Unidad 3 - Límites Y Continuidad

Unidad III:Unidad III:

Límites Y Continuidad.Límites Y Continuidad.

“Cuando No Tengo Ningún Problema Especial En Qué‚ Pensar, Me Gusta Reconstruir Pruebas De Teoremas Físicos Y Matemáticos Que Conozco Hace Mucho, No Hay Ningún Propósito En Ello, Sino Dedicarme A La Agradable Tarea De Pensar”

– Albert Einstein –

Unidad III: Límites Y Continuidad.

Página 19 Ing. Gilberto Marín Uribe.


3.1. Límite De Una Función.

Los temas tratados hasta aquí son parte de lo que se llama “Precálculo”. Los cuales proporcionan los fundamentos del cálculo, pero no son cálculo. Ahora estás listo para una nueva idea importante, la noción de “Límite De Una Función”. Es esta idea la que distingue al cálculo de otras ramas de las matemáticas. De hecho, se puede definir el “Cálculo” como un “Estudio de los Límites”.

EJEMPLO 1: Al graficar la función , en valores de “x” Cercanos a “1” por ambos lados (por

la derecha y por la izquierda ), se observa que…

La expresión “ ” se lee… Cuando “x” tiende hacia “1” por la Derecha, y significa que se evaluaran valores de “x” mayores que “1”. La expresión “ ” se lee… Cuando “x” tiende hacia “1” por la Izquierda, y significa que se evaluaran valores de “x” menores que “1”. Las expresiones y no significa que se tengan que evaluar necesariamente valores positivos, y negativos, sino que se deben evaluar valores por la Derecha e Izquierda de “1” respectivamente.

3.1.1. Definición De Límite De Una Función.

Si los valores de una función se Aproximan a un único número Límite “L” cuando “x” se aproxima hacia el número “a” por Ambos Lados, entonces, el límite de cuando “x” tiende hacia “a”, es “L” y se representa de la siguiente manera…

Observación: La existencia o inexistencia del límite de una función, lo determina el Comportamiento de la función Cerca de “a” y No su Valor en “a”. Es decir la función puede estar o no estar definida en “a”.

Teorema De Unicidad. Una función no puede tender a dos límites distintos a la vez, para un mismo valor de “a”; es decir, si el límite de una función existe, éste es único.


1x 1x

3y

3y

a

L1) Cuando se evalúan valores

cercanos de x por la izquierda de 1 () el valor de la función se aproxima al número 3.

2) Cuando se evalúan valores cercanos de x por la derecha de 1 () el valor de la función se aproxima al mismo número 3.

xf(x) = y01.00000.51.75000.82.44000.992.97010.9992.99701Indefinido1.0013.00301.013.03011.23.64001.54.75

0027.0000

31

1

x

1

x

y

y

a

3

1

1 3

1x

xLím

x

xf L


3.1.2. Límites Bilaterales Y Unilaterales.

Límites Bilaterales.

En el ejemplo1, se analizó el comportamiento de la función cuando “x” se aproxima a 1,

tanto por la derecha como por la izquierda, se observó que el valor de la función tiende hacia el

número 3 en ambos casos… con éstos argumentos podemos establecer que el Límite de la función cuando “x” tiende a 1 existe, y es igual a 3, su representación simbólica es…

Cuando el valor de la función tiende al mismo número por ambos lados de “a” (como en el ejemplo 1), se establece que la función tiene Límite Bilateral o simplemente Límite.

Límites Unilaterales.

EJEMPLO 2: Al graficar la función , en valores de “x” Cercanos a “1” por ambos lados (por

la derecha y por la izquierda ), se observa que…

Cuando el valor de la función tiende a un número “L” por un solo lado de “ ” (como en el ejemplo 2, se dice que la función tiene un Límite Unilateral. (Ya sea por la Izquierda o por la Derecha)

a) El Límite Unilateral Por La Derecha de (cuando “x” se aproxima hacia “a” por la derecha) es…

b) El Límite Unilateral Por La Izquierda de (cuando “x” se acerca hacia “a” por la izquierda) es…

Para el caso del ejemplo 2… la representación simbólica es…


1

1 0xLím x

xfa L

1) Cuando se evalúan valores cercanos de “x” por la izquierda de “1” () el valor de la función no esta definido.

2) Cuando se evalúan valores cercanos de “x” por la derecha de “1” () el valor de la función se aproxima al número 0. 1x 1x

0

y

Valor De No Definido

y

a

0L

xf(x) = y0.99Indefinido0.999Indefinido101.0010.03161.010.10001.20.44721.

