Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad BACHILLERATO · 2018. 9. 10. · Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad BACHILLERATO 8 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales

1

Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad BACHILLERATOMatemáticas aplicadas a las

Ciencias Sociales II

Resuelve

Página 131

Piensa y encuentra límites

1. Utiliza tu sentido común para asignar valor a los siguientes límites:

a) l mí8x ∞+

x 2; l mí8x ∞+

x 3; l mí8x ∞+

(x 3 – x 2) b) ∞

l mí8x –

x 2; ∞

l mí8x –

x 3; ∞

l mí8x –

(x 3 – x 2)

c) l mí8x 2

x 2; l mí8x 2

x 3; l mí8x 2

(x 3 – 5x 2 + 3) d) l mí8x ∞+

x1 ; l mí

8x ∞+

x12 ; l mí

8x ∞+

xx

12 +

e) ∞

l mí8x –

x1 ;

∞l mí8x –

x12 ;

∞l mí8x –

x

x12 +

f ) l mí8x 0

x1 ; l mí

8x 0

x12 ; l mí

8x 0

xx

12 +

g) l mí8x ∞+

x

x12

3

+; l mí

8x ∞+

xx x

15–

2

3 2

+ h)

∞l mí8x –

x

x12

3

+;

∞l mí8x –

xx

3 52

+

a) l mí∞8x +

x 2 = + ∞; l mí∞8x +

x 3 = + ∞; l mí∞8x +

(x 3 – x 2) = + ∞

b) l mí8x ∞–

x 2 = + ∞; l mí8x ∞–

x 3 = – ∞; l mí8x ∞–

(x 3 – x 2) = – ∞

c) l mí8x 2

x 2 = 4; l mí8x 2

x 3 = 8; l mí8x 2

(x 3 – 5x 2 + 3) = –9

d) l mí∞8x +

x1 = 0; l mí

∞8x +

x12 = 0; l mí

∞8x +

xx

12 + = 0

e) l mí8x ∞–

x1 = 0; l mí

8x ∞–

x12 = 0; l mí

8x ∞–

xx

12 + = 0

f ) l mí8x 0

x1 = + ∞; l mí

8x 0

x12 = + ∞; l mí

8x 0

xx

12 + = 0

g) l mí∞8x +

x

x12

3

+ = + ∞; l mí

∞8x +

xx x

15–

2

3 2

+ = + ∞

h) l mí8x ∞–

x

x12

3

+ = – ∞; l mí

8x ∞–

xx

3 52

+ = – ∞

2. Tanteando con la calculadora, da el valor de estos límites:

a) l mí8x 0

x

sen x

b) l mí8x 3

(x – 3) · ln (x – 3)

c) l mí8x ∞+

x

1 3 x2+c m

a) l mí8x 0

x

sen x = 1

b) l mí8x 3

(x – 3) · ln (x – 3) = 0

c) l mí∞8x +

x

1 3 x2+d n = e 6 ≈ 403,43

BACHILLERATOUnidad 5. Límites de funciones. Continuidad

2

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

1 Idea grá�ca de los límites de funciones

Página 132

1 Describe mediante un límite cada una de las siguientes ramas:

a) b) c) d)

–1

2

–1

2

–1

2

–1

2

a) ∞

l mí8x –

f (x) = –1; ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞

b) ∞

l mí8x –

f (x) = – ∞; ∞

l mí8x +

f (x) = 2

c) ∞

l mí8x –

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞

d) ∞

l mí8x –

f (x) no existe; ∞

l mí8x +

f (x) no existe

2 Asigna ∞

l mí8x –

y ∞

l mí8x +

a cada una de las siguientes funciones conocidas (dibuja esquemática-

mente su grá�ca):

a) f (x) = x 2 b) f (x) = –x 2 c) f (x) = x 3

d) f (x) = –x 3 e) f (x) = sen x f ) f (x) = tg x

a) ∞

l mí8x –

f (x) = + ∞ b) ∞

l mí8x –

f (x) = – ∞

∞

l mí8x +

f (x) = + ∞ ∞

l mí8x +

f (x) = – ∞

2 4–4 –2

2

4

6

8

–2

Y

X

2 4–4 –2

–6

–4

–2

1

–8

Y

X

c) ∞

l mí8x –

f (x) = – ∞ d) ∞

l mí8x –

f (x) = + ∞

∞

l mí8x +

f (x) = + ∞ ∞

l mí8x +

f (x) = – ∞

2 4–4 –2–2

4

2

6

–4

Y

X

2 4–4 –2–2

4

2

6

–4

Y

X


3


e) ∞

l mí8x –

f (x) no existe f ) ∞

l mí8x –

f (x) no existe

∞

l mí8x +

f (x) = no existe ∞

l mí8x +

f (x) = no existe

2 4–4–6 –2–2

2Y

X

2 4–4 –2–2

4

2

6

–4

Y

X–6

3 Dibuja, en cada caso, una función que cumpla:

a) ∞

l mí8x –

f (x) = 4, l mí8x ∞+

f (x) = – ∞

b) ∞

l mí8x –

f (x) = 3, l mí8x ∞+

f (x) = 3

c) ∞

l mí8x –

f (x) = +∞, l mí8x ∞+

f (x) = – ∞

d) ∞

l mí8x –

f (x) = – ∞, l mí8x ∞+

f (x) = + ∞

a) b)

2 4 6–4 –2–2

4

2

6

–4

–6

Y

X–6

2 4 6–4 –2–2

4

2

Y

X–6

c) d)

2 4 6–4 –2–2

4

2

6

–4

–6

Y

X–6

2 4 6–4 –2–2

4

2

6

–4

–6

Y

X–6


4


Página 133

4 Describe con límites las siguientes ramas:

a) b) c)

1 3–2 –2

3

7

3

4

1 3–2 –2

3

7

3

4

1 3–2 –2

3

7

3

4

a) ∞

l mí8x –

f (x) = – ∞; l mí8x 2– –

f (x) = 3; l mí8x 2– +

f (x) = – ∞

l mí8x 4–

f (x) = + ∞; l mí8x 4+

f (x) = – ∞; ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞

b) ∞

l mí8x –

f (x) = – ∞; l mí8x 2–

f (x) = 1; l mí8x 3

f (x) = – ∞; ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞

c)∞

l mí8x –

f (x) = – ∞; l mí8x 0–

f (x) = + ∞; l mí8x 0+

f (x) = – ∞; l mí8x 7

f (x) = – ∞; ∞

l mí8x +

f (x) = 3

5 Representa una curva que cumpla las seis condiciones siguientes:

∞l mí8x –

f (x) = 4 l mí8x 3– –

f (x) = – ∞ l mí8x 3– +

f (x) = – ∞

l mí8x 5–

f (x) = – ∞ l mí8x 5+

f (x) = + ∞ l mí8x ∞+

f (x) no existe

2 4 6 8 10–4–6–8–10 –2–2

4

2

6

8

–4

–6

–8

Y

X


5


2 Sencillas operaciones con límites

Página 134

1 Todas estas propiedades que acabamos de presentar son muy sencillas y razonables. Y se pueden enunciar en los siguientes términos:

1. El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus límites.

Haz otro tanto con las propiedades 2 a 7 y re�exiona sobre las restricciones que se imponen en algunas de ellas, de modo que las veas razonables (por ejemplo: ¿por qué b ≠ 0 en la propiedad 4?, ¿por qué f (x) > 0 en la propiedad 5?, …).

2. El límite de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de sus límites.

3. El límite del producto de dos funciones es igual al producto de sus límites.

4. El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de sus límites, siempre que el límite del denominador no sea 0 (para que no se produzca una división entre 0).

5. El límite de la potencia de dos funciones es igual a la potencia de sus límites, siempre que la base de la potencia sea positiva (para que tenga sentido la potencia de exponente real).

6. El límite de la raíz de una función es igual a la raíz de su límite. En el caso de que la potencia sea de índice par, además, la función debe ser no negativa (para que se pueda hallar dicha potencia).

7. El límite del logaritmo de una función es igual al logaritmo de su límite (para que tenga sentido el límite y el resultado, es necesario que tanto la función como su límite sean positivos).

Página 135

2 Si, cuando x → +∞, f (x) → +∞, g (x) → 4, h (x) → – ∞, u (x) → 0, asigna, siempre que puedas, límite cuando x → +∞ a las expresiones siguientes:

a) f (x) – h (x) b) f (x)f (x) c) f (x) + h (x) d) f (x)x e) f (x) · h (x)

f ) u (x)u (x) g) f (x)/h (x) h) [–h (x)]h (x) i) g (x)h (x) j) u (x)/h (x)

k) f (x)/u (x) l) h (x)/u (x) m) g (x)/u (x) n) x + f (x) ñ) f (x)h (x)

o) x + h (x) p) h (x)h (x) q) x –x r) f 2(x) + h 2(x) s) f 2(x) – h 2(x)

a) ∞

l mí8x +

( f (x) – h (x)) = + ∞ – (– ∞) = + ∞ + ∞ = + ∞

b) ∞

l mí8x +

f (x)f (x) = (+ ∞)+ ∞ = + ∞

c) ∞

l mí8x +

( f (x) + h (x)) = (+ ∞) + (– ∞) → Indeterminación.

d) ∞

l mí8x +

f (x)x = + ∞+ ∞ = + ∞

e) ∞

l mí8x +

( f (x) · h (x)) = (+ ∞) · (– ∞) = – ∞

f ) ∞

l mí8x +

u (x)u (x) = (0)(0) → Indeterminación.

g) ∞

l mí8x +

( )( )

( ∞)( ∞)

h xf x

–= + → Indeterminación.

h) ∞

l mí8x +

[–h (x)]h (x) = [+ ∞]– ∞ = 0


6


i) ∞

l mí8x +

g (x)h (x) = 4– ∞ = 0

j) ∞

l mí8x +

( )( )

∞h xu x 0

–= = 0

k) ∞

l mí8x +

( )( )

( )∞

u xf x

0= + = ± ∞

l) ∞

l mí8x +

( )( )

( )u xxh

0∞–= = ± ∞

m) ∞

l mí8x +

( )( )

( )u xg x

04= = ± ∞

n) ∞

l mí8x +

(x + f (x)) = + ∞ + (+ ∞) = + ∞

ñ) ∞

l mí8x +

f (x)h (x) = (+ ∞)–∞ = 0

o) ∞

l mí8x +

(x + h (x)) = (+ ∞) + (– ∞) → Indeterminación.

p) ∞

l mí8x +

h (x)h (x) = (– ∞)– ∞ → No existe.

q) ∞

l mí8x +

x –x = (+ ∞)– ∞ = ∞1∞ = 0

r) ∞

l mí8x +

( f 2(x) + h 2(x)) = (+ ∞)2 + (– ∞)2 = + ∞

s) ∞

l mí8x +

( f 2(x) – h 2(x)) = (+ ∞)2 – (– ∞)2 = (+ ∞) – (+ ∞) → Indeterminación.


7


3 Indeterminaciones

Página 136

1 Para x → 4 se dan los siguientes resultados:

f (x) → +∞, g (x) → 4, h (x) → – ∞, u (x) → 0

¿Cuáles de las siguientes funciones son indeterminaciones cuando x → 4? En cada caso, si es inde-terminación, di de qué tipo y, si no lo es, di cuál es el límite:

a) f (x) + h (x) b) f (x)/h (x) c) f (x)–h (x) d) f (x)h (x)

e) f (x)u (x) f ) u (x)h (x) g) [ g (x)/4] f (x) h) g (x) f (x)

a) l mí8x 4

[ f (x) + h (x)] = (+ ∞) + (– ∞) → Indeterminación.

b) l mí8x 4

( )( )

∞∞

h xf x

–= + → Indeterminación.

c) l mí8x 4

f (x)–h (x) = (+ ∞)(+ ∞) = + ∞

d) l mí8x 4

f (x)h (x) = (+ ∞)(– ∞) = 0

e) l mí8x 4

f (x)u (x) = (+ ∞)(0) → Indeterminación

f ) l mí8x 4

u (x)h (x) = (0)(– ∞) = ± ∞

g) l mí8x 4

( )g x4

( )f x

= G = (1)(+ ∞) → Indeterminación

h) l mí8x 4

g (x) f (x) = (4)(+ ∞) = + ∞


8


4 Comparación de in�nitos. Aplicación a los límites cuando x → ±∞

Página 137

1 Indica cuáles de las siguientes expresiones son in�nitos (±∞) cuando x → +∞:

a) 3x 5 – x + 1 b) 0,5x c) –1,5x

d) log2 x e) x 1

13 +

f ) x

g) 4x h) 4–x i) – 4x

Son in�nitos cuando x → + ∞ las expresiones a), c), d), f ), g) e i).No lo son las expresiones b), e) y h).

2 a) Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes in�nitos:

log2 x x x 2 3x 5 1,5x 4x

b) Teniendo en cuenta el resultado anterior, calcula:

l mí8x ∞+

log

xx2 l mí

8x ∞+

xx32

5 l mí

8x ∞+

,x

1 5x

a) 4x; 1,5x; 3x 5; x 2; x ; log2x

b) ∞

l mí8x +

log

xx2 = 0

∞

l mí8x +

xx32

5 = + ∞

∞

l mí8x +

,x

1 5x = 0


9


5 Cálculo de límites cuando x → +∞

Página 139

1 Calcula los siguientes límites:

a) ∞

l mí8x +

x x

x x5 3

3 6 1–3 2

4

++ b)

∞l mí8x +

x x

x x5 3

3 6 1–

–3 2

4

++

c) ∞

l mí8x +

xx x

16 3–

3

2

+ d)

∞l mí8x +

x x

x x3 1

5 6 2–

–4

4

++

a) ∞

l mí8x +

x x

x x5 3

3 6 1–3 2

4

++ = + ∞ b)

∞l mí8x +

x x

x x5 3

3 6 1–

–3 2

4

++ = – ∞

c) ∞

l mí8x +

xx x

16 3–

3

2

+ = 0 d)

∞l mí8x +

x x

x x3 1

5 6 2–

–4

4

++ =

35

2 Calcula:

a) ∞

l mí8x +

( )

( ) ( )x xx x x

33 1 1

––

3 3

2

++

b) ∞

l mí8x +

( )x xx x

103 1

–3

2+

c) ∞

l mí8x +

x x

x x2

5 3–

–2

3 +

d) ∞

l mí8x +

x

x x3

8 5–33

a) ∞

l mí8x +

( )

( ) ( )x xx x x

33 1 1

––

3 3

2

++ =

∞l mí8x + ( )x x x x

x x x x9 27 27

9 3 5–

– – –3 3 2

4 3 2

+ + +=

∞l mí8x +

∞x x

x x x x9 27 27

9 3 5– – –

– – – –2

4 3 2=

b) ∞

l mí8x +

( )x xx x

103 1

–3

2+ = ∞

l mí8x +

x x

x x x10

9 6 9–3

3 2+ + =

c) ∞

l mí8x +

x x

x x2

5 3–

–2

3 + = + ∞

d) ∞

l mí8x +

x

x x3

8 5–33 =

∞l mí8x +

xx

38 33

= ∞

l mí8x +

xx

32

32=

3 Sin operar, di el límite, cuando x → +∞, de las siguientes expresiones:

a) x x2 1–2 3 +` j b) (x 2 – 2x)

c) x x1 –2 + d) 3x – 2x

e) 5x – x 2–83 f ) x – log5 x 4

a) ∞

l mí8x +

x x2 1–2 3 +` j = + ∞

b) ∞

l mí8x +

(x 2 – 2x) = – ∞

c) ∞

l mí8x +

x x1 –2 +` j = + ∞

d) ∞

l mí8x +

(3x – 2x) = + ∞

e) ∞

l mí8x +

(5x – x 2–83 ) = + ∞

f ) ∞

l mí8x +

( x – log5 x 4) = + ∞


10


4 Calcula el límite, cuando x → +∞, de estas expresiones:

a) xx

xx x

23 5

24–

––3 3

++ b)

xx x

2 1 2–2

3

+

c) xx

x2

3 5 2– –2+ d) x x x 1–2 2+ +

e) 2x – x x2 + f ) x x1 2–+ +

a) ∞

l mí8x +

xx

xx x

23 5

24–

––3 3

++e o =

∞l mí8x +

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )x x

x x x x x2 2

3 5 2 4 2–

– – –3 3

++ + =

= ∞

l mí8x +

x

x x x x x x x4

3 6 5 10 4 8 2–

– – – –2

4 3 4 3 2+ + + =

= ∞

l mí8x +

∞x

x x x x4

14 7 10–

– – – –2

4 3 2+ + =

b) ∞

l mí8x +

xx x

2 1 2–2

3

+e o =

∞l mí8x +

( )

( )x

x x x2 2 1

2 2 1–2

3 2

++ =

∞l mí8x +

x

x x x4 2

2 2– –2

3 3

+=

∞l mí8x +

x

x4 2

0–2 +

=

c) ∞

l mí8x +

xx

x2

3 5 2– –2+d n = ∞

l mí8x +

x

x x x2

3 5 2 4–2 2+ + = ∞

l mí8x +

∞x

x x25 42 + + = +

d) ∞

l mí8x +

x x x 1–2 2+ +` j = ∞

l mí8x +

x x

x x

x

x x x x

1

1 1–2

2

2

2 2 2

+

+

+ +

+ + + +a ak k =

= ∞

l mí8x +

x xx x x

x11

– –2

2 2

2++

+ + =

∞l mí8x +

x x

xx

11 1

121

1–

2 2+=

+=

+ +

e) ∞

l mí8x +

x x x2 – 2 +` j = ∞

l mí8x +

x x x

x x x x x x

2

2 2–2

2 2

+ +

+ + +a ak k =

= ∞

l mí8x +

x x xx x x

24 – –

2

2 2

+ + =

∞l mí8x +

x x x

x x2

3 –2

2

+ + = + ∞

f ) ∞

l mí8x +

x x1 2–+ +` j = ∞

l mí8x +

x

x

x

x x x

1

1

2

2 1 2–

+

+

+ +

+ + + +` `j j =

= ∞

l mí8x +

xx x

x11 2

2– –

++

+ + =

∞l mí8x +

x x1

1 02

–+

=+ +


11


6 Cálculo de límites cuando x → – ∞

Página 140

1 Halla el ∞

l mí8x –

de las siguientes expresiones:

a) x x

x x3 1

5 6 2–

–4

4

++

b) x x

x x2

5 3–

–2

3 +

a) ∞

l mí8x – x x

x x3 1

5 6 2–

–4

4

++ =

∞l mí8x + x x

x x3 15 6 2

35

– –4

4 + + =

b) ∞

l mí8x – x x

x x2

5 3–

–2

3 + = ∞

l mí8x +

x xx x

25 3–

2

3

++ +

No existe, pues el radicando toma valores negativos cuando x → – ∞.

2 Halla el ∞

l mí8x –

de las siguientes expresiones:

a) x

x x3 2

5 3–

–2 +

b) xx

xx x

23 5

24–

––3 3

++

c) 3x

a) ∞

l mí8x – x

x x3 2

5 3–

–2 + = ∞

l mí8x +

x

x x3 2

5 3– –

2 + + = ∞

l mí8x +

x

x3–

2 =

∞l mí8x +

x

x3 3

1–

–=

b) ∞

l mí8x – x

xxx x

23 5

24–

––3 3

++ =

∞l mí8x +

xx

xx x

23 5

24

–– –

– –– –3 3

++ =e o

= ∞

l mí8x +

x

x x x x x x x4

3 5 6 10 4 8 2–

– – – –2

4 3 4 2 3+ + + =

= ∞

l mí8x +

∞x

x x x x4

14 7 10–

– – – –2

4 3 2+ + =

c) ∞

l mí8x –

3x = ∞

l mí8x +

3–x = ∞

l mí8x +

31 0x =


12


8 Cálculo de límites cuando x → c

Página 142

1 Halla los siguientes límites:

a) l mí8x 2

x

x3

3 2–

+ b) l mí8x 5

x x5 4–2 +

c) l mí8x 0

(3 – sen 2x) d) l mí8x 1–

e 3x + 4

a) íl m8x 2

x

x3

3 2–+ = –7 b) l mí

8x 5 x x5 4–2 + = 2

c) l mí8x 0

(3 – sen 2x) = 3 d) l mí8x 1–

e 3x + 4 = e

2 Halla el límite cuando x → 5 de las siguientes funciones:

a) f (x) = ,

,x xx

xx

5 14

55

––

≤>

2 +* b) g (x) =,

( ) ,xx

x

2

21

5

5– ≥

<x

2*a)

( )

( )

l m x x

l m x

5 1 1

4 1

–

–

í

í8

8

x

x

52

5

–+ =

=+

_

`

a

bb

b → Los límites laterales coinciden y l mí

8x 5 f (x) = 1.

b)

( )

( )

l m

l m x

2 32

21 8–

í

í

8

8

xx

x

5

5

2

–=

=+

_

`

a

bb

bb → Los límites laterales no coinciden y no existe l mí

8x 5 g (x).

Página 143

3 Calcula los límites siguientes:

a) l mí8x 1– x x

x x x6 7

2 2 5– –

–2

3 2 + + b) l mí8x 4 x x x

x x2 3

5 1–

–3 2

3

++

a) íl m8x 1– x x

x x x6 7

2 2 5– –

–2

3 2 + + = íl m8x 1–

( ) ( )

( ) ( )x x

x x x1 7

1 3 5–

–2

++ + = íl m

8x 1–

xx x

73 5

89

89

––

––2 + = =

b) l mí8x 4 x x x

x x2 3

5 1–

–3 2

3

++ =

8445

2815=

4 Calcula: l mí8x 0

x x

x xx x

x x2

5 2 2 1– –2

2

3

3

++

++ +e o

l mí8x 0

x x

x xx x

x x2

2 2 15– –2

2

33

++

++ +e o = l mí

8x 0

( ) ( )x xx x

x xx x

25 2

12 1– –

2

2

3

++

++ +f p =

= l mí8x 0

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )x x x

x x x x x x2 1

1 5 2 2 2 1– –2

2 2 3

+ ++ + + + + =

= l mí8x 0

( ) ( )x x x

x x x x x x x x x x2 1

5 2 5 2 2 2 4 2– – – – – – – –2

4 3 2 2 4 2 3

+ ++ + + =

= l mí8x 0

( ) ( )x x xx x x

2 17 10––

2

3 2

+ ++ = l mí

8x 0

( ) ( )( )

x x xx x x

2 17 10– –

2

2

+ ++ = l mí

8x 0

( ) ( ) ·x xx x

2 17 10

2 110 5– – – –2

2

+ ++ = =


13


Ejercicios y problemas resueltos

Página 144

1. Operaciones con límites

Hazlo tú. Siendo f, g, h, u y v las funciones anteriores, calcula el límite de estas funciones cuando x → + ∞:

a) v (x)u (x) b) u (x)g (x) c) g (x) · u (x)

a) ∞

l mí8x +

v (x)u (x) = (0,4)(+ ∞) = 0

b) ∞

l mí8x +

u (x)g (x) = (+ ∞)(– ∞) = 0

c) ∞

l mí8x +

[ g (x) · u (x)] = (– ∞) · (+ ∞) = – ∞

3. Comparación de in�nitos

Hazlo tú. Comparando los órdenes de in�nito, asigna límite a estas expresiones:

a) l mí8x ∞+

x10 52

–

x

2 b) l mí8x ∞+

x

x10 5

1–

–2

5

a) ∞

l mí8x +

x10 52

–x

2 = + ∞ porque cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un in�nito de orden superior a cualquier potencia.

b) ∞

l mí8x +

xx

10 51

––

2

5 = + ∞ porque el numerador tiene mayor grado que el denominador.

Página 145

4. Límite en un punto

Hazlo tú. Calcula:

a) l mí8x 2

x x x

x2

221

––

–2+c m b) l mí

8x 0 f (x) siendo: f (x) = x x

x x

x

x

x

3

2 3

0

0–

– si

si ≥

<2

2

+*

a) l mí8x 2

x x x

x2

221

––

–2+d n = (+ ∞) – (+ ∞) → Indeterminación.

Efectuamos la resta:

l mí8x 2 ( )x x x

x2

22

1–

––+d n = l mí

8x 2 ( )x xx

21

––

( )

( )

l mx x

x

l mx x

x

21

21

–– – ∞

–– ∞

í

í

8

8

x

x

2

2

–=

= ++

b) Como la función está de�nida mediante diferentes expresiones a la izquierda y a la derecha de x = 0, calculamos los límites laterales:

l mí8x 0–

f (x) = l mí8x 0–

( )( )

x xx x3

00

––

2

2= = l mí

8x 0– ( )( )

x xx x

13

–– = l mí

8x 0– xx

13 3

–– =

l mí8x 0+

f (x) = l mí8x 0+

(2x + 3) = 3

Como los límites laterales coinciden, el límite existe y vale 3.


14


5. Discontinuidades

Hazlo tú. Determina los puntos de discontinuidad de f (x) y clasi�ca sus discontinuidades.

f (x) = x xx x

4 216

–– –

2

2

+

Hallamos las raíces del denominador: x 2 + 4x – 21 = 0 → x = 3, x = –7. En estos puntos la función no está de�nida. Estudiamos los límites en dichos puntos:

l mí8x 3 ( )

( )x xx x

4 216

00

–– –

2

2

+= = l mí

8x 3 ( ) ( )( ) ( )x xx x

3 73 2

––

++ = l mí

8x 3 xx

72

105

21

++ = =

l mí8x 7– x x

x x4 21

6–

– –2

2

+

l mx xx x

l mx xx x

4 216

4 216

–– – ∞

–– – – ∞

í

í

8

8

x

x

7 2

2

7 2

2

–

–

– += +

+=

+

En x = 3 tiene una discontinuidad evitable porque el límite es �nito en ese punto.En x = –7 tiene una discontinuidad de salto in�nito y, por tanto, una asíntota vertical.

Página 146

6. Cálculo de límites

Hazlo tú. Calcula los límites siguientes:

a) l mí8x ∞+

x

x3

4 2–x2 1–

c m b) l mí8x ∞+

(log x)1 – 3x c) ∞

l mí8x –

| |xx

11

––2

d) l mí8x ∞+

e ee e

–x x

x x

–

–+

a) ∞

l mí8x +

x

x3

4 2– x2 1–d n = ∞

34

( ∞)= +

+d n

b) ∞

l mí8x +

(log x)1 – 3x = (+ ∞)(– ∞) = 0

c) ∞

l mí8x –

| |xx

11

––2

= ( ∞)( ∞)++ → Indeterminación.

∞

l mí8x –

| |xx

11

––2

= ∞

l mí8x –

∞x

x11

––2

+= + (cuando x → – ∞, x – 1 < 0).

d) ∞

l mí8x +

e ee e

–x x

x x

––+ =

( ∞)( ∞)++ Indeterminación.

∞

l mí8x +

e ee e

–x x

x x

––+ =

∞l mí8x +

1+

eeee

1 – x

x

x

x

–

–

=∞

l mí8x +

1+

e

e1 1

1

– x

x

2

2 =

1 01 0 1

–+ =

7. Límites con radicales

Hazlo tú. Calcula.

a) l mí8x 1

x

x2 3

1–

–+

b) ∞

l mí8x +

( )x x3 2– –2

a) l mí8x 1

x

x2 3

1–

–+

= ( )( )00 = l mí

8x 1 (( ) (

) ( ))

xx x

x2 31 2 3

2 3––

++ +

+ + = l mí

8x 1 ( )( ) ( )

xx x

4 31 2 3

––

++ + =

= l mí8x 1

( ) ( )x

x x1

1 2 3–

– + + = l mí8x 1

[ ( )]x2 3 4– –+ + =


15


b) ∞

l mí8x +

( )x x3 2– –2 = (+ ∞) – (+ ∞) = ∞

l mí8x +

( ) ( )x

xx

x x x3 2

3 2 3 2–

– – –2

2 2

++ =

∞l mí8x +

x

x xx3 2

3 2–

– –2

2 2

+ =

= ∞

l mí8x + x

xx3 2

2 2––

2

2

+ = + ∞ ya que el denominador equivale a un polinomio de grado 1 y, por tanto,

el numerador tiene mayor grado que el denominador.

Página 147

8. Función continua de�nida en intervalos

Hazlo tú. Calcula a y b para que la siguiente función sea continua:

f (x) = x

a

x

x b

x

x

x

1

3 4

1

1 11–

si ≤ –

si –si ≥

< <

2

2

2

+

++

*La función es continua, cualesquiera que sean a y b, siempre que x ≠ –1 y x ≠ 1, ya que está de�nida mediante funciones continuas en los intervalos de de�nición. Estudiamos los límites en x = –1 y en x = 1:

( )

l mx

a

l m

a

x

1 1

3 4 7

í

í

8

8

x

x

21

12

–

–

–+ =

=

+

++

e o 4 Para que sea continua en x = –1, debe ser 1 + a = 7 → a = 6.

( )

( )

l m

l m

x

x b b

3 4 7

1– –

í

í

8

8

x

x

1

1

2

2

–=

=

+

+ ++

4 Para que sea continua en x = 1, debe ser 7 = –1 + b → b = 8.

Si a = 6 y b = 8, la función es continua en x = –1 y en x = 1, porque l mí8x 1–

f (x) = f (–1) = 7 y l mí8x 1

f (x) = f (1) = 7.

9. Tipos de discontinuidades

Hazlo tú. Estudia la continuidad de la función f (x) según los valores del parámetro a:

f (x) = xx a

x24

––+

La función no está de�nida en x = 2 y en x = 0.

Como el denominador de la primera fracción de f (x) se anula cuando x = 2, vamos a distinguir dos casos:

•Casoa = –2:

f (x) = xx

x22 4

–– – . Estudiamos los límites en x = 2 y en x = 0.

l mí8x 2

f (x) = l mí8x 2 x

xx2

2 4–– –d n = l mí

8x 2

x1 4–d n = –1

l mí8x 0

f (x) = l mí8x 0 x

xx2

2 4–– –d n

l mx

l mx

1 4

1 4

– ∞

– – ∞

í

í

8

8

x

x

0

0

–= +

=+

d

d

n

n

Tiene una discontinuidad evitable cuando x = 2 y una discontinuidad de salto in�nito cuando x = 0.


16


•Casoa ≠ –2:

f (x) = ( )x

x ax x x

x ax x2

424 8

––

––2+ = + + . Estudiamos los límites en x = 2 y en x = 0.

l mí8x 2

f (x) = l mí8x 2

( ) ( )

( )x x

x ax x a24 8

04 2

––2 + + = + = ± ∞ ya que el numerador es distinto de 0 por ser

a ≠ –2.

l mí8x 0

f (x) = l mí8x 0

( )x x

x ax x24 8

––2 + +

( )

( )

l mx x

x ax x

l mx x

x ax x

24 8

24 8

–– ∞

–– – ∞

í

í

8

8

x

x

0

2

0

2

–+ + = +

+ + =+

En este caso tiene dos discontinuidades de salto in�nito en x = 2 y en x = 0.

Página 148

10. Función continua

Hazlo tú. Calcula el valor de a y de b para que la siguiente función sea continua en x = 3:

f (x) = xx a

bx

x

x36

3

3––

–

si

si ≥

<2

*

La función será continua en x = 3 si l mí8x 3

f (x) = f (3). Comprobemos esto.f (3) = 3b – 6Para calcular l mí

8x 3 f (x), hallamos los límites laterales en x = 3:

• l mí8x 3–

f (x) = l mí8x 3–

( )

( )xx aa

3 09

–– –2

=

Para que este límite sea �nito, el numerador debe tender a 0, y, por tanto, a = 9. En tal caso:

l mí8x 3–

f (x) = l mí8x 3–

xx

39

––2

= l mí8x 3–

( ) ( )x

x x3

3 3–

–+ = l mí8x 3–

(x + 3) = 6

• l mí8x 3+

f (x) = l mí8x 3+

(bx – 6) = 3b – 6

Para que exista límite debe ser 6 = 3b – 6 → b = 4. Si a = 9 y b = 4, la función es continua en x = 3 ya que l mí

8x 3 f (x) = f (3) = 6.

11. Continuidad en un punto

Hazlo tú. Estudia la continuidad de la función f (x) y clasi�ca sus discontinuidades.

f (x) = | |x

xx x

x1

0

0

si ≠

si

2 +

=*

Para x < 0, f (x) = x 2 + xx

– = x 2 – 1 es una función continua.

Para x > 0, f (x) = x 2 + xx = x 2 + 1 es una función continua.

Estudiamos la continuidad en x = 0:

(

( )

)l m

l m x

x

1 1

1 1– –í

í8

8

x

x2

0

0

2–

+ =

=

+

_

`

a

bb

b → No existe el límite porque los límites laterales son distintos.

f (0) = 1

La función presenta en x = 0 una discontinuidad inevitable de salto �nito.


17


Ejercicios y problemas guiados

Página 149

1. Límite de una diferencia de radicalesCalcular el valor de a para que el siguiente límite sea �nito y hallar su valor:

∞l mí8x +

( )x ax x2 3– 2 +

Para que el límite se pueda calcular debe existir la raíz y para ello, el radicando debe ser positivo cuando x es muy grande. Por tanto, a > 0.

∞

l mí8x +

( )x ax x2 3– 2 + = (+ ∞) – (+ ∞) = ∞

l mí8x +

( ) ( )x ax x

x ax x x ax x2 3

2 3 2 3–2

2 2

+ ++ + + =

= ∞

l mí8x +

( )x ax x

x ax x2 3

4 3–2

2 2

+ ++ =

∞l mí8x +

( )x ax x

a x x2 34 3– –

2

2

+ +

Para que el límite exista, los grados del numerador y del denominador deben ser iguales. Como el denomi-nador tiene grado 1, el numerador también debe tener grado 1 y, por tanto, debe ser a = 4.

En tal caso, ∞

l mí8x + x x x

x2 4 3

343– –

2+ += .

2. Función continuaEstudiar la continuidad de esta función según los valores de a:

f (x) = x a

x axsi xsi x

25

11

––

≤>2

++

)

La función es continua cuando x ≠ 1 porque las funciones que intervienen son continuas al ser funciones polinómicas.Veamos la continuidad en x = 1:

íl m8x 1–

(–2x + a) = –2 + a l mí8x 1+

(x 2 – ax + 5) = 6 – a

Para que exista el límite, los límites laterales deben ser iguales. Por tanto:–2 + a = 6 – a → a = 4

Para el valor obtenido de a la función es continua porque l mí8x 1

f (x) = f (1).

Si a ≠ 4, entonces la función tiene una discontinuidad inevitable de salto �nito en x = 1 al existir los límites laterales en dicho punto y ser distintos.

3. Continuidad en un puntoDada la siguiente función:

f (x) = ln

ek

x

si xsi xsi x1

000–

<

>

( )/x x2–2

=*

a) ¿Existe algún valor de k para el cual f (x) sea continua?

b) Hallar el límite cuando x → + ∞ y cuando x → – ∞ de la función.

a) Veamos la continuidad en x = 0:

l mí8x 0–

e xx 2–2

= e (+ ∞) = + ∞ l mí8x 0+

(1 – ln x ) = + ∞

No existe ningún valor de k ya que los límites laterales en el punto x = 0 no existen.


18


b) ∞

l mí8x +

f (x) = ∞

l mí8x +

(1 – ln x ) = – ∞

∞

l mí8x –

e xx 2–2

= e (– ∞) = 0

4. Tipos de discontinuidadesa) Determinar el valor de k para que la función f (x) sea continua en x = 3.

f (x) = | |

xx

kxx

23

33

––

si ≠si =

*

b) ¿Tiene f (x) alguna discontinuidad? En caso a�rmativo, clasifícala.

a) La función, de�nida por intervalos, es:

f (x) = x

x

k

xx

xx

x

2 3

2 3

33

3

– –

– –

sisisi

<

>=*

Para que la función sea continua en x = 3, se debe cumplir que l mí8x 3

f (x) = f (3):

( )

( ) ( )8

f k

l m f xl m

xx

l mx

xl m f x

3

2 3 2

2 3 22

– –

– –í

í

íí

8

8

8

8x

x

x

x3

3

3

3

–

=

==

==

+

d

d

n

n* 4 4 → k = 2

b) La función no está de�nida cuando x = 0 ya que se anula el denominador de la fracción. Estudiamos el tipo de discontinuidad en este punto:

l mí8x 0

f (x) = l mí8x 0 x

x2 3– –d n =

l mx

x

l mx

x

2 3

2 3

– – ∞

– – – ∞

í

í

8

8

x

x

0

0

–= +

=+

d

d

n

n

Z

[

\

]]

]]

En x = 0 tiene una discontinuidad de salto in�nito.


19


Ejercicios y problemas propuestos

Página 150

Para practicar

Límites cuando x → ± ∞

1 Calcula los límites cuando x → – ∞ de estas funciones:

a) f (x) = x

x22 5

–+ b) g (x) =

xx

110 5–

2 +

c) h (x) = x

x2 3

3 4–2

+ d) i (x) =

xx x7 5

23

3

++

a) ∞

l mí8x – x

x22 5

–+ =

∞l mí8x + x

x22 5 2– –

++ =

b) ∞

l mí8x – x

x1

10 5–2 +

= 0

c) ∞

l mí8x – x

x2 3

3 4–2

+ =

∞l mí8x +

∞x

x2 3

3 4–

– –2

+=

d) ∞

l mí8x – x

x x7 5

23

3

++ =

∞l mí8x + x

x x7 5

251

–– –

3

3=

2 Calcula los siguientes límites comparando los exponentes del numerador y del denominador:

a) ∞

l mí8x +

x

x x2 1

3 62

++ b)

∞l mí8x +

xx

15 7–2

+

c) ∞

l mí8x +

x

x2 31

–+ d)

∞l mí8x +

x

x2

33 +

a) ∞

l mí8x +

xx x

2 13 62

++ =

∞l mí8x + x

x23

23=

b) ∞

l mí8x +

xx

15 7–2

+ = + ∞

c) ∞

l mí8x +

x

x2 31

–+ = 0

d) ∞

l mí8x +

x

x2

33 +

= 0

3 Calcula estos límites comparando los órdenes de in�nito:

a) l mí8x ∞+

(e x – x 3) b) l mí8x ∞+

( )lnx

x 12 +

c) l mí8x ∞+

e

x 1x

2 + d) l mí8x ∞+

( )x x x 7–2 + +

a) ∞

l mí8x +

(e x – x 3) = + ∞

b) ∞

l mí8x +

( )lnx

x 12 + = 0

c) ∞

l mí8x +

e

x 1x

2 + = 0

d) ∞

l mí8x +

( )x x x 7–2 + + = + ∞


20


4 Calcula el límite de estas funciones cuando x → + ∞:

a) f (x) = ( )xx x2 1

5 2 1–

–2

2 + b) g (x) = log

logx

x x+

c) h (x) = x

x2 1

3 2+

+ d) i (x) = 2 13 2·

x

x

+

e) j (x) = x

x11–

3

2

+ f ) k (x) =

xx

4 32 5

–2+

g) l (x) = 2 x – 3x h) m (x) = x

xx

x3 5–

––

2 2

a) ∞

l mí8x +

( )xx x2 1

5 2 1–

–2

2 + = ∞

l mí8x +

x xx x

4 4 15 2 1

45

––

2

2

++ =

b) ∞

l mí8x + log

logx

x x+ =

∞l mí8x +

log x

x 1+d n = + ∞ + 1 = + ∞

c) ∞

l mí8x +

x

x2 1

3 2+

+ = ∞

l mí8x +

xx2

222

22 2 2= = =

d) ∞

l mí8x +

·2 13 2

x

x

+ = 3

e) ∞

l mí8x +

x

x11–

3

2

+ =

∞l mí8x +

xx

3

2 = + ∞

f ) ∞

l mí8x +

xx

4 32 5

–2+ =

∞l mí8x +

xx

42 1

2=

g) ∞

l mí8x +

2 x – 3x = ∞

l mí8x +

–3x = – ∞

h) ∞

l mí8x +

x

xx

x3 5–

––

2 2 =

∞l mí8x +

( ) ( )x x

x x x x3 5

5 3– –

– –2 3 3 2+ = – ∞

5 Calcula estos límites:

a) ∞

l mí8x –

x

x2 1

23

+ b)

∞l mí8x –

(1,5x – x 3)

c) ∞

l mí8x –

xx

x3

––2e o d)

∞l mí8x –

x

x1 2

5–

–2

e) l mí8x ∞+

x

x x x15

23– –

2

+e o f ) l mí

8x ∞+ (x x x2–2 4 + )

g) l mí8x ∞+

,x

x1 21

3–x 2

+e o h) l mí

8x ∞+

xx

2 53 4 x 1–

++c m

a) ∞

l mí8x –

x

x2 1

23

+ = 0 porque el numerador tiene menor grado que el denominador.

b) ∞

l mí8x –

(1,5x – x 3) = + ∞ porque el in�nito de una exponencial con base mayor que 1 es de orden superior que el de una potencia.

c) ∞

l mí8x –

xx

x3

––2e o =

∞l mí8x –

x

x3

3 3–

– –= porque el numerador tiene el mismo grado que el deno-minador.

d) ∞

l mí8x –

x

x1 2

5–

–2 =

∞l mí8x –

x

x2–

2 =

∞l mí8x –

xx2 2

1–– =


21


e) ∞

l mí8x +

x

x x x15

23– –

2

+e o =

∞l mí8x +

( )

( )x

x x x x2 1

2 10 3 1– –2

++f p =

= ∞

l mí8x +

x

x x x x2 2

2 10 3 3– – –2 2

+ =

∞l mí8x +

∞x

x x2 2

13– – –2

+=

f ) ∞

l mí8x +

(x x x2–2 4 + ) = ∞

l mí8x +

( ) ( )

x x x

x x x x x x

2

2 2–2 4

2 4 2 4

+ +

+ + + = ∞

l mí8x +

( )

x x x

x x x

2

2–2 4

4 4

+ +

+ =

= ∞

l mí8x +

x x xx x x

22– –

2 4

4 4

++ =

∞l mí8x +

x x x

x2

2–2 4+ +

= 0

g) ∞

l mí8x +

,x

x1 21

3–x 2

+e o = + ∞

h) ∞

l mí8x +

xx

2 53 4 x 1–

++d n =

23

∞+d n = + ∞

6 Calcula el límite cuando x → + ∞ y cuando x → – ∞ de estas funciones y representa grá�ca-mente los resultados.

a) f (x) = x

e1–

x

2 b) g (x) =

log xx x2

2

2 + c) h (x) = x x

x5 4

1–2

2

+ +

d) i (x) = x x

x x2 2

2–

–2

2 + e) j (x) = xx

3 12 3

–2+ f ) k (x) =

xx

xx

1 1––

2

2

3

+

a) ∞

l mí8x +

x

e1–

x

2 = + ∞

∞

l mí8x –

x

e1–

x

2 = ∞

l mí8x + x

e1–

x

2

– = 0

El in�nito de una función exponencial es de mayor orden que el de una función potencial.

2 4–4–6–8–10 –2–2

4

2

–4

b) ∞

l mí8x +

log xx x2

22 + = + ∞

∞

l mí8x –

log xx x2

2

2 + = ∞

l mí8x +

log x

x x2–2

2 = + ∞

El in�nito de una función potencial es de mayor orden que el de un logaritmo.

2 4 6–4–6–8 –2

4

10

8

6

12

2

–2

–4

c) ∞

l mí±8x x x

x4

1 15–

2

2

+ +=

2 4 6 8–4–6–8–10–12–14–16–18 –2

4

8

6

2

–2

–4


22


d) ∞

l mí±8x x x

x x2 2

221

––

2

2 + =

2 4 6–4–6 –2

4

6

2

–2

–4

–6

e) ∞

l mí8x +

xx

3 12 3

–2+ =

∞l mí8x +

xx

32

2 =

∞l mí8x +

xx3

232=

∞

l mí8x –

xx

3 12 3

–2+ =

∞l mí8x +

xx

3 12 3

32

–– –

2+ =

4 6–4–6 –2

4

6

2—√

—3

–2—√

—3

f ) ∞

l mí8x +

xx

xx

1 1––

22

3

+ = (+ ∞) – (+ ∞) → Indeterminación.

∞

l mí8x +

x x x

x x1

1– –3 2

3 2

++ =

∞

l mí8x –

x

xx

x1 1–

–2

2

3

+f p =

∞l mí8x +

xx

xx

1 1– –2

2

3+

+f p =

= ∞

l mí8x +

x x x

x x1

1–3 2

3 2

+ + +=

2 4 6–4–6 –2–2

4

2

6

–4

–6

Límites en un punto

7 Sabiendo que:

l mí8x 2

p (x) = + ∞ l mí8x 2

q (x) = – ∞ l mí8x 2

r (x) = 3 l mí8x 2

s (x) = 0

di, en los casos en que sea posible, el valor de los siguientes límites:

a) l mí8x 2

( )( )

p xs x

b) l mí8x 2

[s (x)]p (x)

c) l mí8x 2

| s (x) · q (x) |

d) l mí8x 2

| p (x) – 2q (x) |

a) l mí8x 2

( )( )

p xs x =

∞0 0

+=

b) l mí8x 2

[s (x)]p (x) = 0+ ∞ = 0

c) l mí8x 2

| s (x) · q (x) | = (0) · (– ∞) → Indeterminado.

d) l mí8x 2

| p (x) – 2q (x) | = + ∞ – 2 (– ∞) = + ∞ + (+ ∞) = + ∞


23


8 Calcula estos límites. Si alguno es in�nito, calcula los límites laterales:

a) l mí8x 1

x

x x1

7 6–

–2 + b) l mí8x 1

( ) ( )x x

x x x1 2

4 5 2– –

– –3

3 2 +

c) l mí8x 0

x xx x

3 155

–2

3 2+ d) l mí8x 2

x x x

x x8 12

3 10– –

–3 2

2

++

a) l mí8x 1

x

x x1

7 6–

–2 + = ( )( )00 = l mí

8x 1( ) ( )

xx x

11 6

–– – = l mí

8x 1[–(x – 6)] = 5

b) l mí8x 1

( ) ( )x x

x x x1 2

4 5 2– –

– –3

3 2 + = ( )( )00 = l mí

8x 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )

x x x xx x x1 1 2

1 3 2– –

– –2

2

+ ++ = l mí

8x 1 ( ) ( )x x xx x

1 23 2 0

––

2

2

+ ++ =

c) l mí8x 0

x xx x

3 155

–2

3 2+ = l mí8x 0 x

x x3 15

5 0–

2 + =

d) l mí8x 2

x x x

x x8 12

3 10– –

–3 2

2

++ =

( )( )00 = l mí

8x 2 ( ) ( )( ) ( )

x x xx x

2 65 2

– ––

2 ++ =

= l mí8x 2 x x

x6

5–2 +

+ =

l mí8x 2–

∞x x

x6

5–

–2 ++ =

l mí8x 2+

∞x x

x6

5–2 +

+ = +

9 Calcula y representa los resultados obtenidos.

a) l mí8x 1

( ) ( )x x x1

21

1–

––2= G b) l mí

8x 2

x x x5 63

24

––

–2 += G

a) l mí8x 1

( ) ( )x x x1

21

1–

––2= G = l mí

8x 1 ( )x xx

11

– 2+ = + ∞

2 4 6 8 10–4–6–8–10 –2

4

10

8

6

12

14

2

–2

Y

X

b) l mí8x 2

x x x5 6

32

4–

––2 +

= G = l mí8x 2 x x

x5 6

4 15–

–2 +

+ =

=

l mí8x 2– x x

x5 6

4 15–

–2 +

+ = + ∞

l mí8x 2+ x x

x5 6

4 15–

–2 +

+ = – ∞

2 4 6 8 10–4–6–8–10 –2

20

40

30

10

–10

–20

–30

–40

Y

X


24


10 Observa las grá�cas y di, en cada caso, cuál es el límite cuando x → 0–, x → 0+, x → + ∞ y x → – ∞.

a) b)

a) l mí8x 0–

f (x) = – ∞ l mí8x 0+

f (x) = – ∞ b) l mí8x 0–

f (x) = –2 l mí8x 0+

f (x) = 2

∞

l mí8x –

f (x) = 2 ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞ ∞

l mí8x –

f (x) = + ∞ ∞

l mí8x +

f (x) = 0

11 Estudia el límite de las siguientes funciones en los puntos en los que se anula su denominador. Representa grá�camente los resultados obtenidos:

a) f (x) = x x

x x2 2

2–

–2

2 + b) f (x) = x x

x x6 8

4–

–2

2

+

c) f (x) = x x

x5 4

1–2

2

+ + d) f (x) =

x x xx x

3 105

– ––

3 2

3 2

a) 2x 2 – 2x = 0 → x = 0, x = 1

l mí8x 0 x x

x x2 2

2–

–2

2 + = l m

x xx x

l mx x

x x2 2

2

2 22

–– – ∞

–– ∞

í

í

8

8

x

x

0 22

0 22

–+ =

+ = ++

l mí8x 1 x x

x x2 2

2–

–2

2 + = ( )( )00 = l mí

8x 1 ( )( ) ( )

x xx x2 1

1 2–

– + =

= l mí8x 1 x

x2

223+ =

2 4 6–4 –2–2

4

6

2

–4

–6

b) x 2 – 6x + 8 = 0 → x = 2, x = 4

l mí8x 2 x x

x x6 8

4–

–2

2

+=

l mx x

x x

l mx x

x x6 8

4

6 84

–– – ∞

–– ∞

í

í

8

8

x

x

2 22

2 22

– +=

+= +

+

l mí8x 4 ( )

( )x x

x x6 8

400

––

2

2

+= = l mí

8x 4 ( ) ( )( )

x xx x

2 44

– –– =

= l mí8x 4 x

x2

2–

=

2 4 6–4–6 –2–2

4

2

6

–4

–6

c) x 2 + 5x + 4 = 0 → x = – 4, x = –1

l mí8x 4– x x

x5 4

1–2

2

+ +=

l mx x

x

l mx x

x5 4

1

5 41

– ∞

– – ∞

í

í

8

8

x

x

4 22

4 22

–

–

– + += +

+ +=

+

l mí8x 1– x x

x5 4

1–2

2

+ + =

( )( )00 = l mí

8x 1– ( ) ( )( ) ( )x xx x

1 41 1–

+ ++ =

= l mí8x 1– x

x41

32– –

+=

2 4 6–4–6 –2–2

4

2

6

–4

–6


25


d) x 3 – 3x 2 – 10x = 0 → x (x 2 – 3x – 10) = 0 → x = –2, x = 0, x = 5

l mí8x 2– x x x

x x3 10

5– –

–3 2

3 2=

l mx x x

x x

l mx x x

x x3 10

5

3 105

– –– ∞

– –– – ∞

í

í

8

8

x

x

2 3 2

3 2

2 3 2

3 2–

–

–= +

=+

l mí8x 0 x x x

x x3 10

5– –

–3 2

3 2 =

( )( )00 = l mí

8x 0 ( )( )

x x xx x

3 105

– ––

2

2 =

= l mí8x 0

( )x x

x x3 10

5 0– –

–2 =

l mí8x 5 x x x

x x3 10

5– –

–3 2

3 2 =

( )( )00 = l mí

8x 5 ( ) ( )( )

x x xx x

2 55–

–2

+ =

= l mí8x 5 x

x2 7

5+

=

2 4 6–4–6 –2–2

4

2

6

–4

–6

Página 151

Continuidad

12 Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas grá�camente:

a) f (x) = xx x

xxx

11

2

00 11–

sisisi ≤

<< <

2+*

b) f (x) = x x

xx

xx

33

0

33 6

6

––

si ≤sisi ≥

< <

2

*a)•Continuidad:

— Si x ≠ 0 y x ≠ 1 → Es continua, pues está formada por funciones continuas.

— En x = 0 →

( )

( ) ( ) ( )

( ) .

l m f x l m

l m f x l m x l m f x

f

1 1

1 1

0

1

No existe

í í

í í í8 8

8 88

x x

x xx

0 0

0 00

– –= =

= + = =+ +

Z

[

\

]]]

]]

4

Hay una discontinuidad evitable en x = 0.

— En x = 1 →

( ) ( )

( ) ( )

( )

l m f x l m x

l m f x l m x x

f

1 2

2 1

11

– –

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

1 1

1 12

– –= + =

= =

=+ +

Z

[

\

]]]

]]

Discontinuidad de salto �nito en x = 1.•Gráfica:

121 3–1

23


26


b)•Continuidad: — Si x ≠ 3 y x ≠ 6 → Es continua, pues está formada por funciones continuas.

— En x = 3 →

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

l m f x l m x x

l m f x l m x

f

l m f x f

3 0

3 0

3 0

3

–

–

í í

í í í8 8

8 8 8

x x

x x x

3 32

3 3 3

– –= =

= =

=

=+ +

Z

[

\

]]]

]]

_

`

a

bbb

bb

f (x) es continua en x = 3.

— En x = 6 →

( ) ( )

( )

( )

l m f x l m x

l m f x l m

f

3

0

3

0 0

6

–í í

í í8 8

8 8

x x

x x

6 6

6 6

– –= =

= =

=+ +

Z

[

\

]]]

]]

Discontinuidad de salto �nito en x = 6.

•∞

l mí8x +

f (x) = ∞

l mí8x +

0 = 0

∞

l mí8x –

f (x) = ∞

l mí8x –

(3x – x 2) = – ∞

•Gráfica:

1

21 43 65

23

13 Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) f (x) = ln

ex

x

xx

x3 14

00 1

1

sisi ≤si ≥

<<

x

2 ++

*

b) f (x) = e

x

xx1

11–

si ≤ –si –>

x1 – 2

*

c) f (x) = xx x

x4

2

41

2

2–

si ≠ –

si –

2+

=*

a) La función es continua cuando x ≠ 0 y x ≠ 1 ya que las funciones que intervienen lo son.

Veamos la continuidad en x = 0:

( )

( )

fl m e

l m x

l m

0 11

3 1 1

í

í

í8

8

8xx

x

x0

02

0–

==

+ =+

( ) ( )8 8f x f1 0= =4 Es continua en x = 0.


( )

( )

( )ln

fl m x

l m xl m

1 43 1 4

4 4

í

íí8

8

8x

x

x12

1

1–

=+ =

+ =+

( ) ( )8 8f x f4 1= =4 Es continua en x = 1.


27


b) El dominio de de�nición es – {0} ya que no está de�nida cuando x = 0.

Cuando x ≠ 0 y x ≠ –1 la función es continua porque las funciones que intervienen lo son.

En x = 0 presenta una discontinuidad inevitable de salto in�nito.

Veamos la continuidad en x = –1:

( )

l m e

l mx

l m

f 1 1

1

1 1

–

–

í

í

í8

8

8xx

x

x11

1

1––

–

–

2

–

=

=

=+

( ) ( )8 8x ff 1 1–= =4 Es continua en x = –1.

c) El dominio de de�nición es – {2} ya que no está de�nida cuando x = 2.

Cuando x ≠ –2 y x ≠ 2 la función es continua porque la función que interviene lo es.

En x = 2 presenta una discontinuidad inevitable de salto in�nito.

Veamos la continuidad en x = –2:

f (–2) = 41

l mí8x 2–

( )( )

xx

42

00

–2+ = = l mí

8x 2– ( ) ( )x x

x2 2

2–+

+ = l mí8x 2–

x 2

141

––=

Como existe el límite pero no coincide con el valor de la función, tiene una discontinuidad evitable en x = –2.

14 Calcula el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas en todo su dominio. Re-preséntalas para el valor de k obtenido:

a) f (x) = ( )ln

x kxx

xx2

33–

sisi ≥

<2 +*

b) g (x) = kxe

xx

3 22

– si ≤si >x

2

4–2*

a) La función es continua cuando x ≠ 3 ya que las funciones que intervienen lo son.


( )

( )

( )ln

fl m x kx k

l m x

3 09 3

2 0–

í

í8

8

x

x

32

3

–

=+ = +

=+

8 8k k9 3 0 3–+ = =4 Cuando k = –3 la función también es continua en x = 3.

2 4–4 –2–2

4

2

–4

b) La función es continua cuando x ≠ 2 ya que las funciones que intervienen lo son.


( )

( )k

l m kx k

l m e

g 2 4 33 4 3

1

–– –í

í

8

8

x

xx

22

24–2

–

==

=+

8 8k k4 3 1 1– = =4 Cuando k = 1 la función también es continua en x = 2.

2 4–4 –2–2

4

2

–4


28


15 Calcula el valor de a y b para que f (x) sea continua en todo su dominio.

f (x) = xax b

xxx

1

2

00 11

– sisi ≤si ≤

<<

2

+*La función es continua cuando x ≠ 0 y x ≠ 1 ya que las funciones que intervienen lo son.


( )

( )

( )

f bl m x

l m ax b b

01 1– –í

í8

8

x

x

02

0

–

==

+ =+

8 b 1–=4Veamos la continuidad en x = 1:

( )

( )fl m ax a

l m

1 21 1

2 2

– –í

í8

8

x

x

1

1

–

==

=+

8 8a a1 2 3– = =4Cuando a = 2 y b = –1 la función es continua en todo su dominio.

16 a) ¿En qué puntos son discontinuas las siguientes funciones?:

I)

21

0–2

II)

21

0–2

b) Di cuál es el límite por la derecha y por la izquierda en los puntos de discontinuidad.

a) I) En x = –2 tiene una discontinuidad inevitable de salto in�nito.

En x = 0 tiene una discontinuidad evitable.

II) Presenta una discontinuidad inevitable de salto �nito.

b) I) l mí8x 2– +

f (x) = + ∞

l mí8x 2– –

f (x) = – ∞

l mí8x 0

f (x) = 1

II) l mí8x 1+

f (x) = 0

l mí8x 1–

f (x) = 2


29


Para resolver

17 En los juzgados centrales de una determinada región ha comenzado una campaña para ahorrar papel. El ahorro se concreta en la siguiente función:

A (x) = e

xx

x501 8

1 100100 390–

si ≤ ≤si ≤<

, x0 02

+*donde x son los días transcurridos desde que se inició la campaña y A (x) es el número de miles de hojas de papel ahorradas.

a) Estudia la continuidad de A (x).

b) ¿Qué sucede cuando han transcurrido 100 días desde el inicio de la campaña?

c) ¿En qué momento el ahorro es de 5 000 hojas?

a) La función es continua cuando x ≠ 100 ya que está de�nida mediante funciones continuas en sus intervalos de de�nición.

Para que sea continua en x = 100 debe cumplirse que l mí8x 100

f (x) = f (100):

f (100) = e 2 ≈ 7,389

l m e e

l m x501 8 6–

í

í

,8

8

xx

x

1000 02 2

100

–=

+ =+d n

4 Por tanto, no existe límite.

En consecuencia, la función no es continua en x = 100.

b) Cuando transcurren 100 días desde el inicio de la campaña, se produce una brusca caída en el aho-rro de papel ya que disminuye desde más de 7 000 hojas a solo 6 000.

c) Igualando cada una de las expresiones a 5, obtenemos que:

,

≈ ,8 lne x50 02

5 80 47, x0 02 = =

8x x501 8 5 150– + = =

Se ahorran 5 000 hojas en los días 81 y 150 desde el inicio de la campaña.

18 La energía que produce una placa solar en función del tiempo transcurrido desde que ama-nece, viene descrita por la siguiente expresión (x en horas; f (x) en unidades de energía):

f (x) = x x

x

xx

101 024

0 88 12

– si ≤ ≤si ≤<

2

2*

a) Estudia la continuidad de f (x). b) Represéntala grá�camente.

a) La función es continua cuando x ≠ 8 ya que está de�nida mediante funciones continuas en sus intervalos de de�nición.

Para que sea continua en x = 8, debe cumplirse que l mí8x 8

f (x) = f (8):

f (8) = 16

( )l m

l mx

x x

1024

10 16

16

–í

í

8

8

x

x 2

8

8

2–

=

=+

4 → l mí8x 8

f (x) = 16

La función es continua también en x = 8.

b) La representación grá�ca se muestra a la derecha: 10 20 30 40 50

20

30

10


30


19 a) Calcula el límite de la función f (x) cuando x → 0, x → 2, x → 3, x → + ∞, x → – ∞:

f (x) = x x

x5 6

3–

–2 +

b) Representa grá�camente los resultados.

a) f (x) = ( ) ( )x x

xx x

x5 6

33 2

3–

–– –

–2 +

=

l mí8x 0

f (x) = 63

21– –=

l mí8x 2

f (x) = l mí8x 2 x 2

1–

= ( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

–í

í8

8

x

x

2

2

–=

= ++

l mí8x 3

f (x) = l mí8x 3 x 2

1–

= 1

∞

l mí8x +

f (x) = 0

∞

l mí8x –

f (x) = 0

b)

1

1–1

32

20 a) Calcula el límite de la función y = x xx

39

––

2

2 en aquellos puntos en los que no está de�nida.

b) Halla su límite cuando x → + ∞ y cuando x → – ∞.

c) Representa la función con los datos que has obtenido.

a) El dominio de de�nición es Á – {0, 3}, pues el denominador se anula en:

x 2 – 3x = 0 → x(x – 3) = 0 xx

03

==

y = ( )

( ) ( )x xx

x xx x

39

33 3

––

––

2

2= + =

xx 3+

l mí8x 0 x

x 3 =+ ∞

l mx

x

l mx

x

3

3

– ∞í

í

8

8

x

x

0

0

–+ =

+ = ++

l mí8x 3 x

x 3+ = 36 2=

b) ∞

l mí8x + x

x 3+ = 1; ∞

l mí8x – x

x 3+ = 1

c)

1

1 32

2


31


21 Sea la función f (x) = x x

x x x3 2–

–2

4 3 2+ .

a) Calcula: l mí8x 0

f (x); l mí8x 1

f (x); ∞

l mí8x +

f (x); ∞

l mí8x –

f (x)

b) ¿Cuál es la función que coincide con f (x) excepto en x = 0 y en x = 1?

c) ¿En qué puntos no es continua f (x)?

f (x) = ( )

( ) ( )x x

x x xx x

x x x3 21

2 1–

––

– –2

4 3 2 2+ =

a) l mí8x 0

f (x) = l mí8x 0

[x (x – 2)] = 0

l mí8x 1

f (x) = l mí8x 1

[x (x – 2)] = –1

∞

l mí8x +

f (x) = + ∞

∞

l mí8x –

f (x) = + ∞

b) g (x) = x (x – 2) = x 2 – 2x

c) En x = 0 y en x = 1 la función no está de�nida (hay discontinuidades evitables).

22 Considera la función: f (x) = ( ) ( )

( ) ( )

x xx

x xx

x

x

4 53

1 32

3

3

– ––

––

si ≤

si >2

+

*a) Estudia su continuidad en x = 3.

b) Calcula ∞

l mí8x +

f (x) y ∞

l mí8x –

f (x).

a) Para analizar la continuidad en x = 3 esrtudiamos si se cumple que l mí8x 3

f (x) = f (3):

( )

( ) ( )

( ) ( )

f

l mx x

x

l mx x

x

3 0

4 53 0

1 32

– ––

–– ∞

í

í

8

8

x

x

3

3

2

–

=

=

+= +

+

4 → El límite no existe.

La función es discontinua en x = 3 y tiene una discontinuidad de salto in�nito.

b) ∞

l mí8x +

f (x) = ∞

l mí8x + ( ) ( )x x

x1 3

2–

–2

+ =

∞l mí8x + x x

x2 3

2 1– –

–2

2=

∞

l mí8x –

f (x) = ∞

l mí8x – ( ) ( )x x

x4 5

3– –

– = ∞

l mí8x – x x

x9 20

3 0–

–2 +

=

Página 152


a) l mí8x 2

x

x2

1 3–

– –e o b) l mí8x 0

x

x 9 3–2

+f p

c) ∞

l mí8x +

( )x x x2– 2 + d) ∞

l mí8x +

( )x x 1– –2 4

a) l mí8x 2

x

x2

1 3–

– – = l mí8x 2

( ) (

()

) ( )x x

x x2 1 3

1 3 1 3– –

– – –+

+ = l mí8x 2 ( ) (

( ))x x

x2 1 31 3

– –– –

+ =

= l mí8x 2 ( ) ( )x x

x2 1 31 3

– ––

++ = l mí

8x 2 ( ) ( )x xx

2 1 32

– ––+

= l mí8x 2 x1 3

121

–+=


32


b) l mí8x 0

x

x 9 3–2

+ = l mí8x 0 (

()

) ( )x x

x x9

93

3 9 3–2 +

+++ + = l mí

8x 0 ( )x xx

9 39 9–

2 + ++ =

= l mí8x 0 ( )x x

x9 32 + +

= l mí8x 0 ( )x x 9 3

1+ +

= ( )

( )

l mx x

l mx x

9 31

9 31

– ∞

∞

í

í

8

8

x

x

0

0

– + +=

+ += +

+

c) ∞

l mí8x +

( )x x x2– 2 + = ∞

l mí8x +

( ) ( )x x x

x x x x x x2

2 2–2

2 2

+ ++ + + =

= ∞

l mí8x +

( )x x x

x x x22–

2

2 2

+ ++ =

∞l mí8x + x x x

x2

2–2+ +

= –1

d) ∞

l mí8x +

( )x x 1– –2 4 = ∞

l mí8x +

( ) ( )

x x

x x x x

1

1 1

–

– – –2 4

2 4 2 4

+

+ =

= ∞

l mí8x +

( )

x x

x x

1

1

–

– –2 4

4 4

+ =

∞l mí8x + x x 1

1 0–2 4+

=

24 Sea la función f (x) = x x

x x6

2 3––

2

2

++ .

a) Estudia su continuidad, analizando los distintos tipos de discontinuidad que existan.

b) En aquellos puntos donde f (x) no es continua, ¿es posible de�nir de nuevo la función para evitar la discontinuidad?

a) Calculamos las raíces del denominador: x 2 + x – 6 = 0 → x = –3, x = 2 En x = –3 y x = 2 la función no es continua ya que no está de�nida en dichos puntos. Veamos

los tipos de discontinuidad:

l mí8x 3– ( )

( )x xx x

62 3

00

––

2

2

++ = = l mí

8x 3– ( ) ( )( ) ( )x xx x

3 23 1

––

++ = l mí

8x 3– xx

21

54

–– =

l mí8x 2 x x

x x6

2 3––

2

2

++ =

l mx xx x

l mx xx x

62 3

62 3

–– – ∞

–– ∞

í

í

8

8

x

x

2 2

2

2 2

2

– ++ =

++ = +

+

Por tanto, en x = –3 tiene una discontinuidad evitable y en x = 2 tiene una discontinuidad de salto in�nito.

b) Solo es posible en x = –3, de�niéndola con el valor 54 .

25 Clasi�ca las discontinuidades de las siguientes funciones:

a) f (x) = x x

x x x2

2 2– –

– –2

3 2 + b) g (x) = x x

x x x6

2 3– –

– –2

3 2

a) x 2 – x – 2 = 0 → x = –1, x = 2 → El dominio de de�nición es – {–1, 2}. La función es continua cuando x ≠ –1 y x ≠ 2. En x = –1 y x = 2 no es continua al no estar de�nida en ellos. Veamos el tipo de discontinuidad

en cada valor. En x = –1:

l mí8x 1–

x x

x x x2

2 2– –

– –2

3 2 + =∞

l mx x

x x x

l mx x

x x x2

2 2

22 2– –

– – – ∞

– –– –

í

í

8

8

x

x

2

3 2

2

3 2

1

1

–

–

–+ =

+ = ++

En este caso es inevitable de salto in�nito.


33


En x = 2:

l mí8x 2

( )( )

x xx x x

22 2

00

– –– –

2

3 2 + = = l mí8x 2

( ) ( )( ) ( )

x xx x

2 12 1

–– 2

++ = l mí

8x 2

xx

11

352

++ =

En esta ocasión se trata de una discontinuidad evitable.

b) x 2 – x – 6 = 0 → x = –2, x = 3 → El dominio de de�nición es – {–2, 3}.

La función es continua cuando x ≠ –2 y x ≠ 3.

En x = –2 y x = 3 no es continua al no estar de�nida en ellos. Veamos el tipo de discontinuidad en cada valor.

En x = –2:

l mí8x 2–

x x

x x x6

2 3– –

– –2

3 2=

∞

l mx x

x x

l mx x

x x x

x2

62 3

63

– –– – ∞

– –– –

–í

í

8

8

x

x

2

3 2

2

3 2

2

2

–

–

–=

= ++

Se trata de una discontinuidad inevitable de salto in�nito.

En x = 3:

l mí8x 3

x x

x x x6

2 3– –

– –2

3 2= l mí

8x 3

( ) ( )( ) ( )x xx x x

3 23

–– 2

++ = l mí

8x 3

xx x

2 5122

++ =

En esta ocasión se trata de una discontinuidad evitable.

26 Estudia la continuidad de estas funciones para los distintos valores del parámetro a:

a) f (x) = x axa x

xx

22–

si ≤si >

2

2+*

b) f (x) = ex a

xx2

00

si ≤si >

ax

+)

a)• Enx ≠ 2, la función es continua.

•Enx = 2:

( ) ( )

( ) ( )

( )

l m f x l m x ax

l m f x l m a x

f a

a

a

2 4 2

4 2

4– –

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

22

22

2

2

– –= + =

= =

= +

+

+ + 4 Pa ra que sea continua, ha de ser:

4 + 2a = a – 4 → a = – 8

Por tanto, la función es continua si a = – 8, y es discontinua (en x = 2) si a ≠ – 8.

b)• Enx ≠ 0, la función es continua.

