VIII. Náhodný vektor

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde

p(x, y) = a(x+ y + 1), x, y ∈ {0, 1, 2}.

a) Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p.

Řešení: a) Pravděpodobnostní funkce p musí splňovat dvě podmínky:

(1) p(x, y) ≥ 0⇒ a > 0;

(2) 1 =∑

(x,y)∈R2p(x, y) = 1⇒ 1 = a(1+2+3+2+3+4+3+4+5) = 27a ⇒ a = 1

27 .

Je tedy p = p(x, y) :

y\x 0 1 2 p2(y)

0 127

227

327

627

1 227

327

427

927

2 327

427

527

1227

p1(x) 627

927

1227 1

b) Vypočtěte P (X ≤ Y ).

Řešení: b) Podmínce X ≤ Y vyhovují hodnoty

(X, Y ) : (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 2).

Je tedy P (X ≤ Y ) = 127(1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5) =

1827 =

23 .

c) Určete marginální pravděpodobnostní funkce.

Řešení: c) Marginální pravděpodobnostní funkce p1 a p2 popisují rozdělení prav-děpodobnosti pro souřadnice X a Y náhodného vektoru (X, Y ).

Je tedy p1(x) = P (X = x) =∑

y∈Rp(x, y) a p2(y) = P (Y = y) =

∑x∈R

p(x, y).

Hodnoty pravděpodobnostních funkcí zapíšeme do tabulek:

x 0 1 2p1(x) 6

27927

1227

y 0 1 2p2(y) 6

27927

1227

Hodnoty marginálních pravděpodobnostních funkcí si zapisujeme do původní ta-bulky. Hodnoty funkce p1(x) tvoří řádek, který dostaneme sečtením původní ta-bulky po sloupcích. Obdobně jsou hodnoty funkce p2(y) ve sloupci, který získámesečtením původní tabulky po řádcích.

d) Vypočtěte střední hodnoty E(X), E(Y ), E(XY ) a rozptyly D(X), D(Y ).

Řešení: d) Je E(X) =∑

x∈Rxp1(x) nebo také E(X) =

∑x∈R

x

( ∑y∈R

p(x, y)

)=∑

(x,y)∈R2xp(x, y).

1

Tudíž E(X) = 127(9 + 24) =

3327 =

119 .

Obdobně je E(X2) =∑

x∈Rx2p1(x) = 1

27(9 + 48) =5727 =

199 .

Pro rozptyl dostaneme D(X) = E(X2)− (E(X))2 = 199 −

(119

)2= 171−121

81 = 5081 .

Vzhledem k tomu, že jsou obě marginální pravděpodobnostní funkce shodné jeE(X) = E(Y ) a D(X) = D(Y ).

Pro zbývající střední hodnotu máme E(XY ) =∑

(x,y)∈R2xyp(x, y) =

= 127(3 + 8 + 8 + 20) =

3927 =

139 .

e) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé. Vypočtětejejich koeficient korelace.

Řešení: e) K určení závislosti či nezávislosti použijeme podmínky

X a Y jsou nezávislé ⇔ p(x, y) = p1(x)p2(y).

Protože je pro x = y = 0 p(0, 0) = 127 6= p1(0)p2(0) = 36

272 jsou náhodné veličiny Xa Y závislé. Pro jejich koeficient korelace máme

ρ(X, Y ) =E(XY )− E(X)E(Y )√

D(X)D(Y )=139 −

119 ·

119

5081

=117− 12150

= − 450= −0, 08.

f) Určete pravděpodobnostní funkce náhodných veličin Z = X + Y a W = XY.Vypočtěte jejich střední hodnoty.

Řešení: f) Náhodná veličina Z nabývá hodnot 0, 1, 2, 3, 4, kterým odpovídajíhodnoty

0−−(0, 0); 1−−(0, 1), (1, 0); 2−−(2, 0), (1, 1), (0, 2); 3−−(2, 1), (1, 2); 4−−(2, 2).Je tedy pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Z rovna p∗(z) = P (Z = z) :

z 0 1 2 3 4p∗(z) 1

27427

927

827

527

Potom je E(Z) =∑

z∈Rzp∗(z) = 1

27(4 + 18 + 24 + 20) =229 .

Všimněme si, že platí E(Z) = E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

Náhodná veličina W = XY nabývá hodnot 0, 1, 2, 4, kterým odpovídají hodnoty:

0 − −(0, 0), (1, 0), (2, 0), (0, 1), (0, 2); 1 − −(1, 1); 2 − −((2, 1), (1, 2); 4 − −(2, 2).Potom pro pravděpodobnostní funkci p∗∗(w) = P (W = w) je

w 0 1 2 4p∗∗(w) 11

27327

827

527

Je pak E(W ) =∑

w∈Rwp∗∗(w) = 1

27(3+16+20) =139 , což je v souhlase s výsledkem,

který jsme získali v odstavci d).

2

g) Určete podmíněné pravděpodobnostní funkce p(x|y) a p(y|x).

Řešení: g) Pro podmíněné pravděpodobnostní funkce máme vyjádření:

p(x|y) = p(x,y)p2(y)

a p(y|x)p(x,y)p1(x)

.

Všimněme si, že hodnoty podmíněné pravděpodobnostní funkce p(x|0) dostanemetak, že hodnoty p(x, 0) v řádku tabulky vydělíme jejich součtem, hodnotou p2(0).Obdobně získáme i ostatní hodnoty. Tabulky hodnot podmíněných pravděpodob-nostních funkcí jsou:

p(x|y)

x 0 1 2

p(x|0) 16

26

36

p(x|1) 29

39

49

p(x|2) 312

412

512

p(y|x)

y 0 1 2

p(y|0) 16

26

36

p(y|1) 29

39

49

p(y|2) 312

412

512

Odtud dostaneme pro podmíněné střední hodnoty:

E(X|y) = ∑x∈R

xp(x|y) a E(Y |x) = ∑y∈R

yp(y|x).

E(X|0) = ∑x∈R

xp(x|0) = 16(2 + 6) =

43 = E(Y |0);

E(X|1) = ∑x∈R

xp(x|1) = 19(3 + 8) =

119 = E(Y |1);

E(X|2) = ∑x∈R

xp(x|) = 112(4 + 10) =

76 = E(Y |2).

2. Náhodný vektor (X, Y ) má spojité rovnoměrné rozdělení v množině

A = {(x, y); 0 < x < 2, 0 < y < 1}.a) Určete sdruženou hustotu f.

b) Vypočtěte pravděpodobnosti P (X+Y ) ≥ 1), P (Y ≤ X2), P ((X−1)2+Y 2 ≥ 1).c) Určete marginální hustoty f1, f2.

d) Určete sdruženou distribuční funkci F.

e) Určete marginální distribuční funkce F1, F2.

f) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé.

g) Vypočtěte koeficient korelace ρ(X, Y ).

h) Určete podmíněné hustoty.

