1. frekvenční charakteristiky soustavy s 1 stupněm volnosti pro lineární a nelineární případy lineární

lineární vychází z teor. ODR (pro lineární průběh je zapotřebí tlumení (b) nebo tuhost (k=konst)

)(tfkyybym =++ &&&

Kennedy-Paneův diagram kombinuje oba způsoby (amplitudovou i fázovou charakteristiku) Zobrazuje závislost velikosti amplitudy a fáze na velikosti frekvence (w). Lépe mapuje vrchol rezonanční křivky (viz obrázky Amplitudové (a fázové) charakteristiky)

Nelineární

Amplitudová char. = závislost amplitudy a frekvence U nelineárních systémů neplatí princip superpozice Nelineární systémy TS můžeme charakterizovat jako soustavu, která obsahuje alespoň 1 nelineární silovou závislost kinem nebo deformačních veličin Sestavení pohybových rovnic

:

II Newtonův zákon,(Zákon zachování síly) madt

vmd

dt

dHF =

⋅==

)(

Lagrangeovy rovnice II. Druhu. Qq

Ep

q

Ek

dt

d=

∂

∂−

∂

∂

&

η

|Re(A)/Ast|

0

1

2

3

1 2 3 4 5

D=0.1 D=0.2 D=0.5

F=sinωt

y

b k

-1 Im(A)/Ast|

A/Ast Ψ

η

|A/Ast|

1

2

3

4

0.45 1.75 1.25 1.75 2.25

D=0

D=0.1

D=0.2

D=0.5

F=sinωt

y

b k

1

|A|

ω

|A| V2>V1

ω

1

dÁlembertův zákon ( ) 0=∂−∑ ramF iii

Hamiltonův zákon Charakter pohybových rovnic z hlediska jejich struktůry

- lineární : vychází z teor. ODR (pro lineární průběh je zapotřebí tlumení (b) nebo tuhost (k=konst)

- nelineární : popisuje nelineární funkce - linearizivané : snaží se převést podobný nelineární model na lineární

Charakter pohybových rovnic z hlediska procesů ve kterých probíhají : (D)eterministické, (S)tochastické, kombinované (D)+(S), Chaotické.

Základní rozdělení - harmonické - periodické (výrobní procesy) - přechodové (když jedeme v autě 60 a chceme jet 90) Náhodné - stacionární

- nestacionární děj Získáme je na základě hypotéz – test náhodnosti. Děj je/není náhodný, tudíš je deterministický.

Deterministický – U deterministických procesů můžeme jejich velikost v libovolném okamžiku určit obecně ze soustavy diferenciálních rovnic a známých počátečních podmínek. Při opakování experimentu za stejných podmínek probíhá deterministický proces vždy stejně. Náhodný(stochastický) – U stochastických procesů není možno přesně předpovědět jejich velikost; lze je popsat pomocí charakteristik matematické statistiky. I při opakování experimentu za stejných podmínek poskytuje stochastický proces navzájem se lišící průběhy. Příklad: namáhání podvozku automobilu při jízdě terénem. Náhodný jev může a nemusí nastat. Chaotický proces – vykazuje náhodné (nepředvídatelné) chování

ANALYZOVANÝ DĚJ

DETERMINISTICKÝ NÁHODNÝ

PERIODICKY NEPERIODICKÝ STACIONÁRNÍ NESTACIONÁRNÍ

ERGODICKÝ

NEERGODICKÝ

SPECIÁLNÍ KLASIFIKACE NESTACIONARIT

HARMONICKÝ

KOMPLETNÍ PERIODICKÝ

KVAZI-PERIODICKY

PŘECHODOVÝ

CHAOS

2

Zobrazení procesu : Včasové oblasti,

ve frekvenční oblasti,

ve stavovém prostoru(fázové rovině)

A

ω 0

1

Ω1 Ω2

xx

tt

a)

tt

cc) x

t

b) x

t

d) x

1 2 3 4 5

a) Deterministický b) Náhodný (stochastický) c)Smíšený

d)Nehomogenní

3

2. Základní projevy stability dynamických systémů , kritéria stability

-stabilita-

Mají-li všechny vlastní čísla matice A záporné reálné části, je triviální řešení soustavy stabilní

Má-li alespoň jedno vlastní číslo matice A kladnou reálnou část, je řešení soustavy nestabilní

Rovnovážný stav je stav který odpovídá minimu potenciální energie soustavy

Stabilitu soustavy určíme z kořenů matice A (Ax+Bu)

4

Nyquistovo kritérium

Regulační obvod je stabilní, jestliže kritický bod [-1, 0] leží vlevo od frekvenční charakteristiky rozpojeného obvodu G

0(jω) pro

frekvence ω od 0 do ∞.

Hurwitzovo kritérium:

Obvod je stabilní (kořeny charakteristické rovnice jsou záporné nebo mají zápornou reálnou část), když determinant H

n a všechny subdeterminanty H

n-1 až H

1 jsou kladné (n je stupeň

charakteristické rovnice). Je-li některý z determinantů nulový, je obvod na mezi stability.

Routh-Schurovo kritérium:

Regulační obvod je stabilní, když jsou koeficienty všech rovnic při postupné redukci charakteristické rovnice kladné.

Michajlov-Leonhardovo kritérium: Aby byl regulační obvod stabilní, musí Michajlov-Leonhardova křivka H(jω) začínat na kladné reálné poloose komplexní roviny a se vzrůstajícím ω od 0 do ∞ musí projít postupně (tj. v pořadí) v kladném smyslu (proti pohybu hodinových ručiček) tolika kvadranty, kolikátého stupně je charakteristická rovnice.

Sylvestrovo kritérium:

- pro zjištění, zda je kvadratická forma kladně definitní nebo kladně semidefinitní

(a tudíž konvexní) se používá tzv. Sylvestrovo kritérium, které vychází ze symetrické matice kvadratické formy (tj. ),

- jestliže jsou všechny základní hlavní minory symetrické matice C kladné, je forma kladně definitní,

- jsou-li všechny základní hlavní minory symetrické matice C nezáporné (připouští se i rovnost 0), je kladně semidefinitní.

Základní hlavní minory jsou determinanty v levém horním rohu matice.

5

3. Stavový prostor a fázové rovnice, základní dynamické vlastnosti TS ve fázové rovině

Převod (transformace) diferenciální rovnice do stavového prostoru :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tQtqqftqtKtqtBtqM n =

+++ ,,

....

kde M, B, K, fn, Q jsou matice Možné speciální případy

( ) ( ) ( ) ( )tQtKqtqBtqM =++...

- lineární, časově invariantní

( ) ( ) ( ) ( )tQtqKtqBtqM LL =++...

- linearizovaný

kde LL KB , vykonají relaci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MINtqKtqBtqqftqtKtqtB LLn →−−

++≡

...

,,ε

budící účinky ( ) ( ) ( )tZtUtQ +=

( )tZ - náhodná složka

( )tU - deterministická složka

( ) ( )[ ]tZtUM

q

q

BM

I

KMq

q

dt

d+

+

−−=

−−− 1.11.

00

Po zavedení stavového vektoru lze psát

( ) ( ) ( )

= tqtqtx

T.

lze rovnici přepsat do tvaru

( ) ( ) ( ) ( )tPztFtAxtxdt

d++=

Lineární a nelineární systémy Dynamický systém Modelem dynamického systému nazveme soustavu diferenciálních rovnic je li vektor x vektor

stavových proměnných ve fázovém prostoru nR .

( )xtFx ,.

= F - vektorová fce

( )nxxxtFx ,......,2111

.

,,=

( )nxxxtFx ,......,2122

.

,,=

6

( )nnn xxxtFx ,......,21

.

,,=

Cauchyho systém

Vývoj systému lze pak znázornit parametrickou křivkou tx v n-rozměrném fázovém prostoru nR kterou nazýváme trajektorií systému

Lineární systém

de facto neexistuje, protože v jakékoli fyzické soustavě je tření, což je sám o sobě děj, který je nelineární, ovšem většinou lze průběh tření zanedbat, protože oproti jiným nelinearitám je o 2 až 3 x menší. Samozřejmě existují výjimky, kdy je tření zanedbatelné. Pokud je vektorová fce F lineární pak lze psát

Axx =.

A je matice s konstantními koeficienty

Nelineární systém Je dána vztahem

( ) 0,.

== xtFx

Fázový portrét soustava parametrických křivek pro množinu počátečních podmínek. Každý bod ve fázovém prostoru náleží právě jedné trajektorii systému. Z to ho vyplívá že se nikde nesmí trajektorie protínat nešlo by potom určit jednoznačně další vývoj systému. Pevné body jsou rozhodující pro kvalitní popis fázového portrétu. Jediný kritický bod určující typ jednoduchého lineárního systému může být v případě nelineárních systémů nahrazen více kritickými body s různým charakterem. Základní myšlemkou vyšetřování nelineárních systémů je hledání takového okolí jejich pevných bodů, v němž je jejich lokální fázový portrét kvalitativně ekvivalentní s některým typem lineárního systému. Řešením je linearizace ovšem ne každá rovnice je linearizovatelná.

7

Fázové křivky v okolí singulárních bodů Základní význam mají fázové křivky (body) ve kterých je fázová rychlost nulová. Tyto fázové křivky nazýváme singulární body. Reprezentují rovnovážné stavy dynamických systémů. 4 základní typy singulárních bodů: stabilní střed nestabilní sedlo

stabilní i nestabilní ohnisko a uzel Limitní cykly – uzavřené izolované fázové křivky odpovídajících rovnovážným stavům autonomním systémům. Limitní cykly stabilní- směřují li poruchové trajektorie obou stran k limitnímu cyklu polostabilní- směřují li poruchové trajektorie jen z jedné strany nestabilní – vzdalují se poruchové trajektorie od limitnímu cyklu na obou

stranách

8

9

4. Chaos, bifurkace – základní pojmy Chaos - historie: franz. matematik Poincaré (Poincarého zobrazení) - nemá jednotnou matematickou definici - je pro něj typická extrémní citlivost na počáteční podmínky a jejich případné změny - očekává se od něj (v případě nelineárních soustav) tranzitivnost, tj. existence husté trajektorie při znázornění pohybu dynamické soustavy ve stavové (fázové) rovině - nebývalý rozvoj teorie deterministického chaosu v posledních letech umožnily až počítače, umožňující získat velký počet numerických řešení nelineárních diferenciálních rovnic - analyticky dokázat existenci chaosu je prakticky téměř nemožné -soustavy, které se v krátkém časovém úseku mohou jevit jako deterministické, se dlouhodobě chovají nepředvídatelně (chaoticky) Chaotické jevy v praxi:

- kmitání zakřivených pevných struktur

- vůle

- aerodynamické účinky

- kolo+kolejnice

- magnetomechanické soustavy

- soustavy se suchým třením

- soustavy s diodami, tranzistory, zdroji napětí

- soustavy s lasery ZÁKLADNÍ POJMY:

CHAOTICKÉ KMITÁNÍ – lze charakterizovat jako vznik širokofrekvenčních neuspořádaných kmitů (pohybů) v plně deterministických soustavách.

ATAKTOR – Množina bodů nebo uzavřené či neuzavřené křivky (resp. oblast ve fázové

rovině, nebo podprostor ve fázovém prostoru), ke které se přibližuje trajektorie disipativních přechodových procesů při změně parametrů (nebo-li množina stavů (odezev) systému, do kterých systém směřuje s časem t>t0).

10

Další pojmy:

LIMITNÍ BOD, MNOŽINA LIMITNÍCH BODŮ LIMITNÍ CYKLUS – uzavřená trajektorie ve fázovém prostoru s konečnou periodou KVAZIPERIODICKÝ ATRAKTOR – složitější množina s nekonečně dlouhou periodou CHAOTICKÝ ATRAKTOR – nejsložitější limitní množina, zpravidla nekompaktní, která se vyznačuje nestabilním chováním PODIVNÝ ARTAKTOR – situace při projevení nepředvídatelných neurčitostí v počátečních podmínkách, které jsou spojené s určitými stavy (podmínkami) (př. sférické kyvadlo pohybující se mezi třemi magnety) - je vázán s fraktálními množinami

BIFURKACE – Změna charakteru pohybu dynamické soustavy v relativně velkém časovém intervalu. Bývá vyvolána změnou jednoho nebo několika parametrů soustavy. (Příklad: přechod od jedné rovnovážné polohy soustavy k jiné resp. k jiným rovnovážným polohám)

Bifurkační diagramy:

(pozn. Svazky trajektorií v jednotlivých fázových obrazech odpovídají různým počátečním podmínkám)

HOPFOVA (KOMLEXNÍ) BIFURKACE – Může být chápána jako vznik (resp. jako

požnost vzniku) limitního cyklu (způsobeného změnou některého z parametrů), který se oddělí původního rovnovážného stavu. (Příklad: vznik samobuzených kmitů, reprezentovaných limitním cyklem)

STABILITA

NESTABILITA

α

Xe

STABILITA

11

12

5. Projevy chaosu v technických soustavách, jak chaos identifikujeme

Identifikace chaosu:

• Nemá jednotnou matematickou definici • V uzavřené oblasti se chová nestabilně • Vně uzavřené oblasti se chová stabilně • Vytváří ve stavové rovině hustou mapu, ale trajektorie není uzavřena = TRANZITIVNOST

Kde se s chaotickými pohyby můžeme setkat v technických oblastech:

Příklady nelineárních elementů ve strojírenství a elektrotechnice:

• Nelineární pružiny a pružné soustavy, bilineární pružiny • Nelineární tlumiče • Vůle v mechanismech , mrtvé chody • Silové účinky vyvolané stykem mechanického tělesa a kapaliny • Nelineární počáteční podmínky, změny počátečních podmínek • Magnetické a elektrické síly • Nelineární odpory nebo indukčnosti v elektrických sítích

Kde se můžeme setkat s chaotickým kmitáním:

• Kmitání ohnutých pružných struktur (zakřivené struktury) • Mechanické soustavy s vůlemi a mrtvými chody • Aerodynamické soustavy • Dynamika soustavy kolo + kolejnice • Magnetomechanické soustavy • Třírozměrné sloupy a skořepiny • Soustavy se suchým třením • Elektrické soustavy s diodami a zdroji proudu • Soustavy s harmonickými zdroji proudu a tranzistory • Soustavy s indukčními elementy • Soustavy s lasery

13

6. Redukce počtu stupňů volnosti modelů mechanických soustav

Redukci počtu stupňů volnosti můžeme jednoduše definovat jako transformaci z prostoru dimenze m do prostoru dimenze n , přičemž platí mn >> , a dojde k přibližnému zachování základních dynamických vlastností v jistém frekvenčním intervalu.

Požadujeme-li u redukovaného modelu vypočítat p prvních vlastních frekvencí blízkým vlastním

frekvencím neredukovaného modelu, musí počet redukovaných stupňů volnosti n splňovat tuto podmínku:

8,2min += ppn

CÍL: sestavit minimální a přitom ještě vyhovující model, tj. model s co nejmenším počtem hmot

Požadavky které musí minimální model splňovat :

1) struktura systému má být pokud možno u minimálního modelu zachována 2) pomocí minimálního modelu musí být možné reprodukovat pohyby i síly (resp. momenty)

pomocí určitých souřadnic systému v předem stanovené frekvenční oblasti 3) poznatky, získané pomocí minimálního modelu musí být aplikovatelné na původní systém

Metody lze zhruba rozdělit do dvou skupin a to:

1) Metody vycházející ze znalostí (resp. odhadů) vlastních frekvencí a tvarů vlastních kmitů původního systému

2) Metody vycházející v podstatě pouze ze znalostí parametrů systému a budících účinků (sil a momentů)

Při simulaci dynamických soustav se používají tyto metody:

- redukce transformací zobecnělích souřadnic - Guyanova redukce (Statická redukce) – velmi rozšířená metoda, spočívá v rozdělení počtu

stupňů volnosti na m tzv. masterů°V a mn − tzv. slave°V, přičemž platí m << n . Mezi slave °V můžeme vybírat jen ty, ve kterých nepůsobí žádné vnější budící síly

- parametrická redukce – je založena na nahrazení původního modelu o n °V jednoduším, často diskrétním lineárním modelem předem dané struktury o menším počtu °V

- metoda modální syntézy – pro modelování mechanických soustav složených z několika subsoustav navzájem spojených diskrétními pružně viskózními vazbami. Využití takto redukovaného modelu je efektivní pro ladění a optimalizaci, které jsou založeny na iteračních postupech nebo mnohonásobném opakování dynamické analýzy.

14

Redukce parametrů tuhostí pomocí parciálních systémů

Skutečný systém rozdělíme na podsystémy α a β , pro které vypočteme parciální frekvence. Redukci

provádíme záměnou podsystému α za β nebo naopak, přičemž redukci provádíme od podsystému

s největší hodnotou parciální frekvence. Po každém kroku tyto frekvence přepočítáváme, pokud se změní z některých parametrů

Výpočtové vztahy:

:

15

Postup redukce záměnou podsystémů „β “ za „ α “ je naznačen zde

16

Redukce parametrů tlumení pomocí parciálních systémů

Při redukci se postupuje následovně:

a) celý systém se rozdělí na parciální podsystémy I nebo II b) vypočítají se odpovídající vlastní frekvence podle vztahů:

j

jj

AjAbs

AbsAbs

Θ

κ+κ=Ω

−12 nebo ( )

j

jBjA

jBjA

Bj AbsAbsAbs

AbsAbsκ⋅

Θ⋅Θ

Θ+Θ=Ω

+

+

1

12

κ - kappa – komplexní tuhosti

Θ - théta – komplexní momenty setrvačnosti

c) pro podsystém s nejvyšší vlastní frekvencí se kontrolují redukční podmínky podle:

ε=

Ω

ω2

Aj

M ; 1<<ε

ε=

Ω

ω2

Bj

M ; 1<<ε

( ) jj

j

j

jj JkF

Fkk ⋅Ω>>⋅++

−

−2j

11 a ( ) jj

j

j

jj JkF

Fkk ⋅Ω>>⋅++

+

+2j

11

Jsou-li splněny, provede se záměna podsystémů dle tabulky (nejsou zde transformační vztahy, ty po nás chtít nemůže) tak, aby se snížil počet stupňů volnosti

17

d) popsaný postup se opakuje a je ukončen, poruší-li se některá redukční podmínka

18

7. Závislost vlastních frekvencí na parametrech modelu TS

0=++ kxxbxm &&&

vlastní frekvence m

k=2

0ω

Vlastní frekvence musí ležet nad spektrem provozních frekvencích

Je jednodušší dodržet vlastní frekvenci než vlastní tvary kmitů

Vlastní frekvence určuje rezonanční frekvenci

Pokus se systém provozuje na 1. vlastní frekvenci ,důležitý je 1. vlastní tvar kmitů, na 2. vlastní frekvenci, důležité jsou 1. a 2. tvary tvary kmitů atd.

S rostoucím tlumením vlastní frekvence se zmenšuje

Vlastní tvary kmitů určují deformaci

19

8. Závislost vlastní frekvence a vlastních tvarů kmitů na parametrech TS

matematický model

lineární nelineární

)(tfkqqbqm b=++•••

)())(()( tfqaukkqaubqm bee =+++•••

vlastní frekvence

m

k=2

0ω m

aukk e )(20

+=Ω

20

Tvary kmitů jsou spolu vzájemně vázány parametry systému. Přitom tvary kmitů jsou popsány souřadnicemi. Pro každý z uvažovaných tvaru kmitů jsou nutné jiné souřadnice. Počet souřadnic je roven počtu tvaru kmitů. Pro většinu tvarů je typické, že počet uvažovaných tvarů kmitů je poměrně malý ve srovnání s počtem souřadnic nutným dokonalému popisu tvaru kmitu, pak je příslušná modální matice obdélníková( modální matice má ve svých sloupcích tvary vlastních kmitů).

21

9. Problematika ladění Technických Soustav

Teorém I. Při zmenšení hmotnosti libovolného prvku jakéhokoliv pružného systému se všechny vlastní frekvence zvětší a naopak. Tyto změny nenastanou pouze v tom případě, kdy odpovídající hmotnost leží v uzlu příslušného kmitu. Teorém II. Při zvětšení tuhosti jednotlivých vazeb libovolného pružného systému, rovněž tak i při přidání dalších libovolných pružných nebo absolutně tuhých vazeb, budou všechny vlastní frekvence pružného systému vzrůstat a naopak. Tyto změny nenastanou pouze v tom případě, kdy je odpovídající vazba v klidu – je připojena v uzlu kmitu systému (v tomto případě je reakce v každém časovém okamžiku rovna nule). Teorém III. Připojíme-li ke stabilnímu pružnému systému jednu pružnou nebo absolutně tuhou vazbu, všechny hodnoty vlastních frekvencí vzrostou, nepřesáhnou však hodnotu v pořadí následující vyšší vlastní frekvence základního systému.

Platí: LL ≤≤≤≤≤≤≤ − nZnKKZKZ ,1,2211 ωωωωωω

Zvětšuje-li se hodnota hmotnosti jednoho elementu systému, dochází k poklesu hodnot vlastních frekvencí dle obdobného schématu:

nZnMnZnMZMZM ,,1,1,2211 ωωωωωωωω ≤≤≤≤≤≤≤≤ −−L

Teorém IV. Přidáme-li ke stabilnímu pružnému systému ν pružných nebo absolutně tuhých vazeb, všechny hodnoty vlastních frekvencí základního systému vzrostou, nepřesáhnou však hodnoty vlastních frekvencí základního systému mající pořadový index o ν větší.

Tedy: ( ) νν ωωω +× ≤≤ 1,1,1 ZKZ

( ) νν ωωω +× ≤≤ 1,1,1 ZKZ

..................................

( ) ( ) nZnKnZ ,,, ωωω ννν ≤≤ −×−

Poddajnost ve tvaru Greenovy resolventy: Pohybová rovnice lineární dynamické soustavy v amplitudovém tvaru

( ) ΦΩ⇒=− ,22FMK ϕω

Řešení: ( )[ ] FF ⋅Γ=⋅ΦΙ−ΩΦ= −− 1122 ωϕ

22

Kde: 2Ω je diagonální spektrální matice

Φ je ortonormalizovaná modální matice ⇒ že platí: Ι=ΦΦ MT

2Ω=ΦΦ KT Γ = matice dynamických poddajností ve tvaru Greenovy resolventy

Platí pro: Základní soustavu (ZS) ZZZ F⋅Γ=ϕ

Ladící soustavu (LS) LLL F⋅Γ=ϕ

Vazba mezi ZS a LS: LjLjZ ϕϕ = pro výchylky

LjLjZ FF = pro síly

Z těchto podmínek vyplývá vazba mezi poddajnostmi ZS a LS:

0=Γ+Γ jLjZ

tj. ( ) ( )

∑∑−− −

Φ−=

−

Φ r

p pL

Ljpn

k kZ

Zjk

122

2

122

2

ωωωω

kde: L,, 21 ZZkZ ωωω = vlastní frekvence ZS

L,, 21 LLpL ωωω = vlastní frekvence LS

( ) LZjkΦ prvek jk modální matice ZS

( ) LLjpΦ prvek jp modální matice LS

23