Embed Size (px)
Citation preview
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 1 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACHPrírodovedecká fakulta
Ústav matematických vied
0/1
11
1/2
1/3
1/41/5
1/10
21
23
2/5
31
32
34
3/5
41
43
61
65
67
−11
−1/2
−1/3
−1/4−1/5
−1/10
−21
−23
−2/5
−31
−32
−34
−3/5
−41
−43
−61
−65
−67
d
n
Ondrej Hutník
ZÁPISKY Z MATEMATICKEJANALÝZY 1Vysokoškolský učebný text
Košice, 2014
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 1 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
ObsahTrochu z histórie matematickej analýzy 3
1 Číselné množiny 71.1 Reálne čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Absolútna hodnota reálneho čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Matematická indukcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4 Axióma (H) o hornej hranici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5 Niektoré dôležité vlastnosti reálnych čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6 Mocnina, odmocnina a logaritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Úvod do reálnych funkcií 432.1 Operácie s funkciami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2 Niektoré triedy funkcií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3 O elementárnych funkciách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3 Postupnosti reálnych čísel 863.1 Limita postupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.1.1 Operácie s limitami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.1.2 Nerovnosti medzi členmi postupností a ich limitami . . . . . . . . . 953.1.3 Nevlastná limita postupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.1.4 Monotónne postupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2 Vybrané postupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.3 Fundamentálne postupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.4 O Cantorovej konštrukcii reálnych čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.5 Eulerovo číslo a postupnosti s ním súvisiace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4 Rady reálnych čísel 1204.1 Základné pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 2 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
4.2 Operácie s číselnými radmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.3 Rady s nezápornými členmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.4 Absolútne a relatívne konvergentné rady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.5 Prerovnanie radu, konvergencia a súčin radov . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.6 O elementárnych funkciách ešte raz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Literatúra 149
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 3 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Trochu z histórie matematickej analýzyMatematická analýza je na rozdiel od niektorých iných oblastí matematiky pomerne mla-dá, pretože vznikla až v 17. storočí. Medzi jej zakladateľov môžeme zaradiť francúzskehofilozofa, matematika a fyzika René Descartesa1 (1596–1650), anglického matematika afyzika Isaaka Newtona2 (1642–1727) a nemeckého filozofa a matematika GottfriedaWilhelma Leibniza3 (1646–1716).
Pozrime sa trochu na historické súvislosti, ktoré stáli pri jej vzniku. Skúmanie pohybusa stalo koncom 16. storočia ústrednou úlohou prírodovedy. Spoločenská prax žiadala lepšiezvládnuť zákonitosti pohybu a zmeny v rôznych oblastiach javov. Potreba rozvoja stavalaprírodné vedy pred skúmanie pohybu, rôznych zmien a závislostí medzi zmenami rôznychveličín. Ako odraz spoločenských vlastností meniacich sa veličín a závislostí medzi nimivznikol v matematike pojem premennej veličiny a funkčnej závislosti. To bolo nóvum, ktoréposunulo matematiku k „vyššej matematike“, k matematike premenných veličín. Trebapovedať, že matematický pojem premennej veličiny a funkcie nie je nič iné ako abstrakcia,zovšeobecnenie konkrétnych premenných veličín – ako sú čas, dĺžka, rýchlosť, sila, atď. —a konkrétnych závislostí medzi nimi. V tomto období napríklad Galileo Galilei (1564–1642) objavuje zákon voľného pádu.
Matematiku vtedajšieho obdobia formuje riešenie praktických otázok. Rozsiahle zámor-ské plavby si vyžadujú presnejšie astronomické a geodetické merania a ich matematickéspracovanie. Objavy nových území a ich mapovanie vedú k vzniku súradnicových systémova analytickej geometrie. Rozvoj matematických schopností úzko súvisí s revolučnými ob-javmi v astronómii, ktoré sú spojené s menami Mikuláš Kopernik (1473–1543), Tychode Brahe (1546–1601) a Johannes Kepler (1571–1630). V roku 1635 zhrnul univer-zitný profesor z Bologne Bonaventura Cavalieri4 (1598–1647) všetky dovtedy známematematické poznatky infinitenzimálneho charakteru (z latinského infinitus – nekonečný)
1čítaj „Dekárt“2čítaj „Njútn“3čítaj „Lajbnyc“4čítaj „Kavalieri“
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 4 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
v práci „Geometria indivisibilibus continuorum“ a utvoril tak predprípravu na obja-venie diferenciálneho a integrálneho počtu. Tento takzvaný infinitenzimálny počet objavilinezávisle na sebe Newton a Leibniz. Newtonov prístup mal fyzikálny charakter a deriváciuchápal predovšetkým ako rýchlosť, zatiaľ čo Leibnizov prístup mal geometrickú povahu aderiváciu chápal ako smernicu dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode. Prvú učebnicuinfinitezimálneho počtu „Analyse des Infiniment Petites pour l’Intelligence desLignes Courbes“ vydal v roku 1696 francúzsky matematik Guillaume François An-toin de l’Hospital5 (1661–1704).
V 18. storočí matematická analýza závažným spôsobom ovplyvňuje rozvoj všetkých do-vtedajších matematických teórií, pretvára ich náplň, novým postupom rieši nejednu z nevy-riešených úloh a presvedčivým spôsobom demonštruje jednotu celej matematiky. V rámcianalýzy sa rozvíja teória radov, teória diferenciálnych rovníc, variačný počet, atď., na čommal nemalú zásluhu najvýznamnejší matematik 18. storočia Leonhard Euler6 (1707–1783). Podľa jeho početných prác (vraj až 886) sa ustálila symbolika infinitezimálnehopočtu (napr. f(x), π, i, e,
∑, ∆x, . . . ). V jeho stopách pokračujú mnohí ďalší, ako naprí-
klad Pierre Simon Laplace7 (1749–1827) a Joseph Louis Lagrange8 (1736–1813),ktorý ako prvý použil symbolický zápis derivácie f ′. Toto obdobie bolo však poznačenéaj mnohými logickými nepresnosťami a nedôslednosťami. Potreba riešenia týchto otázokrigoróznych základov analýzy sa tak postupne prenášala až do 19. storočia.
V tomto období sa matematika čoraz viac oddeľuje od bezprostredných požiadaviekreálneho života, hoci spojenie matematiky a praxe sa nikdy úplne neprerušilo. Vzniká čistáa aplikovaná matematika, mnohí matematici pôsobia ako učitelia na vysokých školách ašpecializujú sa na rôzne oblasti matematiky. V roku 1822 vydáva francúzsky matematik afyzik Jean–Baptiste Joseph Fourier9 (1768–1830) analytickú teóriu tepla „Théorieanalytique de la chaleur“, v ktorej funkciu chápe ako ľubovoľné zobrazenie množiny
5čítaj „Lopital“6čítaj „Ojler“7čítaj „Laplas“8čítaj „Lagranž“9čítaj „Furier“
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 5 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
reálnych čísel do seba. Pojem funkcie upresnil neskôr nemecký matematik Peter GustavLejeune Dirichlet (1805–1859). Veľké zásluhy na rozvoji matematiky v tomto obdobímá nemecký matematik a astronóm Carl Friedrich Gauss (1777–1855) a francúzskymatematik Augustin Louis Cauchy10 (1789–1857). Jeho práca „Course d’analyse“ zroku 1821 je základnou učebnicou diferenciálneho a integrálneho počtu fakticky platia-cou dodnes. V Prahe žijúci Bernard Bolzano (1781–1848) tiež prispel k vybudovaniuzákladov matematickej analýzy, avšak mnoho jeho spisov bolo objavených až posmrtne anedostalo sa do širšieho povedomia vtedajších matematikov. Bolzano predstihol svoju dobupochopením pojmu nekonečno a v knihe „Paradoxien des Unendlichen“ (vyšla v roku1851) študoval vlastnosti nekonečných množín, definoval pojem spočítateľnej a nespočíta-teľnej množiny a dospel až k pojmu mohutnosť kontinua. Na vypracovaní teórie množínmal hlavnú zásluhu Georg Cantor11 (1845–1918). Táto teória sa stala základnou mate-matickou disciplínou, postavila doterajšie výsledky na pevnejší logický základ a pričinilasa o vznik nových oblastí, ako sú napríklad teória reálnych funkcií a funkcionálna analýza.Cantorovou zásluhou sa objasnil pojemu nekonečno v matematike, čím sa mohli v mate-matike začať skúmať nekonečné súbory objektov.
V 19. storočí sa rodí ďalšie veľmi významné odvetvie: teória funkcií komplexnej pre-mennej veličiny. Jej počiatky badať ešte u starších matematikov (napr. u Eulera), ale prejej prudký rozvoj bola rozhodujúca skutočnosť, že táto nová teória mala v rôznych ob-lastiach teórie a praxe neobyčajne bohaté zastúpenie. Medzi významných matematikovtohto obdobia patrí Bernhard Riemann12 (1826–1866), ktorý je autorom určitého, tzv.Riemannovho integrálu. Jeho súčasník Karl Weierstrass13 (1815–1897) dovŕšil proble-matiku budovania základov matematickej analýzy a odstránil niektoré nejasností z teórieiracionálnych čísel a teórie limít. Ďalšou významnou osobnosťou tohto obdobia bol nemec-ký matematik David Hilbert (1862–1943), ktorý v práci „Grundlagen der Geometrie“prvýkrát sformuloval na základe axiomatickej metódy euklidovu geometriu.
10čítaj „Kóši“11čítaj „Kantor“12čítaj „Ríman“13čítaj „Vajerštras“
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 6 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Zatiaľ čo v 18. storočí prežívala matematická analýza najväčší rozmach čo sa kvantitytýka, 19. storočie je obdobím konsolidácie a spresňovania je základov, ktoré sa posunuliaž do dnešnej podoby, čomu napomohli mnohé postavy. Je ťažké v krátkosti vymenovaťmnohých matematikov, ktorí nejakým spôsobom ovplyvnili vývoj matematickej analýzy aprispeli k jej súčasnému stavu. Snažili sme sa vyzdvihnúť snáď iba tých najvýznamnej-ších, avšak voľba práve spomenutých môže byť iba subjektívnym pohľadom autora. Trebazároveň povedať, že s mnohými ďalšími menami sa budeme postupne zoznamovať v prie-behu kurzov matematickej analýzy. A prečo končíme tento historický exkurz v 19. storočía nepokračujeme ďalej? Matematická analýza sa totiž natoľko rozrástla a rozkošatila, žeje ťažké vôbec sa zmieniť o mnohých odvetviach a snáď mi čitateľ (aj menovateľ) odpus-tí, že sa radšej do vytvorenia určitého zosumarizovania zo skromnosti púšťať nebudeme.Spomenieme len, že rozširovaním a abstrahovaním klasickej analýzy ľudstvo dokázalo v 20.storočí vybudovať a prakticky využiť obdivuhodné teórie... Ale o tom až niekedy inokedya na inom mieste.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 7 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
1. Číselné množinyAž do poslednej štvrtiny 19. storočia boli reálne čísla vnímané iba vo veľmi intuitívnej,geometricky podporenej podobe. Iracionálne čísla boli používané pragmaticky, bez pochýba potreby ich presnejšieho popisu. Bolo všeobecne prijímané, že iracionálne číslo je možnéľubovoľne presne aproximovať racionálnym číslom (pokiaľ bol záujem o nejaké numerickévýpočty, v ktorých sa to iracionálne číslo vyskytlo). Postupne sa však v priebehu 19. storo-čia odhaľovala skutočnosť, že bez úplného pochopenia a presného popisu pojmu reálnehočísla nie je možné vystavať pevné základy matematickej analýzy. Napríklad už Bolzano vosvojom dôkaze vety o medzihodnotách spojitej funkcie potreboval vedieť, že každá ohra-ničená a monotónna postupnosť čísel má limitu. To sa zdalo byť jasné, ale logický základchýbal. Zásadným výsledkom, ktorý sa týka aritmetizácie analýzy, je konštrukcia reálnychčísel. K tomu došlo okolo roku 1872, aj keď samozrejme už predtým boli v tomto smerevykonané niektoré pokusy, svedčiace o tom, že táto potreba bola akútna a v širšej mie-re chápaná (existuje napríklad Bolzanov rukopis o tejto téme, sú známe Weierstrassoveberlínske prednášky, v ktorých sa tejto téme tiež venoval). Konštrukcia reálnych čísel jezviazaná s menami Richarda Dedekinda (1831–1916), Georga Cantora (1845–1918),Charlesa Méraya (1835–1911) a Eduarda Heineho (1821–1881). Postupy Dedekindaa Cantora sú rôzne a sú to práve tie postupy, ktoré sa dnes bežne používajú.
Dedekind vyšiel z toho, že množinu Q všetkých racionálnych čísel je možné rozdeliťna dve disjunktné množiny D a H tak, že každý prvok z D je menší ako každý prvok zH. Každé racionálne číslo rozdelí množinu Q na dve takéto disjunktné množiny. Napríkladmnožina všetkých prvkov z Q, ktoré sú menšie ako 7
5 , vytvorí množinu D a zvyšné prvky z Qzas množinu H, ktorá je určená racionálny číslom 7
5 . Dedekindov rez množiny racionálnychčísel, ktorý je základom jeho teórie, je definovaný ako rozklad (D,H) množiny Q taký, žekaždý prvok D je menší ako ľubovoľný prvok z H. Niektoré rezy sú určené racionálnymčíslom (ako vyššie uvedený rez daný číslom 7
5 ), iné túto vlastnosť nemajú (napríklad rez,pre ktorý v D sú všetky prvky z Q, pre ktoré je x2 < 3 a H obsahuje všetky ostatnéprvky z Q). Intuitívne je možné tento rez chápať ako rez generovaný iracionálnym číslom
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 8 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
√3. V ďalšom kroku už potom môžeme prehlásiť, že množina všetkých reálnych čísel je
množina všetkých rezov množiny Q všetkých racionálnych čísel. S týmto pojmom sa pracujeďalej tak, že sa preň ukáže platnosť všetkých potrebných vlastností reálnych čísel, ktoré satýkajú ich aritmetiky a v neposlednom rade aj to, že zavedenie pojmu reálneho čísla súhlasís geometrickými predstavami o reálnych číslach (s reálnou osou). Ide o vlastnosť, ktorúDedekind nazýva vlastnosťou spojitosti systému reálnych čísel, t.j. každý rez v množinereálnych čísel je určený nejakým reálnym číslom – teda množina reálnych čísel je úplnáv tom zmysle, že reálne čísla sú tvorené pomocou rezov v množine racionálnych čísel, alerezy v množine reálnych čísel už nič nové nepridajú.
Cantor svoj prístup založil na predstave reálneho čísla ako limity postupnosti racio-nálnych čísel. Reálne číslo potom identifikuje s cauchyovskou postupnosťou racionálnychčísel, pričom dve cauchyovské postupnosti (an)∞1 a (bn)∞1 považuje za ekvivalentné, aklimn→∞
(an− bn) = 0. Povedané dnešnými slovami je Cantorova metóda založená na zúplnenímnožiny racionálnych čísel a reálne číslo je prezentované ako trieda ekvivalencie cauchy-ovských postupností racionálnych čísel. Cantorov postup stojí za pozornosť aj preto, lebopre moderné postupy v matematike je veľmi typický.
V oboch popísaných konštrukciách je východiskom pre výstavbu teoreticky podložené-ho pojmu reálneho čísla množina Q racionálnych čísel. Množinu Q je možné bez väčšíchťažkostí vystavať z čísel prirodzených. Najpodstatnejšiou črtou uvedených konštrukcií re-álnych čísel je to, že umožňujú korektné overenie faktu, že množina reálnych čísel je úplná,čo neznamená nič inšie len to, že reálna os nemá diery, že ohraničená množina reálnychčísel má supremum, že . . . Skrátka, množina reálnych čísel nie je žiadne sito!
Aby sme boli schopní lepšie pochopiť tieto konštrukcie, potrebujeme sa postupne pre-hrýzť všetkými pojmami, o ktorých sa v predošlom texte hovorilo. Dedekindovej konštrukciireálnych čísel bude venovaná neskôr časť iného predmetu (Algebra a teoretická aritmetika),a preto sa ňou nebudeme zaoberať. Keďže Cantorov prístup je viac analytický (cauchy-ovské postupnosti), vrátime sa k nemu v časti 3.3. Dovtedy bude naša situácia iná, tedazoberieme množinu reálnych čísel ako fakt (hoci je za tým množstvo vecí, ktoré zamlčíme)a zavedieme ju prísne axiomaticky.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 9 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
1.1. Reálne číslaJedným zo základných pojmov, s ktorým sa neustále stretávame, je číslo. Je to dôležitýpojem nielen v matematike, ale vo všetkých oblastiach života. Nebudeme sa zapodievaťsamotným pojmom číslo, budeme ho považovať sa intuitívne jasný. Vo všeobecnosti, čísla(nielen reálne, hoci len tie budú v spektre nášho záujmu) sa obvykle označujú písmenami,pričom sa musí dodržiavať niekoľko všeobecných zásad. V danom vzťahu jedno písmeno(i keď sa vyskytuje viackrát) označuje všade to isté číslo. To platí i v prípade viacerýchvzťahov, ktoré medzi sebou súvisia. Rôzne písmená môžu označovať rôzne čísla. Ak všakdve písmená označujú to isté číslo, môžeme všade jedno z nich zameniť druhým a naopak.
Táto kapitola bude pojednávať o štruktúre reálnych čísel, ktorá je veľmi dôležitá v ce-lej matematickej analýze. Fakticky, matematickú analýzu môžeme definovať ako disciplínuzaoberajúcu sa štúdiom vlastností množín a ich vzájomných zobrazení, ktoré sú určenétopologickou štruktúrou (štruktúra polohy) a štruktúrou algebraických operácií. Práve to-pologické a metrické štruktúry sú matematickej analýze vlastné, pretože pomocou nichmôžeme definovať nové vlastnosti, ako sú napríklad spojitosť a konvergencia. Topologickáštruktúra sa zvykne zadávať pomocou okolí bodov a metrická štruktúra pomocou vzdiale-nosti dvoch bodov. V nasledujúcom množinu všetkých reálnych čísel ako celok s reláciami,operáciami a ich vlastnosťami, ktoré sú sformulované do axióm reálnych čísel.
Definícia 1.1. Množinou reálnych čísel R budeme nazývať množinu prvkov, na ktorej súdefinované operácie sčítania +, násobenia · a relácia usporiadania ≤ také, že:
Sčítanie: (R,+, 0) je abelovská aditívna grupa, t.j.
S1: (∀x, y ∈ R) x + y = y + x (komutativita sčítania);
S2: (∀x, y, z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita sčítania);
S3: (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity);
S4: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opačného prvku).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 10 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Násobenie: (R \ {0}, ·, 1) je abelovská multiplikatívna grupa kompatibilná s aditívnou gru-pou (R,+, 0), t.j.
N1: (∀x, y ∈ R) x · y = y · x (komutativita násobenia);
N2: (∀x, y, z ∈ R) (x · y) · z = x · (y · z) (asociativita násobenia);
N3: (∃1 ∈ R, 1 6= 0)(∀x ∈ R) x · 1 = x (existencia multiplikatívnej jednotky);
N4: (∀x ∈ R \ {0})(∃y ∈ R) x · y = 1 (existencia prevrátenej hodnoty);
N5: (∀x, y, z ∈ R) x ·(y+z) = x ·y+x ·z (distributivita násobenia vzhľadom na sčítanie).
Usporiadanie: Pre každé dva prvky x, y ∈ R platí aspoň jeden zo vzťahov x ≤ y aleboy ≤ x, pričom
U1: (∀x, y ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ x⇒ x = y (antisymetria ≤);
U2: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (tranzitivita ≤);
U3: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (monotónnosť sčítania vzhľadom na ≤);
U4: (∀x, y ∈ R) 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x · y (monotónnosť násobenia vzhľadom na ≤).
Axióma (H) o hornej hranici: Každá neprázdna zhora ohraničená podmnožina množinyR má najmenšie horné ohraničenie, t.j. ak M ⊂ R, M 6= ∅ a (∃z ∈ R)(∀x ∈M) x ≤ z, tak(∃!S ∈ R)
(i) (∀x ∈M) x ≤ S (S je horné ohraničenie M);
(ii) (∀t ∈ R, t < S)(∃x0 ∈M) t < x0 (S je najmenšie horné ohraničenie M).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 11 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Vzťah t < x0 tu znamená, že t ≤ x0 a súčasne t 6= x0 (tzv. ostrá nerovnosť). Pozname-najme, že skupina axióm sčítania spolu s axiómami násobenia hovorí, že (R,+, ·, 0, 1) jekomutatívne pole vzhľadom na násobenie. Axiómy U1 a U2 spolu s totálnosťou usporiada-nia (pre každé dva prvky x, y ∈ R platí aspoň jeden zo vzťahov x ≤ y alebo y ≤ x) definujúreťazec, teda (R,≤) je reťazec. Z totálnosti vyplýva reflexivita, t.j. (∀x ∈ R) x ≤ x. Zvyšnéaxiómy U3 a U4 zase vyjadrujú kompatibilitu reťazca (R,≤) s poľom (R,+, ·, 0, 1). Axió-ma (H) má v množine reálnych čísel výsostné postavenie, o ktorom budeme viac hovoriťv časti 1.4. Predbehneme a prezradíme, že číslo S budeme nazývať supremum množiny M .
Dá sa ukázať (je to však značne nad rámec našich poznatkov), že množina zadanávšetkými axiómami Definície 1.1 naozaj existuje (o čom asi žiaden čitateľ nepochybuje) ačo je dôležitejšie, že je jediná! Z takto zavedenej množiny reálnych čísel vyplývajú niektorédôsledky, ktoré sú čitateľovi bežne známe a všeobecne používané vo výpočtovej praxi, avšakv zmysle zavedenej definície je potrebné overiť ich platnosť na základe axióm. Pri niektorýchtvrdeniach táto snaha môže vyznieť až komicky (ako napríklad dokázať, že 0 < 1), alechceme upozorniť čitateľa, že to je práve povahou matematiky: budovať teóriu z určitýchaxióm. Všetko ostatné, vybudované na ich základe pomocou logických postupov a metódodvodzovania, je potrebné dokázať. Nebudeme to však robiť úplne, pre nedostatok časuviacero tvrdení prenecháme čitateľovi ako cvičenie, prípadne sa odkážeme na dostupnúliteratúru.
Dôsledky axióm sčítania a násobeniaNasledujúca veta rieši otázku jednoznačnosti neutrálnych prvkov vzhľadom na sčítanie anásobenie (alebo tiež aditívnej a multiplikatívnej identity), ako aj jednoznačnosť opačnéhoprvku a prevrátenej hodnoty.
Veta 1.2. (i) (∃!0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x;(ii) (∃!1 ∈ R)(∀x ∈ R) x · 1 = x;(iii) (∀x ∈ R)(∃!y ∈ R) x + y = 0;(iv) (∀x ∈ R, x 6= 0)(∃!y ∈ R) x · y = 1.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 12 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Dôkaz. (i) Predpokladajme, že existujú dva také prvky 01 a 02, 01 6= 02. Potom
01S3= 01 + 02
S1= 02 + 01S3= 02 ⇒ 01 = 02,
čo je spor. Analogicky sa dokáže jednoznačnosť čísla 1 s využitím axióm N3 a N2.(iii) Nech x ∈ R je také, že k nemu existujú dva opačné prvky y1 a y2, y1 6= y2. Potom
y2S3= y2 + 0 S1= 0 + y2
S4=(x + y1) + y2S2= x + (y1 + y2)
S1= x + (y2 + y1)S2=(x + y2) + y1
S4= 0 + y1S3= y1,
teda y1 = y2, čo je spor. Analogicky sa ukáže jednoznačnosť prevrátenej hodnoty.
Poznámka 1.3. Prvok opačný k x ∈ R označujeme −x, t.j. x+(−x) = 0, ale podľa S1 aj(−x)+x = 0, teda opačný prvok k −x je x a platí −(−x) = x. Súčet x+(−y) budeme písaťv tvare x− y a označovať ako rozdiel prvkov x a y. Získaná operácia sa nazýva odčítanie.
Poznámka 1.4. Prvok, ktorý je prevrátenou hodnotou k x ∈ R \ {0}, označujeme 1x , t.j.
x · 1x = 1, ale podľa N1 aj 1
x · x = 1, teda prevrátená hodnota k1x
je x a platí11x
= x.
Súčin x · 1y budeme písať v tvarex
ya označovať ako podiel prvkov x a y 6= 0. Takto získanú
operáciu nazývame delenie (okrem delenia prvkom 0).
Použitím axióm S1 a S2 dostávame, že pre každé x, y, z ∈ R má výraz x + y + zjednoznačný zmysel. Podobne pomocou axióm N1 a N2 má pre každé x, y, z ∈ R výraz xyzjednoznačný zmysel. Nasledujúce tvrdenie zavádza narábanie s opačným prvkom k súčtua prevrátenou hodnotou k súčinu (dokážte!).
Tvrdenie 1.5. (i) (∀x, y ∈ R) − (x + y) = −x + (−y);
(ii) (∀x, y ∈ R, x 6= 0, y 6= 0)1
x · y=
1x· 1y.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 13 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Riešiť lineárne rovnice Vás naučili už dávno na základnej škole. Ich princíp však spočívav nasledujúcej vete.
Veta 1.6. (i) (∀a, b ∈ R)(∃!x ∈ R) a + x = b;(ii) (∀a, b ∈ R, a 6= 0)(∃!x ∈ R) a · x = b.
Dôkaz. (i) Nech x ∈ R je riešením rovnice a + x = b. Potom
xS3= x + 0 S1= 0 + x = (a− a) + x = a + (−a) + x
S2= a + x + (−a) = b + (−a) = b− a.
Ukážme teraz, že x = b− a je riešením rovnice a + x = b. Teda
a + x = a + (b− a) = a + (b + (−a)) S2= a + (−a) + b = 0 + bS1= b + 0 S3= b,
čiže b− a vyhovuje rovnici a + x = b, teda je jej riešením.(ii) Nech x ∈ R je riešením rovnice a · x = b. Potom
xN3= x · 1 N1= 1 · x =
(1a· a)· x =
1a· (a · x) =
1a· b =
b
a,
teda ak x je riešením rovnice a · x = b, tak má hodnotu ba a nemôže sa rovnať žiadnemu
inému číslu. Ukážme teraz, že x = ba vyhovuje rovnici a · x = b. Teda
a · x = a · b
a= a · 1
a· b N4= 1 · b N1= b · 1 = b,
čo sme chceli dokázať.
z Úlohy na premýšľanie
3 Existuje nekonečne veľa dvojíc a, b ∈ R, pre ktoré platí a + b = a · b?3 Existuje nekonečne veľa dvojíc a, b ∈ R, pre ktoré platí
1a + b
=1a
+1b?
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 14 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Dôsledky axióm usporiadaniaV tejto časti sa budeme venovať otázkam súvisiacim so zavedeným usporiadaním ≤ v mno-žine reálnych čísel a podoprieme naše poznatky nadobudnuté na základnej a strednej škole.
Veta 1.7. (∀x, y, z ∈ R)
(i) x ≤ y ∧ y ≤ z ∧ x = z ⇒ x = y = z;
(ii) x < y ∧ y ≤ z ⇒ x < z;
(iii) x ≤ y ⇔ 0 ≤ y − x⇔ −y ≤ −x⇔ x− y ≤ 0;
(iv) x < y ⇒ x + z < y + z;
(v) x < y ⇔ 0 < y − x⇔ −y < −x⇔ x− y < 0.
Dôkaz. (i) Plynie priamo z axiómy U1.(ii) Ak x < y, tak x ≤ y. Keďže y ≤ z, tak podľa U2 je x ≤ z. Keby x = z ∧ y ≤ z, tak
by y ≤ x a potom by z U1 plynulo, že x = y, čo je spor.(iii) Nech x ≤ y. Podľa U3 (t.j. pripočítaním −x k obom stranám) máme x + (−x) ≤
y+(−x), teda 0 ≤ y−x. Opätovným použitím U3 na predchádzajúcu nerovnosť dostávamex− y ≤ 0 a odtiaľ podľa U3 zase x ≤ y.
(iv) Ak x < y, tak x ≤ y. Podľa U3 máme x+ z ≤ y + z. Keby platilo, že x+ z = y + z,tak opäť podľa U3 by x = y, čo je spor.
(v) Podobne ako (iii) s využitím (iv).
Číslo x ∈ R budeme nazývať nezáporným (kladným), akk 0 ≤ x (0 < x) a nekladným(záporným), akk x ≤ 0 (x < 0). Číslo 0 je zrejme jediné nezáporné aj nekladné číslosúčasne.
Veta 1.8 (trichotómia relácie ≤). (∀x, y ∈ R) (x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 15 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Dôkaz. Z totálnosti usporiadania ≤ platí aspoň jeden zo vzťahov x ≤ y, y ≤ x. Akx ≤ y ∧ y ≤ x, tak podľa U1 je x = y a neplatí žiaden iný vzťah. Predpokladajme, ženaviac platí aj x < y. Potom podľa Vety 1.7 (v) by platilo 0 < y − x, čo je v spore s tým,že y − x = 0. Podobne pre platnosť y < x.
Ak platí x ≤ y, ale x 6= y, potom podľa U1 neplatí y ≤ x, čiže x < y a žiadny iný vzťahnemôže platiť. Podobne ak platí y ≤ x, ale y 6= x, potom neplatí x ≤ y, a teda y < x.
Nasledujúce tvrdenie v sebe zhŕňa niekoľko jednoduchých výsledkov (dokážte!).
Tvrdenie 1.9. (∀x, y ∈ R)
(i) x > 0⇒ −x < 0 ∧ 1x > 0;
(ii) (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0)⇒ x · y > 0;
(iii) (x > 0 ∧ y < 0) ∨ (x < 0 ∧ y > 0)⇒ x · y < 0;
(iv) (x 6= 0 ∧ y 6= 0 ∧ 0 < x < y)⇒ 0 < 1y < 1
x .
Dôležitým dôsledkom tohto tvrdenia (konkrétne časti (ii)) je, že 0 < 1, pretože na-koľko 0 6= 1, tak 1 = 1 · 1 > 0. Nasledujúca veta sa tiež zvykne označovať ako pravidloprenásobenia nerovnosti kladným a záporným číslom.
Veta 1.10. (∀x, y, z ∈ R)
(i) (x ≤ y ∧ z > 0)⇒ xz ≤ yz;
(ii) (x ≤ y ∧ z < 0)⇒ xz ≥ yz.
Dôkaz. (i) Ak x ≤ y a z > 0, tak 0 ≤ y − x a 0 ≤ z. Potom
0U4≤ z(y − x) N5= yz − xz
Veta 1.7 (iii)⇔ xz ≤ yz.
Analogicky časť (ii).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 16 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
z Úlohy na precvičenie
Dokážte nasledujúce tvrdenia:3 (∀x ∈ R) 0 · x = 0;3 (∀x, y ∈ R) x · y = 0⇔ x = 0 ∨ y = 0;3 (∀x ∈ R) − x = (−1) · x;3 (∀x, y ∈ R) x · (−y) = −x · y;
3 (∀a, b, c, d ∈ R, b 6= 0, d 6= 0)a
b· cd
=ac
bd;
3 (∀a, b, c, d ∈ R, b 6= 0, d 6= 0)a
b=
c
d⇔ ad = bc;
3 (∀a, b, c, d ∈ R, b 6= 0, d 6= 0)a
b+
c
d=
ad + bc
bd.
1.2. Absolútna hodnota reálneho číslaPre dvojprvkovú množinu {x, y} ⊂ R číslo x nazývame minimum čísel x a y, píšemex = min{x, y}, akk x ≤ y. V takomto prípade sa číslo y nazýva maximum čísel x a y,píšeme y = max{x, y}. Matematickou indukciou (pozri časť 1.3) vieme tieto pojmy rozšíriťna ľubovoľný konečný počet, t.j.
min{x1, x2, . . . , xn} = min{min{x1, . . . , xn−1}, xn},max{x1, x2, . . . , xn} = max{max{x1, . . . , xn−1}, xn}.
Usporiadanie v R nám umožňuje definovať absolútnu hodnotu reálneho čísla (tiež nazývanúaj modul reálneho čísla).
Definícia 1.11. Absolútnou hodnotou čísla x ∈ R nazývame maximum dvojice čísel x a−x a píšeme |x| = max{x,−x}.
Priamo z definície vyplýva nasledujúce tvrdenie (premyslite si!).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 17 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Tvrdenie 1.12. (∀x ∈ R)
(i) |x| ≥ 0, |x| = | − x|;
(ii) x ≥ 0⇒ |x| = x;
(iii) x < 0⇒ |x| = −x.
Veta 1.13. (∀x ∈ R) − |x| ≤ x ≤ |x|
Dôkaz. Keďže podľa predchádzajúceho tvrdenia je |x| ≥ 0, tak −|x| ≤ 0, teda −|x| ≤0 ≤ |x|. Ak x > 0, tak |x| = x a −|x| < 0 < x = |x|, teda −|x| ≤ x ≤ |x|. Ak x < 0, tak|x| = −x > 0 a −|x| = x < 0 ≤ |x|, teda opäť −|x| ≤ x ≤ |x|. Ak x = 0, tvrdenie platítriviálne, pretože −|x| = 0 = |x|.
Veta 1.14. (∀a, x ∈ R, a > 0) |x| < a ⇔ −a < x < a
Dôkaz. ⇒ Ak x ≥ 0, tak |x| = x a nerovnosť |x| < a má tvar x < a. Keďže a > 0,potom −a < 0 ≤ x < a, teda −a < x < a.
Ak x < 0, tak |x| = −x > 0 a nerovnosť |x| < a má tvar −x < a. Teda −a < 0 < −x <a, z čoho máme a > x > −a.⇐ Nech platí −a < x < a, teda x < a a súčasne −x < a. Položením |x| = max{x,−x}
máme |x| < a.
Veta 1.15. (∀x, y ∈ R)
(i) |x · y| = |x| · |y|;
(ii) |x| − |y| ≤ |x± y| ≤ |x|+ |y|;
(iii) ||x| − |y|| ≤ |x± y|;
(iv) y 6= 0⇒∣∣∣xy ∣∣∣ = |x|
|y| .
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 18 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Dôkaz. (i) Je potrebné vybaviť štyri prípady, teda (a) x ≥ 0 a y ≥ 0, (b) x ≥ 0a y < 0, (c) x < 0 a y ≥ 0, (d) x < 0 a y < 0. Ukážeme iba prípad (c), ostatné súanalogické. Ak teda x < 0 a y ≥ 0, tak |x| = x, |y| = −y, xy ≤ 0 a |xy| = −xy. Potom|xy| = −x · y = (−x) · y = |x| · |y|.
(ii) Najprv ukážeme platnosť nerovnosti na pravej strane. Podľa Vety 1.13 máme −|x| ≤x ≤ |x| a −|y| ≤ y ≤ |y|. Sčítaním týchto sústav nerovností máme
−|x| − |y| ≤ x + y ≤ |x|+ |y| ⇔ −(|x|+ |y|) ≤ x + y ≤ |x|+ |y|,
čo je podľa Vety 1.14 ekvivalentné s nerovnosťou |x + y| ≤ |x| + |y|. Druhá časť tvrdeniaso znamienkom − získame nahradením čísla y číslom −y a využitím | − y| = |y|.
Pre platnosť nerovnosti na ľavej strane máme
|x| = |(x + y)− y| ≤ |x + y|+ |y| ⇒ |x| − |y| ≤ |x + y|
a taktiež|x| = |(x− y) + y| ≤ |x− y|+ |y| ⇒ |x| − |y| ≤ |x− y|,
z čoho dostávame |x| − |y| ≤ |x± y|.(iii) Uvedomme si, že |x| ≤ a⇔ −a ≤ x ≤ a, teda je potrebné dokázať, že
−|x± y| ≤ |x| − |y| ≤ |x± y|.
Keďže pravú nerovnosť sme ukázali v časti (ii), stačí ukázať platnosť nerovnosti −|x±y| ≤|x| − |y|. To však dostaneme jednoducho zamenením čísel x a y v časti (ii), teda
|y| − |x| ≤ |y ± x| ⇔ −(|x| − |y|) ≤ |x± y| ⇔ −|x± y| ≤ |x| − |y|.
(iv) Keďže x = y · xy , potom
|x| =∣∣∣∣y · xy
∣∣∣∣ = |y|·∣∣∣∣xy∣∣∣∣ ⇒ ∣∣∣∣xy
∣∣∣∣ = |x||y| . 2
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 19 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Nerovnosť |x + y| ≤ |x|+ |y| sa zvykne nazývať trojuholníková nerovnosť a budeme juhojne využívať. Treba si preto dať pozor na používanie „pravidiel“ typu |x + y| = |x|+ |y|a |x− y| = |x| − |y|! Náročky sme zamlčali pre aké čísla x, y by mali tieto „pravidlá“ platiť.Existuje nejaká množina čísel, v ktorej by boli tieto pravidlá pravdivé?
