2

SADRŽAJ: 1. SKUPOVI BROJEVA ....................4 1.1. Skup prirodnih brojeva ....................4 1.1.1. Računske operacije s prirodnim brojevima ....................4 1.2. Skup cijelih brojeva ....................5 1.2.1. Računske operacije s cijelim brojevima ....................5 1.3. Skup racionalnih brojeva ....................6 1.3.1. Računske operacije s racionalnim brojevima ....................7 2. LINEARNE JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE ....................8 2.1. Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom ....................8 2.1.1. Primjena linearnih jednadžbi ....................8 2.2. Sustav linearnih jednadžbi ..................9 2.2.1. Primjena sustava linearnih jednadžbi ..................10 2.3. Linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom ..................11 3. PROPORCIONALNOST I PRIMJENE ..................12 3.1. Omjeri i razmjeri ..................12 3.2. Upravna i obrnuta razmjernost ..................13 3.3. Jednostavno pravilo trojno ..................14 4. MJERNE JEDINICE ..................16 4.1. Mjerenje ..................16 4.1.1. Mjerne jedinice za duljinu, površinu i obujam ..................16 4.1.2. Mjerne jedinice za vrijeme, masu i silu ..................18 5. PLANIMETRIJA ..................20 5.1. Trokuti ..................20 5.1.1. Pravokutni trokut- Pitagorin poučak ..................20 5.1.2. Opseg i površina trokuta ..................20 5.2. Četverokuti ..................24 5.2.1. Opseg i površina četverokuta ..................25 5.3. Kružnica i krug ..................26 5.3.1. Opseg i površina kruga ..................27 5.4. Opseg i površina složenih likova ..................27 6. TRIGONOMETRIJA PRAVOKUTNOG TROKUTA ..................29 6.1. Mjerenje kuta ..................29 6.2. Definicije trigonometrijskih funkcija kuta ..................30 6.2.1. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova 30°, 60° i 45° ..................31 6.2.2. Računanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija pomoću džepnog računala ..................32 6.3. Rješavanje pravokutnog trokuta i primjena ..................33 7. UGLASTA TIJELA (POLIEDRI) I OBLA TIJELA ..................35 7.1. Kocka ..................35 7.1.1. Oplošje i volumen kocke ..................35 7.2. Kvadar ..................36 7.2.1. Oplošje i volumen kvadra ..................36 7.3. Prizme ..................37 7.3.1. Oplošje i volumen prizme ..................37 7.4. Piramide ..................38 7.4.1. Oplošje i volumen piramide ..................38

3

7.5. Valjak ..................40 7.5.1. Oplošje i volumen valjka ..................40 7.6. Stožac ..................41 7.6.1. Oplošje i volumen stošca ..................41 7.7. Kugla ..................42 7.7.1. Oplošje i volumen kugle ..................42 8. SILA ..................44 8.1. Pojam sile i njezino predočavanje ..................44 8.2. Sile koje djeluju u istom pravcu ..................46 8.2.1. Zbrajanje sila ..................46 8.2.2. Ravnoteža sila ..................49 8.2.2.1. Grafički uvjet ravnoteže ..................49 8.2.2.2. Analitički uvjet ravnoteže ..................50 8.3. Sustav sila koje djeluju u različitim pravcima, a imaju zajedničko hvatište..................55 8.3.1. Sastavljanje sila ..................51 8.3.2. Ravnoteža sila ..................51 8.3.2.1. Grafički uvjet ravnoteže ..................53 8.3.2.2. Analitički uvjet ravnoteže ..................53 8.4. Rastavljanje sila u dvije komponente ..................55 9. NAPREZANJA ..................58 9.1. Vrste naprezanja ..................58 9.1.1. Centrični vlak ..................58 9.1.2. Centrični tlak ..................58 9.1.3. Savijanje bez uzdužne sile ..................59 9.1.4. Naprezanje na posmik ..................59 9.1.5. Naprezanje na torziju ..................59 9.1.6. Ekscentrični vlak ..................59 9.1.7. Ekscentrični tlak ..................60 9.1.8. Savijanje s uzdužnom silom ..................60 10. MOMENT ..................61 10.1. Statički moment sile ..................61 10.1.1. Poučak o momentu ili Varignonov (Varinjonov) poučak ..................64 11. NOSAČI ..................66 11.1. Općenito o nosačima ..................66 11.1.1. Ležaji ..................66 11.1.2. Raspon nosača ..................69 11.1.3. Podjela nosača ..................69 11.1.4. Opterećenje nosača ..................72 11.1.4.1. Oblici opterećenja ..................73 11.2. Teorija nosača ..................75 11.2.1. Deformacija i unutarnje sile ..................75 11.2.2. Određivanje unutarnjih sile u nosaču ..................76 11.2.2.1. Predznak unutarnjih sila ..................76 11.2.2.2. Odnos između momenta savijanja i poprečne sile ..................78

4

1. SKUPOVI BROJEVA 1.1. Skup prirodnih brojeva Brojevi 1,2,3,4,5,6,7... dobro su nam poznati. To su prirodni brojevi. Skup svih prirodnih brojeva označavamo sa N i pišemo: N={1,2,3,4,5,6,7...} Skup svih neparnih prirodnih brojeva označavamo sa N1: N1={1,3,5,7,9,11...} Skup svih parnih prirodnih brojeva označavamo sa N2: N2={2,4,6,8,10,12...} Poznat je i skup brojeva: N0={0,1,2,3,4,5,6...}. 1.1.1. Računske operacije s prirodnim brojevima Zbroj bilo koja dva prirodna broja jest prirodan broj. Umnožak (produkt) bilo koja dva prirodna broja jest prirodan broj. Razlika prirodnih brojeva a i b, tj. a-b jest prirodan broj samo ako je a>b. Količnik (kvocijent) svaka dva prirodna broja nije prirodan broj. Zadatak 1: Izračunaj: a) 73648 + 8371 b) 391306 – 59372 c) 682 · 407 d) 28080 : 45 (Rj.: a) 82019, b) 331934, c) 277574, d) 624.) Ako u nekom matematičkom izrazu ima više računskih operacija: zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje, tada najprije množimo i dijelimo, a zatim zbrajamo i oduzimamo. Primjer 1: 152 + 25 : 5 – 12 · 3 = 152 + 5 – 36 = 121 Ako u matematičkom izrazu imamo i zagrade, najprije izračunamo ono što je u zagradama ili po određenim pravilima rješavamo zagrade. Primjer 2: (7 + 19) : 2 + 3 · (176 – 25) = 26 : 2 + 3 · 151 = 13 + 453 = 466 Primjer 3: (12 + 7 · 6) · (28 - 3 · 8) = (12 + 42) · (28 - 24) = 54 · 4 = 216 Zadatak 2: Izračunaj: a) 796 + 24 : 2 – 80 · 10 b) (36 + 27 ) : 3 – (56 : 7 – 6) · 2 c) (3 · 5 + 9) : (7 – 1) (Rj.: a) 8, b) 17, c) 4.) 1.2. Skup cijelih brojeva Skup sastavljen od prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6... , nule i negativnih brojeva: -1, -2, -3, -4, -5, -6... označava se sa Z, tj.: Z = {... -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}. Skup Z je skup svih cijelih brojeva.

5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-4

O E

Svakom cijelom broju možemo pridružiti neku točku brojevnog pravca. Svakoj toj točki pridružena je udaljenost od točke O. Prema tome i svakom cijelom broju možemo pridružiti udaljenost od nule. Ta udaljenost zove se još i modul ili apsolutna vrijednost cijelog broja. Oznaka za modul broja a je |a|. Npr. |7| = 7 |-7| = 7 Općenito je: |n| = n, n є N |-n| = n, n є N |0| = 0. Dva različita broja koji imaju jednake module zovemo suprotni brojevi. Od dva negativna cijela broja manji je onaj koji ima veći modul. 1.2.1. Računske operacije s cijelim brojevima Zbroj dvaju negativnih cijelih brojeva je negativan broj kojemu je modul jednak zbroju modula tih brojeva. Primjer 1: a) -9 + (-6) = -15 b) -23 + (-19) = -42 c) -254 + (-5723) = -5977 Zbroj dva cijela broja različitih predznaka izračunat ćemo tako da im najprije odredimo module. Zatim od većeg modula oduzmemo manji i tako dobivamo modul zbroja. Zbroj će imati predznak onog pribrojnika kojemu je veći modul. Primjer 2: a) -9 + 5 = -4 b) 15 + (-6) = 9 c) -7 + 21 = 14 Zadatak 1: Zbroji: a) -5 + (-8) b) 34 + (-15) c) -28 + 9 d) -48 + (-21) (Rj.: a) -13, b) 19, c) -19, d) -69.) Oduzeti od cijelog broja a cijeli broj b znači broju a pribrojiti suprotan broj broja b, tj. pribrojiti –b. Primjer 3: a) 7 - 13 = 7 + (-13) = -6 b) -15 - 8 = -15 + (-8) = -23 Kad je pred zagradom znak minus, zagradu i taj znak ćemo izostaviti, a brojeve u zagradi zamijeniti suprotnim brojevima.

6

Ako je pred zagradom znak plus, zagradu i taj znak izostavimo. Pri tome se ne mijenjaju predznaci brojeva koji su u zagradi. Primjer 4: 8 - ( 4 - 6 + 5) + (7 - 9) = 8 - 4 + 6 - 5 + 7 - 9 = 3 Zadatak 2: Izračunaj: a) -5 + (6 - 12 + 9) - (-5 + 7 - 18) b) 23 - (-15 + 7 - 9) + (7 - 9 + 5) (Rj.: a) 14, b) 43.) Cijeli brojevi množe se tako da im se pomnože moduli. Ako su oba faktora pozitivni ili oba negativni cijeli brojevi, umnožak je pozitivan cijeli broj. Ako je jedan faktor pozitivan, a drugi negativan cijeli broj, umnožak je negativan cijeli broj. Primjer 5: a) 9 · 8 = 72 b) 7 · (-5) = -35 c) -6 · 4 = -24 d) -12 · (-5) = 60 Cijeli brojevi dijele se tako da im se podijele moduli. Ako su djeljenik i djelitelj pozitivni brojevi ili oba negativni brojevi, kvocijent je pozitivan. Ako je djeljenik pozitivan, a djelitelj negativan ili djeljenik negativan, a djelitelj pozitivan broj, kvocijent je negativan broj. Primjer 6: a) 14 : 7 = 2 b) 25 : (-5) = -5 c) -32 : 4 = -8 d) -48 : (-6) = 8 Zadatak 3: Izračunaj: a) 15 · (-5) b) -48 : (-4) c) -36 : 9 d) -24 · (-8) (Rj.: a) -75, b) 12, c) -4, d) 192.) Zadatak 4: Pazeći na utvrđeni redoslijed računskih operacija izračunaj: a) -3 + 4 · (-6) - 3 · (-5) + 9 b) 8 + 3 · (5 - 9) - 6 · (-8 + 2) c) -5 · (-8) + 6 · (-9 + 3) (Rj.: a) -3, b) 32, c) 4.) 1.3. Skup racionalnih brojeva Kvocijente prirodnih brojeva često pišemo u obliku razlomaka:

a : b = ba

7

Skup racionalnih brojeva je skup svih brojeva koji se mogu napisati u obliku razlomka. Označava se sa Q. Proširiti razlomak, znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i jedinice. Skratiti razlomak, znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice. 1.3.1. Računske operacije s racionalnim brojevima

dc

ba± =

bdbcad ±

dc

ba⋅ =

bdac

ba :

dc =

ba

cd⋅

Primjer 1:

a) 31

+43

=1211

1213

1294

==+

b) 65

649

32

23

32

211 =

−=−=−

c) 103

23

51

43

52

=⋅=⋅ (Skraćeno!)

d) 655

635

25

37

52:

312 ==⋅=

Zadatak 1: Izračunaj:

a)53

32+ b)

21

54−

c) 65

23⋅ d)

43:

76

(Rj.: a) 1541 , b)

103

, c) 411 , d)

711 .)

Zadatak 2: Izračunaj:

a) 43

54

531 ⋅+

b) 51

+ 232

21⋅

(Rj.: a) 532 , b)

15131 .)

8

2. LINEARNE JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE 2.1. Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom Jednadžba oblika ax + b = 0, pri čemu su a i b realni brojevi, a ≠ 0, zove se linearna jednadžba s jednom nepoznanicom. Ako u jednadžbi članove prebacujemo na drugu stranu znaka jednakosti, mijenjamo im predznake. Ako sve članove jednadžbe pomnožimo istim brojem različitim od nule dobivamo ekvivalentnu jednadžbu (jednadžbe koje imaju ista rješenja zovemo ekvivalentne jednadžbe). Primjer 1: Riješimo jednadžbu 2x + 6 = 0. Članove s nepoznanicom x prebacimo na lijevu, a poznate članove na desnu stranu znaka jednakosti: 2x = -6 Podijelimo cijelu jednadžbu sa 2: x = -3. Primjer 2: Riješimo jednadžbu 3 (2x + 4) = 2 (x - 2) 6x + 12 = 2x - 4 6x - 2x = -4 - 12 4x = -16 / : 4 x = -4 Zadatak 1: Riješi jednadžbe: a) 12 + 5x = 3 (x – 6) - 4x b) 2 (x + 1) = x - 8 (Rj.: a) x = -5, b) x = -10.) 2.1.1. Primjena linearnih jednadžbi U svakodnevnom se životu susrećemo s problemskim zadacima čije je rješavanje olakšano poznavanjem načina rješavanja linearnih jednadžbi. Primjer 1: Za zidanje zida jednom zidaru treba 45 radnih sati, a drugom zidaru 36 sati. Koliko bi trajala gradnja tog zida ako bi radili zajedno? Označimo sa x dio posla koji bi obavila oba radnika za jedan sat. Za jedan radni sat prvi

radnik obavi 451

posla, a drugi 361

. Slijedi:

x = 451

+ 361

x = 201

Obojica radnika za jedan sat obave 201

posla. Dakle, ako bi radili zajedno, gradnja bi

trajala 20 dana.

9

Primjer 2: Koliko je posto poskupio benzin ako je cijena jedne litre od 7.60 kn povećana na 7.98 kn? Označimo sa x traženi postotak. Ako na staru cijenu litre benzina (7.60) dodamo

povećanje (x% stare cijene = 100

x · 7.60), dobit ćemo novu cijenu (7.98). Zapišimo

jednadžbu:

7.60 + 100

x · 7.60 = 7.98

7.60 + 0.076x = 7.98 Pomnožimo li jednadžbu sa 1000 oslobodit ćemo se decimalnih brojeva: 7600 + 76x = 7980 Prebacimo poznate članove na desnu stranu: 76x = 7980 - 7600 76x = 380 Dijeljenjem jednadžbe sa 76 dobivamo rješenje: x = 5 Dakle, benzin je poskupio za 5%. Zadatak 1: Na pitanje učitelja matematike koliko je odsutnih učenika, jedan učenik je odgovorio: „Jedna devetina”. U tom trenutku u razred ulazi jedan učenik, a učenici izjavljuju: „Sada nas nedostaje jedna dvanaestina”. Koliko je ukupno učenika u tom razredu? (Rj.: U razredu je 36 učenika.) 2.2. Sustav linearnih jednadžbi Sustav linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice možemo rješavati primjenom raznih metoda. Osnovna je zadaća da se od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice dobije jedna jednadžba s jednom nepoznanicom. Primjer 1: Riješimo sustav 2x - y = -5 3x + 8y = 2 metodom supstitucije. Metoda se sastoji u tome da se jedna od nepoznanica x ili y izračuna iz jedne i uvrsti u drugu jednadžbu. Iz prve jednadžbe računamo y: -y = -2x - 5 y = 2x + 5 Zatim y u drugoj jednadžbi zamijenimo sa 2x + 5 pa dobivamo: 3x + 8 (2x + 5) = 2 3x + 16x + 40 = 2 19x = -38 x = -2 Dobiveni x uvrstimo u jednu od početnih jednadžbi pa dobivamo: 2 · (-2) - y = -5 -y = -1 y = 1 Rješenje sustava je uređen par (-2,1). Primjer 2: Riješimo sada isti sustav metodom suprotnih koeficijenata. Uz jednu nepoznanicu treba množenjem realnim brojevima postići suprotne koeficijente (ako već nisu), a zatim zbrajanjem jednadžbi dobivamo jednu jednadžbu s jednom nepoznanicom.

