TEMA25.Límites de funciones. Continuidad y ...joseluislorente.es/academia/preparadores/temas/tema 25.pdfTEMA 25. Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 25. Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas

TEMA25.Límites de funciones. Continuidad y discontinuidades.

Teorema de Bolzano. Ramas Infinitas

1. Introducción

La continuidad es una de las propiedades más importantes que definen a una función. Mu-

chos teoremas del análisis funcional se apoyan en la continuidad de las funciones. Concep-

tualmente una función es continua en un intervalo [a,b] si en está definida en cada punto del

intervalo y no se producen saltos en su representación.

La mayoría de las situaciones en la Naturaleza describen situaciones entre dos o más va-

riables que se relacionan por funciones de forma continua. Los fenómenos físicos desde un

punto de vista macroscópico siguen la mecánica Newtoniana, que es continua (así si empuja-

mos un cuerpo desde el reposo hasta una velocidad máxima este pasa por todas las velocida-

des reales que hay entre ambas).

Existen funciones en la Naturaleza que no son continuas, la mayoría de ellas son debidas a

cambios de contorno. Así por ejemplo el campo eléctrico creado por un conductor en función

de las distancia del centro no es continuo, pues en su interior es nulo y en la superficie es

0εσ

Para describir la continuidad previamente hay que describir el límite de una función en un

punto, que explica el comportamiento de dicha función en un entorno del punto. Los límites

en la naturaleza se utilizan para explicar el comportamiento en puntos inalcanzables, un ejem-

plo típico es el estudio de las propiedades termodinámicas en el cero absoluto (0K).

Históricamente el concepto de límite y continuidad recibieron una formulación precisa en

el siglo XIX especialmente realizados por Cauchy, y están estrechamente ligados al concepto

matemáticos del número real.

2. Límite de una función

2.1. Conceptos previos. Función real

Una función f, es una correspondencia entre D⊆ℝ y ℝ definida de la forma:

f: D → ℝ

x → y= f(x) y tal que ∀x∈D se cumple que f(x) es único.

La variable x se denomina independiente y el conjunto de todos los puntos x∈D se deno-

mina dominio de la función Dom(f). La variable y se denomina dependiente y el conjunto de

valores de y= f(x) se denomina recorrido, rec (f)={y∈ ℝ : f(x)=y, ∀x∈ ℝ }.

2.2. Definición de límites finitos.

Una función real f(x) se dice que tiene límite l∈ ℝ cuando x tiende a un valor a∈ ℝ, y se

denota como

lxfax

=→

)(lim si se cumple ∀ε>0 ∃ δ>0: 0<|x-a|<δ � |f(x)-l|<ε

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secund


Ejemplos de límites:

1) f(x)=c·x, xfax

)(lim =→

|c|·|x-a|<ε, luego tomando

En este caso f(a)= limax→

2) Si definimos ahora la función

0)(lim0

=→

xfx

de igual forma que en 1) pues x en el entorno de cero no es cero.

ahora a diferencia con

2.2.1. Límites lateral

En la definición de límite no hemos diferenciado entre la aproximación al punto x=a “por la

izquierda” (valores inferiores de a, x<a) o “por la derecha” (valores mayores de a, x>a). Vamos

a definir ahora de forma matemática los denominados límites later

Una función real f(x) se dice que tiene

quierda y se denota

lxfax

=−→

)(lim

Una función real f(x) se dice que tiene

cha y se denota

lxfax

=+→

)(lim

Ejemplo

=2

1)(

si

sixf

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)

Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas

Conceptualmente implica que si definimos un entorno

de f alrededor de l (|f(x)-l|<ε) siempre podemos enco

trar un entorno de x=a (|x-a|<δ) donde los valores de la

imagen en el entorno de f antes definido.

En la mayoría de funciones los valores de los límites

coinciden con el valor de la función en dicho punto

(concepto que como veremos describe la continuidad),

pero existen funciones donde esto no ocurre como v

remos a continuación.

ac·= . Demostración ∀ε>0 ∃ δ>0: 0<|x-a|<δ

, luego tomando δ<ε/|c| se cumple la desigualdad anterior.

)(lim xfa

Si definimos ahora la función

=

≠=

03

0·)(

xsi

xsixcxf podemos demostrar que

de igual forma que en 1) pues x en el entorno de cero no es cero.

con 1) f(0)=3≠ 0)(lim0

=→

xfx

Límites laterales



a definir ahora de forma matemática los denominados límites laterales.

