OSNOVE KVANTNE MEHANIKE

RECIPROČNA REŠETKA

ELEKTRONSKA STRUKTURA MATERIJALA

ЕЕlektrotehnilektrotehniččki fakultet, Beogradki fakultet, Beograd

Materijali u elektrotehniciMaterijali u elektrotehnici

Talasno-čestična dualnost i de Broglie-va talasna dužina čestica

Luj de Brolj je 1924. pretpostavio da ova relacija važi i za čestice i da odražava njihovu talasnu prirodu.

Talasna pripoda elektrona zaista je dokazana u eksperimentima sa njihovom difrakcijom na kristalima, koji su dali rezultate slične difrakciji X-zraka. Vrednosti talasne dužine elektrona dobijene ovim eksperimentima u saglasnosti su sa de Broljovom hipotezom.

Složen matematički opis dualne prirode čestica razvijen je u narednim godinama. Čestici je pridružena talasna funkcija Ψ, a zakon održanja energije dobijen u vidu Šredingerove jednačine, koja čini osnovu kvantne mehanike.

hp k

p

OSNOVE KVANTNE MEHANIKE

Osnovni kvantnomehanički postulati i Šredingerova talasna jednačina

Šredinger je 1926. predložio opis mikrofizičkog sistema kompleksnom talasnom funkcijom (Ψ), koja je funkcija koordinata svih čestica sistema i vremena.

Za jednočestični sistem, svojstva talasne funkcije Ψ mogu da se izraze preko sledećih 5 postulata:

1. Čestici se pridružuje talasna funkcija Ψ(x,y,z,t), gde su x, y, z prostorne koordinate čestice, a t vreme.

2. Klasični izraz za ukupnu energiju (hamiltonijan) sistema

može da se konvertuje u Šredingerovu talasnu jednačinu pridruživanjem određenih operatora klasičnim fizičkim veličinama.

2

, ,2

pU x y z E

m

dinamička promenljiva pridruženi operator

, , , ,

, , , ,

, , , ,x y z

x y z x y z

U x y z U x y z

p p p i i ix y z

E it

Kada se klasične dinamičke veličine zamene odgovarajućim operatorima, klasični izraz pretvara se u Šredingerovu talasnu jednačinu:

koja se često izražava u obliku

gde je Ĥ Hamiltonov operator, ili kvantnomehanički hamiltonijan sistema:

u kome je Laplasov operator.

t

izyxUzyxm

,,2 2

2

2

2

2

22

tiH

ˆ

2 2 2 2 2

22 2 2

ˆ , , , ,2 2

H U x y z U x y zm mx y z

2 2 22

2 2 2x y z

3. Veličine Ψ(x,y,z,t) i Ψ/x, Ψ/y, Ψ/z moraju biti konačne, neprekidne i jednoznačne za sve vrednosti x, y, z, t. Time Šredingerova talasna jednačina jednoznačno određuje evoluciju u vremenu talasne funkcije Ψ(x,y,z,t).

4. Veličina Ψ*Ψ, gde je Ψ* kompleksna konjugovana vrednost talasne funkcije Ψ, uvek je realna veličina, i prema Bornu (1926) interpretira se kao gustina verovatnoće nalaženja čestice, sa uslovom normiranja talasne funkcije:

5. Srednja ili očekivana vrednost α bilo koje fizičke veličine α, kojoj je pridružen operator , definisana je kao:

Suština kvantne mehanike sadržana je u ovih pet postulata – nema načina da se oni dokažu, izuzev što kvantna mehanika pokazuje odličnoslaganje sa eksperimentom!

* 1po celomprostoru

dV

* ˆ dV

Srednje vrednosti fizičkih veličina: klasični limit

Kvantna mehanika daje iste rezultate kao i klasična mehanika, kada se posmatraju srednje vrednosti fizičkih veličina.

Na primer, srednja vrednost komponente px impulsa jednaka je:

Diferenciranjem po vremenu:

dxtx

xitxpx ,,*

dobija se Njutnov zakon kretanja čestice duž x-ose:

xx F

x

U

dt

pd

dxx

U

xxxm

*

2

2*

*2

2

dxtx

idxxt

idt

pd x

2

**

Hajzenbergove relacije neodređenosti

Nemoguće je istovremeno sa proizvoljnom tačnošću znati položaj i impuls čestice.Nemoguće je istovremeno sa proizvoljnom tačnošću znati energiju čestice u određenom stanju i vreme trajanja tog stanja.

