 5 = 15

Applica l’esempio alle frazioni:

�57

� × �49

� = �57

××

49

� = �26

03�

�26

03� : �

49

� = �62

30 :

:49

� = �57

�


346

1

2

Una frazione si dice reciproca, o inversa, di una frazione data se,moltiplicata per quest’ultima, dà per risultato 1.

�34

� × �43

� = 1 �34

� è la frazione inversa di �43

�

�75

� × �57

� = 1 �75

� è la frazione inversa di �57

�

esempio1

1

1

1

1

1

1

1

15 75

× 5

: 5

2063

57

49

×

49

:

La frazione inversa di 5 è �15

�, la frazione inversa di 3 è �13

�esempio


Osserva poi che:

�26

03� : �

49

� = �57

� come: �26

03� × �

94

� = �57

�

frazione inversa di �49

�

cioè hai trasformato la divisione in una moltiplicazione, moltiplicandola prima frazione per l’inverso della seconda.

In generale:

Frazioni a termini frazionariSi dice frazione a termini frazionari una frazione in cui uno o entrambii termini sono a loro volta frazioni:

Dal momento che ogni frazione rappresenta il quoziente della divisionedel numeratore per il denominatore, nei due casi precedenti si ha rispet-tivamente:

�25

� : �34

� = �25

� × �43

� = �25

××

43

� = �185�

�37

� : �23

� = �37

� × �32

� = �37

××

32

� = �194�

�37

��23

�

�25

�

��34

�

5

7 1

1

per dividere una frazione per un’altra frazione (diversa da 0) si mol-tiplica la prima per l’inverso della seconda.

Nelle frazioni a termini frazionari è importante segnare la linea di frazionecon un tratto più lungo. Essa va sempre scritta all’altezza del segno di ugua-glianza. Ciò è importante anche per non incorrere in possibili errori.Scrivere:

= non è la stessa cosa di =

Infatti, se consideri i risultati noti la differenza:

= 3 : �58

� = 3 × �85

� = �3

5× 8� = �

254�

= �35

� : 8 = �35

� × �18

� = �35

××

18

� = �430�

�35

��8

3�

�58

�

�35

��8

3�

�58

�

Attenzionealle linee di frazione

Esercizi da pag. 384 347


Elevamento a potenza


348

Per elevare una frazione a una data potenza, si elevano a quella poten-za sia il numeratore sia il denominatore della frazione considerata.

In una frazione, la presenza delle parentesi cambia il valore della potenza:

��23

��2

= �23

2

2� = �49

� mentre �23

2

� = �43

�

attenzione

Se la base è la frazione �23

� e l’esponente è 2 si ha:

��23

��2

= �23

� × �23

� = �23

××

23

� = �23

2

2�

Se la base è la frazione �73

� e l’esponente è 3 si ha:

��73

��3

= �73

� × �73

� × �73

� = �73

××

73

××

73

� = �73

3

3�

esempio

La considerazione dei numeri razionali espressi sotto forma di frazione con-sente di vedere sotto una luce diversa l’operazione di divisione. Infatti, perdividere una frazione per un’altra basta moltiplicare la prima per l’inversodella seconda:

�23

� : �34

� = �23

� × �43

� = �89

�

Di conseguenza:

• la divisione tra due numeri razionali ha come risultato sempre un nume-ro razionale, cioè è sempre possibile eseguire la divisione tra numeri razio-nali ottenendo ancora un numero razionale. Si usa anche dire che nell’in-sieme dei numeri razionali la divisione è sempre possibile. Ciò non è veroper i numeri interi. La divisione tra due numeri interi non ha normal-mente come risultato ancora un numero intero: 1 : 4 = 0,25;

• invece di considerare la divisione come un’operazione del tutto diversadalla moltiplicazione, si può considerare la divisione come un nuovomodo di eseguire la moltiplicazione: moltiplicare il primo numero perl’inverso del secondo.

Divisione e numerirazionali

La potenzadi un numeroè il prodottodi tanti fattoriuguali allabase quantine indica l’esponente.

STOP ricorda

Esercizi da pag. 388 e 403


Espressioni con le frazioniPer calcolare un’espressione aritmetica con le frazioni si seguono le stesseregole che hai imparato per le quattro operazioni. Ricordiamole:

1. prima di calcolare le frazioni, semplifica le frazioni riducibili;

2. in una espressione senza parentesi si calcolano prima le potenze, poi lemoltiplicazioni e le divisioni, nell’ordine in cui si trovano, e infine le addi-zioni e le sottrazioni, sempre nell’ordine in cui si trovano;

3. se l’espressione contiene le parentesi, si eseguono prima le operazio-ni all’interno delle parentesi tonde, poi delle quadre e, per ultime, quel-le all’interno delle parentesi graffe.

349

6

�58

� + �145� : �

125� × �

12

� − �112� : 2 : 2 =

= �58

� + �145� × �

125� × �

12

� − �112� × �

12

� × �12

� =

= �58

� + 2 × �12

� − �418� =

= �58

� + 1 − �418� =

= �58

� + �88

� − �418� =

= �183� − �

418� = �78

48− 1� = �7

478�

esempio

��2 − �13

�� : 4 + �56

�� : ��32

��3

× �13

� + �56

� − �112�� =

= ��53

� : 4 + �56

�� : ��287� × �

13

� + �56

� − �112�� =

= ��53

� × �14

� + �56

�� : ��98

� + �56

� − �112�� =

= ��152� + �

56

�� : ��27 +2240 − 2�� =

= ��5 1+

210�� : �

42

54� =

= �11

52� × �

24

45� = �

23

�

esempio

2

11

1

1

1

1

9

1

1

2

3


Problemi con le frazioniNella risoluzione di problemi espressi a parole spesso incontriamo le fra-zioni. Qui, vengono proposti alcuni esempi di problemi raccolti secondole più comuni tipologie. Analizziamoli.

Problema diretto: dato un numero o una grandezza, calcolarne una frazione

Supponiamo di dover calcolare i �25

� di 180.

La soluzione è semplice: basta dividere il numero dato, 180, in tanteparti uguali quante ne indica il denominatore della frazione, in questocaso 5, e moltiplicare il risultato per il numeratore, cioè per il numerodelle parti da considerare, in questo caso 2. Avremo quindi:

180 : 5 × 2 = 72

Si tratta cioè di moltiplicare il numero per la frazione:

180 × �25

� = 72

In generale:


350

quando si deve calcolare la frazione di un numero, o di una gran-dezza, basta moltiplicare il numero, o la grandezza, per quella frazione.

La mamma ha dato a Paolo € 12 per comprare alcuni oggetti di cancelleria

per la scuola. Nel fare gli acquisti egli ha speso i �34

� del denaro ricevuto. Quanto ha speso in tutto?

Si tratta di calcolare la frazione del denaro ricevuto:

�34

� di 12 euro.

Basta quindi moltiplicare il valore della grandezza per la frazione:

12 × �34

� = 9

Paolo ha speso in tutto € 9.

problema 1

Il libro di testo di geografia è composto di 220 pagine. Se ne studiano �21

01� nel

primo quadrimestre e la rimanenza nel secondo. Quante pagine si studianoin ogni quadrimestre?

problema 2

7



351

220 × �1210� = 121 numero di pagine studiate nel primo qua-

drimestre

220 − 121 = 99 numero di pagine studiate nel secondoquadrimestre

In ciascun quadrimestre si studiano rispettivamente 121 pagine e 99pagine.

Per un tipo di caffè sudamericano confezionato in pacchetti le spese di trasporto

e dogana assorbono �15

� del ricavo e ancora �15

� costituisce il margine di guadagno

per i rivenditori. Tutto il resto va alla ditta produttrice. Se un pacchetto di que-sto caffè è venduto a € 2,15, quanto va ai produttori, in frazione e in euro?

Per calcolare quanto richiesto basta togliere dal ricavo di un pacchettodi caffè le spese sostenute per la dogana e il trasporto sommate al gua-dagno per il rivenditore.

�15

� + �15

� = �25

� è la frazione che esprime la parte del ricavodestinata alle spese

�55

� − �25

� = �35

� è la frazione che esprime il ricavo menola frazione del ricavo destinata alle spese

2,15 × �35

� = 1,29 è il valore numerico della somma cheandrà ai produttori per ciascun pacchetto

Ai produttori vanno i �35

� del ricavo della vendita di ciascun pacchetto,cioè € 1,29.

problema 3

35

= 120

15

Problema inverso: calcolare un numero o una grandezza, conoscendone una frazione

Si vuole calcolare un numero sapendo che i suoi �35

� sono uguali a 120.

In questo caso il ragionamento da fare è l’opposto di quello dei problemiprecedenti. Infatti, dividendo il numero dato, 120, per il numeratore della

frazione si ottiene il valore di �15

� dell’intera frazione. Moltiplicando poi tale

valore per il denominatore si ottiene il numero cercato.

Con l’aiuto di un grafico il ragionamento può essere più evidente.


Calcolando avremo:

120 : 3 = 40 otteniamo �15

� del totale

40 × 5 = 200 è il numero cercato

Possiamo eseguire il calcolo più rapidamente dividendo il numeroconosciuto per la frazione:

120 : �35

� = 120 × �53

� = 200

In generale:


352

40

1

quando si deve calcolare un numero o una grandezza, conoscendoil valore di una sua frazione, basta dividere il numero, o la grandezzadata, per quella frazione.

Un treno ha percorso 135 km, pari ai �59

� della distanza che separa due città.Qual è questa distanza?

Si tratta di dividere i kilometri percorsi per la frazione; si ottiene:

135 : �59

� = 135 × �95

� = 243 è la distanza cercata

La distanza tra le due città è di 243 km.

problema 1

Un paese ha 8550 abitanti. Quanti abitanti aveva dieci anni fa, se la popo-

lazione è aumentata di �145�?

Se indichiamo la popolazione di 10 anni fa con �11

55�, avremo:

�11

55� + �

145� = �

11

95� è la frazione che esprime la popolazione attuale

8550 : �11

95� = 8550 × �1

159� = 6750 popolazione di 10 anni fa

Il paese, 10 anni fa, aveva una popolazione di 6750 abitanti.

problema 2

Tre cugini ricevono una somma di denaro in eredità. Il primo riceve �13

� del

totale, il secondo �14

� e il terzo riceve € 12 400. Quale somma hanno ricevu-

to rispettivamente il primo e il secondo cugino?

�13

� + �14

� = �172� è la frazione che esprime la somma ricevuta dal

primo e dal secondo cugino

problema 3

27

1



Trovare due numeri conoscendo la loro somma e sapendo che uno di essi è una frazione dell’altroCalcolare la misura di due segmenti AB e CD, sapendo che la somma della

loro lunghezza è 98 cm, e che la lunghezza di AB è i �59

� di quella di CD.

Se il segmento AB è i �59

� di CD, quest’ultimo sarà �99

�.

Rappresentiamo graficamente la situazione:

AB è diviso in 5 parti uguali

CD è diviso in 9 parti uguali

La somma dei due segmenti è uguale a 5 + 9 = 14 parti uguali, ciascuna

delle quali rappresenta �114� di 98 cm.

Se osservi il grafico, la soluzione dovrebbe essere facile. Infatti:

98 : 14 × 5 = 35 è la lunghezza del segmento AB

98 : 14 × 9 = 63 è la lunghezza del segmento CD

Possiamo allora concludere che A�B� = 35 cm e C�D� = 63 cm.

353

Se indichiamo con la somma totale, avremo:

− �172� = �

152� è la frazione che esprime la somma ricevuta

dal terzo cugino

12 400 : �152� = 12 400 × �

152� = 29 760 somma totale dell’eredità

29 760 × �13

� = 9920 somma ricevuta dal primo cugino

29 760 × �14

� = 7440 somma ricevuta dal secondo cugino

Il primo cugino ha avuto in eredità € 9920, il secondo € 7440.

12�12

12�12

A B

C D

A D

AD = 98 cm

114



354

Filippo e Alessandro fanno la collezione delle figurine dei calciatori. Com-

plessivamente ne hanno 132. Se le figurine di Filippo sono i �57

� di quelle diAlessandro, quante sono le figurine di ciascuno?

Se le figurine di Filippo sono i �57

� di quelle di Alessandro, queste ultime

saranno �77

�; la loro somma è uguale a 5 + 7 = 12 parti uguali; dunque:

132 : 12 × 5 = 55 figurine di Filippo

132 : 12 × 7 = 77 figurine di Alessandro

Filippo ha in tutto 55 figurine, Alessandro 77.

problema 1

Una rivista è composta da 138 pagine, delle quali 4 costituiscono la copertina,

2 l’indice e i �38

� delle pagine dedicate agli articoli sono di pubblicità. Quante

pagine occupano rispettivamente pubblicità e articoli?

138 − (4 + 2) = 132 pagine occupate da articoli e pubblicità

132 : 11 × 3 = 36 pagine dedicate alla pubblicità

132 : 11 × 8 = 96 pagine dedicate agli articoli

Le pagine dedicate alla pubblicità sono 36, quelle dedicate agli artico-li sono 96.

problema 2

In una grande azienda agricola vengono impiegati 72 operai stagionali perla raccolta di prodotti ortofrutticoli. Vi sono 16 africani che lavorano per 27

giorni; gli italiani sono gli �131� di un gruppo di polacchi, i quali lavorano per

35 giorni. Quanti sono rispettivamente gli operai italiani e quelli polacchi?Sapendo che la paga giornaliera è di € 45, quanto guadagnerà il gruppodegli operai africani e quanto quello degli operai polacchi?

72 − 16 = 56 totale degli operai italiani e polacchi

56 : 14 × 11 = 44 totale degli operai italiani

56 : 14 × 3 = 12 totale degli operai polacchi

(45 × 27) × 16 = 19 940 guadagno totale degli operai africani

(45 × 35) × 12 = 16 800 guadagno totale degli operaipolacchi

Gli operai italiani sono 44, quelli polacchi 12. Il gruppo degli operaiafricani guadagna € 19 940, quello degli operai polacchi € 16 800.

problema 3



Trovare due numeri conoscendo la loro differenza e sapendo che uno di essi è una frazione dell’altroCalcolare la misura di due segmenti AB e CD, sapendo che la differenza

delle loro lunghezze è 48 cm e che la lunghezza di AB è �26

� di quella di CD.

Se il segmento AB è i �26

� di CD, quest’ultimo sarà �66

�. Disegniamo i duesegmenti:

AB è diviso in 2 parti uguali

CD è diviso in 6 parti uguali

La differenza tra i due segmenti è uguale a 6 − 2 = 4 parti uguali, ciascu-

na delle quali rappresenta �14

� di 48 cm.

Anche in questo caso il grafico dovrebbe condurti facilmente alla solu-zione. Dunque:

48 : 4 × 2 = 24 lunghezza del segmento AB

48 : 4 × 6 = 72 lunghezza del segmento CD

Possiamo allora concludere che A�B� = 24 cm e C�D� = 72 cm.

355

C D

A B

B D

BD = 48 cm

14

Una lattina di olio di semi di girasole costa i �191� di una lattina di olio di semi

di mais.Se sull’acquisto di due lattine risparmio € 4,48 scegliendo il girasole anzi-ché il mais, qual è il prezzo di una lattina di olio di mais e di una di olio digirasole?

4,48 : 2 = 2,24 risparmio in euro su una lattina diolio di girasole

2,24 : 2 × 9 = 10,08 costo in euro di una lattina di olio digirasole

2,24 : 2 × 11 = 12,32 costo in euro di una lattina di olio dimais

Una lattina di olio di semi di girasole costa € 10,08, mentre quella diolio di semi di mais costa € 12,32.

problema 1



356

Francesca e Giovanna devono confezionare dei pacchettini da regalare

alle loro amiche e ai loro amici. Francesca, più precisa, ne ha preparati i �35

�

di quelli di Giovanna, cioè 12 meno di lei. Quanti pacchettini hanno confe-zionato rispettivamente?

12 : 2 × 3 = 18 numero di pacchettini confezionati da Francesca

12 : 2 × 5 = 30 numero di pacchettini confezionati da Giovanna

Francesca e Giovanna hanno confezionato rispettivamente 18 e 30pacchettini.

problema 2

Viene divisa una somma tra due fratelli: Paolo e Giovanni. Paolo prende i �58

�

di Giovanni, il quale a sua volta prende € 12 960 in più. Quale somma

ricevono rispettivamente? Paolo ha però fatto un debito pari ai �49

� della sommaricevuta. Quanto gli rimane in tutto?

12 960 : 3 × 5 = 21 600 somma ricevuta da Paolo

12 960 : 3 × 8 = 34 560 somma ricevuta da Giovanni

21 600 × �49

� = 9600 debito di Paolo

21 600 − 9600 = 12 000 somma rimasta a Paolo

Paolo riceve € 21 600, Giovanni € 34 560. A Paolo rimangono in tutto€ 12 000.

problema 3

UA6

La frazione comeoperatore

su grandezzee su quantità

Frazioniequivalentie numerirazionali

Proprietàinvariantiva

delle frazioni

Frazioni riducibilie irriducibili

Frazione comerapporto tra

due numeri interi

Concettodi frazione.

I numeri razionali

Confronto trafrazioni e loroordinamento

Operazionicon le

frazioni

La frazione comedivisione indicata

tra numeratoree denominatore

Calcolo delquoziente franumeratore

e denominatore

Frazioniproprie

Frazioniimproprie

Frazioniapparenti

Leggi e osserva la mappa e memorizza anche visivamente i collegamentitra le conoscenze e le abilità introdotte in questa UA.

357


Le frazioni indicano il rapporto e il quoziente tra due numeri interi.Le frazioni in matematica vengono comunemente chiamate numeri razionali.

Una frazione può essere considerata come un operatore su grandezze: il suo deno-minatore indica in quante parti si deve dividere la grandezza, il suo numeratore spe-cifica quante di queste parti si devono considerare.

Per trovare il valore della frazione �mn� di una grandezza o di una quantità, si divide l’intero

(grandezza o quantità) in n parti uguali (cioè quante ne indica il denominatore) e siprendono m di queste parti (cioè quante ne indica il numeratore).

Una frazione si dice propria se il numeratore è minore del denominatore.

Una frazione si dice apparente se il numeratore è multiplo del denominatore.

Una frazione si dice impropria se il numeratore è maggiore del denominatore.

Un numero misto è formato da un numero naturale, detto parte intera, più una frazio-ne propria, detta parte frazionaria.

Due o più frazioni sono equivalenti, cioè hanno lo stesso valore, se dividendo il loronumeratore per il rispettivo denominatore si ottiene lo stesso numero.

Moltiplicando o dividendo sia il numeratore sia il denominatore di una frazione per unostesso numero il valore della frazione non cambia.

Una frazione è riducibile se numeratore e denominatore ammettono divisori comuni.

Una frazione è irriducibile se numeratore e denominatore sono primi tra loro.

Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando numeratore e denominatoresono primi tra loro.

Per ordinare le frazioni bisogna ricordare che:

● se due o più frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiore quella che ha ilnumeratore maggiore

● se due o più frazioni hanno lo stesso numeratore, è maggiore quella che ha ildenominatore minore

● una frazione impropria è sempre maggiore di una frazione propria

La somma di due o più frazioni che hanno lo stesso denominatore è una frazione che haper denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma dei numeratori.

Per addizionare tra loro due o più frazioni che hanno denominatori diversi, si riduconole frazioni al minimo comun denominatore, quindi si addizionano tra loro i rispettivinumeratori.

358

UA6

359

La differenza tra due frazioni che hanno lo stesso denominatore, e la prima è mag-giore della seconda, è una frazione che ha per denominatore lo stesso denominatoree per numeratore la differenza dei numeratori.

Per sottrarre tra loro due frazioni che hanno denominatori diversi, e la prima è mag-giore della seconda, si riducono le frazioni al minimo comun denominatore, quindi sisottrae il numeratore del sottraendo dal numeratore del minuendo.

Due frazioni si dicono complementari se la loro somma vale 1.

Il prodotto di due o più frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto deinumeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

Una frazione si dice reciproca, o inversa, di una frazione data se, moltiplicata per que-st’ultima, dà per risultato 1.

Per dividere una frazione per un’altra frazione (diversa da 0) si moltiplica la prima perl’inverso della seconda.

Per elevare una frazione a una data potenza, si elevano a quella potenza sia il nume-ratore sia il denominatore della frazione considerata.