Una función real f(x) se dice que tiene límite de valor l cuando x tiende hacia a

l si cumple ∀ε>0 ∃ δ>0: ∀x∈(a-δ,a) � |f(x)-l|<

Una función real f(x) se dice que tiene límite de valor l cuando x tiende hacia a

l si cumple ∀ε>0 ∃ δ>0: ∀x∈(a,a+δ) � |f(x)-l|<

<

≥

0

0

xsi

xsi

1

2

2)(lim0

=−→

xfx

1)(lim0

=+→

xfx

2


Conceptualmente implica que si definimos un entorno

) siempre podemos encon-

) donde los valores de la

imagen en el entorno de f antes definido.

En la mayoría de funciones los valores de los límites

coinciden con el valor de la función en dicho punto

(concepto que como veremos describe la continuidad),

donde esto no ocurre como ve-

� |c·x-c·a|<ε,

/|c| se cumple la desigualdad anterior.

podemos demostrar que

de igual forma que en 1) pues x en el entorno de cero no es cero. Pero



de valor l cuando x tiende hacia a por la iz-

l|<ε

x tiende hacia a por la dere-

l|<ε



Proposición: la función real f(x) tiene límite en x=a si y sólo si existen los dos límites latera-

les y son iguales.

Demostración:

⇒ si se cumple que lxfax

=→

)(lim implica que ∀ε>0 ∃ δ>0: 0<|x-a|<δ � |f(x)-l|<ε por lo

tanto se cumple en x∈(a-δ,a+δ) y por tanto en x∈(a-δ,a) y x∈(a,a+δ) y por tanto cumple

• ∀ε>0 ∃ δ>0: ∀x∈(a-δ,a) � |f(x)-l|<ε por tanto lxfax

=−→

)(lim

• ∀ε>0 ∃ δ>0: ∀x∈(a,a+δ) � |f(x)-l|<ε por tanto lxfax

=+→

)(lim

⇐ sean =−→

)(lim xfax

lxfax

=+→

)(lim , entonces se cumple:

• ∀ε>0 ∃ δ1>0: ∀x∈(a-δ1,a) � |f(x)-l|<ε por tanto lxfax

=−→

)(lim

• ∀ε>0 ∃ δ2>0: ∀x∈(a,a+δ2) � |f(x)-l|<ε por tanto lxfax

=+→

)(lim

Tomando δ=min{δ1, δ2} cumple ∀ε>0 ∃ δ>0: ∀x∈(a-δ,a+δ)� |f(x)-l|<ε por tanto lxfax

=→

)(lim

Explicación gráfica de la demostración

1+ε

1-ε

1-δ1

1+ε

1-ε

1+δ2

1-δ 1+δ

1+ε

1-ε

lxfax

=−→

)(lim

lxfax

=+→

)(lim

lxfax

=→

)(lim



2.2.2. Propiedades de los límites

Proposición 1: si una función f(x) es real tiene límite en un punto x=a entonces la función

está acotada en un entorno de a.

Demostración: si se cumple lxfax

=→

)(lim � ∀ε>0 ∃ δ>0: 0<|x-a|<δ � |f(x)-l|<ε, toman-

do ε=1, entonces ∃ δ>0: 0<|x-a|<δ � |f(x)-l|<1 luego en (a-δ,a+δ) la función f(x) acotada

inferiormente por l-1 y superiormente por l+1.

Proposición 2: si una función f(x) tiene límite en un punto x=a este límite es único.

Demostración: lo haremos por reducción a lo absurdo: supongamos que tiene dos límites

l1≠l2, es decir

• 1)(lim lxfax

=→

� ∀ε>0 ∃ δ1>0: 0<|x-a|<δ � |f(x)-l1|<ε

• 2)(lim lxfax

=→

� ∀ε>0 ∃ δ2>0: 0<|x-a|<δ2 � |f(x)-l2|<ε

Sea δ=min{δ1,δ2} en <|x-a|<δ �

<−

<−

εε|)(|

|)(|

2

1

lxf

lxf� |l1-l2|=|l1-f(x)-(l2-f(x)|≤|l1-f(x)|+ |l2-f(x)|<2ε

Se cumple así que |l1-l2|<2ε ∀ε >0 ⇔| l1-l2|=0, es decir l1=l2 que contradice la hipótesis.