50.707121.0000 0

y

1

1

x

1

x

1

1 0xLím x

xfa L

3

1

1 3

1x

xLím

x

xf La


EJEMPLO 3: Al graficar la función en valores de “x” Cercanos a “0” por ambos lados,

observa que…

EJEMPLO 4: Al graficar la función en valores de “x” Cercanos a “0” por ambos lados, se observa

que…

EJERCICIO 3.1. Traza la gráfica de la función y determina…

a) b) c)

1) , 3) ,

2) , 4) ,


1) Cuando se evalúan valores cercanos de “x” por la izquierda de “0” () el valor de la función se aproxima a -1.

2) Cuando se evalúan valores cercanos de “x” por la derecha de “0” () el valor de la función se aproxima a +1.

En valores de “x” Cercanos a “0” por ambos lados, el valor de la función se aproxima a dos números distintos es decir, tiende hacia 2 límites unilaterales diferentes

No Existe El Límite

0

x

xLím

xxf(x)-0.2-1.00-0.01-

1.00-0.001-1.000Indefinido0.0011.000.011.000.21.00

0

x

0

x

1

y

1

y

0x

0 x

1) Cuando se evalúan valores cercanos de “x” por la izquierda de “0” () el valor de la función se aproxima a

2) Cuando se evalúan valores cercanos de “x” por la derecha de “0” () el valor de la función se aproxima a

xf(x) = y-0.2-5.00-0.01-100.00-0.001-

1000.000Indefinido0.0011000.000.01100.000.

25.00

0

x

0

x

y

y

En valores de “x” Cercanos a “0” por ambos lados, el valor de la función se aproxima a dos valores distintos es decir, tiende hacia dos límites diferentes, además de que el no es un número real.

No Existe El Límite

0

1

xLím

x

0 x

0x y

y


3.1.3. Teoremas Sobre Límites.

Teorema 1. Si , entonces…

Teorema 2. Si , entonces…

Teorema 3. Si “m” y “b” son dos constantes cualesquiera, entonces…

Teorema 4. Si , , … ,

entonces…

Teorema 5. Si , , … ,

entonces…

Teorema 6. Si y , y si , entonces…

Teorema 7. Si y “n” es cualquier entero positivo, entonces…

Teorema 8. Si , entonces… … Solo si…

a) y

b) y

Cálculo Del Límite De Funciones.

CASO I: Ocurre cuando al sustituir directamente en una función el valor al que tiende la variable

independiente “x”, se obtiene un número real para , dando lugar al Límite buscado.

EJEMPLO 5: Calcula los siguientes Límites… (Realiza la gráfica para comprobar)

1)

2)

3)

Caso II: Si al sustituir directamente en una función racional el valor al que tiende la variable independiente “x”, se produce la forma indeterminada , entonces, eso significa que el numerador y denominador de la función tienen una raíz común ( ), es decir, hay un factor



común en el numerador y denominador, lo cual implica que se debe factorizar el numerador, o el denominador, o ambos, para así dividir el factor común y con ello evitar la división por cero.


1)

2)

Caso III: Si al calcular el límite de una función que contiene alguna expresión irracional (radical), se produce la forma indeterminada , significa hay un factor común en el numerador y denominador, pero al intentar factorizar, esto resulta imposible, es necesario simplificar la función mediante la “Racionalización”. La Racionalización consiste en multiplicar por el binomio conjugado del numerador o denominador de la función (o de ambos).


1)

2)

EJERCICIO 3.2. Calcula los siguientes Límites… (Realiza la gráfica para comprobar)

1) 6) 11)

2) 7) 12)

3) 8) 13)

4) 9) 14)



5) 10) 15)

3.1.4. Límites Infinitos Y Límites En Infinito.

Límites Infinitos.

Si es una función definida en todo número de algún intervalo abierto que contenga a “a”, excepto,

en “a” mismo. Si cuando “x” se aproxima hacia “a”, y Crece o Decrece Sin Límite, entonces… se dice que el Límite de es Infinito (por la derecha o por la izquierda , según si crece o decrece). En realidad El Límite No Existe, pero los símbolos y Indican El Comportamiento De La Función cuando “x” se aproxima cada vez más hacia “a”.

