Lineární zobrazení

Lineární zobrazení

V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU GPL (www.gnu.org).

Definice 46. Nechť P a Q jsou vektorové prostory nad stejným tělesem T. Nechť A je zobrazení A : P -> Q. Říkáme, že A je lineární, právě když platí

)()())((

)()()())((

xAxATPx

yAxAyxAPyPx

Množinu všech lineárních zobrazení P do Q značíme L(P,Q). Na L(P,Q) definujeme operace

)()())(()( xBxAxBAPx

Pozn.: Množina L(P,Q) s výše uvedenými operacemi je vektorový prostor nad tělesem T s dimenzí dim L(P,Q) = dim P x dim Q (jsou-li obě dimenze konečné).

1) součet zobrazení A,B z L(P,Q) definujeme jako

)())(()( xAxAPx 2) násobení zobrazení A z L(P,Q) číslem z T definujeme jako

Dokáže toto tvrzení někdo ?


Definice 47. Nechť V je vektorový prostor nad T. Pak speciálně:

1) Lineární zobrazení V do V nazýváme lineární operátor na V. Množinu všech lineárních operátorů na V značíme krátce L(V).

2) Lineární zobrazení V do tělesa T nazýváme lineární funkcionál na V. Množinu všech lineárních funkcionálů na V značíme krátce V# a nazýváme ji duální prostor k V.

Pozn. : prosté zobrazení P na Q nazýváme izomorfní. prosté zobrazení V na V nazýváme regulární operátor.

Věta 9.

##2

#1

# ,,, nxxxX

Základní věta o lineárních funkcionálech : Nechť soubor vektorů X = (x1, x2, … , xn ) je báze V. Potom soubor

kde xi# jsou souřadnicové funkcionály, je bází duálního prostoru V#

(duální báze k X). Duální prostor má tedy stejnou dimenzi. Dále pro každý funkcionál φ z V# platí, že souřadnice φ v bázi X# získáme jako

)(,),(),( 21 nxxx


Zobrazení z R3 do prostoru polynomů nejvýše prvního stupně P1

3212103221

110

3321

tj.)()(

)(),,(

tAx

ttpx PRPříklad

Zobrazení z R3 do tělesa R

),,( 3213

321 Axx RPříklad

Zobrazení z P2 do P2

02 tj.2

)()(

2211021

22210

22210

tAp

tttqtttp PP

Příklad

Zobrazení z R3 do prostoru R3

),,(

),,(),,(

3213221

3321

3321

Ax

yx RR

Příklad


Definice 48.Nechť A je zobrazení z L(P,Q). Číslo dim A(P), tj dimenzi oboru hodnot, nazýváme hodností zobrazení a značíme h(A). Vzor jednoprvkové množiny {θ} nazýváme jádro zobrazení a značíme ker A.

θθ

ker A

Množina ker A je podprostorem P. Číslo dim ker A(P), tj dimenzi jádra, nazýváme defektem zobrazení a značíme d(A).

Pozn. : Prosté zobrazení zachovává lineární závislost a nezávislost, tj. je-li vzor souboru LN, pak i jeho obraz je LN a obráceně.

Pozn. : Lineární zobrazení převede podprostor (lineární obal nějakého souboru z P) opět na podprostor (lineární obal nějakého souboru z Q), tj. :

nn AxAxAxxxxA ,,,,,, 2121

Pozn. : vždy buď {θ}, nebo nekonečná

množina.


Určete jádro zobrazení z R3 do prostoru polynomů nejvýše prvního stupně P1

3212103221

110

3321

tj.)()(

)(),,(

tAx

ttpx PR

Příklad

Nejprve si uvědomme, co je nulový vektor v P1 - je jím polynom θ(t) = 0 + 0t . Určíme všechny vektory z R3, které se na něj zobrazí:

32121

3221

00

)()()(

tAxt

To nás dovede na soustavu

0

0

32

21

32

31

)1 ,1- ,1(nebo ) ,- ,( 3333 xx TR


Určete jádro zobrazení z R3 do tělesa R

),,( 3213

321 Axx RPříklad

Musí platit 0 321 Ax což nás vede na jednoduchou soustavu

321321 0

a řešením je tedy

, ),,( 323

3232 TRR x

což lze ekvivalentně zapsat pomocí lineárního obalu dvou LN řešení:

1,0 )1,0,1(

0,1 )0,1,1(

323

2

323

1

R

R

x

x

)1,0,1(),0,1,1( x


Určete jádro zobrazení z P2 do P2

02 tj.2

)()(

2211021

22210

22210

tAp

tttqtttp PP

Příklad

Nulový vektor v P2 - je jím polynom θ(t) = 0 + 0t +0t2 . Určíme všechny vektory z P2, které se na něj zobrazí:

221 02)( tt Apt

To nás dovede na soustavu 02,0 21 kde se α0 vůbec nevyskytuje a můžetedy být libovolné. Jádro zobrazení je proto

)0,0,( 03

0 TCR x

)0,0,1(x


Nalezněte jádro zobrazení z R3 do R3 Příklad

Řešíme rovnici 0)0,(0,),,( 313221 Ax tj. soustavu

0

0

0

111

110

011

0

0

0

100

110

011

0

0

0

100

010

011

0

0

0

100

010

001zjevně jen x = (0, 0, 0), tj. ker A = {θ}.

),,(

),,(),,(

3213221

3321

3321

Ax

yx RR


Věta 10.

ii yAxni )ˆ(

Nechť P, Q jsou vektorové prostory nad T. Nechť soubor vektorů X = (x1, x2, … , xn ) je báze P, Y = (y1, y2, … , yn ) je libovolný soubor vektorů z Q. Potom existuje právě jedno lineární zobrazení A z L(P,Q) takové, že

Jinými slovy : lineární zobrazení lze určit tak, že předepíšeme obrazy vektorů z jedné libovolně zvolené báze P. Zobrazení má pak tvar

n

iii ywxAww

1

# )()( P

Souřadnice vektoru w v bázi X

Vektory z Y

Pozn. : Toto je běžný způsob zadávání lineárního zobrazení – předepíšeme, na co se zobrazí soubory z nějaké báze (nejčastěji standardní, je-li zavedena).


3212103221

110

3321

tj.)()(

)(),,(

tAx

ttpx PRPříklad

Zobrazení zadáme pomocí obrazů bazických vektorů (standardní báze) takto:

),,( 3213

321 Axx RPříklad


tpAAe

tpAAe

pAAe

1)1,0,0(

11)0,1,0(

1)0,0,1(

33

22

11

1)1,0,0(

1)0,1,0(

1)0,0,1(

33

22

11

kAAe

kAAe

kAAe

3

1

# )(i

ii pxeAx

3

1

# )(i

ii kxeAx


02 tj.2

)()(

2211021

22210

22210

tAp

tttqtttp PPPříklad

Příklad


tqtteAAe

qtteAAe

qteAAe

2)(

1)(

01)(

32

33

222

111

3

1

# )(i

ii qpeAp


)1,1,0()1,0,0(

)1,1,1()0,1,0(

)1,0,1()0,0,1(

13

22

11

yAAe

yAAe

yAAe

3

1

# )(i

ii yxeAx

),,(

),,(),,(

3213221

3321

3321

Ax

yx RR


3321

3321 ),,(),,( RR yxPříklad

Zkonstruujte předpis operátoru na R3, víte-li, že na standardní bázi působí takto:

)1,1,1()1,0,0(

)3,2,1()0,1,0(

)0,1,2()0,0,1(

13

22

11

yAAe

yAAe

yAAe

110

3321 )(),,( PR ttpx Příklad

Zkonstruujte předpis zobrazení R3 do P1, víte-li, že na standardní bázi působí takto:

233

22

11

23)1,0,0(

1)0,1,0(

1)0,0,1(

ttpAAe

tpAAe

tpAAe

Izomorfní vektorové prostory

Definice 49.Nechť P a Q jsou vektorové prostory nad T. Existuje-li izomorfní zobrazení (tj. prosté a na) A : P -> Q, říkáme, že P a Q jsou izomorfní a značíme

Pozn. : existuje-li mezi prostory zobrazení prosté a na, pak lze vektory obou prostorů přiřadit „jedna k jedné“ a prostory tudíž mají mnoho shodných vlastností. Zejména platí, že

QP

QP dimdim

a dále, že každý vektorový prostor o konečné dimenzi n se chová stejně, jako prostor n-tic Tn. To zajišťuje izomorfní zobrazení

)(,),(),()( ##2

#1 yxyxyxAxVy nn

tj. zobrazení, které převede libovolný vektor na n-tici jeho souřadnic v nějaké bází X = ( x1, x2, … , xn ). Tomuto zobrazení se někdy říká souřadnicový izomorfizmus.

Matice lineárního zobrazení

Označme si : bázi prostoru Pm , dim Pm = m mxxxX ,,, 21

bázi prostoru Qn , dim Qn = n nyyyY ,,, 21

bázi prostoru Vs , dim Vs = s swwwW ,,, 21

Definice 50.Nechť A je zobrazení z L(P, Q). Matici XAY z prostoru Tmn, jejíž prvky budeme značit XAij

Y, definovanou

)()ˆ)(ˆ( #ij

Yij

X AxyAnjmi

nazýváme maticí zobrazení A v bázích X, Y. Speciálně pro zápis matice operátoru v té samé bázi značíme matici jednodušeji jako XA

Matici konstruujeme následovně. Necháme zobrazení působit na první bazický vektor z prostoru P. Výsledkem je nějaký vektor z prostoru Q. Najdeme jeho souřadnice v bázi Y a zapíšeme je jako první sloupec hledané matice. Pak vezmeme další bazický vektor P, postup zopakujeme, výsledek zapíšeme do druhého sloupce a tak dále.

Pozn. : odsud plyne, že dim L(Pm , Qn) = mxn.

Matice lineárního zobrazení

Věta 11.

),( smLBAC VP

Nechť A je zobrazení z L(Qn, Vs), B je zobrazení z L(Pm, Qn). Pro matici složeného zobrazení

platí

YXWYWX BABA tj. že skládání zobrazení je ekvivalentní vynásobení jejich matic, pokud si v „prostředním přestupném“ prostoru zvolíme společnou bázi:

Pm -> Qn -> Vs báze prostoru Qn nyyyY ,,, 21

Věta 12.Nechť A je zobrazení z L(Pm, Qn). Potom platí, že obraz vektoru z z Pm lze získat vynásobením sloupce jeho souřadnic ve zvolené bázi X a matice zobrazení. Výsledek je sloupec souřadnic obrazu ve zvolené bázi Y.

So

uřa

dn

ice

Az

v Y

So

uřa

dn

ice

z v

XMatice zobrazení A v bázích X, Y

XAY

= x


Nalezněte matici zobrazení z R3 do prostoru polynomů nejvýše prvního stupně P1 ve standardních bázích

3212103221

110

3321

tj.)()(

)(),,(

tAx

ttpx PR

Příklad

tpAAe

tpAAe

pAAe

1)1,0,0(

11)0,1,0(

1)0,0,1(

33

22

11

Takto působí A na standardní bázi R3

Jelikož standardní báze P1 jsou polynomy 1 a t, budou souřadnice p1, p2 a p3 v této bázi )1,0()1,1()0,1( 321 ppp

Tato čísla napíšeme do sloupců a získáme matici

110

011 A

Pozn. : zkuste zobrazením „prohnat“ vektory (1,-1,2) a (3,2,1) nejprve normálně a pak přes matici. Výsledky srovnejte. Utvořte matice od dalších zobrazení a ověřte na bazických vektorech.

Souvislost se soustavami rovnic

Vektorovou lineární rovnicí nazýváme rovnost bAx kde A je zobrazení zL( P, Q) , x vektor z P a b vektor z Q. Rovnice má zjevně řešení pouze v tom případě, že b leží v oboru hodnot A . Pokud je b nulový vektor, nazýváme rovnici homogenní, je-li nenulový, nazýváme rovnici nehomogenní. Množinou všech homogenních řešení je

AAxx ker PS0množinu nehomogenních řešení značíme

)(1 bAbAxx PS

Homogenní lineární rovnice má vždy alespoň jedno řešení – nulový vektor. Pokud A je prosté, pak homogenní i nehomogenní rovnice má právě jedno řešení.

Zapíšeme-li zobrazení maticí a vektor souřadnicemi, pak je vektorová rovnice převedena na soustavu číselných lineárních rovnic.

Pozn. : vlastnosti matic a zobrazení jsou svázány, například hodnost zobrazení můžeme definovat jednoduše jako hodnost jeho matice (která zůstává stejná nehledě na volbu bází).

Souvislost se soustavami rovnic

Věta 12.

AabA ker)(1 S

Nechť A je zobrazení z L(P, Q), b je vektor z Q. Nechť existuje vektor w z P tak, že splňuje rovnici Aw = b. Potom platí, že množina všech řešení rovnice Ax = b se dá zapsat jako

Zde vidíme souvislost s Frobeniovou větou. Množina ker A není nic jiného, než množina všech řešení homogenní soustavy Ax = θ, tj. řešení homogenní soustavy číselných lineárních rovnic tvořené maticí zobrazení. Vektor w je pak partikulární řešení negomogenní soustavy.

Hledání řešení vektorové lineární rovnice (v prostoru konečné dimenze ovšem) se tak dá vždy převést na hledání řešení soustavy číselných lineárních rovnic.

ker A

řešení homo-genní s.

všechna řešení

partikulární řešení w

Inverzní operátor a matice

Definice 51.Zobrazení E : V -> V definované vztahem xExx )( V

Nechť A a B jsou regulární operátory L(V). Potom AB je také regulární a platí (AB)-1 = B-1A-1.

nazýváme identita (identické zobrazení). Pro libovolný operátor z L(V) platí AE = EA = A.

Pro regulární A z L(V) existuje operátor A-1 tak, že A-1A = AA-1 = E. Pozn.: pouhá prostota operátoru takovou existenci nezajišťuje (V může mít i nekonečnou dimenzi). Dále platí (A-1)-1 = A.

Věta 13.

Definice 52.Matici A z Tnn nazýváme čtvercovou maticí řádu n. Čtvercovou matici řádu n nazveme regulární, právě když její hodnost h(A)=n. Pokud h(A)<n, nazýváme ji singulární.

Matici E z Tnn, kde nazýváme jednotkovou.

Pozn.: pro čtvercové matice libovolného řádu platí A.E = E.A = A. Operátor je regulární právě tehdy, je-li regulární jeho matice (na Vn).

ijij E

Nechť A je operátor z L(Vn), X je báze Vn. Potom platíVěta 14.

EAx EA Tj. matice identity v libovolné bázi je jednotková matice.

Inverzní operátor a matice

Buď A regulární matice z Tnn. Potom existuje právě jedna regulární matice B z Tnn tak, že platí A.B = B.A = E. Tuto matici nazýváme inverzní k A a značíme ji A-1.

Věta 15.

Buď A regulární operátor z L(V), XA jeho matice v bázi X. Potom platí, že matice inverzního operátoru je inverzní matice operátoru původního, tj. :

Věta 16.

11 )()( AA xX

Gaussova metoda k nalezení inverzní matice : Každou regulární matici A z Tnn lze ekvivalentními řádkovými úpravami převést na jednotkovou. Převedeme-li ( A | E ) ekvivalentními řádkovými úpravami na tvar ( E | B ), pak matice B je inverzní k A.

Věta 17.

1~

AEEA

Neplatí to ale pro matici v různých bázích.

Vlastní čísla a vektory

Definice 53.Nechť V je vektorový prostor nad T, nechť A je operátor z L(V), nechť λ je číslo z tělesa T. Říkáme, že λ je vlastním nebo charakteristickým číslem operátoru A, právě když existuje vektor x ≠ θ takový, že

xAx tj. že operátor A protáhne (zkrátí) vektor x na λ-násobek. Vektor x pak nazýváme vlastním nebo charakteristickým vektorem operátoru A.

Množinu všech vlastních čísel operátoru nazýváme spektrum a značíme σ(A).

xEAExAx

xAxxAx

)(

Pozn. : Pro vlastní číslo λ a vlastní vektor x operátoru A platí


Nechť a je operátor z L(V), λ je vlastní číslo A. Vlastních vektorů příslušejících k vlastnímu číslu λ je nekonečně mnoho a po přidání nulového vektoru tvoří podprostor prostoru V (nějaký lineární obal).

Nechť λ1, λ2, …, λk jsou navzájem různá vlastní čísla operátoru A, nechť x1, x2, …, xk jsou k nim příslušné vlastní vektory. Potom soubor vektorů ( x1, x2, …, xk ) je lineárně nezávislý.

Věta 18.

)()()( 1111 xxAxxA

Důkaz první části : Buďte x1,x2 navzájem různé vlastní vektory příslušné k vlastní-mu číslu λ. Potom platí, že

tj., vektor αx1 je rovněž vlastní vektor příslušný k λ, a zároveň

)()( 21212121 xxxxAxAxxxA tj., vektor x1 + x2 je rovněž vlastní vektor příslušný k λ. Podmnožina všech vlastních vektorů příslušných k λ je tedy uzavřená vůči vektorovým operacím a sama je vektorovým prostorem.


Definice 54.Nechť A je operátor z L(V). Determinant matice operátoru (A – λE) jakožto funkce proměnné λ je polynom stupně právě n:

nnnn

n

n

21

22212

12111

)det( EA

Rovnici det (A – λE) = 0 nazýváme charakteristickou rovnicí operátoru A. Její kořeny tvoří spektrum operátoru A (jsou-li z tělesa).

Pozn. : v prostorech nad komplexním tělesem má každý operátor alespoň jedno vlastní číslo – to plyne ze základní věty algebry.

Pozn. : vlastní čísla operátorů jsou důležitá zejména pro kvantovou mechaniku. Tam ovšem pracujeme s operátory na prostorech nekonečné dimenze a charakteristický polynom vytvořit nelze – pro hledání vlastních čísel je potřeba použít jiné metody.

Skalární součin

Definice 55.Buď V prostor nad T, buď h zobrazení V x V -> T následujících vlastností:

0),(),()4

),(),())(()3

),(),())()(()2

),(),(),(

))()(()1

xxhxx

xyhyxhyx

zxhzxhzx

zyhzxhzyxh

zyx

V

VV

VTV

VVV

Zobrazení h nazveme skalárním součinem na prostoru V, výraz ),( xxh nazývámenormou na prostoru V a značíme jej ||x||. Příkladem skalárního součinu je

n

iiiyx

1

kde x = (α1, α2, … , αn) a y = (β1, β2, … , βn) jsou souřadnice vektorů x, y ve standardní bázi. Součin nazýváme překvapivě standardní skalární součin.

Skalární součin

Pro skalární součin a normu lze dokázat následující vlastnosti:

yxyx

yxyx

xx

xx

xx

zxyxzyx

)6

)5

)4

0)3

0)2

)()()1

Schwarzova nerovnost

Trojúhelníková nerovnost

Ortogonalita

Definice 56.Buď V prostor nad T se skalárním součinem. Vektory x, y z V nazveme ortogonální (kolmé), právě když jejich skalární součin x∙y = 0. Soubor vektorů x1, x2, …, xn nazýváme ortogonální, právě když

)0)(,ˆ,( ji xxjinji

Pozn. : pro ortogonální vektory x, y platí Pythagorova věta ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 a opačně – platí-li pro vektory Pythagorova věta, jsou ortogonální.

Pozn. : každý ortogonální (a tím spíše ortonormální) soubor vektorů je lineárně nezávislý

Soubor nazveme ortonormální, právě když

))(ˆ,( ijji xxnji

Pozn. : pro každý lineární obal [x1, x2, …, xn]λ lze najít ortonormální soubor

nm xxxyyy ,,,,,, 2121

takový, že [x1, x2, …, xn]λ = [y1, y2, …, ym]λ - tj. vždy existuje ortonormální báze. Například v prostorech se standardním součinem jsou standardní báze ortonormální.

Riezsova věta

Riezsova věta : Mějme vektorový prostor V se skalárním součinem. Zvolme pevně vektor y. Přiřadíme-li pak každému vektoru x z V číslo předpisem

získali jsme lineární funkcionál na V:

ke každému vektoru y z V jsme tak našli lineární funkcionál. Na prostorech konečné dimenze (a v dalších speciálních prostorech) to jde i obráceně – ke každému funkcionálu existuje vektor y takový, že

Věta 19.

tj. :

yxx :

TV :

yxx )(

yxxxy )())(( 1# VVV

Pozn. : vektorový prostor a příslušný duální prostor jsou touto větou velmi těsně svázány : jeden vektor – jeden funkcionál. Možnost zaměnit funkcionál a vektor je opět zhusta využíváno v kvantové mechanice.

Sdružený operátor

Buď A operátor na prostoru konečné dimenze V. Potom existuje právě jeden operátor označený A* takový, že platí

)*()())(( yAxyAxyx VV

Definice 57.

Operátor A* nazýváme sdružený k operátoru A. Pro sdružené operátory platí:

)6

*,*)5

*)*()4

**)*()3

*)*()2

**)*()1

EE

AA

ABAB

AA

BABA

Je-li A regulární, pak i A* je regulární a platí (A*)-1 = (A-1)*.


Ve speciálních případech operátory nazýváme:Definice 58.

CT

RT

EAAAA

CT

RT

AA

AAAA

**)3

*)2

**)1 normální

samosdružený

symetrický

hermitovský

izometrický

ortogonální

unitární

Pozn. : „hvězdičkování“ operátorů je do jisté míry analogie „pruhování“ komplexních čísel – tj. vytváření komplexně sdružených čísel. Například samosdružené operátory hrají roli reálných čísel v komplexní rovině.


Nechť A je matice řádu n. Matici A* řádu n definujme jako (A*)ij = Aji a nazýváme ji sdruženou k A. Podle vlastností A pak nazýváme

Definice 59.

CA

RA

EAAAA

CA

RA

AA

AAAA

ij

ij

ij

ij

**)3

*)2

**)1 normální

samosdružená

symetrická

hermitovská

izometrická

ortogonální

unitární

Pozn. : matice operátoru v ortonormální bázi X (např. standardní) mají stejné vlastnosti jako sám operátor – tj. normální operátor má normální matici, hermitovský operátor má hermitovskou matici (a tak podobně) a platí

*)(*)( AA XX


Buď A operátor na prostoru konečné dimenze se skalárním součinem V. Potom platí:

Věta 20.

1) Je-li A samosdružený, pak det A je reálný.

2) Je-li A izometrický, pak det A = 1.

3) Je-li A ortogonální, pak existuje ortonormální báze, ve které má A matici ve tvaru

kk

kk

cossin

sincos

cossin0

sincos

1

1

01

1

11

11


Důsledek - na prostorech dimenze 2 jsou jen čtyři možnosti, jak zkonstruovat ortogo-nální operátor:

10

01operátor identity (E)

10

01operátor překlopení podle osy

10

01operátor souměrnosti podle počátku

cossin

sincosoperátor rotace o úhel φ

Shrnutí

• Lineární zobrazení, operátor a funkcionál

• Duální prostor

• Jádro zobrazení, předpis zobrazení bazickými vektory

• Izomorfizmus

• Matice lineárního zobrazení

• Souvislost lineárních zobrazení a soustav rovnic

• Inverzní operátor a matice

• Vlastní čísla a vektory

• Skalární součin a norma

• Ortogonalita

• Riezsova věta

• Sdružené operátory

Documents

Lineární zobrazení