· 1 แบบฝึกหัด 1.1 1) 1.1 Fx x 322 f x ดังนั้น F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f และปฎ f

1

แบบฝกหด 1.1

1) 1.1 23 2F x x f x

ดงนน F เปนปฏยานพนธของ f และปฎยานพนธของ f อก 2 ฟงกชนคอ 3

1 2 5F x x x และ 32 2 1F x x x

1.2 0.04 600F x x f x ดงนน F เปนปฏยานพนธของ f และปฎยานพนธของ f อก 2 ฟงกชนคอ 2

1 0.02 600 1F x x x และ

22 0.02 600 5F x x x

1.3 2 23 2 13F x x x f x ดงนน F เปนปฏยานพนธของ f และปฎยานพนธของ f อก 2 ฟงกชนคอ 3 1

1 2 13 7F x x x x และ

3 12 2 13 19F x x x x

1.4

2 2

3 2 1 2 3 1 5

2 1 2 1

x xF x f x

x x

ดงนน F เปนปฏยานพนธของ f

และปฎยานพนธของ f อก 2 ฟงกชนคอ 1

3 11

2 1

xF x

x

และ 2

3 12

2 1

xF x

x

1.5 5xF x e f x ดงนน F เปนปฏยานพนธของ f

และปฎยานพนธของ f อก 2 ฟงกชนคอ 51

12

5xF x e และ 5

2

11

5xF x e

1.6 2

12 2

2F x x f x

x x

F เปนปฏยานพนธของ f

ดงนน F เปนปฏยานพนธของ f

และปฎยานพนธของ f อก 2 ฟงกชนคอ 21 ln 2 1F x x x และ

22 ln 2 1F x x x

2) 2.1 2

2

xC

2.2 4

3 52

tt t C

2.3 3

22

3x C

2.4 324

3x x C

2.5 17

43

17 4

xx C 2.6

332

2

3x x C

2

2.7 7

412

167

x x C 2.8 53

344 6

3 5x x C

2.9 1 ln3

v C 2.10 45

4328 3 2

5 4 4u u u C

2.11 81

1 323

5 28

u u x C 2.12 3ln x C

2.13 3 2x x C 2.14 324ln

3x x C

2.15 23ln

2x x C

3) 3.1 3

33

x 3.2 4 31

32

x x x

3.3 5

422 4 128

2485 5

x xx

3.4 2 ln 1x x

4) 3 2

6 2 6

x x xf x

5) 1

3 21 49f x x x


1) 1.1

1.2 ความยาวแตละชวงยอยเทากบ 1n

1.3 0 1 2

1 21, 1 , 1 ,..., 1 ,..., 1 2i n

i nx x x x x

n n n n

ดงนน จดปลายชวงยอยทางขวาของชวงยอยท i คอ 1 i

n

3

1.4 จาก 22y x

4 0dy

xdx

สาหรบ 1 2x

เพราะฉะนน 22y x เปนฟงกชนเพม ดงนน 0 1 2 3 ... nx x x x x

หรอ 1i ix x ทก 1, 2,3,...,i n

จาก 21

( ) 2 1i i

if x x

n n

ทกๆ 1, 2,3,...,i n

ดงนน เหนไดชดวา พ.ท. 2 2 2

2 2 3

1 2 1 2 4 22 1 2 1i

i i i i iA

n n n n n n n n

1.5 2

1 2 2 3 2 31

2 4 2 4 2... 2 1 1 2 1

2 6

n

ni

i i n nA A A n n n

n n n n n

1 1 1 1 1 2 12 2 1 1 2 2 1 2

3 3 3n n n n n

2 2

1 1 1 8 3 1 4 22 1 8 2 2 2

3 3 3n n n n n n

2

12 2 1

n

3) *

1 1 1

1 3 1( )