Per calcolare la frazione di un numero, o di una grandezza, basta moltiplicare il numero,o la grandezza, per quella frazione.

Per calcolare un numero o una grandezza, conoscendo il valore di una frazione, bastadividere il numero, o la grandezza data, per quella frazione.

Frazioni e unità frazionarie1 Che cos’è un’unità frazionaria? ..........................................................................................................................................

2 Una frazione indica il ................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................................

Vero o falso?

3 • Se il numeratore di una frazione è multiplo del denominatore, • allora il valore del quoziente indicato dalla frazione è uguale

a un numero naturale.

• Se il numeratore di una frazione è uguale al denominatore, • allora la frazione ha valore 0.

• Se il numeratore di una frazione è uguale a 0 e il denominatore • è diverso da 0, allora il valore del quoziente indicato dalla frazione

è un numero naturale.

• Se il denominatore di una frazione è 1, allora il valore del quoziente • indicato dalla frazione è uguale al numeratore.

4 • Una frazione si dice propria se il numeratore è maggiore • del denominatore.

• Una frazione si dice impropria se il numeratore è maggiore o uguale • al denominatore.

• Una frazione si dice apparente se il numeratore è maggiore • del denominatore.

• Dividendo numeratore e denominatore di una frazione • per uno stesso numero, diverso da 0, otteniamo una frazione equivalente

a quella data.

• Moltiplicando numeratore e denominatore di una frazione • per uno stesso numero, diverso da 0, otteniamo una frazione equivalente

a quella data.

5 Che cosa significa semplificare una frazione? ..........................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................................

6 Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando ....................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................................

Scrivi le frazioni in cifre.

7 nove dodicesimi quattro sesti un decimo otto terzi

8 cinque terzi un tredicesimo diciassette dodicesimi sei settimi

9 un ottavo quindici trentesimi trenta quindicesimi sedici quinti

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV


Teoria da pag. 328360

1

esercizi di consolidamento UA6

Scrivi le frazioni in lettere.

10

11

12 Scrivi il numeratore di ciascuna frazione:

13 Scrivi il denominatore di ciascuna frazione:

Osserva le figure: la parte colorata di ciascuna quale unità frazionaria rappresenta? E laparte non colorata quale frazione rappresenta?

14

15

16

Per ogni figura indica con due frazioni, rispettivamente, quale parte dell’intera figurarappresentano la parte colorata e quella non colorata.

17 18

1115

48

712

47

16

1219

19

314

910

58

1216

1520

1012

914

610

77

35

711

89

26

48

57

34

13

Teoria da pag. 328 361

a) b)

a) b)

a) b)

a) b) a) b)

19 20

21

Colora di ciascuna figura la parte corrispondente alla frazione indicata a fianco.

22

23

24

25

26



a) b)a) b)

a) b)

12

34

14

23

13

58

310

56

712

14


27

28

Rappresenta le frazioni con figure.

29 un mezzo due terzi quattro quinti tre sesti due quarti

30 tre settimi cinque decimi sette ottavi sei undicesimi tredici quindicesimi

Completa le tabelle.

31

32


28

36

23

34

�67

�

�38

�

�59

�

�143�

�196�

Frazione

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

Numeratore

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

Denominatore

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

Unità frazionaria

�171�

�185�

�1213�

�2249�

�1381�

Frazione

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

Numeratore

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

Denominatore

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

Unità frazionaria

33 Riscrivi in successione le seguenti unità frazionarie:

34 Osserva le figure. Perché i denominatori sono tutti uguali? Perché i numeratori sono tuttidifferenti?

La frazione come operatore su grandezze e su quantità35 Traccia un segmento lungo 50 mm e dividilo a metà; tracciane uno lungo 80 mm e dividilo

in quarti; tracciane uno lungo 100 mm e dividilo in decimi.

36 Disegna due segmenti a tua scelta e dividine uno in settimi e l’altro in ottavi.

37 Ciascuna di queste linee è stata divisa in parti uguali. Quale frazione è rappresentata inrosso su ciascuna linea?

38 Copia le seguenti linee e colora i di ciascuna linea.56

13

111

15

17

14

19

110

16

18

12



16

26

36

46

56

66

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

•

•

•

•

•

0 1

01


39 Copia le seguenti linee e colora i di ciascuna linea.

40 Disegna un segmento lungo 108 mm e rappresentane in colore gli .

41 Disegna un segmento lungo 112 mm e rappresentane in colore gli .

42 Quale frazione dell’intera figura rappresenta ciascuna delle quattro figure colorate?

43 Copia sei volte la figura e colora la parte del triangolo ABC rappresentata da ciascunadelle seguenti frazioni.

44 Esprimi in frazioni di ora gli intervalli di tempo:

15 minuti 20 minuti 5 minuti 30 minuti10 minuti 40 minuti 6 minuti 45 minuti

45 Scrivi a quale frazione di anno corrispondono i periodi di tempo:

una settimana un mese un semestreun bimestre un trimestre un quadrimestre

46 Per ciascuna delle seguenti monete, scrivi la frazione che essa rappresenta della moneta da€ 1.

23

59

49

13

29

19

1116

89

38


0 1

1

0

•

•

A

B C

47 Quale frazione della banconota da 100 euro rappresentano le banconote da 5, 10, 20 e 50euro?

48 Quale frazione di una dozzina di uova rappresentano 2 uova, 3 uova, 4 uova, 5 uova, 6uova?

Trascrivi e completa, sostituendo ai puntini la frazione opportuna.

49 250 m sono ............ di 1 km 50 25 g sono ............ di 1 hg

50 cm sono ............ di 1 m 125 g sono ............ di 1 kg

20 cm sono ............ di 1 m 5 kg sono ............ di 1 q

50 m sono ............ di 1 km 5 mg sono ............ di 1 g

Completa, sostituendo ai puntini la quantità richiesta.

51 di 72 caramelle = ................ di 60 libri = ................

di 63 figurine = ................ di 100 ragazzi = ................

di 81 palline = ................ di 45 euro = ................

Inserisci negli spazi delimitati in colore le operazioni o l’operatore frazionario mancanti.

52

53

515

69

220

57

310

38



�26

� di 24 cioccolatini = 8

esercizio svolto

× 3: 2

32

× 7: 5

75

esercizio svolto

× 5 : 9

58

49

× 7 : 7

710

27


54

55

56

57

58

59

60


815

1119

: 3 : 5 × 4×10

: 3 × 7 : 9 × 2

× 9 × 6 :11: 7

× 2

6

: 5

25

× 6

21

: 7 × 12

2

: 29

:10

30

× 9 × 3

9

: 4

84

: 5

12

44

811

63

98

:13

1652

••

La frazione come divisione61 Esprimi come frazione ciascuna delle seguenti divisioni:

5 : 3 2 : 7 10 : 9 13 : 2 1 : 4 6 : 11 8 : 17 19 : 10

Riscrivi le seguenti espressioni numeriche, sostituendo a ogni operazione di divisione lafrazione corrispondente.

62 5 : 4 + 1 63 7 : 10 × 2 − 2 : 510 − 6 : 5 + 3 : 8 8 + 7 : 4 − 5 : 2 × 31 : 3 + 1 : 2 + 5 : 6 (1 − 6 : 11)2 × (11 : 10)

Completa le uguaglianze, sostituendo ai quadratini i numeri giusti.

64 q : 7 = 3 1 : q = 0,5 7 : 4 = q 67 100 : q = 2

65 68 350 : q = 3,5 �6

q5� = 5 �

1q1� = 7

66 q : 8 = 1,25 6 : q = 0,6

Trasforma in numeri decimali, approssimati se necessario ai centesimi, le seguenti unitàfrazionarie.

69 70

71 Quali delle seguenti frazioni e divisioni non hanno senso? Che cosa puoi dire del valore diciascuna delle altre?

0 : 8 7 : 0 0 : 0

Frazioni proprie, apparenti e improprieCompleta le frazioni in modo tale da ottenere frazioni proprie.

72 73

74 Scrivi 10 frazioni proprie che abbiano il denominatore superiore a 10.

75 Scrivi 10 frazioni proprie che abbiano il numeratore superiore a 10.

Indica quali, tra le seguenti, sono frazioni proprie.

76

77 94

1117

416

82

1225

714

57

189

1520

327

55

38

2.....

6.....

4.....

3.....

8.....

5.....

.....

3.....

2.....

9.....

5.....

7.....

4

30

05

111

19

17

16

13

110

18

15

14

12

q4

0 75= ,

408

= q12 2 4q

= ,q2

9=

q12

1 5= ,3 1q

=



2


78 Completa le seguenti proposizioni.

…....…. mezzi fanno un intero: …....…. sesti fanno un intero:

…....…. terzi fanno un intero: …....…. decimi fanno un intero:

…....…. quarti fanno un intero: …....…. centesimi fanno un intero:

Indica quali, tra le seguenti frazioni, corrispondono all’unità.

79 80

Scrivi come numero intero ciascuna delle seguenti frazioni.

81 82

83 6 mezzi 8 quarti 30 decimi 18 terzi 25 quinti

84 32 ottavi 48 sesti 72 noni 24 quarti 42 settimi

Completa le seguenti espressioni, sostituendo al quadratino il più piccolo numero cherenda apparente ciascuna frazione.

85

86

87

88

89

Osserva le figure e rispondi.

90Quanti mezzi ci sono in ? ..........................................................................................

91Quanti terzi ci sono in ? ...........................................................................2 2

3+

1 12

+

3511 − q65

9

− q30

8

− q20

6

+ q

135

+ q1512

+ q7

4

+ q19

11

+ q

157

− q52

+ q310

+ qq − 22

36

+ qq − 25

q + 14

53

− q

13

+ q98

− q79

+ q37

+ q

16515

819

1084

357

786

7711

1768

405

568

8010

459

213

100100

3710

55

102

910

88

2020

78

44

62

33

34

.....

1001=.....

41=

.....

101=.....

31=

......

61=.....

21=


•

•

•

•

•

92 Quanti quinti ci sono in 2 ?

93 Quanti quarti ci sono in ?

94Quanti noni ci sono in ?

Trasforma i seguenti numeri misti in frazioni improprie, sostituendo ai quadratini i giustinumeratori.

95

96

97

98

99

100

101

102 3 913 13

+ = q6 310 10

+ = q2 311 11

+ = q

2 78 8

+ = q21 23 3

+ = q8 13 3

+ = q

3 58 8

+ = q4 13 3

+ = q15 34 4

+ = q

9 23 3

+ = q7 12 2

+ = q3 34 4

+ = q

35 12 2

+ = q6 38 8

+ = q4 18 8

+ = q

2 16 6

+ = q4 29100 100

+ = q10 15 5

+ = q

3 29 9

+ = q1 45 5

+ = q1 25 5

+ = q

1 34 4

+ = q1 23 3

+ = q1 12 2

+ = q

2 49

+

3 34

+



0 1 2 3 4 5

I cerchi colorati mostrano che:

La rappresentazione seguente ha lo stesso significato:

STOP ricorda

frazione impropria numero misto

0 1 2

�53

� = 1 + �23

�


Trasforma in numero misto le seguenti frazioni improprie, sostituendo ai quadratini i giu-sti numeratori.

103

104

105

106

107

108

109

Scrivi al posto dei quadratini il numero giusto. Evidenzia poi con il colore il tratto dellaretta graduata che corrisponde al valore della frazione o del numero misto.

110

111

112

113

114

115

Scrivi come frazione impropria ciascuna delle seguenti espressioni.

116 Due e tre quarti Tre e quattro quinti Cinque e un ottavo

117 Sette e due terzi Sei e cinque settimi Nove e cinque sesti

q6

2 16

= +

3 23 3

+ = q

7 12 2

+ = q

1 58 8

+ = q

q3

4=

2 35 5

+ = q

509

59

= + q716

116

= + q7415

415

= + q

678

88

= + q503

163

= + q8310

810

= + q

7717

417

= + q9913

713

= + q8215

515

= + q

575

115

= + q514

124

= + q5912

412

= + q

115

25

= + q176

26

= + q649

79

= + q

234

54

= + q193

63

= + q267

37

= + q

9710

910

= + q5312

412

= + q116

16

= + q


0 1 2 3

0 1 2 3 4 5

0 1 2

0 1 82 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3

•

•

•

•

•

•

•

Scrivi ciascuna delle seguenti frazioni improprie come numero misto.

118 �43

� �370� �

72

� �85

� �94

� 119 �263� �

258� �

129� �

265� �

378�

120 �389� �

491� �

485� �

347� �

353� 121 �

8190� �

3171� �

227� �

497� �

259�

122 �475� �

598� �

5111� �

8270� �

4115� 123 �

6114� �

363� �

7136� �

498� �

533�

124 �945� �

4140� �

953� �

6182� �

6165� 125 �

6168� �

1080

� �316010

� �1247

� �11520

�

Scrivi come numero misto ciascuna delle seguenti espressioni.

126 9 mezzi 7 terzi 11 quinti 13 quarti 17 sesti

127 27 ottavi 47 decimi 33 settimi 50 noni 29 quarti

Esamina le frazioni e riscrivile, distinguendo le frazioni proprie da quelle improprie e daquelle apparenti. Scrivi poi ciascuna delle frazioni improprie come numero misto e cia-scuna delle frazioni apparenti come numero intero.

128

129

130

131

Riscrivi le frazioni, sostituendo ai quadratini numeri opportuni per far sì che esse sianotutte: proprie; improprie; apparenti.

132

133

134 Scrivi tutte le frazioni proprie che hanno per denominatore i primi sei numeri naturali.Potresti scrivere, con gli stessi denominatori, tutte le frazioni apparenti o tutte le frazioniimproprie?

q2

8q

q7

q15

15q

q12

12q

3q

q11

q8

424

1920

178

11010

2115

812

364

183

12

10025

213

2725

639

117

910

2311

488

67

76

255

1330

13

56

62

109

38

137

54



• •

•

•

•


Frazioni equivalenti e proprietà invariantiva delle frazioniColora le frazioni indicate e rispondi alle domande.

135Colora . Quanti quarti sono stati colorati?

136Colora . Quanti ottavi sono stati colorati?

137Colora . Quanti sesti sono stati colorati?

138 Colora . Quanti sesti sono stati colorati?

139Colora . Quanti dodicesimi sono stati colorati?

140Colora . Quanti ottavi sono stati colorati?

Completa.

141 142

143

144 Individua nel seguente gruppo le frazioni equivalenti tra loro.

Completa le coppie di frazioni equivalenti.

145

1525

210

35

1218

57

46

34

34

23

13

12

12


35 10

= q12 10

= q

812 3

= q 56 12

= q

12 6

= q39 3

= q

12 8

q=

× 4

× 4

13

=

× 3

× 3

39

25

=

× 4

× 4

820

esercizio svolto

3

146 147 148

149 150 151

152 153 154

Completa scrivendo i numeri mancanti.

155 156

157 158

159 160

161 162

163 164

165 Rispondi ai seguenti quesiti.

a) Ci sono 16 tazze e Federica ne ha lavate la metà. Quante tazze ha lavato?b) Ci sono 16 tazze e Giovanna ne ha lavate i due quarti. Quante tazze ha lavato?

Copia e completa:

166 Rispondi ai seguenti quesiti.

a) Filippo ha mangiato un terzo di 24 caramelle. Quante ne ha mangiate?b) Alessandro ha mangiato due sesti di 24 caramelle. Quante ne ha mangiate?c) Nicola ha mangiato quattro dodicesimi di 24 caramelle. Quante ne ha mangiate?

Copia e completa: 13 6 12

= =q q

12 4

= q

2233

22 1133 11

= =

::

qq

2464

24 864 8

= =

::

qq

2436

24 1236 12

= =

::

qq

3040

30 1040 10

= =

::

qq

2840

28 440 4

= =

::

qq

2025

20 525 5

= =

::

qq

2428

24 428 4 7

= =

::

q714

7 714 7 2

= =

::

q

2530

25 530 5 6

= =

::

q412

4 412 4

1= =

:: q

35

3 55 5

= ×× =

qq

45

4 25 2

= ×× =

qq

56

5 36 3

= ×× =

qq

34

3 44 4

= ×× =

qq

38

3 38 3

= ×× =

qq

14

1 34 3

= ×× =

qq

45

4 35 3

12= ×× =

q16

1 26 2 12

= ×× =

q27

2 27 2 14

= ×× =

q12

1 42 4 8

= ×× =

q



14 q

3=

× 3

× 3

27 14

q=

× 2

× 2

16 12

q=

× 2

× 2

45 q

=

× 3

× 3

q 714

q=

: 7

: 7q

2530

q=

: 5

: 5q

3040 q

=

: 10

: 10

q2025 q

=

: 5

: 5

q

412 q

=

: 4

: 4

q


Individua, tra le seguenti coppie di frazioni, come è stata applicata la proprietà invariantiva.

167 e e e e

168 e e e e

Completa in modo che le frazioni di ogni esercizio siano tutti equivalenti.

169

170

171

172

173

174

Completa le uguaglianze, che definiscono coppie di frazioni equivalenti.

175

176

177

178

179

180

181

182 4455

4=q

45

400=q

57

35=q

38

6=q

713 52

= q78 32

= q1022 11

= q56 30

= q

5663 9

= q5566

5=q

1218 3

= q16

3=q

300800 8

= q47 63

= q2030

2=q

45 20

= q

13

20=q

30100

3=q

1015

2=q

34 16

= q

37 56

= q710 50

= q610

3=q

15

4=q

56

15=q

45

8=q

35 25

= q38

9=q

5696

7=q

1827

2=q

26 3

= q14 12

= q

25 10

6 825

1235

16= = = = = = =qq q

qq

qq

34

612

12 1524 28 32

= = = = = = =q

qq q

q q q

14

212 16

524 28 32

= = = = = = =q

q qq

q q q

23 6 9

815

12 14 16= = = = = = =q qq

qq q q

13 6

312 15 18

721

8= = = = = = =qq

q q qq

12 4 6

410

612

716

= = = = = = =q qq

qq

q

53

4527

115

3315

3530

76

912

34

34

3648

45

810

5055

1011

1518

56


esercizio svolto

68

6 48 4

2432

= ×× =6

8e 24

32

•

•

183

184

185 Scrivi quattro frazioni equivalenti a ciascuna delle seguenti.

Completa in modo che le frazioni di ogni esercizio siano frazioni apparenti fra loro equi-valenti.

186 187

188 189

190 191

Tra le frazioni di ciascun esercizio, individua quelle equivalenti alla prima.

192 �1102� �

2355� �

1124� �

2204� �

2208� �

5757�

193 �36

� �1339� �

29

� �271� �

46

� �284� �

1571�

194 �13231

� �393� �

18211

� �1707� �

1108� �

2979� �

164�

195 Scrivi cinque frazioni fra loro equivalenti che esprimano quale parte del triangolo ABCrappresenta il rombo colorato. Fai lo stesso per il triangolo colorato.

196 Riproduci due volte la figura dell’esercizio 195 e colora due figure geometriche diverse,

ciascuna equivalente a �12

� del triangolo ABC.

7 425 3

494

14= = = = = =q

q qq

qq

6 426 2

245

18= = = = = =q

q qq

qq

55 4

30 103

35= = = = = =q qq q

qq

44

24 83

207

= = = = = =qq q

qq

q

3 15 216

6 94

= = = = = =q q

qq q

q23 5

14 124

4= = = = = =q qq q

qq

615

220

110

68

34

25

2840 10

= q2464

3=q

2233

2=q

2436

2=q

63108

7=q

3648 4

= q58 48

= q67 28

= q


A

B C

•



197 Riproduci i due triangoli. Colora in ABC una figura geometrica equivalente ai �265� di DEF e

colora in DEF una figura geometrica equivalente ai �23

� di ABC . Confronta le due figure e

fai le tue osservazioni. Quale parte di DEF rappresenterebbe il triangolo ABC ?

198 Scrivi quale frazione dell’intera figura rappresenta ciascunadelle sette figure geometriche costituenti il gioco del tangram.

Semplificazione di una frazione e riduzione ai minimi termini199 Stabilisci quali, tra le seguenti frazioni, sono riducibili ai minimi termini.

Semplifica le frazioni, utilizzando la proprietà invariantiva.

200

201 202

203 204

205 206

207 Semplifica dividendo numeratore e denominatore per due.

• Le frazioni ottenute possono essere ancora semplificate con ulteriori divisioni? Se sì, opera.

