J e lena

Diferencija lna geometrija

J e lena Beban Brkić

UVOD

1 OSNOVNI POJ MOVI VEKTORSKE ALGEBRE

Pojam vektora

Geometrijs ki p rika z vektora

Usmjerena dužina

Ekvivalentne usmjerene dužine

Klasa usmjerenih dužina = vektor

Oznake: AB, CD,... ili a, b, v, ....

Uobičajeno je, iako neprecizno, pisati a =AB, budući da a predstavlja klasu, a AB samo jednu

usmjerenu dužinu iz te klase. Usmjerenu dužinu iz klase biramo po volji odabirom njene početne

točke.

a

b

A

B

C

D

Slika 01.1 Predstavnici vektora a i b

Geometrijski, vektor je zadan s:

• prevcem nosiocem na kojem se vektor nalazi

• duljinom ili modulom

• orijentacijom na pravcu nosiocu

Ponovimo dalje:

Nul-vektor

Kolinearni vektori

Komplanarni vektori

a

ba b

Slika 01.2 Kolinearni vektori na paralelnim pravcima a i b; Komplanarni vektori u ravnini π

Računanje s vektorima

■ Množenje vektora s kala rom (bro jem)

X - skup svih vektora prostora E3

- polje realnih brojeva

2 0 1 _ u vod_ JBB_ p p_p roba .n b

Neka je a⟶

ϵ X i λ∈ .

Umnožak ( ) vaktora i skalara je funkcija koja paru ( a⟶

, λ) pridružuje vektor λ a⟶

.

Dakle, ( ): X × ⟶ X

( a⟶

, λ) ↦ λ a⟶

= b⟶

∈ X

Vektor b⟶

= λ a⟶

definiran je ovako:

• duljina: b⟶

= λ a⟶

= λ · a⟶

• pravac nosioc vektora b⟶

jednak je onome od a⟶

• orjentacija: ista za λ > 0suprotna za λ < 0

λ>0

A

B

C λ<0A

B

C

Slika 01.3 a⟶

= AB, b⟶

= λ a⟶

= AC, za λ > 0 i λ < 0

Svojstva operacije množenja sa skalarom:

(1) λ (a + b) = λ a + λ b

(2) (λ + μ) a = λ a + μ a

(3) (λμ) a = λ (μ a)

(4) 1 a = a

Neki posebni slučajevi (za vektor a ≠ 0):

⊳ λ = 0 → λ a⟶

= 0 a = 0, nul-vektor;

⊳ λ = - 1 → λ a⟶

= (- 1) a⟶

= - a⟶

, suprotni vektor;

0 1 _ u vod_ JBB_ pp_ proba .n b 3

⊳ λ → λ

⊳ λ = 1

a → ao = a

a, jedinični vektor (zaista, ao = a

a=

a

a= 1)

■ Zbra jan je vektora

ab

a

b

a+b

ab

a+b

Slika 01.4 Zbrajanje vektora po pravilu trokuta i po pravilu paralelograma

a⟶

, b⟶∈ X;

(+): X × X⟶ X

( a⟶

, b⟶

) ↦ c⟶

= a⟶

+ b⟶

∈ X

Svojstva operacije zbrajanja:

(1) a⟶

+ b⟶

= b⟶

+ a⟶

komutativnost

(2) ( a⟶

+ b⟶

) + c⟶

= a⟶

+( b⟶

+ c⟶

) asocijativnost

(3) a⟶

+(– a⟶

) = (– a⟶

) + a⟶

= 0⟶

postojanje suprotnog elementa

(4) a⟶

+ 0⟶

= 0⟶

+ a⟶

= a⟶

postojanje neutralnog elementa

(X, +, ·) je vektorski (linearni) prostor

Razlika dvaju vektora a⟶

i b⟶

defininira se na sljedeći način: a⟶

– b⟶

=

a⟶

+(- b⟶

)

Slika 01.5 Oduzimanje vektora

4 0 1 _ u vod_ JBB_ p p_p roba .n b

a×Ö

b×Ö

a×Ö

- b×Ö

- b×Ö

a×Ö

+ H- b×ÖL

■ Linearna kombinac ija vektora

Opći oblik linearne kombinacije vektora: λ1 a1⟶

+ λ2 a2⟶

+ … + λn an⟶.