3

n n n

i ii i i

f x xi n i

n

ดงนน 2

11

1lim

1

n

ni

dx

x i

4) ขอ 4.4

5) 5.1 20 5.3 12


1) 1.1 2

1

x 1.2 2 6 33 5x x x

1.3 32

x

x 1.4 3cos 1 sinx x

1.5 2sin x 1.6 sin x

x

1.7 sin t

t

1.8 2

2

2

sin2 sin

x ux x du

u

4

1.9 2

cos

1

t

t 1.10

2

103

2

1

21 2

t

sds

t

1.11 1cos

2x

x

2) 2.1 55

252 2.2 3

2.3 ln 2 2.4

12

2.5 0

3) 3.1 212

3.2 1.90 3.3 4

4) 10.5 ฟต

5) 4 23 3

24 2

x xy


1) 1.1 1.87 1.2 2.1

1.3 4 ชวงยอย คาประมาณเปน 0.5 , 8 ชวงยอย คาประมาณเปน 1

1.4 1.53 1.5 12.6

1.6 4.5

2) 2.1 2.67 2.2 2.25

2.3 0.007813 , 0.001953 2.4 0.0066

2.5 0.163 2.5 1.125

3) 3.1 456.5 3.2 76.0833

5


1) 1.1 1 ln 1x x C 1.2 1

xe C

1.3 2 3

1 1 2

1 1 3 1C

x x x

1.4

21

arctan2

x C

1.5

21

1C

x

1.6 ln 1 xe C

2) 2.1 61 3

6

xC

2.2

2tan

2C

2.3 1arcsin 3

3x C 2.4

51ln

5x C

2.5 21 x C 2.6 2ln 3 2x x C

3) 3.1 5 21

2xe C 3.2

1

sin ax b Ca

3.3

3

223 4

9x C 3.4

21

cos2

xe C

3.5

42 3

34 9

8x x C 3.6

6 5

1 12 4

6 5

t tC

3.7 2

7 17 13 3.8 cos xe C

3.9 cos xe C 3.10 1

4

3.11 0 3.12 ee e

3.13 42

1

32 4 1C

x

3.14

2

1

2cosC

x

3.15 sin ln x C 3.16

2

24

3.17

21arctan

2x C 3.18

21

arcsin2

x C

3.19

41ln 1

4x C 3.20

1ln 2

2

6

3.21

1 2arctan

36x C

3.22 2 2

3 3

3.23

3 2132 19 19

5

3.24

3 21

3xe C

3.25 12 7 7

3t t C 3.26 1 2

2 arctan 22 2

x C

3.27 52 3 2 15 arctan

5x x C

3.28

322

23 1 8 36 135

2835x x x C

3.29 5

233

3 81 45 20220

x x x C

3.30

7 5 1 1 1

6 6 6 6 66 6

1 1 2 1 6 1 3ln 1 1 3ln 1 17 5

x x x x x x

1 1 2 1 2

3 3 3 3 39

3ln 9 1 3ln 1 1 1 6ln 1 1 12

x x x x x x C


1) 1. 41 5e 1.2

3 22 5

2 3 4

3 6 6

5 5 5 5x x x x

e C

1.3

2 1

ln 2 ln 2

x

x C

1.4

3 32 3 1

3 9x xx

e e C

1.5 52 3 1

ln 2 310 5

xx C

1.6

2

1 1ln

2 2x C

x

1.7

1tan 5 ln sec5

5 25

xx x C 1.8 ln ln ln lnx x x C

1.9

2 21 1arcsin 2 1 4

2 8 8

xx x x C

1.10

21 1

4 4e

1.11 2 4e 1.12

21

e

1.13

23 3

16 4

1.14

1 2 2 2 1

2arcsec 2 3 arcsec2 3 4 33

1.15 4

15

7

2) 2.1 การแทน 2.2 การแทน

2.3 การแทน 2.4 ทละสวน (by parts)

2.5 ทละสวน (by parts) 2.6 ทละสวน (by parts)

2.7 ทละสวน (by parts) 2.8 ทละสวน (by parts)

3) 3.1 2 cos 2sinx x x C

3.2 2 1 1 1 1

3 3 3 3 33 cos 6 sin 6cosx x x x x C

3.3 2 2 1xe x C


1) 2sin

2

xC

2) 4 2

2tan tanln sec

4 2

x xx C

3) 7 5 3sin cos 7 sin cos 5 sin cos 3 1

sin 28 8 6 6 4 8 2

t t t t t tt t C

4) 6sin

6

xC

5) 3

1

3sinC

x

6) 3

1 1

cos 3cosC

x x

7) 31 tan 2

tan 22 3

xx C

8) tan 4cot C

9) 8 6cos cos

8 6

t tC

10) arcsin tan x C

11) 4 5 3csc 2 1 cot 2 1 cot 2 1 cot 2 14

2 5 3

x x x xC

12) ln tan x C

13) 3 52 1cos cos cos

3 5t t t C

14) 2 2 sin2

xC เมอ ,

2 2 2

x หรอ

2 2 sin

2

xC เมอ 3

,2 2 2

x

8

15) 1 1 sin 4sin 2

4 2 4

tt t t C

16) 5sec

5

xC

17) 7 3

2 22 2tan tan

7 3x x C

18) 3 5 71 2 1cot cot cot

3 5 7C

19) 7

5 31 csc 3 2 1csc 3 csc 3

3 7 5 3

xx x C

20) 3 7

2 26

2 tan tan3 7 3

x xC

21) 3 2

sin 3 cos 2 sin cos2 2 2 2 2 2 2

x x x x x x xC

22) cos cos x C

23) 1

3

24) 1

25) 1 2

4 3


1) 2 2 2

arcsin2

a x x a xC

a a a

3) 21

arcsinx

x Cx

5) 21

arcsec4 2

xC

7) 21

arcsin2 2

tC

9) 2 2 21

lna x b ax

Ca b b

11)

3

322 2

2

2 1 3 2 1

x xC

x x

2) 1ln csc arctan cot arctan

x xC

a a a

4) 1 2arcsec

3 3

xC

6) 2 29 2 16 9 1 16 9 4

ln4 9 2 3 3

x x x xC

8) 3

2 2

3

91

27

xC

x

10) 122

1129 9

924 22

xx C

12) 2

1arctan

2 1

xx C

x

9

13) arcsin xe C

15) 3 22 2

1 1

6 1 4 1C

x x

17) arcsin tan x C

19) 3 1

24 8 4

21) 1

16 8

14) 1/ 24

16) 12 112 29 9 9

24 22

x xC

18) 5 1ln

2

20) 3 1

32 4

22) 3

32


1) 1 1arctan

3 3

xC

2) 1 2arctan 1

510x C

3) 1 2arcsin 1

72x C

4) 21 3 31 10 3ln 5 3 2 arctan

10 155 31

xx x C

5)

2

2

1 2 2 1 2ln ln

2 2 1 2

x xC

x

6) 21 3 2 1ln 3 2 1 2 2 arctan

2 2 3x x x C

7) 21 17 31 31ln 2 3 5 arctan 4 3

4 62 31x x x C

8) 21 7arcsin 2 1

2 4x x x C

9) 2 2

3 2 1 1 2 1 2 11 ln 1

2 2 2 2 23 3 3x x x C

10)

2

22 2 1 1ln 2 1 2

2 2

x xx x C

10

11)