Řešení: a) Sdružená hustota f je konstantní v množině A a její hodnota je rovnapřevrácené hodnotě obsahu množiny A. Je tedy

f(x, y) =

⟨12 , (x, y) ∈ A,0, jinde.

b) Pravděpodobnost výskytu hodnot náhodného vektoru v nějaké množině vypoč-teme jako integrál přes množinu ze sdružené hustoty. Musíme přitom uvážit, kde je

3

tato hustota kladná. Integračním oborem je pak průnik těchto množin. Dostanemepostupně:

P (X + Y ≥ 1) =∫ 10(∫ 21−y

12dx)dy =

34; (obsah lichoběžníka);

P (Y ≤ X2) =∫ 10(∫ 2√

y

12dx)dy =

∫ 10

[x

2

]2√

ydy =

∫ 10

12(2−√

y) dy =

=[12(2y − 2

3y√

y)]10=23;

P ((X−1)2+Y 2 ≥ 1) = 1−P ((X−1)2+Y 2 ≤ 1) = 1− 12 ·

π2 =

4−π2 , (obsah kruhu).

c) Marginální hustoty vypočteme pomocí vzorce:

X . . . f1 : f1(x) =∫ ∞

−∞f(x, y) dy =

∫ 10

12dy =

12pro 0 ≤ x ≤ 2.

Y . . . f2 : f2(y) =∫ ∞

−∞f(x, y) dx =

∫ 20

12dx = 1 pro 0 ≤ y ≤ 1.

Je tedy

f1(x) =

⟨12 , 0 ≤ x ≤ 2,0, jinde;

f2(y) =

⟨1, 0 ≤ y ≤ 1,0, jinde.

d) Sdruženou distribuční funkci určíme podle vztahu, kterým je definována.

Je F (x, y) = P (X ≤ x ∩ Y ≤ y), (x, y) ∈ R2. Pravděpodobnost vypočteme stejnějako v odstavci b) musíme pouze uvážit jak vypadá obor, kde je hustota kladná projednotlivé body (x, y).

Potom je:

F (x, y) = 0, x ≤ 0 nebo y ≤ 0;F (x, y) = 1

2xy, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1;F (x, y) = 1

2x, 0 ≤ x ≤ 2, y ≥ 1;F (x, y) = y, x ≥ 2, 0 ≤ y ≤ 1;F (x, y) = 1, x ≥ 2a y ≥ 1.

e) Marginální distribuční funkce F1 a F2 dostaneme z podmínek:

F1(x) = limy→∞

F (x, y), F2(y) = limx→∞

F (x, y).

Protože se pro hodnoty x ≥ 2 a y ≥ 1 již sdružená distribuční funkce nemění, je:

F1(x) = F (x, 1) =

⟨ 0, x ≤ 0,x2 , 0 ≤ x ≤ 2,1, x ≥ 2,

F2(y) = F (2, y) =

⟨ 0, y ≤ 0,y, 0 ≤ y ≤ 1,1, y ≥ 1.

f) K určení závislosti a nezávislosti potřebujeme znát marginální hustoty. Ty mů-žeme určit buď z marginálních distribučních funkcí derivováním, nebo přímým vý-počtem ze sdružené hustoty. Je

4

f1(x) = F ′1(x) =

∫ ∞

−∞f(x, y) dy, f2(y) = F ′

2(y) =∫ ∞

−∞f(x, y) dx.

Vzhledem k tomu, že je sdružená hustota konstantní, jsou integrály ve vyjádřenírovny součinu této konstanty a délky intervalu, přes který integrujeme. Tudíž je:

f1(x) =

⟨ 0, x < 0,12 , 0 < x < 2,0, x > 2,

f2(y) =

⟨ 0, y < 0,1, 0 < y < 1,0, y > 1.

Náhodné veličiny jsou nezávislé, právě když je sdružená hustota rovna součinu hustotmarginálních. Musí tedy platit identita

f(x, y) = f1(x).f2(y), (x, y) ∈ R2.

Snadno nahlédneme, že je tato rovnost splněna a jsou tedy náhodné veličiny Xa Y nezávislé. Uvědomte si, že je třeba ověřit identitu i tam, kde jsou jednotlivéhustoty nulové.

g) K výpočtu koeficientu korelace je třeba vyčíslit pět momentů. Zde ale využijemeskutečnosti, že pro pro nezávislé náhodné veličiny je koeficient korelace roven nule.

h) Protože jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé, jsou podmíněné náhodnéveličiny shodné s marginálními. Je tedy

X|y = X, f(x|y) = f1(x) pro 0 ≤ y ≤ 1;Y |x = Y, f(y|x) = f2(y) pro 0 ≤ x ≤ 2.

3. Náhodný vektor (X, Y ) má spojité rovnoměrné rozdělení v množině

A = {(x, y); 0 < x < 2, 0 < y < 1, x+ 2y ≤ 2}.a) Určete sdruženou hustotu f.

b) Vypočtěte pravděpodobnost P (X ≥ Y ).

c) Určete marginální hustoty f1, f2.

d) Určete sdruženou distribuční funkci F.

e) Určete merginální distribuční funkce F1, F2.

f) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé.

g) Vypočtěte koeficient korelace ρ(X, Y ).

h) Určete hustoty podmíněných náhodných veličin a vypočtěte jejich střední hod-noty.

Řešení: a) Sdružená hustota f je konstantní v množině A a její hodnota je rovnapřevrácené hodnotě obsahu množiny A. Je tedy

f(x, y) =

⟨1, (x, y) ∈ A,0, jinde.

5

b) Pravděpodobnost výskytu hodnot náhodného vektoru v nějaké množině vypoč-teme jako integrál přes množinu ze sdružené hustoty. Musíme přitom uvážit, kde jetato hustota kladná. Integračním oborem je pak průnik těchto množin. Dostaneme:

P (X ≥ Y ) =∫ 23

0(∫ 2−2y0

1dx)dy =23; (obsah trojúhelníka).

c) Marginální hustoty vypočteme pomocí vzorce:

X . . . f1 : f1(x) =∫ ∞

−∞f(x, y) dy =

∫ 1−x2

01 dy = 1− x

2pro 0 ≤ x ≤ 2.

Y . . . f2 : f2(y) =∫ ∞

−∞f(x, y) dx =

∫ 2−2y0

dx = 2(1− y) pro 0 ≤ y ≤ 1.

Je tedy

f1(x) =

⟨1− x

2 , 0 ≤ x ≤ 2,0, jinde;

f2(y) =

⟨2(1− y), 0 ≤ y ≤ 1,0, jinde.

d) Sdruženou distribuční funkci určíme podle vztahu, kterým je definována.

Je F (x, y) = P (X ≤ x ∩ Y ≤ y), (x, y) ∈ R2. Pravděpodobnost vypočteme stejnějako v odstavci b) musíme pouze uvážit jak vypadá obor, kde je hustota kladná projednotlivé body (x, y). Příslušné integrály budeme počítat podle vzorců pro obsahyobrazců, které jsou průnikem trojúhelníka a kvadrantu.

Potom je:

F (x, y) = 0, x ≤ 0 nebo y ≤ 0;F (x, y) = xy, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, x+ 2y ≤ 2;F (x, y) = xy − 1

4(x+ 2y − 2)2, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, x+ 2y ≥ 2;

F (x, y) = x− 14x2, 0 ≤ x ≤ 2, y ≥ 1;

F (x, y) = 2y − y2, x ≥ 2, 0 ≤ y ≤ 1;F (x, y) = 1, x ≥ 2a y ≥ 1.

e) Marginální distribuční funkce F1 a F2 dostaneme z podmínek:

F1(x) = limy→∞

F (x, y), F2(y) = limx→∞

F (x, y).

