บทที่1 การวิเคราะห์ข้อมูล

0

เอกสารประกอบการเรยน

วชา คณตศาสตรเพมเตม (ค43211)

ชน มธยมศกษาปท 6

เรอง การวเคราะหขอมลเบองตน

จดท าโดย

นางสาวอจฉราวลย สงหภงา

คร

โรงเรยนชมพลวทยาสรรค อ าเภอชมพลบร

ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 33

กระทรวงศกษาธการ

1

สาระการเรยนร 1.1 คากลางของขอมล 1.2 การวดต าแหนงทของขอมล 1.3 การวดการกระจายของขอมล

ผลการเรยนรทคาดหวง 1. เลอกวธวเคราะหขอมลเบองตนและอธบายผลการวเคราะหขอมลไดถกตอง 2. น าความรเรองการวเคราะหขอมลไปใชแกปญหาได คากลางของขอมล หรอการวดแนวโนมเขาสสวนกลาง เปนการวเคราะหขอมลเบองตนเพอหาคากลางของขอมลทศกษาซงจะไดเปนตวแทนของขอมลทงหมดทสนใจเพอใชในการสรปเรองราวเกยวกบขอมลทงหมดซงจะท าใหเขาใจลกษณะขอมลทสนใจ คากลางของขอมลหลกๆ อย 6 วธ คอ คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic Mean) มธยฐาน (Median) ฐานนยม (Mode) คาเฉลยเรขาคณต (Geometric Mean) คาเฉลยฮารมอนก (Harmonic Mean) และคากงกลางพสย (Mid-range) ซงในทนจะพดถง 3 ชนด คอ คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม

คากลางแตละชนด มขอด ขอเสย และความเหมาะสมในการน าไปใชตางกน ขนอยกบลกษณะของขอมลและวตถประสงคของผใช คากลางใชส าหรบค านวณแบงเปน 2 กรณ คอ กรณท 1 ขอมลไมไดแจกแจงความถ ซงคาทไดจะเปนคากลางของขอมลชดนนจรงๆ มกใชกบขอมลจ านวนนอยๆ กรณท 2 ขอมลแจกแจงความถ คาทไดจะเปนคากลางโดยประมาณ มกใชกบจ านวนมากๆ

คาเฉลยเลขคณต คอ ผลบวกของขอมลทกคา หารดวยจ านวนขอมลทงหมด

สญลกษณ ทใชแทนคาเฉลยเลขคณต คอ x อานวา x – bar ถาให Nxxxx ,...,,, 321 แทนขอมลชดหนงมขนาด N

ผลบวกของขอมลทกรายการเขยนแทนดวย

N

i

ix1

การหาคาเฉลยกรณขอมลไมไดแจกแจงความถ ตวอยางท 1 ในการสอบซอมวชาคณตศาสตรของนกเรยน 12 คน ซงมคะแนนเตม 10 ไดคะแนนดงน 8, 7, 4, 5, 6, 3, 7, 9, 7, 7, 8, 4 คาเฉลยเลขคณตของนกเรยนทง 12 คน มคาเทาไร วธท า ix = 8, 7, 4, 5, 6, 3, 7, 9, 7, 7, 8, 4 , N = 12

N

x

x

N

i

i 1

12

487797365478

12

75

= 6.25 ตอบ

1.1 คากลางของขอมล

1.1.1 คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic Mean)

N

x

x

N

i

i 1

2 การหาคาเฉลยเลขคณตถวงน าหนกนใชในกรณขอมลแตละคามความส าคญไมเทากน ซงมวธการหาดงน ให W1 , W2 , W3 , …, WN เปนความส าคญหรอน าหนกถวงของคา จากการสงเกต X1 , X2 , X3 , …, XN ตามล าดบแลว

คาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก x = N

NN

WWWW

XWXWXWXW

...

...

321

332211

หรอเขยนอยางยอ ๆ ไดดงน

w

wxx

ตวอยางท 2 ในการสอบครงหนงครใหน าหนกวชาเคม ฟสกส ชววทยา และคณตศาสตร เปน 2 , 1 , 3 และ 4 ตามล าดบ ถาวมลสอบทงสรายวชาไดคะแนน 65 , 70 , 80 และ 85 ตามล าดบ จงหาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนวมลสอบครงน

วธท า

รายวชา คะแนน (X ) น าหนก (W) WX เคม 65 2 130 ฟสกส 70 1 70 ชววทยา 80 3 240 คณตศาสตร 85 4 340 W = 10 WX = 780

จากสตร

x =

W

WX

= 10

780

= 78 คะแนน ตอบ คาเฉลยเลขคณตรวม เปนการหาคาเฉลยเลขคณตจากขอมลหลายชดทมการหาคาเฉลยเลขคณตไวแลว ซงมวธการหาดงน

ให 1x , 2x , 3x , …, Kx เปนคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 , 2 , 3 ,…K

1N , 2N , 3N , … , KN เปนจ านวนคาจากการสงเกตในขอมลชดท 1 , 2 , 3 … , K

ตามล าดบแลว

คาเฉลยเลขคณตรวม K

KK

NNNN

XNXNXNXNx

...

...

321

332211

หรอเขยนอยางยอ ๆ ไดดงน x =

N

XN

ตวอยางท 3 ถาคาเฉลยเลขคณตอายของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 , 5 และ 6 ของโรงเรยน

แหงหนงเปน 15 , 17 และ 19 ตามล าดบ และนกเรยนแหงนมนกเรยนแตละชนเปน 80 , 70 และ 50 ตามล าดบ จงหาคาเฉลยเลขคณตอายของนกเรยนรวมทงสามชน

วธท า จากสตร x รวม = 321

332211

NNN

XNXNXN

จากโจทยจะได 1x = 15 , 2x = 17 และ 3x = 19

1N = 80 , 2N = 70 และ 3N = 50

x รวม = 507080

)1950()1770()1580(

= 200

950190,1200,1

= 16.7 ป

คาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก คาเฉลยเลขคณตรวม

3 อายเฉลยของนกเรยนทงสามชน 16.7 ป ตอบ

แบบฝกทกษะท 1 ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

ขอท ค าถาม ค าตอบ 1

ถา X = 20 และ x = 4 แลว จงหา N

2 ถา N = 10 , x = 25 แลว จงหา X

3 ถา X = 780 และ N = 30 จงหา x

4 จากขอมล 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 จงหา x

5 ถา 1x = 10 , 2x = 5 , 3x = 8 และ 1N = 30 , 2N = 40

, 3N = 60 แลว จงหา x รวม

6 ถา 1w = 3 , 2w = 4 , 3w = 5 และ 1X = 20 , 2X = 15

, 3X = 30 แลว จงหา x

7 ในการสอบวชาภาษาไทย ศลปศกษาและคอมพวเตอร ครไดก าหนดน าหนกของแตละรายวชาเปน 4 , 3 , 1 และ 5 ตามล าดบ ปรากฎวามานะสอบไดคะแนนแตละวชาเปน 90 , 80 , 70 และ 60 ตามล าดบ จงหาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนายมานะ

8 นกเรยนชน ม.6 โรงเรยนแหงหนงม 3 หองเรยน คอหองท 1 , 2 และ 3 มจ านวนนกเรยน 40 , 44 และ 50 คน ตามล าดบ ผลการสอบวชาฟสกส ปรากฎวาคะแนนเฉลยหองท 1 , 2 และ 3 เปน 72 , 52 และ 60 ตามล าดบ จงหาคาเฉลยของนกเรยนชน ม.6 ทงหมด

หาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถ

1. การหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถแบบไมเปนอนตรภาคชน

ในกรณทขอมลทจะน ามาค านวณหาคาเฉลยเลขคณตสามารถเขยนในรปการแจกแจงความถได จ าค านวณหาผลบวกของขอมลทงหมดไดอยางงายๆ โดยใชความถเขาชวย ดงน

ให x เปนขอมลทประกอบดวย

1x เปนขอมลทมความถเทากบ 1f



kx เปนขอมลทมความถเทากบ kf

คาเฉลยเลขคณตของขอมลจะเปน ดงน

x = K

KK

ffff

xfxfxfxf

...

...

321

332211

=

k

i

i

k

i

ii

f

xf

1

1

หรอเขยนอยในรปงายๆ ได ดงน N

fxx

4 ตวอยางท 4 ในการสอบวชาคณตศาสตรพนฐาน ชน ม.4/2 จ านวน 20 คน ปรากฎผลดงน

คะแนน 5 6 7 8 9 10

จ านวนนกเรยน 2 1 7 2 5 3

จงหาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนนกเรยน ชน ม.4/2

วธท า ให x แทน คะแนนของนกเรยน f แทน ความถ

คะแนน (x) จ านวนนกเรยน(f) fx 5 6 7 8 9 10

2 1 7 2 5 3

10 6 49 16 45 30

f 20 fx 156

จากสตร N

fxx

= 20

156

= 7.8 คาเฉลยเลขคณตของคะแนนนกเรยน ชน ม.4/2 เทากบ 7.8 คะแนน ตอบ

2. การหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถแบบเปนอนตรภาคชน ในการหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถแบบเปนอนตรภาคชน สามารถท าได

ดงตวอยางท 4

ตวอยางท 2 จงหาคาเฉลยเลขคณต จากตารางแจกแจงความถตอไปน

คะแนน 2-4 5-7 8-10 11-13 14-16 ความถ 2 1 7 2 5

วธท า

คะแนน จดกงกลางชน (x) ความถ(f) f x 2-4 2 6 18 5-7 1 4 24

8-10 7 10 90 11-13 2 8 96 14-16 5 2 30

f 30 fx 258

จากสตร N

fxx

= 30

258

= 8.6 ตอบ สรป ขนตอนวธการหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถแบบเปนอนตรภาค

ชน มดงน 1. หาจดกงกลางชน ( ix ) ของแตละอนตรภาคชน 2. หาผลคณของความถแตละอนตรภาคชนกบจดกงกลางชน

ของอนตรภาคชนเดยวกน ( ii xf ) 3. หาผลบวกจากคาทไดในขอ 2 ของแตละอนตรภาคชน ( fx )

4. หา x จากสตร N

fxx

5

สมบตของคาเฉลยเลขคณตทสาคญ

ตวอยางการแกปญหาโจทยโดยใชสมบตของคาเฉลยเลขคณต

ตวอยางท 1 ก าหนดขอมล 10 , 20 , 30 , 40 , 50 จงหาจ านวนจรง a ซงท าให 0)( ax เมอ x แทนคาในขอมลทก าหนดให