10

2x - y = -5 / · 8 3x + 8y = 2 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 16x - 8y = -40 + 3x + 8y = 2 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 19x = -38 x = -2 2 · (-2) - y = -5 y = 1 Rješenje sustava je uređen par (-2,1). Primjer 3: Primijenimo sada metodu komparacije. Iz jedne i druge jednadžbe izračunava se ista nepoznanica. 2x - y = -5 3x + 8y = 2 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 2x = y - 5 3x = -8y + 2

2

5−=

yx 3

28 +−=

yx

3

282

5 +−=

− yy / · 6

3y - 15 = -16y + 4 19y = 19 y = 1 2x - 1 = -5 x = -2 Rješenje sustava je uređen par (-2,1). Zadatak 1: Riješi sustave: a) x + 3y = -2 -2x - y = -1 b) 5x - 4y = -7 -2x - 3y = 12 c) 5x – 2y = -13 -x + 2y = 9 d) 6x – 4y = -5 4x + 5y = -11

(Rj.: a) (1,-1), b) (-3,-2), c) (-1,4), d) (-23

,-1).)

2.2.1. Primjena sustava linearnih jednadžbi Primjer 1: Dvojicu dječaka upitaše koliko imaju godina. Jedan od njih odgovori: „Zbroj naših godina je 20, a za dvije godine ja ću biti dva puta stariji od njega.” Koliko godina ima pojedini dječak? Označimo sa x broj godina prvog dječaka, a sa y broj godina drugog dječaka. Zbroj godina obojice dječaka je 20, pa pišemo jednadžbu x + y = 20 Za dvije će godine prvi dječak imati x + 2 godine, a drugi y + 2 godine. Tada će prvi dječak biti dva puta stariji od drugoga, pa to zapisujemo u obliku jednadžbe: x + 2 = 2 · (y + 2) Rješavanjem sustava ove dvije jednadžbe dobiju se rješenja x = 14, y = 6.

11

Prvi dječak ima 14, a drugi 6 godina. Primjer 2: Na nekom testu postavljeno je 30 zadataka. Za svaki ispravan odgovor priznaje se 5 bodova, a za svaki neriješen ili netočan odgovor oduzimaju se 3 boda. Koliko je zadataka točno riješio ispitanik koji je osvojio 102 boda? Označimo sa t broj točno riješenih , a sa n broj netočnih zadataka. Prema uvjetima zadatka postavljamo sustav jednadžbi: t + n = 30 5t - 3n = 102 Rješavanjem sustava dobijemo rješenja t = 24, n = 6. Ispitanik je točno riješio 24, a netočno 6 zadataka. Zadatak 1: Bazen od 400 l puni se kroz dvije cijevi. Bazen se može napuniti ako je prva cijev otvorena 9 min i druga 16 min ili ako je prva otvorena 15 min i druga 10 min. Koliko litara u minuti puni svaka cijev? (Rj.: Svaka cijev puni 16 litara u minuti.) 2.3. Linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom Nejednadžbe oblika ax < b, ax > b, ax ≤ b, ax ≥ b su linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom, pri čemu su a i b realni brojevi, a ≠ 0. Rješenje nejednadžbe ax < b, a > 0 je svaki realni broj x za koji vrijedi

abx <

Rješenje nejednadžbe ax < b, a < 0 je svaki realni broj x za koji vrijedi

abx >

Primjer 1: Riješimo nejednadžbu 3x - 25 - 2x > 4 (10 - x). 3x - 25 - 2x > 40 - 4x 3x - 2x + 4x > 40 + 25 5x > 65 / : 5 x > 13. Primjer 2: Riješimo nejednadžbu 4 - 7x - 2 (x - 1) ≤ 3 (3 - 2x). 4 - 7x - 2x + 2 ≤ 9 - 6x -7x - 2x + 6x ≤ 9 - 4 - 2 -3x ≤ 3 / : (-3) x ≥ -1 Zadatak 1: Riješi nejednadžbe: a) 3 (2x - 5) - x + 4 < 3x - 5 b) 4 (-3 + 2x) - 3x ≤ 18 - 5x (Rj.: a) x < 3, b) x ≤ 3.)

12

3. PROPORCIONALNOST I PRIMJENE 3.1. Omjeri i razmjeri Omjer je količnik dvaju brojeva a i b različitih od nule; pišemo a : b. Omjer pokazuje koliko je puta jedna veličina veća ili manja od druge. Vrijednost omjera neće se promijeniti ako oba člana omjera pomnožimo ili podijelimo istim brojem različitim od nule. Primjer 1:

Napišimo omjer 833:

1615 u najjednostavnijem obliku.

Do rezultata možemo doći koristeći se pravilima koja vrijede za razlomke:

2:323

278

1681

827:

1681

833:

1615 ==⋅==

Primjer 2:

Izračunajmo drugi član omjera 32:

23

=x .

32:

23

=x

23

23⋅=x

49

=x

Zadatak 1: Napiši omjer 0.9 : 4.5 tako da drugi član bude 1. (Rj.: 0.2 : 1.) Zadatak 2: Izračunaj prvi član omjera x : 0.2 = 5. (Rj.: x = 1.) Razmjer (proporcija) je jednakost dvaju omjera jednakih količnika. Dakle, ako je a : b = k i c : d = k, onda to pišemo u obliku razmjera ovako a : b = c : d Svojstva razmjera: 1. Razmjer ostaje valjan ako sve njegove članove pomnožimo ili podijelimo istim brojem. 2. Umnožak vanjskih članova razmjera jednak je umnošku unutrašnjih članova razmjera. Dakle, razmjer a : b = c : d možemo pisati u obliku ad = bc. Primjer 3: Izračunajmo x iz razmjera (23 - x) : 6 = 3x : 5 5 · (23 - x) = 6 · 3x 115 - 5x = 18x -23x = -115 x = 5 Zadatak 3:

Odredi x tako da razmjer 41:

214: =x bude valjan.

(Rj.: x = 8.)

13

Primjer 4: Zemljopisna karta izrađena je u mjerilu 1 : 1 500 000. Na toj karti udaljenost od Zagreba do Rijeke iznosi 8.6 cm. Izračunajmo stvarnu udaljenost Zagreb-Rijeka. Označimo li sa x stvarnu udaljenost Zagreb-Rijeka tada možemo pisati razmjer: 1 : 1 500 000 = 8.6 : x, pa je x = 1 500 000 · 8.6 cm, tj. x = 129 km. Zadatak 4: Tlocrt temelja kuće izrađen je u mjerilu 1 : 50 i na njemu su duljina temelja 20 cm i širina 24 cm.. Kolike su dimenzije temelja u prirodi? (Rj.: Stvarna duljina temelja je 10 m, a širina 12 m.) 3.2. Upravna i obrnuta razmjernost Za večinu y kažemo da je upravno razmjerna (proporcionalna) s veličinom x ako se pri povećanju veličine x određen broj puta poveća i veličina y isto toliko puta, ili ako se pri smanjenju x određen broj puta smanji i y isto toliko puta.

Pišemo: y = k x ili kxy=

Dakle, količnik upravno razmjernih veličina uvijek je konstantan. Konstantni količnik nazivamo faktorom razmjernosti. Primjer 1: Neki pješak jednoliko prevaljuje 4 km na sat. Promotrimo ovisnost veličina: prijeđenog puta y i utrošenog vremena x. Ako pješak za 1 sat prijeđe 4 km, za 2 sata prijeći će 2 · 4 = 8 km, za 3 sata 3 · 4 = 12 km... Za x sati pješak će prijeći 4x km. Ovisnost veličine y od veličine x možemo prikazati formulom y = 4x. Veličinu x možemo zadati po želji, izračunati pripadni y i to napisati u tablicu: Grafički prikaz razmjernih veličina izgleda ovako:

x1 2

1

2

3

4

5

6

1 . 5

y

0 . 5

8

7

x 0.5 1 1.5 2 y 2 4 6 8

14

Za veličinu y kažemo da je obrnuto razmjerna s veličinom x ako se pri povećanju veličine x određen broj puta smanjuje veličina y isto toliko puta, ili ako se pri smanjenju x određen broj puta povećava y isto toliko puta.

Pišemo: kyx =⋅ ili xky =

Dakle, umnožak obrnuto razmjernih veličina uvijek je konstantan. Primjer 2: Promotrimo ovisnost duljine x i širine y raznih pravokutnika uz istu površinu 6 m2. Ovisnost veličina x i y prikažimo formulom, tablicom i grafički. P = x · y

x · y = 6 ⇒x

y 6=

x1 2

1

2

3

4

5

6

1.5

y

3 4 5 6

1.5

Zadatak 1: Ako tri puna pansiona u nekom hotelu stoje 720 kn, koliko u tom hotelu stoji 5 punih pansiona? (Rj.: 5 punih pansiona u tom hotelu stajat će 1200 kn.) Zadatak 2: Pet tesara može obaviti neki posao za 12 dana. Koliko je tesara potrebno da bi se isti posao obavio za 10 dana? (Rj.: Da bi se isti posao obavio za 10 dana, potrebno je 6 tesara.) 3.3. Jednostavno pravilo - trojno Zadaci u kojima se rabi ili upravna ili obrnuta razmjernost mogu se riješiti brzo i jednostavno uz pomoć pravila trojnog. Naziv mu dolazi iz činjenice što se iz zadanih triju veličina može izračunati četvrta, nepoznata veličina. Postupak određivanja nepoznate veličine pogledajte u sljedećim primjerima.

x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1

15

Primjer 1: Ako dva noćenja s doručkom u nekom hotelu stoje 360 kn, koliko će stajati pet noćenja s doručkom u istom hotelu? Najprije uočimo da je ukupna cijena noćenja s doručkom upravno razmjerna broju noćenja u hotelu. Označimo li sa x cijenu koju treba platiti za 5 noćenja, onda problem možemo shematski prikazati ovako: 2 noćenja s doručkom 360 kn 5 noćenja s doručkom x kn Zbog činjenice da je riječ o upravno razmjernim veličinama, strelice su iste orijentacije i imaju početak uz traženu vrijednost x. Sada je jednostavno postaviti razmjer u smjeru strelica: x : 360 = 5 : 2 iz kojeg odredimo traženu vrijednost:

9002

5360=

⋅=x

Dakle, 5 noćenja s doručkom u navedenom hotelu stoji 900 kn. Primjer 2: Ako 4 keramičara za 9 dana postave 396 m2 podnih pločica, za koliko dana će istu površinu opločiti 6 keramičara? Broj dana potreban da se navedena površina oploči obrnuto je razmjeran broju keramičara što ju opločuju. Kako je riječ o obrnuto razmjernim veličinama, strelice će biti suprotne orijentacije. 4 keramičara 9 dana 6 keramičara x dana

Iz razmjera x : 9 = 4 : 6 sljedi da je 6649=

⋅=x .

Prema tome, 6 keramičara opločit će navedenu površinu za 6 dana. Zadatak 1: Ako za 48 minuta pješak prijeđe 4 km, za koliko sati će prijeći 15 km krećući se jednolikom brzinom? (Rj.: 3 h.) Zadatak 2: Ako 4 zidara obave neki posao za 10 dana, koliko bi zidara trebalo da bi se isti posao obavio za 8 dana? (Rj.: Potrebno je 5 zidara da bi se isti posao obavio za 8 dana.)

16

4. MJERNE JEDINICE 4.1. Mjerenje Određivanje pojedinih veličina obavlja se mjerenjem. Primjerice, masa nekog predmeta određuje se pomoću vage, duljina neke dužine određuje se pomoću mjerila za dužinu itd. Da bismo mogli mjeriti neku veličinu, moramo odrediti mjernu jedinicu za tu vrstu veličine. Mjeriti neku veličinu znači tražiti koliko se puta mjerna jedinica nalazi u njoj. Rezultat mjerenja iskazuje se brojčanom vrijednošću i mjernom jedinicom. Za istu vrstu veličina upotrebljavale su se različite mjerne jedinice. Danas se gotovo u svim zemljama svijeta upotrebljava Međunarodni sustav mjernih jedinica (skraćeno SI), koji je u skladu s dekadskim brojevnim sustavom. U dekadskom sustavu temeljna jedinica se navodi nakon predmetka koji predstavlja potenciju s osnovicom 10 i cjelobrojnim eksponentom. U sljedećoj tablici su navedeni predmeci, njihovo brojčano značenje i uobičajena oznaka (dolazi prije oznake temeljne jedinice) koji su najčešće u uporabi: 4.1.1. Mjerne jedinice za duljinu, površinu i obujam Osnovna jedinica za mjerenje dužine je jedan metar (oznaka: 1 m). Jedinice višeg reda jesu: 1 kilometar (1 km) = 103 m = 1000 m 1 hektometar (1 hm) = 102 m = 100 m 1 dekametar (1 dam) = 101 m = 10 m Jedinice nižeg reda jesu: 1 decimetar (1 dm) = 10-1 m = 0.1 m 1 centimetar (1 cm) = 10-2 m = 0.01 m 1 milimetar (1 mm) = 10-3 m = 0.001 m Odnos između jedinica višeg, odnosno nižeg reda u odnosu na metar možemo predočiti na sljedeći način: 10-3 km = 10-2 hm = 10-1 dam = 1 m = 10 dm = 102 cm = 103 mm Primjer 1: Izrazimo u centimetrima: a) 56.24 m = 56.24 · 100 cm = 5624 cm

b) 5.36 mm = 5.36 · 101

cm = 0.536 cm

c) 3 hm 5 dm 2 mm = 3 · 104 cm + 5 · 101 cm + 2 · 10-1 cm = (30 000 + 50 + 0.2) cm = 30 050.2 cm

predmetak brojčana vrijednost oznaka tera 1012 = 1 000 000 000 000 T giga 109 = 1 000 000 000 G mega 106 = 1 000 000 M kilo 103 = 1000 k hekto 102 = 100 h deka 101 = 10 da deci 10-1 = 0.1 d centi 10-2 = 0.01 c mili 10-3 = 0.001 m mikro 10-6 = 0.000 001 μ nano 10-9 = 0.000 000 001 n piko 10-12 = 0.000 000 000 001 p

17

Zadatak 1: Izrazi u metrima: a) 3.58 km b) 2 km 3 dm 4 cm (Rj.: a) 3580 m, b) 2000.34 m.) U SI sustavu temeljna mjerna jedinica za površinu je 1 kvadratni metar (1 m2), a predstavlja mjerni broj površine kvadrata stranice 1 m.

1m

1m Veza između jedinica višeg i nižeg reda za površinu može se prikazati ovako: 10-6 km2 = 10-4 hm2 = 10-2 dam2 = 1 m2 = 102 dm2 = 104 cm2 = 106 mm2

Uobičajeno je umjesto oznake hm2 koristiti oznaku ha (hektar), a umjesto oznake dam2 oznaku a (ar). Primjer 2: Izrazimo u kvadratnim metrima:

a) 250 cm2 = 250 · 000101

m2 = 0.025 m2

b) 2.5 km2 15 dm2 = 2.5 · 1 000 000 m2 + 15 · 100

1 m2 = (2 500 000 + 0.15) m2 =

2 500 000.15 m2 Zadatak 2: Izrazi u kvadratnim centimetrima: a) 7.53 m2

b) 1.2 dm2 25 mm2 (Rj.: a) 75300 cm2, b) 120.25 cm2.) Osnovna mjerna jedinica za obujam je 1 kubični metar (1 m3), a predstavlja obujam kocke duljine brida 1 m.

1 m

1 m

1 m

Veza između jedinica višeg i nižeg reda za obujam može se prikazati na sljedeći način: 10-9 km3 = 10-6 hm3 = 10-3 dam3 = 1 m3 = 103 dm3 = 106 cm3 = 109 mm3

U praksi se ne koriste oznake hm3 i dam3.