Protože se pro hodnoty x ≥ 2 a y ≥ 1 již sdružená distribuční funkce nemění, je:

F1(x) = F (x, 1) =

⟨ 0, x ≤ 0,x− x2

4 , 0 ≤ x ≤ 2,1, x ≥ 2,

F2(y) = F (2, y) =

⟨ 0, y ≤ 0,2y − y2, 0 ≤ y ≤ 1,1, y ≥ 1.

f) K určení závislosti a nezávislosti potřebujeme znát marginální hustoty. Ty mů-žeme určit buď z marginálních distribučních funkcí derivováním, nebo přímým vý-počtem ze sdružené hustoty.

Náhodné veličiny jsou nezávislé, právě když je sdružená hustota rovna součinu hustotmarginálních. Musí tedy platit identita

f(x, y) = f1(x).f2(y), (x, y) ∈ R2.

6

Snadno nahlédneme, že je tato rovnost není splněna a jsou tedy náhodné veličinyX a Y závislé. Uvědomte si, že je třeba ověřit identitu i tam, kde jsou jednotlivéhustoty nulové. Součin marginálních hustot je kladný na obdélníku (0, 2) × (0, 1),kdežto sdružená hustota f je kladná pouze na trojúhelníku A. Dokonce i v množiněA není požadovaná rovnost splněna.

g) K výpočtu koeficientu korelace je třeba vyčíslit pět momentů. Postupně dosta-neme:

E(X) =∫ ∞

−∞xf1(x) dx =

∫ 20(x− x2

2dx =

[x2

2− x3

3

]20

=23;

E(Y ) =∫ ∞

−∞yf2(y) dy =

∫ 102y − 2y2 dy = 2

[y2

2− y3

3

]10

=13;

E(X2) =∫ ∞

−∞x2f1(x) dx =

∫ 20

x2 − x3

2dx =

[x3

3− x4

8

]20

=23;

E(Y 2) =∫ ∞

−∞y2f2(y) dy =

∫ 102y2(1− y) dy = 2

[y3

3− y4

4

]10

=16;

E(XY ) =∫ ∫

R2xyf(x, y) dxdy =

∫ 10

(∫ 2−2y0

xy dx)dy =

∫ 10

y

2

[x2]2−2y0dy =

= 2∫ 10

y − 2y2 + y3 dy = 2

[y2

2− 2y

3

3+

y4

4

]10

=16;

D(X) = E(X2)− (E(X))2 = 23 −

49 =

29 , D(Y ) = E(Y 2)− (E(Y ))2 = 1

6 −19 =

118 .

Pro koeficient korelace dostanememe

ρ(X, Y ) =E(XY )− E(X)E(Y )√

D(X)D(Y )=16 −

23 ·13

19

= −12= −0, 5.

h) Podmíněné hustoty dostaneme ze vzorců:

X|y : f(x|y) = f(x, y

f2(y), f2(y) 6= 0; Y |x : f(y|x) = f(x, y

f1(x), f1(x) 6= 0.

Tedy

X|y : f(x|y) = 12(1− y)

, 0 ≤ x ≤ 2(1− y) pro 0 < y < 1;

Y |x : f(y, x) =22− x

, 0 ≤ y ≤ 22− x

pro 0 < x < 2.

Střední hodnoty vypočteme pomocí obvyklých vzorců. Je pak:

E(X|y) =∫ 2−2y0

x

2(1− y)dx =

14(1− y)

[x2]2−2y0=4(1− y)2

4(1− y)= 1− y,

E(Y |x) =∫ 2−x

2

0

2y2− x

dy =12− x

[y2] 2−x2

0=(2− x)2

4(2− x)=2− x

4.

7

4. Náhodný vektor má sdruženou hustotu f, kde

f(x, y) =

⟨xy, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1,0, jinde.

a) Určete sdruženou distribuční funkci a marginální distribuční funkce.

b) Určete marginální hustoty.

c) Vypočtěte střední hodnoty a rozptyly marginálních veličin.

d) Rozhodněte o závislosti a nezávislosti náhodných veličin X a Y.

e) Vypočtěte koeficient korelace ρ(X, Y ).

f) Vypočtěte pravděpodobnost P (Y ≤ X2).

Řešení: a) Sdruženou distribuční funkci určíme podle vztahu, kterým je definována.

Je F (x, y) = P (X ≤ x ∩ Y ≤ y), (x, y) ∈ R2. Pravděpodobnost vypočteme jakointegrál přes uvedený obor, musíme pouze uvážit jak vypadá průnik s tímto oborem,kde je hustota kladná.

Potom je:

F (x, y) = 0, x ≤ 0 nebo y ≤ 0;F (x, y) =

∫ x0 (∫ y0 uvdv)du = 1

4x2y2, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1;

F (x, y) = F (x, 1) = 14x2, 0 ≤ x ≤ 2, y ≥ 1;

F (x, y) = F (2, y) = y2, x ≥ 2, 0 ≤ y ≤ 1;F (x, y) = 1, x ≥ 2a y ≥ 1.

Marginální distribuční funkce F1 a F2 dostaneme z podmínek:

F1(x) = limy→∞

F (x, y), F2(y) = limx→∞

F (x, y).

Protože se pro hodnoty x ≥ 2 a y ≥ 1 již sdružená distribuční funkce nemění, je:

F1(x) = F (x, 1) =

⟨ 0, x ≤ 0,x2

4 , 0 ≤ x ≤ 2,1, x ≥ 2,

F2(y) = F (2, y) =

⟨ 0, y ≤ 0,y2, 0 ≤ y ≤ 1,1, y ≥ 1.

b) Marginální hustoty vypočteme pomocí vzorce:

X . . . f1 : f1(x) =∫ ∞

−∞f(x, y) dy =

∫ 10

xy dy =12x pro 0 ≤ x ≤ 2.

Y . . . f2 : f2(y) =∫ ∞

−∞f(x, y) dx =

∫ 20

xy dx = 2y pro 0 ≤ y ≤ 1.

Je tedy

f1(x) =

⟨12 , 0 ≤ x ≤ 2,0, jinde;

f2(y) =

⟨1, 0 ≤ y ≤ 1,0, jinde.

Stejné výsledky dostaneme ze vztahů f1(x) = F ′1(x) a f2(y) = F ′

2(y).

8

c) Střední hodnoty náhodných veličin X a Y vypočteme pomocí vzorců:

E(X) =∫ ∞

−∞xf1(x) dx =

∫ 20

x2

2dx =

[x3

6

]20

=43;

E(Y ) =∫ ∞

−∞yf2(y) dy =

∫ 102y2 dy = 2

[y3

3

]10

=23;

E(X2) =∫ ∞

−∞x2f1(x) dx =

∫ 20

x3

2dx =

[x4

8

]20

= 2;

E(Y 2) =∫ ∞

−∞y2f2(y) dy =

∫ 102y3 dy = 2

[y4

2

]10

=12.