วธท า จากสมบตขอท 1 ทวา 0)( xx

แสดงวา 0)( ax เมอ xa

x = 5

5040302010

= 5

150

= 30 a = 30 ตอบ

ตวอยางท 2 ก าหนดขอมล 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 จงหาคาทนอยทสดของ 2)( ax

เมอ a เปนจ านวนจรง และ x แทนคาในขอมลทก าหนดให

วธท า จากสมบตขอท 2 ทวา 2)( ax มคาทนอยทสดกตอเมอ xa

x = 6

119753

= 6

48

= 8 คาทนอยทสดของ 2)( ax คอ (3 – 8)2 + (5 – 8)2+ (7 – 8)2+ (9 – 8)2+ (11 – 8)2+ (13 – 8)2

= 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 = 70 ตอบ

สมบตขอท 1 ผลบวกของผลตางของขอมล แตละตวกบคาเฉลยเลขคณตจะมคาเทากบศนย

นนคอ 0)( xx

สมบตขอท 2 ผลบวกของก าลงสองของผลตางระหวางขอมลแตละตวกบจ านวนใดๆ

จะมคานอยทสด เมอ a = x

นนคอ 2)( ax มคานอยทสดกตอเมอ a = x

สมบตขอท 3 ถาน าคาคงตว ตวหนง ไปบวกกบทกคาในขอมลชดหนง แลว คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใหมจะเทากบผลบวกของคาคงตวตวนน กบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดเดม

สมบตขอท 4 ถาน าคาคงตว ตวหนง ไปคณกบทกคาในขอมลชดหนง แลว คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใหมจะเทากบผลคณของคาคงตวตวนน กบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดเดม

สมบตขอท 5 ถา x แทนคาในขอมลชดหนง และ y แทนคาในขอมลอกชดหนง โดยท y = ax + b เมอ a และ b เปนคาคงตวแลว

y = xa + b

6

แบบฝกทกษะแบบฝกทกษะท ท 22

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 ก าหนดขอมล 6 , 8 , 10 , 12 , 14 จงหาจ านวนจรง m ซงท าให

0)( mx เมอ x แทนคาขอมลทก าหนดให

2 ก าหนดขอมล 7 , 10 , 13 , 16 , 24 จงหาคาทนอยทสดของ

2)( ax

เมอ x แทนคาในขอมลทก าหนดให และ a เปนจ านวนจรง

3 ในปจจบนเดก 8 คน มอายดงน 16 , 12 , 15 , 13 , 17 , 14 , 16 , 17 จงหาวาอก10 ปขางหนา คาเฉลยเลขคณตของอายของเดกทง 8 คน มคาเทาใด

4 ในรอบปพนกงานบรษทแหงหนง จ านวน 3 คน ไดรบเงนคาตอบแทนพเศษเปน 500 , 700 และ 900 บาท ตามล าดบ และพนกงานบรษทแตละคนไดรบเงนเพมเปน 4 เทาของเงนในรอบป จงหาคาเฉลยเลขคณตของเงนทพนกงานทง 3 คน ไดรบในรอบป

5 นกเรยนหองหนงสอบวชาคณตศาสตรและวชาฟสกส ถาให M แทน วชาคณตศาสตรของนกเรยนแตและคน และ P แทน คะแนนวชาฟสกส โดยท M = 3P+7 ถาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนวชาคณตศาสตร เทากบ 40 จงหาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนวชาฟสกส

1. จงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลในแตละขอตอไปน 1) 12, 18, 20, 19, 15, 16 2) 20.83, 20.81, 20.76, 20.75, 20.32 2. ขอมลชดหนงม 6 จ านวน แตหายไปจ านวนหนงคงเหลอเพยง 35, 29, 28, 28, 32 ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเปน 30 แลว ขอมลทหายไปคอจ านวนใด

3. ในการสอบวชาภาษาไทยของนกเรยน 20 คน ปรากฏวา ม x = 12 ตอมาปรากฏพบวา กรอก

คะแนนผดไป 2 คน โดยกรอกเปน 10 และ 12 แตทถกตอง คอ 20 และ 13 ตามล าดบ แลว x ทถกตอง คอขอใด 4. จากขอมลในตาราง จงหาคาเฉลยเลขคณต คะแนน 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ความถ 2 2 3 5 8 4 9 11 6 10 5. ก าหนดตารางแสดงน าหนกของคน 15 คน เปนดงน

น าหนก (กโลกรม) จ านวนคน 65 A 75

4 5 6

6. ผลการสอบยอยวชาคณตศาสตรของนกเรยนจ านวน 105 คน เขยนเปนตารางแจกแจงความถไดดงนแลวหาคาเฉลยเลขคณต

คะแนน 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 ความถ (คน) 5 12 24 37 21 6

แบบฝกหดท 1.1 ก

ถาคาเฉลยของน าหนกของนกเรยนกลมน เปน 70 กโลกรม จงหาคาของ A

7

มธยฐาน คอ คาทมต าแหนงกงกลางของขอมล เมอน าขอมลดงกลาวมาเรยงจากคานอยไปหาคามาก ( หรอจากคามากไปหาคานอย ) ใชสญลกษณ Mdn หรอ Med

1. การหามธยฐานของขอมลทไมแจกแจงความถ แบงเปน 1.1 การหามธยฐานของขอมลทไมแจกแจงความถ โดยไมแจกแจงความถไว การหามธยฐาน ของขอมล มล าดบขนตอนดงน

1.1.1 เรยงขอมลจากคานอยไปหาคามาก 1.1.2 หาต าแหนงของมธยฐาน ถาขอมลมทงหมด N คาจะไดวา

ต าแหนงของมธยฐาน = 2

1N

1.1.3 ถา N เปนจ านวนคมธยฐานจะเทากบ คาในขอมลทอยในต าแหนง

2

1N

1.1.4 ถา N เปนจ านวนค มธยฐานจะเทากบคาเฉลยของคาในขอมล ซงอยใน

ต าแหนง 2

N และ 2

N +1

ตวอยางท 1 จงหามธยฐานของขอมล 2 , 6 , 4 , 8 ,12 , 10 , 14 วธท า เรยงขอมลจากคานอยไปหาคามากจะได 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14

ต าแหนงของมธยมฐาน = 2

1N = 2

17 = 4

มธยมฐาน = คาทอยในต าแหนงท 4 = 8 ตอบ ตวอยางท 2 จงหามธยฐานของขอมล 1 , 7 , 5 , 11 ,13 , 9 , 15 , 17 วธท า เรยงขอมลจากคานอยไปหาคามากจะได 1 , 7 , 5 , 11 ,13 , 9 , 15 , 17


1N = 2

18 = 4.5

มธยมฐาน = คาทอยในต าแหนงท 4 และต าแหนงท 5 =

2

119 = 10 ตอบ

1.2 การหามธยฐานของขอมลทไมจดเปนอนตรภาคชน แตแจกแจงความถไว การหามธยฐานในกรณน จะตองสรางความถสะสม แลวดวาต าแหนงของมธยฐาน อยตรงกนหรอภายใตความถสะสมของคาใน ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 3 จงหามธยฐานจากขอมลตอไปน

คะแนน 10 13 15 17 19

ความถ 12 14 10 8 6 วธท า หาความถสะสม ไดดงตาราง

คะแนน ความถ ความถสะสม

10 12 12 13 14 26 15 10 36 17 8 44 19 6 50

ในทน N = 5


150

= 25.5 มธยฐาน = คาเฉลยของคาทอยในต าแหนงท 25 และต าแหนงท 26 =

2

1313

= 13 ตอบ

1.1.2 มธยฐาน (Median)

8 2. การหามธยฐานของขอมลทแจกแจงความถ

ในการหามธยฐานของขอมลทแจกแจงความถ มสตรในการหา ดงน

Med = If

fN

LM

L

)2(

เมอ L แทน ขอบลางของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย

Lf แทน ผลบวกของความถสะสมของอนตรภาคชนทมคานอย

กอนถงอนตรภาคชนทมมธยฐานอย

Mf แทน ความถของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย I แทน ความกวางของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย

2

N แทน ต าแหนงของมธยฐาน

ตวอยางท 4 จงหามธยฐานของขอมลในตารางตอไปน

คะแนน 93 – 97 98 – 102 103 – 107 108 – 112 113 – 117

ความถ 8 2 14 6 10 วธท า หาความถสะสม ไดดงตาราง

คะแนน ความถ ความถสะสม

93 – 97 8 8 98 – 102 2 10 103 – 107 14 24 108 – 112 6 30 113 – 117 10 40

ในทน 2

N = 2

40 = 20

ชนมธยมฐาน อยในอนตรภาคชน 103 – 107 จะได L แทน 102.5

Lf แทน 10

Mf แทน 14 I แทน 5

จากสตร Med = If

fN

LM

L

)2(

แทนคา Med = 5)14

1020(5.102

= 102.5 + 3.57 = 106.07 ตอบ

9

สมบตของมธยฐาน สมบตขอท 1 ผลบวกของคาสมบรณของผลตางระหวางขอมลแตละคากบคาคงตว จะมคานอยทสด กตอเมอ คาคงตวนนเทากบมธยฐาน นนคอ ถา x แทนขอมลแตละตว และ a แทนคาคงตว | x – a | จะมคานอยทสด กตอเมอ a = Med

หรอ | x – Med | | z – a |

สมบตขอท 2 การเปลยนแปลงคาอนทไมไดอยในต าแหนงกงกลางของขอมลไมม ผลท าใหมธยฐานเปลยนแปลงไป

สมบตขอท 3 ขอมลทแจกแจงความถและอนตรภาคชนแรกหรอชนสดทายเปน อนตรภาคชนเปดหรอแมกระทงอนตรภาคชนในขอมลมความกวาง ไมเทากน จะยงคงสามารถหามธยฐานได

สมบตของมธยฐานขางตนเปนสมบตทแตกตางจากสมบตของคาเฉลยเลขคณต

แบบฝกทกษแบบฝกทกษะะท ท 33 ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 จงหามธยฐานของขอมล 12 , 18 , 20 , 14 , 16 , 10

2 จงหามธยฐานของขอมล 5 , 13 , 9 , 17 , 25 , 21 , 29

3 จงหามธยฐานจากตารางแจกแจงความถตอไปน

3.1 คะแนน 18 – 20 21 – 23 24 – 26 27 – 29 30 – 32 ความถ 5 2 17 3 13

3.2 อาย (ป) 5 – 8 9 – 12 13 – 16 17 – 20 21 – 24 25 – 29 ความถ 4 6 8 12 7 3

4 ก าหนดให a1 , a2 , a3 , … , a9 เปนขอมล 9 จ านวน ดงน 3 , 5 , 7 , m , n , 14 , 19 , 23 , 27 โดยท m , n เปนจ านวนจรง ซง m – n = 5 ถาคาเฉลยของขอมลชดนเทากน 13 แลว

9

1i

i pa q มคานอยทสด เมอ p มคาเทาใด

10 1. มธยฐานของขอมล 18, 20, 19, 22, 20, 18 และ 19 เปนเทาไร 2. มธยฐานของขอมล 7, 8, 6, 8, 9, 9, 10, 6, 11 และ 12 เปนเทาไร 3. เอมอาย 10 ป อร ออมมอาย 12 และ 15 ป โออายนอยทสด จงหามธยฐานของคนทง 4 4. นกเรยนกลมหนงม 5 คน เมอ 3 ปทแลว กงอาย 20 ป แกวอาย 26 ป กลาอาย 22 ป สวนแกนและไกมอาย 18 และ 30 ป ตามล าดบ จงหาวาปจจบนคามธยฐานของนกเรยนกลมนเปนเทาไร 5. จากการส ารวจคะแนนสอบของเดกกลมหนงดงตาราง จงหาคามธยฐานของเดกกลมน คะแนนทได 24 26 30 32 35 40 จ านวนนกเรยน (คน) 8 3 6 9 4 6 6. ก าหนดตาราง จงหามธยฐานของขอมล

คะแนน 9-13 14-18 19-23 24-28 29-33 ความถ 4 3 3 2 5

7. ก าหนดตาราง

อนตรภาคชน ความถ 12-15 16-25 26-40 41-50 51-60 61-75

3 4 2 9 10 12

จงหามธยฐานของขอมล

ฐานนยม เปนคาของขอมลหนงเปนขอมลทปรากฏบอยทสด หรอกลาววา มความถสงสด สญลกษณทใชแทนฐานนยม คอ Mo

1. กรณขอมลไมมการแจกแจงความถ ** ฐานนยม คอ ขอมลทซ ากนมากทสด

1) กรณทมขอมลมความถมากทสด มากกวา 1 คา ใหน าคาของขอมลทมความถมากทสดมาตอบเปนคาฐานนยมทกคา เชน ขอมล 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 6 ฐานนยม คอ 2, 3 2) กรณขอมลมความถเทากนจะไมมฐานนยม เชน ขอมล 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5 ไมมฐานนยม 2. กรณขอมลแจกแจงความถ

การหาฐานนยมของขอมลทแจกแจงความถแบบอนตรภาคชน และมความกวางของแตละอนตรภาคชนเทากนทกชน จะหาไดจากสตร

Mo = Idd

dL

21

1

เมอ Mo แทน ฐานนยม L แทน ขอบลางของอนตรภาคชน d1 แทน ผลตางระหวางความถของอนตรภาคชนทมความถมากทสด

กบความถของอนตรภาคชนทมคาต ากวาและอยตดกน d2 แทน ผลตางระหวางความถของอนตรภาคชนทมความถมากทสด

กบความถของอนตรภาคชนทมคาสงกวาและอยตดกน I แทน ความถของชนทมความถมากทสด

แบบฝกหดท 1.1 ข 1.1.3 ฐานนยม (Mode)

11 ตวอยางท 1 จงหาฐานนยม จากตารางแจกแจงความถตอไปน

น าหนก (กโลกรม) 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 จ านวน 8 12 16 2 8 4 วธท า

น าหนก (กโลกรม) จ านวน (f) 40 – 44 8 45 – 49 12 50 – 54 16 55 – 59 2 60 – 64 8 65 – 69 4

ฐานนยมอยในอนตรภาคชน 50 – 54 เพราะเปนอนตรภาคชนทมความถมากทสด

จากสตร Mo = Idd

dL

21

1

จะได L = 49.5 , d1 = 16 – 12 = 4 , d2 = 16 – 2 = 14 และ I = 5

แทนคา Mo = 5144

45.49

= 49.5 + 1.11 = 50.61 ตอบ จากตวอยางท 1 สามารถหาฐานนยม โดยประมาณ ไดดงน

ฐานนยม = 2

UL

= 2

5450

= 52

การหาฐานนยมจากกราฟ

ในกรณทขอมลแจกแจงความถ เราสามารถหาฐานนยมไดจากเสนโคงของความถทจดสงสด ของเสนโคง โดยการลากเสนตรงจากจดดงกลาวมาตงฉากกบแกนนอน คาบนแกนนอนทจดตดนน จะเปนฐานนยม ดงรป ความถ ความถ 0 ขอมล ขอมล

ฐานนยม ฐานนยม ฐานนยม

ขอสงเกต

การหาฐานนยม จากกราฟ คาทไดจะเปนคาโดยประมาณอยางหยาบๆ เทานน

12

แบบฝกทกษะแบบฝกทกษะท ท 44 แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 2.1.5 ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

ขอท ค าถาม ค าตอบ

1

จงหาฐานนยมจากตารางแจกแจงความถตอไปน

1.1 คะแนน 2 – 4 5 – 7 8 – 10 11 – 13 14 – 16 17 - 19 ความถ 22 8 42 8 12 8

1.2

อาย (ป) 5 – 8 9 – 12 13– 16 17 – 20 21 – 24 ความถ 3 7 20 8 2

1.3

คะแนน 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 ความถ 2 3 10 3 7

1.4

น าหนก (กโลกรม)

20 – 25 26 – 31 32 – 37 38 – 43 44 – 49

ความถ 12 18 33 38 40

2 จากตารางแจกแจงความถในขอ 1.4 ถาคาฐานนยมของขอมลเทากบ x และความถอนตรภาคชนทมฐานนยมอยเทากบ y แลว จงหาคาของ x + y

การเปรยบเทยบคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม น าขอมลจากตารางแจกแจงความถเขยนกราฟโคงการแจกแจงความถ (Curve of Frequency Distribution) จะไดกราฟเปนแบบรประฆงคว า 3 แบบ คอ กราฟโคงปกต (Normal Curve) ถาการแจกแจงเปนรปสมมาตร กราฟเบซาย (Negatively Curve) และกราฟเบขวา (Positively Skewed) จากกราฟทง 3 รปแบบ จะไดคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม เปนไปตามรปทแสดง 1)

x Med Mo 2) 3)

x Med Mo Mo Med x

1) ขอมลเปนโคงปกต x = Med = Mo

2) ขอมลเปนกราฟเบทางซาย x < Med < Mo

3) ขอมลเปนกราฟเบทางขวา Mo < Med < x

13 1. จงหาฐานนยมของคะแนน 4, 5, 3, 2, 4, 1, 5, 4, 2, 1, 4, 3 2. จงหาฐานนยมของคะแนน 8, 6, 2, 0, 8, 6, 2, 4, 5, 8, 3, 6 3. ก าหนดขอมล 10, 30, 20, 10, 40, 30, 10, 20, 10, 30 ถาน า 10 ไปหารขอมลทกจ านวน และน า 6 บวกเขากบขอมลใหมทไดทกจ านวน ขอมลชดใหมมฐานนยมเปนเทาไร 4. ก าหนด a, 6, 10, 9, 3, 4, 7 ถาขอมลชดนมฐานนยมมากกวามธยฐาน จงหาผลบวกของคา a ทกคา 5. ก าหนดตารางแจกแจงความถของขอมล จงหาฐานนยม คะแนน 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 ความถ 8 3 6 10 2 4

6. ก าหนดตารางแจกแจงความถของขอมล จงหาฐานนยม

คะแนน ความถ 2.35-2.54 2.15.2.34 1.95-2.14 1.75-1.94 1.55-1.74 1.35-1.54

12 16 22 30 25 15

ควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล เปนวธการบอกต าแหนงทของขอมล โดยการน าขอมล

มาเรยงจากคานอยไปหาคามาก แลวแบงขอมลออกเปน 4 , 10 และ 100 สวน ๆ ละเทากน ตามล าดบ

ความหมายของ ควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล 1. ควอรไทล (Quartile) เปนการวดต าแหนงทแบงขอมลทงหมดทเรยงจากนอยไปหามาก

ออกเปน 4 สวนเทา ๆ กน แตละสวนประกอบดวยจ านวนขอมล 4

N จ านวน เมอ N แทนจ านวน

ขอมลทงหมด ใชสญลกษณ Q

นอย มาก

ขอมล

Q1 Q2 Q3

คาทตรงกบจด 3 จด ในรปเรยกวา ควอรไทลท 1 (Q1) ควอรไทลท 2 (Q2) และ ควอรไทลท 3 (Q3) ตามล าดบ ดงนน Q1 คอ ขอมลทมขอมลตวอน ๆ ทมคานอยกวา หรอเทากบมนอย 1 สวน

และมขอมลตวอน ๆ ทมคามากกวา หรอเทากบมนอย 3 สวน เมอแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทา ๆ กน

Q2 คอ ขอมลทมขอมลตวอน ๆ ทมคานอยกวา หรอเทากบมนอย 2 สวน และมากกวา หรอเทากบมนอย 2 สวน เมอแบงขอมลออกเปน 4 สวน เทา ๆ กน Q3 คอ ขอมลทมตวขอมลอน ๆ ทมคานอยกวา หรอเทากบมนอย 3 สวน และมากกวา หรอเทากบมนอย 1 สวน เมอแบงขอมลออกเปน 4 สวน เทา ๆ กน