2

21

3 531 1 1 5 3 1

3 5 ln2 3 3 2 35 5

x

x x x C

12) 3

2 22 221 22 2 4arcsin 2 2 2

3 2

xx x x C

13) 1 1 1arctan

16 2 40

14) 1

8 4

15) 3 57

4 28


1) 1.1 2

11

1

x

x x

1.2

8 1

32 1

xx x

1.3

5 5

4 1 4 3x x

1.4

1 3 1

4 1 4 5 4x x x

1.5

4 22 46

1 2 2 3x x x

1.6

1 5

11

xx x

1.7

2 1

1 2x

x x

1.8

2

2

1

1 1

xx x

x x

1.9 2 2

5 1 4 8

1 21 2x xx x

1.10

2 3 4

1 1 2 3

6 1 1 1x x x

1.11 2

2 1 12

1 1 1

xx

x x x

1.12

2

3 2 1

1

x

x x x

1.13

2 22 2

511 1 6

36 1 36 2 312 1 2 3

xx

x x xx x x

1.14 22 2 2

1 2 2 8 16

8 8

x x

x x x x

1.15

2

103 30947 36 84 28

12 3 7 2 3

x

x x x

1.16 2

34 603 12

4 5

xx

x x

1.17

2 32 2 2

1 8 17

4 4 4x x x

11

2) 2.1

2

1ln 3 arctan

1x x C

x

2.2

22

1 52 160 14 1 1 1arctan ln 2 10

36 2 10 27 3 3 2

xx x x C

x x

2.3

21 1 2ln ln 2 3 2 arctan 2 2

2 2 4x x x x C

2.4

24 2 10 23ln 2 1 ln 3 8 23 arctan 2 3

13 13 299 23x x x x C

2.5

2 21 1 1 1 2 2ln 4 arctan ln 4 9 arctan

7 14 2 7 21 3x x x x C

2.6 25 ln 1 ln 1 arctanx x x x C

2.7

2 21 1 3ln 1 3 arctan 2 1 ln 1

2 2 3x x x x x C

2.8

2 2312 17 ln 4 5 8arctan 2

2x x x x x C

2.9 2 22

51 1 17 77arctan

256 2 16 128 44

x xx C

xx

2.10 2 arctan 2 6

2.11

32ln 2 ln 3

2


1) 1.1 39 27 15, 6, ,

2 2 2 1.2 8, 4, 4,0

1.3 4, 2, 2, 4 1.4 37 5 37,16, ,

2 2 2

1.5 5 1 5, 2, ,

2 2 2 1.6 14,8, 4, 4

2) 1

3) 4

12

4) 4.1 f เปนฟงกชนค และ ( ) 4f x dx

4.2 f เปนฟงกชนค และ 2sin 0xdx

4.3 f เปนฟงกชนค และ cos 0xdx

4.4 f เปนฟงกชนค และ 1

1

2 4dx


1) 1.1 512

ตร.หนวย 1.2 12512

ตร.หนวย

1.3 9 ตร.หนวย 1.4 5

12 ตร.หนวย

1.5 9 ตร.หนวย 1.6 92

ตร.หนวย

1.7 15 2ln 28 ตร.หนวย 1.8 4

15 ตร.หนวย

2) 2 22a

b

a y dy ตร.หนวย

3) 2 2 ตร.หนวย

4) 3436

ตร.หนวย


1) 316

3r ลบ.หนวย 2) 21

3r h ลบ.หนวย

3) 25 ลบ.หนวย 4) 102415

ลบ.หนวย

5) 5.1 144 ลบ.หนวย 5.2 72 ลบ.หนวย

6) 54 3 ลบ.หนวย 7) 6

abc ลบ.หนวย


1) 1.1 9 ลบ.หนวย 1.2 256 ลบ.หนวย

1.3 9 ลบ.หนวย 1.4 17615

ลบ.หนวย

13

1.5 416 ลบ.หนวย 1.6 13

3 ลบ.หนวย

2) 2.1 83 ลบ.หนวย 2.2 4 ลบ.หนวย

2.3 1948

ลบ.หนวย 2.4 163 ลบ.หนวย

2.5 353 ลบ.หนวย 2.6 25

6 ลบ.หนวย

3) 3.1 3.1.1 แบบจาน 4 3

22

0

( ) 64S x dx

แบบทรงกระบอก 8 2

3

0

2 (4 ) 64S y y dy

3.1.2 แบบจาน 8 4

2 3

0

512(4 )

7S y dy


2

0

5122 ( )

7S x x dx

3.1.3 แบบจาน 4 3

2 22

0

704(8 ) (8 )

5S x dx


3

0

7042 ( 8)( 4)

5S y y dy

3.1.4 แบบจาน 8 2

2 23

0

3456(4 ( 4) )

35S y dy


2

0

34562 ( 4)( 8)

35S x x dx

3.2 3.2.1 แบบจาน 4 3

2 22

0

(8 ( ) ) 192S x dx


3

0

2 ( ) 192S y y dy

3.2.2 แบบจาน 8 4

3

0

384

7S y dy


2

0

3842 (8 )

7S x x dx

14

3.2.3 แบบจาน 4 3

22

0

576( 8)

5S x dx


3

0

5762 (8 )( )

5S y y dy

3.2.4 แบบจาน 8 2

2 23

0

3456(4 (4 ) )

35S y dy


2

0

34562 (4 )(8 )

35S x x dx

4) 4.1 4.1.1 แบบจาน 2

2 2

0

( ( 2) )S x x dx

4.1.2 แบบทรงกระบอก 2

2

0

2 ( ( 2) )S x x x dx

4.2 4.2.1 แบบจาน 10

2(2 cos )S x dx

4.2.2 แบบทรงกระบอก 10

2 (2 cos )S x x dx

4.3 4.3.1 2 2

1

[1 (1 ln ) ]e

S x dx 4.3.2 1

2 2

0

[ ( ) ]yS e e dy

4.3.3 2

1

[(ln 1) 1]e

S x dx

5) 3

22 2 2 2

3

2

[( ) ( ) ]2

a

a

aa x dx


1) 1.1 ไมใชอนทกรลไมตรงแบบ เพราะ 2

1

9x ตอเนองบน [0,1]

1.2 เปนอนทกรลไมตรงแบบ เพราะ tan x ตอเนองท 02

x

และ tan x ไมตอเนองท 2

x

และ 2

0

tan xdx

ลออก

1.3 ไมใชอนทกรลไมตรงแบบ เพราะ 1xตอเนองบน [1,3]