2.2.3. Álgebra de límites

Se cumplen las siguientes propiedades (sean 1)(lim lxfax

=→

, 2)(lim lxgax

=→

)

1. Suma y resta: 21)()(lim llxgxfax

+=+→

2. Producto 21·)()·(lim llxgxfax

=→

3. División:

2

1

)(

)(lim

l

l

xg

xf

ax=

→

Demostraciones: utilizaremos 1)(lim lxfax

=→

� ∀ε>0 ∃ δ1>0: 0<|x-a|<δ � |f(x)-l1|<ε y

2)(lim lxgax

=→

� ∀ε2>0 ∃ δ2>0: 0<|x-a|<δ2 � |g(x)-l2|<ε2

1. Tomando ∀ε>0 δ=min(δ1,δ2): |f(x)+g(x)-(l1+l2)|≤|f(x)-l1|+|g(x)-l2|<ε1+ε2=ε. Luego

cumple definición de 21)()(lim llxgxfax

+=+→

2. Al existir límite f(x) acotada por K superiormente en entorno de a (f(x)<a) Tomando

∀ε>0 δ=min(δ1,δ2): |f(x)·g(x)-(l1·l2)|=|f(x)·g(x)-f(x)l2+f(x)·l2-l1·l2|≤|f(x)|·|g(x)-

l2|+l2·|f(x)-l1|<K·ε2+l2·ε1=ε. Luego cumple definición de 21·)()·(lim llxgxfax

=→

3. Se cumple al existir limites que f(x)≤K1 y g(x)≥k2≠0 Tomando ∀ε>0 δ=min(δ1,δ2):

( )2

1

22

12211221

22

22

12

2

12

2

1

)(

)(lim

·

|·||·||)(||||)(|||

·

1

·

)()()()·()·()·(

)·(

)·()·(

)(

)(

l

l

xg

xf

lk

kKlxfklxgK

lk

lk

xgxfxgxflxglxf

lxg

lxglxf

l

l

xg

xf

ax=→=

+≤−+−≤

≤−+−

=−

=−

→ε

εε



2.3. Límites Infinitos

2.3.1. Ampliación de ℝ.

Para definir los límites infinitos primero tenemos que describir el concepto de infinito, para

luego ampliar el conjunto de los números reales e incluir el infinito en este nuevo conjunto:

ℝ� = ℝ ∪ {∞, −∞} con ±∞ definidos de la siguiente forma -∞<x<∞ ∀x∈∈ ℝ (idea intuitiva)

Operaciones con ±∞

1) Suma y resta en ℝ�

• (x±∞)=±∞ +x=±∞ • x-(±∞) = ∓∞ • ∞ + ∞ = ∞ •-∞ − ∞ = −∞

Indeterminaciones: ∞ − ∞ y −∞ + ∞

2) Producto en ℝ� (suponemos x∈ ℝ+)

• x·(±∞) = ±∞ • -x·(±∞) = ∓∞ • (±∞)·(±∞) = ∞ • (±∞)·(∓∞) = −∞

Indeterminaciones: (±∞) · 0 y 0·(±∞)

3) Cociente en ℝ� (suponemos x∈ ℝ+)

• �

±�= 0 •

±�

�= ±∞ •

±�

��= ∓∞

Indeterminaciones: ±�

±� ,

�

�,

�

� para todo x∈ℝ�

4) Potencia en ℝ��

• si x>1 x∞=∞ y x

-∞=0 • si 0<x<1 x

∞=0 y x

-∞=∞

Indeterminaciones 0∞, 1

∞, 0

0, ∞0

2.3.2. Definiciones de límites infinitos

Definiciones:

1) Una función f(x) tiende a ∞ cuando x tiende hacia “a” y se denota ��→� �(�) = ∞ si

se cumple ∀M>0 ∃ δ>0 : x∈(a-δ,a+δ) → f(x)>M

2) Una función f(x) tiende a -∞ cuando x tiende hacia “a” y se denota ��→� �(�) = −∞

si se cumple ∀m<0 ∃ δ>0 : x∈(a-δ,a+δ) → f(x)<m

3) Una función f(x) tiende a “l” cuando x tiende hacia ∞ y se denota ��→� �(�) = � si

se cumple ∀ε>0 ∃ K>0 : x>K → |f(x)-l|<ε

4) Una función f(x) tiende a “l” cuando x tiende hacia -∞ y se denota ��→�� (�) = � si

se cumple ∀ε>0 ∃ k<0 : x<k → |f(x)-l|<ε

5) Una función f(x) tiende a ∞ cuando x tiende hacia ∞ y se denota ��→� �(�) = ∞ si

se cumple ∀M>0 ∃ K>0 : x>K → f(x)>M

6) Una función f(x) tiende a -∞ cuando x tiende hacia ∞ y se denota ��→� �(�) = −∞

si se cumple ∀m<0 ∃ K>0 : x>K → f(x)<m

7) Una función f(x) tiende a ∞ cuando x tiende a -∞ y se denota ��→�� (�) = ∞ si se

cumple ∀M>0 ∃ k<0 : x<k→ f(x)>M

8) Una función f(x) tiende a -∞ cuando x tiende a -∞ y se denota ��→�� (�) = −∞ si

se cumple ∀m<0 ∃ k<0 : x<k→ f(x)<m



Interpretación gráfica

1) y 2) lim�→" #($) = ∞ y lim�→�" #($) = −∞

3) y 4) lim�→� #($) = 2 , lim�→�� #($) = −2

5) y 7) lim�→� #($) = ∞ y lim�→�� #($) = ∞ 6) y 8) lim�→� #($) = −∞ y lim�→�� #($) = −∞

Ejemplos analíticos:

• lim�→�"

|�|=∞ ∀M>0 tomamos δ<

"

' se cumple si x∈(-δ,δ) →f(x)>M

• lim�→� $(=∞ ∀M>0 tomamos K>)* se cumple si x>K →f(x)>M

• lim�→�"

�=0 ∀ε>0 tomamos M>

"

+ se cumple si x>M→ |f(x)-0|<ε

2.3.3. Resolución indeterminaciones

Caso 1: ∞∞∞∞-∞∞∞∞. Domina el que tienda a ∞ más rápido el orden de crecimiento de menor a mayor

en infinito es de la siguiente forma (donde > indica que domina su crecimiento en x�∞)

• log(x)> xn>k

x>x

x dentro de x

n crecimiento mayor cuanto mayor sea n y dentro de

kx mayor el crecimiento cuanto mayor k. Ej: ( ) ∞==+−

∞→∞→

x

x

x

xxx 2lim2)ln(lim

2

• En caso de que el crecimiento sea el mismo y no se pueda operar (raíces) se multi-

plica por el conjugado quedando una indeterminación del tipo ∞∞

. Ejemplo:

( ) ( ) ∞∞

=++−

−−=

++−

+−−=+−−

∞→∞→∞→ 2

2lim

2

)2(lim2lim

3333

3333

xxx

x

xxx

xxxxxx

xxx



Caso 2: ∞/∞. Domina el que tienda a ∞ más rápido, pudiendo ocurrir:

a) Si domina el numerador límite es ±∞: ∞==∞∞

=−

∞→∞→ 44

2lim

32lim

xx

x x

x

x

x

b) Si domina numerador límite es 0: 02

1lim

2lim

2

2lim

333=

−=

−=

∞∞

=++−

−−∞→∞→∞→ xx

x

xxx

x

xxx

c) Si el crecimiento es el mismo, cociente coeficientes: 5

2

5

2lim

45

332lim

3

3

23

3

==+−+−

∞→∞→ x

x

xx

xx

xx

Caso 3: ∞·0 se transforma en ∞/∞: ∞=∞∞

=−

=∞=−∞→∞→ x

xx

xxx

xx

3lim0·

1)·3(lim

22

Caso 4: 0/0 se calcula factorizando por la raíz: 21

)1(lim

)1(

)1)(1(lim

0

0

1

1lim

11

2

1=

+=

−

−+==

−

−→→→

x

x

xx

x

x

xxx

Caso 5: k/0 factorizar denominador y tomar límites laterales (límite puede ser ±∞ o no existir):

•

∞==+−

+

−∞==+−

+

==+−

+=

−

+

+→

−→

→→

+

−

2·0

3

)1)(1(

2lim

2·0

3

)1)(1(

2lim

0

3

)1)(1(

2lim

1

2lim

1

1

121

xx

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

xxNo existe

• ( )

( )∞=

∞==+

+

∞==++

==++

=++

+

+−→

−−→

→−→

+

−

2·0

3

)1(

3lim

2·0

2

)1(

3lim

0

2

)1(

3lim

12

3lim

221

221

2121

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

xx

Caso 6: 1∞∞∞∞, 0

∞∞∞∞, ∞∞∞∞0, 0

0: se calcula tomando logaritmos a ambos lados:

∞

∞→=

−

+= 0

2lim

2

x

x xx

xl ,

( ) ( ) −∞=−∞∞=−=−−+=

−

+=

∞→∞→∞→)·()ln(2)ln(·lim)ln()2ln(·lim

2·lnlim)ln( 2

2xxxxxxx

xx

xxl

xxx → l=e

-∞=0

3. Funciones continuas.

3.1. Continuidad puntual.

Una función real f(x) es continua en un punto x=a cuando se cumple )()(lim afxfax

=→

.

Podemos hablar de continuidad lateral, siendo continua por la izquierda si )()(lim afxfax

=−→

y por la derecha si )()(lim afxfax

=+→

. Evidentemente para que la función sea continua en x=a

tiene que serlo por la izquierda y por la derecha.

3.2. Continuidad en un intervalo

Una función f(x) continua en un intervalo (a,b)⊆dom(f(x)) cuando lo es en todo punto del

intervalo, es decir ∀x0∈(a,b) )()(lim 00

xfxfxx

=→

.

Una función f(x) continua en un intervalo [a,b]⊆dom(f(x)) cuando lo es en todo punto del

intervalo (a,b), es decir ∀x0∈(a,b) )()(lim 00

xfxfxx

=→

y además continua por la derecha en

x=a y por la izquierda en x=b ( )()(lim afxfax

=+→

, )()(lim bfxfbx

=−→

)



Una función f(x) continua en un intervalo [a,b) ( o en (a,b]) cuando lo es en todo punto del

intervalo (a,b), es decir ∀x0∈(a,b) )()(lim 00

xfxfxx

=→

y además continua por la derecha en

x=a (por la izquierda en x=b).

3.3. Álgebra de funciones continuas.

Proposición: sean f(x) y g(x) funciones continuas en x=a entonces se cumple que (1)

(f±g)(x), (2) (f·g)(x), (3) (f/g)(x) son continuas en x=1.

Demostraciones:

1) ( ) ))(()()()(lim agfagafxgfax

+=+=+→

2) ( ) ))(·()()·()(·lim agfagafxgfax

==→

3) ( ) ))(/()(/)()(/lim agfagafxgfax

==→

Corolario 1: Podemos extender el planteamiento para la suma y/o producto de más de dos

funciones continuas en x=a: ∀ fi continuas en x=a → ∑=

n

i

i xf1

)( ∏=

n

i

i xf1

)( continua en x=a.

Corolario 2: Como f(x)=x continua en ℝ entonces toda función polinómica f(x)=an·xn+…+a0

es también continua en ℝ.

Corolario 3: Se cumple que el conjunto de las funciones continuas en D⊆ ℝ con las opera-

ciones suma y producto escalar, denotadas como (C0(D),+,·) es un subespacio de las funciones

reales definidas en D, ( F(D),+,·).

Demostración: tanto la suma como el producto (en particular por las funciones constantes)

es cerrado en las funciones continuas, por tanto es subespacio.

4. Propiedades de las funciones continuas en un punto.

4.1. Acotación de la función en torno al punto.

Proposición: si una función real f(x) es continua en un punto x=a entonces esta función

acotada en torno a este punto.

Demostración: aplicamos la definición de continuidad )()(lim afxfax

=→

, luego al existir el

límite tomando ε=1 ∃ δ>0: |x-a|<δ se cumple |f(x)-f(a)|<1, por tanto f(a)-1<f(x)<f(a)+1 en un

entrono de x=a, x∈(a-δ,a+δ).

4.2. Conservación del signo de la función en un entorno de un punto.

Proposición: sea f(x) una función continua en x=a, tal que f(a)≠0 entonces existe un entor-

no de x=a donde la función conserva el signo, es decir si f(a)>0 la función es positiva, y si f(a)<0

la función es negativa.

Demostración: veremos sólo el caso f(a)>0 pues el otro es equivalente. Por definición de

continuidad ∀ε>0 ∃ δ>0: x∈(a-δ,a+δ) → |f(x)-f(a)|<ε. Tomando el valor de ε=f(a)/2 se cumple:

x∈(a-δ,a+δ) → |f(x)-f(a)|<f(a)/2, luego f(a)-f(a)/2<f(x)<f(a)+f(a)/2, luego f(x)>0 en x∈(a-δ,a+δ).



5. Propiedades de las funciones continuas.

5.1. Teorema de Bolzano

Teorema de Bolzano: sea f(x) una función continua en [a,b] y tal que f(a)·f(b)<0 (cambia de

signo) existe al menos un c∈(a,b) donde se cumple f(c)=0.

Demostración: supondremos que f(a)>0 y f(b)<0 (sino se demuestra de forma equivalente).

Dividimos el intervalo en dos: [ ]1,2

, caba

a =

+ y [ ]bcb

ba,,

21=

+, si se cumple que

f(c1)=0 hemos demostrado el teorema, sino tomamos el intervalo donde los extremos cambien

el signo. Se vuelve a dividir el intervalo en el punto el punto medio, c2, si f(c2)=0 se cumple el

teorema siendo c=c2 y se termina el teorema. Si no volvemos a coger el intervalo con extremos

de diferente signo. Repetimos el procedimiento de forma paulatina pudiendo ocurrir:

1. Que en algún punto cn cumpla f(cn)=0 y entonces cumple el teorema.

2. No se anula nunca, con lo que construiremos intervalos encajados con extremos de di-

ferente signo y cada vez más pequeños (cada paso el intervalo mide la mitad del ante-

rior): [a,b] con f(a)·f(b)<0; [a1,b1] con f(a1)·f(b1)<0,…, [an,bn] con f(an)·f(bn)<0. El límite

de los intervalos encajados es un punto ∩[an,bn]=lim(an)=lim(bn)=c que cumple f(c)≤0 y

f(c) ≥0, luego f(c)=0.

Gráficamente:

5.2. Teorema del valor intermedio (Darboux)

Teorema de Darboux: Sea f una función real continua en [a,b] entonces f toma todos los

valores comprendidos ente f(a) y f(b). Es decir ∀ α∈ℝ con f(a)<α<f(b) o f(b)<α<f(a) se cumple

existe al menos un c∈(a,b) tal que f(c)=α.

Demostración: supongamos f(a)<α<f(b) (demostración equivalente si f(b)<α<f(a)). Defini-

mos la función g(x)=f(x)-α que será continua en [a,b] y se cumple g(a)=f(a)-α<0 y g(b)=f(b)-α>0

y por tanto g(x) cumple Bolzano, y por tanto ∃ c∈[a,b]: g(c)=f(c)-α=0, y por tanto f(c)=α.



5.3. Teorema de acotación (Weierstrass)

Teorema de la acotación: Sea f(x) una función continua en [a,b] entonces f(x) acotado en

[a,b] y tiene un máximo y un mínimo. Es decir existen dos puntos c,d∈[a,b] tal que

f(c)=sup{f(x): x∈[a,b]} y f(d)=inf{f(x):x∈[a,b]}

Demostración: por reducción a lo absurdo, llamamos s=sup{f(x): x∈[a,b]} y supondremos

que no existe x∈[a,b] donde f(x)=s. Se cumple que la función )(

1)(

xfsxg

−= será continua

al no anularse el denominador y ser f(x) continua. Al ser continua g(x) acotada, y por tanto

∀x∈[a,b] donde g(x)<k → sk

sxfkxfs

<−<→<−

1)(

)(

1 en x∈[a,b], luego s no es el su-

premo será s-1/k y contradice la proposición, y por tanto el supremo se toma en x∈[a,b]. De

igual forma para el ínfimo.

6. Tipos de discontinuidades en una función.

Decimos que una función f(x) es discontinua en x0 ∈D si no es continua en dicho punto y

por tanto no cumple )()(lim 00

xfxfxx

=→

Existen varias clasificaciones de los tipos de discontinuidades de una función, una de las

más extendida es la siguiente:

1. Evitable: existe el límite cxfxx

=→

)(lim0

y no existe el f(x0) o el valor de f(x0)≠c. Se llama

así porque redefiniendo la función en x0 de la forma

=

≠=

0

0)()(

xxsic

xxsixfxf esta

se vuelve continua. Ejemplos:



2. Discontinuidad de salto finito

rales.

3. Discontinuidad de salto infinito

laterales o los dos infin

7. Ramas infinitas. Asíntotas

Una asíntota es una recta a la que la función se acerca a ella sin llegar a tocar, coincidiendo

el comportamiento de la función con la recta en el infinito. Tres tipos de asíntotas:

a) Asíntota vertical: es una recta x=x

ple ±∞=+→

)(lim0

xfxx

infinito. Las asíntotas verticales son típicas de funciones con denominador, siendo las

asíntotas los valores que anulen el den

rador) y las funciones con logaritmo, siendo las asíntotas en este caso los valores que

anulen el argumento del logaritmo. Una función puede tener el número que se desee

de asíntotas verticales.



Discontinuidad de salto finito: el límite en x0 no existe por ser distintos los límites lat

Discontinuidad de salto infinito: el límite en x0 no existe por ser uno de los dos límites

infinitos.

finitas. Asíntotas



: es una recta x=x0 y ocurre en los puntos de la función donde se cu

y/o ±∞=+→

)(lim0

xfxx

, es decir tiene una discontinuidad de salto


asíntotas los valores que anulen el denominar (a no ser que también anulen el num



cales. Ejemplos:

11


no existe por ser distintos los límites late-

no existe por ser uno de los dos límites



ntos de la función donde se cum-

, es decir tiene una discontinuidad de salto


ominar (a no ser que también anulen el nume-





b) Asíntotas horizontales

1)(lim axfx

=∞→

(asíntota y=a

ción puede tener dos asíntotas, aunque generalmente el límite suele ser

tiene asíntota horizontal es única. Veamos un ejemplo con dos asíntotas:

c) Asíntota Oblicua: son de la forma y=mx+n con m

ta oblicua cuando al tender a

En la práctica ocurre cuando

para el límite a -∞, pudiendo tener así hasta dos asíntotas oblicuas, aunque lo normal

si tiene es que sea la misma para

8. Contexto con secundaria.

La continuidad se aborda de forma intuitiva en 3º y 4º de la ESO a partir de gráficas y fu

ciones definidas a trozos, aunque en el currículo no incluye el concepto de límite

En bachillerato, en las dos ramas, es

nuidad, así como los teoremas vistos en el tema. Es además la continuidad y los límites una

prueba recurrente en la PAU.

y=|

)(3

3

+

+=x

xxf



tales: son de la forma y=a. La función tiene asíntota si se cumple que

(asíntota y=a1) y/o 2)(lim axfx

=−∞→

(asíntota y=a2). Por tanto una fu

ción puede tener dos asíntotas, aunque generalmente el límite suele ser


: son de la forma y=mx+n con m≠0. Una función f(x) tiene una asínt

ta oblicua cuando al tender a ∞ y/0 a -∞ la gráfica de esta función tien

En la práctica ocurre cuando x

xfm

x

)(lim

∞→= ∈ℝ*

y mxx

xfn

x−=

∞→

)(lim

, pudiendo tener así hasta dos asíntotas oblicuas, aunque lo normal

si tiene es que sea la misma para ±∞. Veamos un ejemplo con dos asíntotas oblicuas

Contexto con secundaria.

La continuidad se aborda de forma intuitiva en 3º y 4º de la ESO a partir de gráficas y fu

ciones definidas a trozos, aunque en el currículo no incluye el concepto de límite

dos ramas, es donde se trabajan los conceptos de límite y de cont


|2

1

+

+

1)(lim −=−∞→

xfx

1)(lim =→∞

xfx

12


: son de la forma y=a. La función tiene asíntota si se cumple que

). Por tanto una fun-

ción puede tener dos asíntotas, aunque generalmente el límite suele ser el mismo y si


0. Una función f(x) tiene una asínto-

la gráfica de esta función tiende al de la recta.

mx∈ℝ y lo mismo

, pudiendo tener así hasta dos asíntotas oblicuas, aunque lo normal

on dos asíntotas oblicuas

La continuidad se aborda de forma intuitiva en 3º y 4º de la ESO a partir de gráficas y fun-

ciones definidas a trozos, aunque en el currículo no incluye el concepto de límite.

donde se trabajan los conceptos de límite y de conti-


Documents

TEMA25.Límites de funciones. Continuidad y ...joseluislorente.es/academia/preparadores/temas/tema 25.pdfTEMA 25. Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas