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Temas 10-11 FUNCIONES, LÍMITES DE FUNCIONES y CONTINUIDAD

Colegio Divina Pastora Toledowww.divinapastoratoledo.com Matemáticas B4º ESORubén Salvador Polo

1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Relación entre 2 magnitudes de tal forma que a cada

valor de la 1ª le corresponde un único valor de la 2ª.Variable independiente (la que se fija previamente,

x). Variable dependiente: se deduce de la anterior [y =

f(x)].Elementos:

Dominio: conjunto de los valores posibles de la variable independiente. (D)

Recorrido: conjunto de los valores posibles de la variable dependiente.

Dominio de la función polinómica enteraEl dominio es R, cualquier número real tiene imagen.f(x)= x2 - 5x + 6             

Dominio de la función racionalEl dominio es R menos los valores que anulan al

denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).

Dominio de la función irracional de índice parEl dominio está formado por todos los valores que

hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Recorridohttp://www.cimne.upc.es/projects/mates/tema4/ejemplos/ejemframe3.html

2. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.

3. FUNCIONES ACOTADAS.Una función está acotada superiormente si

existe un número real k tal que para todo x es f (x) < k. El número k se llama cota superior.

3. FUNCIONES ACOTADAS.Una función está acotada inferiormente si

existe un número real k tal que para todo x es f (x) > k. El número k se llama cota inferior.

3. FUNCIONES ACOTADAS.Una función está acotada si lo está superior

e inferiormente.

4. MÁXIMOS Y MÍNIMOSUna función tiene en x = a un máximo

absoluto si es creciente a la izq. de ese punto y decreciente a su dcha.

4. MÁXIMOS Y MÍNIMOSUna función tiene en x = a un mínimo

absoluto si es decreciente a la izq. de ese punto y creciente a su dcha.

4. MÁXIMOS Y MÍNIMOSUna función tiene en x = a un máximo relativo

si f (a) es mayor o igual que en los puntos próximos al punto a.

Una función tiene en x = a un mínimo relativo si f (a) es menor o igual que en los puntos próximos al punto a.

5. FUNCIONES SIMETRICASFunciones pares: Una función f(x) es

simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica que f (-x) = f (x).

5. FUNCIONES SIMETRICASFunciones impares: Una función f(x) es

simétrica respecto del origen cuando para todo x del dominio se verifica que f (-x) = -f (x).

6. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.La composición de una función f con otra g es

una función denotada por g o f, y definida así:(g o f) (x) = g [f (x)].

7. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.Una función f(x) tiene un límite L en el punto

xo, si a medida que x se aproxima a xo, f(x) se aproxima a L.

7. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.Límites laterales: valores hallados al estudiar la tendencia de la

función a la izquierda y a la derecha de un punto. a+ y a-.

Si lo límites laterales de una función en un punto son distintos, la función no tiene límite en él. Si los límites laterales son iguales, la función tiene límite.

8. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. EXPRESIONES INDETERMINADAS

Propiedades de los límites. Expresiones indeterminadas:

9. CÁLCULO DE LÍMITES.Indeterminación k/0 Se calculan los límites

laterales.

9. CÁLCULO DE LÍMITES.Indeterminación 0/0. Descomponemos en

factores el numerador y el denominador y simplificamos.

9. CÁLCULO DE LÍMITES.Indeterminación ∞/∞. Dividimos numerador y

denominador por la máxima potencia de x del denominador.

10. CONTINUIDAD.Una función es continua en el punto x = a si:

Existe el límite de la función f(x) en x = aLa función está definida en x = a; es decir,

existe f(a).Los 2 valores anteriores coinciden: lim f(x)x a

= f(a).11. DISCONTINUIDADESUna función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o existiendo no coincide con el valor de la función en el mismo.Discontinuidad inevitable: cuando existen los límites laterales y son distintos. Discontinuidad evitable: cuando existe límite y no coincide con el valor de la función en el mismo.

Ejemplos

Ejemplos