2030

1218

2442

3048

1640

1232

19552

7815

4884

4878

4572

1527

2036

4565

1848

636

3542

3035

4277

1240

1232

3336

918

5463

3240

912

1640

1636

7280

1836

1521

1660

42126

3648

1824

810

4263

5055

3248

1545

1518

4854

917

1123

4263

3248

711

1518

25


A

B C

D

E F

esercizio svolto

46

46 2

23

= =::

2

•

••

�46

�

Riduci le frazioni ai minimi termini, con successive semplificazioni.

208 �3222� �

4200�

209 �12240

� �14084

�

210 �56705

� �11355

�

211 �14025

� �16766

�

212 �343602

� �674586

�

Riduci le frazioni ai minimi termini, dividendo numeratore e denominatore per il loro MCD.

213

214

215

216

217

218

L’ordinamento delle frazioni219 Vero o falso?

• Per confrontare due frazioni che hanno numeratore e denominatore • diversi, devo prima ridurle allo stesso denominatore, poi confrontare

tra loro i numeratori.

• Per confrontare due frazioni che hanno numeratore e denominatore • diversi, devo prima ridurle allo stesso denominatore, poi confrontare

tra loro i denominatori.

• Di due frazioni che hanno lo stesso denominatore è maggiore • quella con numeratore minore.

• Di due frazioni che hanno lo stesso numeratore, è maggiore • quella con denominatore minore.

FV

FV

FV

FV

18255475

37504263

4503150

8226900

8401440

1251000

825900

600888

567729

495585

888962

126702

125375

516758

594648

81252

96240

78156

60180

34136

4560

4296

2030

1836

624

3654

3048

2442

1288

515

400600

350525

245175

224252

210546

192264

17666

175325

165132

150250

126140

108132

105168

105135

96144

90162

8032

72120

63144

60108

5684

5472

3952

3681

1830



4

•

••


Frazioni con lo stesso denominatore e frazioni con lo stessonumeratoreIndividua in ogni coppia la frazione maggiore.

220

221

222

223

224

225

226

Disponi le frazioni in ordine crescente.

227 �430� �

480� �

440� �

470� �

1410� 228 �

1255� �

3255� �

255� �

215� �

2225�

229 �69

� �162� �

360� �

265� �

67

� 230 �490� �

392� �

195� �

495� �

296�

Disponi le frazioni in ordine decrescente.

231 �255� �

1285� �

1205� �

2215� �

1235� 232 �

1128� �

158� �

188� �

1138� �

1188�

233 �350� �

250� �

355� �

850� �

54

� 234 �175� �

270� �

171� �

278� �

273�

235 �13

� �18

� �110� �

14

� �12

� 236 �38

� �35

� �37

� �132� �

34

�

Risolvi i problemi.

237 Anna divide la sua tavoletta di cioccolato in sesti. Mara ha una uguale tavoletta di ciocco-lato e la divide in ottavi. Chi ha i pezzi più piccoli? Chi ha più pezzi?

238 Simone e Paolo hanno la stessa somma di denaro. Simone ne spende i �170�. Paolo ne spen-

de i �79

�. Chi spende più denaro?

239 Cinzia ha mangiato i �59

� di una torta. Giulia ha mangiato i �152� di una torta della stessa gran-

dezza. Chi ha mangiato la quantità più piccola?

1320

1318

o1012

1015

o78

714

o

916

915

o47

46

o710

712

o

512

56

o210

26

o35

38

o

110

18

o15

16

o16

13

o

2031

3031

o1418

1218

o310

810

o

1925

1625

o511

811

o68

48

o

813

413

o116

76

o59

79

o


Frazioni con numeratore e denominatore diversiIn ogni figura, colora le frazioni indicate e precisa qual è la frazione maggiore di ognicoppia.

240

241

Indica quale frazione è maggiore in ogni coppia.

242 4 settimi o 9 settimi 1 nono o 1 settimo 9 ottavi o 1 mezzo

243 7 noni o 8 settimi 3 mezzi o 2 quinti 6 undicesimi o 5 quarti

244 5 decimi o 4 sesti 3 quarti o 5 quinti 5 ottavi o 8 noni

Utilizza la tavoletta di cioccolato per verificare se è vera oppure falsa ciascuna delleseguenti relazioni.

245

246

Indica quanto manca a ciascuna frazione per formare l’unità.

247

248

249 Osserva queste frazioni, poi riscrivile sotto al posto giusto.

�35

� �98

� �44

� �63

� �72

� �29

� �170� �

1122� �

18

� �64

� �91

� �1100� �

3172� �

110000

� �16245

� �11235

� �5522�

• frazioni minori di 1: �35

�; …………………………………………………………………………………………………

• frazioni uguali a 1: �44

�; …………………………………………………………………………………………………...

• frazioni maggiori di 1: �98

�; ……………………………………………………………………………………………..

910

1112

14

518

16

67

310

89

27

34

36

512

<912

23

>46

712

<56

34

>

23

34

<23

56

<34

12

>12

712

>



34

23

56

78

35

58

46

58


Riscrivi le frazioni in ordine crescente.

250 �45

� �78

� �1112� �

34

� �89

� 251 �190� �

67

� �1101� �

56

� �23

�

252 �79

� �35

� �191� �

57

� �13

� 253 �180� �

1157� �

1113� �

14

� �1156�

254 Classifica le frazioni in tre gruppi:

• frazioni minori di • frazioni equivalenti a • frazioni maggiori di

�13

� �23

� �34

� �35

� �25

� �36

� �47

� �37

� �48

� �49

� �59

� �79

� �150� �

151� �

171�

�161� �

162� �

172� �

198� �

1158� �

178� �

175� �

185� �

145� �

186� �

173� �

197� �

1109� �

1200� �

1211�

255 Disegna su carta millimetrata un segmento lungo 24 cm e localizza su di esso le seguentifrazioni:

256 Scrivi dieci frazioni tali che:

• quattro siano proprie;• tre siano maggiori di 1 e minori di 2;• due siano maggiori di 2 e minori di 3;• una sia maggiore di 3 e minore di 4;• non vi siano coppie di frazioni equivalenti.

Rappresenta poi su un’opportuna retta graduata orientata le dieci frazioni.

Copia i seguenti tratti di linea graduata orientata e indica quali sono le frazioni corri-spondenti alle etichette A, B, C e D in ciascun caso.

257

258

56

910

34

215

516

45

13

712

58

12

12

12

12


Infatti, a manca per fare l’unità, mentre a manca

poiché , concludiamo che a manca di più.

Quindi è più piccolo di .67

56

56

16

17

>

17

;67

16

56

56

67

<

esercizio svolto

0

A B C D1

0

A B C D

1

[R]

[R]

• Puoi trovare lesoluzioniindicate con[R] a pag.420.

STOP ricorda

259

260

261 Scrivi una frazione che sia maggiore di ma minore di , poi una frazione che sia mag-

giore di �12

�, ma minore di �34

�, infine una frazione che sia maggiore di �34

� ma minore di 1.


giore di �13

�, ma minore di �23


� ma minore di 1.


giore di �152�, ma minore di �

23


� ma minore di �78

�.

Ordinamento di frazioni: esercizi riassuntivi

264 Quale frazione è più grande: �58

� o �172�? Qual è il minimo comune multiplo di 8 e 12?

Trova i numeri mancanti.

e

265 Quale frazione è più piccola: �35

� o �47

�? Qual è il minimo comune multiplo di 5 e 7?Trova i numeri mancanti.

e

266 Usando il metodo della riduzione allo stesso denominatore, stabilisci se è vera o falsa cia-scuna delle seguenti relazioni:

In ogni coppia di frazioni, inserisci nel quadratino il segno < , > o = che rende veral’espressione.

267

268

269 79

34q

46

1015q

35

23q

14

16q

710

57q

68

912q

35

1015q

26

13q

34

56q

68

56q

68

812q

12

38q

37

512

>711

58

>59

35

<25

38

<

47 35

= q35 35

= q

712 24

= q58 24

= q

38

16

13

15

12

14



1

B C D

2

A [R]

1

A B C D

3

[R]

•

••

••


270

271

272

Riscrivi le frazioni in ordine crescente.

273 �185� �

125� �

13

� �115� �

25

� �23

� �15

� �175� �

145� �

35

�

274

275

276

Riscrivi le frazioni in ordine decrescente.

277 278

279 280

281 282

Completa le uguaglianze.

283

284

285

286

287 13 13

123

+ = + q2 14

14

+ = + q8 67

77

+ = + q

11 1914

1214

+ = + q13 137

147

+ = + q5 1311

611

+ = + q

3 43

43

+ = + q6 19

59

+ = + q12 56

116

+ = + q

7 23

63

+ = + q5 14

44

+ = + q4 127

57

+ = + q

7 512

612

+ = + q

3 12

22

+ = + q

6 75

75

+ = + q

712

1120

35

510

815

710

58

34

23

49

56

14

23

12

38

53

46

712

34

12

34

312

37

35

38

12

14

110

18

13

13

158

58

33

19

74

110

34

59

32

29

16

49

718

118

12

518

19

13

59

23

512

14

12

,56

112

34

13

712

116

912

56q

25

37q

47

12q

58

34q

56

1112q

58

35q

47

714q

35

610q

912

34q

912

1216q

23

812q

37

57q


→ 8 1 48

8 88

48

88

+ + = + + = + 129 48

88

+ = + q

esercizio svolto

Le operazioni con le frazioni288 La somma di due o più frazioni che hanno lo stesso denominatore è una frazione che ha

per denominatore ............................................................. e per numeratore .............................................................

289 Il prodotto di due o più frazioni è una frazione che ha per numeratore ............................................

................................................................................ e per denominatore ................................................................................

290 Vero o falso?

• Per sottrarre una frazione da un’altra si riducono le frazioni • allo stesso denominatore, quando questi sono diversi, poi si trova

la differenza tra i numeratori.

• Per dividere una frazione per un’altra si riducono le frazioni • allo stesso denominatore, quando questi sono diversi, poi si trova

il quoziente tra i numeratori.

• Per dividere una frazione per un’altra si moltiplica la prima • per l’inverso della seconda.

• Una frazione è inversa o reciproca di un’altra se il loro quoziente è 1.

Addizioni e sottrazioniEsegui le addizioni.

291

292

293

294

295

296

Riduci allo stesso denominatore ogni coppia di frazioni.

297 298

299 300

301 302 45

37

, 29

34

, 67

34

, 38

56

, 23

45

, 75

32

, 14

23

, 34

15

,

12

310

, 415

13

, 518

79

, 38

616

, 54

78

, 37

514

, 59

23

, 34

712

,

510

320

, 512

16

, 45

510

, 215

35

, 53

76

, 43

59

, 24

68

, 43

76

,

917

717

1217

+ +58

68

108

+ +45

25

35

+ +

89

69

39

+ +23

53

43

+ +38

78

58

+ +

615

815

+511

1511

+1113

913

+

712

512

+29

49

+58

48

+

95

25

+47

57

+39

69

+

46

56

+34

54

+13

23

+

FV

FV

FV

FV



5

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e


Calcola, dopo aver ridotto le frazioni allo stesso denominatore.

303

304

305

306

307

308

Esegui le addizioni.

309

310

311

312

313

314

315 �47

� + �57

� �34

� + �92

� �152� + �

270� �

185� + �

125� �

52

� + �16

�

316 3 + �75

� + �15

� �37

� + �281� + �

412� �

38

� + �54

� + �16

� �23

� + 1 + �75

� �253�; 5��

6; �

4234�; �

4165�

317 �250� + �

38

� + �214� �

346� + �

152� + 1 �

182� + �

56

� + �1148� �

2315� + �

162� + �

34

� �23

�; �5356�; �

4118�; �

3270�

318 �165� + �

1108� + 2 + �

26

� �53

� + �72

� + �94

� + �16

� �131� + 1 + �

676� + �

292� �

14458

�; �9112�; �

5393�

319 �1140� + �

35

� + �278� + �

34

� �115� + �

15

� + �59

� + �43

� �772� + �

89

� + �356� + �

38

� 3; �9475�; �

32

�

119

315

12

+ +1845

23

520

+ +49

812

1015

+ +

512

79

518

+ +710

112

720

+ +135

16

310

+ +

67

12

23

+ +23

56

912

+ +611

122

12

+ +

23

124

58

+ +1921

37

23

+ +79

518

12

+ +

35

34

320

+ +1115

25

13

+ +37

114

12

+ +

78

34

12

+ +15

310

12

+ +23

14

512

+ +

27

+ 12

34

712

+710

45

+14

13

+

56

+ 35

411

+ 52

78

+ 34

34

15

+

52

413

+79

23

+35

710

+37

514

+

610

34

+27

913

+712

15

+811

56

+

28

49

+12

53

+23

78

+35

42

+

310

54

+54

78

+53

69

+23

56

+


esercizio svolto47

514

8 514

1314

+ = + =

Completa le uguaglianze.

320

321

322

323

324

325

Esegui le addizioni.

326

327

328

329

330

331

Completa le uguaglianze, sostituendo ai puntini la frazione giusta.

332

333

Esegui le sottrazioni.

334 335

336 337 1118

618

−1516

516

−720

420

−910

110

−811

411

−712

512

−

54

34

−68

28

−79

29

−65

45

−72

52

−47

37

−

12

14

18

116

1+ + + + =.....13

19

127

1+ + + =.....

325

110

415

1+ + + =.....12

13

1+ + =.....

13

13

4 112

+ + +310

14

1 12

+ + +310

3 120

140

+ + +

37

121

2 53

+ + +2 23

15

79

+ + +715

518

3+ +

712

524

1+ +59

16

2+ +5 17

23

+ +

45

2+58

3+34

3+32

1+

56

2+7 46

+67

4+6 24

+

1 23

+1 46

+1 25

+1 34

+

76 5 7

= = =..... ..... .....53 7 12

= = =..... ..... .....

64 2 8

= = =..... ..... .....43 2 6

= = =..... ..... .....

810

= .....86

= .....83

= .....82

= .....

57

= .....58

= .....52

= .....54

= .....

28

= .....26

= .....23

= .....22

= .....

14

= .....18

= .....15

= .....13

= .....




338

339

Calcola, dopo aver ridotto le frazioni allo stesso denominatore.

340

341

342

343

Esegui le sottrazioni.

344

345

346

347

348

349

Scrivi la frazione complementare di ogni frazione.

350

351

352

353

354 41000

99150

3761

4554

1734

53100

47100

2950

1819

2031

16

1523

517

38

710

1545

920

810

34

13

59

811

47

35

14

105

1−3 23

−42

1−4 13

−

53

1−62

2−93

1−52

2−

5 34

−5 12

−2 34

−2 13

−

53

47

321

− −715

1130

110

− −412

520

230

− −

1615

110

56

− −87

15

335

− −34

712

16

− −

914

37

228

− −154

2512

43

− −125

1320

310

− −

56

47

−910

57

−25

38

−27

414

−

32

911

−56

38

−37

514

−32

58

−

56

23

−34

58

−53

76

−512

16

−

34

25

−23

14

−43

67

−32

75

−

1318

718

418

− −2324

724

524

− −1521

721

421

− −

89

49

29

− −78

38

18

− −126

26

36

− −


esercizio svolto116

45

55 2430

3130

− = − =

La frazione complementare di è .57

27

1 27

77

27

57

− = − =

esercizio svolto

�27

�

Calcola.

355

356

357

358

359

360

361 �13

� + �25

� − �115� + 1 �

38

� + �53

� − 1 − �112� �

53

�; �2234�

362 �54

� − �47

� + 2 − �194� �

190� − �

25

� + �185� − 1 �

5278�; �

310�

363 �56

� − �49

� + �14

� − �112� �

94

� − �78

� + �32

� − �1116� �

59

�; �3156�

364 �15� + �

49

� + �23

� − �56

�

365

366

Calcola il valore delle espressioni; poi, se possibile, scrivi il risultato come numero misto.

367

368

369 13

370

37154

95

1720

910

35

−⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠

2658 2

53 7

105 1

2+⎛

⎝⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ − +⎛

⎝⎞⎠

5 14

10 74

−⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠

10 +3136

;18

38

28

1020

+⎛⎝

⎞⎠ −13 5

489

− +⎛⎝

⎞⎠

1124

; 3 +172

3 18

19

+ −⎛⎝

⎞⎠

14

13

18

+ −⎛⎝

⎞⎠

710

4525

1720

1820

1525

35

310

14

− + − − + −

45

;349315

59

23

25

27

+ − +34

25

34

25

+ − +

4390

;1121

67

23

815

15

− + −

1940

;1336

79

16

14

− −35

38

14

− +

221

;2324

56

58

34

− +12

37

56

+ −

1621

521

421

+ −2040

1040

3040

− +815

715

415

+ −

1249

349

1149

− +320

120

1720

− +825

425

1625

− +

712

512

612

+ −58

18

38

+ −516

316

716

− +

611

211

1011

− +49

29

59

− +23

53

43

+ −




372

373

374 1

375 �3 − �14

� + �32

�� − ��78

� − �12

� + 1� ��43

� − �12

� + 2� − ��56

� − �13

� + 1� �283�; �

43

�

376 ��75

� − �13

� + �185�� + ��

85

� − �23

� + 1� �2 − �13

�� − �5 − �72

�� + �1 + �152��

5135�; �

1192�

377

378

379 1

380 1

381

382

383

384

385

386

387 �54

� − ��12

� − �15

�� + ��12

� − �25

� − �110�� + ��

34

� + �12

� − �150�� + 1 �

65

�

388 ��34

� − �12

�� + �3 + �15

�� − 1� − ��230� + 1� − ��

12

� + �14

�� + �1 − �15

�� 54

�

389 �2 − �38

�� + ��3 − �1 + �34

�� − �12

� + 1 − ��38

� + ��56

� + �16

�� − �54

� + �1 − �12

�� 141�

131 − − − + − − +3

412

13

14

79

23

29

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

25

45

1330

710

16

56

215

15

13

− + − − − + −⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

415

115

83

4 4 125

615

32

1+ + + − + − − −⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝

⎞⎠

56

2 23

1922

411

715

310

1914

421

+ − −⎛⎝

⎞⎠ − −⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− −⎛⎝

⎞⎠

53

12

73

46

12

23

39

112

34

412

+ − + −⎛⎝

⎞⎠ − −⎛

⎝⎞⎠ − −⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

340

138

14

15

325

150

2 35

710

+ + − − + + −⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

25

25

25

12

910

12

235

514

+ + + −⎛⎝

⎞⎠ +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

+ −

512 + 1 + 3

41112

⎛⎝

⎞⎠ − − −⎛

⎝⎞⎠ + +⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

53

34

12

23

58

76

58

1 3 73

14

− +⎛⎝

⎞⎠ − − −⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2120

14

1 2 2 15

+⎛⎝

⎞⎠ − − −⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

1 32

54

1 34

+ −⎛⎝

⎞⎠ + − +⎛

⎝⎞⎠

16

36

23

12

56

13

+ −⎛⎝

⎞⎠ − −⎛

⎝⎞⎠

5936

12

89

310

120

+⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠


•

•

•

390 �1 − �13

� + �25

�� + �3 − �2 − �34

�� − ��1 + �65

�� − �1 − �130�� + �

15

� − ��35

� − �110��

6610�

391 ��3 − �1 − �12

�� + 1 − �83

� − ��1 + �116�� − �3 − �

78

� − �54

�� + �152� �

1176�

392 �89

� + ��1 + �23

�� − �29

�� + �118� − �1 − �

56

�� − ��2 + �12

�� − �49

� + �16

�� 0

393 ��190� + �

25

�� − ��85

� + 1 − �1175�� − �2 − �

15

� − �12

�� + ��1130� − 1� + ��1 − �

12

�� − �15

�� 2165�

394 ��172� + �

34

� − �23

�� − �1 − �56

�� + ��1 + �14

�� − ��12

� + �16

�� − �1 − �34

�� 56

�

395 ��87

� − �1211� + 1� − ��

13

� + �17

�� − ��2 − �17

�� − �1 + �13

� − �57

�� − �23

�� − �211� �

1231�

396 ��78

� + �12

� + 1� − ��152� + �

14

�� − ��56

� − �12

� + �98

�� − 1� + ��1 + �14

�� − �16

�� 73

�

397 ��52

� − �85

�� + �270� − 1� + �3 + �

110� − ��

45

� + �12

�� − ��1 + �110� − �

12

�� + �45

�� − �12

� �2230�

398 0

399

400

401

402 0

403 1

404

405 0

406

407 11 − − + − − + + − −39

728

1 412

520

1133

1352

1 112

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

45

45

2 23

103

75

45

23

1915

2 23

45

+ + − − − + − − − −⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

37

+ + − + − − − + −52

114

23

4 4124

78

23

516

116

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

34

4 34

15

2 35

16

160

2 110

34

+ − − + − − − + +⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝

⎞⎠

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

4 3 14

73

23

14

1 34

56

112

− − + − + − − − +⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

56

19

− + − − − + − −34

1318

29

59

14

23

12

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝

⎞⎠

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⎛⎝

⎞⎠

198

14

512

58

14

83

34

32

34

13

+ + + + − + − −⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

116

94

− − + − − − − −512

1124

136

73

1112

34

78

34

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝

⎞⎠

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

19

23

19

527

59

23

427

49

+ − − − − +⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

4 78

34

5 12

2 56

1 13

18

1+ − + − − + − + − +⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭



•

•

•

•

•

•

•


Risolvi i problemi.

