02_Kristalna Struktura Metala

15

`

22.. ККРРИИССТТААЛЛННАА ССТТРРУУККТТУУРРАА ММЕЕТТААЛЛАА

16 Инжењерски материјали – Р. Алексић

2.1. КАРАКТЕРИСТИКЕ МЕТАЛНЕ ВЕЗЕ

Метална веза настаје тако што атоми метала отпуштају своје валентне електроне и пре-лазе у позитивно наелектрисане јоне. Валентни електрони размештају се слободно у прос-тору око позитивно наелектрисаних јона и образују „облак” слободних електрона између њих. Ови електрони брзо се крећу између позитивних јона и чврсто их везују у целину. Електрони у нижим енергетским нивоима у атомима метала образују стабилне електрон-ске конфигурације око језгра, сличне конфигурацијама племенитих гасова.

Ова веза настаје услед смањења потенцијалне и кинетичке енергије валентних електрона. Сваки валентни електрон није локализован само између два јонска језгра. Пош-то валентни електрони припадју свим атомима метала, налазећи се између њих као елек-тронски „облак“ мање више слободно се крећући, за ову везу се каже да је неусмерена.

Метална хемијска веза и својства метала могу се објаснити помоћу различитих модела – модела електронског гаса и модела електронских трака.

а)

б)

Слика 2.1 а) Шематски приказа настајања металне везе према моделу електронског гаса, б) Шематски приказа модел електронског гаса

Модел електронског гаса. Према овом моделу, метали садрже велики број нелокализо-ваних слободних електрона који се крећу у међуатомским просторима попут молекула гаса и због тога се и називају електронски гас. Слободни електрони повезују у простору настале позитивне металне јоне, слика 2.1.а.

2 – Кристална структура метала 17

Негативно наелектрисање свих електрона, расподељених по целој решетки, држи пози-тивне јоне на равнотежном растојању, преко динамичке електростатичке равнотеже сила привлачења супротно наелектрисаних електрона и јонских металних језгара са једне и силе одбијања између позитивних металних јона, са друге стране, слика 2.1.б

Присуством делокализованих електрона могу се објаснити и својства метала да су добри проводници топлоте и електрицитета и да емитују електроне при загревању (термo-елктрични ефекат) или при осветљавању (фотоелектрични ефекат). Сјај површине мета-ла и њихова обојеност такође су објашњени способношћу делокализованих електрона да апсорбују и емитују светлост одређених таласних дужина.

Кретање електрона кроз металну решетку под дејством електричног поља може да се упореди са кретањем молекула гаса, такав модел структуре метала назива се модел елек-тронског гаса. Слободни електрони представљају поменути електронски гас, који се креће кроз простор између позитивних јона. Негативно наелектрисање свих електрона, расподе-љених по целој решетки, држи позитивне јоне на равнотежном растојању, слика 2.2.

Слика 2.2 Модел електронског гаса и кретања електрона у

електронском гасу метала у електричном пољу

Модел електронског гаса који испуњава простор између позитивних јона метала доста је упрошћен и није увек у сагласности са експерименталним подацима, на пример слабо изра-жена зависност проводљивости топлоте и електрицитета од температуре.

Модел електронских трака. Према модерном квантно-механичком тумачењу ипак се доказује да нема континуираког електронског „гаса", већ се у металима формирају дискон-тинуалне траке међусобно раздвојене тзв. „забрањеним" зонама које су забрањене само при попуњавању електронима у основном атомском стању.

Енергија металне везе одговара раду потребном да се везани атоми из равнотежног растојања међусобно удаље на бесконачно растојање. Величина енергије везе представља меру јачине везе између атома. На основу облика кривих промене међуатомских сила и ме-ђуатомских енергија, cлика 2.3, могу се претпоставити физичко-механичка својства матери-јала: температура топљења, модул еластичности и коефицијент термичког ширења матери-јала.


Слика 2.3 Зависност међуатомске енергије, одбојних и привлачних

сила у функцији међуатомског растојања два изолована атома

Пример 2.1.

Потенцијална енергија између два атома метала који се налазе на растојању r, може се

аналитички представити у облику једначине p m n

a bEr r

= − + Утврђено је да је одређена веза

стабилна ако се атоми налазе на растојању r = 0,3 nm и са енергијом везе Eр = –4 eV. Израчунати константе a и b, ако је m = 2 и n = 10, а затим израчунати силу раздвајања пара атома и критично растојање раздвајања атома.

Решење: Полази се од израза за потенцијалну енергију између пара атома

p m n

a bEr r

= − + (2.1)


и силе узајамног дејства између пара атома

1 1p

m n

dE m a nbFdr r r+ +

− ⋅= − = +

При равнотежном растојању 0 0,3nmr = минимална потенцијална енергија износи 4eVpE = , а сила интеракције 0F = , тј.

-192 10 4 eV 4 1,6 10 J

(0,3 nm) (0,3 nm)a b

− + = − = − ⋅ ⋅

3 11

3 10 0(0,3 nm) (0,3 nm)

a b⋅ ⋅− + =

Решавањем посматраног система једначина добијају се вредности за константе а и b 20 27,2 10 J nma −= ⋅ ; 25 29,4 10 J nmb −= ⋅

Сили раздвајања одговара максимум међуатомске силе Fmax, односно тачки превоја на кривој промене енергије везе са међуатомским растојањем.

2

2 2 2

( 1) ( 1) 0pm n

d E m m a n n bdr r r+ +

+ ⋅ + ⋅= − + =

1

( 1)( 1)

m n

dn n brm m a

−⎡ ⎤⋅ + ⋅= ⎢ ⎥⋅ + ⋅⎣ ⎦

dr = 0,352 nm Потребна сила раздвајања између пара атома износи:

1 1m nd d

m a n bFr r

−+ +

⋅ ⋅= − + = ⋅ 92,39 10 N

Карактеристична физичкo-механичка својства метала. Помоћу теорије металне

везе, која претпоставља постојање „електронског гаса" у кристалним решеткама метала, могу се објаснити типична својства метала. Присуство електрона који су слабије везани за атом и, услед тога лако покретни у кристалној решетки, даје свим металима добро позната својства, као што су: проводљивост електричне струје и топлоте, ковност, сјај, непрозир-ност, термичка емисија електрона и др. Температура топљења као мерило јачине металне везе. Температуре топљења налазе се

у релативно широком распону, од –38,9 °С (за живу) до 3410 °С (за волфрам). При топље-њу, доведена топлотна енергија троши се на раздвајање атома метала који постају покрет-љиви. Што је јача веза између атома у металу, то је више енергије потребно да се они раз-