แบบฝกหดท 1.1 ค 1.2 การวดต าแหนงทของขอมล

ขอมลทมต าแหนงตรงกบ

14 2. เดไซล (Decile) เปนการวดต าแหนงทแบงขอมลทงหมดทเรยงจากนอยไปหามาก

ออกเปน 10 สวนเทา ๆ กน แตละสวนประกอบดวยจ านวนขอมล 10

N จ านวน เมอ N แทนจ านวนขอมล

ทงหมด ใชสญลกษณ D นอย มาก

ขอมล

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

จดทแบงขอมลออกเปน 10 สวนนนจะม 9 จด เรยกวา เดไซลท 1 (D1), เดไซลท 2(D2),

เดไซลท 3(D3),……..,เดไซลท 9(D9) ตามล าดบ เชน

3. เปอรเซนไทล (Percentile) เปนการวดต าแหนงททแบงขอมลทงหมดทเรยงจากนอย

ไปหามาก ออกเปน 100 สวนเทา ๆ กน แตละสวนประกอบดวยจ านวนขอมล 100

N จ านวน

เมอ N แทนจ านวนขอมลทงหมด ใชสญลกษณ นอย มาก

p1 p2 p3 p99

จดทแบงขอมลออกเปน 100 สวนนนจะม 99 จด เรยกวา เปอรเซนไทลท 1 (p1) ,

เปอรเซนไทลท 2 (p3),เปอ รเซนไทลท 3 (p3),……….,เปอรเซนไทลท 99 (p99) , ตามล าดบ เชน

P70 คอ ขอมลทขอมลตวอนๆ ทมคานอยกวาหรอเทากบมนอย 70 สวน และมากกวาหรอเทากบมนอย 30 สวน เมอแบงขอมลออกเปน 100 สวน เทาๆกน การเปรยบเทยบคาของ P, D, Q ขอมลชดทหนงเรยงจากนอยไปหามาก และสามารถอานคาของต าแหนงดวย P,D และ Q ดงน P 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q 0 1 2 3 4 จากแผนผงขางบน จะไดวา

D4 คอ ขอมลทมขอมลตวอน ๆ ทมคานอยกวา หรอเทากบมนอย 4 สวน และมากกวา หรอเทากบมนอย 6 สวน เมอแบงขอมลออกเปน 10 สวน เทา ๆ กน

1. P10 = D1 , P20=D2 , P30 = D3 ,…, P90 = D9 2. P25 = D2.5 = Q1 , P50 = D5 = Q75 , P75 = D7.5 = Q3 3. P50 = D5 = Q2 คามาตรฐาน

15

แบบฝกทกษะแบบฝกทกษะท ท 66 ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบทถกตองลงในชองวางในตารางตอไปน ใหสมบรณ

ขอ ค าถาม ค าตอบ

1. นกเรยนจะตองสอบไดต าแหนงควอรไทลทเทาไร จงจะม นกเรยนประมาณหนงในสของชน ไดคะแนนสงกวา

2.

นกเรยนจะตองสอบไดต าแหนงควอรไทลทเทาไร จงจะม นกเรยนประมาณหนงในสของชน ไดคะแนนต ากวา

3.

นกเรยนจะตองสอบไดต าแหนงเดไซลทเทาไร จงจะมผ สอบไดคะแนนนอยกวา 6 ใน 10

4.

จงหาต าแหนงของคะแนนทมจ านวนนกเรยนสอบได คะแนนนอยกวาคะแนนนอย 4 ใน 10

5. นกเรยนจะตองสอบไดต าแหนงเดไซลทเทาไร จงจะมนกเรยน ประมาณ 1 ใน 10 ของชนไดคะแนนสงกวา

6. จงหาต าแหนงเปอรเซนไทลของคะแนนทมจ านวนนกเรยน ซง ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนอยประมาณรอยละ 40

7. จงหาต าแหนงเปอรเซนไทลของคะแนนทมจ านวนนกเรยน ซง ไดคะแนนมากกวาคะแนนนอยประมาณรอยละ 60

8. จากผลการสอบของนกเรยนหองหนงจ านวน 20 คน ปรากฏวา นงนชสอบไดเปอรเซนไทลท 80 จงหาวามนกเรยนกคนทสอบ ไดคะแนนต ากวานงนช

การหาต าแหนงทและคาของของควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล ของขอมลทไมแจกแจงความถได

การหาต าแหนงทและคาของควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล ของขอมลทไม แจกแจงความถได มล าดบขนตอนในการหา ดงน ขนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปหารมาก ก าหนดใหขอมลทมคานอยทสดเปนขอมลต าแหนงท 1 เรอยไปจนถงคาสงสดเปนขอมลต าแหนงท N เมอ N เปนจ านวนขอมลทงหมด ขนท 2 หาต าแหนงของควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล โดยใชสตร ดงน

ขนท 3 หาคาของควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล ทตองการโดยการนบ ถาลงตว พอดขอมลตวนนกจะเปนค าตอบ ถาไมลงตวใหเทยบบญญตไตรยางศ ตวอยางท 1 คะแนนการสอบของนกเรยน 9 คน เปนดงน 34 , 8 , 6 , 22 , 38 , 2 , 40 , 18 , 30 จงหา P30 และ D5 วธท า ขนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปหามาก

ต าแหนงของขอมล 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ขอมล 2 6 8 18 22 30 34 38 40

ต าแหนงของ )1(4

Nr

Q r


Nr

Dr


Nr

Pr

เมอ r แทน ต าแหนงของควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล N แทน จ านวนขอมลทงหมด

16 ขนท 2 หาต าแหนงของ P30 และ D5


Nr

Pr


3030 P

= 3

และ ต าแหนงของ )1(10

Nr

Dr


55 D

= 5 ขนท 3 หาต าแหนงของ P30 และ D5 จะได P30 = 8 D5 = 22 ตวอยางท 2 ถาขอมลเปนดงน 52 , 42 , 57 , 53 , 44 , 39 , 33 , 35

จงหา 1. Q1 2. D7 3. P50 วธท า ขนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปหามาก (N = 8) ไดดงน ขนท 2 หาต าแหนงของ Q1 , D7 และ P50 จากสตร


Nr

Q r


11 Q

= 2.25

และ ต าแหนงของ )1(10

Nr

Dr


71 D

= 6.3


Nr

Pr


5050 P

= 4.50 ขนท 3 หาคาของ Q1 , D7 และ P50 จะได คาของ Q1 Q1 มคาอยระหวาง 35 กบ 39 ต าแหนงตางกน 1 ขอมลตางกน 4

ต าแหนงตางกน 0.25 ขอมลตางกน 11

25.04

Q1 = 35 + 1 = 36

คาของ D7 D7 มคาอยระหวาง 52 กบ 53 ต าแหนงตางกน 1 ขอมลตางกน 1

ต าแหนงตางกน 0.3 ขอมลตางกน 3.01

3.01

Q7 = 52 + 0.3 = 52.3 คาของ P50 P50 มคาอยระหวาง 42 กบ 44 ต าแหนงตางกน 1 ขอมลตางกน 2


5.02

P7 = 42 + 1 = 43

Q1 = 36 D7 = 52.3 P50 = 43 ตอบ

ต าแหนงของขอมล 1 2 3 4 5 6 7 8 ขอมล 33 35 39 42 44 52 53 57

17

แบบฝกทกษะแบบฝกทกษะท ท 77 ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบทถกตองลงในชองวางในตารางตอไปน ใหสมบรณ

ขอ ขอมล ค าตอบ 1 15 , 50 ,4 , 20 , 7 , 30 , 35 , 48 , 24 จงหา P40 P40 = 2 40 , 31 , 30 , 42 , 42 , 32 , 34 , 36 , 29 จงหา D2 D2 = 3 35 , 31 , 42 , 43 , 30 , 35 , 49 , 48 , 25 จงหา Q3 Q3 = 4 2 , 6 , 10 , 7 , 15 , 14 , 12 จงหา D7 D7 = 5 3 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 5 จงหา Q2 Q2 = 6 20 , 24 , 32 , 40 , 36 , 28 , 26 , 42 จงหา P60 P60 = 7 15 , 20 , 25 , 35 , 5 , 30 จงหา Q1 Q1 = 8 8 , 12 , 14 , 20 , 16 จงหา D6 D6 = 9 1 , 5 , 9 , 11 , 13 , 7 , 15 , 21 , 18 จงหา P20 P20 =

10 40 , 42 , 30 , 36 , 38 , 44 จงหา P35 P35 =

การหาต าแหนงทและคาของของควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล ของขอมลทแจกแจงความถได

ในการหาต าแหนงทและคาของควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล ของขอมลท

แจกแจงความถ จะแยกเปน 2 กรณ ดงน 1. การหาต าแหนงทและคาของควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล ของขอมล

ทแจกแจงความถของแตละคา (ไมเปนอนตรภาคชน) 2. การหาต าแหนงทและคาของควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล ของขอมล

ทแจกแจงความถของแตละคา (เปนอนตรภาคชน)

1. การหาต าแหนงทและคาของควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล ของขอมล ทแจกแจงความถของแตละคา (ไมเปนอนตรภาคชน) มขนตอนในการหาดงน 1. เรยงขอมลจากนอยไปหามาก 2. สรางตารางความถสะสม (ตวเลขในชองน คอ ต าแหนงของขอมล) 3. หาต าแหนงของควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล โดยใชสตร ดงน 4. การหาคาของควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล ตามต าแหนงท

ค านวณไดในขอ 3


Nr

Q r


Nr

Dr


Nr

Pr

18 ตวอยางท 1 ก าหนดขอมล ดงตาราง

คะแนน ความถ

3 2 5 3 8 5

10 3 20 4 รวม 17

จงหา 1. P50 2. D7 3. Q3 วธท า

คะแนน ความถ (f) ความถสะสม (cf) 3 2 2 5 3 5 8 5 10 10 3 13 20 4 17 N = 17

การหาต าแหนงของ P50 , D7 และ Q3 จะได

ต าแหนงของ P50 P50 = )117(100

50 = 9

P50 = 8

ต าแหนงของ D7 D7 = )117(10

7 = 12.6

D7 = 10

ต าแหนงของ Q3 Q3 = )117(4

3 = 13.5

Q3 มคาอยระหวาง 10 กบ 20 ต าแหนงตางกน 1 ขอมลตางกน 10


5.010

Q3 = 10 + 5 = 15

2. การหาต าแหนงทและคาของควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล ของขอมล ทแจกแจงความถของแตละคา (เปนอนตรภาคชน) มขนตอนในการหาดงน 1. สรางตารางความถสะสม 2. หาต าแหนงของควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล โดยใชสตร ดงน 3. หาอนตรภาคชนทควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทลทตองการอย

4. ค านวณหาคา ควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทลทตองการ จากสตร ดงตอไปน เมอ Qr แทน ควอรไทลท r Dr แทน เดไซลท r Pr แทน เปอรเซนไทลท r L แทน ขอบลางของอนตรภาคชนทควอรไทล เดไชล