408 Due amici andando da Roma a Torino si fermarono alcune volte. La prima volta fecero

�15

� del percorso, la seconda �25

� e la terza volta ancora �15

�. Quale parte del percorso manca-

va dopo la terza sosta per raggiungere la meta? �15

�

409 Un operaio fece in un giorno i �59

� del suo lavoro, e nel giorno seguente �13

�. Quanto lavorodoveva ancora eseguire?

�19

�

410 Paolo e Luigi debbono innaffiare il giardino: Paolo innaffia i �25

� e Luigi �14

�. Quale partedebbono ancora innaffiare?

�270�

411 Un debitore paga i �38

� del debito, poi ancora i �26

�. Quale parte del debito ha pagato? �1274�

412 In un’azienda agraria �14

� degli animali sono vitelli, �25

� mucche, �16

� pecore e il rimanente ani-

mali da cortile. Quale frazione rappresentano gli animali da cortile? �1610�

413 Deduci un problema dalla seguente espressione e risolvilo.

MoltiplicazioniEsegui le moltiplicazioni.

414

415

416

417

Esegui le moltiplicazioni, facendo uso della semplificazione.

418

419

420 2120

518

×2752

1324

×5714

5619

×926

1327

×

2512

3635

×916

4815

×47

218

×56

325

×

32

85

×95

156

×

87

214

×56

310

×

58

716

×114

325

×1213

35

×410

35

×

1021

107

×1750

94

×625

117

×211

17

×

136

15

×411

59

×37

18

×56

134

×

19

12

×34

78

×45

27

×16

73

×

10 − + =3 35

⎛⎝

⎞⎠


esercizio svolto

74

1635

1 41 5

45

× = ×× =

1

1

4

5

2021

× × = × ×× × =1

16495

1 1 73 4 1

712

4 71

3 4 1

esercizio svolto78

× = ×× =3

27 38 2

2116

••

421

422

423

Esegui le moltiplicazioni.

424

425

426

427

428

429

Esegui le moltiplicazioni facendo uso della semplificazione.

430

431

432

433

434 1

Trascrivi e completa le moltiplicazioni.

435

436

437 485

10 83

× =.....

19 7

121

× =.....18 79

145.....

× =

47

1 477

× =.....

.....

6511

6566

× =.....

9112

5518

× =

1 89

863.....

× =78

3 2140

× =.....

23 5

1415

× =.....

3572

43

81100

6449

8015

7064

416

× × × × × ×

1;23

4546

2315

4 19

× × ×1213

54

263

110

× × ×

5 ;23

635

121

59

2× × ×115

32 2516

32

× × ×

2 ;52

76

12 514

12

× × ×5049

1425

7 12

× × ×

3 ;1

14;

47

548

6 3235

× ×8 13144

991

× ×5 811

3340

× ×

37 34

×25 116

×9 185

×8 163

×

21 34

×17 12

×12 85

×6 57

×

6 35

×5 89

×7 34

×3 25

×

7 25

×6 53

×4 27

×6 45

×

8 73

×9 54

×4 65

×7 310

×

3 219

×2 67

×5 18

×2 35

×

112

1327

411

× ×118

65

9121

× ×3536

421

92

× ×

95

1511

4445

× ×1021

925

54

× ×563

17

916

× ×

34

213

399

× ×724

611

2242

× ×32

19

25

× ×



•

•

•


438

439

440

Calcola il valore delle espressioni.

441

442 2; 0

443

444

445 2

446 �4690�

447 �7712�

448

449

450

451

452

453

454

45595

34

45

32

13

14

320

140

+ + × −⎛⎝

⎞⎠ +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

−

53

712

320

415

5 514

27

13

73

1213

− +⎛⎝

⎞⎠ × −⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ ×⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

×− +

2318

2 + ×⎛⎝

⎞⎠ × ×⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

× ⎛⎝

⎞⎠

125

516

15 13

65

1018

5 13

725

+ − − +

118

54

× − × − − −165

910

512

1211

114

29

98

2 37

⎛⎝

⎞⎠ × ×⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

× ⎛⎝

⎞⎠

56

12

43

23

15

215

14

12

112

34

× + − −⎛⎝

⎞⎠ × + −⎛

⎝⎞⎠ ×

720

810

15

320

83

715

32

310

73

914

25

314

− − × − × − × × × − ×⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

4136

512

14

12

154

32

14

89

14

83

134

12

54

43

− + × − − × − × + + − × ×⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

16

85

310

89

112

15

253

14

83

12

13

212

3− × − × − × − × + × + − ×⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

45

103

14

29

127

214

12

18

× − × − × × −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

34

12

45

235

259

+ × − ×⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

4 12

25

19

60 16

+ − × × +

1;4611

5 94

411

− ×5 94

411

−⎛⎝

⎞⎠ ×

0 ;45

5 410

12

15

× × −5 410

12

15

× × −⎛⎝

⎞⎠

1 13

3− ×1 13

3−⎛⎝

⎞⎠ ×

56

; 112

68

23

+ ×12

68

23

+⎛⎝

⎞⎠ ×

754 11

766

× =.....2549

21 328

× =.....

51 3617

278.....

× =

.....

53

569

20× =5

14 4158

× =.....503

4 89

× =.....

2625 13

25

× =.....32 78

47.....

× =.....

635

12

× =


•

•

•

456 ��3 + �12

�� − ��19

� + �13

� + �56

�� − �32

� × ��13

� + �12

� − �19

� × �52

�� × �12

�

457

458

459

460

461

462

463

464

465

466

467

468

469 10

Risolvi i problemi.

470 Un’eredità viene divisa tra quattro sorelle e un cugino. Se alle quattro sorelle spettano i �1630�

ciascuna, quale parte toccherà al cugino?�125�

471 Un muratore deve riparare un tetto e ha bisogno di 15 giorni di lavoro. Se ogni giorno

esegue i �439� di tutto il lavoro, quale parte dovrà fare l’ultimo giorno perché il tetto sia a

posto? �17

�

103

× × ⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

× ⎛⎝

⎞⎠

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

215

53

2 15

34

23

110

3 311

37

73

72

− − − − + + − +

1112

12

59

56

29

13

118

32

67

14

112

13

12

319

313

+ − + + − × × − + − × + × − ×⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

12

29

16

736

59

13

16

122

134

95

1340

+ − + + − × − − × +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

8980

35

12

85

13

94

32

25

179

194

113

12

1− × + × − − × − × + − × +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

203

1625

× ⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

×⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

×59

916

1 59

25

5 152

25

517

+ − + + −

116

1 12

1 12

23

14

2415

1 34

23

49

+ + − + +× × ⎛⎝

⎞⎠ × ×⎛

⎝⎞⎠ ×⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

12

1824

+ − − − − − − +13

134

5 92

112

154

2512

512

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝

⎞⎠

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

87

27

37

+ − + + −43

23

16

12

17

722

1 1× ⎛⎝

⎞⎠ ×⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

×⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

× ⎛⎝

⎞⎠

110

89

− + − − − +29

15

415

258

516

14

35

23

× ⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

×⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

3320

6 25

4 14

72

85

45

58

1035

− × −⎛⎝

⎞⎠ −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

× + −⎛⎝

⎞⎠ ×

522 5

678

13

58

116

8 23

54

34

× − − × + × − ×⎛⎝

⎞⎠ +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

720

15

17

1

37203

4

1

5

3

101

1

5

2

3

15

4

1

2

3

10

7

51× − × × ×− +

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟× × − ×

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

1324

37

514

212

54

27

12

112

17

34

12

13

− × + × − × − − × − +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2536



•

•

•

•

•

••


472 I lavori per la costruzione di una nuova zona residenziale sono stati affidati a quattro ditte

appaltatrici. Se le prime tre si sono divise il lavoro in parti uguali, pari ai �370� ciascuna,

quale porzione di lavoro toccherà alla quarta ditta?�130�

473 In una ditta, in occasione del matrimonio di un dipendente, viene acquistato un regalo la

cui spesa è così ripartita: �1190� viene dato da ogni operaio, �

125� da ciascun impiegato e il

resto è a carico del proprietario. Quale parte di spesa è a carico del proprietario se nelladitta lavorano 120 operai e 2 impiegati? �

22895

�

474 Una cantina sociale vende 136 litri e �34

� di vino a € 0,72 il litro. Se il vino è costato 52 centil litro, qual è il guadagno? € 27,35

475 Un orologio ritarda ogni giorno 4 minuti e 20 secondi: quanto ritarderà in 3 giorni emezzo? 15 minuti e 10 secondi

DivisioniScrivi la frazione reciproca, o inversa, di ciascuna delle seguenti frazioni.

476

477

Esegui le divisioni.

478

479

480

481

482

483

Trasforma, nel modo indicato, ciascuna delle seguenti divisioni.

484 8 : 4 = 2 25 : 5 = 5

485 12 : 3 = 4 48 : 6 = 8 48 1 8×.....

=12 1 4×.....

=

25 1 5×.....

=8 × 1 2.....

=

5627

3518

:6039

1526

:5112

3436

:5425

4255

:

2572

3518

:289

827

:1556

458

:49

127

:

481

1663

:716

212

:19

118

:203

30:

548

1516

:145

2110

:73

289

:47

8:

944

3677

:5 103

:311

2122

:2815

4225

:

413

1652

:3215

4865

:458

154

:34

916

:

210

813

239

66

1511

717

52

110

214

611

45

91

38

27


2827

2827

187

83

: = =718

×

esercizio svolto4

3

2

1

•

486 132 : 11 = 12 125 : 25 = 5

487 63 : 9 = 7 42 : 14 = 3

Trascrivi e completa le divisioni.

488

489

490

491

492


493

494

495

496

497

498 �1 + �12

� : �54

� − 2 × �14

� : �38

�� : �14

� + ��35

� : �12

� − �34

� : �98

�� : �13

�

499 �2 : �45

� + 3 : �67

� − �12

�� × �29

� − �53

� : �45

� × �185�

500

501

502 3728

39

16

115

13

712

496

+⎛⎝

⎞⎠ +⎛

⎝⎞⎠ +: :

1924

38

74

1 2 14

1 13

1720

35

: :−⎛⎝

⎞⎠ × +⎛

⎝⎞⎠ + − −⎛

⎝⎞⎠

524

27

635

1 38

1516

320

3 725

: : :− − + −

19

2815

4160

11

2: 2

1

2:

3

10

1

5

12

7:

4

7

3

51 :

1

2− + ×

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟− −

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−

2310

15

32

:54

12

23

:49

15

12

+ − + − ×⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

736

560

34

16

2: :+

34

16

2+ :34

16

2+⎛⎝

⎞⎠ :

6 13

12

: –6 12

13

: –⎛⎝

⎞⎠

133 27

9121

: q =403

56

: q =q13

45

8552

: =

323

32

: q =q63

427

157

: =815

14 47

:q

=

353 21

494

: q =q : 356

67

=q : 185

59

=

q91

127

513

: =54

9 3518

:q

=73 15

58

: q =

100 259

43q

: =4255

7 65

:q

=3581 9

79

: q =

42 1 3×.....

=63 1 7×.....

=

125 1 5×.....

=132 1 12×.....

=




503

504

505

506

507 8

508

509

510

511

512 1

513

514

515

516

517

518

519

520 1415

52

65

310

:43

13

109

13

:53

32

1 :54

− − − + − + −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2615

25

45

12

:34

65

:9

10:

34

+ − + + +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪:

72

12

:34

110

3911

17

2711

2 2 2 511

13

3 1110

2 1522

12

× +⎛⎝

⎞⎠ + × +⎛

⎝⎞⎠ × + −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

− −⎛⎝

⎞⎠:

19

1 415

221

1935

23

79

1 34

43

67

− + +⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ +⎛⎝

⎞⎠ − −⎛

⎝⎞⎠: :

15

517

2 75

25

110

53

12

1 35

3× +⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠ × +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

− −⎛⎝

⎞⎠: :

114

2 12

3 14

11 1 12

512

512

2 52

+ −⎛⎝

⎞⎠ ×⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

+⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠: : : :

12

43

16

14

:229

11

1823

:49

:53

:12

112

:12

− − + − − − −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

4116

12

14

37

128

12

:9

1423

35

14

13

115

− + + + × + − −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟:

14

25

32

12

1115

1017

1 313

43

+⎛⎝

⎞⎠ − ×⎛

⎝⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

×: : :

17

27

43

1 43

3 73

3 73

: : :−⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

× −⎛⎝

⎞⎠ +⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

2 58

32

83

134

15

116

310

− −⎛⎝

⎞⎠ −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

−: : :

3518

3322

515

2 512

56

16

2 174

56

52

+ × − −⎛⎝

⎞⎠ +: : : :

34

1938

1339

1 34

3 16

2 6 1 13

12

2 52

+ − −⎛⎝

⎞⎠ + − −⎛

⎝⎞⎠: : : : : :

3 14

2 13

2 2 34

19

12

1311

18

56

16

2 1 12

− −⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ +⎛

⎝⎞⎠: : : : : : : : :

41132

12 712

145

1 13

9 354

1 14

13

− +⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠: : : :

34

5 107

7 34

3 23

14 53

14

3 3 16

: : : : : :+⎛⎝

⎞⎠ +⎛

⎝⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ +⎛

⎝⎞⎠

56

1664

2 56

15

34 13

78

14

3 312

3: : : : :+⎛⎝

⎞⎠ +⎛

⎝⎞⎠ + − −

1912

58

114

116

1128

34

3 18

12

14

2− −⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠: : : :


•

•

•

•

521

522 1

523

524

Risolvi i problemi.

525 Si vuol dividere un tessuto lungo 240 m in tagli di �34

� di metro ciascuno. Quante parti si

potranno avere? Se ciascun taglio viene venduto a € 13,40 euro, quanto si ricaverà dalla ven-dita? 320; € 4288

526 Una concessionaria di automobili per incentivare le vendite effettua condizioni di paga-

mento rateale. Al ritiro della vettura si versano i �35

� dell’importo totale, la differenza viene

pagata mensilmente versando ogni volta �215� della somma. In quante rate si completerà il

pagamento? 10

527 Un tale nell’acquistare dei mobili paga alla prenotazione i �29

� del prezzo convenuto, il resto

dilazionato in 14 rate mensili. Quale parte del prezzo pagherà ogni mese? �118�

528 In un frantoio una bottiglia di olio d’oliva da �34

� di litro costa € 2,85. Quanto si pagherà �65

�di litro d’olio della stessa qualità?

€ 4,56

529 Un proprietario terriero vende �130� del vino prodotto dalla sua azienda, ne tiene �

115� per il

consumo della sua famiglia e il resto lo divide tra i suoi tre fratelli. Quale parte prenderà cia-scun fratello?

�1990�

530 Si debbono trasportare 232 m3 di terra con un camion della portata di �249� di m3. Quanti

viaggi dovrà effettuare il camion per completare il trasporto?32

Frazioni a termini frazionariCalcola il valore delle frazioni di frazioni.

531

532 2156

1134

5

125

974

853

3294

5495

21251516

11127

16

5234

163

3 34

12

3 3 14

23

1 16

56

1 17

12

75

2 132

: : : : : :+ − −⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠ + + − −⎛

⎝⎞⎠ ×⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

23

10 1 35

52

6 2 12

13

43

32

2 23

2 29× − +⎛⎝

⎞⎠ × − +⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

× × +⎛⎝

⎞⎠ + +⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

: :

7

5

3

4

1

2

1

2

3

4

1

8

3

5

1

21:

11

5:

3

2

1

2:

3

101 :

4

3+ −

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ −

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− × + +

1415

45

310

15

12

:35

113

: 213

15

:23

13

+ − + − − − − +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥



349

8

3

4:

9

8

3

4

8

9

2

3= = × =

esercizio svolto

1

1

3

2

••

••

•

•



533

534

535

536

537

538

539

540

541 × ��12

� − �18

�� × �23

�

542 548

34

59

112

314

:112

114

52

58

43

16

× −

−−

− ×

× −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

316

��43

� − 1� × �92

� �1 − �14

�� × 2�� − ��

�35

� + 1 �3 − �83

�� × �32

�

229

314

213

114

25

:1

12

345

+ ×

− ×

+

−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

29342

51278

5313

9834

+ +

49

1932

5

43

:

1425

×

169

8925

:

3417

3

57

×

109

;625

;65

;13

; 0981

10

71

5

30

3

21

41

21

2

1

311

2

2 41

2

5

+

+

− + − ×

2455

;27

;2723

;2524

;56

115

314

112

74

3

259

213

35

1

114

212

+

−

−

+

−

+

+

−

52

2343

3234

+

7 ;53

2 12

2 12

+

−

12

23

12

13

+

−


•

•

•

543

544

545

546 2

PotenzeCalcola le potenze di frazioni.

547

548

549

Semplifica, poi calcola le potenze di frazioni.

550

551

552

553

Calcola le potenze di frazioni.

554

555 127

;1

64;

36136

3 16

2

+⎛⎝

⎞⎠

14

18

2

−⎛⎝

⎞⎠ 1

3

− 23

⎛⎝

⎞⎠

18

;16916

;729

100012

3

+ 25

⎛⎝

⎞⎠ 3 1

4

2

+⎛⎝

⎞⎠ 1

3

− 12

⎛⎝

⎞⎠

15100

2⎛⎝

⎞⎠

81162

5⎛⎝

⎞⎠

120144

3⎛⎝

⎞⎠

72126

3⎛⎝

⎞⎠

120135

2⎛⎝

⎞⎠

990

5⎛⎝

⎞⎠

2842

6⎛⎝

⎞⎠

1830

4⎛⎝

⎞⎠

1020

6⎛⎝

⎞⎠

1421

4⎛⎝

⎞⎠

155

3⎛⎝

⎞⎠

918

5⎛⎝

⎞⎠

412

4⎛⎝

⎞⎠

1015

3⎛⎝

⎞⎠

68

2⎛⎝

⎞⎠

46

3⎛⎝

⎞⎠

12

2⎛⎝

⎞⎠

49

2⎛⎝

⎞⎠

56

2⎛⎝

⎞⎠

35

0⎛⎝

⎞⎠

32

5⎛⎝

⎞⎠

27

3⎛⎝

⎞⎠

15

4⎛⎝

⎞⎠

110

3⎛⎝

⎞⎠

23

4⎛⎝

⎞⎠

67

2⎛⎝

⎞⎠

52

3⎛⎝

⎞⎠

34

2⎛⎝

⎞⎠

1 34

3 32

12

14

14

3

138

18

2

17

312

12

3−⎛

⎝⎞⎠ +

++

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥ −

: :: :

: ::

167300

45

1 34

3

58

34

14

3

112

3 15

2

131+

++

−+: : :

:

4348

512

13

2

56

13

4

51130

18

112

2

4

++

++

−::

:

54

215

14

110

56

15

13

312

14

25

12

43

14

92

18

43

× − +

× ++

+ + × −

× × − ×

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟



510

⎛⎝

⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠ =

6 612

164

esercizio svolto

1

2

•

••

••

••


556

557

Semplifica le espressioni, sfruttando le proprietà delle potenze e calcolane il valore.