Rozptyly získáme pomocí vzorců:

D(X) = E(X2)− (E(X))2 = 2− 169 =

29 , D(Y ) = E(Y 2)− (E(Y ))2 = 1

2 −49 =

118 .

d) O nezávislosti či závislosti veličin X a Y rozhodneme z podmínky pro nezávis-lost:

f(x, y) = f1(x).f2(y).

Po dosazení výsledků z odstavce b) dostaneme, že je požadovaná podmínka splněna,náhodné veličiny jsou nezávislé. Poznamejme ještě, že podmíněné náhodné veličinyse rovnají marginálním.

e) Koeficient korelace snadno určíme. Protže jsou podle d) náhodné veličiny nezá-vislé je koeficient korelace nulový.

Ověřme si tuto skutečnost výpočtem. K určení koeficientu korelace nám chybí vy-počítat jediný moment. Je

E(XY ) =∫ ∫

R2xyf(x, y) dxdy =

∫ 10

(∫ 20

x2y2 dx)dy =

∫ 10

y2

3

[x3]20dy =

=83

∫ 10

y2 dy =83

[y3

3

]10

=89;

Pro koeficient korelace dostaneme

ρ(X, Y ) =E(XY )− E(X)E(Y )√

D(X)D(Y )=89 −

43 ·23

19

= 0.

f) Požadovanou pravděpodobnost vypočteme jako integrál ze sdružené hustoty přesobor, ve kterém se mají hodnoty náhodného vektoru vyskytovat. Je

P (Y ≤ X2) =∫ 10(∫ 2√

yxy dx)dy =

12

∫ 10

y[x2]2√

ydy =

12

∫ 10(4y − y2) dy =

=12

[2y2 − y3

3

]10

=56.

9

5. Náhodný vektor (X, Y ) má spojité rozdělení určené sdruženou hustotou f, kde

f(x, y) =

⟨136(3x+ 2y), 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3,0, jinde.

a) Určete marginální hustoty f1, f2.

b) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé.

c) Vypočtěte koeficient korelace ρ(X, Y ).

d) Určete podmíněné hustoty.

Řešení: a) Marginální hustoty vypočteme pomocí vzorce:

X . . . f1 : f1(x) =∫ ∞

−∞f(x, y) dy =

∫ 30

136(3x+ 2y) dy =

14(x+ 1) pro 0 ≤ x ≤ 2.

Y . . . f2 : f2(y) =∫ ∞

−∞f(x, y)dx =

∫ 20

136(3x+ 2y) dx =

118(3 + 2y) pro 0 ≤ y ≤ 3.

Je tedy

f1(x) =

⟨14(x+ 1), 0 ≤ x ≤ 2,0, jinde;

f2(y) =

⟨118(3 + 2y), 0 ≤ y ≤ 3,0, jinde.

b) Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, právě když je sdružená hustota rovnasoučinu hustot marginálních. Musí tedy platit identita

f(x, y) = f1(x).f2(y), (x, y) ∈ R2.

Snadno nahlédneme, že tato rovnost není splněna a jsou tedy náhodné veličiny Xa Y závislé. Je totiž

f1(x)f2(y) = 172(x+ 1)(3 + 2y) 6= f(x, y) = 1

36(3x+ 2y), 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3.

c) K výpočtu koeficientu korelace je třeba vyčíslit pět momentů. Postupně dosta-neme:

E(X) =∫ ∞

−∞xf1(x) dx =

∫ 20

14(x2 + x) dx =

14

[x3

3+

x2

2

]20

=76;

E(Y ) =∫ ∞

−∞yf2(y) dy =

∫ 30

118(3y + 2y2) dy =

118

[3y2

2+2y3

3

]30

=74;

E(X2) =∫ ∞

−∞x2f1(x) dx =

∫ 20

14(x3 + x2) dx =

14

[x4

4+

x3

3

]20

=53;

E(Y 2) =∫ ∞

−∞y2f2(y) dy =

118

∫ 303y2 + 2y3 dy =

118

[3y3

3+2y4

4

]30

=154;

E(XY ) =∫ ∫

R2xyf(x, y) dxdy =

∫ 20

(∫ 30(3x2y + 2xy2) dy

)dx =

=∫ 20

136

[32x2y223xy3

]30dx =

136

∫ 20(272

x2 + 18x) dx ==136

[9x3

3+ 9x2

]20

= 2;

10

D(X) = E(X2)−(E(X))2 = 53−

4936 =

1136 , D(Y ) = E(Y 2)−(E(Y ))2 = 15

4 −4916 =

1116 .

Pro koeficient korelace dostanememe

ρ(X,Y ) =E(XY )− E(X)E(Y )√

D(X)D(Y )=2− 7

6 ·74

1124

= − 111

.

d) Podmíněné hustoty dostaneme ze vzorců:

X|y : f(x|y) = f(x, y

f2(y), f2(y) 6= 0; Y |x : f(y|x) = f(x, y

f1(x), f1(x) 6= 0.

Tedy

X|y : f(x|y) = 3x+ 2y2(3 + 2y)

, 0 ≤ x ≤ 2 pro 0 < y < 3;

Y |x : f(y, x) =3x+ 2y9(x+ 1)

, 0 ≤ y ≤ 3 pro 0 < x < 2.

Střední hodnoty vypočteme pomocí obvyklých vzorců. Je pak:

E(X|y) =∫ 20

3x2 + 2xy

2(3 + 2y)dx =

12(3 + 2y)

[x3 + x2y

]20=4 + 2y3 + 2y

,

E(Y |x) =∫ 30

3xy + 2y2

9(x+ 1)dy =

19(x+ 1)

[3xy2

2+2y3

3

]30

=3x+ 42(x+ 1)

.

6. Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé a mají normální rozdělení N(0, σ2).

a) Určete pravděpodobnosti P (X2+Y 2 ≤ 2σ2), P (1 ≤ X2+Y 2 ≤ 4), P (|X| < Y )a P (X2 + Y 2 ≤ 1

2 ∩X < Y ).

b) Nalezněte číslo r takové, že P (X2 + Y 2 ≤ r2) = 0, 9.

Řešení: Nejdříve určíme rozdělení náhodného vektoru (X, Y ). Protože jsou obě ná-hodné veličiny nezávislé je jeho sdružená hustota rovna součinu hustot marginálních.Ty jsou ale shodné. Je tedy sdružená hustota rovna

f(x, y) =12πσ2

e−x2+y2

2σ2 , (x, y) ∈ R2.

a) Požadované pravděpodobnosti vypočteme jako integrály ze sdružené hustotypřes množiny bodů, které v R2 splňují požadované podmínky.

P (X2 + Y 2 ≤ 2σ2) =∫ ∫

x2+y2≤2σ2

12πσ2

e−x2+y2

2σ2 dxdy =

=

∣∣∣∣∣ x = ρ cosϕ, 0 < ρ < σ√2

x = ρ sinϕ, 0 < ϕ < 2π

∣∣∣∣∣ = 12πσ2

∫ 2π0

(∫ σ√2

0e−

ρ2

2σ2 dρ

)dϕ =

=2π2πσ2

[−σ2e−

ρ2

2σ2

]√2σ0= 1− e−1 = 0, .

P (1 ≤ X2 + Y 2 ≤ 4) =∫ ∫1≤x2+y2≤4

12πσ2

e−x2+y2

2σ2 dxdy =

11

=

∣∣∣∣∣ x = ρ cosϕ, 1 < ρ < 2x = ρ sinϕ, 0 < ϕ < 2π

∣∣∣∣∣ 12πσ2

∫ 2π0

(∫ 21e−

ρ2

2σ2 dρ)dϕ =

=2π2πσ2

[−σ2e−

ρ2

2σ2

]21= e−

12σ2 − e−

2σ2 .

P (|X| < Y ) =∫ ∫

|x|<y

12πσ2

e−x2+y2

2σ2 dxdy =

∣∣∣∣∣ x = ρ cosϕ, 0 < ρ < ∞x = ρ sinϕ, π

4 < ϕ < 3ππ

∣∣∣∣∣ == 12πσ2

∫ 3π4

π4

(∫∞0 e

− ρ2

2σ2 dρ)dϕ = π

4πσ2

[−σ2e−

ρ2

2σ2

]∞0= 14 = 0, 25.

P (X2 + Y 2 ≤ 12∩X < Y ) =

∫ ∫x2+y2≤ 12∩x<y

12πσ2

e−x2+y2

2σ2 dxdy =

=

∣∣∣∣∣ x = ρ cosϕ, 0 < ρ <√22

x = ρ sinϕ, −3π4 < ϕ < π4

∣∣∣∣∣ = 12πσ2

∫ π4

− 3π4

∫ √22

0e−

ρ2

2σ2 dρ

dϕ ==

π

2πσ2

[−σ2e−

ρ2

2σ2

]√22

0=12(1− e−

14σ2 ).

b) Obdobně jako v odstavci a) dostaneme:

P (X2 + Y 2 ≤ r2) =∫ ∫

x2+y2≤r2

12πσ2

e−x2+y2

2σ2 dxdy =

=

∣∣∣∣∣ x = ρ cosϕ, 0 < ρ < rx = ρ sinϕ, 0 < ϕ < 2π

∣∣∣∣∣ = 12πσ2

∫ 2π0

(∫ r

0e−

ρ2

2σ2 dρ)dϕ =

=2π2πσ2

[−σ2e−

ρ2

2σ2

]r0= 1− e−

r2

2σ2 = 0, 95.

Odtud plyne, že

e−r2

2σ2 = 0, 05⇒ r2 = −σ2

2 ln0, 05⇒ r =√−σ2

2 ln0, 05 = 1, 2239σ2.

7. Náhodný vektor má spojité rozdělení určené sdruženou distribuční funkcí

F (x, y) =

⟨0, x < 0 ∨ y < 0,1− e−2x − e−3y + e−2x−3y, x ≥ 0 ∧ y ≥ 0.

a) Určete marginální distribuční funkce.

b) Určete sdruženou hustotu a marginální hustoty.

c) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé.

d) Vypočtěte pravděpodobnosti P (X + Y < 1), P (X > Y ) a P (Y > X2).

Řešení: a) Marginální distribuční funkce určíme jako limity:

F1(x) = limy→∞

F (x, y) =

⟨0, x ≤ 0,1− e−2x, x ≥ 0;

F2(y) = limx→∞

F (x, y) =

⟨0, y ≤ 0,1− e−3y, y ≥ 0;

12

b) Sdruženou hustotu vypočteme pomocí vzorce f(x, y) =∂2F

∂x∂y. Je postupně:

f(x, y) = 0, x < 0 ∨ y < 0;

f(x, y) =∂

∂x

(∂

∂y

(1− e−2x − e−3y + e−2x−3y

))=

∂

∂x

(3e−3y − 3e−2x−3y

)=

= 6 e−2x−3y, x > 0 ∧ y > 0.

Marginální hustoty vypočteme jako derivace marginálních distribučních funkcí nebointegrováním sdružené hustoty. Pro porovnání uvedeme oba způsoby. Je:

f1(x) = F ′1(x) =

⟨0, x < 0,2 e−2x, x > 0;

f2(y) = F ′2(y) =

⟨0, y < 0,3 e−3y, y > 0.

f1(x) =∫ ∞

−∞f(x, y) dy =

⟨0, x < 0,∫∞0 6 e

−2x−3y dy = 2 e−2x, x > 0;

f2(y) =∫ ∞

−∞f(x, y) dx =

⟨0, y < 0,∫∞0 6 e

−2x−3y dx = 3 e−3y, y > 0;

c) Náhodné veličiny X a Y budou nezávislé pokud bude

f(x, y) = f1(x)f2(y), (x, y) ∈ R2. Snadno nahlédneme, že tato rovnost platí, neboť6 e−2x−3y = 2 e−2x · 3 e−3y, x > 0, y > 0. Náhodné veličiny jsou tudíž nezávislé.

d) Pravděpodobnosti vypočteme jako integrály ze sdružené hustoty přes množinu,ve které se hodnota náhodného vektoru vyskytuje.

P (X + Y < 1) =∫ ∫

x+y<1f(x, y) dxdy =

∫ 102 e−2x

(∫ 1−x

03e−3y dy

)dx =∫ 1

02e−2x

[−e−3y

]1−x

0=∫ 102(e−2x − ex−3

)dx =

[−e−2x − 2 ex−3

]10=

= 1− 3 e−2 + 2 e−3 = 0, ...

P (X > Y ) =∫ ∫

x>yf(x, y) dxdy =

∫ ∞

02 e−2x

(∫ x

03e−3y dy

)dx =∫ ∞

02e−2x

[−e−3y

]x0=∫ ∞

02(e−2x − e−5x

)dx =

[−e−2x + 2

5e−5x

]∞0=35= 0, 6.

P (Y > X2) =∫ ∫

y>x2f(x, y) dxdy =

∫ ∞

02 e−2x

(∫ ∞

x23e−3y dy

)dx =

=∫ ∞

02e−2x

[−e−3y

]∞x2=

=∫ ∞

02(e−2x−3x

2)dx = 2

∫ ∞

0e−3(x+

13 )2 · e

13 dx =∣∣∣∣∣∣

√3(x+ 1

3) =t√2√

3dx = 1√2dt

∣∣∣∣∣∣ = 2√6

e13

∫ ∞√23

e−t2

2 dt =2√6

e13

√2π∫ ∞√23

1√2πe−

t2

2 dt =

= 2e13

√π3

1− Φ√23

= 2, 8563 (1− Φ(0, 8165)) = 0, 5918,kde Φ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení N(0; 1).

13

8. Náhodný vektor má spojité rozdělení určené sdruženou hustotou f, kde

f(x, y) =

⟨a sin (x+ y), 0 ≤ x ≤ π

2 , 0 ≤ y ≤ π2 ,

0, jinde.

a) Určete číslo a.

b) Vypočtěte střední hodnoty E(X) a E(Y ).

c) Vypočtěte pravděpodobnost P (Y ≤ X).

d) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé.