Definícia 1.16. Signum čísla x ∈ R nazývame číslo sgn x =
−1, x < 0
0, x = 01, x > 0
.
Z tejto definície priamo plynú zrejmé vlastnosti čísla sgn x v súvislosti s absolútnouhodnotou |x| (dokážte!).
Tvrdenie 1.17. (∀x, y, z ∈ R, z 6= 0)
(i) x = sgnx · |x|;
(ii) sgn (x · y) = sgnx · sgn y;
(iii) |x| = sgnx · x;
(iv) sgn xz = sgnx · sgn z.
Poznámka 1.18. Intuitívnemu pochopeniu pojmov a vzťahov týkajúcich sa reálnych číselveľmi napomáha geometrické znázorňovanie čísel. Množinu reálnych čísel zvykneme tiežnazývať číselnou osou (priamkou s vyznačenými bodmi 0 a 1 ako obrazmi čísel 0 a 1) areálne čísla interpretujeme ako body tejto priamky. Každému číslu odpovedá bod na čísel-nej osi a každému bodu na číselnej osi reálne číslo. Predpokladáme, že čitateľovi je tátovzájomne jednoznačná korešpondencia medzi reálnymi číslami a bodmi číselnej osi známa.Pripomeňme, že odpovedajúce body a reálne čísla označujeme obvykle tým istým symbo-lom. Obyčajne ani v reči nerobíme rozdiel medzi číslom a bodom, ktorý ho znázorňuje.Z tohto pohľadu je možné definovať absolútnu hodnotu ako vzdialenosť bodu x na čísel-nej osi od bodu 0, alebo všeobecnejšie: absolútna hodnota rozdielu dvoch reálnych čísel jevzdialenosť medzi nimi.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 20 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Najčastejšími podmnožinami množiny R, s ktorými pracujeme v matematickej analýze,sú intervaly a ich konečné prieniky a zjednotenia.
Ohraničené intervaly s koncovými bodmi a, b ∈ R, a < b sú množiny
〈a, b〉 = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} uzavretý interval;(a, b) = {x ∈ R; a < x < b} otvorený interval;〈a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b} polootvorený alebo polouzavretý interval;(a, b〉 = {x ∈ R; a < x ≤ b} polootvorený alebo polouzavretý interval.
Číslo a nazývame ľavým koncovým bodom a číslo b pravým koncovým bodom predchá-dzajúcich intervalov. Číslo |α−β| nazývame dĺžkou intervalu s koncovými bodmi α, β bezohľadu na to, ktorý je ľavý a pravý koncový bod a tiež bez ohľadu na to, či ide o otvore-ný, uzavretý alebo polouzavretý interval. Teda b − a je dĺžka každého z vyššie uvedenýchintervalov.
Obvykle sa množina reálnych čísel rozšíri o dve tzv. nevlastné čísla −∞ a +∞, ktorédo R nepatria. Označujeme R∗ = R∪{−∞,+∞} a nazývame rozšírenou množinou reálnychčísel (alebo rozšírenou číselnou osou). V R∗ je usporiadanie definované predpisom (∀x ∈R) −∞ < x < +∞, absolútna hodnota predpisom |±∞| = +∞ a operácie + a · predpismi
(∀x ∈ R∗ \ {+∞}) −∞+ x = −∞;(∀x ∈ R∗ \ {−∞}) x +∞ = +∞;
(∀x ∈ R∗, x > 0) x · (±∞) = ±∞;(∀x ∈ R∗, x < 0) x · (±∞) = ∓∞;
(∀x ∈ R)x
±∞= 0,
tiež kladieme R = (−∞,+∞). Nasledujúce výrazy nie sú definované (niekedy sa označujúaj ako neurčité výrazy):
−∞+∞, 0 · (±∞),±∞±∞
,čokoľvek
0.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 21 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Teraz už môžeme hovoriť o neohraničených intervaloch s koncovými bodmi a, b ∈ R:
(−∞, a〉 = {x ∈ R;x ≤ a};(−∞, a) = {x ∈ R;x < a};〈b, +∞) = {x ∈ R; b ≤ x};(b, +∞) = {x ∈ R; b < x}.
O každom z týchto intervalov hovoríme, že je nekonečnej dĺžky.
Poznámka 1.19. Pri definícii intervalov sme vychádzali z predpokladu a < b. Tentopredpoklad ale nie je z formálneho hľadiska nevyhnutný a a, b by mohli byť ľubovoľné čísla.Ak by platilo a > b, potom by bol každý zo spomenutých intervalov prázdnou množinou.Ak by platilo a = b, potom by jedinou neprázdnou množinou bol uzavretý interval 〈a, b〉,pričom by predstavoval jednoprvkovú množinu 〈a, b〉 = {a}. V každom prípade by sme malido činenia s objektami, ktoré v našej mysli nie sú intuitívne zviazané s pojmom interval.Niekedy sa preto odlišujú pojmami degenerovaný a nedegenerovaný interval.
Poznámka 1.20. V tomto učebnom texte, ako aj na prednáškach, je použité označovanieintervalov historicky zaužívané najmä v európskych krajinách. V niektorých prácach saale môžete stretnúť aj s nasledovným označením, ktoré je takmer výhradne používané vamerickej literatúre: ]a, b[ namiesto (a, b) a [a, b] namiesto 〈a, b〉. Podobne polouzavretéintervaly ]a, b] namiesto (a, b〉 a [a, b[ namiesto 〈a, b).
1.3. Matematická indukciaTeraz z množiny reálnych čísel vyčleníme niektoré významné podmožiny čísel. Častokrát sastretávame s opačným postupom: najprv sa vybuduje aparát pre narábanie s prirodzenými,celými a racionálnymi číslami (k operácii sčítania a násobenia sa pridá operácia odčítaniaa delenia nenulovým prvkom) a nakoniec sa tieto zúplnia a získa sa množina reálnych čísel.My sme však v opačnej situácii, pretože máme množinu reálnych čísel zavedenú systémomaxióm, ktoré nám umožňujú jednoducho definovať tieto množiny.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 22 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Definícia 1.21. Množinou všetkých prirodzených čísel N nazývame najmenšiu podmno-žinu množiny R, ktorá obsahuje číslo 1 a s každým číslom n aj číslo n + 1.
Hneď je potrebné poznamenať, že by bolo potrebné ukázať korektnosť takejto definície,t.j. existenciu množiny N. K tomu by sme ale potrebovali mať hlbšie poznatky z teóriemnožín, a preto to robiť nemôžeme. Poznamenajme, že prvú korektnú konštrukciu množinyprirodzených čísel publikoval John von Neumann14 (1903–1957).
Máme teda, že N = {1, 2, . . . , n, n + 1, . . . }. Všimnime si, že v N platia axiómy S1, S2,N1, N2, N3 a N5. Ostatné axiómy však neplatia, napr. S3, S4 a N4 neplatia, pretože takéčísla v N neexistujú. Taktiež odčítanie a delenie nie sú operácie v N (až na delenie číslom1).
So zavedenou definíciou prirodzených čísel úzko súvisí aj princíp matematickej indukcie.V podstate ide o „domino efekt“, t.j. ak máme za sebou naukladané kocky domina, takzhodenie jednej kocky spustí lavínu padania ďalších kociek.
Veta 1.22 (o matematickej indukcii). Nech sa nejaký výrok V týka množiny prirodze-ných čísel a
(i) nech V platí pre číslo 1,
(ii) ak V platí pre nejaké n ∈ N, tak platí aj pre n + 1.
Potom V platí pre každé prirodzené číslo.
Dôkaz. Nech A je množina tých prirodzených čísel, pre ktoré platí výrok V . PotomA ⊆ N. Ale podľa predpokladu 1 ∈ A a s každým n ∈ N je n ∈ A, tak aj n + 1 ∈ A, tedaN ⊆ A. Preto A = N, čiže V platí pre každé prirodzené číslo.
Poznámka 1.23. Niekedy výrok V (n) platí nie pre všetky prirodzené čísla n, ale iba prekaždé prirodzené číslo n, ktoré je väčšie ako niektoré prirodzené číslo n0. V takom prípadesa v prvej časti dôkazu overí platnosť výroku pre n = n0 a v druhej časti sa dokáže platnosťimplikácie V (k)⇒ V (k + 1) pre k ≥ n0.
14čítaj „fon Nojman“
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 23 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Poznámka 1.24. Niekto by tiež mohol namietať, že v princípe matematickej indukcienevidí výhodu, pretože musí dokazovať platnosť V (1) a ďalej pre každé k aj platnosťV (k + 1), čo vyjde na to isté ako dokazovať V (n) pre každé n. To ale nie je pravda,pretože pri dokazovaní platnosti výroku V (k + 1) môže zadarmo používať výrok V (k).Nedokazujeme totiž platnosť výroku V (k), ale platnosť implikácie V (k)⇒ V (k + 1), čo ječastokrát ľahšie ako dokázať priamo V (n).
Veta o matematickej indukcii môže tiež vhodne poslúžiť pri zavedení nových pojmovtzv. rekurentným spôsobom. Ak teda máme definovať istý pojem P (n) pre každé n ∈ N,stačí definovať P (1) a zadať algoritmus, na základe ktorého z pojmu P (k) definujeme pojemP (k + 1) pre k ∈ N. Tým je pojem P (n) definovaný pre každé n. Napríklad faktoriál číslan ∈ N je daný predpisom 1! = 1 a pre každé n ∈ N, n > 2 je n! = n(n− 1)!.
Úloha 1.25. Dokážte, že ak x1, x2, . . . , xn ∈ R, n ∈ N, tak∣∣∣∣∣n∑i=1
xi
∣∣∣∣∣ ≤n∑i=1
|xi| a
∣∣∣∣∣n∏i=1
xi
∣∣∣∣∣ =n∏i=1
|xi|.
Poznamenajme, že tieto vlastnosti sú prirodzeným rozšírením platnosti trojuholníkovejnerovnosti pre absolútnu hodnotu a absolútnej hodnoty súčinu, pozri Veta 1.15.
Nasledujúca definícia je len pripomenutie základných číselných množín známych zo stred-nej školy tak, ako ich vyčleňujeme z množiny reálnych čísel (pri našom axiomatickom prí-stupe k reálnym číslam).
Definícia 1.26. Množinou všetkých celých čísel Z nazývame zjednotenie množiny N, mno-žiny všetkých čísel opačným k prvkom N a jednoprvkovej množiny obsahujúcej číslo 0. Jejprvky nazývame celé čísla. Množinou všetkých racionálnych čísel Q nazývame množinuvšetkých podielov x
y , kde x ∈ Z, y ∈ N. Prvky množiny Q nazývame racionálne čísla.Reálne čísla, ktoré nie sú racionálne, nazývame iracionálne čísla.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 24 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Všimnime si, že (Z,+, 0) je abelovská aditívna grupa15 (overte, že platia príslušnéaxiómy), ale (Z, ·, 1) nie je multiplikatívna grupa, pretože neplatí axióma N4. Tá začneplatiť až v množine Q a hoci by sa zdalo, že si vystačíme s racionálnymi číslami, nie je topravda, čo zistili už starovekí Gréci (zopakujte si dôkaz iracionálnosti čísla
√2).
Množinu nazývame konečnou, akk existuje prirodzené číslo n tak, že jej prvky možnoočíslovať prirodzenými číslami nie väčšími ako n. Očíslovať elementy danej množiny pritomznamená priradiť každému prvku jedno číslo a to tak, že dvom rôznym prvkom sú priradenérôzne prirodzené čísla. Množinu, ktorá nie je konečná, nazývame nekonečnou (napríkladmnožina N). Samozrejme je možné zaviesť pojem konečnej a nekonečnej množiny aj ináča matematicky korektnejšie, ale to prenecháme vyučujúcim na predmete Teória množín.
Veta 1.27 (o maxime a minime konečnej množiny). Každá neprázdna konečná mno-žina má maximum a minimum.
Skúste si vydiskutovať úlohu neprázdnosti množiny v tejto vete. Dôkaz beží mate-matickou indukciou vzhľadom na počet prvkov danej množiny, a preto je nezaujímavý(prenechávame čitateľovi ako cvičenie).
Veta 1.28 (o dobrom usporiadaní). Každá neprázdna množina prirodzených čísel máminimum.
Dôkaz. Nech ∅ 6= A ⊂ N. Potom existuje n0 ∈ N také, že n0 ∈ A a v množine N existujepráve n0 čísel menších alebo rovných n0. Potom v A existuje najviac n0 čísel menších aleborovných n0, ktoré predstavujú konečnú neprázdnu množinu (aspoň n0 tam patrí). Podľavety o maxime a minime konečnej množiny existuje teda minimum tejto množiny, ktoré jezároveň minimom množiny A.
Poznámka 1.29. Veta dostala svoj názov preto, lebo v inej reči sa dá ekvivalentne for-mulovať nasledovne: Množina N je dobre usporiadaná. Pritom množina M je dobreusporiadaná, akk je lineárne usporiadaná reláciou ≤ a každá jej neprázdna podmnožinamá v tomto usporiadaní najmenší prvok.
15na algebre vás naučia dokonca viac, že (Z, +, ·) je obor integrity!
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 25 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
z Úlohy na precvičenie
Dokážte, že3 (∀n ∈ N) 1
1·3 + 13·5 + 1
5·7 + · · ·+ 1(2n−1)(2n+1) = 2
2n+1 ;
3 (∀n ∈ N) − 1 + 2− 3 + 4 + · · ·+ (−1)nn = (−1)n(2n+1)−14 ;
3 (∀n ∈ N) 1 + 1√2
+ 1√3
+ · · ·+ 1√n
>√
n;3 (∀n ∈ N, n ≥ 3) (n + 1)n < nn+1;3 (∀n ∈ N ∪ {0})(∀x ∈ R, x > −1) (1 + x)n ≥ 1 + nx (tzv. Bernoulliho nerovnosť);
3 (∀n ∈ N)(∀a, b ∈ R) (a + b)n =n∑k=0
(nk
)an−kbk (tzv. Binomická veta).
1.4. Axióma (H) o hornej hraniciV tejto časti sa konečne dopracujeme k dôsledkom axiómy o hornej hranici, ktorá je veľmidôležitou vlastnosťou množiny reálnych čísel. Bez tejto axiómy by sme mali súbor axióm,ktoré definujú pole reálnych čísel ako reťazec, avšak existuje mnoho neizomorfných mo-delov vyhovujúcich týmto axiómam. Ak však k týmto axiómam pridáme axiómu (H), jemožné ukázať, že existuje len jediný model reálnych čísel a všetky ostatné modely sú s nímizomorfné.
Axiómu (H) prvýkrát sformuloval a dokázal (ako vlastnosť množiny R) v roku 1817Bernard Bolzano (1781–1848), preto sa niekde zvykne označovať aj ako Bolzanov prin-cíp. Dnes vieme, že táto vlastnosť sa dá ekvivalentne nahradiť inými tvrdeniami, s ktorýmisa stretneme neskôr a upozorníme aj na tento fakt. Najprv si ale zavedieme niekoľko po-trebných tvrdení, aby sme sa vedeli kratšie vyjadrovať v súvislosti s axiómou (H).
Definícia 1.30. Neprázdnu množinu M ⊂ R nazývame ohraničenou zhora (zdola), akkexistuje H ∈ R (D ∈ R) také, že pre každé x ∈ M platí x ≤ H (x ≥ D). Každé číslo H(D) s touto vlastnosťou nazývame horným (dolným) ohraničením množiny M . Neprázdnumnožinu M ⊂ R nazývame ohraničenou, akk je ohraničená zhora a zdola. Hovoríme, že Mje neohraničená (zhora, zdola), akk M nie je ohraničená (zhora, zdola).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 26 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Všimnime si, že ak M je ohraničená zhora (zdola) číslom H (D), tak je ohraničená zhora(zdola) aj ľubovoľným číslom väčším ako H (menším ako D). Ak pojem ohraničenostimnožiny M zapíšeme pomocou kvantifikátorov, dostávame
(∃H ∈ R)(∃D ∈ R)(∀x ∈M) D ≤ x ≤ H,
čo nie je veľmi príjemné, pretože obsahuje veľa kvantifikátorov. Našťastie pojem absolútnejhodnoty nám pomôže odstrániť jeden existenčný kvantifikátor.
Veta 1.31. Neprázdna množina M ⊂ R je ohraničená práve vtedy, keď (∃K ∈ R,K >0)(∀x ∈M) |x| ≤ K.
Dôkaz. ⇒ Keďže M je ohraničená, tak (∃H ∈ R)(∃D ∈ R)(∀x ∈ M) D ≤ x ≤ H.Položme K = max{|D|, |H|}. Potom pre každé x ∈M platí
−K = −max{|D|, |H|} ≤ −|D| ≤ D ≤ x ≤ H ≤ |H| ≤ max{|D|, |H|} = K,
teda (∃K ∈ R,K > 0)(∀x ∈M) |x| ≥ K.⇐ Ak (∃K ∈ R,K > 0)(∀x ∈M) |x| ≥ K, tak (∀x ∈M) −K ≤ x ≤ K, čo znamená,
že K je horné ohraničenie M a −K je dolné ohraničenie M , čiže M je ohraničená.
Definícia 1.32. Nech ∅ 6= M ⊂ R. Číslo d ∈M (c ∈M) nazývame maximum (minimum)množiny M a píšeme d = maxM (c = minM), akk (∀x ∈M) x ≤ d (c ≤ x).
Z definície je zrejmé, že čísla max M a minM patria do množiny M , teda ide o najväčšía najmenší prvok danej množiny. Taktiež z toho vyplýva, že ak M má maximum (mini-mum), potom M je ohraničená zhora (zdola). Opačná implikácia neplatí, pretože napríkladM = (0, 1) je ohraničená množina (zhora aj zdola), ale nemá maximum, ani minimum, pre-tože 0 /∈ M , 1 /∈ M . Intuitívne ale cítime, že číslo 1 je to „najlepšie zo všetkých hornýchohraničení“, presnejšie najmenšie z nich v tom zmysle, že žiadne menšie číslo od neho užnemôže byť horným ohraničením množiny M , a teda by malo byť určitou charakteristikou
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 27 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
množiny M . A tu pristupuje do hry axióma (H). V zmysle zavedených pojmov ju môže-me zjednodušene vyjadriť nasledovne: Každá neprázdna zhora ohraničená množinareálnych čísel má najmenšie horné ohraničenie. V znení axiómy (H) je ním číslo S,ktoré nazývame supremum množiny M a označujeme S = sup M . Totiž vlastnosť (i) axió-my (H) hovorí, že S je horné ohraničenie množiny M a vlastnosť (ii) zasa hovorí, že žiadnečíslo menšie ako S nie je horným ohraničením množiny M . Inými slovami, ak si vezmemereálne číslo t < S ľubovoľne blízko čísla S, vždy dokážeme nájsť prvok množiny M , ktorýje k číslu S ešte bližšie. Teda v spomenutom príklade množiny M = (0, 1) je supM = 1,ale neexistuje max M . Teda ohraničenosť zhora nie je postačujúcou podmienkou existenciemaxima, iba nutnou. Na druhej strane, množina M = (0, 1〉 má tiež supM = 1, ale teraztoto supremum do množiny M patrí a je zároveň jej maximom. Na základe týchto úvahmáme jednoduchý výsledok.
Veta 1.33. Nech ∅ 6= M ⊂ R. Ak existuje max M , tak existuje aj supM a platí max M =supM .
Dôkaz. Ak M má maximum, tak je ohraničená zhora a podľa axiómy (H) existu-je supremum množiny M . Keďže max M ∈ M , tak z prvej vlastnosti suprema platí, žemax M ≤ supM . Keďže max M je horné ohraničenie množiny M a supM je najmenšiehorné ohraničenie, tak supM ≤ max M . Teda max M = sup M .
Platí axióma (H) aj inde ako v množine reálnych čísel? Zdá sa prirodzené odpovedaťkladne, ale opak je pravdou: napríklad množina A = {x ∈ Q;x ≤
√2}16 je neprázdna (napr.
0 ∈ A) a zhora ohraničená (napr. číslom 2), teda podľa axiómy (H) platiacej v množine Rexistuje supA =
√2. Avšak ako vieme,
√2 /∈ Q (zopakujte si ešte raz dôkaz tohto faktu!).
Teda „Q je takmer to, čo množina R“, t.j. platia v nej všetky axiómy Definície 1.1 okremaxiómy (H)!
V niektorých úvahách, hlavne v časti o postupnostiach, sa nám bude hodiť nasledujúcaformulácia suprema (všimnime si, že sme preformulovali iba druhú vlastnosť).
16k tomu, čo je to číslo√
2 a ako je konštruované, sa dostaneme onedlho
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 28 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Veta 1.34. Nech ∅ 6= M ⊂ R. Číslo S ∈ R je supremom množiny M práve vtedy, keď
(i’) (∀x ∈M) x ≤ S;
(ii’) (∀ε > 0)(∃x0 ∈M) S − ε < x0.
Dôkaz. ⇒ Nech S = supM , ale neplatí (ii’). Potom (∃ε > 0)(∀x0 ∈ M) x0 ≤ S − ε,teda S − ε je horné ohraničenie množiny M . Keďže S je najmenšie horné ohraničenie, takS ≤ S − ε, z čoho dostávame spor ε ≤ 0.⇐ Nech platí (ii’), ale S nie je supremum množiny M , t.j. (∃t ∈ R, t < S)(∀x0 ∈
M) x0 ≤ t, čiže t je horné ohraničenie množiny M . Položme ε = S − t, teda (∃x1 ∈M) x1 > S − ε = S − (S − t) = t, čo je spor s horným ohraničením množiny M .
Aby sme sa dopracovali k odpovedi na podobnú otázku o existencii najväčšieho dolnéhoohraničenia množiny, budeme potrebovať nasledujúci jednoduchý výsledok.
Lema 1.35. Nech ∅ 6= M ⊂ R a M ′ = {−x;x ∈M}. Potom
(i) ak M je ohraničená zhora (zdola), tak M ′ je ohraničená zdola (zhora);
(ii) ak H (D) je horné (dolné) ohraničenie množiny M , tak −H (−D) je dolné (horné)ohraničenie množiny M ′;
(iii) ak M je neohraničená zhora (zdola), tak M ′ je neohraničená zdola (zhora).
Dôkaz. Zrejme, ak dokážeme časť (ii), máme dokázanú aj časť (i). Nech teda H jehorné ohraničenie množiny M , teda (∀x ∈ M) x ≤ H. Nech y ∈ M ′ je ľubovoľné. Keďžey = −(−y), tak −y ∈M , a teda −y ≤ H ⇔ y ≥ −H. Z toho máme, že (∀y ∈M ′) y ≥ −H,t.j. −H je dolné ohraničenie množiny M ′.
Ostáva dokázať časť (iii). Nech M je neohraničená zhora, t.j. (∀α ∈ R)(∃x0 ∈M) x0 >α. Z ľubovoľnosti čísla α ∈ R vyplýva ľubovoľnosť čísla −α ∈ R a z faktu x0 > α ⇔−x0 < −α vidíme, že (∀ − α ∈ R)(∃ − x0 ∈ M ′) − x0 < −α, teda M ′ je neohraničenázdola.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 29 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Veta 1.36 (o existencii a jednoznačnosti najväčšieho dolného ohraničenia). Nech∅ 6= M ⊂ R je zdola ohraničená množina. Potom existuje práve jedno reálne číslo s svlastnosťami
(i) (∀x ∈M) s ≤ x;
(ii) (∀t ∈ R, t > s)(∃x0 ∈M) x0 < t.
Dôkaz. Ak neprádna množina M ⊂ R je zdola ohraničená, tak podľa Lemy 1.35 (i) jeneprázdna množina
M ′ = {−x;x ∈M}
zhora ohraničená, teda podľa axiómy (H) existuje jej supremum. Položme S′ = supM ′ as = −S′. Keďže S′ je horné ohraničenie M ′, tak podľa Lemy 1.35 (ii) s je dolné ohraničenieM , teda (∀x ∈ M) x ≥ s. Tiež (∀t ∈ R, t > s) − t < −s = S′ a podľa druhej vlastnostisuprema vieme, že (∃y0 ∈M ′) −t < y0. Potom však −y0 < t a x0 = −y0 ∈M . Z toho tedavyplýva, že (∀t ∈ R, t > s)(∃x0 ∈ M) x0 < t, čo znamená, že s = −S′ má aj požadovanúvlastnosť (ii). Jednoznačnosť plynie z jednoznačnosti suprema.
Poznámka 1.37. Číslo s majúce vlastnosti predchádzajúcej vety sa nazýva infimummnožiny M a označuje sa s = inf M . Pre každú neprázdnu množinu M ⊂ R platíinf M ≤ supM . Analogicky ako v prípade suprema (Veta 1.34) môžeme infimum s ne-prázdnej zdola ohraničenej množiny M charakterizovať vlastnosťami
(i’) (∀x ∈M) s ≤ x;
(ii’) (∀ε > 0)(∃x0 ∈M) x0 < s + ε.
Taktiež platí nasledujúci vzťah medzi infimom a minimom: ak existuje minM , tak existujeaj inf M a platí minM = inf M .
Veta 1.38. Nech A,B ⊂ R, A 6= ∅, B 6= ∅ a (∀x ∈ A)(∀y ∈ B) x ≤ y. Potom A je zhoraohraničená, B je zdola ohraničená a supA ≤ inf B.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 30 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Dôkaz. Keďže pre ľubovoľné x ∈ A a y ∈ B platí x ≤ y, tak y je horným ohraničenímmnožiny A a podľa axiómy (H) existuje supA. Naviac supA je najmenšie horné ohraničeniemnožiny A, tak (∀y ∈ B) supA ≤ y, čiže B je ohraničená zdola číslom supA a podľavety o existencii a jednoznačnosti infima existuje inf B. Keďže inf B je najväčšie dolnéohraničenie množiny B, tak supA ≤ inf B.
Nech ∅ 6= M ⊆ R∗. Ak M je zhora ohraničená, tak podľa axiómy (H) existuje supM ∈R. V prípade zhora neohraničenej množiny M kladieme supM = +∞. Podobne, ak M jezdola ohraničená, tak podľa Vety 1.36 existuje inf M ∈ R. V prípade zhora neohraničenejmnožiny M kladieme inf M = −∞. Z týchto úvah vyplýva
Tvrdenie 1.39. (∀M ⊆ R∗,M 6= ∅)(∃ inf M ∈ R∗ ∧ ∃ supM ∈ R∗)
Poznámka 1.40. Ak M = ∅, tak každé x ∈ R∗ je horným aj dolným ohraničením množinyM , preto kladieme sup ∅ = −∞ a inf ∅ = +∞. Na základe toho teda v množine R∗ môžemetvrdiť, že (∀M ⊆ R∗)(∃ inf M ∈ R∗ ∧ ∃ supM ∈ R∗).
z Úlohy na premýšľanie
3 Je možné v definícii absolútnej hodnoty zobrať supremum namiesto maxima?3 Nájdite príklad množiny M , pre ktorú
(i) supM = inf M ;
(ii) supM > max M ;
(iii) minM existuje a inf M neexistuje;
(iv) existujú inf M a minM , ale nerovnajú sa.
3 Určte max M , minM , supM a inf M , ak M = Ma,b = {a sinx + b;x ∈ R}, a, b ∈ R.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 31 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
1.5. Niektoré dôležité vlastnosti reálnych číselZačnime tvrdením, ktoré je priamym pokračovaním úvah a výsledkov predchádzajúcichčastí.
Veta 1.41 (Archimedov princíp). Množina N je zhora neohraničená.
Dôkaz. Predpokladajme, že N je zhora ohraničená, t.j. podľa axiómy (H) existuje sup N =S. Položme t = S−1. Keďže t < S, potom podľa druhej vlastnosti suprema k nemu existujen0 ∈ N také, že t < n0, čiže t = S − 1 < n0 ⇔ S < n0 + 1. Avšak n0 + 1 ∈ N, čo znamená,že S nie je najmenším horným ohraničením N, čo je spor.
Nasledujúca veta dostala svoj názov, pretože je ekvivalentná s tvrdením, že pole R jearchimedovské.
Veta 1.42 (Archimedova vlastnosť). (∀x, y ∈ R, x > 0)(∃n ∈ N) nx > y
Dôkaz. Keďže nx > y ⇔ n > yx , predpokladajme, že tvrdenie neplatí, t.j. (∀n ∈ N) n ≤
yx , čo by znamenalo, že N je zhora ohraničená, čo je v spore s Archimedovým princípom.
Poznámka 1.43. Archimedova vlastnosť sa dá sformulovať a dokázať aj trochu všeobec-nejšie v nasledujúcom tvare:
(∀x, y ∈ R, x > 0)(∃k ∈ Z) kx ≤ y < (k + 1)x.
Ak teraz položíme x = 1, tak (∀y ∈ R)(∃k ∈ Z) k ≤ y < (k + 1). Takéto číslo k ∈Z nazývame celá časť reálneho čísla y a označujeme [y], alebo tiež historicky zaužívanéoznačenie E(y). V nasledujúcom budeme používať obe označenia voľne. Takže celá časťreálneho čísla y je najväčšie celé číslo, ktoré nie je väčšie ako číslo y. Platia preto nasledujúcenerovnosti
[y] ≤ y < [y] + 1 a y − 1 < [y] ≤ y.
Zrejme potom E(4,265) = 4, E(0,12) = 0 a E(−2,89) = −3.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 32 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Veta 1.44 (o hustote racionálnych čísel v číslach reálnych).
(∀x, y ∈ R, x < y)(∃r ∈ Q) x < r < y
Dôkaz. Vybavíme tri prípady. Nech x, y ∈ R. Ak x < 0 < y, tak hľadané r = 01 ∈ Q.
Ak 0 ≤ x < y, položme ε = y − x > 0. Zrejme, 1ε > 0 a podľa Archimedovho princípu
existuje n ∈ N také, že n > 1ε ⇔
1n < ε. Nech m je najmenšie také prirodzené číslo, že
mn > x (jeho existencia plynie z Vety 1.28 o dobrom usporiadaní), t.j.
m− 1n≤ x <
m
n⇔ m
n− 1
n≤ x <
m
n⇔ m
n≤ x +
1n
< x + ε = x + (y − x) = y.
Teda x < mn < y, kde m
n = r je hľadané racionálne číslo.Ak x < y ≤ 0, prejdime k opačným číslam, teda 0 ≤ −y < −x. Podľa predošlej časti
dôkazu (∃p ∈ Q) − y < p < −x, teda x < −p < y. Položením −p = r ∈ Q mámevýsledok.
Dôsledok 1.45 (o hustote iracionálnych čísel v číslach reálnych).
(∀x, y ∈ R, x < y)(∃p ∈ R \Q) x < p < y
Dôkaz. Nech x, y ∈ R, x < y. Potom x−√
2 < y−√
2 a podľa vety o hustote racionálnychčísel v číslach reálnych existuje r ∈ Q také, že x −
√2 < r < y −
√2 ⇔ x < r +
√2 < y.
Položením p = r +√
2 máme hľadané iracionálne číslo (pozri úlohy na premýšľanie).
z Úlohy na precvičenie
3 Pre ktoré čísla x, y ∈ R platia vzťahy E(x + y) = E(x) + E(y) a E(x · y) = E(x) · E(y)?3 Dokážte Hermiteovu rovnosť
(∀n ∈ N)(∀x ∈ R) E(x) + E(
x +1n
)+ · · ·+ E
(x +
n− 1n
)= E(nx).
Pomôcka: použite matematickú indukciu vzhľadom na k ∈ N také, že kn ≤ x < k+1
n .3 Dokážte, že súčet racionálneho čísla a iracionálneho čísla je iracionálne číslo.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 33 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
1.6. Mocnina, odmocnina a logaritmusV tejto časti uvedieme definície a základné vlastnosti niektorých čísel, ktoré sú zaujímavéa dôležité z hľadiska matematickej analýzy.
Mocnina s celočíselným exponentomDefinícia 1.46. Nech x ∈ R, n ∈ N. Číslo xn dané predpisom x1 = x a xn = xn−1 · xpre n > 1 nazývame n-tou mocninou čísla x. Číslo x nazývame základ a číslo n exponent(mocniteľ). Pre x ∈ R kladieme x0 = 1 a pre x ∈ R \ {0} a n ∈ N kladieme x−n = 1
xn .
Veta 1.47. (∀x ∈ R \ {0})(∀m,n ∈ Z) xn · xm = xn+m ∧ (xn)m = xn·m
Dôkaz. Matematickou indukciou vzhľadom na exponent m, pričom iba naznačíme zá-kladné myšlienky:
Pre m = 0 ∨ n = 0 overíme rovnosti dosadením. Pre m = 1 platia vzťahy priamoz definície a pre m ∈ N na základe indukčného predpokladu dostaneme ľahko požadovanýzáver. V princípe nám teda ostáva vyšetriť len dva prípady: (m < 0∧n > 0)∨(n < 0∧m <0).
V prvom prípade položíme m = −k, k ∈ N a uplatníme matematickú indukciu v dvochprípadoch k ≤ n a k > n. Premyslite si analogickú situáciu pre m > 0 ∧ n < 0.
V prípade n < 0∧m < 0 položíme n = −p, p ∈ N a m = −q, q ∈ N, využijeme definíciua už vyššie dokázané rovnosti pre prípad p, q ∈ N. Urobte detailne!
z Úlohy na precvičenie
Dokážte nasledujúce tvrdenia:3 (∀x, y ∈ R \ {0})(∀p ∈ Z) (x · y)p = xp · yp;3 (∀x ∈ R, x > 1)(∀n ∈ N) xn > xn−1 > · · · > x > 1;3 (∀x ∈ R, 0 < x < 1)(∀n ∈ N) xn < xn−1 < · · · < x < 1;3 (∀x, y ∈ R, 0 < x < y)(∀n ∈ N) xn < yn.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 34 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Aritmetická n-tá odmocninaČo je to číslo
√2? Väčšina by asi odpovedala, že ide o dĺžku prepony v pravouhlom
trojuholníku s odvesnami dĺžky 1. Ale ako ho hľadať, resp. ako je konštruované? Zrejme,
12 < 2 < 22
1,42 < 2 < 1,52
1,412 < 2 < 1,422
1,4142 < 2 < 1,4152
...
Uvažujme teda množinu A = {1,42; 1,412; 1,4142; . . . }. Ide o neprázdnu množinu, ktorá jeohraničená zhora číslom 2, teda existuje supA. Dokážme, že supA = 2.
Ako vidieť z konštrukcie, tak (∀z ∈ A) z ≤ 2. Aby sme ukázali platnosť druhej vlastnostisuprema, položme x1 = 1,4, x2 = 1,41, x3 = 1,414, . . . Z konštrukcie vieme, že (∀n ∈N)
(xn + 1
10n
)2> 2 a tiež x2
n < 2. Potom(xn +
110n
)2
− x2n = x2
n +2xn10n
+(
110n
)2
− x2n =
110n
(2xn +
110n
)<
110n
(2 · 2 +
110n
)<
110n
(4 + 1) =5
10n,
teda
x2n >
(xn +
110n
)2
− 510n
> 2− 510n
= 1, 99 . . . 95︸ ︷︷ ︸n
.
Ak teda vezmeme t ∈ R ľubovoľne blízko k číslu 2, t.j. t < 2, potom k nemu dokážemenájsť n0 ∈ N také, že x2
n0> t, čo dokazuje druhú vlastnosť suprema, a teda
√2 = sup{z ∈ R; z2 ≤ 2}.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 35 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Presne na tomto princípe je založená nasledujúca dôležitá veta.
Veta 1.48 (o existencii a jednoznačnosti aritmetickej n-tej odmocniny).
(∀x ∈ R, x > 0)(∀n ∈ N)(∃!y ∈ R, y > 0) yn = x
Detailný dôkaz tohto tvrdenia je možné nájsť v [5]. Číslo y vo vete nazývame n-touodmocninou čísla x a píšeme y = n
√x. Pre n = 1 sa nezvykne označovať y = 1
√x, pretože
to znamená zápis y = x.
Poznámka 1.49. Iracionálne číslo√
2 sa v matematike zaraďuje do skupiny tzv. algeb-rických čísel, t.j. čísel, ktoré sú koreňom nejakého polynómu s celočíselnými koeficientami.V prípade čísla
√2 ide o polynóm x2 − 2. Okrem nich existuju aj tzv. transcendentné
čísla, ktoré nie sú koreňom žiadneho takého polynómu. Jedno z najznámejších je napríkladLudolfovo číslo π. Neskôr sa stretneme aj s ďalším takýmto významným číslom, ktorým jepre analýzu Eulerovo číslo e.
Veta 1.50. (∀x, y ∈ R, x > 0, y > 0)(∀m,n ∈ N) n√
xy = n√
x · n√
y ∧ m√
n√
x = m·n√
x
Dôkaz. Označme n√
x = u, n√
y = v a n√
xy = w, t.j. x = un, y = vn a xy = wn. Potom
wn = xy = un · vn = (uv)n ⇒ w = uv ⇒ n√
xy = n√
x · n√
y.
Podobne druhá časť tvrdenia.