และเปอรเซนไทลทตองการอย

ต าแหนงของ )(4

Nr

Q r


Nr

Dr


Nr

Pr

)4

( frN

f

ILQ r

)10

( frN

f

ILDr

)100

( frN

f

ILPr

19 I แทน ความกวางของอนตรภาคชนทควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทลทตองการอย f แทน ความถของอนตรภาคชนทควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทลทตองการอย F แทน ผลรวมความถสะสมของอนตรภาคชนทต ากวา

อนตรภาคชนทควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล ทตองการอย 1 ชน

N แทน จ านวนขอมลทงหมด ตวอยางท 2 จงหา D4 จากตารางแจกแจงความถ ตอไปน

อนตรภาคชน 11 – 15 16 – 20 21 – 25 36 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 ความถ 5 11 15 18 12 10 9

วธท า ขนท 1 สรางตารางความถสะสม

คะแนน ความถ (f) ความถสะสม (f) 11 – 15 5 5 16 – 20 11 16 21 – 25 15 31 36 – 30 18 49 31 – 35 12 61 36 – 40 10 71 41 – 45 9 80 รวม N = 80

ขนท 2 หาต าแหนงของ D4 โดยใชสตร

ต าแหนงของ = )(10

44 ND

ต าแหนงของ = )80(10

4 = 32

ขนท 3 หาอนตรภาคชน D4 อย ซงตรงกบอนตรภาคชน 26 – 30

)10

( frN

f

ILDr

ในทน r = 4 , I = 5 , f = 18 , F = 31 , N = 80 และ L = 25.5 แทนคาในสตร

)3110

)80(4(

18

55.254 D

= 25.5 + 0.28 = 25.78 D4 มคาเทากบ 25.78 ตอบ


ค าชแจง จงเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปน ใหสมบรณ ขอ ขอมล ค าตอบ 1 คะแนน 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34

ความถ 3 7 10 8 2

จงหา Q2 , D8 และ P40

Q2 = D8 = P40 =

2 คะแนน 90-99 80-89 70-79 60-69 50-59 ความถ 3 5 7 6 2


Q3 = D5 = P52 =

3 คะแนน 0-19 20-39 40-49 60-79 80-99 ความถ 10 16 32 30 12


Q1 = D4 = P67 =

20

การหาต าแหนงทและคาของของควอรไทล เดไชล และเปอรเซนไทล ของขอมลทแจกแจงความถได

กราฟทใชในการหา ควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล คอเสนโคงของความถสะสม

หรอ โอจฟ (ogive) ใชกบขอมลทมการแจกแจงความถแลว ซงขนตอนในการหา ควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล จากกราฟ มดงน

1. เขยนเสนโคงความถสะสม โดยใชแกนนอน หรอแกน X แสดงคาขอมล และ แกนตง หรอแกน Y แสดงคาของความถสะสม

2. ลากเสนตรง y = 4

rN (ส าหรบ Qr)หรอ y = 10

rN (ส าหรบ Dr) หรอ y = 100

rN

(ส าหรบ Pr ) ซงเปนเสนตรงทขนานกบแกนนอน ตดเสนโคงความถสะสม จากจดตดนลากเสน ตงฉากกบแกนนอนตดแกนนอนทจดใด คาบนแกนนอนทจดนนจะเปน Qr, Dr, Pr ของขอมลชดนน ตวอยางท 1 ตารางแจกแจงความถ แสดงรายไดตอวนของกรรมกรกลมหนง เปนดงน

รายไดตอวน (บาท) จ านวนกรรมมกร 60 - 65 3 66 - 71 7 72 - 77 15 78 - 83 6 84 - 89 10 90 - 95 5

96 - 101 4 จงหา Q1 , D7 และ P90 จากกราฟ วธท า

รายไดตอวน ( บาท ) จ านวนกรรมกร ความถสะสม 60 - 65 3 3 66 - 67 7 10 72 - 77 15 25 78 - 83 6 31 84 - 89 10 41

95 - 95 5 46 96 - 101 4 50

ความถสะสม 50 45 40 35 30 25 20 12.5 10 5

รายไดตอ วน 59.5 65.5 71.5 77.5 83.5 89.5 95.5 101.5

Q 1 D7 P90 ต าแหนง Q 1 คอ 5.12

4

50

4

N ลากเสนตรง y = 12.5

ต าแหนง D7 คอ 3510

507

10

7

N ลากเสนตรง y = 35

ต าแหนง P90 คอ 45100

5090

100

90

N ลากเสนตรง y = 12.5

y = 45

y = 35

y = 12.5

21 จากกราฟ จะไดวา Q1 = 73 D7 = 86 P90 = 94 พจารณาเปรยบเทยบการหา Q1 , D7 และ P90 โดยใชสตรค านวณ

Q1 = 71.5 +

15

105.12 (6)

= 71.5 + 1 = 72.5

D7 = 83.5 +

10

3135 (6)

= 83.5 + 2.4 = 85.9

P90 = 89.5 +

5

3145 (6)

= 89.5 + 4.8 = 94.5 ขอสงเกต การหาคา ควอรไทล เดไซล เปอรเซนไทล หรอ การหาต าแหนง ควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล โดยใชกราฟ คาทไดอาจมความคลาดเคลอนไมเทยงตรง ทงนขนอยกบความละเอยดในการวาดเสนโคงของความถสะสม และความละเอยดในการอาน จากกราฟ ดงนน ความเทยงตรงจงสการค านวณโดยใชสตรไมได

แบบฝกทกษะแบบฝกทกษะท ท 99 ค าชแจง ใหนกเรยนหาคาของ ควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล จากตารางแจกแจงความถตอไปน นกเรยนชน ม. 5 หองหนง จ านวน 40 คน สอบวชาคณตศาสตร ไดคะแนนดงตารางตอไปน

คะแนน จ านวนนกเรยน ความถสะสม 0 - 2 3 3 3 - 5 2 5 6 - 8 4 9 9 - 11 7 16

12 - 14 8 24 15 -17 10 34 18 - 20 6 40

จงหา Q3 , D5 , และ P30 โดยใชกราฟ 40

35

30

25

20

15

10

5

- 0.5 2.5 5.5 8.5 11.5 14.5 17.5 20.5 คะแนน

Q3 ………………………… D5 ………………………… P30 …………………………

22

การวดการกระจายสมบรณ

เปนการเปรยบเทยบการกระจายของขอมลชดเดยว

วดการกระจายของขอมลทไมแจกแจงความถ โดยใชพสย

วดการกระจายของขอมลแจกแจงความถ โดยใชพสย

ตวอยาง 1. จงหาพสยของขอมล

พสย = U – L = 74.5 – 59.5 = 15

2. จงหาพสยของขอมล

พสย = U – L = 99.5 – 49.5 = 50

3. จงหาพสยของขอมล 11 , 14 , 14 , 15 , 19, 20 , 21 , 24 , 26 , 42 พสย = xmax – xmin = 42 – 11 = 31

แบบฝกทกษะแบบฝกทกษะท ท 1100 จงหาพสยของขอมล 1. ………………………………………………………………………….. 2.

………………………………………………………………………….. 3. 10 , 20 , 30 , 40 , 50 , 60 , 70 …………………………………………………………………………..

พสยของขอมล คอ คาทใชวดการกระจายของขอมลทไดจากผลตาง ระหวางขอมลทมคาสงสด และขอมลทมคาต าสด

พสย = xmax – xmin

พสย คอ ขอบบนของอนตรภาคชนทมคาสงสด – ขอบลางของ อนตรภาคชนทมคาต าสด

พสย = U – L

น าหนก 60-62 63-65 66-68 69-71 72-74

จ านวนนสต 2 3 5 4 2


90 – 99 4 80 – 89 15 70 – 79 20

60 – 69 10 50 – 59 6

คะแนน 2 – 4 5 – 7 8 – 10 11 – 13

ความถ 5 3 2 8

น าหนก 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71

จ านวน น.ร. 3 18 42 27

23

วดการกระจายของขอมล โดยใชสวนเบยงเบนควอรไทล


จงหาสวนเบยงเบนควอรไทล

ขอ

ขอมล

Q1

Q3

สวนเบยงเบนควอรไทล

(Q.D.) 1. 10 , 2 , 6 , 8 , 4, 12 , 16 , 20 , 18 2. 5 , 10 , 15 , 20, 25 , 30 , 35 3. 3 , 7 , 11 , 15 , 5 , 9 , 13 4. 3 , 5 , 9 , 14 , 18 5. 4 , 24 , 12 , 18 , 26 , 30 , 42 6. 50 , 53 , 52 , 55 , 60 , 54 , 51 7. 5 , 10 , 15 , 20, 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 8. 9 , 11 , 13 , 17 , 15 , 21 , 19 9. 8 , 10 , 12 , 20 , 24 , 30 , 26 , 22 10. 2 , 6 , 8 , 10 , 16 , 14 , 12

ขอมล

Q1

Q3

สวนเบยงเบน ควอรไทล

(Q.D.) 1.

17.71

26.06

2

71.1706.26

4.175

2.

3.81

8.65

2

81.365.8

2.42

3.

วดการกระจายของขอมลทไมแจกแจงความถ โดยใชสวนเบยงเบนเฉลย

ขอ

ขอมล

N

X

N

i

i xx1

สวนเบยงเบนเฉลย

(M.D.)