•Enx = 0:

( )

( ) ( )

( )

l m f x l m e

l m f x l m x a a

f

1

2 2

0 1

í í

í í8 8

8 8

x xax

x x

0 0

0 0

– –= =

= + =

=+ + 4 Para que sea continua ha de ser: 1 = 2a → a =

21

Por tanto, la función es continua si a = 21 , y es discontinua (en x = 0) si a ≠

21 .


34


27 Sea la función

f (x) = x

xax ax

xx

x

3 11

6 5

11 2

2–

–

si –si – ≤si ≤

<<

2

+

+*

a) Estudia su continuidad en x = –1.

b) Halla a para que la función sea continua en x = 2.

c) Representa la función para a = 1.

a) Analizamos si se cumple que l mí8x 1–

f (x) = f (–1):

( )

( )

( )

l m

l m

f

x

x

3 1 2

1 2

1 2

–

– –

– –

í

í8

8

x

x 1

1

–

– –

=

+ =

=+ 4 → l mí

8x 1– f (x) = f (–1) = –2

La función es continua en x = –1.

b) Para que sea continua en x = 2 se deben cumplir que l mí8x 2

f (x) = f (2):

( )

( )

( )

l m

l m

f

x

ax ax a

a

1 1

6 5 8 5

2 8 5

–

– –

–

í

í8

8

x

x

2

22

–

=

=

+ = +

++ 4 → 1 = – 8a + 5 → a =

21

Si a = 21 , los límites laterales coinciden con el valor de la función y esta será continua en x = 2.

c) Para a = 1 la función es:

f (x) = x

xx x

xx

x

3 116 5

11 2

2––

si –si – ≤si ≤

<<

2

+

+*

2 4 6–4 –2–2

4

2

6

–4

–6

–6

28 Sabiendo que la función f (x) = x x

xx a

x

x

4 3

1

1 0

0

– si –

si ≥

< <2

2+

++* es continua en (–1, + ∞), halla el

valor de a.

La función es continua cuando x ≠ 0 ya que está de�nida mediante funciones continuas en su dominio.Comprobamos la continuidad en x = 0:

( )

( )f al m x x

l mxx a a

04 3 3

1

–í

í

8

8

x

x

02

0

2

–

=+ =

++ =

+e o

4 → a = 3

Cuando a = 3, la función es continua también en x = 0 ya que f (0) = l mí8x 0

f (x) y, por tanto, lo es en el intervalo (–1, + ∞).


35


29 El rendimiento físico de un deportista, durante 60 minutos, varía con el tiempo según esta fun-ción:

f (x) = ( )

,t t a

abt

ttt

3 5 5100

0 1515 3030 60

– –

–

si ≤si ≤si ≤ ≤

<<+*

Calcula a y b para que la función rendimiento sea continua.

La función es continua cuando x ≠ 15 y x ≠ 30 ya que está de�nida mediante funciones continuas.

Comprobamos la continuidad en x = 15:

( ) ,

[ ( )]

( , ) ,

f al m t t a a

l m a a

15 3 5 5225 15

3 5 5 3 5 5

– – –í

í8

8

t

t

15

15

–

= += +

+ = ++

,8 8a a a225 15 3 5 5 20– + = + =4Cuando a = 20, la función es continua en x = 15, ya que f (15) = l mí

8x 15 f (x).


( )

( )

f bl m

l m bt b

30 100 3075 75

100 100 3065

–

– –

í

í8

8

t

t

30

30

–

==

=+

8 8b b75 100 30–= =4Cuando b =

65 la función es continua en x = 30, ya que f (30) = l mí

8x 30 f (x).

30 Sabemos que la función f (x) = x bx x

x8 4

3 4–

–3 2+ +

es discontinua en x = 2. Calcula b y estudia

el comportamiento de la función en las proximidades de los puntos de discontinuidad.

Para que la función sea discontinua en x = 2, este valor debe ser una raíz del denominador. Por tanto,

23 + b · 22 + 8 · 2 – 4 = 0 → b = –5

De donde f (x) = x x x

x5 8 43 4

– ––

3 2 +.

Hallamos todas las raíces del denominador:

x 3 – 5x 2 + 8x – 4 = (x – 1)(x – 2)2

El dominio de de�nición es – {1, 2}.

La función no es continua en x = 1 y en x = 2. Veamos ahora el comportamiento de la función en las proximidades de estos puntos:

En x = 1:

l mí8x 1

( ) ( ) ( )

( )x x

x1 23 4

01

– –– –

2 =

l mí8x 1– ( ) ( )x x

x1 23 4

– ––

2 = + ∞

l mí8x 1+ ( ) ( )x x

x1 23 4

– ––

2 = – ∞

La discontinuidad es inevitable de salto in�nito.

En x = 2:

l mí8x 2 ( ) ( )x x

x1 23 4

– ––

2 = ( )( )20

= + ∞ ya que la fracción es un cociente de números positivos en las proximidades de x = 2.


36


31 Estudia la continuidad de f (x) según los distintos valores de m.

f (x) = mx

mx

x

x

32

1

1

– si ≤

si >

2

*

La función es continua cuando x ≠ 1 al estar de�nida mediante funciones continuas.


f (1) = 3 – m

l mí8x 1–

(3 – mx 2) = 3 – m

l mí8x 1+ mx m

2 2=

Para que sea continua en x = 1 debe ser 3 – m = m2 → m = 1, 2.

Cuando m = 1 o m = 2 la función es continua en x = 1.

Si m ≠ 1 y m ≠ 2 la función tiene una discontinuidad inevitable de salto �nito en x = 1.

32 Dada la función f (x) = a x

ax b–2 + con a ≠ 0, calcula los valores de a y b para que la función

pase por el punto (2, 3) y el l mí8x ∞+

( )x

f x = – 4.

f pasa por (2, 3) → f (2) = 3 → aa b

24

–+ = 3

Por otro lado,

∞

l mí8x +

( )f xx

= ∞

l mí8x + x

a xax b

–2 +

= ∞

l mí8x + ax x

ax b– 2

2 + = –a → –a = – 4 → a = 4

Así:

b2

16 + = 3 → b = –10

33 Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua. ¿Alguna de ellas es continua en todo Á?:

a) f (x) = lnxx

kxx

11 1

1–– si ≠

si

3

=* b) g (x) = x

x x

x11

2

1

1–– si ≠

sik =*

a) Estudiamos la continuidad en x = 1:

l mí8x 1

( )( )

xx

11

00

––3

= = l mí8x 1

( ) ( )x

x x x1

1 1–

– 2+ + = l mí8x 1

(x + x 2 + 1) = 3

f (1) = ln k

Para que sea continua ln k = 3 → k = e 3.

Además, es continua en todo Á ya que el cociente de polinomios solo se anula cuando x = 1.

b) Estudiamos la continuidad en x = 1:

l mí8x 1

( )( )

xx

1 001

–– = = l mí

8x 1 ( ) ( )x x

x1

11–

–+

= l mí8x 1

x1

21

1=

+ g (1) = 2k

Para que sea continua 2k = 21 → k = –1.

Esta función también es continua en todo Á porque el cociente solo se anula cuando x = 1.


37


34 Estudia la continuidad de la función f (x) = | |x2

1–

y clasi�ca sus discontinuidades.

El dominio de de�nición es – {–2, 2}. La función es continua en él.

En x = –2:

| | ( )

( )∞

∞í 8l m

x

l mx

l mx

21

01 2

1

21–

–í

í8

8

8

x

x

x

2

2

2

–

=+

=

+= +

+

*Presenta una discontinuidad invevitable de salto in�nito.

En x = 2:

| | ( )

( ) 8l mx

l mx

l mx

21

01 2

1

21––

∞

–∞–

íí

í8

8

8

x

x

x

2

2

2

–

==

=

+

+

*Tiene una discontinuidad inevitable de salto in�nito.

nota: Podríamos haber usado la simetría de la función respecto del eje Y (es una función par) para haber deducido el comportamiento en x = 2 a partir del estudio en x = –2.

35 Estudia la continuidad de esta función:

f (x) = | |xx

x

xx

x

2

2 1

11 1

1

si –si – ≤si

<<

>

2+

+*

• Six ≠ –1 y x ≠ 1 → la función es continua.

• Six = –1:

( ) | |

( )

( )

l m f x l m x

l m f x l m x

f

2 1

1

1 1–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

1

12

1

1

–

–

–

–

– –= + =

= =

=+ + 4 La función es continua en x = –1.

• Six = 1 → No es continua, pues no está de�nida en x = 1; no existe f (1).

Además:

( )

( ) ( )

l m f x l m

l m f x l m

x

x

1

2 1 3

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

1 1

1 1

2– –

=

=

=

+ =+ +

4 La discontinuidad es de salto (�nito).

36 Halla el valor de t para que la siguiente función sea continua en x = 2. Represéntala en el caso t = 2 y di qué tipo de discontinuidad tiene:

f (x) = | |x tx

xx

15

22

– ––

si ≤si >

)

Estudiamos la continuidad en x = 2:

f (2) = 1 – t

l mí8x 2–

(|x – 1| – t ) = 1 – t

l mí8x 2+

(x – 5) = –3

Para que sea continua en x = 2 debe ser 1 – t = –3 → t = 4.


38


Supongamos ahora que t = 2:

f (x) = | | ( )

≤ ≤ ≤ ≤≤x

x

xxx

xx

x

xx

x

xx

xxx

1 25

1 21 25

11 2

2

11 2

2

22

135

– ––

– – –– ––

sisisi

sisisi

sisi

– –––

<

>

<

>> = =* * *

2 4–4 –2–2

4

2

–4

Y

X

37 Calcula el límite de las siguientes funciones cuando x → + ∞ y cuando x → – ∞, de�niéndolas previamente por intervalos:

a) f (x) = | |

xx

1+ b) g (x) = | x – 3 | – | x | c) h (x) = | 2x – 1 | + x d) i (x) =

| |xx 1+

a) f (x) = ≥

xx x

xx x

10

10

– si

si

<+

+

*

∞l mí8x +

f (x) = ∞

l mí8x +

x

x1+

= 1

∞

l mí8x –

f (x) = ∞

l mí8x –

x

x1

–+

= –1

b) | x – 3 | = ≥x

xxx

33

33

––

sisi

<+) | x | = ≥xx

xx

00

– sisi

<)

g (x) = | x – 3 | – | x | = ≤≥

x

x

xx

x

2 332 3

00 3

3

–

–

sisisi

<<

+*

∞

l mí8x +

g (x) = ∞

l mí8x +

(2x – 3) = + ∞

∞

l mí8x –

g (x) = ∞

l mí8x –

(–2x + 3) = + ∞

c) | 2x – 1 | = ≥

x

x

x

x

2 1

2 121

21

–

–

si

si

<+*

h (x) = | 2x – 1 | + x = x

x

x

x

1

121

213

–

–

si

si ≥

<+*

∞l mí8x +

h (x) = ∞

l mí8x +

(3x – 1) = + ∞

∞

l mí8x –

h (x) = ∞

l mí8x –

(–x + 1) = + ∞

d) i (x) = x

xx x

xx 0

1 0

1 si

si ≥

–<

+

+

*

∞l mí8x +

i (x) = ∞

l mí8x +

x

x 1+ = 1

∞

l mí8x –

i (x) = ∞

l mí8x –

xx1

–+ = –1


39


38 Estudia la continuidad en x = 0 de esta función: f (x) = 2x + | |xx

¿Qué tipo de discontinuidad tiene?

En x = 0, la función no está de�nida, luego es discontinua. Como:

f (x) = xx

xx

2 12 1

00

– sisi

<>+

)

entonces: l mí8x 0–

(2x – 1) = –1; l mí8x 0+

(2x + 1) = 1

Por tanto, hay una discontinuidad de salto (�nito) en x = 0.

Página 153

Cuestiones teóricas

39 Dibuja, en cada caso, la grá�ca de una función que veri�que las siguientes condiciones:

a) ∞

l mí8x +

f (x) = 2

l mí8x – ∞

f (x) = –2

l mí8x 2

f (x) = xx

22

∞ si– ∞ si

<>

+

l mí8x 1–

f (x) = – ∞2 4 6–4–6 –2

–2

4

6

2

–4

–6

b) ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞

∞

l mí8x –

f (x) = – ∞

l mí8x 2

f (x) = xx

22

– ∞ si∞ si

<>+

l mí8x 2–

f (x) = xx

22

– ∞ si –∞ si –

<>+

2 4 6–4–6 –2–2

4

2

6

–4

–6

40 Expresa simbólicamente cada una de estas frases y haz una representación grá�ca en cada caso:

a) Podemos conseguir que f (x) sea mayor que cualquier número K, por grande que sea, dando a x valores tan grandes como sea necesario.

b) Si pretendemos que los valores de g (x) estén tan próximos a 1 como queramos, tendremos que dar a x valores su�cientemente grandes.

c) Podemos conseguir que h (x) sea mayor que un número K, por grande que sea, dando a x valores su�cientemente próximos a 2.

a) ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞ b) ∞

l mí8x +

g (x) = 1 c) l mí8x 2

h (x) = + ∞

2

1

2

1

2

1


40


Para profundizar

41 Estudia los valores que pueden tomar a y b para que la función f (x) = x xax b

2–2+ tenga una

discontinuidad evitable.

Primero calculamos su dominio:

x 2 – 2x = 0 → x = 0, x = 2

El dominio de de�nición es – {0, 2}.

La función puede tener discontinuidades evitables en x = 0 o x = 2.

Si b = 0 y a ≠ 0 la función tiene una discontinuidad evitable en x = 0, ya que existe el límite:

l mí8x 0

( )x x

ax2–

= l mí8x 0

x

a a2 2–

–=

Si b ≠ 0, solo puede tener una discontinuidad evitable en x = 2. Para ello, x = 2 debe ser una raíz del numerador de la fracción, es decir:

2a + b = 0 → a = – b2

En tal caso:

l mí8x 2

x b– +

( )x x

b

22

– = l mí

8x 2

( )x xbx b

2 22

–– + = l mí

8x 2

( )( )x x

b x2 2

2–

– + = l mí8x 2

xb b

2 4– –=

La discontinuidad es evitable ya que existe el límite.

En conclusión:

•Sib = 0 y a ≠ 0, la función tiene una discontinuidad evitable en x = 0.

•Sib ≠ 0 y a = – b2

, la función tiene una discontinuidad evitable en x = 2.

42 Halla el valor de a y de b para que la siguiente función sea continua en Á y pase por el punto (1, –2):

f (x) = | |

| |

ax b

x

x

x12

2

si ≤

si >

2

2

+*

La función es par, ya que está de�nida mediante dos funciones pares en intervalos de de�nición si-métricos respecto del origen. Por tanto, la continuidad en x = 2 garantiza la continuidad en x = –2.

Como pasa por el punto (1, –2), se cumple que f (1) = –2 → a + b = –2.


f (2) = 4a + b

( )( )

íl m f xl m ax b a b

l mx

4

141

í

í8

8

8x

x

x2

22

2 2

–

=+ = +

=+

*Para que sea continua en x = 2, deben coincidir 4a + b =

41 .

Resolvemos el sistema:

,8a b

a b a b2

441 4

3411

––

+ =

+ = = =4


41


43 De�ne la siguiente función por intervalos y calcula sus límites cuando x → + ∞ y x → – ∞:

f (x) = | x + 3 | – | x – 3 |

| |

| |( ) | | | |8

xx

xxx

xx

xxx

f x x x xx

xx

33

333

33

333

3 36

26

33 3

3

– – si –si ≥ –

––

–sisi ≥

– –– si –

si – ≤si ≥

<

<

<<

+ = +

=+ = + =

)

)*4

∞l mí8x +

f (x) = ∞

l mí8x +

6 = 6

∞l mí8x –

f (x) = ∞

l mí8x +

(– 6) = – 6

44 Halla los valores de a y b para que la función f (x) sea continua.

f (x) = ( )( )π

ππ

x x bsen axx

xxx

2

1

00

–

sisi ≤si ≤

<<

2

2

+ +

+*

La función es continua cuando x ≠ 0 y x ≠ π ya que está de�nida mediante funciones continuas en sus intervalos de de�nición. Veamos ahora la continuidad en x = 0 y en x = π:

• f (0) = 0

( )

( )

l m

l m

x x b b

sen ax

2

0

í

í8

8

x

x

0

0

2–

=+ +

=+

4 → b = 0

• f (π) = 1

( ) ( π)

[( π) ]

l m

l m

sen ax sen a

x 1 1–

í

í

π

π

8

8

x

x2

–=

+ =+

4 → sen (aπ) = 1 → aπ = π πk2

2+ con k ∈ → a = k21 2+ con k ∈

Para los valores de a y b obtenidos, la función es continua en todo su dominio.


a) l mí8x 0+

sen x

1 x1

c m b) l mí8πx

cos x

sen x1 –

c) l mí/8πx 2

sen x

tg x1+

d) l mí/8πx 2

cos xsen x

11

–+

a) l mí8x 0+

sen x

1 x1

d n = (+ ∞)(+ ∞) = + ∞

b) l mí8πx

cos x

sen x1–

= ππ

cossen

1 20 0

–= =

c) l mí/8πx 2

sen x

tg x1+

=

l msen x

tg x

l msen x

tg x

1

1

∞

– ∞

í

í

(π/ )

(π/ )

8

8

x

x

2

2

– += +

+=

+

d) l mí/8πx 2

cos xsen x

11

–+ =

12 2=


42


Autoevaluación

Página 153


a) ∞

l mí8x +

x

x1

1–

2 + b) ∞

l mí8x –

(2 + e x ) c) ∞

l mí8x +

xex

2 d)

∞l mí8x +

lnx

x

a) ∞

l mí8x +

x

x1

1–2 + = –1 b)

∞l mí8x –

(2 + e x ) = 2 + 0 = 2

c) ∞

l mí8x +

xex

2 = + ∞ d) ∞

l mí8x +

lnxx = 0

2 Halla el límite de la función f (x) = xx

x12 4

13

––

–2

2 +e o cuando x → 1, x → –1, x → + ∞, x → – ∞.

Representa grá�camente la información que obtengas.

f (x) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )x x

xx x x

xx x

xx x

x xx xx x

1 12 4

13

1 12 4

1 13 1

1 12 4 3 3

1 12 3 1

––

– ––

– –– –

––2 2 2 2

++ =

++

++ =

++ =

++

l mí8x 1

f (x) = l mí8x 1 ( ) ( ) ( )

( )x xx x

1 12 3 1

00

––2

++ = = l mí

8x 1 ( ) ( )( ) ( )

x xx x

1 12 1 1

–– –+

= l mí8x 1 x

x1

2 121–

+=

l mí8x 1–

f (x) = l mí8x 1– ( ) ( )x x

x x1 1

2 3 1–

–2

++ =

( ) ( )

( ) ( )

l mx xx x

l mx xx x

1 12 3 1

1 12 3 1

–– ∞

–– – ∞

í

í

8

8

x

x

1

2

1

2

–

–

– ++ = +

++ =

+

∞l mí8x +

f (x) = ∞

l mí8x + ( ) ( )x x

x x1 1

2 3 1–

–2

++ = 2

∞l mí8x –

f (x) = ∞

l mí8x – ( ) ( )x x

x x1 1

2 3 1–

–2

++ = 2

2 4 6–4–6 –2–2

4

2

6

–4

–6

3 Observa la grá�ca de la función y = f (x) y di el valor de los siguientes límites:

a) l mí8x 1–

f (x)

b) l mí8x 2

f (x)

c) ∞

l mí8x +

f (x)

d) ∞

l mí8x –

f (x)

X1–1

1

–2–1

3

–2–3 23

Y

2

a) l mí8x 1–

f (x) = 3 b) l mí8x 2

f (x) = ( )

( )

l m f x

l m f x

0

2–

í

í8

8

x

x

2

2

–=

=+

4 f no tiene límite cuando x → 2

c) ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞ d) ∞

l mí8x –

f (x) = 1


43


4 Considera la función

f (x) = xx ax

x

x

1 1

1

– si

si ≥

<22 +

*a) Halla a para que la función sea continua en x = 1.

b) ¿Es discontinua en algún punto?

c) Para a = –2, representa la función.

a) Para que sea continua en x = 1 debe cumplirse que l mí8x 1

f (x) = f (1):

( )

( )

f a

l mx

l m x ax a

1 11 1

1

– –í

í

8

8

x

x

1 2

12

–

= +

=

+ = ++

e o 4 → –1 = 1 + a → a = –2

Si a = –2 la función es continua en x = 1.

b) La función es discontinua en x = 0 ya que no está de�nida en dicho valor al anularse el denominador de la fracción. En x = 0 hay una discontinuidad de salto in�nito.

c) f (x) = ≥

xx x

x

x

1

2

1

1

–

–

si

si

<2

2*

2 4 6–4–6 –2–2

4

6

2

–4

–6

Y

X

5 Se considera la función f (x) = e

x xax

x

x4 3

30

0

–

––

si

si ≥

<x

2 +* .

Estudia la continuidad de f para los distintos valores del parámetro a.

La función está de�nida por intervalos. Para analizar su continuidad debemos estudiar la continuidad cuando x < 0, cuando x > 0 y en el punto de ruptura x = 0.■ Para que sea continua en x = 0, debe cumplirse que l mí

8x 0 f (x) = f (0):

( )( )

fl m e

l mx x

ax

0 11

4 33

33 1

–– –

–– – –

í

í

8

8

xx

x

0

0 2

–

==

+= =

+

4 → l mí8x 0

f (x) = f (0) = –1

Por tanto, la función es continua en x = 0, para cualquier valor del parámetro a.■ Cuando x < 0, la función también es continua ya que es de tipo exponencial.■ Veamos ahora qué ocurre cuando x > 0. Para ello, empezamos calculando las raíces del denominador:

x 2 – 4x + 3 = 0 → x = 1, x = 3 — Cuando x ≠ 1 y x ≠ 3 la función es continua por ser un cociente de polinomios cuyo denomi-

nador no se anula. — En x = 1 y en x = 3 la función no es continua al no estar de�nida. Analicemos el tipo de discon-

tinuidad en función del parámetro a.


44


•Enx = 1: f (1) no existe. l mí

8x 1 f (x) = l mí

8x 1 x xax

4 33

––

2 + = l mí

8x 1 ( ) ( ) ( )( )

x xax a1 3

30

3– –

– –= →

→ ≠

( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ±∞8

8

a l m

a l m f x l mx x

x l mx

f x a3

30 1 3

3 13

323

03

0

Si

Si– –

––

–

–í

í í í

8

8 8 8

x

x x x1 1 1

1=

= = = =

=

=

Por tanto, si a = 3, f (x) tiene en x = 1 una discontinuidad evitable. Si a ≠ 3, f (x) tiene en x = 1 una discontinuidad de salto in�nito.

•Enx = 3: f (3) no existe. l mí

8x 3 f (x) = l mí

8x 3 x xax

4 33

––

2 + = l mí

8x 3 ( ) ( ) ( )( )

x xax a1 3

30

3 3– –

– –= →

→ ( )

( )( )

( )( )( )

( ) ( )

8

8

a l m f x a

a l m f x l mx x

x l mx

10

3 3

100

1 33

11

21

Si ≠ – ±∞

Si– –

––

í

í í í

8

8 8 8

x

x x x

3

3 3 3

= =

= = = = =

Por tanto, si a = 1, f (x) tiene en x = 3 una discontinuidad evitable. Si a ≠ 1, f (x) tiene en x = 3 una discontinuidad de salto in�nito.

Resumiendo, la función f (x) es continua en Á – {1, 3}; en x = 1 hay una discontinuidad evitable si a = 3 o una discontinuidad de salto in�nito si a ≠ 3, y en x = 3 hay una discontinuidad evitable si a = 1 o una discontinuidad de salto in�nito si a ≠ 1.

6 a) Calcula a y b para que f sea continua:

f (x) = x a

xbx

xx

x

253

22 1

1

––

si ≤ –si –si ≤

< <2+

+*

b) Representa la función obtenida.

a)• f es continua si x < –2, si –2 < x < 1 y si 1 < x, por estar de�nida por funciones continuas.• Paraquef sea continua en x = –2, debe cumplirse que l mí

8x 2– f (x) = f (–2):

( ) ( )( )

( )

f a al m x a a

l m x

2 2 2 42 4

5 4 5 1

– – ––

– –

í

í

8

8

x

x

2

22

–

–

–

= + = ++ = +

= =+

4 Por tanto: 4 + a = –1 → a = –5

• Paraquef (x) sea continua en x = 1, debe ser l mí8x 1

f (x) = f (1):

( ) ·( )

( )

f b bl m x

l m bx b

1 1 3 35 4

3 3

– –í

í8

8

x

x

12

1

–

= + = +=

+ = ++

4 Por tanto: b + 3 = – 4 → b = –7

b) f (x) = x

xx

xx

x

25

3

22 1

1

5

7

––

si ≤ –si –si ≤

–

–< <2

+*

La representación grá�ca se muestra a la derecha:

X

Y

11

1

Unidad 6. Derivadas.

Técnicas de derivación

BACHILLERATOMatemáticas aplicadas a las


Resuelve

Página 155

Función derivada

■ Continúa escribiendo las razones por las cuales g (x) es una función cuyo comportamiento respon-de al de la derivada de f (x).

•Enelintervalo(a,b),f(x)esdecreciente.Portanto,suderivadaesnegativa.Esloquelepasaag(x)en(a,b).

• Laderivadade f enb es0: f '(b)=0. Ytambiénesg(b)=0.

• Engeneral: g(x)=f '(x)=0dondef(x)tienetangentehorizontal.

g(x)=f '(x)>0dondef(x)escreciente. g(x)=f '(x)<0dondef(x)esdecreciente.

y = f (x)

y = g(x) = f '(x)

ab

ab

■ Las tres gráficas de abajo, A, B y C, son las funciones derivadas de las gráficas de arriba, 1, 2 y 3, pero en otro orden. Explica razonadamente cuál es la de cada una.

1)B2)A3)CLa derivada se anula en los puntos de tan-gentehorizontal,espositivadondelafunciónes creciente,y esnegativadonde la funcióndecrece.

A

1

B

2

C

3

BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación

2


1 Derivada de una función en un punto

Página 157

1 Halla, paso a paso, las derivadas siguientes:

a) 4x – x 2 en x0 = 3

b) x 3 en x0 = 2

c) x1 en x0 = 2

d) (x – 3)2 en x0 = 1

a) ( ) ( ) ( ) ( )f f3 3 4 3 3 3 12 4 9 6 3 2hh –

hh – h –

hh – – h – h – –h –

2 2+ = + + = + =

f '(3)= l mí8 0h

( ) ( )f f3 3hh –+ = l mí

8 0h(–h–2)=–2

b)( ) ( ) ( )f f2 2 2 8 8 12 6 8 6 12

hh –

hh –

hh h h – h h

3 2 3 2+= + = + + + = + +

f '(2)= l mí8 0h

( ) ( )f f2 2

hh –+

= l mí8 0h

(h2+6h+12)=12

c)–( ) ( )

( )f f2 2 2

121

2 21

hh –

hh

h–+

= + =+

f '(2)= l mí8 0h

( ) ( )f f2 2

hh –+

= l mí8 0h

( )2 21

41

h–

+=

d)( ) ( ) ( ) ( )f f1 1 1 3 4 2 4 4

hh –

hh – –

hh – – h –

2 2+= + = =

f '(1)= l mí8 0h

( ) ( )f f1 1

hh –+

= l mí8 0h

(h–4)=–4

2 Halla, paso a paso, la derivada lateral f ' (0+) de f (x) = x y justi�ca la respuesta.

Sih>0,( ) ( )f f0 0 10

hh –

hh

h–+

= =

l mí8 0h

( ) ( )f f0 0

hh –+

= l mí8 0h

1h=+∞→Noexistef '(0+).

3 ¿Qué condición debe cumplir una función, f, para ser derivable en el intervalo [1, 5)?

Paraquefseaderivableen[1,5),debeserloenelintervaloabierto(1,5)y,además,debeexistirladerivadalateralf '(1+).


3


Página 159

4 Estudia la derivabilidad en x0 = 3 de la función:

f (x) = ,

,x x x

x x3 3

3 9 3– ≤– >

2*

•Continuidadenx0=3:

( )

( )( ) ( )

( )

( )

l m f x l m

l m f x l ml m f x f

x x

x

3 0

3 9 03 0

–

–

í í

í íí

8 8

8 88

x x

x xx 3

3 3

3 3

2–

=

== =

=

=+

_

`

a

bb

b

Portanto,f(x)escontinuaenx0=3.

•Derivabilidadenx0=3:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

' '

' '

l m f x l m x f

l m f x l m f

2 3 3 3

3 33

–í í

í í8 8

8 8

x x

x x

3 3

3 3

–– –

= = =

= = = ++ +

4 Lasderivadaslateralesexistenycoinciden.

Portanto,f(x)esderivableenx0=3.Además,f '(3)=3.

5 Estudia la derivabilidad en x0 = 0 de la función:

f (x) = ,,

x xx x

xx

5 32 3

00

––

≤>

2

2+

+ +*


( ) (

( ) (( )

)

)

l m f x l m

l m f x l ml m f x

x x

x x

5 3 3

2 3 33

–

–

í í

í íí

8 8

8 88

x x

x xx

0 0

0 00

2

2

– –=

==

+ =

+ + =+ +

_

`

a

bb

b.Además,f(0)=3.



f '(x)=( ) ( ) '( )

( ) ( ) '( )

'

'8

x x

x x

l m f x l m x f

l m f x l m x f

2 5 0

2 2 0

2 5 5 0

2 2 2 0

– si

– si

– –

–

í í

í í

<

>

8 8

8 8

x x

x x

0 0

0 0

–– –

+

= = =

= + = = ++ +

Z

[

\

]]

]*

Lasderivadaslateralessonfinitasperonocoinciden.Portanto,noesderivableenx0=0.

6 Estudia la derivabilidad de la siguiente función en x = 0:

f (x) = ,

,x

xxx

00

– – ≤>

*


( ) ( )

( ) ( ) ( )l m f x l m

l m f x l ml m f x

x

x

0

0 0– –í í

í íí

8 8

8 88

x x

x xx

0 0

0 00

– –= =

= = =+ +

_

`

a

bb

b.Además,f(0)=0.



f '(x)=( ) ∞

( ) ∞

'

'8

xx

xx

l m f x l mx

l m f x l mx

21 0

21 0

21

21

–si

si

–í í

í í

<

>

8 8

8 8

x x

x x

0 0

0 0

– –= = +

= = ++ +

Z

[

\

]]

]]

Z

[

\

]]

]]

Lasderivadaslateralesnoexistenalserinfinitosloslímites.Portanto,noesderivableenx0=0.


4


7 Calcula m y n para que f (x) sea derivable en :

f (x) = ,

,x mx

x nxx

5 00

––

≤>

2

2+

+*

• Six≠0,lafunciónescontinuayderivable,puesestáformadapordospolinomios.

•Continuidadenx=0:

( ) ( )

( )

l m f x l m x mx

l m l m

f

5 5

0 5

–í í

í í8 8

8 8

x x

x x

0 02

0 02

–= + =

=

+( ) ( )f x x n n–= + =

_

`

a

bbb

bb

Paraquef(x)seacontinuaenx=0,hadeser:n=5.

•Derivabilidadenx=0:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

' '

' '

l m f x l m x m m f

l m f x l m x f

2 0

2 0 0

– –

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

0 0

0 0

–– –

= = =

= = = ++ +

4 Paraqueseaderivableenx=0,hadeser:–m=0→m=0 Portanto,f(x)esderivableenÁparam=0yn=5.


5


3 Reglas de derivación

Página 163

1 Utiliza las reglas de derivación para calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) f (x) = xx

11 –

+ b) f (x) =

xx

11 –

+

c) f (x) = ln xx

11 –

+ d) f (x) =

tg xtg x

11 –

+

e) f (x) = tg xtg x

11 –

+ f ) f (x) = ln etg x

g) f (x) = 3x 1+ h) f (x) = ( )log cossen x x· 2

i) f (x) = tg 2 x + sen 2 x j) f (x) = cossen x x1 1· –+

k) f (x) = 7sen (x 2 + 1) l) f (x) = ( )sen x x x3 2 2–5 3+

m) f (x) = sen x x 12+ + n) f (x) = ( )cos x x3 –2 23 +

a)f '(x)=( )

· ( ) ( ) ·( ) ( )x

x xx

x xx1

1 1 1 11

1 11

2– – – – – – –2 2 2+

+ =+

+ =+

b)Utilizamoselresultadoobtenidoena):

f '(x)= ·( ) ( ) ( )

xx x x x2 1

11

12

1 11

––

––

2 3

++

=+

c)Utilizamoselresultadoobtenidoena):

f '(x)= ·( ) ( ) ( )

( )

xx x x x

xx

111

12

1 12 1

12

––

––

––

2 2 2

++

=+

+ =

Deotraforma:Sitomamoslogaritmospreviamente:

f(x)=ln(1–x)–ln(1+x).Derivamos:

f '(x)=x x x

x xx1

111

11 1

12

–– –

–– – –

––

2 2+= + =

d)f '(x)=( )

( ) ( ) ( ) · ( )tg x

tg x tg x tg x tg x1

1 1 1 1– – –2

2 2

++ + +

=

=( )

( ) [ ]( )( )

tg xtg x tg x tg x

tg xtg x

11 1 1

12 1– – – –

2

2

2

2

++ +

=++

Deotraforma:Sitenemosencuentaelresultadoobtenidoena):

f '(x)=( )

· [ ]( )

· ( )( )( )

tg xD tg x

tg xtg x

tg xtg x

12

12 1

12 1– – –

2 22

2

2

+=

++ =

++

e)Teniendoencuentaelresultadoobtenidoend):

f '(x)=( )( )

( ) ( )

( )

tg xtg x tg x

tg x

tg x tg x

tg x

2 111

12 1

1 1

1–

·–

–

–2

2

3

2

++

=+

++

Tambiénpodríamoshaberllegadoaesteresultadoutilizandolosresultadosdelapartadoenb).


6


f)f(x)=ln lne etg x2

( )/tg x tg x 2= =

f '(x)=tg x2

1 2+

g)f(x)= 3 3( )/x x1 1 2=+ +

f '(x)=3(x+1)/2· · ·ln ln21 3

23 3x 1= +

h)f(x)= ( · ) [ ( ( )]log cos log log cossen x x sen x x22 = +

f '(x)= · · ··

cosln cos ln ln cos

cossen x

xx

sen xsen x x

x sen x2101

101

102– –2 2

+ = =< F

= ··

··ln cos

cosln

coslnsen x x

x sen xsen x

xtg x10

42 10

422

10 24–2 2

= =

Deotraforma:

f(x)= ( · )log cos logsen x x sen x2222 = d n

f '(x)=( ) /ln

coslnsen x

xtg x

2101

2 22

10 24· ··

=

i) f '(x)= · [ ] · [ ] · ( ) · ( ) ·cos costg x D tg x sen x D sen x tg x tg x sen x x tg x tg x sen x x2 2 2 1 2 2 22+ = + + = + +

j) f '(x)= · · ( )cos cosx

xx

sen xx sen x2 11

2 111 1

–– – –

++ + + =

= · ·cos cosx

xx

sen xx sen x2 11

2 111 1–

–– –

++ +

k)f '(x)=7sen(x2+1)·ln7·D[sen(x2+1)]=7sen(x2+1)·ln7·2x·cos(x 2+1)

l) f '(x)= ( ) ·cos x x x xx x

3 2 2 15 13

2– –5 3 423

3+ +f p

m)f '(x)= · ( )cos cossen x x

x xsen x x

x x2 1

1 22 1

22 2+ +

+ =+ ++

n)f '(x)= ( ) · ( ) ·( ( ))( ) · ( )cos x x sen x x

x xx2 3 3

31 2 3 1– – –

–– –23 23

2 23+ +

++ =: D

=( ) )

( )( ( ) )

( ) · ( ( ) )( ) · ( )cosx x

x xx x

x sen x xsen x x x3 3

2 33 3

5 2 2 33 2 5–

– ––

– –– –2 23

23

2 23

2323

++ =

+++

2 Halla las derivadas primera, segunda y tercera de las siguientes funciones:

a) y = x 5b) y = x cos xc) y = sen 3 x + cos 2 x + x

a)y=x5→y'=5x4;y''=20x3;y'''=60x2

b)y=x cos x→y'=cos x–x sen x

y''=–sen x–sen x–x cos x=–2sen x–x cos x

y'''=–2cos x – cos x + x sen x = –3cos x +x sen x


7


c)f '(x)= [ ] [ ]cos cos cos cossen x D sen x x D x sen x x x sen x3 2 1 3 2 1· · · – ·2 2+ + = +

f ''(x)= ·cos cos cossen x x sen x sen x sen x x sen x x sen x sen x6 3 2 2 6 3 2· – · – –2 2 2 2 3+ = +

f '''(x)= [ ] [ ] [ ]cos cos cos cos cosx x sen x x D x sen x D sen x sen x D sen x x6 6 2 9 4 4· · · – · · –2 2+ + =

· · · ·cos cos cos cos cosx sen x x sen x x sen x x x sen x6 12 9 4 4– –3 2 2= + + =

· ·cos cos cosx x sen x x sen x6 21 8–3 2= +

3 Calcula f ' (1) siendo:

f (x) = x

x x e2 3

3 ·25

34

f(x)= ·· ·· · · · · ··

xx e

xx x e e x xx e

2 3 2 33

23

293

/ /

/ / / / / /25

41 5 2 5

1 2 1 3 1 3 4 2 15 4 13 3015

13 303 4

= = =

f '(x)= ·· ·x xe e39

3013

6013 9/

1517 30

1517304 4

– =

Portanto:f '(1)= · e60

13 915 4

4 Calcula f ' 6πb l siendo:

f (x) = (cos 2 3x – sen 2 3x) · sen 6x

f(x)= ( ) · ·cos cosx sen x sen x x sen x sen x3 3 6 6 6212–2 2 = =

f '(x)= cos cosx x2

12 12 6 12=

Portanto:f ' · · ( ) ·π π πcos cos6

66

12 6 2 6 1 6= = = =c m

5 Calcula f ' (0) siendo:

f (x) = ( )ln x x x131 2 1– ·2 2+ + +

f(x)= ( )ln x x x131 2 1–2 2+ + + = ( ) ( )ln x x x

21 1

31 2 1–2 2+ + +

f '(x)= · · ( ) ( )x x

x xx x

x x21

12 1

34 2 1

2 2 22 1

34 2 1– –2

22+ +

+ + =+ ++ + =

= (( )

)x x

x x x xx x

x2 2 2

2 13

8 43

16 24 2 32 2 2

24 3 8– – – – –2

3 2

2+ ++ + = +

+ ++

Portanto:f '(0)=2 33 8–


8



Página 164

1. Función derivada a partir de la de�nición de derivada

Hazlo tú. Obtén la función derivada de la siguiente función utilizando la de�nición de derivada:

f (x) = x 1

1+

Representa las grá�cas de f y de f '.

f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f xhh –+

f(x+h)=x 1

1h+ +

f(x+h)–f(x)=( ) ( ) ( ) ( )x x x xx x

x x11 1

1 11 1

1 11h–

h– – h –

h–h

+ + +=

+ + ++ =

+ + +( ) ( )

( ) ( )f x f x

x x1 11

hh –

h–+

=+ + +

f '(x)= l mí8 0h ( ) ( ) ( )x x x1 1

111

h– – 2+ + +

=+

f '(x)

f (x)–1–2–3–4–5

54321 X

1

2

3

4

5

–5

–4

–3

–2

–1

Y

2. Estudio de la derivabilidad de una función de�nida a trozos

Hazlo tú. Estudia la derivabilidad de la siguiente función:

f (x) = x xx

x

xx

x

4 2

3

11 1

1

si –si – ≤ ≤si

<

>

2

3+ +

*Representa las grá�cas de f y f '.

f(x)estádefinidaporfuncionespolinómicasenlosintervalos(–∞,–1),(–1,1)y(1,+∞).Portanto,escontinuayderivableenellos.

Enx=–1escontinuaporque l mí8x 1–

f(x)=f(–1)=–1.


9


Enx=1noloesporquenoexiste l mí8x 1

f(x)yaqueloslímiteslateralessondistintos:

íl m x

l m x

1

3 3í8

8

x

x

13

1

–=

=+

*

Nopuedeserderivableenx=1pornosercontinua.

f '(x)= ( )( )

''

8xx

xx

x

ff

2 433

11 1

1

1 21 3

si –si –si

––

<< <

<

2–+=

+ =* * →Noesderivableenx=–1.

Gráficadef(x): Gráficadef '(x):

2 4–4 –2–2

4

2

–4

Y

X

2 4–4 –2–2

4

2

–4

Y

X

Página 165

3. Reglas de derivación

Hazlo tú. Calcula las derivadas de estas funciones:

a) f (x) = ( )x

x2 3

1––

2

b) f (x) = x3 – 35

c) f (x) = –x 3e 2x

d) f (x) = sen x2

3

e) f (x) = ln ( )x

x3 1 3

3 2·

–x2

2

+f p

a)f '(x)=( )

( ) ( ) · ( ) ·( )

( ) ( )( )x

x x xx

xx

xx2 3

2 3 1 2 2 3 22 3

2 3 4 12 32 1

–– – – –

–– – –

––

4

2

3 3= = +

b)f(x)=(3–x3)1/5→f '(x)= ( ) ( ) ( )( )

x x x xx

x51 3 3 3 3

5 33

5– – – –

––( / ) /3 1 5 1 2 2 3 4 5

3 45

2– –= =

c)f '(x)=–3x2e2x–x3e2x·2=–e2xx2(2x+3)

d)f '(x)= ·cos cosx x21 3 3

23 3=

e)f(x)=ln(3–2x2)–2ln(3x+1)–x ln3→f '(x)= lnxx

x3 24

3 16 3

–– – –2 +


10


4. Función continua y derivable

Hazlo tú. Calcula a y b para que f sea derivable.

f (x) = x

ax bxx

2 1 11

– sisi ≥

<3

2 +*

f '(x)= xax

xx

62

11

sisi

<>

2*

Six≠1lafunciónesderivable.Estudiamosahorasuderivabilidadenx=1.

• fdebesercontinuaenx=1:

f(1)=a+b ; l mí8x 1

f(x)= ( )

( )

l m

l m

x

ax b a b

2 1 1–í

í

8

8

x

x

1

1

3

2

–=

+ = ++

Paraquefseacontinuaenx=1,debecumplirsequea+b=1.

• fdebeserderivableenx=1:

f '(1–)=6

f '(1+)=2a

Paraquefseaderivableenx=1,debecumplirseque2a=6.

Resolviendoelsistemaa ba

12 6+ ==

* ,obtenemoslosvalorespedidos:

2a=6→a=3→3+b=1→b=–2

Portanto,sia=3yb=–2lafunciónesderivable.

Página 166

5. Función derivada

Hazlo tú. Calcula la función derivada de esta función y representa f y f '.

f (x) = | 2 – x | + | x + 1 |

|2–x|= ≥xx

xx

22

22

––

sisi

<+

) |x+1|= ≥x

xxx

11

11

– – si –si –

<+

)

f(x)= ≤≤

x

x

xx

x

1 231 2

11 2

2

–

–

si –si –si

<<

+* →Esunafuncióncontinuaporsersumadefuncionescontinuas.

f '(x)=x

xx

202

11 2

2

– si –si –si

<< <<

*f '(–1–)=–2,f '(–1+)=0→Noesderivableenx=–1.

f '(2–)=0,f '(2+)=2→Noesderivableenx=2.

Gráficadef(x): Gráficadef '(x):

2 4–4 –2

4

6

2

–2

Y

X

2 4–4 –2–2

4

2

–4

Y

X


11


6. Valor de un parámetro para que f sea derivable

Hazlo tú. Halla el valor que ha de tener a para que la siguiente función f (x) sea derivable en todo Á:

f (x) = ax xx

xx

2 22

00

– ––

si ≤si >

4 2

2*

f(x)estádefinidaporfuncionespolinómicasenlosintervalos(–∞,0)y(0,+∞).Portanto,escontinuayderivableenellos.

Continuidadenx=0:

l mí8x 0

f(x)=f(0)=–2→Lafunciónescontinuaparacualquiervalordea.

Derivabilidadenx=0:

f ' (x)=( )( )

''

88

ax xx

x fx f

4 42

0 0 00 0 0

– sisi

<>

3 – ==+* →f(x)esderivableparacualquiervalordea.

Portanto,lafunciónesderivableenÁparacualquiervalordea.


12



Página 167

1. Obtención de los valores de dos parámetros para que la función sea derivableCalcular los parámetros a y b para que la siguiente función sea derivable en x = 1:

f (x) = x

xa b e

x

si x

si x1

2

1

1

· ≤

>

x2 1–+ +

+*

Comoqueremosquelafunciónseaderivableenx=1,primerodebesercontinuaendichopunto.

l mí8x 1

f(x)=·( )

( )

l m l m xxa b e

l m l mx

f x a b

f x1

2 1

1í í

í í

8 8

8 8

x xx

x x

1 12 1

1 1

–– –

+ +

+=

= = + +

=+ +

c m* →1+a+b=1→a+b=0

Además,comof(1)=1+a+b,larelaciónanteriorgarantizalacontinuidadenx=1.

Porotraparte,paraqueseaderivableenx=1,lasderivadaslateralesendichopuntodebenseriguales.

f '(x)=

( )

( )

( )

'

'

8

8

xxa b e

x

x f a b

fx

2

12

1 1 2

1211

– ·

–

si –

si –

<

>

x2

1

2

– –+

+

= +

=+* →2–a+b=–21

Resolvemoselsistemayseobtienenlosvaloresbuscados:

,8a b

a b a b0

25 4

545

– – –+ =

+ = = =4

2. Simpli�cación de la función antes de derivarla utilizando las propiedades de los logaritmos

Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) y = ln cos x3 ·x 3 b) y = ln x 1

4–

x

2

a)y=ln(3xcos3x)1/2= ( ) '8ln ln cos lncos

lnx x yx

sen x tg x21 3 3

21 3 3

23

23– –+ = =c m

b)y=ln4x–ln(x2–1)1/2=xln4– ( ) '8ln ln lnx yx

xx

x21 1 4

21

12 4

1– –

––

–2

2 2= =

3. Puntos de derivada nulaCalcular los puntos de la siguiente función en los que la derivada se anula:

f (x) = 2x · x100 – 2

f(x)= ( )x x x x x x2 100 4 100 400 4– – –2 2 2 2 4= = →f '(x)=x x

x xx xx x

2 400 4800 16

400 4400 8

––

––

2 4

3

2 4

3=

f '(x)=0→400x–8x3=0→x= 50 ,x=– 50 ,x=0(noválidoporqueenesepuntoseanulaeldenominadordeladerivada).

x= ( ) · · ·8 f50 50 2 50 100 50 2 50–= = =100x= ( ) · ( ) · ·8 f50 50 2 50 100 50 2 50 100– – – – – –= = =Lospuntosson ( , )50 100– – y ( , )50 100 .


13


4. Ecuaciones de las rectas tangentes a una función en varios puntosCalcular las ecuaciones de las rectas tangentes de la siguiente función en los puntos de abscisas x = 0 y x = 3:

f (x) = ( )e

x 1–x

2

f(0)=1

f(3)=e43

f '(x)= ( ) ( ) ( ) ( )e

x e x ee

x xe

x x xe

x x2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 4 3– – – – – – – – – – –x

x x

x x x2

2 2 2 2= = + = +

f '(0)=–3

f '(3)=0

Enx=0larectatangenteesy=1–3x.

Enx=3larectatangenteesy=e43 .


14



Página 168

Para practicar

De�nición de derivada

1 Halla la tasa de variación media (T.V.M.) o cociente incremental de las siguientes funciones en los intervalos: [–3, –1]; [0, 2]; [2, 5]; [1, 1 + h].

a) f (x) = x2 + 1 b) f (x) = 7x – 5 c) f (x) = 3 d) f (x) = 2x

¿En cuáles de ellas es constante la T.V.M.? ¿Qué tipo de funciones son?

a)f(x)=x2+1

En[–3,–1] → T.V.M.=( ) ( )f f

21 3

4– – –

–=

En[0,2] → T.V.M.=( ) ( )f f

22 0

2–

=

En[2,5] → T.V.M.=( ) ( )f f

35 2

7–

=

En[1,1+h] → T.V.M.=( ) ( )f f1 1 2 2

hh –

hh h h2+

= + = +

b)f(x)=7x–5

En[–3,–1] → T.V.M.=( ) ( )f f

21 3

7– – –

=

En[0,2] → T.V.M.=( ) ( )f f

22 0

7–

=

En[2,5] → T.V.M.=( ) ( )f f

35 2

7–

=

En[1,1+h] → T.V.M.=( ) ( )f f1 1 7 7

hh –

hh+

= =

c)f(x)=3

En[–3,–1] → T.V.M.=( ) ( )f f

21 3

0– – –

=

En[0,2] → T.V.M.=( ) ( )f f

22 0

0–

=

En[2,5] → T.V.M.=( ) ( )f f

35 2

0–

=

En[1,1+h] → T.V.M.=( ) ( )f f1 1

0hh –+

=

d)f(x)=2x

En[–3,–1] → T.V.M.=( ) ( )f f

21 3

163– – –

=

En[0,2] → T.V.M.=( ) ( )f f

22 0

23–

=

En[2,5] → T.V.M.=( ) ( )f f

35 2

328–

=

En[1,1+h] → T.V.M.=( ) ( ) ( )f f1 1 2 2 2 2 1

hh –

hh– –1 h h+

= =+

Lafunciónb)f(x)=7x–5esunafunciónlinealylaT.V.M.esconstante.Lafunciónc)f(x)=3esunafunciónlinealylaT.V.M.es0(constante).


15


2 Halla con calculadora el cociente incremental D fh

para x0 = 2 y h = 0,1 de:

a) f (x) = x

b) f (x) = x 2 – 5x + 1

c) f (x) = x1

Compara resultados con las derivadas de estas funciones en el punto de abscisa 2.

a)D fh

=,

( , ) ( ),

, ,f f

0 12 1 2

0 12 1 0 3492– –= =

f '(x)= ( ) ,'8x

f21 2

2 21 0 354= =

b)D fh

=,

( , ) ( ),

, · , ( ) ,f f

0 12 1 2

0 12 1 5 2 1 1 5 0 9

– – – – –2

= + =

f '(x)=2x–5→f '(2)=2·2–5=–1

c)D fh

=–

,( , ) ( )

,, ,

f f0 1

2 1 20 1

2 11

21

0 238–

–= =

f '(x)= ( ) ,'8x

f1 221 0 25– – –2 2= =

3 Halla con calculadora el cociente incremental D fh

para x0 = π/3 y h = 0,01 de:

a) f (x) = sen x

b) f (x) = cos x

c) f (x) = tg x

Compara resultados con las derivadas de estas funciones en el punto de abscisa π/3.

a)D fh

=, ,f senf sen0 01 0 01– –+ +

, , ,

π π π π

0 013

0 013 0 4963 3= =

c c cm m m

f '(x)=cos x→f ' ,π πcos3 3

0 5= =c m

b)D fh

==, ,cos cosf f0 01 0 01– –+ +

, ,,

π π π π3 3

0 01 0 013 3 0 869–= =

c c cm m m

f '(x)=–sen x→f ' ,π πsen3 3

0 866– –= =c m

c)D fh

=, ,f f0 01 0 01– –+ +

, ,,

π π π πtg tg

0 013 3

0 013 3 4 07= =

c c cm m m

f '(x)= ' ,8 ππcos x

f13

3

1 4 02 2= =

cosc m


16


4 El límite l mí8 0h

( )π πsen senhh –+ es la derivada de la función seno en el punto de abscisa π, es

decir, sen' (π). Por tanto, el límite es:

sen' (π) = cos (π) = –1

Calcula análogamente, es decir, a partir de las reglas de derivación que ya conoces, los siguientes límites:

a) l mí8 0h

4 2hh –+ b) l mí

8 0h e e

h–2 2h+

c) l mí8x 3

( )x

x x3

3 1 1–

– –2 + d) l mí8x 4 x

x464

––3

a) l mí8 0h

4 2hh –+ =

2 41

41= b) l mí

8 0he e

h–2 2h+

=e2

c) l mí8x 3

( )x

x x3

3 1 1–

– –2 + =2·3–3=3 d) l mí8x 4 x

x464

––3

=3·42=48

5 Utiliza la de�nición de derivada para hallar:

a) f ' (3) en cada caso:

f (x) = x7

3 2– f (x) = x 2 – 4 f (x) = x

x2 +

b) f ' (2) en cada caso:

f (x) = xx

11–

+ f (x) = x 2+ f (x) = (x – 5)2

a)• f '(3)= l mí8 0h

( ) ( )f f3 3hh –+

= l mí8 0h

( / )3 773

hh =

• f '(3)= l mí8 0h

( ) ( )f f3 3hh –+

= l mí8 0h

6 6hh h2 + =

• f '(3)= l mí8 0h

( ) ( )f f3 3hh –+

= l mí8 0h 9 3

292

h h– h –

2+=

b)• f '(2)= l mí8 0h

( ) ( )f f2 2

hh –+

= l mí8 0h

3 92

92

h +=

• f '(2)= l mí8 0h

( ) ( )f f2 2

hh –+

= l mí8 0h

4 h

141

2+=

+

• f '(2)= l mí8 0h

( ) ( )f f2 2hh –+

= l mí8 0h

(h–6)=–6

6 Aplica la de�nición de derivada para hallar f ' (x).

a) f (x) = x2

5 1+ b) f (x) = 3x 2 – 1 c) f (x) = x + x1

d) f (x) = x 2

1–

e) f (x) = x 2 – x f ) f (x) = x 12 +

a)f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f xhh –+

= l mí8 0h

–( )x x2

5 12

5 1

h

h+ + += l mí

8 0h25

25

h

h=


17


b)f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f xhh –+

= l mí8 0h

[ ( ) ] ( )x x3 1 3 1h

h – – –2 2+ = l mí8 0h

x x3 6 6h

h h2 + =

c)f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f xhh –+

= l mí8 0h

x xh – –+ +

x x1 1

hh+ = l mí

8 0h ( )x xx x 1

hh –2

++ =

x1 1– 2

d)f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f xhh –+

= l mí8 0h

–x x2

12

1

hh – –+ = l mí

8 0h ( ) · ( ) ·x x2 2– h – h–h+

=

= l mí8 0h

( ) · ( ) ( )x x x2 2

121

– h ––

––

2+=

e)f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f xhh –+

= l mí8 0h

[( ) ( )] ( )x x x xh

h – h – –2 2+ + = l mí8 0h

x x2 2 1h

h h – h –2 + =

f )f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f xhh –+

= l mí8 0h

( )x x1 1h

h –2 2+ + + =

= l mí8 0h

( ( ) )

( ( ) ) ( ( ) )x x

x x x x1 1

1 1 1 1h h

h – h2 2

2 2 2 2

+ + + ++ + + + + + + = l mí

8 0h ( ( ) )( ) ( )

x xx x

1 11 1

h hh –

2 2

2 2

+ + + ++ + + =

= l mí8 0h ( ( ) )x x

x1 1

2h h

h h2 2

2

+ + + ++ = l mí

8 0h ( )x xx1 1

2h

h2 2+ + + +

+ =x

xx

x2 1

212 2+

=+

Reglas de derivación

7 Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) y = xx

33–

2

2

+ b)

( )xx

21

– 2+ c) y =

x xx3 2

+

d) y = , x0 510

–4b l e) y = x3 23 f ) y = ( )x2 3– 7

a)y'=( )

· ( ) ( ) ·( )x

x x x xx

x3

2 3 3 23

12– –2 2

2 2

2 2++ =

+

b)y'=( )

( ) ( ) · ( )( )x

x x xx

x2

2 1 2 22

4–

– ––4

2

3+ + = +

c)y'=· ( ) ·x x x6 3 1– –+

(·

) · ( )x x

x

xx x xx

x x215 62

12 2

2

2

2+= +

+

e o

d)y'= · , · ,x x104 0 5

10 52 0 5

10– – – –

3 3=c cm m

e)y'=D( ) ·x xx

3 3 32

92/ /3 2 3 3 1 3

3 3–= = =

x92

3

f )y'= ( ) · · ( )xx x

x7 2 3 221 7 2 3– –6 6=


18


8 Halla la derivada de estas funciones:

a) y = ( )x

x1 2

3

+ b) y =

xx 12

3+e o

c) y = ( )x

x2 1 3+

d) y = x x

x4 4

1–

–2

2

+

e) y = xx

11 –

/2 3

+c m f ) y =

xx222

+

a)y'=( )

· ( ) · · ( )( )· ( )

xx x x x

xx x

13 1 2 1

13–

4

2 2 3

3

2

++ + =

++

b)y'= · · · ( ) · ·x

xx

x x xx

xx

x3 1 2 1 3 1 1– –2 2

2

2 2 2

2

2+ + = +e eo o

c)y'=( )

( ) · ( )( )

( )( )x

x x xx

x xx

x2 1

2 1 3 2 12 1

2 1 62 11 4– – –

6

3 2

4 4++ + =

++ =

+

d)y'=( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) · ( )x x

x x x x xx

x x x x4 4

2 4 4 1 2 42

2 2 1 2 2–

– – – – ––

– – – – –2 2

2 2

4

2 2

++ = =

=( )

( ) ( ) ·( )x

x x xxx

22 2 1 2

24 2

–– – – –

––

3

2

3=

e)y'= ·( )

· ( ) ( ) ·( )x

xx

x xxx

xx x

32

11

11 1 1

32

11

11 1– – – –

–– – –

/ /1 3

2

1 3

2

– –

+ ++ = +

++ =d dn n

=( ) · ( ) ( ) ( )x x x x3

21 1

23 1 1

4–

–––

/ /1 3 5 3 53+=

+

f )y'= · ·x

xx

x2 121 2 2– –2 2+ = +e o

9 Deriva las funciones siguientes:

a) y = e 4x (x – 1) b) y = ( )e

x1 –x

2

c) y = 2x d) y = ln (2x – 1)

e) y = e ee e

–x x

x x

–

–+ f ) y = 7e –x

a)y'= · · ( ) · · ( )e x e e x4 1 1 4 3– –x x x4 4 4+ =

b)y'= · ( ) · ( ) · · ( ) ( )e

x e x ee

x xe

x x2 1 1 2 1 1 4 3– – – – – – – – – –x

x x

x x2

2 2 2= = +

c)y'= · ·ln ln2 2

2 22

2 2x

x

x

x 1–=

d)y'=x2 12–

e)y'=( )

( ) ( )( ) ( )e e

e e e ee e

e e ee e

3 2 2 4–

– ––

– – – –––

x x

x x x x

x x

x x x x

x x2

2 2

2

2 2 2 2

2–

– –

–

– –

–+ = + =

f )y'=–7e–x


19


10 Deriva estas funciones:

a) y = ln (x 2 – 1) b) y = ln x1 –

c) y = lne

xx

d) y = e x 2 + 1

e) y = ln tgx3c m f ) y = ln ln

x1c m

a)y'=x

x1

2–2

b)y'=( )x

xx1

2 11

2 11

––

–

––=

c)y'=· ·ln lne x e x– –

·· ln

ex

ex

x ex x

1 11 –

x

x x

x x2 = =

d)y'=2x e x 2+1

e)y'=tg

tgx x x tg

tgx

x x

1 1 3 33 1 3

3 3· · – –2

2 2

2

+ =+

d ed

n on

f )y'=ln ln

xx x

xx

111 1

11

1· · – –2 =e o

11 Calcula la derivada de estas funciones:

a) y = sen 2 x b) y = sen x 2

c) y = sen x cos 2 x d) y = cos x

sen x1 2

2

+

e) y = sen 2 x 2 f ) y = cos 3 (2x + 1)

a)y'= · cossen x x sen x2 2=

b)y'= ·cos cosx x x x2 22 2=

c)y'= cos cos cos cos cosx x x sen x sen x x sen x x2 2· – · · –2 3 2= =

= ( )cos cos cos cos cos cos cos cosx x x x x x x x2 1 2 2 3 2– – – –3 2 3 3 3= + =

d)y'=( )

· ( ) ·cos

cos cos cosx

sen x x x x sen x sen x1

2 1 22 2

2 2

++ + =

=( )cos

cos cos cosx

sen x x sen x x x sen x1

2 2 22 2

3 3

++ + =

=( )· ( )

( )coscos cos

coscos

xsen x x x sen x

xsen x x

12 1

14

2 2

2 2

2 2++ + =

+

e)y'= cos cossen x x x x sen x x2 2 4· ·2 2 2 2=

f )y'= ( ) [ ( ) ] ( ) ( )cos cosx sen x sen x x3 2 1 2 1 2 6 2 1 2 1· – · –2 2+ + = + +


20


12 Deriva las funciones siguientes:

a) y = cos 5 (7x 2) b) y = tg x22

c) y = logx1

2

d) y = sen x23 e) y = xx

1 21 2

–+ f ) y = x x+

a)y'= ( ) · ( ( )) · ( ) ( )cos cosx sen x x x x sen x5 7 7 14 70 7 7– –4 2 2 4 2 2=

b)y'= tg x x x x tg x12 2

22

·2 2 2 2+ = +e o

c)y=log21–log2x

y'= ·ln lnx x

121

21– –=

d)y'= · cossen x

x x32

2 23

2

e)y'=·

( )· ( ) ( ) ·

·

( )

( ) ·xx

xx x

xx

x

x xx2 1 2

1 21 2

2 1 2 1 2 2

2 1 21 2

1 24

1 2 1 21 2

2

–

––

–

–

– –

2 2

2+

+ +

=+

=+

=

=( ) · ( ) ( )x x

x x x1 2 1 21 2

21 2 1 2

2

– ––4 3+

=+

f )y'=x x x x x x

xx x x

x2

1 121

42 1

42 1

2++ =

++ =

++e o

13 Calcula la derivada de las siguientes funciones, aplicando previamente las propiedades de los logaritmos:

a) y = ln xx

11 –

+ b) y = ln (x tg x)2 c) y = ln

xx 1–

2

23f p

d) y = ln (2x · sen 2 x) e) y = lnx

x1+

f ) y = ( )ln sen ex

a)y= [ ( ) ( )]ln ln lnxx x x

11

21 1 1– – –

+= +

y'=x x x

x xx2

111

11

21

11 1

11

–– –

–– – –

––

2 2+= + =< =F G

b)y= ( ) [ ( )]ln ln lnx tg x x tg x22 = +

y'=x tg x

tg xx tg x

tg xx

2 1 12 1 2 2

2+

+= + + => =H G +2cotg x+2tg x

c)y= ( )ln ln ln ln lnx

x x x x x1 131 1 2– – – – –2

2323 2 2= =f p

y'= ·( )

·( )x

xx x

xx3

11

2 2 13 1

2 2–

––

–2 2=


21


d)y= ( ) ( ) ( )ln ln ln ln lnsen x sen x x sen x2 2 2 2x x2 2= + = +

y'= ·ln cos lnsen x

xtg x

2 2 2 2+ = +

e)y= · ( ( ))ln lnx x21 1– +

y'= ·x x x x2

1 11

12 2

1– 2+=

+d n

f )y= ( )ln sen e /x 2

y'=cose e· cos

sen e sen ee e2

1

2·

/

/ //

x

x x

x

x x

2

2 22

=

Página 169

Derivabilidad

14 Observa las grá�cas de las siguientes funciones e indica en qué puntos no son derivables:

a) b) c)

2

21

12

2

2

21

12

2

2

21

12

2

d) e) f )

2

4

– 242

1

–1

4

2–2

2

4

– 242

1

–1

4

2–2

2

4

– 242

1

–1

4

2–2

¿Alguna de ellas es derivable en todo Á?

a)Noesderivableenx=–1(tieneunpunto“anguloso”),nienx=2(noestádefinidalafunción).

b)EsderivableentodoÁ.

c)Noesderivableenx=0(tieneunpunto“anguloso”).

d)Lafunciónnoesderivablenienx=–2nienx =2porqueenestosvalorestienepuntosangulosos.

e)Lafunciónnoesderivableenx=0porquenoestádefinidaenesepunto.

f )Lafunciónnoesderivableenx=2porquenoestádefinidaenesepunto.

LaúnicafunciónderivableentodoÁesladelapartadob).

15 Esta es la grá�ca de una función y = f (x). Calcula, observándola:

f ' (–1), f ' (1) y f ' (3).

¿En qué puntos no es derivable?

•Enx=–1,larectatangenteafeshorizontal;supendientees0.Portanto,f '(–1)=0.

2

2

•Enx=1,fesunafunciónconstante.Luegof '(1)=0.

• Enx=3,fesunarectaquepasaporlospuntos(2,1)y(4,5).Calculamossupendiente:

m=4 25 1–– =2.Portanto,f '(3)=2.

•Noesderivableenx=0nienx=2,yaqueenellosobservamosquef '(0–)≠f '(0+)yf '(2–)≠f '(2+).


22


16 Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican y represéntalas:

a) f (x) = x

x xxx

3 1 11

– sisi ≥

<2 +

) en x = 1 b) f (x) = x

xxx

00

– sisi ≥

<2

2* en x = 0

c) f (x) = x

xxx

2 14

33

––

sisi ≥

<2) en x = 3 d) f (x) =

xx

xx

3 23 1

22

– si ≤si >+

) en x = 2

a)Continuidadenx=1: Gráfica:

( )

( ) ( )

( )

( )l m f x l m

l m f x l m x x

f

x

2

1 2

3 1 2–í í

í í

8 8

8 8

x x

x x

1

12

1

1

– –=

= + =

=

=

+ + 4 f(x)escontinuaenx=1. Derivabilidadenx=1:

f '(x)= xxx

32 1

11

sisi

<>+

)

( )( )

''

ff

1 31 3

– ==+ 4 f(x)esderivableenx=1yf '(1)=3.

2–2 4

2

4

6

8

10

–4

–2

b)Continuidadenx=0: Gráfica:

( )

( )

( )

l m f x l m

l m f x l m

f

x

x

0

0

0 0

–í í

í í

8 8

8 8

x x

x x

0 0

0 0

2

2

– –= =

=

=

=+ +

4 f(x)escontinuaenx=0. Derivabilidadenx=0:

f '(x)=xx

xx2

200

sisi

– <>

)

2–2–4 4–2

–4

2

4

( )( )

''

ff

0 00 0

– ==+ 4 f(x)esderivableenx=0yf '(0)=0.

c)Continuidadenx=3: Gráfica:

( ) ( )

( ) ( )

( )

l m f x l m x

l m f x l m x

f

12 5

4 5

3 5

–

–

í í

í í

8 8

8 8

x x

x x2

3 3

3 3

– –= =

= =

=+ + 4 f(x)escontinuaenx=3.

Derivabilidadenx=3:

f '(x)= xxx2

2 33

sisi

<>

)

( )( )

''

ff

3 23 6

– ==+ 4 f(x)noesderivableenx=3.

2–2–4 4

2

4

6

8

10

12

–2


23


d)Continuidadenx=2:

( ) ( )

( ) ( )

l m f x l m x

l m f x l m x

3 2 4

3 1 7

–í í

í í8 8

8 8

x x

x x

2 2

2 2

– –= =

= =++ +

4 f(x)noescontinuaenx=2(tieneunadiscontinuidaddesaltofinito).

Derivabilidadenx=2: Comof(x)noescontinuaenx=2,tampocoesderivableenesepunto. Gráfica:

2–2–4 4

2

4

6

8

10

–2

17 Comprueba que la función f (x) es continua pero no es derivable en x = 2:

f (x) = ( )ln x

xxx

13 6

22

––

sisi ≥

<)

• Six≠2,lafunciónescontinuayderivable.

•Continuidadenx=2:

( )

( ) (

( )

( )

)

ln lnl m f x l m

l m f x l m

f

x

x

2 0

1 1 0

3 6 0

–

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

2 2

2 2

–=

=

=

= =

=+ 4 f(x)escontinuaenx=2.

•Derivabilidadenx=2:

( ) ( )

( ) ( )

' '

' '

l m f x l m f

l m f x l m fx 11 1 2

3 3 2–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

2 2

2 2

––

= =

= =

=

= ++

4 Lasderivadaslateralesexistenperonocoinciden. f(x)noesderivableenx=2.

18 Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones:

a) f (x) = e

x x

xx

x1

3 2

00 3

3–

si ≤sisi ≥

< <

x

2 + +* b) f (x) =

x xxx x

xx

x

2 12 2

8

11 2

2–


<

>

2

2

+ +++

*

a)Six≠0yx≠3,lafunciónescontinuayderivable. Continuidadenx=0:

( )

( )

( )

l m f x l m e

l m f x l m

f

1

1 1

0 1

í í

í í8 8

8 8

x xx

x x

0 0

0 0

–= =

= =



24


Continuidadenx=3:

( )

( )

( )

( )

l m f x l m

l m f x l m

f

x x

1 1

3 2 2

3 2

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

3 3

3 32

–=

= =

=

=

+ ++ 4 Los límitespor laderechaypor la izquierdano

coinciden.Lafunciónnoescontinuaenx=3.

Derivabilidadenx=0:

( ) ( )

( ) ( )

' '

' '

l m f x l m f

l m f x l m f

e 1 0

0 0 0

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

x0 0

0 0

––

= =

= =

=

= ++

4 Las derivadas laterales existen pero no coinciden, f(x)noesderivableenx=0.

Derivabilidadenx=3:

Comof(x)noescontinuaenx=3,f(x)noesderivableenx=3.

b)Six≠–1yx≠2,f(x)escontinuayderivable.

Continuidadenx=–1:

( )

( )

( )

( )

( )

l m f x l m

l m f x l m

f

x x

x

2 1 0

2 2 0

1 0–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

1

1 1

12

–

– –

– –=

=

=

+ + =

+ =+ 4 f(x)escontinuaenx=–1.

Continuidadenx=2:

( ) ( )

( ) (

( )

)

l m f x l m

l m f x l m

f

x

x x

2 2 6

8 12

2 12

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

2 2

2 22

– –= =

=

=

+

+ =+ 4 Loslímitesporladerechayporlaizquierdanocoinci-

den,f(x)noescontinuaenx=2.

Derivabilidadenx=–1:

( ) ( )

( ) ( )

( )' '

' '

l m f x l m f

l m f x l m f

x2 2 0 2

2 2 2

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

1

1 1

1 ––

– –

– –= =

= =

+ =

= ++

4 Lasderivadaslateralesexistenperonocoinci-den,f(x)noesderivableenx=–1.

Derivabilidadenx=2:

f(x)noescontinuaenx=2→f(x)noesderivableenx=2.

19 Estudia la continuidad y la derivabilidad de las funciones:

a) f (x) = xx

xx

x

0 00 1

1

sisi ≤si ≥

<<2* b) f (x) =

ex

xx1

00–

si ≤si >

x–)

a)Continuidad:

• Six≠0yx≠1→Escontinua,puesestáformadaporfuncionescontinuas.

• Enx=0:

( )

( )

( )

( ) ( ) .

l m f x l m

l m f x l m

f

l mx f x f

0 0

0

0 0

0

í í

í í í8 8

8 8 8

x x

x x x 0

0 0

0 02

–=

=

=

=

= =+ 4 Portanto,lafunciónescontinuaenx=0.


25


•Enx=1:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

l m f x l m x

l m f x l m x

f

l m f x f

1

1

1 1

1

í í

í í í8 8

8 8 8

x x

x x x

1 12

1 1 1

–= =

= =

=

=+ 4 →Lafunciónescontinuaenx=1y,portanto,es

continuaenÁ.

Derivabilidad:

• Six≠0yx≠1→Lafunciónesderivable.Suderivadaes,enesospuntos:

f '(x)= xx

xx

021

00 1

1

sisisi

<< <>

*•Enx=0:

f '(0–)=0=f '(0+).Portanto,f(x)esderivableenx=0;yf '(0)=0.

• Enx=1:

f '(1–)=2≠f '(1+)=1.Portanto,f(x)noesderivableenx=1.

LafunciónesderivableenÁ–{1}.Suderivadaes:

f '(x)= ≤xx

xx

021

00 1

1

sisisi

<<

>*

b)Continuidad:

• Enx≠0→Lafunciónescontinua,puesestáformadapordosfuncionescontinuas.

• Enx=0:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

l m f x l m e

l m f x l m x

f

l m f x f

1

1 1

0 1

0–

í í

í í í8 8

8 8 8

x xx

x x x

0 0

0 0 0

––

= =

= =

=

=+ 4 →Lafunciónescontinuaen x=0 y,por

tanto,escontinuaentodoÁ.

Derivabilidad:

• Six≠0→Lafunciónesderivable.Además:

f '(x)= e xx1

00

––

sisi

<>

x–)

•Enx=0:

f '(0–)=–1=f '(0+)

Portanto,f(x)esderivableenx=0yf '(0)=–1.LafunciónesderivableentodoÁ.Suderivadasería:

f '(x)=≥

e xx1

00

––

sisi

<x–)

20 a) Calcula los valores de m y n para que f sea derivable en todo Á:

f (x) = x x m

x nxxx

5 11

––

si ≤si >

2

2+

+*

b) ¿En qué puntos es f ' (x) = 0?

a)Paraqueseaderivable,enprimerlugarhadesercontinua.

• Six≠1,lafunciónescontinua,puesestáformadapordospolinomios.


26


•Enx=1:

( )

( )

( )

( )

( )

l m f x l m

l m f x l m

f

x x m m

x nx n

m1

5 4

1

4

– –

– –

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

1 1

1 1

2

2

–=

=

=

+ = +

+ = +

++ 4

Paraqueseacontinuaenx=1,hadeser–4+m=–1+n;esdecir:m=n+3.

Derivabilidad:

• Six≠1,lafunciónesderivable.Además:

f '(x)=xx n

xx

2 52

11

––

sisi

<>+

)

•Enx=1:

( )( )

''

ff n

1 31 2

––

– == ++ 4

Paraqueseaderivableenx=1,hadeser–3=–2+n,esdecir,n=–1.

Portanto,lafunciónseráderivableentodoÁsim=2yn=–1.Enestecaso,laderivadasería:

f '(x)= ≥xx

xx

2 52

111

––

sisi–

<)

b)f '(x)=2x–5six<1

2x–5=0→x=25 ;pero

25 1>

f '(x)=–2x–1six≥1

–2x–1=0→x=21– ;pero

21– <1

Portanto,f '(x)noseanulaenningúnpunto.

21 Calcula a y b para que las siguientes funciones sean derivables en todo Á:

a) f (x) = ax xx bx

xx

34

22– –

si ≤si >

2

2+* b) f (x) =

x xax b

xx

00

– si ≤si >

3

+*

a)Paraqueseaderivable,enprimerlugar,hadesercontinua.

• Six≠2→lafunciónescontinua,puesestáformadapordospolinomios.

• Enx=2debecumplirseque íl m8x 2

f(x)=f(2):

( ) ( )

( ) ( )

( )

l m f x l m ax x a

l m f x l m x bx b

f a

3 4 6

4 2

2 4 6

– – –

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

2 22

2 22

–= + = +

= =

= ++ 4

Paraqueseacontinua,hadeser4a+6=–2b ;esdecir,2a+3=–bobienb=–2a–3.

Derivabilidad:

• Six≠2→lafunciónesderivable.Además:

f '(x)=axx b

xx

2 32

22–

sisi

<>

+)


27


•Enx=2debecumplirsequef '(2–)=f '(2+):

( )( )

''

ff

ab

2 4 32 4 –

– ==

++ 4

Paraqueseaderivable,hadeser4a+3=4–b ;esdecir,b=–4a+1.

Teniendoencuentalasdoscondicionesobtenidas:

88b a

b aa a a a

b2 34 1

2 3 4 1 2 4 27

– ––

– – ––

== +

= + = ==

4

Portanto,paraquef(x)seaderivableentodoÁ,hadesera=2yb=–7.b)Continuidad:

• Enx≠0→Lafunciónescontinuapuesestáformadapordospolinomios.

• Enx=0:

( ) ( )

( ) ( )

( )

l m f x l m x x

l m f x l m ax b b

f

0

0 0

–í í

í í8 8

8 8

x x

x x

0 03

0 0

– –= =

= + =

=+ + 4

Paraqueseacontinuahadeserb=0.

Derivabilidad:

• Six≠0→Lafunciónesderivable.Además:

f '(x)= xa

xx

3 1 00

– sisi

<>

2*

•Enx=0:

( )( )

''

ff a

0 10

–– ==+ 4

Paraqueseaderivable,hadesera=–1.

Portanto,f(x)serácontinuayderivablesia=–1yb=0.

22 Prueba que la función f (x) = | x + 1 | no es derivable en x = –1.

f(x)=|x+1|=≤≥

xx

xx

11

11

– – si –si –+

)

f(x)esunafuncióncontinua,puesestáformadapordosfuncionescontinuas,six≠–1.• Enx=–1:

( ) ( )

( ) ( )

( )

l m f x l m

l m f x l m b

f

x

x

0

0

1

1

1

– –

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

1 1

1 1

– –

– –

– –= =

= =

=

++ + 4 fescontinuaenx=–1.

• Suderivada,six≠–1,es:

f '(x)=xx

11

11

– si –si –

<>

)

Lasderivadaslateralesenx=–1son:

( )( )

''

ff

1 11 1–– ––

==

+4 Nocoinciden;portanto,f(x)noesderivableenx=–1.


28


23 Di si es derivable cada una de las funciones siguientes en los puntos que se indican.

Calcula en dichos puntos las derivadas laterales.

a) f (x) = | x | en x0 = 0

b) f (x) = | x 2 – x – 6 | en x0 = –2 y x1 = 3

a)f(x)= ≥x

xxx

00

– sisi

<)

Estudiamosprimerolacontinuidadenx0=0:

( )

( ) ( ) ( )l m f x l m x

l m f x l m x l m f x f0

0 0 0–í í

í í í8 8

8 88

x x

x xx

0 0

0 00

– –= =

= = = =+ +

4 →Escontinua.

f '(x)=( )( )

''

88

x ffx

11

0 0 10 0 1

– si –si

<>

– ==+*

f '(0–)≠f '(0+)→Noesderivableenx0=0.

b)f(x)= ≤≥

x xx x

x x

xx

x

666

22 33

– ––

– –

si –si –si

<<

2

2

2+ +*

LafunciónescontinuaenÁporserelvalorabsolutodeunafunciónpolinómica.

Calculamoslasderivadaslateralesencadapunto:

f '(x)=x

xx

xx

x

22 33

2 12 12 1–

si –si –si

–

–

<<<

>+*

( )( )

''

ff

22

55

––

–– ==+ 4 →f '(–2–)≠f '(–2+)→Noesderivableenx0=–2.

( )( )

''

ff

3 53 5

–– ==+ 4 →f '(3–)≠f '(3+)→Noesderivableenx1=3.

24 Indica en qué puntos no son derivables las siguientes funciones:

a) f (x) = | x 2 – 4 | b) f (x) = | 2x – 3 |

a)f(x)=|x2–4|

f(x)esunafuncióncontinua,pueseslacomposicióndefuncionescontinuas.Ladefinimosatro-zos:

f(x)= ≤ ≤xx

x

xx

x

444

22 22

––

–

si –si –si

<

>

2

2

2+*

Six≠–2yx≠2,f '(x)esderivableysuderivadaes:

f '(x)=x

xx

xx

x

22 22

222

si –si –si

–<

>< <*

Enx=–2:Hallamoslasderivadaslaterales:

( )( )

''

ff

2 42 4– ––

– ==+ 4 f(x)noesderivableenx=–2.


29


Enx=2:Hallamoslasderivadaslaterales:

( )( )

''

ff

2 42 4

–– ==+ 4 f(x)noesderivableenx=2.

Portanto,f(x)noesderivableenlospuntos(–2,0)y(2,0).

b)f(x)=|2x–3|=/

≥ /x

xxx

2 32 3

3 23 2

––

sisi

<+)

f(x)esunafuncióncontinuapueseslacomposicióndedosfuncionescontinuas(y=2x–3ey=|x|).

Enx≠23 ,f(x)esderivableysuderivadaes:

f '(x)=//

xx

22

3 23 2

– sisi ≥

<)

Enx=23 ,fnoesderivableporquef '

23 2–

–=d n yf '

23 2=

+d n .

25 ¿Cuántos puntos que no tengan derivada hay en la función y = | x 2 – 6x – 8 |?

x2+6x+8=0→x= ± ± ±2

6 36 322

6 426 2– – – –= =

xx

24

––

==

y= ≤ ≤x xx x

x x

xx

x

6 86 8

6 8

44 2

2– – –

si –si – –si –

<

>

2

2

2

+ +

+ +* y'=

xx

x

xx

x

44 2

2

2 62 62 6–


–<

<><

+

+*

Lafunciónescontinua,pueseselvalorabsolutodeunafuncióncontinua.

Enx=–4→y'(–4–)=–2≠y'(–4+)=2

Enx=–2→y'(–2–)=–2≠y'(–2+)=2

Lafunciónnoesderivablenienx=–4nienx=–2;esdecir,en(–4,0)yen(–2,0).

Sondospuntos“angulosos”.


a) y = | x – 2 |

b) y = | x 2 + 6x + 8 |

c) y = x + | x – 3 |

d) y = x 2 + | x |

a)Definimoslafunciónporintervalos:

f(x)= ≥xxx

x22 2

2–sisi

– <+)

Derivamos:

f '(x)=xx

11

22

– sisi

<>

)

( )( )

''

ff 1

2 12

–– ==+ 4 f '(2–)≠f '(2+)→Noexistef '(2)

LafunciónesderivableenÁ–{2}.


30


b)Definimoslafunciónporintervalos.Paraello,calculamoslospuntosenlosquey=0:

x2+6x+8=0→x= ± ±2

6 36 3226 2– – –=

xx

42––

==

f(x)= ≤ ≤x xx x

x

x

x xx6 8

6 8

6 8 44 2

2– – –

si –si –si

––

<

>

2

2

2

+ +

+ +* Derivamos:

f '(x)=x

xx

xx

x

44 2

2

2 62 62 6–


–<

>< <

+

+*

( )( )

( )( )

''

ff 4

4 2 4 6 22 4 6 2–

– – –– – –

– ==

+ ==+ 4 f '(–4–)≠f '(–4+)→Noexistef '(–4)

( ) ( )( ) ( )

''

ff

2 2 2 6 22 2 2 6 2– – – – –– – –

– = == + =+ 4 f '(–2–)≠f '(–2+)→Noexistef '(–2)

LafunciónesderivableenÁ–{–4,–2}.

c)Analizamoselsignodex–3paradefinirlafunciónporintervalos:

–x + 3

xx

x – 3

3

( )x xx x x

3 33 2 3

–– –

+ + =+ =

Así:

f(x)=xxx

32 3

33

sisi ≥–

<)

Derivamos:

f '(x)=xx

33

02

sisi

<>

)

( )( )

''

ff 3

3 02

– ==+ 4 f '(3–)≠f '(3+)→Noexistef '(3)


d)Definimoslafunciónporintervalos.

Recordamosque|x|=xx

xx

00

sisi ≥

– <) .

Así:

f(x)=x x

xx

x x 00

sisi ≥

– <2

2

+*

Derivamos:

f '(x)= xxx

x2 1

00

2 1 sisi

– <>+

)

( )( )

··

''

ff

0 2 0 1 10 2 0 1 1

– –– ==

=+ =+ 4 f '(0–)≠f '(0+)→Noexistef '(0)



31


27 a) Comprueba que la siguiente función es derivable y halla f ' (0), f ' (3) y f ' (1):

f (x) = x

x xxx

3 1 11

– sisi ≥

<2 +

)

b) ¿Cuál es su función derivada?

c) ¿En qué punto se cumple que f ' (x) = 5?

d) ¿Hay algún punto en el que f ' (x) = –1?

a)Six≠1,lafunciónescontinuayderivable,puesestáformadapordospolinomios.

Continuidadenx=1:

( ) ( )

( ) ( )

l m f x l m x

l m f x l m x x

3 1 2

2

–í í

í í8 8

8 8

x x

x x

1 1

1 12

–= =

= + =+

( )f 1 2=

4 f(x)escontinuaenx=1. Derivabilidadenx=1:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

' '

' '

l m f x l m f

l m f x l m x f

3 3 1

2 1 3 1

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

1 1

1 1

––

= = =

= + = = ++

4 Lasderivadaslateralesexistenycoinciden. Luegof(x)esderivableenx=1.Además,f '(1)=3.

Así,f(x)escontinuayderivableentodoÁ.

f '(0)=3

f '(3)=2·3+1=7

b)f (x)= ≥xxx

32 1

11

<+

'

c)Sif '(x)=5,entoncesx≥1.Esdecir:

f '(x)=2x+1=5→x= 24 2 1>=

f '(2)=5

d)f '(x)=–1→2x+1=–1→x=–1(noesválidoporquenopertenecealintervalodedefinición).

Nohayningúnpuntoenelqueladerivadasea–1.

Página 170

Para resolver

28 Calcula el valor de la derivada en x = 0 de cada una de las siguientes funciones:

a) g (x) = e sen f (x) si f (0) = 0 y f ' (0) = 1

b) h (x) = [sen f (x)]3 si f (0) = π4

y f ' (0) = 1

c) j (x) = ( )ln f x si f (0) = e y f ' (0) = 1

a)Aplicamoslaregladelacadena:

g'(x)=D[sen f(x)]·e sen f(x)=f '(x)·cos f(x)·e sen f(x)

g'(0)=f '(0)·cosf(0)·e sen f(0)=1·cos0·e sen f(0)=1·1·1=1


32


b)Aplicamoslaregladelacadena:

h'(x)= [ ( )] · [ ( )] [ ( )]sen f x D sen f x sen f x3 32 2= ·f '(x)cos f(x)

h'(0)= [ ( )]sen f3 0 2 ·f '(0)·cos f(0)= · · · ·π πcossen34

14

321 1

21

2 23

43 22 2

= = =e o; Ec)Aplicamoslaregladelacadena:

j'(x)=( )

[ ( )]( )( )

·( )

'lnln

lnf xD f x

f xf x

f x2 21=

j'(0)=( ) ( )

( )'ln lnf f

fe e e e2 0 0

02

12 11

21= = =

29 Considera las siguientes funciones polinómicas:

f (x) = x 2 g (x) = 3x + 1

Calcula:

a) ( f ° g )' (x)

b) ( g ° f )' (x)

c) f ° g' (x)

d) f ' ° g (x)

a)(f°g )' (x)=f '[g(x)]g'(x)

Comof(x)=x2yg(x)=3x+1→f '(x)=2x,g'(x)=3

(f°g )' (x)=2·(3x+1)·3=6(3x+1)=18x+6

Tambiénpodemoshacer:

(f°g ) (x)=f [g(x)]=f(3x+1)=(3x+1)2

(f°g )' (x)=2·3(3x+1)=18x+6

b)(g°f)'(x)=g'[f(x)]f '(x)=3·2x=6x

Obien:

(g°f)(x)=g[f(x)]=3x2+1→(g°f)'(x)=6x

c)(f°g' )(x)=f[g'(x)]=f(3)=9

d)(f'°g )(x)=2·g(x)=6x+2,yaquef '(x)=2x.

30 Sean f y g dos funciones tales que f (x) = x 2 + 1 y g ' (x) = cos π x2

b l y g (0) = 4. Calcula:

a) ( f ° g )' (0)

b) ( g ° f )' (0)

c) (g –1)' (4)

d) ( f –1)' (5)

a)(f°g )'(0)=f '[g(0)]·g'(0)=2·g(0)·g'(0)=2·4·cos0=8

b)(g°f)'(0)=g'[f(0)]·f '(0)=g'(1)·2·0=0

c)(g–1)'(4)=( ( )) ( )' ' cosg g g41

01

01 11– = = =

d)Paraquefseainyectivaysepuedadeterminarlafunciónrecíproca,supondremosquex>0.

(f–1)'(5)=( ( )) ( ) ·' 'f f f5

121

2 21

41

1– = = =


33


31 Considera las siguientes funciones:

f (x) = (x + 1)2 g (x) = x 2

a) Calcula:

f ' (x 2) ( f ° g )' (x) g' [ f (x)] ( g ° f )' (x)

b) Si h es una función cualquiera, halla, en función de h' y de h, las derivadas de:

f [h (x)] f [x + h (x)] g [ f (x + h (x))]

a)f '(x)=2(x+1),g '(x)=2x

f '(x2)=2(x2+1)

(f°g )'(x)=f '[g(x)]·g'(x)=f '(x2)·g' (x)=2(x2+1)·2x=4x(x2+1)

g'[f(x)]=g'[(x+1)2]=2(x+1)2

(g°f)'(x)=g'[f(x)]·f '(x)=2(x+1)2·2(x+1)=4(x+1)3

b)f[h(x)]'=f '[h(x)]·h'(x)=2[h(x)+1]·h' (x)

f[x+h(x)]'=f '[x+h(x)]·[1+h'(x)]=2[x+h(x)+1]·[1+h'(x)]

g[f[x+h(x)]]'=g'[f[x+h(x)]]·(f[x+h(x)])'[1+h'(x)]=

=g'[(x+h(x)+1)2]·(f[x+h(x)])'[1+h'(x)]=

=2(x+h(x)+1)2·2[x+h(x)+1]·[1+h'(x)]=

=4(x+h(x)+1)3·[1+h'(x)]

32 a) Representa la función f (x) = | x + 1 | + | x – 3 |.

Observando la grá�ca, di en qué puntos no es derivable.

b) Representa f ' (x).

Ayúdate de la resolución del Ejercicio resuelto 5.

a)f(x)= ≤ ≤ ≤ ≤x x

x xx x

xx

x

x

x

xx

x

1 31 31 3

11 33

2 242 2

11 33

– – ––

–

si –si –si

sisisi

–

–

––

<

>

<

>

++ ++ +

=+

* *4

2

4

–2–4 2 4 6

Noesderivablenienx=–1nienx=3.(Sonpuntos“angulosos”).

b)f '(x)=x

xx

202

11 33

– si –si –si

<< <>

*

2

–2–1 3


34


33 Dada la función f (x) = x · | x | = x

xxx

00

– sisi ≥

<2

2*

a) Halla f ' (x).

b) Halla f '' (x).

Representa grá�camente los resultados.

a)LafuncióndadaescontinuaenÁ.

f '(x)=x x

x x2 0

02– si

si<>

)

Claramentelasderivadaslateralescoincidenenx=0.

Portanto,esderivableyf '(0)=0.

Gráficadef '(x):

2 4–4 –2

4

6

2

–2

Y

X

b)Comosepuedeverenlagráficaanterior,f ' (x)escontinuaenÁ.

f ''(x)=xx

22

00

– sisi

<>

)

Claramentelasderivadaslateralesnocoincidenenx=0.Portanto,noexistef ''(0).

2 4–4 –2–2

4

2

–4

Y

X

34 Las siguientes funciones tienen algún punto donde la derivada no existe. Hállalos en cada caso:

a) f (x) = x23 b) f (x) = x 2+

c) f (x) = x 1–2 d) f (x) = | x – 3 |

e) f (x) = x2

4 5– f ) f (x) = | x 2 – 2x |

a)f(x)=x2/3;Dom f=Á→f '(x)= xx3

232/1 33

– =

f '(x)noexistesix=0;esdecir,f(x)noesderivableenx=0.

b)f '(x)=x2 21+

f '(x)noexistesix=–2;eldominiodef(x)es[–2,+∞).

Portanto,enlospuntosenlosquelafunciónestádefinida,noesderivableenx=–2.

c)Eldominiodelafunciónes(–∞,–1]ø[1,+∞).

f '(x)=x

xx

x2 1

21– –2 2

=

Enlospuntosenlosquef(x)estádefinida,noesderivableenx=–1,nienx=1.


35


d)f(x)= ≥x

xxx

33

33

––

sisi

<+) ;f '(x)=xx

33

11– si

si<>

)

f(x)escontinuaenÁ;peronoesderivableenx=3,puessusderivadaslateralesnocoinciden.

( )( )

''

ff

3 13 1

–– ==+ 4 Sondistintas.

e)f(x)=≥

x

x

x

x

24 5

24 5

45

45

–

–

si

si

<+

* ;f '(x)=//

xx

22

5 45 4

– sisi

<>

)

f(x)escontinuaenÁ;peronoesderivableenx=45 ,puessusderivadaslateralesnocoinciden.

( )( )//

''

ff

5 4 25 4 2


f)f(x)= ≤ ≤x xx x

x x

xx

x

222

00 2

2

––

–

sisisi

<

>

2

2

2+* f '(x)=

xx

x

xx

x

2 22 22 2

00 2

2

––

–

sisisi

<< <>

+* f(x)escontinuaenÁ;peronoesderivableenx=0,nienx=2,puessusderivadaslaterales

nocoinciden:

( )( )

''

ff

22

00

–– ==+ 4 Sondistintas. ( )

( )''

ff

22

22


35 ¿Cuál de los siguientes apartados representa la grá�ca de una función f y la de su derivada f ' ? Justi�ca tu respuesta.

a) b) c)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a)Lafunciónenrojoesunarectaquetienependiente3.Portanto,suderivadaesy=3(larectaverde).

Luegoestasgráficassírepresentanaunafunciónysuderivada.b)La función en rojo es un polinomio de 2.° grado, una parábola. Su derivada es una recta. En

x= 0,lafuncióntieneunmáximo;laderivadaseanula.Paraquelarectafueraladerivada,tendríaquepasarpor(0,0).

Norepresentan,portanto,aunafunciónysuderivada.c)Lafuncióntienequeserunpolinomiode3.ergradoporquetienedosextremosrelativos.Sude-

rivadaseráunpolinomiode2.°grado,unaparábola.Enx=1,lafuncióntieneunmáximo;laderivadaseanula,f '(1)=0,ytendríaquepasarpor(1,0).

Estastampocorepresentanaunafunciónysuderivada.

36 Estas grá�cas son las funciones derivadas de f, g, h y j:

2

2

2

22

2

2

f '

g'

j'h'

2

a) ¿Cuáles de esas funciones (f, g, h y j) tienen puntos de tangente horizontal?

b) ¿Cuál de estas grá�cas es la función derivada de una función polinómica de primer grado?


36


c) ¿Cuál de ellas corresponde a una función polinómica de segundo grado?

d) ¿Alguna puede ser polinómica de tercer grado?

e) ¿Alguna de las funciones puede ser y = ln x ?

a)Lospuntosdetangentehorizontalsonlospuntosenlosqueseanulaladerivada.

f tieneunpuntodetangentehorizontalenx=–2,puesf '(–2)=0.

jtienedospuntosdetangentehorizontalenx=1yenx=3,puesj'(1)=j'(3)=0.

gyhnotienenningúnpuntodetangentehorizontal.

b)Laderivadadeunafunciónpolinómicadeprimergradoesunafunciónconstante.Portanto,esg'.

c)Laderivadadeunafunciónpolinómicadesegundagradoesunafunciónpolinómicadeprimergrado.Portanto,esf '.

d)Comoj'tieneformadeparábola,alserunafunciónpolinómicadesegundogrado,lafunciónjespolinómicadetercergrado.

e)D[ln x]=x1 ysecorrespondeconlafunciónh'yaquetieneformadehipérbola.

Portanto,hpuedeserlafunciónlogaritmoneperiano.

37 Averigua para qué valores de x es f ' (x) = 0 en cada una de las siguientes funciones:

a) f (x) = ( )x x123 8–2

b) f (x) = x 4 + 2x 2 c) f (x) = x 1

12 +

d) f (x) = e x (x – 1)

a)f(x)= x x12

3 8–3 2→f '(x)= x x

129 16–2

f '(x)=0→9x2–16x=0→x(9x–16)=0 x

x

0

916

=

=

b)f '(x)=4x3+4x=4x(x2+1)

f '(x)=0→4x(x2+1)=0→x=0

c)f '(x)=( )x

x1

2–2 2+

f '(x)=0→–2x=0→x=0

d)f '(x)=e x(x–1)+e x·1=e x(x–1+1)=e xx

f '(x)=0→x=0

38 Averigua si en las siguientes funciones existen puntos en los que f ' (x) = 0:

a) f (x) = xx

12 3–

+ b) f (x) =

xx

162 +

c) f (x) = ln (x + 1) d) f (x) = 10 – (x – 2)4

a)f '(x)=( )

( ) ( ) ·( ) ( )x

x xx

x xx1

2 1 2 3 11

2 2 2 315– – –

2 2 2++ =

++ + =

+ f '(x)≠0paracualquiervalordex.

b)f '(x)=( )

( ) ·( ) ( )x

x x xx

x xx

x1

6 1 6 21

6 6 121

6 6– – –2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

++ =

++ =

++

f '(x)=0→–6x2+6=0→x2=1 ( , )

( , )8

8xx

1 1 31 1 3– – –=

=c)f '(x)=

x 11+

≠0paracualquiervalordex.

d)f '(x)=–4(x–2)3

f '(x)=0→x=2→(2,10)


37


39 Halla la pendiente de la recta tangente a las siguientes funciones en el punto de abscisa que se indica en cada caso:

a) y = sen x cos x en x = π4

b) y = x ln x en x = e

c) y = ex

x

2 en x = 0 y x = 1 d) y = e x 2 – 1 en x = 1

Debemoshallarladerivadaenlospuntosindicadosencadacaso:a)y'= · ( )cos cos cosx x sen x sen x x sen x– –2 2+ =

y'= π4 2

222 0–

2 2= =c e em o o

b)y'= · ;ln lnx xx

x1 1 1· + = + y'(e)=ln e+1=1+1=2

c)y'=( )

·( )( )

exe x e

ee x x

ex x2 2 2– – –

x

x x

x

x

x2

2

2

2 2= =

y' (0)=0;y'(1)=e1

d)y'=2x e x 2–1;y' (1)=2

Página 171


40 ¿Cuántos puntos de derivada nula puede tener una función polinómica de tercer grado? ¿Es po-sible que no tenga ninguno? ¿Es posible que solo tenga uno?

Comoladerivadadeunafunciónpolinómicadetercergradoesunafunciónpolinómicadesegundogrado,tieneunmáximodedospuntosdederivadanula.

Puedeserquenotengapuntosdederivadanula.Porejemplo,lafunciónf(x)=x3+xnotienepun-tosdederivadanulaporquef '(x)=3x2+1nuncaseanula.

Tambiénpuedetenerunúnicopuntoconderivadanula.Porejemplo,lafunciónf(x)=(x–2)3solotieneunpuntodederivadanulaporquef '(x)=3(x–2)2soloseanulacuandox=2.

41 Justi�ca que una función polinómica de segundo grado tiene siempre un punto de tangente horizontal.

Laderivadadeunafunciónpolinómicadesegundogradoesunafunciónpolinómicadeprimergrado.Sif(x)eslafunción,entoncesf '(x)=ax+bcona≠0.

Entalcaso,laecuaciónf '(x)=0→ax+b=0siempretienesoluciónyesaeslaabscisadelpuntodederivadanula.

42 Si una función tiene un punto anguloso en x = a, ¿qué podemos decir de f ' (a)?

f '(a)noexiste.

43 Si la derivada de una función es 0 en todo Á, entonces ¿la función es lineal, constante o cero?

SiladerivadadeunafunciónentodoÁes0,entonceslafunciónesconstante.Laderivadadeunafunciónlinealeselcoeficientedexy,portanto,novale0.

44 ¿Puede haber dos funciones distintas que tengan la misma función derivada? Pon ejemplos de funciones cuya derivada sea f (x) = 2x.

Sí.Porejemplo,lasfuncionesg(x)=x2yh(x)=x2+3tienenlamismaderivada,queeslafunciónf(x)=2x.Sidosfuncionessediferencianenunaconstante,entonceslasderivadassoniguales.


38


45 Supongamos que existe la derivada de f en a. Explica cuáles de las siguientes igualdades son verdaderas. En el caso de haber alguna falsa, retócala para que sea verdadera:

a) l mí8 0h

( ) ( )f a f a

h– h –

= – f ' (a) b) l mí8 0h

( ) ( )

af f a

h –h –

= f ' (a)

c) l mí8 0h

( ) ( )f a f a2

hh –+

= 2f ' (a) d) l mí8 0h

( ) ( )f a f a2

hh – h+ +

= f ' (a)

a) l mí8 0h

( ) ( )f a f a

h– h –

= l mí8 0h

( ) ( )f a f a

––h

– h –e o =–f '(a)→Verdadero.

b)f '(a)= l mí8 0h

( ) ( )

af f a

h –h – →Estaigualdadesfalsaporqueelresultadodellímiteanterior,sia≠ 0

ylafunciónestádefinidaen0,es ( ) ( )a

f f a0–– .Paraqueseaverdadera,tenemosquesustituirh

pora+hyobtenemosquef '(a)= l mí8 0h

( ) ( )f a f a

hh –+ .

Tambiénseríaverdaderasustituyendoapor0,yaquef '(0)= l mí8 0h

( ) ( )f f

00

h –h – .

c) l mí8 0h

( ) ( )f a f a2hh –+

= l mí8 0h

·( ) ( )f a f a

222hh –+e o =2·f ' (a)→Verdadero.

d) l mí8 0h

( ) ( )f a f a2h

h – h+ += l mí

8 0h

( ) ( ) ( ) ( )f a f a f a f a2h

h – – h+ + +=

= l mí8 0h

( ) ( ) ( ) ( )f a f a f a f a2

hh –

–hh –+ +e o =

=2·f '(a)–f ' (a)=f ' (a)→Verdadero.

Para profundizar

46 Determina, si es posible, el valor del parámetro a para que la función f sea derivable en todo su dominio de de�nición:

f (x) = ( )lnx x

a exx1

0 11–

si ≤si

<<x1 –*

Paraquef(x)seaderivable,enprimerlugar,hadesercontinua.• Six>0,x≠1:Lafunciónescontinua,puesestáformadaporfuncionescontinuas.• Enx=1:

( ) ( )

( ) [ ( )]

( )

lnl m f x l m x x

l m f x l m a e

f

1

1 0

1 0

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x xx1

1 1

1 1–

–= =

= =


Derivabilidad:• Six>0,x≠1:

Esderivable.Además:f '(x)=ln

xx

aex1 0 11

sisi

< <>x1 –

+)

•Enx=1:

( )( )

''

ff a

1 11

– ==+ 4 f(x)esderivableenx=1sia=1.

Luego,paraquefseaderivableentodosudominiodedefinición,hadesera=1.


39



a) f (x) = | |x1

1+

b) f (x) = | |

xx

1–2

a)Definimoslafunciónporintervalos:

f(x)=≥

x

x

x

x

11

11

0

0

–si

si

<

+*

Continuidad:

• Six≠0:

Escontinua,puesestáformadapordosfuncionescontinuasenlosintervalosenlosqueestándefinidas.

• Six=0:

( )

( )

( )

( ) ( ) .

l m f x l mx

l m f x l mx

f

l m f x f

11 1

11 1

0 1

0

–

–

í í

í í í

8 8

8 8 8

x x

x x x

0 0

0 0 0

–= =

= =

=

=+

4 Escontinuaenx=0.

Portanto,esunafuncióncontinuaenÁ.

Derivabilidad:

• Six≠0:Esderivable.Además:

f '(x)= ( )

( )

x

x

x

x

1

1

0

0

1

1–

si

si

–<

>

2

2+

*•Enx=0:

f '(0–)=1≠f '(0+)=–1→Noesderivableenx=0.

Portanto,esderivableenÁ–{0}.

b)Definimoslafunciónporintervalos:

f(x)=

x

x

x

xx

xx

0

0

1

1

si

si ≥

––

–

<2

2

* EldominiodelafunciónesÁ–{–1,1}.Portanto,enx=–1yenx=1lafunciónnoescontinua

(niderivable).

Continuidad:

• Six≠0,x≠–1,x≠1:

Lafunciónescontinua,puesestáformadaporfuncionescontinuas(enestospuntos).

• Enx=–1yenx=1:

Noescontinua,puesnoestádefinidaenestospuntos.

• Enx=0:

( ) ( ) .f x f 0=

( )

( )

( )

l m f x l mx

x

l m f x l mx

x

f

l m1

0

10

0 0

––

––

í í

í í í8 8

8 8 8

x x

x x x

0 0 2

0 0 2 0

–= =

= =

=

+4 Lafunciónescontinuaenx=0.

Portanto,esunafuncióncontinuaenÁ–{–1,1}.


40


Derivabilidad:• Six≠0,x≠–1,x≠1:Esderivable.Además:

f '(x)= ( )

( )

xx

xx

x

x

11

11

0

0

–

––

si

si–

<

>

2 2

2

2 2

2

+

*•Enx=–1yenx=1:Noesderivable,puesnoestádefinidalafunción.• Enx=0: f '(0–)=1≠f '(0+)=–1→Noesderivableenx=0. Portanto,esderivableenÁ–{–1,1}.

48 Si f (x) = x 2 | x |, halla f ', f '' y f '''.

f(x)=x

xx

x 00

sisi ≥

– <3

3*

Derivando:

f '(x)= x xxx

3 003

– sisi ≥

<2

2*

(Enx=0,tenemosquef '(0–)=f '(0+)=f '(0)=0).

f ''(x)=xx

xx

00

66– si

si ≥<)

(Enx=0,tenemosquef ''(0–)=f '(0+)=f ''(0)=0).

f '''(x)=xx

00

66

sisi

– <>

)

(Enx=0noexistef ''',puestoquef '''(0–)=–6≠f '''(0+)=6).

49 Halla la derivada n-ésima de las siguientes funciones:

a) y = e ax b) y = x1 c) y = ln (1 + x) d) f (x) = x n

a)y'=a e ax;y''=a2e ax;y'''=a3 e ax;…y n)=a n e ax

Lodemostramosporinducción:(paran=1,2,3secumple).

Siy n–1)=a n–1e ax,derivandoobtenemos:

y n)=a · a n–1e ax=a n e ax,comoqueríamosdemostrar.

b)y'=x1–2 ;y''=

x23 ;y'''= x

6–4;…y n)= ( ) !

xn1–

n

n

1+


Siy n–1)= ( ) · ( ) !x

n1 1– –n

n 1–,derivandoobtenemos:

y n)= ( ) ( ) ! ( ) ( ) · !xn n

xn1 1 1 1– · – – · –

n

n

n

n

1

1

1

–=+ + ,comoqueríamosdemostrar.

c)y'=x1

1+

;y''=( )x1

1–2+;y'''=

( )x12

3+;…y n)=

( )( ) ( ) !

xn

11 1– –

n

n 1–

+



41


Siy n–1)=( )

( ) · ( ) !x

n1

1 2– –n

n

1

2

–

–

+,derivandoobtenemos:

y n)=( )

( ) ( ) ! ( ) ( )( )

( ) · ( ) !x

n nx

n1

1 2 1 11

1 1– · – – – – –n

n

n

n2 1– –

+=

+,comoqueríamosdemostrar.

d)f '(x)=nx n–1

f ''(x)=n(n–1)x n–2

f '''(x)=n (n–1)(n–2)x n–3

…

f n)(x)=n(n–1)(n–2)·…·[n–(n–1)]x n–n=n!

50 Calcula f ' (0) para la siguiente función:

f (x) = ln x

e e2 1x x–

++

Aplica las propiedades de los logaritmos antes de derivar.

Hallamosf '(x)ydespuéssustituimosenx=0.

f(x)= [ ( ) ( )]ln lne e x21 2 1–x x–+ +

f '(x)=e ee e

x21

2 12– –x x

x x––

+ +; E

f '(0)= · ( )21 2 1– –=

51 Prueba, utilizando la de�nición de derivada, que la siguiente función es derivable en x = 1 y no lo es en x = –1:

f (x) = (1 – x) x1 – 2

Eldominiodedefinicióneselintervalo[–1,1].Portanto,elenunciadoserefierealasderivadaslate-ralesenlospuntosdados.

Veamosprimerosiexisteladerivadaporlaizquierdaenx=1:

l mí8 0h –

( ) ( )f f1 1

hh –+

= l mí8 0h –

( ) ( )1 1 1 1 0h

– – h – h –2+ = l mí8 0h –

2h

–h – h – h2 =

= l mí8 0h –

( )2 0– – h – h2 = →Existeladerivadayf '(1–)=0.

Veamosahoralaexistenciadeladerivadalateralporladerechaenx=–1:

l mí8 0h +

( ) ( )f f1 1

h– h –+

= l mí8 0h +

( ) ( )1 1 1 1 0h

– h – – h –2+ + =

= l mí8 0h +

( )2 2h

– h h – h2 = l mí8 0h +

( )2 2– hh

h – h2

2=> H

= l mí8 0h +

( )2 2 1– hh–< F =+∞→Noexistef '(–1+).


42


Autoevaluación

Página 171

1 Halla la función derivada de las siguientes funciones:

a) y = x x3 2 1+ b) y = x5

c) y = ( )x

x2 2+

d) y = xx

11 –

2

+c m

e) y = e 2x + 1 f ) y = ln x3

1+b l

a)y'= ( )x xx x

x xx

x3 2 1 32 2 1

22 1

3 2 1 32 19 3+ +

+=

++ + =

++

b)y'=·5–

xx

x x21

25–=

c)y'=( )

( ) · ( )( ) ( )x

x x xx

x xxx

22 2 2

22 2

22– – –

4

2

3 3++ + =

++ =

++

d)y'=( )

( ) ( )( ) ( )

( )xx

xx x

xx

x xx2

11

11 1 1 2

11

12

14 1– – – – – – – –

2 2 3+ ++ =

+ +=

+d dn n

e)y'=2e2x+1

f)y'=1+

:x

xx

3

31

31

33

31= + =+

2 Aplica las propiedades de los logaritmos para hallar la derivada de estas funciones:

a) f (x) = ln x x5–25 b) f (x) = ln cos xx x3

2 2

3 +

a)f(x)=ln(x2–5x)1/5= ( )ln x x51 5–2 →f '(x)=

( )x xx

x xx

51

52 5

5 52 5

––

––

2 2=

b)f(x)= ( ) ( )lncos

ln ln cosx

x x x x x321 3 2–

/

2 2

3 1 23 2+ = + →

→f '(x)=( )( )

( )( )

cos cosx xx

xsen x x

x xx

xx sen x

x xx x tg x

21

33 3 2

2 33 1 4

2 33 1 42– – ·

3

2

2

2

3

2

2

2

3

22

++ =

++ + =

++ +

3 Aplica la de�nición de derivada para hallar f ' (x) siendo:

f (x) = x12

f(x)=x12

f(x+h)–f(x)=( ) ( ) ·

( )( )x x x x

x xx x

x1 1 2h

–h

– hh

– h – h2 2 2 2

2 2

2 2

2

+=

++ =

+

f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f x

hh –+

= l mí8 0h

( )x xx

xx

x2 2 2

h h– h – h – –2 2

2

4 3+= =


43


4 Dada la función f (x) = | x | + | x 2 + 2x |, defínela por intervalos y obtén:

a) f ' (x)

b) f '' (x)

Representa f (x), f ' (x) y f '' (x).

|x|= ≥xx

xx

00

– sisi

<)

|x2+2x|=≥

x xx x

x x

xx

x

22

2

22 00

– –si –si –si

<< <

2

2

2

+

+*

f(x)=|x|+|x2+2x|= ≤≥

x xx x

x x

xx

x3

3

22 00

– –si –si –si

<<

2

2

2

+

+*

2 4–4 –2–2

4

2

Y

X

Gráficadef(x)

f(x)noesderivableenx=–2yx=0yaquelospuntossonangulosos.Laderivadaes:

f '(x)=x

xx

xx

x

22 00

2 12 32 3

si –si –si

– –<

<<>

+

+*

2 4–4 –2–2

4

2

–4

Y

X

Gráficadef '(x)

Alnoexistirf '(–2)nif '(0),noexistenf ''(–2)nif ''(0).

f ''(x)=x

xx

222

22 00

–si –si –si

<< <>

*

2 4–4 –2–2

4

2

–4

Y

X

Gráficadef ''(x)


44


5 Estudia la continuidad y la derivabilidad de esta función:

f (x) = x x

x

xx

2 1

14

11

– si ≤si >

2 +

+*

f(x)escontinuasix<1ysix>1,porquelasfuncionesqueladefinenloson.

Estudiamoslacontinuidadenx=1.

l mí8x 1

f(x)

( ) ( )

( )

l m f x l m x x

l m f x l mx

2 1 2

14 2

–í í

í í

8 8

8 8

x x

x x

12

1

1

1

– –= + =

=+

=+ +

f(1)=1+2–1=2

Como l mí8x 1

f(x)=f(1)=2,fescontinuaenx=1.

Portanto,fescontinuaenÁ.

Hallamosf '(x)=( )

x

x

x

x

2 2

14

1

1–si

si

<

>2

+

+*

fesderivablesix<1ysix>1.

Estudiamossuderivabilidadenx=1.

( ) ·

( )( )

'

'

f

f

1 2 1 2 4

11 1

4 1– –2

– = + =

=+

=+ 4 Comof '(1–)≠f '(1+),noexistef '(1).

fesderivableenÁ–{1}.

6 Calcula el valor de los parámetros a y b para que la siguiente función sea derivable:

f (x) = ax bx x

xx3 2

00–

sisi ≥

<2

++

)

Representa la función para los valores hallados de a y b.

Paraquefseaderivableenx=0,debesercontinuaenesepunto.

l mí8x 0

f(x)

( )

( )

l m ax b b

l m x x3 2 2–

í

í

8

8

x

x

0

02

–+ =

+ =+

4Paraque l mí

8x 0f(x)=f(0)=2,debeserb=2.

Sib=2,fescontinuaenÁ.

f '(x)=ax

xx2 3

00–

sisi

<>

)Veamossifesderivableenx=0:

( )( )

''

ff

a3

00 –

– ==+ 4 Paraqueexistaf '(0),debesera=–3.

Sia=–3,fesderivableenÁ.

f(x)= ≥xx

xx x

00

3 23 2

sisi

––

<2

++

) X

Y

1

1


45


7 Indica en qué puntos no es derivable la siguiente función:

f (x) = | x 2 – 4x + 3 |

Justi�ca tu respuesta.

Definimoslafunciónporintervalos.Paraello,hacemos:

x2–4x+3=0→x= ±2

4 16 12– xx

13

==

f(x)=≤

≥

x xx x

x x

xx

x

4 34 34 3

11 3

3

–– –

–

sisisi

< <

2

2

2

++

+*

Hallamosf '(x):

f '(x)=x

xx

xx

x

11 3

3

2 42 42 4–

sisisi

–

–< <<

>+*

Estudiamosladerivabilidaddefenx=1yenx=3:

( )( )

··

''

ff

1 2 1 4 21 2 1 4 2

– ––

– ==

=+ =+ 4 Comof '(1–)≠f '(1+),noexistef '(1).

( )( )

··

''

ff

3 2 3 4 23 2 3 4 2

– ––

– ==

+ ==+ 4 Comof '(3–)≠f '(3+),noexistef '(3).

fnoesderivablenienx=1,nienx=3.

8 Halla los puntos en los que la pendiente de la recta tangente es igual a 0 en cada una de las siguien-tes funciones:

a) f (x) = xx

11

–2

2 + b) f (x) = x

x1–2

3

a)f '(x)=( )

( ) ( )( )x

x x x xx

x1

2 1 1 21

4–

– ––

–2 2

2 2

2 2+ =

f '(x)=0→–4x=0→x=0

b)f '(x)=( )

( )( )x

x x x xxx x

13 1 2

13

–– –

––

2 2

2 2 3

2 2

4 2=

f '(x)=0→x4–3x2=0→x2(x2–3)=0→x=0,x= 3 ,x=– 3

1

Unidad 7. Aplicaciones de las derivadas BACHILLERATOMatemáticas aplicadas a las


Resuelve

Página 173

Optimización

■ Una persona se acerca a una estatua de 2 m de altura. Los ojos de la persona están 1 m por debajo de los pies de la escultura. ¿A qué distancia se debe acercar para que el ángulo, φ, bajo el cual ve la estatua sea máximo?

Hay una hermosa resolución por métodos geométricos. Obsérvala:

Se traza una circunferencia que pasa por los puntos A y B y es tangente a la recta r.

Demuestra que el punto de tangencia, T, es el lugar de la recta r desde el que se ve el segmento AB con ángulo máximo.

O

A

B

T r

2

1

Para probar que el ángulo trazado desde el punto de tangencia T es el mayor posible entre todos los trazados desde puntos de la recta usaremos la siguiente propiedad:“Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales”.

Sea P un punto cualquiera situado sobre la recta r (análogamente se razonaría si se encuentra en la posi-ción de Q). Unimos el punto P con A y B y obtenemos el punto de corte P ' con la circunferencia. El ángulo APB% es menor que el ángulo 'AP B% pero 'AP B ATB=% % porque los dos son ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco AB. En consecuencia el ángulo trazado desde P es menor que el trazado desde el punto de tangencia T. Así, cualquier ángulo trazado desde puntos de la recta distintos de T es menor que ATB% , de donde se deduce que este es el mayor ángulo posible.

O Q P

A

B

T rQ'

P'

BACHILLERATOUnidad 7. Aplicaciones de las derivadas

2


1 Recta tangente a una curva

Página 175

1 Halla las rectas tangentes a cada curva que cumplen la condición que se indica:

a) y = x

x x x2

5 7 16–

–3 2+ b) y = x x x3

6– –3 2 +

en los puntos de abscisa 0, 1, 3. paralelas a la recta y – x = 9

c) y = 2x – x 2 d) y = x x x3

2– –3 2 +

que pasan por el punto P (2, 1). que pasan por el punto P (2, 0).

a) Calculamos la derivada de la función:

y' = ( )( )

( ) ( ) ( )x x

x x xx x x x x x2 2

15 14 16 2 5 7 16 10 23 28 32– –

–– – – – –2

3 2

2

2 3 2+ + = +

Ordenadas de los puntos:

y (0) = 0; y (1) = 4; y (3) = 150

•Rectatangenteen(0,0):y' (0) = 8

y = 8x

•Rectatangenteen(1,4):y' (1) = –9

y = 4 – 9(x – 1) = –9x + 13

•Rectatangenteen(3,150):y' (3) = 11

y = 150 + 11(x – 3) = 11x + 117

b)• Pendientedelarecta:

y = 9 + x → m = 1

•Resolvemosf ' (x) = 1:

x 2 – 2x + 1 = 0 → x = 1

• Puntodetangencia:

y = ,831 1 1 6

317 1

317– – – –+ = d n

•Rectatangente:

y = ( ) 8x y x317 1

320– – –+ = +

c)• ElpuntoT de tangencia es de la curva. Sus coordenadas son (c, 2c – c 2). Y sea P = (x0, y0) = (2, 1).

• LapendientedelarectaPT debe ser igual a la derivada de f en c :

( )c x

f c y–

–0

0 = f ' (c ) → c

c c2

2 1–

– –2= 2 – 2c → c 2 – 4c + 3 = 0 → c1 = 1, c2 = 3

•Haydosrectastangentes:

c1 = 1, f (c1) = 1, f ' (c1) = 0 → y = 1

c2 = 3, f (c2) = –3, f ' (c2) = – 4 → y = –3 – 4(x – 3) → y = 9 – 4x

d)Lapendientedelarectatangenteenx = 2, y = 0 es: y' (2) = 22 – 2 · 2 + 1 = 1.

Entonces la recta tangente es: y = x – 2.


3


2 Crecimiento y decrecimiento de una función en un punto

Página 176

1 Demuestra que si una función y = f (x) es decreciente en x0, entonces:

f ' (x0) ≤ 0

Si f (x) es decreciente en x0 entonces existe un entorno de x0, E = (x0 – a, x0 + a) tal que, si x ∈ E, x ≠ x0, entonces:

( ) ( )x x

f x f x––

0

0 < 0

Por tanto, si f (x) es derivable en x0, se tiene que f ' (x0) = ( ) ( )

l mx x

f x f x––

í8x x 0

00

≤ 0.

2 Dada la función y = x 3 – 3x 2 – 9x + 5:

a) ¿Dónde crece?

b) ¿Dónde decrece?

y' = 3x 2 – 6x – 9 = 3(x 2 – 2x – 3) = 3(x – 3)(x + 1)

a) x < –1 → y' > 0 → f es creciente en (–∞, –1)

x > 3 → y' > 0 → f es creciente en (3, +∞)

b) –1 < x < 3 → y' < 0 → f es decreciente en (–1, 3)


4


3 Máximos y mínimos relativos de una función

Página 177

1 Comprueba que la función y = x 3/(x – 2)2 tiene solo dos puntos singulares, en x = 0 y en x = 6.

Averigua de qué tipo es cada uno de estos dos puntos singulares; para ello, debes estudiar el signo de la derivada.

y' = ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

xx x x

xx x x x x x x x x x x2 2 2 2

3 2 2 2 2 3 2 2 3 6 2 6– – – –

– – – – – – – – –2

3

2

4 4 3

2 3 2 2= = =

` j

y' = 0 → x 2(x – 6) = 0 xx

06

==

( , )( , )

''

ff

0 01 00 01 0–

>> 4 En x = 0 hay un punto de in�exión.

( )( , )

,''

ff

001 0

5 996 >

< 4 En x = 6 hay un mínimo relativo.

2 a) Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función y = –3x 4 + 4x 3. Mediante una representación adecuada, averigua de qué tipo es cada uno de ellos.

b) Haz lo mismo para y = x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9.

a) y' = –12x 3 + 12x 2 = 12x 2(–x + 1)

y' = 0 ( , )( , )

88

xx

0 0 01 1 1

PuntoPunto

== 4 Dos puntos singulares.

Losdospuntosestánenelintervalo[–1;1,5],dondelafunciónesderivable. Además, f (–1) = –7 y f (1,5) = –1,7. •En(0,0)hayunpuntodein exión. •En(1,1)hayunmáximorelativo.

1

1

b) y' = 4x 3 + 24x 2 + 44x + 24 = 4(x + 1)(x + 2)(x + 3)

y' = 0 ( , )( , )( , )

888

xxx

0

0

1 12 2 13 3

PuntoPuntoPunto

– –– –– –

===

4 Tres puntos singulares.

Lostrespuntosestánenelmismointervalo[–4,0],dondelafunciónesderivable. Además, f (– 4) = f (0) = 9. •Hayunmínimorelativoen(–3,0),unmáximorelativoen(–2,1)

y un mínimo relativo en (–1, 0).

1

9

–4 –3 –2 –1


5


4 Información extraída de la segunda derivada

Página 179

1 Estudia la curvatura de esta función:

y = 3x 4 – 8x 3 + 5

f ' (x) = 12x 3 – 24x 2; f '' (x) = 36x 2 – 48x

f '' (x) = 0 → 12x (3x – 4) = 0 ( , )

,

88

x

x

0 0 5

34

34

27121

Punto

Punto –

=

= c m

( )( ) ; ≠ ; ≠''' '''''' f ff x x3472 48 0 0 0–=f c m p

Lospuntos(0,5)y ,34

27121–c m son puntos de in�exión.

•Lafunciónescóncavaen(–∞,0)ø , ∞34 +c m, pues f '' (x) > 0.

•Lafunciónesconvexaenelintervalo ,034c m, pues f '' (x) < 0.

2 Estudia la curvatura de la función siguiente:

y = x 3 – 6x 2 + 9x

f ' (x) = 3x 2 – 12x + 9; f '' (x) = 6x – 12

f '' (x) = 0 → 6x – 12 = 0 → x = 2 → Punto (2, 2)

( f ''' (x) = 6; f ''' (2) ≠ 0)

El punto (2, 2) es un punto de in�exión.

•Lafunciónenconvexaes(–∞,2),puesf '' (x) < 0.

•Lafunciónencóncavaes(2,+∞),puesf '' (x) > 0.


6


5 Optimización de funciones

Página 181

1 Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima.

Llamamosxalnúmeroquebuscamos.Hadeserx > 0. Tenemos que minimizar la función:

f (x) = x + x

25

f ' (x) = 1 – x x

x25 25–2 2

2= = 0 )

( )(

88

x fx x

5 5 105 0– no vale, pues >

==

=

(Como ( ) , ( )l m f x l m f x∞ ∞í í∞8 8x x0

=+ =+++

, y la función es continua en (0, +∞); hay un mínimo en x = 5)

Por tanto, el número buscado es x = 5. El mínimo es 10.

2 De entre todos los triángulos rectángulos cuyos catetos tienen longitudes que suman 10 cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máxima.

x + y = 10 → y = 10 – x

Área = · · ( )x y x x x x

2 2210 10– – 2

= = , 0 < x < 10

Tenemos que maximizar la función:

f (x) = x + x x2

10 – 2, 0 < x < 10

x

y

f ' (x) = x2

10 2– = 5 – x = 0 → x = 5 → y = 10 – 5 = 5

11c mf (0) = 0; f (10) = 0; f (5) = 25

2; y fescontinua.Luegoenx = 5 está el máximo

11c m.

Loscatetosmiden5cmcadauno.Eláreamáximaesde12,5cm2.

3 Entre todos los rectángulos de perímetro 12 m, ¿cuál es el que tiene la diagonal menor?

d = ( )x x6 – 2 2+ , 0 < x < 6Tenemos que minimizar la función:

f (x) = ( )x x6 – 2 2+ , 0 < x < 6

f ' (x) = ( ) ( ) ( )( )

x x x x x xx x x x

6 2 6 622 6 2 12 4 6 2

– – –– – – –

2 2 2 2 22=

+ +++ + = +

f ' (x) = 0 → – 6 + 2x = 0 → x = 3

6 – xd

x

( f (0) = 6; f (6) = 6; f (3) = 18 3 2= ≈ 4,24; y f (x)escontinua.Luegoenx = 3 hay un mínimo).El rectángulo con la diagonal menor es el cuadrado de lado 3 m.

4 Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,28 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata.

Suponemos el recipiente con dos tapas:

Área total = 2πr h + 2πr 2 = 2πr (h + r)V = 6,28 l = 6,28 dm3

hh

2πr

rr


7


Como V = π · r 2 · h = 3,14 · r 2 · h = 6,28 → h = , ·

,rr3 14

6 28 222 =

Así: Área total = 2πr r

r22 +c m = 2πr r

r2 2+c m

Tenemos que hallar el mínimo de la función:

f (r) = 2π rr2 2+c m, r > 0

f ' (r) = 2πr

r2 2– 2 +c m = r

r2 2–2

3+e o = 0 → –2 + 2r 3 = 0 → r = 13 = 1

(Como l mí8x 0+

f (r) = +∞, l mí∞8x +

f (r) = +∞, y f es continua en (0, +∞); en r = 1 hay un mínimo).

r = 1 → h = r

2212 = = 2

El cilindro tendrá radio 1 dm y altura 2 dm.


8



Página 182

1. Tangente en un punto de la curva

Hazlo tú.

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = | |

ex 2–

x en el punto de abscisa x = 0.

b) Si es posible, halla la recta tangente a f (x) en x = 2.

a) f (x) = ≥

ex

ex

x

x

2

2

2

2

–

–

si

si

<x

x

+

* Derivamos la función por intervalos:

f ' (x) = e

e

x

x

x

x

2

2

3

3

si

si

–

–

<

>

x

x+*

x = 0, f (0) = 2, f ' (0) = –3 →Laecuacióndelarectatangenteenx = 0 es y = 2 – 3x.

b) Estudiamos la derivabilidad en x = 2:

•Enprimerlugar,observamosquelafunciónescontinuaenx = 2, ya que:

l mí8x 2–

f (x) = l mí8x 2+

f (x) = f (2) = 0

•Hallamoslasderivadaslaterales:

f ' (2–) = e1–2 f ' (2+) =

e12

Al ser distintas, la función no es derivable en x = 2 y no es posible hallar la recta tangente en este valor.

2. Tangente que pasa por un punto exterior

Hazlo tú. Halla los puntos de la curva f (x) = x 2 – 2x + 4 en los que la recta tangente a ella pasa por el origen de coordenadas.

Lospuntosdetangenciaestánenlacurvaysondelaforma(a, a 2 – 2a + 4).

Lapendientedelarectaquepasaporelpuntodetangenciayporelorigendecoordenadasesa

a a0

2 4 0–

– –2 + .

Por otro lado, la pendiente de la recta tangente será f ' (a) = 2a – 2.

Por tanto, a

a a2 4–2 + = 2a – 2 → a 2 – 2a + 4 = 2a 2 – 2a → a = –2, a = 2.

Haydospuntosdetangenciaquecorrespondenadosrectastangentes:

x = –2, f (–2) = 12, f ' (–2) = – 6 → y = 12 – 6(x + 2)

x = 2, f (2) = 4, f ' (2) = 2 → y = 4 + 2(x + 2)


9


3. Coe�cientes de una función

Hazlo tú. Halla los coe�cientes de la función f (x) = ax 3 + bx 2 + c sabiendo que la tangente a la curva en el punto (1, 0) es y = –3x + 3, y que ese punto es un punto de in�exión.

Como la función pasa por el punto (1, 0), se cumple que f (1) = 0.

Lapendientedelarectatangenteenestepuntoes–3,esdecir,f ' (1) = –3.

Como el punto de abscisa x = 1 es un punto de in�exión, entonces f '' (1) = 0.

Por otro lado,

f ' (x) = 3ax 2 + 2bx

f '' (x) = 6ax + 2b

Sustituyendo obtenemos:

f (1) = 0 → a + b + c = 0

f ' (1) = –3 → 3a + 2b = –3

f '' (1) = 0 → 6a + 2b = 0

Resolvemoselsistema:

a b ca ba b

03 2 36 2 0

–+ + =+ =+ =

4 → a = 1, b = –3, c = 2

Página 183

4. Intervalos de crecimiento

Hazlo tú. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:

a) f (x) = x

x4–2

3 b) f (x) = ln (x 2 + 4x – 5)

a) El dominio de de�nición es Á – {–2, 2}.

f ' (x) = ( ) ( )

( )x x

x x x x x x4 4

3 4 2 12– –

– – –2 2 22

2 2 3 4 2=

f ' (x) = 0 → x 4 – 12x 2 = 0 → x = 2 3, x = –2 3, x = 0

Como el denominador es un cuadrado, el signo de f ' (x) depende solo del signo del numerador.

–2√—3 –2 0

f ' > 0 f ' < 0 f ' < 02 2√

—3

f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0

Es creciente en (–∞, –2 3) y (2 3, +∞).

Es decreciente en (–2 3, –2); (–2, 0); (0, 2) y (2, 2 3).

b) El dominio de de�nición es (–∞, –5) ø (1, +∞).

f ' (x) = x x

x4 5

2 4–2 +

+

f ' (x) = 0 → 2x + 4 = 0 → x = –2 (que no pertenece al dominio)

No tiene puntos singulares.

1–5f ' < 0 No existe f f ' > 0

Es creciente en el intervalo (1, +∞) y decreciente en (–∞, –5).


10


Página 184

6. Máximos y mínimos

Hazlo tú. Halla los máximos y mínimos de las siguientes funciones:

a) f (x) = lnx

x2

b) f (x) = 3x 2 e x

a) f ' (x) = · ·lnx x x2–

ln lnx

xx

x x xx

x1

2 1 2– –4

2

4 3= =

f ' (x) = 0 → 1 – 2ln x = 0 → x = e 1/2

Estudiamos el crecimiento. Para ello, debemos tener en cuenta que el dominio de la función es (0, + ∞).

0 e1/2

f ' > 0 f ' < 0

x = , ( )e f ee2

1/ /1 2 1 2 = → El punto ,ee2

1/1 2d n es un máximo.

b) f ' (x) = 6xe x + 3x 2 e x = 3xe x (2 + x)

f ' (x) = 0 → 3xe x (2 + x) = 0 → x = –2, x = 0

–2 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

x = –2, f (–2) = 12e –2 → El punto (–2, 12e –2) es un máximo.

x = 0, f (0) = 0 → El punto (0, 0) es un mínimo.

7. Puntos de in�exión

Hazlo tú.

a) Halla los puntos de in�exión de la función f (x) = x – 2cos x, x ∈ [–π, π].

b) ¿Tiene f máximo o mínimo en ese intervalo?

a) f ' (x) = 1 + 2sen x

f '' (x) = 2cos x

f '' (x) = 0 → 2cos x = 0 → x = ,π πx2 2

– =

Estudiamos el signo de la derivada segunda.

f '' < 0 f '' > 0 f '' < 0π—2

π– — 2

–π π

x = ,π π π π πcosf2 2 2

22 2

– – – – – –= =c cm m


22 2

–= =c cm m

Lospuntosdein exiónson ,π π2 2

– –c m y ,π π2 2

c m .


11


b) f ' (x) = 0 → 1 + 2sen x = 0 → sen x = 8 πx21

6– –=

Para averiguar si en el punto de abscisa x = π6

– hay un máximo o un mínimo, evaluamos la segunda derivada:

f '' π πcos6

26

3 0– – >= =c cm m


26 6

3– – – – – – –= =c cm m

El punto ,π π6 6

3– – –c m es un mínimo.

Página 185

8. Máximo absoluto

Hazlo tú. Se estima que el bene�cio de una empresa viene dado por la función

B (t ) = t tt

tt

82

0 66 10

– si ≤ ≤si ≤ ≤

2*

¿En qué momento se obtiene el bene�cio máximo en los primeros 6 años y cuál es su valor? ¿Es rela-tivo o absoluto ese bene�cio?

Paraobtenerelbeneficiomáximoenelintervalo[0,6],estudiamoslaexistenciadeextremosrelativosyevaluamos tanto en ellos como en los extremos del intervalo.

B' (t ) = t t

t8 22

0 66 10

– sisi

< << <

) → 8 – 2t = 0 → t = 4

B (0) = 0, B (4) = 16, B (6) = 12

El bene�cio máximo en los seis primeros años lo alcanza en el cuarto año y su valor es 16.

Observamos que la función vuelve a crecer a partir del sexto año, ya que, por ejemplo, el bene�cio en el décimo año es B (10) = 20. Por tanto, el bene�cio en el cuarto año representa un máximo relativo.

9. Inversión publicitaria

Hazlo tú. Halla dos números naturales cuya suma sea 15 y tales que el producto de uno por el cua-drado del otro sea el mayor posible.

Sean x e y los números naturales buscados. Cumplen que x + y = 15.

Por otro lado, P = x 2y es la función que queremos optimizar. Sustituyendo y = 15 – x, obtenemos:

P = x 2 (15 – x) = 15x 2 – x 3

P' (x) = 30x – 3x 2

P' (x) = 0 → 30x – 3x 2 = 0 → 3x (10 – x) = 0 → x = 0 (no válido), x = 10

Ahora usamos la derivada segunda para saber si es máximo o mínimo:

P'' (x) = 30 – 6x → P'' (10) = –30 < 0 →Hayunmáximoenx = 10.

Losnúmerossonx = 10, y = 5.


12


Página 186

10. Área máxima

Hazlo tú. Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total 54 cm2. Deter-mina el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máximo.

Llamemosr al radio del cilindro y h a la altura.

El área total es S = 2πr 2 + 2πr h.

2πr 2 + 2πr h = 54 → h = ππr

r27 – 2

El volumen del cilindro es V = πr 2 h = πr 2 ππr

r27 – 2 = r (27 – πr 2) = 27r – πr 3.

Buscamos las dimensiones del cilindro de volumen máximo.

V ' (r ) = 27 – 3πr 2

V ' (r ) = 0 → 27 – 3πr 2 = 0 → r = π3 cm

V '' (r ) = – 6πr

V '' (r ) < 0 → En r = π3e o hay un máximo relativo.

Solo falta calcular la altura del cilindro, que es h = · /

· /π π

π ππ3

27 9 6– = cm.

11. Problema de tiempo mínimo

Hazlo tú. La vela mayor de un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Si la hipotenusa debe medir 6 m, calcula sus dimensiones para que la super�cie de la vela sea máxima.

Llamemosx, y a las medidas de los catetos del triángulo rectángulo.

x 2 + y 2 = 36 → y = x36 – 2

LasuperficiedelavelaesS = xy2

ya que los catetos hacen de base y de altura del triángulo rectángulo.

Se obtiene:

S (x) = x x2

36 – 2

S' (x) = x x

x x x x2 2 36 361 36 2 18

– –– – –

2 22 2

+ =e o

S' (x) = 0 → 18 – x 2 = 0 → x = 3 2, x = –3 2 (no vale)

El valor x = 3 2 es un máximo como se puede comprobar estudiando el signo de f ' a ambos lados del mismo.

El otro cateto del triángulo mide y = ( )36 3 2– 2 = 3 2.

Lavelaesuntriángulorectánguloisóscelescuyoscatetosmiden3 2 m.


13



Página 187

1. Tangente perpendicular a una recta

Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f (x) = 4x 3 – 2x + 1 que son perpendiculares a la recta x + y – 2 = 0.

Larectay = –x + 2 tiene pendiente –1. Cualquier recta perpendicular a ella tendrá pendiente – 11–

= 1. Por tanto, debemos calcular los puntos de la curva en los que la pendiente vale 1.

f ' (x) = 12x 2 – 2

f ' (x) = 1 → 12x 2 – 2 = 1 → x = – 12

, x = 12

x = – 12

, f 21–c m = 4

21–

3c m – 2

21–c m + 1 =

23 → y =

23 + 1 x

21+c m → y = x + 2

x = 12

, f 21c m = 4

21 3

c m – 221c m + 1 = 1

2 → y = 1

2 + 1 x

21–c m → y = x

2. Intervalos de concavidad y convexidad

Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de in�exión de la función:

f (x) = x

x1–2

2

El dominio de de�nición es Á – {–1, 1}.

f (x) = x

x1–2

2

f ' (x) = ( )x

x1

2–

–2 2

f '' (x) = ( )( )x

x1

2 3 1–2 3

2 +

f '' (x) = 0 → 3x 2 + 1 = 0 no tiene solución → No tiene puntos de in�exión y la tabla de los signos de la segunda derivada es:

f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0–1 1

(el signo de la segunda derivada solo depende del denominador)

Lafunciónescóncavaen(–∞,–1)y(1,+∞).Esconvexaen(–1,1).

3. Máximo y mínimo absoluto

Calcular el máximo y el mínimo absolutos, en el intervalo [–1, 2] de la función:

f (x) = ln (x 2 + x + 1) – x

f (x) = ln (x 2 + x + 1) – x está de�nida en Á ya que el argumento del logaritmo siempre es positivo. Es una funcióncontinuayderivableen[–1,2].Porsercontinuaenunintervalocerradoyacotado,alcanzasusex-tremos absolutos. Estos pueden ser los extremos del intervalo o los extremos relativos si están en el interior.

f ' (x) = x x

x1

2 12 + +

+ – 1

f ' (x) = 0 → x x

x1

2 12 + +

+ = 1 → 2x + 1 = x 2 + x + 1 → x = 1, x = 0


14


Evaluamos:

x = –1 → f (–1) = ln ((–1)2 + (–1) + 1) – (–1) = 1

x = 0 → f (0) = ln 1 = 0

x = 1 → f (1) = ln 3 – 1 ≈ 0,0986

x = 2 → f (2) = ln 7 – 2 ≈ – 0,054

Alcanza el máximo absoluto en (1, 1) y el mínimo absoluto en (2, ln 7 – 2).

4. Puntos en los que se anulan f ', f '' y f '''

Dada la función f (x) = 1 – (2 – x)5, estudiar si tiene máximo, mínimo o punto de in�exión en x = 2.