18

Primjer 3: Izrazimo u kubičnim metrima: a) 0.005 km3 = 0.005 · 109 = 5 000 000 m3

b) 50 dm3 4 cm3 = 50 · 1000

1 m3 + 4 ·

00000011

m3 = (0.05 + 0.000 004) m3 =

0.050 004 m3 Zadatak 3: Izrazi u kubičnim centimetrima: a) 5.67 m3

b) 2.5 dm3 10 mm3 (Rj.: a) 5670000 cm3, b) 2500.01 cm3.) 4.1.2. Mjerne jedinice za vrijeme, masu i silu Osnovna jedinica za mjerenje vremena utvrđena SI sustavom jedinica je 1 sekunda (1 s). Više jedinice su: 1 minuta (1 min) = 60 s 1 sat (1 h) = 60 min = 3600 s 1 dan (1 d) = 24 h = 1440 min = 86400 s Niže jedinice su: 1 milisekunda (1 ms) = 0.001 s 1 mikrosekunda (1 μs) = 0.001 ms = 0.000 001 s Primjer 1: Izrazimo u sekundama: a) 2 h 31 min = 2 · 3600 s + 31 · 60 s = (7200 + 1860) s = 9060 s

b) 50 ms = 50 · 1000

1 s = 0.05 s

Zadatak 1: Izrazi u minutama: a) 2 h 2 min 15 s b) 0.2 h (Rj.: 122.25 min, b) 12 min.) U Međunarodnom sustavu mjernih jedinica temeljna je jedinica za mjerenje mase 1 kilogram (1 kg), a jedinice koje su iz nje izvedene jesu: 1 tona (1 t) = 1000 kg 1 dekagram (1 dag) = 0.01 kg 1 gram (1 g) = 0.001 kg 1 miligram (1 mg) = 0.000 001 kg Primjer 2: Izrazimo u gramima: a) 2 kg 4 dag = 2 · 1000 g + 4 · 10 g = 2040 g

b) 500 mg = 500 · 1000

1 g = 0.5 g

Zadatak 2: Izrazi u kilogramima a) 1.23 t b) 5 dag 500 g (Rj.: 1230 kg, b) 0.55 kg.)

19

U fizici, njutn (eng. newton; oznaka N) je izvedena SI jedinica sile (N = kg x m x s-2) nazvana po engleskom znanstveniku Isaacu Newtonu. Pošto jedna definicija težine kaže da ona predstavlja djelovanje sile između dva predmeta usljed gravitacije, njutn je također jedinica za težinu. Više jedinice su: 1 kilonjutn (1 kN) = 103 N = 1 000 N 1 meganjutn (1 MN) = 106 N = 1 000 000N Primjer 3: Izrazimo u njutnima a) 0.25 kN = 0.25 · 1 000 N = 250 N b) 0.003 MN = 0.003 · 1 000 000 N = 3 000 N Zadatak 3: Izrazi u kilonjutnima a) 75 N b) 2.55 MN (Rj.: a) 0.075 kN, b) 2550 kN.)

20

5. PLANIMETRIJA 5.1. Trokuti Trokut je konveksni geometrijski lik omeđen s tri stranice.

A B

C

ab

cα β

γ

Vrhove trokuta označavamo velikim slovima, stranice malim slovima a, b, c tako da nasuprot vrha A leži stranica a, nasuprot vrha B stranica b i nasuprot vrha C stranica c. Kutove trokuta označavamo grčkim slovima α, β i γ. U vrhu A je kut α, u vrhu B kut β i u vrhu C kut γ. Na osnovi odnosa među duljinama stranica trokut može biti: 1) raznostraničan (duljine svih triju stranica su različite), 2) jednakokračan (duljine dviju stranica su jednake), 3) jednakostraničan (duljine svih triju stranica su jednake). Trokute dijelimo prema kutovima na: 1) šiljastokutne (sva tri kuta su šiljasta tj. veća od 0° i manja od 90°), 2) tupokutne (jedan tupi kut tj. veći od 90° i manji od 180°), 3) pravokutne (jedan pravi kut tj. 90°) 5.1.1. Pravokutni trokut - Pitagorin poučak

C A

B

ac

b

Pravokutni trokut ima jedan kut pravi, a dva kuta šiljasta. Najdulju stranicu pravokutnog trokuta (c) nazivamo hipotenuzom. Kut nasuprot njoj je pravi. Preostale dvije stranice (a i b) nazivamo katetama. Za stranice pravokutnog trokuta vrijedi Pitagorin poučak: Kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina katata. c2 = a2 + b2

(Pitagorejcima "kvadrat" nije označavao množenje duljine stranice sa samom sobom, već je označavao jednostavno geometrijski lik kvadrat konstruiran na stranici. Činjenica da je zbroj dva kvadrata jednak trećemu, značila je da se dva kvadrata mogu izrezati na likove od kojih se može složiti jedan kvadrat koji je sukladan kvadratu nad hipotenuzom.)

21

c

b

Primjer 1: Izračunajmo duljinu katete pravokutnog trokuta kojemu je duljina hipotenuze 13 cm, a druge katete 5 cm. Iz c2 = a2 + b2 slijedi: b2 = c2 - a2 b2 = 132 - 52 b2 = 169 - 25 b2 = 144 b = 12 cm Primjer 2: Koliku visinu etaže je moguće svladati ljestvama duljine 6.5 m ako je odstojanje točke oslonca na podu od zida 1.15 m i ako ljestve moraju stršati iznad točke oslonca na zid 1.1 m? (Vidi sliku.)

odstojanjeod zida

točka oslonca na pod

točka oslonca na zid

Pod, zid i ljestve čine pravokutan trokut kojemu su katete a = 1.15 m (odstojanje točke oslonca na podu od zida) i b (visina etaže koju treba izračunati). Hipotenuza trokuta je c = 6.5 m - 1.1 m = 5.4 m (udaljenost točke oslonca na pod i točke oslonca na zid). Iz c2 = a2 + b2 (Pitagorin poučak) slijedi: b2 = c2 - a2 b2 = 5.42 - 1.152 b2 = 29.16 - 1.3225 b2 = 27.8375 b = 5.2761 m Zadatak 1: Širina krova prikazanog na slici je b = 6.3 m, a visina sljemena krova je a = 5.1 m. Izračunaj duljinu roga (c).

(Rj.: c = 8.1 m.)

22

5.1.2. Opseg i površina trokuta Opseg trokuta je zbroj duljina svih njegovih stranica. Raznostraničan trokut ima opseg

A B

C

ab

c O = a + b + c Jednakokračan trokut ima opseg

a

b b

A B

C

O = a + 2b Jednakostraničan trokut ima opseg

A B

C

aa

a O = 3a Neka je va visina na stranicu a, vb visina na stranicu b i vc visina na stranicu c. Za pojedine stranice i odgovarajuće visine vrijedi:

2

a·vP a= 2

b·vP b= 2

c·vP c=

Ako su zadane duljine sve tri stranice trokuta, površinu računamo po formuli: ))()(( csbsassP −−−= , gdje je s = O : 2 (Heronova formula!)

23

Primjer 1: Izračunajmo površinu i va jednakokračnog trokuta kojemu je opseg 16 cm i krak b = 5 cm. Iz O = a + 2b slijedi da je a = O - 2b a = 16 - 2 · 5 a = 6 cm.

b bva

a2

a2

Iz Pitagorinog poučka slijedi da je 2

2a 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

abv

cm4952

35

a

a

22a

=−=

−=

vv

v

2

aa·vP =

2

6·4=P

P = 12 cm2 Primjer 2: Vanjski zid prostorije ispod stepenica treba obložiti lamperijom. Koliko m2 lamperije je potrebno ako ne računamo otpadke? (Mjere su u m.)

3.25

Kako je a = 3.25 m i va = 1.98 m, površina zida je 2

aa·vP =

2

98.125.3 ⋅=P

P = 3.2175 m2 Dakle, potrebno je 3.2175 m2 lamperije.

24

A B

CD

a

a

bb

A B

CD

a

b

c

d

A B

CD

a

a

bb

A B

CD

a

a

a

a

A B

CD

a

a

a

a

Zadatak 1: Koliko komada cigli je potrebno za ozidati zid ispod kosih greda krova (rogova) ako je širina kuće 12 m, visina sljemena krova 4 m, a potrošnja cigli je 15 kom/m2?

12 m (Rj.: Potrebno je 360 komada cigli.) 5.2. Četverokuti Četverokut je zatvoren geometrijski lik omeđen sa četiri stranice. Vrhove četverokuta obilježavamo velikim slovima A, B, C, D, stranice malim slovima a, b, c, d, kutove grčkim slovima α, β, γ, δ. Dijagonala je dužina kojoj su krajnje točke suprotni vrhovi četverokuta. Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice paralelne. Dijagonale paralelograma se raspolavljaju. Trapezi su četverokuti kojima su dvije suprotne stranice paralelne. Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan kut pravi.

Romb je paralelogram kojemu su sve četiri stranice jednake. Kvadrat je paralelogram kojemu su svi kutovi jednaki i sve stranice jednake.

25

5.2.1. Opseg i površina četverokuta Ako su stranice pravokutnika a i b, njegov je opseg: O = 2a + 2b tj. O = 2 · (a + b), a površina: P = a · b Dijagonalu pravokutnika prema Pitagorinom poučku računamo formulom:

22 bad += Opseg kvadrata je: O = 4a, a površina: P = a2 Duljina dijagonale kvadrata je: 2ad = Opseg paralelograma računamo koristeći se formulom: O = 2 · (a + b), a površinu dobijemo kao umnožak duljine jedne njegove stranice i duljine visine na tu stranicu: P = a · va ili P = b · vb Opseg trapeza računamo formulom: O = a + b + c + d, a površinu:

·vcaP2+

=

Primjer 1: Pod učionice oblika pravokutnika, duljine 12 m i širine 10 m, treba se prekriti daskama duljine 4 m i širine 20 cm. Koliko je komada dasaka potrebno za taj posao? Površina učionice: Površina daske: a = 12 m a1 = 4 m b = 10 m b1 = 20 cm = 0.2 m P = a · b P1 = a1 · b1 P = 120 m2 P1 = 0.8 m2

1508.0

120

1

===PPn

Potrebno je 150 komada dasaka za taj posao. Zadatak 1: Neka soba visoka je 3 m, dugačka 5.5 m i široka 4.5 m. Tapete su široke 60 cm. U jednom svitku ima 8 m tapeta. Koliko svitaka tapeta treba za zidove ove sobe? (Rj.: Za zidove sobe potrebno je 12.5 svitaka tapeta)

26

Primjer 2: Temelj kuće je kvadrat opsega 43.2 m. Oko kuće vodi betonirana staza širine 50 cm. Izračunajmo površinu staze.

a

a1

temelj

staza

O = 4a Površina temelja je: Površina temelja i staze je a = O : 4 P = a2 P1 = a1

2 a = 10.8 m P = 116.64 m2 P1 = (10.8 + 2 · 0.5)2 P1 = 139.24 m2 Površina staze je P1 – P = 22.6 m2 . Zadatak 2: Izračunaj površinu zida i stropa sobe širine 3.5 m, duljine 4 m i visine 2.7 m bez prozora širine 180 cm i visine 140 cm i bez vrata širine 80 cm i visine 200 cm. (Rj.: 50.38 m2.) Zadatak 3: Skiciranu parkirnu površinu treba popločati kamenim pločama. Koliko m2 ploča je potrebno naručiti? (Mjere su u m.)

20

(Rj.: 240 m2.) 5.3. Kružnica i krug Kružnica sa središtem u točki S i polumjera r jest skup svih točaka ravnine kojih je udaljenost od S jednaka r.

S

rk(S,r)

Krug je dio ravnine omeđen kružnicom.

27

P1

P2

P3

4.5 4.2

3

5.3.1. Opseg i površina kruga Opseg kruga K (S, r) je duljina kružnice k (S, r) koja omeđuje taj krug. Formula za opseg glasi: O = 2rπ Broj π je beskonačan neperiodičan decimalan broj (iracionalan). Približna vrijednost tog broja zaokružena na dvije decimale je 3.14 Površinu kruga polumjera r računamo po formuli: P = r2π Primjer 1: Izračunajmo opseg i površinu kruga polumjera r = 4.5 cm. O = 2rπ P = r2π O = 2 · 4.5 · 3.14 P = (4.5)2 · 3.14 O = 28.26 cm P = 63.585 cm2 Primjer 2: Izračunajmo površinu presjeka cijevi ako je opseg presjeka O = 24π cm.

Iz O = 2rπ slijedi da je π2Or =

r = 12 cm P = r2π P = 122 · 3.14 P = 452.16 cm2 Zadatak 1: Izračunaj opseg i površinu otvora bačve kojemu je promjer 0.5 m. (Rj.: O = 3.14 m , P = 0.785 m2) Zadatak 2: Koliki je promjer žice ako joj je površina poprečnog presjeka 8 mm2? (Rj.: 3.2 mm) 5.4. Opseg i površina složenih likova Primjer 1: Izračunajmo opseg i površinu skiciranog poda (sve mjere su u m):

Znamo da je opseg zbroj duljina svih stranica, pa vrijedi: O = 4.50 + 4.50 + 1.30 + 4.20 + 7.20 + 3.00 + 4.00 + 1.20 + 4.50 = 34.4 m Površina poda jednaka je zbroju površina kvadrata P1 i dvaju pravokutnika P2 i P3: P = 4.502 + 4.20 · 3.20 + 4.00 · 3.00 = 45.69 m2

28

Primjer 2: Izračunajmo površinu dječijeg igrališta prikazanog na skici:

10

Površina igrališta jednaka je zbroju površine pravokutnika duljine 10 m i širine 12 m i dvije polovice kruga (dakle, jednog cijelog kruga) polumjera 6 m: P = 10 · 12 + 62 · 3.14 = 233.04 m2 Zadatak 1: Izračunaj površinu osjenčanog lika (mjere su u cm):

15 15 15

(Rj.: P = 1848.375 cm2. Uputa: od površine kvadrata oduzmi površinu kruga.) Zadatak 2: Na skici je prikazan zid na kojem je osjenčani dio obojan. Koliki dio zida (u m2) treba još obojati? Sve mjere su u m.

1.5 2.5

(Rj.: P = 7.175 m2. Uputa: od površine trapeza oduzmi površinu trokuta.)

29

6. TRIGONOMETRIJA PRAVOKUTNOG TROKUTA 6.1. Mjerenje kuta Neka je O točka ravnine i neka su x1 i x2 polupravci ravnine kojima je O početna točka.Kut je uređen par polupravaca. Predočujemo ga dijelom ravnine između polupravca x1i polupravca x2. Kutove najčešće označavamo slovima α, β, γ, δ...

αO

x1

x2

α = ∠ (x1Ox2) Kut nula je kut (x1 O x1), kut (x1 O x2) je pravi kut ako je x1⊥ x2, kut (x1 O x2) je ispruženi kut ako je x1∪ x2 = pravac. Kutove možemo zbrajati i oduzimati. Mjerimo ih radijanima i stupnjevima. Ako ispruženom kutu pridružimo kut π, kut mjerimo u radijanima, a ako ispruženom kutu pridružimo broj 180°, kut mjerimo stupnjevima. Ispruženi kut, dakle, ima π radijana ili 180 stupnjeva, pa možemo pisati: π rad = 180°. Odavde je :

1° = 180π rad, 1 rad =

π°180

Primjer 1: Koliko stupnjeva ima kut

a) α = 2π

rad

Iz 1 rad = π°180

dobivamo 2π

rad = 2π

·π°180

= 90°

b) β = 6

5πrad

6

5πrad =

65π

·π°180

= 150°

Primjer 2: Koliko radijana ima kut a) α = 45°

Iz 1° = 180π

rad dobivamo 45° = 45 · 180π

rad = 4π

rad

b) β = 360°

360° = 360 · 180π

rad = 2π rad

Manje jedinice od stupnja su minuta ( 1' ) i sekunda ( 1" ). Poznato nam je da je: 1° = 60 ', 1' = 60".

30

Primjer 3: Napišimo u stupnjevima, minutama i sekundama kut α = 28.452°. 0.452 · 60 = 27.12 0.12 · 60 = 7.2 α = 28°27'7". Primjer 4: Koliko stupnjeva ima kut α = 44°15'50"? 15 : 60 + 50 : 3600 = 0.25 + 0.013 = 0.263 α = 44.263° Zadatak 1: Koliko stupnjeva ima kut

a) α = 3π

rad b) α = 15°30'54"?

(Rj.: a) α = 60°, b) α = 15.515°) Zadatak 2: Koliko radijana ima kut a) α = 135° b) α = 270°?

(Rj.: a) α = 4

3π, b) α =

23π

)

Zadatak 3: Napiši u stupnjevima, minutama i sekundama kut α = 65.345°. (Rj.: α = 65°20'42") 6.2. Definicije trigonometrijskih funkcija kuta

C A

B

γ α

βc

a

b Sinus (piše se: sin) kuta u pravokutnom trokutu je omjer duljine katete nasuprot tom kutu i duljine hipotenuze. Kosinus (piše se: cos) kuta u pravokutnom trokutu je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze. Tangens (piše se: tg ili tan) kuta u pravokutnom trokutu je omjer duljine katete nasuprot tom kutu i duljine katete uz taj kut. Kotangens (piše se: ctg) kuta u pravokutnom trokutu je omjer duljine katete uz taj kut i duljine katete nasuprot tom kutu. Funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens nazivamo trigonometrijskim funkcijama. Prema slici je:

sin α =ca

sin β =cb

cos α =cb cos β =

ca

31

tg α =ba tg β =

ab

ctg α =ab

ctg β =ba

Primjer 1: Izračunajmo vrijednosti trigonometrijskih funkcija kuta α pravokutnog trokuta ΔABC sa duljinama kateta a = 5 cm i b = 12 cm. Prema Pitagorinom poučku je c2 = a2 + b2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169, c = 13 cm, pa je:

sin α =ca

=135

= 0.3846, cos α =cb

=1312

= 0.923,

tg α =ba

=125

= 0.4167, ctg α =ab

=5

12= 2.4

Primjer 2:

Nacrtajmo kut α ako je tg α =43

.

Konstruirajmo pravi kut i na njegovim krakovima segmente duljina 3 cm i 4 cm. Spajanjem krajnjih točaka tih segmenata dobivamo pravokutan trokut sa traženim kutom α.

4α

Zadatak 1:

Konstruiraj kut α takav da je cos α =53

.

6.2.1. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova 30°, 60° i 45° Nacrtajmo jednakostraničan trokutΔABC stranice a i jednu njegovu visinu. Duljina visine je v

= 2

3a. Tako smo dobili pravokutan trokut ΔADC u kojemu su kutovi 60° i 30°.

Prema definicijama trigonometrijskih funkcija dobivamo:

sin 30° =212 =

a

a

, sin 60° =232

3

==a

a

av

,

cos 30° =232

3

==a

a

av

cos 60° =212 =

a

a

32

tg 30° =33

31

23

22 ===a

a

v

a

tg 60° = 3

2

23

2

==a

a

av

ctg 30° = 3

2

23

2

==a

a

av

ctg 60° =33

31

23

22 ===a

a

v

a

.

Nacrtajmo sada kvadrat stranice a. Duljina njegove dijagonale je d = a 2 . Dijagonala je podijelila kvadrat na dva jednakokračna pravokutna trokuta. Njihovi kutovi su 45°.

a

a

45°

Prema definicijama trigonometrijskih funkcija dobivamo:

sin 45° =22

21

2===

aa

da

, cos 45° =22

21

2===

aa

da

,

tg 45° =aa

= 1, ctg 45° =aa

= 1.

6.2.2. Računanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija pomoću džepnog računala Većina džepnih računala ima na sebi oznake: sin,cos i tan, te sin-1, cos-1 i tan-1. Trebamo li vrijednosti jedne od funkcija nekog kuta zadanog u stupnjevima, na ekranu računala sa više funkcija treba pisati oznaka DEG. Nakon što napišemo veličinu kuta u stupnjevima, pritisnemo tipku sa oznakom tražene funkcije i na ekranu se tada pojavljuje traženi broj. Na nekim džepnim računalima postoje oznake minuta i sekundi, pa se veličina kuta ne treba zapisivati u obliku decimalnog broja. Na većini računala nema oznake za funkciju kotangens. Kotangens kuta nađemo tako da prvo nađemo njegov tangens, a zatim pritisnemo tipku x

1 . Kotangens kuta jednak je recipročnoj vrijednosti tangensa tog kuta. Trebamo li iz vrijednosti trigonometrijske funkcije odrediti kut, treba pritisnuti tipku za inverznu funkciju a zatim sin-1, cos-1 i tan-1. Ako treba naći kut iz vrijednosti njegovog kotangensa, tada pritiskom tipke x

1 dobijemo njegov tangens, a zatim pritiskom tipke inverzne funkcije pa tipke tan-1 dobijemo traženi kut. Na većini džepnih računala možemo računati s kutovima zadanim i u radijanima. Postupak je isti, samo što na ekranu treba pisati oznaka RAD. Primjer 1: Izračunajmo sin 47°30' džepnim računalom. Ako na računalu nemamo oznake za minute, kut moramo izraziti samo u stupnjevima: 47°30' = 47° + (30 : 60)° = 47° + 0.5° = 47.5° U računalo unesemo broj 47.5, pritisnemo tipku sin i dobijemo: sin 47°30' = 0.7372773.

33

Primjer 2: Nađimo kut α ako je cos α = 0.299 U računalo unesemo broj 0.299, pritisnemo tipku za inverznu funkciju pa tipku cos-1. Dobijemo broj 72.6 pa je α = 72.6° , odnosno: α = 72° + 0.6 · 60' = 72°36'. Zadatak 1: Izračunaj tg α i ctg α ako je α = 25°45'. (Rj.: tg α = 0.4823, ctg α = 2.0732.) Zadatak 2: Nađi kut α ako je cos α = 0.2326. (Rj.: α = 76°33'.) 6.3. Rješavanje pravokutnog trokuta i primjena Veze između duljina stranica pravokutnog trokuta i vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova tog trokuta omogućuju nam izračunavanje nepoznatih elemenata (duljine stranica i kutove) pravokutnog trokuta ako su nam poznata dva elementa tog trokuta, od kojih je barem jedna stranica. Ponovimo:

sin α =ca

cos α =cb

tg α =ba

ctg α =ab

Primjer 1: Izračunajmo ostale elemente pravokutnog trokuta Δ ABC kojemu je zadano a = 9 cm i α = 30°. α + β = 90°, β = 90° - α, β = 90° - 30°, β = 60°.

Kako je sin α =ca

to je c = 18

219

30sin9

sin==

°=

αa

Iz ctg α =ab

slijedi b = a · ctg α = 9 · ctg 30° = 9 · 3 = 9 3 .

Primjer 2: Izračunajmo pod kojim kutem α je lijevi, a pod kojim kutem β je desni dio krovne plohe u odnosu na strop.

C A

B

γ α

βc

a

b

34

αd

v

3.2 6.2

α βA B

C

D

Trokut Δ ADC je pravokutan pa vrijedi:

tg α = 2.32.4

= 1.3125 iz čega slijedi da je α = 52.7°.

I trokut Δ BCD je pravokutan pa je

tg β = 2.62.4

= 0.6774, odnosno β = 34.1°.

Zadatak 1: Na kojoj se visini nalazi sljeme krova ako je širina kuće 10.6 m, a obje krovne plohe su nagnute pod kutem od 45° u odnosu na strop? (Rj.: Sljeme krova je na visini 5.3 m.) Primjer 3: Izračunajmo visinu i površinu romba čija je stranica a = 26 cm i kut α = 65°. Trokut Δ AED je pravokutan pa vrijedi:

sin α = av

, v = a · sin α = 26 · sin 65° =

26 · 0.90631 = 23.56406. Površina romba je: P = a · v P = 26 · 23.56406 = 612.66556 cm2. Primjer 4: Izračunajmo visinu Eiffelovog tornja koji baca sjenu duljine 463 m kada zrake Sunca padaju pod kutom 35°. Prema slici je:

tg α = dv

pa je v = d · tg α = 463 · tg 35° = 463 · 1.7 = 324.2 m.

Zadatak 2: Pod kojim kutom padaju Sunčeve zrake ako zgrada visine 33 m baca sjenu duljine 56 m? (Rj.: 30°31'.)

A E B

CD

a

a

a

a v

α

35

7. UGLASTA TIJELA (POLIEDRI) I OBLA TIJELA Poliedar je geometrijsko tijelo koje je omeđeno samo dijelovima ravnina. Mnogokuti, kao dijelovi ravnina koji omeđuju poliedar, su strane poliedra. Susjedne strane poliedra sijeku se u bridovima poliedra. Točke poliedra u kojima se sastaju tri ili više bridova poliedra su vrhovi poliedra. Dužine kojima su krajnje točke dva vrha poliedra i koje ne leže na jednoj strani poliedra su prostorne dijagonale ili samo dijagonale poliedra. Pravilni poliedar je poliedar omeđen sukladnim pravilnim mnogokutima i iz svakog mu vrha izlazi jednaki broj bridova. Oplošje tijela je zbroj površina svih njegovih strana. Volumen (obujam) je veličina prostora kojeg to tijelo zauzima. 7.1. Kocka Kocka je geometrijsko tijelo u prostoru omeđeno sa šest kvadrata jednakih stranica. 7.1.1. Oplošje i volumen kocke Oplošje kocke računamo po formuli: O = 6a2 Volumen kocke: V = a3 Dijagonala strane kocke: d = a 2 Dijagonala kocke: D = a 3 Primjer 1: Izračunajmo volumen i dijagonalu kocke čije je oplošje O = 24 cm2. O = 6a2 V = a3 D = a 3 24 = 6a2 V = 23 D = 2 3 cm a2 = 4 V = 8 cm3 a = 2 cm Primjer 2: Izračunajmo oplošje kocke kojoj je volumen 27 cm3. V = a3 O = 6a2 27 = a3 O = 6 · 32 a = 3 cm O = 6 · 9 O = 54 cm2. Primjer 3: Koliko se puta uveća volumen kocke ako se brid kocke udvostruči? V1 = a3 V2 = (2a)3 = 8a3 V2 = 8 · V1 Volumen kocke se poveća 8 puta ako se brid kocke udvostruči. Zadatak 1: Koliko je m3 zemlje iskopano za šaht oblika kocke duljine brida 80 cm? (Rj.: Iskopano je 0.512 m3 zemlje.)

a

a

aD

36

Zadatak 2: Izračunaj volumen kocke kojoj je oplošje 150 cm2. (Rj.: V = 125 cm3.) 7.2. Kvadar Kvadar je geometrijsko tijelo kojega omeđuje šest pravokutnika. Nasuprotne strane kvadra su sukladni pravokutnici. 7.2.1. Oplošje i volumen kvadra Oplošje kvadra: O = 2(ab + ac + bc) Volumen kvadra: V = abc Dijagonala kvadra:

D = 222 cba ++ Primjer 1: Izračunajmo oplošje, volumen i dijagonalu kvadra kome su bridovi a = 4 cm, b = 3 cm i c = 10 cm.

O = 2(ab + ac + bc) V = abc D = 222 cba ++ O = 2 · (4 · 3 + 4 · 10 + 3 · 10) V = 4 · 3 · 10 D = 100916 ++ O = 164 cm2 V = 120 cm3 D = 55125 = cm. Primjer 2: Bazen ima oblik kvadra duljine 5 m, širine 3.5 m i visine 1.8 m. Koliko litara vode ima u

bazenu ako je napunjen do 32

svoje visine?

Volumen bazena je V = 5 · 3.5 · 1.8 = 31.5 m3.

U bazenu je 32

· 31.5 = 21 m3 vode.

U 1 m3 ima 1000 l, pa je u bazenu 21000 l vode. Primjer 3: Koliko m3 betona je potrebno naručiti za skicirani temelj? Dubina temelja je 50 cm.

3.2 5.20.6 0.6 0.6

ab

cD

37

Volumen temelja najbrže ćemo izračunati ako pomnožimo površinu baze i dubinu. Bazu ćemo izračunati tako da od površine "velikog" pravokutnika oduzmemo površine "malih" pravokutnika: B = (3 · 0.6 + 3.2 + 5.2) · (2 · 0.6 + 6.5) - 3.2 · 6.5 - 5.2 · 6.5 = 23.94 m2 V = 23.94 · 0.5 = 11.97 m3 Zadatak 1: Koliko je m2 pločica potrebno za popoločati bazen iz primjera 2? (Rj.: Potrebno je 48.1 m2 pločica.) Zadatak 2: Tvornica mora podići spremnik nafte volumena 12 m3. Za njegovu izgradnju ima raspoloživog zemljišta duljine 3.2 m i širine 2.5 m. Kolika mora biti visina spremnika? (Rj.: c = 1.5 m.) 7.3. Prizme Uspravna prizma je geometrijsko tijelo koje ima dvije osnovice (dvije strane koje su međusobno sukladne i paralelne) i pobočje koje se sastoji od pravokutnika. Prizma je pravilna ako joj je osnovica (baza) pravilni mnogokut. 7.3.1. Oplošje i volumen prizme Kvadratska prizma je uspravna prizma čija je osnovica kvadrat. Oplošje kvadratske prizme jednako je zbroju površina dviju osnovica i plašta. O = 2a2 + 4av Volumen kvadratske prizme jednak je umnošku površine osnovice i visine prizme. V = a2 · v Osnovica pravilne trostrane prizme je jednakostraničan trokut. Plašt prizme sastoji se od tri pravokutnika stranica a i v. Oplošje pravilne trostrane prizme:

O = 2 · 4

32a + 3av

Volumen pravilne trostrane prizme:

V = 4

32a· v

Primjer 1: Izračunajmo oplošje kvadratske prizme osnovnog brida a = 9 cm i volumena V = 567 cm3. V = a2 · v O = 2a2 + 4av 567 = 92 · v / : 81 O = 2 · 92 + 4 · 9 · 7 v = 7 cm. O = 2 · 81 + 252 O = 414 cm2. Primjer 2: Izračunajmo oplošje pravilne trostrane prizme osnovnog brida a = 4 cm i volumena V = 20 3 cm3.

V = 4

32a· v O = 2 ·

432a

+ 3av

aa

vD

v

a

a

a

38

20 3 = v⋅4

342

O = 2 · 4

342

+ 3 · 4 · 5

20 3 =4 3 v / : 4 3 O = 8 3 + 60 v = 5 cm. O = 73.86 cm2. Zadatak 1: Koliko je betona potrebno (u m3) za stup oblika kvadratske prizme osnovnog brida 30 cm i visine 280 cm? (Rj.: V = 0.252 m3.) Zadatak 2: Koliki je volumen tavanske prostorije?

9.560° 60°

(Rj.: V = 453.32 m3.) 7.4. Piramide Piramida je poliedar kojem je jedna strana mnogokut, a ostale strane su trokuti sa zajedničkim vrhom. Baza piramide je mnogokut po kojem piramida i dobiva naziv: trostrana, četverostrana, peterostrana itd. Pobočje piramide čine pobočke, a to su trokuti i ima ih toliko koliko baza ima stranica. Visina piramide je udaljenost vrha piramide od ravnine osnovice. 7.4.1. Oplošje i volumen piramide Osnovica pravilne trostrane piramide je jednakostraničan trokut, a pobočje se sastoji od tri jednakokračna trokuta. Oplošje pravilne trostrane piramide:

O = 2

34

3 12 vaa ⋅

⋅+

Volumen pravilne trostrane piramide:

V = va⋅⋅

43

31 2

v

a

a

bv1b

b

ρ a2

39

Osnovica pravilne četverostrane piramide je kvadrat, a plašt se sastoji od četiri jednakokračna trokuta. Oplošje pravilne četverostrane piramide: O = a2 + 2av1 Volumen pravilne četverostrane piramide:

V = va ⋅2

31

Primjer 1: Izračunajmo oplošje i volumen pravilne trostrane piramide osnovnog brida a = 10 cm i pobočnog brida b = 13 cm. v i v1 ćemo dobiti pomoću Pitagorinog poučka:

a2

bv1

ρ

v v1

2

221 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

abv = 169 – 25 = 144, v1 = 12 cm

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= 144

631012

63

2

2

22

122

12 avvv ρ 8.333 = 135.666, v = 11.648

cm

O = 212103

43102 ⋅

⋅+⋅

= 223.301 cm2

V = 648.114

31031 2

⋅⋅ = 168.124 cm3.

Primjer 2: Izračunajmo oplošje i volumen pravilne četverostrane piramide osnovnog brida a = 12 cm i pobočnog brida b = 10 cm. Trebamo izračunati v i v1. Izdvojimo pravokutne trokute i primijenimo na njih Pitagorin teorem:

a2

bv1 v v1

a2

2

221 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

abv = 100 – 36 = 64, v1 = 8 cm

a

d

b

a2

b

v v1

40

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 3664

2

22

12 avv 28, v = 5.29 cm

O = a2 + 2av1= 144 + 2 · 12 · 8 = 336 cm2

V = va ⋅2

31

= 31

· 144 · 5.29 = 253.92 cm3.

Zadatak 1: Izračunaj oplošje i volumen pravilne četverostrane piramide osnovnog brida a = 10 cm i visine v = 12 cm. (Rj.: O = 360 cm2, V = 400 cm3.) Zadatak 2: Izračunaj oplošje i volumen pravilne trostrane piramide pobočnog brida b = 5 cm i visine pobočke v1 = 4 cm. (Rj.: O = 51.57 cm2, V = 18.736 cm3.) 7.5. Valjak Valjak je dio prostora omeđen valjkastom plohom i dvjema paralelnim ravninama. Osnovice valjka su dva kruga, a plašt valjka razvijen u ravninu je pravokutnik. Visina valjka je jednaka udaljenosti osnovica valjka. Os valjka je pravac koji sadrži središta baza valjka. Ako je os valjka okomita na baze, valjak zovemo uspravnim. Izvodnica valjka je dužina koja pripada plaštu valjka i paralelna je s osi valjka. Valjak je jednakostraničan ako mu je visina jednaka promjeru baze. Valjak je uspravan ako mu je os okomita na baze. 7.5.1. Oplošje i volumen valjka Oplošje uspravnog valjka: O = 2rπ(r + v) Volumen valjka: V = r2π · v Primjer 1: Bačva oblika uspravnog valjka ima visinu v = 12 cm i u nju stane 200 l vode. Izračunajmo polumjer osnovice bačve. 200 l = 200 dm3, 12 cm = 1.2 dm Iz V = r2π · v dobivamo:

2.114.3

2002

⋅=

⋅=

vVrπ

=53.078 dm2, r = 7.286 dm.

Primjer 2: Izračunajmo volumen uspravnog valjka kojemu je opseg osnovice 6π cm i površina plašta 48π cm2. Opseg kruga je 2rπ = 6π pa je r = 3 cm, Površina plašta je 2rπ · v = 48π pa je v = 8 cm, Volumen valjka je V = r2π · v = 32π · 8 = 72π cm3. Primjer 3: Kolika je masa (u kg) betonske cijevi unutarnjeg promjera 0.8 m, vanjskog promjera 1 m i visine 0.7 m ako je gustoća betona 2.4 kg/dm3?

v

41

0.81

Masa tijela (m) jednaka je umnošku volumena (V) i gustoće (ρ). m = V · ρ Volumen ćemo izračunati tako da pomnožimo površinu baze i visinu cijevi (valjka). Kako je gustoća izražena u kg/dm3, volumen mora biti izražen u dm3. B = r1

2π - r22π = 102π - 82π = 113.04 dm2

V = 113.04 · 7 = 791.28 dm3 Dakle, masa betonske cijevi je m = 791.28 · 2.4 = 1899.072 kg. Zadatak 1: Koliko žita stane u skicirani silos?

4

(Rj.: V = 40.82 m3.) Zadatak 2: Izračunaj oplošje i volumen uspravnog valjka površine osnovice 16π cm2 i visine 7 cm. (Rj.: O = 88π cm2, V = 112π cm3.) 7.6 Stožac Stožac je dio prostora omeđen krugom i stožastom plohom. Krug je osnovica stošca. Stožasta ploha je kružni isječak. Ona je plašt stošca. Izvodnica stošca je svaka dužina koja pripada plaštu stošca i kojoj je jedna krajnja točka vrh stošca, a druga je točka kružnice koja omeđuje bazu stošca. Visina stošca jednaka je udaljenosti vrha stošca od ravnine kojoj pripada osnovica stošca. Os stošca je pravac koji sadrži središte baze stošca i njegov vrh. Ako je os stošca okomita na bazu, kažemo da je stožac uspravan. 7.6.1. Oplošje i volumen stošca Volumen stošca:

V = vr ⋅π231

Oplošje uspravnog stošca: O = rπ(r + s)

sv

42

Primjer 1: Koliki je volumen hrpe pijeska koja ima oblik uspravnog stošca opsega osnovice 12.56 m i visine 120 cm? Iz opsega osnovice izračunavamo polumjer osnovice:

2rπ = 12.56, r = 14.32

56.12⋅

, r = 2 m

Volumen hrpe pijeska je V = vr ⋅π231

= 2.114.3231 2 ⋅⋅⋅ = 5.024 m3.

Primjer 2: Izračunaj oplošje i volumen uspravnog stošca polumjera osnovice r = 9.5 cm i izvodnice s = 13 cm. Prema Pitagornom poučku je: v2 = s2 – r2= 132 – 9.52 = 169 – 90.25 = 78.75, v = 8.87 Volumen stošca je:

V = vr ⋅π231

= 14.35.931 2 ⋅⋅ · 8.87 = 837.87 cm3

Oplošje stošca je: O = rπ(r + s) = 9.5 · 3.14(9.5 + 13) = 671.175 cm2. Zadatak 1: Izračunaj oplošje i volumen uspravnog stošca polumjera osnovice 5 cm i visine 12 cm. (Rj.: O = 90π cm2, V = 100π cm3.) Zadatak 2: Toranj ima krov oblika stošca polumjera baze 2.8 m i volumena 35.3 m3. Kolika je visina krova, a kolika površina krovne plohe? (Rj.: Visina krova je 4.3 m, a površina krovne plohe 44.8 m2.) 7.7. Kugla Neka je S točka prostora i r pozitivan realan broj. Sfera je skup točaka prostora kojih je udaljenost od točke S jednaka r. Kugla je dio prostora omeđen sferom. Točka S je središte, a broj r polumjer kugle. 7.7.1. Oplošje i volumen kugle Oplošje kugle: O = 4r2π Volumen kugle:

V = π334 r

Primjer 1: Oplošje kugle je 1m2. Koliki je volumen kugle?

Iz O = 4r2π dobijemo r2 =14.34

14 ⋅

=πO

= 0.0796 m, r = 0.28 m

Volumen kugle je:

V = 14.328.034

34 33 ⋅⋅=πr = 0.0919 m3.

S

43

Primjer 2: Izračunajmo oplošje kugle volumena 9 m3.

Iz V = π334 r dobivamo r3 =

14.3493

43

⋅⋅

=⋅πV

= 2.15, r = 1.29 m

Oplošje kugle je: O = 4r2π = 4 · 1.292 · 3.14 = 20.9 m2. Zadatak 1: Izračunaj polumjer kugle oplošja O = 113.04 cm2. (Rj.: r = 3 cm.)

44

8. SILA 8.1. Pojam sile i njezino predočavanje U svakodnevnom životu vrlo često se spominje sila kao pojam određene jakosti ili kao uzrok koji može promijeniti neko stanje. U mehanici se pojam sile definira na sljedeći način: Sila je svaki uzrok koji može promijeniti stanje gibanja ili stanje mirovanja nekog tijela. Sila je fizikalna veličina koja masi od jednog kilograma daje akceleraciju od jednog metra u sekundi na kvadrat. Sila kao fizikalna veličina potpuno je definirana samo kada joj je poznato: -hvatište -pravac u kojem djeluje -smjer i -veličina Prema tome sila ima karakteristike vektora, pa se njezino grafičko prikazivanje, zbrajanje i oduzimanje izvodi na načelu vektorskog računanja.

Sl.1. Vektor Vektor je pojam kojim se grafički predočavaju fizikalne veličine za čije određivanje treba imati veći broj podataka, kao što su veličina, smjer, položaj itd. (sl.1.) Hvatište sile je mjesto u kojem sila neposredno djeluje. Ono se obilježava točkom, a označava slovom ili brojkom (sl.2.). Djelovanje sile događa se u stanovitom pravcu čiji položaj u ravnini određuje smjerni kut α (sl.2.). Taj pravac se još naziva pravcem sile, a nazivaju ga još i drugim nazivima kao što su os sile, nosač sile, zraka sile itd. Smjer sile u zadanom pravcu određen je strelicom (sl.2.). U grafičkom prikazivanju sile smjer sile se može odrediti brojkama ili slovima. Pri tome svaka sila u zadanom pravcu dobiva dva broja ili slova, na primjer 11', 22' ili aa', bb' itd.

F1

F2

1

1

a

a

Sl.2. Predočavanje sila

45

Brojke ili slova označavaju da sila djeluje od 1 prema 1', odnosno od a prema a'. Kod takvog načina prikazivanja sile strelica nije potrebna, ali se može nacrtati da bi slika bila jasnija.

Sl.3. Predočavanje sila

+

+-

-

Sl.4. Smjer sile

U analitičkom prikazivanju sile smjer sile određuje se predznacima plus (+) i minus (-). Npr: + F1 – F2 (sl.2.), odnosno +F1 + F2 (sl.3.). Općenito je svejedno koji se smjer sile odabire kao pozitivan jer će negativan smjer biti onaj koji je suprotan pozitivnome. Kada sile imaju samo vertikalan i horizontalan položaj u ravnini, njihovi predznaci bit će sljedeći: Horizontalne sile koje djeluju slijeva nadesno imaju pozitivan smjer, a one koje djeluju zdesna nalijevo imaju negativan smjer (sl.4.). Vertikalne sile koje djeluju prema gore imaju pozitivan smjer, a one koje djeluju prema dolje negativan smjer (sl.4.). Veličina sile izražava se intenzitetom ili jakošću djelovanja. Jedinice kojima se mjeri intenzitet sile jesu newton (njutn) s oznakom N, kilonewton kN ili meganewton MN. Pri grafičkom prikazivanju sile veličina ili intenzitet predočava se dužinom pravca u kojem sila djeluje. Ta se dužina naziva geometrijskim odsječkom sile, a radi kraćeg izraza čest je naziv odsječak sile (sl.5.). Odsječak sile na zadanom pravcu nanosi se u odabranom mjerilu. Mjerilo sila odabire se proizvoljno, ali pri tome treba paziti da ono bude što jednostavnije. Na primjer: jedan centimetar odgovara jednom kilonewtonu (1 cm = 1 kN) Ako treba grafički predočiti silu F1 = 3.0 kN koja djeluje u horizontalnom pravcu, postupak je sljedeći: najprije se odabire mjerilo sila, a zatim točka 1 kao početna točka geometrijskog odsječka zadane sile. Od točke 1 u smjeru djelovanja sile nanosi se veličina geometrijskog odsječka zadane sile na pravac sile. Tako je određen položaj točke 1' kao završetak odsječka zadane sile.

Sl.5. Odsječak sile

1 1F

Mjerilo sila: 1cm 1kN

F=11 = 2,5 cmF=2,5 kN

Sl.6. Odsječak sile

46

Obrnutim postupkom može se iz nacrta sile, gdje je sila prikazana u određenom mjerilu, odrediti njezina brojčana veličina (sl.6.). U analitičkom prikazavanju sile njezina veličina i intenzitet predočava se brojčanom vrijednošću. Uz brojku se stavlja predznak, čime je određen smjer djelovanja sile. Na primjer, kad dvije sile djeluju u istom pravcu, a imaju isti smjer djelovanja, one se prikazuju na sljedeći način: F1 = +3.0 kN, F2 = +4.0 kN Kad dvije sile djeluju u istom pravcu, a imaju različit smjer djelovanja, one se prikazuju na sljedeći način: F1 = +3.0 kN, F2 = -4.0 kN Kada na tijelo djeluje više zadanih sila, njihov se učinak na tijelo može zamijeniti učinkom jedne sile. Ta se sila zove rezultanta, a zadane sile su njezine komponente. Rezultantanje sila koja zamjenjuje učinak zadanih sila. 8.2. Sile koje djeluju u istom pravcu 8.2.1. Zbrajanje sila Sastavljanje sila koje djeluju u istom pravcu može se provesti grafičkim ili analitičkim postupkom. Grafičko sastavljanje sila koje djeluju u istom pravcu provodi se tako da se zbroje geometrijski odsječci zadanih sila. Pri grafičkom rješavanju zadataka treba najprije postaviti nacrt sila jer je njime određen položaj pravaca u kojima djeluju zadane sile. Paralelno s pravcem zadanih sila treba povući novi pravac na kojem se nacrta plan sila u odabranom mjerilu. Na sljedećem primjeru je objašnjeno kako se sastavljaju sile koje djeluju u istom pravcu (sl.7.). Primjer 1: U horizontalnom pravcu djeluju sile F1 = 2.0 kN, F2 = 1.5 kN i F3 = 1.0 kN (sl.7.). Grafičkim i računskim postupkom treba odrediti rezultantu zadanih sila. Nacrt sila određuje položaj sila u ravnini, pa u njemu ne treba prikazivati sile u mjerilu. Budući da sve zadane sile djeluju u istom pravcu, one će prouzročiti gibanje po tom istom pravcu. Zadane sile su klizni vektori, pa im hvatišta mogu biti u bilo kojoj točki zadanog pravca, a da pri tome njihov učinak ostaje isti. Učinak rezultante zamjenjuje učinak zadanih sila, pa i njezino hvatište može biti na bilo kojoj točki zadanog pravca. Tako je poznat položaj rezultante zadanih sila. Rezultanta djeluje u istom pravcu kao i njezine komponente. Da bi rezultanta zadanih sila bila potpuno određena, treba joj odrediti još dva elementa, a to su njezina veličina i smjer. Ta dva elementa određuju se pomoću plana sila (sl.7.) koji se crta na principu vektorskog zbrajanja.

Sl.7. Zbrajanje sila

47

Paralelno s pravcem u kojem djeluju zadane sile treba povući novi pravac. Na njemu se odabire početna točka plana sila. To je točka 1. Od nje se u odabranom mjerilu nanose geometrijski odsječci zadanih sila i to tako da se oni nanose u smjeru zadanih sila. U ovom primjeru odbrano mjerilo je 1 cm = 1 kN, pa geometrijski odsječak sile F1 iznosi 2 cm, sile F2 = 1.5 cm, a sile F3 = 1.0 cm. Plan sila počinje nanošenjem geometrijskog odsječka sile F1

׀) '11 ׀) cm), na koji se dalje nastavlja geometrijski odsječak sile F2 2.0 = ׀ '22 cm), a na 1.5 = ׀ovaj geometrijski odsječak sile F3 (׀ '33 .(cm 1.0 = ׀ Veličina rezultante je određena njezinim geometrijskim odsječkom. R = ׀ '13 cm, a 4.5 = ׀to u mjerilu iznosi 4.5 kN. Geometrijski odsječak rezultante zadanih sila jednak je udaljenosti od prve do zadnje točke odsječaka sila. Geometrijski odsječak rezultante jednak je zbroju geometrijskih odsječaka njezinih komponenata. Da bi rezultanta, kao sila u ravnini, bila potpuno određena, još je potrebno odrediti njezin smjer. Smjer rezultante isti je kao smjer njezinih odsječaka. To je orijentacija od prve do zadnje točke odsječaka zadanih sila. Analitički postupak pri sastavljanju sila koje djeluju u istom pravcu provodi se tako da se algebarski zbroje veličine zadanih sila. Za zadani sustav sila iz primjera 1. rezultanta iznosi: R = F1 + F2 + F3 = + 2.0 + 1.5 + 1.0 = 4.5 kN. Rezultanta zadanih sila je pozitivna, što znači da je njezin smjer djelovanja slijeva nadesno. Hvatište rezultante nalazi se na zadanom pravcu. Tako je analitičkim postupkom rezultanta potpuno određena. Kada u jednom pravcu djeluje n sila, tada će njihova rezultanta iznositi: R = F1 + F2 + F3 + ... + Fn,

ili R = ∑=

n

i 1Fi

Primjer 2: U horizontalnom pravcu djeluju sile F1 = +4.0 kN, F2 = -2.0 kN, F3 = +3.0 kN i F4 = -4.0 kN. Treba odrediti rezultantu zadanih sila grafičkim i analitičkim postupkom. Grafički postupak: Nacrtom sila određeni su položaj i hvatište sila u zadanom pravcu, a time je određen položaj i hvatište njihove rezultante. Veličina i smjer rezultante određuju se pomoću plana sila (sl.8.). U planu sila grafički se zbrajaju geometrijski odsječci sila u odabranom mjerilu. Mjerilo sila i u ovom primjeru odabrano je tako da jedan centimetar odgovara jednom kilonewtonu (1 cm = 1 kN). Veličina rezultante određena je njezinim geometrijskim odsječkom. R = ׀ '14 cm, a to u mjerilu sila iznosi 1.0 = kN. Smjer rezultante orijentiran je od prve 1 = ׀prema posljednjoj točki odsječka zadanih sila. Tako je rezultanta potpuno određena jer su joj poznati hvatište, smjer i veličina (sl.8.).

48

F=4.0 kN F=2.0 kN F=3.0 kN

A B C

NACRT SILA

1 1

22

33

1 4

R

Mjerilo sila: 1cm 1kN

R=14 = 1,0 cmR=1,0 kN

1 2 3 R

D

F=4.0 kN4

44

Sl.8. Zbrajanje sila

Analitički postupak: Veličina i smjer rezultante određuju se algebarskim zbrajanjem zadanih sila. R = F1 + F2 + F3 + F4 = +4.0 - 2.0 + 3.0 – 4.0 = 1.0 kN. Rezultanta ima smjer slijeva nadesno. Njezino hvatište nalazi se na jednoj od točaka zadanog pravca, pa je tako rezultanta potpuno određena. Primjer 3: U vertikalnom pravcu djeluju sile F1 = +3.0 kN, F2 = -2.0 kN i F3 = +3.0 kN. Treba odrediti rezultantu zadanih sila grafičkim i analitičkim postupkom. Grafički postupak: Veličina rezultante zadanih sila određuju se kako je prikazano na sl.9.: R = ׀ '13 .cm, a to u mjerilu iznosi 4.0 kN 4.0 = ׀ Analitički postupak: Veličina i smjer rezultante određuju se algebarskim zbrajanjem zadanih sila. R = F1 + F2 + F3 = +3.0 - 2.0 + 3.0 = 4.0 kN. Smjer rezultante je pozitivan, što znači da je njezino djelovanje usmjereno odozdo prema gore. Hvatište rezultante nalazi se na pravcu u kojem djeluju njezine komponente, pa je tako rezultanta potpuno određena.

49

Mjerilo sila: 1cm 1kN

R=13 = 4,0 cmR=4,0 kN

A

B

C

1

2

3

1

R

R

1

2

3 3

Sl.9. Sile u vertikalnom pravcu Zadatak 1: U horizontalnom pravcu djeluju sile F1 = + 2.0 kN, F2 = +4.0 kN i F3 = -8.0 kN. Treba odrediti rezultantu zadanih sila grafičkim i analitičkim postupkom. Zadatak 2: U vertikalnom pravcu djeluju sile F1 = +2.0 kN, F2 = +4.0 kN, F3 = -8.0 kN i F4 = +3.0 kN. Treba odrediti rezultantu zadanih sila grafičkim i analitičkim postupkom. 8.2.2. Ravnoteža sila Sustav sila koje djeluju u istom pravcu bit će u ravnoteži kada je učinak zadanih sila jednak nuli. Drugim riječima, ravnoteža tih sila nastaje kada je njihova rezultanta jednaka nuli. Pri određivanju ravnoteže tijela na koje djeluje sustav sila u istom pravcu treba biti ispunjen uvjet da je rezultanta zadanih sila jednaka nuli. Taj se uvjet izražava grafički ili analitički, ovisno o tome da li se zadatak o ravnoteži rješava grafičkim ili analitičkim postupkom. 8.2.2.1. Grafički uvjet ravnoteže Za ravnotežu sila koje djeluju u istom pravcu nužan je i dovoljan samo jedan grafički uvjet ravnoteže koji glasi: Zbroj geometrijskih odsječaka svih sila mora boti jednak nuli, odnosno posljednja točka u planu sila mora pasti u početnu.

50

8.2.2.2. Analitički uvjet ravnoteže Za ravnotežu sila koje djeluju u istom pravcu nužan je i dovoljan također samo jedan analitički uvjet ravnoteže koji glasi: Algebarski zbroj svih sila mora biti jednak nuli. Analitički uvjet ravnoteže može se izraziti na sljedeći način:

∑=

n

i 1Fi = 0

Na sljedećem primjeru prikazana je ravnoteža sustava sila koje djeluju u istom pravcu. Primjer 4: U horizontalnom pravcu djeluju sile F1 = +3.0 kN, F2 = +1.0 kN i F3 = -2.0 kN. Treba uspostaviti ravnotežu tih sila grafičkim i analitičkim postupkom. Grafički postupak: Iz plana sila se vidi da zadane sile ne ispunjavaju grafički uvjet ravnoteže, jer posljednja točka plana sila ne pada u početnu. Dakle, postoji rezultanata zadanih sila, a ona iznosi +2.0 kN (sl.10.).

Sl.10. Ravnoteža sila Ravnoteža zadanih sila može se postići ako se poništi učinak rezultante. To se može postići tako da se u zadani pravac doda jedna sila koja će imati učinak suprotan učinku rezultante zadanih sila. To je sila F4 = -2.0 kN. Sada će taj sustav biti u ravnoteži jer je ispunjen grafički uvjet ravnoteže (sl.11.).

F=3.0 kN F=1.0 kN F=2.0 kN

A B C

1 1

2 2

3 3

Mjerilo sila: 1cm 1kNR=0

12 3 F=2.0 kN

D4

44

Sl.11. Ispitivanje ravnoteže

51

Analitički postupak: Algebarskim zbrajanjem zadanih sila

∑=

3

1iFi = F1 + F2 - F3 = +3.0 + 1.0 – 2.0 = 2.0 kN

ustanovljeno je da nije zadovoljen računski uvjet ravnoteže. Algebarski zbroj svih sila nije jednak nuli. Postoji rezultanta svih veličina +2.0 kN. Zadani sustav sila može biti u ravnoteži samo ako mu se doda nova sila koja će biti jednaka rezultanti, ali suprotnog smjera. To je sila F4 = -2.0 kN. 8.3. Sustav sila koje djeluju u različitim pravcima, a imaju zajedničko hvatište 8.3.1. Sastavljanje sila Najjednostavniji primjer sila koje djeluju u različitim pravcima, a imaju zajedničko hvatište je primjer dviju sila (sl.12.).

Sl.12. Paralelogram sila Ako te dvije sile djeluju na neko tijelo koje miruje, ono će se početi gibati u smjeru rezultante tih sila jer rezultanta zamjenjuje učinak zadanih sila. Iz fizike je poznato da je rezultanta dviju sila koje djeluju u različitim pravcima, a imaju zajedničko hvatište jednaka dijagonali paralelograma čije su stranice zadane sile. Tako je rezultanta potpuno određena jer je njezina veličina jednaka dijagonali paralelograma, njezino hvatište je u hvatištu njezinih komponenata, a smjer njezinog djelovanja je orijentiran od hvatišta prema suprotnom kutu paralelograma (sl.12). Grafičko sastavljanje sila Promatrajući sliku 12, možemo lako uočiti da je rezultanta zadanih sila dobivena na principu vektorskog zbrajanja sila. Princip vektorskog zbrajanja sila sastoji se u tome da se u planu sila nanose geometrijski odsječci zadanih sila jedan na drugi u odabranom mjerilu. To se radi tako da se svaki odsječak nanosi paralelno sa zadanom silom i u smjeru zadane sile. Stoga pri određivanju rezultante dviju sila ne treba crtati cijeli paralelogram sila, već se rezultanta određuje vektorskim zbrajanjem zadanih sila. Princip vektorskog zbrajanja sila koje djeluju u različitim pravcima, a imaju zajedničko hvatište objašnjava se sljedećim primjerom (sl.13.).

52

Sl.13. Zbroj sila Primjer 5: Sila F1 = 4.0 kN djeluje u pravcu čiji je položaj u ravnini određen kutom 1α = 15 o , a sila F2

= 3.0 kN u pravcu čiji je položaj određen kutom 2α = 60 o . Sile F1 i F2 imaju zajedničko hvatište u točki A. Treba odrediti rezultantu grafičkom postupkom. Pri određivanju rezultante zadanih sila grafičkim postupkom potrebno je izraditi nacrt i plan sila. Nacrtom zadanih sila određen je njihov položaj i hvatište u ravnini, pa tu ne treba crtati sile u mjerilu (sl.13.). Izradom plana sila u odabranom mjerilu određuju se veličina i smjer rezultante (sl.13. b) i sl.13. c)). Plan zadanih sila zapravo je prikaz njihova vektorskog zbrajanja, koje se provodi na sljedeći način: Paralelno s pravcem u kojem djeluje sila F1 povuče se pravac izvan nacrta sila (sl.13. b)). Na bilo kojem mjestu na tom pravcu odabire se početna točka plana sila. To je točka 1. Od početne točke u odabranom mjerilu i u smjeru djelovanja sile F1 nanosi se geometrijski odsječak sile F1. Završetak odsječka sile F1 obilježava se točkom 1'. Kroz točku 1' povuče se pravac paralelno s pravcem u kojem djeluje sila F2. Na taj pravac, u smjeru djelovanja sile F2 i u istom mjerilu, nanosi se geometrijski odsječak sile F2. On se nanosi tako da se njegov početak s oznakom 2 postavi u točku 1'. Završetak odsječka sile F2 označava se brojem 2'. Tako je dobivena izlomljena crta (1,1',2') koja se zove plan sila. Njime je određena veličina i smjer rezultante. Geometrijski odsječak rezultante jednak je udaljenosti od prve do posljednje točke odsječaka zadanih sila. Veličina rezultante jednake je vektorskom zbroju zadanih sila. Smjer rezultante isti je kao i smjer njenog odsječka, a to je orijentacija od prve prema posljednjoj točki u planu sila.

53

Zadaci za vježbu: U točki A djeluju sile u različitin pravcima. Položaj svakog pojedinog pravca određuje se kutom nagiba prema horizontali. Treba odrediti rezultantu zadanih sila grafičkim i analitičkim postupkom. Zadatak 1: F1 = 3.0 kN, F2 = 4.0 kN, F3 = 2.0 kN

1α = 10 o , 2α = 30 o , 3α = 90 o . Zadatak 2: F1 = 2.0 kN, F2 = 3.0 kN, F3 = 3.0 kN, F4 = 4.0 kN

1α = 0 o , 2α = 45 o , 3α = 30 o , 4α = 90 o . Zadatak 3: F1 = 3.0 kN, F2 = 2.0 kN, F3 = 3.0 kN, F4 = 1.0 kN

1α = 120 o , 2α = 45 o , 3α = 90 o , 4α = 0 o . Zadatak 4: F1 = 4.0 kN, F2 = 4.0 kN, F3 = 3.0 kN, F4= 8.0 kN

1α = 0 o , 2α = 90 o , 3α = 0 o , 4α = 210 o . 8.3.2. Ravnoteža sila Ravnoteža sila koje djeluju u različitim pravcima, a imaju zajedničko hvatište nastaje kad je njihova rezultanta jednaka nuli, pa pri određivanju ravnoteže sila treba biti ispunjen uvjet da ne postoji rezultanta. Uvjet ravnoteže izražava se grafički ili analitički, ovisno o tome da li se zadatak o ravnoteži sila rješava grafičkim ili analitičkim postupkom. 8.3.2.1. Grafički uvjet ravnoteže Za ravnotežu sustava sila u kojem sile djeluju u različitim pravcima, a imaju zajedničko hvatište nužan je i dovoljan samo jedan grafički uvjet ravnoteže, koji glasi: Poligon sila mora biti zatvoren lik. Objašnjenje: Kada je poligon sila zatvoren lik, tada posljednja točka poligona sila pada u početnu, pa je rezultanta zadanog sustava sila jednakanuli. Tada nastaje ravnoteža zadanog sustava sila. 8.3.2.2. Analitički uvjet ravnoteže Za ravnotežu sustava sila u kojem sile djeluju u različitim pravcima, a imaju zajedničko hvatište nužna su i dovoljna dva analitička uvjeta ravnoteže, koji glase: Zbroj horizontalnih komponenata svih sila mora biti jednak nuli ili ∑ X = 0 Zbroj vertikalnih komponenata svih sila mora biti jednak nuli ili ∑ Y = 0 Objašnjenje: Zbroj horizontalnih komponenata svih sila zapravo je horizotalna komponenta rezultante zadanih sila, a zbroj vertikalnih komponenata svih sila je vertikalna komponenta rezultante istih sila. Kad su vertikalna i horizontalna komponenta rezultante zadanih sila jednake nuli, tada je i sama rezultanta zadanih sila jednaka nuli.

54

U sljedećem primjeru prikazuje se ravnoteža sustava sila koje djeluju u različitim pravcima, a imaju zajedničko hvatište. Primjer 6: Sila F1 = +3.0 kN djeluje u vertikalnom pravcu, sila F2 = +2.0 kN djeluje u pravcu čiji je položaj prema horizontali određen kutom 2α = 30 o , sila F3 = 4.536 kN djeluje u pravcu čiji je položaj prema horizontali određen kutom 3α = 60 o , a sila F4 = -4.0 kN djeluje u horizontalnom pravcu. Zadane sile imaju zajedničko hvatište u točki A. Treba ih zbrojiti grafičkim i analitičkim postupkom.

F2

F3

F4

F1 F2

F3

F4

F1A

a

b

1

2

3

44

1

2

3

2

3

POLIGON SILA

NACRT SILA

Mjerilo sila: 1cm 1kNR=0

Sl.14. Grafički uvjet ravnoteže Grafičkim zbrajanjem zadanih sila (sl.14. b)) nastaje zatvoreni poligon sila. Posljednja točka odsječka u poligonu sila pada u početnu točku, pa je zadani sustav sila u ravnoteži. Strelice odsječaka zadanih sila u poligonu idu jedna za drugom, pa se odmah može uočiti da nema rezultante i da su zadane sile u ravnoteži. Algebarsko zbrajanje sila zapravo je zbrajanje horizontalnih i vertikalnih projekcija zadanih sila (sl.15.).

55

F2

F3

F4

F1

A2

3

F3x

F2x

F3y

F2y

Sl.15. Računski uvjet ravnoteže Rx = ∑ X = -F4 + F2 · cos 2α + F3 · cos 3α = = -4.0 + 2.0 · cos 30 o + 4.536 · cos 60 o = = -4.0 + 2.0 · 0.8660 + 4.536 · 0.5000 = = -4.0 + 1.7320 + 2.268 = = -4.0 + 4.0 = 0 Ry = ∑ Y = + F1 + F2 · sin 2α - F3 · sin 3α = = +3.0 + 2.0 · sin 30 o + 4.536 · sin 60 o = = +3.0 + 2.0 · 0.5000 - 4.536 · 0.8660 = = +3.0 + 1.0 – 4.0 = = +4.0 - 4.0 = 0 Zadani sustav sila se nalazi u ravnoteži jer su zadovoljeni analitički uvjeti ravnoteže. 8.4. Rastavljanje sile u dvije komponente Rastavljanje sile u dvije komponente obrnut je postupak zbrajanju sila. Sila se rastavlja u dvije komponenete kad se njezin učinak želi zamijeniti učinkom dviju sila u određenom pravcu. Rastavljanje sile u dvije komponente može se provesti grafičkim ili analitičkim postupkom. Grafički postupak je brži i jednostavniji. On daje preglednije rezultate, pa se u praksi češće primjenjuje,a osobito onda kad su komponente zadane sile postavljene u sasvim općenitom položaju.

56

U sljedećem primjeru bit će prikazano rješenje takvog zadatka. Primjer 7: U točki A djeluje sila R = 4.0 kN. Ona djeluje u pravcu čiji je nagib prema horizontali određen kutom α = 30 o , a treba je rastaviti u komponente F1 i F2. Komponenta F1 djeluje u pravcu čiji je nagib prema horizontali zadan kutom 1α = 30 o , a komponenta F2 u pravcu pod kutem 2α = 90 o . Pri grafičkom rješavanju zadatka (sl.16.) treba najprije postaviti nacrt sila, a zatim rastaviti zadane sile u dvije komponente.

2

1A

R

F1

F 2

a

R

F1

F 2

1

21

2P

P

b

Mjerilo sila: 1cm 1kN

F = 3.95 kNF =4.0 kN

1

2

Sl.16. Rastavljanje sila u dvije komponente Rastavljanje sile u dvije komponente provodi se tako da se paralelno s pravcem sile povuče pravac izvan nacrta sila. Na taj pravac nanosi se geometrijski odsječak zadane sile u odabranom mjerilu (1 cm = 1 kN), pa je'׀ ׀ 'rr cm = 4.0 kN 4.0 = ׀ Iz početne točke odsječka sile R povuče se paralela sa zadanim pravcem u kojem djeluje komponenta F1. Iz završne točke odsječka sile R povuče se paralela sa zadanim pravcem u kojem djeluje komponenta F2. Te paralele sijeku se u točki 1'2 i tako formiraju trokut koji je zapravo plan sila F1 i F2, čija je rezultanta sila R. Iz dobivenog trokuta očitaju se geometrijski odsječci traženih komponenata: F1 = ׀ '11 cm = 3.95 kN 3.95 = ׀ F2 = ׀ '22 cm = 4.00 kN 4.00 = ׀ Smjerovi traženih komponenata još uvijek nisu određeni. Oni će se odrediti ako zamislimo da se u ovom primjeru radi o zbrajanju sila F1 i F2 u njihovu rezultantu R. Tad bi strelice odsječaka sila F1 i F2 išle jedna za drugom, a njima nasuprot išla bi srelica njihove rezultante R. Kad se na planu sila uspostavi taj uvjet, određeni su smjerovi djelovanja komponenata F1 i F2. Naposljetku se smjerovi traženih komponenata prenose iz plana nacrta sila, pa je time zadatak riješen. Kod rastavljanja sile u dvije komponente često se traže komponente koje će biti u ravnotaži sa zadanom silom. Kad bi se takav zahtjev postavio na silu iz primjera 7 komponente F1 i F2 imale bi istu veličinu kao u ranijem rješenju (sl.16. b)), ali bi im smjer bio suprotan. Do suprotnog smjera komponenata došlo bi se uspostavljanjem uvjeta ravnoteže u planu sila.

57

Ravnoteža sila postoji kad ne postoji rezultanta. Tada u planu sila strelice sila idu jedna za drugom, pa tražene komponente F1 i F2 doista imaju suprotan smjer. Zadaci za vježbu: Zadanu silu R treba rastaviti u komponente F1 i F2. Položaj zadane sile i njezinih komponenata određen je kutovima nagiba prema horizontali. Zadatak 1: R = 4.0 kN, F1 = ? F2 = ? α = 0 o , 1α = 45 o , 3α = 90 o Zadatak 2: R = 3.0 kN, F1 = ? F2 = ? α = 0 o , 1α = 60 o , 3α = -60 o Zadatak 3: R = 5.0 kN, F1 = ? F2 = ? α = -90 o , 1α = 0 o , 3α = 45 o Zadatak 4: R = 2.0 kN, F1 = ? F2 = ? α = -45 o , 1α =30 o , 3α = 90 o

58

9. NAPREZANJA 9.1. Vrste naprezanja Napon i deformacija su u ovisnosti. Oblik deformacije nekog tijela ovisi o položaju i smjeru djelovanja vanjskih sila, pa će prema tome postojati onoliko vrsta naprezanja koliko ima vrsta deformacija. 9.1.1. Centrični vlak To je jednostavno naprezanje, koje nastaje kad u samoj osi štapa djeluju dvije jednake sile F nastojeći da taj štap produlje (sl.1.).

Sl.1. Centrički vlak 9.1.2. Centrični tlak To je također jednostavno naprezanje, koje nastaje kad u samoj osi nekog štapa ili stupa djeluju dvije jednake sile F nastojeći da taj štap ili stup skrate (sl.2.).

Sl.2. Centrički tlak

59

9.1.3. Savijanje bez uzdužne sile To je naprezanje koje nastaje kad na os nekog nosača djeluju sile pod pravim kutom. Tada se u nosaču pojavljuju momenti savijanja i poprečne sile, a uzdužnih sila nema (sl.3.).

Sl.3. Savijanje 9.1.4. Naprezanje na posmik To je također jednostavno naprezanje, koje nastaje zbog djelovanja dviju jednakih sila F koje imaju suprotan smjer, a nastoje neki element u jednom presjeku smaknuti ili prerezati (sl.4.).

Sl.4. Posmik

9.1.5. Naprezanje na torziju Nastaje zbog opterećenja vanjskim momentom M koji djeluje u ravnini okomitoj na os štapa nastojeći taj štap uviti (sl.5.).

Sl.5. Torzija

9.1.6. Ekscentrični vlak To je složeno naprezanje koje nastaje kad na neki štap djeluje sila izvan njegove osi ali paralelno s njom, s namjerom da taj štap produlji (sl.6.). Kad se položaj sile premjesti u os, pojavljuje se još i moment M, pa je očito da se štap razvlači i ujedno savija. Sl.6. Ekscentrički vlak FF

F

F

F

M

+

σ2 σ1

60

9.1.7. Ekscentrični tlak Ekscentrični tlak je također složeno naprezanje, a nastaje kad sila djeluje izvan osi štapa ili stupa i paralelno s njom, s namjerom da taj štap ili stup skrati (sl.7.). Kad se položaj sile premjesti u os stupa, pojavljuje se još i moment M, pa je štap napregnut na tlak i savijanje.

Sl.7. Ekscentrički tlak

9.1.8. Savijanje s uzdužnom silom Savijanje s uzdužnom silom također je složeno naprezanje, koje nastaje zbog djelovanja uzdužne sile i momenta savijanja. Ovdje je redovito veći utjecaj momenta savijanja, pa napon nije istog predznaka po cijelom presjeku.

Sl.8. Savijanje s uzdužnom silom

61

10. MOMENT 10.1. Statički moment sile Osim gibanja tijela po pravcu, koje nastaje kao posljedica djelovanja sile, može se pojaviti još jedan oblik gibanja tijela. To je kružno gibanje ili rotacija. Sl.1. prikazuje jedno tijelo na koje djeluje sila F u točki A. Ako je tijelo zglobno pričvršćeno u točki C, zbog djelovanja sile F tijelo će rotirati oko točke pričvršćenja. Tijelo zapravo mora rotirati oko osi koja prolazi točkom C, a okomita je na ravninu u kojoj leže sila F i njezin krak. Rotacija tijela nastaje kao posljedica djelovanja statičkog momenta sile. Statički moment sile, kao uzrok rotacije tijela, potpuno je određen ako su mu poznati veličina i smjer djelovanja, te ako mu je poznata os rotacije. Veličina statičkog momenta može se algebarski izraziti kao produkt sile i njezina kraka.

M = F · l Statički moment = sila · krak Krak sile je najkraća udaljenost sile do točke oko koje tijelo rotira. To je okomica spuštena iz točke rotacije za zadanu silu (sl.1.). Iz definicije statičkog momenta sljedi da je jedinica mjere njegova učinka newtonmetar ili bilo koja druga izvedena jedinica. newton · metar = newtonmetar (Nm) newton · centimetar = newtoncentimetar (Ncm) kilonewton · metar = kilonewtonmetar (kNm) meganewton · metar = meganewtonmetar (MNm) itd. Smjer rotacije označava se matematičkim predznacima. Dogovoreno je da se rotacija smatra pozitivnom (+) ako tijelo rotira u smjeru kretanja kazaljke na satu. Obrnuto, rotacija se smatra negativnom (-) ako tijelo rotira u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu (sl.2.).

.

Cos

rota

cije

F

A α

.

M

SL.1. Statički moment sile

l

62

Veličina statičkog momenta može se izraziti grafički kao produkt dviju dužina. Određivanje statičkog momenta sile grafičkim postupkom objašnjava sljedeći primjer. Primjer 1: U vertikalnom pravcu djeluje sila F = 4.0 kN. Odredimo statički moment zadane sile s obzirom na točku C ako je krak sile l = 3.0 m. Pri rješavanju ovog zadatka grafičkim postupkom treba najprije izraditi nacrt sile, i to tako da krak sile s obzirom na točku C bude nacrtan u odabranom mjerilu (sl.3.).

1

2

F

y

os m

omen

ta

F

1 2

Izvan nacrta rastavlja se zadana sila u dvije komponente bilo kakva položaja i veličine. Budući da u nacrtu položaj traženih komponenata nije određen, rastavljanje zadane sile u dvije komponente izvest će se na sljedeći način: Paralelno sa zadanom silom treba povući pravac na koji se nanosi odsječak zadane sile u odabranom mjerilu. F = 11' = 4.0 cm = 4.0 kN Zatim se na bilo kojem mjestu u ravnini odabire točka O u kojoj će se sjeći tražene komponente zadane sile. Točka O zove se pol, a njena udaljenost f od geometrijskog odsječka zadane sile zove se polna udaljenost. Spajanjem početne i završne točke

63

geometrijskog odsječka zadane sile F s polom O određene su proizvoljno odabrane sile 1 i 2, kao komponente zadane sile F. Hvatište komponenata 1 i 2 zajedničko je s hvatištem sile F, a nalazi se u bilo kojoj točki na pravcu djelovanja zadane sile. Stoga je određivanje položaja komponenata sile F u nacrtu zapravo paralelno prenošenje dužina 10 i '01 iz plana u nacrt. Tako je u nacrtu određen položaj sila 1 i 2, a time je riješen zadatak rastavljanja zadane sile F u dvije proizvoljne komponenete. Ako se paralelno sa zadanom silom u nacrtu povuče paralela kroz točku C, dobiva se pravac koji se zove os momenta (sl.3.). Produžavanjem pravaca u kojima djeluju sile 1 i 2 do osi momenta dobivaju se točke A1 i A2, koje na osi momenta obilježavaju dužinu y. Zbog sličnosti trokuta ΔAA1A2 i trokuta Δ 11'0 može se postaviti sljedeći razmjer: y : l = F : f Rješavanjem tog razmjera dobiva se : F · l = f · y M = f · y Taj izraz pokazuje da se veličina statičkog momonta sile obzirom na zadanu točku može izraziti produktom dviju dužina. Statiči moment sile s obzirom na zadanu točku jednak je produktu polne udaljenosti f i odsječka na osi momenta y. Da bi se dobila stvarna veličina statičkog momenta, treba jednu dužinu uzeti u mjerilu sila, a drugu u mjerilu dužina. Potpuno je svejedno koja će se dužina uzeti u mjerilu sila, a koja u mjerilu dužina, ali je uobičajeno da se polna udaljenost f uzima u mjerilu dužina, a odsječak y u mjerilu sila. Očitavanjem navedenih geometrijskih veličina iz sl.3. i njihovim uvrštavanjem u izraz M = f · y dobiva se traženi statički moment sile F s obzirom na točki C (sl.3.). M = f · y = 4.0 · 3.0 = 12.0 kNm. Smjer djelovanja statičkog momenta sile određuje se prema smjeru kretanja kazaljke na satu, pa je u ovom slučaju statički moment negativan i iznosi –12.0 kNm.

F

C

p p'

Sl.4. Geometrijski prikaz statičkog momenta

Veličina statičkog momenta sile može se geometrijski predočiti površinom paralelograma čija je osnovica zadana sila F, a visina krak sile (sl.4.).

A = F · l M = A = F · l

Budući da se površina svakog paralelograma sastoji od površine dvaju jednakih trokuta, veličina statičkog momenta sile može se geometrijski predočiti dvostrukom površinom bilo kojeg trokuta. U takvom trokutu jedna stranica je zadana sila, a druge dvije stranice spojnice krajeva sile s točkom rotacije (sl. 4. i sl.5.).

64

A = 2

lF ⋅

M = 2A = 22

lF ⋅ = F · l

10.1.1. Poučak o momentu ili Varignonov (Varinjonov) poučak Kada u točki A djeluju dvije sile u različitim pravcima, one će, s obzirom na proizvoljno odabranu točku C, proizvesti dva statička momenta koji su istog smjera, a različitih veličina (sl.6.). Postavlja se pitanje koliki je statički moment njihove rezultante s obzirom na istu točku. Dokazano je das se statički moment sile može predočiti dvostrukom površinom trokuta čija je stranica zadana sila, a druge se dvije sijeku u točki rotacije.

Tako prema sl.6. dvostruka površina trokuta ΔABC predočava statički moment sile F1:

M1 = 2A1 = 22

1hAC ⋅ = 1hAC ⋅

Dvostruka površina trokuta ΔABC predočava statički moment sile F2:

M2 = 2A2 = 22

2hAC ⋅ = 2hAC ⋅

Dvostruka površina trokuta ΔAEC predočava statički moment rezultante zadanih sila:

65

MR = 2AR = 22

hAC ⋅ = hAC ⋅

Zbrajanjem statičkih momenata zadanih sila dobiva se: M1 + M2 = 1hAC ⋅ + 2hAC ⋅

M1 + M2 = )( 21 hhAC +⋅

M1 + M2 = hAC ⋅ M1 + M2 = MR Time je dobivena sljedeća tvrdnja: Statički moment rezultante jednak je zbroju statičkih momenata njezinih komponenata. Poučak o momentu ili Varignonov poučak jedan je od osnovnih poučaka statike, a primjenjuje se pri određivanju rezultante paralelnih sila i pri određivanju težišta složenih likova.

66

11. NOSAČI 11.1. Općenito o nosačima U svakoj građevinskoj praksi pojavljuju se razne vrste nosača. Svi oni imaju zajednički zadatak da na sebe preuzimaju zadane sile ili opterećenja i da ih prenesu na svoje potpore. Sl.1. prikazuje najjednostavniji nosač koji se u praksi pojavljuje. Njegov je zadatak da na sebe preuzme sile F1, F2, F3 i F4 te da ih prenese na potpore. Pri prenošenju sila na potpore nosač se savija.

Sl.1. Nosač Pojam nosača općenito se može izreći ovako: Svaki štap ili neki drugi element koji se savija zbog djelovanja vanjskih sila zove se nosač. Vanjske sile koje savijaju nosač dijele se na aktivne i reaktivne sile. Aktivne sile (F1, F2, F3 i F4 - sl.1.) nazivaju se opterećenjem nosača, a reaktivne sile Ra i Rb - sl.1.) nazivaju se ležajnim reakcijama. Reaktivne sile nastaju u potporama kao otpor djelovanju aktivnih sila, pa aktivne i reaktivne sile uvijek čine ravnotežu. 11.1.1. Ležaji Ležaji su konstrukcije koje povezuju nosače s potporama i pri tome nosaču sprječavaju sve ili samo neke slobode gibanja. Ležaji su konstrukcije kojima se nosaču neke slobode gibanja omogućuju, a neke se ograničavaju. Postoje tri vrste ležaja. To su: -pomični ležaj -nepomični ležaj -upeti ležaj

67

Pomični ležaj Pomični ležaj je konstrukcija koja nosaču omogućuje dvije slobode gibanja. To su zaokretanje nosača oko zadane točke i pomicanje po podlozi na koju je postavljen.

R a

a

Sl.2. Pomični klizni ležaj

Sl. 3. Pomični kotrljajući ležaj

Sl.2. i sl.3. prikazuju shemu konstrukcije pomičnih ležaja. Pomoću zgloba «a» nosač je povezan s ležajem, pa je na tom mjestu omogućeno zaokretanje nosača, a sama konstrukcija pomičnog ležaja omogućuje pomicanje nosača po podlozi. Pomicanje nosača omogućeno je klizanjem ili kotrljanjem ležaja. Sl.2. prikazuje shemu konstrukcije kliznih ležaja, a sl.3. prikazuje shemu konstrukcije kotrljajućeg ležaja. Pomični ležaj je konstrukcija koja nosaču ograničava samo jednu slobodu gibanja. Nosač se ne može pomicati okomito na podlogu na koju je ležaj postavljen. Zbog toga se zbog opterećenja nosača u pomičnom ležaju može pojaviti samo ona reakija koja je okomita na podlogu, a prolazi kroz zglob «a» (sl.2. i sl.3.) Pomični ležaj se može definirati kao konstrukcija koja u sebi dopušta jednu nepoznanicu, a to je veličina ležajne reakcije. Bilo koja sila, pa tako i ležajna reakcija u pomičnom ležaju, određena je tek onda kada su joj poznata tri elementa. To su hvatište, smjer i veličina. Ležajna reakcija u pomičnom ležaju ima poznato hvatište jer se ono nalazi u zglobu «a» (sl.1. i sl.2.). Smjer reakcije je u pravcu koji je okomit na podlogu. Nepoznata je samo veličina reakcije, a to ja ta nepoznanica koju dopušta pomični ležaj. Nepomični ležaj Nepomični ležaj je konstrukcija koja omogućuje jednu slobodu gibanja. To je zaokretanje nosača oko jedne zadane točke.

68

Sl. 4. Nepomični ležaj Sl.4. prikazuje shemu konstrukcije nepomičnog ležaja. Pomoću zgloba «a» nosač je povezan s ležajem, pa je na tom mjestu omogućeno zaokretanje nosača. Nepomični ležaj je konstrukcija koja nosaču ograničava dvije slobode gibanja. Ležaj je pričvršćen za pologu, pa se time sprječava mogućnost pomicanja nosača po podlozi. Sama podloga sprečava pomicanje nosača okomito na podlogu, pa se zbog opterećenja u nepomičnom ležaju pojavljuju dvije reakcije. Jedna reakcija je paralelna s podlogom na koju je nosač položen, a druga je okomita na istu podlogu. Ako se te dvije reakcije zbroje, nastaje reakcija koja može imati sasvim općenit položaj u ravnini, a prolazi kroz zglob «a» (sl.4.). Nepomični ležaj može se još definirati i kao konstrukcija koja dozvoljava dvije nepoznanice. Ležajna reakcija u nepomičnom ležaju bit će potpuno određena ako su joj poznate tri nepoznanice, a to su hvatište, smjer i veličina. Hvatište reakcije nalazi se u zglobu «a», a veličina i smjer nisu poznati, pa nepomični ležaj doista dozvoljava dvije nepoznanice. Ako se nepoznati smjer ležajne reakcije rastavi u horizontalni i vertikalni smjer, ipak u ležaju ostaju dvije nepoznanice. To su sada veličina horizontalne i vertikalne komponente ležajne reakcije. Upeti ležaj Upeti ležaj je onaj koji ne omogućuje ni jednu slobodu gibanja. Sl.5. prikazuje shemu upetog ležaja. Iz sheme se vidi da taj ležaj ne omogućuje zaokret nosača oko zadane točke niti pomicanje nosača u bilo kojem smjeru, pa ležajna reakcija ima savim općenit položaj. Upeti ležaj se može definirati još i kao ležaj koji dopušta tri nepoznanice. Ležajna reakcija u upetom ležaju bit će potpuno određena ako su joj odrđeni, odnosno poznati hvatište, smjer i veličina. Kako niti jedan element nije poznat, to upeti ležaj zaista omogućava tri nepoznanice. Ako se ležajna reakcija Ra rastavi u vertikalni i horizontalni pravac, nastat će u ležaju «a» tri nove nepoznanice. To su ležajni moment M = Ra · m, vertikalna komponenta reakcije Ray i horizontalna komponenta reakcije Rax (sl.6.).

69

Sl.5. Upeti ležaj

Sl.6. Reakcije upetog ležaja

11.1.2. Raspon nosača Raspon nosača je udaljenost dvaju mjesta u kojima je nosač poduprt. U teorijskom smislu to su točke u kojima se nalaze hvatišta ležajnih reakcija. Kod većih nosača, gdje se rade pomični i nepomični ležaji, hvatišta ležajnih reakcija točno su određena, pa je time i raspon l točno određen (sl.7.).

Sl. 7. Raspon nosača 11.1.3. Podjela nosača Nosači se mogu podijeliti u nekoliko vrsta i skupina ovisno o kriterijima po kojima se dijele i o tome što se podjelom želi postići. Često se nosači dijele prema: -položaju -obliku -materijalu od kojeg su izrađeni -statičkoj određenosti Prema položaju nosači se dijele na:

-horizontalne -kose -vertikalne

Horizontalni nosači su oni kojima su svi ležajevi na istoj visini, pa im je os horizontalna (sl.8.). Kosi nosači su oni čiji ležaji nisu na istim visinama, pa im os zauzima stanovit kut prema horizontali (sl.9.). Vertikalni nosači nastaju kad os nosača zauzima vertikalan položaj (sl.10.).

70

l

a b

R a R b

F 1 F 2

Sl.8. Ravni nosač

Sl.9. Kosi nosač

Sl.10. Vertikalni nosač

Prema obliku nosači se dijele na: -ravne -izlomljene -okvirne -lučne -rešetkaste Ravni nosači su oni kojima je os ravna ravna linija. To su nosači prikazani na sl.7., sl.8. i sl.9. Izlomljeni nosači su oni kojima je os izlomljena linija, a sastoji se od dvaju ili više odsječaka. Sl.11. prikazuje izlomljeni nosač koji se primjenjuje kao nosač stubišta.

Sl.11. Izlomljeni nosač

Okvirni nosači su oni kojima je os izlomljena tako da u geometrijskom smislu čini okvir. Oni se uveliko primjenjuju u objektima visokogradnje i niskogradnje. Sl.12. prikazuje najjednostavniji oblik okvirnog nosača.

71

F 1 F 2 F 3

h

b

lR a R b

MaMb

a

Rax Rbx

aH

RbyRay

Sl.12. Okvirni nosač

Lučni nosači su oni kojima je os zakrivljena linija (sl.13.). Primjenjuju se pretežno pri izradi mostova i industrijskih objekata.

R

Sl.13. Lučni nosač

Rešetkasti nosači nastali su međusobnom spajanjem određenog broja štapova u čvorovima (sl.14.). Štapovi zauzimaju vertikalne, horizontalne i kose položaje, pa tako čine geometrijske figure u obliku trokuta. Rešetkasti nosači imaju raznolike oblike, a primjenjuju se kao glavni nosači mostova i kao krovna konstrukcija kod objekata visokogradnje.

72

Sl.14. Rešetkasti nosač

Prema materijalu od kojeg se rade nosači se dijele na: -drvene -metalne -armiranobetonske, a mogu biti jednostavnih i složenih oblika. Prema statičkoj određenosti dijele se na: -statički određene -statički neodređene Statički oređeni nosači su oni koji se mogu riješiti uz pomoć osnovnih uvjeta ravnoteže. Za svaki nosač na koji djeluju sile mogu se postaviti tri uvjeta ravnoteže, a to su: ∑ X = 0 ∑ Y = 0 i ∑ M = 0 Statički neoređeni nosači su oni kod kojih se jedna ili više ležajnih reakcija ne mogu riješiti uz pomoć osnovnih uvjeta ravnoteže. Za te ležajne reakcije se kaže da su prekobrojne statičke veličine koje se određuju pomoću uvjeta deformacije. 11.1.4. Opterećenje nosača Opterećenja koja nosači preuzimaju dijele se u tri osnovne grupe: -osnovna -dopunska -naročita Ta podjela provedena je na osnovi promatrnja duljine trjanja opterećenja na neki nosač i na osnovi učestalosti djelovajna, jer neka opterećenja djeluju na nosač neprekidno, a neka povremeno. Osnovno opterećenje je ono koje preuzima svaki nosač ili konstrukcija uopće, a dijeli se na: -stalno (trajno) -povremeno (privremeno) Stalno opterećenje djeluje na sve vrste nosača stalno i mirno, jednakim intezitetom. Ono se sastoji od težine nosača i težine svih onih elemenata konstrukcije koji se nalaze na tom nosaču, pa ga svojom težinom opterećuju. Veličina stalnog opterećenja određuje se tako da se izračuna težina nosača i težina svih onih elemenata koji se na njemu nalaze. Povremeno opterećenje je ono koje se na konstrukciji ili nosaču javlja povremeno. Ono može biti pokretno (pomično) ili nepokretno (nepomično). Pokretna opterećenja su ona koja se kreću po konstrukciji, kao osovinski pritisci vozila na mostu, ili se povremeno miču, kao i

73

namještaj u zgradama. Nepokretno povremeno opterećenje je snijeg ili neko drugo operećenje takva karaktera. Objekti i konstrukcije koriste se za smještaj ljudi i sredstava, pa se zbog toga pokretna opterećenja često nazivaju korisnim opterećenjima. Vrsta i veličina pokretnog opterećenja određuju se u skladu s propisima za svaku vrstu objekta. Dopunsko opterećenje ne djeluje tako učestalo kao pokretno. Ono može imati bilo koji smjer djelovanja. To je promjena temperature, skupljanje betona ili neka druga vrsta opterećenja prema propisima za određenu vrstu objekta. Naročito opterećenje je ono koje na konstrukciju veoma rijetko djeluje, a može se dogoditi da se nikada ne pojavi u vijeku trajanja objekta. To su opterećenja koja nastaju zbog seizmičkih pokreta ili popuštanja temelja kod objekata visokogradnje, ili udarci vozila o stup povožnjaka i druga opterećenja u skladu s propisima. 11.1.4.1. Oblici opterećenja Sve vrste nosača koji se pojavljuju kao nosivi elementi nekog objekta mogu biti opterećeni: -koncentriranim opterećenjem ili -raspoređenim opterećenjem Koncentrirano ili diskontinuirano (prekinuto opterećenje) javlja se u obliku sile usredotočene u jednu točku. Ono se na nosaču pojavljuje zbog djelovanja stupova i poprečnih nosača, zbog tlaka kotača na mostovima itd. Iz karaktera koncentriranog opterećenja vidi se da ono djeluje u točki već na površini kojom stup, greda ili kotač naliježu na nosač. S obzirom na to da je površina nalijeganja relativno mala, može se reći da koncentrirano opterećenje djeluje u točki, pa se ono predočuje silom u obliku vektora, a označava se slovom F (sl.15.).

Sl.15. Koncentrirano opterećenje

Raspodjeljeno ili kontinuirano (neprekinuto opterećenje) nastaje kada se neki teret raspodjeljuje na neku površinu tako da u svakoj točki te površine djeluje sila određene veličine. Kaže se da teret djeluje kontinuirano u svakoj točki, pa se zbog toga raspodjeljeno opterećenje češće naziva kontinuiranim opterćenjem. Raspodjeljeno ili kontinuirano opterećenje može biti: jednoliko djeluje jednakim intenzitetom u svakoj točki uzduž nosača (sl.16. i sl.17.)

nejednoliko mijenja svoj intenzitet od točke do točke uzduž nosača npr. trokutasto (sl.18. i sl.19.), trapezasto (sl.20. i sl.21.)

nepravilno raspodjeljeno nastaje kada se na nekoj površini opterećenje raspodjeljuje bilo kako (sl.22.)

74

Sl.16. Jednoliko raspodijeljeno ili kontinuirano opterećenje

lR a R b

a b

q

Sl.17. Jednoliko djelomično raspodijeljeno opterećenje

Sl.18. Trokutasto kontinuirano opterećenje

Sl.19. Trokutasto kontinuirano opterećenje

Sl.20. Trapezasto kontinuirano opterećenje

Sl.21. Trapezasto kontinuirano opterećenje

75

Sl.22. Nepravilno raspoređeno kontinuirano opterećenje

11.2. Teorija nosača 11.2.1. Deformacije i unutarnje sile Svako tijelo podvrgnuto djelovanju vanjskih sila mijenja svoj oblik. Ono se deformira. Veličina deformacije ovisi o unutarnjim svojstvima tijela, pa je u tom smislu zgodno definirati dva ekstremna slučaja, a to su: -savršeno elastična tijela -savršeno plastična tijela Savršeno elastična tijela su ona koja se nakon rasterećenja vraćaju u svoj prvobitan oblik, a savršeno platična tijela su ona koja nakon rasterećenja zadržavaju deformirani oblik. Tijela s kojima se svakodnevno susrećemo nalaze se između ta dva spomenuta ekstrema. Kada je nosač opterećen vanjskim silama F1, F2, F3, Ra i Rb koje su u ravnoteži, nosač se nalazi u stanju mirovanja (sl.23.).Međutim zbog djelovanja vanjskih sila nastaje promjena položaja sitnih čestica u nosaču, pa nosač mijenja svoj prvobitni oblik i mijenja se (sl.24.)

Sl.23. Nosač prije deformacije

1

1

c

R a R b

F1F2 F3

ba

l

Sl.24. Nosač nakon deformacije

76

Promjena međusobnog položaja sitnih čestica izaziva promjenu unutarnjih sila u nosaču. One pružaju otpor djelovanju vanjskih sila i nastoje vratiti sitne čestice u nosaču u njihov prvobitni položaj. Nosač je u stanju mirovanja, ali se napreže pružajući otpor djelovanju vanjskih sila. Stoga se može reći da su unutarnje sile u nosaču izraz otpornosti materijala od kojeg je nosač napravljen. 11.2.2. Određivanje unutarnjih sila u nosaču Ako nosač presječemo u nekoj njegovoj točki, onda sa pojavljuju određene unutarnje sile kojima desni dio nosača djeluje na lijevi i obrnuto. Te sile su sljedeće: Ms = moment savijanja T = poprečna sila N = uzdužna sila Moment savijanja u bilo kojem presjeku nosača određuje se tako da se zbroje statički momenti svih sila koje djeluju lijevo ili desno od tog presjeka s obzirom na taj presjek. ∑ M = 0 Poprečna sila u bilo kojem presjeku nosača određuje se tako da se zbroje komponenete svih sila koje su okomite na os nosača, a djeluju lijevo ili desno od promatranog presjeka. ∑ T = 0 Uzdužna sila u bilo kojem presjeku nosača određuje se tako da se zbroje komponenete svih sila koje djeluju u smjeru osi nosača, a djeluju lijevo ili desno od promatranog presjeka. ∑ N = 0 11.2.2.1. Predznak unutarnjih sila Predznak unutarnjih sila nosača određuje se ovisno o vrsti i obliku deformacije. Kada uzdužna sila djeluje u osi nekog štapa ili stupa i nastoji ga produljiti, njezin znak se obilježava predznakom +. Obrnuto, ako uzdužna sila nastoji skratiti neki štap ili stup, tada se njezin predznak obilježava predznakom – (sl.25.). Kada poprečna sila djeluje tako da lijevi dio nosača nastoji pomaknuti prema gore, a desni prema dolje, smjer poprečne sile obilježava se predznakom +. Obrnuto, ako poprečna sila nastoji lijevi dio nosača pomaknuti prema dolje, a desna prema gore, tada smjer poprečne sile obilježavamo predznakom – (sl.26.). Kada moment savijanja djeluje tako da nastoji rastegnuti donju zonu nosača, smjer mometa savijanja obilježava se predznakom +. Obrnuto, ako moment savijanja nastoji rastegnuti gornju zonu nosača, tada smjer momenta savijanja obilježavamo predznakom – (sl.27.).

77

Sl.25. Predznak uzdužne sile

Sl.26. Predznak poprečne sile

78

TLAK

VLAK

+M +MLIJEVI DIO NOSAČA DESNI DIO NOSAČA

VLAK

TLAK

-M -M

LIJEVI DIO NOSAČA DESNI DIO NOSAČA

Sl.27. Predznak momenta savijanja 11.2.2.2. Odnos između momenata savijanja i poprečne sile Unutarnje sile u nosačima mijenjaju svoje veličine od presjeka do presjeka duž nosača. Ta se promjena provodi određenom zakonitošću, ovisno o vrsti opterećenja. U jednom od presjeka unutarnje sile dobivaju svoju maksimalnu vrijednost. U svakom od presjeka nosača postoji određeni odnos između vrijednosti unutarnjih sila. Ti se odnosi mogu točno matematički definirati samo pomoću tzv. diferencijalnog računa. Jedan od tih odnosa glasi: Moment savijanja najveći je u onom presjeku u kojem je poprečna sila jednaka nuli. Taj odnos ima posebno značenje pri rješavanju nosača jer se pomoću njega može lako odrediti položaj presjeka nosača u kojem je najveći moment savijanja.

79

LITERATURA: Boško Jagodić, Milivoj Milić: Matematika: udžbenik i zbirka zadataka za prvi razred industrijskih i obrtničkih škola Đurđica Salamon,Boško Šego: Matematika u struci 1: udžbenik sa zbirkom zadataka Ivan Antolić: Građevna mehnika: udžbenik za srednje škole