1 2 , 4 , 5 , 9 4 5 8 2

4

8

2 3 , 5 , 1 , 9 , 7 5 5 12 4.2

5

12

3 68 , 50 , 46 , 57 , 49 5 54 34 8.65

34

4 2 , 8 , 9 , 5 4 6 10 5.24

10

5 3 , 7 , 8 , 14 4 8 12 3

4

12

สวนเบยงเบนควอรไทล คอ คาทใชวดการกระจายของขอมล ซงเทากบครงหนงของผลตางระหวางควอรไทลท 3 กบควอรไทลท 1

Q.D. = 2

13 QQ

คะแนน 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34 ความถ 3 7 10 8 2

คะแนน นอยกวา 3 3 – 5 6 – 8 9 – 11 มากกวา11 ความถ 2 4 5 3 1

คะแนน 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 ความถ 10 20 11 12 21 6

M.D. = N

xxN

i

i

1

24

วดการกระจายของขอมลทแจกแจงความถ โดยใชสวนเบยงเบนเฉลย ตวอยาง จงหาสวนเบยงเบนเฉลยของคะแนนและความถ ตอไปน

วธท า คะแนน f x fx xx

xxf

30–39 2 34.5 69.0 34.5 – 72.5= 38 76

40–49 3 44.5 133.5 44.5 – 72.5= 28 84

50–59 11 54.5 599.5 54.5 – 72.5= 18 198

60–69 20 64.5 1,290.0 64.5 – 72.5= 8 160

70–79 32 74.5 2,384.0 74.5 – 72.5= 2 64 80–89 25 84.5 2,112.5 84.5 – 72.5= 12 300

90 – 99 7 94.5 661.5 94.5 – 72.5= 22 154

N = 100

fx = 7,250

036,1xxf

จากสตร x = N

fx

แทนคาจะได x = 100

250,7 = 72.5

และ จากสตร

แทนคา M.D. = 100

036,1 = 10.36

แบบฝกทกษะท แบบฝกทกษะท 112 จงหาสวนเบยงเบนเฉลยตอไปน 1. 4 , 5 , 8 , 12 2. 1 , 3 , 6 , 4 , 8 , 3 , 5 , 2 3. 4.

คะแนน 30–39 40–49 50–59 60–69 70–79 80–89 90 – 99 ความถ 2 3 11 20 32 25 7

คะแนน 10 –14 15 - 19 20 – 24 ความถ 5 3 6

คะแนน 20–29 30–39 40–49 50-59 60-69 ความถ 12 8 10 16 4

N

xxfDM

..

N

xxfDM

..

25

วดการกระจายของขอมลทไมแจกแจงความถ โดยใชสวนเบยงเบนมาตรฐาน

สวนเบยงเบนมาตรฐาน จะใชสญลกษณ S และ S.D. จากความหมายของสวนเบยงเบนมาตรฐาน จะสามารถหาคาสวนเบยงเบนมาตรฐาน ไดตามล าดบขนตอน ดงน

1. หาคาเฉลยเลขคณต ( x )

2. หาผลตางระหวางขอมลกบคาเฉลยเลขคณต xx i

3. หารก าลงสองของผลตาง ในขอ 2xx i 4. หาผลบวกของก าลงสองของผลตาง ในขอ 3

N

i

i xx1

2

5. หารผลบวกในขอ 4 ดวยจ านวนขอมล

N

xxN

i 1

2

6. หารากทสองทไมใชจ านวนลบของผลหารในขอ 5

N

xxN

i

i

1

2

จากล าดบขน 1 – 6 สรปเปนสตรการหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน ไดดงน

หรอ เขยนในรปยอ ไดดงน

S = N

xx 2

หรอ S = 22

xN

x

ตวอยางท 1 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล 5 , 6 , 6 , 6 , 7 , 8 วธท า

xi xx i 2)( xx i 5 - 1.3 1.69 6 - 0.3 0.09 6 - 0.3 0.09 6 0.3 0.09 7 0.7 0.49 8 1.7 2.89

N

i

ix1

= 38

2

1

N

i

i xx = 5.34


xN

i

i1

แทนคา จะได x = 6

38 = 6.3

จากสตร S =

N

xxN

i

i

1

2

แทนคา จะได S = 6

34.5

S = 89.0 = 0.94

สวนเบยงเบนมาตรฐาน คอ คาทใชวดการกระจายทไดจากการหารรากทสอง ของคาเฉลยก าลงสอง ของผลตางระหวางคาของขอมลแตละคา กบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนน

สวนเบยงเบนมาตรฐาน (S) =

N

xxN

i

i

1

2

หรอ สวนเบยงเบนมาตรฐาน (S) = 21

2

xN

xN

i

i

26

วดการกระจายของขอมลทแจกแจงความถ โดยใชสวนเบยงเบนมาตรฐาน

เมอ xi เปนจดกงกลางของอนตราภาคชนท i fi เปนความถของอนตราภาคชนท i k เปนจ านวนอนตราภาคชน

N เปนจ านวนของขอมลทงหมด หรอผลรวมของความถของทกๆ อนตราภาคชน

x เปนคาเฉลยเลขคณตของขอมลทงหมด ตวอยางท 1 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน จากตารางแจกแจงความถตอไปน

คะแนน 10 – 14 15 – 19 20 – 24

ความถ 3 5 2 วธท า

วธท 1 ใชสตร S =

N

xxf 2

คะแนน x f fx (x - x )2 f(x - x )2

10 – 14 15 3 36 20.25 60.75 15 – 19 17 5 85 0.25 1.25 20 – 24 22 2 44 30.25 60.25

N = 10 fx = 165 f(x - x )2 = 122.50


fx = 10

165 = 16.5

S = 10

50.122 = 25.12 = 3.5

วธท 2 ใชสตร S = 22

xN

fx

คะแนน x f fx x2 fx2

10 – 14 15 3 36 144 432 15 – 19 17 5 85 289 1,445 20 – 24 22 2 44 484 968

N = 10 fx = 165 fx2 = 2,845


fx = 10

165 = 16.5

S = 25.1610

845,2 = 25.12 = 3.5

S =

N

xxf 2

S = 22

xN

fx

27


ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบทถกตองลงในชองวางในตารางตอไปน ใหสมบรณ

ขอ

ขอมล

x

2

xx

สวนเบยงเบน มาตรฐาน

1 4 , 5 , 6 , 9 2 3 , 4 , 5 , 6 , 7 3 2 , 3 , 5 , 6 4 1 , 3 , 6 , 4 8 , 3 , 5 , 2 5 13 , 9 , 14 , 6 , 8 , 11 , 5 , 8 , 8 , 6 , 11 , 9

6. จากตารางแจกแจงคะแนนสอบของนกเรยน 20 คน เปนดงน


(fi) จดกงกลางชน

(xi) xi - x

(xi - x )2 fi(x i- x )2 x

S

20 – 29 2 30 – 39 4 40 – 49 7 50 – 59 5 60 – 69 2

รวม 20 – – – 7. จากตารางแจกแจงวนลาของนกเรยน 30 คน เปนดงน

คะแนน

จ านวนนกเรยน

ix

x2

fx2

x

( x )2 S

1 – 3 3 4 – 6 12 7 – 9 15 รวม 30 – –

ความแปรปรวนของขอมล 1. ความหมายของความแปรปรวน ความแปรปรวน (Variance) คอ สวนเบยงเบนมาตรฐานยกก าลงสอง ใชสญลกษณ S2

2. การหาความแปรปรวนของขอมล แบงเปน 2 กรณ คอ 2.1 เมอขอมลไมไดแจกแจงความถ จะใชสตรในการหาความแปรปรวน ดงน 2.2 เมอขอมลแจกแจงความถ จะใชสตรในการหาความแปรปรวน ดงน

S2 = N

xx 2)(

หรอ S2 = 22

xN

x

S2 = N

xxf 2)(

หรอ S2 = 22

xN

fx

28

การวดการกระจายสมพทธ เปนการเปรยบเทยบการกระจายของขอมลตงแต 2 ชดขนไป 1. สมประสทธของพสย 2. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล 3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย 4. สมประสทธของสวนเบยงเบนแปรผน

1. สมประสทธของพสย

ในการเปรยบเทยบการกระจายของขอมลตงแต 2 ชดขนไป โดยใชสมประสทธของพสย มขนตอนดงน

1. หาสมประสทธของพสยของขอมลแตละชด 2. น าสมประสทธของพสยของขอมลแตละชดเปรยบเทยบกนได

3. ถาสมประสทธของพสยของขอมลชดใดมคามากกวาสมประสทธของพสยของขอมลชดหนง แสดงวาขอมลชดนนมการกระจายมากกวาขอมลอกชดหนง ตวอยางท 1 ก าหนดขอมล 2 ชด ดงน ชด ก. 62 , 65 , 63 , 64 , 66 , 61 ชด ข. 90 , 92 , 94 , 103 , 109 , 107 จงเปรยบเทยบการกระจายของขอมล 2 ชด โดยใชสมประสทธของพสย วธท า ขอมลชด

คาสงสด คาต าสด สมประสทธ ของพสย

การเปรยบเทยบการกระจายของขอมล

ก.

66

61

127

5

6166

6166

= 0.039

ขอมลชด ข. มการกระจายมากกวาขอมลชด ก.

ข.

109

90 199

19

90109

90109

= 0.095

ตวอยางท 2 ก าหนดตารางแจกแจงความถของขอมล 2 ชด เปนดงน ขอมลชดท 1 ขอมลชดท 2

ขอมล ความถ ขอมล ความถ 50 – 52 12 60 – 62 5 53 – 55 13 63 – 55 18 56 – 58 20 66 – 68 17 59 – 61 15 69 – 71 30 รวม N = 60 รวม N = 70

จงเปรยบเทยบการกระจายของขอมล 2 ชด โดยใชสมประสทธของพสย

ขอมลชดท

ขอบบนของอนตราภาคชน ทมคาสงสด

ขอบลางของอนตราภาคชนทม

คาต าสด

สมประสทธ ของพสย


1.

61.5

49.5

5.495.61

5.495.61

= 0.108

ขอมลชดท 1. ม การกระจายมากกวาขอมลชดท 2.

2.

71.5

59.5

5.595.71

5.595.71

= 0.092 จากตวอยางท 1 และ 2 สรปเปนสตรในการหาสมประสทธของพสย ไดดงน เมอ C.R. แทน สมประสทธของพสย

C.R. = minmax

minmax

xx

xx

29

แบบฝกทกษะแบบฝกทกษะท ท 1144 ค าชแจง ใหนกเรยนเปรยบเทยบการกระจายของขอมลในแตละขอตอไปน โดยใชสมประสทธของพสย พรอมทงเตมตารางใหสมบรณ 1. คะแนนสอบวชาสถตของนกเรยน จ านวน 5 คน เปนดงน คะแนนสอบครงท 1 : 12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5 คะแนนสอบครงท 2 : 9 , 4 , 6 , 8 , 10 ตารางค าตอบขอ 1 คะแนนสอบ

ครงท xmax xmin สมประสทธของพสย การเปรยบเทยบการ

กระจายของขอมล 1. 2.