Poznámka 1.51. Jednoznačnosť n-tej odmocniny v R implikuje jednoznačnosť aj v jejpodoboroch. Neplatí to však napríklad už v komplexných číslach: v R je 1 =
√1 = 4
√1,
ale v komplexných číslach sú dve druhé odmocniny z 1 (t.j. ±1) a dokonca štyri štvrtéodmocniny z 1 (t.j. ±1, ±i)!
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 36 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Rozšírme pojem n-tej odmocniny o n-tú odmocninu z 0 a pre nepárne prirodzené číslon aj o n-tú odmocninu zo záporného čísla. Z definície n-tej mocniny plynie, že 0n = 0,a preto kladieme n
√0 = 0. Ak x < 0 a n je nepárne prirodzené číslo, tak α = −x > 0 a
rovnica yn = x je ekvivalentná s rovnicou (−y)n = α, pretože
(−y)n = α ⇔ ((−1)y)n = −x ⇔ (−1)ny = −x ⇔ −yn = −x ⇔ yn = x.
Keďže α > 0, tak existuje jediné kladné reálne číslo −y také, že (−y)n = α, a teda−y = n
√α = n
√−x, resp. y = − n
√−x. Toto číslo nazývame n-tou odmocninou čísla x < 0
a píšeme n√
x = − n√−x. Napríklad, 3
√−8 = − 3
√8 = −2.
Veta 1.52. (∀x, y ∈ R, 0 ≤ x < y)(∀n ∈ N) n√
x < n√
y
Dôkaz. Predpokladajme, že n√
x = n√
y. Potom by ( n√
x)n = ( n√
y)n, čiže x = y, čo jespor s predpokladom. Podobne, ak by n
√x > n
√y ≥ 0, tak ( n
√x)n > ( n
√y)n, teda x > y, čo
je opäť spor. Preto z trichotómie ostáva iba možnosť n√
x < n√
y.
z Úlohy na precvičenie
Dokážte nasledujúce tvrdenia:3 (∀x ∈ R, x > 0)(∀m,n ∈ N) n
√xm = ( n
√x)m;
3 (∀x ∈ R, x > 0)(∀n ∈ N) n
√1x = 1
n√x;
3 (∀x, y ∈ R, x > 0, y > 0)(∀n ∈ N) n
√xy =
n√x
n√y .
z Úlohy na premýšľanie
3 Existuje nekonečne veľa dvojíc x, y ∈ R, pre ktoré platí√
x + y =√
x +√
y?3 Existuje x ∈ R také, že
√x > x? Zmení sa niečo, ak budeme uvažovať vo všeobecnosti
n-tú odmocninu?
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 37 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Mocnina s racionálnym exponentomDefinícia 1.53. Nech x ∈ R, x > 0 a r = p
q , p ∈ Z, q ∈ N. Mocninou xr budeme rozumieťčíslo q
√xp (t.j. xr = x
pq = q√
xp).
Prijatie tejto definície si vyžaduje overenie jej korektnosti, t.j. hodnota mocniny xr
nezávisí od spôsobu vyjadrenia racionálneho čísla r, o čom pojednáva nasledujúca veta.
Veta 1.54. (∀x ∈ R, x > 0)(∀r ∈ Q) (r = pq = m
n , p,m ∈ Z, q, n ∈ N)⇒ n√
xm = q√
xp
Dôkaz. Keďže pq = m
n ⇔ pn = qm, tak xmq = xnp. Označme u = n√
xm a v = q√
xp.Potom
un = xm ⇒ (un)q = (xm)q ⇒ unq = xmq
a takistovq = xp ⇒ (vq)n = (xp)n ⇒ vnq = xnp.
Teda unq = vnq a z jednoznačnosti odmocniny plynie u = v, t.j. n√
xm = q√
xp.Overte, že zavedená definícia mocniny xr s racionálnym exponentom sa zhoduje s moc-
ninou s celočíselným exponentom pre r ∈ Z! Základné pravidlá narábania s mocninamis racionálnym exponentom sú zhrnuté v nasledujúcej vete.
Veta 1.55. (∀x, y ∈ R, x > 0, y > 0)(∀r, s ∈ Q)
(i) xr · yr = (xy)r ∧ xr
yr =(xy
)r;
(ii) xr · xs = xr+s ∧ xr
xs = xr−s;
(iii) (x < y ∧ r > 0)⇒ xr < yr;
(iv) (x > 1 ∧ r > s)⇒ xr > xs.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 38 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Dôkaz. Uvedieme iba dôkaz časti (i), ostatné prenechávame ako cvičenie.Nech r = p
q , p ∈ Z, q ∈ N, q > 1 (inak niet čo dokazovať). Potom
xr · yr = q√
xp · q√
ypVeta 1.50= q
√xp · yp = q
√(xy)p = (xy)r.
Podobnexr
yr=
q√
xp
q√
yp= q
√xp
yp= q
√(x
y
)p=(
x
y
)r.
Zdôvodnite každý krok na základe axióm alebo dokázaných tvrdení!
Mocnina s reálnym exponentomČo je to ππ? Ako sa k nemu vieme dopracovať? Princíp je veľmi jednoduchý: hodnoty
π3, π3,1, π3,14, π3,141, π3,1415, . . . ,
poznáme, pretože ide o mocniny s racionálnym exponentom. Z axiómy (H) potom máme:
Definícia 1.56. Nech x, α ∈ R.
(i) Ak x > 1 a α > 0, tak mocninou xα budeme rozumieť číslo
sup{xr; r ∈ Q, 0 < r < α}.
(ii) Pre x ∈ (0, 1) a α > 0 definujeme xα = 1
( 1x )α .
(iii) Pre x = 1 a α ∈ R definujeme xα = 1α = 1.
(iv) Pre x > 0 a α < 0 definujeme xα = 1x−α .
(v) Pre x = 0 a α > 0 definujeme xα = 0α = 0.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 39 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Uvedená definícia je založená na skutočnosti, že pre x > 1 a s, t ∈ Q, s < t platínerovnosť xs < xt a každé reálne číslo α sa dá vyjadriť v tvare
α = sup{s; s ∈ Q, 0 < s < α},
čo opäť odkazuje na spôsob vybudovania reálnych čísel z čísel racionálnych. Pre x > 1môžeme tiež mocninu definovať vzťahom
xα = inf{xr; r ∈ Q, 0 < α < r}.
Opäť by bolo potrebné overiť korektnosť tejto definície. Keďže časť (i) zohráva dôležitúúlohu, pozrime sa naň trochu bližšie. Označme
A = {xr; r ∈ Q, 0 < r < α}.
Podľa Vety o hustote racionálnych čísel v číslach reálnych (∃r ∈ Q) 0 < r < α, čiže xr ∈ A,a teda A 6= ∅. Podľa tej istej vety (∃s ∈ Q) α < s < α + 1. Potom 0 < r < s, a tedaxr < xs, čo znamená, že xs je horné ohraničenie množiny A, a preto existuje supA a jejednoznačne určené. Taktiež je dôležité si uvedomiť, že hodnota xα pre x > 0 a α ∈ R jevždy kladné číslo!
Poznámka 1.57. Treba povedať, že Definícia 1.56 nezahŕňa výraz 00, ktorý je ale zahrnutýv Definícii 1.46 mocniny s celočíselným exponentom, t.j. 00 = 1. Niektorí autori sa brániatejto konvencii a tvrdia, že výraz 00 nedefinujeme, pretože podľa nich na to neexistujerozumný spôsob. Totiž vzhľadom na Definíciu 1.56 (v) by bolo rozumné položiť 00 = 0.My sa však budeme pridŕžať zavedenej mocniny s celočíselným exponentom, v ktorej jetento prípad zavedený ako 00 = 1 aj kvôli tomu, aby sme neskôr mohli pokojne narábaťnapr. s funkcionálnymi radmi, kde je aj tak potrebné prijať túto konvenciu, aby sme vedeliurčiť hodnotu cos 0, keďže
cos x =∞∑n=0
(−1)n
(2n)!x2n, x ∈ R.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 40 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Nasledujúce tvrdenie zhŕňa základné vlastnosti mocniny s reálnym exponentom, dôkazpozri [5]. Nakoľko sú tieto dôkazy tvrdení z axiomatiky reálnych čísel zdĺhavé a nepri-nášajú veľa úžitku, nebudeme ich robiť, ani vyžadovať. K niektorým vlastnostiam a ichodvodeniam sa však ešte dostaneme neskôr pomocou iného aparátu.
Veta 1.58. (∀x, y ∈ R, x > 0, y > 0)(∀α, β ∈ R)
(i) xα · yα = (xy)α ∧ xα
yα =(xy
)α;
(ii) xα · xβ = xα+β ∧ xα
xβ = xα−β ∧ (xα)β = xα·β;
(iii) (x > 1 ∧ α > 0) ∨ (x ∈ (0, 1) ∧ α < 0)⇒ xα > 1;
(iv) (x > 1 ∧ α < 0) ∨ (x ∈ (0, 1) ∧ α > 0)⇒ xα < 1;
(v) (x > 1 ∧ α < β)⇒ xα < xβ;
(vi) (x ∈ (0, 1) ∧ α < β)⇒ xα > xβ;
(vii) (0 < x < y ∧ α > 0)⇒ xα < yα;
(viii) (0 < x < y ∧ α < 0)⇒ xα > yα.
Logaritmus reálneho číslaZavedenie mocniny s reálnym exponentom nám umožní definovať nový pojem logaritmureálneho čísla a odvodiť jeho základné vlastnosti. K zavedeniu logaritmov došlo takmersúčasne na niekoľkých miestach. Táto nová metóda17 umožnila prevádzať zložitejšie po-čtárske úkony násobenia na jednoduchšie úkony sčítania, čo v dobe bez kalkulačiek boloveľmi výhodné. Spomeňme len, že za „objaviteľov logaritmov“ sú považovaní John Na-pier (1550–1617) a Jost Bürgi (1552–1632), ktorí ich nezávisle zaviedli začiatkom 17.storočia.
17slovo logaritmus vzniklo spojením gréckych slov „λoγoς“ – pomer a „αριτµoζ“ – číslo
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 41 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Definícia 1.59. Nech a, x ∈ R, a > 0, a 6= 1, x > 0. Reálne číslo y také, že ay = xnazývame logaritmus čísla x pri základe a a píšeme y = loga x.
Je potrebné si uvedomiť, že neexistuje logaritmus ako číselná hodnota sama osebe.Logaritmus je vlastne vzťah dvoch čísel (za láskavého prispenia tretieho). Ak sa teda za-mýšľame nad logaritmami, musíme vidieť stále dvojice čísel spolu zviazaných hodnotoutoho tretieho, ktorým je základ.
Otázku korektnosti tejto definície rieši nasledujúca veta, kde si opäť treba uvedomiť, želogaritmus je supremum nejakej množiny, čo sa ukáže práve v dôkaze tejto vety. Presnejšie,pre a > 1, x > 0 je
y = loga x = sup{z ∈ R; az < x}.
Môžete si tu všimnúť paralelu so zavedením n-tej odmocniny, ktorá bola tiež zavedená akosupremum istej číselnej množiny (súvisiacej s n-tou mocninou reálneho čísla). Dá sa všakpredpokladať, že situácia s logaritmom bude technicky ešte trochu komplikovanejšia, keďžeaj dôkazy vlastností mocnín s reálnym exponentom sú technicky náročnejšie v porovnanís dôkazmi vlastností mocnín s racionálnym exponentom..
Veta 1.60 (o existencii a jednoznačnosti logaritmu).
(∀a, x ∈ R, a > 0, a 6= 1, x > 0)(∃!y ∈ R) ay = x
Viac, či menej snaživý čitateľ môže nájsť dôkaz v odporúčanej (elektronicky dostupnej)literatúre [5]. Pripomeňme, že logaritmy so základom 10 sa obvykle označujú iba log (tzv.dekadický logaritmus) a logaritmy so základom e (Eulerovo číslo, pozri Časť 3.5) ako ln(tzv. logaritmus naturalis – prirodzený logaritmus).
Opäť iba zhrnieme základné vlastnosti tohto nového pojmu a niektoré vlastnosti do-kážeme. Keďže definícia logaritmu úzko súvisí s mocninou s reálnym exponentom, dá saočakávať, že sa vlastnosti budú dokazovať pomocou vlastností mocniny s reálnym expo-nentom.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 42 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Veta 1.61 (základné vlastnosti logaritmu). (∀a, b, x, y, α ∈ R, a > 0, a 6= 1, b > 0, b 6=1, x > 0, y > 0)
(i) loga 1 = 0 ∧ loga a = 1;
(ii) loga(xy) = loga x + loga y;
(iii) logaxy = loga x− loga y;
(iv) loga xα = α loga x;
(v) (a > 1 ∧ x < y)⇒ loga x < loga y;
(vi) (a ∈ (0, 1) ∧ x < y)⇒ loga x > loga y;
(vii) loga x = logb xlogb a
= logb x · loga b.
Dôkaz. (i) Keďže a0 = 1 a a1 = a, tak loga 1 = 0 a loga a = 1.(ii) Označme u = loga x, v = loga y a w = loga(xy), teda au = x, av = y a aw = xy.
Potom aw = xy = au · av = au+v, z čoho vyplýva, že w = u + v.Keďže ostatné vlastnosti bežia analogicky, ukážeme na záver časť (vii). Opäť označme
u = loga x, teda au = x. Potom
logb x = u · logb a = loga x · logb a ⇒ loga x =logb x
logb a.
Ak položíme x = b, tak loga b = 1logb a
, teda loga x = logb x · loga b.
z Úlohy na premýšľanie
3 Existuje nekonečne veľa dvojíc x, y ∈ R, pre ktoré platí loga(x + y) = loga x + loga y?Závisí táto vlastnosť na základe a?3 Existuje nekonečne veľa dvojíc x, y ∈ R, pre ktoré platí loga(x · y) = loga x · loga y? Akotáto vlastnosť závisí na a?
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 43 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
2. Úvod do reálnych funkcií
Niečo z histórie pojmu funkciaV polovici 18. storočia sa vyvinula predstava o tom, že funkcia je analytický výraz reprezen-tovaný mocninným radom. Táto predstava pochádza od Isaaca Newtona (1643–1727),pre ktorého bola zdrojom optimizmu pri vyjadrovaní sa o riešení hlavných problémov ana-lýzy. Vedúcim predstaviteľom tejto predstavy o funkcii bol v 18. storočí Joseph LouisLagrange (1736–1813), ktorý sústredil svoje úsilie na to, aby na tejto predstave fun-kcie ako mocninného radu vybudoval celú analýzu. S vývojom poznania a hlavne s tým,že sa matematické prostriedky sústreďovali na popis čoraz zložitejších fyzikálnych javov,sa postupne prichádzalo k tomu, že toto Lagrangeovo pojatie pre popis skúmaných javovnestačí. Stručne prejdeme niektorými formuláciami, ktoré nám môžu do istej miery daťinformáciu o predstavách matematikov o pojme funkcia a o tom, ako sa tieto predstavypostupne vyvíjali.
Leonhard Euler (1707–1783) v práci „Introductio in Analysin Infinitorum“z roku 1748 uvádza: Funkcia premennej veličiny je analytický výraz zložený ľubovoľnýmspôsobom z tejto premennej veličiny a z čísel alebo konštantných veličín. V svojom diele„Institutiones Calculi Differentialis“ v roku 1755 potom píše: Ak niektoré veličiny(kvantity) závisia od iných tak, že pri zmene tých druhých sa takisto menia, nazývajú sa tieprvé funkciami druhých. Tento názov má mimoriadne širokú povahu: obsahuje všetky možnéspôsoby, akými sa dá jedna veličina vyjadriť pomocou iných veličin. Môžeme si dnes ibadomýšľať, čo si Euler predstavoval pod pojmom „analytický výraz zložený ľubovoľnýmspôsobom“ v prvom prípade a pod pojmom „všetky možné spôsoby“ v prípade druhom.
Sylvestre Francois Lacroix18 (1765–1843) potom v prvom dieli knihy „Traitédu calcul différentiel et du calcul intégral“ v roku 1797 napísal: Každá veličina,ktorá závisí na jednej alebo niekoľkých iných veličinách, sa nazýva funkciou tých druhých, čiuž poznáme alebo nie, ktoré operácie je potrebné vykonať, aby sme z nich dostali tú prvú.
18čítaj „Lakroá“
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 44 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Lacroixovu definíciu môžeme pokladať za istú parafrázu Eulerovej definície s tým, že pova-žuje za dôležité zdôrazniť, že spôsobu, podľa ktorého sa z hodnôt argumentu získa funkčnáhodnota, nie sú predpísané žiadne špecifické matematické operácie. Týmto chceme doložiť,že predstavy o pojme funkcie sa v druhej polovici 18. storočia postupne posúvali do stálevšeobecnejšej polohy.
Matematická analýza vstúpila do 19. storočia s pojmom „ľubovoľnej“ funkcie. V samot-ných formuláciách poznať ešte istý ostych a snáď i obavu pred prílišnou všeobecnosťou.V knihe Josepha Fouriera (1768–1830) „Théorie analytique de la chaleur“ z roku1822 autor píše: Všeobecne je funkcia f(x) postupnosť hodnôt alebo ordinát, z ktorých každá jeľubovoľná. Toto pre nás dosť hmlisté tvrdenie potom Fourier upresňuje: Vôbec sa nepredpo-kladá, že sa tieto ordináty riadia všeobecnou zákonitosťou, môžu za sebou nasledovať ľubovoľnea každá z nich je daná ako by bola jedinečnou veličinou. Z týchto formulácií je možné zreteľ-ne vyčítať, že Fourier má na mysli predpis, ktorý „prvku z definičného oboru určí funkčnúhodnotu funkcie“ a tento predpis nie je určený ničím iným. Nemusí byť teda určený analy-tickým výrazom platným pre väčšiu skupinu prvkov definičného oboru. Hneď od začiatku19. storočia sa pojem funkcie stal centrálnym objektom skúmania matematickej analýzy.Matematická analýza sa formovala ako teória o narábaní s funkciami a ako rozvíjajúci sasúbor prostriedkov na vyšetrovanie vlastností funkcí alebo pre určovanie funkcií s danýmivlastnosťami. Vedúce osobnosti analýzy Luis Augustin Cauchy (1789–1857) a Ber-nard Bolzano (1781–1847) sa výskumu venovali s veľkou vervou, avšak pojem funkcieu nich nie je nijak výrazne popísaný. Cauchy sa popisu venuje iba okrajovo a u Bolzanav jeho známej práci „Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen jezwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens einereelle Wurzel der Gleichung liege“ z roku 1817 sa o pojme funkcia nehovorí nič.Bolzano však veľmi presne popisuje to, čo sa rozumie pod spojitosťou funkcie v bodea o takýchto funkciách dokazuje známu vetu o medzihodnotách. Treba však povedať, žeBolzano mnohé veci nepublikoval, pracoval ale na veľkom projekte. Analýzy sa týka jeho„Functionenlehre“, ktorá však bola publikovaná až v 20. storočí.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 45 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
O pojme funkcia sa vyslovil i P. G. Lejeune Dirichlet (1805–1859) v roku 1837:Pod a a b budeme rozumieť dve pevné hodnoty a pod x premennú veličinu nadobúdajúcu všetkyhodnoty medzi a a b. Ak teraz každému x odpovedá jedno jediné konečné y tak, že ak x spojiteprebieha interval od a do b, tak sa y = f(x) mení rovnako spojite, potom y sa nazýva spojitoufunkciou x pre tento interval. Ak odhliadneme od toho, že ide o určenie spojitej funkcie,je Dirichletova definícia určením pojmu funkcie v dnešnom zmysle (priradenie hodnotyhodnote). K tomu snáď ešte poznamenajme, že nemôžeme Dirichleta podozrievať z toho,že by nevedel o nespojitých funkciách – veď jedna z najznámejších funkcií nespojitýchv každom bode nesie práve jeho meno a Dirichlet ju popísal osem rokov pred uvedenímvyššie citovanej definície. Zastavme sa ale na chvíľu pri definícii spojitej funkcie. Dirichletovpopis (definícia) je trochu hmlistý a vôbec nie presný. Porovnajme Dirichletovu definícius Bolzanovou z vyššie zmienej práce z roku 1817. Bolzano hovorí: Správnym výkladomtvrdenia, že sa funkcia f(x) pre všetky hodnoty x, ktoré ležia zvnútra alebo zvonku istýchmedzí, mení podľa zákona spojitosti, totiž rozumieme len toľko, že ak x je taká hodnota,potom rozdiel f(x + u)− f(x) je možné urobiť menším než každá daná veličina, keď je možnébrať u také malé, ako len chceme. Je to o dosť presnejší a v istom zmysle „aritmetizovanejší“popis pojmu spojitosti funkcie v bode, ak oželieme absenciu absolútnej hodnoty a nejasnýpopis toho, že sa v závere uvedeného citátu vlastne chce, aby „u bolo dosť malé“. Kadečo alemôže byť zahmlené dosť akademickou Bolzanovou pražskou nemčinou z tej doby a potompochopiteľne i naším chabým pokusom o doslovný preklad.
Citátom Dirichletovho popisu funkcie vlastne môžeme uzavrieť dôležitú otázku vyme-dzenia tohto základného pojmu. Od Dirichleta sa potom už dosť priamo odvíjala koncepciafunkcie ako priradenia funkčných hodnôt (spočiatku hlavne čísel, reálnych alebo komplex-ných, neskôr i iných objektov) prvkom definičného oboru. Pre popis definičného oborufunkcie (a nakoniec i oboru jej hodnôt) bola mimoriadnym prínosom Cantorova teóriamnožín. Terminológia v nej vytvorená umožnila náležitú presnosť a jasnosť. Tým sa po-pis základných objektov vyšetrovania v analýze 19. storočia, t.j. funkcií, posunul takmerdo dnešnej podoby.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 46 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Funkcia ako zobrazenieV každodennom živote sa stretávame so situáciami, že niektoré veličiny sa počas sledovaniaurčitého javu menia, iné zase nie. Napríklad zohrievaním plynu v uzavretej nádobe sa jehoteplota a tlak menia, ale nemení sa jeho hmotnosť, ani objem. Premennou sa nazýva takáveličina, ktorá môže v podmienkach danej úlohy nadobúdať rôzne hodnoty. Veličina, ktorejhodnoty sa v podmienkach úlohy nemenia, sa nazýva konštantná. V praxi je často potrebnéskúmať súvislosti premenných veličín, resp. závislosť jednej veličiny na druhej. V prírodeani niet veličín, ktoré by sa menili bez súvisu s inými veličinami. Napríklad vietor menísvoj smer v dôsledku neustálych zmien iných veličín, ako je teplota vzdušných más a iné.Tieto skutočnosti viedli k abstrakcii, ktorej dôsledkom je pojem funkcie ako zobrazenia19.
Definícia 2.1. Nech X, Y sú množiny. Ak každému prvku x ∈ X je určitým spôsobompriradený práve jeden prvok y ∈ Y , hovoríme, že na množine X je definované zobrazenief , zapisujeme y = f(x), x ∈ X.
Poznámka 2.2. Aby sme čitateľa odstrašili hneď na úvod, použitím kvantifikátorov jemožné pojem zobrazenie f : X → Y charakterizovať takto:
(∀x ∈ X)(∀y1, y2 ∈ Y ) (y1 = f(x) ∧ y2 = f(x))⇒ y1 = y2.
Množinu X nazývame definičný obor zobrazenia f a píšeme D(f) alebo Df . Jej prvky saoznačujú ako argumenty, vzory alebo nezávislé premenné. Prvok y0 ∈ Y , ktorý je priradenýargumentu x0 ∈ X, nazývame hodnotou zobrazenia f v bode x0 a označujeme ho f(x0).Množinu hodnôt, ktoré sú priradené prvkom množiny X, nazývame obor hodnôt zobrazeniaf a označujeme H(f) alebo Hf , t.j. pre y0 ∈ Y existuje x0 ∈ X taký, že f(x0) = y0. Prvkyz oboru hodnôt nazývame obrazmi alebo závislými premennými.
19Treba však povedať, že v matematickej literatúre sa tieto pojmy nie vždy stotožňujú. Obyčajne sazobrazenie f : X → Y považuje za najvšeobecnejší používaný pojem bez ohľadu na množiny X, Y av rôznych častiach matematiky má toto zobrazenie celý rad synoným, napr. funkcia, morfizmus, operátor,funkcionál, transfomácia. Pojem zobrazenie sa nahrádza pojmom funkcia obyčajne vtedy, keď Y je množinareálnych alebo komplexných čísel. Pojem funkcionál sa zase zvykne používať, ak X je množina funkcií.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 47 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
V definícii sme nijak bližšie nešpecifikovali, o aké množiny ide (mohlo by ísť o číselnémnožiny, matice, vektory a pod.) a podľa toho sa rozlišuje príslušné zobrazenie. Ak všakX, Y ⊆ R, tak zobrazenie f nazývame reálna funkcia jednej reálnej premennej, skrátenev ďalšom texte iba reálna funkcia, prípadne len funkcia20. Teda funkcia predstavuje predpis,pravidlo f : x 7→ f(x), x ∈ X. Číslo y = f(x) priradené číslu x nazývame hodnotou funkcief v čísle x. Tu je potrebné upozorniť na častú nekonzistenciu v označovaní. Totiž ak mámefunkciu f nezávislej premennej x, je často zvykom neoznačovať túto funkciu symbolom f ,ale trochu mätúcim symbolom f(x), ktorý môže mať dva odlišné významy a len z kontextuje jasné, či f(x) je predpis funkcie, alebo f(x) je označenie prvku z množiny Hf .
Z formálneho hľadiska sa na funkciu môžeme pozerať ako na množinu usporiadanýchdvojíc, t.j. takých, v ktorých je potrebné rozlišovať prvý a druhý prvok dvojice, kde rôznedvojice majú rôzne prvé prvky. Čísla x, ktoré sú prvými prvkami, tvoria množinu X ačísla, ktoré sú druhými prvkami, tvoria (častokrát inú) množinu Y .
Funkcie, ako aj iné matematické objekty, označujeme vhodnými symbolmi. Vo vše-obecných úvahách o funkciách budeme obvykle na ich označovanie používať malé latinsképísmená, najčastejšie f , g, h a pod. Pre mnohé funkcie sa ale zaviedli rôzne označovania.Nie vždy je funkcia označená písmenom, napríklad na označenie funkcie celá časť sa okrempísmena E používajú hranaté zátvorky [] a jej hodnota v čísle x sa označuje [x]. Inýmpríkladom funkcie je faktoriál. Je to funkcia, ktorej definičný obor sú nezáporné celé čísla ana jej označovanie sa zaužíval symbol výkričník !. Hodnotu tejto funkcie v čísle n značímen!.
Vo všeobecnosti, ak nejaký symbol značí funkciu, musí byť dané pravidlo, ako sa značiajej hodnoty v jednotlivých bodoch jej definičného oboru. Obyčajne sa znak pre bod z de-finičného oboru niekde ku znaku funkcie pripíše, najčastejšie za znak funkcie do zátvorky.Napríklad Eulerova gamma funkcia sa značí symbolom Γ, jej hodnota v čísle x je Γ(x)daná predpisom
Γ(x) =∫ ∞
0
tx−1 et dt, x > 0.
20pojem „funkcia“ ako prvý použil Leibniz v roku 1692
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 48 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Iná známa funkcia sa značí znakom sin a jej hodnoty sinx. Stáva sa však, že znak pre bodz definičného oboru nepíšeme za znak funkcie, ale na iné miesto. Uviedli sme, že ! je znakpre funkciu faktoriál a jej hodnoty značíme tak, že číslo z definičného oboru píšeme predneho, t.j. n!. Často sa tiež používa na označenie hodnoty funkcie f v čísle x znak fx a tonajmä vtedy, keď jej definičný obor je množina prirodzených čísel (obzvlášť postupnosti satak značia). Takáto nejednotnosť v označovaní vznikla tradíciou, pričom si ich autori expli-citne neuvedomovali, že ide o funkciu. Nemá však význam odstraňovať túto nejednotnosť,museli by sme odstrániť priveľa zaužívaných označení, čo by viedlo k sťaženiu čitateľnostimnohých textov.
V zápise v tvare x 7→ f(x) nie je podstatné, aké písmeno na označenie nezávislej pre-mennej použijeme. Ak totiž f je funkcia, zápisy x 7→ f(x), η 7→ f(η), α 7→ f(α) vyjadrujúto isté, teda môžeme použiť hocijaké písmeno alebo znak, ktorý nemá už rezervovaný vý-znam. Avšak 5 7→ f(5) nie je zápis pre funkciu f , lebo symbol 5 má význam rezervovanýpre isté číslo.
Každá funkcia je jednoznačne určená svojím definičným oborom a predpisom prirade-nia21. Ak definičný obor funkcie f nie je uvedený, budeme rozumieť jej prirodzený definičnýobor, t.j. najväčšiu množinu hodnôt, pre ktorú má predpis x 7→ f(x) zmysel. Pravidlo pri-radenia pritom môže byť dané rôznymi spôsobmi:
(a) explicitne (analyticky) f : y = x2 alebo g : t =√
s, s ∈ (1, 3〉;
(b) implicitne: xy + lnxy = 1;
(c) viacerými rovnicami: Dirichletova funkcia χ(x) =
{1, x ∈ Q0, x ∈ R \Q
;
21Podstatné tu nie to, či vieme túto (jedinú) hodnotu priradiť, ale aby existovala. Ak napríklad definujemefunkciu f , ktorej hodnota v n ∈ N je n-té prvočíslo, tak vieme, že f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 5, atď.,ale nikto nevie, koľko je f
((1010)10
), hoci vieme, že táto hodnota existuje (keďže prvočísel je nekonečne
veľa).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 49 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
x
y
1
1
0 x
y
1
1
0
Obrázok 1: „Graf“ Dirichletovej a Riemannovej funkcie
Riemannova funkcia:
ρ(x) =
{0, x ∈ R \Q ∩ 〈0, 1〉 alebo x = 01q , x = p
q je zlomok v základnom tvare (p, q ∈ N sú nesúdeliteľné);
(d) parametricky, rekurzívne, tabuľkou, graficky, slovne, . . .
Analytický spôsob zadania funkcie je najrozšírenejším spôsobom zadania funkcie. Na-príklad v matematickej analýze sa takmer všetky funkcie zadávajú analyticky. Hlavnýmivýhodami tohto spôsobu zadania funkcie sú stručnosť, možnosť vyčíslenia hodnôt funkciepri ľubovoľnej hodnote argumentu z definičného oboru, ako aj možnosť použitia rozsiahle-ho a silného aparátu matematickej analýzy pri skúmaní takto zadanej funkcie. Nevýhodoumôže byť nedostatok názornosti a niekedy nevyhnutnosť urobiť zdĺhavé a ťažké výpočty,aby sme sa dozvedeli funkčnú hodnotu v danom bode.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 50 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Konštantnou funkciou nazývame funkciu definovanú na R predpisom (∀x ∈ R) f(x) = c,c ∈ R. Funkcia, ktorá každému reálnemu číslu x priradí to isté reálne číslo x sa nazývaidentita a máva v rôznych oblastiach rôzne označenie (napr. I alebo Id). My však pre tútofunkciu žiaden špeciálny symbol používať nebudeme.
Často sa stáva, že danú funkciu vyšetrujeme nie na celom jej definičnom obore, ale lenna nejakej jeho podmnožine.
Definícia 2.3. Nech f je definovaná na X 6= ∅ a X1 ⊂ X. Funkciu ϕ definovanú na X1
predpisom (∀x ∈ X1) ϕ(x) = f(x) nazývame parciálnou funkciou k funkcii f (alebo tiežzúženie f na X1).
Obvykle píšeme ϕ = f |X1 . Zrejme funkcia ϕ(x) = 1, x ∈ Q je parciálnou funkciouk funkcii χ. Taktiež faktoriál je zúžením Eulerovej gama funkcie Γ definovanej na (0,+∞)na množinu N. Historický vývoj bol pritom opačný: riešila sa otázka (tzv. interpolačnýproblém), či existuje funkcia s určitými vlastnosťami, ktorej zúžením je faktoriál, teda čije možné rozšíriť funkciu na väčšiu množinu.
Definícia 2.4. Grafom funkcie f definovanej na množine X 6= ∅ nazývame množinu Gf ={[x, y];x ∈ X, y = f(x)}.
Reálne čísla interpretujeme geometricky ako body na priamke. Ak chceme geometrickyinterpretovať funkcie, zvolíme si v rovine dve pretínajúce sa priamky (tiež nazývané osi),obyčajne na seba kolmé. Bod, v ktorom sa pretínajú, nech značí na každej z nich nulu.Potom každému bodu v rovine priradíme dvojicu čísel a to tých, ktoré znázorňujú jehopriemety na týchto priamkách. Tak je každému bodu priradená dvojica čísel, ale i naopak,ku každej dvojici sa dá zostrojiť práve jeden bod práve opísaným spôsobom. Geometrickýmobrazom množiny Gf je množina bodov v tejto rovine. Aj túto geometrickú interpretáciuobvykle nazývame grafom funkcie f . Množina Gf neobsahuje žiadne dve dvojice, ktorýchprvá súradnica by bola rovnaká. Z toho vyplýva, že priamka x = x0 pretína graf funkcief nakreslený v danej rovine v jednom bode P = [x0, y0] = [x0, f(x0)]. V ďalšom budemex-ovú os označovať ox a y-ovú os oy.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 51 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Geometrické znázornenie grafu funkcie, ktorej definičný obor je nekonečná množina, nieje možné previesť bod po bode a z praktických dôvodov ani nakresliť (viď graf Dirichletoveja Riemannovej funkcie na intervale 〈0, 1〉, Obr. 1). Grafy funkcií je však možné zobrazovaťna základe štúdia vlastností danej funkcie. Pre načrtnutie grafu nejakej funkcie na zada-nej množine nám môže tiež pomôcť znalosť transformácií grafov iných funkcií. Nech tedapoznáme graf funkcie f . Potom
(i) y = f(x) + A . . . posunutie grafu pozdĺž osi oy o hodnotu A;
(ii) y = f(x− a) . . . posunutie grafu pozdĺž osi ox o hodnotu a;
(iii) y = Bf(x) . . . násobenie každej y-ovej súradnice číslom B 6= 0;
(iv) y = f(bx) . . . násobenie každej x-ovej súradnice číslom b 6= 0;
(v) y = f(−x) . . . symetria grafu vzhľadom na os oy;
(vi) y = −f(x) . . . symetria grafu vzhľadom na os ox;
(vii) y = |f(x)| . . . symetria časti grafu ležiaceho pod osou ox vzhľadom na os ox;
(viii) y = f(|x|) . . . symetria časti grafu ležiaceho vpravo od oy vzhľadom na os oy.
Na Obr. 2 a Obr. 3 sú tieto transformácie ilustrované na konkrétnych príkladoch. Po-stupným skladaním týchto transformácií vieme načrtnúť ďalšie grafy funkcií. Napríkladnech je daný graf funkcie f (napr. ako na Obr. 4). Potom graf funkcie y = af(b|x|+ c) + dzískame nasledujúcou postupnosťou transformácií:
y = f(x) x7→x+c=⇒ y = f(x + c) x7→bx=⇒ y = f(bx + c)x7→|x|=⇒ y = f(b|x|+ c)
y 7→ay=⇒ y = af(b|x|+ c)
y 7→y+d=⇒ y = af(b|x|+ c) + d
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 52 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
x
y
y = f(x)
x
y
y = f(x)− 1
x
y
y = f(x + 5)
x
y
y = f(3x)
x
y
y = 2 f(x)
Obrázok 2: Transformácie (i)–(iv) grafu funkcie y = f(x)
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 53 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
x
y
y = f(x)
x
y
y = f(−x)
x
y
y = −f(x)
x
y
y = |f(x)|
x
y
y = f(|x|)
Obrázok 3: Transformácie (v)–(viii) grafu funkcie y = f(x)
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 54 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Definícia 2.5. Hovoríme, že funkcie f, g sa rovnajú, akk majú rovnaký definičný obor Xa (∀x ∈ X) f(x) = g(x).
Podobne môžeme povedať, že dve funkcie f a g definované na spoločnej množine Xspĺňajúce podmienku (∀x ∈ X) f(x) = g(x) sa rovnajú. Napríklad, f(x) =
√x2 a g(x) = x
sa rovnajú na 〈0,+∞), ale nie na R. Poznamenajme, že pre určenie toho, či sa dve funkcief : X1 → Y1 a g : X2 → Y2 rovnajú, nie je podstatné, či Y1 = Y2. Tak napríklad funkciesin : R → R a sin : R → 〈−1, 1〉 sa v zmysle našej definície rovnajú. Niekomu by všakmohlo vadiť, že prvá z nich nie je surjektívna (alebo na, t.j. (∃y ∈ Y1)(∀x ∈ X1) f(x) 6= y)a druhá je. To je síce naozaj trochu nepríjemné (rovnosť by sa asi takto čudne správaťnemala), ale my sa budeme aj naďalej pridržiavať vyslovenej definície.
z Úlohy na premýšľanie
3 Ktoré z uvedených transformácií grafu funkcie menia jej definičný obor a ktoré obor jejhodnôt?3 Určte a, b, c, d ∈ R ak viete, že graf funkcie f : y = a|x− 1|+ b|x− 2|+ cx + d má tvardaný nasledujúcim obrázkom
x
yy = f(x)
1 2 3 4
1
2
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 55 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
x
y
y = f(x)
−10
1
−1
1
Obrázok 4: Graf funkcie danej úsečkami a polriamkami
3 Nech graf funkcie y = f(x) je daný na Obr. 4. Načrtnite graf funkcie(i) y = f(−1− |x|); (ii) y = |f(2x− 1)|; (iii) y = f(|2x + 1|).