15

1.4 เปนอนทกรลไมตรงแบบ เพราะ 2

11

x ไมตอเนองท 0x และ

1

20

11 dx

x ลออก

1.5 เปนอนทกรลไมตรงแบบ เพราะ

sin

1 cos

x

x ไมตอเนองท 0x และ

2

0

sin

1 cos

xdx

x

ลออก

1.6 เปนอนทกรลไมตรงแบบ เพราะ 3

2 1

x

x

ไมตอเนองท 3x

และ 3

0

3

2 1

xdx

x

ลเขา

2) 2.1 ลเขาและมคาเทากบ 2 2.2 ลเขาและมคาเทากบ 2

2.3 ลออก 2.4 ลออก


2.7 ลเขาและมคาเทากบ 33 4

2 2.8 ลออก

2.9 ลเขาและมคาเทากบ

3) 0n


1) 1.1 ลเขาและมคาเทากบ 1 1.2 ลออก

1.3 ลเขาและมคาเทากบ 12

1.4 ลเขาและมคาเทากบ 1 ln 22

1.5 ลเขาและมคาเทากบ 0 1.6 ลเขาและมคาเทากบ 0

1.7 ลเขาและมคาเทากบ ln 2 1.8 ลเขาและมคาเทากบ

1.9 ลออก

2) ลเขา เมอ 1n


1) 1.1 ไมเปนอนทกรลไมตรงแบบผสม 1.2 1

0 1

ln lnx xdx dx

x x

16

1.3 1

3 3

0 1

x dx x dx

1.4 1 1.5 2 3

2 2 2 2 20 1 1.5 2 33 2 3 2 3 2 3 2 3 2

dx dx dx dx dx

x x x x x x x x x x

1.5 0 4

04 4

dx dx

x x

1.6 4 3 2 1 0

2 2 2 2 2 24 3 2 1 04 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3

dx dx dx dx dx dx

x x x x x x x x x x x x

1.7 1

0 1

x xe edx dx

x x

1.8 2 3

2 2 20 2 34 4 4

dx dx dx

x x x

1.9 ไมเปนอนทกรลไมตรงแบบผสม

2) 2.1 ลออก 2.2 ลออก



2.7 ลเขาและมคาเทากบ 2 2.8 ลออก

2.9 ลเขาและมคาเทากบ4


1) 1.1 ได ลเขา 1.2 ได ลออก

1.3 ได ลเขา 1.4 ได ลออก

1.5 ไมได ( ) 0f x 1.6 ได ลเขา

1.7 ได ลออก 1.8 ได ลเขา


1.11 ได ลเขา 1.12 ได ลออก

1.13 ได ลออก 1.14 ไมได ( ) 0f x

17


1.17 ไมได ( ) 0f x 1.18 ไมได ( ) 0f x

1.19 ไมได ( ) 0f x 1.20 ได ลเขา

1.21 ได ลเขา 1.22 ได ลเขา


1.25 ได ลออก 1.26 ไมได ( ) 0f x



2) 2.1 1p 2.2 1p


1) 1.1 (5,0,0), (5,3,0), (0,3,0), (0,3,2), (0,0,2) และ (5,0,2)

3) 3.1 3 3.2 34


1) 2 2 21 1 2 9x y z

2) 2.1 2.2

2.3 2.4

18

2.5 2.6

2.7 2.8

2.9 2.10

19


1) 1.1 f เปนฟงกชนสองตวแปร 1.2 f ไมเปนฟงกชนสองตวแปร

1.3 f ไมเปนฟงกชนสองตวแปร 1.4 f เปนฟงกชนสามตวแปร

1.5 f ไมเปนฟงกชนสามตวแปร

2) 2.1 ให 1(( , ), )x y z f และ 2(( , ), )x y z f จะไดวา 1 2z x y และ 2 2z x y

ดงนน 1 2z z แสดงวา f เปนฟงกชนสองตวแปร

2.2 (4,9) 4 9 2 7f และ (16,0) 16 0 2 6f

2.3 โดเมนของ f คอ 2( , ) | 0, 0x y x y และเรนจของ f คอ | 2z z

3) 3.1 ให 1(( , ), )x y z f และ 2(( , ), )x y z f จะไดวา 1x yz e และ 2

x yz e

ดงนน 1 2z z แสดงวา f เปนฟงกชนสองตวแปร

3.2 1 2 1(1,2)f e e และ 1 ( 3) 4( 3,1)f e e

3.3 โดเมนของ f คอ 2 และเรนจของ f คอ | 0z z

4) 4.1 ให 1(( , , ), )x y z w f และ 2(( , , ), )x y z w f

จะไดวา 2 2 21 9w x y z และ 2 2 2

2 9w x y z

ดงนน 1 2w w แสดงวา f เปนฟงกชนสามตวแปร

4.2 2 2 2(0,1, 2) 9 0 1 ( 2) 2f และ 2 2 2(1, 1,2) 9 1 ( 1) 2 3f

4.3 โดเมนของ f คอ 3 2 2 2( , , ) | 9x y z x y z และเรนจของ f คอ | 0 3w w

5) 5.1 ให 1(( , , ), )x y z w f และ 2(( , , ), )x y z w f

จะไดวา 1 2 2 2

3w

x y z

และ 2 2 2 2

3w

x y z

ดงนน 1 2w w แสดงวา f เปนฟงกชนสามตวแปร

20

5.2 2 2 2

3 1(1, 1,2)

1 ( 1) 2 2f

และ

2 2 2

3 3(2,0, 3)