Notación:

EJEMPLO 8: Observa cuidadosamente las siguientes funciones y su correspondiente gráfica…


0

AsíntotaVertical

x

2

11) f x

x

20

1xLím

x

20

1xLím

x

20

1xLím

x

xf (x) = y-11-0.54-0.1100-0.0110000-

0.00110000000 Indefinida 0.00110000000.01100000.11000.5411

y

0

x

0

x

y

Los 2 límites unilaterales tienden hacia . Es decir, Crece Sin Límite por ambos lados de

0x 0 x

y

y

2

12) f x

x

xf (x) = y-1-1-0.5-4-0.1-100-0.01-10000-

0.001-10000000Indefinida 0.

001-10000000.01-100000.1-1000.5-41-1

y

0

x

0

x

y

20

1xLím

x

20

1xLím

x

20

1xLím

x

Los 2 límites unilaterales tienden hacia . Es decir, Decrece Sin Límite por ambos lados de

y

y

0x 0 x


Teorema 9. Si “n” es un número Entero Positivo y “C” es una constante diferente de cero, entonces…

a) b)

EJERCICIO 3.3. Calcula los siguientes Límites… (Realiza la gráfica para comprobar)…


3

13) f x

x

xf (x) = y-1-1-0.5-8-0.1-1000-0.01-1000000-

0.001-10000000000Indefinida 0.00110000000000.01100

00000.110000.5811

y

0

x

0

x

y

30

1xLím

x

30

1xLím

x

Los dos límites unilaterales son diferentes… por la izquierda de tiende hacia , y por la derecha de tiende hacia .

0x

0 x

y

y

0

AsíntotaVertical

x 3

14) f x

x

xf (x) = y-11-0.58-0.11000-0.011000000-

0.00110000000000 Indefinida0.001-

10000000000.01-10000000.1-10000.5-81-

1

y

0

x

0

x

y

30

1xLím

x

03

1xLím

x

Los dos límites unilaterales son diferentes… por la izquierda de tiende hacia , y por la derecha de tiende hacia .

0 x

y

y

0x


1) 3) 5) 7)

2) 4) 6) 8)

EJEMPLO 9: Observa cuidadosamente las siguientes funciones y su correspondiente gráfica…

Teorema 10. Si “n” es un número Entero Positivo y “C” es una constante diferente de cero, entonces…


2

AsíntotaVertical

x

2x 2 x

y

y

Los 2 límites unilaterales tienden hacia . Es decir, Crece sin límite por ambos lados de

22

3

2xLím

x

22

3

2xLím

x

22

3

2xLím

x

2

31)

2f x

x

xf(x) = y131.5121.93001.99300001.99930000002Indefinida2.00130000002.01300002.13002.

51233

y

y

2

2

x

x

Los 2 límites unilaterales tienden hacia . Es decir, Decrece sin límite por ambos lados de

y

2x 2 x

y

22

3

2xLím

x

2 2

3

2xLím

x

22

3

2xLím

x

xf(x) = y1-31.5-121.9-3001.99-

300001.999-30000002Indefinida2.001-30000002.01-300002.1-3002.5-

123-3

y

y

2

2

x

x

2

32)

2f x

x


a) b)




1) 3) 5) 7)

2) 4) 6) 8)


2

AsíntotaVertical

x

2x

2 x

y

y

3

33)

2f x

x

xf(x) = y1-31.5-241.9-30001.99-

30000001.999-30000000002 Indefinida2.00130000000002.0130000002.130002.5

2433

y

2

x

2

x

y

32

3

2xLím

x

32

3

2xLím

x

Los dos límites unilaterales son diferentes… por la izquierda de tiende hacia , y por la derecha tiende hacia .

2x

2 x

y

y

3

34)

2f x

x

xf(x) = y131.5241.930001.9930000001.99930000000002Indefinida 2.001-30000000002.01-30000002.1-30002.5-

243-3

y

2

x

2

x

y

32

3

2xLím

x

32

3

2xLím

x

Los dos límites unilaterales son diferentes… por la izquierda de tiende hacia , y por la derecha tiende hacia .


Para determinar límites infinitos de funciones racionales en las que en el denominador no se tiene una sola variable o un binomio elevado a una potencia, debemos emplear el siguiente teorema…

Teorema 11. Si “a” es cualquier número real y si y , donde “C” es una

constante diferente de cero, entonces…

a)

b)

c)

d)

Éste teorema también es válido si se sustituye “ ” por “ ” o por “ ” (es decir, para Límites unilaterales).

EJEMPLO 10: Calcula el siguiente Límite … (Observa la gráfica para comprobar)…


1) 2) 3)

Teorema 12. a) Si y C es una constante cualquiera, entonces…

b) Si y C es una constante cualquiera, entonces…

EJEMPLO 11: Si y , encuentra



Teorema 13. Si y “C” es una constante cualquiera diferente de cero, entonces…

1. Si ,

2. Si ,

EJEMPLO 12: Si y , encuentra


1. Si ,

2. Si ,

Ejemplo 13: Si y , encuentra


1. Si ,

2. Si ,

3. Si ,



EJEMPLO 14: Encuentra…

1) a) b)

2) a) b)

3) a) b)


1) 10) 19)

2) 11) 20)

3) 12) 21)

4) 13) 22)

5) 14) 23)

6) 15) 24)

7) 16) 25)

8) 17) 26)

9) 18) 27)



Límites En Infinito.

Si es una función definida en todos los números de algún intervalo infinito , ,

, entonces el Límite de , cuando “x” crece o decrece sin límite , es “L”, es decir…

EJEMPLO 15: Realiza la gráfica de la función y encuentra…

Para una solución analítica de Límites en Infinito deberás aplicar la Regla De L’Hôpital …

Regla De L’Hôpital.- Indica que en el límite de una función cuando “x” tiende hacia el Infinito ( ):

1) Cada término de la función sea dividido por la variable independiente “x” que tenga el mayor valor exponencial.

2) Después debe de reducirse cada término.

3) Finalmente se sustituye el “ ” en la variable independiente (generalmente x) en todos los términos en que se encuentre.

4) Se realizan las operaciones indicadas, si se obtiene como resultado un número real (), entonces el Límite existe y es igual al número real obtenido, de lo contrario se concluye que no existe el límite. Observa que la Asíntota Horizontal 4 es “y = al número real obtenido”;

Recuerda que… y que…

EJEMPLO 16: Dada la función5 , encuentra analíticamente el

EJERCICIO 3.7. Determina analíticamente… (Realiza la gráfica de cada función).

4 Para que exista una asíntota horizontal (límite en infinito), el grado del numerador debe ser menor o igual al grado del denominador.5 Observa que la gráfica de ésta función se encuentra en la parte superior de ésta misma página.


xf(x) = y-10001.999998-1001.999800-

101.980198-21.6-11001121.6101.9801981001.99980010001

.999998

2

2

y

x

Asíntota Horizontal

2

2

2 2

1x

xLím

x

2

2

2 2

1x

xLím

x

2

2

2 2

1x

xLím

x


1) 5)

2) 6)

3)

7)

4)

3.2. Continuidad De Una Función.

3.2.1. Definición De Función Continua Y Discontinua.

Función Continua. Una función es Continua en un intervalo de valores, cuando está definida (existe) en todos los valores de dicho intervalo; Es decir, para cada valor de la variable independiente (x) existe un valor real de la variable dependiente (y). EJEMPLO 17:

Función Discontinua. Una función es Discontinua cuando no está definida en todos los números de un intervalo; Es decir, cuando existe al menos un valor de la variable independiente (x), en donde no hay un valor real de la

variable dependiente (y). EJEMPLO 18:

3.2.2. Condiciones De Continuidad.

Continuidad En Un Punto.

Una función es continua en el número “ ” si se cumplen las tres condiciones siguientes…

1) Existe

2) Existe

3)

Si una o más de éstas tres condiciones no se cumplen en el punto “ ”, entonces se dice que la función es Discontinua en “ ”.


Continua

Discontinua

2 1

1

xf x

x

22 xxf


EJEMPLO19: Determina si la función es continua en el punto…

a)

b)

Continuidad En Un Intervalo.

Una función es continua en un intervalo abierto si ésta es continua en todo número de dicho intervalo.

OBSERVACIONES:

1) Una función Polinomial es continua en todo número real.

2) Una función Racional es continua en todo número de su dominio.

3) Una función Irracional es…

a) Continua en todo número si

b) Continua en todo número positivo si

EJEMPLO 20: Determina el o los intervalos en que la función es continua…

Función Intervalo de continuidad.

1)

2)

3)

4)


La función es Discontinua en La función es Discontinua en

3 21 4 1 2 1 1 0

1) (1)1 1 0

f Indefinida

23 22

1 1

1 3 14 2 12) 1 3 1 1 3

1 1x x

x x xx x xLím Lím

x x

1

3) 1x

f Lím f x

La función es Continua en La función es Continua en

3 22 4 2 2 2 1 3

1) (2) 32 1 1

f

1

23 22

2

1 3 14 2 12) 2 3 2 1 3

1 1xx

x x xx x xLím Lím

x x

23) 2

xf Lím f x

1

2

3

4


3.2.3. Tipos De Discontinuidad.

Discontinuidad De Salto.

Indica que la gráfica se detiene en un valor dado “ ” del dominio y continua en un valor diferente del

rango para el mismo valor del dominio “ ”, es decir, el límite bilateral no existe, pero los

límites unilaterales sí.

EJEMPLO 21… en

Discontinuidad Evitable (o eliminable).

Ocurre cuando existe un valor “ ” en el que no está definida la función, pero los extremos de la gráfica

de la función coinciden en las cercanías de ese valor de “ ”; es decir, el (límite bilateral),

existe.

EJEMPLO 22… en

Discontinuidad Infinita.

Se presenta cuando un límite unilateral o un límite Bilateral de una función es infinito… ,

,

EJEMPLO 23… en


1x 1x1a

1) 2) 3)

1) 2) , 3)

0x 0x0a

1) 2) 3)

+00

xLím f x

-01

xLím f x


EJERCICIO 3.8. Determina si la función es continua en el punto indicado. Si existe discontinuidad establece de qué tipo es... (Realiza la gráfica para comprobar)

1) en 3) en 5) en

2) en 4) en 6) en

EJERCICIO 3.9. Aplica las condiciones de continuidad para determinar si la función es continua en los valores críticos de “x”, o bien, si es discontinua, indica que tipo de discontinuidad existe; también indica el o los intervalos en que la función es continua… (Realiza la gráfica para comprobar)

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

Aplicación Práctica.

Un gas (vapor de agua) se mantiene a temperatura constante dentro del cilindro mostrado en la figura 1. Cuando el gas se comprime el volumen disminuye hasta que se llega a una presión crítica. Al rebasar esta presión el gas se convierte en un líquido. Utiliza la gráfica de la figura 2 para interpretar y calcular

y

Figura 1. Figura 2.



Ejercicios De Repaso.

EJERCICIO 3.10. Calcula analíticamente los siguientes LÍMITES (Bilaterales, Unilaterales, Infinitos y en Infinito. Realiza la gráfica para comprobar. El resultado aparece a la derecha de cada función

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)



33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

48)

49)

50)

51)

52)

53)

54)

55)

56)

57)

58)

59)

60)

61)

62)

63)

64)

65)

66)

67)

68)

69)



70)

71)

72)

73)

74)

75)

76)

77)

78)

79)

80)

81)

82)

Modelos Matemáticos.

1) En la teoría de la relatividad, la fórmula de Lorentz para la contracción , da la relación

entre la longitud “L” de un objeto que se mueve con velocidad “ ” respecto de un observador, y la longitud “ ” en reposo, donde “c” es la velocidad de la luz. Calcula e interpreta lo que ocurre cuando la velocidad del objeto se acerca a la velocidad de la luz ¿Por qué se requiere un límite unilateral por la izquierda?

2) Si a un albañil se le cae una herramienta desde una altura de 1000 pies y sabiendo que su posición está

dada por la función , S= altura en pies. ¿a qué velocidad estará cayendo luego de 5

segundos? ¿Cuánto tiempo tardará ésta en llegar al suelo? ¿a qué velocidad se producirá el impacto?

ACOTACIÓN: ORIGEN DEL CONCEPTO LÍMITE.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, pero distintos de c.

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial. Aunque implícito en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bernard Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Augustin Louis Cauchy expuso límites en su “Cours d'analyse” (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Karl Weierstrass en los 1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites. La notación de escritura usando la abreviatura Lím con la flecha debajo es debido a Godfrey Harold Hardy en su libro “A Course of Pure Mathematics” en 1908.


EJERCICIO 3.11. CONTINUIDAD EN UN PUNTO. Determina si la función es continua en el punto indicado. Si existe discontinuidad establece de qué tipo es... (Realiza la gráfica para comprobar).

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

EJERCICIO 3.12. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO. Aplica las condiciones de continuidad para determinar si la función es continua en los valores críticos de “x”, o bien, si es discontinua, indica que tipo de discontinuidad existe; también indica el o los intervalos en que la función es continua… (Realiza la gráfica para comprobar).

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Unidad 3 - Límites Y Continuidad