2. จากตารางแจกแจงความถตอไปน เปนคะแนนสอบวชาคณตศาสตร (ค41101) ของนกเรยน ชน ม.4/1 และ ม.4/2 เปนดงน ชน ม.4/1 ชน ม.4/2 ขอมล ความถ ขอมล ความถ

20 – 25 8 15 – 19 10 26 – 31 10 20 – 24 15 32 – 37 22 25 – 29 3 38 – 43 3 30 – 34 12

ตารางค าตอบขอ 3

ขอมล ท

xmax

xmin



ม.4/1 ม.4/2

4. จากตารางแจกแจงความถตอไปน เปนน าหนกของนกเรยนชาย 2 กลม ในระดบ ชนมธยมศกษาตอนปลาย กลมท 1 กลมท 2

น าหนก (ก.ก.) จ านวนนกเรยน น าหนก (ก.ก.) จ านวนนกเรยน 45 – 50 2 42 – 45 4 51 – 56 4 46 – 49 8 57 – 62 6 50 – 53 16 63 – 68 8 54 – 57 4 69 – 74 12 58 – 61 8


ขอมล ท

xmax

xmin



ม.4/1 ม.4/2

30

2. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล

สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล เปนคาทน าไปใชในการเปรยบเทยบการกระจายของขอมลตงแต 2 ชดขนไป เพอบอกวาขอมลชดใดมการกระจายมากและนอยกวากน

ในการเปรยบเทยบการกระจายของขอมลตงแต 2 ชดขนไป โดยใชสมประสทธของ สวนเบยงเบนควอรไทล มขนตอนดงน

1. หาสมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทลของขอมลแตละชด 2. น าคาค านวณไดในขอ 1 เปรยบเทยบกน

3. ถาสมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทลของขอมลชดหนง มคามากกวา สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทลของขอมลอกชดหนง แสดงวาขอมล ชดนนมการกระจายมากกวา

ตวอยางท 1 ก าหนดขอมล 2 ชด เปนดงน ชดท 1 : 13 , 6 , 8 , 2 , 15 , 10 , 19 , 4 ชดท 2 : 8 , 2 , 7 , 7 , 8 , 7 , 8 , 19 จงเปรยบเทยบการกระจายของขอมล 2 ชด โดยใชสมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล วธท า ขอมลชดท

Q1

Q3

สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล


1.

4.5 14.5 526.05.45.14

5.45.14

ขอมลชดท 1 มการกระจายมากกวาขอมลชดท 2

2.

7 8 067.078

78

ตวอยางท 3 ขอมลตอไปนเปนคะแนนสอบวชาสถตของนกเรยนชาย จ านวน 50 คน และนกเรยนหญง จ านวน 30 คน นกเรยนชาย นกเรยนหญง

ขอมล ความถ ความถสะสม ความถ ความถสะสม 20 – 24 8 8 4 4 25 – 29 10 18 6 10 30 – 34 14 32 10 20 35 – 39 9 41 5 25 40 – 44 6 47 3 28 45 – 49 3 50 2 30 รวม N = 50 N = 30

จงเปรยบเทยบการกระจายของคะแนนสอบวชาสถตของนกเรยนชาย และนกเรยนหญง โดยใช

สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล วธท า


Q1

Q3



นกเรยน ชาย

26.75

27.56

168.075.2656.27

75.2656.27

คะแนนสอบวชาสถตของ นกเรยนชายมการกระจายมากกวานกเรยนหญง

นกเรยนหญง 27.42

37.00

149.042.2737

42.2737

C.Q.D. = 13

13

QQ

QQ

31

แบบฝกทกษะแบบฝกทกษะท ท 1155 ค าชแจง ใหนกเรยนเปรยบเทยบการกระจายของขอมลในแตละขอตอไปน โดยใชสมประสทธ ของสวนเบยงเบนควอรไทล พรอมทงเตมตารางใหสมบรณ 1. ก าหนดขอมล 2 ชด เปนดงน ชดท 1 : 12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5 ชดท 2 : 9 , 3 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 18 ตารางค าตอบขอ 1

ขอมล ชดท

Q1

Q3


ผลการเปรยบเทยบการกระจายของขอมล

1. 2. 2. ก าหนดขอมล 2 กลม เปนดงน กลมท 1 : 2 , 6 , 8 , 12 , 18 , 20 , 22 , 30 , 40 กลมท 2 : 3 , 6 , 9 , 12 , 17 , 21 , 24 ตารางค าตอบขอ 2 ขอมล กลมท

Q1

Q3



กลมท1 กลมท2

3. ขอมลตอไปนเปนคะแนนสอบวชาสถตของนกเรยนชาย และนกเรยนหญง ชนมธยมศกษาปท 5 ของโรงเรยนแหงหนง นกเรยนชาย นกเรยนหญง

ขอมล ความถ ความถสะสม ความถ ความถสะสม 10 – 14 3 3 4 4 15 – 19 7 10 6 10 20 – 24 10 20 12 22 25 – 29 8 28 8 30 30 – 34 2 30 10 40


ขอมล Q1 Q3 สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล


คะแนนของ นกเรยนชาย

คะแนนของ นกเรยนหญง

32

3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย เปนคาทน าไปใชในการเปรยบเทยบการกระจายของขอมล

ตงแต 2 ชดขนไป เพอบอกวาขอมลชดใดมการกระจายมากและนอยกวากน ในการเปรยบเทยบการกระจายของขอมลตงแต 2 ชดขนไป โดยใชสมประสทธของ

สวนเบยงเบนเฉลย มขนตอนดงน 1. หาสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลแตละชด

2. น าคาค านวณไดในขอ 1 เปรยบเทยบกน 3. ถาสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดหนง มคามากกวา

สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลอกชดหนง แสดงวาขอมล ชดนนมการกระจายมากกวา

ตวอยางท 1 ก าหนดขอมล 2 ชด เปนดงน ชดท 1 : 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ชดท 2 : 3 , 5 , 7 , 9

จงเปรยบเทยบการกระจายของขอมล 2 ชด โดยใชสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย วธท า


( x ) สวนเบยงเบนเฉลย (M.D.)

สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย


ชดท1

6 2.4 40.06

4.2 ขอมลชดท 1 มการกระจาย

มากกวาขอมล ชดท 2 ชดท2 6 2 33.0

6

2

ตวอยางท 2 ขอมลจากตารางแจกแจงความถตอไปน เปนคะแนนสอบวชาภาษาไทย ของนกเรยนชน ม.3/1 และ ชน ม.3/2 จ านวนชนละ 40 คน

คะแนน จ านวนนกเรยนชน ม.3/1 จ านวนนกเรยนชน ม.3/2 20 – 26 6 10 27 – 33 12 8 34 – 40 18 2 41 – 47 3 14 48 – 54 1 6 รวม N = 40 N = 40

วธท า

ขอมล

คาเฉลยเลข

คณต ( x )

สวนเบยงเบนเฉลย (M.D.)

สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย


ม.3/1

33.68

7.23

21.068.33

23.7

คะแนนสอบวชาภาษาไทยของนกเรยนชน ม.3/2 มการกระจายมากกวาชน ม.3/1

ม.3/2

36.65

9.49

26.065.36

49.9

C.M.D. = x

DM ..

33


ค าชแจง ใหนกเรยนเปรยบเทยบการกระจายของขอมลในแตละขอตอไปน โดยใชสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย พรอมทงเตมตารางใหสมบรณ 1. สวนสงของนกเรยนชน ม.1 และ ม.2 ของโรงเรยนแหงหนง ซงสมมาชนละ 4 คน เปนดงน สวนสงของนกเรยนชน ม.1 : 130 , 130 , 136 , 140 สวนสงของนกเรยนชน ม.2 : 132 , 132 , 138 , 150 ตารางค าตอบขอ 1

ขอมล

x

M.D.

สมประสทธของ สวนเบยงเบนเฉลย


สวนสงของ นกเรยนชน ม.1

สวนสงของ นกเรยนชน ม.2

2. ขอมลตอไปนเปนคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.5/1 และ นกเรยนชน ม.5/2 จ านวนชนละ 6 คน เปนดงน

คะแนนสอบของนกเรยนชน ม.5/1 : 8 , 8 , 10 , 6 , 4 , 4 คะแนนสอบของนกเรยนชน ม.5/2 : 8 , 7, 9 , 10 , 6 , 2 จงเปรยบเทยบการกระจายของคะแนนนกเรยนชน ม.5/1 และ ม.5/2

3. จงเปรยบเทยบการกระจายของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรชน ม.2 และ ชน ม.3 ชนละ 1 หองเรยน ในโรงเรยนบวใหญ ปการศกษา 2540 เปนดงน

คะแนน จ านวนนกเรยนชน ม.2 จ านวนนกเรยนชน ม.3 20 – 26 6 4 27 – 33 12 10 34 – 40 18 8 41 – 47 3 5 48 – 54 1 6

จงหาสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย 4. จงเปรยบเทยบการกระจายของคะแนนสอบวชาภาษาไทยชน ม.5/1 และ ชน ม.5/2

โรงเรยนบวใหญ ปการศกษา 2540 เปนดงน

คะแนน จ านวนนกเรยนชน ม.5/1 จ านวนนกเรยนชน ม.5/2 21 – 23 1 2 24 – 26 6 5 27 – 29 10 8 30 – 32 17 15 33 – 35 4 6 36 – 38 2 4 รวม N = 40 N = 40

จงหาสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย

34

4. สมประสทธของสวนเบยงเบนแปรผน สมประสทธของสวนเบยงเบนแปรผน เปนคาทน าไปใชในการเปรยบเทยบการกระจายของ

ขอมลตงแต 2 ชดขนไป และเปนคานยมทใชมากทสด เพอบอกวาขอมลชดใด มการกระจายมาก หรอนอยกวากน คาใชสมประสทธของการแปรผน นยมเขยนในรปเปอรเซนตโดยคณดวย 100 มขนตอนดงน

1. หาสมประสทธของการแปรผนของขอมลแตละชด 2. น าคาค านวณไดในขอ 1 เปรยบเทยบกน

3. ถาสมประสทธของการแปรผนของขอมลชดหนง มคามากกวาคาสมประสทธ ของการแปรผนของขอมลอกชดหนง แสดงวาขอมลชดนนมการกระจาย มากกวา

ตวอยางท 1 ก าหนดขอมล 2 ชด เปนดงน ชดท 1 : 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ชดท 2 : 3 , 5 , 7 , 9

จงเปรยบเทยบการกระจายของขอมล 2 ชด โดยใชสมประสทธของการแปรผน วธท า


x

S.D.