Paulijev princip isključivosti

2xdx dp

2dE dt

Za opis stanja elektrona u atomu potrebna su četiri kvantna broja.

Dva elektrona (fermiona) ne mogu u sistemu da zauzimaju isto stanje, određeno kvantnim brojevima n, l, ml i ms (glavni, orbitalni, magnetni i magnetni spinksi).

Stanje sa istim n, l i ml mogu imati dva elektrona sa suprotno usmerenim spinovima ms = +½ i ms = -½.

Čestica kao talasni paket

Fazna brzina slobodne čestice koja se kreće brzinom v duž x-ose jednaka je vf = c2/v i veća je od brzine svetlosti u vakuumu vf > c. Pored toga, ravanksi talas nije prosotno ograničen.

Da bi se prevazišla ovakva paradoksalna situacija, čestica se ne povezuje sa pojedinim monohromatskim talasima, već se predstavlja grupom talasa bliskih frekvencija (tj. bliskih talasnih brojeva k, odnosno impulsa p = ћk), pa rezultantna talasna funkcija predstavlja talasni paket.

Grupna brzina talasnog paketa poklapa sa brzinom kretanja same čestice.

Ako se ne upotrebi jedan monohromatski talas, nego skup talasa bliskih frekvencija, onda pomoću njih može da se sačini talasni paket čija je rezultantna amplituda znatno različita od nule samo u nekom ograničenom delu prostora, koji se može povezati sa položajem čestice.

Talasna funkcija slobodne čestice (U = 0 u Šredingerovoj jednačini), ograničene na kretanje duž x-ose, ima oblik ravanskog talasa:

1 1

,2 2

ipx Et i kx tx t e e

Diskretni energetski spektar

Tunelovanje čestice kroz potencijalnu barijeru

Čestica energije E može da prođe kroz potencijalnu barijeru konačne širine čija je visina U0 > E.

Svako prostorno ograničeno kretanje čestice dovodi do diskretnog energetskog spektra čestice, odnosno do kvantizacije energije čestice.

Ako svaki čvor Braveove rešetke može da se dosegne pomoću vektora translacije

R = n1a1 + n2a2 + n3a3 =

3

1iin ai (ni = 0, ±1, ±2, ...)

onda se ai nazivaju primitivnim vektorima direktne rešetke. Ovi vektori definišu primitivnu ćeliju kristalne rešetke (direktnog prostora), pridruženu samo jednom čvoru rešetke. Ceo prostor ispunjen rešetkom može da se reprodukuje beskonačnim ponavljanjem primitivnih ćelija, čija je zapremina V0 = a1∙(a2 × a3).

Translaciona simetrija rešetke nameće periodičnost mnogim fizičkim veličinama koje opisuju kristalnu strukturu. Jedna od takvih veličina je potencijalna energija kristalne rešetke:

V(r) = V(r + R) (za R)

Razvojem u Furijeov red: V(r + R) = K

KV eiK(r + R) (za R), pa se dobija se da vektori K

moraju zadovoljiti jednačinu eiK R 1 (za K ), odnosno

KR Kai

n m mii 1

3

2 0 1 2 ( , , , ...)

RECIPROČNA REŠETKA

za sve celobrojne vrednosti n1, n2 i n3. Ovo je moguće samo kada je

Ka i 2 1 2 3 0 1 2 m i m i i ( , , ; , , , ...) Ova jednačina, koja se svodi na tri skalarne jednačine, u potpunosti određuje vektore K. Predstavimo vektor K razlaganjem po tri nekomplanarna vektora a a2 3 , a a3 1 , a a1 2 , normalna na odgovarajuće primitivne vektore a1, a2, a3:

K a a a a a a2 3 3 1 1 2 1 2 3( ) ( ) ( ) Skalarnim množenjem prethodne jednačine primitivnim vektorima ai ( , , )i 1 2 3 dobija se

Kai = αi [a1a2a3] = 2πmi

i im i

21 2 3

[ ]( , , )

a a a1 2 3

pa izraz za vektor K postaje

K = m1A1 + m2A2 + m3A3 =

3

1iim Ai (mi = 0, ±1, ±2, ...)

gde su uvedeni novi vektori Ai (i = 1, 2, 3):

A a a

a a a a a 1

2 3

1 2 3 2 3

2

2

0

V

A

a a

a a a a a 2

3 1

1 2 3 3 1

2

2

0

V

A a a

a a a a a 3

1 2

1 2 3 1 2

2

2

0

V

Vektori Ai i K imaju dimenziju recipročne dužine, pa se vektori Ai (i = 1,2,3) definišu kao primitivni vektori u novom recipročnom prostoru, u kom vektor K predstavlja vektor translacije, koji doseže svaki švor recipročne rešetke.

Paralelepiped formiran na vektorima Ai (i = 1, 2, 3) naziva se primitivnom ćelijom recipročne rešetke. Braveova rešetka kojoj se pridružuje određena recipročna rešetka naziva se i direktnom rešetkom. Za svaku direktnu (Braveovu) rešetku postoji jedinstvena recipročna rešetka. Vektor K uveden je kao indeks sumiranja u kompleksnom obliku Furijeovog reda potencijalne energije, a njegov fizički smisao, kao i smisao recipročnog prostora, postaće jasni u daljem razmatranju.

Talasna funkcija elektrona u kristalnoj rešetki ima oblik Blohovih funkcija

Ψk (r) = eikr uk(r), (1) gde je uk r( ) periodična funkcija s periodom rešetke:

uk(r) = uk(r + R), (2)

odakle sledi da je elektronska gustina k kr r R( ) ( )2 2 periodična funkcija u kristalu.

Jednačina (1) pokazuje da je talasna funkcija elektrona koji se kreće u periodičnom električnom polju kristala modulisani ravanski talas. Vektor k naziva se kvazitalasnim vektorom, jer je nejednoznačno određen. Naime, kombinujući jednačine (1) i (2) dobijamo:

kkR

kr R r( ) ( ) ei , (3) pa ako izvršimo smenu k k K , gde je K vektor translacije recipročne rešetke, vidimo

da talasna funkcija elektrona (jednačina (3)) ostaje neizmenjena (pošto je eiKR 1, iz uslova periodičnosti kristala). To znači da su fizički neekvivalentne vrednosti kvazitalasnog vektora određene unutrašnjošću primitivne ćelije recipročne rešetke:

k A A A1 2 3 q q q q ii1 2 3 0 1 1 2 3( , , , ), (4) dok su sve ostale tačke k k K recipročnog prostora fizički ekvivalentne.

Prva Briluenova zona je oblast recipročnog prostora određena Vigner-Zajcovom primitivnom ćelijom recipročne rešetke. Kao i bilo koja druga primitivna ćelija recipročnog prostora, ona obuhvata vrhove samo fizički neekvivalentnih vrednosti kvazitalasnog vektora k, ali ne zavisi od izbora primitvnih vektora.

U 1D slučaju primitivni vektor recipročne rešetke je intenziteta A 2 a (a je period jednodimenzione rešetke), pa su stanja elektrona sa vrednostima talasnog broja k i k' = k + n·(2π/a) (n = 0,±1,±2,...) fizički nerazlučiva. To omogućava da sve Briulenove zone (različitog n) svedemo na prvu zonu, za koju je a k a .

Milerovi indeksi neke atomske ravni (hkl) su koordinate najmanjeg vektora recipročne rešetke Khkl = hA1 + kA2 + lA3 normalnog na datu ravan, u sistemu koordinata zadatom primitivnim vektorima recipročne rešetke.

Rastojanje dhkl između susednih ravni skupine (hkl):

Za kubičnu rešetku sa parametrom rešetke a:

Jedan od glavnih zadataka teorije čvrstog stanja materijala jeste proučavanje promena diskretnog spektra energetskih nivoa elektrona međusobno izolovanih atoma pri približavanju atoma u toku obrazovanja kristalne strukture. U tom slučaju kristal može da se posmatra kao džinovski molekul sastavljen od velikog broja atoma.

Na osnovu Paulijevog principa isključenja, više elektrona ne može da zauzima ista dozvoljena stanja, što uzrokuje "cepanje" nivoa elektrona izolovanih atoma u energetske zone.

Više se cepaju spoljašnji nivoi, koji predstavljaju energije elektrona najslabije vezanih za atomska jezgra, između kojih najpre počinje uzajamno dejstvo pri zbližavanju atoma. Energetski nivoi elektrona bližih jezgru cepaju se veoma slabo, i to tek pri znatno manjim međuatomskim rastojanjima od perioda kristalne rešetke.

Za razliku od izolovanog atoma, u kom se elektroni nalaze na nivoima sa diskretnim vrednostima energije, kod materijala u čvrstom stanju energetska skala elektrona sadrži dozvoljene i zabranjene zone.

ELEKTRONSKA STRUKTURA MATERIJALA

Pri zbližavanju pojedinačnih atoma, kolektivizacijom perifernih elektrona nastaju dve energetske zone najbitnije za osobine kristala - valentna i provodna. Ove dve zone nalaze se na vrhu energetske skale, pri čemu se valentna zona nalazi ispod provodne, i razdvojene su zabranjenom zonom koja se naziva energetski procep. Susedni energetski nivoi unutar dozvoljenih zona su veoma bliski (na rastojanju ~ 10−22 eV), pa je skalu dozvoljenih energija unutar ovih zona moguće smatrati kontinualnom. Širina valentne energetske zone je ~ 1 eV, dok su širine nižih dozvoljenih zona manje.

Šematski prikaz: (a) cepanja energetskih nivoa elektrona izolovanog atoma u energetske zone pri zbližavanju atoma u toku formiranja kristala; (b) zauzetost energetskih zona elektronima, za ravnotežno rastojanje ro između atoma u kristalu.

Šematski prikaz zonalne strukture: (a) provodnika (Eg = 0); (b) poluprovodnika (Eg < 3,5 eV); (c) dielektrika (Eg > 3,5 eV). Važna je i zauzetost najviše (valentne ili provodne) zone na T = 0 K: kod provodnika ona je delimično popunjena (pa su oni zato provodni), a kod poluprovodnika i dielektrika ona je potpuno zauzeta (pa su oni zato neprovodni).

Podela elektrotehničkih materijala prema veličini energetskog procepa Eg

Provodni materijali imaju nezauzete energetske nivoe koji leže neposredno iznad zauzetih valentnih nivoa. Pod dejstvom električnog polja, koje predaje elektronu energiju ~ 10−19 eV, elektroni mogu da se premeštaju na susedne, više nivoe (to su unutarzonski prelazi), ostvarujući električnu struju u kolu.

U opštem slučaju, zonska struktura provodnika može biti dvojaka. Zonska struktura na slici a) odgovara metalima prve grupe periodnog sistema, sa polupopunjenom valentnom zonom. Pošto unutar valentne zone ima nepopunjenih energetskih nivoa, to su ovi materijali provodnici (Cu, Ag, Au, Na, K).

Materijal može biti provodnik i u slučaju prekrivanja valentne i provodne zone (slika b). Takvu zonalnu strukturu poseduju kristali elemenata iz druge grupe periodnog sistema (Be, Mg, Zn, Cd). Kod njih je obrazovana hibridna zona, koju valentni elektroni samo delimično popunjavaju, pa čvrsto telo može da provodi električnu struju.

Neprovodni materijali su oni kod kojih je valentna zona sasvim popunjena, tako da pod dejstvom električnog polja elektron ne može da pređe na blizak slobodan nivo. Zato su ovi materijali neprovodni pri uobičajenim veličinama spoljašnjeg električnog polja.

Tek pri znatno većim razlikama potencijala (~ 10 kV), ili pri znatno višim temperaturama, može doći do pobuđivanja elektrona sa vrha valentne na dno provodne zone. U slučaju dielektrika, tada kažemo da se radi o električnom, odnosno termičkom proboju materijala.

Šematski prikaz položaja (a) donorskih i (b) akceptorskih diskretnih energetskih nivoa u primesnom poluprovodniku n, odnosno p tipa.

Iz Borovog modela atoma sličnog vodoniku dobija se da je ΔEi = m*e4Z2/8h2εo

2εr2 ~ 0,05 eV (za εr

Si ~ 12 i Z = 1, odnosno za V- i III-valentne primese) što je ~ kT za T ≈ 300 K (tj. reda veličine toplotne energije na sobnoj temperaturi).

ΔEi bi bilo 4 puta veće za Z = 2, odnosno za VI- i II-valentne primese, koje se zato i ne primenjuju.

+ + - -

Disperziona zavisnost E(k) (energije elektrona od talasnog broja) u 1D-kristalu periodičnosti a

Energija slobodnog elektrona je .

Ova zavisnost E(k) prikazana je isprekidanom linijom na slici.

Za elektron u 1D kristalu važe segmenti iscrtani punom linijom, koji pri vrhu i dnu svake od dozvoljenih zona odstupaju od parabolične zavisnosti za slobodan elektron.

E E

E =

Elektroni u kristalu ne mogu da imaju sve vrednosti energije, već samo one unutar dozvoljenih zona, pa su iz disperzione zavisnosti E(k) isključeni delovi koji odgovaraju zabranjenim zonama.Oblasti vrednosti talasnog broja k u kojim se energija elektrona E menja neprekidno, a na granicama doživljava prekid, nazivaju se Briluenovim zonama.U 1D slučaju intenzitet vektora translacije recipročne rešetke K je celobrojni umnožak intenziteta primitivnog vektora recipročne rešetke 2π/а, pa su fizički nerazlučiva stanja elektrona sa vrednostima talasnog broja k i talasnih brojeva k' datih izrazom:

To omogućava da se sve Briluenove zone svedu na prvu zonu, što je na grafiku sa prethodnog slajda predstavljeno linijama "crta-tačka". Ovako svedena zavisnost E(k) je nejednoznačna.

Fizički neekvivalentni kvazitalasni vektori unutar prve Briluenove zone u 3D slučaju su:

Vibracije atoma u kristalu - fononi

Kristal sa N atoma (od kojih svaki ima po tri stepena slobode) ima 3N karakterističnih kružnih učestanosti.Kristal može da se predstavi sa 3N nezavisnih oscilatora, od kojih svaki može imati dozvoljena energetska stanja data izrazom izvedenim za kvantni 1D linearni harmonijski oscilator:

Fonon je kvant energije vibracija kristalne rešetke (~ 10−2 eV).

Energetski vibracioni nivoi kristala mogu se grupisati u tzv. fononske spektralne grane.U slučaju 1D kristala periodičnosti a sa dvoatomskim bazisom i N primitivnih ćelija, 2N vibracionih modova raspodeljuje se u dve disperzione grane.

Formiranje vibracionih (fononskih) disperzionih grana 1D kristala periodičnosti a sa dvoatomskim bazisom. ω(q) je zavisnost kružne učestanosti oscilovanja

od kvazitalasnog broja fonona.

Akustički mod (A) opisuje kretanje u kome se dva jona u primitivnoj ćeliji 1D kristala kreću u fazi, dok optički mod (O) opisuje kretanje u kome se dva jona u ćeliji kreću u protivfazi.

U 3D slučaju sa s atoma u primitivnoj ćeliji, ukupan broj modova 3sN (N je broj primitivnih ćelija u kristalu, sN je broj atoma u kristalu,a 3sN broj njihovih stepeni slobode) raspodeljuje se na 3s disperzionih grana (svaka ima po N vrednosti za q unutar prve Briluenove zone), od kojih su 3 akustičke a 3s - 3 optičke.

Šematski prikaz međuzonskih prelaza kod materijala sa (a) direktnim i (b) indirektnim energetskim procepom

Širina energetskog procepa, kao i njegove vrste, imaju važnu ulogu u izboru materijala za odgovarajuće primene.

Vrste energetskog procepa: Egdir i Eg

ind

Fizički je pravilniji prikaz zona u faznom prostoru E(k).

Kretanje elektrona u kristalu ima svoje specifičnosti. Čak i kada elektron napusti atom u kristalu, on se pod dejstvom primenjenog električnog polja ne kreće sasvim slobodno već je podvrgnut uticaju polja kristala. Ovaj uticaj može se usrednjeno uzeti u obzir uvođenjem efektivne mase kvazislobodnih nosilaca.

Smisao uvođenja efektivne mase sastoji se u tome da se složeni zakoni kretanja elektrona u kristalu mogu formalno svesti na zakone klasične mehanike.

Posredstvom efektivne mase uračunato je rezultujuće dejstvo periodičnog električnog polja na elektron u kristalu.

Zbog anizotropnih svojstava kristala, efektivna masa je u raznim pravcimaBriluenove zone različita - drugim rečima ona predstavlja tenzorsku veličinu.

Efektivna masa kvazislobodnih nosilaca

Električna provodnost materijala

Dok u provodnom materijalu nema spoljašnjeg električnog polja, elektroni će se haotično kretati u svim pravcima. Ako se elektroni podvrgnu dejstvu spoljašnjeg električnog polja E, oni će početi sporo da se premeštaju u smeru suprotnom od smera električnog polja. Ovo sporo, usmereno kretanje naziva se driftom.

Specifična električna provodnost:

Pokretljivost elektrona:

srednje vreme slobodnog puta elektronaSrednja driftovska brzina

Omov zakonu lokalnom obliku

Specifična električna otpornost

6 m10

sTv 3 mΔ 10

sd Tv v

Srednja brzinatoplotnogkretanja

Linearna zavisnost važi samo za mala polja, dok je pri većim , sve dok srednja brzina drifta ne dospe do maksimalne vrednosti zasićenja m/s.5Δ 10dsv

Δ dv E

~ ~

~~

Alternativni kriterijum za klasifikaciju elektrotehničkih materijala je prema veličini specifične otpornosti (ρ). Prema tom kriterijumu, na sobnoj temperaturi provodnici imaju ρ ~ 10−8 – 10 −6 Ωm, poluprovodnici ρ ~ 10−6 – 1010 Ωm, a dielektrici ρ ~ 106 – 1018 Ωm.

Kako se granične vrednosti specifične električne otpornosti poluprovodnika i dielektrika preklapaju, to je klasifikacija prema veličini energetskog procepa pouzdanija, naročito za materijale bez primesa i drugih defekata. Kao ilustracija za ovakvu tvrdnju može da posluži činjenica da i za savršeno čiste poluprovodnike i za dielektrike pri temperaturi bliskoj apsolutnoj nuli specifična otpornost teži beskonačnosti.

Podela elektrotehničkih materijala prema veličini specifične električne otpornosti ρ

Toplotna provodnost materijala

U čvrstim telima postoje dva osnovna doprinosa njegovoj unutrašnjoj energiji: energija vibracija atoma oko ravnotežnih položaja u čvorovima kristalne rešetke i kinetička energija provodnih elektrona.

Dovođenjem toplote čvrstom telu povećavaju se njegova unutrašnja energija i temperatura (kao mera ove energije). U osnovi provođenja toplote leži težnja postizanja ravnotežne raspodele po energiji (toplotne ravnoteže) u svakoj tački uzorka materijala duž koga postoji temperaturski gradijent. Ponekad se ovaj proces naziva i toplotnom difuzijom.

Toplotna energija vibracija atoma u rešetki je kvantizirana, kao rezultat finitnog kretanja atoma oko ravnotežnih položaja. Kvanti energije vibracija atoma (fononi) određeni su elastičnim osobinama kristala. Osim fononima, toplotna energija u čvrstom telu može se prenositi i provodnim elektronima, tako da se često govori o toplotnoj provodnosti rešetke i toplotnoj provodnosti elektrona.

Toplotna provodnost rešetke preovlađuje kod izolacionih materijala, kod kojih je broj provodnih elektrona u materijalu mali.

Kod provodnih materijala dominira udeo provodnih elektrona u toplotnoj provodnosti.

Difuzija (Fikovi zakoni) i kontaktne pojave

Pri dodiru dva materijala sa različitim koncentracijama provodnih elektrona (n2 > n1) dolazi do difuzije provodnih elektrona u oba smera. Veći broj elektrona će preći u prvi materijal, koji usled toga postaje negativno naelektrisan, dok drugi materijal postaje pozitivno naelektrisan. Električno polje koje se tom prilikom formirasuprotstavlja se difuziji provodnih elektrona. Kada se ova dva delovanja uravnoteže prestaje proticanje elektrona. Između materijala se pojavljuje kontaktna razlika potencijala.

Procesi difuzione prirode mogu nastati i kada postoji gradijent koncentracije slobodnih (naelektrisanih ili nenaelektrisanih) čestica, kada se govori o masenoj difuziji. Toplotna i masena difuzija ne dovode samo do prenosa toplote i mase, respektivno, već obe istovremeno dovode do prenosa i toplote i mase, mada je najčešće jedan od ova dva efekta dominantan, usled čega se onaj drugi zanemaruje.Prvi Fikov zakon je izraz za gustinu difuzione struje, a drugi opisuje promenu koncentracije difundujućih čestica u vremenu, pri čemu je n koncentracija čestica, dok je D koeficijent difuzije čestica u materijalu koji zavisi od temperature.

Termopar

Formiramo zatvoreno kolo od dva provodna materijala.Ako krajeve spoja (termopara) održavamo na različitim temperaturama (T2 > T1), pojavljuje se termoelektromotorna sila:

gde je α koeficijent termoelektromotorne sile koji zavisi samo od svojstva materijala u kontaktu.