01 Anova Jmab

8/18/2019 01 Anova Jmab

1/42

DR. JUAN MANUEL ALFARO DOE ENERO – JUNIO 2016

DISEÑODE

EXPERIMENTOS

ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA)

8/18/2019 01 Anova Jmab

2/42


Análisis de la varianza (ANOVA)

• Comparación de diferentes poblaciones: ANOVA de un

factor

•

Estimación de los componentes de varianza

• ANOVA de 2 factores

• Casos prácticos: aplicación a la evaluación de la

influencia de factores y a la estimación de diferentes

componentes de varianza en métodos de análisis

!EVES "# DE MARZO $"%&

8/18/2019 01 Anova Jmab

3/42



El análisis de la varianza ANOVA! es una "erramienta

estad#stica potente$ de %ran utilidad tanto en la industria para el

control de procesos!$ como en el laboratorio de análisis para el

control de métodos anal#ticos!&

'os e(emplos de aplicación son m)ltiples$ se pueden a%rupar$

se%)n el ob(etivo *ue se persi%a$ en dos principalmente:

• 'a comparación de m)ltiples columnas de datos un factor! y

• 'a estimación de los componentes de variación de un

proceso varios factores!&

8/18/2019 01 Anova Jmab

4/42



8/18/2019 01 Anova Jmab

5/42



'*ara+i,n de edias de dis-in-s res.l-ads

8/18/2019 01 Anova Jmab

6/42



8/18/2019 01 Anova Jmab

7/42DR. JUAN MANUEL ALFARO DOE ENERO – JUNIO 2016

'*ara+i,n de /l-i*les *0la+ines


Psi0les 1.en-es de varia+i,n2

• Error aleatorio en la medición&

• Factor controlado o factor de efecto fijo tipo de método$

diferentes condiciones$ analista o laboratorio$&&&!&• Factor incontrolado o factor de efecto aleatorio variación en

el muestreo$&&&!&

'a técnica estad#stica más utilizada *ue permite la separación de

las diversas fuentes de variación es el análisis de la varianzaANOVA$ del in%lés Analysis of Variance! +,assart$ -../0&

8/18/2019 01 Anova Jmab


ANOVA 1E N 3AC4O5:Cuando se tiene un factor$ controlado o

aleatorio$ aparte del error propio de la medida&

ANOVA 1E 1O6 3AC4O5E6:

Cuando se tienen dos factores$ controlados y7oaleatorios$ aparte del error propio de la

medida&


8/18/2019 01 Anova Jmab


8/18/2019 01 Anova Jmab


EEMPLO2 es-ia+i,n de ls +*nen-es de

varia+i,n de .n *r+es6e desea investi%ar la influencia de diversos factores

independientes sobre la absorbancia durante una reacción

*u#mica$ tales como la +n+en-ra+i,n de la s.s-an+ia A y la

-e*era-.ra&

En los casos donde se tienen dos o más factores *ue influyen$

se realizan los e8perimentos para todas las combinaciones de

los factores estudiados$ se%uido del ANOVA&

6e puede deducir entonces si cada uno de los factores o una

interacción entre ellos tienen influencia si%nificativa en el

resultado&


8/18/2019 01 Anova Jmab


'*ara+i,n de /l-i*les *0la+ines


Á

8/18/2019 01 Anova Jmab



ANOVA de un factor

6e seleccionanal azar 3 %rupos

de muestras&

Cada %rupo es

sometido a uno

de los 3 tratamientos&

El tama9o de

cada %rupo de

muestras es n 4&

6e dice *ue es

un e8perimentode un solo

3AC4O5 con 3 niveles del

mismo&

Á

8/18/2019 01 Anova Jmab



ANOVA de un factor

Á

8/18/2019 01 Anova Jmab


5' in1l.6e el -ra-aien- a*li+ad en las res*.es-as 0servadas7


ANOVA de un factor

Á

8/18/2019 01 Anova Jmab


o: µ- ; µ2 ;