สมประสทธของการแปรผน


ชดท1

6 2.82 44.06

82.2

หรอ = 47%

ขอมลชดท 1 มการกระจายมากกวาขอมล ชดท 2

ชดท2

6 2.24 37.06

24.2

หรอ = 37%

ตวอยางท 3 ก าหนดตารางแจกแจงความถซงเปนขอมล แสดงคะแนนสอบวชาคณตศาสตร (ค012) ของนกเรยนชน ม.4/2 และ ชน ม.4/3 ในโรงเรยนบวใหญ ปการศกษา 2534 มดงน

คะแนน จ านวนนกเรยนชน ม.4/2 จ านวนนกเรยนชน ม.4/3 1 – 3 2 4 4 – 6 3 2 7 – 9 5 8

10 – 12 7 3 13 – 15 4 4 16 – 18 1 9 รวม N = 22 N = 30

วธท า

ขอมล

x

S .D.

สมประสทธของการแปรผน


คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.4/2

9.5

3.92

41.05.9

92.3

หรอ = 41%

คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.4/3 มการกระจายมากกวา ชน ม.4/2 คะแนนสอบวชา

คณตศาสตรของนกเรยนชน ม.4/3

10.8

5.25

486.08.10

25.5

หรอ = 48.60%

C.V. = x

DS ..

35


ค าชแจง ใหนกเรยนเปรยบเทยบการกระจายของขอมลในแตละขอตอไปน โดยใชสมประสทธของ การแปรผน พรอมทงเตมตารางใหสมบรณ 1. ก าหนดขอมล 2 ชด ประกอบดวย ชด ก. : 8 , 8 , 10 , 6 , 4 , 4 ชด ข. : 8 , 7 , 9 , 10 , 6 , 2 ตารางค าตอบขอ 1

ขอมล x S.D. สมประสทธของการ

แปรผน ผลการเปรยบเทยบการกระจายของขอมล

ชด ก. ชด ข.

2. ก าหนดขอมลดงตารางขางลางน จงเตมตารางใหสมบรณ

ขอมล

x

S.D.

สมประสทธของ การแปรผน


ชด ก. 4 1 ชด ข. 8 2 ชด ค. 12 3

3. ตารางตอไปน เปนคะแนนการสอบวชาชววทยาของนกเรยนชน ม.5/1 และ ชน ม.5/2 ในโรงเรยนบวใหญ ปการศกษา 2539 เปนดงน

คะแนน จ านวนนกเรยนชน ม.5/1 จ านวนนกเรยนชน ม.5/2 0 – 4 2 4 5 – 9 3 5

10 – 14 4 6 15 – 19 4 8 20 – 24 7 7 รวม N = 20 N = 30

จงเปรยบเทยบการกระจายของคะแนนสอบวชาชววทยาของนกเรยนชน ม.5/1 และ ชน

ม.5/2 ตารางค าตอบขอ 3

ขอมล

x

S.D.

สมประสทธของ สวนเบยงเบนเฉลย

ผลการเปรยบเทยบการกระจายของ

ขอมล คะแนนการสอบวชาชววทยาชน ม.5/1

คะแนนการสอบวชาชววทยาชน ม.5/2

36 เอกสารฝกหดเพมเตมเอกสารฝกหดเพมเตม

ค าชแจง ใหนกเรยนท าเอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 4 จ านวน 7 ขอ เปนการบาน แลวน าสงครผสอน 1. ในการสอบวชาคณตศาสตรครงน ปรากฎวา สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทลเทากบ 0.2 ถานายพรศกดสอบได 60 คะแนน ซงตรงกบ P75 แลวอยากทราบวา นายสมชายสอบไดคะแนนตรวกบ P25 จะสอบไดกคะแนน ( ตอบ สมชายสอบได 40 คะแนน ) 2. จงเปรยบเทยบการกระจายของคะแนนสอบวชาภาษาองกฤษของนกเรยนชน ม.5/1 และ ม.5/2 โดยใชสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย จากตารางแจกแจงความถตอไปน (ตอบ คะแนนสอบวชาภาษาองกฤษของนกเรยนชน ม.5/2 มการกระจายมากกวา คะแนนของนกเรยนชน ม.5/1 ) 3. ในการสอบวชาภาษาไทย และสงคมศกษาของนกเรยน 40 คน ปรากฎวา คะแนนเฉลย ทงสองเทากนคอ 68 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนวชาภาษาไทย และสงคมศกษาเทากบ 15 และ 12 คะแนน ตามล าดบ จงหาวา คะแนนสอบวชาใดมการกระจายมากกวากน (ตอบ วชาภาษาไทย)

4. ในการสอบวชาคณตศาสตร ปรากฎวา นายธาดาไดคะแนนอยในต าแหนง P25 นางสาวสดฤดไดคะแนนอยในต าแหนง P75 ถาการสอบครงน มสวนเบยงเบนควอรไทลเทากบ 24 และสมประสทธของ สวนเบยงเบนควอรไทลเทากบ 0.20 แลวจงหาวา นายธาดาและนางสาวสดฤดไดคะแนนคนละคะแนน ( ตอบ นายธาดาสอบได 96 คะแนน และนางสาวสดฤดสอบได 144 คะแนน) 5. ในการจดความสงของนกเรยน 200 คน พบวาความสงต าของกลมนกเรยนทมความสงสด คดเปน 25% ของนกเรยนทงเรยนทงหมดเปน 53.5 นว ถาสมประสทธของสวนเบยงเบน ควอรไทลเปน 6% แลวจงหาคาของควอรไทลทหนง (Q1) ( ตอบ Q1 47.44) 6. ในการสอบครงหนงมผเขาสอบ 1,000 คน ในมจ านวนนมนกเรยนชาย 500 คน สวนทเหลอเปน นกเรยนหญง ปรากฎวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนชายและนกเรยนหญงเทากน คอ 50 คะแนน แตสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนของนกเรยนชายและนกเรยนหญงเทากบ 1.5 และ 1 ตามล าดบ จงหาสมประสทธของการแปรผนของคะแนนสอบทงหมด (ตอบ 2.64 %) 7. ในการค านวณหาคาเฉลยเลขคณต และความแปรปรวนของขอมลชดหนงไดเปน 8 และ 28.2 ตามล าดบ แตตรวจพบทหลงวา มทผดพลาดอย 2 ต าแหนง แหงแรก คอ อานสมาชกทมคา 5 เปน 6 แหงทสอง อานขอมลตกไปคาหนง คอ 12 ถาขอมลทแทจรง ม 10 จ านวน จงหาสมประสทธของการแปรผนของ ขอมลชดน

(ตอบ 60.25 %)

คะแนน

จ านวนนกเรยน

ม. 5/1 ม. 5/2

2 – 4 2 8 5 – 7 4 6 8 – 10 6 4

11 – 13 8 2

37

นกเรยนจงหาค าตอบตอไปน 1. ขอมลชดหนงม 8 จ านวน คอ a , b , c , d , 2 , 4 , 10 , 12 ถาขอมลชดนมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 5 แลว a , b , c , d , 18 มคาเฉลยเลขคณตเทาใด

2. สวนสงของพนอง 2 คน มพสยเทากบ 12 ซม. มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 171 ซม. จงหาอายของพและนองทงสองคนน

3. ขอมลชดหนงม 3 จ านวน มฐานนยม = มธยฐาน = 70 มคาเฉลยเลขคณต = 64 แลวพสยมคาเทาใด

4. ขอมลชดหนงประกอบดวย 4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4 จงเปรยบเทยบคาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และ มธยฐาน

5. ขอมลชดหนงม 5 จ านวน มฐานนยม มธยฐาน และคาเฉลยเลขคณต เปน 14, 15 และ 16 ตามล าดบ และพสยเทากบ 6 แลวความแปรปรวนมคาเทาใด

6. น าอายของนกเรยนมา 10 คน หาคาสวนเบยงเบนมาตรฐานไดเปนศนย ถาน าอายของแตละคนมายกก าลงสอง แลวบวกกนจ าไดเปน 1,000 ป2 จงหาวาเดกกลมนมอายคนละเทาไร

7. ความสงในหนวยเซนตเมตรของนกเรยน 10 คน เปนดงน 155, 157, 158, 158, 160, 161, 161, 163, 165, 166 ถามนกเรยนเพมขนอกหนงคน ซงมความสง 158 ซม. แลวคาสถตใดไมเปลยนแปลง ก. คาเฉลย ข. มธยฐาน ค. ฐานนยม ง. พสย

8. ขอมลชดหนงมคาเฉลย 20 มธยฐาน 25 และฐานนยม 30 ขอมลนมการกระจายแบบใด ก. เบซาย ข. เบขวา ค. แบบมาตรฐาน ง. สรปไมได

9. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 80 คน พบวา คะแนน 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 95-99

จ านวนนกเรยน 1 2 11 10 12 21 6 9 4 4

ถาคะแนนแตละคนทสอบไดเปนจ านวนเตม จงหาวา 9.1 นกเรยนทสอบไดอนดบท 5 อาจไดคะแนนสงสดถงเทาใด 9.2 นกเรยนทสอบไดคะแนนตงแต 75 ถง 94 คดเปนรอยละเทาใด 10. ในการสอบวชาหนงมผสอบไดเกรดตาง ๆ ดงน เกรด A ม 5% เกรด B ม 20% เกรดC ม 30%เกรด D ม 40% นอกนนไดเกรด F นกเรยนทสอบไดควอไทลท 1 จะไดเกรดใด 1. A 2. B 3. C 4. D 11. ในการสอบวชาคณตศาสตรครงหนง สมประสทธสวนเบยงเบนควอไทลเทากบ0.2 ถาควอไทลท 1 เทากบ 35.8 ควอไทลท 3 มคาเทาใด

1. 23.86 2. 39.56 3. 53.70 4. 55.24 12. นกเรยนหองหนงม 150 คน นกเรยนชายสอบวชาคณตศาสตรไดคะแนนเฉลย 70 คะแน นกเรยนหญงสอบวชาคณตศาสตรไดคะแนนเฉลย 55 คะแนน ถาคะแนนเฉลยของนกเรยนทงหองเปน 60 คะแนน จงหาจ านวนนกเรยนชายมกคน

1. 50 2. 75 3. 100 4. 125

แบบฝกเสรมทกษะ แนวขอสอบ O-NET

ตงใจนะคะ ความพยายามอยทไหน ความส าเรจอยทนน

Documents

บทที่1 การวิเคราะห์ข้อมูล