Řešení: a) Sdružená hustota musí splňovat dvě podmínky a pomocí nich určímeneznámou hodnotu čísla a. Je:

(1) f(x, y) ≥ 0, (x, y) ∈ R2 ⇒ a > 0;

(2)∫ ∫

R2f(x, y) dxdy = 1⇒ a

∫ π2

0

(∫ π2

0sin (x+ y) dy

)dx =

= a∫ π2

0[− cos (x+ y)]

π20 dx = a

∫ π2

0

(cosx− cos (x+ π

2))dx =

= a[sinx− sin (x+ π

2)]π2

0= 2a = 1⇒ a =

12.

Je tedy

f(x, y) =

⟨12 sin (x+ y), 0 ≤ x ≤ π

2 , 0 ≤ y ≤ π2 ,

0, jinde.

b) Je E(X) =∫ ∫

R2xf(x, y) dxdy =

12

∫ π2

0

(∫ π2

0x sin (x+ y) dy

)dx =

=12

∫ π2

0x [− cos (x+ y)]

π20 dx =

12

∫ π2

0x(cosx− cos (x+ π

2))dx =[

x(sin x− sin (x+ π

2))−(− cosx+ cos (x+ π

2))]π

2

0=

π

4;

E(Y ) =∫ ∫

R2yf(x, y) dxdy =

12

∫ π2

0

(∫ π2

0y sin (x+ y) dx

)dy =

=12

∫ π2

0y [− cos (x+ y)]

π20 dy =

12

∫ π2

0y(cos y − cos (y + π

2))dy =[

y(sin y − sin (y + π

2))−(− cos y + cos (y + π

2))]π

2

0=

π

4;

c) P (Y ≤ X) =∫ ∫

y≤xf(x, y) dxdy =

12

∫ π2

0

(∫ x

0sin (x+ y) dy

)dx =

=12

∫ π2

0[− cos (x+ y)]x0 dx =

12

∫ π2

0(cosx− cos (2x)) dx = 1

2

[sin x− 1

2sin (2x)

]π2

0=

=12.

14

d) Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě když je sdružená hustota rovnasoučinu hustot marginálních. Z jejího vyjádření vidíme, že není rovna součinu funkcív jednotlivých proměnných a tudíž podmínka pro nezávislost nemůže být splněna.Jsou tedy náhodné veličiny X a Y závislé.

9. Náhodný vektor má spojité rozdělení určené sdruženou hustotou f, kde

f(x, y) =

⟨ae−y(sinx, 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ ∞,0, jinde.

a) Určete číslo a.

b) Určete sdruženou distribuční funkci a marginální distribuční funkce.

c) Vypočtěte střední hodnoty E(X) a E(Y ).

d) Vypočtěte pravděpodobnost P (Y ≥ X).

d) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé a určete podmíněnéhustoty.

Řešení: a) Sdružená hustota musí splňovat dvě podmínky a pomocí nich určímeneznámou hodnotu čísla a. Je:

(1) f(x, y) ≥ 0, (x, y) ∈ R2 ⇒ a > 0;

(2)∫ ∫

R2f(x, y) dxdy = 1⇒ a

∫ π

0

(∫ ∞

0e−y sin x dy

)dx = a

∫ π

0

[−e−y sin x

]∞0dx =

= a [− cosx]π0 = 2a = 1⇒ a =12.

b) Sdruženou distribuční funkci vypočteme ze vztahu

F (x, y) = P (X ≤ x ∩ Y ≤ y) =∫ x

−∞

∫ y

−∞f(u, v) dudv.

Je

F (x, y) = 0, x ≤ 0 ∨ y ≤ 0;

F (x, y) =12

∫ x

0

(∫ y

0e−v cosu dv

)du =

12(1− e−y)(1− cosx), 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y;

F (x, y) = F (π, y) = 1− e−y, π ≤ x < ∞, 0 ≤ y < ∞.

Marginální distribuční funkce určíme ze vztahů:

F1(x) = limy→∞

F (x, y), F2(y) = limx→∞

F (x, y).

Protože se pro hodnoty x ≥ π již sdružená distribuční funkce nemění a limy→∞

e−y = 0,

je:

F1(x) =

⟨ 0, −∞ < x ≤ 0,12(1− cosx), 0 ≤ x ≤ π,1, π ≤ x < ∞,

F2(y) = F (π, y) =

⟨ 0, −∞ < y ≤ 0,

1− e−y, 0 ≤ y < ∞.

15

c) E(X) =∫ ∫

R2xf(x, y) dxdy =

12

∫ π

0

(∫ ∞

0e−yx sin x dy

)dx =

=12

∫ π

0

[−e−yx sinx

]∞0dx =

12

∫ π

0x sin x dx =

12[−x cosx+ sinx]π0 =

π

2

E(Y ) =∫ ∫

R2yf(x, y) dxdy =

12

∫ π

0

(∫ ∞

0ye−y sin x dy

)dx =

−12

∫ π

0

[(−y − 1)e−y sinx

]∞0dx =

12

∫ π

0sin x dx =

12[− cosx]π0 =

12

d) P (Y ≥ X) =∫ ∫

y≥xxf(x, y) dxdy =

12

∫ π

0

(∫ ∞

xe−y sin x dy

)dx =

=12

∫ π

0

[−e−y sin x

]∞xdx =

12

∫ π

0e−x sin x dx =

12

[−e−x(cosx+ sinx)

]π0=

12(1 + e−π) = 0, 2086

d) Nezávislost náhodných veličin poznáme z podmínky pro sdruženou a marginálnídistribuční funkce. Musí být

F (x, y) = F1(x) · F2(y), (x, y) ∈ R2.

Snadno nahlédneme, že je podmínka pro nezávislost splněna. Protože jsou náhodnéveličiny nezávislé, jsou jejich podmíněné hustoty shodné z marginálními hustotami.Ty získáme derivováním marginálních distribučních funkcí. Je tedy

f(x|y) = f1(x) = F ′1(x) =

⟨0, −∞ < x < 0, π < x < ∞12 sin x, 0 < x < π,

f(y|x) = f2(y) = F ′2(y) =

⟨0, −∞ < y < 0,e−y, 0 < y < ∞.

10. Pro náhodnou veličinu X je E(X) = −1, D(X) = 4 a Y = 2 − 3X. Vypočtětekoeficient korelace ρ(X, Y ).

Řešení: Z vlastností střední hodnoty dostaneme, že E(Y ) = E(2 − 3X) = 2 −3E(X) = 2 − 3.(−1) = 2 + 3 = 5. Stejně získáme hodnotu D(Y ) = D(2 − 3X) =(−3)2D(X) = 9.4 = 36, když si uvědomíme, že rozptyl se při posunu nemění aže je to střední hodnota kvadrátu. Podobně vypočteme střední hodnotu E(XY ) =E(X(2 − 3X)) = E(2X − 3X2) = 2E(X) − 3E(X2). K určení druhého obecnéhomomentu použijeme vztahu D(X) = E(X2) − (E(X))2. Po dosazení dostanemerovnici 4 = E(X2) − 1 ⇒ E(X2) = 5. Odtud plyne, že E(XY ) = 2.(−1) − 3.5 =−17.Koeficient korelace je roven

ρ(X, Y ) =E(XY )− E(X)E(Y )√

D(X)D(Y )=−17− (−1).5√

4.36=−1212= 1,

což je ve shodě z uvedenými vlastnostmi koeficientu korelace.

16

11. Náhodná veličina X má normální rozdělení N(2; 9). Pro náhodnou veličinu

Y = 3 + 2X vypočtěte P (Y 2 + 12 ≤ 13Y ).

Řešení: Náhodná veličina Y, která vznikne lineární transformací náhodné veličinyX má rovněž normální rozdělení N(µ, σ2), kde:

µ = E(Y ) = E(3 + 2X) = 3 + 2E(X) = 3 + 2.2 = 7 a

σ2 = D(Y ) = D(3 + 2X) = 4D(X) = 4.9 = 36.

Potom P (Y 2 + 12 ≤ 13Y ) = P (Y 2 − 13Y + 12 ≤ 0) = P ((Y − 1)(Y − 12) ≤ 0) == P (1 ≤ Y ≤ 12) = F (12)−F (1), kde F je distribuční funkce normálního rozděleníN(7; 36). Je-li Φ distribuční funkce normovaného normálního rozdělení, pak

F (x) = Φ(x−76 ). Je tedy P (Y 2 + 12 ≤ 13Y ) = Φ(12−76 )− Φ(1−76 ) =

= Φ(0.833)− Φ(−1) = 0, 798− 1 + 0, 841 = 0, 639.

12. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu (−2, 4) a náhodná ve-ličina Y má normální rozdělení N(2; 3). Určete střední hodnotu náhodné veličinyZ = X2 − Y 2.

Řešení: Náhodná veličina X má spojité rozdělení s hustotu f, kde

f(x) =

⟨16 , −2 < x < 4,0, jinde.

Je tudíž

E(X2) =∫ ∞

−∞x2f(x) dx =

∫ 4−2

x2

6dx =

[x3

18

]4−2=64− (−8)18

= 4.

Dále je E(Y 2) = D(Y ) + (E(Y ))2 = 3 + 22 = 7. Odtud dostaneme, že

E(Z) = E(X2 − Y 2) = E(X2)− E(Y 2) = 4− 7 = −3.

13. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu (0, 2) a náhodná veličinaY = X2 − 1

3 . Určete koeficient korelace ρ(X, Y ).

Řešení: Náhodná veličina X má spojité rozdělení s hustotou f, kde

f(x) =

⟨12 , 0 < x < 2,0, jinde.

Dále je XY = X(X2 − 13) = X3 − 1

3X, Y 2 = (X2 − 13)2 = X4 − 2

3X2 + 1

9 . Proobecné momenty náhodné veličiny X postupně dostaneme:

E(X) = 1; E(X2) =12

∫ 20

x2 dx =16

[x3]20=43;

E(X3) =12

∫ 20

x3 dx =18

[x4]20= 2; E(X4) =

12

∫ 20

x4 dx =110

[x5]20=165

.

Odtud dostaneme:

17

D(X) = E(X2)− (E(X))2 = 43− 1 = 1

3; E(XY ) = E

(X3 − 1

3X)= 2− 1

3=53;

E(Y ) = E(X2 − 13) =43− 13= 1;

E(Y 2) = E(X4 − 2

3E(X2) +

19

)=165− 23· 43+13=10945;

D(Y ) = E(Y 2)− (E(Y ))2 = 10945

− 1 = 6445

.

Pro koeficient korelace dostaneme hodnotu

ρ(X, Y ) =E(XY )− E(X)E(Y )√

D(X)D(Y )=53 − 1.1√13 ·6445

=

√154= 0, 968.

Hodnota koeficientu korelace je blízká jedné, závislost se málo liší od lineární. Vuvažovaném intervalu (0, 2) se skutečně transformující funkce y = x2− 1

3 málo lišíod lineární funkce.

14. V intervalu 〈0, 3〉×〈0, 3〉 Zvolme náhodně bod (X, Y ) tak, že každá volba je stejněpravděpodobná. Určete pravděpodobnost toho, že bude vzdálenost bodu (X, Y ) odpočátku menší než 2.

Řešení: Souřadnice bodu (X, Y ) jsou hodnoty náhodného vektoru (X, Y ), který márovnoměrné rozdělení v intervalu 〈0, 3〉 × 〈0, 3〉. Protože je obsah tohoto intervaluroven 9, je sdružená hustota rozdělení pravděpodobnosti náhodného vektoru (X, Y )dána vztahem

f(x, y) =

⟨19 , 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3,0, jinde.

Hledaná pravděpodobnost je tedy rovna

P (√

X2 + Y 2 ≤ 2) =∫ ∫

x2+y2≤4f(x, y)dxdy =

∫ ∫x2+y2≤4

19dxdy =

19· π22

4=

π

9=

= 0, 34906,

jestliže k výpočtu integrálu použijeme vzorce pro obsah kruhu.

15. V kruhu se středem v počátku a poloměru r > 0 zvolme náhodně bod (X, Y ) tak,že každá volba je stejně pravděpodobná. Určete střední hodnoty a rozptyly obsahua obvodu obdélníka s vrcholy v bodech [0, 0], [X, 0], [X, Y ], [0, Y ].

Řešení: Souřadnice bodu (X, Y ) jsou hodnoty náhodného vektoru (X, Y ), který márovnoměrné rozdělení v kruhu {(x, y); x2 + y2 ≤ r2}. Obsah popsaného obdélníkaje náhodnou veličinou Z = |XY | a obvod je náhodnou veličinou W = 2(|X| +|Y |). Sdružená hustota f rozdělení pravděpodobnosti náhodného vektoru (X, Y )je rovna převrácené hodnotě obsahu kruhu. Je tedy

f(x, y) =

⟨1

πr2, x2 + y2 ≤ r2,

0, jinde.

18

Hledáme tedy střední hodnoty E(Z), E(Z2), E(W ), E(W 2). Při výpočtu integrálůvyužijeme substituce do polárních souřadnic a symetrie kruhu a integrované funkcenám dovolí počítat integrály jako čtyřnásobek jejich hodnoty při integraci přes částkruhu v prvním kvadrantu. Volíme tedy∣∣∣∣∣ x2 + y2 ≤ r2

x ≥ 0, y ≥ 0

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ x = ρ cosϕ, 0 < ρ ≤ r

y = ρ sinϕ 0 ≤ ϕ ≤ π2

∣∣∣∣∣Postupně dostaneme:

E(Z) =∫ ∫

x2+y2≤r2

|xy|πr2dxdy =

4πr2

∫ π2

0(∫ r

0(ρ3 cosϕ sinϕ) dρ)dϕ =

=4

πr2

[ρ4

4

]r

0

[sin2 ϕ2

]π2

0

=r2

2π= 0, 15915r2;

E(Z2) =∫ ∫

x2+y2≤r2

x2y2

πr2dxdy =

4πr2

∫ π2

0(∫ r

0(ρ5 cos2 ϕ sin2 ϕ) dρ)dϕ =

=4

πr2

[ρ6

6

]r

0

[18(ϕ− 1

4sin (4ϕ))

]π2

0=

r4

24= 0, 041667r4;

D(Z) = E(Z2)− (E(Z))2 = r4

24− r4

4π2=

π2 − 624π2

r4 = 0, 016336r4;

E(W ) =∫ ∫

x2+y2≤r2

2(|x|+ |y|)πr2

dxdy =8

πr2

∫ π2

0(∫ r

0ρ2(cosϕ+ sinϕ) dρ)dϕ =

=8

πr2

[ρ3

3

]r

0

[sinϕ− cosϕ]π20 =

163π

r = 1, 6976r;

E(W 2) =∫ ∫

x2+y2≤r2

4(x2 + 2xy + y2)πr2

dxdy =

=16πr2

∫ π2

0(∫ r

0ρ3(1 + 2cosϕ sinϕ) dρ)dϕ =

16πr2

[ρ4

4

]r

0

[ϕ− 12cos (2ϕ))

]π2

0=

=4r2

π

(π

2+ 1

)=2(2 + π)

πr2 = 3, 2734r2;

D(W ) = E(W 2)− (E(W ))2 = 2(2 + π)π

r2 − 2569π2

r2 =36π + 18π2 − 256

9π2r2 =

= 0, 39121r2.

16. Náhodný vektor (X, Y ) má spojité rozdělení určené sdruženou hustotou f, kde

f(x, y) =

⟨6 e−2x−3y, x > 0, y > 0,0, jinde.

Určete distribuční funkci G a hustotu g náhodné veličiny Z = X + Y.

Řešení: Souřadnice X a Y náhodného vektoru nabývají pouze kladných hodnot atedy náhodná veličina Z = X+Y je jenom kladná. To znamená, že G(z) = g(z) = 0pro z ∈ (−∞, 0). Pro z ∈ (0,∞) dostaneme:

19

G(z) = P (Z ≤ z) = P (X + Y ≤ z) =∫ ∫

x+y≤zf(x, y) dx)dy =

=∫ z

0(∫ z−x

0(2e−2x 3e−3y) dy)dx =

∫ z

02 e−2x

[−e−3y

]z−x

0dx =∫ z

0(2 e−2x − 2 e−3z ex) dx =

[−e−2x − 2 e−3z ex

]z0= 1− 3 e−2z + 2 e−3z, z ≥ 0;

g(z) = G′(z) = (1− 3 e−2z + 2 e−3z)′ = 6(e−2z − e−3z), z > 0.

17. Náhodný vektor (X,Y ) má spojité rozdělení určené sdruženou hustotou f, kde

f(x, y) =

⟨12 e

−y sin x, 0 < x < π, y > 0,0, jinde.

Určete distribuční funkci G a hustotu g náhodné veličiny Z = X + Y.

Řešení: Souřadnice X a Y náhodného vektoru nabývají pouze kladných hodnot atedy náhodná veličina Z = X+Y je jenom kladná. To znamená, že G(z) = g(z) = 0pro z ∈ (−∞, 0). Pro z ∈ (0,∞) dostaneme:

G(z) = P (Z ≤ z) = P (X + Y ≤ z) =∫ ∫

x+y≤zf(x, y) dx)dy.

Výpočet musíme rozdělit na dva případy. Nejprve pro 0 < x < π a potom prox ≥ π.

Pro 0 < z < π je

G(z) =12

∫ z

0(∫ z−x

0e−y sinx dy)dx =

12

∫ z

0

[−e−y

]z−x

0sin x dx =

12

∫ z

0sin x dx−

12e−z

∫ z

0ex sin x dx =

12[− cosx]z0 −

14e−z [ex (sinx− cosx)]z0 =

=12− 14(e−z + cos z − sin z);

Pro π ≤ z < ∞ je

G(z) =12

∫ π

0(∫ z−x

0e−y sin x dy)dx =

12

∫ π

0

[−e−y

]z−x

0sin x dx =

12

∫ π

0sin x dx−

12e−z

∫ π

0ex sinx dx =

12[− cosx]π0 −

14e−z [ex (sinx− cosx)]π0 = 1−

14e−z(eπ + 1);

Odtud dostaneme

g(z) = G′(z) =

⟨ 0, z ∈ (−∞, 0),14(e

−z + sin z + cos z), z ∈ (0, π),14(e

π + 1) e−z, z ∈ (π,∞).

18. Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení určené pravděpodobnostní funkcí p,která je zadána tabulkou hodnot. Náhodná veličina Y má normální rozdělení

N(0; 1) a obě náhodné veličiny jsou nezávislé. Určete rozdělení náhodné veličinyZ = X + Y.

20

x -1 0 2p(x) 1

214

14

Řešení: Náhodná veličina Y nabývá všech reálných hodnot a tedy i náhodná veličinaZ jich bude nabývat. Jestliže si označíme Φ distribuční funkci náhodné veličiny Y,pak pro distribuční funkci G náhodné veličiny Z platí:

G(z) = P (Z ≤ z) = P (X+Y ≤ z) = P (X = −1∩Y ≤ z+1)+P (X = 0∩Y ≤ z)+

P (X = 2 ∩ Y ≤ z − 2) = p(−1)Φ(z + 1) + p(0)Φ(z) + p(2)Φ(z − 2) == 12Φ(z + 1) +

14Φ(z) +

14Φ(z − 2).

Pro hustotu g dostaneme vyjádření

g(z) = G′(z) = 12ϕ(z + 1) +

14ϕ(z) +

14ϕ(z − 2),

kde ϕ(x) = Φ′(x) = 1√2πe−

x2

2 , x ∈ R.

19. Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení určené pravděpodobnostní funkcí p,která je zadána tabulkou hodnot. Náhodná veličina Y má exponenciální rozděleníEx(0; 1/2) a obě náhodné veličiny jsou nezávislé. Určete rozdělení náhodné veličinyZ = X + Y.

x -2 1 3p(x) 1

316

12

Řešení: Náhodná veličina Y má hustotu f a distribuční funkci F dánu vzorci

f(y) =

⟨0, x ∈ (−∞, 0),2 e−2x, x ∈ (0,∞), F (y) =

⟨0, x ∈ (−∞, 0〉,1− e−2x, x ∈ 〈0,∞),

a nabývá tudíž jenom kladných hodnot. Protože náhodná veličina X nabývá hodnotz množiny {−2, 1, 3} nabývá náhodná veličina Z = X + Y hodnot větších než -2.Pro její distribuční funkci G a hustotu g tedy platí, že G(z) = g(z) = 0, z ∈(−∞,−2).Pro hodnoty z > −2 dostaneme:G(z) = P (Z ≤ z) = P (X + Y ≤ z) = P (X = −2 ∩ Y ≤ z + 2) + P (X = 1 ∩ Y ≤z − 1)+P (X = 3 ∩ Y ≤ z − 3) = p(−2)F (z + 2) + p(1)F (z − 1) + p(3)F (z − 3) == 13F (z + 2) +

16F (z − 1) +

12F (z − 2).

Pro hustotu g dostaneme vyjádření

g(z) = G′(z) = 13f(z + 2) +

16f(z − 1) +

12f(z − 3).

21