2 0 ( 3) 13f

5.3 โดเมนของ f คอ 3 2 2 2( , , ) | 0x y z x y z และเรนจของ f คอ | 0w w


1) 1.1 ให 0 เราตองการหา 0 ซงถา 2 20 ( ) ( )x a y b

แลว ( , )f x y L y b

สงเกตวา 2 2 2( ) ( ) ( )y b y b x a y b

ดงนนถาเราเลอก จะเหนวา สาหรบ 2 20 ( ) ( )x a y b

แลว จะได 2 2( , ) ( ) ( )f x y L y b x a y b

1.2 ให 0 เราตองการหา 0 ซงถา 2 20 ( 1) ( 1)x y

แลว ( , ) (2 5 ) ( 3)f x y L x y

สงเกตวา (2 5 ) ( 3) 2( 1) 5( 1)x y x y

2 1 5 1x y

2 22 ( 1) 5 ( 1)x y

2 2 2 22 ( 1) ( 1) 5 ( 1) ( 1)x y x y

2 27 ( 1) ( 1)x y

ดงนนถาเราเลอก 7

จะเหนวา สาหรบ 2 20 ( 1) ( 1)7

x y

แลว จะได 2 2( , ) (2 5 ) ( 3) 7 ( 1) ( 1) 7 77

f x y L x y x y

1.3 ให 0 เราตองการหา 0 ซงถา 2 20 ( 1) ( 2)x y

แลว ( , ) ( 9 ) ( 17)f x y L x y

21

สงเกตวา ( 9 ) ( 17) ( 1) 9( 2)x y x y

1 9 2x y

2 2( 1) 9 ( 2)x y

2 2 2 2( 1) ( 2) 9 ( 1) ( 2)x y x y

2 210 ( 1) ( 2)x y


จะเหนวา สาหรบ 2 20 ( 1) ( 2)10

x y

แลว จะได 2 2( , ) ( 9 ) ( 17) 10 ( 1) ( 2) 10 1010

f x y L x y x y

1.4 ให 0 เราตองการหา 0 ซงถา 2 20 x y

แลว 3 3

2 2

2( , ) 0

x yf x y L

x y

สงเกตวา 3 33 3

2 2 2 2

220

x yx y

x y x y

2 2

2 2

2x x y y

x y

2 2 2 2

2 2

2x x y y

x y

2 2 2 2 2 2

2 2

2x x y y x y

x y

2 2 2 2

2 2

(2 )x y x y

x y

2 2 2 2

2 2

2( )x y x y

x y

2 22 x y


จะเหนวา สาหรบ 2 202

x y

22

แลว จะได 3 3

2 22 2

2( , ) 0 2 2 2

2

x yf x y L x y

x y

2) 2.1 4 2.2 3

2.3 18

2.4 3

3) 3.1 จะเหนวา ถาให ( , )x y เขาใกล (0,0) ตามแนวแกน x จะไดวา 0y และ x มคาเขาใกล 0

ซงทาให 2 2

4 2 4 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

0lim lim lim 0 0

0x y x y x y

x y x

x y x

แต ถาให ( , )x y เขาใกล (0,0) ตามแนวเสนโคง 2y x จะไดวา 2y x และ x มคาเขาใกล 0

ซงทาให 2 2 2 4

4 2 4 2 2 4( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

1 1lim lim lim lim

( ) 2 2 2x y x y x y x y

x y x x x

x y x x x

แสดงวา 2

4 2( , ) (0,0)lim

x y

x y

x y มคาตางกนในทศทางตามแนวแกน x และตามแนวเสนโคง 2y x

นนคอ 2

4 2( , ) (0,0)lim

x y

x y

x y หาคาไมได

3.2 จะเหนวา ถาให ( , )x y เขาใกล (0,0) ตามแนวแกน x จะไดวา 0y และ x มคาเขาใกล 0


2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

2 2 0 2lim lim lim lim 1 1

2 2 0 2x y x y x y x y

x y x x

x y x x

แต ถาให ( , )x y เขาใกล (0,0) ตามแนวแกน y จะไดวา 0x และ y มคาเขาใกล 0

ซงทาให 2 2 2

2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

2 2(0)lim lim lim lim ( 1) 1

2 2(0)x y x y x y x y

x y y y

x y y y


2( , ) (0,0)

2lim

2x y

x y

x y

มคาตางกนในทศทางตามแนวแกน x และตามแนวแกน y

นนคอ 2

2( , ) (0,0)

2lim

2x y

x y

x y

หาคาไมได



4 2 4 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

3 3 0lim lim lim 0 0

0x y x y x y

x y x

x y x

23

แต ถาให ( , )x y เขาใกล (0,0) ตามแนวเสนโคง 2y x จะไดวา 2y x โดย x มคาเขาใกล 0 ทางดานบวก

ซงทาให 3 3 2 4

4 2 4 2 2 4( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

3 3 3 3 3lim lim lim lim

( ) 2 2 2x y x y x y x y

x y x x x

x y x x x


4 2( , ) (0,0)

3lim

x y

x y

x y มคาตางกนในทศทางตามแนวแกน x และตามแนวเสนโคง 2y x

นนคอ 3

4 2( , ) (0,0)

3lim

x y

x y



ซงทาให 2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)


3 3 0x y x y x y

xy x

y x x

แต ถาให ( , )x y เขาใกล (0,0) ตามแนวเสนตรง y x จะไดวา y x และ x มคาเขาใกล 0

ซงทาให 2

2 2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

4 4 4lim lim lim lim 2 2

3 3 2x y x y x y x y

xy x x x

y x x x x

แสดงวา 2 2( , ) (0,0)

4lim

3x y

xy

y x มคาตางกนในทศทางตามแนวแกน x และตามแนวเสนตรง y x

นนคอ 2 2( , ) (0,0)

4lim

3x y

xy

y x หาคาไมได



2 2 2 2( , ) (2,0) ( , ) (2,0) ( , ) (2,0)


( 2) ( 2) 0x y x y x y

y

x y x

แต ถาให ( , )x y เขาใกล (2,0) ตามแนวเสนตรง 2x จะไดวา 2x และ y มคาเขาใกล 0

ซงทาให 2 2 2

2 2 2 2 2( , ) (2,0) ( , ) (2,0) ( , ) (2,0) ( , ) (2,0)

2 2 2lim lim lim lim 2 2

( 2) (2 2)x y x y x y x y

y y y

x y y y


2 2( , ) (2,0)

2lim

( 2)x y

y

x y มคาตางกนในทศทางตามแนวแกน x และตามแนวเสนตรง 2x

นนคอ 2

2 2( , ) (2,0)

2lim

( 2)x y

y


4) 4.1 สงเกตวา สาหรบจานวนจรง x และ y ใดๆ 2 2 2x y y

24

ดงนน 2 2

2 2 20

xy xyx

x y y

เมอ 0y

และเพราะวา ( , ) (0,0)lim 0

x yx

โดยทฤษฎบท 6.2.8 จะไดวา

2

2 2( , ) (0,0)lim 0

x y

xy

x y

4.2 สงเกตวา สาหรบจานวนจรง x และ y ใดๆ 2 2 22 2x y x

ดงนน 2 2

2 2 2 2

2 sin 2 sin0 sin

2 2

x y x yy

x y x y

เมอ 0x

และเพราะวา ( , ) (0,0)lim sin 0

x yy


2

2 2( , ) (0,0)

2 sinlim 0

2x y

x y

x y

4.2 สงเกตวา สาหรบจานวนจรง x และ y ใดๆ 2 2 22x y y

ดงนน 3 2 2 3 2 2 2 2

2 2 2 2

4 2 4 2 4 22

2 2

x x y x x y x y

x y x y

3

2 22

x

x y

3

22

x

x

2

x เมอ 0x

และเพราะวา ( , ) (0,0)lim 0

2x y

x

โดยทฤษฎบท 6.2.8 จะไดวา 3 2 2

2 2( , ) (0,0)

4 2lim 2

2x y

x x y

x y

5) 5.1 ให ( , )y

g x yx

และ ( ) arctanf t t

จะเหนวา ( , ) (2,2) ( , ) (2,2)

2lim ( , ) lim 1

2x y x y

yg x y

x

เนองจาก f เปนฟงกชนตอเนองท 1 โดยทฤษฎบท 6.2.20 จะไดวา

( , ) (2,2) ( , ) (2,2)lim arctan arctan lim arctan 1

4x y x y

y y

x x

5.2 ให ( , )g x y x y และ ( ) tf t e

จะเหนวา ( , ) (ln3,ln 2) ( , ) (ln3,ln2)

3lim ( , ) lim ( ) ln3 ln 2 ln

2x y x yg x y x y

25

เนองจาก f เปนฟงกชนตอเนองท 3ln2


( , ) (ln 3,ln 2)

3lim ( ) ln2

( , ) (ln3,ln 2)

3lim

2x y

x yx y

x ye e e

5.3 ให 1( , )

3 4g x y

x y

และ ( )f t t

จะเหนวา ( , ) (4,2) ( , ) (4,2)

1 1lim ( , ) lim

3 4 4x y x yg x y

x y

เนองจาก f เปนฟงกชนตอเนองท 14


( , ) (4,2) ( , ) (4,2)

1 1 1 1lim lim

3 4 3 4 4 2x y x yx y x y

5.4 ให 2( , ) 5g x y x y และ ( ) sinf t t

จะเหนวา 2

2

( , ) ( , )2

21lim 5 5 5

2 4 4x y

x y

เนองจาก f เปนฟงกชนตอเนองท 214


2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )2 2

21 2lim sin 5 sin lim 5 sin sin

4 4 2x y x y

x y x y


1) 1.1 f ตอเนองท (0,0) 1.2 f ไมตอเนองท (0,0)

1.3 f ไมตอเนองท (0,0) 1.4 f ไมตอเนองท (0,0)

1.5 f ไมตอเนองท (0,0)

2) 2.1 f ตอเนองบน 2 \ 2,0 2.2 f ตอเนองบน 2 \ 0,0

2.3 f ตอเนองบน 2 2.4 f ตอเนองบน 2

2.5 f ตอเนองบน 2 2 2, | 1 0x y x y

2.6 f ตอเนองบน 2 2\ , | 2 1 0x y x y

26


1) 1.1 , 3xf x y y , 4, 5 3yf x y y x

1.2 , sintxf x t e x , , cost

tf x t e x

1.3 ln,

2x

tf x t

x , ,t

xf x t

t

1.4 920 2 3z

xx

, 0

z

y

1.5 22

,x

yf x t

x y

,

22

,y

xf x t

x y

1.6 1yzyx

x

, lnyzx x

y

1.7 2, secxf x y y xy , 2, secyf x y x xy

1.8 2

2 22 2

2, lnr

rf r s r s

r s

, 2 2

2,s

rsf r s

r s

1.9 w w

t tu we e

t t

,

w

tue

w

1.10 3 4, , 10xf x y z y xy z , 2 2 4, , 15yf x y z x x y z , 2 3 3, , 20zf x y z x y z

1.11 2 xyzwyz e

x

, 2 xyzw

xz ey

, xyz xyzw

xyze ez

1.12 , , arcsinxf x y z y yz , 2 2

, , arcsin1

y

xyzf x y z x yz

y z

,

2

2 2, ,

1z

xyf x y z

y z

2) 2.1 15

2.2 3

13 2.3 0

3) 3.1 0

2 , 3 2, 32, 3 limx

x

f x ff

x

2 3 2 3

0

2 3 2 3 2 3 2 3limx

x x

x

2

0

45 18 32, 3 limx

x

x x xf

x

2

0lim 45 18 3x

x x

45

27

0

2, 3 2, 32, 3 limy

y

f y ff

y

2 3 2 3

0

2 3 2 3 2 3 2 3limy

y y

y

0

2 20limy

y y

y

0lim 2 20y

y

20

3.2 0

2 , 3 2, 32, 3 limx

x

f x ff

x

2 2

0

2 2

2 3 2 3limx

x

x

x

0

911 11

limx

xx

x

0

9lim

11 11x x

9

121

0

2, 3 2, 32, 3 limy

y

f y ff

y

2 2

0

2 2

2 3 2 3limy

y

y

2

0

12 2

11 11 6limy

yy

y y

y

20

12 2lim

11 11 6y

y

y y

12

121

4) 4.1 3 2

2 3

z yz x

x z xy

, 3 2

2 3

z yz x

y z xy

4.2 1

1

z

x xy yz

,

2

1

z xz z

y xy yz

4.3

1 cos

cos 3

yz xyzz

x xy xyz

,

2 cos

cos 3

xz xyzz

y xy xyz

5) 5.1 5 2, 6 24xxf x y xy x y , 2 4 3, 15 8xyf x y x y x , 2 4 3, 15 8yxf x y x y x ,

3 3, 20yyf x y x y

5.2 2, 2 cos 2xxf x y m mx ny , , 2 cos 2xyf x y mn mx ny ,

, 2 cos 2yxf x y mn mx ny , 2, 2 cos 2yyf x y n mx ny

28

5.3

2 2

2 2 2 2 2

w v

u u v u v

,

2

2 2 2 2

w uv

v u u v u v

,

2

2 2 2 2

w uv

u v u v u v

,

2 2

2 2 2 2 2

w u

u u v u v

5.4

2

22 2

2

1

z x

x x

,

2

0z

y x

,

2

0z

x y

,

2

22 2

2

1

z y

y y

6) 6.1 , 12xxyf x y xy , , 72yyyf x y xy

6.2 3 2, cttttf x t c x e , , 2 ct

txxf x t ce

6.3 , , 24sin 4 3 2xyzf x y z x y z , , , 12sin 4 3 2yzzf x y z x y z

6.4 2

2, ,rssf r s t

s , , , 0rstf r s t

7) 7.1 22sin cos cos 2 sint t tdwt t e t e e t

dt

7.2 3 4 42

4 4 420 sin 5 sin 5

dwt t t

dt t t t

7.3 21 1

t t

t t

dw e e

dt e e

7.4 2 2sec cos sin tan cos sin cos sindw

t t t t t tdt

7.5 2 4 2 32 sin 3 sin cos 12 sin cost t t tdwe t e t e t e t t

dt

7.6 5 36 4 4dw

t t tdt

7.7 tandw

tdt

8) 8.1 2 sin cosz

s t ts

, 2 2 2cos sin

zs t t

t

8.2 2

2 2s

sts tsttz e

tes t

, 2

2

2

2s

sts tsttz se

set t

29

8.3 2 2

2 2

cos2 2 2cos 2 2

2 2

sincos

st s t

st s t s te s tzte s t

s s t

,

2 2

2 2

cos2 2 2cos 2 2

2 2

sincos

st s t

st s t st e s tzse s t

t s t


1) 1.1 f มคาสงสดสมพทธท 1

1,2

มคาเทากบ 11, 112

f

1.2 จด 2, 4 เปนจดอานมา

1.3 จด 0,0 เปนจดอานมา,

f มคาตาสดสมพทธท 1,1 มคาเทากบ 1,1 0f

f มคาสงสดสมพทธท 1, 1 มคาเทากบ 1, 1 0f

1.4 f มคาสงสดสมพทธท 0,2 มคาเทากบ 40,2f e

1.5 จด 1, 1 และ 1,1 เปนจดอานมา

1.6 จด 1,2 และ 1, 2 เปนจดอานมา


f มคาสงสดสมพทธท 5,0

3

มคาเทากบ 5 125,0

3 27f

1.7 จด 0,0 เปนจดอานมา


1.8 f มคาตาสดสมพทธท 1,1 มคาเทากบ 1,1 3f

2) 2.1 คาสงสดและตาสดสมบรณของ f บนโดเมน D คอ 9 และ 14 ตามลาดบ

2.2 คาสงสดและตาสดสมบรณของ f บนโดเมน D คอ 13 และ 0 ตามลาดบ



30

3) กลองสเหลยมมมฉากทตองคอ กลองสเหลยมมมฉากทมความยาวดานยาว 10 เซนตเมตร

4) จานวนบวก 3 จานวนทมผลรวมเปน 100 ซงทาใหผลคณของ 3 จานวนมคามากสดคอ 100 100 100, ,

3 3 3

5) กลองสเหลยมมมฉากทมปรมาตรมากทสด ซงมพนทผวเปน 64 ตารางเซนตเมตร คอ กลองทรงลกบาศกทม

ความยาวดานเปน 8

6 เซนตเมตร

6) ตปลาสเหลยมมมฉากททาใหคาใชจายในการทานอยทสด มความกวาง ความยาว และความสงเปน 20,20,50 เซนตเมตร ตามลาดบ

7) ปรมาตรทมากทสดของทรงสเหลยมมมฉากทบรรจในทรงกลมรศม r เทากบ 38

3 3r


1) 1.1 23 4, ,x t y t t

1.2 2 11tan , 1 sec , ,

23

nx y x x n

1.3 21 , , 1x t y t t

1.4 3cos , 4sin ,0 2x y (การหาสมการองตวแปรเสรมอาจมไดหลายรปแบบ เฉลยนเปนแคตวอยางหนงเทานน)