558

559

560

561

562


563

564

565

566

567

568

569 1095 3

423

16

1 13

52

+ + −⎛⎝

⎞⎠ × −⎛

⎝⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

:

41100

78

3516

157

307

2 2

: :⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠

169163 1

44 3

4

4 2

+⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠:

14

35

12

2 15

2 2

+⎛⎝

⎞⎠ +⎛

⎝⎞⎠:

83

23

56

34

2

+⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠:

56

25

110

13

35

340

25

358

3 2 2

+ +⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠ − + ⎛

⎝⎞⎠ ×

1116

;14

13

58

415

2

+ ×⎛⎝

⎞⎠ 1 1

212

12

2 3 4

− + − +12

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

52

410

6 4 3 8

⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

× ⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

1514

1528

4 2 2 2 2

⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪:

16

16

18 5 3

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

:113

113

2 3 4⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛⎝

⎞⎠:

1 14

1 14

7 4

+⎛⎝

⎞⎠ +⎛

⎝⎞⎠:1 7

91 7

9

8 5

−⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠:

94

32

2 4⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠:5

121521

2 2⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠:9

2053

3 3⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

13

13

2 3⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

54

815

4 4⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

710

75

6 6⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠:

512125

;1024625

15

225

12

+ +⎛⎝

⎞⎠ 1 1

2

3

+ + 110

⎛⎝

⎞⎠

18

;14

;2516

1336

2

+89

⎛⎝

⎞⎠

311

522

2

+⎛⎝

⎞⎠

29

3

+ 518

⎛⎝

⎞⎠


75

1415

75

1415

75

1514

32

94

2 2 2 2 2⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ ×⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠: = : = = =

23

23

23

23

7 5 7 5 2⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

−

: = = = 49

esercizio svolto

1

1 3

2

•

570 16

571

572

573

574

575 270

576

577

578

579

580 16

581 0

582

583

584

585

586 760

35

13

52

14

12

32

67

12

35

15

22 3 2 1 2

− × − + × − + +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟: :

1730

15

53

12

11

1054

:32

12

45

52

712

1 :1924

2 2 2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟× + + − × + × × − +

13

12

:34

12

:34

13

32

15

152

13

12

114

:38

12

43

12

3 2 2 2 3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥+ + × + × × × − − − × ×

12

112

34

13

112

12

:34

18

:38

12

12

12

2 2 02

− − × + − + + − − +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

6916

112

43

112

:38

32

214

78

12

2 3 2 2 2 2

− × + − × − − + +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

65

3 19

1315

34

92

16

3

− × +⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ −⎛⎝

⎞⎠:

23

34

56

12

34

7 19

2

+ +⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

× +⎛⎝

⎞⎠:

14960

65

3 14

12

12

14

3 13

12

3 16

12

2 2

: : :− + − ×⎛⎝

⎞⎠ × −⎛

⎝⎞⎠ + × ⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

1825

3 310

211

2 25

37

1 13

2 2

+⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠ × +⎛

⎝⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠: :

1724

2 34

15

558

34

1 13

3 94

2

− +⎛⎝

⎞⎠ × + × +⎛

⎝⎞⎠ − −⎛

⎝⎞⎠

4324

15 15 154

18

18

32

9 93

− + − ⎛⎝

⎞⎠ × −: :

8 367

27 7 43

2 12

4

−⎛⎝

⎞⎠ × − −⎛

⎝⎞⎠ × −⎛

⎝⎞⎠

4925

2215

277

3 15

12

135

143

2 95

2

: :− × − −⎛⎝

⎞⎠ − −⎛

⎝⎞⎠

1174

4 12

1 29

52

3 75

32

2

−⎛⎝

⎞⎠ +⎛

⎝⎞⎠ × × +⎛

⎝⎞⎠ − ⎛

⎝⎞⎠:

125

34

110

439

1312

34

13

43

2 2

−⎛⎝

⎞⎠ × + −⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ +:

154

2 14

34

3 12

5 5 92

2

+⎛⎝

⎞⎠ + − ×⎛

⎝⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠:

3 12

47

2 15

35

2 2 2

+⎛⎝

⎞⎠ × + −⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠:



•

•

•

•

•


587

588 −

589

590

591 2

592

Esercizi di riepilogo sulle espressioni con frazioniCalcola il valore delle espressioni.

593

594

595

596 1

597

598

599

600 92 45

1 16

34

1 13

12

25

25

12

+ : + + − : + : −⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

29

23

35

35

34

23

14

16

269

− : + : − + −⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

85

67

47

821

1 37

1521

111

332

43

130

× ⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ ×⎛

⎝⎞⎠2 + : − + : + − +

1140

573

5 18

215

49

13

229

× ⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

35

+ − − + − :

25

− + : + + + : −435

1 521

56

67

45

625

3⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

13

35

+ − : − + − :12

415

3518

14

27

13

178

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

1924

38

74

: − + + − : −1 2 14

1 13

1720

35

⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

1645

56

154

135

3910

49

56

: + : :−

2912

23

16

23

56

12

52

12

23

32

52

25

:52

2 3 2 2 2

− × + − × − × + − × −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

12

52

52

13

19

14

37

156

32

113

23

932

3 2 2 2 2 2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥− + − × − − × − + − ×:

112

113

52

910

112

43

34

2 2 0

+ − × × − + × −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎤

⎦

⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

252

12

14

18

212

× + − +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢ :

1912

34

12

13

15

152

43

34

112

13

35

112

14

252

2 2 2

− + − × − × − − + ×⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟×

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

:

5362

12

49

712

14

43

:134

112

2 2

− × + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

× − −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪1

16

712

:74

+ −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

715

27

12

2111

13

92

35

14

97

23

25

110

310

110

2 2 2

+ × − × − − × × ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− − ×⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥:


•

•

••

••

••

••

6

601 7

602

603

604

605 5

606

607

608

609 ��23

� + �14

� : �23

�� : �54

� + ��34

� : �25

� + �34

�� : �72

� − �1 + �12

�� × �2 − �32

� − �15

�� : �125� �

1172�

610

611 ��79

� + �23

� − �193�� × ��

54

� : �130� + �

16

�� + �35

� − �110�� : ��

35

� − �110�� + �

45

� �95

�

612

613 2

614

615

616 073

1 124

116

59

25 815

16 15

34 312

5− + : : − : + : +×⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

×⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

23

53

1 14

32

35

34

12

14

94

12

11 235

: + + : : − : + + : :⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

32

92

2 14

2 12

32

2 34

12

: + + + − : − :⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

27

1 15

27

23

5 221

114

: + − + : − :⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

13

43

35

56

56

1 12

72

53

113

3× × × ⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

− + − − : :

34

3 14

23

1 56

32

12

3 15

34

10 237

337

148

+ : − + + : − − : + −⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

× ⎛⎝

⎞⎠

65

2 2 106

915

4535

1 1016

615

97

27

− − + + +⎛⎝

⎞⎠ ×⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

× × ×⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

95

910

115

185

6772

58

1 522

14

35

310

− : − + : +⎛⎝

⎞⎠ ×⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

× ⎛⎝

⎞⎠

625

1635

34

12

34

345

23

1 12

12

14

× ⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ : + : + : +:

35

13

94

52

207

16

14

19

15

− + : − : − +⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝

⎞⎠

1312

34

12

12

13

16

49

1 8 111

3+ : + − : − : − :⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1913

32

313

235

320

70377

45

5215

− + + − :⎛⎝

⎞⎠ ×⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

115

25

14

910

19

23

25

25

16

− : − : − : +⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

13

14

13

56

35

13

75

16

+ : + + + : :⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥




617

618 ��35

� + 2 − �13

�� : ��23

��3

− ��54

� − 1� : �1 − �34

�� × �1451� − �

12

� 1

619 ��12

� − �13

� : �4303��2

× ��130��3

+ ��13

� + �425�� × �

14356

�� × �38

� �34

�

620 1

621

622

623 1

624 56

625

626

627

628 2

629

630

63116

32

159

56

72

1 43

1 45

135

12

2

+ −⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠ +⎛

⎝⎞⎠ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−: : :

415

1 67

2 314

121

16

35

75

1 57

2

+⎛⎝

⎞⎠ × + −⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ −⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

: : :

1013

2 13

35

5 12

12 34

53

23

14

2 2 2

2

2

−⎛⎝

⎞⎠ ×

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ ⎛⎝

⎞⎠ ×

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

× ⎛⎝

⎞⎠ − + ⎛

⎝⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪: :

512

109

49

32

16

35

23

49

2 2 3

+ × +⎛⎝

⎞⎠ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− ⎛⎝

⎞⎠

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪: :

716

2 34

3 34

34

1710

32

1 15

2 2

−⎛⎝

⎞⎠ − × × − − × −⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

136

34

12

35

32

32

3 2

3

2

+⎛⎝

⎞⎠ ×

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛⎝

⎞⎠ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪:

13

23

1 12

45

7 23

5149

12

2

− − : : : : −⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝

⎞⎠

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⎛⎝

⎞⎠

2 23

3 1 12

33

22

+ ⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

× − +⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

1 12

32

83

53

2 12

3 4 72

13

13

32 2 3

−⎛⎝

⎞⎠ × −⎛

⎝⎞⎠ × −⎛

⎝⎞⎠ + × −⎛

⎝⎞⎠ − ⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

: : :

136

3 119

43

13

25

14

13

1 15

3 32

−⎛⎝

⎞⎠ +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

+ −⎛⎝

⎞⎠ × − −⎛

⎝⎞⎠ ×: :

5863

1 23

2 17

34

27

143

1 53

3 37

2 53

35

3

+⎛⎝

⎞⎠ +⎛

⎝⎞⎠ + × × −⎛

⎝⎞⎠ × + × −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

: : :

32

23

32

2 12

225

1 35

13

25

2 2 2

−⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ +⎛

⎝⎞⎠ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ ⎛⎝

⎞⎠ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

: : :

321500

65

13

35

74

43

15

3

× + × −⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− ⎛⎝

⎞⎠


632

633 1

634

635

636

637

638 �145�

639

640 1

641

642

643 ��32

� + ��14

� + �150�� × ��

26

� − �19

�� + ��310��0� − �

27

� − �22

2

3� = �3214�

644 ��12

��3

: ��12

��2�2

× ��130��2

: �190��2

− ��38

��3

× �38

� : ��38

��5 = 24

541 1

323

1 13

12 2

−⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− + ⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−: : : 113

2⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

13

43

16

52

23

32

12

32

23

2 2 2 2 2⎛⎝

⎞⎠ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− × ⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

: : : + :

173

23

75

45

1112

3315

143

29

16

2 2527

1 1225

132

+ + × − × −⎛⎝

⎞⎠ −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−⎛⎝

⎞⎠ ×: + :

1 12

1 13

32

2 12

715

356

1 35

13

1 35

2 2 2

+⎛⎝

⎞⎠ − −⎛

⎝⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ +⎛

⎝⎞⎠ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ ⎛⎝

⎞⎠ − −⎛

⎝⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

: : : :

3712

34

13

2 23

49

32

16

35

23

56

58

2 2

−⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ × +⎛

⎝⎞⎠ −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

− ⎛⎝

⎞⎠

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪−⎛

⎝⎞⎠: :

13

12

43

2 3 2

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ +

⎤

⎦⎥⎥

:23

23

3 210

45

25

14

16

110

3 2 2 2⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ − × ⎛

⎝⎞⎠ + ×⎛

⎝⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ −⎛⎝

⎡

⎣⎢⎢

+ : :

121 2 4 1 9

212

23

3 12

14

14

19

12

23

− − + + +⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+⎛⎝

⎞⎠ −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

: : : : :

15736

11

9

3

4

2

6

4

3

2

3

17

812

5

3

2

3

4

2

3 32

2 2

− − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟: : :

16

1 34

25

45

259

53

53

13

2960

2 2 2

+⎛⎝

⎞⎠ × − − −⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+⎛

⎝⎞⎠: :

32

278

143

34

52

1 74

12

23

2512

415

3040

15

13

32

2 2

+ −⎛⎝

⎞⎠ × + × −⎛

⎝⎞⎠ + × −⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛⎝

⎞⎠: + : :

169

125

32

54

1 32

15

53

116

310

3045

15

12

43

3 2

+ −⎛⎝

⎞⎠ × + × −⎛

⎝⎞⎠ + × −⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛⎝

⎞⎠: + : :

29

75

910

530

149

1 23

1 23

145

13

3

− +⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠ × +⎛

⎝⎞⎠ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−: :



•

•

•

•

•

•

••

•

•


645 ��13

� + �23

��3

− ��15

� × �16

�� : ��1300� × �

121�� + ��

25

� − �131� − �

515��2

× �1112� − ��

262� : 2� : �

12

� = �191�

646 ��12

� + �85

� − �34

�� × �190�� : ��

142� + �

195� + �

485�� × �

35

�� − ��12

� + ��38

� − �16

�� × �125�� = �

3118�

647 ��43

� + ��23

� × �79

� : ��76

� × �79

��2

: ��27

��5

× ��27

��0

: ��27

��3� − ��42

��2

− ��56

� × �37

2

�� : �161� = �

17

�

648 ��53

��2

− ��12

� + �112� : �

12

� × �52

2

�� + 102 × ��45

��2

: �23

6

� : ��3156� + ��

23

2��2

× �12

�� = 2

649

650

651

652

653

65467

65

910

13

12

512

152

1 43

97

32

17

14

1 13

3512

72

115

2524

740

114

4915

114

2

+ − : + + +

+ − + : : + − +

×⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ × ×⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ × ×⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

34

2 13

14

5 12

10137

54

2 78

12

2 18

2 2

2

+ − −

− − + : −

⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

×

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝

⎞⎠

94

320

15

821

34

12

54

34

325

150

53

910

34

115

+ + − :

− : + +

⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

×

⎛⎝

⎞⎠ ×⎛

⎝⎞⎠

263

45

− : − + −

− + : −

23

43

25

35

47

32

13

2 47

3 23

2

2

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

72

34

+ : + +

+ +

45

2 1225

14

23

12

34

323

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ ×

329

49

43

1 12

1 12

2 2

: : :⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− + ⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− ⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

14

12

14

53

32

23

34

43

34

2 2 2 2 2

: : : + :⎛⎝

⎞⎠ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− × ⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ × ⎛

⎝⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥


•

•

••

••

••

•

•

•

655

656

657

658 6

659

660

661�274�

662524

54

65

103

12

54

89

113

32

52

:254

147

49

:23

512

2

− × + × × − − ×

+ × +× +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

125

12

13

12

14

:38

: 7116

83

15

110

157

143

23

12

92

15

12

112

2 2

2

−× −+ ×+

− × × + − × × − +

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎬⎪

⎭⎪

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟× +1

23

193

214

18

116

813

113

19

:134

212

415

3 112

2

+ + + × − + +

+ × − × −

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

1411

114

83

12

375

:165

120

114

15

1722

232

:54

145

2

2

− × + × − +

− − × + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

12

32 3

22 2

223

112

+ ++

−×

−×××

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟32

34

516

314

13

14

883

45

310

12

:45

15

103

114

83

12

52

14

2

+ − − ×

− × − × ×

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

12

112

13

649

14

12

32

115

110

53

214

881

43

15

13

103

73

2

2 2

2 2

+ − × + × − − × −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

×

+ × × − × × − −

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

43

112

34

87

711

:322

27

37

149

14

18

43

15

:113

12

49

32

14

11130

+ − × × − + ×

− × + + × × −×

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟



••

••

•

•

•

•

••

••


663

664 0

Problemi con le frazioniProblema diretto: dato un numero, o una grandezza, calcolarne una frazione

666 Aggiungi alla somma di �115� e �

25

�, �13

� e poi togli �35

�. �15

�

667 Togli a un intero �12

�. Quanto ti resta? �12

�

668 Se a un intero aggiungi �13

�, quanto ottieni? �43

�

669 Marisa regala �14

� delle sue figurine a Luigi e �23

� a Marco. Quante figurine le restano? �112�

670 Mi regalano una torta. Il primo giorno ne mangio �14

�, il secondo giorno �15

� e il terzo gior-

no �130�. Quale frazione di torta mi resta il quarto giorno?

�14

�

671 Vado in cartoleria con una certa somma di denaro. Se spendo �12

� della cifra iniziale per un

quaderno, �13

� per la biro e �19

� per la gomma, quale frazione di denaro mi rimane? �118�

672 Mario ha raccolto le ciliege. Ne vende �470� a un vicino, �

14

� al mercato, �15

� al negoziante del

paese e, infine, ne regala �38

� agli amici. Quante ciliege può mangiare? nessuna

673 Antonio, Biagio e Carlo si dividono una somma di denaro che hanno vinto alla lotteria.

Antonio riceve i �25

�, Biagio i �37

� e Carlo il rimanente. Quanto spetta a Carlo? �365�

674 Il Signor Rossi spende ogni mese �110� dello stipendio per pagare le bollette, �

14

� per l’affit-

to, �14

� per il vitto e i �25

� per pagare le rate dell’automobile. Quanto riesce a risparmiare men-

silmente? nulla

3212

14

312

45

12

32

32

2

+

++

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

512

45

14

158

32

12

49

12

113

45

12

52

14

23

25

110

56

× + × − − × + − −

− × − × − − ×

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟


7

••

•• •• 665 252

234

12

18

123

12

53

14

32

−×

+ ×

×

×

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ 115

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

213

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

:

675 Ho 3 giorni per preparare l’interrogazione di storia. Il primo giorno studio i �27

� delle pagi-

ne assegnate e il secondo la metà delle pagine rimanenti. Quanto devo studiare il terzogiorno per completare le pagine previste?

�154�

676 Un gruppo di amici va al mare. Metà decide di fare una gita in barca, �13

� prende il sole e �16

�

si tuffa per una nuotata. Gli altri leggono un libro. Quante sono le persone che leggono?nessuna

677 Ho acquistato un’enciclopedia a rate. La prima rata corrisponde a �12

� del costo intero, la

seconda a �13

� del costo intero. Il resto devo pagarlo come terza rata. A quale frazione del

totale ammonta la terza rata? �16

�

678 Ho deciso di sostituire il pavimento del mio appartamento. Questa settimana ne ho rifat-

to �152�, la prossima settimana ne rifarò �

38

� e quella successiva �19

�. Quanto dovrò rifarne la

quarta settimana per completare il lavoro? �772�

679 Piero possiede € 7,83. Ne spende i �23

� per comprare un regalo alla mamma. Quanto ècostato il regalo? € 5,22

680 Un furgoncino trasporta un carico di 360 bicchieri. Durante il tragitto si rompe �19

� dei bic-chieri. Quanti bicchieri si sono rotti? Quanti bicchieri restano? 40; 320

681 Marco ha una collezione di 76 conchiglie. I �1139� le ha acquistate in negozio. Quante sono

le conchiglie acquistate? E quante quelle che ha raccolto personalmente? 52; 24

682 Un automobilista deve compiere un viaggio della lunghezza di 305 km. Ha già percorso i

�35

� dell’intero tragitto. Quanta strada gli resta da percorrere? 122 km

683 Anna possiede € 13. Spende i �25

� della somma per acquistare un astuccio e �13

� di quanto le

rimane per comprare un pupazzo. Quanto ha pagato ogni oggetto? Con quanti solditorna a casa? € 5,2 e € 2,6; € 5,2

684 Di una pezza di stoffa lunga 28 m vengono venduti prima i �37

� poi i �58

� della rimanenza.

Quanti metri di stoffa sono stati venduti in tutto? Quanti ne sono rimasti? 22 m; 6 m

685 Il signor Rossi paga € 1705 di spese condominiali l’anno. Quanto pagano il signor Verdi

e il signor Bianchi, se l’importo delle loro spese è rispettivamente i �131� e i �

56

� dell’importodel signor Rossi?

€ 465; € 1420,83



Mi è stata regalata una torta. Ne ho mangiato un terzo della metà. Quanta torta miresta?