8/18/2019 01 Anova Jmab


n análisis de varianza ANOVA! permite descomponer la

varianza total$ separando la varianza debida al azar o

varianza dentro de los %rupos! de los términos

correspondientes a los tratamientos ensayados varianza

entre %rupos!&

6e asume *ue:

-& 'os errores se distribuyen al azar$ normalmente$ con

media cero y varianza ?2 y *ue las varianzas son

"omo%éneas&

2& 6e cumple el modelo aditivo&


ANOVA de un factor

Á

8/18/2019 01 Anova Jmab



ANOVA de un factor

Mdel adi-iv

Si se eliina el .l-i -erin8 res.l-a2

S!MA DE'!ADRADOS

TOTALES (TSS)

S!MA DE '!ADRADOSDENTRO DE LOS

TRATAMIENTOS (SSE)

S!MA DE '!ADRADOSENTRE DE LOS

TRATAMIENTOS (SST)

( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑∑ = == == = −+−=−k

j

n

i

j

k

j

n

i

j ij

k

j

n

i

ij

j j j

y y y y y y - -

2

2

- -

2

- -

99

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

= == == =

= == =

−•−+−+−

=−+−=−

k

j

n

i

j j ij

k

j

n

i

j

k

j

n

i

j ij

k

j

n

i

j j ij

k

j

n

i

ij

j j j

j j

y y y y y y y y

y y y y y y

- -

2

- -

2

- -

2

- -

2

- -

29999

99

ANÁ ISIS DE VARIANZA (ANOVA)

8/18/2019 01 Anova Jmab



Mdel adi-iv

'a suma total de cuadrados 466! de se dividen en:

TSS : SSE (den-r de ;r.*s) < SST (en-re ;r.*s)

'os %rados de libertad también se dividen:

--ales : en-re ;r.*s < errr

N@- ; =@-! N@=!

ANOVA de un factor


8/18/2019 01 Anova Jmab



ANOVA de un factor

Mdel adi-iv

Bara facilitar los cálculos$ las sumas de cuadrados se obtienen

con las si%uientes formulas e*uivalentes:

C3: 3AC4O5 1E CO55ECCDON

∑∑= =

−=k

j

n

i

y ij

j

N y TSS- -

22

9

SST TSSSSE −=

N

T

N

y

N CF

k

j

n

i

ij

y

j

2

2

- -2 99

9

=

==

∑∑= =

CF n

T SST

k

j j

j −=∑

=-

2

9


8/18/2019 01 Anova Jmab

20/42



ANOVA de un factor

'!ADRADOS MEDIOS

TMS : TSS = --ales

MSE : SSE = errr

MST : SST = en-re ;r.*s

--ales : N@-

φen-re ;r.*s : =@-!

φerrr : N@=!

LIBERTADGRADOS DE

ADRADOSS!A DE C !S =


8/18/2019 01 Anova Jmab

21/42



ANOVA de un factor

Ta0la de Análisis de Varianza

6i 3 calculado 3cr#tico $ no "ay diferencias si%nificativas entre ,64 y ,6E $ la varianza debida al

factor no es mayor *ue la debida al azar$ ambas son estimas de ? 2 & El factor estudiado no

tiene efecto sobre las observaciones y se acepta la "ipótesis nula&

>.en-e devaria+i,n

S.a de +.adrads?rads deli0er-ad

'.adradsedis

>

Entre %rupos

tratamientos! =@-

1entro de%rupos

error!

Bor diferencia N@=

4otal N@-

CF n

T SST

k

j j

j

−=∑=-

2

9

∑∑= =

−=k

j

n

i

y ij

j

N y TSS- -

22

9

-−= k SST !ST

k N

SSE !SE

−=

!SE !ST F =


8/18/2019 01 Anova Jmab

22/42



E(emplo:

Comparación de F laboratorios *ue analizan nk veces la

concentración de Bb en una misma muestra de a%ua de r#o

con el mismo procedimiento&

El ob(etivo del ANOVA a*u# es comparar los errores

sistemáticos con los aleatorios obtenidos al realizar diversos

análisis en cada laboratorio&

En la si%uiente tabla se muestran los resultados obtenidose8presados en m%7'!&

ANOVA de un factor


8/18/2019 01 Anova Jmab

23/42


Ta0la %& 5esultados del análisis de plomo en a%ua de r#o realizado por F laboratoriosk indica el nG de laboratorio!&


'os valores medios parecen indicar *ue e8isten diferencias entre los laboratorios&H6on dic"as diferencias si%nificativasI El ANOVA responde a esta cuestión&

ANOVA de un factor


8/18/2019 01 Anova Jmab

24/42


En este e(emplo el ob(etivo del ANOVA es comparar los valoresmedios de cada laboratorio para determinar si al%uno de ellos difiere

si%nificativamente del resto&

Estrate%ia: si los resultados proporcionados por los laboratorios no

contienen errores sistemáticos$ los valores medios respectivos no

diferirán si%nificativamente entre ellos y su dispersión$ debida a los

errores aleatorios$ será comparable a la dispersión presente

individualmente en cada laboratorio&

El procedimiento consisten en descomponer la variabilidad total de la

matriz de los datos en dos fuentes de variación:

• 'a debida a los laboratorios y

• 'a debida a la precisión dentro de cada laboratorio&


ANOVA de un factor


8/18/2019 01 Anova Jmab

25/42


,atemáticamente$ la suma de cuadrados total$ 4SS$ se puede descomponer como una suma de

dos sumas de cuadrados:

TSS : SS R < SS la0

• TSS 2 6uma de las diferencias al cuadrado de cada resultado individual respecto a la media

de todos los resultados y por tanto$ representa la variación total de los datos&

• SSR2 ,ide las desviaciones entre los resultados individuales " kj !$ de cada laboratorio donde j

indica el nG de repetición! y la media del laboratorio J = y$ por lo tanto$ es una medida de la

dispersión dentro de los laboratorios& Cuando se divide SS R por los correspondientes %rados

de libertad$ N # $ !$ se obtiene el cuadrado medio !S$ de !ean S%&are! @den-r de ls

la0ra-ris$ MS R&

• SSla02 ,ide las desviaciones entre los resultados medios de los laboratorios y el resultado

medio %lobal$ y dividido por sus %rados de libertad$ k @ -!$ constituye el cuadrado medio

@en-re la0ra-ris$ MS la0&


ANOVA de un factor


8/18/2019 01 Anova Jmab

26/42



BIPCTESIS

B"2 MSR : MSla0

B%2 MSla0 MSR

ANOVA de un factor


8/18/2019 01 Anova Jmab

27/42


Ta0la $& E8presiones para el cálculo del ANOVA de un factor $ indica eln)mero de laboratorios y N el n)mero total de resultados!&


6e calculan !Slab y !S5 como una medida de las dispersiones comentadas y se

comparan mediante una prueba de "ipótesis F &

ANOVA de un factor


8/18/2019 01 Anova Jmab

28/42


Bara el nivel de si%nificación a esco%ido y los %rados de libertad

mencionados:

•

>+al >-a02 No e8iste diferencia estad#sticamente si%nificativaentre ellas$ la presencia de errores aleatorios será la causa

predominante de la discrepancia entre los valores medios&

• >+al >-a02 E8iste al%)n error sistemático$ MS la0 es muc"o

mayor *ue MS R&


ANOVA de un factor


8/18/2019 01 Anova Jmab

29/42



Como F cal K F tab$ 6e puede concluir *ue al menos uno de los laboratorios "a producido resultados$cuya media difiere de forma si%nificativa de la del resto de los laboratorios&

El valor de probabilidad *ue aparece en la tabla indica a*uel valor de α a partir del cual el ANOVA

no detectar#a nin%una diferencia si%nificativa& A menor valor de probabilidad$ mayor se%uridad de

*ue e8isten diferencias si%nificativas&

Ta0la #& 4abla ANOVA para los resultados de la 4abla -&

ANOVA de un factor


8/18/2019 01 Anova Jmab

30/42



ANOVA de un factor


8/18/2019 01 Anova Jmab

31/42


'OMPARA'IONES PAREADAS

6i se acepta la "ipótesis alternativa -! es interesante saber cuáles medias

son i%uales y cuáles son distintas&

Bara el caso de k medias$ "abrá:

c' (k )k#*+,-.

contrastes posibles&

Pr.e0a LSD de >isFer

6e basa en el ensayo tL de si%nificación de diferencia de medias&

Calcula la menor diferencia si%nificativaL '61: 'east 6i%nificant 1ifference!

entre dos medias cuales*uiera del con(unto analizado mediante un ANOVA&


ANOVA de un factor


8/18/2019 01 Anova Jmab

32/42


Pr.e0a LSD de >isFer6e basa en el ensayo tL de si%nificación de diferencia de medias&

Calcula la menor diferencia si%nificativaL '61: 'east 6i%nificant 1ifference!

entre dos medias cuales*uiera del con(unto analizado mediante un ANAOVA&

'OMPARA'IONES PAREADAS


ANOVA de un factor

8/18/2019 01 Anova Jmab

33/42


8/18/2019 01 Anova Jmab

34/42


8/18/2019 01 Anova Jmab

35/42



8/18/2019 01 Anova Jmab

36/42



ANOVA de dos factores

6e desea evaluar la variabilidad debida al muestreo y a los

tratamientos previos en un determinado procedimiento

anal#tico&

En función de su efecto$ será posible modificar la etapa demuestreo o la de tratamientos previos con el fin de disminuir

dic"a variabilidad&

HCómo se puede calcular esta variabilidadI

n ANOVA de dos factores proporciona la "erramienta

adecuada para calcular dic"as fuentes de variabilidad en

términos de varianza&


8/18/2019 01 Anova Jmab

37/42




DiseG eH*erien-al *ara +al+.lar las varianzas del .es-re8 -ra-aien-s*revis 6 de la edida ins-r.en-al a *ar-ir de .n ANOVA de ds 1a+-res9


8/18/2019 01 Anova Jmab

38/42




5esultados obtenidos al se%uir el dise9o de la fi%ura anterior para la

determinación de clembuterol en "#%ado concentraciones e8presadas en

M%7=%!&


8/18/2019 01 Anova Jmab

39/42




E8presiones para calcular los cuadrados de las medias asociados al ANOVA de dos factores& I $ / y

$ son el n)mero de muestras$ de tratamientos y de replicados$ respectivamente& En el e(emplo$ I ;$ / ; 2 y $ ; 2&


8/18/2019 01 Anova Jmab

40/42


E8presiones para calcular las varianzas asociadas a cada una de las fuentesde variabilidad de un ANOVA de dos factores&




8/18/2019 01 Anova Jmab

41/42




Cuadrado de las medias y varianzas obtenidas para los resultados del e(emplo&

6e puede observar *ue el muestreo es la fuente de variabilidad *ue más

afecta a la determinación de clembuterol en "#%ado&

Bor otro lado$ la repetibilidad casi no afecta a los resultados anal#ticos&


8/18/2019 01 Anova Jmab

42/42


'n+l.sines

En este art#culo se "a visto una de las principales aplicaciones del ANOVAen *u#mica anal#tica: la descomposición de la variabilidad total de un

procedimiento anal#tico en las fuentes de variabilidad parciales más

importantes$ como son el muestreo$ los tratamientos previos y la medida

instrumental&Esto puede resultar muy )til$ por e(emplo$ para determinar cuáles son los

factores *ue más afectan a un determinado procedimiento anal#tico$ o en

%eneral a un proceso *u#mico&

1esde el punto de vista práctico$ e8isten m)ltiples pa*uetes estad#sticos*ue permiten e(ecutar rápidamente los cálculos del ANOVA& 6in embar%o$

lo *ue es importante es *ue el usuario ten%a capacidad para e8traer

conclusiones *u#micas de los resultados obtenidos&

Documents

01 Anova Jmab