2) 2.1 2116 69

10y x x เมอ x 2.2 6 13x y เมอ 2y

2.3 2 29 9x y 2.4 2 24 9 36x y

2.5 2 24 9 20 61 0y x y 2.6 y x


1) 1.1 2

5

9 8

dy

dx t

1.2

2

1

2

dy

dx t

1.3 cotdy

dx 1.4

3

1dy

dx t

1.5 2tdye

dx 1.6 1

csc 22

dyt

dx

2) 2.1 2 3 1 0x y 2.2 2 3y x

31

2.3 32 3

2y x 2.4

2 2 2

2 2 1ln 2y x

e e e

2.5 4 8 0x y 2.6 y x

3) 3.1

2

32 2

90

9 8

d y t

dx t

3.2

2

2 6

1

3

d y

dx t

3.3 2

32

1csc

3

d y

dx 3.4

2

2 6

1d y

dx t

3.5 2

32

2 td ye

dx 3.6

23

2

1cot 2

8

d yt

dx


1) 1.1 3 2 3 2,

2 2

1.2 1,1 1.3 3 2 3 2,

2 2

1.4 7 7 3,

2 2

1.5 3 3, 3 1.6 5,0

1.7 0, 2 1.8 5,0 1.9 0,0

1.10 0,0 1.11 0,2 1.12 1 3,

2 2

2) 2.1 5, 2.2 58 2,

4

2.3 26,

3

2.4 2,2

2.5 52,

4

2.6 4,6

2.7 32,

4

2.8 44,

3

2.9 5,0

2.10 2,2

2.11 4,3

2.12 2,4

3) 3.1 5,0 3.2 8 2,4

3.3 6,3

3.4 2,2

3.5 2,4

3.6 54,

6

32

3.7 2,4

3.8 4,3

3.9 5,

3.10 2,2

3.11 24,

3

3.12 32,

4

4) 4.1 7 3 53, , 3, , 3,

4 4 4

4.2 1, , 1, , 1,2

4.3 3 31, , 1, , 1,

2 2 2

4.4 7 3 53, , 3, , 3,

4 4 4

4.5 5 2 42, , 2, , 2,

3 3 3

4.6 11 5 70, , 0, , 0,

6 6 6

4.7 3 5 73, , 3, , 3,

4 4 4

4.8 5 2 42, , 2, , 2,

3 3 3

4.9 5, 2 , 5, , 5, 4.10 2 4 54, , 4, , 4,

3 3 3

4.11 3 5 73, , 3, , 3,

4 4 4

4.12 2 4 52, , 2, , 2,

3 3 3

5) 5.1 6

cos 4sinr

5.2 2 9r

5.3 tan 2 5.4 6

cosr

5.5 1

sinr

5.6 2 29 7sin 144r

6) 6.1 1

2y 6.2 2 2 4x y y

6.3 2 22y x x 6.4 2

5x

6.5 3

2 2 2 222 x y x y x 6.6 3 2 22x xy y

33


1) 1.1 1.2

1.3 1.4

1.5 1.6

1.7 1.8

34

1.9 1.10


1) 1.1 92

1.2 9 1.3 8

1.4 32

1.5 32

1.6 92

1.7 32

1.8 94

2) 2.1 2 2.2 3 2.3 8

2.4 1 2.5 22


1) 1.1 สมการเชงอนพนธสามญอนดบท 1 ระดบขนท 1

1.2 สมการเชงอนพนธสามญอนดบท 2 ระดบขนท 1


1.4 สมการเชงอนพนธยอยอนดบท 2 ระดบขนท 2






1) 1.1 ไมเปน 1.2 เปน

35

1.3 เปน 1.4 ไมเปน

1.5 เปน 1.6 เปน

1.7 ไมเปน 1.8 เปน

2) 2.1 2siny x c 2.2 xey ce

2.3 sin xy e c 2.4 cy

x

2.5 cos sinx x xy ce 2.6 2 2 2y x c

3) 3.1 2x xy e 3.2 2 1y x

3.3 cos2 xy e 3.4 3

2

3 41

2 3 2

xy

x


1) 1.1 สมการเชงเสน 1.2 สมการเอกพนธและสมการเชงเสน

1.3 สมการเอกพนธ 1.4 สมการเชงเสน

1.5 - 1.6 สมการเชงเสน

1.7 สมการเชงเสน 1.8 สมการเอกพนธ

2) 2.1 1x xy x ce 2.2 5

2

5

5

x x cy x

x

2.3 1 1cos sin

2 2xy x x x ce 2.4

41 2 4

2 2

x cy x

2.5 1 13 3tan ln 3

22 3y x x x c

2.6 2 3sin cosy x x c x x x


1) 1.1 2 2 2x y x C 1.2 2 2

2 2

x yxy C

36

1.3 2 2

sin cos2 2

x yx y C 1.4 xe y x y C

1.5 ไมเปนสมการแมนตรง 1.6 2

sin2

xy x C

2) 2.1 2

2

1,

xx c

y y 2.2

2

1, lnx

y cy y

2.3 3 2

1, ln

yx c

x x

2.4

3

2

1, ln

3

y xx c

x x

2.5 อานตวอยางในหนงสอได 2.6 1 2 8

23 3 33 3

,2 8

x x y x c


1) หลงจากผานไป 24 ชวโมงจานวนของแบคทเรยจะเพมขนเปน 242 16777216 เทาของจานวนแบคทเรยในตอนแรก

2) ให t เปนเวลาซงหนวยเปนชวโมงและ x t เปนจานวนแบคทเรยทมอยเมอเวลาผานไป t ชวโมง จะไดวา

ตวแบบจาลองของจานวนแบคทเรยนคอ 1

31000 3t

x t

3) 3.1 ให t เปนเวลาซงหนวยเปนชวโมงและ x t เปนจานวนแบคทเรยทมอยเมอเวลาผานไป t ชวโมง จะ

ไดวาตวแบบจาลองของจานวนแบคทเรยนคอ 4600 1.4t

x t

3.2 1646 ตว

3.3 84 15600 1.4 1.1296 10 ตว

3.4 1.44 log 4 16.48 ชวโมง

4) 4.1 ให t เปนเวลาซงหนวยเปนชวโมงและ x t เปนจานวนแบคทเรยทมอยเมอเวลาผานไป t ชวโมง จะ

ไดวาตวแบบจาลองของจานวนแบคทเรยนคอ 450000 0.9t

x t

3.2 26,572 ตว

3.3 0.9log 0.0625 26.32 ชวโมง

5) ให t เปนเวลาซงหนวยเปนนาทและ x t เปนนาหนกของสบเมอเวลาผานไป t นาท จะไดวาตวแบบจาลอง

ของจานวนแบคทเรยนคอ 150

3 70

tx t

t

Documents

· 1 แบบฝึกหัด 1.1 1) 1.1 Fx x 322 f x ดังนั้น F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f และปฎ f