1 − �13

� × �12

� = 1 − �16

� = �56

�

esercizio svolto

Teoria da pag. 350


411

686 Le calorie che un italiano ha a disposizione al giorno sono circa 3500. In Etiopia e in

Somalia la disponibilità calorica è rispettivamente �12

� e �35

� di quella italiana. Quante calorieha a disposizione un etiope? E un somalo? 1750; 2100

687 Una botte contiene 228 litri di vino, �23

� dei quali vanno venduti a 78 cent il litro. Quanti

euro si ricaveranno dalla vendita di questo vino? € 118,56

688 Un murales lungo 4,80 m è stato dipinto per �25

� di bianco, �13

� di rosso e il rimanente diazzurro.Quanto è lunga la parte dipinta di azzurro? 1,28 m

689 In un’indagine fatta su 75 alunni di tre classi di una scuola, è risultato che i �23

� degli alun-

ni non possiedono animali in casa, �15

� possiede un cane e i rimanenti alunni hanno che un

gatto? Quanti sono gli alunni che hanno rispettivamente un cane e un gatto? 50; 15; 10

690 Un telaio tesse in un giorno �14

� di una pezza di stoffa che deve essere lunga 84 m; il secon-

do giorno ne tesse i �27

�. Quanti metri di stoffa devono ancora essere tessuti per completa-re la pezza? 39 m

691 Un muratore ha chiesto due acconti per un lavoro: prima i �25

�, poi i �37

� del totale che è statostabilito in € 1085. Quale somma riceve in acconto? € 899

692 Nel 1986 in Italia i casi di malattie infettive tipiche dell’infanzia sono stati circa 80 000 tra i

bimbi tra i 5 e i 9 anni. Di tutti questi casi, i �235� erano di morbillo, i �

1430� di parotite, �

116� di

rosolia e altrettanti di scarlattina, i �270� di varicella. Calcola quanti sono stati i casi delle varie

malattie esaminate. 9600; 26 000; 5000; 5000; 28 000

693 Lo Stato italiano ha stanziato, per la difesa dell’ambiente, circa 3,2 miliardi di euro nel

1988 e i �372� in più nel 1989. Ma nel 1988 furono effettivamente spesi solo gli �1

510� e nel 1989

solo i �230� di quanto stanziato. Quanto si è veramente speso per l’ambiente nei due anni?

1,289 miliardi di euro

694 Al Gran Premio Chiusura di galoppo, all’Ippodromo di San Siro, erano in palio € 30987.

Delle altre 6 gare, 3 avevano premi ciascuna pari a �16

� del G. P. Chiusura e 3 pari a �14

� cia-

scuna. Quanti erano in tutto gli euro in palio? Arrotonda alle unità. € 69721

695 Secondo i risultati di un’inchiesta condotta dagli allievi stessi in una scuola, nel corso B siè verificata la seguente situazione:

– in prima, su 20 allievi, �35

� hanno almeno un gatto, �35

� almeno un cane, �14

� dei canarini, �14

�delle tartarughe;

– in seconda su 16 allievi, la metà ha almeno un cane, i �38

� dei pesci rossi, �18

� dei canarini,la metà almeno un gatto, un ragazzo ha una tartaruga;

– in terza, su 20 allievi, la metà ha almeno un gatto, �15

� ha dei canarini, �14

� le tartarughe, 7allievi hanno cani e 7 hanno pesci rossi.

Calcola quanti allievi hanno ciascun tipo di animale, in tutto il corso B?30 hanno gatti; 27 hanno cani; 11 hanno tartarughe; 13 hanno pesci rossi; 11 hanno canarini

•

•

••

696 Un produttore di vino mescola 2 hl di vino, pagato 42 cent il litro con un altro ettolitro

pagato 0,50 euro il litro. Se vuole guadagnare i �35

� del costo totale, a quanto deve rivende-re il vino al litro? 71 cent

Problema inverso: data la frazione di un numero, o di una grandezza, calcolare il numero, o la grandezza, interi

697 Daniele ha speso € 4,15, cioè i �58

� di quanto possedeva. Quale somma aveva inizialmente?€ 6,64

698 Compero una lavatrice e il negoziante mi fa uno sconto di € 42,35, che corrisponde a �110�

del prezzo di listino. Qual era il costo di listino della lavatrice? € 423,50

699 Al momento dell’acquisto di un televisore Mario lascia un acconto di € 77,46, che corri-

sponde ai �230� del suo costo. Qual è il prezzo del televisore? € 516,40

700 Di una pezza di stoffa vengono venduti i �191� e ne rimangono 7 metri. Quanto era lunga

l’intera pezza? 38,5 m

701 Paolo ha speso i �35

� del suo denaro e gli sono rimasti € 15,60. Qual era la somma iniziale?€ 39

702 Una persona acquista un terreno pagando i �37

� della cifra totale in contanti, cioè € 4440.Qual è il prezzo totale della proprietà? € 10 360

703 In una gita la famiglia Bianchi ha percorso 150 km che rappresentano i �25

� della strada

necessaria per giungere alla meta prestabilita. Quanto è lungo l’intero percorso? 375 km

704 In una comunità si sono consumati in un mese i �35

� della provvista di vino e sono rimasti 264

litri. Quanto si è speso per il vino in un mese, se era costato 90 centesimi il litro? € 356,40

705 Compro un mobile e pago in contanti i �38

� del prezzo. Un mese più tardi completo il paga-

mento dando € 534 euro. Quanto ho pagato in totale il mobile? € 854,40

706 Un libro di matematica dedica �25

� delle pagine alla teoria e le rimanenti 420 pagine agli

esercizi. Quante pagine ha il libro? 700

707 Compero un sacchetto di farina e con �13

� del contenuto confeziono torte, con un altro

terzo tagliatelle, con �14

� biscotti. Mi restano 2 etti e mezzo di farina. Quanta farina conte-

neva inizialmente il sacchetto? 3 kg

708 Della somma ricevuta dai genitori, Silvano spende �25

� al cinema, �130� in giornaletti, �

110� in dol-

ciumi e gli restano € 1,60. Quanto aveva ricevuto Silvano? € 8

709 Mattia, Lorenzo e Mirco comprano insieme un regalo per Andrea. Mattia paga i �524� del

prezzo, Lorenzo la metà del prezzo e Mirco contribuisce con i soli € 2,5 che possiede.Quanto costa il regalo? € 5,4



••


710 Giulia, Carlo e Andrea ricevono la paga settimanale dalla mamma in proporzione all’aiuto

che hanno dato nei lavori domestici. Giulia riceve i �53

� di Carlo e Carlo la metà di Andrea.

Se la mamma dà a Giulia € 13, quanto darà a ciascuno dei due fratelli? € 7,8; € 15,6

711 Per festeggiare il mio compleanno ho distribuito cioccolatini ai miei tre migliori amici: ad

Anna e Mario ne ho dati �27

� ciascuno, a Silvio la metà di quanti ne hanno avuti Anna e Mario.

A me ne sono rimasti 6. Quanti ne avevo in tutto? 21

712 Da un’indagine tra i compagni di classe, Ornella ha trovato che �13

� (lei compresa) fa il tifo

per la Juventus, i �29

� per il Milan e altrettanti per il Napoli, mentre i rimanenti 4 non si inte-

ressano di calcio. Quanti sono gli allievi della classe di Ornella? 18

713 Ogni abitante delle Filippine produce in media ogni giorno 0,51 kg di rifiuti domestici e

questo numero rappresenta i �34

� di quanti ne produce ogni giorno in media un italiano,

che a sua volta ne produce la metà di un giapponese. Quanti rifiuti produce in media unitaliano? E un giapponese? La produzione di un filippino che frazione rappresenta diquella di un giapponese?

0,68 kg; 1,36 kg; �38

�

714 Giorgio, Andrea e Fabio stanno discutendo sulla loro squadra di calcio preferita: Giorgiosostiene che nel campionato di calcio appena concluso i 24 goal subiti dalla squadra stes-

sa costituiscono i �23

� del numero di goal fatti, Andrea che sono i �34

� e Fabio che sono i �46

�.

Poiché uno solo dei tre amici ha ragione, quanti goal ha segnato la squadra? 32

Trovare due numeri conoscendo la loro somma e sapendo che uno di essi è una frazione dell’altro

715 Due segmenti misurano complessivamente 15 cm e il primo è i �23

� del secondo. Quanto èlungo ogni segmento? 6 cm; 9 cm

716 Anna e Lucia possiedono in tutto € 45,63. Anna possiede i �27

� della somma di Lucia. Quantisoldi ha ciascuna delle due? € 10,14; € 35,49

717 Un negoziante acquista 72 m di stoffa in due pezze. Se una pezza è lunga i �35

� dell’altra, quan-to misura ciascuna pezza? 27 m; 45 m

718 Un’eredità di € 1672 viene divisa tra due cugini in modo che uno abbia i �38

� di quanto rice-ve l’altro. Quanto riceve ciascuno di essi? € 1216; € 456


La somma di due numeri è 80 e uno è i �97

� dell’altro. Calcola i due numeri.

Posso indicare con a il primo numero e con b il secondo.a = 80 : (7 + 9) × 7 = 80 : 16 × 7 = 35b = 80 − 35 = 45 oppure b = 80 : (7 + 9) × 9 = 80 : 16 × 9 = 45

esercizio svolto

•

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719 La somma di tre segmenti è 42 cm. Il secondo e il terzo sono rispettivamente �13

� e �23

� delprimo. Quanto misura ogni segmento?

21 cm; 7 cm; 14 cm

720 Si dividono € 4340 fra due persone in modo tale che la parte della seconda sia uguale a

�34

� della prima. Che cifra prendono rispettivamente le due persone? € 1860; € 2480

721 Un’asta di legno lunga 4,2 m viene divisa in due parti tali che una è i �131� dell’altra. Quanto

è lunga ciascuna delle parti ottenute? 0,9 m; 3,3 m

722 Due soci depositano in banca € 13 488. Se il primo versa �27

� più del secondo, quale cifradeposita ciascun socio? € 7587; € 5901

723 Sara spiega alla maestra: “Mia sorella è la più giovane della famiglia, perché ha i �45

� della mia

età e insieme abbiamo tanti anni quanti mio fratello, che è appena diventato maggioren-ne”. Che età hanno i tre ragazzi? 8; 10; 18

724 Un terreno agricolo di 2 ettari e mezzo è stato seminato con grano e mais, in modoche il

grano sia i �23

� del mais. Supponendo che da 5000 m2 di terreno si ricavino 15 quintali di

grano o 20 quintali di mais, a seconda della coltivazione, quale sarà la produzione totaledi questo terreno? 40 q di mais; 45 q di grano

Trovare due numeri conoscendo la loro differenza e sapendo che uno di essi è una frazione dell’altro

725 La differenza di due numeri è 56 ed uno è i �35

� dell’altro. Trova i due numeri. 140; 84

726 La differenza di età fra un padre e un figlio è di 36 anni. Se l’età del figlio è �25

� di quelladel padre, qual è l’età di ciascuno?

24 anni; 60 anni

727 I dipendenti di una ditta vengono invitati a una conferenza in due gruppi separati. Il primo

gruppo è composto da �26

� del secondo; la differenza fra i due gruppi è di 120 persone. Qual

è il numero dei partecipanti in totale? 240

728 L’età di Carlo è i �56

� dell’età di Antonio. La differenza delle due età è 3 anni. Qual è l’età

di Carlo e di Antonio? 15 anni; 18 anni

729 Un negoziante acquista un certo numero di maglie e camicie. Si sa che le maglie sono i �58

�

delle camicie e che il numero di camicie supera di 6 unità quello delle maglie. Quanti capidi ciascun tipo sono stati acquistati dal negoziante? 10 maglie; 16 camicie



La differenza tra due numeri è 15 e uno è gli �85

� dell’altro. Calcola i due numeri.

Posso indicare con a il primo numero e con b il secondo.a = 15 : (8 − 5) × 8 = 15 : 3 × 8 = 40b = 40 − 15 = 25 oppure b = 15 : (8 − 5) × 5 = 15 : 3 × 5 = 25

esercizio svolto

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Teoria da pag. 350


415

730 Paola e Giovanni collezionano francobolli. I francobolli di Giovanni sono i �1135� di quelli di

Paola che ne possiede 20 in più di Giovanni. Qual è il numero di francobolli di ciascunacollezione? 150; 130

731 Il giardino di Antonella è i �35

� di quello di Elena. Se Elena ha 120 m2 di giardino più di

Antonella, quanti metri quadrati misurano i due giardini? 180 m2; 300 m2

732 In una partita di pallacanestro la squadra del corso B è stata sconfitta, avendo realizzato un

punteggio pari ai �58

� del punteggio del corso A. Poiché la differenza è stata di 18 punti, qual

è il punteggio della partita? 48 a 30

733 Il segmento CD supera il segmento AB di 9 cm e AB è �47

� di CD . Calcola la lunghezza dei duesegmenti. ––

AB = 12 cm;––C D = 21 cm

734 Di due aste di ferro si sa che la lunghezza di una è �49

� della lunghezza dell’altra e che la dif-

ferenza delle loro lunghezze è 12 dm. Quanto misura ogni asta? 9,6 dm; 21,6 dm

Problemi di riepilogoIndividua la strategia risolutiva, poi risolvi i problemi.

735 Se su uno stipendio lordo di € 1734 mi trattengono �13

� per le tasse, quanto mi verrà real-mente corrisposto? € 1156

736 Il serbatoio della mia auto ha la capacità di 48 litri. Se è pieno per �34

�, quanti litri di ben-zina contiene in questo momento? 36 litri

737 Il signor B paga € 1224 di spese condominiali, di cui i �58

� sono per il riscaldamento, �16

�

per l’acqua calda, �18

� per l’ascensore. A quanto ammontano le tre principali spese?€ 765; € 204 e € 153

738 Il signor A paga € 75 per le spese condominiali riguardanti l’ascensore e la sua quota è la

metà di quella del signor B, che abita al secondo piano, �13

� di quella del Signor C del terzo

piano, �14

� di quella del signor D del quarto piano. Quanto pagano i signori B, C, D?€ 150; € 225 e € 300

739 La Juventus, dopo 9 giornate di campionato, ha pareggiato �13

� delle partite giocate e ne ha

perse �13

� di quante ne ha pareggiate. Quante ne ha vinte? 5

740 Antonello Riva, il giocatore di pallacanestro che ha segnato il maggior numero di puntinel campionato italiano, ha anche il record di segnature in Nazionale in una sola partita,con 46 punti. A un punto in meno c’è Adelino Cappelletti. Un altro celebre Riva, Gigi,

ha segnato un numero di goal in Nazionale pari ai �79

� dei punti di Cappelletti. Quanti goalha segnato Gigi Riva? 35

741 Con la carta verde si ottiene uno sconto di �15

� sul prezzo del biglietto ferroviario. Se con la

carta verde risparmio 60 cent per un viaggio dalla mia città a Bologna, quanto costa ilbiglietto normale? € 3

742 Nel mio giardino, il terreno delle aiuole rappresenta �13

� della parte tenuta a prato. Se le

aiuole occupano 20 m2, quanti metri quadrati è il giardino in tutto? 80 m2

743 Il serbatoio della mia auto, con capacità di 48 litri, è pieno di benzina per �23

�. Se percorro15 km con un litro, per quanti kilometri riuscirò ancora a viaggiare? 480 km

744 In una scuola media gli alunni sono 368, le ragazze sono �97

� dei ragazzi. Quante sono leragazze e quanti i ragazzi? 207; 161

745 In un parcheggio ci sono automobili bianche e blu. Se le prime sono �171� delle seconde e

se la differenza fra le prime e le seconde è di 36 automobili, quante sono le auto bianche?Quante le blu? 99; 63

746 Lo zio ha riempito 132 bottiglie tra vino rosso e vino bianco. Se le bottiglie di bianco sono

�38

� del rosso, quante sono le bottiglie di ciascuno dei due vini? 36 b; 96 r

747 La mamma compera un macinacaffè e un frullatore che costa € 13 più del macinacaffè.

Se per il frullatore spende �75

� di quanto spende per il macinacaffè, quanto costa ciascunodei due elettrodomestici? € 45,5; € 32,5

748 In un sacco che contiene 24 kg di cereali sono stati mescolati frumento e segale. Se la

segale è �13

� del frumento, quanti kilogrammi di frumento e quanti di segale ci sono nelsacco? 18 kg; 6 kg

749 La differenza fra le lunghezze di due strade è di 52 km. Se la prima strada è �2152� della

seconda, quanto è lunga ciascuna delle due strade?100 km; 48 km

750 Un automobilista percorre 560 km in due tappe; nella prima ne percorre �47

�. Quanti kilo-metri percorre nella seconda? 240 km

751 Un terreno ha il perimetro di 162 m; ne vengono recintati �59

�. Quanto costa la recinzionese ogni metro costa € 27,80? € 2502

752 Gianni riceve dalla mamma € 10; ne spende �35

� per comperare i quaderni e �38

� per le mati-te colorate. Quanto riceve di resto? € 0,25

753 I �352� della stoffa che la nonna ha comperato corrispondono a 0,45 m. Qual è la lunghezza

complessiva di quella stoffa? Quanto ha speso la nonna se la stoffa costava € 2,5 al metro?2,88 m; € 7,20

754 Ho acquistato un fustone che contiene 48 litri di olio; ne ho consumato i �38

�, quanti litridi olio sono rimasti nel fustone? 30 litri

755 Un terreno misura 1540 m2; la parte coltivata a legumi è �173� di quella coltivata a prato.

Quanto misura ciascuna delle due parti? 539 m2; 1001 m2

756 Nel ristorante del signor Gino, in una settimana, sono stati consumati 12 kg di riso che

corrispondono ai �49

� del contenuto di un sacco. Quanti kilogrammi di riso erano contenutinel sacco? 27 kg



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757 Marco ha 45 figurine più di Andrea. Se le figurine di Marco sono i �1141� di quelle di Andrea,

quante figurine ha ciascuno dei due ragazzi? 210; 165

758 Nel 1991, con la Guerra del Golfo, per l’Italia si è purtroppo concluso un lungo perio-do di pace (o almeno di non partecipazione a guerre), che durava dal 1945. Il numerodi questi anni di pace quale frazione rappresenta rispetto agli anni dello Stato italiano?

È una frazione maggiore o minore di �13

�?(Considera il 1861 come data di inizio dello Statoitaliano).

�2635�; maggiore

759 I �2153� degli immigrati in Italia all’inizio degli anni Novanta erano di religione musulmana,

i �130� di religione cattolica. A quale percentuale corrispondono le due frazioni?

52%; 30%

760 Nel 1982 il fabbisogno totale di energia elettrica è stato per l’Italia di circa 180 miliardi dikWh. Il 25% di questo fabbisogno è stato coperto dalla produzione idroelettrica. A che

frazione corrisponde? A quanti kWh? La produzione geotermica ha coperto invece i �2300�

del fabbisogno. Quanti kWh?�14

�; 45 miliardi di kWh; 2,7 miliardi di kWh

761 Giuliano, per recarsi da casa sua all’Istituto Tecnico che frequenta, passa �13

� del tempoin autobus e percorre a piedi un tratto di strada impiegando 10 minuti.Quanto tempo impiega in tutto? 15 min

762 Due monete da 20 cent, 3 monete da 10 cent e 1 moneta da 2 cent costituiscono i �49

� di quan-to ho nel borsellino. A quale cifra ammontano i miei averi? € 1,62

763 Nel 1987 bruciarono in Italia 120 000 ettari di bosco, pari ai �65

� di quelli bruciati nel 1989,

ma pari solo ai �35

� degli ettari bruciati nel 1990 e di quelli bruciati nel 1988. Quanti ettari

sono bruciati dal 1987 al 1990? 620 000 ettari

764 Se Paperone dovesse distribuire i suoi averi, dandone a ciascuno dei tre nipotini Qui, Quo

e Qua �14

�, a Nonna Papera �15

�, a Ciccio �215� e il rimanente a Paperino, quale frazione dei suoi

fantastiliardi andrebbe a Paperino? �1100�

765 Il serbatoio dell’auto di Luigi ha la capacità di 54 litri. Quando c’è ancora benzina per �13

�,

Luigi fa il pieno. Quanto spende se il prezzo al litro è di € 1,09? € 39,24

766 Anna dice a Ilaria: “Sulla pagella del primo quadrimestre ho avuto un voto di matema-

tica che è solo i �23

� del tuo”. E Ilaria: “Fortunatamente abbiamo entrambe la sufficienza”.

Quali sono stati i voti delle due ragazze? 6; 9

767 Il mercato mondiale delle armi superava a metà degli anni Settanta i 70 miliardi di dolla-

ri. L’Italia era al sesto posto nella vendita, con i �4700� del fatturato mondiale. A metà degli

anni Ottanta l’Italia faceva il deprecabile progresso di salire al quinto posto nella vendita

delle armi, andando dai �4700� ai �

2950� del fatturato mondiale.


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a) A quanto ammontavano gli incassi italiani negli anni Settanta?

b) Esprimi in frazione l’aumento del fatturato a metà degli anni Ottanta.

c) Si può dire che la parte di vendita spettante all’Italia era più che raddoppiata a metà deglianni 80?

1 miliardo e 225 milioni di dollari; �230700�; sì

768 L’India immette nell’atmosfera ogni anno 150 milioni di tonnellate di biossido di carbonio

dovuto alle combustioni, cioè i �131� di quanto ne produce la Cina, che a sua volta ne immet-

te gli �1214� di quanto ne producono gli USA. Calcola l’immissione della Cina, degli USA e la

frazione che rappresenta la produzione dell’India rispetto a quella degli USA.

550 e 1200 milioni di t; �18

�

769 Le siccità continentali prolungate causano spesso perdite più gravi dei cataclismi violenti.

Nel 1970 un ciclone provocò in Brasile 240 000 morti. Eppure questo numero è solo �225�

del numero dei morti provocati dalla lunga siccità nel Bengala nel 1942-43 e appena i �21520

�

del numero di morti causati da un’altra disastrosa siccità, in Russia, nel 1921. Quante sonostate le vittime di queste due prolungate siccità? 3 milioni; 5 milioni

770 “Ho impiegato 4 ore per giungere fino a voi”, dice Marco ai suoi amici, “ma per �16

� del

tempo sono stato in coda al casello di entrata dell’autostrada e per i �136� sono rimasto

fermo per una interruzione della viabilità”. Per quanto tempo ha effettivamente viaggia-to Marco? 2 h 35 min

771 Emanuela descrive così la sua mattinata scolastica: «Ho passato �145� delle 5 ore di scuola a

chiacchierare, �310� a giocare nell’intervallo, �

270� in lavori di gruppo e il resto ad ascoltare

gli insegnanti che spiegavano o interrogavano». Per quanto tempo Emanuela ha ascolta-to gli insegnanti? 1 h 35 min

772 In un barattolo ci sono 495 palline blu e rosse. Le palline blu sono i �47

� di quelle rosse.Calcola quante palline di ogni colore ci sono nel barattolo. 180 blu; 315 rosse

773 In una scuola ci sono 840 ragazze in più rispetto ai ragazzi. Se i ragazzi sono i �47

� delleragazze, quanti sono i ragazzi e quante le ragazze?

1120; 1960

774 Elena e Mario hanno in totale 35 anni. Se Elena ha i �43

� dell’età di Mario, qual è l’età diMario? 15

775 In cantina ci sono 108 bottiglie. Se il vino bianco è �27

� di quello rosso, quante bottiglie divino rosso ci sono in cantina? 84

776 In una libreria i 72 libri in edizione economica sono i �45

� dei libri totali. Quanti sono i libriin edizione normale? 18



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777 La somma di due segmenti è 136 cm. Se uno di essi è �125� dell’altro, quanto misurano i due

segmenti? 16 cm; 120 cm

778 La differenza fra due segmenti è 36 cm e il primo è �171� del secondo. Quanto sono lunghi

i due segmenti? 99 cm; 63 cm

779 La differenza di due angoli è 5°. Se uno è �54

� dell’altro, quanto misurano i due angoli?25°; 20°

780 La differenza fra il numero di pagine di due libri è 106. Un libro ha i �1175� delle pagine del-

l’altro. Quante pagine hanno i due libri? 901; 795

781 La differenza tra le misure di due segmenti è di 28,5 cm. Se il primo è �49

� del secondo, qual èla lunghezza dei due segmenti? 22,8 cm; 51,3 cm

782 Due angoli sono complementari. Se uno è i �23

� dell’altro, qual è la loro ampiezza? 36°; 54°

783 Due angoli sono supplementari. Se uno è i �37

� dell’altro, qual è l’ampiezza di ciascuno?54°; 126°

784 La Slovenia e la Croazia, le due repubbliche jugoslave che dal 1991 sono indipenden-

ti, sono come territorio l’una i �154� dell’altra. La Croazia è a sua volta i �

171� della Serbia.

La superficie della Slovenia quale frazione rappresenta della superficie della Serbia?

�252�

785 Nel 1960 ogni italiano adulto fumava in media �11090

� di sigaretta ogni ora. Quante sigaret-

te in media all’anno? Nel 1987 la media per ogni ora era di �152030

� di sigaretta. Quale la

media giornaliera? Si fumava di più nel 1960 o nel 1987? 1664,4; 5,9; nel 1987

786 Nella molecola di nicotina gli atomi di azoto (N) sono �15

� di quelli di carbonio (C) e questi i

�57

� di quelli di idrogeno (H). Se gli atomi sono in tutto 26, qual è la formula della

nicotina? C10 H14 N2

787 Ho tre figli: il minore ha un’età che è i �67

� di quella del secondo e quella del secondo è

i �79

� dell’età del maggiore. Tra il più grande e il più piccolo ci sono 6 anni di differen-

za. Quanti anni hanno i miei tre figli? 12, 14 e 18 anni

788 Domenica mi hanno regalato dei cioccolatini: lunedì ne ho mangiati �16

�, martedì �13

� dei

rimanenti, mercoledì �14

� dei rimanenti, giovedì �13

� dei rimanenti, venerdì �12

� dei rimanen-

ti; oggi che è sabato, tanti quanti ieri. Quanti me ne sono rimasti? nessuno


•

•

•

•

•

•

•

789 “La tua auto”, dice Giulio ad Andrea, “può raggiungere una velocità massima che è i �54

� di

quella della mia”. “Su strada normale però”, ribatte Andrea, “con l’attuale limite dei

90 km/h, posso fare solo i �35

� della mia velocità massima”. Quali sono le massime velocità delle due auto? 120 km/h; 150 km/h

790 Un negoziante vende �13

� di una pezza di stoffa, poi i �34

� del rimanente e infine la metà

di quanto gli è ancora rimasto. Quale frazione dell’intera pezza rappresenta la parteinvenduta? �

112�

791 A causa dell’inflazione, un certo tipo di canottiera, che la mamma di Silvia era solita acqui-stare, ha subito un aumento di prezzo: con la stessa somma di denaro con cui prima del-l’aumento se ne comperavano 6 ora se ne comperano 5. Quale frazione del prezzo inizia-le rappresenta l’aumento?

�15

�

792 “Se avessi migliorato la tua prestazione di �112�”, dice Alberto a Giorgio, “mi avresti battuto

di 6 cm, e invece con il salto che hai fatto ti ho battuto io di 6 cm”.Quanto hanno saltato i due ragazzi? 144 cm; 150 cm

793 Da Genova a Savona l’Intercity delle 21 e 40 impiega i �172� del tempo impiegato dal locale

delle 21. Poiché al locale occorrono 25 minuti più che all’Intercity per compiere il viaggio,a che ora arrivano i due treni a Savona? Intercity: 22 15; Locale: 22 00

794 Per le borse di juta prodotte nel Bangladesh, i �590� del ricavo vengono assorbiti dalle spese

di trasporto e dogana, i �2510� costituiscono il margine per i rivenditori ed il rimanente è per i

produttori. Di questo, �210� è di spesa per la juta e il resto è il guadagno per i produttori. Se su

10 borse i produttori guadagnano € 7,60, quale sarà il prezzo di una borsa? € 2



Soluzioni degli esercizi di consolidamento

257 A : ; B: ; C : ; D:

258 A : ; B: ; C : ; D:

259 A : ; B: ; C : ; D:

260 A : ; B: ; C : ; D:78

23

512

14

56

712

38

14

1112

34

38

18

56

12

14

112

•

•

•

••

••

••

fai il tuo bilancio UA6

Fai il tuo bilancio 421

Che cos’è un’unità frazionaria?

ciascuna delle parti uguali nelle quali è stato diviso l’intero

la minore delle parti nelle quali è stato diviso l’intero

l’insieme delle parti nelle quali è stato diviso l’intero

la maggiore delle parti nelle quali è stato diviso l’intero

Quale delle seguenti frazioni ha valore 1?

Colora all’interno della forma data, un parallelogrammo che

sia i �1225�

del triangolo ABC.

Calcola.

�23

� di 18 cm ......................................... �35

� di trenta studenti .........................................

�24

� di 20 arance ......................................... �11050

� di trecento parole .........................................

Trasforma i seguenti numeri misti in frazioni improprie, sostituendo ai quadratini i giusti numeratori.

8 + �13

� = �3� 21 + �

23

� = �3� 2 + �

78

� = �8�

5

4

3

a0

d1a

ca1

baa

a

2

d

c

b

a

1

Fai il tuo bilancioEsercizi 1

1

2

1

3

1

4

4

5

3

6

3

7

1

8

1

9

1

10

8

11

3

12

3

13

2

14

6

15

2

16

1

17

1

18

1

19

2

20

1Quesiti n.

Quesiti esatti n.

TOTALE

46

Quesiti esatti: 1-14 15-25 26-32 33-39 40-46

Quale gradino della piramide hai conquistato? Colora.

A

CB


Scrivi ciascuna delle seguenti frazioni improprie come numero misto.

�945� = ...................... �

4140� = ...................... �

953� = ......................

Due frazioni sono equivalenti se e solo se:

hanno il numeratore e il denominatore uguali

hanno uguali i quozienti tra numeratore e denominatore

hanno uguali i prodotti tra numeratore e denominatore

hanno uguali le differenze tra numeratore e denominatore

La proprietà invariantiva delle frazioni afferma che:

scambiando tra loro numeratore e denominatore, il valore di una frazione non cambia

addizionando o sottraendo, quando possibile, uno stesso numero al numeratore e al denominato-re di una frazione, il suo valore non cambia

moltiplicando o dividendo, quando possibile, per uno stesso numero numeratore e denominatoredi una frazione, il suo valore non cambia

elevando a una stessa potenza il numeratore e il denominatore di una frazione, il suo valore noncambia

Per ridurre ai minimi termini una frazione riducibile:

si divide il numeratore per il denominatore

si divide il denominatore per il numeratore

si dividono numeratore e denominatore per il loro MCD

si dividono numeratore e denominatore per il loro mcm

Quali, tra le seguenti frazioni, sono riducibili? Riscrivile semplificandole.

�27

� = ................................... �1620� = ................................... �

153� = ................................... �

393� = ...................................

�142� = ................................... �

1510� = ......................................... �

382� = ................................... �

171� = ...................................

Per ciascuna delle seguenti frazioni scrivi 3 frazioni equivalenti.

�16

� = = =

�45

� = = =

�78

� = = =

Inserisci nel quadratino il segno (<, > o =) che rende vera l'espressione.

�37

� �57

� �23

� �182� �

192� �

1126�

12

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

11

10

d

c

b

a

9

d

c

b

a

8

d

c

b

a

7

6

Fai il tuo bilancio422

fai il tuo bilancio UA6

Disponi in ordine crescente i seguenti gruppi di frazioni.

�440�, �

430�, �

480� ......................................................................................................................................................................................................................................................................

�69

�, �162�, �

360�, �

265� .............................................................................................................................................................................................................................................................

Esegui le seguenti operazioni. Semplifica, quando è possibile.

�35

� + �15

� = ................................................ �25

� × �32

� × �54

� = ................................................

�79

� − �29

� = ................................................ 4 : �3 × �29

�� = ................................................

��95

� − �1270�� + ��

190� − �

35

�� = ........................................................... ��12

��5

= ................................................

Calcola il valore delle seguenti espressioni.

��2 − �12

��2

+ �1 − �15

��2� × ��1 − �34

��2

: �4 − �35

��2� : ��18

��2

= ...............................................................................................................................

��1 − �13

��2

: �4 + �13

�� × ��23

� + 1 + �19

�� : ��43

� − 1�� : �4 × �5 − �133�� = .................................................................................

Per calcolare la frazione di un numero, o di una grandezza:

basta dividere il numero, o la grandezza, per la frazione

basta moltiplicare il numero, o la grandezza, per la frazione

basta dividere il numero, o la grandezza, per il numeratore della frazione e moltiplicare poi per il suodenominatore

basta moltiplicare il numero, o la grandezza, per la frazione e sommare il risultato al numero dato

Come si trova un numero sapendo che i suoi �23� sono uguali a 150?

150 + �23

� 150 − �23

� 150 × �23

� 150 : �23

�

Mozart è vissuto solo i �173�

di quanto è vissuto Bach. Poiché i due grandi musicisti sono nati rispet-

tivamente nel 1756 e nel 1685 e Mozart è morto nel 1791, in che anno è morto Bach? ............................

Un tale salda il suo debito di € 348,60 in due volte. Se la prima volta restituisce i �35� del totale, quali

sono le due somme pagate? ........................................................

Lisa racconta: «La giornata del mio pigro cane si svolge così: �116�

del tempo per passeggiare nei

boschi, �312�

per mangiare, �112�

per giocare e farsi coccolare. Tutto il resto del tempo lo dedica al

sonno». Per quanto ore dorme il cane di Lisa? ............................

20

19

18

dcba

17

d

c

b

a

16

15

14

13

Fai il tuo bilancio 423

Soluzioni a pag. 441


5

1

3

1

Attività di recupero424

Attività di recuperoSe hai ancora qualche lacuna sugli argomenti trattati in questa UA, ti proponiamo alcuni eserci-zi svolti, poi puoi tornare agli esercizi di consolidamento e risolvere quelli indicati volta per volta.

Operazioni1. Per addizionare o sottrarre tra loro frazioni che hanno lo stesso denominatore, si fa la

somma o la differenza dei numeratori, lasciando invariato il denominatore.

�35

� + �85

� − �65

� = �3 + 8

5− 6

� = �55

�

Semplifichiamo la frazione ottenuta: �55

� = 1

2. Per addizionare o sottrarre tra loro frazioni che hanno denominatori diversi, si riduconole frazioni al minimo comun denominatore, poi si opera come nell’esempio precedente.

�54

� + �78

� − �32

� = �10 + 78

− 12� = �

58

� mc d (4; 8; 2) = 8

3. Per moltiplicare tra loro due o più frazioni si calcola il prodotto dei numeratori e deidenominatori.

�27

� × �190� = �

17

××

95

� = �395�

4. Per dividere tra loro due o più frazioni si moltiplica la prima per l’inverso della seconda.

�59

� : �73

� = �59

� × �37

� = �53

××

17

� = �251�

Calcolo di un’espressione con le frazioni5. Calcola il valore della seguente espressione:

��176� − �

38

� + �34

�� − ��12

� : �87

� − �14

� : �23

� + �58

�� : �121� × �

92

�� × �45

� =

Per prima cosa si risolvono le operazioni all’interno delle parentesi tonde, rispettandol’ordine di esecuzione (moltiplicazioni e divisioni nell’ordine in cui sono, poi addi-zioni e sottrazioni, sempre nell’ordine dato).

1

1

Attività di recupero

UA6

= ��7 − 616

+ 12� − ��

12

� × �78

� − �14

� × �32

� + �58

�� : �121� × �

92

�� × �45

� =

= ��11

36� − ��

176� − �

38

� + �58

�� : �121� × �

92

�� × �45

� =

= ��11

36� − ��7 − 6

16+ 10�� : �1

21� × �

92

�� × �45

� =

Si eliminano le parentesi tonde e si comincia a operare all’interno delle quadre, ese-guendo prima la divisione poi le moltiplicazioni.

= ��11

36� − �

1161� : �1

21� × �

92

�� × �45

� =

= ��11

36� − �

1161� × �

121� × �

92

�� × �45

� =

= ��11

36� − �

18

� × �92

�� × �45

� =

= ��11

36� − �

196�� × �

45

� =

Si eliminano le parentesi quadre risolvendo la sottrazione al loro interno:

= �146� × �

45

� = �240� = �

15

�

Strategie risolutive per la soluzione di problemi6. Dato un numero, calcola la frazione.

Calcola i �34

� di 140.

Per calcolare la frazione di un numero, si moltiplica il numero per quella frazione.

140 × �34

� = 105

7. Data la frazione di un numero, calcola il numero intero.

Trova un numero, sapendo che i sui �25

� sono uguali a 76.

Per calcolare un numero, conoscendo il valore di una sua frazione, si divide il numeroper la frazione.

76 : �25

� = 76 × �52

� = 190

35

1

38

1

Attività di recupero 425

8. Trovare due numeri, di cui si conosce la loro somma e sapendo che uno di essi è unafrazione dell’altro.

Calcola due numeri sapendo che la loro somma è 95 e uno è �23

� dell’altro.

Se il primo numero è �23

� dell’altro, il secondo sarà �33

�.

Dividiamo la somma dei due numeri per la somma dei numeratori delle frazioni:

95 : (2 + 3) = 19

Moltiplichiamo il risultato ottenuto rispettivamente per il numeratore e il denominato-re della frazione e avremo i due numeri:

19 × 2 = 38 è il primo numero19 × 3 = 57 è il secondo numero

9. Trovare due numeri, di cui si conosce la loro differenza e sapendo che uno di essi è unafrazione dell’altro.

Calcola due numeri sapendo che la loro differenza è 63 e uno è �58

� dell’altro.

Se il primo numero è �58

� dell’altro, il secondo sarà �88

�. Dividiamo la differenza dei due

numeri per la differenza dei numeratori delle frazioni:

63 : (8 − 5) = 21

Moltiplichiamo il risultato ottenuto rispettivamente per il numeratore e il denominato-re della frazione e avremo i due numeri.

21 × 5 = 105 è il primo numero21 × 8 = 168 è il secondo numero


Attività di recupero426

Rivedi gli esercizi di consolidamento indicati di seguito.1. Per le operazioni: a pag. 384 dal n. 291al n. 308; a pag. 386 dal n. 334 al n. 343;a pag. 388 dal n. 355 al n. 360; a pag. 391 dal n. 414 al n. 420; a pag. 395 dal n. 478al n. 483.2. Per le espressioni aritmetiche: a pag. 388 dal n. 367 al n. 381; a pag. 393 dal n. 441al n. 453; a pag. 396 dal n. 493 al n. 512.3. Per i problemi: a pag. 409 dal n. 666 al n. 680; a pag. 412 dal n. 697 al n. 709; a pag.414 dal n. 715 al n. 723; e dal n. 725 al n. 734.

Approfondimenti

UA6

Approfondimenti1. Giustificazione della tecnica

della moltiplicazione tra due frazioniÈ possibile giustificare la regola della moltiplicazione tra due frazionicon l’interpretazione geometrica che ci ha aiutato nella spiegazionedella moltiplicazione tra due numeri naturali.

Prendi come esempio la seguente moltipli-

cazione di frazioni: �57

� × �34

�

Disegna un quadrato ABCD. Suddividi labase in 7 segmenti (denominatore dellaprima frazione) e l’altezza in 4 segmenti(denominatore della seconda frazione).Ottieni un quadrato suddiviso a suavolta in 28 rettangolini.

Approfondimenti 427

Approfondimenti1. Giustificazione della tecnica

delle moltiplicazione tra due frazioni2. Le frazioni decimali3. Le potenze negative di 104. La struttura polinomiale dei numeri decimali5. I numeri molto piccoli e la loro notazione

scientifica6. L’ordine di grandezza dei numeri decimali7. Le percentuali

Problemi applicativi1. Problemi di strategia

Uso di strumenti1. Excel e le frazioni

Laboratorioper lo sviluppo delle competenze

D C

A B


Ritorna al prodotto iniziale:

�57

� × �34

�

Esso indica quale parte di questo quadrato devi considerare.Otterrai infatti un rettangolo con il lato AE composto da 5segmenti (numeratore della prima frazione) e il lato AF com-posto da 3 segmenti (numeratore della seconda frazione).Come vedi, della superficie del quadrato costituita da 28rettangolini ne hai considerata una parte corrispondente a

15 rettangolini, cioè �12

58�. Infatti, applicando la regola:

�57

� × �34

� = �57

××

34

� = �12

58�

2. Le frazioni decimaliUn tipo particolare di frazioni sono le frazioni che hanno per denomi-natore 10 o una potenza di 10:

�110� �

130� �

1100� = �

1102� �

1700� = �

1702�

�10

100� = �

1103� �

10900� = �

1903�

Queste frazioni sono dette frazioni decimali.

Ricordando il significato di frazione e quello di numero decimale, è faci-le riconoscere le seguenti uguaglianze:

�110� = 0,1 �

130� = 0,3 �

1100� = 0,01

�1

700� = 0,07 �

10100� = 0,001 �

10900� = 0,009

In effetti 0,1 e �110� sono forme di scrittura differenti che indicano lo stes-

so valore numerico: un decimo, cioè la decima parte dell’unità.

Così 0,3 e �130� sono forme di scrittura differenti per indicare che l’intero è

stato diviso in dieci parti uguali e che di queste parti ne sono state prese tre.

Analogamente 0,01 e �1

100� indicano la centesima parte dell’unità, men-

tre 0,07 e �1

700� indicano che l’intero è stato diviso in cento parti uguali e

di queste ne sono state prese sette. E così via.

Una frazione decimale può essere espressa anche in un’altra forma, attra-verso l’introduzione delle potenze negative di 10.

Approfondimenti428

57

D

A B

C

E

F

34

Laboratorio per lo sviluppo delle competenze UA6

3. Le potenze negative di 10L’esponente delle potenze che abbiamo considerato finora è stato sem-pre un numero naturale. È possibile però anche considerare potenze chehanno come esponente un numero intero negativo.

3−2 = �31

2�

Un caso particolarmente interessante è quello delle potenze di 10. Eccole prime potenze positive e negative di 10:

potenze positive potenze negative

101 = 10 10 − 1 = �1101� = �

110� = 0,1

102 = 100 10 − 2 = �1102� = �

1100� = 0,01

103 = 1000 10 − 3 = �1103� = �

10100� = 0,001

104 = 10 000 10 − 4 = �1104� = �

101000� = 0,0001

... ...

Considera le potenze negative di 10 riportate nella tabella. Osserva laprima colonna e il valore di ogni potenza. Esiste una corrispondenzafacilmente individuabile. Prova a formularla.

Approfondimenti 429

La potenza negativa di un numero è uguale alla frazione che ha per numeratore 1e per denominatore la stessa potenza, ma con esponente positivo.

3−2 = �31

2� = �19

� 5−3 = �51

3� = �1125� 2−4 = �

21

4� = �116�

esempio

10−1

10−2

10−3

10−4

...10−n

Numero

−1−2−3−4…−n

Esponente

0,10,01

0,0010,0001

…0,0…1

Valoredella potenza

1234…n

Posizione della cifra 1dopo la virgola

Il valore di una potenza negativa di 10 che ha per esponente −n è uguale a un nume-ro decimale in cui la cifra 1 si trova dopo la virgola in nma (ennesima) posizione.


4. La struttura polinomiale dei numeri decimaliNella UA 4 hai visto come si possono utilizzare le potenze positive di 10per esprimere la struttura polinomiale dei numeri naturali. Ecco i dueesempi che avevamo considerato:

3254 = 3 × 1000 + 2 × 100 + 5 × 10 + 4 × 1 == 3 × 103 + 2 × 102 + 5 × 101 + 4 × 100

74 091 = 7 × 10 000 + 4 × 1000 + 0 × 100 + 9 × 10 + 1 × 1 == 7 × 104 + 4 × 103 + 0 × 102 + 9 × 101 + 1 × 100

Ora è possibile prendere in esame anche la struttura polinomiale deinumeri decimali. Basta tenere conto del valore delle successive potenzenegative di 10.

27,459 = 2 × 10 + 7 × 1 + 4 × 0,1 + 5 × 0,01 + 9 × 0,001 =

= 2 × 10 + 7 × 1 + 4 × �110� + 5 × �

1100� + 9 × �

10100� =

= 2 × 101 + 7 × 100 + 4 × 10 − 1 + 5 × 10 − 2 + 9 × 10 − 3

105,602 = 1 × 100 + 0 × 10 + 5 × 1 + 6 × 0,1 + 0 × 0,01 + 2 × 0,001 =

= 1 × 100 + 0 × 10 + 5 × 1 + 6 × �110� + 0 × �

1100� + 2 × �

10100� =

= 1 × 102 + 0 × 101 + 5 × 100 + 6 × 10− 1 + 0 × 10− 2 + 2 × 10− 3

Approfondimenti430

Completa seguendo l’esempio.

10-2 = �1102� = �

1100� = 0,01 10−1 = ............... 10−3 = ............... 10−4 = ...............

10−5 = ............... 10−6 = ...............

check point

check pointCompleta seguendo gli esempi indicati.

75,068 = 7 ¥ 101 + 5 ¥ 100 + 0 ¥ 10-1 + 6 ¥ 10-2 + 8 ¥ 10-3

413,29 = ...............................................................................................................................................................................

106,815 = ............................................................................................................................................................................

33,333 = ...............................................................................................................................................................................

960,84 = ...............................................................................................................................................................................

6 ¥ 103 + 5 ¥ 102 + 3 ¥ 101 + 0 ¥ 100 + 4 ¥ 10-1 = 6530,40 × 100 + 8 × 10−1 + 2 × 10−2 + 9 × 10−3 = ..........................................................................................................

3 × 101 + 5 × 100 + 8 × 10−1 + 7 × 10−2 = ............................................................................................................

6 × 100 + 4 × 10−1 + 0 × 10−2 + 9 × 10−3 = ..........................................................................................................

1 × 100 + 2 × 10−1 + 2 × 10−2 + 4 × 10−3 + 5 × 10−4 = ...................................................................................


5. I numeri molto piccoli e la loro notazione scientificaSempre nella UA 4 hai imparato a scrivere i numeri molto grandi informa più compatta, utilizzando le potenze di 10. Era la cosiddetta nota-zione scientifica, o forma standard, dei numeri naturali:

745 000 = 7,45 × 105 1 000 000 000 = 1 × 109

In maniera analoga si possono usare le potenze negative di 10 per indi-care in notazione scientifica, o forma standard, i numeri molto piccoli,cioè inferiori, anche di molto, allo zero.

0,1 = 1 × 10 − 1 0,01 = 1 × 10 − 2 0,001 = 1 × 10 − 3

0,3 = 3 × 10 − 1 0,07 = 7 × 10 − 2 0,005 = 5 × 10 − 3

0,45 = 4,5 × 10 − 1 0,094 = 9,4 × 10 − 2 0,0067 = 6,7 × 10 − 3

Anche in questo caso si può usare una regola pratica. Si scrive la primacifra significativa poi la virgola, seguita dalle altre cifre significative, quin-di si moltiplica per una potenza negativa di 10 il cui esponente è uguale alnumero dei posti dopo la virgola che occupa la prima cifra significativa.Dalle due regole pratiche si può ricavare la regola generale:

Approfondimenti 431

per indicare un numero in notazione scientifica o in forma standardsi scrive la prima cifra significativa del numero seguita dalla virgolae dalle altre cifre significative. Si moltiplica poi per una convenien-te potenza di 10 in modo da ottenere lo stesso valore.

Completa la tabella. Segui l’esempio.

Riscrivi nelle diverse forme. Segui l’esempio.

0,5 ¥ 10-4 0,5 : 10 000 0,0000512,5 × 10−2 ............................................ ............................................

4,6 × 10−3 ............................................ ............................................

5,3 × 10−4 ............................................ ............................................

..................................... ............................................ 0,00043

check point

0,000350,00000760,0880,0040,000051

Numero

3,5 ¥ 10-4

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

Notazione scientifica

In pratica, èbene scriverela prima cifrasignificativa,seguita dallavirgola e dallealtre cifre significative emoltiplicarepoi per unapotenza didieci conesponenteuguale alnumero delle cifrescritte dopola virgola.

STOP ricorda


6. L’ordine di grandezza dei numeri decimaliLe potenze negative di 10 sono anche utili per estendere ai numeri deci-mali la valutazione dell’ordine di grandezza di un numero.

Per riepilogare, osserva la tabella.

Approfondimenti432

Consideriamo la dimensione di un virus che è 0,0000094 m. Questamisura, scritta in notazione scientifica, diventa:

9,4 × 10 − 6

Vediamo ora quali sono le potenze di 10 entro cui è compreso talenumero:

10 − 6 < 9,4 × 10 − 6 < 10 − 5

cioè:

0,000001 < 0,0000094 < 0,00001

Dal momento che 10 − 5 è il valore più vicino a 0,0000094, diremo che10 − 5 è l’ordine di grandezza della dimensione del virus.

esempio

0,0280,00760,0950,0000030,000081

Numero

10− 2 = 0,0110− 3 = 0,00110− 2 = 0,0110− 6 = 0,00000110− 5 = 0,00001

Potenza di 10minore

10 − 1 = 0,110 − 2 = 0,0110 − 1 = 0,110 − 5 = 0,0000110 − 4 = 0,0001

Potenza di 10maggiore

10− 2 = 0,0110− 2 = 0,0110− 1 = 0,110− 6 = 0,00000110− 4 = 0,0001

Ordine di grandezza

Per ciascuna delle seguenti coppie di potenze di 10, determina il numero equidistan-te tra le due. Segui l’esempio.

10-3; 10-4 10-3 = 0,00110-4 = 0,0001 (0,0001 + 0,001) : 2 = 0,00055

10−0; 10−1 10−1; 10−2 10−2; 10−3 10−3; 10−4

Inserisci i seguenti numeri al posto giusto nelle successive disuguaglianze.

0,24 0,009 0,011 0,000730,1 < .......... < 1 0,01 < ........... < 0,1 0,001 < .......... < 0,01 0,0001 < .......... < 0,001

check point

L’ordine digrandezza diun numero èla potenza di10 più vicinaa quelnume-ro.

STOP ricorda


7. Le percentualiUn insieme particolare di frazioni decimali è costituito dalle frazioni chehanno come denominatore 100. Queste frazioni, oltre a poter essere indi-cate come numeri decimali, possono anche essere espresse in un altromodo: come percentuali.

Osserva il quadrato disegnato qui a fianco, che contiene 100 quadratini.Ne sono stati colorati 43. Si può affermare che quarantatre quadratini sucento sono stati colorati.Hai imparato in questa UA a riassumere tale constatazionesotto forma di frazione. Il numero di quadratini che sono stati

colorati è �14030

�. Sai anche che questa frazione può essere facil-

mente trasformata in numero decimale: �14030

� = 0,43.

Una situazione come questa può anche essere descritta median-te un’altra forma di scrittura numerica: la percentuale.Ecco come:

43% significa 43 su 100, cioè �14030

�, cioè 0,43

L’uso della forma numerica percentuale è assai diffuso nel mondo finan-ziario e nel commercio. Di questo parleremo più diffusamente nella UA 8.

Approfondimenti 433

Quale percentuale dei seguenti quadrati è stata colorata?check point

..............................

Quale percentuale dell’area dei seguenti rettangoli è stata colorata?

�12

20� = 0,6 = 60%

�165� = 0,4 = 40%

esempio


Problemi applicativi434

Problemi applicativi1. Problemi di strategiaOtello (o Reversi) è un gioco di strategia in cui si utilizzano pedine bico-lori, cioè bianche su una faccia e nere sull’altra. Un giocatore che hascelto, per esempio, il bianco, può, con opportune mosse, far diventa-re bianche, e perciò sue, le pedine nere dell’avversario, rovesciandole.Ovviamente il giocatore che ha scelto il nero può fare altrettanto.

1 A gioco terminato, con tutte le caselle occupate, su una scacchiera

regolamentare di 8 × 8, se Simone occupa i �176� delle caselle, quale fra-

zione ne occupa l’avversario? Quante pedine sono di Simone e quan-te del suo avversario? �

196�; 28 e 36

2 A un certo punto della partita, se Nadia ha occupato i �392� delle casel-

le e il suo avversario ne ha occupato i �156�, quante caselle restano

ancora vuote? 26

3 Quante caselle ha occupato Sabrina in questo momento e quante

Federico, se �38

� sono ancora vuote e Sabrina ne ha occupato i �23

� di

quante ne occupa Federico? 16; 24

4 Dopo la sua ultima mossa, Gloria stava vincendo perché occupava i

�156� della scacchiera e Cristina, sua avversaria, ne occupava �

18

�. Ma ora

Cristina, aggiungendo una pedina sua, ha ribaltato la situazione,rovesciando 7 pedine di Gloria. Quale frazione della scacchiera occu-pa ora ciascuna delle due ragazze? �

1634�; �

14

�

5 In una scacchiera non regolamentare, cioè non di 8 × 8, se a fine parti-ta, con tutte le caselle occupate, Matteo ha 8 pedine più di Marco e

Marco ne ha i �171� di Matteo, di quante caselle è il lato della scacchiera?

6 ¥ 6

Durante lo svolgimento di un gioco di simulazione, consistente nel con-fezionare sacchetti di carta per poi trarne uno studio sui tempi di lavo-ro e ipotetici guadagni, si sono verificate alcune situazioni che ti chie-diamo di quantificare.

6 Gli allievi della II B hanno confezionato in tutto 224 sacchetti.

Davide ne ha prodotto da solo i �332� del totale. Ramona, nonostante

avesse un dito ingessato, è riuscita a realizzarne �13

� di quelli di Davide.

Quanti ne ha confezionati ciascuno? E Giorgio, che ne ha fabbricatoun numero pari alla media tra le due produzioni di Ramona e diDavide, quale frazione del totale ha prodotto? Mattia ne ha confezio-

nato i �32

� di quelli di Elisa e tutti e due insieme ne hanno prodotto


Problemi applicativi 435

quanto Elena, che con i suoi 30 sacchetti è stata una delle più effi-cienti. Quanti sono i sacchetti di Mattia? E di Elisa?

Davide: 21; Ramona: 7; Giorgio: �116�; Mattia: 18; Elisa: 12

7 Nella III B non tutti hanno lavorato per lo stesso tempo: si sono for-mati 3 gruppi di 6 allievi ciascuno e il gruppo di Chiara ha partecipa-

to al gioco per �23

� dell’ora a disposizione per questa attività, mentre i

gruppi di Mirco e di Serena hanno lavorato rispettivamente per

mezz’ora e per �34

� d’ora. Anche il ritmo di lavoro è stato diverso: per il

gruppo di Chiara la media è stata di 24 sacchetti all’ora a testa, per ilgruppo di Mirco di 22 all’ora e per il gruppo di Serena di 16. Quantisacchetti sono stati prodotti in tutto? 234 sacchetti

8 Nella III C il gruppo di Valentina (Valentina, Bruno e Carlo) ha deci-so di far impazzire i compagni. Alla domanda: “Quanti sacchetti avete

fatto, in tutto, voi tre?”, Valentina ha risposto: “Ne ho fatti i �52

� di quel-

li di Bruno o, se preferisci, i �56

� di quelli di Carlo e tra Bruno e Carlo

c’è stata una differenza di 20”. Quanti sacchetti ha prodotto in tutto il gruppo di Valentina? 65 sacchetti

Un altro gioco di simulazione è Arraffa il grano, che si svolge su un per-corso simile al gioco dell’oca. Vengono distribuite carte a “alto” o a“basso reddito”, in quanto i giocatori rappresentano paesi del mondopiù o meno privilegiati nel commercio internazionale.

9 Lorenzo aveva, all’inizio del terzo giro, 15 milioni di dollari. Ne ha

spesi �25

� per l’acquisto di un contrassegno del grano, poi i �23

� di quan

to gli era rimasto per l’acquisto di un secondo contrassegno, infine ècapitato tre volte su caselle delle compagnie di altri giocatori, a cia-scuno dei quali ha dovuto pagare il pedaggio di un milione. Quantogli è rimasto? nulla

10 Quanti contrassegni del grano occorreranno a Francesca per prende-re 3 contrassegni della mucca, se al tavolo a cui gioca lei il contras-

segno del grano è stato valutato �35

� di quello della mucca?5 contrassegni

11 Francesco alla fine del secondo giro non aveva più denaro: aveva

speso prima la metà, poi �13

� del suo capitale iniziale in acquisti di

contrassegni del grano, e gli ultimi € 1032 per pagare il petrolio.Quanto possedeva inizialmente? € 6192


12 Al termine del primo giro Fausto non è riuscito a comperare un con-

trassegno del grano. Viene penalizzato con la perdita dei �25

� del capi-

tale che possiede. Ma, passando subito alla casella del via, ricevedalla banca 5 milioni di dollari. Ha così ora 6 500 000 dollari.Quanto possedeva prima della penalizzazione? 2 500 000 dollari

13 Al tavolo di Andrea la banca acquista i contrassegni del grano pagan-

doli ai giocatori a basso reddito i �23

� del prezzo che paga ai giocatori

ad alto reddito. Manuela e Sara, entrambe a basso reddito, vendonociascuna un contrassegno alla banca e così pure Marcella, ad alto red-dito. La banca paga in tutto € 7210. Quanto vengono valutati i con-trassegni ai giocatori ad alto reddito? E a quelli a basso reddito?

€ 3090; € 2060

Uso di strumenti1. Excel e le frazioniProva a scrivere in una cella qualsiasi di unfoglio di lavoro la frazione 1/2, utilizzando la linea di frazione che si trova nella tastiera soprail numero 7, oppure quella del tastierino nume-rico.Se premi Invio vedrai che il foglio interpreta ildato non come un numero, ma come una data.È comunque possibile scrivere le frazioni nellecelle, ma prima occorre dare loro il formatoFrazione, dalla finestra Formato celle cui si accede dalmenu Formato, opzione Celle.I primi tre possibili formati variano per il nume-ro di cifre che possono comparire a denomina-tore o a numeratore, gli altri trasformano il datoimmesso in frazioni equivalenti con denomina-tore 2, 4, 8, 16, o in frazioni decimali.Il foglio di lavoro non ti permette solo di scrivere le frazioni: nelle cellea cui è applicato il formato Frazione qualsiasi numero decimale sarà tra-sformato in frazione automaticamente, mentre nella barra della formu-la resterà visibile il dato così come è stato digitato, in forma decimale.Excel applica però degli arrotondamenti, che dipendono dal formatoapplicato. Supponiamo, per esempio, di voler trasformare in frazione ilnumero 0,31. Sappiamo che la frazione corrispondente è 31/100.Se però digitiamo 0,31 in una cella a cui è stato applicato il formatoFrazione fino a una cifra, il foglio scriverà 1/3, arrotondando il risultatoalla frazione più vicina che abbia una sola cifra a denominatore. Se

Uso di strumenti436


Uso di strumenti 437

applichiamo invece il formato fino a due cifre, per lo stesso motivo, ilnumero sarà visualizzato come 22/71. Perché sia visualizzato 31/100dovremo applicare il formato fino a tre cifre.

Esercizi e attività1 Applica a un nuovo foglio di lavoro il formato Frazione fino a due cifre

e utilizzalo per risolvere gli esercizi da 118 a 125, pagina 372.

2 Applica a un nuovo foglio di lavoro il formato Frazione fino a due cifree utilizzalo per risolvere gli esercizi da 128 a 131, pagina 372.

3 Applica a un nuovo foglio di lavoro il formato Frazione fino a tre cifree utilizzalo per risolvere gli esercizi da 208 a 212, pagina 378.

4 Excel consente di ordinare i datiposti in celle contigue, disponen-doli in ordine crescente o decre-scente. Questa procedura si puòutilizzare anche per ordinare fra-zioni. Apri un nuovo foglio dilavoro e applica a tutto il foglio ilformato Frazione fino a due cifre.Ora, nell’intervallo A1:A7 scrivile seguenti frazioni, una per ognicella: 1/10, 1/8, 7/15, 1/3, 1/4,19/34, 1/2. Seleziona una cella qualsiasi dell’intervallo e clicca

sul pulsante Ordinamento crescente: l’elenco sarà ordinato all’istante.

Allo stesso modo funziona il pulsante Ordinamento decrescente.

Ora copia in celle contigue le frazioni degli esercizi da 227 a 236 dipagina 379 e ordinale in modo crescente.

Excel non accetta frazioni non ridotte ai minimi termini, frazioni improprieo frazioni apparenti, ma le riduce o le trasforma automaticamente innumeri interi o misti. Il risultato che verrà visualizzato nella cella dipen-derà comunque sempre dal formato che è stato applicato alla cella.

attenzione

La funzione Ordina non si utilizza solo con i numeri ma anche con testi,che vengono disposti da Excel in ordine alfabetico, crescente o decre-scente.

attenzione

Documents

1 I NUMERI NATURALI E I NUMERI DECIMALIcompitisostegno.weebly.com/uploads/1/9/1/7/19170051/sei_02906... · La tecnica della moltiplicazione con i numeri decimali, 68 68 6 Espressioni