двоје и виша је и температура топљења. Мада на вредност температуре топљења метала утичу и други чиниоци, као на пример кристална структура, највећи утицај има несумњиво јачина металне везе у кристалној решетки сваког појединог метала. Упоређивањем темпе-ратуре топљења метала дуж групе Периодног система елемената, запажа се опадање темпе-ратуре топљења, што се објашњава слабљењем металне везе са порастом димензија атома, пошто се повећава растојање између спољашњих електрона и језгара атома метала, па се смањује привлачно дејство језгара на електроне. Више температуре топљења земноалкал-них метала од алкалних метала објашњавају се теоријом електронског гаса, према којој у металним решеткама земноалкалних метала постоје два пута позитивно наелектрисани јони (М2+), па је електростатичко привлачење између јона метала и електрона из „електронског гаса", веће него код алкалних метала чији су јони једновалентни (М+). Код прелазних метала), на пример. Fe, Ni, W, у стварању металне везе учествују и d-електрони из непопуњеног d-поднивоа, чиме расте ковалентни карактер везе па, услед тога, расту и њихове температуре топљења. Температуре топљења прелазних метала расту са порастом броја неспарених d-електрона и са порастом редног броја метала у оквиру одређене групе. Електрична и топлотна проводљивост. Пошто валентни електрони у металу могу сло-

бодно да се крећу између позитивно наелектрисаних јона, они се лако премештају под деј-ством електричног поља. Другим речима, електричну струју чини струја електрона који „теку” кроз метал под утицајем разлике потенцијала успостављене на крајевима металног проводника помоћу спољашњег извора струје. Такав тип електричног провођења, које се остварује услед кретања електрона, назива се електронско или метално проводење струје. Овде треба истаћи да се при провођењу електричне струје кроз метал, електрони крећу изузетно малом брзином. Међутим, због тога што се при „укључивању струје”, одн. при по-стављању разлике потенцијала на крајевима металног проводника тренутно покрену сви покретни електрони, дејство струје се запажа тренутно, без обзира на дужину металног проводника. Метални проводници не мењају се при провођењу струје, за разлику од јон-ских проводника (електролита), који се мењају услед хемијске реакције (оксидо-редукције) на електродама. Метални проводници могу да проводе струју бесконачно дуго. Утицај температуре на електричну проводљивост. Док се при снижењу температуре

електрична проводљивост јонских проводника смањује, проводљивост металних проводни-ка расте. То се објашњава тиме што се кретање електрона кроз металну решетку успорава само у непосредној близини позитивних јона. Пошто се при ниским температурама сма-њују амплитуде вибрација позитивних јона, они у мањој мери ометају кретање електрона, тако да проводљивост метала расте. Провођење топлоте у чврстим супстанцама заснива се на преношењу енергије услед додира честица (атома, молекула или јона), које јаче осцилују у топлијем делу супстанце, са честицама из хладнијег дела, при чему се повећавају амплитуде вибрације атомских језгара и температура супстанце расте. Пошто је маса елек-трона много мања од масе позитивних јона, они су покретни и лако прелазе са једног дела метала на други, остварујући тако веома добро превођење топлоте. Ковалентна и јонска једињења обично су слаби проводници топлоте, јер се атоми (молекули) или јони налазе у одређеним (фиксним) положајима, услед чега им је покретљивост ограничена. Најбољи проводници електричне струје међу металима су сребро, злато, алуминијум и бакар.


Сјај. Метални сјај приписује се интеракцији светлости са електронима у металу. Кад светлост обасја површину метала, електрони апсорбују енергију фотона светлости и прела-зе са нижег, попуњеног енергетског нивоа, на виши ниво, који је празан. Међутим, елек-трон се не задржава у вишем енергетском нивоу (свега 10-8 секунди), већ реемитује фотон исте енергије (исте фреквенције као што је фреквенција упадне светлости) и враћа се на по-лазни енергетски ниво. Због те реемисије светлости, металне површине изгледају као да имају велику рефлексију и имају карактеристичан сјај површине. Термоелектронска емисија електрона. При загревању метала повећава се кинетичка

енергија електрона, тако да при извесној температури неки од њих имају довољно енергије па могу да изађу из метала. Уколико их још привлачи и неки позитиван потенцијал изван метала, појављује се ток електрона, одн. једносмерна електрична струја. Таква појава поз-ната је још као термоелектронска емисија електрона. Механичка својства. Пошто се електрони у

металу налазе у сталном кретању и не заузи-мају фиксне положаје око појединих атома, атоми у металу релативно лако мењају своје положаје под дејством спољашње силе, а да при томе не долази до раскидања веза између њих. Приликом механичке деформације мета-ла, покретљиви електрони прилагођавају се промењеном положају атома у металу, оства-рујући и даље металну везу, слика 2.4. Због то-га се метали лако обрађују ковањем, ваљањем и другим механичким поступцима обраде. Ве-ћина ковалентних јонских једињења не може се деформисати на такав начин. Уколико се на таква једињења делује механичком силом у циљу промене њиховог облика, долази до раза-рања кристалне структуре, односно ситњења.

Слика 2.4 Промене

релативног положаја атома метала при деформисању

Модул еластичности одређен је величином силе којом се веза супроставља промени међуатомског растојања. Јунгов модул као константа еластичности пропорционалан је ве-личини нагиба тангенте на резултујућој кривој промене јачине везе у тачки која одговара равнотежном положају између атома, ( )

0r rE F dr

≈∂∼ .

2.2. ЛОКАЛНИ РАСПОРЕД МЕТАЛНИХ АТОМА

Метални атоми везани су неусмереним металним везама што им омогућава да се у крис-талу ређају у што је могуће гушће пакованом распореду. На овај начин број остварених ве-за по јединици запремине је максималан. Посматрано геометријски, максимално се може поставити дванаест атома (апроксимативно сфера) око једног централног атома који их све


додирује. Разликују се два карактеристична распореда густог паковања атома приказана на слици 2.5 и слици 2.6.

Слика 2.5 Слагање густо

пакованих атомских равни према редоследу ABCABC

Слика 2.6 Слагање густо пакованих атомских равни према

редоследу ABAB

У оба начина паковања налази се шест атома око централног посматраног атома у средњој равни и по три атома у горњој и доњој равни. Разлика између ова два распореда се једноставно уочава преко различитог начина ређања густо пакованих равни атома. Код редоследа равни АВАВАВ... распореда три атома изнад и испод средње равни је идентичан, за разлику од редоследа ABCABC... код кога атоми у првој и трећој равни нису у еквивален-тним положајима.

Слика 2.7. Положај атома у ХГП кристалној структури и веза са ABAB… редоследом слагања

атомских равни


Ако се споје центри 12 посматраних атома у ова два распореда настају две карактерис-тичне јединичне ћелије у облику хексагоналне призме (АВАВ...редослед) или коцке (АВС-АВС...редослед) као што је приказано на слици 2.7 и слици 2.8 и ове структуре се називају хексагонално густо пакована (XГП) и површински центрирана кубна (ПЦК) структура.

Око две трећине метала има густо паковане структуре ПЦК или XГП. Код метала код којих се ато-ми слажу у XГП систему уместо правилних сфера атоми су мало де-формисани у елипсоиде тако да је дужина призме у реалним метали-ма различита од теоријске.

Преостала трећина метали (уг-лавном алкални и прелазни метали) имају запремински центрирану кубну структуру, (ЗЦК) као што је приказано на слици 2.9.

Типични представници метала са карактеристичним структурама су: а) ЗЦК: α – Fe, β– Ti V, Cr, Mo и W., б) ПЦК: γ – Fe, Al, Ni, Cu, Ag и Pt; в) XГП: Be, Mg, Zn, α – Ti и Zr

Слика 2.8 Положај атома у ПЦК кристалној структури и веза са

ABCABC… редоследом слегања атома

Координациони број. Број атома или јона који непосредно окружују други атом или јон зове се координациони број. Под координационим бројем у кристалу подразумева се број најближих атома који се налазе на истом одстојању од једног посматраног атома. Код ЗЦК решетке координациони број је 8 а код ПЦК решетке и ХГП решетке је 12.

Слика 2.9 Положај атома у ЗЦК кристалној структури

Атомски фактор попуњености кристалне решетке, AFP одређује се као однос запремине дела атома који припадају јединичној решетки и запремине јединичне решетке,


atoma

jedinična ćelija

n VAFPV

⋅= (2.2)

Где је n − еквивалентан број атома који припадају јединичној ћелији. За просто кубну (ПК) решетку: n = 8 рогљева ⋅ (1/8) атома = 1 атом/ћелији, за запремински центрирану кубну (ЗЦК) решетку: n = 8 рогљева ⋅ (1/8) атома + 1 центар коцке ⋅ (1) = 2 атома/ћелији, и за површински центрирану кубну (ПЦК) решетку: n = 8 рогљева ⋅ (1/8)атома + 6 страна коцке ⋅ (1/2) = 4 атома/ћелији.

Пример 2.2:

Израчунати атомски фактор паковања (АFP) запремински центриране кубне јединичне ћелије (ЗЦК структура).

Решење: Атомски фактор паковања ЗЦК структуре јесте удео запремине који заузимају атоми у

простору, према слици 2.10. Атоми се додирују дуж велике дијагонале коцке

3 4

4 3

a R

a R

⋅ =

=

Еквивалентан број атома који припада једној коцки у ЗЦК структури је као што је дато у примеру 3.1, n = 2, па је атмски фактор паковања ЗЦК структуре

3

3

423AFP

(4 / 3)0,68

R

R

π⋅= =

Слика 2.10 Атомски фактор паковања ЗЦК кристалне структуре


Пример 2.3:

Израчунати атомски фактор паковања, AFP, површински центриране кубне јединичне ћелије -ПЦК структура.

Решење: На основу распореда атома у ПЦК структури према слици 2.11 Веза између атомског радијуса и ивице коцке је:

4 2

4 2

R a

a R

=

=

Еквивалентан број атома који припада ПЦК структури је n = 4, па је атомски фактор паковања једнак

( )( )

3

3

4 4 / 3AFP= 0,74

4 / 2

R

R

π⋅=

Слика 2.11. Атомски фактор паковања ПЦК кристалне структуре

Пример 2.4:

Израчунати теоријску вредност односа параметара c/a јединичне хексагонално густо па-коване ћелије (XГП структура)

Решење: На основу распореда атома у XГП структури, слике 2.12.а, може се уочити еквивалентна

карактеристична правилна четворострана призма слика 2.12.б Посматрајући распоред атома унутар карактеристичне призме, слика 2.12.б, где се уоча-

ва тетраедар ЈКLM који повезује атоме који се међусобно додирују. На основу геометриј-ских релација са слике 2.13. израчунава се тражени однос с/а.


а)

б)

Слика 2.12. а) ХГП јединична ћелија, б) Еквивалентна правилна четворострана призма у ХГП јединићној ћелији

Слика 2.13 а) Карактеристичан тетраедар у коме се сви атоми додирују, б)

троугао у равни тетраедра у коме се сви атоми додирују

MH ; JM 22c a R= = = ; / 2cos30 ; JH

3JHa a

° = =

( ) ( )222 2 2 2 8/ 2 / 3 ; / 4 / 3;3

ca c a a c aa

= + = + = = 1,633

Пример 2.5:

Израчунати атомски фактор паковања XГП структуре.

Решење: Посматрајући карактеристичну призму у XГП структури са слике 2.12 Број атома који припада јединичној призми је

( ) ( )rogalj centarn = 6 1 6 +1 1 = 2⋅ ⋅


Запремина јединичне призме је једнака

2 2 3sin 60 1,633 2 (2 ) 11,31V c a R R R= ⋅ ⋅ ° = ⋅ ⋅ =

Запремина атома који припадају јединичној призми

( )3 32 4 / 3 8,38aV R Rπ= ⋅ =

па је атомски фактор паковања за XГП

3

3

8,38AFP11,31

0,74RR

= =

Теоријска густина кристала метала представља густину материјала са идеалном

кристалном решетком ( без икаквих грешака у структури). На основу познавања атомског фактора попуњености кристалне решетке, AFP и масе једног атома, 0 Am M N= који је јед-нак количнику моларне масе, М и Авогадровог броја, AN , теоријска густина кристалног материјала израчунава се преко следеће релације:

A

n MN V

ρ =⋅

(2.3)

где је: ρ - теоријска густина, n - број атома који припада јединичној ћелији, M - моларна маса, AN - Авогадров број, V - запремина јединичне ћелије.

Пример 2.6:

Израчунати теоријску густину ЗЦК железа ако је параметар ЗЦК решетке железа 0.2866 nm. Моларна маса железа је 55.847 g/mol

Решење: Теоријска густина ЗЦК железа је према јед.(2.3)

( )

1 3 1

323 1 10

2 55,847 g mol 10 kgg

6,022 10 mol 2,866 10 m3 -37,882 10 kgm

A

n MN V

ρ− − −

− −

⋅ ⋅= = = ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Алотропске или полиморфне трансформације метала. Метални кристали који имају

више од једног облика кристалне структуре називају се полиморфни метали. Тако напри-мер железо има више кристалних облика као што је приказано на слици 2.14. Промена еле-ментарне кристалне решетке са температуром има велики утицај на промену својстава ме-тала и легура.


Различити алотропски кристални облици поред различите структуре имају и различиту јачину везе и различита равнотежна међуатомска растојања као што се може видети на основу кривих које су на примеру алотропских облика железа приказане на слици 2.15.

Ниво слободне енергија кристалографског облика, који је стабилан у одређеној темпера-турној области нижи је од нивоа слободне енергије осталих кристалографских облика као што је приказано на слици 2.16.

Слика 2.14 Алотропске кристалне модификације железа

Слика 2.15 Шематски приказ кривих промене потенцијалне енергије између атоме железа у

ЗЦК и ПЦК решетки

Слика 2.16 Промена слободне енергије фаза железа у функцији температуре

Опште опадање слободне енергије појединих кристалографских облика са температуром последица је опадања слободне енергије свих фаза са порастом ентропијског члана у рела-цији за слободну енергију.


G H TS= −

Пораст негативног нагиба на вишој температури резултат је веће ентропије ових фаза.

p

dG SdT

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Већа кривина (мањи радијус) криве за ЗЦК железо од оне за ПЦК железо последица је чињенице да је топлотни капацитет ЗЦК већи од топлотног капацитета ПЦК и због тога што је топлотни капацитет увек позитиван

2

2p

p

Cd G dSdT dT T

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Пример 2.7:

Израчунати промене у запремини када ЗЦК – Fe прелази у ПЦК – Fe при загревању. Параметар решетке ЗЦК је 0,2863 nm а ПЦК решетке 0,3591 nm.

Решење: Запремине јединичних ћелија износе:

( ) 33330 nm10467,23nm2863,0 −⋅=== aVZCK

( ) 33330 nm10307,46nm3591,0 −⋅=== aVPCK

ПЦК-Fe јединична ћелија садржи четири атома а ЗЦК-Fe јединична ћелија садржи два атома Fe, тј. две ЗЦК-Fe са четири атома Fe трансформишу се у једну ПЦК-Fe решетку тако да је промена запремине при трансформацији:

3 3 3 3

3 3

2 23,467 10 nm 46,307 10 nm 100 %2 23,467 10 nm

V− −

−

⋅ ⋅ − ⋅Δ = ⋅ =

⋅ ⋅-1,34%

2.3 КРИСТАЛОГРАФИЈА

Кристална структура је правилан, тродимензионалан модел распореда атома у просто-ру. Правилност којом се атоми обично пакују у чврстом материјалу настаје услед геомет-ријских услова који су наметнути усмереним везама и густим паковањем. Кристалне струк-туре посматране у чврстом стању описане су у облику идеализованог геометријског кон-


цепта названог кристална решетка, а који може бити приказан начином на који се коорди-национи полиедри међусобно слажу да би енергија чврстог тела била минимална.

(б)

(а)

(в) Слика 2.14 а) Дводимензионални приказ различитих облика кристалних

структура са одговарајућим јединичним ћелијама, б) просторна кристална решетка као модел кристалне структуре в) параметри јединичне ћелије

Могу се установити нека једноставна правила која указују на важне чиниоце у одређи-вању начина слагања координационих полиедара (или атома) и тако помоћу наведених правила схватити посматрану структуру. Овај поступак је донекле вештачки, али даје ок-вир у коме се може разматрати како се поједине кристалне структуре односе једна према другој и то како геометријски тако и хемијски.

Идеално најстабилнија уређеност координационих полиедара у кристалу била би она која има најмању енергију или, другим речима, она која: а) омогућава електричну неутрал-ност, б) задовоњава усмереност и дискретност ковалентних веза, в) јака међујонска одбија-ња своди на најмању меру и г) омогућава што је могуће гушће паковање атома, сагласно са а), б) и в). Овакви начини ређања атома дефинишу се геометријским приказима који се на-зивају просторне кристалне решетке, слика 2.14.а Просторна решетка је неограничени, тродимензионални низ тачака у коме је свака тач-

ка окружена на идентичан начин другим тачкама. Ове тачке са идентичном околином нази-вају се тачке или чворови решетке. Пошто је структура савршеног кристала састављена од правилно распоређених атома, у оквиру просторне решетке, распоред атома може да буде потпуно описан одређивањем атомских места у некој јединици која се понавља у


просторној решетки. Ова јединица која се понавља у просторној решетки назива се јединичном ћелијом. Ако су атомски положаји одређени у оквиру једне јединичне ћелије тад се назива јединична ћелија кристалне структуре. Ивице јединичне ћелије представљају транслације решетке (вектори који спајају било које две тачке решетке) а идентичне једи-ничне ћелије неке просторне решетке попуњавају простор образујући решетку тако што се слажу страница на страницу.

Геометријски начин дефинисања кристалне структуре материјала преко просторне ре-шетке назива се кристалографија. Јединична или елементарна кристална ћелија је најма-њи карактеристични распоред атома кристалне решетке који се може употребити за потпу-но дефинисање кристалне структуре. Помоћу три вектора транслације, a, b и c, у три разли-чита правца у простору може се описати правилан начин ређања атома као што је приказа-но на слици 2.14.б Величине јединачних померања a, b и c називају се константе или пара-метри решетке. Просторни облик јединичне кристалне ћелије дефинисан је дужинама страница а, b и c и угловима између њих α, β и γ, слика 2.14.в Разликују се 14 карактерис-тичних облика елементарних ћелија, слика 2.15, преко којих је могће приказати структуру свих кристала и које се могу разврстати у 7 кристалографских система, Табела 2.1

Табела 2.1 Кристалографски системи

Ради бољег описивања просторних решетки пришло се томе да се кристалима, односно њиховим просторним решеткама, припишу просторни кординатни систем, и то тако да поједине осе леже паралелно главним правцима кристала. На тај начин су углови између главних праваца једнаки угловима између координатних оса. Помоћу ових осних система лако се могу представити положаји атома, правци решетке и положаји равни у кристалној решетки и поставити математички односи који одговарају односима у аналитичкој геометрији простора.

Индекси кристалне решетке. Иако опис атомских места у јединичној ћелији представља и потпун опис кристалне структуре, корисно је имати и начин да се опишу кристалне равни и правци у кристалу. Из овог разлога развијен је систем кристалографских индекса.

Индекси кристалне равни . Раван у простору задовољава једначину:

Назив Параметри решетке Углови решетке Кубни a b c= = 90α β γ= = = ° Тетрагонални a b c= ≠ 90α β γ= = = ° Ромбоедарски a b c= = 90α β γ= = ≠ ° Хексагонални a b c= ≠ 90 120α β γ= = ° = ° Орторомбични a b c≠ ≠ 90α β γ= = = ° Моноклинични a b c≠ ≠ 90α γ β= = ° ≠ Триклинични a b c≠ ≠ 90α β γ≠ ≠ ≠ °


1x y za b c+ + =

Слика 2.15 Јединичне ћелије

просторних решетки

при чему су а, b, c места пресека равни са осама x, y, и z респективно. У описивању кристало-графских равни осе се постављају дуж три непаралелне ивице јединичне ћелије, а пресе-ци се мере помоћу јединичне дужине, коју представља ивица ћелије независно од њених пра-вих димензија. Коришћење отсечака а, b и c као приказ кристалографских равни унутар јединичне ћелије има тај недостатак да су отсечци често мањи од јединице, а могу бити и бесконачни (када је раван паралелна са неком осом). Из овог разлога уобичајено је да се у дефиниса-њу кристалографке равни користе њихове реципрочне вредности.

1 1 1h k la b c

= = =


где су а, b и c места пресека равни са осама, x, y и z па једначина кристалографске равни има облик: 1hx ky lz+ + = . Индекси којима се означавају равни (обично се зову Милерови индекси Милерови индекси равни , h,k и l стављају се у малу заграду (hkl) и користе се за опи-сивање равни. На пример, у јединичној кубној ћелији чеона раван коцке која сече позитивни део x осе је (100) раван, као што је приказано сликом 2.16. Индекси супротне стране коцке могу се одредити транслацијом координатног система до другог рогља коцке. Ово је дозвољено јер сви рогљеви једи-ничне ћелије представљају чворове решетке и, према томе, еквивалентни су међу собом. Раван тада пресеца негативну x осу; да би се ово назначило, ставља се знак минус изнад реципрочне вреднос-ти отсечка (100)

Слика 2.16 Милерови индекси равни

Индекси паралелних равни са исте стране координатног почетка и са идентичним распоредом атома често се редукују до најмањег заједничког индекса дељењем са највећим заједничким садржиоцем; тако би равни (330), (220) и (110) могле да се назову „(110) равни”, уколико не постоји неки посебан разлог да се оне међусобно разликују. Поред тога, кристали са високом симетри-јом имају непаралелне равни које имају идентичне атомске распореде. Овакве равни су "крис-талографски еквивалентне". Примери су (100), (010) и (001) равни у кубној решетки. Каже се да еквивалентне равни имају исти облик и представљене су индексима једне од равни. Када се индекси стављају у велику заграду: {100} означавајући облик (100), (010), (001), (100), (010) (001) и свих шест равни коцке.


Пример 2.8:

Одредити Милерове индексе равни A, B и C које су приказане на слици 2.17

Слика 2.17 Приказ кристалографских равни

A, B и C

Раван А: а) х = 1, y = 1, z = 1; б) 1/x = 1, 1/y = 1,1 /z = 1; в) нема разломка; г) (111)

Раван В: а) раван је паралелна за z-осом тако да је x = 1, y = 2 и z = ∞; б) 1/x = 1, 1/y = 1/2, 1/z = 0; в) елиминисањем разломака: 1/x = 2, 1/y = 1, 1/z = 0 г) (210)

Раван С: а) Прво се мора транслаторно померити координатни почетак пошто раван пролази кроз

тачку 0,0,0. На пример, за један параметар решетке у y-правцу; б) x =∞ , y = -1 и z =∞ в) 1/x = 0, 1/y = –1, 1/z = 0; г) нема разломка ; д) (010)

Индекси правца решетке. Индекси правца су компоненте вектора правца разложене дуж

сваке координатне осе и редуковани на најмање јединице. На пример, у кубној јединичној ћелији, код које је почетак у рогљу, а осе су паралелне ивицама, просторна дијагонала коцке биће приказана са [ ]111 Бројеви "111" су индекси правца и за њих се користе угласте уместо мале заграде, па се тако означава да се ради о кристалографским правцима а не о равнима. Дијагонала странице имала би ин-дексе [ ]110 . За правце истих линеарних атомских распореда каже се да су истог облика и могу се обележити са 110 што представља сет од 110 , 101 , 011 итд. Корисно је запазити да су у кубном систему, и само у кубном систему, сви правци и равни са идентичним индексима међусобно нормални. Ово значи да нормала на раван представља правац који има исте индексе као и та раван. Ова зависност дозвољава коришћење векторске алгебре за упрошћавање многих кристалограф-ских израчунавања.

Практично Милерови индекси праваца одређују се на следећи начин: (а) одреде се координате положаја почетне и крајње тачке посматраног кристало-

графског правца у просторном координатном систему; (б) израчуна се разлика координате крајње и почетне тачке кристалографског прав-

ца;


(в) уколико у разлици има бројева у облику разломака елиминишу се разломци про-ширивањем све три координате;

(г) добијени бројеви стављају се у средњу заграду без зареза [ ]. Негативни бројеви означавају се минусом изнад одговарајућег индекса.

Пример 2.9:

Одредити Милерове индексе за правце A, B i C који су назначени на слици 2.18.

Решење: Правац А:

(а) (1,0,0) и (0,0,0); (б) 1,0,0 – 0,0,0 = 1,0,0; (в) нема разломка; (г) [100].

Правац C: (а) Две тачке су 0,0,1 и 1/ 2 ,1,0; (б) 0,0,1–1/ 2 ,1,0 = –1/ 2 ,–1,1 (в) проширивањем добијају се цели бројеви:

2(–1/ 2 ,–1,1) = –1,–2, 2; (г) ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

- -122 .

Правац В: (а) Две тачке су 1,1,1 и 0,0,0; (б) 1,1,1 – 0,0,0 = 1,1,1; (в) нема разломка; (г) [111].

Слика 2.18 Приказ

кристалографских праваца A, B и C

Пошто су и кристалографски правци и нормале на равни у кубној решетки вектори, може се на

њих применити техника векторског множења или као скаларни производ или као векторски производ. Применом првила која се односе на векторе могуће је установити релације изме-ђу Милерових индекса кристалографских равни (hkl) и Милерових индекса кристалограф-ских праваца [uvw] и то следеће :

1) Правац [uvw] је нормалан на раван (hkl) када је u = h, v = k и w = l. На пример, правац [111] је нормалан на раван (111).

2) Правац [uvw] је паралелан равни (hkl), тј. лежи у равни када је 0hu kv lw+ + = .

3) Две кристалографске равни (h1k1l1) и (h2k2l2) су међусобно нормалне када је 1 2 1 2 1 2 0h h k k l l+ + = .

4) Два кристалографска правца (u1v1w1) и (u2v2w2) су међусобно нормална када је 1 2 1 2 1 2 0u u v v w w+ + = .

5) Угао θ између две равни чији су Милерови индекси равни (h1k1l1) и (h2k2l2) израчунава се на основу


( ) ( )

1 2 1 2 1 21/ 2 1/ 22 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

cos h h k k l l

h k l h k lθ + +=

+ + + + (2.4)

Пример 2.10:

Израчунати угао између праваца [110] и [111] у кубном кристалном систему. (То је угао између мале и велике дијагонале коцке).

Решење: Угао између два правца [110] и [111] израчунава се преко једначине (2.4)

1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

arccos u u v v w wu v w u v w

θ + +=

+ + ⋅ + +

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 0 2arccos arccos arccos0,8163 21 1 1 1 1 0

35,3°θ ⋅ + ⋅ + ⋅= = = =

⋅+ + ⋅ + +

Слика 2.19 Основне осе у хексагоналном кристалном

систему

Милер-Бравеови индекси. Алтернативни сис-тем индекса, који садржи четири броја у сваком сету индекса, често се користи код хексагоналних кристала. Ови се индекси називају Милер-Браве-ови индекси. Да би се уочљивије приказала завис-ност између индекса и симетрија хексагоналне ре-шетке, користе се четири броја. Ако је ћелија на слици 2.19 коришћена као јединична хексагонална ће-лија, она је описана са четири осе: једна оса се узима дуж осе хексагоналне призме и три у бази, при чему међу собом заклапају угао од 120º. Милер-Бравеови индекси равни означени су са h, k,

i, l, стављеним у малу заграду (hkil). Ови индекси су реципрочне вредности отсечака на a1, a2, a3 и c оси. Као и код Милерових индекса реципрочне вредности се обично деле са највећим заједничким садржаоцем. Пошто су само три некопланарне осе потребне да одреде раван у простору, ова четири индекса не могу бити независна. Накнадни услов који њихове вредности морају да задовоље јесте h k i+ = − .

Пример 2.11:

Одредити Милер-Бровеове индексе за равни A и B и правце C и D приказане на слици 2.20.


Решење: Раван А:

(а) 1 2 3 1a a a c= = = ∞ = ; (б) 1 2 3

1 1 1 10 1a a a c= = = = ;

(в) нема разломка; (г) (0001). Раван В:

(а) 1 2 311 1 12

a a a c= = = − = ;

(б) 1 2 3

1 1 1 11 1 2 1a a a c= = = − = ;

(в) нема разломка али h k i+ = − ; (г) -

(1121) . Правац С:

(а) (0,0,1) и (1,0,0); (б) 0,0,1 – 1,0,0 = –1,0,1; (в) нема разломка али h k i+ = − (г) [1011]

Правац D: (а) (0,1,0) и (1,0,0); (б) 0,1,0 – 1,0,0 = –1,1,0; (в) i = –(–1+1) = 0 (г) [1100]

Слика 2.20 Милер–Бравеови индекси за правце и равни у хексагоналном

кристалном систему

Милер-Бравеови индекси правца су векторске компоненте правца, разложене дуж сваке од

четири координатне осовине и редуковане на најмањи број. Исти услов за индексе да је h k i+ = − који је примењен за равни може се применити и за правце.Три копланарне компоненте могу се поде-сити да задовољавају овај услов тако што се уносе у мрежу састављену из троуглова која покрива базу призме, на слици 2.21.

Слика 2.21 Распоред координатних оса у хексагоналном

кристалографском систему


Пример 2.12:

Израчунати линеарну густину атома дуж правца [111] у (а) ЗЦК волфраму и (б) ПЦК алуминијуму. Атомски радијус су RW = 0,137 nm а RAl = 0,143 nm.

Решење: Линеарна густина је (а) У ЗЦК структури атоми се додирују дуж велике дијагонале тј. у правцу [1 1 1].

Понављајуће растојање је два атомска полупречника, тј.

r = 2RW = 2 ⋅ 0,137 nm = 0,274 nm

па је линеарна густина једнака

10,274 nmlρ = = 3,65 atoma / nm

(б) У ПЦК структури алуминијумa у правцу [1 1 1] налази се само један атом.

Al4 43 3 3 0,143 nm 0,701 nm2 2

1=0,701 nml

r a R

ρ

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =

= 1,43 atoma nm

Пример 2.13:

Слика 2.22

Положај атома у (111) равни ЗЦК кристалне ћелије

Израчунати површинску густину атома у равни (111) за: а) ЗЦК решетку волфрама и б) ПЦК решетку алумини-јума. Атомски радијуси су RW = 0,137 nm a RAl = 0,143 nm.

Решење: Површинска густина (а) У ЗЦК структури раван (111) обухвата само атоме у

рогљевима јединичне решетке, слика 2.22. Параметар решетке ЗЦК волфрама је једнак

4 4 0,137 nm 0,316 nm3 3WRa = = ⋅ =

Дијагонала стране која представља ивицу троугла је једнака

2 2 0,316 nm 0,447 nmb a= ⋅ = ⋅ =


Површина равни (1 1 1) у ЗЦК јединичној ћелији је једнака

2 2 21 1 3 3 3 (0,447 nm) 0,0867 nm2 2 2 4 4

A b h b b b= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Равни (111) припада само 1/6 обима атома у рогљеви-ма, па је раванска густина једнака

12

3 1/ 6 atoma0,0867 nm

A− ⋅= = 2

atoma5,77nm

(б) У ПЦК решетки раван (111) пресеца атоме у рог-љевима и у срединама страна, слика 2.23.

Параметар решетке је једнак

Al4 4 0,143 nm=0,404 nm2 2

Ra = = ⋅

Дужина дијагонале стране је једнака

2 2 0,404 nm=0,572 nmb a= = ⋅

Слика 2.23 Положај атома у (111) равни ПЦК кристалне

решетке

Површина (111) равни је једнака

21 1 30,572 nm 0,572 nm=0,142 nm2 2 2

A b h= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Раван (111) у ПЦК структури обухвата 3 атома у рогљевимаса 1/6 и три атома у странама са ½, тако да је њена раванска густина једнака

12

3 1/ 6 3 1/ 2 atoma0,142 nm

A− ⋅ + ⋅= = 214,1 atoma/nm

Растојање између кристалографских равни у кристалографском систему. При ренд-

генском дифракционом испитивању кристалне структуре материјала битан параметар за одређивање структуре јесте растојање између кристалографских равни, d. Под тим се под-разумева најмање растојање, тј. нормално растојање између две равни истих индекса. Ово растојање зависи од кристалографског система који се посматра и за кубни систем израчу-нава се на основу следеће релације између константне решетке а0 и Милерових индекса (hkl) посматране равни:

02 2 2hkl

adh k l

=+ +

(2.5)


Пример 2.14:

Израчунати растојање између равни (111) у кристалној решетки злата чији је параметар решетке 0,40786 nm.

Решење: Применом јед. 2.6 за растојање између паралелних равни добија се

111 2 2 2

0,40786 nm1 1 1

0,2355 nmd = =+ +

Дифракција х-зрака у кубним кристалима. При проучавању кристалне структуре од

битног значаја је одређивање растојања између паралелних равни, d, пошто се тиме добија представа о величини и типу елементарне ћелије. Величина d може се одредити различитим методама, које се све заснивају на дифракцији рендгенских зрака на кристалима.

Слика 2.24 Дифракција х-зракова од кристалографских равни: а) рефлексија са расејавањем, б) дифракција са појачавањем интензитета рефлексије в) Брегов

услов расејавања

Када рендгенски зраци падну на произвољњну раван кристалне решетке, онда део њих бива апсорбован, а остатак се рефлектује као што је приказано на слици 2.24.а. Растојање две паралелне равни је d, а θ је угао под којим у односу на раван упадају рендгенски зраци, слика 2.24.б. Зраци који падају на највишу раван (зрак 1, слика 2.24. в) прелази до пролаза кроз тачку О, најкраћи пут, а зраци који се одбијају од друге равни (зрак 2) пролазе дужи


пут, На тај начин зрак 2 који се рефлектује од друге равни удаљене за дужину d од равни 1 прелази пут дужине MPN. Разлика пута ова два зрака износи s = MP + NP, при растојању d, док се при растојању 2d повећава на 2s итд. До појачавања интензитета рефлексије ренд-генских зракова доћи ће када се врх једног таласа поклапа се врхом другог таласа или дру-гим речима када су два зрака у фази. Максимално појачавање интензитета рефлексије доби-ја се када је испуњен услов n.λ = s, где је n- позитиван цео број, који се зове ред рефлексије, λ- таласна дужина рендгенских зрака а s- разлика дужине пута рендгенских зрака, рефлек-тованих на двема суседним равнима кристала. Користећи , слику 2.24 в једноставно се утврђује да је s = 2d sinθ или коначно

2 sinn dλ θ⋅ = (2.6)

Једначина.(2.6) је математички израз за Брегов закон. Помоћу њега дефинисан је услов за максималну рефлексију рендгенских зракова у зависности од њихове таласне дужине, λ, растојања кристалних равни, d и упадног угла θ.

Слика 2.25 а) Брегов дифрактометар, б ) спектар дифрактованих X-зракова

Помоћу Бреговог закона могуће је одредити растојање између паралелних равни крис-талне решетке, d, ако је позната таласна дужина рендгенских зрака, λ и експериментално одређен угао θ, на начин као је приказано на слици 2.25.

Пример 2.15:

Експерименталним мерењем дифракције узорка непознатог кристала са х-зрацима таласне дужине λ = 0.07107 nm (извор зрачења је молибден) добијени су дифракциони пи-кови при одређеним вредности углова дифракције, 2θ, који су дати у следећој табели:


Пик 2θ Пик 2θ

1 20,20 5 46,19 2 28,72 6 50,90 3 35,36 7 55,28 4 41,47 8 59,42

Одредити кристалну структуру, индексе равни које одговарају сваком од пикова и параметар решетке испитиваног кристала.

Решење: За сваки пик се израчунава вредност синуса угла sin 2θ а затим одреди најмањи садржа-

лац а то је 0.0308 са којим се поделе добијене вредности за остале пикове на начин како је дато у следећој табели

Пик 2 θ⋅ 2sin θ 2sin 0,0308θ 2 2 2h k l+ + ( )hkl 1 20,20 0,0308 1 2 (110)

2 28,72 0,0615 2 4 (200) 3 35,36 0,0922 3 6 (211) 4 41,47 0,1230 4 8 (220) 5 46,19 0,1539 5 10 (310) 6 50,90 0,1847 6 12 (222) 7 55,28 0,2152 7 14 (321) 8 59,42 0,2456 8 16 (400)

Да би се израчунало интерпланарно растојање између дифракционих равни може се користити угао 2θ било ког пика. На пример, ако се узму вредности 8 пика тј. 2θ = 59,42 или θ = 29,71

4000, 07107 0, 071699 nm

2 sin 2 sin 29, 71°nmd λ

θ= =

⋅ ⋅=

( )2 2 2 2

0 400 0,071699 4 0 0a d h k l nm= ⋅ + + = ⋅ + + = 0,2868 nm

Ово је параметар решетке који одговара ЗЦК решетки железа.


ЗАДАЦИ:

1.1. Тантал има атомски радијус од 0,143 nm и ЗЦК решетку на 20 °C. Израчунати параметар јединичне ћелије.

[0,330 nm]

1.2. Хром има атомски радијус од 0,125 nm и ЗЦК решетку на 20 °C. Израчунати параметар јединичне ћелије.

[0,289 nm]

1.3. Волфрам има ЗЦK решетку чији је параметар јединичне ћелије 0,316 nm. Израчунати атомски радијус волфрама.

[0,137 nm]

1.4. Ванадијум има ЗЦК структуру код које параметар јединичне ћелије износи 0,304 nm. Израчунати атомски радијус ванадијума.

[0,132 nm]

1.5. Никл има ПЦК кристалну структуру код које параметар јединичне ћелије износи 0,352 nm. Израчунати атомски радијус никла.

[0,125 nm]

1.6. Олово има ПЦК кристалну структуру код које параметар јединичне ћелије износи 0,495 nm. Израчунати атомски радијус олова.

[0,175 nm]

1.7. Бaкaр имa aтoмски рaдиjус oд 0,128 nm и ПЦК кристалну структуру. Израчунати параметар јединичне ћелије.

[0,362 nm]

1.8. Алуминијум има атомски радијус од 0,143 nm и ПЦК кристалну структуру. Израчунати параметар јединичне ћелије.

[0,405 nm]

1.9. Магнезијум има ХГП кристалну структуру чији су параметри јединичне ћелије а = 0,3209 nm и c = 0,5209 nm. Израчунати запремину јединичне ћелије.

[0,139 nm3]

1.10. Кадмијум има атомски радијус 0,149 nm и ХГП кристалну структуру. Израчунати запремину јединичне ћелије претпостављајући да је атомски фактор паковања 0,74.

[0,112 nm3]

1.11. Бакар има ПЦК кристалну структуру код које је параметар једничне ћелије 0,3615 nm. Израчунати растојање између положаја 1, 0, 0 и 0, 1/2, 1/2.

(0,4427 nm)

1.12. Параметри решетке јединичне ћелије Na, K, Cu и Ag су респективно 0,424 nm, 0,462 nm, 0,361 nm i 0,408 nm. Na и K имају ЗЦК кристалну структуру а Cu и Аg ПЦК кристалну


структуру. Израчунати растојање између центара суседних атома и на основу тога њихов атомски радијус.

[0,183 nm, 0,195 nm; 0,127 nm и 0,144 nm]

1.13. Одредити Милерове индексе равни којој припадају тачке (0,0,0), (0,1,0) и (1/2, 1, 1/2) [(1 01) или (101 )]

1.14. Одредити Милерове индексе правца који спаја тачку 1/2, 1/2, 0 са центром суседне јединичне ћелије чије су координате 1/2, 3/2, 1/2.

[[021]]

1.15. Одредити Милерове индексе за правце у кубном кристалном систему датом на слици 2.26.

Слика 2.26 Кристалографски правци у кубном систему

(A: [1 10]; C: [1 2 1]; E: [1 0 2 ]; G: [61 6])

1.16. Одредити Милерове индексе за равни у кубном кристалном систему датом на слици 2.27.

Слика 2.27 Кристалографске равни у кубном кристалном систему

1.17. Одредити пресеке (211) равни која пролази кроз тачку са координатама 0, 2, 0. [x = 1, y = 2, c = 2]


1.18. a) Одредити Милерове индексе равни која је паралелна z–оси, а пресеца x–осу у 0,5 а y–осу у 1. б) Одредити Милерове индексе равни која пресеца x–осу у 2, у–осу у 2/3 и z–осу у 3/2.

[a) (210); б) ( 3 94)]

1.19. Утврдити да ли правац [221] лежи у равни (111) у кубном кристалном систему. [НЕ]

1.20. У кубном кристалном систему израчунати угао између праваца [111] и [11 1]. [70,5°]

1.21. У кубном кристалном систему израчунати тангенс угла: а) између праваца [110] и [111]; б) између праваца [001] и [112].

[ 71,02/ =aa ; б) 71,02/2 =aa ]

1.22. a) Нацртати равни (110) и (111) у кубном кристалном систему и израчунати угао између њих. б) Нацртати правце [110] и [123] у кубном кристалном систему и израчунати угао између њих.

[a) 35°20` и б) 55°30`]

1.23. а) Утврдити да ли је правац [210] управан на раван (210) у тетрагоналној јединичној ћелији. б) Утврдити да ли је правац [201] управан на (201) раван у тетрагоналној јединичној ћелији.

[а) ДА; б) НЕ]

1.24. Одрeдити Милер–Бравеове индексе за раван у ХГП кристалном систему која пресеца осе у а1 = 1, а2 = 1 и c = 0,5.

[11 2 2]

1.25. Израчунати линеарну густину атома у: а) [100] правцу ПЦК–Cu чији је параметар решетке 0,361 nm и б) [100] правцу ЗЦК–Fe чији је параметар решетке 0,286 nm.

[a) 2,77 · 106 атом Cu/mm; b) 3,50 · 106 атома Fe/mm]

1.26. Израчунати линеарну атомску густину за следеће правце у ПЦК–Cu чији је параметар јединичне ћелије 0,361 nm: a) [100]; б) [110] и в) [111].

[а) 2,77 · 106 атом/mm; б) 3,91 · 106 атом/mm; в) 1,6 · 106 атом/mm]

1.27. Израчунати линеарну атомску густину за следеће правце у ЗЦК–Fe чији је параметар јединичне ћелије 0,287 nm: a) [100], б) [110] и в) [111]

[а) 3,48 · 106 атом/mm; б) 2,47 · 106 атом/mm; в) 4,02 · 107 атом/mm]

1.28. Израчунати раванску атомску густину за следеће кристалографске равни у ПЦК–Al чији је параметар јединичне ћелије 0,405 nm: a) (100); b) (110) и в) (111).

[а) 1,22 · 1013 атом/mm2; б) 8,62 · 1012 атом/mm2; в) 1,41 · 1013 атом/mm2]

1.29. Израчунати раванску атомску густину за следеће кристалографске равни у ЗЦК–Fe чији је параметар 0,287 nm: a) (100); б) (110) и в) (111).

[а) 1,21 · 1013 атом/mm2; б) 1,72 · 1013 атом/mm2 и в) 7 · 1012 атом/mm2]

1.30. Израчунати раванску густину паковања атома у ПЦК–Pb за равни: а) (100) и б) (111). Атомски радијус Pb износи 0,175 nm.

[a) 8,2 · 1012 атом/mm2; б) 9,4 · 1012 атом/mm2]


1.31. Скицирати (102) раван у ЗЦК–јединичној ћелији хрома и израчунати њену раванску густину паковања атома. Атомски радијус хрома износи 0,1249 nm.

[5,4 · 1012 атом/mm2]

1.32. Израчунати густину ПЦК–никла чији је параметар јединичне ћелије 0,352 nm а моларна маса 58,71 g mol–1.

[8,94 Mg m–3]

1.33. Железо на собној температури има ЗЦК кристалну структуру чији је параметар јединичне ћелије 0,287 nm и густину 7,87 Mg m–3. Израчунати моларну масу железа.

[55,9 g mol–1]

1.34. Титaн нa сoбнoj темперaтури има ХГП кристалну структуру и густину 4510 kg m–3. Израчунати запремину јединичне ћелије Ti и параметар решетке Ti ако је c/a = 1,58. Моларна маса титана је 47,9 g mol–1.

[1,058 · 10–28m3; a = 0,296 nm; c = 0,468 n]

1.35. Титан на повишеним температурама има ЗЦК кристалну структуру, при чему његов атомски радијус износи 0,145 nm. Израчунати: а) параметар јединичне ћелије ЗЦК–Ti и б) густину ЗЦК–Ti.

[a) 0,335 nm; b) 4240 kg m–3]

1.36. Израчунати радијус атома ванадијума који има ЗЦК кристалну структуру и густину 5960 kg m–3. Моларна маса ванадијума је 50,9 g mol–1.

[0,132 nm]

1.37. Израчунати радијус атома иридијума који има ПЦК кристалну структуру и чија је густина 22400 kg m–3. Моларна маса иридијума је 192,2 gmol–1.

[0,136 nm]

1.38. Израчунати густину стакластог никла ако је његов атомски фактор паковања 0,636. Пречник атома Ni је 0,2492 nm а моларна маса 58,71 g mol–1.

[7,65 Mg m–3]

1.39. Титан има ЗЦК кристалну структуру на вишим температурама. При хлађењу ЗЦК–Ti се трансформише у ХГП–Ti уз повећање атомског радијуса од 2 %. Израчунати промену запремине при наведеној трансформацији.

[–2,5 запр. %]

Documents

02_Kristalna Struktura Metala