Vektori a1⟶

, a2⟶

, …, an⟶

su linearno nezavisni ako iz

λ1 a1⟶

+ λ2 a2⟶

+ … + λn an⟶

= 0⟶

slijedi da su svi λ1 = λ2 = … = λn = 0.

Vektori a1⟶

, a2⟶

, …, an⟶

su linearno zavisni ako nisu nezavisni, tj. ako iz

λ1 a1⟶

+ λ2 a2⟶

+ … + λn an⟶

= 0⟶

slijedi da je barem jedan λi(i = 1, …, n) različit od 0.

U tom se slučaju jedan od vektora može prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora.

Pr imjer . Neka je 3 a⟶

- 1

2b⟶

= 0⟶

. Možemo pisati 3 a⟶

= 1

2b⟶

ili b⟶

= 6 a⟶

.

Dakle, a⟶

i b⟶

su povezani relacijom b⟶

= λ a⟶, pa zaključujemo da su linearno

zavisni.

Koji je maksimalni broj linearno nezavisnih vektora prostora?

- na pravcu: 1; tj. svaka 2 vektora su linearno zavisna

- u ravnini: 2; tj. svaka 3 vektora su linearno zavisna

(uz uvjet da nikoja dva ne leže na istom pravcu)

- u prostoru: 3; tj. svaka 4 su linearno zavisna

0 1 _ u vod_ JBB_ pp_ proba .n b 5

(uz uvjet da nikoja tri ne leže u istoj ravnini)

■ Ska la rni produkt vektora

Neka su a⟶

, b⟶∈ X i neka je φ = ∢( a

⟶, b⟶

), 0 ≤ φ ≤ .

Skalarni produkt ( ·) je funkcija koja paru vektora ( a⟶

, b⟶

) pridružuje broj a⟶

b⟶

·cos φ.

Dakle, (·): X × X ⟶

( a⟶

, b⟶

) ↦ a⟶

· b⟶

= a⟶

b⟶

·cos φ ∈

Svojstva:

(1) a⟶

· a⟶

≥ 0, a⟶

· a⟶

= 0 ⇔ a⟶

= 0⟶

(2) λ( a⟶

· b⟶

) = (λ a⟶

)· b⟶

= a⟶

·(λ b⟶

)

(3) a⟶

b⟶

= b⟶

a⟶

(4) a⟶

·( b⟶

+ c⟶

) = a⟶

· b⟶

+ a⟶

· c⟶

Posljedice:

(1) a⟶

· b⟶

= 0 ⇔ a⟶

∟b⟶

ili a⟶

= 0⟶

ili b⟶

= 0⟶

(2) a⟶

· a⟶

= a⟶

· a⟶

·cos 0 = a⟶ 2 ⇒ a

⟶= a

⟶· a⟶

(3) cos φ = a⟶· b⟶

a⟶ b⟶

■ Vektors ki produkt vektora

Neka su a⟶

, b⟶∈ X i neka je φ = ∢( a

⟶, b⟶

), 0 ≤ φ ≤ .

Vektorski produkt ( × ) je funkcija koja paru vektora ( a⟶

, b⟶

) pridružuje vektor kojeg označavamo

a⟶

× b⟶

.

Dakle, (×): X × X⟶X

( a⟶

, b⟶

) ↦ a⟶

× b⟶

∈ X

Vektor a⟶

× b⟶

je određen s:

6 0 1 _ u vod_ JBB_ p p_p roba .n b

×

• Modul: a⟶

× b⟶

= | a⟶

|·| b⟶

|· sin∢( a⟶

, b⟶

)

a⟶

× b⟶

je jednako površini paralelograma što ga tvore vektori a⟶

i b⟶

.

• Pravac nosioc vektora ( a⟶

× b⟶

): okomit je na ravninu određenu vektorima a⟶

i b⟶

a⟶

i b⟶

kolinearni ⇒ a⟶

× b⟶

= 0⟶

,

a⟶

× b⟶

= 0⟶

⇒ a⟶

i b⟶

kolinearni ili je barem jedan od njih 0⟶

.

• Orijentacija: po pravilu desne ruke, tj. trojka vektora ( a⟶

, b⟶

, a⟶

× b⟶

) čini desnu

trojku.

Svojstva vektor skog množenja:

(1) a⟶

× a⟶

= 0⟶

(2) α( a⟶

× b⟶

) = (α a⟶

) × b⟶

= a⟶

× (α b⟶

)

(3) a⟶

×( b⟶

+ c⟶

) = a⟶

× b⟶

+ a⟶

× c⟶

(4) a⟶

× b⟶

= – ( b⟶

× a⟶

)

■ Viš es truki p rodukti

Neka su a⟶

, b⟶

, c⟶

∈ X.

Razmislite koji od sljedećih produkata imaju smisla:

a⟶

· b⟶

· c⟶

a⟶

· b⟶

× c⟶

a⟶

× b⟶

· c⟶

a⟶

× b⟶

× c⟶

a⟶

· b⟶

· c⟶

a⟶

· b⟶

× c⟶

a⟶

× b⟶

· c⟶

a⟶

× b⟶

× c⟶

Vektors ko - s ka la rn i p rodukt (mješ oviti p rodukt)

a⟶

, b⟶

, c⟶

ϵ X

0 1 _ u vod_ JBB_ pp_ proba .n b 7

ϵ

( ): X × X × X ⟶

( a⟶

, b⟶

, c⟶

) ↦ a⟶

× b⟶

· c⟶

∈

Zapisuje se:

( a⟶

× b⟶

)· c⟶

= ( a⟶

, b⟶

, c⟶

)

a⟶

× b⟶

· c⟶

je jednako volumenu paralelopipeda kojeg razapinju vektori a⟶

, b⟶

, c⟶

, tj.

( a⟶

× b⟶

)· c⟶

= ± V . Predznak (+ ili –) ovisi o tome čine li a⟶

, b⟶

, c⟶

desni ili lijevi sustav. Kada

su sva tri vektora u ravnini tada je V = 0.

Za mješoviti produkt vektora vrijedi ciklička zamjena:

( a⟶

, b⟶

, c⟶

) = ( a⟶

× b⟶

)· c⟶

= ( b⟶

× c⟶

)· a⟶

= ( c⟶

× a⟶

)· b⟶

= a⟶

·( b⟶

× c⟶

) = b⟶

·( c⟶

× a⟶

) = c⟶

·( a⟶

× b⟶

) =

– ( b⟶

× a⟶

)· c⟶

= – ( c⟶

× b⟶

)· a⟶

= …

Vektors ko - vektors ki produkt

a⟶

, b⟶

, c⟶

ϵ X

( ): X × X × X ⟶ X

( a⟶

, b⟶

, c⟶

) ↦ a⟶

× b⟶

× c⟶

∈ X

Vektor ( a⟶

× b⟶

) × c⟶

je okomit na vektor a⟶

× b⟶

i na vektor c⟶

pa leži u ravnini određenoj vek-

torima a⟶

i b⟶

.

Os ta li viš es truki p rodukti

1) Skalarni produkt vektorskih produkata

( a⟶

× b⟶

)·( c⟶

× d⟶

) = ( a⟶

c⟶

)·( b⟶

d⟶

) - ( a⟶

d⟶

)·( b⟶

c⟶

) = a⟶

c⟶

b⟶

c⟶

a⟶

d⟶

b⟶

d⟶

2) Vektorski produk vektorskih produkata

( a⟶

× b⟶

)×( c⟶

× d⟶

) = b⟶

[ a⟶

·( c⟶

× d⟶

)] – a⟶

[ b⟶

( c⟶

× d⟶

)] = b⟶

( a⟶

, c⟶

, d⟶

) – a⟶

( b⟶

, c⟶

, d⟶

),

8 0 1 _ u vod_ JBB_ p p_p roba .n b

× × × · × ×

tj. linearna kombinacija vektora a⟶

i b⟶

.

( a⟶

× b⟶

)×( c⟶

× d⟶

) = c⟶

[( a⟶

× b⟶

)· d⟶

)] – d⟶

[( a⟶

× b⟶

)· c⟶

)] = c⟶

( a⟶

, b⟶

, d⟶

) – d⟶

( a⟶

, b⟶

, c⟶

),

tj. linearna kombinacija vektora c⟶

i d⟶

.

Vektori u koordina tnom zapis u

Neka je (X, +, ·) trodimenzionalni vektorski prostor.

Neka je (O; i⟶

, j⟶

, k⟶

) desni pravokutni koordinatni sustav.

i⟶

, j⟶

, k⟶

su linearno nezavisni, jedinični, međusobno okomiti vektori.

O je ishodište koordinatnog sustava.

Za svaku točku A vektor OA nazivamo radijvektorom (radijus vektorom) točke A.

x

y

z

i× j

×Ök×Ö

O

Slika 01.6 Sustav (O; i⟶

, j⟶

, k⟶

)

Pr ikaz vektora u koordinatnom sustavu:

Za točku A(x, y, z) je OA = x i⟶

+y j⟶

+z k⟶

= {x, y, z}.

Dakle, vrijedi relacija

točka A(x, y, z) ↔ vektor OA = {x, y, z}

0 1 _ u vod_ JBB_ pp_ proba .n b 9

↔

Neka je dalje OA = a⟶

,

a⟶

= ax i⟶

+ay j⟶

+az k⟶

= {ax, ay, az}

ax, ay, az - komponente vektora a⟶

, tj. skalarne projekcije vektora a⟶

na koordinatne osi x,

y, z (npr. ax = a⟶

. i⟶

)

x

y

z

i×

a×Ö

j×Ö

ax i×

a y j×Ö

az k×Ö

k×Ö

O

Slika 01.7 Prikaz vektora a⟶

u koordinatnom sustavu (O; i⟶

, j⟶

, k⟶

)

Vektorski prostor X = {{ax, ay, az} ax, ay, az ∈ } nazivamo euklidskim prostorom i označavamo

E3.

U koordinatnom zapisu:

- jednakost vektora: a⟶

= b⟶⇔ ax=bx, ay=by, az=bz

- množenje vektora skalarom: λ a⟶

= {λax, λay, λaz}

- zbrajanje vektora: a⟶

+ b⟶

= {ax+bx, ay+by, az+bz}

- skalarni umnožak: a⟶

· b⟶

= axbx + ayby + azbz a⟶

· a⟶

= ax2 + ay

2 + az2 =

a⟶ 2

- vektorski umnožak: c⟶

= a⟶

× b⟶

=i⟶

j⟶

k⟶

ax ay az

bx by bz

- mješoviti umnožak: ( a⟶

, b⟶

, c⟶

) =

ax ay az

bx by bz

cx cy cz

- vektor dvjema točkama A(x1, y1, z1) i B(x2, y2, z2):

AB = (x2 – x1) i⟶

+ (y2 – y1) j⟶

+ (z2 – z1) k⟶

1 0 0 1 _ u vod_ JBB_ p p_p roba .n b

AB = {(x2 – x1), (y2 – y1), (z2 – z1)}

Zadaci

01 Dani su vektori a = {1, 2, –4}, b = {2, 0, 3} i c = {1, 0, 1}.

Izračunati sljedeće produkte: a b, a·b, (a·b)c, (a·b)·c, a·(b c), (a b)·c, (b a)·c, (a b) c, a

(b c).

02 Za vektore iz zadatka 01 izračunati (2a + 3b – 5c) (a – 2b – 4c).

03 Na vektorima iz zadatka 01 provjeriti sljedeće identitete:

( a⟶

× b⟶

) × c⟶

= b⟶

( a⟶

· c⟶

) – a⟶

( b⟶

· c⟶

),

a⟶

×( b⟶

× c⟶

)= b⟶

( a⟶

· c⟶

) – c⟶

( a⟶

· b⟶

).

Napomena: Gornji se izrazi mogu zapisati i pomoću determinante:

( a⟶

× b⟶

) × c⟶

=b⟶

a⟶

b⟶

· c⟶

a⟶

· c⟶

= b⟶

( a⟶

· c⟶

) – a⟶

( b⟶

· c⟶

),

a⟶

×( b⟶

× c⟶

)=b⟶

c⟶

a⟶

· b⟶

a⟶

· c⟶

= b⟶

( a⟶

· c⟶

) – c⟶

( a⟶

· b⟶

).

Provjera:

04 Provjeriti da li su vektori a = {1, 2, –4}, b = {2, 0, 3} i c = {1, 0, 1} linearno nezavisni.

■ Saže tak poglavlja

Osnovni pojmovi vektorske algebre.

■ Is hod i učenja poglavlja

Po završetku ovog poglavlja studenti će biti u stanju vršiti računske operacije s vektorima u pros-

toru E3: zbrajati vektore, množiti vektor sa skalarom, izračunati skalarni i vektorski produkt dvaju

0 1 _ u vod_ JBB_ pp_ proba .n b 1 1

vektora, mješoviti produkt vektora.

1 2 0 1 _ u vod_ JBB_ p p_p roba .n b