ОСМИ РАЗРЕДОСМОГОДИШЊЕ

ОСНОВНО ОБРАЗОВАЊЕ

ЈОВО СТЕФАНОВСКИНАУМ ЦЕЛАКОВСКИ

2011Скопље

ДЕВЕТИ РАЗРЕДДЕВЕТОГОДИШЊЕ ОСНОВНО ОБРАЗОВАЊЕ

Драги учениче!Ова књига ће ти помоћи да научиш предвиђене садржaje за VIII разред. Учићеш нове, интересантне садржине о сличности фигура. Научићеш технике за решавање линеарних једначина и линеарних нејед-начина, као и рачунање неких система линеарних једначина. Проширићеш своја знања о линеарним функцијама и о географским телима и њиховим површини и запремини. Књига је подељена на четири тематске целине, а свака од њих је подељена на одговарајуће подтеме. Тематске целине започињу садржајем, а наставне јединице у њима су нумерисане. У наставним јединицама има ознака у боји и преко њих су написане поруке, активности, обавезе и друге сугестије, и то:

Када наиђеш на тешкоће при изучавању математике, не одустај, покушај поново, а упорност ће ти донети резултате и задовољство.Радоваће нас ако уз ову књигу заволиш математику и постигнеш одличан успех.

Од аутора

Наставне јединице започињу нечим што ти је већ познато. Треба да се подсетиш и да решиш понуђене захтеве. То ће ти користити при изуча-вању новог градива у следећим лекцијама.

Помоћу ових ознака, наставна јединица је подељена на делове (порције) које се односе на нове појмове.

Најбитнији део лекције је издвојен у облику питања, задатака или закључака. То треба да упамтиш и да употребљаваш у задацима и практичним примерима.

Овај део садржи питања и задатке помоћу којих можеш да провериш да ли већи део наученог разумеш, да би могао да примениш и корис-тиш стечено знање у свакодневном животу.

Треба редовно и самостално да решаваш ове задатке. На тај начин ћеш боље разумети научено, а то ће ти бити од велике користи.

Покушај да решаваш задатке и проблеме из овог дела (ово није оба-везно). На тај начин ћеш знати више и бићеш богатији идејама.

На крају сваке теме имаш тест састављен од питања и задата-ка. Самостално решавај тест и тако ћеш проверити своје знање из изучених тема.

ПРОВЕРИ СВОЈЕ ЗНАЊЕ

Помоћу оваквих ознака означене су активноти, питања и задаци које ћеш решавати самостално или уз помоћ твог наставника. У овом делу учиш ново градиво у лекцијама, због тога треба да будеш пажљив и ак-тиван да би што више научио и боље разумео. Најбитније је оно што је обојено жутом бојом, при чему су формулације теорема у наранџастом оквиру.

Подсети се!

Треба да знаш:

Задаци

Покушај!...

Провери колико знаш!

A B

. . .

. . .,

1.

2.

3.

������������������� �

ПРОПОРЦИОНАЛНЕ ДУЖИ1. Размер између две дужи 42. Пропорционалне дужи 83. Дељење дужи на једнаке делове 124. Талесова теорема о пропорционалним

дужима 165. Задаци са применом Талесове

теореме 20

СЛИЧНИ ТРОУГЛОВИ6. Сличне фигуре. Слични троуглови 247. Први став о сличности троуглова 27

TEMA 1 SLI^NOST

8. Други и трећи став о сличности троуглова 31

9. Однос обима и однос површина код два слична троугла 33

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА10. Сличност код правоуглог троугла 3711. Питагорина теорема 4112. Задаци са применом Питагорине

теореме 4413. Популација, примерак 48 Провери своје знање 53

�

PROPORCIONALNE DU@I

RASTOJAWE IZME–U DVE DU@I1Подсети се!

Размер или однос броја а и броја b (b ≠ 0) је количник за а и b, тј.

а : b или аb ;

чита се: а према b; број а се зове први члан, а b други члан размера.Број који се добија извршавањем дељења а са b зове се вредност размера а : b и озна-чава се са к. У том случају а : b = к, тј. а = b . k.

Пронађи вредност размера:

а) 28 : 4; б) 35 :5; в) 12 : 16; г) 1,8 : 2,4.

За које размере се каже да су једнаки?

Који од размера а) - г) су једнаки?

Пронађи непознати члан размера:а) х : 8, ако му је вредност 4;б) 18 : у, ако му је вредност 12.

На цртежу су дате две дужи:

при чему је AB = 6 cm, CD = 4 cm.

Запиши размер мерних бројева дужине ду-жи АВ и дужине дужи CD.

Количник 6 : 4 ћемо рачунати као размер између правих АВ и дужи CD.

A

Уопштено

Размер или однос између две дужи је ко-личник мерних бројева мерних бројева њи-хових дужина при истој мерној јединици.

Однос једне дужи АВ према другој дужи CD записујемо:

AB: CD или ABCD

.

Да ли други члан CD може да буде једнак нули?

У задатку 1, однос је AB : CD е 6 : 4, а његова вредност је 32

.

Пази!

Пронађи вредност размера дужи a према правој b, уколико је: а) а = 12 cm, b = 4 cm; б) а = 30 cm, b = 6 cm.

Дужине двеју дужи у размеру треба да буду изражене помоћу исте мерне јединице.

Размер две дужи треба да је неименован број.

Tema 1. Sli~nost

A

C D

B

1.

2.

�Proporcionalne du`i

Сваки члан размера 0,5 : 0,25: а) помножи са 20; б) подели са 5.

После тога вредност датог размера упореди са добивеним размером а) и б).

Шта закључујеш?

Запиши однос дужи а = 6 cm према а дужи b = 3 cm и одре-ди његову вредност.

Затим, одреди однос а : b и његову вредност, уколико дужине дужи запишеш у: а) mm; б) dm; в) m.Шта закључујеш о тим односима?

Уз помоћ претходна два задатка смо се подсетили да:

Размер а : b се не мења уколико се оба његова члана помноже или поделе истим ненултим бројем, тј.

Уколико је а : b = k и т ≠ 0, тада је (ат) : (bт) = k и (а : т) : (b : т) = k.

Уколико је однос два броја а : b = k, чему је онда једнак број a? Шта показује број k о бројевима a и b?

Уколико је а : b = k, тада је a = kb. Број k показује колико се пута број b садржи у броју a.

Запамти

Уколико је однос између две дужи АВ и СD k, тј. AB: CD = k, тада је AB = k · CD.

Однос k показује колико пута се дуж СD садржи у правој АВ, тј. k је мерни број дужине дужи АВ, када за мерну јединицу узмемо дуж СD.

Дате су дужи а =1,2 dm, b = 18 cm.

Запиши размер а : b и израчунај његову вредност. Запиши размер b : а и израчунај његову вредност.

За размер b : а се каже да је обратан размеру а : b

Тако, закључујемо да је размер 18 : 12 обратан размеру 12 : 18.

Ана има 5 година, Биљана има 10 година, а Стојна има 35 година.Запиши однос година између: а) Ане и Биљане; б) Биљане и Стојне; в) Ане и Стојне

B

a

b

3.

4.

5.

6.

�

Разгледај размере 5 : 10, 10 : 35 и уочи да ли имају нешто заједничко. Други члан првиог размера је једнак првом члану другог размера.

Запамти

Размери а : b и b : с се уобичајено записују кратко као а : b : с . Запис а : b : с се назива продужени размер за а, b и с.

Следи да је однос 5 :10 : 35 продужени размер који је замена за два размера 5 : 10 и 10 : 35. Осим та два размера, продужени размер у себи садржи и размер 5 : 35.

Ваздушна растојања између три града А, В и С су: AB = 40 km, BC = 100 km, CA = 120 km.

Представи та растојања на цртежу, смањеном 800 000 пута.

Запиши продужени размер CA : AB: BC у што простијем облику.

На цртежу су дате три дужи AB , CD

и PQ , такве да: AB = 5 PQ , CD = З PQ .

Kолико пута се дуж РQ садржи у дужи а) АВ; б) СD?

Запази да се дуж РQ у дужима АВ и СD садржи цели број пута.

За дуж РQ се каже да је заједничка мера за дужи АВ и СР.

За две дужи се каже да су сразмерне, уколико постоји трећа дуж која се садржи цели број пута у свакој од њих.

Размер двеју сразмерних дужи је рационалан број (цео или разломак).

Дужи АВ и СD из задатка 8 су сразмерне. Такви су и парови дужи: АВ, ВС и ВС, СА, у задатку 7 (заједничка мера им је дуж која је дуга, на пример, 1 km).

На цртежу је представљен квадрат са страном а и дијагоналом d.

Изрази дијагоналу d помоћу стране а. Покажи да је размер d : а ирационални број 2 .

Постоје парови дужи за које не постоји дуж у којој би се садржали цели број пута у свакој од њих. За такве две дужи се каже да су несразмерне и њихов размер је ирационалан број

B

Уопштено

Запази да

A

C

P Q

D

B

d

a

Tema 1. Sli~nost

7.

8.

9.

�Proporcionalne du`i

На пример, страна а и дијагонала d код квадрата су несразмерне дужи: њихов размер d : а је број 2 .

да именујеш и да одредиш размер два броја и две дужи; да одредиш вредност размера и једнаке размере; да запишеш обрнути размер и продужен размер;да одредиш непознати члан у размеру.

Треба да знаш:

Дате су дужи AB = 8 cm и AC = 2 cm (на цртежу).

Провери колико знаш!

Искажи вредност размера: а) AB : AC ; б) AC : CB ; в) CB : AC ; г) CB : AB .

Искажи размер а према b у што је могуће једноставнијем облику: а) а = 6, b = 18; б) а = 28 cm, b = 7 cm; в) а = 1 kg, b = 800 g.

Одреди вредност сваког од понуђених размера:а) 6 : 8; б) 150 : 200; в) 80 : 60; г) 0,18 : 0,24.Kоји од тих размера су једнаки?

Вредност размера х : 4 је 5. Kолико је х?

A C B

Изрази размер а : b у што простијем обли-ку, када је:а) а = 15 cm, b = 2 dm;б) а = 6х, b = 4х;в) а = 2l, b = 800 ml.

Запиши обрнути размер за сваки размер из претходног задатка.

Следеће размере представи у облику разме-ра чији чланови су цели бројеви.

а) 0,3 : 0,6; б) 0,35:0,7; в) 2 4:5 3

;

г) 32 :5,25

; д) 1 355 :4 2

.

Који од размера су једнаки између себе?

ЗадациРастојање Скопље - Валандово је 150 km, Скопље - Крива Паланка је 100 km, Скопље - Тетово jе 50 kм.а) Запиши продужени размер тих растојања.б) Запиши исти тај размер на најједностав-нији начин.

Израчунај непознати члан размера, ако је дата његова вредност:а) х : 5 = 3; в) 6,5 : у = 13;

б) х : 1,3 = 6; г) 2 14 : y 33 3

.

Пронађи однос стране и обима код:а) једнакостраничног троугла;б) једнакостраничног петоугла;в) једнакостраничног шестоугла.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

�

Дата је дуж AB = 24 cm и на њој јеизабрана тaчка С, тако да је AC = 18 cm. Да се пронађе:а) AC : CB ;б) размер наjкраће, према најдужој дужи.

Мања од две дужи је садржана у већој, која је 7 пута већа и остаје дуж која се садржи у мањој дужи тачно 2 пута. Kо-лико је дуга већа дуж, ако се зна да је мања дуж дуга 1 cm?

7. 9.

10.

8.

У правоугаоном троуглу један од углова има 60°. Чему је једнак однос хипотенузе и мање дужи? Збир дужина двеју дужи је 35, а њихова разлика је 7. Пронађи однос тих двеју дужи.

Три кокошке у три дана носе три јаја.а) Kолико јаја носе шест кокошке за шест дена?б) Колико кокошака ће снети 100 јаја за 100 дана?

Покушај!...

Какви су међусобно размери 12 : 8 и 6 : 4?Шта представља једначина једнаких размера: 12 : 8 = 6 : 4?Уколико су размери а : b и с : d једнаки, тада се једначина

а : b = с : d, тј. аbcd=

назива пропорција, а бројеви а, b, с, d су чланови те пропорције. Kоји од тих бројева је први члан, а који је трећи члан пропорције? Kоји су спољашни, а који унутрашњи чланови?Пронађи производ спољашњих и про-извод унутрашњих чланова пропор-ције 12 : 8 = 6 : 4.Какви су ти производи међусобно?

PROPORCIONALNE DU@E2Подсети се! Дате су четири дужи са следећим

дужинама AB = 40 cm, PQ = 7 cm,CD = 8 cm, RS = 35 cm.

Да ли можеш од њих да образујеш пропорцију?Састави неку пропорцију од њих.

Запази да је, на пример:40 cm : 8 cm = 35 cm : 7 cm,

тј. од дужина датих дужи може да се фор-мира пропорција

40 : 8 = 35 : 7.Због тога може да се каже да су парови ду-жи АВ, СD и РЅ, РQ пропорционалне.

За два пара дужи а, b и с, d се каже да су пропорционалне, уколико њихове дужине образују пропорције:

A 1.

Уопштено

а : b = с : d, тј. аb

cd=

Tema 1. Sli~nost

�Proporcionalne du`i

Вредност k једнаких размера а : b и с : d за парове пропорционалних дужи а : b и с : d се назива коефицијент пропорционалности.Kоји је коефицијент пропорционалности дужи АВ, СD и RS, РQ из задатка 1. ?

Како ћеш одредити коефи-цијент пропорционалности дужи?

Одредићу вредност односа AB : CD , тј. 40 cm : 8 cm = 40 : 8 = 5; k = 5.

Дате су следеће дужи а = 2 cm, b = 1,5 cm, с = 4 cm, d = 3 cm.

Покажи да су дужи а, b и с, d пропорционалне. Који је кое-фицијент пропорционалности?

2.

Запиши пропорцију дужи а, b и с, d. Пронађи производ спољашњих чланова и про-извод унутрашњих чланова. Какви су ти производи између себе?

Производ спољашњих чланова једне пропорције је једнак производу њених унутрашњих чланова, тј.

ако а : b = с : d, тада је а ∙ d = b ∙ c

Важи и уопштено!

Ово правило се зове основно својство пропорције.

За сваку од четири пропорционалних дужи а, b, с, d се каже да је четврта геометријска про-порционала осталих три.

На пример, d bca= је четврта геометријска пропорционала за дужи а, b, с у пропорцији а : b = с : d.

Пронађи дужину четврте геометријске пропорције х за дужи а = 6 cm, b = 8 cm, с = 12 cm, у пропорцијма:а) а : b = с : х; б) х : с = а : b; в) а : х = b : с.

ab

cd

3.

Упореди властито решење за а) са датим:а : b = с : х; 6 : 8 = 12 : х; 6х = 8 ∙ 12; х = 16 cm.

Подсети се!

Пронађи број х за бројеве 5 и 20, такав да је 5 : х = х : 20.Шта представља број 5 20 (= 10) за бројеве 5 и 20?Пронађи геометријску средину бројева 2 и 32.

B 4. Дате су дужи а = 9 cm и b = 4 cm. Пронађи дуж х, тако да је а : х = х : 6.

Упореди властито решење са датим.

Пропорција 9 : х = х : 4, према основном својству, своди се на једначину:

х2 = 9 ∙ 4, па х = 36 = 6; х = 6 cm.

Запази да је број 6 геометријска средина бројева 4 и 9.

Запамти

Геометријска средина (или средња геометријска пропорционала) двеју дужи дужина а и b је названа дуж, дужине х, тако да је а : х = х : b, тј.

Пронађи геометријску средину за дужи: а) а = 12 cm, b = 27 cm; б) а = 5 cm, b =12 cm.

Утврди помоћу мерења да ли је дуж b са цртежа геометријска средина дужи а и с.

5.

6.

7.

ab

c

V Дата је пропорција 8 104 5 . Покажи да је пропорција и једначина

8 + 44

10 + 55=

.

Ако тада је и

Важи и уопштено

Покушај то да докажеш.

Запази да је: од следи потом: тј.

Покажи да важи и обрнуто тврђење.8.

Ако тада је

Подсети се! Kада су три или више размера једнаки, тада они могу да се запишу у облику

продужене пропорције, као на пример:

За њу важи:

Tema 1. Sli~nost

Proporcionalne du`e

Треба да знаш:

да дефинишеш појам пропорције;да одредиш непознати члан у пропорцији;

да објасниш који парови дужи су пропорци-онални;да одредиш геометријску средину двеју дужи.

Пронађи непознати члан у пропорцији10 : а = 15 : 6. Пронађи дужину четврте геометријске про-порционале х дужи а = 4 cm, b = 5 cm, с = 8 cm у пропорцији а : b = с : х.

Пронађи геометријску средину дужи а = 2 cm и b = 8 cm.

Провери се!

Задаци

Kоји број треба да стоји на месту слова а, да би једначина била тачна:

a) 52a8= ; б)

a14

37= ?

Састави пропорцију од дужина четири датих дужи: 28 cm; 16 cm; 1,2 dm; 2,1 dm.

Пронађи дужину х на четвртој геометријској пропорционали за дужи а, b, с у пропорцији а : b = х : с, када је:

а) а = 12

dm, b = 34

dm, с = 23

dm;

б) а = 2 m, b = 3 m, с = 4 m.

У АВС на цртежу је дато:CM : MA = CN : NB . У сваком реду табеле дате су неке дужине. Одреди дужине које не-достају.

1.

2.

7.

3.

4.

5. Пронађи геометријску средину за дужи а и b, када је:а) а = 2 dm, b = 8 cm;

б) а = 445

dm b = 12 cm;

в) а = 7 cm, b = 14 cm.

CM MA CN NBa) 8 6 4

5b) 6 4

8 8 4v)

У правоуглом троуглу АВС на цртежу, дуж СD је висина спуштена ка хипотенузи AB.

C

C

DA B

M N

A B

Помоћу мерења, утврди да је:а) дуж СD геометријска средина дужи АD и DВ;б) дуж АС геометријска средина дужи АD и АВ.

Пронађи х и у, када је:

а) x4y5

32= = ; б)

7x

y6

14= = .

Покажи да се из пропорције аbcd= могу добити пропорције:

аc

bd= ;

ba

dc= ;

ca

db=

Докажи дa : ако је а

bcd=

, тада је и а - bb

c - dd=

.

7.

8.

9.

Proporcionalne du`i

� Tema 1. Sli~nost

DEQEWE DU@I NA JEDNAKE DELOVE3

Kако ћеш дату дуж поделити на једнаке делове: а) на два; б) на четири?За FGH и PQR на цртежу је понуђено:α = α1, β = β1, FG PQ .

Подсети се!

Kакви су ти троуглови међусобно? Kакве су међусобно одговарајуће стране складних троуглова?

На цртежу је представљен угао ЅОТ и на краку ОЅ нанесене су једнаке дужи OA AB BC .

Кроз тачке А, В и С повучене су међусобно паралелне праве р, q и r, које одговарајуће секу крак ОТ у тачкама А1, В1 и С1, респек-тивно.

За дужи ОА1, А1В1 и В1С1, се каже да су одговарајуће дужима (редом): ОА, АВ и ВС. Измери дужи ОА1, А1В1, В1С1. Шта закључујеш?

У вези цртежа из задатка 1, покушај да докажеш да је

1 1 1 1 1OA A B B C .

Разгледај цртеж на којем су повучене још и дужи А1В2 и В1С2, паралелно са краком ОЅ, и на коме су означена неколико углова бројевима.

Запази ОАА1 и А1B2В1 и сагледај да је:

F PG Qα α1β β1

H R

A 1.

2.

1 = 3, 2 = 4 (Зашто?) 1 2OA A B (Зашто?)

Уочи А1B2В1 и B1C2C1. Покажи да су и они усклађени и да је 1 1 1 1A B B C .

Уочи и запамти следећу теорему о једнаким дужима на крацима једног угла.

Уколико се на један крак датог угла нанесу једнаке дужи и кроз њихове крајеве се повуку па-ралелне праве које секу други крак угла, онда те праве секу и други крак међусобно једнаких дужи.

ОАА1 А1B2В1, па 1 2OA A B (Зашто?).

�Proporcionalne du`i

На основу ове теореме можеш да поделиш дату дуж на произвољни број једнаких делова.

Подели дуж АВ која је дата на цртежу на 5 једнаких делова.

Kако ћеш употребити пре-тходну теорему да би поде-лио дуж АВ на 5 једнаких делова?

Повући ћу произвољну полуправу у тачци А и на њој ћу са почетком у А нанети 5 јед-наких дужи. Затим ћу повући паралелну праву, према теореми.

Прати начин решавања и запази поступак поделе дужи на једнаке делове.

Повуци произвољну полуправу АЅ као на цртежу.

Повуци најпре праву СВ и затим кроз сваку од добивених пет тачака на АС, повуци праву паралелну са СВ; те праве деле дуж АВ на пет једнаких делова.

Објасни зашто су та пет дела међусобно једнака?

Нацртај дуж АВ дужине 7 cm и подели је на 6 једнаких делова.

Нацртај једну дуж и одреди њену средину, користећи при томе теорему о једнаким дужима.

На дужи АВ, означена је тачка М, тако да је: AM = 4 cm и MB = 3 cm.

У каквом односу тачка М дели дуж АВ?

Нацртај дуж АВ од 6 cm.а) Подели ту дуж на 5 једнаких де-лова.б) Означи тачку М тако што је AM : MB = 3 : 2.

3.A B

4.

5.

Подсети се!

A M B

B 6.

Почињући од А, на АЅ нанеси пет пута произвољно одабрану дуж, на пример АЕ; тиме добијеш пет тачака; пету тачку означи са С.

�

Упореди своје решење са оним које је дато на цртежу.

Нацртај дуж АВ и подели је на два дела чији је однос 3 : 4.

Прво, подели дуж АС на 3 + 4 = 7 једнаких делова.

Упореди своје решење са оним које је дато на цртежу, на којем је узето AK 3 AE и KMCB.

Тако је добивено AM : MB = 3 : 4.

Објасни зашто је AM : MB = 3 : 4.

Ова конструкција се назива подела дужи на дужи у датом односу.

Дуж АВ која је дата на цртежу је подељена тачком М у односу 3 : 2. Исто тако, дуж СР са тачком N је подељена у истом односу 3 : 2.

Састави пропорцију за делове дужи АВ и делове дужи СР.

Једна могућност је: AM : MB = CN : ND , што значи да су АМ, МВ пропорционалне дужима СМ, ND. Због тога се каже да су дужи АВ и СР пропорционално поделене.

За две дужи се каже да су подељене пропорционално, уколико однос делова једне дужи образује пропорцију са односом делова неке друге дужи.

Нацртај две дужи дужине 7 cm и 4 cm и подели их пропорционално у односу 1 : 2.

8. A M B

C N D

Уопштено

9.

Tema 1. Sli~nost

7.

�

да поделиш дуж на једнаке делове и да објасниш поступак;

да поделиш дуж у датом односу;

да објасниш када су две дужи пропорци-онално подељене.

Нацртај дуж АВ од 5 cm и подели је на 3 једнаких делова. Потом, означи тачку М која дели дуж АВ у односу 2 : 1.

Запиши једну пропорцију између делова дужи РО и РЅ које су са тачкама Н и K на цртежу пропорционално подељене.

Нацртај дуж од 6 cm и подели је на јед-наке делови:а) на три; б) на седам.

Нацртај дуж АВ и подели је у односу: а) 2 : 1; б) 5 : 2.

Нацртај дуж дужине 10 cm и подели је:а) на 7 једнаких делова;б) у односу 4 : 3;в) на три дужи у односу 1 : 2 : 4.

Нацртај АВС и његове стране подели на три једнака дела.

Нацртај АВС и тежишну линију АА1. Одреди тежиште Т на троуглу тако што ћеш АА1 поделити у односу 1AT : TA = 2:1.

Тачка М дели дуж АВ у односу AB: MB= 5 : 3. Дужина дужи АМ је 4,8 dm. Про-нађи дужину дужи МВ; АВ.

За колико треба да се продужи дуж AB = 12 cm да би се добила дуж АС која задовољава пропорцију AC : BC = 5 : 2 ?

Тачка М дели дуж АВ у односу AM : MB = 3:2. Пронађи размере AM : MB и AB: MB

Proporcionalne du`i

Треба да знаш: Провери се!

P H Q

R K S13

2 6

Задаци

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

�

Kако се дели дата дуж:а) на једнаке делове;б) у датом односу m : n? Објасни конструкцију.

На цртежу је дат оштар угао ЅОТ. На краку ОЅ је изaбрана тачка В, а на краку ОТ је изабрана тачка D. Кроз В и D је повучена права р.

На дужи ОВ одреди тачку А, тако да је OA : AB = 3 : 2.Кроз тачку А повуци праву q || р, тако да права q сече крак ОТ у тачци С. Покажи да је OC : CD = 3 : 2.

Шта ћеш употребити да би пока-зао да је OC : CD = 3 : 2 ?

Искористићу поступак и тврђење за дељење дужи у датом односу.

На цртежу је дато решење задатка. Одговори на следећа питања.

Kако је подељена дуж ОВ на 5 једнаких делова?

Kако је одређена тачка А тако да је OA : AB = 3 : 2 ?Зашто је OC : CD = ОА : АВ = 3 : 2?

Уочи и запамти тврђење које називамо Талесовом теоремом о пропорционалним дужима.

Уколико се краци једног угла секу са две различите паралелне праве, тада су дужи које добијамо на једном краку пропорционалне одгова-рајућим дужима на другом краку.

AC BD OA : AB = OC : CD

На цртежу је узето АС || ВD.Ако OA = 4 dm, AB = 5 dm, OC = 8 dm

пронађи CD ;

покажи да је OA : AB = OC : CD .

TALESOVA TEOREMA PROPORCIONALNIH DU@I4Подсети се! A 1.

O B S

p

D T

2.

Tema 1. Sli~nost

O A B

CD

�Proporcionalne du`i

Важи уопштено: из једначине OA : AB = OC : CD (у Талесовој теореми) добија се једначина OB: OA = OD : OC , или:

OA : OB = OC : OD .

Уз помоћ употребе одговарајућих својства пропорција, из AB : OA CD : OC следи

AB OA : OA CD OC : OC Покажи да је OB: OA = OD : OC .

На цртежу је дат АВС и права МN || АВ која сече друге две стране АС и ВС.

Утврди да су стране АС и ВС правом ММ по-дељене пропорционално, тј. CM : MA CN : NB .

Уколико ти је помоћ неопходна...Прво, сагледај да су краци код АСВ пресечени паралелним правама МN и АВ. После тога примени Талесову теорему.

Нацртај угао ЅОТ и нанеси дуж као на цр-тежу OA = 4 cm, OB = 6 cm, OC = 3 cm, OD = 4,5 cm.

Увери се да су дужи ОА, ОВ и ОС, ОD пропорционалне, тј. OA : OB = OC : OD .

Уколико си цртао и мериo довољно прецизно, свакако си закључио да АС || ВD.

Уколико две праве секу са кракова неког угла пропорционалне дужи, онда су те праве па-ралелне.

Важи уопштено!

OA : OB = OC : OD АС || ВD

Ово својство пропорционалних дужи названо је обратна Талесова теорема.

3.

A

O A B S

CDT

C

M N

B

B 4.

Повуци праве АС и ВD. После тога, уз помоћ два троугаоника, провери да ли су те праве паралелне.

O A B S

TDC

�

Утврди за које ће од следећих дужина, према цртежу, бити МN || РQ:а) RM = 10, RP = 12, RN = 15, RQ = 18;б) RP = 14, MP = 4, RQ = 21, NQ = 6;в) RM = 6, RP = 8, RN = 9, RQ = 14.

да искажеш Талесову теорема и да је примениш у једноставним задацима;

да искажеш обратну Талесову теорему и да је примениш у једноставним задацима.

На цртежу је дато да РО || ВС. Допуни следећа тврђења, тако да буду тачна:а) AP : AB = : ; б) AP : PB = : ;

в) : = AQ : QC ;

Да ли ће за назначене дужи на цртежот важити ВС || DЕ?

На цртежу је дато да је АС || ВD.

Нађи OB , ако је:OA 0= 4 cm, OC = 6 cm, OD = 9 cm.

У АВС на цртежу је дато МN || АВ.

а) Нађи CN , ако је:CM = 12; CA = 18; BN = 8б) Нађи CM , ако је: CM = NB MA = 4 и CN = 9.

2.

P Q

NM

R

Треба да знаш:

Провери своје знање!

г) AC : AQ = : . A

A

O A B BA

M N

CC

D

B D

E

C

35

28

20 16

B

QC

P

Задаци

1. 2.

Tema 1. Sli~nost

�

У сваком од троуглова на цртежу је пову-чена дуж паралелна са основом и назна-чене су дужине неких дужи.

У сва четири случаја пронађи х, рачунајући да су друга слова задати бројеви.

Kраци ЅОТ (на цртежу) су пресече-ни паралелним правама АА1, ВВ1 и СС1, при чему је OA : AB: BC = 2 : 3 : 1 и ОА1 = 6 cm. Нађи дужине дужи A1B1 и В1C1.

Провери да ли важи ВС || DЕ за дужи, по-стављене као на цртежу под а) и под б). Образложи свој одговор.

Покажи да се из про-порцијата OA : AB = OC : CD добијају сле-деће пропорције:

а) AB: OA CD : OC ; б) OB: OA OD : OC ;

в) OB: AB OD : CD ; г) OA : OB OC : OD .

На цртежу је дат АВС у коме је СD си-метрала угла код темена С. Затим је про-дужена страна АС и повучена је права ВЕ || DС.

а) Докажи да је ВЕС равнокрак троугао, са крацима BC CE .

б) Докажи да симетрала АСВ у АВС дели супротну страну АВ на два дела који су пропорционални са друге две стране, тј. AD : DB = CA : CB , тј. (c – x) : x = b : a.

Proporcionalne du`i

3. 6.

4.

5.

a)

б)

Покушај!...Није обавезно...

7.

�

Kако гласи Талесова теорема о пропор-ционалним дужима?Из пропорције а : b = с : х изрази х по-моћу а, b и с.

Нацртај АВС. После тога, повуци праву В1C1, која сече краке А и

Kакви су међусобни односи 1AB: AB и 1AC : AC ? Измери пажљиво дужи АВ, АВ1,ВС, В1C1 и после тога изра-чунај односе 1AB: AB и 1 1BC : B C .

Шта можеш да приметиш?Уколико си цртао и мерио довољно прецизно, сигурно си приметио да су дужи АВ, АВ1 пропорционалне са дужима ВС, В1C1, тј.

1 1 1 1AB : AB BC : B C AC : AC

Уколико се у једном троуглу повуче права која је паралелна са једном страном и која сече друге две стране троугла, тада се добија нови троугао чије су стране пропорционалне странама датог троугла.

Покушај да докажеш закључак из задатка 1, уз помоћ примене Талесове теореме.

Дато је: у АВС, права В1C1 || ВС (као на цртежу).

Докажи да је:1 11 1

BC AC ABAC ABB C

, тј. ,

Где је: BC = а, AC = b, AC = с, 1 1B C = a1, 1AC = b1, 1AB = с1.

Дати цртеж је допуњен повлачењем праве В1F која је паралелна са АС. Kако ћеш применити Талесову теорему да би доказао дате једначине?

Записаћу пропорције са пропорционалне дужи које су добивене за углове: ВАС и АВС. После тога ћу извршити упоређивање.

Упореди своје размишљање и решење са датим.

ZADACI SA PRIMENOM TALESOVE TEOREME5Подсети се! A 1.

која је паралелна са страном ВС, као на цр-тежу.

Важи уопштено!

2.

Tema 1. Sli~nost

аa1

bb1

cc1

= =

�Proporcionalne du`i

ВАС је пресечен са В1С1 || ВС, па је према Талесовој теореми: 1 1

AB ACAB AC

(1)

АВС је пресечен са B1F || AС, па је према Талесовој теореми: 1

AB BCAB FC

(2)

Четвороугао B1F СС1 је паралелограм (зашто?), па е: 1 1FC B C ; после замене у

(2), добија 1 1 1

AB BCAB B C

. (3) Из (1) и (3): 1 1 1 1

BC AB ACB C AB AC

тј. 1 1 1

a b ca b c

.

Овај закључак се зове још и Талесова теорема o троуглу.

Уколико једна права при пресеку дели две стране троугла на пропорционал-не дужи, онда је та права паралелна са трећом страном троугла.

m : n = p : q FG || AB

У АВС на цртежу МN || ВС.

Пронађи однос BC : MN , ако је AM = 12, AB = 18.

Пронађи MN , ако је AB = 15, BC = 10 и ако је М средина од АВ.

Провери решење MN према својству средње линије троугла!

Сагледај решење задатка.

За трапез АВСР на цртежу је дато: МN || АВ, AD = 18 cm, BC = 24 cm и DM = 3 cm Пронађи BN и NC .

Важи и обрнути закључак!

3.

4.

Повуци дуж АD, као на цртежу, и уочи да су краци код САD и код АDВ пресечени са по две паралелне праве, па je:

a : b = x : y и а : bʹ = x : y.

Будући да су десне стране њихових једнакости једнаке, можеш да закључиш да је а : b = aʹ : bʹ тј. а : аʹ = b : bʹ.

Према претходном цртeжу, дато је а = 3, b = 5 и bʹ = 7. Пронађи ду-жину дужи bʹ.

На цртежу су праве р и q пресечене са три међусобно паралелне праве. Покажи да су одговарајуће дужи а, аʹ пропорционалне а ду-жима b, bʹ, тј.

а : аʹ = b : bʹ.

5.

��

Дате су дужи а, b, с као на цртежу.

Пронађи дуж х тако да је a : b = c : x, тј. конструиши четврту геометријску пропорционалу дужима а, b и с.

Уколико не можеш сам да решиш задатак, могу ти помоћи следећа упутства.

Подсети се Талесове теореме. Нацртај угао ЅОТ и нанеси дужи а = OA , b = AB

и с = OC , као на цртежу.

Повуци праву кроз В, паралелну са АС и њихов пресек означи са D.

х = CD је тражена дуж. (Зашто?)

Четврта геометријска пропорционала х дужи а, b и с може да се добије и према другом цртежу.Разгледај цртеж и образложи поступак.

За дужи а = 4 cm, b = 6 cm и c = 5 cm, конструиши четврту геометријску пропорционалу:

а) х = bca ; б) х =acb .

Прво сагледај да из х = bca можеш да саставиш пропорцију х : с = b : а.

Нацртај две дужи а = 3 cm и b = 2 cm. Kонструиши дуж х, тако што је х = аb.

Прво сагледај да од х = аb можеш да саставиш пропорцију 1 : а = b : x; после тога изведи конструкцију.

да искажеш Талесову теорему за троугао и да је употребиш у једноставним задацима;

да конструишеш четврту гео-метријску пропорционалу трију дужи.

За АВС је дато: МN || АВ. Пронађи његове стране према подацима на цртежу.Објасни поступак конструисања четврте геомет-ријске пропорционале х трију датих дужи а, b, с.

B 6.a

b

c

7.

8.

Треба да знаш:Провери се!

Tema 1. Sli~nost

��

У трапезу АВСР на цртежу, који има основе AB = 12, CD = 5 и крак AD =7,

продужени су краци АО и ВС до њиховог пресека Ѕ.Нађи дуж SD .

Одреди висину АВ јед-ног дрвета (на цртежу)

уколико је његова сенка ВС 20 m, а у исто време, сенка штапа РQ дужине 1m износи 1,4 m.

У трапезу АВСD на цртежу,

Kонструиши четврту геометријску про-порционалу дужи а = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm (а : х = b : с).

Нацртај три дужи а, b и с. Затим кон-струиши дуж х, тако да је:а) х : а = b : с; б) а : х = b : с;в) а : b = х : с.Нацртај дужи а и b. Затим конструиши дуж х, тако да је х = а2.

Нацртај дужи а и b. Затим конструиши дуж х, тако да је

Страна DС трапеза АВСР са основама

АD = 8 и ВС = 20, је по-дељена на три једнака дела и кроз деобене тачаке су повучене праве паралелне

Помоћ. Повуци праву РМ која је паралел-на са АВ и разгледај троугао DМС (подсе-ти се како си решио задатак 4).

На цртежу је представљена ситуација на терену са недоступном тачком А и доступном тачком В.

а) Пронађи недоступно растојање BA .б) Израчунај ВА, када су измерене дужине: BC = 100 m, CE = 250 m и CD = 80 m.в) Пронађи растојање ЕА, када су измерене: CE = 250 m, CD = 80 m и DB = 96 m

Proporcionalne du`i

Задаци

1.

2.

3.

4.

5.

МN РQ АВ. Про-нађи дужине крако-ва АD и ВС према подацима са цртежа.

дељена на три једнака дела и кроз деобене тачке се повлаче праве, паралелне са страном АВ, чија је ду-жина 15 cm. Пронађи дужину сваке посеб-не дужи захваћених троуглом.

У троуглу АВС на цр-тежу, страна ВС је по-

6.

7.

8.

9.

а) x a2

b= ; б) x b2a=

са основом (као на цртежу). Нађи дужине х и у на дужима обухваћеним трапезом.

10.

��

Краци угла ЅОТ су пресечни паралел-ним правама АС и ВD.

Према цртежу, запиши размер дужи које су једнаке са размером: а) OA : AB ; б) OD : DC .Према којој теореми си записао размере?

На цртежу важи пропорционалност ду-жи OA : AB = OD : DC .

Какав положај имају праве АD и ВС?Какви су према величини углови : а) ОАD и ОВС; б) ОDА и ОСВ?

У свакодневном животу врло често срећемо предмете који имају исти облик, а различиту или исту вели-

За два геометријска предмета који имају исти облик, а различиту или исту величину, уоби-чајено кажемо да су слични.

За које од следећих фигура можемо да ка-жемо да су сличне:

два квадрата;два круга;квадрат и круг?

Дате су две географске карте Македоније. Прва је у размеру 1 :1000000, а друга у раз-меру 1 : 500000.

Да ли су те карте сличне? На првој карти, растојање од Скопља до Kуманова је 4 cm. Колико је растојање од Скопља до Куманова на другој карти?

Који је однос растојања Скопље - Куманово на првој карти са растојањем Скопље - Куманово на другој карти? Какав је однос растојања између било која два места на првој карти са растојањима између та иста два места на другој карти?

SLI^NI TROUGLOVI

SLI^NE FIGURE. SLI^NE TROUGLOVI6Подсети се!

A

чину: аутомобил и његов модел, две чаше, две столице итд.

1.

2.

Tema 1. Sli~nost

��

Разгледај цртеж на коме темена троуглова АВС и А1В1С1 леже на

полуправој са почетном тачком О, образујући пропорционалне дужи: OA : 1OA = 1 : 2; OB :

1OB = 1 : 2; OC : 1OC =1 : 2

Код троуглова АВС и А1В1С1 ћемо разликовати: одговарајућа темена, одговарајуће углове и одговарајуће стране, тј.

одговарајућа темена су: А и А1; В и В1; С и С1;

одговарајући углови су: А и А1, В и В1, С и С1одговарајуће стране су: АВ и А1В1; ВС и В1С1; АС и А1С1.

Покажи да су одговарајуће стране троуглова АВС и А1В1С1, паралелне тј.АВ А1В1; ВС В1С1 и АС А1С1.

Покажи да су одговарајући углови троуглова једнаки, тј. А = А1 В = В1, и С = С1

Покажи да су одговарајуће стране троуглова пропорционалне, тј.

Упореди твоје решење задатка са понуђеним. Будући да је OA : 1OA = OB : 1OB , из обратне Талесове теореме следи да је АВ А1В1. На

исти начин можеш да покажеш да је ВС В1С1, и АС А1С1.

Будући да је АB А1В1 и АС А1С1, следи да су А = А1 као углови са паралелним крацима.На исти начин можеш да покажеш да је В = В1, и С = C1

Подсети се Талесове теореме: када су краци угла ЅОТ пресечени паралелним правама АВ и А1В1, тада су одговарајуће дужи АВ и А1В1, пропорционалне дужима ОА и ОА1, тј. OA : 1OA = AB :

1AB = 1 : 2. Можеш да покажеш да исти размер имају и друге одговарајуће стране троуглова, тј.

Покажи да су одговарајући углови код троуглова АВС и А1В1С1 једнаки, а да су им одговарајуће стране пропор-ционалне. Оне могу да буду дате и у другом положају, као на цртежу, десно.

Ако нацрташ троугао АВС на про-зирној хартији, можеш да га поста-виш у области А1В1С1 (као на црте-жу), тако што ће њихове одговарајуће стране бити паралелне. Уочи да АВС и А1В1С1 имају исти облик, али различиту величину, тј. да су они слични троуглови.

A 3.

Sli~ni trouglovi

��� �� �� �

За два троугла се каже да су слични, уколико су им одговарајући углови једнаки и када су им одговарајуће стране пропорционалне. Сличне троуглове АВС и А1В1С1 означавамо са: АВС ~ А1В1С1. Ово се чита: троугао АВС је сличан троуглу А1В1С1.Који је коефицијент пропорционалности страна код сличних троуглова АВС и А1В1С1 у задатку 3?У задаку 3 се види да је коефицијент пропорционалности страна сличних троуглова АВС

и А1В1С1 1 : 2, тј. 12

.

Коефицијент пропорционалности одговарајућих страна код два троугла (АВС ~ А1В1С1) се назива и коефицијент сличности.Ако запишеш АВС ~ МNP, то ће значити да су одговарајућа темена: А и М, В и N, С и Р.

У задатку 3 сагледај да је АВС ~ А1В1С1, и да је коефицијент сличности 12

.

На цртежу: АВС ~ MNP.

Дат је АВС ~ RSTЗапиши одговарајуће:а) стране, б) углове.Нацртај два једнакострана троугла, први са страном а = 3 cm, а други са страном 4 cm.

Покажи да су они слични.Одреди коефицијент сличности.

На цртежу, АВС ~ PQR и дате су ду-жине страна. Одреди x и y.

Запамти

Зашто је А1В1С1~ АВС и који је коефицијент сличности?

4.

Треба да знаш:

Ако је АВС ~ ХYZ, тада је AB : XY = BC : YZ = AC : XZ = k и А = Х, В = Y, С = Z;Да одредиш коефицијент сличности два слична троугла.

Провери се!

Запиши одговарајуће:а) стране; б) углове.Одреди коефицијент сличности. Одреди х и у.

Задаци

1.

2.

3.

Tema 1. Sli~nost

��

На цртежу, АВС ~ МNС. Че му су једнаки CB и MN , уколико је CM = 5; CN = 6;

и

Из тога што је АВС = А1В1С1, да ли следи да је АВС ~ А1В1С1? Образложи.

Нека су М и N средине страна АС и ВС у троуглу АВС. Покажи да је МNС ~ АВС.

Да би утврдио да ли су два троугла АВС и А1В1С1 слични, треба да провериш да ли су њихови одговарајући углови једнаки и да ли су одговарајуће стране поропорционал-не т.j. А = А1, В = В1, С = С1 и

Kраци угла МОN су пресечени паралел-ним правама а и b, тако да је OB : OA OC : OD = 2: 1Уочи троугле ОАD и ОВС, а затим:

одреди какви су међусобно одговарајући углови троуглова; Да ли је ОВС ~ ОАD?

Нацртај АВС и дуж А1В1, која је три пута дужа од стране АВ. За-

тим нацртај троугао А1В1С1 са страном А1В1, В1 А1C1 = А и А1В1C1 = В.

Да ли су одговарајући углови тро-углова АВС и А1В1С1 једнаки? Зашто?

А = А1 и B = В1 по кон-струкцији; C = C1, будући да је C = 180 - (А + B) = 180 - (А1 + В1) = C1Помоћу мерења провери да ли су одго-варајуће стране А1В1С1 пропорционал-не странама ABC. Одреди коефицијент пропорционалности.Покушај да образложиш да су одгова-рајуће стране А1В1С1 и ABC пропорци-оналне и да је А1В1С1 ~ ABC.Упореди властито решење са датим.

На цртежу су дати ABC и А1В1С1, тако да је 1 1A B 3AB , А= А1 и В = В1.

Да би показао да је А1В1С1 ~ ABC треба да провериш да ли су испуњена шест захтева за сличност троуглова, тј.

4. 5.

6.

PRVI STAV O SLI^NOSTI TROUGLOVA7Подсети се!

одреди однос стра-на ВС и АО;

A 1.

Одговарајући углови су једнаки;

Sli~ni trouglovi

��

Показао си да су одговарајући углови троуглова једнаки. Претпостави да је ABC постављен у А1В1С1, тако да се: теме А подудара са теменом А1, теме В са

теменом В2 и теме С са теменом С2; угао А да се подудара А1, В са A1B2C2 и С са B2C2A1.

Будући да је угао A1B2C2 = В1, следи да је В2С2 В1С1. Упореди цртеж, помоћу Талесове тео-реме о пропорционалним дужима си показао да је

тј. Можеш да зазакључиш да је А1В1С1 ~ ABC.

Уочи да троуглови А1В1С1 и АВС које си нацртао имају по два угла који су одговарајуће једнаки и ти си показао да је А1В1С1, ~ АВС. Према томе, да би утврдио да ли су два троугла слични, довољно је да провериш да ли они имају одговарајауће углове.

Два троугла су слична, уколико су два угла једног троугла једнака са два угла другог тро-угла.

Ово тврђење је именовано као први став о сличности троуглова.

На цртежу је дато да су: А = Р = 30° и да је та-чка С пресек дужи АЕ и ВС. Докажи да је АВС ~ DЕС.

У АВС је повучена дуж МN која је паралелна са АВ.

Покажи да је α = α1 и β = β1.Докажи да је АВС ~ МNС.

Запази следеће тврђење.

Уколико је у једном троуглу повучена права која је паралелна са једном од страна и сече друге две стране, тада се добија троугао који је сличан датом.

Упореди ово тврђење са Талесовом теоремом о троугловима.

У АВС на цртежу су повучене дужи: МN АВ и NРАС.

Kолико троуглова уочаваш?Запиши који су троуглови слични између себе.

Запамти

2.

3.

4.

B

Tema 1. Sli~nost

��

Сваки троугао је сличан самом себи.Два складна троугла су слична.

Колики је њихов коефицијент сличности?

На цртежу су дати правоугаони троуглови АВС и PQR, при чему су А = Р = α.

Покажи да је АВС ~ РQR.

Запази да троуглови имају по два одговарајућа једнака угла: А = Р и В = = 90°.

Према првом ставу о сличности троуглова, следи:

Два правоугона троугла су слична уколико је један оштар угао једнак једном оштром углу другог троугла.

У троуглу АВС на цртежу је повучена висина СD и дуж МN АВ.

Колико правоугаоних троугла можеш да уочиш и који од њих су међусобно слични?

На цртежу су дата два једнакокрака троугла АВС и PQR, којима су углови при врху једнаки тј. С = R = α.

Покажи да је А = Р.Покажи да је АВС ~ PQR.

Два једнакокрака троугла су слична, уколико је угао при врху једног троугла једнак углу при врху другог троугла.

Нацртај два једнакокрака троугла АВС и А1В1С1, са основама АВ и А1В1, респективно, при чему је А = А1

Покажи да је АВС ~ А1В1С1.Искажи друго тврђење о сличности два једнакокрака троугла.

Треба да знаш:

5.

6.

7.

Уопштено

8.

Sli~ni trouglovi

�

да искажеш први став о сличности троуглова;који су услови довољни за сличност два правоугла троугла, односно два једнакокрака троугла;

да утврдиш сличност између два тро-угла;да одредиш непознату страну код слич-них троуглова.

На крајевима дужи АВ повучене су дужи

иBD = 5 cm, нормалнена АВ. У ком односу права s дели дуж АВ?

На цртежу је дат троугао АВС и МN АВ.

Одреди размер:а) Ако је CM : MA = 3 : 2, тада је

CM : CA = ;

б) Ако је CM : MA = 7 : 3, тада је

CN : NB = ;

в) Ако је CM : CA = 3 : 4, тада је

AB : MN = .

Дат је АВС са странама , и . Кроз тачку М која лежи на страни ВС повучена је права која је пара-лелна са АВ и сече АС у тачциN. Одреди MN , ако је CM = 3.

У трапезу АВСР, са основама АВ и СD, ди-јагонале АС и ВD се секу у тачци Ѕ.а) Докажи да је АВЅ ~ СDЅ.б) Одреди CD, ако су AB = 12, AS = 6 и SC = 3.

Kонструиши троугао А1В1С1, који је сличанАВС, са странама 4, 5 и 6 ако је:а) његова најмања страна 5;

Треба да знаш:Провери се!

Задаци

1. 2.

3.

4.

5.

б) коефицијент сличности 34

.

Одреди висину једног дрвета чија сенка има дужину 10 m, ако у исто време, човек који је висок 1,7 m има сенку која је дуга-чка 1 m.

Tema 1. Sli~nost

�

Kоја шест захтева треба да буду испуње-на да би два троугла АВС и А1В1С1 била слична?Kоји услови су довољни, према првом ставу о сличности троуглова, да би ва-жило АВС ~ А1В1С1?

Нацртај АВС са А = 60° и стра-нама AB = 3 cm, AC = 2 cm. Затим нацртај А1В2С3 са А1 = 60° и

странама 1 1A B = З AB , 1 1A C = ЗAC.

На цртежу су дати троуглови према усло-вима задатка. Претпостави да је АВС по-стављен тако да се А подудара са А1 и АВС се подудара са троуглом А1В2С2.

Који одговарајући елементи два троугла су дати и да ли је то довољно да покажеш да су ти троуглови слични?

Дате су по две одговарајуће пропор-ционалне стране и једнаки углови који образују те стране. То је довољно да се покаже да су троуглови слични.

Запази да може да се искаже критеријум о сличности троугла. Он је назван као други став о сличности троуглова. Ако су две стране једног троугла одговарајуће пропорционалне двема странама другог троугла и ако су углови који образују те стране једнаки, онда су ти троуглови слични.

Провери да ли су слични троуглови АВС и А1В1С1, ако су:

a) BC = 20, AC = 22 С = 50°; B1C1 = 30; 1 1A C = 33 С1=50°.

б) BC = 25, AC = 70 С =70°; B1C1 = 50; 1 1A C =139, С1=70°.

У АВС, на цртежу, тачка М је средина стране АВ, а N сре-дина стране АС.

Докажи да АВС ~ АМN.Покажи да је средња линија МN троугла АВС такође и по-ловина дужине одговарајуће стране ВС.

Подсети се!

DRUGI I TRE–I STAV O SLI^NOSTI TROUGLOVA8A 1.

Измери и упореди : В и В1 С и С1, BC и B1C2. Шта си закључио?

Одреди односе: 1 1A B : 1 2A B ; 1 1A C : 1 2A C и B1C1 : B2C2.

Покажи да јеВ = В1 и С = С1.Зашто је АВС ~ А1В1С?

2.

3.

Sli~ni trouglovi

��

Нацртај АВС са странама AB = 8 cm, BC = 6 cm, AC = 4 cm, а затим А1В1С1 са два пута мањим странама од АВС.

Измери и упореди углове: А и А1, В и В1, С и С1. Шта можеш да закључиш? Да ли је АВС ~ А1В1С1?

Одговарајуће стране код два тро-угла су пропорционалне. Да ли је то довољно да би утврдио да су троуглови слични?

Да би два троугла била слична до-вољно је да су одговарајуће стране пропорционалне, будући да су тада и одговарајући углови једнаки.

Запази да може да се искаже још један критеријум о сличности троуглова. Назван је трећи став о сличности троуглова. Уколико су три стране једног троугла пропорционалне са одговарајућим странама другог троугла, тада су та два троугла слична.

Да ли су слични троуглови са странама: а) 3, 4, 5 и 6, 8, 10; б) 15, 9, 12 и 4, 3, 5; в) 2, 2, 3 и 6, 6, 8; г) 2; 3; 4 и 3; 6; 4, 5?

да искажеш други и трећи став о слич-ности троуглова;

да утврдиш сличност код два троугла према другом и трећем ставу о сличним троугловима;

да одредиш непознату страну код слич-них троуглова.

Стране код АВС су: а = 6 cm, b = 4 cm и с = 3 cm. Одреди обим код А1В1С1, који је сличан са АВС, а његова нај-мања страна је 6 cm.Провери да ли су слични АВС и РQR, ако је: А = 55°, AB = 12 cm, AC = 8 cm, Р = 55°, PR = 12 cm,

PQ = 18 cm.

Нацртај АВС и РQR, а затим запиши који услови треба да се испуне да би ва-жило АВС ~ РQR према:а) другом ставу; б) трећем ставу.Покажи да су троуглови АВС и ЕDC слични и то према ком ставу.

Стране код једног троугола су 6, 5 и 4. Највећа страна другог троугла, који је сличан датом је 9. Пронађи обим другог троугла.

Да ли су слична два троугла, ако два угла једног троугла имају 60° и 70°, а два угла другог троугла имају по 50° и 80°.

При врху једног једнакокраког троугла угао износи 70°. Угао при основи другог једнакокраког троугла има 55°. Докажи да су ти троуглови слични.

B 4.

3.

Треба да знаш:Провери се!

Задаци

1.

2.

3.

4.

5.

Tema 1. Sli~nost

��

Образложи да ли је АВС ~ МNR, када је:ВАС = 50°, AB = 4 cm, AC = 6 cm;NMR = 50°, MN = 30 cm, MR = 45 cm.

Провери да ли су троуглови АВС и А1В1С1 слични, ако су њихове стране:а) 15, 17, 24 и 4,5; 5,1; 7,2;б) 22; 8,2; 20 и 55; 20,5; 50.

Како ћеш одредити растојање од тачке А до тачке В, ако је тачка А недоступна?

Запази цртеж.

На терену, ода-бирамо тачке С и В1 на истој правој са В, тако дa

BC = m · CB1.

Помоћу инструмента одређује-мо угао В1, који је једнак В.

На краку угла В1 одређујемо тачку А1 тако да тачке А, С и А1 леже на истој правој.

АВС ~ А1В1С1. Зашто? Одреди растојање од А до В, ако су

BC = 40 cm, 1CB = 5 m, a 1 1B A = 6.5 m.

Како ћеш израчунати растојање између дос-ту пних тачака А и В на терену, ако је између тачака А и В неприступачан део терена.

АВС ~ А1В1С1. Зашто?

Одреди растојање од А до В ако је AC = 10

cm, 1CA = 2 m, и 1 1A B = 3,5 m.

Израчунај обим троугла са странама: а = 15 cm, b = 9 cm и с = 8 cm.Израчунај површину троугла са странама а = 10 cm и одговарајућом висином h = 6 cm.

Уколико су три и више размера једнаки, тада они могу да се запишу у облику про-дужене пропорције, на пример: аa1

bb1

cc1

= = тј. а : b : c = а1 : b1 : c1.

Код једног троугла стране АВС су а = 6 cm, b = 8 cm и с =12 cm. Нај-

мања страна код другог троугла А1В1С1, који је сличан АВС је а1 = 3 cm.

Одреди коефицијент сличности троуглаова.

Одреди стране b1 и c1 код троугла А1В1С1. Одреди обиме код АВС и А1В1С1.Упореди однос обима код троуглова са од-носом код одговарајућих страна. Шта мо-жеш да закључиш?

5.

7.

8.

9.

Запази цртеж.

ODNOS OBIMA I ODNOS POVR[INA KOD DVA SLI^NI TROUGLA

9Подсети се!

За пропорцију важи:

A 1.

Sli~ni trouglovi

Одабрана је тачка С и на продуже-цима АС и ВС, су одабране А1, и В1 тако што је

AC = n · CA1 и BC = n · CB1

а + b + ca1 + b1 + c1

= аa1bb1

cc1

= = k.=

��

Упореди твоје решење са понуђеним.

bb1

cc1

= = k ; b = k · b1; 8 = 2 · b1; b1 = 4 cm;

c = k · c1; 12 = 2 · c1; c1 = 6 cm.

Запази да је обим L код АВС: L = 6 + 8 + 12, тј. L = 26 cm, а обим L1 код А1В1С1 је: L1 = 3 + 4 + 6, тј. L1 = 13 cm.

26 6 8 12 313 3 4 6

Сагледај да је однос обима код сличних троуглова једнак односу одгова-

рајућих страна.

Ако је АВС ~ А1В1С1, тада је

Доказ. Из сличности АВС и А1В1С1 следи да је:

Обими два слична троугла се понашају као њихове одговарајуће стране.

Стране код АВС су а = 6, b = 15 и с = 18, а А1В1С1 је сличен датом са коефицијентом

Троуглови АВС и А1В1С1 на цртежу су слични. Повучене су одговарајуће висине CD и C1D1.

Покажи да је АDС ~ А1D1С1.Покажи да су одговарајуће висине CD и C1D1 про-порционалне одговарајућим странама троуглова.

Познате су две одговарајуће стране а и а1 код сличних троуглова.

Вaжи уопштено!

Према особинама продужене про-

порције следи:

Запамти

2.

сличности k = 13

. Одреди обим L1 за А1В1С1.

B 3.

Tema 1. Sli~nost

Према томе, аa1

63= = 2, тј. k = 2.

т.ј.

��

Упореди твоје решење са приложеним.

Запази да правоугаони троуглови АDС и А1D1С1, имају по један једнаки оштар угао, тј. А = А1 (будући да је АВС ~ А1В1С1).

Kод сличних троуглова одговарајуће висине су пропорционалне одговарајућим странама.

Код два слична троугла одговарајуће висине, тежишне линије, симетрале углова, полупреч-ници уписаних и описаних кружница имају исти однос са одговарајућим странама.

Обими два слична троугла су 16 cm и 24 cm, а једна висина првог троугла је 9 cm. Одреди одговарајућу висину другог троугла.

На цртежу су дати слични троуглови АВС и А1В1С1. Њихове површине су Р и Р1.

Запиши формуле за површине Р и Р1, према датим странама и одговарајућим висинама троуглова.

Запиши однос једнак односу h : h1.Покушај да докажеш чему је једнак однос површина троуглова, тј. Р : Р1.

Упореди своје решење са понуђеним.

Р = 12

а · h; P1 =12

a1. h1. P : P1 = 12

а . h : 12

a1. h1; тј.

Будући да је АВС ~ А1В1С1 следи да је Према томе,

На исти начин може да се покаже да је:

Однос површина двају сличних троуглова је једнак односу квадрата њихових одгова-рајућих страна.

Површине два слична троугла АВС и А1В1С1 су 49 cm2 и 36 cm2, а једна страна АВС је а = 7 cm. Одреди одговарајућу страну а1 код другог троугла и одговарајуће висине h и h1.

Уопштено

4.

5.V

Запамти

6.

Sli~ni trouglovi

Из сличности код АВС и А1В1С1, следи да је: 1 11 1 1 1 1 1

CD AC AB BCB CC D A C A B

= k.

Можеш да закључиш да је АВС ~ А1D1С1. Из тога следи да је: CD : 1 1C D = AC : 1 1A C = k.

��

Упореди властито решење са понуђеним.

да искажеш какав однос имају обими, а какав однос имају површине два слична троугла;да искажеш тврђење о односу одговара-јућих висина, тежишних линија и симе-трала углова код два слична троугла;

да примениш у задатку однос параметара и однос површина код два слична троугла.

Стране код АВС су а = 8, b = 6 и с = 4, обим је сличан њему А1В1С1 и износи 45. Одреди стране код А1В1С1.

Њива у облику троугла је нацртана у размеру 1 : 200. Kоји је однос између површине тро-угла са цртежа и површине њиве?

Обим једног троугла је три пута већи од обима њему сличног троугла. Ако је најмања страна првог троугла 24 cm, колико је највећа страна другог троугла?

Стране једног троугла износе 8 cm, 15 cm, 9 cm. Обим другог троугла који је сличан првом је L1 = 96 cm. Одреди стране другог троугла.

Обими два слична троугла су у односу 5 : 2, а збир њихових највећих стра-на је 42 cm. Одреди дужине највећих страна.Стране а, b и с, код једног троугла АВС се односе као 3 : 4 : 6. Одреди стране а1, b1 и с1 код А1В1С1 са обимом = 52 cm, који је сличан датом.

У АВС, на растојању 2 cm од стране АС је повучена права МN АС. Од-реди висину ка страни АС код АВС, када је AB : MB = 13 : 9.

Површине два слична троугла АВС и А1В1С1 су 81 и 25. Страна b код АВС је 9. Одреди страну b1 код А1В1С1, и висину h1 која је повучена ка њој.

Нацртај троугао АВС и затим конструи-ши њему сличан А1В1С1, чија површина износи једну трећину површине троугла АВС.

Страна а код АВС је 10, а висина која јој припада је 5. Одреди страну а1 и одгова-рајућу висину h1 код А1В1С1, који је сли-чан АВС и има површину 81.

Површине два слична троугла су у односу 9 : 25. Одреди њихов коефицијент слич-ности.

На цртежу је њива у облику троугла у раз-меру 1 : 500. Површина троугла на цртежу је 2,76 dm2. Одреди површину њиве у хек-тарима.

P = а · h2 ; h = 2P2 ; h =

2 497 =14; h = 14 cm.

Код троугла А1В1С1, одреди висину h1 према познатим Р1 и а1.

Треба да знаш:Провери се!

Задаци

1. 6.

7.

8.

9.

10.

2.

3.

4.

5.

Tema 1. Sli~nost

P : P1 = а2 : а2; 49 : 36 = 49 : а12; а12 = 36; а1 = 6 cm.

��

У правоугаоном АВС на цртежу, виси-на СD је спуштена према хипотенузи АВ.

Какав узајамни положај имају краци уг-лова α и γ2?Kоји парови са означених уг-лова имају уза-јамно нормалне краке?Који од означених углова су једнаки из-међу себе?Дате су дужи а = 3 cm, с = 12 cm.Израчунај њихову геометријску средину.

Правоугаони троугао АВС на цр-тежу, има висину СD која је спуш-тена према хипотенузи АВ, по-

дељен је на два правоугаона троугла: АDС и СDВ.

Објасни зашто (према ком ставу) су слич-ни троуглови: а) АВС ~ СВD; б) АВС ~ АСD.Уочи дуж АD у АВС на цртежу. За њу ћемо рећи да је пројекција катете АС на хипоте-нузу АВ. Њену дужину ћемо означити са q.

Аналогно, дуж DВ се назива пројекција катете ВС на хи-потенузи. Њена дужина је означена са р.

Уочи следеће правоугаоне троугле АВС и СВD на црте-жу и означене дужине на њиховим странама.

Kоје стране су одго-варајуће код СВD странама с и а код АВС?

Страна с је хипотенуза код АВС, а страна а је хипотенуза код СВС Према томе: с је одгова-рајућа за а; страна а је код АВС одговарајућа са р код СВС.

Објасни зашто AB : CB = BC : BD , тј. с : а = а : р. Из пропорције с : а = а : р се добија а2 = ср.Шта представља катета а у односу на хипотенузу c и пројекцију р?

Уочи сличне правоугаоне троуглове АВС и АСD, на цртежу у задатку 2. Запиши парове одговарајућих страна. Објасни зашто је с : b = b : q, тј. b2 = сq.Искажи речима везу између катете b са хипотенузом с и пројекцијом q стране b на с.

PITAGORINA TEOREMA

SLI^NOST KOD PRAVOUGAONOG TROUGLA10Подсети се! A 1.

2.

3.

Pitagorina teorema

��

Теорема 1° Свака катета у једном правоуглом троуглу је геометријска средина хипотенузе и пројекције те катете на хипотенузу.

У правоугаоном троуглу АВС са катетама а = 12 и b = 5 и хипотенузом с = 13, одреди пројекцију катета а и b на с.

У