3 Rovnajú sa funkcie
f : y =
√x− 8x− 1
a g : y =√
x− 8√x− 1
?
3 Nájdite najväčšiu množinu X ⊂ R, pre ktorú platí f |X = g|X , ak
f : y = cotgx a g : y =1
tgx.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 56 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
2.1. Operácie s funkciamiDefinícia 2.6. Nech f a g sú funkcie s definičnými obormi Df a Dg.
(i) Absolútna hodnota |f | je funkcia definovaná na Df predpisom
(∀x ∈ Df ) |f |(x) = |f(x)|.
(ii) Súčet (rozdiel) f ± g je funkcia definovaná na Df ∩Dg predpisom
(∀x ∈ Df ∩Dg) (f ± g)(x) = f(x)± g(x).
(iii) Súčin f · g je funkcia definovaná na Df ∩Dg predpisom
(∀x ∈ Df ∩Dg) (f · g)(x) = f(x) · g(x).
(iv) Podiel fg je funkcia definovaná na Df ∩ {x ∈ Dg; g(x) 6= 0} predpisom
(∀x ∈ Df ∩ {x ∈ Dg; g(x) 6= 0}) f
g(x) =
f(x)g(x)
.
Je potrebné upozorniť, že symboly operácií medzi funkciami a symboly operácií medzireálnymi číslami sú síce v uvedenej definícii rovnaké, ale je dôležité uvedomiť si medzi nimirozdiel, t.j. napr. f + g znamená operáciu sčítania v množine funkcií, zatiaľ čo f(x) + g(x)znamená operáciu sčítania reálnych čísel f(x) a g(x).
Matematickou indukciou je možné rozšíriť túto definíciu na ľubovoľný konečný početfunkcií, napr. ak f1, . . . , fn, n ∈ N, sú funkcie s definičnými obormi Df1 , . . . , Dfn , potom
súčin f1 . . . fn je funkcia definovaná nan⋂i=1
Dfipredpisom
(∀x ∈
n⋂i=1
Dfi
) (n∏i=1
fi
)(x) =
n∏i=1
fi(x).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 57 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Všimnime si, že špeciálnym prípadom súčinu je funkcia α · f , α ∈ R, t.j. násobeniekonštantou. Opakovaným použitím operácií sčítania a násobenia konštantou dostanemez identity funkciu P (x) = a0x
n+a1xn−1 + . . . an−1x+an, kde ai ∈ R, i = 0, 1, . . . , n, ktorú
nazývame polynóm. Zrejme DP = R. Racionálnou lomenou funkciou rozumieme funkciuR v tvare
R(x) =P (x)Q(x)
=a0x
n + · · ·+ an−1x + anb0xm + · · ·+ bm−1x + bm
, ai ∈ R, bj ∈ R, i = 0, . . . , n, j = 0, . . . ,m,
kde aspoň jedno z čísel bj je nenulové. Zrejme DR = R \ {x ∈ R;Q(x) = 0}.Pre operácie s funkciami platí asociatívny a komutatívny zákon pre sčítanie, asociatívny
a komutatívny zákon pre násobenie, ako aj distributívny zákon násobenia vzhľadom nasčítanie (sformulujte ich!). Podobne ako pri číslach vieme niektoré funkcie medzi seboubodovo porovnávať: ak f, g sú definované na M a (∀x ∈ M) f(x) ≤ g(x), potom píšemejednoducho f ≤ g, podobne aj pre ostrú nerovnosť f < g. Avšak narozdiel od čísel existujúfunkcie, ktoré sa porovnať nedajú, napríklad f(x) = x a g(x) = −x na R.
Definícia 2.7. Nech f je funkcia definovaná na A a g je definovaná na B. Zloženoufunkciou f ◦g nazývame funkciu definovanú na množine M = {x ∈ B; g(x) ∈ A} predpisom(∀x ∈M) (f ◦ g)(x) = f(g(x)).
Funkciu f označujeme vonkajšia zložka (hlavná) a g vnútorná zložka (vedľajšia). Po-dobne je možné definovať zloženie viacerých funkcií. V niektorých knihách, prípadne inýchodboroch matematiky, sa funkcia f(g(x)) označuje symbolom g ◦ f namiesto f ◦ g, pretoje dôležité dobre si pozrieť dohodnuté označovanie.
Rovnako ako je možné za určitých podmienok funkcie skladať, môžeme ich aj rozložiť,pričom rozklad na zložky nemusí byť jednoznačný. Napríklad funkcia f : y = 1 + cos2 xsa dá rozložiť buď na zložky u = cos x, x ∈ R a v = 1 + u2, u ∈ 〈−1, 1〉, alebo na zložkyu = cos2 x, x ∈ R a v = 1 + u, u ∈ 〈0, 1〉.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 58 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Pre operáciu skladania funkcií neplatí komutatívny zákon, t.j. f ◦ g 6= g ◦ f ! Napríkladpre f(x) =
√x a g(x) = −x2 − 1 neexistuje f ◦ g (zdôvodnite!), ale (∀x ∈ 〈0,+∞))(g ◦
f)(x) = −x − 1. Ako je to teda s asociativitou kompozície funkcií? Vďaka nasledujúcejvete nemusíme písať zátvorky vo vyjadrení f ◦ (g ◦ h).
Veta 2.8 (asociativita skladania funkcií). (∀f, g, h) f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h
Dôkaz. Máme vlastne ukázať rovnosť dvoch funkcií. Označme g ◦ h = k. Potom
x ∈ Df◦k ⇔ (x ∈ Dk ∧ k(x) ∈ Df )⇔ (x ∈ Dg◦h ∧ g(h(x)) ∈ Df )⇔ (x ∈ Dh ∧ h(x) ∈ Dg ∧ g(h(x)) ∈ Df )⇔ (x ∈ Dh ∧ h(x) ∈ Df◦g)⇔ x ∈ D(f◦g)◦h,
čiže x ∈ Df◦(g◦h) ⇔ x ∈ D(f◦g)◦h a naviac platí, že
(f ◦ (g ◦ h))(x) = f(g ◦ h(x)) = f(g(h(x))) = (f ◦ g)(h(x)) = ((f ◦ g) ◦ h)(x),
čo sme mali dokázať.
z Úlohy na precvičenie
3 Nech f(x) = x|x−1|x+4 a g(x) = 2x + 3. Nájdite f ◦ g, g ◦ f a f ◦ 1
g .3 Nájdite nejaké funkcie také, že f ◦ f = f a (∀g) f ◦ g = f .3 Dokážte, že platí distributívny zákon ◦ vzhľadom na +, t.j. (∀f, g, h)
(f + g) ◦ h = f ◦ h + g ◦ h.
3 Platí distributívny zákon ◦ vzhľadom na ·?3 Určte f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f a g ◦ g, ak f = sgn a g = ρ (Riemannova funkcia).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 59 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
2.2. Niektoré triedy funkcií
Ohraničené a neohraničené funkcieDefinícia 2.9. Funkcia f sa nazýva ohraničená zhora (zdola) na M ⊆ Df , akk množina{y; y = f(x), x ∈ M} je ohraničená zhora (zdola). Funkcia f sa nazýva ohraničená naM ⊆ Df , akk je na M ⊆ Df ohraničená zhora aj zdola.
Taktiež hovoríme, že f je neohraničená (zhora, zdola) na M ⊆ Df , akk nie je ohraničená(zhora, zdola) na M ⊆ Df . Teda funkcia f je ohraničená zhora (resp. zdola) na M ⊆ Df
práve vtedy, keď (∃H ∈ R)(∀x ∈ M) f(x) ≤ H (resp. (∃D ∈ R)(∀x ∈ M) D ≤ f(x)).Vzhľadom na Vetu 1.31 dostávame nasledujúce jednoduché tvrdenie.
Tvrdenie 2.10. Funkcia f je ohraničená M ⊆ Df práve vtedy, keď (∃K ∈ R,K > 0)(∀x ∈M) |f(x)| ≤ K.
Ak tvrdenie platí pre každé x ∈ Df , t.j. M = Df , tak zvykneme skrátene hovoriť, že fje ohraničená (zhora, zdola). Poznamenajme, že f je neohraničená na M ⊆ Df práve vtedy,keď (∀n ∈ N)(∃xn ∈ M) |f(xn)| ≥ n. Všimnime si, že namiesto K ∈ R sme zobrali iban ∈ N, čo môžeme urobiť na základe Archimedovej vlastnosti. Z geometrického hľadiskaohraničenosť funkcie f zhora (zdola) znamená, že graf funkcie f leží pod (nad) priamkouy = H (y = D). Pre ohraničené funkcie platí nasledujúca užitočná veta.
Veta 2.11. Ak f, g sú ohraničené na M , potom |f |, f ± g a f · g sú ohraničené na M .
Dôkaz. Keďže f, g sú ohraničené na M ⊆ R, potom podľa Tvrdenia 2.10 (∃K1 ∈R,K1 > 0)(∃K2 ∈ R,K2 > 0)(∀x ∈ M) |f(x)| ≤ K1 ∧ |g(x)| ≤ K2. Ohraničenosť funkcie|f | je jasná, pretože ||f || = |f |. Ďalej
(∀x ∈M) |f ± g|(x) = |f(x)± g(x)|Veta 1.15 (ii)≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤ K1 + K2,
teda stačí položiť K = K1 + K2. Podobne pre súčin stačí položiť K = K1 ·K2.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 60 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Pozor, podiel dvoch ohraničených funkcií na nejakej množine nemusí byť ohraničenáfunkcia! Napríklad f(x) = 1 a g(x) = 1
x sú ohraničené na množine M = (1,+∞), ale podielfg (x) = x nie je ohraničenou funkciou na M .
Definícia 2.12. Supremom (infimom) funkcie f na M ⊆ Df , označujeme supx∈M
f(x)
( infx∈M
f(x)), nazývame supremum (infimum) množiny N = {y; y = f(x), x ∈M}. Ak
(∃x0 ∈M)(∀x ∈M) f(x) ≤ f(x0),
tak hovoríme, že f nadobúda maximum na M a píšeme f(x0) = maxx∈M
f(x). Ak
(∃x1 ∈M)(∀x ∈M) f(x1) ≤ f(x),
tak hovoríme, že f nadobúda minimum na M a píšeme f(x1) = minx∈M
f(x).
Maximum a minimum funkcie f na M ⊆ Df sa zvyknú označovať ako globálne (ab-solútne) extrémy funkcie na množine M . Zrejme, ak f nadobúda maximum (minimum)na množine M ⊆ Df , tak je ohraničená zhora (zdola) na M . Opačná implikácia však ne-platí! Ak množina {y; y = f(x), x ∈ M} nie je ohraničená zhora (zdola), tak kladiemesupx∈M
f(x) = +∞ ( infx∈M
f(x) = −∞).
z Úlohy na premýšľanie
3 Nech f : (a, b)→ R. Dokážte, že f je ohraničená na (a, b) práve vtedy, keď
(∃K ∈ R)(∀x, y ∈ (a, b)) |f(x)− f(y)| ≤ K.
3 Rozhodnite, či platí tvrdenie: ak f je ohraničená na intervale I ⊂ R, tak
supx∈I
f(x)− infx∈I
f(x) = supx,y∈I
|f(x)− f(y)|.
3 Uveďte príklad neohraničených funkcií na R, ktorých kompozícia je ohraničená funkcia.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 61 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Párne, nepárne a periodické funkcieDefinícia 2.13. Funkcia f definovaná na M sa nazýva párna, akk (∀x ∈ M) − x ∈M∧f(−x) = f(x). Funkcia f sa nazýva nepárna, akk (∀x ∈M) −x ∈M∧f(−x) = −f(x).
Príkladom párnej funkcie je funkcia f : y = x2 (na svojom definičnom obore, t.j. R).Vo všeobecnosti funkcia f : y = x2n, n ∈ N, je párna, zatiaľ čo funkcia f : y = x2n+1,n ∈ N, je nepárna (zdôvodnite!), pozri Obr. 8. Všimnime si, že v definícii sme predpokladaliexistenciu opačného prvku ku každému prvku množiny M . Teda o párnosti, či nepárnostifunkcie nemá zmysel hovoriť, ak definičný obor funkcie nie je symetrický vzhľadom na bod0. Preto funkcia g : y =
√x nie je ani párna, ani nepárna, pretože Dg = 〈0,+∞), ale
funkcia h : y =√|x| je párna na Dh = R. Iným príkladom párnej funkcie je Dirichletova
funkcia χ definovaná na R.Nech f je funkcia s definičným oborom symetrickým vzhľadom na bod 0. Položme
g(x) =f(x) + f(−x)
2, h(x) =
f(x)− f(−x)2
.
Potom g je párna funkcia na Df , h je nepárna funkcia na Df a naviac platí (∀x ∈Df ) f(x) = g(x) + h(x). To znamená, že každá funkcia s definičným oborom symetric-kým vzhľadom na bod 0 sa dá napísať ako súčet párnej a nepárnej funkcie.
Z geometrického hľadiska je graf párnej funkcie osovo súmerný podľa y-ovej osi, pretožeak bod P = [x, f(x)] je bodom grafu funkcie, potom vzhľadom na párnosť funkcie f jebod P ′ = [−x, f(x)], ležiaci osovo súmerne s bodom P s osou súmernosti oy, tiež bodomgrafu funkcie f . Graf nepárnej funkcie je stredovo súmerný so stredom súmernosti v bode0, pretože body Q = [x, f(x)] a Q′ = [−x,−f(x)], stredovo súmerné podľa počiatku, sú vdôsledku nepárnosti bodmi grafu funkcie.
Definícia 2.14. Funkciu f nazývame periodickou, akk
(∃p ∈ R, p > 0)(∀x ∈ Df ) x + p ∈ Df ∧ x− p ∈ Df ∧ f(x + p) = f(x).
Najmenšie p > 0 s touto vlastnosťou sa nazýva perióda funkcie f .
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 62 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
x0 a 2a− a− 2a
a
x
a
−a
0 a 2a− a− 2a
Obrázok 5: Grafy periodických funkcií – s periódou a (vľavo) a s periódou 2a (vpravo)
Podmienka (∀x ∈ Df ) x+p ∈ Df∧x−p ∈ Df sa niekedy vyjadruje slovami, že definičnýobor Df je uzavretý na kroky dĺžky p. Ak f je periodická funkcia, ľahko ukážeme, že ajf(x − p) = f(x). Naozaj, f(x − p) = f((x − p) + p) = f(x). Toto budeme ďalej bežnepoužívať. Ako dôsledok tohto faktu máme, že definičný obor periodickej funkcie je zhoraaj zdola neohraničený a periodická funkcia nie je prostá, dokonca nemôže byť rastúca, aniklesajúca na celom svojom definičnom obore (o prostosti a monotónnosti pozri nižšie).
Z definície dokonca vidíme, že ak bod x patrí do definičného oboru funkcie f s periódoup, tak do jej definičného oboru patria aj všetky body x+np, kde n ∈ Z a platí f(x+np) =f(x). Ak teda f je periodická funkcia, pre ľubovoľné číslo a ∈ R má rovnica f(x) = abuď nekonečne veľa riešení, alebo nemá riešenie. K dôkazu neperiodičnosti funkcie f námteda stačí nájsť také dve hodnoty argumentu x = a a x = b, že rovnice f(a + p) = f(a) af(b+p) = f(b) nemajú spoločné nenulové riešenie p. Graf periodickej funkcie sa vyznačujepravidelným opakovaním po intervale danom periódou p, pozri Obr. 5.
Periódou p periodickej funkcie f je teda kladné číslo s nasledujúcimi vlastnosťami
(i) (∀x ∈ Df ) x + p ∈ Df ∧ x− p ∈ Df ∧ f(x− p) = f(x + p) = f(x);
(ii) (∀p0 ∈ R, 0 < p0 < p)(∃x0 ∈ Df ) f(x0 + p0) 6= f(x0).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 63 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Zrejme každá konštantná funkcia je periodická, ale nemá periódu. Funkcie sin a cos súperiodické s periódou 2π, tg a cotg s periódou π (k dôkazu týchto tvrdení o goniometrickýchfunkciách sa dostaneme neskôr, pozri Veta 2.31).
Poznámka 2.15. Bežne sa v literatúre môžeme stretnúť s nasledujúcou definíciou perio-dickej funkcie: číslo p sa nazýva perióda funkcie f , akk
(∀x ∈ Df ) x + p ∈ Df ∧ f(x + p) = f(x).
Podľa tejto definície by napríklad funkcia sin definovaná na 〈0,+∞) mala periódu 2π.Nepovažujeme však túto definíciu za vhodnú, a preto budeme používať pôvodnú definíciu.
z Úlohy na precvičenie
3 Dokážte, že súčet alebo rozdiel dvoch párnych funkcií je párna funkcia a súčet aleborozdiel dvoch nepárnych funkcií je nepárna funkcia.3 Dokážte, že súčin alebo podiel dvoch párnych alebo dvoch nepárnych funkcií je párnafunkcia a súčin alebo podiel jednej párnej a jednej nepárnej funkcie je nepárna funkcia.3 Ktorá z nasledujúcich funkcií je periodická a s akou periódou: Dirichletova funkcia,f : y = cos x2, g : y = cos4 x + sinx?
Monotónne, prosté a inverzné funkcieDefinícia 2.16. Hovoríme, že funkcia f je na množine M ⊆ Df
(i) rastúca, akk (∀x1, x2 ∈M,x1 < x2) f(x1) < f(x2);
(ii) klesajúca, akk (∀x1, x2 ∈M,x1 < x2) f(x2) < f(x1);
(iii) neklesajúca, akk (∀x1, x2 ∈M,x1 < x2) f(x1) ≤ f(x2);
(iv) nerastúca, akk (∀x1, x2 ∈M,x1 < x2) f(x2) ≤ f(x1).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 64 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Rastúce a klesajúce funkcie na M ⊆ Df nazývame rýdzomonotónne na M , nerastúce aneklesajúce funkcie označujeme ako monotónne funkcie na M . Ak M = Df , tak zvyknemevynechávať prívlastok na množine M . Z definície je zrejmé, že každá rastúca funkcia jeneklesajúca a každá klesajúca je nerastúca. Opačné implikácie neplatia (uveďte príklady)!Funkcia je konštantná na M ⊆ R práve vtedy, keď je neklesajúca a nerastúca na M(dokážte!).
Monotónnosť je globálna vlastnosť funkcie na množine M , t.j. vyjadruje správanie safunkcie na množine M ako celku. Funkcia nemôže byť súčasne rastúca aj klesajúca, akjej definičný obor obsahuje aspoň dve čísla (vysvetlite!). Ak M je jednoprvková množina,tak zrejme každá funkcia f je monotónna na M ⊆ Df , pretože v M sa nedajú nájsť dvečísla x1 < x2, a preto každý výrok (∀x1, x2 ∈M,x1 < x2) . . . je pravdivý. Rovnakú úvahumožno urobiť, ak Df = ∅, teda ak f je tzv. prázdna funkcia.
Všimnime si ďalej, že napríklad ak f je rastúca, tak −f je klesajúca. V zásade však ničnemožno tvrdiť o monotónnosti funkcie 1
f . Napríklad f(x) = x je rastúca, ale 1f (x) = 1
x
definovaná na R \ {0} nie je monotónna. Platí totiž −1 < 1 < 2 a f(−1) < f(1) > f(2).Nasledujúca veta dáva do súvisu ohraničenosť a monotónnosť funkcie.
Veta 2.17. Každá monotónna funkcia na uzavretom intervale je na tomto intervale ohra-ničená.
Dôkaz. Nech f je neklesajúca na 〈a, b〉, t.j. (∀x ∈ 〈a, b〉) f(a) ≤ f(x) ≤ f(b), teda jeohraničená zhora aj zdola na 〈a, b〉.
Poznámka 2.18. Dôležitým predpokladom vety je uzavretosť intervalu, pretože napríkladfunkcia f : y = 1
x je na intervale (0, 1〉 síce klesajúca, ale nie je na ňom ohraničená.
Definícia 2.19. Funkciu f nazývame prostou na množine M ⊆ Df , akk
(∀x1, x2 ∈M,x1 6= x2) f(x1) 6= f(x2).
Ak f je prostá na Df , tak f sa nazýva injektívna.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 65 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Všimnime si, že pri dokazovaní prostosti (injektívnosti) funkcie je potrebné ukázať niečopre každé dva body z danej množiny (z definičného oboru). Naproti tomu pri vyvracaníprostosti (injektívnosti) je treba dokázať negáciu, t.j. (∃x1, x2 ∈ M) x1 6= x2 ∧ f(x1) =f(x2), čiže stačí nájsť dva rôzne body s rovnakými funkčnými hodnotami. Takto sa jed-noducho dokáže, že funkcia f : y = x2 je prostá na 〈0,+∞), ale nie je prostá na Df = R.Geometricky to teda znamená, že každá priamka y = y0 pretne graf prostej funkcie nanaj-výš v jednom bode.
Veta 2.20. Ak f je rýdzomonotónna na M ⊆ Df , tak f je prostá na M .
Dôkaz. Nech f je rastúca na M , teda (∀x1, x2 ∈M,x1 < x2) f(x1) < f(x2), t.j. obrazyrôznych prvkov sú rôzne, a teda f je prostá na M .
Poznámka 2.21. Obrátená veta neplatí, pretože existujú prosté funkcie, ktoré nie sú
rýdzomonotónne, napríklad f(x) =
{x, x ∈ 〈0, 1〉6− x, x ∈ (1, 4〉
, pozri Obr. 6. Dokonca existuje
prostá funkcia na R, ktorá nie je monotónna na žiadnom intervale I ⊂ R! Aby platila ajobrátená veta, je potrebné do jej predpokladov pridať podmienku spojitosti (pozri letnýsemester).
Pokračujme v štúdiu vzťahov medzi zavedenými pojmami otázkou, či kompozícia pros-tých funkcií je opäť prostá funkcia? Poznamenajme, že vo vete predpokladáme také funkcie,aby ich kompozícia existovala (na príslušných množinách).
Veta 2.22. Ak f, g sú prosté funkcie, potom aj f ◦ g je prostá funkcia.
Dôkaz. Nech f ◦ g = h a x1, x2 ∈ Dh, x1 6= x2. Keďže Dh = {x ∈ Dg; g(x) ∈ Df},tak pre x1 6= x2 máme, že x1, x2 ∈ Dg a z prostosti g plynie g(x1) 6= g(x2). Keďžeg(x1), g(x2) ∈ Df , potom z prostosti f vyplýva, že f(g(x1)) 6= f(g(x2)), t.j. h(x1) 6= h(x2),čiže h = f ◦ g je prostá.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 66 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
x
y
0 1 4
1
5
2
Obrázok 6: Graf prostej funkcie, ktorá nie je monotónna
Pridajme na záver ďalší pojem. Keďže f je funkcia, tak každému x ∈ M ⊆ Df jejednoznačne priradený prvok y = f(x). Ak naviac predpokladáme, že f je prostá na M ,tak je možné na množine N = {y; y = f(x), x ∈M} definovať funkciu g predpisom g(y) = xpre y ∈ N také, že y = f(x). Pre svoj význam dostala funkcia g svoje pomenovanie.
Definícia 2.23. Nech f je prostá na M ⊆ Df a N = {y; y = f(x), x ∈ M}. Inverznoufunkciou k funkcii f na množine M nazývame funkciu f definovanú na N , ktorá každémuy ∈ N priradí číslo x ∈M také, že y = f(x).
Poznámka 2.24. Zámerne nepoužívame označenie f−1, ktoré sa v literatúre bežne vysky-tuje, pretože to môže viesť k mylnému dojmu, že ide o funkciu x 7→ 1
f(x) . Taktiež sa budemevyhýbať indexovému značeniu s umiestnením indexu na rôznych miestach, napríklad f−1,pretože to môže skomplikovať situáciu, keby sme chceli uvažovať postupnosť inverznýchfunkcií.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 67 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Veta 2.25 (o vzťahu f a f). Nech f je prostá na M ⊆ Df , nech N = {y; y = f(x), x ∈M} a f je inverzná funkcia k f na M . Potom
(i) (∀x ∈M) (f ◦ f)(x) = x;
(ii) (∀y ∈ N) (f ◦ f)(y) = y.
Dôkaz. Nech x ∈ M . Potom (∃z ∈ N) z = f(x) ∧ x = f(z), t.j. x = f(z) = f(f(x)) =(f ◦ f)(x). Analogicky, nech y ∈ N , potom (∃u ∈M) f(u) = y ∧u = f(y), čiže y = f(u) =(f(f(y))) = (f ◦ f)(y).
Veta jednak hovorí, že zloženie inverznej funkcie a pôvodnej funkcie dáva vždy identitu,avšak (ako sme to ukázali) na poradí skladania záleží, pretože v prvom prípade ide o identituna množine M a v druhom na množine N , ktoré môžu byť úplne odlišnými množinami.Veta taktiež hovorí, že vzťah byť inverzný je vzájomný: inverzná funkcia k inverznej funkciije pôvodná funkcia, t.j. (f) = f . Z uvedeného vyplýva, že prosté funkcie na nejakej množineM 6= ∅ tvoria (nekomutatívnu) grupu vzhľadom na operáciu ◦ (premyslite si to!).
Geometricky je vzťah medzi funkciou a jej inverznou nasledovný: ak f je prostá funkciana Df a Gf = {[x, f(x)];x ∈ Df} je jej graf, tak z definície inverznej funkcie vyplýva,že Gf = {[f(x), x], x ∈ Df} je graf inverznej funkcie, t.j. ak [a, b] ∈ Gf , tak [b, a] ∈ Gf .Vyplýva to z toho, že Df = Hf a z toho, že pre x ∈ Df je f(f(x)) = x. Body [x, f(x)] a[f(x), x] sú však osovo súmerné podľa priamky y = x. Z toho máme, že graf funkcie f jeosovo súmerný s grafom funkcie f podľa osi súmernosti y = x.
Nasledujúca veta pojednáva o inverznej funkcii ku kompozícii. Opäť predpokladámefunkcie na takých množinách, aby kompozícia existovala.
Veta 2.26. Af f, g sú prosté funkcie, tak f ◦ g = g ◦ f .
Dôkaz. Nech x ∈ Df◦g a z ∈ Hf◦g, teda
z = (f ◦ g)(x) = f(g(x)) ⇔ f(z) = g(x) ⇔ g(f(z)) = (g ◦ f)(z) = x,
čiže g ◦ f je inverzná funkcia k funkcii f ◦ g.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 68 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Veta 2.27. Ak f je rastúca (klesajúca), potom f je tiež rastúca (klesajúca).
Dôkaz. Nech f : Df → Hf je klesajúca funkcia, teda podľa Vety 2.20 je prostá na Df
a existuje f : Hf → Df . Nech y1, y2 ∈ Hf , y1 < y2 a x1 = f(y1), x2 = f(y2). Potomy1 = f(x1), y2 = f(x2) a f(x1) < f(x2). Keďže f je klesajúca, tak nerovnosť f(x1) < f(x2)je možná len ak x1 > x2, t.j. f(y1) > f(y2), čo znamená, že f je klesajúca na Hf .
z Úlohy na precvičenie
3 Dokážte, že f ◦ g je rastúca, ak f, g sú obe buď rastúce alebo klesajúce.3 Dokážte, že f ◦ g je klesajúca, ak jedna z funkcií f, g je rastúca a druhá klesajúca.3 Dokážte, že ak f je prostá, potom f je tiež prostá.3 Nájdite funkcie f, g rastúce na (a, b), aby funkcia f · g nebola rastúca na (a, b).3 Nájdite aspoň tri (netriviálne) triedy funkcií, pre ktoré platí f ◦ g = g ◦ f .3 Dokážte, že graf funkcie f : y = ln(1− ex) je symetrický podľa priamky y = x.3 Rozhodnite, či platí tvrdenie: ak aspoň jedna z funkcií f, g definovaných na R nie jeprostá, tak funkcia f ◦ g nie je prostá.3 Zistite, či je daná funkcia f prostá. Ak áno, nájdite k nej inverznú funkciu a určte jejdefiničný obor:
(i) f : y = x +√
x2 − 1;
(ii) f : y = log2(x +√
x2 + 1);
(iii) f : y =
x− 1, x < 1,
x2, x ∈ 〈1, 4〉2x, x > 4.
.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 69 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
2.3. O elementárnych funkciáchS definíciou niektorých funkcií (exponenciálnych, mocninových, goniometrických) sú istéproblémy. Pri exponenciálnych a mocninových funkciách je totiž potrebné vedieť, čo jeto ab pre a > 0, b ∈ R, na čo našťastie už vieme odpovedať na základe vybudovanejaxiomatiky reálnych čísel. Horšie je to s funkciami sínus a kosínus. Ich stredoškolská de-finícia na intervale 〈0, π2 〉 nie je totiž logicky bezchybná, pretože sa v nej len intuitívnepredpokladá, že interval 〈0, π2 〉 možno navinúť na tú časť jednotkovej kružnice, ktorá ležív prvom kvadrante, prípadne zostáva neobjasnený pojem dĺžky kružnice. Keďže si totozavedenie zopakujete na Úvode do matematiky, my zvolíme iný prístup, ktorý nie je sícetaký názorný, ale je matematicky bezchybný.
V podstate chceme len naznačiť, ako možno tieto funkcie definovať exaktne. Naozaj tolen naznačíme, lebo k vytvoreniu niektorých dôkazov sú potrebné také znalosti matema-tickej analýzy, ktoré zatiaľ nemáme. Možno sa oprávnene pýtať prečo neodložíme definícietýchto funkcií na neskôr, keď už potrebné znalosti budeme mať? Je to hlavne z dôvodu, abysme mohli tieto funkcie už teraz používať v príkladoch a cvičeniach. V opačnom prípadeby sme sa ochudobnili o množstvo pekných príkladov.
Elementárne verzus neelementárne funkcieFunkcie (máme stále na mysli reálne funkcie jednej reálnej premennej) môžeme rozdeliť naelementárne a neelementárne. Elementárnymi funkciami pritom rozumieme také funkcie,ktoré vzniknú zo základných elementárnych funkcií (pozri nižšie) pomocou konečného počtuoperácií súčtu, rozdielu, súčinu, podielu a skladania funkcií. Napríklad funkcia
f : y = 4 cos 3√
5x + 7− (x− 3) log 13(sinh 8x3) + arctg
ex2
√x− lnx
je elementárna, ale taktiež g : y = |x|, pretože g(x) =√
x2. Funkcie, ktoré nie sú ele-mentárne, nazývame neelementárne. Príkladmi takýchto funkcií sú funkcia celá časť [x] a
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 70 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
x
[x]
-1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
sgn(x)
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
-1
Obrázok 7: Neelementárne funkcie celá časť a signum
signum sgn, ktorých grafy sú znázornené na Obr. 7. Už sme sa tiež zoznámili s Dirichletovoufunkciou χ a Riemannovou funkciou ρ, ktoré sú tiež neelementárne.
Množinu elementárnych funkcií môžeme ďalej rozdeliť na dve podmnožiny – elementár-ne algebraické (racionálne, iracionálne) a elementárne transcendentné funkcie. Elementárnufunkciu y = f(x), x ∈ 〈a, b〉 nazývame algebraická na 〈a, b〉, akk existuje polynóm P (x, y)taký, že
P (x, f(x)) = 0, x ∈ 〈a, b〉.
Funkcia y = f(x) sa nazýva transcendentná, akk nie je algebraická. Nakoniec, algebraickáfunkcia je racionálna, akk je tvaru y = P (x)
Q(x) , kde P,Q sú polynómy a iracionálna, akk nie
je racionálna. Napríklad, funkcia f : y = x2+x−12x−3 je elementárna algebraická racionálna
funkcia, ale g : y =√
x je elementárna algebraická iracionálna funkcia na každom intervale〈a, b〉 ⊆ 〈0,+∞).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 71 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Základné elementárne funkciePod spoločným názvom základné elementárne funkcie rozumieme nasledujúce funkcie: kon-štantná funkcia, polynóm, racionálna lomená funkcia, mocninná, exponenciálna a logarit-mická funkcia, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrické funkcie. Dása dokázať, že všetky exponenciálne, logaritmické, goniometrické, cyklometrické, hyperbo-lické a hyperbolometrické sú transcendentné. Dôkaz však značne prekračuje úroveň našichdoterajších poznatkov.
Povedzme si teraz o jednotlivých základných elementárnych funkciách trochu viac po-čnúc ich zavedením až po niektoré vlastnosti. Keďže nemáme dostatočný aparát na detailnévyšetrovanie vlastností týchto funkcií, len stručne zhrnieme niektoré vlastnosti na základepoznatkov získaných na strednej škole. Na základe vlastností sa kreslia grafy funkcií. Mybudeme istý čas v obrátenej situácii – budeme veriť, že grafy sú také, aké uvedieme a bude-me si na ich základe ľahko pamätať vlastnosti, napr. monotónnosť, ohraničenosť, definičnýobor, atď. Samozrejme tam, kde to pôjde, uvedieme aj príslušné dôkazy. Keďže veľa vecíuž bolo vykonaných (povedaných) v axiomatike reálnych čísel a nasledujúcich častiach,prvé odseky budú dosť krátke. Zopakujte si definície, definičný obor, obor hodnôt, pár-nosť/nepárnosť a ďalšie základné vlastnosti pre triedu konštantných funkcií, polynómov aracionálnych lomených funkcí.
Mocninná funkcia
Medzi prvými sme v axiomatike reálnych čísel zaviedli číslo xn, kde n ∈ N. Ak terazv tejto mocnine s prirodzeným exponentom ponecháme exponent pevný a základ budepremenná veličina, dostávame funkciu f : x 7→ xn, n ∈ N, ktorú nazývame mocninnáfunkcia s prirodzeným exponentom. Z axiomatiky vieme, že číslo xn je definované prekaždé reálne číslo x, teda Df = R. Ak n = 2k + 1, k ∈ N, potom Hf = R, funkcia f jenepárna a rastúca na Df . Pre n = 2k, k ∈ N, je Hf = 〈0,+∞), funkcia f je párna na Df
a rastúca na 〈0,+∞) a klesajúca na (−∞, 0). Graf funkcie f je zobrazený na Obr. 8.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 72 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
x
y
y = x3
y = x5
x
y
y = x4
y = x2
Obrázok 8: Grafy mocninných funkcií s prirodzeným exponentom
Všeobecnú mocninnú funkciu (s reálnym exponentom) získame z definície mocniny sreálnym exponentom tak, že exponent ponecháme pevný a základ budeme považovať zapremennú veličinu, t.j. f : x 7→ xα, α ∈ R. Z vlastností mocniny s reálnym exponentomhneď máme
(i) Df = 〈0,+∞) a Hf = 〈0,+∞) pre α > 0;
(ii) Df = (0,+∞) a Hf = (0,+∞) pre α < 0;
(iii) Df = R a a Hf = {1} pre α = 0.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 73 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
x
y
α = 0
α > 0
α < 0
1
1
Obrázok 9: Graf mocninnej funkcie s reálnym exponentom
Z monotónnosti mocniny s reálnym exponentom plynie, že
(i) f je rastúca na 〈0,+∞) pre α > 0;
(ii) f je klesajúca na (0,+∞) pre α < 0;
(iii) f je konštantná na R pre α = 0.
Graf mocninnej funkcie s reálnym exponentom je na Obr. 9.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 74 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
x
y
a > 1
a ∈ (0, 1)1
x
y
a > 1
a ∈ (0, 1)
1
Obrázok 10: Graf exponenciálnej (vľavo) a logaritmickej funkcie (vpravo)
Exponenciálna a logaritmická funkcia
Exponenciálnu funkciu získame z definície mocniny s reálnym exponentom tak, že zá-klad a > 0, a 6= 1 ponecháme pevný a exponent bude premenná veličina, t.j. f : x 7→ ax.Z vlastností mocniny s reálnym exponentom hneď máme, že Df = R, Hf = (0,+∞) a zmonotónnosti mocniny s reálnym exponentom plynie, že f je rastúca na R pre a > 1 aklesajúca na R pre a ∈ (0, 1).