•Hallamos f ', f '', f ''' :

f ' (x) = 5 (2 – x)4 → f '' (x) = –20 (2 – x)3 → f ''' (x) = 60 (2 – x)2

Al hacer x = 2, se verifica f ' (2) = f '' (2) = f ''' (2) = 0.

•Estudiamoselsignodef ' a la izquierda y a la derecha de x = 2:

2

f ' > 0 f ' > 0

f crece a la izquierda y a la derecha de 2 → f no tiene máximo ni mínimo en x = 2.

•Comprobamosquetieneunpuntodeinflexiónestudiandoelsignodef '' :

2

f '' < 0 f '' > 0

A la izquierda de x = 2, la función es convexa, y a la derecha de x = 2, la función es cóncava.

El punto (2, 1) es un punto de inflexión.

5. Extremos relativos

Sea f (x) = x 2 e –ax con a ≠ 0.

a) Calcular el valor de a para que la función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x = 2.

b) Clasi�car los extremos relativos cuando a = 2.

a) f ' (x) = 2xe – ax – ax 2e – ax

f ' (2) = 0 → 4e –2a – 4ae –2a = 0 → e –2a(4 – 4a) = 0 → 4 – 4a = 0 → a = 1 (ya que la exponencial nunca se anula)

b) Para a = 2 la derivada es f ' (x) = 2xe –2x – 2x 2e –2x.

f ' (x) = 0 → 2x – 2x = 0 → x = 1, x = 0

0 1f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0

x = 0, f (0) = 0 → (0, 0) es un mínimo relativo.

x = 1, f (1) = e –2 → (1, e –2) es un máximo relativo.


15



Página 188

Para practicar

Recta tangente

1 Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos que se indican:

a) y = xx

22

–+ en x = 0

b) y = (0,3x – 0,01x 2 )2 en x = 10

c) y = x 12+ en x = –3

d) y = e 2x – 1 en x = 21

e) y = x ln x en x = e

a) f ' (x) = ( )x 2

4–– 2 , f ' (0) = –1

x = 0, f (0) = –1 Larectatangenteesy = –1 – x.b) f ' (x) = 2(0,3x – 0,01x 2)(0,3 – 0,02x), f ' (10) = 0,4 x = 10, f (10) = 4 Larectatangenteesy = 4 + 0,4(x – 10).

c) f ' (x) = x2 121+

, f ' (–3) = 61

x = –3, f (–3) = 3

Larectatangenteesy = 3 + ( )x61 3+

d) f ' (x) = 2e 2x – 1, f ' 21d n = 2

x = , f21

21 1=d n

Larectatangenteesy = 1 + 2 x21–d n .

e) f ' (x) = ln x + 1, f ' (e) = 2 x = e, f (e) = e Larectatangenteesy = e + 2(x – e ).

2 Obtén la ecuación de la recta tangente paralela al eje de abscisas en las siguientes curvas:

a) y = x ln x b) y = x2 ex c) y = sen 2x

Una recta paralela al eje de abscisas tiene pendiente cero.

a) y' = ln x + x · x1 = ln x + 1

y' = 0 → ln x + 1 = 0 → ln x = –1 → x = e –1 = e1 → y =

e1–

Larectatangenteenelpunto ,e e1 1–c m es: y =

e1–


16


b) y' = 2x e x + x 2 e x = (2x + x 2)e x

Como e x ≠ 0 para todo x :

y' = 0 → 2x + x 2 = 0 → x (2 + x) = 0 ( , )

( , / )88

xx e

0 0 02 2 4

Punto– Punto – 2

==

•Enelpunto(0,0),larectatangentees:y = 0

•Enelpunto ,e42– 2e o, la recta tangente es: y =

e42

c) y' = 2 cos 2x

y' = 0 → 2 cos 2x = 0 π π π π

π π π π

8 8

8 8x k x k y

x k x k y4 4

24

3 24

3 1

2 2 1

–= + = + =

= + = + =

•Enlospuntos ,π πk4

1+b l, con k ∈ Z, la recta tangente es: y = 1

•Enlospuntos ,π πk4

3 1–+c m, con k ∈ Z, la recta tangente es: y = –1

3 Dada la función y = x

x 1–2, halla los puntos en los que la pendiente de la recta tangente sea

45 .

f ' (x) = · ( )x

x x xx

x2 1 1– –2

2

2

2= +

f ' (x) = ,8 8 8x

x x x x45 1

45 4 2 2–2

2 2+ = = = =

Lospuntospedidosson , ,223 2

23– – y dd nn .

4 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la función y = xx

24–

+ que son paralelas a la recta

6x – y + 5 = 0.

Larectadadaesy = 6x + 5. Por tanto, tenemos que hallar los puntos de la función dada en los que las pendientes de las rectas tangentes valen 6.

f ' (x) = ( )

( )( )x

x xx2

2 42

6– –2 2+

+ =+

f ' (x) = 6 → ( )x 2

6 62+= → (x + 2)2 = 1 → x = –3, x = –1

x = –3, f (–3) = 7 →Latangenteen(–3,7)esy = 7 + 6(x + 3).

x = –1, f (–1) = –5 →Latangenteen(–1,–5)esy = –5 + 6(x + 1).

5 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x | x – 3 | cuya pendiente es –2.

De�nimos la función por intervalos:

f (x) = ( )( ) ≥

x xx x

xx

x xx

xx x

33

33

3 333

––

sisi

sisi ≥

––

< <2

2+ +=* *

Hallamosladerivada:

f ' (x) = xx

xx 3

33

2 32 –

sisi

– <>

+)

LafuncióndadaescontinuaentodoÁ y es derivable cuando x ≠ 3.


17


Para que la pendiente de la recta tangente a la curva sea –2 pueden darse dos casos:

–2x + 3 = –2 → x = 8 f25

25

45=d n

2x – 3 = –2 → x = 21 (no válido porque no pertenece al intervalo)

El punto en el que la tangente tiene pendiente –2 es ,25

45d n y la recta tangente en dicho punto es:

y = x45 2

25– –d n

6 a) Halla la ecuación de la recta tangente a la grá�ca de la función f (x) = x 3 – 3x 2 + 2x + 2 en x = 3.

b) ¿Existe otra recta tangente a la grá�ca de f que sea paralela a la que has hallado? En caso a�r-mativo, hállala.

a)Hallamoslapendientedelarectatangenteusandoladerivada:

f ' (x) = 3x 2 – 6x + 2

x = 3, f (3) = 8, f ' (3) = 11 → y = 8 + 11(x – 3)

b) Para saber si existe otro punto en el que la recta tangente sea paralela resolvemos:

f ' (x) = 11 → 3x 2 – 6x + 2 = 11 → x = 3, x = –1

Hayotropunto:

x = –1, f (–1) = – 4 → y = – 4 + 11(x + 1) es la recta tangente en este punto.

7 Halla la recta tangente a la curva y = 4x3 – 2x2 – 10 en su punto de inflexión.

Calculamos primero el punto de inflexión resolviendo f '' (x) = 0:

f ' (x) = 12x 2 – 4x

f '' (x) = 24x – 4

f '' (x) = 0 → 24x – 4 = 0 → x = 61

Evaluando la derivada segunda a ambos lados de x = 61 observamos que la función pasa de convexa

acóncava.Luegoesunpuntodeinflexión.

x = 61 , f 1

6c m = 4 1

6

3c m – 2 1

6

2c m – 10 = –

27271 , f ' 1

6c m = 12 1

6

2c m – 4 ·

61 = – 1

3

Laecuaciónes:y = – x27271 1

31

6– –c m

8 Halla los puntos de la curva y = 3x2 – 5x + 12 en los que la recta tangente a ella pase por el origen de coordenadas.

Debemos hallar las ecuaciones de las tangentes desde un punto exterior a la gráfica de la función.

Lospuntosdetangenciasondelaforma(a, 3a 2 – 5a + 12).

Lapendientedelarectatangentequepasaporelorigenesa

a aa

a a0

3 5 12 0 3 5 12–

– – –2 2+ = + .

Usando la derivada, la pendiente anterior también es 6a – 5.

a

a a3 5 12–2 + = 6a – 5 → 3a 2 – 5a + 12 = 6a 2 – 5a → a –2, a = 2

Obtenemos dos puntos de tangencia y dos rectas tangentes:

x = –2, f (–2) = 34, f ' (–2) = –17 → y = –17x

x = 2, f (2) = 14, f ' (2) = 7 → y = 7x


18


9 Halla los puntos de la curva y = 41 x2 + 4x – 4 en los que la recta tangente a esta pase por el punto

(0, –8). Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes en dichos puntos.

Debemos hallar las ecuaciones de las tangentes desde un punto exterior a la gráfica de la función.

Lospuntosdetangenciasondelaforma ,a a a4

4 4–2

+e o.

Lapendientedelarectatangentequepasapor(0,–8)es( )a a4 4 48 4– – –+ + +a a

a a4 4

0–

2 2

= .

Usando la derivada, la pendiente anterior también es a2

+ 4.

a4 4+ +

a

aa42

2

= + 4 → a42

+ 4a + 4 = a42

+ 4a → a = – 4, a = 4

Obtenemos dos rectas tangentes:

f ' (– 4) = 2 → y = –8 + 2x

f ' (4) = 6 → y = –8 + 6x

10 Halla, en cada caso, las ecuaciones de las rectas tangentes paralelas al eje X:

a) y = ( )x

x3 1–

3 b) y =

ln xx2

c) y = e

x x2x

2 +

a) El eje horizontal tiene pendiente 0.

y' = ( )

·( )( ) ( )

xxx x x x x

131

13 1

32 3

––– – –

22

2 3 2=

y' = 0 → x 2(2x – 3) = 0 → x = 0, x = 23

x = 0, f (0) = 0 → y = 0

x = 23 , f

·23

321

23

49

3

= =cc

mm

→ y = 49

b) y' = lnx x x2 + ( )

lnlnlnx

xxx x

12 1

22

2

= +

y' = 0 → x (2 ln x + 1) = 0 → x = 0 (no vale), x = e 21–

x = e 21– , f –

–

ee

e21

2–

–221 2

1= =a ak k

→ y = – e2

c) y' = ( ) ( )ee

x e x x e x2 2 2 2– –xx

x x

22

2 2=+ +

y' = 0 → 2 – x 2 = 0 → x = 2 , x = – 2

x = 2 , f ( 2) = e

2 2 22

+ → y = e

2 2 22

+

x = – 2, f (– 2) = e

2 2 2–2–

→ y = ( )e 2 2 2–2


19


Máximos y mínimos. Puntos de in�exión

11 Halla los máximos, los mínimos y los puntos de inflexión de las siguientes funciones:

a) y = x3 – 6x2 + 9x b) y = ( )x x123 8–3

c) y = x4 – 2x3

d) y = x4 + 2x2 e) y = x 1

12 +

f) y = ex (x – 1)

a) f ' (x) = 3x 2 – 12x + 9

f ' (x) = 0 → 3(x 2 – 4x + 3) = 0 → x = ±2

42

4 16 12 2±– = 88

xx

yy

3 01 4

==

==

Signo de la derivada:

1f ' > 0 f ' < 0

3f ' > 0

Hayunmínimoen(3,0)yunmáximoen(1,4). Puntos de in�exión: f '' (x) = 6x – 12 = 0 → x = 2 → y = 2 Como f '' (x) < 0 para x < 2 y f '' (x) > 0 para x > 2, el punto (2, 2) es un punto de inflexión.

b) y = x x21

3 8–4 3

f ' (x) = x x12

12 24–3 2 = x 3 – 2x 2

f ' (x) = 0 → x 2(x – 2) = 0 /88

x yx y

002 4 3–

= == =

1f ' < 0f ' < 0

3f ' > 0

Hayunmínimoen ,234–c m.

f '' (x) = 3x 2 – 4x = 0 → x (3x – 4) = 0 / ( / )88

x yx y

0 04 3 64 81–

= == =

f '' > 0 f '' < 0 f '' > 00 4—

3

Hayunpuntodein exiónen(0,0)yotroen ,34

8164–c m.

c) f ' (x) = 4x 3 – 6x 2

f ' (x) = 0 → x 2(4x – 6) = 0 / /88

x yx y

0 03 2 27 16–

= == =

1

f ' < 0f ' < 03—2

f ' > 0

Hayunmínimoen ,23

1627–c m.

f '' (x) = 12x 2 – 12x = 12x (x – 1) = 0 88

x yx y

0 01 1–

= == =

f '' > 0 f '' < 0 f '' > 00 1

Hayunpuntodein exiónen(0,0)yotroen(1,–1).


20


d) f ' (x) = 4x 3 + 4x f ' (x) = 0 → 4x (x 2 + 1) = 0 → x = 0 → y = 0

f ' < 00

f ' > 0

Hayunmínimoen(0,0). f '' (x) = 12x 2 + 4 ≠ 0 para todo x. No hay puntos de inflexión.

e) f ' (x) = ( )x

x1

2–2 2+

f ' (x) = 0 → –2x = 0 → x = 0 → y = 1

0f ' < 0f ' > 0

Hayunmáximoen(0,1).

f '' (x) = ( ) ( )

( )( )

( ) · ( ) ·x x

xx

xx x x x x1 1

2 11

82 1 2 2 1 2 6 2–– –2 2

2

24 3

2

3

2 2 2 2

+ ++

+= + =+ + +

f '' (x) = 0 → x = ± ±±31

31

33== → y =

43

f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0

–√—3—

3√

—3—

3

Hayunpunto de inflexión en ,33 4

3–e o y otro en ,33

43e o.

f ) f ' (x) = e x (x – 1) + e x = e x (x – 1 + 1) = x e x

f ' (x) = 0 → x e x = 0 → x = 0 (pues e x ≠ 0 para todo x) → y = 1

0f ' > 0f ' < 0

Hayunmínimoen(0,–1). f '' (x) = e x + x e x = e x (1 + x)

f '' (x) = 0 → x = –1 → y = e2–

f '' < 0 f '' > 0

–1

Hayunpunto de inflexión en ,e

1 2– –c m.

12 Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y los mínimos de las si-guientes funciones:

a) y = ( )x x

x2

8 3–

– b) y = xx

11

–2

2 + c) y = x

x1–2

3

d) y = x

x x2

2 3––2

e) y = x

x 1–2 f ) y =

( )x x 38

–2

a) y = ( )x x

x xx x2

8 3 8 32–

– ––2= . Dominio = Á – {0, 2}

f ' (x) = ( ) ( )( )

( ) ( ) ·( )x x x x

xx x

x x x x x x x x x x2 2

32

3 2 8 3 2 2 3 6 16 16 6 6 16 16– –

––

– – – – – – – –2 2 2 2

2

2 2

2 2 2= ++ + + = +


21


f ' (x) = 0 → 3x 2 – 16x + 16 = 0 → x = ±6

166

166

16 256 192 64 8± ±– = = /xx 4 3

4==


2

f ' < 0f ' < 04—3

0 4f ' > 0f ' > 0f ' > 0

Lafunciónescrecienteen(–∞,0)ø ,034c m ø (4, +∞).

Es decreciente en ,34 2–c m ø (2, 4).

Tiene un máximo en ,34

29–c m, y un mínimo en ,4

21–c m.

b) y = xx

11

–22 + . Dominio = Á – {–1, 1}

f ' (x) = ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ·x x x

x x x x x x x x x1 11

2 1 1 2 2 2 2 2 4– – –

– – – – – –2 2 2 2 2 2

2 2 3 3= =+

f ' (x) = 0 → – 4x = 0 → x = 0


1f ' < 0f ' < 0

0–1f ' > 0f ' > 0

Lafunciónescrecienteen(–∞,–1)ø (–1, 0). Es decreciente en (0, 1) ø (1, +∞). Tiene un máximo en (0, –1).

c) y = x

x1–2

3. Dominio = Á – {–1, 1}

f ' (x) = ( )

( )( ) ( ) ( )

· ( )x

x xx x x

x x x x x x x x x1

11 1 1

3 2 3 3 2 3 3–

– –– – –

– – – –2 2

2

2 2 2 2 2 2

2 3 4 2 4 4 2 2 2= = =

f ' (x) = 0 → x 2(x 2 – 3) = 0 xxx

03

3–

==


0f ' < 0

1f ' < 0

√—3

f ' > 0f ' < 0–1–√

—3

f ' < 0f ' > 0

Lafunciónescrecienteen(–∞,– 3) ø ( 3 , +∞). Es decreciente en (– 3, –1) ø (–1, 1) ø (1, 3).

Tiene un máximo en ,2

3 3 3––e o.

Tiene un mínimo en ,32

3 3e o.

Tiene un punto de in�exión en (0, 0).

d) y = x

x x2

2 3––2

. Dominio = Á – {2}

f ' (x) = ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ·( ) ( ) ·( ) ( )x x xx

x x x x x x x x x x x x x2 2 22

4 3 2 2 3 1 8 4 6 3 2 3 2 8 6 2 4 3– – – –

– – – – – – – – – – – –2 2 2 2

2 2 2 2 2= = =+ + + +


22


f ' (x) = 0 → x 2 – 4x + 3 = 0 → x = ±2

42

42

4 16 12 4 2± ±– = = xx

31

==


2 3f ' < 0f ' > 0f ' > 0

1f ' < 0

Lafunción: escrecienteen(1,2)ø (2, 3).

es decreciente en (–∞, 1) ø (3, +∞).

tiene un mínimo en (1, –1).

tiene un máximo en (3, –9).

e) y = x

x 1–2. Dominio = Á – {0}

f ' (x) = ( ) ·x xx

xx x x x x2 1 1 2 1 1– – –2 22

2 2 2 2= =+ +

f ' (x) = 0 → x

x 1–2 = 0. No tiene solución.


0f ' > 0 f ' > 0

Lafunciónescrecienteentodosudominio.

f ) y = ( )x x x x3

8 83– –2 3 2= . Dominio = Á – {0, 3}

f ' (x) = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x x x x x x xx xx x x x x

3 338 3 6 8 3 6 8 3 6

– ––– – – – – –

2 4 2 234

2= =

f ' (x) = 0 → 3x – 6 = 0 → x = 2


2 3f ' < 0f ' < 0f ' > 0

0f ' < 0

Lafunción: escrecienteen(0,2).

es decreciente en (–∞, 0) ø (2, 3) ø (3, +∞).

tiene un máximo en (2, –2).

13 Estudia la concavidad, la convexidad y los puntos de inflexión de las siguientes funciones:

a) y = x3 – 3x + 4 b) y = x4 – 6x2 c) y = (x – 2)4

d) y = x ex e) y = x

x1

2 –+

f) y = ln (x + 1)

a) y = x 3 – 3x + 4. Dominio = Á f ' (x) = 3x 2 – 3; f '' (x) = 6x

f '' (x) = 0 → 6x = 0 → x = 0

Signo de f '' (x):

f '' < 0 f '' > 00

Lafunciónesconvexaen(–∞,0)ycóncavaen(0, +∞).



23


b) y = x 4 – 6x 2. Dominio = Á f ' (x) = 4x 3 – 12x; f '' (x) = 12x 2 – 12

f '' (x) = 0 → 12(x 2 – 1) = 0 xx 1

1–==

Signo de f '' (x):

f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0–1 1

Lafunciónescóncavaen(–∞,–1)ø (1, +∞) y convexa en (–1, 1).

Tiene un punto de in�exión en (–1, –5) y otro en (1, –5).

c) y = (x – 2)4. Dominio = Á f ' (x) = 4(x – 2)3; f '' (x) = 12(x – 2)2

f '' (x) = 0 → x = 2

f '' (x) > 0 para x ≠ 2

Por tanto, la función es cóncava. No tiene puntos de in�exión.

d) y = x e x. Dominio = Á f ' (x) = e x + x e x = (1 + x)e x; f '' (x) = e x + (1 + x)e x = (2 + x)e x

f '' (x) = 0 → x = –2 (e x ≠ 0 pata todo x)

Signo de f '' (x):

f '' < 0 f '' > 0–2

Lafunciónesconvexaen(–∞,–2)ycóncavaen(–2, +∞).

Tiene un punto de in�exión en ,e

2 2– – 2c m.

e) y = x

x1

2 –+

. Dominio = Á – {–1}

f ' (x) = ( ) ( )( )

( ) ( )x x x

x x x x1 1 1

1 1 2 1 2 3– – – – – – –2 22+ + +

+ = + =

f '' (x) = ( )x 1

63+

f '' (x) ≠ 0 para todo x.

Signo de f '' (x):

f '' < 0 f '' > 0–1

Lafunciónesconvexaen(–∞,–1)ycóncavaen(–1, +∞).

No tiene puntos de in�exión.

f ) y = ln (x + 1). Dominio = (–1, +∞)

f ' (x) = x 1

1+

f '' (x) = ( )x 1

1–2+

f '' (x) < 0 para x ∈ (–1, +∞)

Por tanto, la función es convexa en (–1, +∞).


24


14 Estudia si las siguientes funciones tienen máximos, mínimos o puntos de inflexión en el punto de abscisa x = 1:

a) y = 1 + (x – 1)3 b) y = 2 + (x – 1)4 c) y = 3 – (x – 1)6 d) y = –3 + 2(x – 1)5

a)•Máximosymínimos:buscamoslospuntosenlosquef ' (x) = 0. f ' (x) = 3(x – 1)2 → 3(x – 1)2 = 0 → x = 1, f (1) = 1Estudiamos el signo de la derivada:

1f ' > 0 f ' > 0

Lafuncióncrecealaizquierdayaladerechadex = 1.No hay ni un máximo ni un mínimo.

• Puntosdein exión:buscamoslospuntosenlosquef '' (x) = 0. f '' (x) = 6(x – 1) → 6(x – 1) = 0 → x = 1, f (1) = 1Estudiamos el signo de f '' (x):

f '' < 0 f '' > 01

Es convexa a la izquierda de x = 1 y cóncava a su derecha.Hayunpuntodein exiónen(1,1).

b)•Máximosymínimos:buscamoslospuntosenlosquef ' (x) = 0. f ' (x) = 4(x – 1)3 → 4(x – 1)3 = 0 → x = 1, f (1) = 2Estudiamos el signo de la derivada:

1f ' < 0 f ' > 0

Lafuncióndecrecealaizquierdadex = 1 y crece a su derecha.Hayunmínimoen(1,2).

• Podemoscomprobarquenohaypuntosdein exiónconelsignodef '' (x): f '' (x) = 12(x – 1)2 → f '' (x) ≥ 0 para cualquier x.Lafunciónescóncavaentodosudominio.

c)•Máximosymínimos:buscamoslospuntosenlosquef ' (x) = 0. f ' (x) = – 6(x – 1)5 → – 6(x – 1)5 = 0 → x = 1, f (1) = 3Estudiamos el signo de la derivada:

1f ' > 0 f ' < 0

Lafuncióncrecealaizquierdadex = 1 y decrece a su derecha.Hayunmáximoen(1,3).

•Comof '' (x) = –30(x – 1)4 ≤ 0, la función es convexa en todo su dominio.d)•Máximosymínimos:buscamoslospuntosenlosquef ' (x) = 0.

f ' (x) = 10(x – 1)4 → 10(x – 1)4 = 0 → x = 1, f (1) = –3Como f ' (x) = 10(x – 1)4 ≥ 0, la función es creciente en todo su dominio. No hay máximos ni mínimos.Estudiamos el signo de f '' (x) = 40(x – 1)3:

f '' < 0 f '' > 01

Lafunciónesconvexaalaizquierdadex = 1 y cóncava a su derecha.Hayunpuntodein exiónen(1,–3).


25


Coe�cientes de una función

15 Dada la función f (x) = 1 + xa

x62+ , calcula a sabiendo que f (x) tiene un extremo relativo en

el punto de abscisa x = 3. ¿Se trata de un máximo o un mínimo?

Como tiene un extremo relativo en x = 3 debe cumplirse que f ' (3) = 0.

f ' (x) = – xx

a 12– 32

f ' (3) = 0 → – a 129 27

– = 0 → a = – 4

Por tanto, f (x) = 1 – xx

4 62+ .

f ' (x) = x x

124 –2 3 ; f '' (x) = – x x8 363 4

+

x = 3, f (3) = 31 , f '' (3) = – 8 36

27 81 274+ = > 0 → El punto ,3

31c m es un mínimo relativo.

16 De la función f (x) = ax3 + bx sabemos que pasa por (1, 1) y en ese punto tiene tangente paralela a la recta 3x + y = 0. Halla a y b.

f (x) = ax 3 + bx ; f ' (x) = 3ax 2 + b

( )( )'

88

f a bf a b

ab

1 1 11 3 3 3

23– ––= + =

= + ===

4 3 f (x) = –2x 3 + 3x

17 Halla una función f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x = 2 y un punto de in�exión en P (1, 2).

f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c

f ' (x) = 3x 2 + 2ax + b

f '' (x) = 6x + 2a

f (1) = 2 → 1 + a + b + c = 2

f '' (1) = 0 → 6 + 2a = 0

f ' (2) = 0 → 12 + 4a + b = 0

a b c

aa b

1 26 2 0

012 4

+ + + =+ =+ + =

4 → a = –7, b = 16, c = – 8

18 Calcula los coe�cientes a, b y c de la funciónf (x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx, sabiendo que:

a) La ecuación de la recta tangente a f en x = 0 es y = x.

b) Tiene un extremo relativo en el punto (–1, 0).

f (x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx

f ' (x) = 4x 3 + 3ax 2 + 2bx + c

Del apartado a) se deduce que pasa por el punto (0, 0) y que f ' (0) = 1.

El apartado b) implica que f (–1) = 0 y que f ' (–1) = 0.

f ' (0) = 1 → c = 1

f (–1) = 0 → 1 – a + b – 1 = 0 → –a + b = 0

f ' (–1) = 0 → – 4 + 3a – 2b + 1 = 0

a b

a b0

4 3 2 1 0–– –

+ =+ + =

3 → a = 3, b = 3


26


Página 189

19 Halla a, b, c y d para que f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tenga un máximo relativo en el punto (0, 4) y un mínimo relativo en el punto (2, 0).

Lascondicionesdelproblemaimplicanque:

f (0) = 4, f ' (0) = 0, f (2) = 0, f ' (2) = 0

f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d

f ' (x) = 3ax 2 + 2bx + c

d = 4

c = 0

a ba b

8 4 4 012 4 0

+ + =+ =

3 → a = 1, b = –3

20 Sea f (x) = ax3 + bx2 + cx + d un polinomio que cumple f (1) = 0, f ' (0) = 2 y tiene dos extremos relativos para x = 1 y x = 2. Halla a, b, c y d.

f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d

f ' (x) = 3ax 2 + 2bx + c

( )

( )

( )

( )

'

'

'

8

8

8

8

f

f

f

f

a b c d

c

a b c

a b c

a b d

c

a b

a b

a

b

c

d

a b d

1 0

0 2

1 0

2 0

0

2

3 2 0

12 4 0

2

2

3 2 2

6 2 1

31

23

2

65

1

–

–

–

–

–

=

=

=

=

+ + + =

=

+ + =

+ + =

+ + =

=

+ =

+ =

=

=

=

=

+ + +

_

`

a

bbbb

bbbb

( )

' ( )

' ( )

' ( )

8

8

8

8

f

f

f

f

a b c d

c

a b c

a b c

a b d

c

a b

a b

a

b

c

d

a b d

1 0

0 2

1 0

2 0

0

2

3 2 0

12 4 0

2

2

3 2 2

6 2 1

31

23

2

65

1

–

–

–

–

–

=

=

=

=

+ + + =

=

+ + =

+ + =

+ + =

=

+ =

+ =

=

=

=

=

+ + +

_

`

a

bbbb

bbbb

( )

' ( )

' ( )

' ( )

8

8

8

8

f

f

f

f

a b c d

c

a b c

a b c

a b d

c

a b

a b

a

b

c

d

a b d

1 0

0 2

1 0

2 0

0

2

3 2 0

12 4 0

2

2

3 2 2

6 2 1

31

23

2

65

1

–

–

–

–

–

=

=

=

=

+ + + =

=

+ + =

+ + =

+ + =

=

+ =

+ =

=

=

=

=

+ + +

_

`

a

bbbb

bbbb

( )

' ( )

' ( )

' ( )

8

8

8

8

f

f

f

f

a b c d

c

a b c

a b c

a b d

c

a b

a b

a

b

c

d

a b d

1 0

0 2

1 0

2 0

0

2

3 2 0

12 4 0

2

2

3 2 2

6 2 1

31

23

2

65

1

–

–

–

–

–

=

=

=

=

+ + + =

=

+ + =

+ + =

+ + =

=

+ =

+ =

=

=

=

=

+ + +

_

`

a

bbbb

bbbb

( )

' ( )

' ( )

' ( )

8

8

8

8

f

f

f

f

a b c d

c

a b c

a b c

a b d

c

a b

a b

a

b

c

d

a b d

1 0

0 2

1 0

2 0

0

2

3 2 0

12 4 0

2

2

3 2 2

6 2 1

31

23

2

65

1

–

–

–

–

–

=

=

=

=

+ + + =

=

+ + =

+ + =

+ + =

=

+ =

+ =

=

=

=

=

+ + +

_

`

a

bbbb

bbbb

Así: f (x) = 13

x 3 – 23 x 2 + 2x –

65 d; f ' (x) = x 2 – 3x + 2 = (x – 1) · (x – 2)

21 Dada la función y = ax4 + 3bx3 – 3x2 – ax, calcula los valores de a y b sabiendo que tiene dos puntos de inflexión, uno en x = 1 y otro en x = 1/2.

f ' (x) = 4ax 3 + 9bx 2 – 6x – a

f '' (x) = 12ax 2 + 18bx – 6

( )( )/

''''

88

ff

a ba b

a ba b

11

12 18 6 03 9 6 0

02 0

2 3 1 03 2 0

––

––

==

+ =+ =

+ =+ =

4 3

Restandolasigualdades:a + 1 = 0 → a = –1

Sustituyendo en la 2.ª ecuación: 3b – 3 = 0 → b = 1

22 La curva y = x3 + ax2 + bx + c corta al eje de abscisas en x = –1 y tiene un punto de inflexión en el punto (2, 1). Calcula a, b y c.

y = x 3 + ax 2 + bx + c

f ' (x) = 3x 2 + 2ax + b

f '' (x) = 6x + 2a

( )

( )

( )''

8

8

8

f

f

f

a

b

c

a b c

a b c

a

a b c

a b c

a

1 0

0

2 1

2

1 0

8 4 2 1

12 2 0

1

4 2 7

6

6

310

331

– – – –

–

–

–=

=

=

=

=

=

+ + =

+ + + =

+ =

+ =

+ + =

=

_

`

a

bbb

bbb

( )

( )

( )''

8

8

8

f

f

f

a

b

c

a b c

a b c

a

a b c

a b c

a

1 0

0

2 1

2

1 0

8 4 2 1

12 2 0

1

4 2 7

6

6

310

331

– – – –

–

–

–=

=

=

=

=

=

+ + =

+ + + =

+ =

+ =

+ + =

=

_

`

a

bbb

bbb

( )

( )

( )''

8

8

8

f

f

f

a

b

c

a b c

a b c

a

a b c

a b c

a

1 0

0

2 1

2

1 0

8 4 2 1

12 2 0

1

4 2 7

6

6

310

331

– – – –

–

–

–=

=

=

=

=

=

+ + =

+ + + =

+ =

+ =

+ + =

=

_

`

a

bbb

bbb

( )

( )

( )''

8

8

8

f

f

f

a

b

c

a b c

a b c

a

a b c

a b c

a

1 0

0

2 1

2

1 0

8 4 2 1

12 2 0

1

4 2 7

6

6

310

331

– – – –

–

–

–=

=

=

=

=

=

+ + =

+ + + =

+ =

+ =

+ + =

=

_

`

a

bbb

bbb

( )

( )

( )''

8

8

8

f

f

f

a

b

c

a b c

a b c

a

a b c

a b c

a

1 0

0

2 1

2

1 0

8 4 2 1

12 2 0

1

4 2 7

6

6

310

331

– – – –

–

–

–=

=

=

=

=

=

+ + =

+ + + =

+ =

+ =

+ + =

=

_

`

a

bbb

bbb


27


23 La función f (x) = x3 + ax2 + bx + c verifica que f (1) = 1, f ' (1) = 0 y que f no tiene extremo relativo en x = 1. Calcula a, b y c.

f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c

f ' (x) = 3x 2 + 2ax + b

f '' (x) = 6x + 2a

( )( )( )

'''

888

fff

a b ca ba

abc

1 11 01 0

1 13 2 06 2 0

330

–===

+ + + =+ + =+ =

===

4 4 → f (x) = x 3 – 3x 2 + 3x

24 Sea f (x) = x3 + ax2 + bx + 5. Halla a y b para que la curva y = f (x) tenga en x = 1 un punto de inflexión con tangente horizontal.

Si la curva tiene un punto de inflexión en x = 1, debe ser f '' (1) = 0.

f ' (x) = 3x 2 + 2ax + b → f '' (x) = 6x + 2a → f '' (1) = 6 · 1 + 2a → 6 + 2a = 0

Si en x = 1 la tangente es horizontal, su pendiente será 0; y, por tanto, f ' (1) = 0.

f ' (1) = 3 · 12 + 2a · 1 + b = 3 + 2a + b = 0

Resolvemos:( )

88

a aa b b0

6 2 0 33 2 3 2 3 3

–– – –=

+ = =+ + = =*

Lacurvaseráf (x) = x 3 – 3x 2 + 3x + 5.

Para resolver

25 Dadas las funciones:

f (x) = x x

xxx

2 14 2

11

––

si ≤si >

2 +* g (x) = x x

x xxx

7 42 3

22

– sisi ≥

<2

2+

+*

a) Comprueba que son derivables en Á.

b) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos.

Ambas funciones son continuas y derivables salvo quizás en los puntos donde se separan los trozos porque están de�nidas por intervalos mediante funciones polinómicas.

a) Estudiamos el punto x = 1:

( )( )

( )l m f x

l m x x

l m x

2 1 2

4 2 2

–

–í

í

í88

8x

x

x1

12

1

–=

+ =

=+

* → ( )l m f xí8x 1

= 2 = f (1) → Es continua también en x = 1.

f ' (x) = xx

x1

2 24

1sisi <

>+

) → f ' (1– ) = 4 = f ' (1+ ) → Es derivable en x = 1.

Estudiamos el punto x = 2:

( )( )

( )l m g x

l m x x

l m x x

7 4 14

2 3 14

–í

í

í88

8x

x

x2

22

22

–=

+ =

+ =+

* → ( )l m g xí8x 2

= 14 = g (2) → Es continua también en x = 2.

g' (x) = x xxx

24

73

22

sisi

<>

++

) → f ' (2– ) = 11 = f ' (2+ ) → Es derivable en x = 2.

b) En el caso de f (x):

f ' (x) = 0 → 2x + 2 = 0 → x = –1 (pertenece al intervalo de de�nición)

x = –1, y = –2, f '' (–1) > 0 → El punto (–1, –2) es un mínimo relativo.


28


En el caso de g (x):

g' (x) = 0 → ( )

( )

8

8

x

x x

x

20

2 7 0 7

4 343– intervalo de definición

– pertenece al intervalo de definición

no vale porque no está en el= =

+ = =

+

Z

[

\

]]

]]

x = – 27 , y = –

465 , g''

27–c m > 0 → El punto ,

27

465– –c m es un mínimo relativo.

26 Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f (x) = x | x |. ¿Tiene máximos o mínimos?

Determina los intervalos de concavidad y convexidad. ¿Tiene algún punto de in�exión?

f (x) = ≥

xx

xx

00

sisi

– <2

2* → Es una función continua en Á.

f ' (x) = xx

xx2

200

sisi

– <>

) , f ' (0– ) = 0 = f ' (0+ ) → También es derivable en x = 0.

Laprimeraderivadasoloseanulacuandox = 0.

0f ' > 0 f ' > 0

Lafunciónnotienenimáximosnimínimosrelativos.

f '' (x) = xx

22

00

– sisi

<>

) → Es convexa en el intervalo (–∞, 0) y cóncava en (0, +∞).

El punto (0, 0) es un punto de in�exión porque cambia de convexa a cóncava.

27 Halla el valor de c de modo que la función y = x c

ex

2 + tenga un único punto crítico.

¿Se trata de un máximo, de un mínimo o de un punto de inflexión?

f ' (x) = ( )

(( )

( ) · )x c

e x c xx c

e x c e x 22– –xx x

2 2

2

2 2

2

++

++ =

f ' (x) = 0 → x 2 – 2x + c = 0 → x = ± c2

2 4 4–

Para que solo haya un extremo relativo, ha de ser: 4 – 4c = 0 → c = 1

En este caso sería:

y = x

e1

x

2 +; f ' (x) =

( )( )

xe x

11x

2 2

2

++

f ' (x) = 0 → x = 1

f ' (x) = 0 si x ≠ 1 → f (x) es creciente si x ≠ 1.

Hayunpuntodein exiónenx = 1.

28 a) Calcula los valores de los parámetros a y b para que sea derivable la función:

f (x) = ex

x1

0–

si <x

2x ax b x 0si ≥+ +*

b) Halla sus extremos relativos en el caso a = –2, b = 1.

a)Lafunciónestádefinidaporintervalosmediantefuncionescontinuasyderivables.Solonosquedaestudiar el punto x = 0. Veamos la continuidad de la función:


29


( )( )

l m f xl m

ex

l m x ax b b

1 1–í

í

í88

8x

x x

x0

0

02

–==

+ + =+

Z

[

\

]]

]] → b = 1

Para el valor obtenido de b la función es continua porque ( )l m f xí8x 0

= f (0):

f ' (x) = ( )

( )

'

'

8

8e

x

x a

x f

x f a

2

2

0 0 2

0 0

– si –

si

<

>x

–

+

=

=+* → a = –2 para que sea derivable en x = 0.

Si a = –2 y b = 1 la función es continua y derivable en Á.

b) f (x) = ex

x

x

x x

0

0

1

2 1

si

si

–

–

<

>x

2 +*

f ' (x) = ≥

ex

x

x

x

2

2

0

02

– si

si–

<x*

f ' (x) = 0 → ( )8

8e

x x

x x

2 0 2

2 2 0 1

– no vale

–x = =

= =*

Estudiando el signo de la primera derivada en las proximidades de x = 1, obtenemos que el punto (1, 0) es un mínimo relativo.

29 La curva y = x3 + αx2 + βx + γ corta al eje de abscisas en x = 1 y tiene un punto de inflexión en (3, 2).

Calcula los puntos de la curva que tengan recta tangente paralela al eje X.

f (x) = x 3 + αx 2 + βx + γ; f ' (x) = 3x 2 + 2αx + β; f '' (x) = 6x + 2α

( )( )( )''

888

a b ga b ga

abg

fff

1

0

1

2 0

03 23

027 9 3 218

92416

–

–

===

+ + + =

+ =

===

+ + + = 4 4Así: f (x) = x 3 – 9x 2 + 24x – 16; f ' (x) = 3x 2 – 18x + 24

• Puntoscontangentehorizontal:

f ' (x) = 0 → x = 6

186

18 324 288 366

18 6± ± ±– = = xx

42

==

• Lospuntosson(4,0)y(2,4).

30 Halla el valor que debe tener a para que la función f (x) = x 2 ln ax , a > 0, tenga un punto

singular en x = e.

El dominio de de�nición es (0, +∞) por ser a positivo.

f ' (x) = x + 2x ln ax

Para que tenga un punto singular en x = e debe ser f ' (e) = 0

e + 2e · ln ae = 0 → e ln

ae1 2+b l = 0 → 1 + 2(ln e – ln a) = 0 → 1 + 2 – 2 ln a = 0 → ln a =

23

a = e 3/2


30


31 Comprueba si existe algún valor de a para el cual la función f (x) = aln x + x 3 tenga un punto de in�exión en x = 1.

Para que exista punto de in�exión en x = 1, debe ser f '' (1) = 0:

f (x) = a ln x + x 3 → f ' (x) = a · x

xxa x1 3 32 2+ = +

f '' (x) = xa x6– 2 + → f '' (1) = –a + 6 = 0 → a = 6

Comprobamos con f ''' si existe punto de in�exión:

f '' (x) = x

x6 6– 2 + → f ''' (x) = x6 63 + → f ''' (1) ≠ 0

Para a = 6, la función tiene un punto de in�exión en x = 1.

32 Se considera la función f (x) = ln

ax bx cx x

xx

00

si ≤si >

2 + +* .

Determina a, b y c para que sea continua, tenga un máximo en x = –1 y la tangente en x = –2 sea paralela a la recta y = 2x.

Lafunciónestádefinidaporintervalosmediantefuncionescontinuas.Exigimoslacontinuidadenx = 0 y así será continua en Á.

l mí8x 0–

(ax 2 + bx + c) = c

( )ln lnl m x x l m

x

x1 ∞

–∞í í8 8x x0 0

= =++ +

(indeterminado).

UsandolaregladeLH pital ( )l m

x

x l m x1

10

––í í

8 8x x02

0= =

+ +.

Luego l mí8x 0+

(x ln x) = 0.

Por tanto, para que sea continua c = 0.Si x < 0, f ' (x) = 2ax + bPor tener un máximo en x = –1, f ' (–1) = 0 → –2a + b = 0 → b = 2aPara que la tangente en x = –2 sea paralela a la recta y = 2x, debe ser f ' (2) = 2 → – 4a + b = 2.

b aa b2

4 2–=

+ =3 → a = –1, b = –2

33 a) Dada la función:

f (x) = x px

x mx nxx

11

– si ≤si >

2

2+

+ +*

calcula los valores de m, n y p para que f sea derivable en Á y tenga un extremo relativo en x =

21– .

b) ¿Es un máximo o un mínimo?

c) Comprueba si existen otros puntos singulares y representa la función.

a)Lafunciónestádefinidaporintervalosmediantefuncionespolinómicas,luegoescontinuayderi-vable salvo, quizás, en el punto.

Estudiamos el punto x = 1. Continuidad:

( )

( )

l m x px p

l m x mx n m n

1

1

– –í

í8

8

x

x

12

12

–

+ = +

+ + = + ++ 4 → –1 + p = 1 + m + n → m + n – p = –2


31


Si se cumple la condición anterior la función será continua en x = 1 porque l mí8x 1

f (x) = f (1).

f ' (x) = xx

xx

pm

22

11

– sisi

<>

++

) → ( )( )

''

f pf m

1 21 2

–– = += ++* → –2 + p = 2 + m → m – p = – 4

Si se cumple la condición anterior la función será derivable en x = 1 al coincidir las derivadas laterales.

Para que tenga un extremo relativo en x = – 21 , f '

21–c m = 0 → 1 + p = 0 → p = –1.

pm pm n p

14

2

–– –

– –

==

+ =4 → m = –5, n = 2, p = –1

b) f '' 21–c m = –2 < 0 → El extremo relativo es un máximo.

c) Si existe otro extremo relativo, debe estar en el segundo intervalo.

f ' (x) = 0 (x > 1) → 2x – 5 = 0 → x = 25

f '' 25c m = 2 > 0 → En x =

25 hay un mínimo relativo.

–1 1 X–1

1

Y

34 Dada la función f (x) = | x – 3|(x + 1), halla los puntos donde las tangentes son paralelas a la recta y = 6x – 2.

f (x) = ( ) ( )

( ) ( )≥x x

xx

xx

x x x xx x3 1

33

33

3 1 2 32 3– si

sisi ≥

– – si –– –

<< 2

2++ = + +

* *

f ' (x) = xx

xx

33

2 22 2

sisi

––

<>

+)

Lafunciónnoesderivableenx = 3 porque las derivadas laterales son distintas.

f ' (x) = 6 → 88

x xx x2 2 6 2

2 2 6 4– –

–+ = =

= =)

x = –2, y = –5x = 4, y = 5Lospuntosbuscadosson(–2,–5)y(4,5).

35 Calcula el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo [–2, 3] de la función:

f (x) = ln (x 2 + 1) + (x – 3)

Lafuncióndadaescontinuaenelintervalo[–2,3]luegoalcanzasumáximoysumínimoabsoluto.Estos pueden ser los extremos del intervalo o los máximos y mínimos relativos.

f ' (x) = x

x1

22 +

+ 1


32


f ' (x) = 0 → x

x1

22 +

+ 1 = 0 → x = –1

Evaluamos:

x = –2, f (–2) = ln 5 – 5 ≈ –3,39

x = –1, f (–1) = ln 2 – 4 ≈ –3,31

x = 3, f (3) = ln 10

Su mínimo absoluto es el punto (–2, ln 5 – 5) y su máximo absoluto es el punto (3, ln 10).

36 La función de coste total de producción de x unidades de un determinado producto es:

C (x) = 21 x 2 + 3x + 200

Se de�ne la función de coste medio por unidad como:

Q (x) = ( )x

C x

¿Cuál debe ser la producción para que sea mínimo el coste medio por unidad?

Buscamos el mínimo de la función Q (x) = ( )x

C x igualando a 0 su derivada:

Q (x) = xx2

1 3 200+ +

Q' (x) = x2

1 200– 2

Q' (x) = 0 → x2

1 200 0– 2 = → x 2 = 400 → x = –20 (no válido), x = 20

Comprobamos que hay un mínimo en x = 20:

Q'' (x) = x

4003 → Q'' (20) =

201 0>

Se deben producir 20 unidades para minimizar el coste medio por unidad.

37 Una empresa quiere producir C (t ) = 200 + 10t unidades de un producto para vender a un pre-cio p (t ) = 200 – 2t euros por unidad, siendo t el número de días transcurridos desde el inicio de la producción.

a) Calcula el bene�cio si t = 10.

b) Escribe, dependiendo de t, la función de bene�cio (0 ≤ t ≤ 60).

c) Determina cuándo el bene�cio es máximo.

a) Si t = 10 ( ) ·( ) · €

Cp

10 200 10 10 30010 200 2 10 180

unidades– por unidad

= + == =

Bene�cio: C (10) · p(10) = 300 · 180 = 54 000 €

b) B (t ) = C (t ) · p(t ) = (200 + 10t ) (200 – 2t ) = –20t 2 + 1 600t + 40 000 si 0 ≤ t ≤ 60

c) Para hallar el máximo, hacemos B' (t ) = 0:

B' (t ) = – 40t + 1 600 = 0 → t = 40

Al cabo de 40 días se obtiene el máximo bene�cio, que es:

B (40) = –20 · 402 + 1 600 · 40 + 40 000 = 72 000 €


33


Página 190

38 Se quiere fabricar una caja de volumen máximo que sea el doble de larga que de ancha y que, además, la suma del ancho más el largo más el alto sea igual a un metro.

Calcula las medidas que debe tener la caja y cuál será su volumen.

Volumen de la caja: V = 2a · a · b = 2a 2ba + 2a + b = 1 → b = 1 – 3aV = 2a 2(1 – 3a) = 2a 2 – 6a 32a

b

a

Para hallar el máximo volumen, derivamos e igualamos a cero:

V' = 4a – 18a 2 = 0 → a (4 – 18a) = 0 ( )a

a

0

92

no vale=

=

Comprobamos si el volumen es máximo para a = 92 :

V'' = 4 – 36a → V'' · ,92 4 36

92 4 0– – <= =d n máximo.

Si a = 92 m, el largo será 2 ·

92

94= m, y el alto, 1 –

96

31= m.

El volumen máximo es:

V = · ·92

94

31

2438= m3

39 Una empresa dispone de 15 comerciales que proporcionan unos ingresos por ventas de 5 750 euros mensuales cada uno. Se calcula que, por cada nuevo comercial que se contrate, los ingresos de cada uno disminuyen en 250 euros. Calcula:

a) La función que determina los ingresos mensuales que se obtendrían si se contrataran x co-merciales más.

b) El número total de comerciales que debe tener la empresa para que los ingresos sean máximos, y cuáles serían estos.

a)Llamamosxalnúmerodecomercialesmásquesecontratan.Lafunciónquedeterminalosingre-sos mensuales será:

I (x) = (15 + x)(5 750 – 250x) = –250x 2 + 2 000x + 86 250b) Buscamos el máximo de la función I (x) igualando a 0 su derivada: I' (x) = –500x + 2 000 I' (x) = 0 → –500x + 2 000 = 0 → x = 4 Comprobamos que hay un máximo en x = 4: I'' (x) = –500 → I'' (4) = –500 < 0 Para que los ingresos sean máximos, la empresa debe tener 19 comerciales.

40 Los bene�cios de una empresa en sus primeros 8 años de funcionamiento vienen dados, en mi-llones de euros, por la función:

B (t ) = t43

– 3t 2 + 9t, 0 ≤ t ≤ 8, t en años

a) Estudia la monotonía de B (t ) y sus extremos.

b) Describe la evolución de los bene�cios de la empresa en sus 8 años de existencia.

a) Estudiamos el signo de la primera derivada:

B' (t ) = t t4

3 6 9–2

+

B' (t ) = 0 → ,8t t t t4

3 6 9 0 2 6–2

+ = = =


34


2 60 8B' > 0 B' < 0 B' > 0

B (0) = 0, B (2) = 8, B (6) = 0, B (8) = 8 Lafunciónescrecienteenlosintervalos(0,2)y(6,8);yesdecrecienteenelintervalo(2,6). Lospuntos(0,0)y(6,0)sonmínimosabsolutos;ylospuntos(2,8)y(8,8)sonmáximosabsolutos.b)Losbeneficiosdelaempresacrecendurantelosdosprimerosa oshastaqueenelsegundoa ose

alcanza un bene�cio máximo de 8 millones de euros. A continuación descienden durante los cuatro años siguientes hasta que en el sexto año no se obtienen bene�cios. Finalmente, crecen durante los dos años siguientes y en el octavo se vuelve a alcanzar un bene�cio máximo de 8 millones de euros.

41 Sea f (x) la función que representa el coste medio, en euros por kilogramo de alimento prepa-rado, en una jornada en la que se producen x kg de alimento.

f (x) = 2 + x + x9 , x > 0

a) Estudia la variación del coste medio. ¿Cuál debe ser la cantidad de producto que se debe pre-parar en una jornada para minimizar el coste medio por kilogramo?

b) Si el coste medio no se mantiene inferior a 10, será necesario un reajuste del proceso. ¿Cuál puede ser la producción para que no se tenga que hacer ese reajuste?

a) Para estudiar la variación analizamos el signo de la primera derivada:

f ' (x) = 1 – x92

f ' (x) = 0 → 1 – x92 = 0 → x = –3 (no válido), x = 3

30f ' < 0 f ' > 0

El coste medio disminuye hasta que se producen 3 kg y a partir de esa cantidad, aumenta inde�ni-damente. Se deben preparar 3 kg en una jornada para minimizar el coste.

b) Para no tener que reajustar, tenemos que averiguar cuándo el coste medio no supera el valor 10. 2 + x +

x9 = 10 → x 2 – 8x + 9 = 0 → x = 4 7– ≈ 1,35; x = 4 7+ ≈ 6,65

Por tanto, tenemos que mantener la producción entre 1,35 kg y 6,65 kg de alimento preparado.

42 El número de vehículos que ha pasado cierto día por el peaje de una autopista viene dado por la función:

N (t ) =

t

t

t

t

33 2

10315

0 9

9 24

–

– –

si ≤ ≤

si ≤ ≤

2

2

+c

c

m

m*

donde N indica el número de vehículos y t el tiempo transcurrido en horas desde las 0:00 h.

a) ¿Entre qué horas aumentó el número de vehículos que pasaba por el peaje?

b) ¿A qué hora pasó el mayor número de vehículos? ¿Cuántos fueron?

a) Para saber cuándo la función es creciente, estudiaremos el signo de su derivada. LasfuncionesconlasqueN (t ) está de�nida son continuas y derivables si 0 ≤ t < 9 y si 9 < t ≤ 24.

Estudiamos la derivabilidad en t = 9:

N' (t ) =

t

t

t

t

33

315

0 9

9 24

32

32

–

–

si ≤

si ≤–

<

<

d

d

n

n*


35


( )

( )

'

'

N

N

934

934

– =

=+4 N es derivable en t = 9.

N ' (t) = 0 8

8t

t

t

t

32

33

32

315

0 3

0 15

–

– –

= =

= =

cc

mm

Signo de N ' (t ):

510

N' (t ) < 0 N' (t ) > 0 N' (t ) < 03

El número de vehículos aumentó entre las 3 h y las 15 h.b) El máximo absoluto de una función continua de�nida en un intervalo cerrado se encuentra entre

los máximos relativos de la función o en los extremos del intervalo: N (0) = 3; N (15) = 10; N (24) = 1 El mayor número de vehículos pasó a las 15 h, y fueron 10 vehículos.

43 Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6 m2 de super�cie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 2,50 € y el de tramo vertical, 3 €.

a) Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo.

b) ¿Cuál será ese coste mínimo?

a) Área = x · y = 6 → y = x6

Perímetro = 2x + 2y Coste = 2,5 · 2x + 3 · 2y = 5x + 6y

6 m2 y

x

C = 5x + x

36

C' = 8x

x5 36 05

6 5– 2 = = ≈ 2,68 m → y = 5 ≈ 2,24 m

(C'' = x72

3 ; C'' 5

6 5e o > 0 → x = 5

6 5 es mínimo).

Lasdimensionessonx = 5

6 5 m e y = 5 m.

b) C = ·55

6 5 6 5 12 5+ = ≈ 26,83 €

44 El nivel medio diario de CO2 de una ciudad depende del número de habitantes, p, y viene dado por la función:

C (p ) = p2

172

+

con p en miles y C en partes por millón (ppm).

Si la evolución de la población de esa ciudad en t años es p (t ) = 3,1 + 0,1t 2, en miles de habi-tantes, ¿con qué rapidez estará variando la concentración de CO2 en ese lugar dentro de 3 años?

LaexpresióndelnivelmediodiariodeCO2 en función del tiempo en años es C [p (t )] = (C ° p)(t ).LavariacióndeCO2 viene dada por la derivada de la función anterior.

(C ° p)'(t ) = C' [p (t )] · p' (t ) = ( , , )

, ,tt

22

3 1 0 1 17

3 1 0 12 2

2

+ +

+ · 0,2t


36


Ya que:

C' ( p) = p

p2

217

2+

y p' (t ) = 0,2t

Si t = 3 → (C ° p)'(3) = ( , , )

, ,

22

3 1 0 9 17

3 1 0 92+ +

+ · 0,6 = 0,24

Nos da un crecimiento de 0,24 partes por millón a los 3 años.

45 En un cuadrado de lado 10 cm queremos apoyar la base de un cilindro cuya área lateral es 50 cm2. ¿Cuál debe ser el radio del cilindro para que su volumen sea máximo?

r

h

10 cm

10 cm

Área lateral cilindro = 2πr h = 50 cm2 → h = πr250

El volumen del cilindro es:

V = πr 2h = πr 2 · πr250 = 25r → V (r) = 25r

Al estar apoyada la base sobre el cuadrado, tenemos que el dominio de V (r)eselintervalo(0,5].

Tenemos que maximizar V (r) = 25r, con r(0,5].

Como V (r) es una función creciente, su máximo se alcanza en r = 5.

46 Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base?

h2 + R 2 = 100 → R 2 = 100 – h2

Volumen = ( ) ( )π π πR31

31 100

31 100h – h h h – h2 2 3= =

Tenemos que maximizar la función volumen:

f (h) = π31 (100h – h3)

f ' (h) = π31 (100h – 3h2)

R

10 cmh

f ' (h) = 0 → 100 – 3h2 = 0 → h = ±3

100

(consideramos la raíz positiva, pues h ≥ 0).

( f ' (h) > 0 a la izquierda de h = 3

100 y f ' (h) < 0 a la derecha de h = 3

100 . Por tanto, en

h = 3

100 hay un máximo).

Así, el radio de la base será:

R 2 = 100 – h2 = 8 R1003

1003

2003

200– = =


37


47 Halla la base y la altura de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm q ue, al girar alrededor de un lado verti-cal, genere un cilindro de volumen máximo.

Perímetro cartulina = 2x + 2y = 60 → x + y = 30 → x = 30 – y

Volumen = πy 2x = πy 2(30 – y) = π(30y 2 – y 3 )x

y

Tenemos que maximizar la función:

V ( y) = π(30y 2 – y 3 )

V ' ( y) = π(60y – 3y 2 )

V ' ( y) = 60y – 3y 2 = 0 → 3y(20 – y) = 0 ( )8

yy x

020 10

no vale== =

(En y = 20 hay un máximo, pues V ' ( y) > 0 a la izquierda de este valor y V ' ( y) < 0 a su derecha).

Losladosdelacartulinamedirán20cmy10cm.

48 Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo y de dos semicírcu-los adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se desea que el perímetro de la pista sea de 200 m, halla las dimensiones que hacen máxima el área de la región rectangular.

x

y

Perímetro de la pista = 2x + π · y = 200

Despejamos: y = πx200 2–

Área del rectángulo = x · y = x · π πx x x200 2 200 2– – 2

=

Derivamos:

A' = π π 8 8 πx x y200 4 0 50 100– m m= = =

(A'' = 4–π

; A'' (50) < 0 → x = 50 es máximo).

49 Dos postes de 12 m y 18 m de altura distan entre sí 30 m. Se desea tender un cable que una un punto del suelo entre los dos postes con los extremos de estos. ¿Dónde hay que situar el punto del suelo para que la longitud total del cable sea mínima?

30 m30 – x

18 m12 m

x

Lalongitudtotaldelcablees:

L(x) = ( )x x12 30 18–2 2 2 2+ + + ; es decir: L(x) = x x x144 60 1 224–2 2+ + + ;


38


L' (x) = x

xx x x

xx x

xx2

260 1 224 144 60 1 224

0144 2

2 60 3– –

––2 2 2 2+ + +

++

+ = =

= ( )( )

( )x x x

x x x xx144 60 1 224

60 1 224 30 144–

– –2 2

2 2

+ ++ ++

L' (x) = 0 → ( )x x x x x60 1 224 30 144 0– –2 2+ + + =

x ( )x x x x60 1 224 30 144– ––2 2+ +=

x 2(x 2 – 60x + 1 224) = (x – 30)(x 2 + 144)

x 4 – 60x 3 + 1 224x 2 = (x 2 – 60x + 900)(x 2 + 144)

x 4 – 60x 3 + 1 224x 2 = x 4 + 144x 2 – 60x 3 – 8 640x + 900x 2 + 129 600

180x 2 + 8 640x – 129 600 = 0

x 2 + 48x – 720 = 0

x = ±2

482

482

48 2 304 2880 5184 72– ± – ±– + = = ( )xx

1260– no vale

==

(En x = 12 hay un mínimo, pues L' (x) < 0 a la izquierda de ese valor y L' (x) > 0 a su derecha).

Por tanto, el punto del suelo debe situarse a 12 m del poste de 12 m (y a 18 m del poste de 18 m).

50 Determina el radio de la base y la altura de un cilindro de 54 cm2 de área total para que su vo-lumen sea máximo.

Área total = 2πr h + 2πr 2

2πr h + 2πr 2 = 54 → h = ππ

rr

254 2– 2

Volumen = πr 2 h

V = πr 2 · ππ

rr

254 2– 2

= r (27 – πr 2) = 27r – πr 3r

h

Buscamos el máximo de V :

V' = 27 – 3πr 2 → 27 – 3πr 2 = 0 → r 2 = π π327 9= →

→ r = π3 (la solución negativa no vale).

Comprobamos si el volumen es máximo:

V '' = – 6πr → V '' π3e o < 0, es un máximo.

Si r = ( / )( / )π π ππ π

ππ

ππ3 27 9

3 318 68 h –= = =

Por tanto, para que el volumen sea máximo debe ser:

r = π3 ≈ 1,7 cm y h =

π6π ≈ 3,4 cm

51 Dada f : [1, e] → Á definida por f (x) = x1 + ln x, determina cuáles de las rectas tangentes a la

gráfica de f tienen la máxima pendiente.

Lapendientedelarectatangenteaf (x) en x = a es f ' (a). Tenemos que hallar el máximo de:

f ' (x) = x x

11–2 + , x ∈[1,e]


39


Calculamos la derivada de f ' (x); es decir, f '' (x):

f '' (x) = x x x

x12 2– –3 32 =

f '' (x) = 0 → 2 – x = 0 → x = 2 ∈[1,e](En x = 2 hay un máximo relativo de f ' (x), pues f '' (x) > 0 a la izquierda de ese valor y f '' (x) < 0 a su derecha).Hallamosf ' (x) en x=2yenlosextremosdelintervalo[1,e]:

f ' (2) = 41 = 0,25; f ' (1) = 0; f ' (e) =

ee 1–

2 ≈ 0,23

Por tanto, la recta tangente con pendiente máxima es la recta tengente en x=2.Lahallamos:

f (2) = 12

+ ln 2; f ' (2) = 41

Larectaes:y = 12

+ ln 2 + 41 (x – 2)

Página 191


52 Observando la grá�ca de la función f ', derivada de f, di:

a) Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

b) ¿Tiene f máximos o mínimos?

a) f es creciente ( f ' > 0) en el intervalo (– ∞, 2) y decreciente ( f ' < 0) en (2, + ∞).

1

1

f '

b) f tiene un máximo en x = 2. ( f ' (2) = 0 y la función pasa de creciente a decreciente).

53 Esta es la grá�ca de la función derivada de f (x). Explica si f (x) tiene máximos, mínimos o puntos de in�exión en x = 1, x = 3 y x = 5.

1

1 2

f '

x = 1: en este punto, la función tiene un mínimo, porque pasa de ser decreciente ( f ' < 0) a creciente ( f ' > 0), y f ' (1) = 0.

x = 3: en este punto, f tiene un punto de in�exión, ya que f '' (3) = 0.x = 5: en este punto, f tiene un máximo, pues pasa de ser creciente a decreciente y f ' (5) = 0.

54 La función f tiene derivadas primera y segunda y esf ' (a) = 0 y f '' (a) = 0.

¿Puede presentar f un máximo relativo en el punto a? En caso a�rmativo, pon un ejemplo.

Sí puede presentar un máximo. Por ejemplo: f (x) = –x 4 en x = 0 es tal que: f ' (x) = – 4x 3

f '' (x) = –12x 2

f ' > 0 f ' < 00

Por tanto: f ' (0) = 0 y f '' (0) = 0En (0, 0) hay un máximo relativo.


40


55 Considera la función | x | (valor absoluto de x):

a) ¿Presenta un mínimo relativo en algún punto?

b) ¿En qué puntos es derivable?

Razona tus respuestas.

a) f (x) presenta un mínimo relativo en x = 0, pues f (0) = 0 < f (x) si x ≠ 0.

De hecho, es el mínimo absoluto de f (x).

y = |x|

–1 1

1

b) f (x) = | x | = ≤x

xxx

00

– sisi >

) ; f ' (x) = xx

00

11– si

si ><)

f (x) no es derivable en x = 0, pues f ' (0–) = –1 ≠ f ' (0+) = 1. Por tanto, f es derivable para x ≠ 0.

56 Si f ' (a) = 0, ¿qué proposición es cierta?:

a) f tiene un máximo o un mínimo en el punto x = a.

b) f tiene un punto de in�exión en x = a.

c) f tiene en el punto x = a tangente paralela al eje X.

Si f ' (a) = 0, solo podemos asegurar que f tiene en x = a tangente horizontal (paralela al eje OX ).Podría tener un máximo, un mínimo o un punto de in�exión en x = a.Por tanto, solo es cierta la proposición c).

Para profundizar

57 Halla el dominio de de�nición y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

f (x) = lnxx

11–

2

2

+e o

Lafunciónestádefinidacuandoxx

11–

22

+ > 0. Como el denominador es siempre positivo, debe ser

x 2 – 1 > 0. Por tanto el dominio de de�nición es (–∞, –1) ø (1, +∞).

f ' (x) = ( )( )x xx

1 14

–2 2+ f ' (x) = 0 → x = 0 (este punto no es válido porque no está en el dominio de de�nición).

1–1f ' < 0 No existe f f ' > 0

Lafunciónesdecrecienteen(–∞,–1)ycrecienteen(1,+∞).

58 Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y los mínimos de la función dada por:

y = |x2 + 2x – 3|

De�nimos la función por intervalos. Para ello, calculamos los puntos donde f (x) = 0:

x 2 + 2x – 3 = 0 → x = ±2 2

22 4 12 4– ±– + = xx

13–

==

f (x) = ≤ ≤x x x

xx

x xx x

2 32 3

2 3

33 1

1

– sisisi

– ––

––

<

>

2

2

2

++

+*


41


Hallamosladerivadadef :

f ' (x) = xx

x

xx

x

2 22 2

2 2

33 1

1– –

si –si – ≤si

<

><

+

+*

En x = –3 no es derivable, pues f ' (–3– ) = – 4 ≠ f ' (–3+ ) = 4.En x = 1 no es derivable, pues f ' (1– ) = – 4 ≠ f ' (1+ ) = 4.•Veamosdóndeseanulaladerivada: 2x + 2 = 0 → x = –1 Pero f ' (x) = 2x + 2 para x < –3 y x > 1. –2x – 2 = 0 → x = –1 y f ' (x) = –2x – 2 para –3 < x < 1 Por tanto, f ' (x) se anula en x = –1 → f (–1) = 4.• Signodeladerivada:

1f ' < 0 f ' < 0

–1–3f ' > 0 f ' > 0

• Lafunción: escrecienteen(–3,–1)ø (1, +∞). Es decreciente en (–∞, –3) ø (–1, 1). Tiene un máximo en (–1, 4). Tiene un mínimo en (–3, 0) y otro en (1, 0). Son los puntos donde f no es derivable.

59 Estudia la existencia de máximos y mínimos relativos y absolutos de la función y = |x2 – 4|.

f (x) = xx

x

xx

x

44

4

22 2

2–


–

–

<

>

2

2

2+* f ' (x) =

xx

x

xx

x

22

2

22 2

2–

si –si –si

<

>< <*

En x = –2 no es derivable, pues f ' (–2– ) = – 4 ≠ f ' (–2+ ) = 4.En x = 2 no es derivable, pues f ' (2– ) = – 4 ≠ f ' (2+ ) = 4.• Laderivadaseanulaenx = 0.• Signodeladerivada:

2f ' < 0 f ' < 0

0–2f ' > 0 f ' > 0

• Lafuncióntieneunmáximorelativoen(0,4). No tiene máximo absoluto ( ) ( )l m f x l m f x ∞í í

∞ ∞8 8x x –= =+

+a k.•Tieneunmínimorelativoen(–2,0)yotroen(2,0).Enestospuntos,elmínimotambiénesabso-

luto, puesto que f (x) ≥ 0 para todo x.

60 Sea f la función de�nida por f (x) = x ea b x

xx

2 00–

si ≤si >

x–+* .

a) Determina el valor de a y b sabiendo que f (x) es derivable en x = 0.

b) ¿Tiene puntos singulares?

a) Exigimos la continuidad y derivabilidad en x = 0. Veamos la continuidad: l mí

8x 0– (x + 2e –x ) = 2

l m a b x a b–í8x 0

=+

Cuando a b = 2, la función es continua ya que l mí8x 0

f (x) = f (0).


42


Veamos la derivabilidad:

f ' (x) = xx

e

b xa

2

1 2 00

sisi

–

––

<>

x–

* → ( )

( )

'

'

f

fb

a2

0 1

0

––

– =

=+* → –1 = b

a2–

Si se cumple la condición anterior será derivable en x = 0 ya que coinciden sus derivadas laterales.

a b

ba

2

21

=

= 4 → a = 2, b = 1

Lafunciónquedaasí:f (x) = ≤ ≤

e xx

xx

2 02 1 0 1

sisi–

<x–+*

Su derivada es: f ' (x) = ≤e

x

xx

1 2 0

11 0 1

–

––

sisi

<<

x–

*

b)Lospuntossingularessolopuedenestarenelprimertrozoyaqueladerivadanoseanulacuandox ≥ 0.

f ' (x) = 0 → 1 – 2e –x = 0 → x = ln 2 > 0 (este punto no es válido porque no pertenece al intervalo de de�nición)

Luegonotienepuntossingulares.


43


Autoevaluación

Página 191

1 a) Escribe la ecuación de la tangente a la siguiente curva en su punto de in�exión:

f (x) = 3x 2 – (x + 2)3

b) ¿Existe algún punto en el que la recta tangente sea paralela al eje X ?

a)Hallamoselpuntoenelqueseanulasusegundaderivada:

f ' (x) = 6x – 3(x + 2)2

f '' (x) = 6 – 6(x + 2) = – 6x – 6

f '' (x) = 0 → – 6x – 6 = 0 → x = –1

Observamos que la función pasa de cóncava a convexa en el punto de abscisa x = –1 estudiando el signodeladerivadasegunda.Luegoenx = –1 hay un punto de in�exión.

x = –1, f (–1) = 2, f ' (–1) = –9

Larectatangenteensupuntodein exiónesy = 2 – 9(x + 1).

b)Losvaloresdex en los que la recta tangente es paralela al eje X son aquellos en los que se anula la derivada de f.

f ' (x) = 0 → 6x – 3(x + 2)2 = 0 → x 2 + 2x + 4 = 0 → No tiene solución.

Por tanto, no hay puntos con tangente horizontal.

2 Dada la función f (x) = x xx x

4 34 4

––

2

2

++ + se pide:

a) Sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

b) Máximos y mínimos relativos.

a) Calculamos el dominio de la función:

x 2 – 4x + 3 = 0 → x = 1, x = 3

Lafunciónnoestádefinidaenx = 1 y x = 3. En estos valores no es continua ni derivable. El domi-nio de de�nición es Á – {1, 3}.

f ' (x) = ( )x x

x4 3

14 28–

–2 2+

+

f ' (x) = 0 → –14x + 28 = 0 → x = 2

21 3f ' > 0f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0

Losintervalosdecrecimientoson(–∞,1)y(1,2).

