05 MEHANIKA FLUIDA

STATIKA FLUIDA Ovaj deo mehanike fluida se bavi dejstvom sila na fluid u stanju mirovanja. Budući da se fluid ne kreće, sile (težina fluida, spoljni pritisak) ne vrše rad, već utiču samo na iznos njegove energije. Stoga kažemo da statika fluida proučava energetsko stanje fluida u miru. Ukupna mehanička energija fluida u stanju mirovanja sastoji se od potencijalne energije i energije pritiska, koje su povezane izrazom, poznatim kao osnovna jednačina hidrostatike. Smisao ove fundamentalne relacije može se objasniti razmatranjem sistema prikazanog na slici 3.

Slika 3. Otvoreni sud u kome tečnost miruje nalazi se na određenoj visini iznad podloge 0-0. U tečnosti su označena dva preseka (i i j), paralelna s podlogom. Sve tačke preseka i nalaze se na istoj visini (hi) i zato imaju istu potencijalnu energiju – presek i je jedna ekvipotencijalna ravan. Iznad preseka i se nalazi određena količina tečnosti, čija težina, zajedno sa atmosferskim pritiskom (Pa), rezultuje u pritisku (Pi) na ravan i:

γγγ⋅+=

⋅⋅+=

⋅+=+= ia

ia

ia

iai zP

SzSP

SVP

SGPP (1)

gde su Gi i Vi ukupna težina, odnosno zapremina tečnosti iznad ravni i, γ je specifična težina tečnosti, a S površina poprečnog preseka suda. Čestica fluida, mese m, težine G i zapremine V, koja se nalazi u preseku i, ima ukupnu mehaničku energiju: VPhgmEEE iipritiskaapotencijai ⋅+⋅⋅=+= ln (2)

STATIKA, KINEMATIKA, DINAMIKA FLUIDA, ISTICANJE FLUIDA 40

Kada ukupnu energiju čestice svedemo na jedinicu njene težine, dobijamo:

γ

ii

i PhGE

+= (3)

Jednakim razmatranjem za presek j dobija se:

γ

jj

j Ph

GE

+= (4)

Kada u izraze (3) i (4) unesemo izraz (1):

γγ

γ aii

iai

i PzhzPhGE

++=⋅+

+= ; γγ

γ ajj

jaj

j PzhzP

hGE

++=⋅+

+= (5)

oučavamo da su oni međusobno jednaki: jjii zhzh +=+ (6) odakle sledi da je ukupna jedinična mehanička energija fluida jednaka za preseke i i j. S obzirom na to da su preseci i i j proizvoljno izabrani, isti zaključak važi i za bilo koji presek u sudu. Prema opštem obliku osnovne jednačine hidrostatike:

.constPhGE

=+=γ

(7)

ukupna energija fluida u miru je po jedinici njegove težine konstantna, iako odnos njegove potencijalne energije i njegove energije pritiska zavisi od položaja u odnosu na podlogu.

Komentar: Podloga na slici 3 predstavlja tzv. referentnu ravan, tj. ekvipotencijalnu ravan u odnosu na koju merimo potencijalnu energiju tačaka posmatranog sistema. (U mehanici fluida ekvipotencijalna ravan je uvek paralelna zemljinoj površini.) Apsolutni iznos potencijalne energije tela u gravitacionom polju nas ne zanima jer uvek razmatramo samo razliku u potencijalnoj energiji između dve tačke (dva preseka sistema). Referentna ravan se može postaviti proizvoljno (čak i iznad suda na slici), ali je najpraktičnije da se postavi u najnižu tačku sistema. U razmatranom primeru tome bi odgovaralo dno suda.

Komentar: Svaki član osnovne jednačine hidrostatike predstavlja energiju po jedinici težine fluida (J/N). Pošto džul predstavlja N·m, ona se može izraziti i kao N·m/N. Ako formalno skratimo njutn u brojiocu i imeniocu, ostaće samo jedinica dužine – m. Zbog toga u inženjerskoj praksi pomenuti članovi osnovne jednačine hidrostatike nose naziv visine. Dakle, član potencijalne energije se naziva visina potencijalne energije ili geometrijska visina, ili geodetska visina, a član energije pritiska visina statičkog pritiska ili jednostavnije visina pritiska. Uprkos tome, nikako ne treba zaboraviti da je pomenuto skraćivanje jedinica samo formalno i da se suštinski uvek radi o energiji po jedinici težine fluida.

Jednu od primena osnovne jednačine hidrostatike nalazimo kod pijezometra (πιεσις – pritisak; μετρον – mera): prave, vertikalne, na vrhu otvorene staklene cevi pomoću koje se može meriti statički pritisak u fluidu. U tačkama A i B horizontalnog cevovoda, ispunjenog fluidom (slika 4), postavljeni su pijezometri. Usled pritiska Pa, odnosno Pb u tačkama A i B, tečnost se u pijezometrima diže do


odgovarajućih nivoa a i b: zbir atmosferskog pritiska i hidrostatičkog pritiska tečnosti u svakom od pijezometara održava ravnotežu odgovarajućem pritisku u osi cevovoda.

Slika 4. Osnovna jednačina hidrostatike važi za svaki od dva pijezometra:

)( AAa

AA zhPhP

++=+γγ

; )( BBa

BB zhPhP

++=+γγ

(8)

odakle se dobija:

γγγ

aAaAA

PPPPz −=−

= ; γγγ

aBaBB

PPPPz −=−

= (9)

Ukoliko nas zanima razlika pritisaka u tačkama A i B, ona se može dobiti direktno iz razlike visina nivoa u pijezometrima:

γγ

BABA

PPzzz −=−=Δ (10)

Razlika nivoa tečnosti u pijezometrima brojčano je jednaka razlici visina pritiska u tačkama A i B, što i predstavlja izvesno opravdanje za upotrebu termina "visina". Kao najjeftiniji uređaj za merenje pritiska, pijezometar se najčešće koristi za praćenje njegove promene duž nekog hidrauličkog sistema.

Komentar: Pijezometrom se ne može meriti pritisak gasovitih fluida, što je očigledno iz same njegove konstrukcije. Komentar: Ista razlika nivoa u pijezometrima ne znači automatski i istu razliku pritisaka – ova druga zavisi i od specifične težine fluida. Važi i obrnuto: pri proticanju različitih fluida cevovodom ista razlika pritisaka će dati drugačiju razliku nivoa u pijezometarskim cevima. Komentar: Kada se radi o protočnim, osnosimetričnim sistemima, kao što je cevovod sa slike 4, sve visine (pijezometarska visina, visina u odnosu na referentnu ravan) se računaju od težišta preseka sistema; u prikazanom primeru to je osa cevovoda.


KINEMATIKA FLUIDA Ova oblast mehanike fluida proučava brzinsko polje u fluidu ne zalazeći u uzroke njegovog kretanja, odnosno u sile koje pri tome dejstvuju. Najznačajniji njeni rezultati sadržani su u jednačini kontinuiteta, koja predstavlja zakon o održanju mase primenjen na mehaniku fluida. Prema slici 5, na kojoj je prikazan segment horizontalnog cevovoda, jednačina kontinuiteta tvrdi da su maseni protoci fluida u presecima 1 i 2, međusobno jednaki: 21 ττ mm = (11) Drugim rečima, pri proticanju fluida od preseka 1 do preseka 2 masa fluida ne može nestati neznano kud, niti se ni iz čega može stvoriti, što i jeste tvrdnja zakona o održanju mase. Kada se radi o nestišljivim fluidima, izraz (11) važi uvek. On važi i za stacionarno strujanje stišljivih fluida. Međutim, ako stišljivi fluid struji nestacionarno, što znači da mu se protok s vremenom menja, ta promena će se uvek pre osetiti u preseku 1 nego u preseku 2. U ovom slučaju se jednačina kontinuiteta potvrđuje tek ako se izjednače prosečni maseni protoci, mereni u dužem intervalu vremena.

Slika 5

Izraz (11) se može dodatno razviti ako fluid struji pod izotermskim uslovima, tj. ako su temperature u presecima 1 i 2 jednake. U tom slučaju je i gustina fluida duž cevovoda konstantna ( 21 ρρ = ), pa iz: 2211 ττ ρρ VV ⋅=⋅ dobijamo 21 ττ VV = (12) Dakle, za izotermsko strujanje fluida, pored konstantnosti masenog protoka, važi i konstantnost zapreminskog protoka duž celog cevovoda.


Uzevši u obzir da je SwV ⋅=τ , gde je w - brzina fluida, a S - površina poprečnog preseka cevovoda, prema slici 5 sledi:

i 2211 SwSw ⋅=⋅1

2

2

1

SS

ww

= (13)

Brzina strujanja u pojedinim presecima sistema obrnuto je proporcionalna površini tih preseka. Ako je presek cevovoda kružnog oblika, kao na slici 5, izraz (13) se može i dalje razviti:

2

1

2

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dd

ww (14)

gde su d1 i d2 - prečnici odgovarajućih preseka. Izrazi (13) i (14) imaju veoma široku primenu u mehanici fluida uprkos ograničenjima u pogledu stacionarnosti i izotermnosti strujanja, odnosno stišljivosti fluida.


DINAMIKA FLUIDA Dok je statika fluida proučavala energetsko stanje fluida u mirovanju, dinamika fluida se bavi energetskim stanjem fluida u kretanju. Svako telo koje se kreće pored drugih vidova energije sadrži i određeni iznos kinetičke energije. Isto tako, i čestica fluida mase - m, težine - G i zapremine - V, koja se nalazi na visini - h iznad referentne ravni, ukoliko je izložena pritisku - p i kreće se brzinom - w, ima ukupnu mehaničku energiju:

2

2

ln

wmVphgmE

EEEE kinetickapritiskaapotencija

⋅+⋅+⋅⋅=

++= (15)

Svođenjem ukupne energije čestice na jedinicu njene težine, dolazimo do Bernulijeve jednačine:

.2

2

constg

wphGE

=++=γ

(16)

koja tvrdi da je ukupna mehanička energija fluida u kretanju konstantna i da se sastoji od potencijalne energije, energije pritiska i kinetičke energije. Bernulijeva jednačina, kako se vidi, predstavlja proširenje osnovne jednačine hidrostatike, a obe su izraz zakona o održanju energije, primenjenog na mehaniku fluida. Slično slučaju kada je fluid mirovao, sve njegove čestice i pri kretanju održavaju istu ukupnu energiju, dok se menja samo odnos između pojedinih njenih vidova. Fluid može sticati brzinu (kinetičku energiju) na račun padanja s neke visine (smanjenja potencijalne energije) ili usled dejstva pritiska (pada energije pritiska). Na primer, u sistemu sa slike 6 na narednoj strani, ukupna energija fluida u presecima 1 i 2 je jednaka:

g

wphg

wph22

222

2

211

1 ++=++γγ

(17)

ali se već pomoću jednačine kontinuiteta može zaključiti da su njegove brzine, znači i kinetičke energije fluida u dva preseka, različite.


Slika 6

Pošto je cevovod horizontalan (potencijalna energija fluida je u oba preseka ista), gornji izraz se svodi na:

g

wpg

wp22

222

211 +=+

γγ i dalje

gw

gwpp

22

21

2221 −=−

γγ

odakle se vidi da je protičući od preseka 1 do 2 fluid zadobio određeni iznos kinetičke energije, ali na račun pada energije pritiska, tako da je ukupna energija ostala konstantna. Ovaj primer daje povoda da se uoči važno pravilo: na mestima u strujnom sistemu gde fluid povećava brzinu, dolazi do pada pritiska, i obratno! Iako to nije posebno naglašeno, gornje razmatranje se odnosilo na idealni fluid, dakle takav koji struji bez trenja. Kod realnih fluida, međutim, jedan deo energije se pri strujanju troši na savlađivanje sila trenja i prelazi u toplotu, tako da je ukupan iznos mehaničke energije u preseku 2 manji nego u preseku 1. Isto tako, između dva preseka može postojati crpka koja će fluidu stalno predavati određeni iznos energije u jedinici vremena. Kada se sve uzme u obzir, Bernulijeva jednačina dobija oblik:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ − g

wphfEg

wph22

222

221

211

1 γγ (17)

koji se naziva Energijska jednačina. Izraz (17) je najopštiji oblik energetskog bilansa realnog fluida pri strujanju i stoga ima najširu primenu.

Komentar: Kao kod osnovne jednačine hidrostatike, tako i u Bernulijevoj, odnosno u Energijskoj jednačini svaki član predstavlja energiju po jedinici težine fluida. Zbog formalnog skraćivanja jedinica ovi članovi u inženjerskoj praksi nose naziv "visina". Uporedo s visinom pritiska i visinom potencijalne energije koje su pomenute u STATICI FLUIDA, sada za član kinetičke energije (w2/2g) imamo naziv visina brzine ili visina dinamičkog pritiska, za energiju crpke (E) – visina dizanja crpke, a za član energije gubitaka (f1-2) – visina gubitaka. Recimo uzgred da visina dizanja crpke i fizički predstavlja visinu do koje crpka može da potisne tečnost, a da se visina gubitaka u određenim slučajevima može neposredno predstaviti razlikom nivoa u pijezometarskim cevima postavljenim u dva uočena preseka.


ISTICANJE FLUIDA Fluide se unutar pogona može transportovati na različite načine, pa ipak, ako to dopu[ta tehnološki proces, transport pod dejstvom gravitacije je sigurno najekonomičniji. Na primer, vrlo je pogodno ako je u mlekari sabirni rezervoar za mleko tako postavljen da se iz njega mleko može slobodnim isticanjem distriburati u sve faze obrade. Zbog toga se problematika isticanja tečnosti iz rezervoara obrađuje kao posebna operacija. Osnovna pitanja koja se ovde postavljaju odnose se na činioce koji određuju brzinu, odnosno protok tečnosti pri isticanju, kao i na vreme pražnjenja rezervoara. Proces isticanja može biti stacionaran i nestacionaran. Prvi slučaj je jednostavniji i stoga pogodan za razumevanje principa isticanja, dok drugi više odgovara realnim uslovima. STACIONARNO ISTICANJE Uslovi stacionarnosti isticanja biće zadovoljeni ukoliko se parametri koji određuju brzinu isticanja ne menjaju tokom procesa, što znači da će i brzina isticanja biti konstantna. Takvi uslovi se ostvaruju samo ako se u rezervoar (slika 7) stalno doliva tečnost u takvoj količini da njen gornji nivo ostane neizmenjen. Opisana situacija je u praksi veoma retka, ali se mnoge realne situacije mogu približno svesti na nju. Na primer, ako se iz rezervoara u kratkom vremenskom intervalu istače samo srazmerno mala količina tečnosti, može se smatrati da to praktično neće uticati na opadanje nivoa u njemu. Ta pretpostavka je još opravdanija ako je površina poprečnog preseka rezervoara velika.

Slika 7 Kod isticanja pod dejstvom zemljine teže dolazi do stalnog pretvaranja potencijalne energije u energiju pritiska i energije pritiska u kinetičku energiju. Stoga se za opisivanje isticanja može iskoristiti energijska jednačina. Prema slici 7, presek 1 je odabran u ravni gornjeg nivoa tečnosti, a presek 2 u ravni bočnog otvora pri dnu rezervoara kroz koji tečnost ističe, jer je pritisak (Pa) u ta dva preseka poznat. Referentna ravan je postavljena tako da potencijalna energija preseka 2 bude jednaka nuli, što uprošćava razmatranje. Shodno ovome, za realni fluid važi:

gwPhf

gwPh

22

222

221

211

1 ++=−++ − γγ


Prema slici 7 je ; i Hh =1 02 =h aPPP == 21 , pa sledi:

gwPf

gwPH aa

20

2

22

21

21 ++=−++ − γγ

što sređivanjem daje: 21

21

22

2 −−=− fHgww (18)

Brojilac na levoj strani predstavlja razliku kvadrata brzina fluida u otvoru i u ravni nivoa. Pošto su prema jednačini kontinuiteta brzine fluida obrnuto proporcionalne površinama poprečnih preseka kroz koje fluid protiče, a poprečni presek rezervoara (1) je mnogo veći od poprečnog preseka otvora (2), onda važi: i , pa je 11 SS >> 21 ww <<

g

wgww

22

22

21

22 ≈− (19)

Na primer, ako je prečnik rezervoara 1 m (100 cm), a prečnik otvora 5 cm, što odgovara nekoj realnoj situaciji, onda je:

22

22

22

1 0025,0100

5 www ⋅=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

To znači da zanemarivanjem brzine fluida u ravni nivoa činimo grešku od 0,25%, što je u tehničkim proračunima dopušteno. Uvođenjem aproksimacije (19) u izraz (18) i njegovim naknadnim preuređivanjem dobijamo brzinu isticanja realnog (r) fluida kroz otvor: ( ) ( )212 2 −−= fHgw r (20) Uz isti postupak, za idealni fluid (id) bi se dobio izraz: ( ) gHw id 22 = (21) Član energije gubitaka sada ne postoji jer je idealni fluid neviskozan – struji bez trenja. Poredeći izraze (20) i (21) uočavamo da pri istom nivou u rezervoaru realni fluid postiže manju brzinu u otvoru jer se deo potencijalne energije tečnosti utrošio na savlađivanje trenja. Odnos brzine isticanja postignute u realnim uslovima u odnosu na idealne naziva se brzinskim koeficijentom:

( )( ) 11 21

2

2 <−== −

Hf

ww

id

rϕ (22)

Njega nije jednostavno izračunati u svakom konkretnom slučaju, već se koriste neke usvojene prosečne vrednosti, dobijene na osnovu brojnih laboratorijskih eksperimenata. Tako za većinu


tečnosti po osobinama bliskih vodi, dakle i za vodene rastvore, srednja vrednost brzinskog koeficijenta iznosi 0,97, što znači da se pri isticanju prosečno oko 3% energije utroši na trenje. Posle ovoga, brzina isticanja realnog fluida prema izrazu (22) postaje: ( ) ( ) gHgHww idr 297,0222 ≈⋅=⋅= ϕϕ (23)

Slika 8 Ako ovako izračunatu brzinu pomnožimo površinom poprečnog preseka otvora, dobićemo protok znatno veći od protoka koji bi bio izmeren u praksi. uzrok ovome je pojava kontrakcije mlaza. Na slici 8, koja predstavlja okolinu otvora rezervoara sa slike 7, vidi se da tečnost u otvor ulazi konvergentno. Zbog sopstvene inercije, čestice tečnosti slede konvergentne putanje i iza otvora, što ima za posledicu suženje poprečnog preseka mlaza na veličinu Sk. Brzina w2 (potpuna konverzija potencijalne energije u kinetičku) zapravo se javlja u ovom, najužem preseku, tako da se tačna vrednost protoka dobija iz: kSwV ⋅= 2τ (24) Položaj i veličinu preseka Sk je, nažalost, teško odrediti u pojedinačnoj konkretnoj situaciji, pa se kao i kod brzinskog koeficijenta koristi prosečna vrednost tzv. koeficijenta kontrakcije mlaza:

65,02

==SSkψ (25)

Kombinovanjem izraza (23), (24) i (25), dobija se: ( ) gHSSgHSwV kr 22 222 ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= μψϕτ (26) Proizvod brzinskog koeficijenta (ϕ) i koeficijenta kontrakcije mlaza (ψ) se naziva koeficijentom isticanja (μ); njegova vrednost je za tečnosti bliske vodi 0,62. Izraz (26) više ne sadrži nijednu veličinu koja opisuje osobine tečnosti, već samo geometrijske parametre: visinu nivoa tečnosti i površinu poprečnog preseka otvora. To navodi na zaključak da će, bez obzira na osobine, sve tečnosti pod istim uslovima isticati istim protokom. Ispravnije bi bilo reći: sve tečnosti bliske vodi isticaće sličnim protokom. Kod tečnosti koje se znatno


razlikuju od vode (naročito po viskozitetu), i koeficijent isticanja će se znatno razlikovati od navedene prosečne vrednosti, pa će i ostvareni protoci biti drugačiji.

Komentar: Energijsku, odnosno Bernulijevu jednačinu u praksi treba posmatrati kao izraz koji povezuje energiju fluida (potencijalnu, kinetički energiju i energiju pritiska) u dva preseka sistema. Preseke treba tako birati da se na osnovnu poznatih parametara može izračunati onaj nepoznati. Komentar: Izrazi (23) i (26) imaju tipičan oblik, koji se veoma često sreće u tehnici. Kao što je već ranije naglašeno, teorijsko razmatranje nekog fenomena se obično prvo izvodi na jednostavnijem modelu (u ovom slučaju, na modelu idealnog fluida), pa se potom dobijeni rezultat prilagođava realnoj situaciji. Kod isticanja se brzina u otvoru najpre izračunava za idealni fluid, a zatim se uvođenjem korekcionih koeficijenata (brzinskog, kontrakcije mlaza i isticanja), dobijenih na osnovu obimnog eksperimentalnog materijala, prilagođava realnom stanju.

NESTACIONARNO ISTICANJE U primeru, prikazanom na slici 8, stacionarnost uslova je održavana stalnim nadoknađivanjem istekle tečnosti. U realnim situacijama (slika 9) to nije slučaj, pa će se njen nivo smanjivati, što će posledično izazvati i stalno smanjenje protoka kroz otvor.

Slika 9 Kada je rezervoar iz koga tečnost ističe cilindričnog oblika (S1=const.), metodama diferencijalnog i integralnog računa se može dobiti vreme potrebno da se nivo tečnosti spusti sa zadate početne vrednosti hp na zadatu krajnju vrednost hk:

( )kp hhgS

S−

⋅⋅⋅

=2

2

2

1

μτ (31)

I za druge oblike rezervoara kod kojih se presek S1 menja tokom vremena, na primer, za sferni ili rezervoar u obliku položenog cilindra, dobijaju se slični, ali složeniji izrazi. Ne zalazeći u detalje metoda diferencijalnog i integralnog računa pomoću kojih se takva rešenja dobijaju, istaknimo da je na osnovu izraza (31) moguće predvideti vreme istakanja određene zapremine tečnosti iz rezervoara sa slike 9, što je s gledišta prakse od jedinog značaja.

Documents

05 MEHANIKA FLUIDA