Pre a > 0, a 6= 1 a x > 0 sme v axiomatike reálnych čísel definovali číslo loga x. Pripevnom a ∈ R, a > 0, a 6= 1 je f : x 7→ loga x funkciou premennej x definovanou na(0,+∞), ktorú nazývame logaritmická funkcia. Avšak tiež si môžeme všimnúť, že (∀y ∈(0,+∞))(∃x ∈ R) ax = y, teda ϕ(y) = loga y je inverznou funkciou k funkcii f : y = ax,
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 75 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
a > 0, a 6= 1. Podľa viet o vlastnostiach inverznej funkcie máme, že funkcia g : x 7→ loga xmá nasledujúce vlastnosti: Dg = (0,+∞) a Hg = R, je rastúca na (0,+∞) pre a > 1 aklesajúca na (0,+∞) pre a ∈ (0, 1). Grafy exponenciálnej a logaritmickej funkcie sú naObr. 10.
Poznámka 2.28. Môžeme si všimnúť, že každá logaritmická funkcia je transformácioumedzi multiplikatívnou grupou ((0,+∞), ·) a aditívnou grupou (R,+), t.j. loga je bijekciamedzi (0,+∞) a R spĺňajúca loga(x · y) = loga x + loga y. Inými slovami, logaritmickáfunkcia je presne tá funkcia, ktorá prevádza operáciu násobenia na sčítanie a operáciudelenia (nenulovým prvkom) na odčítanie.
Goniometrické funkcie
Funkcie sínus a kosínus možno logicky bezchybne definovať ako riešenia istého systémufunkcionálnych rovníc, hoci to nie je také názorné ako zavedenie v pravouhlom trojuholníku,či jednotkovej kružnici. Dá sa dosť zložito dokázať nasledujúce tvrdenie.
Tvrdenie 2.29. Existuje práve jedna dvojica funkcií S a C definovaných na R, ktorévyhovujú nasledujúcim trom podmienkam:
(i) (∀x1, x2, x ∈ R)
S(x1 + x2) = S(x1)C(x2) + C(x1)S(x2);C(x1 + x2) = C(x1)C(x2)− S(x1)S(x2);
S2(x) + C2(x) = 1;
(ii) S(0) = 0 ∧ C(0) = 1 ∧ S(π2 ) = 1 ∧ C(π2 ) = 0;
(iii) (∀x ∈ (0, π2 )) 0 < S(x) < x.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 76 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Funkciu S nazývame sínus a označujeme sin, funkciu C nazývame kosínus a označujemecos. Pre ich hodnoty S(x) a C(x) je zaužívané označenie bez zátvoriek, t.j. sinx a cos x. Jezrejmé, že tieto funkcie sú totožné so stredoškolsky zavedenými funkciami sínus a kosínus,pretože tie spĺňajú podmienky (i), (ii) a (iii) a podľa vysloveného tvrdenia existuje jedinádvojica funkcií S a C s týmito vlastnosťami. Z uvedenej jednoznačnosti zároveň vyplýva,že z vlastností (i), (ii) a (iii) sa musia dať nejako odvodiť všetky ostatné vlastnosti funkciíS(x) = sin x a C(x) = cos x známe zo strednej školy. Ukážeme to iba na niekoľkýchpríkladoch.
Nech x ∈ R je ľubovoľné. Potom
0(ii)= sin 0 = sin(x + (−x))
(i)= sinx cos(−x) + cos x sin(−x)
1(ii)= cos 0 = cos(x + (−x))
(i)= cos x cos(−x)− sinx sin(−x).
Vynásobením prvej rovnice číslom sinx a druhej cos x dostávame
0 = sin2 x cos(−x) + sinx cos x sin(−x)cos x = cos2 x cos(−x)− cos x sinx sin(−x)
a sčítaním týchto rovníc máme
cos(−x)[sin2 x + cos2 x] = cos x(i)⇒ cos(−x) = cos x.
Tým sme ukázali, že cos je párna funkcia. Pomocou Tvrdenia 2.29 dokazujte ďalšie vlast-nosti funkcií sin a cos.
Často budeme používať goniometrické vzorce, ktoré si vlastne netreba pamätať, akpoznáme Tvrdenie 2.29. Ukážeme, ako si na ich základe odvodiť mnohé ďalšie. Na základe(i) máme
sin(α + β) = sinα cos β + cos α sinβ;cos(α + β) = cos α cos β − sinα sinβ;
sin2 α + cos2 α = 1.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 77 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Z nepárnosti funkcie sin a párnosti funkcie cos hneď máme
sin(α− β) = sinα cos(−β) + cos α sin(−β) = sin α cos β − cos α sinβ;cos(α− β) = cos α cos(−β)− sinα sin(−β) = cos α cos β + sinα sinβ,
čo sa zvykne súhrne označovať ako súčtové vzorce. Ak β = α, dostávame vzorce pre dvoj-násobný uhol
sin 2α = sin(α + α) = sinα cos α + cos α sinα = 2 sin α cos α;cos 2α = cos(α + α) = cos α cos α− sinα sinα = cos2 α− sin2 α.
Ak si zapamätáte, že α = α+β2 + α−β
2 a β = α+β2 − α−β
2 , dosadíte do výrazu vľavo apoužijete Tvrdenie 2.29 (i), dostanete jednoducho
sinα + sinβ = 2 sinα + β
2· cos
α− β
2;
sinα− sinβ = 2 cosα + β
2· sin α− β
2;
cos α + cos β = 2 cosα + β
2· cos
α− β
2;
cos α− cos β = −2 sinα + β
2· sin α− β
2.
Veľmi jednoducho je možné odvodiť aj nasledujúce multiplikatívne vzorce. Stačí si pod se-ba napísať všetky štyri súčtové vzorce sin(α ± β), cos(α ± β) a vždy dva vhodné sčítať.Napríklad
sin(α + β) + sin(α− β) = (sinα cos β + cos α sinβ) + (sinα cos β − cos α sinβ)= 2 sinα cos β
⇒ sinα cos β =12[sin(α + β) + sin(α− β)].
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 78 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Zhrnutím tohto postupu teda dostávame
sinα sinβ =12[cos(α− β)− cos(α + β)];
cos α cos β =12[cos(α− β) + cos(α + β)];
sinα cos β =12[sin(α + β) + sin(α− β)];
cos α sinβ =12[sin(α + β)− sin(α− β)].
Takto by sme mohli pokračovať ďalej a odvodiť mnoho iných identít, čo však nie je pre násv tomto momente dôležité. Ako ste si teda mohli všimnúť, úplne postačuje zapamätať sizavedenie sínusu a kosínusu v Tvrdení 2.29, ostatné vzorce sa z neho jednoducho odvodia.
Veta 2.30. Funkcie sin a cos sú ohraničené na R.
Dôkaz. Zo vzťahu (∀x ∈ R) sin2 x + cos2 x = 1 vyplýva, že (∀x ∈ R) | sinx| ≤ 1 a tiež(∀x ∈ R) | cos x| ≤ 1.
Veta 2.31. Funkcie sin a cos sú periodické s periódou 2π.
Dôkaz. Nech y ∈ R je ľubovoľné a x = y + 2π. Potom
sinx− sin y = sin(y + 2π)− sin y = 2 cos2y + 2π
2· sin 2π
2= 2 cos(y + π) · 0 = 0,
teda sin(y + 2π) = sin y, čiže sin je periodická funkcia. Ukážme, že p = 2π je periódou, t.j.najmenšie také kladné číslo, že (∀x ∈ R) sin(x + p) = sin x.
Predpokladajme, že existuje 0 < p0 < 2π, ktoré je periódou funkcie sin. Keby p0 = π,tak pre x = π
2 by platilo sin(π2 +π) = sin 32π = −1 6= 1 = sin π
2 , teda p0 = π nie je periódou.Keby nejaké p0 ∈ (0, 2π) \ {π} bolo periódou, tak sin p0 = sin(0 + p0) = sin 0 = 0, čo jeopäť spor, pretože sínus má nulovú hodnotu len v 0, π a 2π.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 79 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Veta 2.32. (i) Funkcia sin je rastúca na každom intervale 〈2kπ− π2 , 2kπ + π
2 〉 a klesajúcana každom 〈(2k + 1)π − π
2 , (2k + 1)π + π2 〉, k ∈ Z.
(ii) Funkcia cos je rastúca na každom intervale 〈(2k + 1)π, (2k + 2)π〉 a klesajúca nakaždom 〈2kπ, (2k + 1)π〉, k ∈ Z.
Dôkaz. Prevedieme iba pre funkciu sin. Vzhľadom na jej periodičnosť sa obmedzíme ibana interval 〈−π2 , π2 〉 a 〈π2 , 3
2π〉.Nech x1, x2 ∈ 〈−π2 , π2 〉, x1 < x2. Potom 0 < x2−x1
2 < π ⇒ sin x2−x12 > 0 a −π2 <
x1+x22 < π
2 ⇒ cos x1+x22 > 0. Z toho teda
sinx2 − sinx1 = 2 sinx2 − x1
2· cos
x1 + x2
2> 0 ⇒ sinx2 > sinx1.
Nech x1, x2 ∈ 〈π2 , 32π〉, x1 < x2. Potom −π2 ≤ x1−π < x2−π ≤ π
2 a z predchádzajúcejčasti je sin(x1−π) < sin(x2−π). Ďalej z nepárnosti sínusu je sin(xi−π) = − sin(π−xi) =− sinxi, i = 1, 2, a teda sinx1 > sinx2.
O obore hodnôt funkcií sínus a kosínus zatiaľ veľa dokázať nevieme (potrebovali by smepojem spojitosť), ale zoberieme ako fakt, že Hsin = Hcos = 〈−1, 1〉. Známe grafy obochfunkcií sú na Obr. 11.
Poznámka 2.33. Základy goniometrie boli položené Egypťanmi a Babylončanmi, po vý-pravách Alexandra Veľkého sa poznatky o delení uhla na 360◦ dostali ku Grékom, ktorýchoblasťou záujmu bola hlavne trigonometria (praktické úlohy súvisiace s uhlami a troju-holníkmi). Funkcie sínus a kosínus sa zaviedli v Indii a dnes používané názvy tangensa kotangens (pozri nižšie) sa objavili v Európe až v 16.–17. storočí. V tomto období sautriedili poznatky a goniometrické funkcie sa začali používať na opis periodických dejov.
Definícia 2.34. Funkciu sin xcos x definovanú pre x ∈ R\{(2k+1)π, k ∈ Z} nazývame tangens
a označujeme tg x. Funkciu cos xsin x definovanú pre x ∈ R \ {kπ, k ∈ Z} nazývame kotangens
a označujeme cotgx.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 80 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
x
y
1
−1
0 π2 π 3
2π 2π−2π − 32π −π −π2
Obrázok 11: Grafy funkcií sínus (plná) a kosínus (čiarkovaná)
Vzhľadom na svoju definíciu sa vlastnosti funkcií tangens a kotangens odvodzujú na zá-klade už známych vlastností sínusu a kosínusu, takže ich iba zhrnieme22:
(i) tg a cotg sú nepárne funkcie na svojich definičných oboroch;
(ii) tg a cotg sú periodické s periódou π;
(iii) funkcia tg je rastúca na (−π2 , π2 ), a teda vzhľadom na periodičnosť aj na ďalšíchintervaloch;
(iv) funkcia cotg je klesajúca na (0, π), a teda vzhľadom na periodičnosť aj na ďalšíchintervaloch;
(v) obor hodnôt tg a cotg je R (overenie tohto je momentálne nad naše sily).
Časti grafov týchto funkcií sú na Obr. 12.22Overte (dokážte), že uvedené vlastnosti sú naozaj pravdivé!
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 81 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
x
y
0 π2 π 3
2π− 32π −π −π2
Obrázok 12: Časť grafu funkcie tangens (plná) a kotangens (čiarkovaná)
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 82 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Poznámka 2.35. Obyčajne tu študenti končia pri vymenovaní goniometrických funkcií.Existujú však mnohé ďalšie, ktoré sa vyvinuli historicky napríklad pre potreby meraniavzdialeností na guli. Niektoré z nich teraz spomenieme zadaním predpisu (vyšetrenie ichvlastností a zakreslenie grafov prenechávame čitateľovi ako cvičenie):
sec x =1
cos x; cosec x =
1sinx
;
versin x = 1− cos x; crs x = 1− sinx;excosec x = cosec x− 1; exsec x = sec x− 1;
haversin x =1− cos x
2; havercosin x =
1 + cos x
2;
hacoversin x =1− sinx
2; hacovercosin x =
1 + sin x
2; . . .
Cyklometrické funkcie
Goniometrické funkcie nie sú prosté na svojich definičných oboroch, a teda k nim neexis-tujú inverzné funkcie. Ak ich však zúžime na vhodné intervaly, na ktorých prosté sú, budú knim existovať na týchto intervaloch inverzné funkcie, ktoré súhrne nazývame cyklometrickéfunkcie.
Definícia 2.36. (i) Funkciou arkussínus nazývame inverznú funkciu k zúženiu funkcie sinna interval 〈−π2 , π2 〉. Označujeme arcsin : 〈−1, 1〉 → 〈−π2 , π2 〉.
(ii) Funkciou arkuskosínus nazývame inverznú funkciu k zúženiu funkcie cos na inter-val 〈0, π〉. Označujeme arccos : 〈−1, 1〉 → 〈0, π〉.
(iii) Funkciou arkustangens nazývame inverznú funkciu k zúženiu funkcie tg na interval(−π2 , π2 ). Označujeme arctg : R→ (−π2 , π2 ).
(iv) Funkciou arkuskotangens nazývame inverznú funkciu k zúženiu funkcie cotg nainterval (0, π). Označujeme arccotg : R→ (0, π).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 83 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
x
y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 60
π/2
π
−π/2
arctg x
arccotg x
arcsinx
arccos x
Obrázok 13: Grafy cyklometrických funkcií
Vzhľadom na vety pojednávajúce o vlastnostiach inverzných funkcií hneď dostávame, ženapr. arcsin je nepárna, rastúca na 〈−π2 , π2 〉 s vlastnosťami (∀x ∈ 〈−1, 1〉) sin(arcsinx) = xa (∀x ∈ 〈−π2 , π2 〉) arcsin(sinx) = x. Podobne určte vlastnosti ostatných cyklometrickýchfunkcií. Ich grafy sú uvedené na Obr. 13. Na záver uveďme ešte niektoré užitočné vzťahy:
(∀x ∈ 〈−1, 1〉) arcsinx + arccos x =π
2;
(∀x ∈ R) arctgx + arccotgx =π
2;
(∀x ∈ R) arctgx = arcsinx√
1 + x2;
(∀x ∈ (−1, 1)) arcsinx = arctgx√
1− x2.
Ukážme napr. platnosť prvého vzťahu: nech arcsin x = y, teda y ∈ 〈−π2 , π2 〉 a sin y = x, čižecos(π2 − y) = x a arccos x = π
2 − y. Dosadením teda arcsin x + arccos x = y + (π2 − y) = π2 .
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 84 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Hyperbolické a hyperbolometrické funkcie
Uvedieme len hyperbolické funkcie so základom e = 2,7182818 . . . , hoci sa dajú defi-novať s ľubovoľným základom a > 0, a 6= 1. Ich grafy sa podstatne zmenia, keď budemeuvažovať napr. 0 < a < 1. Ide teda o funkcie
(i) hyperbolický sínus: sinhx = 12 (ex − e−x), x ∈ R;
(ii) hyperbolický kosínus: coshx = 12 (ex + e−x), x ∈ R;
(iii) hyperbolický tangens: tgh x = sinh xcosh x = ex−e−x
ex+e−x , x ∈ R;
(iv) hyperbolický kotangens: cotgh x = cosh xsinh x = ex+e−x
ex−e−x , x ∈ R \ {0}.
Keďže sú to všetko funkcie definované pomocou exponenciálnych funkcií, ich vlastnostisa dajú ľahko určiť z vlastností funkcií ex a e−x, a teda z hľadiska vyšetrovania nie súzaujímavé. Tiež majú celý rad vlastností podobných goniometrickým funkciám, napr.
(∀x ∈ R) cosh2 x− sinh2 x = 1;(∀x, y ∈ R) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinhx sinh y;(∀x, y ∈ R) sinh(x + y) = sinhx cosh y + coshx sinh y;
a mnohé ďalšie. Dôvod, prečo sa tieto funkcie označujú prívlastkom hyperbolické, je ten, žex = a cosh t, y = a sinh t, t ∈ R, je parametrické vyjadrenie hyperboly x2−y2 = a2 (overte!).Na základe operácií s exponenciálnou funkciou načrtnite grafy všetkých hyperbolickýchfunkcií.
Poznamenajme len, že inverzné funkcie k hyperbolickým sa nazývajú hyperbolometrickéfunkcie. Až na cosh sú všetky hyperbolické funkcie prosté (dokážte!), a teda k nim existujúinverzné funkcie (v prípade cosh sa opäť zoberie parciálna funkcia ϕ : 〈0,+∞)→ 〈1,+∞)a zostrojí sa k nej inverzná funkcia). Ako ukážku uvádzame odvodenie inverznej funkciek funkcii sinh.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 85 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Je ľahké ukázať, že sinh je rastúca funkcia na R (urobte to!). Potom
y =ef(y) − e−f(y)
2=
e2f(y) − 12 ef(y)
=∣∣∣∣ substitúcia
f(y) = ln t
∣∣∣∣ = t2 − 12t
⇔ t2 − 2ty − 1 = 0.
Riešením tejto kvadratickej rovnice s parametrom y dostávame korene
t1,2 =2y ±
√4y2 + 42
= y ±√
y2 + 1.
Keďže číslo t2 = y −√
y2 + 1 nevyhovuje substitúcii f(y) = ln t, pretože y ≤√
y2 <√y2 + 1, t.j. t2 = y −
√y2 + 1 < 0, jediným riešením je f(y) = ln(y +
√y2 + 1), čo je
hľadaná inverzná funkcia k funkcii sinh nazývaná argument sínusu hyperbolického, ozna-čujeme argsinh.
Podobne môžeme odvodiť predpisy pre ostatné hyperbolometrické funkcie, t.j.
(i) argument sínusu hyperbolického: argsinh x = ln(x +√
x2 + 1), x ∈ R;
(ii) argument kosínusu hyperbolického: argcosh x = ln(x +√
x2 − 1), x ∈ 〈1,+∞);
(iii) argument tangensu hyperbolického: argtgh x = 12 ln 1+x
1−x , x ∈ (−1, 1);
(iv) argument kotangensu hyperbolického: argcotgh x = 12 ln x+1
x−1 , |x| > 1.
z Úlohy na premýšľanie
3 Každá funkcia, ktorá vznikne z elementárnych funkcií pomocou konečného počtu operáciísúčtu, rozdielu, súčinu, podielu a skladania funkcií, je elementárna. Vysvetlite!3 Ak f a g sú elementárne, potom aj funkcia h(x) = f(x)g(x) pre x ∈ Df ∩ Dg ∩ {x ∈Df ; f(x) > 0} je elementárna. Vysvetlite!3 Načrtnite graf funkcie arcsin ◦ sin a sin ◦ arcsin na R.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 86 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
3. Postupnosti reálnych číselPojem postupnosť je jedným z dôležitých pojmov matematickej analýzy. Má veľký vý-znam aj v rôznych aplikáciách, napríklad pri hľadaní približných riešení rôznych úloh, priiteračných procesoch a pod. Na druhej strane, ak poznáme pojem funkcie, potom pojempostupnosti nie je ničím iným než špeciálnym prípadom funkcie definovanej na množine pri-rodzených čísel. Preto nie je žiaden dôvod, ktorý by robil nevyhnutným študovať niektorépojmy pre postupnosti. Jednako sa to robí v matematickej analýze často. Je to zapríčinenéviacerými skutočnosťami. Jedna z nich je tá, že prístup cez postupnosti je názorný a preniektoré úvahy úplne postačujúci. Ďalej je to fakt, že niektoré základné pojmy zavedenépre reálne funkcie (ale nielen tie) možno popísať pomocou postupností. Týka sa to ok-rem iného pojmu limity i pojmu spojitosti. Tým si získava pojem postupnosti významnépostavenie. Okrem tu spomenutých dôvodov existujú aj ďalšie.
S postupnosťami sa v praxi stretávame tiež vtedy, keď si z nejakých praktických dôvo-dov všímame hodnoty nejakej funkcie iba pre diskrétne hodnoty argumentu. Môže ísť napr.o funkciu času, pričom si všímame hodnoty iba v pravidelných časových okamihoch (napr.vývoj kurzu meny voči inej mene len každú hodinu)... Tieto úvahy ľahko sformulujemedo nasledujúcej definície.
Definícia 3.1. Postupnosťou nazývame funkciu definovanú na množine prirodzených čísel.
Vzhľadom na predchádzajúcu kapitolu máme na mysli reálnu funkciu, t.j. zobrazeniea : N → R. Ak je však oborom hodnôt takejto funkcie (vždy definovanej na N) iná mno-žina čísel (celé, racionálne, komplexné, atď.), tak je možné hovoriť o postupnosti celých,racionálnych, komplexných čísel. Naše úvahy obmedzíme iba na postupnosti reálnych čísel.V zobrazení a : N→ R je každému prvku n ∈ N priradený jediný prvok množiny R, ktorýoznačujeme a(n). Ako sme však spomenuli pri označovaní funkcií a ich hodnôt, pri po-stupnostiach sa zaužívalo označenie an namiesto a(n) a namiesto symbolu a zápis (an)∞1 .Tento zápis23 tiež znamená, že uvažovaná postupnosť je nekonečná. Konečnou m-člennou
23iným používaným zápisom je {an}∞n=1 a ďalšie
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 87 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
(m ∈ N) postupnosťou reálnych čísel budeme rozumieť funkciu a : {1, 2, . . . ,m} → R abudeme písať (an)m1 . Pre nás slovo postupnosť bude znamenať nekonečnú postupnosť, t.j.funkciu definovanú na množine N. Pokiaľ budeme výnimočne uvažovať konečnú postupnosť,vždy to zdôrazníme.
Prvky an, n ∈ N, nazývame členy postupnosti, prvok ak budeme nazývať k-ty členpostupnosti (an)∞1 a číslo k index člena ak. Každá postupnosť určuje množinu reálnych číselM = {a1, a2, . . . , an, . . . }, ktorú nazývame množina členov postupnosti (an)∞1 . Môže námnapadnúť otázka, či aj každá množina sa dá usporiadať do postupnosti. Odpoveď na tútootázku je záporná a prekračuje možnosti nášho kurzu (stretnete sa s tým v Teórii množín).Z množiny členov postupnosti nemožno vo všeobecnosti postupnosť zrekonštruovať, okremprípadu konštantných postupností.
Poznamenajme ešte, že pri zápise postupností je výhodné pripustiť niektoré odchýlkyod definície. Napríklad, nedodržiava sa vždy doslovne požiadavka, že definičný obor po-stupnosti je množina všetkých prirodzených čísel. Z rôznych dôvodov sa stretávame s po-stupnosťami, ktorých prvý člen je označený napr. a0, x−3, či w4. Môže ísť o postupnosti
(an)∞0 , (xk)∞−3, (wi)∞4 .
Ide tu len o formálnu odchýlku od definície, pretože každá z týchto postupností sa dánapísať tak, aby začínala od indexu 1.
Druhá nedôslednosť sa týka toho, že môže existovať prirodzené číslo (alebo aj viactakých), pre ktoré postupnosť nie je definovaná, napr. výraz an = n2
(n−3)(n−7) , n ∈ N, nie jedefinovaný pre n = 3 a n = 7. To však nevadí, pretože namiesto (an)∞1 môžeme uvažovaťpostupnosť (bn)∞1 , kde
b1 = a1, b2 = a2, b3 = a4, b4 = a5, b5 = a6, b6 = a8, . . .
Ak teda budeme hovoriť, že postupnosť (an)∞1 má nejakú vlastnosť, tak budeme týmmyslieť, že túto vlastnosť má postupnosť (bn)∞1 . Túto dohodu prijímame preto, lebo priskúmaní niektorých dôležitých vlastností postupností (napr. limít postupností) nevadí, že
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 88 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
nie sú určené všetky členy postupnosti. Počet nedefinovaných členov však musí byť koneč-ný, t.j. od istého indexu počnúc už musia byť definované všetky členy (v našom prípadeod ôsmeho člena).
Podobne ako funkcia, aj postupnosť môže byť zadaná rôznymi spôsobmi. Medzi naj-častešie patrí explicitný tvar, t.j. pomocou formuly, ktorá umožňuje určiť ľubovoľný členpostupnosti podľa jeho indexu, napr. an = 1
n , n ∈ N alebo b2n = −12n−1 a b2n−1 = 1
2n ,n ∈ N. Ďalším rozšíreným spôsobom je postupnosť zadaná rekurentným vzťahom, kto-rý dovoľuje vypočítať člen postupnosti pomocou známych predchádzajúcich členov. Tuspomeňme aritmetickú postupnosť s diferenciou d ∈ R a prvým členom a1 = a, ktorá jezadaná rekurentným vzťahom an+1 = an + d, t.j. an = a + (n − 1)d, n ∈ N. Podob-ne zavedieme geometrickú postupnosť s kvocientom q ∈ R \ {0} a prvým členom b1 = arekurentným vzťahom bn+1 = bnq, t.j. bn = bqn−1, n ∈ N. Asi najznámejšou rekuren-tne zadanou postupnosťou je Fibonacciho24 postupnosť daná vzťahom Fn+2 = Fn+1 − Fn,n ∈ N a podmienkami F1 = F2 = 1. Okrem týchto spôsobov zadania postupnosti existujúaj ďalšie (vymenovaním, opisom, atď.).
Vzhľadom na uvedenú definíciu postupnosti ako špeciálneho prípadu funkcie môžemeprepísať všetky pojmy a tvrdenia, ktoré boli uvedené pre funkcie (samozrejme tie, ktorémajú aj v tomto špeciálnom prípade zmysel) do reči postupností (urobte to!). Na niektorýchmiestach to ešte upresníme, prípadne vyslovíme definíciu, či tvrdenie, ktoré budeme v tommomente potrebovať.
3.1. Limita postupnostiJedným zo základných princípov (pilierov) matematickej analýzy je pojem limity, resp.operácie limitného prechodu. Vyjadruje špeciálnu vlastnosť niektorých postupností, ktoráby sa dala vyjadriť ako tendencia členov týchto postupností nadobúdať s rastúcim indexomn hodnotu približujúcu sa k istému číslu.
24Leonardo Pisanský (1170-1240), známy aj ako Fibonacci (syn Bonacciho)
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 89 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Uvažujme postupnosť ( nn+1 )∞1 s množinou členov { 1
2 , 23 , 3
4 , . . . , 99100 , . . . , 999
1000 , . . . }. Vidí-me, že pre dostatočne veľké n sa členy tejto postupnosti málo líšia od čísla 1. Pri geomet-rickej interpretácii dostaneme body grafu postupnosti čoraz viac sa približujúce k priamkes rovnicou y = 1, ich vzdialenosti od tejto priamky sa stále zmenšujú (nakreslite si!).
Toto intuitívne poňatie limity postupnosti reprezentované výrazmi „blížiť sa k istémučíslu“ alebo „vzdialenosti členov postupnosti sa od istého čísla stále zmenšujú“ je potrebnématematicky poriadne sformulovať, najlepšie určitým spôsobom aritmetizovať (vyjadriťpomocou nerovností). To sa podarilo až v 19. storočí vďaka prácam Cauchyho a Bolzana,v neposlednom rade bolo toto úsilie dovŕšené Weierstrassom v polovici 19. storočia.
Definícia 3.2. Číslo a ∈ R nazývame limitou postupnosti (an)∞1 , akk
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ R)(∀n ∈ N, n > n0) |an − a| < ε.
Fakt, že a ∈ R je limitou postupnosti (an)∞1 , skrátene zapisujeme limn→∞
an = a alebotiež an → a pre n → ∞. Postupnosť (an)∞1 , ktorá má limitu, nazývame konvergentnou.Postupnosti, ktoré nie sú konvergentné, nazývame divergentné. Môže to byť zapríčinenétým, že žiadne reálne číslo nie je jej limitou, ako napr. postupnosť ((−1)n)∞1 , alebo má zalimitu nevlastné číslo (o tom až neskôr).
Z Vety 1.14 máme, že
|an − a| < ε⇔ −ε < an − a < ε⇔ a− ε < an < a + ε.
Vzhľadom na geometrickú interpretáciu absolútnej hodnoty to znamená, že ak postupnosť(an)∞1 má za limitu číslo a ∈ R, potom ak skonštruujeme okolo čísla a ľubovoľný pás (a−ε, a+ε), tak dokážeme nájsť také (reálne) číslo n0, že pre všetky indexy od neho väčšie ležiavšetky členy postupnosti s týmito indexami s tomto páse. Je jasné, že konečný počet členovs indexami menšími ako n0 môže ležať mimo tohto pásu, čo nám intuitívne prezrádza, že nakonvergenciu (divergenciu) postupnosti nemá vplyv chovanie sa konečného počtu jej členov(túto skutočnosť presne sformulujeme v Dôsledku 3.33). Preto budeme používať dohodu:ak nejaký predpoklad nemusí platiť pre konečný počet členov, tak budeme hovoriť, že
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 90 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
platí pre skoro všetky n ∈ N, t.j. od istého indexu počnúc. Formálne, výrok V (týkajúcisa prirodzených čísel) platí pre skoro všetky n ∈ N, akk (∃n1)(∀n ∈ N, n > n1) platíV (n). Teda v prípade, že a ∈ R je limitou postupnosti (an)∞1 , môžeme túto definíciupreformulovať nasledovne: pre ľubovoľné ε > 0 platí vzťah |an − a| < ε pre skoro všetkyn ∈ N. Tiež si môžeme všimnúť, že n0 súvisí s indexami, a preto je niekedy výhodné braťho ako prirodzené číslo, aby sme sa vyhli komplikovaným indexom typu [n0]+1. V ďalšomto na niektorých miestach použijeme.
Vieme teda, že nie každá postupnosť musí mať limitu (klasický príklad ((−1)n)∞1 ). Môžemať konvergentná postupnosť aj viac limít? Odpoveď na túto otázku dáva nasledujúca veta.
Veta 3.3 (o jednoznačnosti limity). Každá postupnosť má nanajvýš jednu limitu.
Dôkaz. Ak postupnosť je divergentná, niet čo dokazovať. Predpokladajme preto, žepostupnosť (an)∞1 má dve navzájom rôzne limity a, b ∈ R. Bez ujmy na všeobecnostipredpokladajme, že a < b. Z definície potom
limn→∞
an = a ⇔ (∀ε > 0)(∃n1)(∀n ∈ N, n > n1) |an − a| < ε
limn→∞
an = b ⇔ (∀ε > 0)(∃n2)(∀n ∈ N, n > n2) |an − b| < ε.
Položme ε = b−a2 > 0 a n0 = max{n1, n2}. Potom (∀n ∈ N, n > n0) b− ε < an < a + ε⇒
b−a2 < ε, čo je podľa trichotómie usporiadania spor. Teda konvergentná postupnosť má
práve jednu limitu.Pripomeňme si, že postupnosť je ohraničená, akk je ohraničená množina jej členov.
Prepísaním Tvrdenia 2.10 pre postupnosti máme, že postupnosť (an)∞1 je ohraničená právevtedy, keď (∃K ∈ R,K > 0)(∀n ∈ N) |an| ≤ K. Vzťah konvergencie a ohraničenostipostupnosti je obsahom nasledujúceho tvrdenia.
Veta 3.4. Každá konvergentná postupnosť je ohraničená.
Dôkaz. Nech limn→∞
an = a, teda
(∀ε > 0, ε = 1)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N, n ≥ n0) |an − a| < 1, t.j. a− 1 < an < a + 1.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 91 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Označme A = {an;n ≤ n0} a B = {an;n ≥ n0}. Potom je množina A ohraničená, pretožeje konečná (a platí pre ňu veta o maxime a minime konečnej množiny). Množina B jetiež ohraničená, pretože obsahuje tie členy postupnosti (an)∞1 , pre ktoré platí nerovnosťa − 1 < an < a + 1, t.j. H = a + 1 a D = a − 1. Keďže množina členov postupnosti jezjednotením množiny A a B, je postupnosť (an)∞1 ohraničená.
Bystrému pozorovateľovi asi neunikne, že počet prvkov v množinách A a B závisí odnájdeného n0. Ak v konkrétnom prípade dospejeme k n0 < 1, tak A = ∅ a B je celámnožina členov postupnosti, čo však nie je problém, pretože množina členov postupnosti(an)∞1 sa rovná množine B, ktorá je ohraničená.
Tvrdenie vety nemožno obrátiť, pretože postupnosť ((−1)n)∞1 je ohraničená (stačí siuvedomiť, že množina jej členov je dvojprvková, teda konečná), ale vieme, že je divergentná.
z Úlohy na premýšľanie
3 Dokážte, že každá postupnosť, ktorá je súčasne aritmetická aj geometrická, je konštantná(stacionárna).3 Nech pre postupnosť (an)∞1 platí:
(∃a ∈ R)(∀n ∈ N)(∃k ∈ N, k ≥ n) |ak − a| < 1n
.
Je postupnosť (an)∞1 konvergentná?
3.1.1. Operácie s limitami
Základné aritmetické operácie sú pre postupnosti definované rovnako ako pre funkcie, t.j.súčtom, rozdielom, súčinom a podielom postupností (an)∞1 a (bn)∞1 rozumieme postupnosti(an + bn)∞1 = (an)∞1 + (bn)∞1 , (an − bn)∞1 = (an)∞1 − (bn)∞1 , (an · bn)∞1 = (an)∞1 · (bn)∞1 aak (∀n ∈ N) bn 6= 0, tak (an
bn)∞1 = (an)∞1
(bn)∞1. O narábaní s limitami týchto postupností hovorí
nasledujúca veta.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 92 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Veta 3.5 (aritmetické operácie s limitou postupnosti). Nech limn→∞
an = a a limn→∞
bn =b. Potom
(i) existuje limn→∞
(an ± bn) a platí limn→∞
(an ± bn) = a± b;
(ii) existuje limn→∞
(an · bn) a platí limn→∞
(an · bn) = a · b;
(iii) ak b 6= 0, tak existuje limn→∞
an
bna platí lim
n→∞an
bn= a
b .
Dôkaz. (i) Z predpokladu na základe definície máme
limn→∞
an = a ⇔(∀ε > 0,
ε
2> 0)
(∃n1)(∀n ∈ N, n > n1) |an − a| < ε
2,
limn→∞
bn = b ⇔(∀ε > 0,
ε
2> 0)
(∃n2)(∀n ∈ N, n > n2) |bn − b| < ε
2.
Položme n0 = max{n1, n2}. Potom (∀n ∈ N, n > n0)
|(an ± bn)− (a± b)| = |(an − a)± (bn − b)| ≤ |an − a|+ |bn − b| < ε
2+
ε
2= ε.
Teda (∀ε > 0)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0) |(an ± bn)− (a± b)| < ε, t.j. limn→∞
(an ± bn) = a± b.(ii) Keďže platí
|anbn−ab| = |anbn−anb+anb−ab| = |an(bn− b)+ b(an−a)| ≤ |an| · |bn− b|+ |b| · |an−a|,
jediným problémom sú výrazy |an| a |b|, ktorých sa je potrebné zbaviť. Avšak 0 ≤ |b| < +∞je konštanta a keďže je (an)∞1 konvergentná, tak podľa Vety 3.4 (∃K > 0)(∀n ∈ N) |an| ≤K, čiže |anbn − ab| ≤ |an| · |bn − b|+ |b| · |an − a| ≤ K|bn − b|+ |b| · |an − a|. Ak položímeL = max{K, |b|} a n0 ako v dôkaze časti (i), tak máme
(∀ε > 0)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0) |anbn − ab| ≤ L(|bn − b|+ |an − a|) < L(ε
2+
ε
2
)= L · ε.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 93 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
(iii) Keďže (∀n ∈ N) an
bn= an · 1
bn, stačí ukázať, že lim
n→∞1bn
= 1b . Ukážme najprv, že
výraz 1bn
má zmysel, t.j. bn 6= 0 pre skoro všetky n ∈ N. Keďže b 6= 0, položme ε1 = |b|2 > 0.
Potom
limn→∞
bn = b ⇔(∀ε1 > 0, ε1 =
|b|2
)(∃n1)(∀n ∈ N, n > n1) |bn − b| < |b|
2.
Teda (∀n ∈ N, n > n1)
|bn| = |bn − b + b| = |b− (b− bn)| ≥ |b| − |b− bn| > |b| −|b|2
=|b|2
> 0,
z čoho bn 6= 0 pre skoro všetky n ∈ N. Potom (∀n ∈ N, n > n1)∣∣∣∣ 1bn− 1
b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣b− bnbnb
∣∣∣∣ = |b− bn||bn| · |b|
<2|bn − b||b|2
a keďže limn→∞
bn = b ⇔ (∀ε2 > 0) (∃n2)(∀n ∈ N, n > n2) |bn − b| < ε2, položením n0 =
max{n1, n2} máme, že (∀n ∈ N, n > n0)∣∣∣∣ 1bn− 1
b
∣∣∣∣ < 2|bn − b||b|2
<2ε2
|b|2.
Dostali sme teda, že(∀ε =
2ε2
|b|2> 0)
(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0)∣∣∣∣ 1bn− 1
b
∣∣∣∣ < ε ⇔ limn→∞
1bn
=1b.
Zvyšok dôkazu vyplýva z časti (ii).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 94 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
V praxi je dôležité overiť predpoklady, teda že ide naozaj o dve konvergentné postup-nosti. Častokrát sa to deje v procese výpočtu, ale niektorí na to zabúdajú a zvyknú potompoužívať chybné argumenty vedúce k chybným záverom. Tvrdenie vety nemožno obrátiť,t.j. ak existuje limita súčtu (súčinu), nemusia existovať limity jednotlivých sčítancov (či-niteľov), napríklad lim
n→∞((−1)n + (−1)n+1) = 0, podobne lim
n→∞(−1)n · (−1)n) = 1, ale
limn→∞
(−1)n neexistuje.
Dôsledok 3.6. Nech limn→∞
an = a, α ∈ R a k ∈ N. Potom
(i) existuje limn→∞
α · an a platí limn→∞
α · an = α · a;
(ii) existuje limn→∞
akn a platí limn→∞
akn = ak;
(iii) existuje limn→∞
|an| a platí limn→∞
|an| = |a|.
Platnosť časti (ii) tohto dôsledku je možné rozšíriť na k ∈ R. Opačná implikácia v časti(iii) vo všeobecnosti neplatí, stačí opäť uvažovať postupnosť ((−1)n)∞1 .
Veta 3.7. Nech limn→∞
an = 0 a postupnosť (bn)∞1 je ohraničená. Potom limn→∞
anbn existujea platí lim
n→∞anbn = 0.
Dôkaz. Z ohraničenosti (bn)∞1 máme, že (∃K > 0)(∀n ∈ N) |bn| ≤ K a
limn→∞
an = 0 ⇔ (∀ε1 > 0) (∃n0)(∀n ∈ N, n > n0) |an| < ε1.
Potom ale(∀n ∈ N, n > n0) |anbn − 0| = |an| · |bn| < ε1 ·K.
Položením ε = ε1K máme výsledok.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 95 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
z Úlohy na precvičenie
3 Nech (an)∞1 je konvergentná postupnosť kladných čísel. Rozhodnite, či potom platí
(i) limn→∞
(an+1 − an) = 0;
(ii) limn→∞
an+1an
= 1.
3 Nech (an)∞1 konverguje a (bn)∞1 diverguje. Čo môžeme povedať o konvergenci postupností(an + bn)∞1 a (an · bn)∞1 ?3 Je pravda, že ak (an)∞1 a (bn)∞1 divergujú, potom aj (an + bn)∞1 a (an · bn)∞1 divergujú?3 Pre ktoré α ∈ R je postupnosť (an)∞1 ohraničená a pre ktoré konvergentná?
an = (−1)n(ln(en
2+ 1)
)α· arcsin
1n4 + 7
3.1.2. Nerovnosti medzi členmi postupností a ich limitami
Veta 3.8 (o zovretí). Nech limn→∞
an = a, limn→∞
bn = a a an ≤ cn ≤ bn pre skoro všetkyn ∈ N. Potom existuje lim
n→∞cn a platí lim
n→∞cn = a.
Dôkaz. Rozpísaním si všetkých troch predpokladov dostávame
(∀ε > 0) (∃n1) (∀n ∈ N, n > n1) a− ε < an < a + ε,
(∀ε > 0) (∃n2) (∀n ∈ N, n > n2) a− ε < bn < a + ε,
(∃n3) (∀n ∈ N, n > n3) an ≤ cn ≤ bn.
Ak položíme n0 = max{n1, n2, n3}, potom (∀n ∈ N, n > n0) a− ε < an ≤ cn ≤ bn < a+ ε,t.j. (∀ε > 0)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0) |cn − a| < ε.
Keďže (∀n ∈ N) − |an| ≤ an ≤ |an| a ak predpokladáme, že limn→∞
|an| = 0, potomdostávame nasledujúci výsledok.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 96 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Dôsledok 3.9. limn→∞
|an| = 0⇒ limn→∞
an = 0
Na základe tohto zistenia môžeme vysloviť tvrdenie, ktoré dáva nutnú a postačujú-cu podmienku k tomu, kedy postupnosť aj postupnosť absolútnych hodnôt konvergujúk spoločnej hodnote. Jedna časť tohto tvrdenia je dôsledkom vety o operáciách (pozriDôsledok 3.6 (iii)).
Tvrdenie 3.10. limn→∞
an = 0⇔ limn→∞
|an| = 0
Častokrát užitočné je nasledujúce zistenie:
limn→∞
|an − a| = 0 ⇔ limn→∞
(an − a) = 0 ⇔ limn→∞
an = a
sformulované v nasledujúcom dôsledku.
Dôsledok 3.11. limn→∞
an = a⇔ limn→∞
|an − a| = 0
Ďalej nás zaujíma operácia limitného prechodu v súvislosti s usporiadaním členov.
Veta 3.12. Nech limn→∞
an = 0 a |bn| ≤ |an| pre skoro všetky n ∈ N. Potom existuje limn→∞
bn
a platí limn→∞
bn = 0.
Dôkaz. Rozpísaním predpokladov máme, že (∀ε > 0)(∃n1)(∀n ∈ N, n > n1) |an| < εa (∃n2)(∀n ∈ N, n > n2) |bn| ≤ |an|. Položením n0 = max{n1, n2} máme, že (∀ε >0)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0) |bn| ≤ |an| < ε, t.j. lim
n→∞bn = 0.
Veta 3.13. Nech limn→∞
an = a a limn→∞
bn = b.
(i) Ak a < b, tak an < bn pre skoro všetky n ∈ N.
(ii) Ak an ≤ bn pre skoro všetky n ∈ N, tak a ≤ b.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 97 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Dôkaz. (i) Položme ε = b−a3 > 0. Potom (∃n1)(∀n ∈ N, n > n1) a − ε < an < a + ε a
(∃n2)(∀n ∈ N, n > n2) b − ε < bn < b + ε. Nech n0 = max{n1, n2}. Potom (∀n ∈ N, n >n0) an < a + ε = a + b−a
3 = b− 2ε < b− ε < bn, teda an < bn pre skoro všetky n ∈ N.(ii) Predpokladajme, že (∃n1)(∀n ∈ N, n > n1) an ≤ bn, ale a > b. Potom by podľa
časti (i) (∃n2)(∀n ∈ N, n > n2) an > bn. Ak by n > max{n1, n2}, tak by an > bn, čo jev spore s predpokladom an ≤ bn.
Možno by sa niekto mohol opýtať, či nie je možné zameniť znak < za ≤ v časti (i).Žiaľ, nemôžeme to urobiť, pretože napríklad pre postupnosti an = 1
n a bn = 1n2 platí
a = limn→∞
1n = 0 = lim
n→∞1n2 = b, ale an = 1
n ≤1n2 = bn neplatí pre žiadne n ∈ N. Je možné
zameniť znak ≤ za < vo Vete 3.13 (ii), t.j. platí implikácia an < bn ⇒ limn→∞
an < limn→∞
bn?Jednoduchý výsledok získame, ak v časti (ii) uvažujeme konštantnú postupnosť bn = b,
n ∈ N.
Dôsledok 3.14. Ak limn→∞
an = a a an ≤ b pre skoro všetky n ∈ N, potom a ≤ b.
3.1.3. Nevlastná limita postupnosti
Na základe vzťahu medzi konvergenciou a ohraničenosťou vieme, že neohraničená postup-nosť nie je konvergentná. Avšak niektoré divergentné postupnosti majú tú vlastnosť, žes narastajúcim indexom neobmedzene rastú (alebo klesajú). Pre takéto postupnosti zave-dieme nasledujúci pojem.
Definícia 3.15. Hovoríme, že postupnosť (an)∞1 má nevlastnú limitu +∞, akk (∀K ∈R)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0) an > K. Hovoríme, že postupnosť (an)∞1 má nevlastnú limitu−∞, akk (∀L ∈ R)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0) an < L.
Označujeme limn→∞
an = +∞ ( limn→∞
an = −∞) alebo tiež an → +∞ (an → −∞) pren → ∞. Je jasné, že v prípade nevlastnej limity +∞ (−∞) stačí zobrať K > 0 (L < 0).Táto skutočnosť umožňuje v niektorých prípadoch zjednodušiť nájdenie čísla n0. Malo bybyť tiež jasné, že ak má postupnosť nevlastnú limitu +∞ (−∞), tak je ohraničená zdola(zhora) a neohraničená zhora (zdola).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 98 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Veta 3.16. Ak limn→∞
|an| = +∞, tak limn→∞
1an
= 0.
Dôkaz. limn→∞
|an| = +∞ ⇔ (∀K > 0,K = 1)(∃n1)(∀n ∈ N, n > n1) |an| > 1, teda 1an
existuje pre skoro všetky n ∈ N. Nech ε > 0 je ľubovoľné. Potom (∀K = 1ε )(∃n2)(∀n ∈
N, n > n2) |an| > 1ε a položme n0 = max{n1, n2}. Potom (∀n ∈ N, n > n0)
∣∣∣ 1an
∣∣∣ < ε, t.j.
limn→∞
1an
= 0.
Veta 3.17. Ak limn→∞
an = 0 a an > 0 pre skoro všetky n ∈ N, tak limn→∞
1an
= +∞.
Dôkaz. Z predpokladov máme, že (∀ε > 0)(∃n1)(∀n ∈ N, n > n1) |an| < ε a (∃n2)(∀n ∈N, n > n2) an > 0. Položme n0 = max{n1, n2}. Potom (∀n ∈ N, n > n0) 0 < an < ε ⇔1an
> 1ε = K.
Poznamenajme, že veta má aj svoju duálnu podobu: ak limn→∞
an = 0 a an < 0 pre skoro
všetky n ∈ N, tak limn→∞
1an
= −∞ (dokážte!). Umožňuje teda „narábať s nulou v menovateli“v prípade limitných prechodov.
Veta 3.18. Nech limn→∞
an = +∞ a an ≤ bn pre skoro všetky n ∈ N. Potom limn→∞
bn = +∞.
Dôkaz. Rozpísaním predpokladov máme, že (∀K > 0)(∃n1)(∀n ∈ N, n > n1) an > K a(∃n2)(∀n ∈ N, n > n2) an ≤ bn. Položme n0 = max{n1, n2}. Potom (∀n ∈ N, n > n0) K <an ≤ bn, teda lim
n→∞bn = +∞.
Veta teda hovorí, že stačí nájsť „menšiu“ postupnosť an → +∞ pre n→∞, čo zaručí,že aj skúmaná „väčšia“ postupnosť (bn)∞1 sa bude správať rovnako.
Veta o aritmetických operáciách s limitami postupnosti obsahuje dôležitý predpokladkonvergencie. Avšak akosi intuitívne cítime, že súčet dvoch postupností s nevlastnou limi-tou +∞ by tiež mal ísť do +∞. Nasledujúca veta preto zavádza pravidlá pre narábanies takýmito postupnosťami.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 99 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Veta 3.19 (o operáciách s nevlastnými limitami). Nech limn→∞
an = +∞.
(i) Ak (bn)∞1 je ohraničená zdola, tak limn→∞
(an + bn) = +∞.
(ii) Ak (bn)∞1 je ohraničená zdola kladnou konštantou, tak limn→∞
anbn = +∞.
Dôkaz. (i) Nech K je ľubovoľné. Keďže (bn)∞1 je ohraničená zdola, tak (∃D ∈ R)(∀n ∈N) bn ≥ D. Z predpokladu lim
n→∞an = +∞ máme, že (∀L ∈ R, L = K − D)(∃n0)(∀n ∈
N, n > n1) an > L. Potom an + bn ≥ L + D = K, t.j. limn→∞
(an + bn) = +∞. Analogickydokážeme časť (ii).
Všimnime si, že veta požaduje od postupnosti (bn)∞1 len jej ohraničenosť zdola (prí-padne kladnou konštantou). Špeciálne veta zahŕňa aj prípad bn →∞ pre n→∞, pretožez aritmetiky narábania s nevlastnými číslami platí ±∞±∞ = ±∞ a ±∞ · (±∞) = +∞.Jedinými nedefinovanými (neurčitými) výrazmi sú tu +∞ −∞ a ±∞ · 0. Sformulujte adokážte všetky ďalšie možné variácie tejto vety! Porozmýšlajte tiež nad možnosťou rozšíriťtvrdenie vety o limitu podielu. Aké predpoklady sú potrebné k tomu, aby an
bn→ +∞ pre
n→∞, ak an → +∞, n→∞?V ďalšom texte budeme slovom „limita“ vždy rozumieť limitu v zmysle Definície 3.2,
ktorej sa tiež hovorí vlastná limita postupnosti. Ak budeme pripúšťať aj nevlastnú limitu,pripomenieme to zvlášť. Podobne pod konvergentnými postupnosťami rozumieme len tiepostupnosti, ktoré majú vlastnú limitu.
Teda pre ľubovoľnú postupnosť (an)∞1 môže nastať práve jeden z prípadov
(i) existuje vlastná limita limn→∞
an;
(ii) limn→∞
an = +∞;
(iii) limn→∞
an = −∞;
(iv) neexistuje ani vlastná ani nevlastná limita.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 100 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
z Úlohy na premýšľanie
3 Nájdite také postupnosti (an)∞1 a (bn)∞1 s limn→∞
an = +∞ a limn→∞
bn = 0, aby
(i) limn→∞
(an · bn) = +∞;
(ii) limn→∞
(an · bn) = c, kde c ∈ R je ľubovoľné;
(iii) postupnosť (an · bn)∞1 bola ohraničná, ale divergentná.
3 Nájdite postupnosť (an)∞1 takú, aby limn→∞
an = +∞ a zároveň bola splnená niektoráz podmienok
(i) limn→∞
(an+1 − an) = +∞;
(ii) limn→∞
(an+1 − an) = 1;
(iii) limn→∞
(an+1 − an) = 0.
3.1.4. Monotónne postupnosti
Postupnosť reálnych čísel si možno predstaviť ako nekonečný súbor „oindexovaných čísel“
a1, a2, a3, . . . , an, . . .
Ak sú tieto čísla usporiadané podľa veľkosti, t.j. väčším indexom zodpovedajú vždy väčšiečísla (alebo vždy menšie čísla), potom je prirodzené takúto postupnosť nazvať monotónnou.
Triedu monotónnych postupností môžeme charakterizovať ako množinu takých postup-ností, v ktorej je každá ohraničená postupnosť konvergentná. Keďže postupnosť sme de-finovali ako funkciu definovanú na množine N, definície monotónnej (rýdzomonotónnej)
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 101 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
postupnosti sú len špeciálnymi prípadmi monotónnej (rýdzomonotónnej) funkcie. Pre is-totu, napr. postupnosť (an)∞1 je rastúca, akk (∀n ∈ N) an < an+1 a analogicky ďalšieprípady. Pripomeňme tiež, že supremum (infimum) postupnosti nie je nič iné ako supre-mum (infimum) množiny jej členov, označujeme sup
n∈Nan ( inf
n∈Nan).
Aby sme teda podopreli naše tvrdenie z predchádzajúceho odstavca, uvádzame hneďprvý dôležitý výsledok.
Veta 3.20 (o limite monotónnej postupnosti I.). Nech (an)∞1 je neklesajúca postup-nosť.
(i) Ak (an)∞1 nie je ohraničená zhora, tak limn→∞
an = +∞.
(ii) Ak (an)∞1 je ohraničená zhora, tak limn→∞
an = supn∈N
an.
Dôkaz. (i) Nech (an)∞1 nie je ohraničená zhora, t.j. (∀H ∈ R)(∃n0 ∈ N) an0 > H.Z neklesajúcosti potom máme, že (∀n ∈ N, n ≥ n0) an ≥ an0 , z čoho dostávame
(∀H ∈ R)(∃n0 ∈ N) (∀n ∈ N, n ≥ n0) an > H,
t.j. limn→∞
an = +∞.(ii) Ak (an)∞1 je ohraničená zhora, t.j. množina jej členov je ohraničená zhora, tak
existuje supn∈N
an = a ∈ R. Z neklesajúcosti potom máme, že (∀n ∈ N, n ≥ n0) an ≥ an0 a
z druhej vlastnosti suprema (pozri Vetu 1.34) vyplýva, že
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N, n ≥ n0) a− ε < an0 ≤ an ≤ a < a + ε,
teda |an − a| < ε, čiže limn→∞
an = a.Analogicky dokážeme duálne tvrdenie (alebo stačí použiť fakt, že ak (an)∞1 je neklesa-
júca postupnosť, tak (−an)∞1 je nerastúca postupnosť).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 102 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Veta 3.21 (o limite monotónnej postupnosti II.). Nech (an)∞1 je nerastúca postup-nosť.
(i) Ak (an)∞1 nie je ohraničená zdola, tak limn→∞
an = −∞.
(ii) Ak (an)∞1 je ohraničená zdola, tak limn→∞
an = infn∈N
an.
Zhrnutím výsledkov predchádzajúcich dvoch viet dostávame dôležité tvrdenie charak-terizujúce triedu monotónnych postupností.
Tvrdenie 3.22 (o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti). Nech po-stupnosť je monotónna. Potom je konvergentná práve vtedy, keď je ohraničená.
Poznámka 3.23. Toto tvrdenie bude mať pre nás veľký význam nielen teoretický, ale ajpraktický. Jedným z dôležitých zistení je, že ide len o inú formuláciu axiómy o hornomohraničení, t.j. dá sa dokázať, že axióma (H) je ekvivalentná s vetou o konvergenciimonotónnej ohraničenej postupnosti. Taktiež nám umožňuje vyšetrovať konvergenciu(a vypočítať limitu) postupnosti zadanej rekurentne.
z Úlohy na premýšľanie
3 Nájdite limn→∞
an, ak a1 =√
2 a an =
√2 +
√2 + · · ·+
√2︸ ︷︷ ︸
n odmocnín
, n ∈ N, n ≥ 2.
3 Nech a1 = 6, an+1 = −10an + 6, n ∈ N. Potom
a = limn→∞
an = limn→∞
an+1 = limn→∞
(−10an + 6) = −10 limn→∞
an + 6 = −10a + 6⇒ a =611
.
Napriek tomu táto limita neexistuje. Kde je chyba?3 Dokážte, že každá postupnosť reálnych čísel je súčtom rastúcej postupnosti a klesajúcejpostupnosti.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 103 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
3.2. Vybrané postupnostiPozerajme sa na chvíľu na postupnosť
a1, a2, a3, a4, a5, . . . , an, . . .
ako na zástup prvkov (vojakov) stojacich vedľa seba, ktorých je potrebné vytriediť a pone-chať len schopných. Môžeme takto vynechať konečný alebo nekonečný počet, ale v druhomprípade tak, aby ich zostalo nekonečne veľa. Vynechaním napr. všetkých prvkov s párnymindexom dostávame a1, a3, a5, a7, a9, . . . , čo môžeme opäť považovať za postupnosť
b1 = a1, b2 = a3, b3 = a5, b4 = a7, . . . , bn = a2n−1, . . .
Teda pre každé n sa bn rovná nejakému ak. Keďže toto k závisí od n, označíme ho k(n)alebo kn (v našom prípade k1 = 1, k2 = 3, k3 = 5, atď.). Teda bn = akn
. Touto úvahoudostávame nasledujúci pojem.
Definícia 3.24. Nech (an)∞1 je postupnosť a (kn)∞1 je rastúca postupnosť prirodzenýchčísel. Postupnosť (akn
)∞1 nazývame vybraná postupnosť z postupnosti (an)∞1 pomocoupostupnosti (kn)∞1 .
Rastúca postupnosť prirodzených čísel (kn)∞1 sa niekedy zvykne nazývať vyberajúca.Požiadavka rastúcosti je tu podstatná! Keby sme napr. položili (∀n ∈ N) kn = n0, tak bypríslušná vybraná postupnosť bola konštantná, lebo (∀n ∈ N) akn = an0 a o takej postup-nosti ani nemá zmysel hovoriť, že je vybraná z postupnosti (an)∞1 . Teda povedať, že nejakápostupnosť (bn)∞1 je vybraná z postupnosti (an)∞1 , znamená tvrdiť, že existuje taká rastú-ca postupnosť (kn)∞1 prirodzených čísel, že (∀n ∈ N) bn = akn
. Možno trochu nesprávne,ale v záujme zdôraznenia budeme niekedy dokonca hovoriť, že sme z postupnosti (an)∞1vybrali podpostupnosť (akn)∞1 . Všimnime si, že ide o akýsi druh „skladania“ postupností,teda operáciu, ktorá pri postupnostiach nemá priamu analógiu s funkciami.
Lema 3.25. Ak (kn)∞1 je rastúca postupnosť prirodzených čísel, tak (∀n ∈ N) kn ≥ n.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 104 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Dôkaz spočíva v aplikácii matematickej indukcie, a preto ho prenechávame čitateľovi.Vieme, že vynechanie konečného počtu členov nemá vlyv na konvergenciu postupnosti.Ako je to s vynechaním nekonečného počtu členov?
Veta 3.26. Ak postupnosť má vlastnú alebo nevlastnú limitu, potom každá z nej vybranápostupnosť má takú istú limitu.
Dôkaz. Nech limn→∞
an = a ∈ R, t.j. (∀ε > 0)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0) |an − a| < ε. Ak(kn)∞1 je vyberajúca postupnosť, potom (∀n ∈ N, n > n0) kn ≥ n > n0 (pozri Lemu 3.25),a preto |akn − a| < ε, t.j. lim
n→∞akn = a. Pre postupnosti majúce nevlastnú limitu je dôkaz
analogický (prenechávame na čitateľa).Vetu 3.26 môžeme používať ako pre dôkaz existencie, tak aj pre dôkaz neexistencie limity
(konvergencie, resp. divergencie). Ak totiž poznáme limitu postupnosti, potom poznámeaj limity každej z nej vybranej postupnosti. Na druhej strane, ak sa nám podarí z nejakejpostupnosti vybrať dve postupnosti, ktoré majú rôzne limity, potom je pôvodná postupnosťdivergentná, napr. (−1)2n → 1 a (−1)2n+1 → −1 pre n→∞.
Veta 3.27 (Cantorov princíp do seba vložených uzavretých intervalov). Nech(∀n ∈ N) In = 〈an, bn〉. Ak postupnosť (In)∞1 je taká, že (∀n ∈ N) In ⊃ In+1, tak
⋂n∈N
In 6=
∅. Ak naviac limn→∞
(bn − an) = 0, potom (∃!c ∈ R)⋂n∈N
In = c.
Dôkaz. Uvažujme postupnosti krajných bodov intervalov In. Zrejme postupnosť (an)∞1 jeneklesajúca a zhora ohraničená (napr. číslom b1), teda existuje supn∈N an = lim
n→∞an = α
(pozri Vetu o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti). Podobne (bn)∞1 je ne-rastúca a zdola ohraničená, teda existuje infn∈N bn = lim
n→∞bn = β. Z toho máme, že
(∀n ∈ N) an ≤ α ∧ β ≤ bn. Avšak naviac (∀n ∈ N) an ≤ bn, teda podľa Vety 1.38 jeα = sup
n∈Nan ≤ inf
n∈Nbn = β, čiže (∀n ∈ N) an ≤ α ≤ β ≤ bn ⇒
⋂n∈N
In 6= ∅.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 105 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Ukážme naviac, že⋂n∈N
In = 〈α, β〉. Inklúziu 〈α, β〉 ⊂⋂n∈N
In už máme dokázanú. Nech
teraz x ∈⋂n∈N
In, t.j. (∀n ∈ N) an ≤ x ≤ bn. Podľa Dôsledku 3.14 aplikovaného na (an)∞1
a x a opäť na x a (bn)∞1 dostávame α = limn→∞
an ≤ x ≤ limn→∞
bn = β, teda x ∈ 〈α, β〉, čiže⋂n∈N
In ⊂ 〈α, β〉, čo dokazuje⋂n∈N
In = 〈α, β〉.
Nech limn→∞
(bn − an) = 0. Potom
β = limn→∞
bn = limn→∞
[(bn − an) + an] = limn→∞
(bn − an) + limn→∞
an = 0 + α = α,
čiže α = β a keďže⋂n∈N
In = 〈α, β〉, tak položením c = α = β máme⋂n∈N
In = c.
Venujme sa chvíľu predpokladom Cantorovho princípu. V podstate je tu ukrytých zopárdôležitých vecí. V prvom rade požadujeme uzavretosť a ohraničenosť intervalov, ktoré súdo seba vložené. Ukážme, že to neplatí už pre polouzavreté intervaly, napr.
⋂n∈N
(0, 1n 〉 =
∅. Predpokladajme, že (∃c ∈ R)⋂n∈N
(0, 1n 〉 = c. Potom (∀n ∈ N) 0 < c ≤ 1
n . Podľa
Archimedovej vlastnosti pre c > 0 existuje m ∈ N také, že mc > 1 ⇔ c > 1m , čo je však
v spore s tým, že (∀n ∈ N) c ≤ 1n . Teda
⋂n∈N
(0, 1n 〉 = ∅.
Ďalším dôležitým zistením je, že Cantorov princíp neplatí v Q! Uvažujme intervalyIn = 〈
√2− 1
n ,√
2 + 1n 〉, n ∈ N. Zrejme sú do seba vložené a uzavreté a ich dĺžka spĺňa
limn→∞
(√2 +
1n− (√
2− 1n
))
= limn→∞
2n
= 0.
Podľa Cantorovho princípu (∃!c ∈ R)⋂n∈N
In = c =√
2 /∈ Q. Teda v množine Q je⋂n∈N
In = ∅.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 106 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Poznámka 3.28. Na základe vyššie spomenutého príkladu sa dá dokázať, že axióma (H)je ekvivalentná s Cantorovým princípom + Archimedovou vlastnosťou. Totorozdelenie axiómy (H) do dvoch tvrdení má pre matematickú analýzu výhodu z dôvodurozlíšenia dvoch vecí:
(i) z Archimedovej vlastnosti explicitne vidíme, ako sa rozčleňuje matematická analý-za na dve časti: klasickú a tzv. neštandardnú analýzu (vynecháva sa v nej Archimedovavlastnosť);
(ii) pojem limity číselnej postupnosti sa dá zaviesť len na základe prvých troch skupínaxióm, kde je viditeľná tzv. Lebesgueova miera λ(〈a, b〉) = |a−b| konečného intervalu 〈a, b〉a zároveň úplnosť množiny R sa tu berie v zmysle topologickej, resp. metrickej úplnosti(nie Dedekindovskej plynúcej z usporiadania) na základe zavedenej normy indukovanejmetrikou d(x, y) = |x− y|.
Vzniká otázka, či z každej postupnosti je možné vybrať konvergentnú podpostupnosť. Jepotrebné rozlíšiť ohraničené a neohraničené postupnosti. V nasledujúcej vete je zámernezdôraznený predpoklad nekonečnej postupnosti, aby sme mohli aplikovať metódu bisek-cie (delenia intervalu) a Cantorov princíp. V podstate si stačí uvedomiť, že pri konečnejpostupnosti ani nemá zmysel hovoriť o limite (konvergencii).
Veta 3.29 (Bolzanova-Weierstrassova). Z každej (nekonečnej) ohraničenej postupnostisa dá vybrať konvergentná podpostupnosť.
Dôkaz. Nech (xn)∞1 je ohraničená, t.j. (∃a, b ∈ R)(∀n ∈ N) a ≤ xn ≤ b. Rozdeľme interval〈a, b〉 na polovicu a uvažujem tú polovicu, v ktorej leží nekonečne veľa členov postupnosti(xn)∞1 (ak to spĺňajú obe polovice, zoberme napr. ľavú polovicu). Tento interval označme〈a1, b1〉. Jeho dĺžka je b1 − a1 = b−a
2 . Rozdeľme 〈a1, b1〉 na polovicu a opäť uvažujmetú polovicu, ktorá obsahuje nekonečne veľa členov (xn)∞1 (ak to spĺňajú obe polovice,zoberieme opäť ľavú polovicu). Označme ho 〈a2, b2〉, jeho dĺžka je b2− a2 = b−a
22 . Ak taktopokračujeme ďalej, dostávame postupnosť uzavretých do seba vložených intervalov In =〈an, bn〉, ktorých dĺžka je bn−an = b−a
2n . Podľa Cantorovho princípu (∃!c ∈ R)⋂n∈N
In = c.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 107 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Skonštruujme vybranú postupnosť z postupnosti (xn)∞1 konvergujúcu k c. Keďže 〈a1, b1〉obsahuje nekonečne veľa členov, vyberme z neho člen xk1 ∈ 〈a1, b1〉. Podobne (∃k2 ∈N, k1 < k2) xk2 ∈ 〈a2, b2〉. Pokračujúc ďalej (∃kn ∈ N, kn−1 < kn) xkn
∈ 〈an, bn〉, te-da (kn)∞1 je rastúca postupnosť prirodzených čísel (t.j. vyberajúca) a (xkn
)∞1 je vybranápostupnosť z (xn)∞1 pomocou postupnosti (kn)∞1 . Keďže xkn
, c ∈ 〈an, bn〉, potom máme
0 ≤ |xkn− c| ≤ |bn − an| =
b− a
2n
a keďže b−a2n → 0 pre n → ∞, tak z vety o zovretí |xkn
− c| → 0 pre n → ∞, čo podľaDôsledku 3.11 platí práve vtedy, keď xkn
→ c pre n → ∞. Teda (xkn)∞1 je konvergentná
podpostupnosť.Nasledujúce tvrdenie dáva odpoveď na položenú otázku v prípade neohraničených po-
stupností.
Tvrdenie 3.30. Z každej neohraničenej postupnosti možno vybrať podpostupnosť, ktorá mánevlastnú limitu.
Dôkaz len naznačíme: pre postupnosť (an)∞1 neohraničenú zhora stačí nájsť rastúcupostupnosť prirodzených čísel (kn)∞1 takú, že akn ≥ n pomocou matematickej indukcie.
z Úlohy na precvičenie
3 Dokážte, že z každej postupnosti sa dá vybrať monotónna podpostupnosť.3 Dokážte, že každá podpostupnosť rastúcej postupnosti je rastúca.3 Dokážte, že monotónna postupnosť je konvergentná, ak konverguje niektorá jej podpo-stupnosť.3 Sú uvedené implikácie
limn→∞
an = a ⇒ limn→∞
a2n = a, limn→∞
a2n = a ⇒ limn→∞
an = a
pravdivé?
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 108 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
3.3. Fundamentálne postupnostiVeta o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti vyžaduje k vyšetreniu konvergen-cie postupnosti jej monotónnosť a ohraničenosť. O ohraničenosti sme sa už čo-to zmieniliv predchádzajúcich častiach. Čo ak ale postupnosť nie je monotónna? Vo všeobecnosti,ak chceme o nejakej postupnosti zistiť, či je konvergentná alebo nie, musíme v princípevyskúšať každé číslo, či je jej limitou alebo nie. Ak rýchlo natrafíme na limitu, potom jeto dobré. Ak ale postupnosť nie je konvergentná, mali by sme ukázať (vyskúšať), že žiadnečíslo nie je jej limitou. Ukážeme, že o konvergencii možno rozhodnúť aj bez toho, aby smepoznali limitu, teda len na základe správania sa jej členov. K tomu zavedieme nasledujúcipojem.
Definícia 3.31. Postupnosť (an)∞1 nazývame fundamentálna (cauchyovská), akk
(∀ε > 0)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0)(∀m ∈ N,m > n0) |an − am| < ε.
Prirodzene nás zaujíma vzťah tohto nového pojmu k už existujúcim. Keďže fundamen-tálnosť vo svojej formulácii dosť pripomína konvergenciu, nasledujúca veta hovorí o ichvzájomnom vzťahu.
Veta 3.32 (Cauchyho-Bolzanovo kritérium konvergencie postupnosti). Postup-nosť je konvergentná práve vtedy, keď je fundamentálna.
Dôkaz. ⇒ Nech limn→∞
an = a, t.j. (∀ε > 0, ε2 > 0)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0) |an− a| < ε2 , ale
tiež (∀ε > 0, ε2 > 0)(∃n0)(∀m ∈ N,m > n0) |am − a| < ε2 . Potom (∀n ∈ N, n > n0)(∀m ∈
N,m > n0)
|an − am| = |(an − a) + (a− am)| ≤ |an − a|+ |am − a| < ε
2+
ε
2= ε,
teda (an)∞1 je fundamentálna.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 109 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
⇐ Nech (an)∞1 je fundamentálna. Myšlienkou dôkazu je najprv ukázať, že je ohraničená,potom na ňu aplikovať Bolzanovu-Weierstrassovu vetu a nakoniec ukázať, že keď v nejexistuje vybraná konvergentná podpostupnosť, tak aj celá postupnosť je konvergentná.
Na dôkaz ohraničenosti fundamentálnej postupnosti použijeme rovnaký postup ako vdôkaze Vety 3.4. Keďže (an)∞1 je fundamentálna, tak (∀ε > 0, ε = 1)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N, n ≥n0)(∀m ∈ N,m ≥ n0) |an − am| < 1. Potom aj pre m = n0 + 1 platí |an − an0+1| < 1 ⇔an0+1 − 1 < an < an0+1 + 1 pre každé n ∈ N, n > n0, a teda množina B = {an;n ≥ n0}je ohraničená. Keďže A = {an;n ≤ n0} je konečná, tak (an)∞1 je ohraničená. PodľaBolzanovej-Weierstrassovej vety sa z nej dá vybrať podpostupnosť akn
→ a pre n→∞.Posledným krokom je ukázať, že an → a pre n→∞. Z fundamentálnosti (an)∞1 máme,
že (∀ ε2 > 0)(∃n1)(∀n ∈ N, n > n1)(∀m ∈ N,m > n1) |an − am| < ε2 a z lim
n→∞akn
= a
máme, že (∀ ε2 > 0)(∃n2 ∈ N)(∀n ∈ N, n > n2) |akn− a| < ε
2 . Položme n0 = max{n1, kn2}a zoberme kn > n0 a m = kn. Potom |an − akn | < ε
2 a
|an − a| = |(an − akn) + (akn
− a)| ≤ |an − akn|+ |akn
− a| < ε
2+
ε
2= ε,
teda limn→∞
an = a.Cauchyho-Bolzanovo kritérium budeme skrátene označovať ako C-B kritérium. Jeho
význam spočíva v tom, že dáva „vnútorné kritérium“ pre konvergenciu postupnosti: vystu-pujú v ňom totiž iba členy tejto postupnosti. Hovorí vlastne o tom, že skutočnosť, či jepostupnosť konvergentná alebo nie, závisí iba od vlastností členov tej postupnosti a nieod vzťahov k iným číslam. Názorne to môžeme interpretovať nasledovne: ak je postupnosťkonvergentná (t.j. členy s veľkými indexami sú blízko istého čísla – limity postupnosti),potom sú blízko medzi sebou. Naopak, z fundamentálnosti postupnosti vyplýva, že ak súčleny postupnosti s veľkými indexami blízko medzi sebou (sú „nahusto“), tak sú blízko prinejakom pevnom čísle. Ku konvergencii postupnosti (an)∞1 ale nestačí, aby dva za sebounasledujúce členy tejto postupnosti boli blízke, t.j. aby an+1 − an bol dosť malý pre každén ∈ N, n > n0 (dosť veľké n)! Je potrebné, aby sa málo od seba líšili ľubovoľné dva členypostupnosti s dosť veľkým indexom.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 110 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Iný tvar C-B kritéria je zahrnutý v nasledujúcom výsledku, ktorý dáva exaktnú for-muláciu nášho dávneho zistenia, že vynechanie konečného počtu členov postupnosti nemávplyv na jej konvergenciu.
Dôsledok 3.33. Postupnosť (an)∞1 konverguje práve vtedy, keď
(∀ε > 0)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0)(∀k ∈ N) |an − an+k| < ε.
C-B kritérium má veľký teoretický význam, zriedka sa však využíva pri počítaní limityzadanej postupnosti. Existujú však postupnosti, o ktorých vieme pomocou C-B kritériadokázať, že sú konvergentné, ale nevieme nájsť ich limitu. Napríklad postupnosť an =1 + cos 1
2 + · · ·+ cosn2n , n ∈ N. Keďže
|an − an+k| =∣∣∣∣cos(n + 1)
2n+1+ · · ·+ cos(n + k)
2n+k
∣∣∣∣ ≤ | cos(n + 1)|2n+1
+ · · ·+ | cos(n + k)|2n+k
≤ 12n+1
+ · · ·+ 12n+k
=1
2n+1
(1− 1
2k
1− 12
)=
12n
(1− 1
2k
)<
12n
< ε,
tak dostávame, že
(∀ε > 0)(∃n0 = log2
1ε)(∀n ∈ N, n > n0)(∀k ∈ N) |an − an+k| < ε,
teda postupnosť (an)∞1 je fundamentálna, a teda konvergentná. Avšak určiť hodnotu (vy-počítať) limitu tejto postupnosti nedokážeme.