Losintervalosdedecrecimientoson(2,3)y(3,+∞).

b) x = 2, f (2) = – 8

En el punto (2, – 8) hay un máximo relativo.

3 La función f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c veri�ca que f (1) = 1, f ' (1) = 0 y que f no tiene extremo relativo en x = 1. Calcula a, b y c.

Para que no tenga extremo relativo en x = 1 debe ser f '' (1) = 0, ya que, en caso contrario, al ser f ' (1) = 0, habría un extremo relativo en x = 1.

f ' (x) = 3x 2 + 2ax + b

f '' (x) = 6x + 2a


44


f (1) = 0 → 1 + a + b + c = 0 f ' (1) = 0 → 3 + 2a + b = 0 f '' (1) = 0 → 6 + 2a = 0Resolvemoselsistema:

a b ca ba

13 2 06 2 0

–+ + =+ + =+ =

4 → a = –3, b = 3, c = –1

4 El número de personas ingresadas en un hospital por una infección después de t semanas viene dado por la función:

N (t ) = t t

t2 3 8

350–2 +

siendo t ≥ 0

Calcula el máximo de personas ingresadas y la semana en que ocurre. ¿A partir de qué semana, después de alcanzar el máximo, el número de ingresados es menor que 25?

• Paracalcularelmáximo,derivamoseigualamosacero:

N ' (t ) = ( )

( ) ( )( )

( )t t

t t t tt t

t2 3 8

350 2 3 8 350 4 32 3 8350 2 8 0

–– – –

––

2 2

2

2 2

2

++ =

++ = →

→ –2t 2 + 8 = 0 → t 2 = 4 ( ≥ )

( ) · ··8

t t

t N

2 0

2 2 2 4 3 2 8350 2 70

– no vale, pues

–

=

= = + =

El número máximo de personas ingresadas es 70, y ocurre en la 2.ª semana.

•Hemosdevercuándot t

t2 3 8

350 25–

<2 +.

350t < 50t 2 – 75t + 200 → 50t 2 – 425t + 200 > 0 → 2t 2 – 17t + 8 > 0 Resolvemoslainecuación: f (t ) = 2t 2 – 17t + 8 = 0

,tt

80 5

==

80,5f (t) < 0f (t) > 0 f (t) > 0

f (t ) > 0 para t ∈ (0; 0,5) ø (8, + ∞). Después de alcanzar el máximo en t = 2, a partir de t = 8, el número de personas ingresadas es menor

que 25.

5 Sea B (x) = ax + b x la función de bene�cios de una empresa. Sabemos que el bene�cio máximo es 50 000 euros y se obtiene si x = 100 unidades producidas. Calcula a y b.

B (x) = ax + b xSabemos que B (100) = 50 y B' (100) = 0 B (100) = 100a + 10b = 50

B ' (x) = ax

b2

+ → B ' (100) = a b20

+ = 0

Resolvemoselsiguientesistema:

8

a b

a b a b100 10 50

200

20–

+ =

+ = =*

;8 8 8b b b b b b b a10020

10 502

5 2 10 1021– – – –+ = + = + = = =c m

Por tanto, B (x) = x x2

10– + .


45


6 En un parque natural, el tamaño de una población de aves se ajusta a la función:

N (t ) = ,

,

t t

t

t

t

8 50

95 2500 10

10

–

–

≤ ≤

>

2 +*con N (t ) en cientos y t, en años.

a) ¿A partir de qué año crecerá el número de aves?

b) ¿Es mínima esa población algún año?

c) ¿A qué valor tiende la población con el paso del tiempo?

d) Calcula el intervalo de tiempo en el que la población se mantiene entre 5 000 y 7 500 aves.

a)Lafunciónestádefinidaporintervalosmediantefuncionescontinuasensusrespectivosintervalosdede�nición.

En t = 10 también es continua, ya que ( ) ( )íl m t t l mt

N8 50 95 250 10 70– –í8 8t t10

210–

+ = = =+c m

N' (t ) = t

t

t

t

2 8250

0 10

10

– si

si

< <

>2*

Laderivadasoloseanulacuando2t – 8 = 0 → t = 4.

A partir de ese instante, la derivada es positiva cuando 4 < t < 10 y cuando t > 10. Por tanto, la población crecerá a partir del cuarto año.

b)Lapoblaciónesmínimacuandot = 4 y es N (4) = 34, es decir, 3 400 aves. Esto es debido a que la función decrece cuando 0 < t < 4 y a lo comentado en el apartado anterior.

c) Para hallar ese valor calculamos:

∞

l mí8t + t

95 250–c m = 95

Es decir, con el paso del tiempo la población tiende a ser de 9 500 aves.

d) Como N (0) = 50, la población empieza siendo de 5 000 aves. Desciende hasta las 3 400 cuando t = 4 y a partir de ahí crece. Cuando t = 10, la población es de 7 000 aves, como se ha visto en el apartado a). Para que alcance las 7 500 debe cumplirse que:

75 = 95 – ,8t

t250225 12 5= =

Por tanto, la población se mantiene entre 5 000 y 7 500 aves cuando 0 ≤ t ≤ 12,5.

7 Se quiere construir una caja con tapa que tenga el máximo volumen y que sea el doble de ancha que de larga. Se dispone de 30 m2 de chapa. ¿Qué medidas de largo y de ancho debe tener la caja?

Llamamosx al largo e y al alto. Entonces, el ancho es 2x.

Por tanto, la cantidad de chapa usada es 6xy + 4x 2 = 30.

Queremos que la función volumen sea máxima → V = 2x · x · y = 2x 2y máxima.

Despejamos y en la primera igualdad: 8xy x yx

xx

x6 4 306

30 43

15 2– –2 2 2+ = = =

y sustituimos en la función volumen: V = · ( )xx

x x x x x23

15 23

2 15 23

30 4– – –2 2 2 3= =

Derivamos e igualamos a cero:

V ' = 10 – 4x 2; V ' = 0 → 10 – 4x 2 = 0 → x = 25– (no válida), x =

25

Como V '' = – 8x es negativa en x = 25 , en este valor hay un máximo relativo.

Lasdimensionespedidasson:largo=25 m; ancho = 2

25 10= m; alto =

3 25

1034

25= m

1

Unidad 8. Representación de funciones BACHILLERATOMatemáticas aplicadas a las


Resuelve

Página 193

Límites y derivadas para representar una función

■ Traza unos ejes coordenados sobre papel cuadriculado y representa una curva, lo más sencilla po-sible, que cumpla las siguientes condiciones:

•∞

l mí8x –

f (x) = – ∞

•∞

l mí8x +

f (x) = 2

• l mí8x 2–

f (x) = – ∞

• l mí8x 2+

f (x) = + ∞

• f (0) = 4; f ' (0) = 0

• f (–5) = 0; f (1,75) = 0

• f es derivable en todo Á, salvo en x = 2.

1–5

1

4

■ Describe, con la menor cantidad de datos y de forma similar al ejercicio anterior, la siguiente fun-ción:

•∞

l mí8x –

f (x) = –1

•∞

l mí8x +

f (x) = – ∞

• l mí8x 3– –

f (x) = + ∞

• l mí8x 3– +

f (x) = + ∞

• f (–9) = 0; f ' (0) = 0; f (8) = 0

• f ' (0) = 0

• f (4) = 4; f ' (4) = 0

BACHILLERATOUnidad 8. Representación de funciones

2


1 Elementos fundamentales para la construcción de curvas

Página 195

1 Halla el dominio de estas funciones y di dónde son continuas y dónde derivables.

a) y = x 3 – 5x 2 + 7x + 3 b) y = x x

x5 4

3 5–2

3

++ c) y =

sen x1 d) y =

xx x

12

2

3

++

e) y = x x2–2 f ) y = ln (x 2 – 1) g) y = ln (x 2 + 1) h) y = xex

2

a) Dominio = Á y es un polinomio, luego es continua y derivable en todo su dominio.

b) x 2 – 5x + 4 = 0 → x = ± ± ±2

5 25 162

5 92

5 3– = = xx

41

==

Dominio = Á – {1, 4}

y es un cociente de polinomios, que solo daría problemas de continuidad y derivabilidad en x = 4 y x = 1, luego es continua y derivable en su dominio, Á – {1, 4}.

c) Como sen x se anula cuando x = k π con k ∈ , la función dada no existe para estos valores de x ya que se produciría una división entre 0. Por tanto, el dominio de de�nición es Á – {k π}.

La función es continua y derivable en todo su dominio.

d) x 2 + 1 ≠ 0 para todo x → Dominio = Á Se sigue del razonamiento del apartado b) que es continua y derivable en Á.

e) x 2 – 2x ≥ 0 → Dominio = (– ∞, 0] ø [2, + ∞)

Al ser una función raíz, la derivada no existirá en los puntos en los que se anula, x = 2 y x = –2. Es continua en todo su dominio, Á – (0, 2), pero solo es derivable en Á – [0, 2].

f ) x 2 – 1 > 0 → Dominio = (– ∞, –1) ø (1, + ∞)

La derivada no existe para x 2 – 1 = 0, pero son puntos fuera del dominio, luego es continua y deri-vable en todo su dominio.

g) x 2 + 1 > 0 para todo x → Dominio = Á La derivada existe para todo punto x, luego es derivable y continua en Á.

h) x 2 = 0 → x = 0 → Dominio = Á – {0}

La derivada solo da problemas fuera del dominio, luego es continua y derivable en Á – {0}.

2 Di dónde son continuas y dónde son derivables las funciones:

a) y = x

x1–2

3 b) y = | x 3 – x |

c) y = arc cos (x – 4) d) y = log (5 – x169 – 2)

a) Dominio = Á – {–1, 1}

Es continua y derivable en su dominio.

b) La función y = | x 3 – x | es continua en todo su dominio, que es Á. Por tener puntos angulosos donde se anula el polinomio x 3 – x, no es derivable en dichos puntos; es decir, en x = 0, x = 1 y x = –1 no es derivable.

c) La función y = arc cos (x – 4) está de�nida cuando –1 ≤ x – 4 ≤ 1, es decir, su dominio de de�nición es el intervalo [3, 5]. En él la función es continua. Como tiene puntos de tangente vertical en x = 3 y x = 5, no es derivable en ellos. Sí lo es en el resto del intervalo.


3


d) Veamos primero el dominio de de�nición de la función y = log (5 – x169 – 2).

Para que la función exista, debe ser x5 169– – 2 > 0, es decir, x169 – 2 < 5 y además x debe estar comprendido entre –13 y 13 para que tenga sentido la raíz cuadrada.

Elevando al cuadrado:

169 – x 2 < 25 → 144 < x 2 → 12 < x ≤ 13 y –13 ≤ x < –12

Luego el dominio de de�nición es [–13, –12) ø (12, 13].

En su dominio la función es continua. En x = –13 y x = 13 la función tiene puntos de tangente vertical, luego en ellos no es derivable. Por tanto, es derivable en (–13, –12) ø (12, 13).

Página 196

3 Halla las simetrías y las periodicidades de las funciones siguientes:

a) y = 3x 4 – 5x 2 – 1

b) y = x x2–2

c) y = x

x1–2

3

d) y = x

x 1–2

3

e) y = sen x + 1/2 (sen 2x)

f ) y = cos x 53 +

a) f (–x) = 3(–x)4 – 5(–x)2 – 1 = 3x 4 – 5x 2 – 1 = f (x)

Es una función par: simétrica respecto al eje Y.

No es periódica.

b) f (–x) = x x22 +

No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas.

No es periódica.

c) f (–x) = x

x1–

–2

3 = –f (x)

Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas.

No es periódica.

d) f (–x) = x

x 1– –2

3

No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas.

No es periódica.

e) f (–x) = ( ) ( ( )) ( ( )) ( )sen x sen x sen x sen x f x21 2

21 2– – – – –+ = =

Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. Es periódica de período 2π.

f ) Como cos (–x) = cos x, la función es par.

Por otro lado, cos x es periódica de período 2π. Por tanto, la función dada también es periódica de período 2π.


4


Página 197

4 Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas:

a) y = ( )x x

x2– 2

3 b) y =

x 41–

c) y = x4

3–

d) y = log (x 2 – 4)

a) El denominador se anula cuando x = 2 y cuando x = 0.

( ) ·

íl mx x

x2–8x 2 2

3 = + ∞, ya que en las cercanías del punto 2 los dos términos de la fracción son

positivos. Por tanto, en x = 2 hay una asíntota vertical.

Por otro lado, ( ) · ( )

l mx x

x l mx

x2 2

0– –

í í8 8x x2

3

0 2

2

0= = y en x = 0 no hay una asíntota vertical.

2 4 6–4–6 –2

4

8

6

2

–2

Y

X

b) El denominador se anula cuando x = 4 y el dominio de la función es el intervalo (4, + ∞).

íl mx 4

1–8x 4+

= + ∞ y en x = 4 tenemos una asíntota vertical.

2 4 6 8–2

4

2

–2

Y

X

c) El denominador se anula cuando x = 4 y el dominio de la función es el intervalo (– ∞, 4).

l mx4

3–

í8x 4–

= + ∞ y en x = 4 tenemos una asíntota vertical.

2 4 6 8–2

4

2

–2

Y

X

d) El dominio de de�nición es (– ∞, –2) ø (2, + ∞) ya que x 2 – 4 > 0.

( )í logl m x 4–8x 2

2– –

= – ∞ y ( )logl m x 4–í8x 2

2– +

= – ∞ porque en ambos casos x 2 – 4 → 0+.

Luego tiene dos asíntotas verticales: una en x = –2 y otra en x = 2.

2 4–4 –2–2

4

2

–4

Y

X


5


Página 199

5 Halla las ramas en el in�nito de las funciones siguientes:

a) y = 3x 5 – 20x 3 b) y = x

x1–2

4

c) y = ( )x

x2– 2

3 d) y = x x2–2

e) y = ln (x 2 + 1) f ) y = 2x – 1

g) y = x sen x h) y = x – cos x

a) ∞

l mí8x +

(3x 5 – 20x 3) = + ∞

∞

l mí8x –

(3x 5 – 20x 3) = – ∞

Tiene sendas ramas parabólicas de crecimiento cada vez más rápido por ser una función polinómica.

b) y = x

x xx1

11

1– –2

4 22= + +

En el in�nito, la función dada es equivalente a x 2 + 1, luego tiene dos ramas parabólicas de creci-miento cada vez más rápido y f (x) → + ∞ cuando x → ± ∞.

c) y = ( ) ( )x

x xx

x2

42

12 16– –

–2

3

2= + +

La función tiene una asíntota oblicua cuando x → ± ∞ y es la recta y = x + 4.

d) En el in�nito, la función es equivalente a | |x x2 = , luego f (x) → + ∞ cuando x → ± ∞.

e) ∞

l mí8x +

ln (x 2 + 1) = + ∞

y = ln (x 2 + 1) es equivalente en el in�nito a y = ln (x 2) = 2ln | x |.

Luego ∞

l mí8x +

( )lnx

x 12 + = ∞

l mí8x +

| |ln

xx2

= 0.

Lo mismo ocurre cuando x → – ∞ y, por tanto, tiene dos ramas parabólicas de crecimiento cada vez más lento cuando x → ± ∞.

f ) Esta función tiene una rama parabólica de crecimiento cada vez más rápido cuando x → + ∞ por ser una función exponencial. Por el mismo motivo, la recta y = 0 es la asíntota horizontal cuando x → – ∞.

g) ∞

l mí8x +

(x sen x) no existe.

Análogamente ocurre cuando x → – ∞ y, por tanto, esta función no tiene ni asíntotas ni ramas pa-rabólicas.

h) ∞

l mí8x +

(x – cos x) = + ∞

∞

l mí8x +

cosx

x x– = ∞

l mí8x +

cosx

x1 –c m = 1 porque la función cos x está acotada entre –1 y 1.

∞

l mí8x +

(x – cos x – x) = ∞

l mí8x +

cos x no existe.

En consecuencia, no tiene asíntotas ni ramas parabólicas.


6


6 ¿Qué tipo de ramas en el in�nito tienen estas funciones?

a) y = x 1

1+

b) y = x

x1

3+

c) y = xx

12

+ d) y =

xx

14

+

e) y = ex

x

2 f ) y = x 323 + g) y = x + x h) y = tg x

a) Tiene una asíntota horizontal cuando x → ± ∞. Es la recta y = 0.

b) y = x

xx1

3 31

3–+

=+

tiene una asíntota horizontal cuando x → ± ∞. Es la recta y = 3.

c) y = xx x

x11

11–

2

+= +

+. Por tanto, la recta y = x – 1 es la asíntota oblicua cuando x → ± ∞.

d) y = xx x x x

x11

11– –

4 3 2+

= + ++

tiene ramas parabólicas de crecimiento cada vez más rápido por ser equivalente en el in�nito a una función polinómica.

e) ∞

l mí8x +

ex

x

2 = 0. La recta y = 0 es la asíntota horizontal cuando x → + ∞.

∞

l mí8x –

ex

x

2 = + ∞

∞

l mí8x –

/x

x ex2 =

∞l mí8x –

exx = – ∞. La función tiene una rama parabólica de crecimiento cada vez

más rápido cuando x → – ∞.

f ) ∞

l mí8x +

x 323 + = + ∞

∞

l mí8x +

x

x 323 + = ∞

l mí8x +

x

x 33

23 + = 0

Se da la misma situación cuando x → – ∞ por ser una función par. Tiene dos ramas parabólicas de crecimiento cada vez más lento.

g) ∞

l mí8x +

( )x x+ = + ∞

∞

l mí8x +

x

x x+ = ∞

l mí8x +

x

1 1+e o = 1

∞

l mí8x +

( )x x x–+ = ∞

l mí8x +

x = + ∞

Tiene una rama parabólica de crecimiento cada vez más lento cuando x → + ∞.

Como su dominio de de�nición es el intervalo [0, + ∞), no podemos estudiarla cuando x → – ∞.

h) La función y = tg x es periódica y no acotada. No tiene asíntotas ni ramas parabólicas en el in�nito.

Página 200

7 Halla los puntos singulares y los puntos de in�exión de estas funciones:

a) y = x 3 – 6x 2 + 9x + 5 b) y = ln (x 2 + 1)

a) y = x 3 – 6x 2 + 9x + 5. Dominio = Á• f ' (x) = 3x 2 – 12x + 9

• f ' (x) = 0 → 3(x 2 – 4x + 3) = 0

x = ± ± ±2

4 16 122

4 42

4 2– = = xx

31

==

Signo de f ' (x):

Hay un máximo en (1, 9) y un mínimo en (3, 5).

1 3

f ' < 0f ' > 0 f ' > 0


7


• f '' (x) = 6x – 12

f '' (x) = 0 → 6x – 12 = 0 → x = 2

Signo de f '' (x):

Hay un punto de in�exión en (2, 7).

2

f '' > 0f '' < 0

b) y = ln (x 2 + 1). Dominio = Á

• f ' (x) = x

x1

22 +

f ' (x) = 0 → 2x = 0 → x = 0

( )( )

''''

f x xf x x

0 00 0

parapara

< <> >

4 Hay un mínimo en (0, 0).

• f '' (x) = ( )

( ) ·( ) ( )x

x x xx

x xx

x1

2 1 2 21

2 2 41

2 2– – –2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

++ =

++ =

++

f '' (x) = 0 → –2x 2 + 2 = 0 → x 2 = 1 xx

11–=

= Signo de f '' (x)

Hay un punto de in�exión en (–1, ln 2) y otro en (1, ln 2).

–1 1

f '' > 0f '' < 0 f '' < 0

8 Halla los puntos singulares de:

a) y = 3x 5 – 20x 3 b) y = x

x1–2

2 c) y =

( )xx

2– 2

3 d) y = x x2–2

a) y = 3x 5 – 20x 3. Dominio = Á f ' (x) = 15x 4 – 60x 2

f ' (x) = 0 → 15x 2(x 2 – 4) = 0 xx

x2

2

0–=

=

=

Signo de f ' (x):

–2 0

f ' < 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

2

Hay un máximo en (–2, 64), un mínimo en (2, – 64), y un punto de in�exión en (0, 0).

b) y = x

x1–2

2. Dominio = Á – {–1, 1}

f ' (x) = ( )

( ) ·( ) ( )x

x x x xx

x x xx

x1

2 1 21

2 2 21

2–

– ––

– ––

–2 2

2 2

2 2

3 3

2 2= =

f ' (x) = 0 → –2x = 0 → x = 0

Signo de f ' (x):

Hay un máximo en (0, 0).

–1 0

f ' > 0f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0

1


8


c) y = ( )x

x2– 2

3. Dominio = Á – {2}

f ' (x) = ( )

( ) · ( )( )( )

( ) ( )xx x x x

xx x x

xx x x

xx x

23 2 2 2

23 2 2

23 6 2

26

–– – –

–– –

–– –

––

4

2 2 3

3

2 3

3

3 2 3

3

3 2= = =

f ' (x) = 0 → x 2(x – 6) = 0 xx

06

==

Signo de f ' (x):

0 2

f ' > 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

6

Hay un punto de in�exión en (0, 0) y un mínimo en ,6227d n .

d) y = x x2–2 . Dominio = (– ∞, 0] ø [2, + ∞)

f ' (x) = x xx

x xx

2 22 2

21

––

––

2 2=

f ' (x) = 0 → x – 1 = 0 → x = 1 ∉ Dominio.

No hay puntos singulares.


9


2 El valor absoluto en la representación de funciones

Página 201

1 Representa:

a) y = | |x

x x1

32

++ b) y = | x – 5 | x

c) y = x – | x – 3 | + | x + 1 | d) y = | |x 1–2

a) El único valor absoluto que interviene es | x |. La abscisa en donde cambia de signo x es 0. Por tanto:

x < 0, | x | = –x → y = x

x x13

–2

++ x ≥ 0, | x | = x → y =

xx x

132

++

1 X

Y

1

x2 + 3xy = ——— –x + 1

1 X

Y

1

x2 + 3xy = ——— x + 1

Representamos, pues, esta función:

y = | |

≥x

x x xx x x

xx x x

13 1

3 0

13 0

–si

si

<2

2

2++ = +

+

++

*1 X

Y

1

x2 + 3xy = ——— |x| + 1

b) El único valor absoluto que interviene es | x – 5 |. La abscisa donde cambia de signo x – 5 es 5. Por tanto, analizamos cómo queda la función a la izquierda y a la derecha de 5:

x < 5 → | x – 5 | = –x + 5 → y = (–x + 5)x = –x 2 + 5x

x ≥ 5 → | x – 5 | = x – 5 → y = (x – 5)x = x 2 – 5x

y = | x – 5 |x = ≥

x xx x

xx

55

55

––

sisi

<2

2+*

1 X

Y

1

y = x

2 – 5

x

y = –x 2 + 5x


10


c) Intervienen dos valores absolutos, | x + 1 | y | x – 3 |, que cambian de signo en las abscisas x = –1 y x = 3, respectivamente.

Por tanto:

x < –1, | x + 1 | = –x – 1 y | x – 3 | = –x + 3 → y = x + x – 3 – x – 1 = x – 4

–1 ≤ x < 3, | x + 1 | = x + 1 y | x – 3 | = –x + 3 → y = x + x – 3 + x + 1 = 3x – 2

x ≥ 3, | x + 1 | = x + 1 y | x – 3 | = x – 3 → y = x – x + 3 + x + 1 = x + 4

Representamos, pues, esta función:

y = x – | x – 3 | + | x + 1 | = ≤≥

xx

x

xx

x

43 2

4

11 3

3

––

si –si –si

<<

+*

1

y = x

– 4

y = x

+ 4

y = 3

x –

2

X

Y

1

d) Las abscisas en donde cambia de signo x 2 – 1 son –1 y 1. Analizamos cómo queda de�nido el valor absoluto:

x < –1 → | x 2 – 1 | = x 2 – 1 → y = x 1–2

–1 ≤ x < 1 → | x 2 – 1 | = 1 – x 2 → y = x1 – 2

x ≥ –1 → | x 2 – 1 | = x 2 – 1 → y = x 1–2

y = | |x

x

x

x

x

x

x

1

1

1

1

1

1 1

1

–

–

–

–

si –

si – ≤

si ≥ –

<

<2

2

2

2

= * y la grá�ca es:

2 4–4 –2

4

2

Y

X


11


3 Representación de funciones polinómicas

Página 203

1 Representa estas funciones:

a) y = x 4 – 8x 2 + 7 b) y = 3x 4 + 4x 3 – 36x 2 c) y = x 4 – 4x 3 – 2x 2 + 12x

d) y = 3x 4 – 4x 3 – 16 e) y = x 3 – 3x f ) y = (1/4)x 4 – 2x 2

a) y = x 4 – 8x 2 + 7

• Si etr as:

f (–x) = x 4 – 8x 2 + 7 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

• a asinfinitas:

∞

l mí8x –

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞

• Puntossin u ares:

f ' (x) = 4x 3 – 16x

f ' (x) = 0 → 4x (x 2 – 4) = 0 xx

x2

2

0–=

=

=

Puntos singulares: (0, 7); (–2, –9); (2, –9)

•Cortescon ose es:

— Con el eje Y → x = 0 → y = 7 → Punto: (0, 7)

— Con el eje X → y = 0 → x 4 – 8x 2 + 7 = 0

x 2 = ± ± ±2

8 64 282

8 362

8 6– = = ±±

88

x xx x

7 71 1

2

2= == =

Puntos: ( , ); ( , ); ( , ) ( , );7 0 1 0 1 0 7 0– –

• Puntosdein e i n:

f '' (x) = 12x 2 – 16

f '' (x) = 0 → 12x 2 – 16 = 0 → x 2 = 34 → x = ±

34

332±=

Puntos: ,3

2 3917– –e o y ,

32 3

917–e o

•Gráfica:

2

7

–9


12


b) y = 3x 4 + 4x 3 – 36x 2

• Si etr as:

f (–x) = 3x 4 – 4x 3 – 36x 2. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y, ni respecto al origen de coordenadas.

• a asinfinitas:

∞

l mí8x –

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞


f ' (x) = 12x 3 + 12x 2 – 72x

f ' (x) = 0 → 12x (x 2 + x – 6) = 0 ± ± x

x

0

21 1 24

21 5– –

=

= + =

xx

23–

==

Puntos: (0, 0); (2, – 64); (–3, –189)



— Con el eje X → y = 0 → x 2(3x 2 + 4x – 36) = 0

± ±8

x

x x

64 16 432

64 448

0 0– –

2

= + =

= =

≈ ,≈ ,

xx

4 192 86–

Puntos: (0, 0); (2,86; 0); (– 4,19; 0)


f '' (x) = 36x 2 + 24x – 72

f '' (x) = 0 → 12(3x 2 + 2x – 6) = 0

x = ± ±6

2 4 726

2 76– –+ = ≈ ,≈ ,

xx

1 121 79–

Puntos: (1,12; –34,82) y (–1,79; –107,22)

•Gráfica:

3

50

–200

c) y = x 4 – 4x 3 – 2x 2 + 12x

• Si etr as:

f (–x) = x 4 + 4x 3 – 2x 2 – 12x. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y, ni respecto al origen de coordenadas.

• a asinfinitas:

∞

l mí8x –

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞


13



f ' (x) = 4x 3 – 12x 2 – 4x + 12

f ' (x) = 0 → 4(x 3 – 3x 2 – x + 3) = 0 → 4(x – 1)(x + 1)(x – 3) = 0 xx

x1

3

1–=

=

=

Puntos: (1, 7); (–1, –9); (3, –9)



— Con el eje X → y = 0 → x (x 3 – 4x 2 – 2x – 6) = 0

( ) ( )8

xx x x x x x

04 2 12 0 2 2 012– – – –3 2 2

=+ = =+

≈ ,≈ ,

xx

x3 65

1 65

2

–

=

Puntos: (0, 0); (2, 0); (3,65; 0); (–1,65; 0)


f '' (x) = 12x 2 – 24x – 4

f '' (x) = 0 → 4(3x 2 – 6x – 1) = 0

x = ± ±6

6 36 126

6 48+ = ≈ ,≈ ,

xx

2 150 15–

Puntos: (2,15; –1,83) y (–0,15; –1,74)

•Gráfica:

4

7

–9

d) y = 3x 4 – 4x 3 – 16

• Si etr as:

f (–x) = 3x 4 + 4x 3 – 16. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y, ni respecto al origen de coordenadas.

• a asin ninitas:

∞

l mí8x –

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞


f ' (x) = 12x 3 – 12x 2

f ' (x) = 0 → 12x 2(x – 1) = 0 xx

10

==

Puntos: (0, –16); (1, –17)


14



— Con el eje Y → x = 0 → y = –16 → Punto: (0, –16)

— Con el eje X → y = 0 → 3x 4 – 4x 3 – 16 = 0 x x x

x3 2 4 8 0

23 2+ + + =

=

3x 3 + 2x 2 + 4x + 8 = 0 → tiene una sola raíz, que está entre –2 y –1; pues, si g (x) = 3x 3 + 2x 2 + 4x + 8, g (–2) = –16 < 0 y g (–1) = 3 > 0.

Puntos: (2, 0) y (k, 0), con k entre –2 y –1.


f '' (x) = 36x 2 – 24x

f '' (x) = 0 → 12x(3x – 2) = 0 x

x

0

32

=

=

Puntos: (0, –16) y ,32

27448–d n

•Gráfica:

2

–20

e) y = x 3 – 3x

• Si etr as:

f (–x) = –x 3 + 3x = – f (x). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas.

• a asinfinitas:

∞

l mí8x –

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞


f ' (x) = 3x 2 – 3

f ' (x) = 0 → 3(x 2 – 1) = 0 xx

11–

==

Puntos: (–1, 2); (1, –2)



— Con el eje X → y = 0 → x 3 – 3x = 0 → x (x 2 – 3) = 0 xx

x3

3

0–=

=

=

Puntos: (0, 0); ( , ); ( , )3 0 3 0–


f '' (x) = 6x

f '' (x) = 0 → 6x = 0 → x = 0 → Punto: (0, 0)


15


•Gráfica:

1

–2

f ) y = x x41 2–4 2

• Si etr as:

f (–x) = x x41 2–4 2 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

• a asinfinitas:

∞l mí8x –

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞

• Puntossin u ares: f ' (x) = x 3 – 4x

f ' (x) = 0 → x (x 2 – 4) = 0 xx

x2

2

0–=

=

=

Puntos: (0, 0); (–2, – 4); (2, – 4)•Cortescon ose es: — Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto: (0, 0)

— Con el eje X → y = 0 → x x41 2 0–2 2 =d n

xx

082

==

xx

2 22 2–=

= Puntos: (0, 0); ( , ); ( , )2 2 0 2 2 0–• Puntosdein e i n: f '' (x) = 3x 2 – 4

f '' (x) = 0 → 3x 2 – 4 = 0 x

x

34

34

32 3

32 3

– –=

=

=

=

Puntos: , ; ,3

2 3920

32 3

920– – –e eo o

•Gráfica:

2

–4


16


4 Representación de funciones racionales

Página 205

1 Representa:

a) y = x

x1 – 2

3 b) y =

xx

49

––

2

2 c) y =

xx x2 8– –2

d) y = x

x x12

2

3

++

a) y = x

x xx

x1 1–

––2

3

2= + . Dominio = Á – {–1, 1}

• Si etr as:

f (–x) = x

x1 ––

2

3 = –f (x). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas.

• s ntotas ertica es:

( )

( )

l m f x

l m f x

∞

– ∞

í

í8

8

x

x

1

1

–

–

–= +

=+

4 Asíntota vertical en x = –1.

( )

( )

l m f x

l m f x

∞

– ∞

í

í8

8

x

x

1

1

–= +

=+

4 Asíntota vertical en x = 1.

• s ntotaob icua:

x

x xx

x1 1–

––2

32= + → y = –x es asíntota oblicua.

Posición de la curva respecto a la asíntota: f (x) – (–x) > 0 si x → – ∞ (curva por encima) f (x) – (–x) < 0 si x → + ∞ (curva por debajo)


f ' (x) = ( )

( ) · ( )( ) ( )x

x x x xx

x x xx

x x1

3 1 21

3 3 21

3–

– – ––

––

–2 2

2 2 3

2 2

2 4 4

2 2

4 2= + = +

f ' (x) = 0 → x 2(–x 2 + 3) = 0 xx

x3

3

0–=

=

=

Puntos: (0, 0); , ; ,32

3 3 32

3 3– –e eo o


Corta a los ejes en (0, 0).

•Gráfica:

1–1


17


b) y = xx

49

––

2

2. Dominio = Á – {–2, 2}

• Si etr as:

f (–x) = xx

49

––

2

2 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.


( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

–í

í8

8

x

x

2

2

–

–

–=

= ++

4 Asíntota vertical en x = –2.

( )

( )

l m f x

l m f x

∞

– ∞

í

í8

8

x

x

2

2

–= +

=+


• s ntota ori onta :

xx

x49 1

45

–– –

–2

2

2= → y = 1 es asíntota horizontal.

Posición de la curva respecto a la asíntota:

f (x) – 1 < 0 si x → – ∞ (curva por debajo)

f (x) – 1 < 0 si x → + ∞ (curva por debajo)


f ' (x) = ( )

( ) ( )( )

( )( )x

x x x xx

x x xx

x4

2 4 2 94

2 4 94

10–

– – ––

– ––2 2

2 2

2 2

2 2

2 2= + =

f ' (x) = 0 → 10x = 0 → x = 0 → Punto: ,049d n


— Con el eje Y → x = 0 → y = 49 → Punto: ,0

49d n

— Con el eje X → y = 0 → x 2 – 9 = 0 xx

33–=

=

Puntos: (–3, 0) y (3, 0)

•Gráfica:

2

1

–2

c) y = x

x x xx

2 8 2 8– – – –2

= . Dominio = Á – {0}

• Si etr as:

f (–x) = x

x x2 8–

–2 + . No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y, ni respecto al origen.


18



( )

( )

l m f x

l m f x

∞

– ∞

í

í8

8

x

x

0

0

–= +

=+


• s ntotaob icua:

x

x x xx

2 8 2 8– – – –2

= → y = x – 2 es asíntota oblicua.


f (x) – (x – 2) > 0 si x → – ∞ (curva por encima)

f (x) – (x – 2) < 0 si x → + ∞ (curva por debajo)


f ' (x) = x

1 82+ > 0 para todo x del dominio.

La función es creciente en todo su dominio. No tiene puntos singulares.


— Con el eje X → y = 0 → x 2 – 2x – 8 = 0 xx

24–=

= Puntos: (–2, 0) y (4, 0)

— No corta al eje Y, pues no está de�nida en x = 0.

•Gráfica:

4–2

d) y = x

x x12

2

3

++ . Dominio = Á

• Si etr as:

f (–x) = xx x

12– –

2

3

+ = –f (x). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas.

• otieneas ntotas ertica es

• s ntotaob icua:

x

x x xx

x12

12

3

2++ = +

+ → y = x es asíntota oblicua.


f (x) – x < 0 si x → – ∞ (curva por debajo)

f (x) – x > 0 si x → + ∞ (curva por encima)


19



f ' (x) = ( )

( ) ( ) ( ) ·( ) ( )x

x x x x xx

x x x x xx

x x1

3 2 1 2 21

3 3 2 2 2 41

2– – –2 2

2 2 3

2 2

4 2 2 4 2

2 2

4 2

++ + + =

++ + + =

++ +

f ' (x) = 0 → x 4 + x 2 + 2 = 0 → x 2 = ±2

1 1 8– – → No tiene solución.

No hay puntos singulares.



— Con el eje X → y = 0 → x 3 + 2x = 0 → x (x 2 + 2) = 0 → x = 0 → Punto: (0, 0)


f '' (x) = ( )

( ) ( ) ( ) · ( ) ·x

x x x x x x x1

4 2 1 2 2 1 2–2 4

3 2 2 4 2 2

++ + + + + =

= ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )x

x x x x x xxx x

xx x

14 2 1 4 2

12 6

12 3– – –

2 3

3 2 4 2

2 3

3

2 3

2

++ + + + =

+=

+

f '' (x) = 0 xx

x3

3

0–=

=

=

Puntos: (0, 0); , ; ,34

5 3 34

5 3– –e eo o

•Gráfica:

1

1


20


5 Representación de otros tipos de funciones

Página 207

1 Representa:

a) y = x x22 + b) y = x 9–2

c) y = lnx

x d) y = xex

2

e) y = x

e–

x– f ) y = x 3 e x

a) y = x x22 +

• o inio:x 2 + 2x = 0 → x (x + 2) = 0 xx

02–

==

Dominio = (– ∞, –2] ø [0, + ∞)

• Si etr as:

f (–x) = x x2–2 . No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas.


• s ntotasob icuas:

∞

l mí8x –

f (x) = + ∞

∞

l mí8x –

( )x

f x =

∞l mí8x –

x

x x22 + = ∞

l mí8x +

x

x x2 1–– –

2=

∞

l mí8x –

[ f (x) + x ] = ∞

l mí8x –

[ ]x x x22 + + = ∞

l mí8x +

[ ]x x x2– –2 =

= ∞

l mí8x +

( ) ( )x x

x xx

x x x x2

2 2–

– – –2

2 2

++ =

∞l mí8x +

x x

x x xx2

2–

– –2

2 2

+ =

= ∞

l mí8x +

x x

xx2

21 1

222 1

–– – – –

2=

+= =

+

y = –x – 1 es asíntota oblicua cuando x → – ∞.

∞

l mí8x +

f (x) = + ∞

∞

l mí8x +

( )x

f x =

∞l mí8x +

x

x x2 12 + =

∞

l mí8x +

[ f (x) – x ] = ∞

l mí8x +

[ ]x x x2 –2 + = ∞

l mí8x +

( ) ( )x x

x xx

x x x x2

2 2–2

2 2

++

++ + =

= ∞

l mí8x +

x x

x x xx2

2 –2

2 2

++

+ =

∞l mí8x +

x x

xx2

21 1

222 1

2 +=

+= =

+

y = x + 1 es asíntota oblicua cuando x → + ∞.


f ' (x) = x xx

x xx

2 22 2

21

2 2++ =

++

f ' (x) = 0 → x + 1 = 0 → x = –1

Como no pertence al dominio de f (x), no hay puntos singulares.


21



— Con el eje X → y = 0 → x x22 + → x 2 + 2x = 0 xx

02–

==

Puntos: (0, 0) y (–2, 0)


•Gráfica:

–2

2

b) y = x 9–2

• o inio:x 2 – 9 = 0 xx

33–

==

Dominio = (– ∞, –3] ø [3, + ∞)

• Si etr as:

f (–x) = x 9–2 . Es par: simétrica respecto al eje Y.



∞

l mí8x –

f (x) = + ∞

∞

l mí8x –

( )x

f x =

∞l mí8x –

x

x 9–2 =

∞l mí8x +

x

x 19–

– –2

=

∞

l mí8x –

[ f (x) + x ] = ∞

l mí8x –

[ ]x x9–2 + = ∞

l mí8x +

[ ]x x9– –2 =

= ∞

l mí8x +

( ) ( )x x

x x x x9

9 9–

– – –2

2 2

++ =

∞l mí8x +

x x

x x9

9–

– –2

2 2

+ =

= ∞

l mí8x +

x x

099

––

2 +=

y = –x es asíntota oblicua cuando x → – ∞.

∞

l mí8x +

f (x) = + ∞

∞

l mí8x +

( )x

f x =

∞l mí8x +

x

x 19–2=

∞

l mí8x +

[ f (x) – x ] = ∞

l mí8x +

[ ]x x9 ––2 = ∞

l mí8x +

( ) ( )x x

x x x x9

9 9––

– –2

2 2

++ =

= ∞

l mí8x +

x x

x x9

9 ––

–2

2 2

+ =

∞l mí8x +

x x

099

––

2 +=

y = x es asíntota oblicua cuando x → + ∞.


22



f ' (x) = x

xx

x2 9

29– –2 2

=

f ' (x) = 0 → x = 0

Como no pertence al dominio de f (x), no hay puntos singulares.


— Con el eje X → y = 0 → x 9–2 → x 2 – 9 = 0 xx

33–

==

Puntos: (–3, 0) y (3, 0)

— No corta al eje Y, pues no existe f (0).

•Gráfica:

–3 3

2

c) y = lnxx

• o inio:Sudo iniodedefinici nese inter a o )

• a asinfinitas:

l mí8x 0+

lnx

x = – ∞ → Tiene una asíntota vertical en x = 0.

∞

l mí8x +

lnx

x = 0 → La recta y = 0 es una asíntota horizontal cuando x → + ∞.


f ' (x) = · ·lnx x 1–

lnx

xx

x1

1 –2 2=

f ' (x) = 0 → 1 – ln x = 0 → x = e → f (e) = e1 . Tiene un punto singular: ,e

e1d n

•Gráfica:

2

2


23


d) y = xex

2

• o inio:Á – {0}

• oessi trica


( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

í

í8

8

x

x

0

0

–=

= +

+

+

4 Asíntota vertical en x = 0

•∞

l mí8x –

f (x) = 0. Además, f (x) > 0 para todo x del dominio.

y = 0 es una asíntota horizontal cuando x → – ∞.

∞

l mí8x +

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x +

( )x

f x = + ∞. Rama parabólica.


f ' (x) = · · · ( ) ( )x

e x e xx

x e xx

e x2 2 2– – –x x x x

4

2

4 3= =

f ' (x) = 0 → x = 2 → Punto , e242e o

•Gráfica:

1

1

e) y = x

e–

x–

• o inio:Á – {0}• oessi trica• s ntotas ertica es:

( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞–

í

í8

8

x

x

0

0

–= +

=+

4 Asíntota vertical en x = 0

•∞

l mí8x –

f (x) = + ∞

∞

l mí8x –

( )x

f x = – ∞. Rama parabólica.

∞

l mí8x +

f (x) = 0. f (x) < 0 para todo x positivo.

y = 0 es una asíntota horizontal cuando x → + ∞.


f ' (x) = ( )

· ( ) · ( ) ( )x

e x ex

e x1 1–

– – – –x x x

2 2

– – –= +

f ' (x) = 0 → x = –1 → Punto: (–1, –e)


24


•Gráfica:

11

f ) y = x 3 e x

• Sudo iniodedefinici nesÁ.

• a asinfinitas:

∞

l mí8x +

x 3 · e x = + ∞

∞

l mí8x +

·x

x ex3 =

∞l mí8x +

x 2 · e x = + ∞

La función tiene una rapa parabólica de crecimiento cada vez más rápido cuando x → + ∞.

∞

l mí8x –

x 3 · e x = 0 → La recta y = 0 es una asíntota horizontal cuando x → – ∞.


f ' (x) = (3x 2 + x 3) e x

f ' (x) = 0 → (3x 2 + x 3) e x = 0 → x = –3, x = 0

f '' (x) = (x 3 + 6x 2 + 6x) e x

f '' (–3) = (–27 + 54 – 18)e –3 = 9e –3 → x = –3 es un mínimo relativo.

f (–3) = –27e –3 ≈ –1,34

f '' (0) = 0 → x = 0 es un punto de in�exión ya que la derivada segunda cambia de signo al pasar por él.

f (0) = 0

Los otros dos puntos de in�exión son: x1 = –3 + 3 y x2 = –3 – 3 .

f (x1) = –0,57

f (x2) = –0,93

•Gráfica:

2

2


25



Página 208

1. Del estudio a la grá�ca (asíntotas horizontales y verticales)

Hazlo tú. Representa y = f (x):

Dom f = Á – {–2}; f es derivable en todo su dominio.

∞l mí8x –

f (x) = 1 + ∞

l mí8x +

f (x) = –1+ l mí8x 2– –

f (x) = + ∞ l mí8x 2– +

f (x) = – ∞

f (0) = 0; f (7) = 0 f ' (x) = 0 ⇔ x = 4; f (4) = 2; f '' (4) < 0

I) Por ser derivable en su dominio, es continua en él y no tiene puntos angulosos.

II) En x = –2 la función tiene una asíntota vertical y las tendencias nos dicen cómo se acerca a ella.

La recta y = 1 es la asíntota horizontal cuando x → – ∞ y se acerca a ella por encima.

Análogamente, la recta y = –1 es la asíntota horizontal cuando x → + ∞ y también se acerca por encima.

III) Corta al eje horizontal en los puntos (0, 0) y (7, 0).

El único extremo relativo está en el punto (4, 2) y, además, es un máximo.

2 4 6 8–4–6–8 –2

4

6

2

–2

–4

–6

Y

X

2. Del estudio a la grá�ca (simetrías y asíntotas oblicuas y verticales)

Hazlo tú. Representa y = f (x):

Dom f = Á – {–2, 2}; función impar.

∞l mí8x +

f (x) = – ∞ ∞

l mí8x +

( )x

f x = –1

∞l mí8x +

[ f (x) – (–1) · x] = –1+

l mí8x 2–

f (x) = + ∞ l mí8x 2+

f (x) = +∞

f (3) = 0; f ' (x) = 0 ⇔ x = 0; f (0) = 0

I) Por ser derivable en su dominio, es continua en él y no tiene puntos angulosos.

II) Por ser impar, es simétrica respecto del origen de coordenadas.

La recta x = 2 es una asíntota vertical y, por simetría, también lo es la recta x = –2.

Las tendencias en esta última asíntota se obtienen por simetría de las primeras.

Por otra parte, la recta y = –x – 1 es la asíntota oblicua cuando x → enue o orsi etr a arectay = –x + 1 es la asíntota oblicua cuando x → – ∞.

III) Corta al eje horizontal en los puntos (3, 0), (0, 0) y (–3, 0), siendo este último por simetría.

Finalmente, el punto (0, 0) es el único punto de tangente horizontal y, por las características de la curva, es un punto de in�exión.

2 4 6 8–4–6–8 –2

4

6

2

–2

–4

–6

Y

X


26


Página 209

3. Representación de una función polinómica

Hazlo tú. Estudia los puntos de corte con los ejes, los puntos singulares y el crecimiento y decreci-miento de esta función:

y = 2x 6 – 3x 4

Representa su grá�ca.

•Cortescon ose es: x = 0; f (0) = 0

y = 0, f (x) = 0 → 2x 6 – 3x 4 = 0 → x 4(2x 2 – 3) = 0 →

x

x

x

23

23

0

–=

=

=

Z

[

\

]]]

]]]

Pasa por (0, 0), ,23 0–c m y ,

23 0c m.


f ' (x) = 12x 5 – 12x 3 → f ' (x) = 0 → x 3(x 2 – 1) = 0 → ; ( )

; ( ); ( )

x fx fx f

1 1 10 0 01 1 1

– – –

–

= == == =

Z

[

\

]]

]]

•Creci iento decreci iento:

0–1 1y' > 0y' < 0 y' < 0 y' > 0

Es decreciente en (– ∞, –1) y en (0, 1) y creciente en (–1, 0) y en (1, + ∞).

–2 –1 1 2 X

–1

1

2

3

4Y

4. Representación de una función racional con ramas parabólicas

Hazlo tú. Representa la siguiente función:

y = x

x 1–2

4

• o iniodedefinici n:Á – {0}

• Si etr as:

f (–x) = ( )

( ) ( )x

xx

x f x1 1–

– – –2

4

24

= =

Es simétrica respecto al eje Y; es decir, es par.

• s ntota ertica :x = 0

l mí8x 0– x

x 1–2

4 = – ∞; l mí

8x 0+ xx 1–

24

= – ∞


27


• a asene infinito:

l mí±∞8x x

x 1–2

4 = + ∞

Tiene ramas parabólicas porque l mí±∞8x

( )x

f x = l mí

±∞8x xx 1–4

3 = ± ∞.


f ' (x) = ( )x

x2 13

4 + ; f ' (x) = 0 no es posible, ya que el numerador es siempre distinto de 0.


0y' < 0 y' > 0

Es decreciente en (– ∞, 0) y creciente en (0, + ∞).

–4 –2 2 4 X–2

–4

–6

2

4

6

8Y

Página 210

5. Representación de una función racional con asíntotas oblicuas

Hazlo tú. Estudia el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los máximos y los mínimos para representar esta función:

y = ( )x

x1– 2

3

•E do iniodedefinici nesÁ – {1}.

• a asinfinitas:

l mí8x 1

( )x

x1– 2

3 = + ∞

ya que, al estar x – 1 elevado al cuadrado, el signo del cociente siempre es positivo en las proximidades de 1. Luego, la recta x = 1 es la asíntota vertical de la función:

y = ( ) ( )x

x xxx

12

13 2

– ––

2

3

2= + + → La recta y = x + 2 es la asíntota oblicua de la función.


f ' (x) = ( )

( ) · ( )( )( )

( )xx x x x

xx x x

xx x

13 1 2 1

13 1 2

13

–– – –

–– –

––

4

2 2 3

3

2 3

3

3 2= =

f ' (x) = 0 → x 3 – 3x 2 = 0 → x = 0, x = 3

0 1 3f ' > 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0


28


f (0) = 0

f (3) = 427

2 4 6 8–4–6–8 –2

4

8

6

2

–2

–4

–6

–8

6. Representación de una función racional con asíntotas horizontales


y = ( ) ( )x x

x2 1– –2

3

•E do iniodedefinici nesÁ – {1, 2}.

• a asinfinitas:

∞

l mí8x + ( ) ( )x x

x2 1– –2

3 = 1 → La recta y = 1 es una asíntota horizontal cuando x → + ∞. Lo mismo

ocurre cuando x → – ∞.

l mí8x 1– ( ) ( )x x

x2 1– –2

3 = – ∞; l mí

8x 1+ ( ) ( )x xx

2 1– –2

3 = + ∞

l mí8x 2 ( ) ( )x x

x2 1– –2

3 = + ∞ ya que, al estar x – 2 elevado al cuadrado, el signo del cociente no cambia

al pasar de un lado al otro de 2 en sus proximidades.

Las rectas x = 1 y x = 2 son asíntotas verticales.


f ' (x) = '

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]

x xx

x xx x x x x x x

2 1 2 13 2 1 2 2 1 2

– – – –– – – – – –

2

3

4 2

2 2 3 2= +f p =

= ( ) ( )

( ) ( ) [ ( ) ( )]( ) ( )x x

x x x x x xx x

x x2 1

3 2 1 2 1 22 15 6

– –– – – – –

– ––

3 2

2 3

3 2

3 2+ = +

f ' (x) = 0 → –5x 3 + 6x 2 = 0 → x = 0, x = 56

0 1 6—

52

f ' < 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0

f (0) = 0

f 56

56 2

56 1

56

227

– –2

3

= =dd

d

dn

n

n

n


29


2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6–8 –2

4

8

10

12

14

16

18

6

2

–2

–4

–6

–8

Página 211

7. Función con valor absoluto


y = | x | – |x – 3 | + | x + 1 |

| x | = ≥xx

xx

00

– sisi

<)

–| x – 3 | = [ ( )]( ) ≥

xx

xx

33

33

– – –– –

sisi

<* = ≥xx

xx

33

33

––

sisi

<+

)

| x + 1 | = ( )

≥x

xxx

11

11

– si –si –

<++

) = ≥x

xxx

11

11

– – si –si –

<+

)

Teniendo en cuenta los puntos donde cambia de signo cada sumando, sumamos las expresiones y se ob-tiene:

y = | x | – | x – 3 | + | x + 1 | = ≤

≤≥

≤≤≥

x x xx x x

x x xx x x

xx

xx

xx

xx

xxx

x

3 13 1

3 13 1

11 0

0 33

11 0

0 33

42

3 24

– – – –– –

––

si –si –sisi

si –si –sisi

– –––

<<

<

<<

<

++ + +

+ + ++ + +

=

+

* *

2 4 6 8–4–6–8 –2

4

8

6

2

–2

–4


30


8. Función logarítmica


y = ln xx

13

––

• o iniodedefinici n:

Resolvemos la inecuación xx

13 0

–– > y concluimos que la función está de�nida en (– ∞, 1) ø (3, + ∞).

• s ntotas ertica es:x = 1 y x = 3

l mí8x 1–

ln xx

13

–– = + ∞

l mí8x 3+

ln xx

13

–– = – ∞

• s ntota ori onta :y = 0

∞

l mí8x –

ln xx

13

–– = ln 1 = 0

∞

l mí8x +

ln xx

13

–– = ln 1 = 0


f ' (x) = ·( ) ( ) ( )

xx x x x

13

11

21 3

2

–– – – –2 =

Como no puede ser 0, no tiene puntos singulares.


1 3y' > 0 No existe y' > 0

Es creciente en (– ∞, 1) y en (3, + ∞).

–4–6 –2 2 4 6X

–2

–4

–6

2

4

6Y

Página 212

9. Estudio y grá�ca de otras funciones

Hazlo tú. Representa las siguientes funciones:

a) y = ln x

x2 b) y =

ex2 1

x–+

a)• o iniodedefinici n:Á – {–1, 0, 1}• ienesi etr ai ar aquef (–x) = –f (x). Por tanto, la estudiamos solo para valores positivos de x.• a asinfinitas:

l mí8x 0

ln x

x2 = 0 → En x = 0 tiene una discontinuidad evitable.


31


l mí8x 1–

ln x

x2 = – ∞, l mí

8x 1+

ln xx

2 = + ∞ → La recta x = 1 es una asíntota vertical. Por simetría, la recta x = –1 también lo es.

∞

l mí8x + ln x

x2 =

∞∞

++ →

∞l mí8x +

/x x21

2 = + ∞

∞

l mí8x +

lnxx

x2

= ∞

l mí8x +

ln x

12 = 0 → Tiene una rama parabólica.


f ' (x) = '( )ln ln

lnx

xx

x 2–2 2 2

2=d n → ln x 2 = 2 → x = ± ±e e2 =

f (e ) = e2

, f (–e ) = e2

–

1 e–e 0f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0

2 4–4 –2

–2

4

2

–4

b)• Sudo iniodedefinici nesÁ. No tiene asíntotas verticales.• a asinfinitas:

∞

l mí8x +

ex2 1

x–+ = + ∞, ya que e –x → 0 cuando x → + ∞.

∞

l mí8x +

x

ex2 1

x–+

= ∞

l mí8x +

xex2 1

x–+ = + ∞ → Tiene una rama parabólica.

∞

l mí8x – e

x2 1x–+ = 0 → La recta y = 0 es una asíntota horizontal cuando x → – ∞.

La función corta al eje horizontal en x = – 21 .

Si x < – 21 , la función toma valores negativos y está por debajo de la asíntota.


f ' (x) = ( )( ) ( )

ee x e

ex2 2 1 3 2– –

x

x x

x2–

– –

–+ = +

f ' (x) = 0 → x = – 23

3– — 2

f ' < 0 f ' > 0

f 23–d n ≈ –0,45

2 4–4 –2–2

4

2


32



Página 213

1. Descripción de una grá�caDescribir la siguiente grá�ca dando los elementos necesarios para que un compañero la pueda repre-sentar a partir de la descripción.

•E do iniodedefinici nesÁ – {1}. Es derivable en su dominio puesto que no presenta puntos angu-losos.

• arectay = 4 es la asíntota horizontal cuando x → – ∞ ya que ∞

l mí8x –

f (x) = 4. Se acerca por debajo de la asíntota.

La recta x = 1 es la asíntota vertical de la función. La posición respecto de la asíntota es:

l mí8x 1–

f (x) = + ∞

l mí8x 1+

= – ∞

La recta y = x – 2 es la asíntota oblicua de la función cuando x → + ∞. La curva corta a la asíntota

oblicua en los puntos de abscisas x = 2 y x = 27 es u sseacerca ordeba ode aas ntota.

• os untos ) )son ni osre ati osde a unci n

Solo tiene un máximo relativo, que se encuentra en el punto (3, 2).

• ina ente a unci ncortaa ose escoordenadosen os untos: ) ) ) ) )

2. Representación de una función polinómica

Estudiar y representar la siguiente función:

f (x) = 40 (x 2 + x) 2

• Sudo iniodedefinici nesÁ. Al ser polinómica, es continua y derivable en todo Á.

• otienesi etr as:

f (–x) = 40[(–x)2 – x ]2 = 40(x 2 – x )2

• a asene infinito:

∞

l mí±8x

40(x 2 + x )2 = + ∞

Tiene ramas parabólicas, ya que ∞

l mí±8x

( )x

f x =

∞l mí

±8x( )

xx x40 2 2+ = ± ∞.


x = 0, f (0) = 0

y = 0, f (x) = 0 → (x 2 + x )2 = 0 → x 2 + x = 0 → x(x + 1) = 0 → xx

10–=

=*

Pasa por (–1, 0) y (0, 0).


33


• Puntossin u ares: f ' (x) = 80(x 2 + x )(2x + 1)

f ' (x) = 0 → (x 2 + x )(2x + 1) = 0 →

; ( )

;

; ( )

x f

x f

x f

1 1 0

21

21

0 0 025

– –

– –= =

=

= =

=c m

Z

[

\

]]

]]

x = , f21

21

25– – =c m


–1/2–1 0y' > 0y' < 0 y' < 0 y' > 0

Es decreciente en (– ∞, –1) ø ,21 0–c m y es creciente en ,1

21– –c m ø (0, + ∞).

1

1

2

3

–1

3. Representación de una función radicalRepresentar la siguiente función:

f (x) = x 12 +

• Sudo iniodedefinici nesÁ. Es continua y derivable en todo Á, ya que el radicando es un polino-mio que siempre es positivo.

• f (–x) = ( )x x1 1– 2 2+ = + = f (x). Es una función par.

• a asinfinitas: Vamos a estudiar solo en + ∞. Para – ∞ aplicaremos la simetría de la función.

∞

l mí8x +

x 12 + ≈ ∞

l mí8x +

x2 = ∞

l mí8x +

x = + ∞

La recta y = x es una asíntota oblicua cuando x → + ∞, pues ∞

l mí8x +

( )x

f x = 1 y

∞l mí8x +

[ f (x) – x] = 0.

Cuando x → + ∞, x 12 + – x > 0. Por tanto, la curva queda por encima de la asíntota.


f ' (x) = x

x12 +

f ' (x)= 0 → x = 0

x = 0, f (0) = 1


0y' < 0 y' > 0

ecrecienteen ) crecienteen ) –6–8

2

–4 –2 2 4 6 8

4

6

8


34


4. Curva con asíntotas

Representar la siguiente función: f (x) = | |x

x 14 +

•E do iniodedefinici nesÁ – {0}.

La función tiene simetría par ya que f (–x) = | |

( )x

x 1–

– 4 + = f (x). Basta estudiarla para valores positivos de x.

• l mí8x 0+

| |x

x 14 + = + ∞ → La recta x = 0 es la asíntota vertical de la función.

∞

l mí8x + | |x

x 14 + = ∞

l mí8x +

x

x 12

4 + = + ∞

∞

l mí8x +

| |xx

x 14 +

= ∞

l mí8x +

x

x 12

4 + = ∞

l mí8x +

x

x 14

4 + = 1

∞

l mí8x +

| |x

x x1 –4 +f p =

∞l mí8x +

x

x x1 –4 2+ = ∞

l mí8x +

( )x xx x

x11 –

4

4 4

2++

+ = 0

La recta y = x es la asíntota oblicua cuando x → + ∞.

• f ' (x) = '

· x –( )x

x xxx x

x x

x x

x xx1 2 1

4 1

1

2 1

12 1– –4

2

4

3 4

2 4

4 4

2 4

4+ = ++

=+

+ =+

f p

f ' (x) = 0 → x 4 = 21 → x =

214 ≈ 0,84

(Hemos calculado la derivada suponiendo que x toma valores positivos).

0

–

f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0

4 1—24 1—2

x = 214 , y =

1+

21

21

4 ≈ 1,46 → ; ,

21 1 464d n es un mínimo relativo de la función.

5

5

–5


35



Página 214

Para practicar

Descripción de una grá�ca

1 Representa una función continua y derivable en Á tal que:

∞l mí8x +

f (x) = +∞ ∞

l mí8x –

f (x) = – ∞ f (2) = 1, f ' (x) ≥ 0 para cualquier x, f ' (2) = 0

2

1

2 De una función y = f (x) tenemos la siguiente información:

D = Á – {1, 4}

l mí8x 1–

f (x) = +∞ l mí8x 1+

f (x) = – ∞ l mí8x 4–

f (x) = – ∞ l mí8x 4+

f (x) = +∞

∞l mí8x ±

f (x) = 0 si x → +∞, f (x) > 0 si x → – ∞, f (x) < 0

f ' (2) = 0, f (2) = –1; f ' (–1) = 0, f (–1) = –1

Represéntala.

1 4–1

–1

3 Dibuja la grá�ca de una función continua y derivable en Á de la que se conocen los siguientes datos:

∞l mí8x –

f (x) = – ∞ ∞

l mí8x +

f (x) = +∞

f ' (x) = 0 si x = –2, x = 0, x = 3, x = 4 f (–2) = 2; f (0) = 0; f (3) = 5; f (4) = 4

3

5


36


4 Describe las siguientes funciones indicando su dominio, sus simetrías (si las tienen), sus asíntotas y ramas in�nitas, sus puntos singulares y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Hazlo dando valores de la función, de su derivada y de ciertos límites.

a) b)

–1

–2 2

1

2

y = x

1

2

–1

–2 2

1

2

y = x

1

2

c) d)

–1

–2 2

1

2

y = x

1

2

–1

–2 2

1

2

y = x

1

2

a)• s ntota ori onta :y = 2.

Asíntota vertical: x = 0.

∞

l mí8x –

f (x) = 2; ∞

l mí8x +

f (x) = 2

(si x → – ∞, f (2) < 2; si x → + ∞, f (x) < 2)

l mí8x 0–

f (x) = – ∞; l mí8x 0+

f (x) = – ∞

• f (x) no tiene puntos singulares.

• ecreceen ) creceen )

b)• s ntota ori onta :y = –2.

Asíntota vertical: x = –2.

∞

l mí8x –

f (x) = –2; ∞

l mí8x +

f (x) = –2

(si x → – ∞, f (2) > –2; si x → + ∞, f (x) > –2)

l mí8x 2– –

f (x) = + ∞; l mí8x 2– +

f (x) = – ∞

• Puntossin u ares: f ' (0) = 0; f (0) = –1. Máximo en (0, –1).

•Crecienteen )ø (–2, 0) y decreciente en (0, + ∞).

c)• s ntota ori onta :six → + ∞, y = 0.

∞

l mí8x –

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x +

f (x) = 0

(si x → + ∞, f (x) > 0)

• Puntosin u ares:

f ' (0) = 0; f (0) = 0. Mínimo en (0, 0).

f ' (2) = 0; f (2) = 1. Máximo en (2, 1).

• ecrecienteen )ø (2, + ∞) y creciente en (0, 2).


37


d)• s ntota ertica :x = 2. l mí

8x 2– f (x) = + ∞; l mí

8x 2+ f (x) = – ∞

• s ntotaob icua:y = x (si x → – ∞, f (x) > x ; si x → + ∞, f (x) < x)• f (x) no tiene puntos singulares.•Crecienteen )ø (2, + ∞).

Características de las funciones

5 Indica el dominio de cada una de las siguientes funciones:

a) y = x x3 4– 2 + + b) y = x3 21

1–

c) y = ln (4 – x )

d) y = cos x11

+ e) y =

tg x1 f ) y =

tg x 11

–2

a) Para que se pueda de�nir la función, el radicando debe ser no negativo. –x 2 + 3x + 4 ≥ 0 → El dominio de de�nición es el intervalo [–1, 4].b) Para que se pueda de�nir la función, el radicando debe ser positivo. 3x – 21 ≥ 0 → El dominio de de�nición es el intervalo (7, + ∞).c) Para que se pueda de�nir la función, el argumento del logaritmo debe ser positivo y, además, x ≥ 0

para que exista la raíz. 4 – x > 0 → x < 4 → x debe estar en el intervalo [0, 16).d) 1 + cos x = 0 → cos x = –1 → x = (2n + 1)π con k ∈ . Su dominio de de�nición es Á – {(2n + 1)π con k ∈ }.

e) La tangente no está de�nida cuando x = k2π π+ , con k ∈ .

Además, la función no está de�ida cuando tg x = 0, es decir, cuando x = k π con k ∈ .

Por tanto, el dominio de de�nición es Á – k2π( 2 .

f ) Para que la función esté bien de�ida, debe ser tg 2 x – 1 > 0. Por otra parte, la función es periódica de período π.

entrode inter a o π , π2 2

–c m , tg 2 x – 1 > 0 cuando x ∈ π , π4 4

–; Eø π , π4 2

c m .

Usando la periodicidad, el dominio de de�nición es la unión de todos los intervalos de la forma

,k k2 4

– π π – π π+ +c mø ,k k4 2π π π π+ +c m con k ∈ .

6 Di cuáles de las siguientes funciones son pares, cuáles son impares y cuáles ninguna de las dos cosas:

a) y = x 2 + 1 b) y = x

x3–2

c) y = tg πx

d) y = e | x | e) y = | |

x xx

2–2 f ) y = 2cos x2

a) f (–x) = (–x)2 + 1 = f (x) → Función par.

b) f (–x) = ( )x

x3– –

–2

= –f (x) → Función impar.

c) f (–x) = [π( )]tg x– = –f (x) → Función impar.


38


d) f (–x) = = e | –x | = f (x) → Función par.

e) f (–x) = ( ) ( )

| | | |x x

xx x

x2 2– – –

–2 2=

+ → No es simétrica.

f ) f (–x) = cos x22– = f (x) → Función par.

7 Determina el periodo de cada una de estas funciones:

a) y = sen 3x b) y = sen 2πx c) y = tg πx

d) y = sen (x 2 + 1) e) y = cos π x2

f ) y = tg πx

a) f ( ) ( )x sen x sen x sen x f x32 3

32 3 2 3π π π+ = + = + = =d dn n> H → Su período es π

32 .

b) ( ) [ π( )] ( π π) π ( )f x sen x sen x sen x f x1 2 1 2 2 2+ = + = + = = → Su período es 1.

c) ( ) [π( )] π π) π ( )(f x tg x tg x tg x f x1 1+ = + = + = = → Su período es 1.

d) Para que sea periódica de período T, debe cumplirse que: f (x + T ) = sen ((x + T )2 + 1) = sen (x 2 + 2Tx + T 2 + 1) = f (x) = sen (x 2 + 1 + 2k π) pero esto no es posible

ya que no se puede hallar el hipotético período independientemente de x.

e) f (x + 4) = π π π ( )cos cosx x f x2

22

+ = =b l → Periódica de período 4.

f ) f (x + π 2) = ( )tg x tg x f xπ

ππ

+ = =b l → Periódica de período π2.

8 Para cada una de esas funciones, escribe las ecuaciones de sus asíntotas verticales y di la posición de la curva respecto a ellas:

a) y = xx

11

–2

2 + b) y = xx

92 2

––

2 c) y = ( )

x xx x

21

––

2 d) y = ln x

1

a) Tiene dos posibles asíntotas verticales ya que su denominador se anula cuando x = 1 y x = –1:

l mí8x 1– – x

x11

–22 + = + ∞, l mí

8x 1– + xx

11

–22 + = – ∞

l mí8x 1– x

x11

–22 + = – ∞, l mí

8x 1+ xx

11

–22 + = + ∞

b) Tiene dos posibles asíntotas verticales ya que su denominador se anula cuando x = 3 y x = –3. La posición de la función respecto de las asíntotas debe tener en cuenta el dominio de de�nición, que es (– ∞, 3) ø (3, + ∞).

l mí8x 3– –

xx

92 2

––

2 = – ∞, l mí

8x 3+

xx

92 2

––

2 = + ∞

c) y = ( )x xx x

21

––

2 = ( )( )

x xx x

xx

21

21

––

––= salvo en el punto x = 0.

Por tanto, en x = 0 tiene una discontinuidad evitable. En x = 2 tiene una asíntota vertical y la posición es:

l mí8x 2– x

x21

–– = – ∞, l mí

8x 2+ xx

21

–– = + ∞

d) El dominio de de�nición es (0, + ∞) – {1}.

l mí8x 0+ ln x

1 = 0 → En x = 0 no hay asíntota vertical.

l mí8x 1– ln x

1 = – ∞, l mí8x 1+ ln x

1 = + ∞ → La recta x = 1 es la asíntota vertical de la función.


39


Funciones polinómicas

9 Estudia y representa las siguientes funciones:

a) y = –x 2 + 3x + 10 b) y = x 3 – 9x

c) y = x 3 + 3x 2 d) y = x 3 – 3x 2 + 5

e) y = x4 2

9–4

x 2 + 10 f ) y = x x64

5 –4 5

g) y = x 5 – 5x 3 h) y = (x – 1)3 – 3x

i) y = x 4 – 4x 2 j) y = 1 – (x – 1)3

a) Se trata de una función cuadrática (parábola) que podemos representar calculando sus puntos no-tables.•Cortescon ose es: x = 0, f (0) = 10

y = 0, f (x) = 0 → –x 2 + 3x + 10 = 0 → xx

25–=

=* 4 Pasa por (–2, 0) y (5, 0).

• rtice:

x = , ·f23

23

23

23 3

23 10

449

–– –

2= = + + =c cm m

• tros untos: ) ) ) ) ) ) ) )

–4 –2 2 4 X–2

2

4

6

8

10

12Y

• a unci nescrecienteen ∞,23–c m y decreciente en , ∞

23 +c m.

b)• E do iniodedefinici nestodoÁ. Es continua y derivable por ser una función polinómica.• ienesi etr ai ar aquef (–x) = (–x)3 – 9(–x) = –x 3 + 9x = –f (x).•Cortescon ose es: x = 0, f (0) = 0

y = 0, f (x) = 0 → x 3 – 9x = 0 → xxx

303

–===

Z

[

\

]]

]]

_

`

a

bb

bb Pasa por (–3, 0), (0, 0) y (3, 0).