Niekto by právom mohol namietať, že zavádzame nový pojem fundamentálnej postup-nosti, ktorý (ako sme práve dokázali) nemá opodstatnenie, pretože je to to isté ako pojemkonvergentnej postupnosti. Áno, ale platí to iba v množine reálnych čísel !!! Už napríkladv množine racionálnych čísel táto ekvivalencia neplatí, pretože vieme skonštruovať funda-mentálnu postupnosť racionálnych čísel, ktorá v Q nie je konvergentná. Z toho dôvoduuvažujme postupnosť (
√2− 1
n )∞1 , ktorá je rastúca a zhora ohraničená (overte!). Pre každé
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 111 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
n ∈ N zvoľme an ∈ Q tak, aby√
2− 1n < an <
√2− 1
n+1 (taká postupnosť bude existovaťz vety o hustote racionálnych čísel v číslach reálnych!). Z Vety o zovretí potom máme, žean →
√2 pre n → ∞. Keďže každá konvergentná postupnosť je fundamentálna, tak sme
našli takú fundamentálnu postupnosť (an)∞1 racionálnych čísel, ktorá v Q nekonverguje.
Poznámka 3.34. Ak by sme teraz išli do abstraktnejších priestorov (nie iba číselnýchmnožín, ale napr. priestorov funkcií), aj tam má pojem fundamentálnej postupnosti svojezvláštne postavenie. Totiž priestory, v ktorých každá fundamentálna postupnosť konvergu-je, sa nazývajú úplné. Opäť sa nám môže vynoriť súvis s Axiómou (H), na základe ktorejsme hovorili o množine reálnych čísel ako o úplnom poli. A to je presne to, čo odlišuje Rod ostatných číselných množín! Dá sa opäť dokázať, že C-B kritérium je ekvivalentnés axiómou (H), avšak nebudeme to robiť.
z Úlohy na premýšľanie
3 Popíšte, čo znamená, že postupnosť nespĺňa C-B kritérium.3 Pomocou C-B kritéria dokážte konvergenciu postupnosti an = 1 + 1
22 + · · ·+ 1n2 , n ∈ N.
(Použite nerovnosť 1n2 < 1
n−1 −1n , n = 2, 3, . . . ).
3.4. O Cantorovej konštrukcii reálnych číselVráťme sa na chvíľu na začiatok tohto učebného textu, konkrétne do úvodu k prvej kapi-tole, kde sme pojednávali o množine reálnych čísel. Ako sme tam spomenuli, dlhé obdobienikto nevedel, ako začleniť iracionálne čísla rigorózne do matematiky. To sa podarilo nezá-visle okolo roku 1872 Cantorovi, Heinemu, Mérayovi a Dedekindovi jednotnou myšlienkou:celá cauchyovská postupnosť je reálne číslo. Táto myšlienka je veľmi elegantná, ale aj takzostáva veľa práce – stotožniť rozličné cauchyovské racionálne postupnosti reprezentujú-ce to isté reálne číslo, definovať algebrické vzťahy a usporiadanie pre tieto nové objekty av neposlednom rade dokázať Vetu 3.32. Všetko toto bolo detailne dokončené až v roku 1930
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 112 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Landauom. Naším cieľom teraz nie je študovať detailne túto konštrukciu, iba sa zbežnezoznámiť s jej hlavnými myšlienkami, ktoré by budúci matematik mal určite poznať.
Predpokladajme, že číslo√
2 je asociované s postupnosťou {1,4, 1,41, 1,414, . . . } a číslo√3 s postupnosťou {1,7, 1,73, 1,732, . . . }. Potom číslo
√2 ·√
3 by malo byť asociované s ichsúčinmi {2,38, 2,4393, 2,449048, . . . }. Na druhej strane,
√6 je tiež asociovaná s postupnos-
ťou {2,4, 2,44, 2,449, . . . }. Takže musíme stotožniť tieto postupnosti.Dve racionálne cauchyovské postupnosti (an)∞1 a (bn)∞1 nazývame ekvivalentné, píšeme
(an)∞1 ∼ (bn)∞1 , akk limn→∞
(an − bn) = 0, t.j.
(∀ε > 0)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0) |an − bn| < ε.
Nie je ťažké overiť, že ∼ je relácia ekvivalencie na množine racionálnych cauchyovskýchpostupností, t.j.
(i) (an)∞1 ∼ (an)∞1 (reflexivita);
(ii) (an)∞1 ∼ (bn)∞1 ⇒ (bn)∞1 ∼ (an)∞1 (symetria);
(iii) (an)∞1 ∼ (bn)∞1 ∧ (bn)∞1 ∼ (cn)∞1 ⇒ (an)∞1 ∼ (cn)∞1 (tranzitivita).
Preto je rozumné rozdeliť množinu racionálnych cauchyovských postupností na triedy ek-vivalencie
(an)∞1 = {(bn)∞1 ; (bn)∞1 je racionálna cauchyovská postupnosť a (an)∞1 ∼ (bn)∞1 }.
Prvky z tried ekvivalencií sa nazývajú reprezentanti.
Definícia 3.35. Reálne čísla sú triedy ekvivalencií racionálnych cauchyovských postup-ností, t.j.
R ={
(an)∞1 ; (an)∞1 je racionálna cauchyovská postupnosť}
.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 113 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Množina Q sa teraz dá interpretovať ako podmnožina R v tom zmysle, že ak r ∈ Q,tak konštantná postupnosť {r, r, r, . . . } je racionálna cauchyovská postupnosť a môžemestotožniť racionálne číslo r s reálnym číslom {r, r, r, . . . }.
Aby sme dokázali s takto zavedenou množinou R pracovať, musíme definovať bežnéoperácie a usporiadanie. Nech a = (an)∞1 a b = (bn)∞1 sú dve reálne čísla. Potom ich súčet+ a súčin · definujeme vzťahmi
a + b = (an + bn)∞1 , a · b = (an · bn)∞1 .
Nebudeme tu teraz riešiť otázku korektnosti takéhoto zavedenia operácií (hoci je to ľahkéoveriť). Usporiadanie ≤ je potom zavedené nasledovne:
a < b ⇔ (∃ε ∈ Q, ε > 0)(∃n0 ≥ 1)(∀n ∈ N, n > n0) an ≤ bn − ε,
a ≤ b ⇔ a < b ∨ a = b.
K tejto dosť komplikovanej definícii usporiadania iba dodáme, že k definovaniu a < bnestačí uvažovať iba an < bn, pretože postupnosti {0, 0, 0, . . . } a {1, 1
2 , 13 , . . . } reprezentujú
to isté číslo 0 (a zrejme neplatí 0 < 0). Je k tomu potrebné, aby pre dostatočne veľké nboli členy an a bn oddelené. Z toho tiež vyplýva, že je to dobre definovaná relácia. Dá saukázať, že relácia ≤ je naozaj relácia usporiadania a platí pre ňu trichotómia.
K exaktnej konštrukcii množiny reálnych čísel ako tried ekvivalencií racionálnych cau-chyovských postupností by bolo ešte potrebné dokázať C-B kritérium na základe zavede-ných pojmov. To je naozaj možné urobiť, čím dostávame takú konštrukciu, v ktorej jenamiesto axiómy (H) práve C-B kritérium. Potom sa z tejto konštrukcie dokáže, že platíveta o supreme a infime a ďalšie vlastnosti reálnych čísel.
Vidíme tu, že keby sme na začiatku zvolili Cantorov spôsob zavedenia reálnych čísel,asi by mnoho študentov bolo zdesených a odradených (obzvlášť, ak ide o nastupujúcichštudentov, ktorí o matematike nemajú ani poňatia). Preto sme zvolili axiomatický prístup(niečo podobné sa deje na aj strednej škole, kde sa veľa vecí berie ako fakt), ktorý však nieje konštrukčne názorný, ale má nesporne iné prednosti, treba však jedným dychom dodať,že aj častokrát (právom) kritizované nedostatky...
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 114 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
z Úlohy na precvičenie
3 Pre dve racionálne cauchyovské postupnosti (an)∞1 a (bn)∞1 dokážte, že (an · bn)∞1 jecauchyovská postupnosť.
3.5. Eulerovo číslo a postupnosti s ním súvisiaceEulerovo číslo je jednou z najdôležitejších konštánt v matematike vôbec. Tvorí základ priro-dzených logaritmov, ako aj exponenciálnej funkcie. Ako o chvíľu ukážeme, je to iracionálnečíslo, ktoré je naviac transcendentné (nie je koreňom žiadneho polynómu s celočíselnýmikoeficientami). Pôjde však o technicky náročnejšiu časť tohto textu, a preto odporúčametrpezlivosť pri jej štúdiu.
Veta 3.36. Postupnosť (en)∞1 = (1+ 11! +
12! + · · ·+
1n! )
∞1 konverguje k iracionálnemu číslu.
Dôkaz. Konvergenciu dokážeme omocou C-B kritéria. Postupnosť (en)∞1 je zrejme ras-túca, pretože (∀n ∈ N) 1
n! > 0, teda en+1 = 1 + · · · + 1(n+1)! > 1 + · · · + 1
n! = en. Potompre m > n platí
0 < em − en =(
1 + · · ·+ 1m!
)−(
1 + · · ·+ 1n!
)=
1(n + 1)!
+ · · ·+ 1m!
=1
(n + 1)!
(1 +
1n + 2
+1
(n + 2)(n + 3)+ · · ·+ 1
(n + 2) . . .m
)<
1(n + 1)!
(1 +
1n + 1
+1
(n + 1)2+ · · ·+ 1
(n + 1)m−n−1
).
Použitím rozkladu
am−n − bm−n = (a− b)(am−n−1 + am−n−2b + · · ·+ bm−n−1)
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 115 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
pre a = 1 a b = 1n+1 dostávame
1(n + 1)!
(1 +
1n + 1
+1
(n + 1)2+ · · ·+ 1
(n + 1)m−n−1
)=
1(n + 1)!
·1− 1
(n+1)m−n
1− 1n+1
=1
(n + 1)!· (n + 1)m−n − 1
(n + 1)m−n· n + 1
n<
1(n + 1)!
· n + 1n
=1
n · n!.
Z Archimedovej vlastnosti (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N) 1n0·n0!
< ε. Potom (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈N, n > n0)(∀m ∈ N,m > n0) 0 < em − en < 1
n0·n0!< ε, teda postupnosť (en)∞1 je
fundamentálna, a teda konvergentná. Označme limn→∞
en = e.Iracionálnosť: Z vlastnosti postupnosti je e > 2. Predpokladajme, že e = p
q , kde p, q ∈ Nsú nesúdeliteľné. Nech n ∈ N je ľubovoľné a zoberme m ∈ N, m > n. Potom 0 < em−en <
1n·n! a z vety o zovretí vyplýva, že (∀n ∈ N)
0 ≤ limm→∞
(em − en) = limm→∞
em − limm→∞
en = e− en ≤ limm→∞
1n · n!
=1
n · n!.
Keďže (en)∞1 je rastúca, tak (∀n ∈ N) 0 < e− en ≤ 1n·n! .
Položme n = q, potom
0 < e− eq =p
q−(
1 +11!
+ · · ·+ 1q!
)≤ 1
q · q!.
Ak q = 1, tak 0 < e − e1 = p − (1 + 1) = p − 2 ≤ 1 ⇒ 0 < p − 2 ≤ 1 ⇒ p = 3, tedae = p
q = 3. Potom by malo platiť, že (∀n ∈ N) 3− en ≤ 1n·n! , čo však neplatí pre n = 2.
Nech teda q > 1. Potom
0 < (e− eq)q! = p(q − 1)!−(
1 +11!
+ · · ·+ 1q!
)≤ 1
q< 1
vedie opäť k sporu, lebo rozdiel p(q− 1)!−(1 + 1
1! + · · ·+ 1q!
)dvoch prirodzených čísel je
celé číslo a nie číslo z intervalu (0, 1). Z toho vyplýva, že e 6= pq , p, q ∈ N.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 116 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Číslo e z dôkazu predchádzajúcej vety nazývame Eulerovo číslo a jeho približná hodnotaje 2,718281828459045. Uvedená veta je vhodná na určenie hodnoty čísla e s ľubovoľnoupresnosťou.
Veta 3.37 (o postupnostiach súvisiacich s číslom e). Nech (an)∞1 =((1 + 1
n )n)∞1
a(bn)∞1 =
((1 + 1
n )n+1)∞1
. Potom
(i) postupnosť (an)∞1 je rastúca;
(ii) postupnosť (bn)∞1 je klesajúca;
(iii) (∀k ∈ N)(∀n ∈ N) ak < bn;
(iv) obe postupnosti sú ohraničené a (∀n ∈ N) an < 3;
(v) (∀n ∈ N) bn − an < 3n .
Dôkaz. (i) Keďže (∀n ∈ N)
an+1
an=
(1 + 1
n+1
)n+1
(1 + 1
n
)n =(n + 2)n+1
(n + 1)n+1· nn
(n + 1)n· n(n + 1)n(n + 1)
=(
n(n + 2)(n + 1)2
)n+1
· n + 1n
=n + 1
n·(
1− 1(n + 1)2
)n+1
>n + 1
n
(1 + (n + 1) · −1
(n + 1)2
)=
n + 1n
(1− 1
n + 1
)=
n + 1n· n
n + 1= 1,
kde sme použili Bernoulliho nerovnosť. Teda (∀n ∈ N) an+1an
> 1⇒ an+1 > an, čiže (an)∞1je rastúca. Analogicky sa pomocou Bernoulliho nerovnosti odvodí časť (ii).
(iii) Z vlastností mocnín s celočíselným exponentom máme, že (∀n ∈ N) an =(1 + 1
n
)n<(
1 + 1n
)n+1 = bn. Keďže (an)∞1 je rastúca a (bn)∞1 je klesajúca, tak pre k < n je ak < an <bn a pre k > n je ak < bk < bn.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 117 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
(iv) Z predchádzajúcich vlastností vyplýva, že (an)∞1 je ohraničená zdola napr. čísloma1 a zhora ľubovoľným bk (stačí nájsť také k, aby bk ≤ 3, napr. k = 6). Analogicky pre(bn)∞1 .
(v) Jednoducho (∀n ∈ N)
bn − an =(
1 +1n
)n+1
−(
1 +1n
)n=(
1 +1n
)n [1 +
1n− 1]
=(
1 +1n
)n 1n
< 3 · 1n
,
čo dokazuje poslednú vlastnosť.
Veta 3.38. Postupnosti (an)∞1 a (bn)∞1 z predchádzajúcej vety sú konvergentné a platílimn→∞
an = limn→∞
bn = e.
Dôkaz. Podľa Vety 3.37 sú obe postupnosti ohraničené. Naviac (an)∞1 je rastúca a (bn)∞1klesajúca, teda podľa Vety 3.20 a Vety 3.21 platí lim
n→∞an = sup
n∈Nan a lim
n→∞bn = inf
n∈Nbn.
Potom
limn→∞
bn = limn→∞
(1 +
1n
)n(1 +
1n
)= limn→∞
(1 +
1n
)· an = lim
n→∞an.
Teda stačí ukázať, že limn→∞
an = limn→∞
en = e.Nech n ∈ N. Potom pre k = 1, 2, . . . , n platí(n
k
)1nk
=n!
(n− k)!k!· 1nk
=n(n− 1) . . . (n− k + 1)
k!· 1nk
=1k!
n
n
n− 1n
. . .n− k + 1
n
<1k!
.
Keďže(n0
)1n0 = 1, potom podľa binomickej vety máme
an =(
1 +1n
)n= 1 +
(n
1
)1n1
+(
n
2
)1n2
+ · · ·+(
n
n
)1nn
< 1 +11!
+12!
+ · · ·+ 1n!
= en.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 118 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Odtiaľ podľa Vety 3.13 je limn→∞
an ≤ limn→∞
en = e.Nech n ∈ N je ľubovoľné, ale pevné. Potom pre m = 1, 2, . . . , n platí
an = 1 +(
n
1
)1n1
+ · · ·+(
n
n
)1nn≥ 1 +
(n
1
)1n1
+ · · ·+(
n
m
)1
nm= 1 +
m∑k=1
(n
k
)1nk
.
Z Vety 3.13 a vety o limite súčtu vyplýva, že (∀m ∈ N)
limn→∞
an ≥ 1 +m∑k=1
limn→∞
(n
k
)1nk
= 1 +m∑k=1
limn→∞
(1k!
n
n
n− 1n
. . .n− k + 1
n
)
= 1 +m∑k=1
1k!
=m∑k=0
1k!
= em.
Z Dôsledku 3.14 potom máme, že limm→∞
( limn→∞
an) ≥ limm→∞
em = e, čiže limn→∞
an ≥ e. Spoje-ním oboch nerovností dostávame lim
n→∞an = e.
Z uvedeného vyplýva, že Eulerovo číslo e je jediné také číslo, pre ktoré platí (∀n ∈N) an < e < bn. Tiež je zaujímavé si všimnúť s akou limitou to vlastne máme do činenia:vnútro konverguje k 1 a exponent má limitu +∞, teda výraz typu 1∞. Podľa dokázanejvety tento výraz nie je 1, ako by sa mohlo zdať z axiomatiky (tam sme však definovali ibavýraz 1α pre α ∈ R)!
Veta 3.39. Nech (∀n ∈ N) an > 0 a limn→∞
an = +∞. Potom limn→∞
(1 + 1
an
)an
= e.
Dôkaz. Keďže (∀n ∈ N) banc ≤ an < banc+ 1, tak(1 +
1banc+ 1
)<
(1 +
1an
)≤(
1 +1banc
),
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 119 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
z čoho z vlastností mocnín s reálnym exponentom máme(1 +
1banc+ 1
)banc
<
(1 +
1an
)an
≤(
1 +1banc
)banc+1
.
Limitovaním týchto nerovností pre n→∞ dostávame požadovaný výsledok, pretože limityoboch krajných výrazov sú rovné e (zdôvodnite!). Preto z Vety o zovretí máme výsledok.
Dôsledok 3.40. (∀x ∈ R) limn→∞
(1 + x
n
)n = ex
Tento nenápadný dôsledok je veľmi zaujímavý, pretože zavádza exponenciálnu funkciuex ako limitu postupnosti
(1 + x
n
)n. Určite by stálo za pozornosť zdôvodniť si, že ide naozajo tú istú exponenciálnu funkciu, ktorú sme zaviedli v Kapitole 2 z axiomatiky reálnych čísel.
z Úlohy na precvičenie
3 Určte pre aké hodnoty n sa líši výraz(1 + 1
n
)n od čísla e o menej ako 0,001.3 Dokážte nerovnosť (n
e
)< n! < e
(n
2
)n.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 120 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
4. Rady reálnych číselMatematici sa potkýnali o nekonečné rady od antiky. Otázka, ako môže byť súčet nekonečneveľa kladných výrazov konečným číslom, bola nielen hlbokou filozofickou výzvou, ale ajdôležitým článkom v pochopení pojmu nekonečna. Nekonečné rady boli použité v priebehurozvoja kalkulu a je ťažké vystopovať ich presnú historickú cestu. Pravdepodobne prvýsúčet nekonečného radu objavil Archimedes pomocou metódy infinitezimálneho kalkulu,ktorá sa vhodne uplatňuje aj dnes. Ide o metódu exhaustácie (vyprázdňovania), pomocouktorej bol schopný určiť obsah pod grafom paraboly pomocou sumovania nekonečnéhoradu, a tak dal dostatočne presnú aproximáciu čísla π.
V Indii sa v 14. storočí rozvinula myšlienka rozvoja funkcie do nekonečného (funk-cionálneho) radu. Tamojší matematik Madhava je považovaný za predchodcu modernejkoncepcie mocninových radov, Taylorových radov, MacLaurinových radov, racionálnychaproximácií nekonečných radov, ako aj nekonečných reťazových zlomkov. Zaslúžil sa o štú-dium konvergenčného kritéria nekonečných radov a vytvoril testy konvergencie. Objavilmnožstvo nekonečných radov, vrátane rozvoja trigonometrických funkcií do Taylorovýchradov. Jeho študenti a nasledovníci ďalej rozširovali jeho dielo o ďalšie rozvoje do radov aaproximácie až do 16. storočia v škole Kerala.
V 17. storočí v Európe James Gregory (1638–1675) publikoval niekoľko MacLauri-nových radov. V roku 1715 vytvoril Brook Taylor všeobecnú metódu pre konštrukciuTaylorových radov pre všetky funkcie, pre ktoré sa to dá. Leonhard Euler zase v 18.storočí rozvinul teóriu hypergeometrických radov a q-radov. Euler uvažoval rad
1 +αβ
1 · γx +
α(α + 1)β(β + 1)1 · 2 · γ(γ + 1)
x2 + · · · ,
o ktorom Gauss publikoval príspevok v roku 1812. Obsahuje jednoduchšie kritérium kon-vergencie a otázky zvyškov a oboru konvergencie.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 121 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Cauchy trval na striktných kritériách konvergencie: ukázal, že ak dva rady sú konver-gentné, ich súčin nemusí byť konvergentný, a tak sa začína objavovanie efektívnych kritériíkonvergencie. Pojmy konvergencie a divergencie boli však zavedené dávno predtým v ro-ku 1668 už spomínaným Gregorym. Leonhard Euler and Gauss dokázali rozličné kritériá,Colin MacLaurin predpokladal niektoré Cauchyho objavy.
Henrik Abel v roku 1826 vo svojom príspevku o binomických radoch
1 +m
1x +
m(m− 1)2!
x2 + · · ·
poopravil niektoré Caychyho závery a podal úplnú sumáciu radu pre komplexné hodno-ty parametrov m a x. Poukázal na potrebu uvažovať spojitosť v otázkach konvergencienekonečných (funkcionálnych) radov.
Cauchyho metódy neviedli k všeobecným, ale skôr špeciálnym kritériám. To isté mô-žeme povedať o Raabem (1832), De Morganovi (z roku 1842), ktorého neplatnosť lo-garitmického testu na istých oblastiach ukázali DuBois-Reymond (1873) a Pringsheim(1889). Ďalšie špeciálne kritériá vytvoril Bertrand (1842), Bonnet (1843), Malmsten(1846, 1847, to druhé bez integrovania), Stokes (1847), Paucker (1852), Čebyšev (1852)a Arndt (1853).
Všeobecné kritériá začínajú Kummerom (1835) a boli študované Eisensteinom (1847),Weierstrassom v jeho rozličných príspevkoch k teórii funkcií, Dinim (1867), DuBois-Reymondom (1873) a mnohými ďalšími.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 122 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
4.1. Základné pojmyV celej tejto kapitole budeme používať poznatky z predchádzajúcej kapitoly o limitáchpostupností. Uvažujme postupnosť reálnych čísel (an)∞1 . Tejto postupnosti priradíme po-stupnosť (sn)∞1 nasledovne:
s1 = a1,
s2 = a1 + a2 = s1 + a2,
...sn = a1 + · · ·+ an = sn−1 + an.
Symbol a1+a2+· · ·+an+. . . , alebo skrátene∞∑n=1
an, budeme nazývať nekonečný číselný rad
alebo kratšie rad. Prvok an nazývame n-tý člen radu∞∑n=1
an. Postupnosť (sn)∞1 nazývame
postupnosť čiastočných súčtov (skrátene p.č.s.) radu∞∑n=1
an a prvok sn n-tý čiastočný súčet
radu∞∑n=1
an.
Nekonečný rad vyzerá formálne ako súčet nekonečne veľa sčítancov, ale operácia súčtuje definovaná len pre konečne veľa sčítancov. Čo teda máme rozumieť pod súčtom tohtoradu? Pozrime sa na jeden príklad z histórie: Guido Grandi (1671–1742) uvažoval rad
∞∑n=0
(−1)n = 1 + (−1) + 1 + (−1) + . . . ,
ktorý dnes nazývame Grandiho radom. Grandi uvažoval nasledujúce preuzátvorkovanietohto radu, čím dostal rovnosti
1 + ((−1) + 1) + ((−1) + 1) + . . . = 1 + 0 + 0 + · · · = 1,(1 + (−1)) + (1 + (−1)) + . . . = 0 + 0 + · · · = 0.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 123 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Grandiho výpočet bol teda nasledujúci
0 = 0 + 0 + 0 + 0 + · · · = (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + . . .
= 1− (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + · · · = 1− 0− 0− 0− . . .
= 1,
čo si Grandi (ako rímsko-katolícky kňaz) vyložil ako symbol stvorenia sveta Bohom z ničoho(„ex nihilo“). To vyvolalo búrlivú polemiku, ktorej sa popri Grandim zúčastnil Leibniz,Nicolaus Bernoulli a ďalší. V týchto diskusiách sa upresňovali pojmy súčet nekonečnéhočíselného radu, konvergencia a divergencia týchto radov. Dnes vieme, že Grandi sa dopustildvoch omylov: skúmaný rad nemá konečný súčet (je divergentný) a okrem toho pri svojomvýpočte použil asociatívny zákon pre sčítanie, ktorý vo všeobecnosti pre nekonečne veľasčítancov neplatí. Odpoveď na otázku súčtu radu dáva nasledujúca definícia.
Definícia 4.1. Súčtom radu∞∑n=1
an nazývame konečnú limitu postupnosti jeho čiastočných
súčtov a zapisujeme∞∑n=1
an = limn→∞
sn = s < +∞. Rad sa nazýva konvergentný, akk
konverguje postupnosť jeho čiastočných súčtov. Rad, ktorý nie je konvergentný, nazývamedivergentný.
Ako sme už v úvode spomenuli, pojmy konvergencie a divergencie poprvýkrát použilv súvislosti so sčítaním číselných radov James Gregory. Z uvedenej definície vyplýva,že o súčte radu môžeme hovoriť len pri konvergentných radoch! V prípade divergentnéhoradu môžeme rozlíšiť tri prípady divergencie:
(i) ak limn→∞
sn = +∞, hovoríme, že rad diverguje do +∞;
(ii) ak limn→∞
sn = −∞, hovoríme, že rad diverguje do −∞;
(iii) ak limn→∞
sn neexistuje, hovoríme, že rad osciluje.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 124 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Ak sa teda vrátime ku Grandiho radu, ten je divergentný (osciluje), pretože mámes1 = 1, s2 = 0, s3 = 1, atď., z čoho máme, že vybraná postupnosť (s2n)∞1 z postupnosti(sn)∞1 konverguje k 0, ale vybraná postupnosť (s2n+1)∞1 konverguje k 1. Zaujímavé je eštespomenúť, že Euler a Fourier používali pre súčet s Grandiho radu hodnotu 1
2 , ku ktorej sadá dopracovať (nesprávnou!) úvahou25
s = 1 + (−1) + 1 + (−1) + · · · = 1− [1 + (−1) + 1 + . . . ] = 1− s ⇒ s =12.
Poznámka 4.2. Priamo z definície vyplýva, že ak p ∈ N, tak rady∞∑n=1
an a∞∑
n=p+1an buď
oba konvergujú alebo oba divergujú. Inými slovami, na konvergenciu (divergenciu) radunemá vplyv chovanie sa konečného počtu jej členov, čo plynie z limity postupnosti.
Položme si otázku, aké vlastnosti musí mať rad, aby konvergoval, t.j. aby existovalakonečná limita postupnosti čiastočných súčtov. Z definície je zrejmý úzky súvis medzi ne-konečnými radmi a postupnosťami, ktorý sa niekde ešte zvýrazňuje tým, že rad sa definujeako dvojica postupností ((an)∞1 , (sn)∞1 ). Teda vety o konvergencii radov sa dajú previesťna vety o konvergencii postupností a obrátene. Uplatnením tohto poznatku máme priamojednu nutnú a postačujúcu podmienku pre konvergenciu radov.
Veta 4.3 (Cauchyho-Bolzanovo kritérium konvergencie radov). Rad∞∑n=1
an kon-
verguje práve vtedy, keď p.č.s. (sn)∞1 je fundamentálna, t.j.
(∀ε > 0)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0)(∀m ∈ N) |sn+m − sn| = |an+1 + · · ·+ an+m| < ε.
25Leibniz k tomu poznamenal, že ak niekde ukončíme proces sčítania tohto radu (t.j. zoberieme nejakýčiastočný súčet), dostaneme buď 0 alebo 1 s rovnakou „pravdepodobnosťou“, takže najpravdepodobnejšiahodnota je priemer čísel 0 a 1, t.j. 1
2. Leibniz k tomu dodáva, že „ide skôr o metafyzický ako matematický
dôkaz“.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 125 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Ako triviálny dôsledok tohto tvrdenia (pre m = 1) dostávame, že ak rad∞∑n=1
an konver-
guje, potom(∀ε > 0)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0) |sn+1 − sn| = |an+1| < ε,
teda dostávame poznatok známy už Pietrovi Mengolimu v roku 1650.
Veta 4.4 (nutná podmienka konvergencie radu). Ak rad∞∑n=1
an konverguje, potom
limn→∞
an = 0.
Alternatívne sa o platnosti uvedenej vety môžeme presvedčiť použitím vzťahu sn+1 =sn + an+1 a prejdením k limite pre n→∞.
Poznámka 4.5. Je treba upozorniť, že podmienka nulovej limity postupnosti členov radunie je postačujúca k jeho konvergencii, ako sa o tom dá jednoducho presvedčiť v prípa-de harmonického radu. Treba si to zapamätať, pretože v opačnom prípade to máva (preštudentov) smutné následky.
z Úlohy na premýšľanie
3 Určte n-tý čiastočný súčet radu∞∑n=1
an a rozhodnite, či tento rad konverguje, kde
an =n−√
n2 − 1√n(n + 1)
, n ∈ N.
3 Nájdite príklad konvergentného radu∞∑n=1
an, aby limn→∞
nan neexistovala.
3 Konverguje rad∞∑n=1
an, ak
(i) pre každé p ∈ N je limn→∞
(an+1 + · · ·+ an+p) = 0?(ii) pre každé n ∈ N je lim
p→∞(an+1 + · · ·+ an+p) = 0?
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 126 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
4.2. Operácie s číselnými radmiAko sme uviedli v prípade Grandiho radu s nekonečnými súčtami sa nedá narábať akos konečnými. Vyvstáva teda otázka, kedy platí „distributívny zákon” pre nekonečne veľasčítancov? Odpoveď je prekvapivo jednoduchá: pre konvergentné rady!
Veta 4.6. Nech∞∑n=1
an = a a∞∑n=1
bn = b. Potom
(i) rad∞∑n=1
(an + bn) konverguje a platí∞∑n=1
(an + bn) = a + b;
(ii) rad∞∑n=1
k · an konverguje pre každé k ∈ R a platí∞∑n=1
k · an = k · a. Naviac, ak rad∞∑n=1
k · an konverguje, kde k ∈ R \ {0}, potom konverguje aj rad∞∑n=1
an.
Dôkaz. (i) Označme (An)∞1 , (Bn)∞1 a (Cn)∞1 p.č.s. radov∞∑n=1
an,∞∑n=1
bn a∞∑n=1
(an + bn).
Potom (∀n ∈ N)
Cn = (a1+b1)+(a2+b2)+· · ·+(an+bn) = (a1+a2+· · ·+an)+(b1+b2+· · ·+bn) = An+Bn,
odkiaľ plynie, že limn→∞
Cn = limn→∞
(An + Bn) = a + b, t.j.∞∑n=1
(an + bn) = a + b.
(ii) Nech (An)∞1 a (Kn)∞1 sú p.č.s. radov∞∑n=1
an a∞∑n=1
kan. Potom (∀n ∈ N)
Kn = ka1 + ka2 + · · ·+ kan = k(a1 + a2 + · · ·+ an) = kAn,
odkiaľ limn→∞
Kn = ka, t.j.∞∑n=1
kan = ka. Ak naopak konverguje rad∞∑n=1
kan a k 6= 0, podľa
vyššie dokázaného konverguje aj rad∞∑n=1
1k (kan) =
∞∑n=1
an.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 127 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Tvrdenie (i) môžeme jednoducho matematickou indukciou rozšíriť na ľubovoľný ko-nečný počet sčítancov. Triviálne platí uvedená veta aj pre rozdiel. Pozor, z konvergencie
radu∞∑n=1
(an + bn) ale neplynie konvergencia radov∞∑n=1
an a∞∑n=1
bn, ako sa o tom môžeme
presvedčiť na príklade radov∞∑n=1
(−1)n−1 a∞∑n=1
(−1)n.
Z príkladu Grandiho radu sa môžeme poučiť ešte o tom, že medzi členy nekonečné-ho číselného radu nemôžeme ľubovoľne umiestniť zátvorky, t.j. neplatí asociatívny zákonvo všeobecnosti. Iba v prípade konvergentného radu môžeme združovať členy ľubovoľnebez toho, aby to ovplyvnilo súčet radu. Táto skutočnosť je sformulovaná v nasledujúcejvete, ktorú môžeme pokojne nazvať „asociatívnym zákonom” pre konvergentné rady.
Veta 4.7. Nech∞∑n=1
an je konvergentný rad a (kn)∞1 je rastúca postupnosť prirodzených
čísel. Položme
b1 = a1 + a2 + · · ·+ ak1 ,
b2 = ak1+1 + · · ·+ ak2 ,
...bn = akn−1+1 + · · ·+ akn
, n ∈ N.
Potom rad∞∑n=1
bn konverguje a platí∞∑n=1
an =∞∑n=1
bn.
Dôkaz. Ak (An)∞1 a (Bn)∞1 sú p.č.s. radu∞∑n=1
an a∞∑n=1
bn, potom (∀n ∈ N)
Bn = b1 + · · ·+ bn = a1 + · · ·+ akn= Akn
,
t.j. (Bn)∞1 je vybraná postupnosť z konvergentnej postupnosti (An)∞1 , a teda aj (Bn)∞1konverguje.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 128 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Poznamenajme, že obrátená veta neplatí, napr. pre Grandiho rad a postupnosť kn = 2n,
n ∈ N je bn = 1 pre každé n ∈ N, teda rad∞∑n=1
bn je divergentný. Analógiu komutatívneho
zákona (o prerovnaní členov) uvedieme neskôr, ale prezradíme, že ani pre konvergentnérady nemusí platiť. K jeho platnosti budeme potrebovať silnejšiu vlastnosť, tzv. absolútnukonvergenciu radu.
z Úlohy na premýšľanie
3 Riešte v R: log x + log√
x + log 4√
x + log 8√
x + · · · = 2.
3 Ak∞∑n=1
an konverguje a∞∑n=1
bn diverguje do +∞, čo sa dá povedať o rade∞∑n=1
(an + bn)?
3 Ak∞∑n=1
an konverguje a∞∑n=1
bn osciluje, čo sa dá povedať o rade∞∑n=1
(an + bn)?
3 Platí nasledujúce tvrdenie: Ak rady∞∑n=1
an a∞∑n=1
bn konvergujú, tak∞∑n=1
anbn konverguje
a platí∞∑n=1
anbn =∞∑n=1
an ·∞∑n=1
bn?
4.3. Rady s nezápornými členmiTeraz sa budeme zaoberať radmi, ktoré s výnimkou konečného počtu členov majú rovnakéznamienko. Bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať, že všetky členy skúmanýchradov sú nezáporné, čo vyplýva z definície súčtu radu a z toho, že existencia limity postup-nosti nezávisí od toho, či zmeníme konečný počet členov.
Nech teda∞∑n=1
an je rad s nezápornými členmi, t.j. (∀n ∈ N) an ≥ 0. V takomto
prípade je postupnosť (sn)∞1 jeho čiastočných súčtov neklesajúca, pretože (∀n ∈ N) sn+1 =sn+an ≥ sn. Ak je naviac táto postupnosť zhora ohraničená, tak podľa Vety o konvergenciimonotónnej ohraničenej postupnosti existuje jej limita, teda rad s nezápornými členmi jekonvergentný alebo divergentný do +∞, nikdy ale nemôže oscilovať!
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 129 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Tvrdenie 4.8. Rad s nezápornými členmi je konvergentný práve vtedy, keď postupnosťjeho čiastočných súčtov je ohraničená.
Nájsť súčet radu je vo všeobecnosti veľmi komplikovaná vec a už aj pri jednoduchýchradoch to môže predstavovať problém pri vyjadrení postupnosti čiastočných súčtov. Pre-to sa častokrát uspokojíme len s vedomosťou, či daný rad konverguje alebo diverguje.Cauchyho-Bolzanovo kritérium, významné svojou univerzálnosťou, spôsobuje obvykle tak-tiež určité výpočtové ťažkosti pri praktickom použití na skúmanie konvergencie danéhoradu. Preto v teórii nekonečných číselných radov existuje viacero kritérií konvergencie (di-vergencie). Na rozdiel od Cauchyho-Bolzanovho kritéria dávajú iba postačujúcu podmienkupre konvergenciu radu, avšak sú jednoduché a vždy je možné použiť to, ktoré je výhodnépri skúmaní konkrétneho radu. Uvedieme niekoľko z nich, ktoré nám poslúžia pri počítanípríkladov.
Prvá skupina kritérií je známa pod spoločným názvom porovnávacie kritériá. Ich spo-ločným znakom je to, že skúmaný rad určitým spôsobom porovnáme s vhodným známymradom a na základe tohto porovnania vyslovíme záver o konvergencii alebo divergenciiskúmaného radu.
Veta 4.9 (porovnávacie kritérium). Nech∞∑n=1
an a∞∑n=1
bn sú rady s nezápornými členmi
a an ≤ bn pre skoro všetky n ∈ N. Potom
(i) ak rad∞∑n=1
bn konverguje, konverguje aj rad∞∑n=1
an;
(ii) ak diverguje rad∞∑n=1
an, tak diverguje rad∞∑n=1
bn.
Dôkaz. Keďže vynechanie konečného počtu členov radu nerozhoduje o konvergencii,
môžeme predpokladať, že (∀n ∈ N) an ≤ bn. Nech (An)∞1 je p.č.s. radu∞∑n=1
an a (Bn)∞1 je
p.č.s. radu∞∑n=1
bn. Zrejme potom platí (∀n ∈ N) An ≤ Bn.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 130 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
(i) Ak rad∞∑n=1
bn konverguje, potom konverguje aj postupnosť (Bn)∞1 , a teda je zhora
ohraničená, t.j. (∃H ∈ R)(∀n ∈ N) Bn ≤ H. Potom (∀n ∈ N) An ≤ H, teda (An)∞1 je zhoraohraničená. Keďže je neklesajúca, tak podľa Vety o konvergencii monotónnej ohraničenej
postupnosti je konvergentná, čo znamená, že rad∞∑n=1
an je konvergentný.
(ii) Ak diverguje rad∞∑n=1
an, potom diverguje aj rad∞∑n=1
bn, pretože ak by konvergoval,
potom by podľa predchádzajúcej časti konvergoval aj rad∞∑n=1
an, čo je spor.
Poznámka 4.10. Rad∞∑n=1
bn z predchádzajúcej vety sa zvykne nazývať majorantný rad
k radu∞∑n=1
an a rad∞∑n=1
an minorantný rad k radu∞∑n=1
bn. Veta teda hovorí, že rad s
nezápornými členmi konverguje, ak k nemu dokážeme nájsť majorantný konvergentný rada diverguje, ak k nemu nájdeme minorantný divergentný rad.
Veta 4.11 (limitné porovnávacie kritérium). Nech∞∑n=1
an a∞∑n=1
bn sú rady s nezá-
pornými členmi a existuje vlastná alebo nevlastná limita
limn→∞
anbn
= L.
Potom
(i) ak L < +∞ a∞∑n=1
bn je konvergentný rad, tak konverguje aj rad∞∑n=1
an;
(ii) ak L > 0 a diverguje rad∞∑n=1
bn, potom diverguje aj rad∞∑n=1
an.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 131 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Dôkaz. (i) Nech L < +∞ a∞∑n=1
bn konverguje. Potom z definície limity
(∀ε > 0)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0) L− ε <anbn
< L + ε, (4.1)
odkiaľ an < (L + ε)bn pre skoro všetky n ∈ N. Keďže podľa Vety 4.6 (ii) rad∞∑n=1
(L + ε)bn
konverguje, podľa porovnávacieho kritéria konverguje aj rad∞∑n=1
an.
(ii) Nech rad∞∑n=1
bn diverguje. Ak 0 < L < +∞, potom z definície limity (4.1) pre
ε 6= L platí (L− ε)bn < an pre skoro všetky n ∈ N. Z divergencie radu∞∑n=1
(L− ε)bn potom
podľa porovnávacieho kritéria vyplýva divergencia radu∞∑n=1
an.
Ak L = +∞, podľa definície nevlastnej limity (∀K > 0)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0) an
bn> K,
t.j. zo vzťahu an > Kbn pre skoro všetky n ∈ N vyplýva divergencia radu∞∑n=1
an.
Nasledujúca skupina kritérií vhodne využíva porovnanie skúmaného radu s geometric-kým radom (Cauchyho a d’Alembertovo kritérium). Porovnaním s inými radmi môžemedostať iné kritériá, z ktorých spomenieme len jedno často používané pri počítaní (tzv.Raabeho kritérium).
Veta 4.12 (Cauchyho odmocninné kritérium). Nech∞∑n=1
an je rad s nezápornými
členmi.
(i) Ak (∀n ∈ N) n√
an ≤ q < 1, tak rad∞∑n=1
an konverguje. Ak pre nekonečne veľa čísel
n ∈ N platí nerovnosť n√
an ≥ 1, rad∞∑n=1
an diverguje.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 132 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
(ii) Ak existujelimn→∞
n√
an = q, q ∈ R∗,
tak pre q < 1 je rad∞∑n=1
an konvergentný a pre q > 1 je rad∞∑n=1
an divergentný.
Dôkaz. Dôkaz prevedieme iba pre prípad (ii), prípad (i) je analogický.Ak q < 1, zoberme ε > 0 tak, aby q + ε < 1. Potom
(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N, n ≥ n0) n√
an < q + ε < 1,
t.j. an < (q+ε)n pre skoro všetky n ∈ N. Keďže rad∞∑n=1
(q+ε)n je konvergentný geometrický
rad, z porovnávacieho kritéria aj rad∞∑n=1
an konverguje.
Ak q > 1, tak n√
an ≥ 1 pre skoro všetky n ∈ N, teda an ≥ 1, z čoho limn→∞
an ≥ 1.
Z nutnej podmienky konvergencie radu potom plynie, že rad∞∑n=1
an diverguje.
Veta 4.13 (d’Alembertovo podielové kritérium). Nech∞∑n=1
an je rad s kladnými
členmi.
(i) Ak (∀n ∈ N) an+1an≤ q < 1, tak rad
∞∑n=1
an konverguje. Ak (∀n ∈ N) an+1an≥ 1, tak
rad∞∑n=1
an diverguje.
(ii) Ak existujelimn→∞
an+1
an= q, q ∈ R∗,
tak pre q < 1 je rad∞∑n=1
an konvergentný a pre q > 1 je rad∞∑n=1
an divergentný.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 133 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Dôkaz. Opäť uvedieme iba dôkaz limitnej časti, dôkaz nelimitnej časti je analogický.Ak q < 1, zoberme ε > 0 tak, aby q + ε < 1. Potom
(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N, n ≥ n0) q − ε <an+1
an< q + ε,
t.j. (q − ε)an < an+1 < (q + ε)an pre skoro všetky n ∈ N. Indukciou dostávame, že
(∀k ∈ N) an0+k ≤ (q + ε)kan0 . Keďže rad∞∑n=1
(q + ε)n je konvergentný geometrický rad,
z porovnávacieho kritéria konverguje aj rad∞∑
n=n0+1an. Keďže konečný počet členov neroz-
hoduje o konvergencii radu, je celý rad∞∑n=1
an konvergentný.
Ak q > 1, tak an+1an≥ 1 pre skoro všetky n ∈ N, t.j. postupnosť (an)∞1 je neklesajúca
pre skoro všetky n ∈ N, a preto limn→∞
an 6= 0, teda rad∞∑n=1
an diverguje.
Poznámka 4.14. Obe predchádzajúce vety mali nelimitnú a limitnú časť, kde v limitnejčasti nebola zahrnutá možnosť q = 1, pretože v takom prípade o konvergencii radu ne-
vieme rozhodnúť – pre oba rady∞∑n=1
1n a
∞∑n=1
1n2 podľa limitných verzií odmocninného a
podielového kritéria je q = 1, ale prvý je divergentný a druhý konvergentný. D’Alembertovokritérium sa obvykle ľahšie uplatňuje pri počítaní príkladov, pretože sa ľahšie počíta podielako n-tá odmocnina. Na druhej strane je však Cauchyho kritérium silnejšie v tom zmysle,že ak d’Alembertovo kritérium klasifikuje rad za konvergentný, potom určite aj Cauchyhokritérium ukazuje na konvergenciu radu. Ak sa však podľa Cauchyho kritéria nedá ur-čiť charakter radu, nedá sa to urobiť ani d’Alembertovým kritériom. Preto uvedieme eštejedno vhodné kritérium.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 134 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Veta 4.15 (Raabeho kritérium). Nech∞∑n=1
an je rad s kladnými členmi.
(i) Ak (∃r ∈ R, r > 1) také, že n(1− an+1
an
)≥ r pre skoro všetky n ∈ N, tak rad
∞∑n=1
an
konverguje.
(ii) Ak existuje
limn→∞
n
(1− an+1
an
)= q, q ∈ R∗,
tak pre q > 1 je rad∞∑n=1
an konvergentný a pre q < 1 je rad∞∑n=1
an divergentný.
Dôkaz tohto kritéria nebudeme robiť, ani ho vyžadovať. Je zaujímavé si všimnúť, že žiad-ne z uvedených kritérií neumožňuje rozhodnúť o konvergencii harmonického radu. Dá saukázať, že Raabeho kritérium je silnejšie ako podielové v tom zmysle, že ak sa dá rozhodnúťo konvergencii radu d’Alembertovým kritériom, tak aj Raabeho. Takto sa dá postupovaťďalej a odvodzovať silnejšie kritériá, avšak každé silnejšie kritérium býva zložitejšie na for-muláciu a používanie. Existuje mnoho ďalších kritérií na overenie konvergencie radov s ne-zápornými členmi (po prebratí potrebného aparátu zavedieme ešte jedno kritérium, ktoréje inej povahy ako všetky doterajšie, pretože spája nekonečné rady s integrálom). Žiadnez nich ale nie je univerzálne, t.j. nie je možné pomocou neho rozhodnúť o konvergencii (di-vergencii) všetkých radov. Jediným takýmto kritériom je iba Cauchyho-Bolzanovo, ktorésa ale v praktických výpočtoch ťažko aplikuje.
Na záver uvedieme ešte jedno zaujímavé kritérium, ktoré dáva aj nutnú podmienku kon-vergencie radu a to tak, že namiesto pôvodného radu sleduje správanie sa „kondenzovanéhoradu“.
Veta 4.16 (Cauchyho kondenzačné kritérium). Nech (an)∞1 je nerastúca postupnosť
nezáporných čísel. Rad∞∑n=1
an konverguje práve vtedy, keď konverguje rad∞∑n=0
2na2n .
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 135 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Dôkaz. Nech
An = a1 + a2 + · · ·+ an,
Bn = a1 + 2a2 + 4a4 + · · ·+ 2na2n ,
sú čiastočné súčty radov∞∑n=1
an a∞∑n=0
2na2n . Keďže oba rady sú s nezápornými členmi, tak
(An)∞1 a (Bn)∞0 sú neklesajúce.
Nutná podmienka: nech rad∞∑n=0
2na2n konverguje, t.j. postupnosť (Bn)∞0 je zhora ohra-
ničená. Potom z nerastúcosti postupnosti (An)∞1 máme, že (∀n ∈ N)
A2n+1 = a1 + a2 + a3 + · · ·+ a2n + · · ·+ a2n+1
= a1 + (a2 + a3) + (a4 + a5 + a6 + a7) + · · ·+ (a2n + · · ·+ a2n+1)≤ a1 + (a2 + a2) + (a4 + a4 + a4 + a4) + · · ·+ (a2n + · · ·+ a2n) = Bn,
t.j. (An)∞1 je zhora ohraničená, a teda konvergentná, čiže rad∞∑n=1
an konverguje.
Postačujúca podmienka: ak rad∞∑n=1
an konverguje, tak (∀n ∈ N)
A2n = a1 + a2 + a3 + · · ·+ a2n
= a1 + a2 + (a3 + a4) + (a5 + a6 + a7 + a8) + · · ·+ (a2n−1+1 + · · ·+ a2n)≥ a1 + a2 + (a4 + a4) + (a8 + a8 + a8 + a8) + · · ·+ (a2n + · · ·+ a2n)
≥ 12a1 + a2 + 2a4 + 4a8 + · · ·+ 2n−1a2n
=12
(a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + · · ·+ 2na2n) =12Bn,
t.j. (Bn)∞0 je zhora ohraničená, a teda konvergentná, čiže rad∞∑n=0
2na2n konverguje.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 136 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Môžeme si všimnúť, že Cauchyho kondenzačné kritérium transformuje rad na rad, ktorý
konverguje (alebo diverguje) rýchlejšie ako pôvodný rad. Napríklad, Riemannov rad∞∑n=1
1np ,
p > 0, je konvergentný práve vtedy, keď konverguje geometrický rad∞∑n=0
2n1
(2n)p=
∞∑n=0
(21−p)n,
ktorý konverguje pre |q| < 1 ⇔ 21−p < 1 ⇔ p > 1.Z Cauchyho kondenzačného kritéria tiež plynie, že nutná podmienka konvergencie ra-
du sa pre isté konvergentné rady dá „vylepšiť“, t.j. nielenže limn→∞
an = 0, ale dokoncalimn→∞
nan = 0.
Veta 4.17 (Olivierova). Nech (an)∞1 je nerastúca postupnosť nezáporných čísel. Ak rad∞∑n=1
an konverguje, tak limn→∞
nan = 0.
Dôkaz. Podľa Cauchyho kondenzačného kritéria konverguje rad∞∑n=0
2na2n , t.j. limn→∞
2na2n =
0. Pre ľubovoľné pevné n ∈ N zoberme m ∈ N také, že 2n ≤ m ≤ 2n+1. Potom
0 ≤ mam ≤ ma2n ≤ 2n+1a2n = 2 · 2na2n → 0
pre n→∞, čo podľa vety o zovretí znamená, že limm→∞
mam = 0.
z Úlohy na premýšľanie
3 Nájdite príklad radu s kladnými členmi, o konvergencii ktorého je možné rozhodnúťCauchyho kritériom, ale nejde rozhodnúť d’Alembertovým (a naopak).3 Nájdite príklad radu s kladnými členmi, o konvergencii ktorého je možné rozhodnúťRaabeho kritériom, ale nejde rozhodnúť Cauchyho (a naopak).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 137 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
4.4. Absolútne a relatívne konvergentné rady
Vybavili sme už číselné rady∞∑n=1
an, ktoré majú niekoľko kladných a niekoľko záporných
členov. Ak je záporných členov iba konečný počet, narábame s radom pri zisťovaní jehokonvergencie ako by mal len kladné členy (lebo konečný počet členov nemá vplyv na kon-vergenciu radu). Ak sú všetky členy radu záporné, môžeme zisťovať konvergenciu kladného
radu∞∑n=1
(−an) a takto môžeme vybaviť aj prípad konečného počtu kladných členov. Pre-
to zostáva jediný podstatný prípad, t.j. rad∞∑n=1
an má nekonečne veľa kladných členov a
nekonečne veľa členov záporných.Zaveďme pre a ∈ R označenie
a+ = max{a, 0}, a− = max{−a, 0}.
Zrejme a+ ≥ 0, a− ≥ 0, a = a+ − a−, |a| = a+ + a−. Ak teda∞∑n=1
an je nekonečný
rad, môžeme uvažovať dva nekonečné rady s nezápornými členmi∞∑n=1
a+n a
∞∑n=1
a−n . Z Ve-
ty 4.6 potom vyplýva, že ak oba tieto rady konvergujú, potom konvergujú aj rady∞∑n=1
an a∞∑n=1|an|. Neplatí to však naopak, t.j. z konvergencie
∞∑n=1
an nevyplýva konvergencia radov∞∑n=1
a+n a
∞∑n=1
a−n ! Ak však konverguje rad∞∑n=1|an| =
∞∑n=1
(a+n + a−n ), potom postupnosť jeho
čiastočných súčtov je ohraničená, takže sú ohraničené aj postupnosti čiastočných súčtov
radov∞∑n=1
a+n a
∞∑n=1
a−n , a teda oba tieto rady sú konvergentné (pozri Tvrdenie 4.8). Z toho
vyplýva, že aj rad∞∑n=1
an je konvergentný. Takto sme dostali nasledujúci výsledok.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 138 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Tvrdenie 4.18. Rady∞∑n=1
a+n a
∞∑n=1
a−n konvergujú práve vtedy, keď konverguje rad∞∑n=1|an|.
Toto tvrdenie dáva podnet k definícii nového významného pojmu tzv. absolútne kon-vergentného radu.
Definícia 4.19. Hovoríme, že rad∞∑n=1
an absolútne konverguje, akk konverguje rad∞∑n=1|an|.
Všimnime si, že súčet radu∞∑n=1|an| vždy existuje, pretože ide o rad s nezápornými
členmi, ale môže byť aj +∞ (teda divergovať do +∞). Vzájomný vzťah medzi pojmamikonvergencie a absolútnej konvergencie nekonečných číselných radov sme si už stručnev úvahách vyššie uviedli, ale pre istotu ho ešte poriadne sformulujeme a dokážeme.
Veta 4.20. Ak rad konverguje absolútne, tak konverguje.
Dôkaz. Uvažujme absolútne konvergentný rad∞∑n=1
an. Keďže (∀n ∈ N) an ≤ |an|, tak
(∀n ∈ N) 0 ≤ an + |an| ≤ |an| + |an| = 2|an|. Podľa Vety 4.6 rad 2∞∑n=1|an| konverguje, a
teda z porovnávacieho kritéria konverguje rad∞∑n=1
cn, kde cn := an + |an|. Keďže∞∑n=1|an|
a∞∑n=1
cn konvergujú, konverguje podľa Vety 4.6 aj rad∞∑n=1
an =∞∑n=1
(cn − |an|).
Poznámka 4.21. Opačná implikácia vo všeobecnosti neplatí, stačí napríklad uvažovať
Leibnizov rad∞∑n=1
(−1)n 1n , ktorého konvergenciu vyšetríme o chvíľu. Ak rad
∞∑n=1
an konver-
guje, ale rad∞∑n=1|an| diverguje, hovoríme, že rad
∞∑n=1
an konverguje relatívne (neabsolútne).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 139 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
V ďalšej kapitole uvidíme, že s absolútne konvergentnými radmi môžeme narábať v is-tom zmysle ako s konečnými sumami – môžeme ich navzájom násobiť, prerovnať, atď.Pre relatívne konvergentné rady to nemusí platiť. Kritériá konvergencie pre rady s nezá-pornými členmi sú zároveň kritériá pre absolútnu konvergenciu, nebudeme ich prepisovaťdo reči absolútnej konvergencie, len namiesto postupnosti (an)∞1 zoberieme postupnosť(|an|)∞1 .
Ešte jeden špeciálny prípad radov uvedieme. Ide o rady, ktoré neustále striedajú zna-mienka, teda majú nekonečne veľa kladných a nekonečne veľa záporných členov.
Definícia 4.22. Nekonečný číselný rad∞∑n=1
an nazývame alternujúci, akk (∀n ∈ N) sgn an+1 =
−sgn an.
Ak vylúčime prípady radov, ktorých všetky členy sú nulové, môžeme každý alternujúci
rad zapísať v tvare∞∑n=1
(−1)n+1an alebo v tvare∞∑n=1
(−1)nan, kde (∀n ∈ N) an > 0. Pre
túto skupinu radov je možné (za pridania podmienky nerastúcosti postupnosti členov radu)považovať nutnú podmienku konvergencie radu aj za postačujúcu! Toto zistenie pochádzaz roku 1682 od Leibniza.
Veta 4.23 (Leibnizovo kritérium). Nech (an)∞1 je nerastúca postupnosť kladných čísel.
Rad∞∑n=1
(−1)n+1an je konvergentný práve vtedy, keď limn→∞
an = 0.
Dôkaz. Nutná podmienka je jasná, pretože
limn→∞
an = 0 ⇔ limn→∞
|an| = 0 = limn→∞
|(−1)n+1an| = 0 ⇔ limn→∞
(−1)n+1an = 0.
Postačujúca podmienka: Nech (sn)∞1 je p.č.s. radu∞∑n=1
(−1)n+1an. Pre ľubovoľné n ∈ N
platís2n = (a1 − a2) + (a3 − a4) + · · ·+ (a2n−1 − a2n).
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 140 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Keďže každý sčítanec je nezáporný (lebo (an)∞1 je nerastúca), tak s2 ≤ s4 ≤ · · · ≤ s2n, t.j.vybraná postupnosť (s2n)∞1 je neklesajúca. Podobne pre postupnosť
s2n+1 = a1 − (a2 − a3)− (a4 − a5)− · · · − (a2n − a2n+1)
sú výrazy v zátvorkách nezáporné, a teda s1 ≥ s3 ≥ · · · ≥ s2n+1, t.j. (s2n+1)∞1 je nerastúca.Keďže (∀n ∈ N)
a1 − a2 = s2 ≤ s2n < s2n + a2n+1 = s2n+1 ≤ s1 = a1,
sú podľa vety o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti obe postupnosti (s2n)∞1a (s2n+1)∞1 konvergentné a konvergujú k rovnakej hodnote s, pretože
limn→∞
s2n+1 − limn→∞
s2n = limn→∞
(s2n+1 − s2n) = limn→∞
a2n+1 = 0.
Potom limn→∞
sn = s (zdôvodnite prečo!), t.j. rad∞∑n=1
(−1)n+1an konverguje a má súčet s.
Zostáva nám v našich úvahách vybaviť ešte prípad relatívne konvergentných radovs ľubovoľnými členmi. K tomu uvedieme nasledujúce dve užitočné kritériá, ktorých dôkazyje možné nájsť napr. v [2].
Veta 4.24 (Abelovo a Dirichletovo kritérium). Nech (bn)∞1 je monotónna postupnosť.
Potom rad∞∑n=1
anbn konverguje v každom z nasledujúcich prípadov:
(A) rad∞∑n=1
an konverguje a postupnosť (bn)∞1 je ohraničená;
(D) postupnosť čiastočných súčtov radu∞∑n=1
an je ohraničená a limn→∞
bn = 0.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 141 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Kritérium (A) pre konvergenciu radu∞∑n=1
anbn sa označuje Abelovo, ktorý ho dokázal
v roku 1826 a kritérium (D) dokázal v roku 1863 Dirichlet.
z Úlohy na precvičenie
3 Odvoďte Abelovo a Leibnizovo kritérium z Dirichletovho.3 Dokážte, že ak
∞∑n=1
an absolútne konverguje a postupnosť (bn)∞1 je ohraničená, potom∞∑n=1
anbn konverguje.
4.5. Prerovnanie radu, konvergencia a súčin radovAko sme videli v úvode pri Grandiho rade, s nekonečnými súčtami nemôžeme narábaťrovnako ako s konečnými, pretože sa môžeme dopracovať ku kontroverzným výsledkom.Analógiu asociatívneho zákona pre konvergentné rady sme už uviedli vo Vete 4.6. Pre plat-nosť „komutatívneho zákona“ však konvergencia nie je postačujúca, ale budeme potrebovať„lepšiu“ konvergenciu (rozumej absolútnu konvergenciu radu). Najprv ale zavedieme to, čobudeme rozumieť pod pojmom preskupenie členov radu, tzv. prerovnanie radu. Pripomeň-me, že bijekcia ϕ : M →M je zobrazenie, ktoré je prosté a na, t.j. ϕ(M) = M .
Definícia 4.25. Hovoríme, že rad∞∑n=1
bn je prerovnaním radu∞∑n=1
an, akk existuje bijekcia
ϕ : N→ N taká, že (∀n ∈ N) bn = aϕ(n).
Inými slovami, prerovanie radu nie je nič iné, ako preskupenie jeho členov, teda n-týčlen prerovnaného radu je ϕ(n)-tým členom pôvodného radu. Naopak, n-tý člen pôvodnéhoradu je ϕ(n)-tým členom v prerovnanom rade, kde ϕ je inverzná bijekcia k ϕ.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 142 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Príklad 4.26. Leibnizov rad∞∑n=1
(−1)n+1 1n môžeme prerovnať tak, že vezmeme striedavo
vždy tri kladné a jeden záporný člen
1 +13
+15− 1
2+
17
+19
+111− 1
4+ . . . ,
teda ϕ(n) = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 2), (5, 7), (6, 9), . . . }.
Nasledujúca veta je spomínanou analógiou komutatívneho zákona pre absolútne kon-vergentné rady.
Veta 4.27. Ak rad konverguje absolútne, potom každé jeho prerovnanie konverguje abso-lútne.
Dôkaz. Nech∞∑n=1
an je absolútne konvergentný rad. Potom
(∀ε > 0)(∃n0)(∀n ∈ N, n > n0)(∀m ∈ N) |an+1|+ · · ·+ |am+n| < ε.
Ak ϕ je bijekcia na N, tak (∃p ∈ N) {1, 2, . . . , n0} ⊆ {ϕ(1), ϕ(2), . . . , ϕ(p)}. Nech terazn > p a m ∈ N je ľubovoľné. Potom pre k = max{ϕ(n + 1), . . . , ϕ(n + m)} platí
|aϕ(n+1)|+ · · ·+ |aϕ(n+m)| ≤ |an0+1|+ · · ·+ |ak| < ε.
Podľa Cauchyho-Bolzanovho kritéria rad∞∑n=1|aϕ(n)| konverguje, teda rad
∞∑n=1
aϕ(n) je ab-
solútne konvergentný.Dôsledkom tohto tvrdenia je nasledujúce kritérium absolútnej konvergencie radu.
Dôsledok 4.28. Rad konverguje absolútne práve vtedy, keď každé jeho prerovnanie kon-verguje k tomu istému súčtu.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 143 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Vyvstáva otázka, ako sa chovajú relatívne konvergentné rady pri prerovnaní. Túto otáz-ku zodpovedal Bernhard Riemann, kde môžeme vidieť, ako labilné sú tieto rady vzhľa-dom k prerovnaniu.
Veta 4.29 (Riemannova o prerovnaní). Nech∞∑n=1
an je relatívne konvergentný rad a
s ∈ R je ľubovoľné. Potom existuje také jeho prerovnanie∞∑n=1
aϕ(n), že∞∑n=1
aϕ(n) = s, exis-
tuje také jeho prerovnanie∞∑n=1
aψ(n), že∞∑n=1
aψ(n) diverguje a existuje také jeho prerovnanie∞∑n=1
aζ(n), že∞∑n=1
aζ(n) osciluje.
Myšlienkou dôkazu prerovnania k predpísanému súčtu je prerovnať daný rad nasledu-júcim spôsobom: najprv ponecháme kladné členy, pokiaľ neprekročíme predpísaný súčet.Potom začneme odčítavať záporné členy, až kým čiastočný súčet radu bude menší akopredpísaný súčet a rovnakým spôsobom pokračujeme ďalej. Nakoniec je potrebné ukázať,že takto preskupený rad naozaj konverguje k vopred určenému číslu. Podobne sa to urobípre s = +∞ a pre osciláciu radu. Exaktný dôkaz možno nájsť v [3]. Z tejto Riemannovejvety tiež vyplýva, že aj z niektorých divergentných radov je možné prerovnaním vytvoriťrelatívne konvergentné rady s ľubovoľne dopredu zadaným súčtom.
Na záver urobíme ešte malé pojednanie o súčine radov. Pripomeňme si, ako robíme súčin
radov v prípade konečných radovm∑i=1
ai an∑j=1
bj : podľa distributívneho zákona vytvoríme
všetky možné súčiny aibj , ktoré potom sčítame, t.j.
m∑i=1
ai ·n∑j=1
bj =m∑i=1
n∑j=1
aibj .
Dôležité je, že pri ľubovoľnom usporiadaní takto vzniknutých súčinov aibj dostaneme tenistý výsledok. Podobne môžeme postupovať aj v prípade nekonečných radov, kde dostaneme
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 144 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
nekonečnú maticu čísela1b1 a1b2 a1b3 . . . a1bn . . .a2b1 a2b2 a2b3 . . . a2bn . . .a3b1 a3b2 a3b3 . . . a3bn . . .
......
.... . .
...amb1 amb2 amb3 . . . ambn . . .
......
......
Tu nás ale Riemannova veta varuje, že výsledok nemusí byť ten istý, ak určitým spôsobomsčítame tieto súčiny. Zrejme existuje nekonečne veľa spôsobov, ako sčítať tieto prvky. Myuvedieme len nasledujúce dva typy súčinov radov.
Dirichletovým súčinom radov∞∑n=1
an a∞∑n=1
bn rozumieme rad∞∑n=1
cn, kde
cn = a1bn + a2bn + · · ·+ anbn + anbn−1 + · · ·+ anb1,
čo odpovedá sčítaniu „po štvorcoch“
a1b1 a1b2 a1b3 a1b4 . . .↓ ↓ ↓
a2b1 ← a2b2 a2b3 a2b4 . . .↓ ↓
a3b1 ← a3b2 ← a3b3 a3b4 . . .↓
a4b1 ← a4b2 ← a4b3 ← a4b4 . . ....
......
...
Veta 4.30. Nech∞∑n=1
an = a a∞∑n=1
bn = b sú konvergentné rady a∞∑n=1
cn je ich Dirichletov
súčin. Potom∞∑n=1
cn konverguje a platí∞∑n=1
cn = a · b.
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 145 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Dôkaz. Ak An sú čiastočné súčty radu∞∑n=1
an a Bn čiastočné súčty radu∞∑n=1
bn, potom
Cn = An ·Bn sú čiastočné súčty radu∞∑n=1
cn, n ∈ N (rozpíšte si poriadne!). Keďže An → a
a Bn → b pre n→∞, potom Cn → a · b pre n→∞, t.j.∞∑n=1
cn = a · b.
Pre ilustráciu si uvedieme ešte jeden typ súčinu, pre ktorý však predchádzajúca vetaplatiť nebude.
Cauchyho súčinom radov∞∑n=1
an a∞∑n=1
bn rozumieme rad∞∑n=1
cn, kde
cn = a1bn + a2bn−1 + · · ·+ an−1b2 + anb1 =∑
i+j=n+1
aibj ,
čo zase odpovedá sčítaniu „po diagonálach“
a1b1 a1b2 a1b3 a1b4 . . .↙ ↙ ↙
a2b1 a2b2 a2b3 a2b4 . . .↙ ↙ ↙
a3b1 a3b2 a3b3 a3b4 . . .↙ ↙ ↙
a4b1 a4b2 a4b3 a4b4 . . ....
......
...
Naozaj, rady∞∑n=1
an =∞∑n=1
bn =∞∑n=1
(−1)n 1√n
sú podľa Leibnizovho kritéria konvergentné,
ale ich Cauchyho súčin diverguje, pretože
cn = (−1)n+1
(1√1· 1√
n+
1√2· 1√
n− 1+ · · ·+ 1√
n− 1· 1√
2+
1√n· 1√
1
)
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 146 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
a (∀n ∈ N)
|cn| =1√
1 ·√
n+
1√2 ·√
n− 1+ · · ·+ 1
√n ·√
1≥ 1√
n ·√
n+
1√n ·√
n+ · · ·+ 1√
n ·√
n
=1n
+1n
+ · · ·+ 1n
= 1,
z čoho máme, že neplatí nutná podmienka konvergencie radu, a teda∞∑n=1
cn diverguje.
Pre Cauchyho súčin teda Veta 4.30 neplatí, ale platí jej nasledujúca modifikácia, ktorejdôkaz je možné nájsť v [3].
Veta 4.31 (Mertensova). Nech∞∑n=1
an = a a∞∑n=1
bn = b sú konvergentné rady, z ktorých
aspoň jeden je absolútne konvergentný. Potom ich Cauchyho súčin∞∑n=1
cn konverguje a platí∞∑n=1
cn = a · b.
Dôsledkom Mertensovej vety je, že pre dva absolútne konvergentné rady aj ich Cauchyhosúčin je absolútne konvergentný.
z Úlohy na precvičenie
3 Nech q ∈ R, q > 1. Určte Cauchyho súčin radu∞∑n=1
q−n so sebou.
3 Nájdite súčet Leibnizovho radu a súčty nasledujúcich radov, ktoré vzniknú jeho prerov-naním:
(i) 1 +13− 1
2+
15
+17− 1
4+
19
+111− 1
6+ . . . ;
(ii) 1− 12− 1
4+
13− 1
6− 1
8+
15− 1
10− 1
12+ . . . ;
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 147 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
4.6. O elementárnych funkciách ešte razV tejto časti sa na chvíľu vrátime k zavedeniu niektorých základných elementárnych fun-kcií a ukážeme ich ďalšiu definíciu, ktorá súvisí s funkcionálnymi radmi, resp. s rozvojomfunkcií do takýchto radov. Keďže pojem funkcionálneho radu ani aparát narábania s nímnepoznáme, pozrieme sa naň ako na nekonečný číselný rad s parametrom a vyšetríme kon-vergenciu tohto radu v závislosti na tomto parametri. Bude to pre nás mať ďalekosiahlenásledky, pretože je to mechanizmus, ktorý neskôr umožní definovať elementárne funkcieanalogicky v komplexnej oblasti.
Uvažujme rad∞∑n=0
xn
n! s parametrom x ∈ R. Podľa d’Alembertovho kritéria je tento rad
absolútne konvergentný, pretože
(∀x ∈ R) limn→∞
∣∣∣∣ xn+1
(n + 1)!· n!xn
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣ x
n + 1
∣∣∣∣ = 0 < 1.
Znamená to, že pre každé x ∈ R má tento rad súčet, teda je to funkcia definovaná na mno-žine všetkých reálnych čísel. Túto funkciu nazývame exponenciálna funkcia, t.j.
ex =∞∑n=0
xn
n!.
Niekto by mohol právom namietať, že ako vieme, že súčet takéhoto radu je presne exponen-ciálna funkcia, ktorú sme definovali v časti 2.3 z axiomatiky reálnych čísel, resp. pri zavedeníEulerovho čísla v časti 3.5? Áno, je to oprávnená otázka, na ktorú sa dá jednoznačne odpo-vedať dôkazom tohto faktu, na ktorý nám, žiaľ, nezostáva čas. Musíme snaživého čitateľaodkázať napr. na [1], časť 3.4.1. Chceme iba poukázať na iný spôsob definovania týchtofunkcií na základe vytvoreného aparátu, ktorý sa dá použiť aj v iných situáciách, nielenz axiomatickej výstavby.
Je jasné, že e1 = e a e0 = 1. Demonštrujme teraz využitie uvedeného aparátu napríklad
na odvodenie vzťahu (∀x, y ∈ R) ex · ey = ex+y. Keďže rady∞∑n=0
xn
n! a∞∑n=0
yn
n! sú absolútne
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 148 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
konvergentné pre každé x, y ∈ R, podľa Mertensovej vety je aj ich Cauchyho súčin absolútnekonvergentný a platí
ex · ey =∞∑n=0
xn
n!·∞∑n=0
yn
n!=
∞∑n=0
cn,
kde (∀n ∈ N)
cn =n∑k=0
xk
k!· yn−k
(n− k)!=
1n!
n∑k=0
n!k!(n− k)!
xkyn−k =1n!
n∑k=0
(n
k
)xkyn−k =
1n!
(x + y)n
podľa binomickej vety. Teda
ex · ey =∞∑n=0
(x + y)n
n!= ex+y.
Z uvedeného priamo vyplýva, že ex · e−x = e0 = 1, teda e−x = 1ex . Podobne by sa dalo
pokračovať v odvodzovaní ďalších vzťahov, z ktorých by niektoré išli ľahšie, iné ťažšie(prenechávame čitateľovi).
Podobným exaktným spôsobom môžeme definovať aj goniometrické funkcie sínus akosínus, t.j.
sinx =∞∑n=0
(−1)n
(2n + 1)!x2n+1 a cos x =
∞∑n=0
(−1)n
(2n)!x2n, x ∈ R,
ako aj mnohé ďalšie funkcie. Opäť je potrebné sa presvedčiť, že uvedené rady konvergujúpre každé x ∈ R, čo však jednoducho dostaneme napr. z d’Alembertovho kritéria (opäťabsolútne konvergujú). Odtiaľto sa dá jednoducho vidieť, že sin je nepárna a cos párnafunkcia. A takto by sme mohli pokračovať ďalej, na čo však už nezostáva čas. Našťastiesa k týmto (a mnohým ďalším) čarokrásnym formulkám dostaneme o rok v treťom kurzematematickej analýzy. Už teraz sa na to (Vás) teším!
Domovská stránka
Titulná strana
Obsah
JJ II
J I
Strana 149 z 149
Späť
Full Screen
Zatvoriť
Koniec
Referencie[1] Brannan, D.: A First Course in Mathematical Analysis, Cambridge University Press, Cambridge 2006.
[2] http://www.prof.jozef.xn–dobo-j6a.eu/MA1.pdf
[3] Došlá, Z. – Plch, R. – Sojka, P.: Nekonečné řady s programem Maple, Masarykova univerzita, Brno,2002.
[4] Hairer, E. – Wanner, G.: Analysis by Its History, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer,2008.
[5] Mihalíková, B. - Ohriska, J.: Matematická analýza 1, skriptá UPJŠ, Košice, 2000.
[6] Neubrunn, T. -– Vencko, J.: Matematická analýza I., skriptá UK, Bratislava, 1992.
[7] Neubrunn, T. -– Vencko, J.: Matematická analýza II., skriptá UK, Bratislava, 1992.
[8] Veselý, J.: Matematická analýza pro učitele, První a Druhý díl, Matfyzpress, Karlova univerzita,Praha, 1997.