• otieneas ntotas Ene infinitotienera asinfinitas ∞

l mí8x +

(x 3 – 9x) = + ∞. Por simetría,

∞l mí8x –

(x 3 – 9x) = – ∞.• Puntossin u ares: f ' (x) = 3x 2 – 9

f ' (x) = 0 → 3x 2 – 9 = 0 → x = – 3, x = 3

( ) · (, ( ) )x f3 3 9 33 6 3– – – –– 3= = =

Por simetría: x = , ( )f3 3 6 3–= .


40



–√—3 √

—3

y' > 0 y' < 0 y' > 0

Es creciente en los intervalos ( ∞, )3– – y ( , ∞)3 + . Es decreciente en ( , )3 3– . El punto ( , )3 6 3– es un máximo relativo. El punto ( , )3 6 3– es un mínimo relativo.•Conca idad con e idad: f '' (x) = 6x f '' (x) = 0 → x = 0

y'' < 0 y'' > 00

El punto (0, 0) es un punto de in�exión.

–4 –2 2 4 X

–4

–6

–8

–10

–2

2

4

6

8

10Y

c) y = x 3 + 3x 2

• a asinfinitas:

∞l mí8x +

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x –

f (x) = – ∞

• Puntossin u ares: f ' (x) = 3x 2 + 6x ; 3x 2 + 6x = 0 → x(3x + 6) = 0

, ( ) ( , ) .

, ( ) ( , ) .8

8x fx f

0 0 0 0 02 2 8 3 4 4 2 4

es un mínimo– – – · – es un máximo

= == = + =

• e resentaci n:

4

–2

d) y = x 3 – 3x 2 + 5• a asinfinitas:

∞l mí8x +

f (x) = + ∞

∞

l mí8x –

f (x) = – ∞


41



f ' (x) = 3x 2 – 6x ; 3x 2 – 6x = 0 → x(3x – 6) = 0

, ( ) ( , ), ( ) ( , )

..

88

x fx f

0 0 02 2 2

5 51 1

es unes un

máximomínimo

= == =

• e resentaci n:

1

5

2

e) y = x x4 2

9 10–4 2 +

• a asinfinitas:

∞l mí8x +

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x –

f (x) = + ∞


f ' (x) = · ; ( )8x x x x x x x x4

429 2 9 9 0 9 0– – – –

3 3 3 2= = =

, ( ) ( , ) ., ( ) / ( , / ) .

, ( ) / ( , / ) .

88

8

x fx fx f

0 0 10 0 103 3 41 4 3 41 4

3 3 41 4 3 41 4

áximo en– mínimo en –

– – – mínimo en – –

m= == == =

• e resentaci n:

10

3–3

f ) y = x x64

5 –4 5

• a asinfinitas:

∞l mí8x +

f (x) = – ∞; ∞

l mí8x –

f (x) = + ∞

• Puntossin u ares: f ' (x) = ( ); ( ) 8x x x x

641 20 5

641 20 5 0– –3 4 3 4 = x 3(20 – 5x) = 0

, ( ) ., ( ) .

88

x fx f

0 0 04 4 4

mínimo en (0, 0)máximo en (4, 4)

= == =

• e resentaci n:

4

4


42


g) y = x 5 – 5x 3

• a asinfinitas:

∞l mí8x +

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x –

f (x) = – ∞

• Puntossin u ares: f ' (x) = ; ( )8x x x x x x5 15 5 15 0 5 3 0– – –4 2 4 2 2 2= =

( )

( )( )

888

xxx f

ff

03 9 3 15 3 6 3

3 3 5 3 9 3 15 3 6 3

0 03 3 5 3

3– –

– – ––

– 5 3

5 3== = == = = + =

==

+

Tiene un máximo en ( , )3 6 3– , un mínimo en ( , )3 6 3– y un punto de in�exión en (0, 0).

• e resentaci n:

10

–1

h) y = (x – 1)3 – 3x• a asinfinitas:

∞l mí8x +

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x –

f (x) = – ∞

• Puntossin u ares: f ' (x) = 3(x – 1)2 – 3; 3(x – 1)2 – 3 = 0 →

→ (x – 1)2 = 1 , ( ) ( , ) ., ( ) ( , ) .

88

x fx f

0 0 02 2 2

1 15 5

es un máximoes un mínimo

– –– –

= == =

• e resentaci n:

–5

2

i) y = x 4 – 4x 2

• Porseruna unci n o in ica sudo inioesÁ. •Essi tricares ectode e e ertica• otieneas ntotas Ene infinito tienera as arab icasdecreci ientocada e ásrá ido f ' (x) = 4x 3 – 8x , f ' (x) = 0 → 4x 3 – 8x = 0 → x = – 2 , x = 0, x = 2

–√—2 √

—20

f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

x = – , ( ) ( )y2 2 4 2 4– – – –4 2= = x = 0, y = 0 x = , y2 4–= Los puntos de corte con el eje horizontal son las soluciones de:

x 4 – 4x 2 = 0 → x = –2, x = 0, x = 2


43


• e resentaci n:

2 4–4 –2–2

4

2

–4

j) y = 1 – (x – 1)3

• Porseruna unci n o in ica sudo inioesÁ.

• otieneas ntotas Ene infinitotienera as arab icasdecreci ientocada e ásrá ido

f ' (x) = –3(x – 1)2, f ' (x) = 0 → x = 1

•Esdecrecienteen ) en ) aque a ri eraderi adaesne ati asa oenx = 1.

x = 1 → y = 1

•Cortaa ose esen os untos ) )

• e resentaci n:

2 4–4 –2

–2

4

2

10 Estudia las ramas in�nitas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máximos, mínimos y puntos de in�exión de las siguientes funciones. Represéntalas grá�camente:

a) y = 3 + (2 – x)3 b) y = 2 – (x – 3)4

c) y = (x + 1)6 – 5 d) y = 3 – (1 – x)3

e) y = x (x – 1) (x + 3) f ) y = (x – 2)2 (x + 1) x 3

a) y = 3 + (2 – x)3

• a asinfinitas ( )

( )

l m f x

l m f x

– ∞

∞

í

í8

8

x

x

∞

– ∞

=

= ++


f ' (x) = –3(2 – x)2; –3(2 – x)2 = 0 → x = 2; f (2) = 3

Signo de f ' : 2

f ' < 0 f ' < 0

f es decreciente en Á.

No tiene máximos ni mínimos.


f '' (x) = 6(2 – x); 6(2 – x) = 0 → x = 2; f (2) = 3

Signo de f '' : 2

f '' > 0 f '' < 0

El punto (2, 3) es un punto de in�exión con tangente horizontal ( f '' (2) = 0 y f ' (2) = 0).


44


•Gráfica:

3

2

b) y = 2 – (x – 3)4


( )

l m f x

l m f x

– ∞

∞–

í

í8

8

x

x

∞

– ∞

=

=+


f ' (x) = – 4(x – 3)3; – 4(x – 3)3 = 0 → x = 3; f (3) = 2

Signo de f ' : 3

f ' > 0 f ' < 0

f es creciente en (– ∞, 3) y decreciente en (3, + ∞).

Tiene un máximo en (3, 2).


f '' (x) = –12(x – 3)2; –12(x – 3)2 = 0 → x = 3; f (3) = 2

Signo de f '' : 3

f '' < 0 f '' < 0


•Gráfica:

2

3

c) y = (x + 1)6 – 5


( )

l m f x

l m f x

∞

∞

í

í8

8

x

x

∞

– ∞

=

= +

++


f ' (x) = 6(x + 1)5; 6(x + 1)5 = 0 → x = –1; f (–1) = –5

Signo de f ' : –1

f ' < 0 f ' > 0

f es decreciente en (– ∞, –1). Es creciente en (–1, + ∞).

Mínimo en (–1, –5).


45



f '' (x) = 30(x + 1)4; 30(x +1)4 = 0 → x = –1; f (–1) = –5

Signo de f '' : –1

f '' > 0 f '' > 0


•Gráfica:

–5

–1

d) y = 3 – (1 – x)3


( )

l m f x

l m f x

∞

∞–

í

í8

8

x

x

∞

– ∞

=

=

++


f ' (x) = 3(1 – x)2; 3(1 – x)2 = 0 → x = 1; f (1) = 3

Signo de f ' : 1

f ' > 0 f ' > 0

f es creciente en Á.



f '' (x) = – 6(1 – x); – 6(1 – x) = 0 → x = 1; f (1) = 3

Signo de f '' : 1

f '' < 0 f '' > 0

(1, 3) es un punto de in�exión con tangente horizontal, puesto que f ' (1) = 0.

•Gráfica:

3

1

e) y = x (x – 1)(x + 3)


( )

l m f x

l m f x

∞

∞–

í

í8

8

x

x

∞

– ∞

=

=

++

Tiene dos ramas parabólicas de crecimiento cada vez más rápido.


46



f ' (x) = (x – 1)(x + 3) + x(x + 3) + x(x – 1) = 3x 2 + 4x – 3

f ' (x) = 0 → 3x 2 + 4x – 3 = 0 → x = , x3

23

2 1313– – –= +

•Escrecienteen ∞,3

2 13– – –e o y en , ∞3

2 13– + +e o .

Es decreciente en ,3

2 133

2 13– – – +e o .

x = , , ( , ; , ); 8y3

2 13 1 87 6 06 1 87 6 06– – ≈ – –= es un máximo relativo.

x = , ,; 8y3

2 13 0 54 0 88– ≈ –+ = (0,54; –0,88) es un mínimo relativo.


f '' (x) = 6x + 4; f '' (x) = 0 → 6x + 4 = 0 → x = – 32

x = – , ; ,; 8y32 2 6

32 2 6≈ –d n es el punto de in�exión.

•Cortaa ose escoordenadosen os untosx = 0, x = 1 y x = –3.

•Gráfica:

2 4 6–4–6 –2

4

6

2

–2

–4

–6

f ) y = (x – 2)2 (x + 1) x 3


( )

l m f x

l m f x

∞

∞

í

í8

8

x

x

∞

– ∞

=

= +

++

Tiene dos ramas parabólicas de crecimiento cada vez más rápido.


f ' (x) = ((x – 2)2(x + 1)x 3)' = 2(x – 2)(x + 1)x 3 + (x – 2)2x 3 + (x + 1)(x – 2)2 3x 2 =

= 6x 5 – 15x 4 + 12x 2

f ' (x) = 0 → 6x 5 – 15x 4 + 12x 2 = 0 → x = , , ,x x x4

1 17 04

1 17 2– = = + =

0 2f ' < 0 f ' > 0 f ' > 0 f ' > 0 f ' > 0

1 – √—17—

41 + √

—17—

4

x = ≈ , , , ( , ; , )8y4

1 17 0 78 0 81 0 78 0 81– – – – –= es un mínimo relativo.

x = ≈ , , , ( , ; , )8y4

1 17 1 28 2 48 1 28 2 48+ = es un máximo relativo.

x = 2, y = 0 → (2, 0) es un mínimo relativo.


f '' (x) = 30x 4 – 60x 3 + 24x ; f '' (x) = 0 → x = 0; x = 1,73; x = 0,83; x = –0,56

Los puntos de in�exión son (0, 0); (1,73; 1,03); (0,83; 1,43) y (–0,56; –0,51).


47


•Cortaa ose escoordenadosen os untosx = 2, x = –1 y x = 0.•Gráfica:

2–2

4

2

Página 215

Funciones racionales

11 En las siguientes funciones, estudia su dominio, asíntotas y posición de la curva respecto de estas, y represéntalas a partir de los resultados obtenidos:

a) y = x12 b) y =

x 11–2 c) y =

xx

1–2

d) y = x

x 1–2 e) y =

xx

12 + f ) y = x +

x12

g) y = x

x1 – 2

3 h) y =

( )xx

1 – 2

3 i) y =

xx

14

4

2

+

a)• E do iniodedefinici nesÁ – {0}. Tiene simetría par. • s ntotas ertica es:

l mí8x 0

x12 = + ∞ porque la función es positiva en todo su dominio. La recta x = 0 es la asíntota

vertical de la función.• s ntotas ori onta es:

∞

l mí8x +

x12 = 0 → La recta y = 0 es la asíntota horizontal cuando x → + ∞ y, también, por

simetría, cuando x → – ∞. La función está por encima de la asíntota por ser siempre positiva.•Gráfica:

2 4–4 –2

4

2

b)• E do iniodedefinici nesÁ – {–1, 1}. • s ntotas:

∞l mí8x –

f (x) = 0; ∞

l mí8x +

f (x) = 0

y = 0 es asíntota horizontal.

(si x → – ∞, f (x) > 0; si x → + ∞, f (x) > 0)

( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞–

í

í8

8

x

x

1

1

–

–

–= +

=+

4 x = –1 es asíntota vertical.


48


( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

–í

í8

8

x

x

1

1

–=

= ++

4 x = 1 es asíntota vertical.

•Gráfica:

1–11

c)• E do iniodedefinici nesÁ – {–1, 1}. • s ntotas:

∞l mí8x –

f (x) = 0; ∞

l mí8x +

f (x) = 0

(si x → – ∞, f (x) < 0; si x → + ∞, f (x) > 0) y = 0 es asíntota horizontal.

( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

–í

í8

8

x

x

1

1

–

–

–=

= ++


( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

–í

í8

8

x

x

1

1

–=

= ++


•Gráfica:

1–1

d)• E do iniodedefinici nesÁ – {0}. • s ntotas:

( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞–

í

í8

8

x

x

0

0

–=

=

+

+


y = x es asíntota oblicua. (si x → – ∞, f (x) > x; si x → + ∞, f (x) < x)•Gráfica:

2

2


49


e)• E do iniodedefinici nesÁ. • s ntotas: No tiene asíntotas verticales.

∞

l mí8x –

f (x) = 0; ∞

l mí8x +

f (x) = 0

y = 0 es asíntota horizontal (si x → – ∞, f (x) < 0; si x → + ∞, f (x) > 0)

•Gráfica:

1–1

)• E do iniodedefinici nesÁ – {0}. • s ntotas ertica es:

l mí8x 0

xx12+e o = + ∞ porque la fracción es positiva en todo su dominio.

La recta x = 0 es asíntota vertical de la función.

No tiene asíntotas horizontales.


f (x) = xx12+ → La recta y = x es asíntota oblicua.

Como f (x) – xx12= > 0 salvo en x = 0, la función queda por encima de la asíntota oblicua.

2 4–4 –2

–2

4

2

–4

)• E do iniodedefinici nesÁ – {–1, 1}.

La función tiene simetría impar. • s ntotas ertica es:

∞

l mx

x

l mx

x

1

1

–∞

––

í

í

8

8

x

x

2

3

2

3

1

1

–= +

=+

4 x = 1 es asíntota vertical. Análogamente, por simetría, lo es la recta x = –1.

No tiene asíntotas horizontales.• s ntotasob icuas:

f (x) = x

x1 – 2

3 = x –

xx

1–2 → La recta y = –x es la asíntota oblicua.


50


Si x → + ∞, f (x) – (–x) = x

x1

––2 < 0 → La función queda por debajo de la asíntota.

Si x → – ∞, f (x) – (–x) = x

x1

––2 > 0 → La función queda por encima de la asíntota.

2 4–4 –2

–2

4

2

–4

)• E do iniodedefinici nesÁ – {1}. • s ntotas ertica es:

l mí8x 1

( )x

x1 – 2

3 = + ∞ ya que el denominador es no negativo.

La recta x = 1 es una asíntota vertical de la función. No tiene asíntotas horizontales.• s ntotasob icuas:

f (x) = ( )x

x1 – 2

3 = x + 2 +

( )xx

13 2

––

2 → La recta y = x + 2 es asíntota oblicua.

Si x → + ∞, f (x) – (x + 2) = ( )x

x1

3 2––

2 > 0 → La función queda por encima de la asíntota.

Si x → – ∞, f (x) – (x + 2) = ( )x

x1

3 2––

2 < 0 → La función queda por debajo de la asíntota.

•Gráfica:

2 4 6 8–4–6–8 –2

4

8

6

2

–2

–4

–6

–8

i) • E do iniodedefinici nesÁ. Es una función par.


∞

l mí8x +

x

x14

4

2

+ = 0


51


La recta x = 0 es la asíntota horizontal de la función cuando x → ± ∞.

La función queda por encima de la asíntota por ser positiva salvo en x = 0.

•Gráfica:

2 4–4 –2

–2

4

2

12 Representa las siguientes funciones, estudiando su dominio de de�nición, las asíntotas y la po-sición de la curva respecto de estas, el crecimiento y los extremos relativos.

a) y = ( )x

x2

4 12––

2 b) y =

( )xx2– 2

c) y = ( ) ( )x

x x2

1 3–

– – d) y = x

x9 – 2

2

e) y = x

x 42 + f ) y = ( )x

x3– 2

2 g) y =

xx

122

3

+ h) y =

xx

4–2

4

i) y = x

x2

3

+ j) y = ( )

xx

12

–– 2

a) y = ( )x

x2

4 12––

2

• o inio:Á – {2}

• s ntotas:

∞

l mí8x –

f (x) = 0; ∞

l mí8x +

f (x) = 0

(si x → – ∞, f (x) < 0; si x → + ∞, f (x) > 0)


( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

–

–

í

í8

8

x

x

2

2

–=

=+


•Creci iento decreci iento e tre osre ati os:

f ' (x) = ( )

( ) ( ) · ( )( )

( ) ( )( ) ( )x

x x xx

x xx

x xx

x2

4 2 4 12 2 22

4 2 2 4 122

4 8 8 242

4 16–

– – – ––

– – ––

– ––

–4

2

3 3 3= = + = +

f ' (x) = 0 → – 4x + 16 = 0 → x = 4

Signo de f ' (x):

–2 2

f ' > 0f ' < 0 f ' < 0

f (x) es decreciente en (– ∞, 2) ø (4, + ∞).

Es creciente en (2, 4).



52


•Gráfica:

2

b) y = ( )x

x2– 2

• o inio:Á – {2}• s ntotas:

∞

l mí8x –

f (x) = 0; ∞

l mí8x +

f (x) = 0

(si x → – ∞, f (x) < 0; si x → + ∞, f (x) > 0)


( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

í

í8

8

x

x

2

2

–=

=

+

++



f ' (x) = ( )

( ) · ( )( ) ( )x

x x xx

x xxx

22 2 2

22 2

22

–– – –

–– –

–– –

4

2

3 3= =

f ' (x) = 0 → –x – 2 = 0 → x = –2

Signo de f ' (x):

–2 2

f ' > 0f ' < 0 f ' < 0

f (x) es decreciente en (– ∞, –2) ø (2, + ∞). Es creciente en (–2, 2).

Tiene un mínimo en ,281– –c m.

•Gráfica:

20,2

0,4

c) y = ( ) ( )x

x x2

1 3–

– – = x

x x xx2

4 3 22

1–

– – ––

2 + =

• o inio:Á – {2}

• s ntotas:

( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞–

í

í8

8

x

x

2

2

–= +

=+



53


y = x – 2 es asíntota oblicua.

(si x → – ∞, f (x) > x – 2; si x → + ∞, f (x) < x – 2)


f ' (x) = 1 + ( )x 2

1– 2

f ' (x) = 0 → (x – 2)2 + 1 = 0 → No tiene solución.

f (x) no tiene extremos relativos.

f ' (x) > 0 para todo x → f (x) es creciente en todo su dominio.

•Gráfica:

2

2

d) y = x

x9 – 2

2

• o inio:Á – {–3, 3}

• s ntotas:

∞

l mí8x –

f (x) = –1; ∞

l mí8x +

f (x) = –1

(si x → – ∞, f (x) < –1; si x → + ∞, f (x) > –1)

y = –1 es asíntota horizontal.

( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

–í

í8

8

x

x

3

3

–

–

–=

= ++


( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞–

í

í8

8

x

x

3

3

–= +

=+



f ' (x) = ( )

( ) · ( )( ) ( )x

x x x xx

x x xxx

92 9 2

918 2 2

918

–– – –

––

–2 2

2 2

2 23 3

2 2= + =

f ' (x) = 0 → 18x = 0 → x = 0

Signo de f ' (x):

–3 0

f ' < 0f ' < 0 f ' > 0 f ' > 0

3

f (x) es decreciente en (– ∞, –3) ø (–3, 0).

Es creciente en (0, 3) ø (3, + ∞).

Tiene un mínimo en (0, 0).


54


•Gráfica:

3–3

3

e) y = x

x 42 + = x + x4


( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

–í

í8

8

x

x

0

0

–=

= ++


y = x es asíntota oblicua. (si x → – ∞, f (x) < x; si x → + ∞, f (x) > x)•Creci iento decreci iento e tre osre ati os:

f ' (x) = 1 – x42

f ' (x) = 0 → x 2 – 4 = 0 xx

22–=

= Signo de f ' (x):

0–2

f ' < 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

2

f (x) es creciente en (– ∞, –2) ø (2, + ∞). Es decreciente en (–2, 0) ø (0, 2). Tiene un máximo en (–2, – 4). Tiene un mínimo en (2, 4).•Gráfica:

2

2

f ) y = ( )x

x3– 22


∞l mí8x –

f (x) = 1; ∞

l mí8x +

f (x) = 1

(si x → – ∞, f (x) < 1; si x → + ∞, f (x) > 1) y = 1 es asíntota horizontal.


55


( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

í

í8

8

x

x

3

3

–= +

= ++



f ' (x) = ( )

( ) · ( )( )

( )( ) ( )x

x x x xx

x x xx

x x xx

x3

2 3 2 33

2 3 23

2 6 23

6–

– – ––

– ––

– ––

–4

2 2

3

2

32 2

3= = =

f ' (x) = 0 → – 6x = 0 → x = 0

Signo de f ' (x):

0

f ' > 0f ' < 0 f ' < 0

3

f (x) es decreciente en (– ∞, 0) ø (3, + ∞).

Es creciente en (0, 3).


•Gráfica:

3

1

g) y = x

x1

22

3

+ = 2x –

xx

122 +

• o inio:Á• s ntotas:

No tiene asíntotas verticales.

y = 2x es asíntota oblicua.

(si x → – ∞, f (x) > 2x ; si x → + ∞, f (x) < 2x).


f ' (x) = ( )

( ) ·( ) ( )x

x x x xx

x x xxx x

16 1 2 2

16 6 4

12 6– –

2 2

2 2 3

2 24 2 4

2 24 2

++ =

++ =

++

f ' (x) = 0 → 2x 2(x 2 + 3) = 0 → x = 0

Signo de f ' (x):

f ' (x) > 0 para todo x ≠ 0.

f (x) es creciente en todo Á.

•Gráfica:

1

1


56


h) y = x

x4–2

4

• o inio:Á – {–2, 2}• s ntotas:

( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞–

í

í8

8

x

x

2

2

–

–

–= +

=+


( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

–í

í8

8

x

x

2

2

–=

= ++


( ) ;

( )

( ) ;( )

∞

∞

l m f x l mx

f x

l m f x l mx

f x

– ∞

– ∞

–í í

í í

8 8

8 8

x x

x x

– ∞ – ∞

∞ ∞

= =

= = ++ +

4 Ramas parabólicas.


f ' (x) = ( )

( ) ·( ) ( ) ( )

( )x

x x x xx

x x xxx x

xx x

44 4 2

44 16 2

42 16

42 8

–– –

–– –

––

––

2 2

3 2 4

2 25 3 5

2 25 3

2 2

3 2= = =

f ' (x) = 0 → 2x 3(x 2 – 8) = 0 xx

x8

8

0–=

=

=

Signo de f ' (x):

–2

f ' > 0f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0

0

f ' < 0

2

f ' > 0

–√8 √8

f (x) es decreciente en (– ∞, – 8) ø (0, 2) ø (2, 8).

Es creciente en (– 8, –2) ø (–2, 0) ø ( 8 , + ∞).

Tiene un mínimo en (– 8, 16) y otro en ( 8, 16).


•Gráfica:

2 4 6

10

20

30

i) y = xx

23

+

• o inio:Á – {–2}• s ntotas:

( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞–

í

í8

8

x

x

2

2

–

–

–= +

=+



57


( ) ;

( )

( ) ;( )

l m f x l mx

f x

l m f x l mx

f x

∞ – ∞

∞ ∞

í í

í í

8 8

8 8

x x

x x

– ∞ – ∞

∞ ∞

= =

= = +

+

++ +

4 Ramas parabólicas.


f ' (x) = ( )( )

( ) ( )xx x x

xx x x

xx x

23 2

23 6

22 6– –

2

2 3

2

3 2 3

23 2

++ =

++ =

++

f ' (x) = 0 → 2x 2(x + 3) = 0 xx

03–

==

Signo de f ' (x):

–2–3

f ' > 0f ' < 0 f ' > 0 f ' > 0

0

f (x) es decreciente en (– ∞, –3).

Es creciente en (–3, –2) ø (–2, + ∞).

Tiene un mínimo en (–3, 27).


•Gráfica:

31 2–2–4

1234

27

2928

30

j) y = ( )x

x12

–– 2

= x – 3 + x 1

1–

• o inio:Á – {1}

• s ntotas:


( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

í

í8

8

x

x

1

1

–= +

= ++


y = x – 3 es asíntota oblicua.

(si x → – ∞, f (x) < x – 3; si x → + ∞, f (x) > x – 3)


f ' (x) = ( ) ( )

( )( )x x

xxx x1

11

11 1

12–

– –– –

––

2 2

2

22

= =

f ' (x) = 0 → x (x – 2) = 0 xx

02

==


58


Signo de f ' (x):

10

f ' < 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

2

f (x) es creciente en (– ∞, 0) ø (2, + ∞).

Es decreciente en (0, 1) ø (1, 2).

Tiene un máximo en (0, – 4).


•Gráfica:

1

1

13 Representa estas funciones estudiando previamente su dominio, asíntotas, ramas in�nitas y ex-tremos relativos.

a) y = ( ) ( )x x1 3

1– –

b) y = ( )( )

( )x x x

x3 4

1–

–+

c) y = ( )x x

x2

8 2–

– d) y = ( )( )

( )x xx x

2 12 1

––2

+

a)• E do iniodedefinici nesÁ – {1, 3}.


( ) ( )

( ) ( ) ∞

l m x x

l m x x

1 31

1 31

– – ∞

– – –

í

í

8

8

x

x

1

1

–= +

=+


( ) ( )

( ) ( )

l m x x

l m x x

1 31

1 31

– – ∞

– – ∞

–í

í

8

8

x

x

3

3

–=

= ++


• s ntotas ori onta es:

∞

l mí8x +

( ) ( )x x1 3

1– –

= 0 → La recta y = 0 es la asíntota horizontal cuando x → ± ∞.

La función queda por encima de la asíntota cuando x → + ∞ y cuando x → – ∞.

•E tre osre ati os:

f ' (x) = [( ) ( )]x x

x1 32 4

– ––

2+ , f ' (x) = 0 → x = 2

x = 2, y = –1

21 3f ' > 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0


59


•Gráfica:

2 4–4 –2

–2

4

2

–4

b)• E do iniodedefinici nesÁ – {– 4, 0, 3}.


( ) ( )

( ) ( ) ∞

l m x x xx

l m x x xx

3 41

3 41

–– ∞

–– –

í

í

8

8

x

x

4

4

–

–

– + = +

+ =+

4 x = – 4 es asíntota vertical.

( ) ( )

( ) ( ) ∞

l m x x x

l m x x xx

x3 4

3 41

1– – ∞

––

–í

í

8

8

x

x

0

0

– + =

+ = ++


( ) ( )

( ) ( ) ∞

l m x x xx

l m x x xx

3 41

3 41

–– – ∞

––

í

í

8

8

x

x

3

3

– + =

+ = ++



∞

l mí8x +

( ) ( )x x x

x3 4

1–

–+

= 0 → La recta y = 0 es la asíntota horizontal cuando x → ± ∞.

La función queda por encima de la asíntota cuando x → + ∞ y cuando x → – ∞.


f ' (x) = ( ) ( )

( )x x x

x x x3 4

2 6–

– –2 2 2

3 2

++ + , f ' (x) = 0 → –x 3 + x 2 + x – 6 = 0 → x = –1,69; y = –0,15

–1,69–4 0 3f ' > 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' < 0

•Cortaa ose esen )


60


•Gráfica:

2 4–4 –2

–2

4

2

–4

c)• E do iniodedefinici nesÁ – {0, 2}.


( )

( )∞

l mx x

x

l mx x

x

28 2

28 2

–– ∞

–– –

í

í

8

8

x

x

0

0

–= +

=+


( )

∞

( )∞

l mx x

x

l mx x

x

28 2

28 2

–– –

––

í

í

8

8

x

x

2

2

–=

= ++



∞

l mí8x +

( )x x

x2

8 2–

– = 0 → La recta y = 0 es la asíntota horizontal cuando x → ± ∞.

La función queda por debajo de la asíntota cuando x → + ∞ y por encima cuando x → – ∞.


f ' (x) = ( )

( )x xx x

22 8 8

––

2 2

2 +

f ' (x) = 0 → x 2 – 8x + 8 = 0 → x = 4 – 2 2 , x = 4 + 2 2

x = 4 – 2 2 ≈ 1,17, y = –5,83

x = 4 + 2 2 ≈ 6,83, y = –0,17

20

f ' > 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0

4 – 2√—2 4 + 2√

—2

•Cortaa ose esen )


61


•Gráfica:

2 4 6 8–4–6–8 –2

4

8

6

2

–2

–4

–6

–8

d)• E do iniodedefinici nesÁ – {–1, 2}.


( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ∞

l mx xx x

l mx xx x

2 12 1

2 12 1

–– ∞

––

–í

í

8

8

x

x

2

2

1

1

–

–

– +=

+= +

+


( ) ( )

( ) ∞

( )( )( ) ∞

l mx xx x

l mx xx x

2 12 1

2 12 1

–– –

––

í

í

8

8

x

x

2

2

2

2

– +=

+= +

+


• otieneas ntotas ori onta es


f (x) = ( ) ( )

( )x xx x

2 12 1

––2

+ = 2x + 1 +

( ) ( )x xx

1 25 2

–++ → La recta y = 2x + 1 es la asíntota oblicua.

Si x → + ∞, f (x) – (2x + 1) = ( ) ( )x x

x1 25 2

–++ > 0 → La función queda por encima de la asíntota.

Si x → – ∞, f (x) – (2x + 1) = ( ) ( )x x

x1 25 2

–++ < 0 → La función queda por debajo de la asíntota.


f ' (x) = ( ) ( )

( )x x

x x x x2 1

2 4 11 4–– –

2 2

3 2

++

f ' (x) = 0 → x (2x 3 – 4x 2 – 11x + 4) = 0 → , ; , ; ,8

xx x x x x x

02 4 11 4 0 0 33 3 43 1 76– – –3 2

=+ = = = =

*

•Cortaa ose esen ) en ,21 0d n .


62


•Gráfica:

2 4 6 8–4–6–8 –2

4

8

10

6

2

–2

–4

–6

–8

–10

14 Estudia el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento y los extremos relativos para re-presentar las siguientes funciones:

a) y = x x2 3

1– –2

b) y = x

x3 2– c) y = x 2 – x2 d) y =

xx

22

+

a) y = x x2 3

1– –2

• o inio:

x 2 – 2x – 3 = 0 → x = –1, x = 3. Dom = Á – {–1, 3}


x = –1. Posición ∞

l mx x

l mx x

2 31

2 31

– –∞

– ––

í

í

8

8

x

x

2

1 2

1

–

– –= +

=+

x = 3. Posición l m

x x

l mx x

2 31

2 31

– –∞

– –∞

–í

í

8

8

x

x

2

3 2

3–=

= ++


y = 0, porque ∞

l mí±8x x x2 3

1– –2 = 0.

Posición ∞,∞,

88

x yx y

00

SiSi –

>>

+

3–1

• nter a osdecreci iento dedecreci iento e tre os:

y' = ( )x x

x2 3

2 2– ––

2 2+ = 0 → –2x + 2 = 0 → x = 1, f (1) =

41–

Signo de y' :

Máximo: ,141–c m

1–1

y' > 0 y' > 0 y' < 0 y' < 03

Intervalos de crecimiento: (– ∞, –1) ø (–1, 1)


63


Intervalos de decrecimiento: (1, 3) ø (3, + ∞)

31

X

Y

–1

b) y = x

x3 2–

• o inio:Á – {0}


x = 0. Posición ∞

l m

l mx

x

xx

3 2

3 2 – ∞

–

–í

í

8

8

x

x

0

0

–=

= ++


∞

l mí±8x x

x3 2– = –2, y = –2.

Posición ,,

88

x yx y

22

Si ∞Si –∞

––

><

+

–2

• nter a osdecreci iento dedecreci iento:

y' = ( )x

x xx

2 3 2 3– – – –2 2=

Signo de y': Es negativa en todo su dominio.

La función es decreciente en su dominio.


–2

1 X

Y

c) y = x 2 – x2

• o inio:Á – {0}

• s ntota ertica :

x = 0. Posición ∞

l m xx

l m xx

2

2

– ∞

– –

í

í

8

8

x

x

02

02

–=

=

+

+

d

d

n

n

• s ntota ori onta notiene orque∞

l mí±8x

xx2–2c m = + ∞.

• a ocotieneas ntotaob icua orque:

∞

l mí±8x

( )x

f x =

∞l mí

±8xx

x2– 2c m = ± ∞


64


• nter a osdecreci iento decreci iento:

y' = xx x

x2 2 2 22 2

3+ = + ; y' = 0 → 2x 3 + 2 = 0 → x = –1, f (–1) = 3

Signo de y' :

Mínimo: (–1, 3)

0–1y' < 0 y' > 0 y' > 0

Intervalos de crecimiento: (–1, 0) ø (0, + ∞) Intervalos de decrecimiento: (– ∞, –1)

–2

–22

4

2 X

Y

d) y = x

x2

2

+• o inio:Á – {–2}• s ntotas ertica es:x = –2

Posición ∞

l mx

x

l mx

x

2

2

∞–í

í

8

8

x

x

2

2

2

2

–

–

– +=

+= +

+

• s ntota ori onta notiene orque∞

l mí±8x x

x2

2

+ = ± ∞.

• s ntotaob icua:

→ y = x – 2 + x 2

4+

–x 2 x + 2–x 2 – 2x x – 2 –2x 2x + 4 4

La recta y = x – 2 es una asíntota oblicua.

Posición ,,

88

x yx y

xx

22

Si ∞Si –∞

––

><

+

–22 X

Y


y' = ( )( )

( )xx x x

xx x

22 2

24–

2

2

22

++ =

++

y' = 0 → x 2 + 4x = 0 ;

;x yx y

4 80 0– –= =

= =

Signo de y' :

–2–4

y' > 0 y' < 0 y' < 0 y' > 00


65


Crece en (– ∞, – 4) ø (0, + ∞).

ecreceen )ø (–2, 0).

Máximo: (– 4, –8).

Mínimo: (0, 0).

–2–2 2

2 X

Y

15 Representa las siguientes funciones racionales:

a) y = x xx x

11–

2

2

+ ++ b) y =

xx x

12 2–

–2 + c) y = x

x x1

3 2–2

2

++

d) y = x

x x x2

4 4– –3

3 2 + e) y = x x

x x7 6–

–4 2

3 2 + f ) y = x x x

x x x2

3 9 22– –

– –3 2

3 2 +

Recuerda que si se simpli�ca una fracción dividiendo numerador y denominador por (x – a), hay una discontinuidad evitable en x = a.

a)• E do iniodedefinici nesÁ.



∞

l mí8x +

x xx x

11–

2

2

+ ++ = 1 → La recta y = 1 es la asíntota horizontal de la función.

f (x) – 1 = x xx x

x xx

11 1

12– – –

2

2

2+ ++ =

+ +

Si x → + ∞, f (x) – 1 = x x

x1

2–2 + +

< 0 → La función queda por debajo de la asíntota.

Si x → – ∞, f (x) – 1 = x x

x1

2–2 + +

> 0 → La función queda por encima de la asíntota.


f ' (x) = ( )

( )x x

x1

2 1–2 2

2

+ +, f ' (x) = 0 → x = –1, x = 1

–1

f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

1

x = –1, y = 3; x = 1, y = 31

•Gráfica:

2 4–4 –2

2


66


b)• E do iniodedefinici nesÁ – {1}.


∞

l mx

x x

l mx

x x

12 2

12 2

–– – ∞

––

í

í

8

8

x

x

1

2

1

2

–+ =

+ = ++


• otieneas ntotas ori onta es


f (x) = x

x x1

2 2–

–2 + = x – 1 + x 1

1–

→ La recta y = x – 1 es la asíntota oblicua de la función.

Si x → + ∞, f (x) – (x – 1) = x 1

1–

> 0 → La función queda por encima de la asíntota.

Si x → – ∞, f (x) – (x – 1) = x 1

1–

< 0 → La función queda por debajo de la asíntota.


f ' (x) = x

x x1

2 2–

–2 + = ( )( )x

x x1

2––

2 , f ' (x) = 0 → x = 0, x = 2

0

f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0

1

f ' < 0

2

x = 0, y = –1; x = 2, y = 2

•Gráfica:

2 4–4 –2

–2

4

2

–4

c)• E do iniodedefinici nesÁ.



∞

l mí8x +

x

x x1

3 2–2

2

++ = 3 → La recta y = 3 es la asíntota horizontal de la función.

f (x) – 3 = x

x xxx

13 2 3

15– – –

2

2

2++ =

+

Si x → + ∞, f (x) – 3 = xx

15–

2 + > 0 → La función queda por encima de la asíntota.

Si x → – ∞, f (x) – 3 = xx

15–

2 + < 0 → La función queda por debajo de la asíntota.


67



f ' (x) = ( )x

x x1

10 1–2 2

2

++ + , f ' (x) = 0 → –x 2 + 10x + 1 = 0 → x = 5 – 26 , x = 5 + 26

f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0

5 – √—26 5 + √

—26

x = 5 – 26 ≈ –0,1, y = –2,05

x = 5 + 26 ≈ 10,1, y = 3,05•Gráfica:

2 4 6 8–4–6–8 –2

4

2

–2

d)• E do iniodedefinici nesÁ – {0}.


∞

l mx

x x x

l mx

x x x

24

24

– – – ∞

– –

í

í

8

8

x

x

3

3 2

3

3 2

0

0

–+ =

+ = ++



∞

l mí8x +

x

x x x2

4– –3

3 2 + = 21 → La recta y =

21 es la asíntota horizontal de la función.

f (x) – 21 =

xx x x

24– –

3

3 2 + – 21 =

xx x

24– –

3

2 +

Si x → + ∞, f (x) – 21 =

xx x

24– –

3

2 + < 0 → La función queda por debajo de la asíntota.

Si x → – ∞, f (x) – 21 =

xx x

24– –

3

2 + > 0 → La función queda por encima de la asíntota.


f ' (x) = x

x x22 12–

4

2 + , f ' (x) = 0 → x 2 + 2x – 12 = 0 → x = –1 – 13 , x = –1 + 13

–1 – √—13 –1 + √

—13

f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0

0

f ' < 0

x = –1 – 13 ≈ – 4,6, y = · ,

( , ) , ,2 4 6

4 6 4 6 4 6 4–

– –3

3 2 + + = 0,56452

x = –1 + 13 ≈ 2,6, y = 0,35


68


•Gráfica:

2 4–4 –2

–2

4

2

–4

e)• E do iniodedefinici nesÁ – {–1, 0, 1}.

• f (x) = ( ) ( )

( ) ( )( )x x

x xx x x

x x xx x

x x7 61 1

1 6 61

6 6–

––

– – – – –4 2

3 2

2

2

2

2+ =+

=+

salvo en x = 1, donde presenta una discontinuidad evitable.

l mí8x 1

x x

x x7 6–

–4 2

3 2 + = l mí8x 1

( )x x

x x1

6 6211– – –2

2

+=


( )

( )∞

l mx x

x x

l mx x

x x

16 6

16 6

– – – ∞

– –

í

í

8

8

x

x

2

2

2

2

1

1

–

–

– +=

+= +

+


( )

( )

l mx x

x x

l mx x

x x

16 6

16 6

– – – ∞

– – ∞–

í

í

8

8

x

x

0 2

2

0 2

2

– +=

+=

+



∞

l mí8x +

( )x x

x x1

6 6– –2

2

+ = 0 → La recta y = 0 es la asíntota horizontal de la función.

Si x → + ∞, f (x) > 0 → La función queda por encima de la asíntota.

Si x → – ∞, f (x) < 0 → La función queda por debajo de la asíntota.


f ' (x) = ( )x x

x x x1

12 24 12–3 2

3 2

++ + + , f ' (x) = 0 → –x 3 + 12x 2 + 24x + 12 = 0 → x = 13,8

x = 13,8; y = 0,036


69


•Gráfica:

2 4 6–4–6 –2

40

60

20

–20

–40

–60

)• E do iniodedefinici nesÁ – {–1, 0, 2}.

• f (x) = ( ) ( )

( ) ( )( )x x x

x x xx x x

x x xx x

x x2

3 9 221 2

2 11111

– –– –

–– – – – –

3 2

3 2 2 2+ =+

=+

salvo en x = 2, donde presenta una discontinuidad evitable.

l mí8x 2

x x x

x x x2

3 9 22– –

– –3 2

3 2 + = l mí8x 2

( )x x

x x111

23– – –

2

+=


( )

( )∞

l mx x

x

l mx x

x x

x1

111

11– – – ∞

– –

í

í

8

8

x

x

1

2

1

2

–

–

– +=

+= +

+


( )

∞

( )∞

l mx x

x x

l mx x

x x

111

111

– –

– – –

í

í

8

8

x

x

0

2

0

2

– +=

+=

+

+



∞

l mí8x +

( )x x

x x111– –2

+ = 1 → La recta y = 1 es la asíntota horizontal de la función.

f (x) – 1 = ( )x x

x x111– –2

+ – 1 =

( )x xx

12 11– –

+

Si x → + ∞, f (x) – 1 = ( )x xx

12 11– –

+ < 0 → La función queda por debajo de la asíntota.

Si x → – ∞, f (x) – 1 = ( )x xx

12 11– –

+ > 0 → La función queda por encima de la asíntota.


f ' (x) = ( )x x

x x1

2 22 112 2

2

++ + , f ' (x) = 0 → 2x 2 + 22x + 11 = 0

x = 2

11 3 11– – ≈ –10,5; y = 1,1

x = 2

11 3 11– + ≈ –0,53; y = 40,9

–1 0 2

f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0 f ' > 0 y' > 0

211 3 11– –

211 3 11– +


70


•Gráfica:

2 4 6 8–4–6–8 –2

40

80

100

60

20

–20

–40

–60

–80

–100

Funciones con valor absoluto y funciones a trozos

16 Representa esta función:

f (x) = x x

x xxx

2 22 2

00

– ––

sisi ≥

<2

2+

+*

Indica sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento y sus extremos relativos. ¿Tiene algún punto de in�exión?

f (x) = ≥x x

x xxx

2 22 2

00

– ––

sisi

<2

2+

+)

• Six < 0, es una parábola abierta hacia abajo:

Vértice: f ' (x) = –2x – 2; –2x – 2 = 0 → x = –1, f (–1) = 3

Cortes con el eje: –x 2 – 2x + 2 = 0 → x = 2

2 4 8–

± + ≈ , ( , )≈ ,

xx

0 73 0 73 02 73

no vale por ser–

>

• Six ≥ 0, es una parábola abierta hacia arriba:

Vértice: f ' (x) = 2x – 2; 2x – 2 = 0 → x = 1, f (1) = 1

Cortes con el eje X: x 2 – 2x + 2 = 0 → x = ±2

2 4 8– → No tiene solución. No corta al eje X.

Corte con el eje Y: 0 – 2 · 0 + 2 = 2 → (0, 2)


f ' (x) = x

xxx

2 22 2

00

– ––

sisi

<>

)

f ' (0–) = –2 = f ' (0+) → Es derivable en x = 0.

• Si nodef ' (x):

–1 0

f ' < 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

1


71


Crece en (– ∞, –1) ø (1, + ∞).

ecreceen )

Tiene un máximo en (–1, 3) y un mínimo en (1, 1).


f '' (x) = xx

22

00

– sisi

<>

)

f '' (0–) ≠ f '' (0+). No existe f '' (0).

Signo de f '' (x):

0

f '' < 0 f '' > 0

La función es convexa en (– ∞, 0) y cóncava en (0, + ∞).

En (0, 2) tiene un punto de in�exión.

• e resentaci n:

2

1–1

17 Representa la siguiente función:

f (x) = ( )x xx

xx

3 11

00

––

sisi ≥

<3

2+*

Estudia sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento, sus extremos relativos y su curvatura.

f (x) = ( ) ≥x xx

xx

3 11

00

––

sisi

<3

2+*

•Continuidad:

Si x ≠ 0, f es continua por estar de�nida por polinomios.

Si x = 0:

( ) ( )

( )

l m

l m

f

x x

x

0 0 1 1

3 1 1

1 1

–

–

–

í

í

8

8

x

x

0

02

3

2

–

= =

+ =

=+ 4 Como l mí

8x 0 f (x) = 1 = f (0), f es continua en x = 0.


f ' (x) = ( )

( )( )

''

xx

xx

ff

3 32 1

00

0 30 2

––

sisi

––

<>

2 – ==+* 4 4

Como f ' (0–) ≠ f ' (0+), f no es derivable en x = 0.


72



( ), ( )

x xx f

1 01 1 3

no vale porque tiene que ser– –

<== =

f ' (x) = 0 ( )

x

x

3 3 0

2 1 0

–

–

2 =

=

, ( )8 x f1 1 0= =

Signo de f ' :

0–1 1

f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0

Crece en (– ∞, –1) ø (1, + ∞).

ecreceen )

Máximo en (–1, 3).

Mínimo en (1, 0).

•Cur atura:

f '' (x) = ( )( )

''''

x xx

ff

62

00

0 00 2

sisi

<>

– ==+3 4

f '' (0–) ≠ f '' (0+). Por tanto, no existe f '' (0).

Signo de f '':

0

f '' < 0 f '' > 0


X

Y3

1–1

18 Representa las siguientes funciones. Indica, en cada caso, los intervalos de crecimiento y de de-crecimiento y los extremos relativos, si los hay:

a) f (x) = x

xxx4

11

––

si ≤si >

2

2* b) f (x) = xx

xx

11

11

––

sisi ≥

<2*

c) f (x) = x

xx

22

11

si ≤si >

x

* d) f (x) = e

xxx2 2

11–

sisi ≥

<x 1– +*

a) f es continua si x ≠ 1 porque son continuas las funciones que la de�nen.

No es continua en x = 1, porque l mí8x 1–

f (x) = –1 ≠ l mí8x 1+

f (x) = –3.

f ' (x) = x

xxx

22

11

– sisi

<>

) No es derivable en x = 1, porque no es continua.

f ' (x) = 0 → –2x = 0, 2x = 0 → x = 0


73


Signo de f ' :

10

f ' < 0f ' > 0 f ' > 0

Crece en (– ∞, 0) ø (1, + ∞) y decrece en (0, 1).

Máximo: (0, 0)

Representación:

–3

1

b) f es continua en x ≠ 1 porque son continuas las funciones que la de�nen.

En x = 1:

( ) ( )

( )

l m f x l m x

l m f x l m x

1 0

1 0

–

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

12

1

1

1

– –= =

= =+ +

4 f es continua en x = 1.

f ' (x) = x

x

x

x

2

2 11

1

1–

si

si

<

>* No es derivable en x = 1, porque no existe f ' (1+).

f ' (x) = 0 → 2x = 0 → x = 0

Signo de f ' :

0

f ' > 0f ' < 0 f ' > 0

1

Crece en (0, + ∞) y decrece en (– ∞, 0).

Mínimo: (0, –1)

Representación:

1

1–1

c) f es continua si x ≠ 1, porque lo son las funciones que la de�nen.

En x = 1:

( )

( )

l m f x l m

l m f x l mx

2

2

2

2

í í

í í

8 8

8 8

x x

x x

x1 1

1 1

– –= =

= =+ +

4 f es continua en x = 1.

f ' (x) = ln

x

x

x

2 22

1

1–

si

si

<

>

x

2* No es derivable en x = 1, porque f ' (1–) ≠ f ' (1+).

No hay puntos en los que f ' (x) = 0.


74


Signo de f ' :

1

f ' < 0f ' > 0

Crece en (– ∞, 1) y decrece en (1, + ∞). Máximo: (1, 2) (no es derivable en ese punto). Representación:

2

1

d) f es continua en x ≠ 1, porque lo son las funciones que la de�nen. En x = 1:

( )

( ) ( )

( )

l m f x l m e

l m f x l m x

f

1

2 2 0

1 0

–

í í

í í8 8

8 8

x xx

x x

1 11

1 1

–– –

= =

= =

=

+

+ + 4 Como l mí8x 1–

f (x) ≠ l mí8x 1+

f (x), f no es continua en x = 0.

f ' (x) = e x

x211

– sisi

<>

x 1– +* No existe f ' (1), porque f es discontinua en x = 1.

No existen puntos en los que f ' (x) = 0.

Signo de f ' :

1

f ' > 0f ' < 0

ecreceen ) creceen ) Representación:

11

3

19 Considera la función:

f (x) = xx

x

x1

1

1

0

0–

si

si ≥

<2 ++

*En el intervalo (– ∞, 0], estudia si tiene puntos de corte con los ejes, si la función crece o decrece, los puntos de in�exión y si tiene asíntotas. Dibuja la grá�ca en todo Á.

f (x) = ≥

xx

x

x1

1

1

0

0–

si

si

<2 ++

*

• Six ∈ (– ∞, 0), y = x 1

12 +

Si x = 0, y = –x + 1 = 1


75


Cortes con los ejes:

x = 0, y = 1 → (0, 1)

y = 0 → x 1

12 +

= 0 → No tiene solución. No corta al eje Y.


y' = ( )

;( )x

xx

x1

21

2– –2 2 2 2+ +

= 0 → –2x = 0 → x = 0, f (0) = 1

Signo de f ' (x):

f ' > 0

0

La función es creciente.


f '' (x) = ( )

;( )x

xxx

16 2

16 2– –

2 3

2

2 3

2

+ + = 0 → x 2 =

31

( )x

x

33

33

no vale

–

=

=

Signo de f '' (x):

–√

—3—

3

f '' (x) < 0f '' (x) > 0

0

Punto de in�exión: ,33

43–e o ≈ (–0,58; 0,75)

• e resentaci n:

1

1

20 Dibuja la grá�ca de las siguientes funciones e indica en qué puntos no son derivables:

a) y = x + | x + 2 | b) y = 2x – | x – 3 | c) y = | x | + | x – 3 | d) y = x | x – 1 |

a) y = x + | x + 2 |

Como | x + 2 | = 0 ⇔ x = –2, estudiamos f a la izquierda y a la derecha de –2 para de�nirla por intervalos.

–2

–x – 2 x + 2

x x Sumamos: ≥x

xx

22 2

22

– si –si –

<+

)

X

Y

–21

No es derivable en x = –2.


76


b) 2x – | x – 3 |

Estudiamos la función para valores menores y mayores que 3.

3

–x + 3 x – 3

2x 2x Restamos:

( )( )

x x xx x x

2 3 3 32 3 3

– – –– –

+ == +

* f (x) = xx

xx3 3

333

sisi ≥

– <+

)

X

Y

6

4

2

3

No es derivable en x = 3.

c) y = | x | + | x – 3 |

Como | x | = 0 en x = 0 y | x – 3 | = 0 en x = 3, estudiamos f a la izquierda y a la derecha de esos puntos.

3

–x x x

–x + 3 –x + 3 x – 30 Sumamos: ( )

( )

( )x xx x x

x x x3 33 2 3

3 2 3–

– –

– – –+ + =+ =

+ + = +

* f (x) = ≤ ≤x

x

xx

x

2 332 3

00 3

3

–

–

sisisi

<

>

+*

X

Y

5

3

2 4

No es derivable en x = 0 ni en x = 3.

d) y = x | x – 1 |

Estudiamos f a la derecha y a la izquierda de x = 1.

1

–x + 1 x – 1

x x Multiplicamos:

( )( )

x x x xx x x x

11

– –– –

2

2

=+ = +*

f (x) = xx

x xx x

11

sisi ≥

––

<2

2+*

• y = –x 2 + x es una parábola abierta hacia abajo:

Vértice: –2x + 1 = 0 → x = , f21

21

41=d n

Cortes con OX :

–x 2 + x = 0 → x (–x + 1) = 0 → x = 0, x = 1

• y = x 2 – x es una parábola abierta hacia arriba:

Vértice: 2x – 1 = 0 → x = 21 (no vale, ya que debe ser x ≥ 1)


77


Cortes con OX :

x 2 – x = 0 → x (x – 1) = 0 ( )x

x01

no vale==

X

Y1

1

y = –x2 + x y = x2 – xy = x|x – 1|

X

Y

1 X

Y

1

1

1

No es derivable en x = 1.

21 Considera la función f (x) = x 2 | x – 3 |:

a) Halla los puntos donde f no es derivable.

b) Calcula sus máximos y mínimos.

c) Represéntala grá�camente.

a) f (x) = ( )( ) ≥ ≥

x xx x

xx

xx

x xx x

33

33

33

33

––

sisi

sisi

––

< <2

2

3 2

3 2+ = +* *4

Si x ≠ 3, tenemos que f (x) es derivable. Su derivada es:

f ' (x) = x xx x

xx

3 63 6

33

––

sisi

<>

2

2+*

Por tanto:

( )( ) ) ( , )) .

( ) ≠ ( )(

''

''ff x

f ff x

3 93 9 3 3 0

3 3–no es derivable en (Punto

– –== =+

+4

b) f ' (x) = 0 → ( )

8

x x x

x x

x x x

3 6 0 3

3 2 0

3 6 0 3

– si

–

– si ninguno

<

>

2

2

+ =

+ =

=

* ( , )( , )

88

xx

0 0 02 2 4

==

Como f (x) ≥ 0 para todo x, tenemos que:

f (x) tiene un mínimo en (0, 0) y otro en (3, 0), y tiene un máximo en (2, 4).

c) ∞

l mí8x –

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞

Uniendo todo lo anterior, llegamos a la grá�ca:

1

2

3

4

1 2 3


78


22 Representa la función f (x) = –| x 3 – x 2 + 2 |.

Para representarla, dibujamos la grá�ca de la función y = x 3 – x 2 + 2. La grá�ca de f (x) coincidirá con la de y en la zona donde esta esté por debajo del eje X y con su simétrica respecto del eje X si la de y está por encima del mismo.

Analicemos la función polinómica y = x 3 – x 2 + 2:

•Cortecone e eY : x = 0, y = 2

Cortes con el eje X : x 3 – x 2 + 2 = 0 → x = –1

y' = 3x 2 – 2x, y' = 0 → 3x 2 – 2x = 0 → x = 0, x = 32

y'' = 6x – 2

x = 0 → y'' = –2 < 0 (0, 2) es un máximo relativo.

x = 32 → y'' = 2 > 0 → y = ≈ , ; ; ,

32

32 2

2750 1 85

32 1 85–

3 2+ =d d dn n n es un mínimo relativo.

Ahora tomamos el módulo de esta función y cambiamos el signo.

2–2

–2

–4

YX

Página 216

Para resolver

23 Estudia el dominio de de�nición, las asíntotas y los extremos de cada una de estas funciones y, con esa información, relaciónalas con sus respectivas grá�cas:

a) y = sen x

1

b) y = x e x

c) y = sen x2

d) y = x3

e) y = x 12 +

f ) y = sen 2 x

–2

2

π

2

2π 3π–2

π2–– π

2

4

2π–––2

2 4–2

2

–2–4

2

4

–2 2 4–4π—2

3π—2

1

π

1

3 4

5 6

2

a) y = sen x

1

• o inio:sen x = 0 → x = 0 + πk ; k ∈

Dominio = Á – {πk}, k ∈


79


• s ntotas:

x = πk, k ∈ son asíntotas verticales.

No hay más asíntotas.

• E tre os:

f ' (x) = cossen x

x–2

f ' (x) = 0 → cos x = 0 π/ ππ/ π

x kx k

2 23 2 2

= += +

(k ∈ )

Signo de f ' (x) en (0, 2π):

3π2

π2

π

f ' > 0f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0

0 2π

f (x) es periódica de período 2π.

f (x) es decreciente en , π02

c m ø π , π23 2d n .

Es creciente en π , π2

c m ø π, π23

d n .

Tiene un mínimo en π ,2

1c m .

Tiene un máximo en π ,23 1–d n

•Gráfica→ 2 .

b) y = xe x

• o inio:Á • s ntotas:

No tiene asíntotas verticales.

∞

l mí8x –

f (x) = ∞

l mí8x +

–xe –x = ∞

l mí8x +

ex–x =

∞l mí8x +

e1–x = 0

y = 0 es asíntota horizontal cuando x → – ∞ ( f (x) < 0).

∞

l mí8x +

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x +

( )x

f x = + ∞ → Rama parabólica.

• E tre os:

f ' (x) = e x + xe x = e x(1 + x)

f ' (x) = 0 → 1 + x = 0 → x = –1

Signo de f ' (x):

–1

f ' > 0f ' < 0

f (x) es decreciene en (– ∞, –1).

Es creciente en (–1, + ∞).

Tiene un mínimo en ,e

1 1– –d n .

•Gráfica→ 6 .


80


c) y = sen x2

• o inio:Á • s ntotas: otiene

• E tre os:

f ' (x) = cos x21

2

f ' (x) = 0 → cos x2

= 0 → π πx k2 2

= + → x = π + 2πk

f (x) es periódica de período 4π.

Signo de f ' (x):

π

f ' < 0f ' > 0

0 3π

f ' > 0

4π

f (x) es creciente en (0, π) ø (3π, 4π).

Es decreciente en (π, 3π).

Tiene un máximo en (π, 1).

Tiene un mínimo en (3π, –1).

•Gráfica→ 5 .

d) y = x3

• o inio:Á • s ntotas: otiene

( ) ;

( )

( ) ;( )

l m f x l mx

f x

l m f x l mx

f x

0

0

∞

∞

–í í

í í

8 8

8 8

x x

x x

– ∞ – ∞

∞ ∞

= =

= + =+ +

4 → Ramas parabólicas.

• E tre os:

f ' (x) = x3

123

→ f (x) no es derivable en x = 0.

f ' (x) > 0 para todo x ≠ 0. f (x) es creciente.

•Gráfica→ 1 .

e) y = x 12 +

• o inio:Á • Si etr a:

f (–x) = f (x) → f (x) es par: simétrica respecto al eje Y.

• s ntotas: No tiene asíntotas verticales.

∞

l mí8x +

f (x) = + ∞

∞

l mí8x +

( )x

f x =

∞l mí8x +

x

x 12 + = 1


81


∞

l mí8x +

[ f (x) – x] = ∞

l mí8x +

[ ]x x1 –2 + = ∞

l mí8x +

( ) ( )x

xx

x x x1

1 1–2

2 2

++

++ + =

= ∞

l mí8x +

x

x xx1

1 –2

2 2

++

+ =

∞l mí8x +

x x1

12 + +

= 0

y = x es asíntota oblicua cuando x → + ∞ ( f (x) > x).

Por simetría, y = –x es asíntota oblicua cuando x → – ∞ ( f (x) > –x).

• E tre os:

f ' (x) = x

xx

x2 1

212 2+

=+

f ' (x) = 0 → x = 0

Signo de f ' (x):

0

f ' > 0f ' < 0

f (x) es decreciente en (– ∞, 0).

Es creciente en (0, + ∞).


•Gráfica→ 3 .

f ) y = sen 2 x

• o inio:Á

• s ntotas: otiene

• E tre os:

f ' (x) = cossen x x sen x2 2=

f ' (x) = 0 → sen 2x = 0 → 2x = 0 + πk → x = π2

k, k ∈

f (x) es periódica de período π.

Signo de f ' (x) en (0, π):

π2

π0

f ' < 0f ' > 0

f (x) es creciente en , π02

c m .

Es decreciente en π , π2

c m .

Tiene un máximo en π ,2

1c m .

Tiene un mínimo en (0, 0) y otro en (π, 0).

•Gráfica→ 4 .


82


24 Determina las asíntotas de las siguientes funciones:

a) y = x

x31 –

b) y = x

x x 12+ +

a) o inio: )ø (0, 1]


l mí8x 0

xx

31 –

= ± ∞ ∞∞

88

x yx y

00

Si –Si

<> +


∞

l mí8x –

xx

31 –

= 0

y = 0 es asíntota horizontal hacia – ∞ ( y < 0).

b) o inio:Á – {0}


l mí8x 0

x

x x 12+ + = ± ∞ ∞∞

88

x yx y

00

Si –Si

<> +


∞

l mí8x + x

x x 12+ + = 2

y = 2 es asíntota horizontal hacia + ∞ ( y > 2).

∞

l mí8x – x

x x 12+ + = ∞

l mí8x + x

x x 1–

– 2+ + = 1 – 1 = 0

y = 0 es asíntota horizontal hacia – ∞ ( y < 0).

2

25 Representa grá�camente cada una de estas funciones:

a) y = | |x 2

1–

b) y = | |

xx

122 +

c) y = | |

| |x

x1

3++

a) y = | |x 2

1–

efini os a unci n orinter a os:

f (x) = ≥

xx

xx

21 0

21 0

– –si

–si

<* ■ Si x < 0, y =

x x21

21

– ––=+

:

• o inio:Á – {–2}


l mí8x 2–

f (x) , ( ) ∞, ( ) ∞

88

x f xx f x

22

Si –Si – –

<>

+

x = –2 es una asíntota vertical.


83



∞

l mí8x –

x 2

1 0–+

=

y = 0 es asíntota horizontal hacia – ∞ ( f (x) > 0).

X–2

Y

■ Si x ≥ 0, y = x 2

1–

:

• o inio:Á – {2}


l mí8x 2

f (x) , ( ), ( )

88

x f xx f x

22

Si ∞Si ∞

–<> +

x = –2 es una asíntota vertical.


∞

l mí8x +

x 2

1 0–

=

y = 0 es asíntota horizontal hacia + ∞ ( f (x) > 0).

X

Y

2

La grá�ca de y = | |x 2

1–

es:

X2–2

Y

b) y = | |

xx

122 +

efini os a unci n orinter a os:

f (x) = x

x

xx

xx

0

0

12

12

si

si ≥

– <2

2

+

+

* ■ Si x < 0, y =

xx1

2–2 +

:

• o inio:Á• otieneas ntotas ertica es


∞

l mí8x – x

x1

2–2 +

= 0

y = 0 es asíntota horizontal hacia – ∞ ( y > 0).


f ' (x) = ( )

( ) ·( ) ( )x

x x xx

x xxx

12 1 2 2

12 2 4

12 2– – – –

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

++ + =

++ =

+


84


f ' (x) = 0 → ( )x

x1

2 2 0–2 2

2

+=

( , ), ( )

xx f

1 1 01 1 1

no vale– –

>== =

Signo de f ' :

f ' < 0f ' > 0

–1 0

Máximo en (–1, 1).

X

Y

1

–1

■ Si x ≥ 0, y = x

x1

22 +

:

• o inio:Á• otieneas ntotas ertica es• s ntotas ori onta es:

∞

l mí8x + x

x1

22 +

= 0

y = 0 es asíntota horizontal hacia + ∞ ( y > 0).


f ' (x) = ( )

( ) ·( )x

x x xx

x1

2 1 2 21

2 2– –2 2

2

2 2

2

++ =

++

f ' (x) = 0 → –2x 2 + 2 = 0 ( , )

, ( )xx f

1 1 01 1 1– no vale – <=

= =

Signo de f ' :

f ' < 0f ' > 0

10

Máximo en (1, 1).

X

Y

1

1

La grá�ca de y = | |

xx

122 +

es:

X

Y

1

1–1

c) | x + 3 | = ≥x

xxx

33

33

– – si –si –

<+

) | x | = ≥x

xxx

00

– sisi

<)

f (x) = | |

| |≤

≥

xx

x

x

x

xx

xx

xx

13

3

3 0

0

13

13

13

si –

si –

si

–– –

–

<

<++

= +

++

*•E do iniodedefinici nesÁ.

•Cortecone e eY : x = 0, y = 3

Cortes con el eje X : y = 0 → | |

| |x

x1

3++

= 0 → | x + 3 | = 0 → x = –3


85



| |

| |

| || |

l mx

xl m

xx

l mx

xl m

xx

13

13

13

13

1

1–––

í í

í í

8 8

8 8

x x

x x

∞ ∞

∞ ∞–

++

=++ =

++

= =+

+ + 4 La recta y = 1 es la asíntota horizontal cuando x → ± ∞.

• f ' (x) =

( )

( )

( )

x

x

x

x

x

x

14

14

12

3

3 0

0

––

––

si –

si –

si

<

< <

>

2

2

2+

* f (x) es creciente en el intervalo (–3, 0).

f (x) es decreciente en los intervalos (– ∞, –3) y (0, + ∞).

2 4 6–4–6 –2

4

2

–2

–4

Y

X

26 Realiza un estudio y representa cada una de las siguientes funciones:

a) y = lnxx

11–

2

2

+e o b) y =

ee

11–

x

x

+ c) y = ln

xx

1+b l d) y =

x xe

2 3–

| |x

2

1–

+

a)• o iniodedefinici n:

xx

11–

2

2

+ > 0 → x 2 – 1 > 0 → (– ∞, –1) ø (1, + ∞)

La función tiene simetría par. Podemos limitarnos a estudiarla en el intervalo (1, + ∞).


l mí8x 1+

ln xx

11–

2

2

+f p = – ∞ → Las rectas x = 1, x = –1 son las asíntotas verticales de la función.

Asíntotas horizontales:

∞

l mí8x +

ln xx

11–

2

2

+f p = 0 → La recta y = 0 es la asíntota horizontal cuando x → ± ∞.

• f ' (x) = ( ) ( )x x

x1 14

–2 2 + → f (x) es creciente en el intervalo (1, + ∞).

2 4–4 –2–2

2

–4

Y

X

b)• E do iniodedefinici nesÁ.•Cortecone e eY : x = 0, y = 0

Cortes con el eje X : y = 0 → ee

11–

x

x

+ = 0 → x = 0



86



∞

l mí8x + e

e11–

x

x

+ =

∞l mí8x +

1 –//ee

1 11

x

x

+ = 1

∞

l mí8x – e

e11–

x

x

+ = –1

Las rectas y = 1 y y = –1 son las asíntotas horizontales cuando x → + ∞ y x → – ∞, respecti-vamente.

• y' = ( )e

e1

2x

x

2+ → y es creciente en todo Á.

2 4–4 –2

–2

2 Y

X

c)• o iniodedefinici n:

x

x1+

> 0 → (– ∞, –1) ø (0, + ∞)


l mí8x 1– –

ln x

x1+

c m = + ∞

l mí8x 0+

ln x

x1+

c m = – ∞

Las rectas x = –1 y x = 0 son las asíntotas verticales de la función.


∞

l mí8x +

ln x

x1+

c m = 0

∞

l mí8x –

ln x

x1+

c m = 0

La recta y = 0 es la asíntota horizontal de la función.

• y' = ( )x x 1

1+

Si x > 0 → y' > 0 → y es creciente en el intervalo (0, + ∞).

Si x < –1 → y' > 0 → y es creciente en el intervalo (– ∞, –1).

2 4–4 –2–2

4

2

–4

Y

X

d)• E do iniodedefinici nes:Á – {–3, 1}

Teniendo en cuenta la de�nición de valor absoluto, y = ≠

x xe

x xe

x x

x

2 3

2 3

1 3

1

–

–

si y –

si

<

<

x

x

2

1

2

1

–

–+

+

+

*•Cortecone e eY : x = 0, y = e

3–


87



∞

l mx x

e

l mx x

e

2 3

2 3

–∞

––

í

í

8

8

x

x

x

x

2

1

2

1

3

3

–

–

–

–

– += +

+=

+

+

+


l m

x xe

l mx x

e

2 3

2 3

–∞

–∞

–í

í

8

8

x

x

x

x

2

1

2

1

1

1

–

–

– +=

+= +

+

+

+


No tiene asíntotas horizontales ni oblicuas.

• y ' = ( )( )

( )( )

x xe x x

x xe x

x x

x

2 34 1

2 35

1 3

1

–– –

––

si y ≠ –

si

<

<

x

x

2 2

1 2

2 2

1 2

–

–+

+

+

*

y' = 0 → ( )

( ) ,

( )( )

8 8

8 8

x xe x x x x x x

x xe x x x

2 34 1 0 4 1 0 2 5 2 5

2 35 0 5 0 5

–– – – – – – –

–– –

x

x

2 2

1 22

2 2

1 22

–

–

++ = + = = = +

+= = =

*

–3

y' > 0y' < 0 y' > 0 y' < 0 y' < 0

1

y' > 0

–2 – √—5 –2 + √

—5 √

—5

Hallamos las ordenadas de los extremos relativos y se obtiene la grá�ca:

10 20 30–20–30 –10

20

30

10

–10

–20

–30

Y

X


88


27 La recta y = 2x + 6 es una asíntota oblicua de la función:

f (x) = x kx2 1

–2 +

Halla el valor de k y representa la función así obtenida.

• a a osk : Si y = 2x + 6 es asíntota oblicua, tenemos que:

∞

l mí8x +

( )x

f x2= ;

∞l mí8x +

[ f (x) – 2x] = 6

Por tanto:

∞

l mí8x +

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x +

( )x

f x =

∞l mí8x +

x kx

x2 1–2

2 + = 2

∞

l mí8x +

[ f (x) – 2x] = ∞

l mí8x +

x kx x2 1 2

––

2 += G = ∞

l mí8x +

x k

x x kx2 1 2 2–

–2 2+ + =

= ∞

l mí8x +

8x kkx k k2 1 2 6 3

–+ = = =

También podríamos efectuar la división:

2x 2 + 1 x – k–2x 2 + 2kx 2x + 2k

2kx + 1–2kx + 2k 2

1 + 2k 2

La asíntota oblicua es y = 2x + 2k.

2x + 2k = 2x + 6 → 2k = 6 → k = 3

Por tanto: f (x) = xx

32 1

–2 +

• o inio:Á – {3}

• s ntotas:

( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

–í

í8

8

x

x

3

3

–=

= ++


y = 2x + 6 es asíntota oblicua.

Si x → – ∞, f (x) < 2x + 6; si x → + ∞, f (x) > 2x + 6.


f ' (x) = ( )

( ) ( )( ) ( )x

x x xx

x x xx

x x3

4 3 2 13

4 12 2 13

2 12 1–

– ––

– – ––

– –2

2

2

2 2

2

2+ = =

f ' (x) = 0 → 2x 2 – 12x – 1 = 0 → x = ±4

12 144 8+ ,

,xx

6 080 08–

==

Signo de f ' (x):

–0,08 3

f ' < 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

6,08

f (x) es creciente en (– ∞; –0,08) ø (6,08; + ∞).


89


Es decreciente en (–0,08; 3) ø (3; 6,08).

Tiene un máximo en (–0,08; –0,33).

Tiene un mínimo en (6,08; 24,32).

•Gráfica:

22

–1–2–3

23242526

63

9 1215

28 Dada la función:

f (x) = ax + b + x8

calcula a y b para que la grá�ca de f pase por el punto (–2, – 6) y tenga, en ese punto, tangente horizontal. Para esos valores de a y b, representa la función.

f (x) = ax + b + x8 ; f ' (x) = a –

x82

( , ), ( )( )'

88 8

f a bf a

2 6 2 6 2 4 62 0 2 0

Pasa por – – – – – – –Tangente horizontal – –

= + == =

4 a b

aab

2 22

22

– –+ ==

==

4 4

Para estos valores, queda: f (x) = 2x + 2 + x8

• o inio:Á – {0}

• s ntotas:

( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

–í

í8

8

x

x

0

0

–=

= ++


f (x) = 2x + 2 + x8 → y = 2x + 2 es asíntota oblicua.

(Si x → – ∞, f (x) < 2x + 2; si x → + ∞, f (x) > 2x + 2)


f ' (x) = x x

x2 8 2 8– –2 2

2=

f ' (x) = 0 → 2x 2 – 8 = 0 → x 2 = 4 xx

22–=

=

Signo de f ' (x):

–2 0

f ' < 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

2

f (x) es creciente en (– ∞, –2) ø (2, + ∞). Es decreciente en (–2, 0) ø (0, 2).


90


Tiene un máximo en (–2, – 6). Tiene un mínimo en (2, 10).

•Gráfica:

22 4

4

29 Halla los valores de a, b y c para los cuales la función:

f (x) = x

ax bx c4–2

2 + +

tiene como asíntota horizontal la recta y = –1 y un mínimo en el punto (0, 1).

f (x) = x

ax bx c4–2

2 + +

Si y = –1 es asíntota horizontal → ∞

l mí8x + x

ax bx c4–2

2 + + = a → a = –1

Si tiene un mínimo en (0, 1), debe ser f ' (0) = 0.

f ' (x) = ( )

( ) ( ) ( )x

ax b x ax bx x x4

2 4 2–

– –2 2

2 2+ + + → f ' (0) = ( )b b164 0

40– – –= = → b = 0

Además: f (0) = 1 → · ·a b c4

0 0 1–

+ + = → c = – 4

Por tanto: f (x) = xx

44

–– –

2

2

30 Comprueba que la función y = | |

xx

1+ tiene dos asíntotas horizontales.

f (x) = ≥

xx x

xx x

10

10

– si

si

<+

+

*Por tanto:

∞l mí8x –

f (x) = ∞

l mí8x – x

x1

–+

= –1 → y = –1 es asíntota horizontal cuando x → – ∞.

∞l mí8x +

f (x) = ∞

l mí8x + x

x1+

= 1 → y = 1 es asíntota horizontal cuando x → + ∞.

31 La función f (x) = x + e –x, ¿tiene alguna asíntota? En caso a�rmativo, hállala.

f (x) = x + e –x

• o inio:Á.


•∞

l mí8x +

(x + e –x) = + ∞; ∞

l mí8x –

(x + e –x) = + ∞

No tiene asíntotas horizontales.


m = ∞

l mí8x +

x

x e x–+d n = ∞

l mí8x +

·x e

1 1x+e o = 1


91


n = ∞

l mí8x +

(x + e –x – x) = ∞

l mí8x +

e –x = 0

y = x es asíntota oblicua hacia + ∞.

No hay asíntota oblicua hacia – ∞ porque: m = ∞

l mí8x – x

x e x–+d n = 1 + ∞ = + ∞

32 Dada la función f (x):

Indica qué grá�ca corresponde a estas otras:

f (–x)

f (| x |)

–| f (x) |

| f (x) |

f(x)

a) b)

c) d)

a) –| f (x) | b) f (–x) c) | f (x)| d) f (| x |)

33 La siguiente función representa la demanda de un artículo a lo largo de los años:

f (t ) = t

tt

t

t

1

28 4

0 2

2

si ≤ ≤

si >

2 +

++*

:( ):

t

f t

añosmiles de artículos

a) Representa la función.

b) ¿Qué cantidad se demanda a los 2 años? ¿A partir de cuándo se demandan más de 6 000 uni-dades?

c) ¿Qué cantidad de unidades nunca llegará a superar la demanda por mucho que pase el tiem-po?

a) En el primer intervalo, la función está de�nida mediante una parábola. En el segundo intervalo es un trozo de parábola.• a unci nescontinuaent = 2, ya que: f (2) = 5

l mí8t 2

f (t ) =

( )l m

l m

t

tt

1 5

28 4 5

í

í

8

8

t

t

2

2

2–

+ =

++ =

+

*• ieneunaas ntota ori onta cuandot → + ∞, puesto que l mí

∞8t + tt

28 4

++ = 8.

Posición:

Si t → + ∞, tt

t28 4 8

212– –

++ =

+ < 0. La función queda por debajo de la asíntota.


92



f ' (t ) = ( )

t

t

t

t

2

212

0 2

2

si

si

< <

>2+*

Siempre es positiva, por tanto, siempre es creciente.

2 4 6 8 10 12 X

2

4

6

8

10Y

b) Como f (2) = 5, a los 2 años se demandan 5 000 unidades.

6 = tt

28 4

++ → t = 4. Por tanto, a partir de los 4 años se demandan más de 6 000 unidades.

c) Como podemos ver en la grá�ca, al ser y = 8 asíntota horizontal, la demanda nunca superará las 8 000 unidades.

34 La variación del precio de un artículo viene dada por:

f (t ) =

t

t

t

t

22

52

0 2

2 6–

si ≤ ≤

si ≤<

2+*

:( ):

t

f t

añoscientos de euros

a) Representa la función.

b) ¿Cuál fue el precio inicial? ¿Y el �nal?

c) ¿Cuánto duró la venta del artículo? ¿Cuál fue su precio máximo?

a) La función está de�nida por intervalos mediante dos funciones polinómicas. La primera es una parábola y la segunda es una recta.

•Escontinuaent = 2, ya que f (2) = 4 y l mí8t 2

f (t ) = l m t

l m t

22

52

4

4–

í

í

8

8

t

t

2

2

2

–+ =

=+

e

c m

o* .

• Su ráficaes:

1 2 3 4 5 6 X

1

2

3

4

5Y

b) Como f (0) = 2, el precio inicial fue de 200 €. El �nal fue también de 200 € porque f (6) = 2.

c) El artículo se vendió durante 6 años. El precio máximo fue de 400 € y se dio a los 2 años, ya que f (2) = 4.


93


Página 217


35 Una función f (x) tiene las siguientes características:

Dom f = Á – {0} y es derivable en todo su dominio.

∞l mí8x –

f (x) = – ∞ ∞

l mí8x +

= +∞

l mí8x 0–

f (x) = +∞ l mí8x 0+

f (x) = – ∞

Indica cuáles de las siguientes a�rmaciones son seguras, cuáles son posibles y cuáles son impo-sibles:

a) f (x) es par.

b) f (x) es impar.

c) No tiene máximos ni mínimos.

d) Tiene un máximo y un mínimo.

e) Corta al eje X en dos puntos.

f ) Corta el eje X al menos en dos puntos.

g) Tiene una asíntota oblicua.

a) Imposible, porque, por ejemplo, en las proximidades de x = 0 no es simétrica respecto del eje vertical.

b) Probable, porque una función impar puede cumplir estas condiciones.

c) Probable, aunque esta a�rmación no está relacionada con los datos del problema.

d) Probable, aunque esta a�rmación no está relacionada con los datos del problema.

e) Probable, por su continuidad y su comportamiento a ambos lados del eje vertical.

f ) Seguro. Por ser continua debe cortar al semieje negativo de las X al subir desde – ∞ (cuando x → – ∞) hasta + ∞ (cuando x → 0–). Análogamente ocurre con el semieje positivo de las X.

g) Probable. Puede ser también ramas parabólicas.

36 La función y = xx

11

–2+ no está de�nida en x = 1 ni en x = –1; sin embargo, tiene solo una

asíntota vertical.

Justi�ca esta información.

f (x) = ( ) ( )x

xx x

x11

1 11

– –2+ =

++

( )

( )

l m f x

l m f x

∞

∞

–í

í8

8

x

x

1

1

–=

= ++


l mí8x 1–

f (x) = l mí8x 1–

x 1

121

––=

En x = –1 hay una discontinuidad evitable, no hay una asíntota.


94


37 Si es posible, dibuja una función continua en el intervalo [0, 4] que tenga, al menos, un máximo relativo en (2, 3) y un mínimo relativo en (3, 4). Si la función fuera polinómica, ¿cuál debería ser, “como mínimo” su grado?

f (x) debe tener, al menos, dos máximos y dos mínimos en [0, 4], si es derivable.

Si f (x) fuera un polinomio, tendría, como mínimo, grado 5 (pues f ' (x) se anularía, al menos, en cuatro puntos).

1 2 3 4

1

2

3

4

Para profundizar

38 La concentración (en %) de nitrógeno de un compuesto viene dada, en función del tiempo t ∈ [0, +∞) medido en segundos, por la función:

N (t ) = e1 2

60t–+

a) Comprueba que la concentración de nitrógeno crece con el tiempo. ¿Para qué t la concentra-ción de nitrógeno es mínima y cuál es esta concentración?

b) ¿A qué valor tiende la concentración de nitrógeno cuando el tiempo tiende a in�nito?

a) N (t ) = e1 2

60t–+

N' (t ) = ( )e

e2 1120

t

t

2–

–

+ es siempre positivo para cualquier valor de t. Por tanto, N (t ) es creciente.

La concentración de nitrógeno es mínima para t = 0 y su valor es N (0) = 20.

b) ∞

l mí8t +

e1 2

60t–+

= 60 es el valor al que tiende la concentración cuando el tiempo tiende a in�nito.

39 Una partícula se mueve a lo largo de la grá�ca de la curva de ecuación y = x

x1

2– 2 para x > 1.

En el punto P ,234–c m la deja y se desplaza a lo largo de la recta tangente a dicha curva.

a) Halla la ecuación de la tangente.

b) Si se desplaza de derecha a izquierda, halla el punto en el que la partícula encuentra a la asín-tota vertical más próxima al punto P.

c) Si el desplazamiento es de izquierda a derecha, halla el punto en el que la partícula encuentra el eje X.

a) Pendiente de la recta tangente en x = 2:

f ' (x) = ( )

( ) ( )( ) ( )x

x x xx

x xx

x1

2 1 2 21

2 2 412 2

–– – –

––

–2 2

2

2 2

2 2

2 2

2= + = +

m = f ' (2) = 910

La ecuación de la recta tangente en P es:

y = ( ) 8x y x34

910 2

910

932– ––+ =


95


b) La asíntota vertical más próxima a P es x = 1. Tenemos que hallar el punto de intersección de x = 1 con la recta tangente anterior:

y x

x

y

x910

932

1922

1

– –=

=

=

=4 4 El punto es Q ,1

922–d n .

c) Tenemos que hallar el punto en el que la recta anterior corta al eje OX :

8y x

y

x x

y910

932

0910

932

1032

516

0

–=

=

= = =

=4 4 El punto es R ,

516 0d n .

Esta grá�ca muestra la curva y = x

x1

2– 2 , la recta tangente y = x

910

932– y los puntos Q ,1

922–d n

y R ,

516 0d n .

X

Y

11

R

Q

–1 2xy = — 1 – x2

10 32y = —x – — 9 9


96


Autoevaluación

Página 217

1 Dibuja la grá�ca de una función f de la que sabemos:

∞l mí8x +

f (x) = +∞, ∞

l mí8x –

f (x) = –3, l mí8x 3–

f (x) = – ∞

f ' (–5) = 0; f ' (0) = 0; f (–5) = 0; f (0) = 2

Tiene tangente horizontal en los puntos (–5, 0) y (0, 2). En el primero tiene un máximo, y en el segun-do, un punto de in�exión.

–3

2

X

Y

–3–5

2 Describe la grá�ca de la siguiente función:

2–2

•E do iniodedefinici nesÁ – {–2, 2}.

Es una función impar, continua y derivable en su dominio.

• ienedosas ntotas ertica es: asrectasx = –2 y x = 2.

l mí8x 2– –

f (x) = + ∞; l mí8x 2– +

f (x) = – ∞

l mí8x 2–

f (x) = + ∞; l mí8x 2+

f (x) = – ∞

La recta y = 0 es la asíntota horizontal de la función cuando x → ± ∞.

•Escrecienteen osinter a os ) ) )

3 ¿Tiene f (x) = x 3 + 2x + 4 máximos y/o mínimos? ¿Y algún punto de in�exión? Estudia su curva-tura y represéntala.

f (x) = x 3 + 2x + 4

• f ' (x) = 3x 2 + 2

f ' (x) = 0 → 3x 2 = –2 → no tiene solución.

f ' (x) > 0 para todo x → f (x) es creciente.


• f '' (x) = 6x

f '' (x) = 0 → 6x = 0 → x = 6


97


Signo de f '' (x):

0

f '' > 0f '' < 0


• de ás ∞

l mí8x –

f (x) = – ∞; ∞

l mí8x +

f (x) = + ∞

• Gráfica:

–2

4

4 Estudia las asíntotas y los puntos singulares de cada una de las siguientes funciones y represéntalas grá�camente:

a) f (x) = x

x4

62 +

b) f (x) = x

x x3

6 5–

–2 +

a)• o inio:Á• s ntotas:

No tiene asíntotas verticales, ya que x 2 + 4 ≠ 0.

Horizontales: y = 0, ya que ∞

l mí±8x x

x4

62 +

= 0.

Posición , ( ), ( )

88

x f xx f x

00

Si ∞Si ∞–

><

+


f ' (x) = ( )

( ) ·( )x

x x xx

x4

6 4 6 24

6 24– –2 2

2

2 22

++ =

++

f ' (x) = 0 → – 6x 2 + 24 = 0 , ( ) /

, ( ) /x fx f

2 2 3 22 2 3 2– – –= =

= =

Signo de f ' (x):

–2

f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0

2

Mínimo: ,223– –c m. Máximo: ,2

23c m.

• e resentaci n:

–1–2 1

1

X

Y

2


98


b)• o inio:Á – {3}

• s ntotas ertica es:x = 3, porque l mí8x 3 x

x x3

6 5–

–2 + = ± ∞.

Posición l m

xx x

l mx

x x

36 5

36 5

–– ∞

–– – ∞

í

í

8

8

x

x

3

2

3

2

–+ = +

+ =+


No tiene, porque ∞

l mí8x + x

x x3

6 5–

–2 + = + ∞ y ∞

l mí8x – x

x x3

6 5–

–2 + = – ∞.


Expresamos la función de la forma i isor

i idendo cocientedivisorresto= +

x

x x xx3

6 5 33

4–

– ––

–2 + = + → y = x – 3 es asíntota oblicua.

Posición , ( ), ( )

88

x f x xx f x x

33

Si ∞ –Si ∞– –

<>

+

X

Y

1 3


y' = ( )

( ) ( ) ( )( )x

x x x xx

x x3

2 6 3 6 53

6 13–

– – – ––

–2

2

2

2+ = +

y' = 0 → x 2 – 6x + 13 = 0 → x = ±2

6 16– (no tiene solución).

Signo de y' : la derivada es positiva en todo el dominio. La función es creciente. No tiene máximos ni mínimos.

Corta a los ejes en los puntos ,035–c m, (1, 0) y (5, 0).

X

Y

1 3

y = x

– 3

5 Representa la función f (x) = x

xxx

42

22

––

sisi ≥

<2* . Indica sus intervalos de crecimiento y decrecimien-

to y sus extremos.

Para x < 2, la grá�ca es una parábola con vértice en (0, 4).

Para x > 2, es una recta.

f ' (x) = x x

x2

122

– sisi

<>

) No es derivable en x = 2.

f ' (x) = 0 → –2x = 0 → x = 0

f (0) = 2 ( ) ( ∞, ) ( , ∞) .

( , ) .f x 0 2

0 2es creciente en –

Es decreciente en, +


99


Tiene un máximo en el punto (0, 4) y un mínimo en (2, 0).Representación:

X

Y

11–2

6 Halla los máximos y los mínimos de f (x) = x x 3+ . Indica si tiene asíntotas y represéntala grá�-camente.

f (x) = x x 3+ o inio )

• a a os os untossin u ares:

f ' (x) = · ( )x xx x

x xx

x32 3

12 3

2 32 33 6+ +

+=

++ + =

++

f ' (x) = 0 → 3x + 6 = 0 → x = –2, f (–2) = –2

Signo de f ' : –2

f ' < 0 f ' > 0

La función tiene un mínimo en (–2, –2).• a unci nnotieneas ntotas:

∞

l mí8x +

f (x) = + ∞; ∞

l mí8x +

( )x

f x = + ∞

•Gráfica:

X

Y

–2–2

2

1–3

7 Dibuja la grá�ca de f (x) = | x + 3 | + | x – 1 |.

f (x) = | x + 3 | + | x – 1 |• Six < –3: –x – 3 – x + 1 = –2x – 2

• Si x < 1: x + 3 – x + 1 = 41

–x – 3 x + 3

–x + 1 x – 1–3

• Six ≥ 1: x + 3 + x – 1 = 2x + 2

f (x) = ≤≥

x

x

xx

x

2 242 2

33 1

1

– – si –si –si

<<

+*

X

Y

–1–31

3

1 3


100


8 Calcula los puntos de corte con los ejes y los puntos singulares de la función y = ln (–x 2 + 1). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y esboza la grá�ca.

•Dominio = (–1, 1) → y es una función par.

• f (x) = 0 → f (x) = –x 2 + 1 = 1 → x = 0

El único punto de corte con los ejes es (0, 0).

• f ' (x) = x

x1

2–2 = 0 → x = 0

f '' (x) = – ( )

( )x

x1

2 1–2 2

2 + < 0 para todo x.

Por tanto, (0, 0) es un máximo.

• f tiene dos asíntotas verticales en x = –1 y x = 1.

–1 1

1

–1

–2

Y

X

9 Representa la función f (x) = ( )e

x 1x

2+ .

f (x) = ( )e

x 1x

2+

• o inio Á.• otieneas ntotas ertica es orquee x ≠ 0 para todo x.

•∞

l mí8x +

( )e

x 1x

2+ = 0 → y = 0 es asíntota horizontal hacia + ∞ → f (x) > 0

∞

l mí8x –

( )e

x 1x

2+ = + ∞ → No tiene asíntota horizontal hacia – ∞.


f ' (x) = ( )

( ) ( ) ( )e

x e x ee

x xe

x2 1 1 2 2 1 1– – –x

x x

x x2

2 2 2+ + = + + = +

f ' (x) = 0 → –x 2 + 1 = 0 , ( )

, ( )

x f ex f

1 1 4

1 1 0– –

= =

= = Signo de f ' :

–1 1

f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0


101


Mínimo: (–1, 0). Máximo: ,e

1 4d n•Gráfica:

1

2

X

Y

1–1–2 2

10 ¿Qué grá�ca corresponde a f (x) = | |x

x 1+ ?

f (x) = | |x

x xx

xx

x

x1

1

1

0

0

–si

si

<

>+ =

+

+

Z

[

\

]]

]]

l mx

x

l mx

x

1 1

1 1

––í

í

8

8

x

x

– ∞

∞

+ =

+ =+

_

`

a

bb

bb

• s ntota ertica :x = 0• s ntotas ori onta es:y = –1 e y = 1La grá�ca de f es la primera.

1

Bloque II. Análisis BACHILLERATOMatemáticas aplicadas a las


Autoevaluación

Página 242


a) ∞

l mí8x +

10x 2 – x x5 1–6 +

b) ∞

l mí8x – ( )log x

e1

x

2 +

c) ∞

l mí8x +

x x2 1 4 1– 2+ +` j

a) ∞

l mí8x +

10x 2 – x x5 1–6 + = (+ ∞) – (+ ∞) = ∞

l mí8x +

( ) ( )x x x

x x x x x x10 5 1

10 5 1 10 5 1–

– – –2 6

2 6 2 6

+ ++ =+ +

= ∞

l mí8x +

( )x x xx x x

10 5 1100 5 1

–– –

2 6

4 6

+ ++ =

= ∞

l mí8x + x x x

x x x10 5 1

100 5 1–

– –2 6

6 4

+ ++ + = – ∞

b) ∞


e1

x

2 + =

( ∞)( )0 0+

=

c) ∞

l mí8x +

x x2 1 4 1– 2+ +a k = (+ ∞) – (+ ∞) = ∞

l mí8x +

( ) ( )x x

x x x x2 1 4 1

2 1 4 1 2 1 4 1–2

2 2

+ + ++ + + + + =

= ∞

l mí8x +

( ) ( )x x

x x2 1 4 1

2 1 4 1–2

2 2

+ + ++ + =

= ∞

l mí8x + x x

x2 1 4 1

42+ + +

= 2 2

4 1+

=

2 Dada la función:

f (x) = ax

xx x

x

x

3

16 5

1

1

–

––

si ≤

si >2 +*

determina el valor del parámetro a para el cual la función es continua en todo su dominio.

La función está de�nida por intervalos mediante funciones continuas en sus respectivos intervalos de de�nición. Estudiamos qué ocurre en el punto de ruptura x = 1.

f (1) = a – 3

l mí8x 1

f (x) =

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

8

l m ax a

l mx

x x l mx

x x l m x

3 3

16 5

00

11 5 5 4

– –

––

–– – – –

í

í í í

8

8 8 8

x

x x x

1

1

2

1 1

–=

+ = = = =+ + +

* 4 → a – 3 = – 4 → a = –1

Cuando a = –1 la función es continua en x = 1 porque f (1) = l mí8x 1

f (x) y, por tanto, es continua en todo su dominio.

BACHILLERATOBloque II. Análisis

2


3 Sea la función f (x) = ( )

( )

ax

x b x

x

x21 12

1

1

1

–

– –

si –

si ≥ –

<2 +

* .

a) Halla los valores de a y de b para que la función sea derivable en x = –1.

b) Para a = 1 y b = –1 obtén la ecuación de la recta tangente a f (x) en el punto de abscisa x = –2.

a) Para que sea derivable en x = –1, primero debe ser continua:

l mí8x 1–

f (x) = ( )

[ ( )]8

l m ax a

l m x b x ba b

21 12 2

1 6

1 1 2 21 6 1 2

– – –

– – – –– – – –

í

í

8

8

x

x

1

12

–

–

–=

+ ==

+

< F* 4 Además, las derivadas laterales en x = –1 deben ser iguales:

f ' (x) = ( )

( )

'

'8 8

a

x b

x

x f b

f aa b2

2

1

1 1 2

1 22

2–

si –

si – –

–<

>

–

+ = +

== +

+* * 4

Resolvemos el siguiente sistema para obtener los valores pedidos:

a b

a b

21 6 1 2

22

– – – –=

= +

_

`

a

bb

bb → a = 18, b = 7

b) Si a = 1, se tiene que f ' (x) = 21 cuando x < –1. Por tanto:

x = –2, f (–2) = ( )21 2 12 7– – –= , f ' (–2) =

21

Y la ecuación de la recta tangente es y = –7 + ( )x21 2+ .

4 Considera la función f (x) = lnx ax

x bxx

3 11

– si ≤si >

2

2+

+* .

Determina los valores de los parámetros a y b para los cuales la función f (x) es derivable en todo Á.

La función está de�nida por intervalos mediante funciones continuas y derivables en sus respectivos intervalos de de�nición. Estudiamos qué ocurre en el punto de ruptura x = 1. Para que sea derivable en x = 1, primero debe ser continua.

f (1) = a – 2

l mí8x 1

f (x) = ( )

( )8

ln

l m x ax a

l m x b ba b

3 22

– ––

í

í

8

8

x

x

12

12

–+ =

+ ==

+

* 4Además, las derivadas laterales en x = 1 deben ser iguales.

f ' (x) = ( )( )

''

8 8 8x a

x

x

xf af

a a22

1

11 21 2

2 2 0si

si

<

>

–+ = +=

+ = =+* * 4

Así obtenemos que b = –2.

Para a = 0 y b = –2 la función es continua y derivable en todo Á.


3


5 Dada la función f (x) = xx x

x a

xxx

26 12

2

0 22 44 8

––


<<2

++

+* .

a) Calcula el valor de a para que la función sea continua en el intervalo [0, 8].

b) Halla los máximos y mínimos absolutos de f (x) en el intervalo [0, 4]. Justi�ca que los puntos obtenidos son máximos y mínimos absolutos.

c) Calcula el área de la región del plano limitada por las rectas y = 0, x = 0, x = 3 y la grá�ca de f (x).

a) La función está de�nida por intervalos mediante funciones continuas y derivables en sus respectivos intervalos de de�nición.

•Enx = 2 la función es continua ya que:

f (2) = 4

l mí8x 2

f (x) =

( )

( )8

l m

l m

x

x x

2 4

6 12 4–

í

í

8

8

x

x

2

22

–=+

+ =+

* 4 f (2) = l mí8x 2

f (x)

•Estudiamoslacontinuidadenx = 4:

f (4) = – 8 + a

l mí8x 4

f (x) = (

( )

)8

l m

l m

x x

x a a

6 12 4

2 8

–

– –

í

í8

8

x

x

4

4

2–

+ =

+ = ++

* 4 4 = – 8 + a → a = 12

La función es continua en [0, 8] cuando a = 12.

b) Hallamos la derivada en el intervalo [0, 4]:

f ' (x) = xxx

12 6

0 22 4–

sisi

< << <

)

f (x) tiene un punto singular en x = 3.

Crecimiento y decrecimiento:

4

f ' > 0 f ' > 0f ' < 0

0 32

Evaluamos en los posibles extremos absolutos:

x = 0 → f (0) = 2

x = 2 → f (2) = 4

x = 3 → f (3) = 3

x = 4 → f (4) = 4

Del comportamiento de la función y de los resultados anteriores se deduce que el punto (0, 2) es un mínimo absoluto; y que los puntos (2, 4) y (4, 4) son máximos absolutos.

c) Área = ( ) ( )x dx x x dx x x x x x2 6 122

23

3 12 6 18344

328– – –0

2 223 2

0

2 3 2

2

3

+ + + = + + + = + =c m= =G Gy y u2

6 Halla el valor de a, b y c para que y = x 3 + ax 2 + bx + c tenga un punto de in�exión en (0, 1) y la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto sea 2.

Punto de in�exión en (0, 1) → ( )( )''

yy

0 10 0

==

*


4


La pendiente de la recta tangente en x = 0 es 2 → y' (0) = 2y' (x) = 3x 2 + 2ax + b ; y' (0) = 2 → b = 2 y'' (x) = 6x + 2a ; y'' (0) = 0 → a = 0y (0) = 1 → c = 1La función es y = x 3 + 2x + 1.

7 La función y = f (x) tiene las siguientes propiedades:

• Á – {–1, 1}. Es continua en todo su dominio y corta el eje X en x = 2.

• y = 0 con f (x) < 0 si x > 2 y f (x) > 0 si x < 2, x ≠ 1, x ≠ –1.

• x = 1 con l mí8x 1+

f (x) = +∞; l mí8x 1–

f (x) = +∞.

• x = –1 con l mí8x 1– +

f (x) = +∞; l mí8x 1– –

f (x) = +∞.

•

Representa gráficamente la función.

X

Y

1 4–11

8 Sea f (x) = x x 1–2 + . Determina su dominio, asíntotas, extremos relativos y estudia su monoto-nía. Luego, dibuja la grá�ca de f

•Eldominiodelafunciónestáformadoporlosvaloresdex para los cuales x 2 – x + 1 ≥ 0, es decir, todo Á. Es continua en todo su dominio.

•Asíntotashorizontales:

∞

l mí8x +

x x 1–2 + = + ∞ → No tiene.

•Asíntotasoblicuas:

m = ∞

l mí8x + x

x x 1 1–2 + =

n = ∞

l mí8x +

( ) ( ∞) ( ∞)x x x1– – –2 + = + + = ∞

l mí8x +

( ) ( )x x

x xx

x x x x1

1 1–

– – –2

2 2

++

++ + =

= ∞

l mí8x + x x

xx1

121

–– –

2 ++ =

+

La recta y = x – 21 es la asíntota oblicua cuando x → + ∞.

m = ∞

l mí8x – x

x x 1–2 + = ∞

l mí8x + x

x x 1–

2 + + = –1

n = ∞

l mí8x –

( )x x x1–2 + + = ∞

l mí8x +

( )x x x1 –2 + + = (+ ∞) – (+ ∞) =

= ∞

l mí8x +

( ) ( )x x

x xx

x x x x1

1 1–2

2 2

+ ++ +

++ + + =

= ∞

l mí8x + x x

xx1

121

2 + ++ =

+

La recta y = –x + 21 es la asíntota oblicua cuando x → – ∞.


5


• Puntossingulares:

f ' (x) = x x

x1

2 1–

–2 +

f ' (x) = 0 → 2x – 1 = 0 → x = 21

x = 8 f21

21

23=c m

•Crecimientoydecrecimiento:

f ' > 0f ' < 0

1—2

El punto ,21

23e o es un mínimo.

La función es decreciente en el intervalo ∞,21–c m y es creciente en , ∞

21 +c m.

•CortaalejeYenelpunto(0,1).NocortaalejeX.

2 4–4–6 –2

2

4

6

–2

Y

X

1y = –x+— 2

1y = x – — 2

1 √—3(—, —) 2 2

9 Dada la función f (x) = (3x – 2x 2) e x:

a) Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) Halla los extremos relativos.

c) Encuentra los puntos de corte con los ejes.

d) Halla sus asíntotas y sus ramas parabólicas.

e) Represéntala en unos ejes coordenados.

a) f ' (x) = (3 – 4x)e x + (3x – 2x 2)e x = e x(–2x 2 – x + 3)

f ' (x) = 0 → e x (–2x 2 – x + 3) = 0 → –2x 2 – x + 3 = 0 → x = 23– , x = 1


f ' < 0 f ' < 0f ' > 0

1–3—2

La función decrece en los intervalos ∞,23– –c m y (1, + ∞) y crece en ,

23 1–c m.

b) x = , f e e23

23 3

23 2

23 9– – – – – –/ /

23 2 3 2– –= =c c cm m m> H

x = 1, f (1) = e

El punto , e23 9– – /3 2–c m es un mínimo. El punto (1, e) es un máximo.

c) x = 0 → f (0) = 0

y = 0 → (3x – 2x 2)e x = 0 → 3x – 2x 2 = 0 → x = 0, x = 23


6


d) La función es continua y derivable en todo Á. No tiene asíntotas verticales.

Asíntotashorizontales:

∞

l mí8x +

[(3x – 2x 2)e x] = – ∞

Tiene una rama parabólica cuando x → + ∞ ya que:

∞

l mí8x +

( )x

x x e3 2– x2 =

∞l mí8x +

[(3 – 2x )e x] = – ∞

∞

l mí8x –

[(3x – 2x 2)e x] = 0 porque la función exponencial tiende a 0 y es de orden superior a cual-

quier polinomio. Por tanto, la recta y=0esunaasíntotahorizontalcuandox → – ∞. Además, lafunciónquedapordebajodelaasíntotahorizontal.

e)

2–4 –2–2

4

2

–4

–6

Y

X–6–8

10 Dada la función f (x) = ln x

x , determina su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y

decrecimiento y extremos relativos. Represéntala.

•Eldominiodedefiniciónes(0,1)ø (1, + ∞) para que el denominador se pueda evaluar y no se anule.

•Asíntotasverticales:

l mí8x 0+ ln x

x = 0 ya que un polinomio es de mayor orden que un logaritmo.

∞

ln

ln

l mx

x

l mx

x

∞–í

í

8

8

x

x

1

1

–=

= ++

4 La recta x = 1 es la asíntota vertical.


∞

l mí8x + ln x

x = + ∞ → No tiene.


m = ∞

l mí8x +

lnx

xx

= ∞

l mí8x + ln x

1 = 0 → No tiene.

•Esderivableentodosudominio.

f ' (x) = ( )lnln

xx 1–

2

f ' (x) = 0 → ln x – 1 = 0 → x = e

x = e → f (e ) = e


f ' < 0 f ' > 0f ' < 0

0 e1

Es decreciente en los intervalos (0, 1) y (1, e ) y creciente en (e, + ∞).


7


El punto (e, e ) es un mínimo.

1 e

e

Y

X

11 El coste total por producir x unidades de un artículo es C (x) = 31 x 2 + 6x + 192. Se de�ne la

función coste medio por unidad como Cm(x) = ( )x

C x

que el coste por unidad sea mínimo?

Cm (x) = xx3

1 6 192+ +

Tenemos que calcular el mínimo de esta función.

C 'm (x) = x3

1 192– 2

C 'm (x) = 0 → x3

1 192 0– 2 = → x = –24 (no vale), x = 24

Comprobamos si es un mínimo mediante la derivada segunda:

C ''m (x) = x

3843 → C ''m (24) =

24384

3 > 0 → En x=24hayunmínimo.

En conclusión, se deben producir 24 unidades para que el coste medio por unidad sea mínimo.

12 3. Para la tapa y la super�cie lateral, usamos un determinado material, pero para la base, debemos emplear un material un 50 % más caro. Halla las dimensiones de este envase para que su precio sea el menor posible.

Llamemos x al lado de la base e y a la altura del prisma regular.

Por una parte, 80 = x 2y.

Si p es el precio por centímetro cuadrado del material usado para la tapa y la super�cie lateral, 1,5p es el precio por centímetro cuadrado del material usado para la base.

El coste del material es C = 1,5px 2 + 4pxy + px 2 = p (2,5x 2 + 4xy ).

Delaecuacióndelvolumendespejamosy para sustituir en el coste:

y = ,8x

C p xx

80 2 5 3202

2= +c mBuscamoslasdimensionesquehacenmínimoelcoste:

C ' = p xx

5 320– 2e o

C ' = 0 → xx

5 320– 2 = 0 → x 3 = 64 → x = 4

Estudiando el signo de la derivada primera a ambos lados del punto singular vemos que, efectivamen-te, es un mínimo.

x = 4, y = 480 52 =

Por tanto, para que el precio sea el menor posible, el prisma regular debe tener una base de 4 cm de lado y una altura de 5 cm.


8


13 Resuelve las siguientes integrales:

a) y x

x dx3 – 2 b) y

xx dx

13

2

+

c) y x

x x dx2

5 8–

–2 + d) y 2e 1 – 3x dx

a) y x

x dx3 – 2 = y

xdx3 – y x dx

x3

2= y

xdx1 – y x dx = 3ln | x | – x k

22

+

b) y x

x dx13

2

+ =

31 y

( )xx dx1

331

/3 1 2

2

+= y 3x 2(x 3 + 1)–1/2 dx =

/( )x k x k

31

1 21

32 1

/3 1 23+ + = + +

c) y x

x x dx2

5 8–

–2 + = y | |lnxx

dx x x x k32

22

3 2 2––

– –2

+ = + +c m

d) y 2e 1 – 3x dx = 32– y (–3)e 1 – 3x dx = e k

32– x1 3– +

14 Representa el recinto limitado por las grá�cas de las funciones y = x 3 – 3x e y = x. Después, calcula su área.

La grá�ca de y = x 3 – 3xcortaalosejesenlospuntos(0,0),( 3, 0) y (– 3, 0).Tiene un máximo en (–1, 2) y un mínimo en (1, –2).Puntos de corte entre las funciones:

y x xy x

3–3==

4 x 3 – 3x = x → x 3 – 4x = 0 → x = 0, x = –2, x = 2

(2, 2)

(–2, –2) y = x3 – 3x

y = x

X

Y

2–2

2

–2

El recinto es simétrico.

Área = ( ) [ ( )] ( )x x x dx x x x dx x x dx x x3 3 2 4 2 24

– – – – – –32

0 30

2 30

2 2 4

0

2

–+ = = = Gy y y = 8 u2

15 Calcula el área limitada por la función y = ( )xx

31

–– 2

, el eje X y las rectas x = –2 y x = 1.

Representamos la función y = ( )xx

31

–– 2

:

•Asíntotavertical:x = 3 , ∞, ∞

88

x yx y

33

Si –Si

<> +

•Asíntotaoblicua:y = x + 1 , ( )

∞, ( )88

x f x xx f x x

11

Si ∞Si –

><

++

+

• y' = ( )

( ) ( ) ( )( )x

x x xx

x x3

2 1 3 13

6 5 0–

– – – ––

–2

2

2

2= + =

, ( ), ( )

x fx f

5 5 81 1 0

= == =

Signo de y' :

Máximo: (1, 0) Mínimo: (5, 8)

3 5

y ' < 0 y ' < 0 y ' > 0y ' > 0

1


9


(x – 1)2y = –––––––– x

y = x

X

Y

x =

1

x =

–2

– 3

Área = ( ) | |lnxx dx x

xdx x x x

31 1

34

24 3

––

––

2

2

1

2

1 2

2

1

– – –= + + = + + =c m = Gy y

= ≈ ,ln ln23 4 2 4 5 2 17–+c m u2

16 Escribe la expresión analítica de la función f (x) de la que conocemos: f '' (x) = 3; f ' (1) = 0 y f (1) = 5.

f '' (x) = 3 → f ' (x) = dx x k3 3= +y ; f ' (1) = 0 → 3 + k = 0 → k = –3

f ' (x) = 3x – 3 → f (x) = ( )x dx x x3 32

3 3– –2

=y + k'

f (1) = 5 → 23 – 3 + k' = 5 → k' = 8 –

23

213=

f (x) = x x2

3 3213–

2+

17 Sea la función f (x) = x + xa3 donde a es una constante:

a) Encuentra una primitiva de f.

b) Si F es una primitiva de la función f, ¿puede serlo también G (x) = F (x) + 2x?

c) Halla a sabiendo que ( ) ,f x 1 51

2=y .

a) F (x) = ·xxa dx x a x x

xa

2 2 2 2––3

2 2 22

–+ = + =c my

b) G (x) = xxa x

2 22–

22 + → G' (x) = x

xa 23+ +

G no es una primitiva de f porque G' (x) ≠ f (x).

c) ( ) , 8 8f x xxa a a

2 21 5

23

83

23 0–

1

2 22

1

2= = + = == Gy

1

Unidad 9. Integrales BACHILLERATOMatemáticas aplicadas a las


Resuelve

Página 219

Dos trenesUn tren de pasajeros y un tren de mercancías salen de la misma estación, por la misma vía y en idén-tica dirección, uno tras otro, casi simultáneamente.

Estas son las grá�cas TIEMPO-VELOCIDAD que describen ambos movimientos:

1 2 3 4

TIEMPO(en horas)

TREN DE PASAJEROSTREN DE MERCANCÍAS

120

100

80

60

40

20

VELOCIDAD(en km/h)

Como podemos ver en la grá�ca, el tren de pasajeros, a las dos horas reduce su velocidad:

— ¿A qué puede deberse?

— ¿Por qué no aminora la marcha también el otro tren en ese instante?

A las tres horas, ambos trenes modi�can su marcha: el tren de pasajeros se detiene durante breves minutos, mientras que el tren de mercancías va muy despacio durante media hora.

■ Para hacernos una idea clara de estos movimientos, realicemos algunos cálculos:

a) El tren de pasajeros, durante 2 h, va a 120 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorre a esa velocidad?

b) De 2 a 241 , el tren de pasajeros disminuye su velocidad.

¿Cuántos kilómetros recorre a esa velocidad?

c) El tren de mercancías aminora la marcha a las 3 h. ¿Qué distancia ha recorrido hasta ese mo-mento?

d) ¿Qué distancia recorre el tren de mercancías durante la media hora en que va a baja velocidad?

Haciendo los cálculos anteriores, podrás comprobar que:

Ambos trenes recorren 240 km a velocidad normal. Reducen la velocidad en el mismo lugar y re-corren, así, otros 15 km (puede ser debido a obras en la vía) y, a continuación, recupera cada cual su velocidad normal. (es decir, el tren de mercancías no frena cuando el de pasajeros, pero sí donde el tren de pasajeros). Más adelante, el tren de pasajeros para en una estación.

e) ¿A qué distancia de la estación de salida está esta otra en la que para el tren de pasajeros?

f ) Observa que en todos los cálculos que has realizado hasta ahora se han obtenido áreas bajo las grá�cas, roja o azul. Señala en tu cuaderno los recintos cuyas áreas has calculado y asigna a cada uno su área correspondiente.

BACHILLERATOUnidad 9. Integrales

2


a) 120 · 2 = 240 km.

b) A 60 km/h durante 41 de hora, recorre

460 = 15 km.

c) Ha ido a 80 km/h durante 3 horas, luego ha recorrido 80 · 3 = 240 km.

d) Va a 30 km/h durante 21 hora, luego recorre 30 ·

21 = 15 km.

e) La parada la hace a las 3 horas; en este momento lleva recorrida una distancia de:

120 · 2 = 240 km en las dos primeras horas

60 · 41 = 15 km el siguiente cuarto de hora

120 · 43 = 90 km los siguientes tres cuartos de hora

Total: 240 + 15 + 90 = 345 km hasta llegar a la parada.

f )

1 2 3 4TIEMPO (horas)

TIEMPO (horas)

120

100

80

60

40

20

VELOCIDAD (km/h)

VELOCIDAD (km/h)

1 2 3 4

80

60

40

20

Área 240

Área 240

Área 15

Área 90

Área 15

PASAJEROS

MERCANCÍAS


3


1 Primitivas. Reglas básicas para su cálculo

Página 221

1 Calcula las siguientes integrales:

a) y 7x 4 dx b) y x

dx12

c) y x3 dx d) y x5 23 dx

e) y x

x x3

53 3+ dx f ) y x

x3

53

3 dx

a) y 7x 4 dx = x k x k75 5

75 5+ = +

b) y x

dx12 = x dx x k

xk

11

––2 1– –

= + = +y

c) y x3 dx = /

x dx x k x k43

4 3/ /1 433 4 3

= + = +y

d) y x5 23 dx = /

x dx x k x k5 55 3 5

3 5/ /3 2 3 3 5 3 53= + = +y

e) y x

x x3

53 3+ dx = x

x dxxx dx x dx x dx

3 35

31

35/ /

/ /1 3 3 22 3 1 2–+ = + =yyyy

= / /

x x k x x k31

1 3 35

3 2 92 5/ /1 3 3 2 3

3+ + = + +

f ) y x

x3

53

3 dx =

/·· dx x dx x k k

xx x

35

35

35

13 6 13 36 5/ /

/

/

3 37 6

313 6

31 3

3 2 136= = + = +yy

2 Calcula:

a) y x

x x x dx5 3 4– –4 2 + b) y (5 cos x + 3 x) dx

c) y x

x x x dx7 5 3 4– –2

4 2 + d) y (10 x – 5 x) dx

a) y x

x x x dx5 3 4– –4 2 + = | |lnx xx

dx x x x x k5 3 44 2

5 3 4– – – –3 4 2+ = + +c my

b) y (5 cos x + 3 x) dx = cosln

x dx dx sen x k5 3 53

3x x+ = + +yy

c) y x

x x x dx7 5 3 4– –2

4 2 + = xx dx

xx dx

xx dx

xdx7 5 3 4– –2

4

2

2

2 2+ =f e e ep o o oy yyy

= | |lnx dx dxx

dxx

dx x x xx

k7 5 3 43

7 5 3 4– – –22

3+ = + + +yyyy

d) y (10 x – 5 x) dx = ln ln

dx dx k10 510

105

5– –x x x x= +yy


4


Página 223

3 Halla las primitivas de estas funciones:

a) f (x) = (x 3 – 5x + 3)2 (3x 2 – 5)

b) f (x) = (5x + 1)3

c) f (x) = x x

x3

3 3–

–3

2

d) f (x) = x xx

31

––

3

2

e) f (x) = cos x sen 3 x

a) ( ) ( ) ( )x x x dx x x k5 3 3 535 3– – –3 2 2

3 3+ = + +y

b) ( ) · ( ) ( )x dx x k x k5 151

45 1

205 13

4 4+ = + + = + +y

c) yx xx

33 3

––

3

2 dx = ln | x – 3x | + k

d) yx xx

31

––

32

dx = | |ln x x k31 3–3 +

e) y cos x sen 3 x dx = sen x k44

+

4 Busca las primitivas de:

a) f (x) = x 2x 2 ln 2

b) f (x) = x 2x 2

c) f (x) = 23x – 5

d) f (x) = sen 3x

e) f (x) = sen (x 3 – 4x 2) (3x 2 – 8x)

f ) f (x) = cossen x

x

a) y x 2x 2 ln 2 dx = · k k21 2

22x x2

2

+ = +

b) y x 2x 2 dx = ·

ln lnk k

2 21 2

2 22x x2

2

+ = +

c) y 23x – 5 dx = ·ln ln

k k3 2

1 23 22x x3 5 3 5– –

+ = +

d) y sen 3x dx = cos x k31 3– +

e) y sen (x 3 – 4x 2) (3x 2 – 8x) dx = –cos (x 3 – 4x 2) + k

f ) y cossen x

x dx = ln | sen x | + k


5


2 Área bajo una curva. Integral de�nida de una función

Página 225

1 Halla:

a) x dx1

5y

b) ( )x dx16 4– – – 20

49 Cy

c) x dx21 2–

0

6c my

a)

–1 1 2 3 4 5 X

–1

1

2

3

4

5Y

La integral pedida coincide con el área del trapecio coloreado. Por tanto:

·x dx2

5 1 4 121

5= + =y

b) La función que se integra se corresponde con la semicircunferencia centrada en el punto (4, 0) de radio 4 que se encuentra debajo del eje X.

1 2 3 4 5 6 7 8X

–1

–2

–3

–4

Y

Por tanto: ( ) π · π ,x dx16 444 4 12 57– – – – – –2

0

4 2= = =9 Cy

c)

1 2–2 –1 3 4 5 6 X–1

1

–2

–3

Y

La integral buscada es la suma algebraica de los dos recintos teniendo en cuenta que uno es negativo por estar situado debajo del eje X. Por tanto:

· ·x dx21 2

24 2

22 1 3– – –

0

6= + =c my


6


3 Función “área bajo una curva”

Página 228

1 Halla e interpreta estas integrales:

a) π

0

4y sen x dx b) 2

2

–y (x 2 – 4) dx

a) G (x) = cossen x dx x–=y G (4π) = –1; G (0) = –1

( )sen x dx 1 1 1 1 0– – – –π

0

4= = + =y

Interpretación geométrica:

2π

Iy = sen x

II

III

IV3π 4ππ

La parte positiva y la parte negativa son iguales; por eso da como resultado 0:

Área de I – Área de II + Área de III – Área de IV = 0

b) G (x) = ( )x dx x x43

4– –2 3=y

G (2) = 316– ; G (–2) =

316

( )x dx4316

316

332– – – –2

2

2

–= =y

Interpretación geométrica:

2

y = x 2 – 4

–2

–4

Como queda por debajo del eje X, la integral es el área del recinto señalado con signo negativo, es decir:

–Área del recinto = 332–

2 Halla la siguiente integral e interprétala geométricamente: e dxx0

2yG (x) = e dx ex x

0

2=y

G (2) = e 2; G (0) = 1

≈ ,e dx e 1 6 39–x0

2 2=yLa interpretación geométrica puede verse a la derecha:

Área del recinto = e 2 – 1 ≈ 6,39 1 2

y = ex

–1–2

8


7


4 Cálculo del área entre una curva y el eje X

Página 230

1 Halla el área de la región comprendida entre la función y = (x 2 – 1)(x 2 – 4), el eje X y las rectas x = 0, x = 5.

• PuntosdecorteconelejeX:

(x 2 – 1)(x 2 – 4) = 0 → x1 = –2, x2 = –1, x3 = 1, x4 = 2

Solo nos sirven x = 1, x = 2 (están entre 0 y 5).

•Haytresrecintos: [0,1]; [1,2]; [2,5]

•G (x) = ( ) ( ) ( )x x dx x x dx x x x1 4 5 45 3

5 4– – – –2 2 4 2 5 3= + = +y y

•G(0) = 0; G(1) = 1538 ; G(2) =

1516 ; G(5) =

31310

• readelrecinto =|G(1) – G(0)| = 1538

Área del recinto II = |G(2) – G(1)| = 1522

1522– =

Área del recinto III = |G(5) – G(2)| = 5

2178

Área total = 1538

1522

52178

52198+ + = = 439,6 u2

2 Halla el área comprendida entre y = x 3 – x 2 – 2x y el eje X.

• PuntosdecorteconelejeX:

x 3 – x 2 – 2x = 0 → x (x 2 – x – 2) = 0 → x1 = –1, x2 = 0, x3 = 2

•Haydosrecintos: [–1,0]; [0,2]

•G(x) = ( )x x x dx x x x24 3

– – – –3 2 4 3 2=y

•G(–1) = 125– ; G(0) = 0; G(2) =

38–

• readelrecinto =|G(0) – G(–1)| = 125

Área del recinto II = |G(2) – G(0)| = 38

Área total = 125

38

1237+ = ≈ 3,08 u2


8


5 Cálculo del área comprendida entre dos curvas

Página 231

1 Halla el área encerrada entre las grá�cas de las funciones siguientes:

f (x) = x 3 – x 2 + 4

g (x) = x 2 + 3x + 4

• f (x) – g (x) = x 3 – x 2 + 4 – x 2 – 3x – 4 = x 3 – 2x 2 – 3x

• x 3 – 2x 2 – 3x = 0 → x (x 2 – 2x – 3) = 0 → x1 = –1, x2 = 0, x3 = 3


•G(x) = ( )x x x dx x x x2 34 3

22

3– – – –3 2 4 3 2=y

•G(–1) = 127– ; G(0) = 0; G(3) =

445–

•Recinto : rea[–1,0]=|G(0) – G(–1)| = 127

Recinto : rea[0,3]=|G(3) – G(0)| = 445

Área total: 127

445

671+ = ≈ 11,83 u2

1 2 3 4

5

10

15

20

25

–1–2–3

I

II


9



Página 232

1. Cálculo de primitivas

Hazlo tú. Calcula las primitivas de las siguientes funciones:

a) f (x) = 3x 3 – 5x 2 + 21 x – 7 b) f (x) =

xx x3 + c) f (x) = (2x 2 + 3)2

d) f (x) = 3e 2x – 1 e) f (x) = x

x1

22 +

f ) f (x) = xx

31

–+

a) y (3x 3 – 5x 2 + 21 x – 7) dx = x x x x k

43

35

47– –

4 3 2+ +

b) yx

x x3 + dx = xx dx

xx dx

xx dx

xx dx x dx x dx/

/

// /

3

1 2

1 3

1 21 6 1 2–+ = + = + =yyyyyy

= / /

x x k x x k5 6 3 2 5

632/ /5 6 3 56 32

+ + = + +

c) y (2x 2 + 3)2 dx = ( )x x dx x x x k4 12 95

4 4 94 2 5 3+ + = + + +y

d) y 3e 2x – 1 dx = e dx e k23 2

23x x2 1 2 1– –= +y

e) yx

x1

22 +

dx = ( )/

( )x x dx x k x k2 11 2

1 2 1//

2 1 22 1 2

2–+ = + + = + +y

f ) yxx

31

–+ dx = | |ln

xdx x x k1

34 4 3–

–+ = + +c my

Página 233

2. Cálculo de primitivas

Hazlo tú. Calcula las siguientes primitivas:

a) yx

dx2 7

1+

b) y ( )x x x dx2 1– –2 c) yx x

x dx3 3 5

2 1–2 +

+

d) y 5xe x 2 dx e) yx

x dx3–

2

a) yx

dx2 7

1+

= | |lnx

dx x k21

2 72

21 2 7

+= + +y

b) y ( )x x x dx2 1– –2 = ( ) ( ) ( )x x x dx x x x dx21 2 2 2 2

1 2 2 2– – – –/2 2 1 2= =y y

= /

( ) ( ) ( )x x k x x k x x k21

3 22

31 2

31 2– – –

//

2 3 22 3 2 2 3+ = + = +

c) yx x

x dx3 3 5

2 1–2 +

+ = | |lnx x

x dx x x k31

3 3 56 3

31 3 3 5

––2

2+

+ = + +y

d) y 5xe x 2 dx = xe dx e k25 2

25x x2 2= +y

e) Dividimos para expresar la fracción así: dD c

dr= +

yx

x dx3–

2= | |lnx

xdx x x x k3

39

23 9 3

––

2+ + = + + +c my


10


Página 234

3. Cálculo de áreas

Hazlo tú. Calcula el área limitada por la curva f (x) = x 3 – 12x y el eje X entre x = –2 y x = 2.

• PuntosdecortedelafunciónconelejeX :

x 3 – 12x = 0 → x = –2 3, x = 0, x = 2 3

El único punto de corte situado entre –2 y 2 es x=0;habrádosrecintos:[–2,0]y[0,2].

• Primitiva: G (x) = ( )x x dx x x124

6––3 4 2=y

G (–2) = ( ) ( )42 6 2 20– – – –

42 = ; G (0) = 0; G (2) = –20

• reas:

( ) ( ) ( )x x dx G G12 0 2 20– – –32

0

–= =9 → rea[–2,0]=20u2

( ) ( ) ( )x x dx G G12 2 0 20– – –30

2= =y → rea[0,2]=20u2

Área total = 20 + 20 = 40 u2

4. Área limitada por y = f (x) y los ejes de coordenadas

Hazlo tú. Calcula el área del recinto limitado por la grá�ca de la función:

f (x) = x xxx

46

11– –

si ≤si >2 +

)

y las rectas x = 0 e y = 0.

1 2–2–3–4 –1 3 4 X–1

1

2

3

4

5

6

–2

Y

El área pedida es la suma de las áreas del rectángulo de base 1 y altura 4 y de la región limitada por la pa-rábola, el eje X y la recta x = 1.

Área del rectángulo = 1 · 4 = 4 u2

Área de la región = ( )x x dx x x x63 2

6613– – – –2

1

2 3 2

1

2

+ = + =9 = G u2

Área total = 4 + 613

637= u2


11


5. Área entre curvas

Hazlo tú. Calcula el área del recinto limitado por las curvas f (x) = –x 2 + 2x + 4 y g (x) = x 2 + 2x – 4.

•Cortesdef (x) y g (x):

–x 2 + 2x + 4 = x 2 + 2x – 4 → x = –2, x = 2

•Entrex = –2 y x = 2, la parábola f (x) está por encima de g (x) porque f (x) está abierta hacia abajo y g (x) lo está hacia arriba.

Área = [ ( )] ( )x x x x dx x dx x x2 4 2 4 2 83

2 8364– – – – –2 2

2

22

2

2 3

2

2

– – –+ + + = + = + =9 = Gy u2

Página 235


Hazlo tú. Halla el área del recinto limitado por las funciones y = x 2 – 4x e y = 5.

Calculamos los puntos de corte:

x 2 – 4x = 5 → x = –1, x = 5

Primitiva de la función diferencia:

G (x) = ( )x x dx x x x5 4 53

2– –2 3 2+ = +y

G (5) = ·5 53

23

1005 5· –3 2+ = ; G (–1) = 5 · (–1) ( ) ( )

31 2 1

38– – – –

32+ =

( ) ( ) ( )x x dx G G5 4 5 13

10038 36– – –2

1

5

–+ = = + =y

Área = 36 u2


Hazlo tú. Calcula el área del recinto limitado por las siguientes funciones:

a) y = x 1+ y = x2

1+ b) f (x) = x22

g (x) = | x |

a)•Calculamoslospuntosdecorte:

,8 8x x x x x x12

1 12

1 1 3–2

+ = + + = + = =c m• Primitivadelafuncióndiferencia:

G (x) = ( ) ( ) ( )x x dx x dx x dx x x x12

1 121 1

32 1

4 2– – – –/1 2 3 2

+ + = + + = +c my yy

G (–1) = ( ) ( )32 1 1

41

21

41– – –3

2+ + = ; G (3) = ( )

32 3 1

43

23

1219– –3 2

+ =

•Calculamoselárea:

( ) ( )x G Gx dx1 3 11219

41

34

21 – – ––

1

3

–+ = = =+c my

Área pedida = 34 u2

b)•Definimosg (x) en intervalos:

g (x) = ≥x

xxx

00

– sisi

<)


12


• Puntosdecortedef y g :

, ( )

,

8

8

x x x x

x x x x

22 0

20 2

– – no vale2

2

= = =

= = =

• Primitivadelafuncióndiferenciaf (x) – g (x):

Si x < 0 → ( )x x dx x x dx x x2 2 6 2

– –2 2 3 2

= + = +e o= Gy y

Si x ≥ 0 → x x dx x x2 6 2

– –2 3 2

=e oy•Calculamoselárea:

x x dx x x2 6 2 3

2–2

2

0 3 2

2

0

– –+ = + =e o = Gy x x x xdx

2 6 2 32– – –

2

0

2 3 2

0

2

= =e o = Gy

Área pedida = 32

32

34+ = u2

Página 236


Hazlo tú. Calcula el área del recinto limitado por las funciones y = x 1

1–

, x > 1; y = 1 y las rectas

x = 1 y x = 4.

La función y = x 1

1–

es una hipérbola desplazada horizontalmente de manera que la asíntota vertical se

encuentra en x = 1.

Puntos de corte entre las dos funciones: 8x

x1

1 1 2–

= =

Eláreapedidapodemosverlaenlasiguientegráfica:

1 2–2–3 –1 3 54 X–1

1

2

3

4

5

6

–2

Y

El área es la suma del área del cuadrado de lado 1 más el área de la región comprendida entre la función

y = x 1

1–

, el eje X y las rectas x = 2 y x = 4.

Área del cuadrado = 12 = 1

Área de la región descrita = | |ln lnx

dx x1

1 1 3–

–2

4

24

= =8 By

Área total = (1 + ln 3) u2


13



Página 237

1. Primitiva que cumple ciertas condicionesHallar una función f (x) de la que conocemos f (0) = 1, f ' (0) = 2 y f '' (x) = 3x.

f ' (x) = ( )''f x dx x dx x k32

3 2= = +yy

f ' (0) = 2 → k = 2 → f ' (x) = x2

3 22

+

f (x) = ( )' 'f x dx x dx x x k2

3 22

22 3

= + = + +e oyy

f (0) = 1 → k' = 1 → f (x) = x x2

2 13

+ +

2. Grá�cas de primitivasHallar una primitiva F (x) de la función f (x) = 2x – 4 tal que su grá�ca corte al eje X en un único punto.

F (x) = ( )x dx x x k2 4 4– –2= +yCuando k = 0 obtenemos una parábola que corta a los ejes en los puntos (0, 0) y (4, 0) y cuyo vértice es elpunto(2,–4).Sugráficaes:

1 2–1 3 54 X–1

1

2

3

4

5

–2

–3

–4

Y

Las parábolas de la familia de primitivas de f (x)seobtienendesplazandoverticalmentelagráficaanterior.Para que corte al eje X en un único punto debemos subirla cuatro unidades. Por tanto, la función buscada es F (x) = x 2 – 4x + 4.


14


3. Cálculo de una constante para un área dada

Determinar el valor de la constante a ≠ 0 para que el área encerrada entre el eje de abscisas y la función f (x) = ax (x – 1) sea igual a 1 u 2.

Como a ≠ 0, los puntos de corte de la función con el eje X son:

x (x – 1) = 0 → x = 0, x = 1

Primitiva de f (x) → G (x) = ( ) ( )ax x dx a x x dx ax ax13 2

– – –2 3 2= =yy

G (0) = 0; G (1) = a a a3 2 6

1– –=

Por tanto, ( ) ( ) ( ) 8ax x dx G G a a1 1 061

61– – – Área –

0

1= = =y

Como ±8 8aa

aa

61 1 6

1 1

61 1

6––

==

==

Z

[

\

]]

]]

_

`

a

bb

bb

4. Función derivable

Hallar una función f (x), derivable en Á, que pase por el punto P (0, 2) y cuya derivada sea:

f ' (x) = xx

si xsi x

3 12

11

–≥<

)

Hallamoslasprimitivasencadaintervalodedefinición:

( )x dx x x k3 12

3– –2

= +y

'x dx x k2 2= +y

Por tanto: f (x) = ≥'

x x k

x k

x

x2

3 1

1

– si

si

<2

2

+

+*

Pasa por P (0, 2) → f (0) = 2 → k = 2 y la función es:

f (x) = '

x x

x k

x

x2

3 1

1

2– si

si ≥

<2

2

+

+*

Como es derivable en Á, debe ser continua en Á y, en particular, en x = 1. Así: f (1) = 1 + k'.

l mí8x 1

f (x) = ' '8 8k k1= + =( )' '

l m x x

l m x k k

23 2

25

125

23

–í

í

8

8

x

x

1

2

12

–+ =

+ = ++

e o* 4La función es:

f (x) =

x x

x

x

x

23 2

23

1

1

– si

si ≥

<2

2

+

+

Z

[

\

]]

]]


15



Página 238

Para practicar

Cálculo de primitivas

1 Halla una primitiva de las siguientes funciones:

a) f (x) = x + 1 b) f (x) = 2x – 3

c) f (x) = x2

+ x 2 d) f (x) = – 8x 3 + 3x 2

e) f (x) = x x1 12 3+ f ) f (x) = x

x53

4+

g) f (x) = x

x13

+ h) f (x) = x

x3

2

a) y (x + 1) dx = x x22

+

b) y (2x – 3) dx = x x3–2

c) y x x dx x x2 4 3

2 2 3+ = +b l

d) y (– 8x 3 + 3x 2) dx = –2x 4 + x 3

e) y ( )x x

dx x x dx x xx x

1 11 2

121

– –– –2 3

2 3 1 2

2– – – –

+ = + = + =e o y

f ) y /·x

xdx x x dx x x x

x53

53

3 2 53

3 32

51

––/ /

41 2 4 3 2 3 3

3– –

+ = + = + =e co my

g) y /·

xx dx x x dx x x x x13 3

11 2 3

12

26

/ /1 2 1 2 2 2–+ = + = + = +e co my

h) yx

x3

2 dx = ·

/x x dx x dx x x

8 3 83/ / /2 1 3 5 3 8 3 83

– = = =yy

2 Integra la función de cada apartado:

a) x3 b) x8 34 c) x

x x2+ d) x

x 2–2

3

e) x3 f )

x 12+

g) x

x 2–2 h)

xx3 2–

a) /

x dx x dx x k x k x k3 3 33 2 3

2 33

2 3/ /1 2 3 2 3 3= = + = + = +y y

b) x dx x dx x k8 87

4 8/34 4 3 44

74= = +y y

c) ( )/ /x

x x dx x x dx x x k x x k3 2 5 2 3

25

2/ / / /2 1 2 3 2 3 2 5 2 3 5+ = + = + + = + +yy

d) ( )x

x dx x x dx x x k xx

k2 22 1

22

2– – ––2

3 2 2 1 2– –= = + = + +yy

e) | |lnx

dx x k3 3= +y


16


f ) | |lnx

dx x k1

2 2 1+

= + +y

g) | |lnx

x dxx x

dx xx

k2 1 2 2– –2 2= = + +c myy

h) | |lnx

x dxx

dx x x k3 2 3 2 3 2– – –= = +c myy

3 Resuelve:

a) y sen x5

dx b) y cos πx2

+b l dx c) y cos xsen x

33 dx

d) y sen x12

–b l dx e) y sen π x2

–b l dx f ) y cos π2

x dx

a) y sen x5

dx = cossen x dx x k551

55

5–= +y

b) y cos πx2

+b l dx = πsen x k2

+ +b l

c) y cos xsen x

33 dx = · ( ) | |

cosln cos

xsen x dx x k

31

33 3

31 3– – –= +y

d) y sen x12

–b l dx = cosx x k22

+ +

e) y sen π x2

–b l dx = πcos x k2

– +b l

f ) y cos π2

x dx = ππ π

ππcos x dx sen x k2

2 22

2= +y

4 Calcula:

a) y e x + 3 dx b) y 3x e 1 – x 2 dx c) y 2x – 7 dx d) y 3x/2 dx

a) y e x + 3 dx = e x + 3 + k

b) y 3x e 1 – x 2 dx = ( )x e dx e k23 2

23– – –x x1 1– –2 2= +y

c) y 2x – 7 dx = · ·ln

lnln ln

dx k k2

1 2 22

1 22

2x x x7 7 7– – –= + = +y

d) y 3x/2 dx = ln

dx k221

32 33 ·/ /x x2 2

= +y

5 Calcula:

a) y (x – 3)3 dx b) y (2x + 1)5 dx c) y x 21+

dx d) y x3 5– dx

e) y x dx2

33 + f ) y x

dx2 1

3–

g) y x

x dx2

22 +

h) y x

x dx3 4–2

a) y (x – 3)3 dx = ( )x k43– 4

+

b) y (2x + 1)5 dx = ( ) · ( ) ( )x dx x k x k21 2 2 1

21

62 1

122 15

6 6+ = + + = + +y

c) y x 21+

dx = x

dx x k22 2

1 2 2+

= + +y


17


d) y x3 5– dx = ( ) ·/

( ) ( )x dx x x k31 3 3 5

31

3 23 5

92 3 5– – –/

/1 2

3 2 3= = +y

e) y x dx2

33 + = ·/

[( ) / ]x dx x k x k221

23 2

4 33 2

23

23/ /1 3 4 3 4+ = + + = + +c cm my

f ) y x

dx2 1

3–

= · | |lnx

dx x k21 3

2 12

23 2 1

––= +y

g) y x

x dx2

22 +

= | |ln x k22 + +

h) y x

x dx3 4–2 = | |ln

xx dx x k

61

3 46

61 3 4

––2

2= +y

6 Calcula:

a) y x x dx5 12 + b) y x

x dx3–3

2 c) y

x xx dx

32 1

–2 ++ d) y x e x 2 dx

e) y x

x dx3 2

52 +

f ) y sen 2 x cos x dx g) y x

x dx4–4

3 h) y x sen x 2 dx

a) y x x dx5 12 + = ( )/

( ) ( )x x dx x k x k101 10 5 1

101

3 25 1

155 1·/

/2 1 2

2 3 2 2 3+ = + + = + +y

b) y xx dx

3–3

2 =

xx dx x k

32

2 33

32 3

––

3

2 3= +y

c) y x x

x dx3

2 1–2 +

+ = | |ln x x k3–2 + +

d) y x e x 2 dx = x e dx e k21 2

21x x2 2= +y

e) y x

x dx3 2

52 +

= | |lnx

x dx x k65

3 26

65 3 22

2+

= + +y

f ) y sen 2 x cos x dx = sen x k33

+

g) y x

x dx4–4

3 = | |ln

xx dx x k

41

44

41 4

––

4

3 4= +y

h) y x sen x 2 dx = cosx sen x dx x k21 2

21– – –2 2= +y

7 Calcula:

a) y 3e 5x dx b) y x 2 · 2–x 3 + 5 dx c) y x

e dx1 x

d) y x x

x dx6 2

3–

–2 +

e) y xx dx

55

++ f ) y

xx dx

3 23 2

––

a) y 3e 5x dx = e k53 x5 +

b) y x 2 · 2–x 3 + 5 dx = ·ln

x dx k31 3 2

3 22– – –x x2 5 5– –3

3

= ++ +y

c) y x

e dx1 x = x

dx e k22

1 2 x= +y


18


d) y x x

x dx6 23

––

2 + =

x xx dx x x k

21

6 22 6 6 2–

– –2

2

+= + +y

e) y xx dx

55

++ =

xdx

xdx x k

51 2

2 51 2 5

+=

+= + +yy

f ) y xx dx

3 23 2

–– = ( )

/( ) ( )x dx x dx x k x k3 2

31 3 3 2

31

3 23 2

92 3 2– – – –/

/1 2

3 2 3= = + = +y y


a) y x

x x dx1

3 4–

–2 + b) y x

x x dx3

5 7–2

++

c) y x

x x dx2 1

2 3 1–

–2 + d) y x

x x dx1

3 1–

–2

2 +

Divide y transforma la fracción así: divisor

Dividendo cocientedivisorresto= +

a) y x

x x dx1

3 4–

–2 + = | |lnxx

dx x x x k21

22

2 2 1––

– –2

+ = + +c my

b) y x

x x dx3

5 7–2

++ = | |lnx

xdx x x x k2

313

22 13 3– –

2+

+= + + +c my

c) y x

x x dx2 1

2 3 1–

–2 + = ( )x dx x x k12

– –2

= +y

d) y x

x x dx1

3 1–

–2

2 + = | |lnx

x dx x x k11

323 1

––2

2+ = + +e oy

9 Calcula:

a) y x

senx

dx1 12 b) y 5sen cosx x

2 2b bl l dx

c) y x x dx d) y x x

dx2 11

2 + +

e) y (2x 2 + 1)2 dx f ) y xx dx

3 2–2

g) y x

x x dx2

3 2 1–

–2 + h) y e

e dx1 x

x

+

i) y lnx

x3

7– dx j) y e1x cos e –x dx

a) y x

senx

dx1 12 = cos

xk1 +

b) y 5sen cosx x2 2

b bl l dx = · cossen x x dx sen x k5 221

2 25

22= +b b bl l ly

c) y x x dx = /

x dx x k x k7 4 7

4/ /3 4 7 4 74= + = +y

d) y x x

dx2 11

2 + + =

( )xdx

xk

11

11–

2+=

++y

e) y (2x 2 + 1)2 dx = ( )x x dx x x x k4 4 15

43

44 2 5 3+ + = + + +y

f ) y xx dx

3 2–2 =

xx dx x k

31

2 3 26

33 2

––

2

2= +y

g) y x

x x dx2

3 2 1–

–2 + = | |lnxx

dx x x x k3 82

152

3 8 15 2–

–2

+ + = + + +c my


19


h) y e

e dx1 x

x

+ = | |ln e k1 x+ +

i) y lnx

x3

7– dx = ln ln lnx

x dx x k x k37 1

37

2 67– – –

2 2= + = +y

j) y e1x cos e –x dx = sen e k– x– +

Integral de�nida


a) x

dx1

20

1

+y b) x x

xdx5 1–2

21

2+c my

a) Calculamos una primitiva:

G (x) = ( )lnx

dx x1

2 2 1+

= +y

( )ln lnx

dx x1

2 2 1 2 20

101

+= + =8 By

b) Calculamos una primitiva:

G (x) = x xx

dx x xx

5 13 2

5 1– – –22

3 2+ =c my

x xx

x xx

dx5 13 2

5 1314– – – –2

21

2 3 2

1

2

+ = =c m = Gy


a) ( )x dx3– 22

5y b) ( )x dx2 1–4

6y c) ( )x x dx32

2

–+y d) x dx3

1

4y

e) x

dx1e

1y f ) e dxx 2

1

3 ––y g) ( )cossen x x dx–

π

0y h) sen x dx2

π

π

–y

a) G (x) = ( )x dx x3– –2 3=y G (5) = –125; G (2) = – 8

( ) ( ) ( ) ( )x dx G G3 5 2 125 8 117– – – – – –22

5= = =y

b) G (x) = ( )x dx x x2 1– –2=y G (6) = 30; G (4) = 12

( ) ( ) ( )x dx G G2 1 6 4 30 12 18– – –4

6= = =y

c) G (x) = ( )x x dx x x4 2

3 4 2+ = +y

G (2) = G (–2) = 6

( ) ( ) ( )x x dx G G2 2 0– –32

2

–+ = =y

d) G (x) = /

x dx x dx x x3 33 23

32 3/

/1 2

3 2 3= = =y y

G (4) = 3

16 3 ; G (1) = 3

2 3

( ) ( )x G Gdx3 4 13

16 33

2 33

14 3– –1

4= = =y


20


e) G (x) = | |lnx

dx x1 =y G (e) = 1; G (1) = 0

( ) ( )x

dx G e G1 1 1–e

1= =y

f ) G (x) = e dx ex x2 2– –=y G (3) = e; G (–1) = e –3

( ) ( )e dx G G e e ee e

e3 1 1 1– – – – –x 21

3 33 3

4––

–= = = =y

g) G (x) = ( )cos cossen x x dx x sen x– – –=y G (π) = 1; G (0) = –1

( ) ( ) ( ) ( )πcossen x x dx G G 0 1 1 2– – –π

0= = =y

h) G (x) = cossen x dx x221 2–=y

G (π) = 21– ; G (–π) =

21–

( ) ( )π πsen x dx G G2 0– –π

π

–= =y

12 Halla las integrales de las siguientes funciones en los intervalos que se indican:

a) f (x) = 3x2 – 6x en [0, 2] b) f (x) = 2 cos x en [0, π/2]

c) f (x) = (x + 1) (x2 – 2) en [–1, 2] d) f (x) = sen x4

en [0, π]

a) G (x) = ( )x x dx x x3 6 3– –2 3 2=y G (0) = 0; G (2) = – 4

( ) ( ) ( )x x dx G G3 6 2 0 4– – –20

2= =9

b) G (x) = cos x dx sen x2 2=y

G (0) = 0; G π2

2=b l

( )πcos x dx G G22

0 2–/π

0

2= =b ly

c) ( ) ( ) ( ) ( )G x x x dx x x x dx x x x x1 2 2 24 3

2– – – – –2 3 2 4 3 2= + = + = +yy

( ) ; ( )G G11211 2

34– –= =

( ) ( ) ( ) ( )x x G G1 2 2 134

1211

49– – – – – –2

1

2

–+ = = =9

d) ( ) cosG x sen x x4

44

–= =y

( ) ; ( )πG G0 42

4 2 2 2– – –= = =

( ) ( )πsen x G G4

0 2 2 4– –π

0= = +y


21


Página 239

Cálculo de áreas

13 Calcula el área encerrada por la función f (x) = –x (x – 4) y el eje X. Representa el recinto cuya área has calculado.

Cortes con el eje X: –x (x – 4) = 0 → x = 0, x = 4La función dada es una parábola abierta hacia abajo cuyo vértice es el punto (2, 4). Por tanto:

Área = ( ) ( )x x dx x x dx x x4 43

2332– – – –

0

4 20

4 3 2

0

4

= + = + == Gyy u2

El recinto es:

1 2–1 3 54 X–1

1

2

3

4

–5

–2

–3

–4

Y

14 Halla, en cada caso, el área limitada por:

a) f (x) = x2 – 4, el eje X y las rectas x = 0 y x = 2.

b) f (x) = 2x – x2, el eje X y las rectas x = –1 y x = 1.

c) f (x) = x2 – 2x – 3 y el eje X.

d) f (x) = 1 – x2, el eje X y las rectas x = –2 y x = 2.

e) f (x) = ex, el eje X y las rectas x = –1 y x = 3.

f ) f (x) = x2 + 1, el eje X y las rectas x = –1 y x = 3.

a)• PuntosdecorteconelejeX : x 2 – 4 = 0 → x1 = –2, x2 = 2. Solo nos sirve x2 = 2. •Hayunrecinto:[0,2]

• ( ) ( )G x x dx x x43

4– –2 3= =y

• ( ) ; ( )G G2316 0 0–= =

• rea=|G (2) – G (0) | = 316 u2

4–4

2

4

–22–2

–4


22


b)• PuntosdecorteconelejeX : 2x 2 – x 2 = 0 → x1 = 0, x2 = 2 •Haydosrecintos: [–1,0]; [0,1]

• ( ) ( )G x x x dx x x23

– –2 2 3= =y

• ( ) ; ( ) ; ( )G G G134 0 0 1

32– = = =

• readelrecinto =|G (0) – G (–1) | = 34

Área del recinto II = | G (1) – G (0) | = 32

Área total = 34

32

36 2+ = = u2

4I–4

2

4

–2

–4

2–2

II

c)• PuntosdecorteconelejeX : x 2 – 2x – 3 = 0 → x1 = –1, x2 = 3 •Hayunrecinto:[–1,3]

• ( ) ( )G x x x dx x x x2 33

3– – – –2 3 2= =y

• ( ) ; ( )G G135 3 9– –= =

• rea=|G (3) – G (–1) | = 935

332– – = u2

4–4

2

4

2–2–2

–4

d)• PuntosdecorteconelejeX : 1 – x 2 = 0 → x1 = –1, x2 = 1 •Haytresrecintos: [–2,–1]; [–1,1]; [1,2]

• ( ) ( )G x x dx x x13

– –2 3= =y

• ( ) ; ( )G G232 1

32– – –= =

( ) ; ( )G G132 2

32–= =

4–4

2

4

–2

–4

II

IIII

• readelrecinto =|G (–1) – G (–2) | = 32

35

34– – =

Área del recinto II = | G (1) – G (–1) | = 32

32

34– – =c m

Área del recinto III = | G (2) – G (1) | = 34

Área total = ·334 4= u2

e)•NocortaalejeX.

• ( )G x e dx ex x= =y • ( ) ; ( )G e G e1 3– 1 3–= =

• rea=|G (3) – G (–1) | = e 3 – e –1 = ≈ ,ee e

e1 1 19 7– –3 4= u2 4–4 2–2

5

10

15

20

f)•NocortaalejeX .

• ( ) ( )G x x dx x x13

2 3= + = +y

• ( ) ; ( )G G134 3 12– –= =

• rea=|G (3) – G (–1) | = 340 u2

4

8

12

2–2


23


15 Halla el área delimitada por la parábola y = 2x 2 – 2x – 4, el eje X y las rectas x = –2 y x = 2.

Representa el área obtenida.

Cortes con el eje X → 2x 2 – 2x – 4 = 0 → x = –1, x = 2. De los dos valores obtenidos, x = –1 se encuentra entre los límites x = –2 y x = 2.Primitiva de la función:

G (x) = ( )x x dx x x x2 2 43

2 4– – – –2 3 2=y

G (–2) = · ( ) ( ) · ( ) ; ( ) ; ( )G G3

2 2 2 4 234 1

37 2

320– – – – – – – –

32 = = =

( ) ( ) ( )x x dx G G2 2 4 1 237

34

311– – – – – – –2

2

1

–

–= = =c my

( ) ( ) ( )x x dx G G2 2 4 2 1320

37 9– – – – – – –2

1

2

–= = =y

Área total = 311 9

338+ = u2

Para representar la función debemos tener en cuenta que la parábola está abierta hacia arriba y que el vértice es el punto

,21

29–c m.

2 4–2–4–6 6 X–2

2

4

6

8

10

–4

–6

Y

16 Calcula el área comprendida entre las curvas:

a) y = x2; y = x

b) y = x2; y = 1

c) y = x2; y = x3

d) y = x2; y = –x2 + 2x

e) y = 2x2 + 5x – 3; y = 3x + 1

f ) y = 4 – x2; y = 8 – 2x2

a)• Puntosdecorteentrelascurvas: x 2 – x = 0 → x1 = 0, x2 = 1

• ( ) ( )G x x x dx x x3 2

– –2 3 2= =y

•G(0) = 0; G (1) = 61–

• rea=|G (1) – G (0) | = 61 u2

–1 1

–1

1

2

b)• Puntosdecorteentrelascurvas: x 2 – 1 = 0 → x1 = –1, x2 = 1

• ( ) ( )G x x dx x x13

– –2 3= =y

• ( ) ; ( )G G132 1

32– –= =

• rea=|G (1) – G (–1) | = 34 u2 –1

2

1

1


24


c)• Puntosdecorteentrelascurvas: x 2 – x 3 = 0 → x1 = 0, x2 = 1

• ( ) ( )G x x x dx x x3 4

– –2 3 3 4= =y

•G (0) = 0; G (1) = 121

• rea=|G (1) – G (0) | = 121 u2

–2

–1

1

2

–2 –1 1 2

d)• Puntosdecorteentrelascurvas: x 2 – (–x 2 + 2x) = 2x 2 – 2x = 0 → x1 = 0, x2 = 1

• ( ) ( )G x x x dx x x2 23

2– –2 3 2= =y

•G (0) = 0; G (1) = 31–

• rea=|G (1) – G (0) | = 31 u2

–2

1

2

–1–2 –1 1 2

e)• Puntosdecorteentrelascurvas: 2x 2 + 5x – 3 – (3x + 1) = 2x 2 + 2x – 4 = 0 → x1 = –2, x2 = 1

• ( ) ( )G x x x dx x x x2 2 43

2 4– –2 3 2= + = +y

• ( ) ; ( )G G2320 1

37– –= =

• rea=|G (1) – G (2) | = 37

320

327 9– – = = u2

–4 –2 2

2

4

4

–4

–2

f)• Puntosdecorteentrelascurvas: 4 – x 2 – (8 – 2x 2) = x 2 – 4 = 0 → x1 = –2, x2 = 2

• ( ) ( )G x x dx x x43

4– –2 3= =y

• ( ) ; ( )G G2316 2

316– –= =

• rea=|G (2) – G (–2) | = 332 u2

–4

6

4

–6

–2

2

–2 2

Para resolver

17 Calcula el área de los recintos limitados por:

a) La función f (x) = x2 – 2x + 1 y los ejes de coordenadas.

b) La curva y = x3, la recta x = 2 y el eje X.

c) La función y = sen x, el eje de abscisas y las rectas x = π4

y x = – π4

.

d) La función y = cos x y el eje X entre x = 0 y x = π.

a)• f (x) = x 2 – 2x + 1 = (x – 1)2 = 0 → x = 1

• ( ) ( ) ( )G x x dx x131– –2

3= =y

• ( )G 031–= ; G (1) = 0

• rea=|G (1) – G (0) | = 31 u2 2

1

2

3

1 3–1–1


25


b)• x 3 = 0 → x = 0

• ( )G x x dx x4

3 4= =y

• ( ) ; ( )G G0 0 2 4= =

• rea=|G (2) – G (0) | = 4 u2

2–2

4

8

1–4

–8

–1

c)• sen x = 0 → x = 0 π π4 4

entre – yb l

•Haydosrecintos: ,π4

0I –: D; , π04

II: D

• ( ) cosG x sen x dx x–= =y

• ; ( )π πG G G4 4 2

2 0 1– – –= = =b bl l

• readelrecinto = ( ) ,πG G04

122 0 29– – –= + =b l

Área del recinto II = ( ) ,πG G4

0 122 0 29– –= =b l

Área total = 2 · 0,29 ≈ 0,58 u2

1

2

–2

–1π—4

π

d)• cos x = 0 → x = π4

(entre 0 y π)

•Haydosrecintos: , π02

I: D; ,π 02

II: D • ( ) cosG x x dx sen x= =y • ( ) ; ; ( )π πG G G0 0 2 1 0= = =b l

• readelrecinto = ( )πG G2

0 1– =b l Área del recinto II = | ( ) ( )|πG G 0 1– =

Área total = 1 + 1 = 2 u2

2

–2

–1

πII

I1

π—2

18 Calcula el área comprendida entre las curvas:

a) y = x2 e y = 3 – 2x b) y = 4 – x2 e y = 3x2

c) y = x e y = x2 – 2 d) y = 4 – x2 e y = x2 – 4

e) y = (x + 2)2 (x – 3) y el eje de abscisas.

a) x 2 – (3 – 2x) = x 2 + 2x – 3 = 0 → x1 = –3, x2 = 1

• ( ) ( )G x x x dx x x x2 33

3– –2 3 2= + = +y • ( ) ; ( )G G3 0 1 3

5– –= =

• rea=|G (1) – G (–3) | = 332 u2

4–4

8

12

–2–4

4

2

b) ,8x x x x x4 3 4 4 0 1 1– – – –2 2 21 2= = = =

• ( ) ( )G x x dx x x4 4 43

4– –2 3= =y

• ( ) ; ( )G G138 1

38– –= =

• rea=|G (1) – G (–1) | = 316 u2

4–4

2

4

2–2–2

–4


26


c) ( ) ,8x x x x x x x x2 2 2 0 1 2– – – – –2 2 21 2= + = + + = = =

• ( ) ( )G x x x dx x x x23 2

2– –2 3 2= + + = + +y

• ( ) ; ( )G G167 2

67– –= =

• rea=|G (2) – G (–1) | = 29 u2

4–4

2

4

2–2–2

d) ( ) ,8x x x x x4 4 2 8 0 2 2– – – – –2 2 21 2= + = = =

• ( ) ( )G x x dx x x2 83

2 8– –2 3= + = +y

• ( ) ; ( )G G2332 2

332– –= =

• rea=|G (2) – G (–2) | = 364 u2

4–4

2

4

–22–2

–4

e) ( ) ( ) ,8x x x x2 3 0 2 3– –21 2+ = = =

• ( ) ( ) ( ) ( )G x x x dx x x x dx2 3 8 12– – –2 3 2= + = + =y y x x x x

4 34 12– –

4 3 2= +

• ( ) ; ( )G G2328 3

4171– –= =

• rea=|G (3) – G (–2) | = ≈ ,12625 52 1 u2

4–4

10

20

–102–2

–20

19 Halla el área comprendida entre la curva y = – x2 + 4x + 5 y la recta y = 5.

,8x x x x x x4 5 5 4 0 0 4– – –2 21 2+ + = + = = =

• ( ) ( )G x x x dx x x43

2– –2 3 2= + = +y

• ( ) ; ( )G G0 0 4332= =

• rea=|G (4) – G (0) | = 332 u2

4 6

4

8

2–2–4

–8

20 Calcula el área limitada por las siguientes curvas:

a) y = x3 + x2; y = x3 + 1; x = –1; x = 1

b) y = x2; y = 1 – x2; y = 2

c) y = x(x – 1) (x – 2); y = 0

d) y = x2 – 2x ; y = x

e) y = x3 – 2x ; y = –x2

f ) y = 2x – x3; y = x2

a) ( ) ,8x x x x x x1 1 0 1 1– – –3 2 3 21 2+ + = = = =

• ( ) ( )G x x dx x x13

– –2 3= =y

• ( ) ; ( )G G132 1

32– –= =

• rea=|G (1) – G (–1) | = 34 u2

4–4

2

4

–22

–4

–2


27


b) ,8 8x x x x x1 2 1 022

22– – –2 2 2

1 2= = = =

,8x x x2 2 2–23 4= = =

•Tenemostresrecintos:

I ,222– –= G; II ,

22

22–= G; III ,

22 2= G

• Parael yel hayqueconsiderar:

2

IIIIII

–2

2

–11

–2

1

–1

( ) ( )G x x dx x x23

– –12 3

= =y

( ) ; ; ; ( )G G G G23

4 222

1211 2

22

1211 2 2

34 2– – – –1 1 1 1= = = =e eo o

Área del recinto I = ( )G G22 2

125 2– – –1 1 =e o

Área del recinto III = ( )G G22 2

125 2–1 1 =e o

• Parael hayqueconsiderar:

( ) ( ) ( )G x x dx x dx x x2 1 13

–22 2 3

= + = + = +y y

;G G22

127 2

22

127 2– –2 2= =e eo o

Área del recinto II = G G22

22

67 2– –2 2 =e eo o

• reatotal=12

5 26

7 212

5 26

12 2 2 2+ + = = u2

c) ( ) ( ) , ,8x x x x x x1 2 0 0 1 2– – 1 2 3= = = =

•Haydosrecintos: [0,1]; [1,2]

• ( ) ( ) ( ) ( )G x x x x dx x x x dx x x x1 2 3 24

– – – –3 2 4 3 2= = + = +y y

• ( ) ; ( ) ; ( )G G G0 0 141 2 0= = =

• readelrecinto =|G (1) – G (0) | = 41

2–2

2

–11

–2

1

–1


Área total = 41

41

21+ = u2

d) ,8x x x x x x x2 3 0 0 3– – –2 21 2= = = =

• ( ) ( )G x x x dx x x33 2

3– –2 3 2= =y

• ( ) ; ( )G G0 0 329–= =

• rea=|G (3) – G (0) | = 29 u2

4–4

3

–2–1

2

1

2


28


e) ( ) , ,8x x x x x x x x x2 2 0 2 0 1– – – – –3 2 3 21 2 3= + = = = =


• ( ) ( )G x x x x dx x x x24 3

– –3 2 4 3 2= + = +y

• ( ) ; ( ) ; ( )G G G238 0 0 1

125– – –= = =

• readelrecinto =|G (0) – G (–2) | = 38


2–2–2

–4

–6

2

1–1

Área total = 38

125

1237+ = u2

f ) Por simetría respecto al anterior, el área es la misma:

Área total = 1237 u2

2–2

–2

6

4

2

1–1

21 Un depósito se vacía de forma variable según la función v (t) = 5 – 0,1t (t en min, v en l/min). Calcula lo que se ha vaciado el depósito entre los minutos 100 y 200.

( ) ( , ) , ,G t t dt t t t t5 0 1 52

0 1 5 0 05– – –2

2= = =yG (200) = –1 000; G (100) = 0

Área = | G (200) – G (100) | = 1 000

Se han vaciado 1 000 litros entre los minutos 100 y 200.

22 Una fábrica arroja diariamente material contaminante a una balsa según un ritmo dado por la siguiente función: m = 0,01t3 – 0,2t2 + t + 1 siendo m la cantidad de material en kg y t la hora del día. ¿Cuánto material arroja cada día?

Consideramos t entre 0 y 24 horas:

( , , ) , , , ,t t t dt t t t t0 01 0 2 14

0 013

0 22

219 84 0 219 84– – –3 20

24 4 3 2

0

24

+ + = + + = == Gy kg

23 Calcula el área limitada por la gráfica de y = x + x2, la tangente a esa curva en x = 2 y el eje de abscisas.

•Rectatagenteenx = 2:

y' = 1 + 2x → m = y' (2) = 5; y (2) = 6

Recta→ y = 6 + 5(x – 2) = 5x – 4

•Hacemoslasgráficasparaentendermejorlasituación:

–2 –1–4 –3 1 2 3 4

68

24


29


• Puntosdecortedey = x + x 2 con el eje X : x + x 2 = 0 → x1 = –1, x2 = 0• Puntodecortedey = 5x – 4 con el eje X :

5x – 4 = 0 → x = 54

• reabajoy = x + x 2 entre 0 y 2:

( ) ( )G x x x dx x x2 31

2 2 3= + = +y

( ) ; ( )G G2314 0 01 1= =

Área = | G1(2) – G1(0) | = 314 u2

• reabajoy = 5x – 4 entre 54 y 2:

( ) ( )G x x dx x x5 42

5 4– –22

= =y

; ( )G G54

58 2 2–2 2= =c m

Área = ( )G G542 2

58

518–2 2 = + =c m u2

•Eláreabuscadaes:314

518

1516– = u2

24 Dada la función f (x) = x x21

23–3 2:

a) Encuentra una primitiva F de f que veri�que la igualdad F (2) = 1.

b) Representa grá�camente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = –1 y x = 3.

a) F (x) = x x x x kdx21

23

8 2– –3 2 4 3

= +c my

F (2) = 1 → 8k k82

22 1 3–

4 3+ = =

Por tanto, F (x) = .x x8 2

3–4 3

+

b)• f (x) es una función polinómica. Es continua y derivable en Á. •Cortesconlosejes: x = 0, f (0) = 0

y = 0, x x21

23 0–3 2 = → x 3 – 3x 2 = 0 →

→ x 2(x – 3) = 0 → x = 0, x = 3


f ' (x) = 8 8x x x x23 3

23 3 0– –2 2 =

,8 8x x x x321 1 0 0 2– = = =c m


0 2f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

1 2–1–2 3 4 X–1

1

2

3

4

–2

–3

–4

Y


30


Como las dos regiones se encuentran al mismo lado del eje X, podemos hallar el área mediante unaúnicaintegraldefinida:

x x x xdx21

23

8 24– – –3 2

1

3 4 3

1

3

– –= =c m = Gy

Área = 4 u2

25 Dada y = x3 – 2x2 + x , halla la ecuación de su tangente en el origen y calcula el área de la región encerrada entre la curva y la tangente.

•Tangenteenelorigen: y' = 3x 2 – 4x + 1; m = y' (0) = 1; y (0) = 0 Recta→ y = x• x 3 – 2x 2 + x – x = x 3 – 2x 2 = 0 → x1 = 0, x2 = 2

• ( ) ( )G x x x dx x x24 3

2– –3 2 4 3= =y

• ( ) ; ( )G G0 0 234–= =

• rea=|G (2) – G (0) | = 34 u2

2

4

6

8

1 2–2 –1

26 Halla el área de la figura sabiendo que el lado curvo corresponde a la función y = x2 + 1.

• Entre–1y0tenemosuntriángulodebase1yaltura1:

Área = ·2

1 121= u2

1

2

1–1 2

• Entre1y2tenemosuntriángulodebase1yaltura2:

Área = ·2

1 2 1= u2

• Entre0y1:

( ) ( )G x x dx x x13

2 3= + = +y

G (0) = 0; G (1) = 34

Área = | G (1) – G (0) | = 34 u2

• Eláreatotalserá:

21 1

34

617+ + = u2

27 Dada la función f (x) = 4 – x2, escribe las ecuaciones de las tangentes a f en los puntos de corte con el eje de abscisas. Halla el área comprendida entre las rectas tangentes y la curva.

• PuntosdecorteconelejeX : 4 – x 2 = 0 → x1 = –2, x2 = 2 → Puntos (–2, 0) y (2, 0)• f ' (x) = –2x; f ' (–2) = 4; f ' (2) = – 4•Rectatangenteenx = –2 → y = 4(x + 2) = 4x + 8 Rectatangenteenx = 2 → y = – 4(x – 2) = – 4x + 8• Semuestralagráficaaladerechaparaentenderlomejor:

2

8

–4 –2 2 4

4

6


31


• readeltriángulodevértices(–2,0),(0,8)y(2,0):

Área = ·2

4 8 16= u2

• reaentrey = 4 – x 2 y el eje X :

( ) ( )G x x dx x x4 43

– –2 3= =y

G (–2) = ; ( )G316 2

316– =

Área = | G (2) – G (–2) | = 332 u2

•Eláreatotalseráladiferencia:

16332

316– = u2

28 Se considera la función de�nida por:

f (x) = x x

x xxx

4 34 3

11

–– –

si ≤si >

2

2+

+*

a) Estudia su continuidad y derivabilidad.

b) Representa grá�camente la función f.

c) Calcula el área del recinto plano limitado por la grá�ca de f, los ejes de coordenadas y la recta x = 2.

a)Lafunciónestádefinidaporintervalosmediantefuncionespolinómicas,quesoncontinuasyderi-vables. Estudiamos la continuidad en el punto de ruptura:

f (1) = 0

l mí8x 1

f (x) = ( )

( )

l m

l m

x x

x x

4 3 0

4 3 0

–

– –

í

í

8

8

x

x

1

1

2

2

–+ =

+ =+

* → Es continua en x = 0 ya que f (1) = l mí8x 1

f (x).

f ' (x) = xx

xx

2 42 4

11

––

sisi

<>+

)

En x = 1 no es derivable ya que f ' (1–) ≠ f ' (1+).

En conclusión, es continua en Á y derivable cuando x ≠ 1.

b)Lafunciónestádefinidaporintervalosmediantedosparábolas.

Hallandolospuntosnotablesseobtienelagráficaqueapareceala derecha.

c) El área pedida es la suma de las dos áreas coloreadas:

( )x x dx x x x4 33

2 334– –2

0

1 3 2

0

1

+ = + == Gy

( )x x dx x x x4 33

2 332– – – –2

1

2 3 2

1

2

+ = + == Gy

Área total = 34

32 2+ = u2

1 2–1–2 3 4 X–1

1

2

3

4

–2

–3

–4

Y


32


Página 240

29 Dada f (x) = x + 1, halla:

a) fx

0y b) f

x

1y c) f

x

1–y d) f

1

3y

( ) ( )G x x d x xx122

= + = +y

G (0) = 0; ( ) ; ( ) ; ( )G G G123 1

21 3

215– –= = =

a) fx

0y = ( ) ( )G x G x x0

2–

2= +

b) fx

1y = ( ) ( )G x G x x1

2 23– –

2= +

c) fx

1–y = ( ) ( )G x G x x1

2 21– –

2= + +

d) f1

3y = ( ) ( )G G3 1215

23

212 6– –= = =

30 a) Halla el área limitada por y = | 2x – 4 |, el eje X y las rectas x = 0 y x = 5.

b) Calcula | |x2 4–2

3

–y dx.

a)Definimoslafunciónporintervalosparahacernosunaideadesuforma:

y = | 2x – 4 | = ≤x

xxx

2 42 4

22

––

sisi >

+)

El área buscada será:

( ) ( )y dx x dx x dx x x x x2 4 2 4 4 4– – – –0

5

0

2

2

5 202 2

25

= + + = + + =8 8B By y y = (4 – 0) + (5 + 4) = 4 + 9 = 13 u2

b) | | ( ) ( )x dx x dx x dx x x x x2 4 2 4 2 4 4 4– – – – –2

3

2

2

2

3 22

2 223

– – –= + + = + + =8 8B By y y = (4 + 12) + (–3 + 4) = 16 + 1 = 17 u2

31 Calcula:

a) ( )f x dx0

2y b) ( )g x dx1

3

–y

siendo:

f (x) = x

xxx2

0 11 2–

si ≤ ≤si ≤<

2* g (x) =

xx

xx

21

1 11 3

si – ≤ ≤si ≤<2 +

)

a) ( ) ( )f x dx x dx x dx2 –0

2 20

1

1

2= +y y y

( ) ( ) ( )8G x x dx x G G3

1 031 0

31– –1

2 31 1= = = =y

( ) ( ) ( ) ( )8G x x dx x x G G2 22

2 1 22 2

13– – – –22

2 2= = = =y

Así: ( )f x dx31

21

65

0

2= + =y


33


b) ( ) ( )g x dx x dx x dx2 11

3

1

1 21

3

– –= + +y y y

( ) ( ) ( )8G x x dx x G G2 1 1 1 1 0– – –12

1 1= = = =y

( ) ( ) ( ) ( )8G x x dx x x G G13

3 1 1234

332– –2

2 32 2= + = + = =y

Así: ( )g x dx332

1

3

–=y

32 Dada la función f (x) = x x

x21

2 ++ :

a) Estudia sus asíntotas y representa la posición de la curva con respecto a ellas.

b) Calcula el área delimitada por la grá�ca de f, el eje horizontal y las rectas x = 1 y x = 3.

a)EldominiodedefiniciónesÁ – {–2, 0}.


,

,

l mx xx l m

x xx

l mx xx l m

x xx

21

21

21

21

– ∞ ∞

– ∞ ∞

í í

í í

8 8

8 8

x x

x x

2 2 2 2

0 2 0 2

– ––

–

++ =

++ = +

++ =

++ = +

+

+

Las rectas x = –2 y x = 0 son asíntotas verticales.

•Asíntotahorizontal:

∞

l mí±8x x x

x21

2 ++ = 0

La recta y = 0 es asíntota horizontal.

Posición:

–2 X

Y

Cuando x → + ∞, x xx

21 0>2 +

+ → La función queda por encima de la asíntota.

Cuando x → – ∞, x xx

21 0<2 +

+ → La función queda por debajo de la asíntota.

b) Entre x = 1 y x = 3 la función toma solo valores positivos.

Por tanto, el área es:

x xx dx

21

21

3

++y

Calculamos una primitiva:

( ) | |lnG xx xx dx

x xx dx x x

21

21

22 2

21 22 2

2=++ =

++ = +yy

G (3) = ( );ln lnG21 15 1

21 3=

Por tanto:

( ) ( ) ln ln ln lnx xx dx G G

21 3 1

21 15

21 3

21

315

21 5– –21

3

++ = = = =y u2


34


33 Dada la función:

f (x) = xx x

xx

22 2

2 00 3–

si – ≤si ≤ ≤

<2+

+) , calcula ( )f x dx

2

3

–y .

( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx2

3

2

0

0

3

– –= +y y y

( ) ( )f x dx x dx x x22

2 22

0

2

0 2

2

0

– – –= + = + == Gy y

( ) ( )f x dx x x dx x x x2 23

2 6– –0

3 20

3 3 2

0

3

= + = + == Gy y

Por tanto, ( ) .f x dx 2 6 82

3

–= + =y

34 Dada la función f (x), halla el área limitada por f (x), el eje OX y las rectas x = 0 y x = 3:

f (x) =

| |

x

x x

x

x

x

x

1

3

3

21

21 3

3

–

si –

si – ≤ ≤

si

<

>

2 +

+

*Para x comprendida entre 0 y 3, tenemos que: f (x) = –x 2 + 3x

Hallamos los puntos de corte con el eje OX :

( )8x x x x3 0 3 0– –2 + = + = xx

03

==

Por tanto, el área pedida es:

Área = ( ) ,x x dx x x33 2

3 9227

29 4 5– – –2

0

3 3 2

0

3

+ = + = + = == Gy u2

35 Halla una función f de la cual sabemos que f ' (x) = 3x2 – 2x + 5 y que f (1) = 0.

( ) ( )G x x x dx x x x k3 2 5 5– –2 3 2= + = + +y son las primitivas de la función dada.

Entre todas ellas, nos interesa la que cumple que G (1) = 0, es decir: G (1) = 5 + k = 0 → k = –5Así: f (x) = x 3 – x 2 + 5x – 5

36 Halla la función primitiva de la función y = 3x2 – x3 que pasa por el punto (2, 4).

( ) ( )G x x x dx x x k34

– –2 3 3 4= = +y son las primitivas de la función dada.

Buscamos k para que pase por (2, 4):

G (2) = 4 + k = 4 → k = 0

La función que buscamos es: f (x) = x 3 – x44

37 Halla la función que toma el valor 2 en x = 1 y cuya derivada es f ' (x) = 3x2 + 6.

( ) ( )G x x dx x x k3 6 62 3= + = + +y son las primitivas de la función dada.

Buscamos k para que G (1) = 2: G (1) = 7 + k = 2 → k = –5Por tanto: f (x) = x 3 + 6x – 5


35


38 Halla la primitiva de f (x) = 1 – x – x2 que corte al eje de abscisas en x = 3.

( ) ( )G x x x dx x x x k12 3

– – – –2 2 3= = +y son las primitivas de la función dada.

Buscamos k para que G (3) = 0:

G (3) = 8k k221

221– + =

La función que buscamos es:

y = x x x2 3 2

21– –2 3

+

39 Calcula el valor de los parámetros p y q para que la función f (x) = x 3 + px + q tenga un míni-mo relativo en x = 1 y pase por el punto (–2, 0). Esboza la grá�ca de la función anterior y halla el área de la región limitada por la grá�ca de f y el eje OX.

f (x) tiene un mínimo relativo en x = 1 → f ' (1) = 0

f (x) pasa por (–2, 0) → f (–2) = 0

f ' (x) = 3x 2 + p

f ' (1) = 0 → 3 + p = 0 → p = –3

f (–2) = 0 → – 8 + 6 + q = 0 → q = 2

La función es f (x) = x 3 – 3x + 2.

Para representar la función, teniendo en cuenta que es polinómica, hallamos los cortes con los ejes y los puntos singulares, y estudiamos el crecimiento.

•Cortesconlosejes:

Eje Y : f (0) = 2 → (0, 2)

Eje X : x 3 – 3x + 2 = 0 → x = –2, x = 1 → (–2, 0) y (1, 0)


f ' (x) = 3x 2 – 3

f ' (x) = 0 → 3x 2 – 3 = 0 → x = –1, x = 1

x = –1, f (–1) = 4


–1 1f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

1 2–1–2–3 3 X–1

1

2

3

4

5

6

–2

Y

Área = ( )x x dx x x x3 24 2

3 2427– –3

2

1 4 2

2

1

– –+ = + == Gy u2


36


40 Calcula el área del recinto plano limitado por la grá�ca de la función f (x) = x

x1–

2, las rectas

verticales x = 2 y x = 3 y la recta de ecuación y = x + 1.

Cortes entre la función f (x) = x

x1–

2 y la recta y = x + 1:

8x

x x x x1

1 1–

–2 2 2= + = →Nosecortan.


( ) | |lnx

x x dxx

dx x1

11

1 1–

––

–2

+ = == Gy y

| |ln lnx

dx x1

1 1 2–

–2

3

23

= =8 By

Área = ln 2 u2

41 Calcula el área correspondiente al recinto limitado por las funciones f (x) = x 2 + 2x + 2, g (x) = –x 2 – 2x y las rectas x = –2 y x = 0.

Haz una representación grá�ca de dicha área.

Cortes entre las funciones:

x 2 + 2x + 2 = –x 2 – 2x → x = –1


( ) [ ( )] ( )G x x x x x dx x x dx x x x2 2 2 2 4 23

2 2 2– – –2 2 2 3 2= + + = + + = + +yy

G (–2) = · ( ) · ( ) · ( ) ( ) ( ); ;G G3

2 2 2 2 2 234 1

32 0 0– – – – – –

32+ + = = =

Por tanto:

( ) ( ) ( )x x dx G G2 4 2 1 232

34

32– – – –2

2

1

–

–+ + = = + =y

( ) ( ) ( )x x dx G G2 4 2 0 132– –2

1

0

–+ + = =y

Área total = 32

32

34+ = u2

1 2–1–2–3–4 X–1

1

2

3

4

–2

–3

–4

Y


37



42 Si F (x) y G (x) son dos primitivas de f , ¿se verifica necesariamente que F (x) = k + G (x)? Justifica la respuesta.

Sí. ustificación:

( )f dx F x c1= +y ( )f dx x cG 2= +yRestando: 0 = F (x) – G (x) + (c1 – c2) → F (x) = k + G (x)

43 a) Calcula el área bajo la gráfica de la derecha en los intervalos [0, 2] y [2, 6].

2 4 6 8 10

2

4

6

b) Si esta gráfica representa la velocidad (m/s) de un móvil en función del tiempo, ¿qué representa cada una de las áreas anteriores?

a)Eláreaenelintervalo[0,2]esladeuntrapeciorectángulodebases1y3yaltura2.

· 8A f dx2

1 3 2 4 4[ , ]0 2 0

2= + = =y

Enelintervalo[2,6],eláreaeslasumadelasáreasdeuntrapecioydeunrectángulo.

8A f dx2

3 5 2 2 5 18 18· ·[ , ]2 6 2

6= + + = =y

b)Enunagráficavelocidad-tiempo, estas áreas representan el espacio recorrido por un móvil en los intervalosdetiempo[0,2]y[2,6].

44 a) Representa la función f (x) = 2x y halla el área limitada por f en los intervalos [0, 1], [0, 2], [0; 2,5] y [0, 3].

b) Haz una tabla de valores de la función F (x) = fx

0y y represéntala.

c) ¿Cuál de estas ecuaciones corresponde a la expresión analítica de F(x)?:

I) y = x22

II) y = 2x2 III) y = x2 IV) y = x2 + 1

d) Comprueba que la derivada de la función área coincide con la función que limita esa área.

a) Tenemos que hallar en cada caso el área de un triángulo cuya base es la amplitud del intervalo correspondiente y cuya altura es 2x :

·A2

1 2 1[ , ]0 1 = = ·A2

2 4 4[ , ]0 2 = =

, · ,A2

2 5 5 6 25[ ; , ]0 2 5 = = ·A2

3 6 9[ , ]0 3 = = 2

2

4

4

f (x )

b)

X 0 1 2 2,5 3 4 5

F (x) 0 1 4 6,25 9 16 25

c) Observamos que solo la III pasa por todos los puntos de la tabla de valores del apartado b).

d) Como F (x) = x 2 → F ' (x) = 2x = f (x) 2

2

4

9

4


38


45 ¿Cuál de las si guientes expresiones nos da el área limitada por la gráfica de f y el eje de abscisas?

f

a b c

a) fa

cy b) fa

cy c) f fb

c

a

b+ yy d) f f–

a

b

b

c+y y

d)

46 Siendo F (x) = fx

1y = 3x2 – 5x , halla la función f . Calcula F (0) y F (2).

f (x) = F ' (x) = 6x – 5F (0) = 0; F (2) = 2

Página 241

47 Calcula el área bajo la curva f (x) = x2 – 1 en el intervalo variable [1, x]. Halla el área para x = 4.

x 2 – 1 = 0 → x1 = –1, x2 = 1

Área = ( )t dt1–x 2

1y

( ) ( )G t t dt t t13

– –2 3=y

G (1) = 32–

rea[1,x]=|G (x) – G (1) | = x x3 3

2–3

+

Cuando x=4,queda: rea[1,4]=18u2

1

2

3

4

–2–1

1 x

48 Demuestra, utilizando integrales, que el área del rectángulo es A = b · a.Y

a

Xb

r

Halla la ecuación de la recta r y calcula el área limitada por r y el eje OX entre x = 0 y x = b.

La ecuación de r es y = a. El área es:

Área = a dxb

0y

( )G x a dx ax= =yG (b ) = ab; G (0) = 0Área = G (b ) – G (0) = ab


39


49 Representa tres primitivas de las siguientes funciones f :

a) b)

f2

f2

1

1

a) f (x) = 2 → F (x) = 2x + k

Por ejemplo:

F 1(x) = 2x

F2(x) = 2x + 1

F 3(x) = 2x – 1

cuyasgráficasson:

F1F2

F32

1

1 2 3

–1

b) f (x) = 2x → F (x) = x 2 + k

Por ejemplo:

F 1(x) = x 2

F2(x) = x 2 + 1

F 3(x) = x 2 – 1

cuyasgráficasson:

4

2

1 2–1

3

1

5678

3 4–4 –3 –2 –1

F1

F2

F3

50 Las gráficas I, II y III corresponden, no necesariamente por ese orden, a las de una función de-rivable f, a su función derivada f ' y a una primitiva F de f.

Identifica cada gráfica con su función, justificando la respuesta.

I II III

Lagráfica esladelafunción;lagráfica ,ladesuderivadaylagráfica ,ladesuprimitiva.

Larazónes:partiendodelagráfica ,observamosquesetratadeunafunciónlineal(afín)conpen-diente positiva, por lo que la función derivada tiene que ser una función constante (la pendiente de la función afín).

Porotrolado,laprimitivadelafunciónafíntienequeserunafuncióncuadrática,cuyagráficacorres-ponde a la parábola.


40


Para profundizar

51 Sabiendo que esta grá�ca corresponde a f (x) = x 2, justi�ca cuál de las siguientes funciones es

F (x) = fx

1y :

a) F (x) = x 3 – 1

b) F (x) = x33

c) F (x) = x3 3

1–3

1 x

f

Como debe cumplirse que F ' (x) = f (x), no puede ser F (x) = x 3 – 1, ya que F ' (x) = 3x 2.Cualquiera de las otras dos cumple que:

F ' (x) = ( )x x f x3

3 2 2= =

Tienequeverificarse,además,queF (1) = 0.

Por ello, descartamos el caso b), en el que F (1) = 31 .

La solución es la c): f x3 3

1–x 3

1=y

52 La curva y = a[1 – (x – 2)2], con a > 0, limita con el eje de abscisas un recinto de 12 unidades de superficie. Calcula el valor de a.

•Hallamoslospuntosdecorteconelejedeabscisas:

[ ( ) ] ( )8a x x1 2 0 2 1– – –2 2= = 88

x xx x

2 1 32 1 1– –

= = == =

•Calculamoseláreaeigualamosa12:

Área = [ ( ) ] ( )a x dx a x x a1 23

2 331 1

31– – – – – –2

1

3 3

1

3

= = + =c m= >G Hy

= 8a a a2 32

34 12 9– = = =c m

53 Dada la función f (x) = a ex/3 + x12 (x ≠ 0):

a) Calcula ( )f x1

2y dx en función de a.

b) Se sabe que F es una primitiva de f. Calcula a si F(1) = 0 y F(2) = 1/2.

a) ( )f x dx aex

aex

dx1 3 1–/ /x x1

2 321

2 31

2= + = =c m < Fy y ( ) ( )ae ae a e e3

21 3 1 3

21– – – –/ / / /2 3 1 3 2 3 1 3= +c m

b) Si F es una primitiva de f, tenemos que: F (x) = 3ae x/3 – x

k1 +

Tenemos que hallar k y a para que:

ae k3 1+ =

ae k3 1+ =( )

( )

8

8

F ae k

F ae k

1 0 3 1 0

221 3

21

21

–

–

/

/

/

/

1 3

2 3

1 3

2 3

= + =

= + =4 4

Restandola2. ecuaciónmenosla1. :3a(e 2/3 – e 1/3) = 0 → a = 0 → k = 1

Por tanto: F (x) = x1 1– +


41


54 Expresa por una integral el área del triángulo de vértices (0, 3), (7, 3) y (7, 10). Explica el signi-ficado de la integral escrita.

10

7

(7, 10)

(7, 3)(0, 3)

• Laecuacióndelarectaquepasapor(0,3)y(7,10)es:

Pendiente = 7 010 3

77 1

–– = =

Ecuación: y = x + 3• Laecuacióndelarectaquepasapor(0,3)y(7,3)esy = 3. El área del triángulo es el área comprendida entre las dos rectas anteriores y x = 7. Así, tenemos que:

Área = [( ) ]x dx x dx3 3–0

7

0

7+ =y y

El área del triángulo es equivalente al área limitada por y = x, x = 0 y x = 7.•Calculamossuvalor:

x dx249

0

7=y u2

55 Halla el área del triángulo mixtilíneo de vértices A(2, 4), B(–2, 4) y C(–1, 1), en el que las líneas AB y AC son rectas, mientras que la que une los puntos B y C es la de ecuación y = x2.

4

2–1–2

y = 4

y = x 2

A(2, 4)B(–2, 4)

C(–1, 1)

•HallamoslaecuacióndelarectaquepasaporA y C :

Pendiente = ( )2 14 1

33 1– –

– = =

Ecuación: y = 4 + (x – 2) = x + 2•Calculamoseláreapedida:

Área = ( ) [ ( )] ( )x dx x dx x x x dx4 4 2 43

2– – – –22

1

1

2 3

2

1

1

2

–

–

– –

–

–+ + = + == Gy y y

= x x431 8

38 2

2 35 2

25

637– – – –

2

1

2

–+ + + = + + =c cm m = G u2


42


Autoevaluación

Página 241

1 Resuelve las integrales siguientes:

a) y x x dx37 2

21–2 +c m

b) y x

x dx1 – 3

c) y x dx2

3 5– 2c m

d) y x

x dx2 22 +c m

e) y x x dx2 12 +

f ) y x

x x dx1

3 2–

–2 +

a) y x x dx37 2

21–2 +c m = x x x k x x x k

37

3 21

97

21– –

3 2 3 2+ + = + +

b) y xx dx1– 3

= | |lnx

dx x dx x x k13

– –2 3= +yy

c) y x dx2

3 5– 2c m = x dx x k x k

52

25

23 5

52

31

23 5

152

23 5– – – – – – –2 3 3

= + = +c c cm m my

d) y x

x dx2 22 +e o = /

x dx kx x x kx

x2 2 21

23 2

23

2 2–

–/ /2 1 2 1 3 2 3– –+ += + + = +yy

e) y x x dx2 12 + = ( )/

( ) ( )x x dx x k x k41 4 2 1

41

3 22 1

61 2 1/

/2 1 2

2 3 22 3+ = + + = + +y

f ) y x

x x dx1

3 2–

–2 +

divisor

Dividendo cocientedivisorresto= +

x

x x xx1

3 2 4 21–

––

2 + = + +

x 2 + 3x – 2 x – 1–x 2 + x x + 4

4x – 2– 4x + 4

2

| |lnx

x x dx xx

dx x x x k1

3 2 41

22

4 2 1–

––

–2 2+ = + + = + + +c myy

2 Calcula:

a) x

dx2

21

3

– +y

b) e dx/

x3 11 3

2 –y

a) x

dx2

21

3

– +y = | | [ ]ln ln ln lnx2 2 2 5 1 2 5–13–+ = =8 B

b) e dx/

x3 11 3

2 –y = ( )e e e e e31 3

31

31

31– –

/ /x x3 1

1 3

2 3 11 32 5 0 5– –= = =8 By


43


3 Representa el recinto limitado por f (x) = 4x – x2, el eje X y las rectas x = 3 y x = 5. Después, calcula su área.

Representamoslaparábolateniendoencuentasuspuntosnotables.

Cortes con los ejes: (0, 0) y (4, 0)

Vértice: (2, 4)

1 42 53–1 X–1

1

2

3

–5

–2

–3

–4

Y

Primitiva de la función:

( ) ( )G x x x dx x x4 23

– –2 2 3= =y

G (3) = 9; G (4) = 332 ; G (5) =

325

Por tanto:

( ) ( ) ( )x x dx G G4 4 3332 9

35– – –2

3

4= = =y

( ) ( ) ( )x x dx G G4 5 4325

332

37– – – –2

4

5= = =y

Área total = 35

37 4+ = u2

4 La curva y = x 4

4+

, el eje X, el eje Y y la recta x = 4 limitan una superficie S. Represéntala y

calcula su área.

Representamosy = x 4

4+

. Sus asíntotas son x = – 4 e y = 0.

–2 4–4

2

–2

–4

Y

X

Área = | | ( ) ≈ ,ln ln ln ln lnx

dx x4

4 4 4 4 8 4 448 4 2 2 77–

0

4

04

+= + = = =8 By u2


44


5 El consumo de un motor, en un trabajo de 6 horas, viene dado por la expresión c(t) = –t2 + 8t + 20, siendo t el tiempo en horas, 0 ≤ t ≤ 6.

¿Cuánto consume el motor durante las 6 horas que dura dicho trabajo?

El consumo equivale al área encerrada por la función c (t ) entre las rectas x = 0 y x = 6.

( ) · ·c t t dx t t t8 203 2

8 2036 4 6 20 6 192– – –2

0

6 3 2

0

6 3 2= + + = + + = + + == Gy

6 Para cerrar una vidriera, se ha de colocar un cristal cuya superficie está limitada por las funciones y = 2 e y = –(x – 2)2 + 6.

Dibuja el cristal y calcula su área (x e y en dm).

y = –(x – 2)2 + 6 es una parábola de vértice (2, 6).Puntos de corte con los ejes: x = 0 → y = 2

y = 0 → –x 2 + 4x + 2 = 0 ,

,xx

0 454 45–=

=

Puntos de corte de la curva con y = 2: X

Y

2

2

6

1

4

2 = –(x – 2)2 + 6 → –x 2 + 4x = 0 ,,

x yx y

0 24 2

= == =

Área del cristal = [ ( ) ] ( )x dx x x dx x x2 6 2 43

23

64 32332– – – – – –2

0

4 20

4 3 2

0

4

+ = + = + = + == Gyy dm2

7 Representa gráficamente la región limitada por las gráficas de las funciones siguientes y calcula su área:

f (x) = 45 x2 g(x) =

21 (5x + 20) h(x) =

21 (–5x + 20)

Representamoslaparábolaf (x), y las rectas g (x) y h (x).

X

Y

2

16

20

4

•Cortesdef (x) y g (x):

( ) 8x x x x45

21 5 20 2 8 0– –2 2= + =

,,

x yx y

4 202 5–

= == =

•Cortesdef (x) y h (x):

( ) 8x x x x45

21 5 20 2 8 0– –2 2= + + =

,,

x yx y

2 54 20–

= == =

Área = ( )x x dx x x x221 5 20

45 2

21

25 20

45

32 60

380

3200– – –2

0

4 2 3

0

4

+ = + = =e co m= >G Hy u2

1

Bloque II. Análisis BACHILLERATOMatemáticas aplicadas a las


Autoevaluación

Página 242


a) ∞

l mí8x +

10x 2 – x x5 1–6 +

b) ∞


e1

x

2 +

c) ∞

l mí8x +

x x2 1 4 1– 2+ +` j

a) ∞

l mí8x +

10x 2 – x x5 1–6 + = (+ ∞) – (+ ∞) = ∞

l mí8x +

( ) ( )x x x

x x x x x x10 5 1

10 5 1 10 5 1–

– – –2 6

2 6 2 6

+ ++ =+ +

= ∞

l mí8x +

( )x x xx x x

10 5 1100 5 1

–– –

2 6

4 6

+ ++ =

= ∞

l mí8x + x x x

x x x10 5 1

100 5 1–

– –2 6

6 4

+ ++ + = – ∞

b) ∞


e1

x

2 + =

( ∞)( )0 0+

=

c) ∞

l mí8x +

x x2 1 4 1– 2+ +a k = (+ ∞) – (+ ∞) = ∞

l mí8x +

( ) ( )x x

x x x x2 1 4 1

2 1 4 1 2 1 4 1–2

2 2

+ + ++ + + + + =

= ∞

l mí8x +

( ) ( )x x

x x2 1 4 1

2 1 4 1–2

2 2

+ + ++ + =

= ∞

l mí8x + x x

x2 1 4 1

42+ + +

= 2 2

4 1+

=

2 Dada la función:

f (x) = ax

xx x

x

x

3

16 5

1

1

–

––

si ≤

si >2 +*

determina el valor del parámetro a para el cual la función es continua en todo su dominio.

La función está de�nida por intervalos mediante funciones continuas en sus respectivos intervalos de de�nición. Estudiamos qué ocurre en el punto de ruptura x = 1.

f (1) = a – 3

l mí8x 1

f (x) =

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

8

l m ax a

l mx

x x l mx

x x l m x

3 3

16 5

00

11 5 5 4

– –

––

–– – – –

í

í í í

8

8 8 8

x

x x x

1

1

2

1 1

–=

+ = = = =+ + +

* 4 → a – 3 = – 4 → a = –1

Cuando a = –1 la función es continua en x = 1 porque f (1) = l mí8x 1

f (x) y, por tanto, es continua en todo su dominio.


2


3 Sea la función f (x) = ( )

( )

ax

x b x

x

x21 12

1

1

1

–

– –

si –

si ≥ –

<2 +

* .

a) Halla los valores de a y de b para que la función sea derivable en x = –1.

b) Para a = 1 y b = –1 obtén la ecuación de la recta tangente a f (x) en el punto de abscisa x = –2.

a) Para que sea derivable en x = –1, primero debe ser continua:

l mí8x 1–

f (x) = ( )

[ ( )]8

l m ax a

l m x b x ba b

21 12 2

1 6

1 1 2 21 6 1 2

– – –

– – – –– – – –

í

í

8

8

x

x

1

12

–

–

–=

+ ==

+

< F* 4 Además, las derivadas laterales en x = –1 deben ser iguales:

f ' (x) = ( )

( )

'

'8 8

a

x b

x

x f b

f aa b2

2

1

1 1 2

1 22

2–

si –

si – –

–<

>

–

+ = +

== +

+* * 4

Resolvemos el siguiente sistema para obtener los valores pedidos:

a b

a b

21 6 1 2

22

– – – –=

= +

_

`

a

bb

bb → a = 18, b = 7

b) Si a = 1, se tiene que f ' (x) = 21 cuando x < –1. Por tanto:

x = –2, f (–2) = ( )21 2 12 7– – –= , f ' (–2) =

21

Y la ecuación de la recta tangente es y = –7 + ( )x21 2+ .

4 Considera la función f (x) = lnx ax

x bxx

3 11

– si ≤si >

2

2+

+* .

Determina los valores de los parámetros a y b para los cuales la función f (x) es derivable en todo Á.

La función está de�nida por intervalos mediante funciones continuas y derivables en sus respectivos intervalos de de�nición. Estudiamos qué ocurre en el punto de ruptura x = 1. Para que sea derivable en x = 1, primero debe ser continua.

f (1) = a – 2

l mí8x 1

f (x) = ( )

( )8

ln

l m x ax a

l m x b ba b

3 22

– ––

í

í

8

8

x

x

12

12

–+ =

+ ==

+

* 4Además, las derivadas laterales en x = 1 deben ser iguales.

f ' (x) = ( )( )

''

8 8 8x a

x

x

xf af

a a22

1

11 21 2

2 2 0si

si

<

>

–+ = +=

+ = =+* * 4

Así obtenemos que b = –2.

Para a = 0 y b = –2 la función es continua y derivable en todo Á.


3


5 Dada la función f (x) = xx x

x a

xxx

26 12

2

0 22 44 8

––


<<2

++

+* .

a) Calcula el valor de a para que la función sea continua en el intervalo [0, 8].

b) Halla los máximos y mínimos absolutos de f (x) en el intervalo [0, 4]. Justi�ca que los puntos obtenidos son máximos y mínimos absolutos.

c) Calcula el área de la región del plano limitada por las rectas y = 0, x = 0, x = 3 y la grá�ca de f (x).

a) La función está de�nida por intervalos mediante funciones continuas y derivables en sus respectivos intervalos de de�nición.

•Enx = 2 la función es continua ya que:

f (2) = 4

l mí8x 2

f (x) =

( )

( )8

l m

l m

x

x x

2 4

6 12 4–

í

í

8

8

x

x

2

22

–=+

+ =+

* 4 f (2) = l mí8x 2

f (x)

•Estudiamoslacontinuidadenx = 4:

f (4) = – 8 + a

l mí8x 4

f (x) = (

( )

)8

l m

l m

x x

x a a

6 12 4

2 8

–

– –

í

í8

8

x

x

4

4

2–

+ =

+ = ++

* 4 4 = – 8 + a → a = 12

La función es continua en [0, 8] cuando a = 12.

b) Hallamos la derivada en el intervalo [0, 4]:

f ' (x) = xxx

12 6

0 22 4–

sisi

< << <

)

f (x) tiene un punto singular en x = 3.

Crecimiento y decrecimiento:

4

f ' > 0 f ' > 0f ' < 0

0 32

Evaluamos en los posibles extremos absolutos:

x = 0 → f (0) = 2

x = 2 → f (2) = 4

x = 3 → f (3) = 3

x = 4 → f (4) = 4

Del comportamiento de la función y de los resultados anteriores se deduce que el punto (0, 2) es un mínimo absoluto; y que los puntos (2, 4) y (4, 4) son máximos absolutos.

c) Área = ( ) ( )x dx x x dx x x x x x2 6 122

23

3 12 6 18344

328– – –0

2 223 2

0

2 3 2

2

3

+ + + = + + + = + =c m= =G Gy y u2

6 Halla el valor de a, b y c para que y = x 3 + ax 2 + bx + c tenga un punto de in�exión en (0, 1) y la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto sea 2.

Punto de in�exión en (0, 1) → ( )( )''

yy

0 10 0

==

*


4


La pendiente de la recta tangente en x = 0 es 2 → y' (0) = 2y' (x) = 3x 2 + 2ax + b ; y' (0) = 2 → b = 2 y'' (x) = 6x + 2a ; y'' (0) = 0 → a = 0y (0) = 1 → c = 1La función es y = x 3 + 2x + 1.

7 La función y = f (x) tiene las siguientes propiedades:

• Á – {–1, 1}. Es continua en todo su dominio y corta el eje X en x = 2.

• y = 0 con f (x) < 0 si x > 2 y f (x) > 0 si x < 2, x ≠ 1, x ≠ –1.

• x = 1 con l mí8x 1+

f (x) = +∞; l mí8x 1–

f (x) = +∞.

• x = –1 con l mí8x 1– +

f (x) = +∞; l mí8x 1– –

f (x) = +∞.

•

Representa gráficamente la función.

X

Y

1 4–11

8 Sea f (x) = x x 1–2 + . Determina su dominio, asíntotas, extremos relativos y estudia su monoto-nía. Luego, dibuja la grá�ca de f

•Eldominiodelafunciónestáformadoporlosvaloresdex para los cuales x 2 – x + 1 ≥ 0, es decir, todo Á. Es continua en todo su dominio.


∞

l mí8x +

x x 1–2 + = + ∞ → No tiene.


m = ∞

l mí8x + x

x x 1 1–2 + =

n = ∞

l mí8x +

( ) ( ∞) ( ∞)x x x1– – –2 + = + + = ∞

l mí8x +

( ) ( )x x

x xx

x x x x1

1 1–

– – –2

2 2

++

++ + =

= ∞

l mí8x + x x

xx1

121

–– –

2 ++ =

+

La recta y = x – 21 es la asíntota oblicua cuando x → + ∞.

m = ∞

l mí8x – x

x x 1–2 + = ∞

l mí8x + x

x x 1–

2 + + = –1

n = ∞

l mí8x –

( )x x x1–2 + + = ∞

l mí8x +

( )x x x1 –2 + + = (+ ∞) – (+ ∞) =

= ∞

l mí8x +

( ) ( )x x

x xx

x x x x1

1 1–2

2 2

+ ++ +

++ + + =

= ∞

l mí8x + x x

xx1

121

2 + ++ =

+

La recta y = –x + 21 es la asíntota oblicua cuando x → – ∞.


5



f ' (x) = x x

x1

2 1–

–2 +

f ' (x) = 0 → 2x – 1 = 0 → x = 21

x = 8 f21

21

23=c m


f ' > 0f ' < 0

1—2

El punto ,21

23e o es un mínimo.

La función es decreciente en el intervalo ∞,21–c m y es creciente en , ∞

21 +c m.

•CortaalejeYenelpunto(0,1).NocortaalejeX.

2 4–4–6 –2

2

4

6

–2

Y

X

1y = –x+— 2

1y = x – — 2

1 √—3(—, —) 2 2

9 Dada la función f (x) = (3x – 2x 2) e x:

a) Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) Halla los extremos relativos.

c) Encuentra los puntos de corte con los ejes.

d) Halla sus asíntotas y sus ramas parabólicas.

e) Represéntala en unos ejes coordenados.

a) f ' (x) = (3 – 4x)e x + (3x – 2x 2)e x = e x(–2x 2 – x + 3)

f ' (x) = 0 → e x (–2x 2 – x + 3) = 0 → –2x 2 – x + 3 = 0 → x = 23– , x = 1


f ' < 0 f ' < 0f ' > 0

1–3—2

La función decrece en los intervalos ∞,23– –c m y (1, + ∞) y crece en ,

23 1–c m.

b) x = , f e e23

23 3

23 2

23 9– – – – – –/ /

23 2 3 2– –= =c c cm m m> H

x = 1, f (1) = e

El punto , e23 9– – /3 2–c m es un mínimo. El punto (1, e) es un máximo.

c) x = 0 → f (0) = 0

y = 0 → (3x – 2x 2)e x = 0 → 3x – 2x 2 = 0 → x = 0, x = 23


6


d) La función es continua y derivable en todo Á. No tiene asíntotas verticales.

Asíntotashorizontales:

∞

l mí8x +

[(3x – 2x 2)e x] = – ∞

Tiene una rama parabólica cuando x → + ∞ ya que:

∞

l mí8x +

( )x

x x e3 2– x2 =

∞l mí8x +

[(3 – 2x )e x] = – ∞

∞

l mí8x –

[(3x – 2x 2)e x] = 0 porque la función exponencial tiende a 0 y es de orden superior a cual-

quier polinomio. Por tanto, la recta y=0esunaasíntotahorizontalcuandox → – ∞. Además, lafunciónquedapordebajodelaasíntotahorizontal.

e)

2–4 –2–2

4

2

–4

–6

Y

X–6–8

10 Dada la función f (x) = ln x

x , determina su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y

decrecimiento y extremos relativos. Represéntala.

•Eldominiodedefiniciónes(0,1)ø (1, + ∞) para que el denominador se pueda evaluar y no se anule.


l mí8x 0+ ln x

x = 0 ya que un polinomio es de mayor orden que un logaritmo.

∞

ln

ln

l mx

x

l mx

x

∞–í

í

8

8

x

x

1

1

–=

= ++

4 La recta x = 1 es la asíntota vertical.


∞

l mí8x + ln x

x = + ∞ → No tiene.


m = ∞

l mí8x +

lnx

xx

= ∞

l mí8x + ln x

1 = 0 → No tiene.

•Esderivableentodosudominio.

f ' (x) = ( )lnln

xx 1–

2

f ' (x) = 0 → ln x – 1 = 0 → x = e

x = e → f (e ) = e


f ' < 0 f ' > 0f ' < 0

0 e1

Es decreciente en los intervalos (0, 1) y (1, e ) y creciente en (e, + ∞).


7


El punto (e, e ) es un mínimo.

1 e

e

Y

X

11 El coste total por producir x unidades de un artículo es C (x) = 31 x 2 + 6x + 192. Se de�ne la

función coste medio por unidad como Cm(x) = ( )x

C x

que el coste por unidad sea mínimo?

Cm (x) = xx3

1 6 192+ +

Tenemos que calcular el mínimo de esta función.

C 'm (x) = x3

1 192– 2

C 'm (x) = 0 → x3

1 192 0– 2 = → x = –24 (no vale), x = 24

Comprobamos si es un mínimo mediante la derivada segunda:

C ''m (x) = x

3843 → C ''m (24) =

24384

3 > 0 → En x=24hayunmínimo.

En conclusión, se deben producir 24 unidades para que el coste medio por unidad sea mínimo.

12 3. Para la tapa y la super�cie lateral, usamos un determinado material, pero para la base, debemos emplear un material un 50 % más caro. Halla las dimensiones de este envase para que su precio sea el menor posible.

Llamemos x al lado de la base e y a la altura del prisma regular.

Por una parte, 80 = x 2y.

Si p es el precio por centímetro cuadrado del material usado para la tapa y la super�cie lateral, 1,5p es el precio por centímetro cuadrado del material usado para la base.

El coste del material es C = 1,5px 2 + 4pxy + px 2 = p (2,5x 2 + 4xy ).

Delaecuacióndelvolumendespejamosy para sustituir en el coste:

y = ,8x

C p xx

80 2 5 3202

2= +c mBuscamoslasdimensionesquehacenmínimoelcoste:

C ' = p xx

5 320– 2e o

C ' = 0 → xx

5 320– 2 = 0 → x 3 = 64 → x = 4

Estudiando el signo de la derivada primera a ambos lados del punto singular vemos que, efectivamen-te, es un mínimo.

x = 4, y = 480 52 =

Por tanto, para que el precio sea el menor posible, el prisma regular debe tener una base de 4 cm de lado y una altura de 5 cm.


8



a) y x

x dx3 – 2 b) y

xx dx

13

2

+

c) y x

x x dx2

5 8–

–2 + d) y 2e 1 – 3x dx

a) y x

x dx3 – 2 = y

xdx3 – y x dx

x3

2= y

xdx1 – y x dx = 3ln | x | – x k

22

+

b) y x

x dx13

2

+ =

31 y

( )xx dx1

331

/3 1 2

2

+= y 3x 2(x 3 + 1)–1/2 dx =

/( )x k x k

31

1 21

32 1

/3 1 23+ + = + +

c) y x

x x dx2

5 8–

–2 + = y | |lnxx

dx x x x k32

22

3 2 2––

– –2

+ = + +c m

d) y 2e 1 – 3x dx = 32– y (–3)e 1 – 3x dx = e k

32– x1 3– +

14 Representa el recinto limitado por las grá�cas de las funciones y = x 3 – 3x e y = x. Después, calcula su área.

La grá�ca de y = x 3 – 3xcortaalosejesenlospuntos(0,0),( 3, 0) y (– 3, 0).Tiene un máximo en (–1, 2) y un mínimo en (1, –2).Puntos de corte entre las funciones:

y x xy x

3–3==

4 x 3 – 3x = x → x 3 – 4x = 0 → x = 0, x = –2, x = 2

(2, 2)

(–2, –2) y = x3 – 3x

y = x

X

Y

2–2

2

–2

El recinto es simétrico.

Área = ( ) [ ( )] ( )x x x dx x x x dx x x dx x x3 3 2 4 2 24

– – – – – –32

0 30

2 30

2 2 4

0

2

–+ = = = Gy y y = 8 u2

15 Calcula el área limitada por la función y = ( )xx

31

–– 2

, el eje X y las rectas x = –2 y x = 1.

Representamos la función y = ( )xx

31

–– 2

:

•Asíntotavertical:x = 3 , ∞, ∞

88

x yx y

33

Si –Si

<> +

•Asíntotaoblicua:y = x + 1 , ( )

∞, ( )88

x f x xx f x x

11

Si ∞Si –

><

++

+

• y' = ( )

( ) ( ) ( )( )x

x x xx

x x3

2 1 3 13

6 5 0–

– – – ––

–2

2

2

2= + =

, ( ), ( )

x fx f

5 5 81 1 0

= == =

Signo de y' :

Máximo: (1, 0) Mínimo: (5, 8)

3 5

y ' < 0 y ' < 0 y ' > 0y ' > 0

1


9


(x – 1)2y = –––––––– x

y = x

X

Y

x =

1

x =

–2

– 3

Área = ( ) | |lnxx dx x

xdx x x x

31 1

34

24 3

––

––

2

2

1

2

1 2

2

1

– – –= + + = + + =c m = Gy y

= ≈ ,ln ln23 4 2 4 5 2 17–+c m u2

16 Escribe la expresión analítica de la función f (x) de la que conocemos: f '' (x) = 3; f ' (1) = 0 y f (1) = 5.

f '' (x) = 3 → f ' (x) = dx x k3 3= +y ; f ' (1) = 0 → 3 + k = 0 → k = –3

f ' (x) = 3x – 3 → f (x) = ( )x dx x x3 32

3 3– –2

=y + k'

f (1) = 5 → 23 – 3 + k' = 5 → k' = 8 –

23

213=

f (x) = x x2

3 3213–

2+

17 Sea la función f (x) = x + xa3 donde a es una constante:

a) Encuentra una primitiva de f.

b) Si F es una primitiva de la función f, ¿puede serlo también G (x) = F (x) + 2x?

c) Halla a sabiendo que ( ) ,f x 1 51

2=y .

a) F (x) = ·xxa dx x a x x

xa

2 2 2 2––3

2 2 22

–+ = + =c my

b) G (x) = xxa x

2 22–

22 + → G' (x) = x

xa 23+ +

G no es una primitiva de f porque G' (x) ≠ f (x).

c) ( ) , 8 8f x xxa a a

2 21 5

23

83

23 0–

1

2 22

1

2= = + = == Gy

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Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad BACHILLERATO · 2018. 9. 10. · Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad BACHILLERATO 8 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales