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第四讲 LTI 离散时间系统在变换域中的分析. 浙江大学光电信息工程学系 胡慧珠 [email protected]. 主要内容： 频率响应（ 4.8 ， 4.9 ） 传输函数（ 6.7 ） 传输函数的类型（ 7.1~3 ） 简单滤波器（ 7.4 ） 一些特殊的传输函数 （全通滤波器、最大、最小相位滤波器、互补滤波器） 逆系统 系统辩识 双输入双输出系统 —— 数字二端口网络. 4. 1 频率响应（ frequency response）. 4. 1.1 定义. h1=ones(1,5)/5; h2=ones(1,14)/14; - PowerPoint PPT Presentation
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主要内容：频率响应（ 4.8， 4.9 ）传输函数（ 6.7 ）传输函数的类型（ 7.1~3 ）简单滤波器（ 7.4 ）一些特殊的传输函数
（全通滤波器、最大、最小相位滤波器、互补滤波器）
逆系统系统辩识双输入双输出系统——数字二端口网络
4.1.1 定义
4.1 频率响应（ frequency response）
( ) ( )
=
[ ] DTFT
[ ] [ ] [ ]
[ ] ( [ ] )
)
[ ]
k
j n j j
j n
n k j k j n j n
k k
j j k
k
j
y n h k x n k
x n e y n h k e h k e e e
x n eigen function
H e h k e frequency response
H e ma
e
h k
gn
H
e
当 时,
其中 (——特征函数 输出信：
——频率响应( )： 。
——幅度响应(
号 输入信号 复常量
的
10
)
arg )
20log )
) )
j
j
itude response
H e phase response
g H e gain function
a g attenuation function loss function
， 的偶函数
——相位响应( ， 的奇函数
——增益函数(
——衰减函数( 或损失函数(
4.1.2 用MATLAB 计算频率响应h1=ones(1,5)/5;h2=ones(1,14)/14;w=0:pi/255:pi;H1=freqz(h1,1,w);H2=freqz(h2,1,w);m1=abs(H1);m2=abs(H2);plot(w/pi,m1,'r-',w/pi,m2,'b--');xlabel('\omega/\pi');ylabel(' 幅度 ');legend('r-','M=5','b--','M=14');pause;ph1=angle(H1)*180/pi;ph2=angle(H2)*180/pi;plot(w/pi,ph1,'r-',w/pi,ph2,'b--');xlabel('\omega/\pi');ylabel(' 相位（度） ');legend('r-','M=5','b--','M=14');
4.1.3 滤波
11
2211
2121
cos
coscos
0coscos
0
1
1
21
neHA
neHBneHAny
nBnAnx
eH
j
jj
c
c
cj
时，当输入
例：
4.1.4 相延时（ phase delay ）和群延时（ group delay）
d
d
neHA
neHAny
gp
j
j
)()(
)))(
(cos(|)(|
))(cos(|)(|][
0
00
00
0
0
群延时：相延时：
例： DSB-SC 双边带抑制载波调制信号 x[n] =A cos (ω0 n) cos (ωc n)
=(A/2) cos (ωl n) + (A/2) cos (ωu n)
式中 , ωl = ωc － ω0 ， ωu = ωc + ω0 .
如 x[n] 通过频率响应为 H(e jω) 的系统，假定 | H(e jω) | 1 , l ωu ，则其输出信号为：
))(cos())(cos(
))(cos())(cos(][
02)()(
02)()(
22
lu
c
lu nnA
nnny
c
uuA
llA
假设 x[n] 为窄带信号 ，即 ωl ， ωu 非常接近于 ωc, 将 LTI离散时间系统的相位响应用 Taylor 级数展开得：
群延时
相延时
，
---|)()()(
---)(
2)()(
)(|)(
)()(
c
c
dd
d
d
lu
lu
pc
c
c
lu
cc
p
g
4.1.5 LTI 离散时间系统的频域特性
系统的频率响应为其中
，则得到输出为通过系统设任意序列
LTIekheH
eXeH
eXekheelxkh
elxkheknxkh
eknxkhenyeY
nynhnx
k
kjj
jj
j
k
kj
k
kj
l
lj
k l
klj
k n
nj
n
nj
kn
njj
4.2 传输函数（ transfer function） 4.2.1 定义
nh nx ny
）或系统函数（）系统的传输函数（称为
其中
变换可得两边取
functionsystem
functiontransferLTI
zX
zYzH
zXzHzY
z
knxkhnyk
][][][
4.2.2 传输函数的表达方式FIR 数字滤波器：
2 2
1 1
N Nn n
n N n N
Y z h n z X z H z h n z
有限维 LTI IIR离散时间系统：
zXzpzYzd
Z
eXepeYed
DTFT
knxpknyd
M
k
kk
N
k
kk
jM
k
kjk
jN
k
kjk
M
k
k
N
k
k
00
00
00
变换为
对上式作
对差分方程
NNNN
MMMM
MN
NN
MM
dzdzdzd
pzpzpzpz
zdzdzdd
zpzpzpp
zX
zYzH
22
110
22
110
22
110
22
110
N
l
l
M
l
lMN
N
l
l
M
l
l
z
z
d
pz
z
z
d
p
zX
zYzH
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
kk
zROC max为：因果系统的
有限维 LTI IIR 离散时间系统：
4.2.3 传输函数与频率响应的关系
j
j
ez
jjjjj
ezj
zHzHeHeHeHeHeH
zH
zHeH
1*2
对实系数的
（收敛域包含单位圆）
0 1
0
1
0 1 0 1
0 0
1 1
0
1 10
arg arg arg arg
Mj
lj N Mj l
Nj
ll
M Mj j
l lj N Mj l l
N Nj j
l ll l
M nj j j
l lk k
H z
ep
H e ed
e
e ep p
H e ed d
e e
pH e N M e e
d
对稳定有理的
( )j jee
10
1( )0(
))
((
)
j j N
M jkk
N jk
M
k
pH e e
d
e
e
4.2.4 用几何插值的方法估计频率响应 有理系统可分解成一阶的零极点向量的积的形式 ;
• 幅值 : 零向量幅值之积与
极点向量幅值之积的比 ;
相位 : 零向量相位之和与
极点向量相位之和的差。
例 1 ：系统有一极点在 z = 0, 一零点在 c = 0.9 e j/4 , 其分
布如下左图；幅度和相位响应如右图；
上：幅度 下：相位零极点分布
（续上图）
（续上图）
（续上图）
（续上图）
（续上图）
（续上图）
4.2.5 极点位置与稳定性
FIR ：当 h[n] 系数为有限值时总是稳定的
IIR ：可能不稳定，或经系数量化后不稳定。其稳定性和因果性取决于 ROC 和极点的位置，所有极点在单位圆内则系统为因果稳定的系统。
( )
( ) ( )j
n
n n n
n n n
j
z en
BIBO S h n h n DTFT
H z h n z h n z h n z
H z H e h n
z R
H z
H z
对因果稳定的系统，有： 稳定 的 存在
单位圆上有：
因果系统的收敛域为
因此
的收敛域包含单位圆
的极点必然在单位圆内（因果、稳定）
4.4 传输函数的类型4.4.1 理想滤波器（ ideal filters）
02
11
j
j
eH
eH
、阻带有
、通带有理想滤波器特点：
4.4.2 零相位（ zero-phase ）和线性相位（ linear-phase ）传输函数
零相位传输函数：频率响应为非负实数
因果的零相位传输函数是无法实现的，但如果放松因果条件限制，对有限长的输入信号，非实时地实现零相位的传输函数是很容易的
jjjjj
jjjjjj
jjjj
jjjjjj
eXeHeXeHeH
eVeHeUeHeWeY
eWeYeVeU
eUeHeWeXeHeV
2*
****
**
zH
nx时反
nv
zH
nu时反
ny nw
方法一：
方法二：
zH nx
时反 zH 时反
ny
jjre
jjjj
jjjjj
eXeH
eXeHeXeH
eXeHeXeHeY
*
**
线性相位传输函数：在通带内相位函数为线性函数
DeH
AenyAenx
eeH
gj
Dnjnj
Djj
1
1
，输出为设输入
）（线性相位的全通系统：例
nnn
nnnh
eeH
cLP
c
cnj
jLP
0
0sin
0
0
2
0
滤波器：线性相位的理想低通例
4.4.3 线性相位 FIR 传输函数 FIR 可以很容易地设计为线性相位， IIR 则比较困难
为奇数）反对称，偶数点（：类型为偶数）反对称，奇数点（：类型为奇数）对称，偶数点（：类型为偶数）对称，奇数点（：类型
传输函数可以分为四类因此线性相位的
时为线性相位
反对称：对称：
可以证明，当
：
Nnh
Nnh
Nnh
Nnh
FIR
NnnNhnhnh
NnnNhnhnh
znhzHFIRN
n
n
4
3
2
1
0
0
0
2/
00
2
2cos2/2
2cos2/2
22/cos
2
2
1
2/
1
2
2/
1
2
12/
0
2
12/
0
2/2/2
212/
00
Nd
d
otherwise
eHN
responsephasezero
functionamplitudeN
hnnNheH
eHe
NhnnNhe
NhnNnheeH
Nhzznhz
zN
hzznhznhzH
Nnh
g
j
N
n
j
jN
j
N
n
Nj
N
n
Njj
N
n
nNNnN
NN
n
nNnN
n
n
）或零相位响应（
）称为振幅响应（其中
为偶数）对称，奇数点（：类型
nN=4N/2
对称中心
0
1
20
)( jeH
2/
00
2
2
1cos
2
12
2
1cos2/12
2/cos2
2
2/1
1
2
2/1
1
2
12/1
0
2
12/1
0
2/2/2
12/1
00
Nd
d
otherwise
eHN
nnN
heH
eHe
nnNhe
nNnheeH
zznhz
zznhznhzH
Nnh
g
j
N
n
j
jN
j
N
n
Nj
N
n
Njj
N
n
nNNnN
N
n
nNnN
n
n
其中
为奇数）对称，偶数点（：类型
nN=5N/2
对称中心
0
1
2
0
)( jeH
2/
00
22
sin2/2
sin2/2
2/sin2
3
2/
1
2
2/
1
2
12/
0
2/2
12/
0
2/2/2
12/
00
Nd
d
otherwise
eHN
nnNheH
eHje
nnNhje
nNenheeH
zznhz
zznhznhzH
Nnh
g
j
N
n
j
jN
j
N
n
Nj
N
n
jN
jj
N
n
NnnNN
N
n
nNnN
n
n
其中
为偶数）反对称，奇数点（：类型
n
N=2
N/2
对称中心
0
-1
1
20
)( jeH
2/
00
22
2
1sin2/12
2
1sin2/12
2/sin2
4
2/1
1
2
2/1
1
2
12/1
0
22
12/1
0
2/2/2
12/1
00
Nd
d
otherwise
eHN
nnNheH
eHje
nnNhje
nNenheeH
zznhz
zznhznhzH
Nnh
g
j
N
n
j
jN
j
N
n
Nj
N
n
jN
jj
N
n
nNNnN
N
n
nNnN
n
n
其中
为奇数）反对称，偶数点（：类型
n
N=1
N/2
对称中心
0
-1
1
20
)( jeH
2
2
0
02
02
2
N
nh
nh
HN
HN
HeH
HeeeH
FIR
g
j
jN
jj
群延时
反对称
对称
其中
相位响应
幅度响应
形式滤波器频率响应的一般线性相位
4.4.4 线性相位 FIR 传输函数零点的位置
也为零点为零点，则实
也为零点为零点，则镜像对称或反对称
），称为反镜像多项式（满足上式的
反对称时，当
），称为镜像多项式（满足上式的
对称时，当
*00
00
1
00
1
0000
1
zznh
zzzH
AIPpolynomialimageantimirrorzH
zHzznNhznhzH
nh
MIPpolynomialimagemirrorzH
zHzzmhzzmhznNhznhzH
nh
NN
n
nN
n
n
NN
m
mNN
m
mNN
n
nN
n
n
1014
111111
13
011111
1102
1101
2
1
1
1
zz
HHHHH
z
HHHH
zz
zz
rzrz
ez
er
zrez
N
N
j
jj
个零点在，偶数或：奇数个零点在类型
：奇数个零点在类型
，奇数个零点在个零点在：偶数或类型和个零点在：偶数或类型
、
，实轴上：
单位圆上：
，非单位圆上：
、
类型 2 ：总有零点在 z=-1 ，不能用于高通
类型 3 ：总有零点在 z=1和 z=-1 ，不能用于低通、高通和带阻
类型 4 ：总有零点在 z=1 ，不能用于低通
z=1
z=1z=1
z= － 1
z=1 z =－ 1
Type I Type II
Type III Type IV
4.4.5 有界实传输函数
对所有1jeH
则称为有界实传输函数（ bounded real (BR) transfer function）
如果 对所有1jeH
则称为无损有界实传输函数（ lossless bounded real (LBR) transfer function）
定义：因果、稳定、实系数的传输函数 H(z) ，如果满足
4.5 简单的数字滤波器4.5.1 简单 FIR 滤波器
dB
eHeHg
eHeHfrequencycutoffdBdB
eeH
z
zzzH
jjc
jj
c
jj
c
c
0.30103.30
2log20log20log20
2
133
2
2cos
2
11
2
1
1
100
010010
000
2/0
10
此时增益
）：截止频率（
、低通
2
2sin
12
1
2
21
11
c
jj jeeH
zzH
、高通
4.5.2 简单 IIR 滤波器
函数）为，（如
、低通
BRzH
z
zzH
LP
c
c
c
LP
1
cos
sin11
2cos
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
2
1 1
2 11 sin2
cos1 cos
1
HP
cc
c
zH z
z
、高通
（ 时稳定）
2
1 2
10 0
12 1 2
3
1 1
2 1 1
cos cos
3 3
2cos
1
1 1
BP
w c c
zH z
z z
central frequency
dB dB bandwidth
B
、带通
中心频率（ ）：
带宽（ ）
（ ， 时稳定）
图（ p242 ）
1 2
1 2
10
12 1 2
4
1 1 2
2 1 1
cos
3
2cos
1
1 1
BS
w c c
z zH z
z z
notch frequency
dB
B
、带阻
陷波频率（ ）：
陷波带宽：
（ ， 时稳定）
5
3
IIR
dB
、高阶 滤波器
衰减更快简单滤波器串联
带宽变窄
4.5.3 梳状滤波器（ comb filter） 梳状滤波器：频率响应是 ω 的周期函数，周期为 2π/L
梳状滤波器可以通过将原型滤波器中的每个延时单元替换为 L 个延时单元来实现。
LL
LL
pp
L
zzHzGzzH
zzHzGzzH
LkLkLzGzH
LkLkLzGzH
zHzG
zH
12
11
2
1
2
12
11
2
1
1
10/
10/
111
1
001
0
00
：例
：例，个谷点在有，则有谷点在如果
，个峰点在有，则有峰点在如果
波器可以由下式得到为原型滤波器，梳状滤设
(a) (b)
4.6 全通（ allpass ）传输函数4.6.1 定义
对所有12jeA
M 阶因果实系数全通函数可以表示为：
M
MM
M
MMMM
Mzdzdzd
zzdzddzA
11
11
11
11
1
如果定义 MM
MMM zdzdzdzD
11
111
则 1
1
zD
zDzzA
M
MM
M
的非正连续函数函数为函数，去弯折后的相位、对任意因果稳定全通
、
为零点为极点，则即如果零点和极点镜像对称，、
式分子为分母的镜像多项、
4
113
12
1
21
jMMM
jjM
M
eAzAzA
er
zrezzA
zA
321
321
3 2.018.04.01
4.018.02.0
zzz
zzzzA
例：
4.6.2 性质1 、因果稳定的全通传输函数为 LBR（ lossless bounded response ）传输函数
2 、
11
11
11
z
z
z
zA
3 、
Md
eA
ed
d
cj
c
jc
0
00
arg
，可以证明，为递减函数，因此有，稳定全通函数的为去弯折后的相位函数
为定义全通函数的群延时
4.6.2 应用延时均衡器，用于实现线性相位
zG zA
4.7 最小相位和最大相位传输函数（minimum phase）（maximum phase）
最小相位传输函数：所有零点都在单位圆内的因果稳定系统
最大相位传输函数：所有零点都在单位圆外的因果稳定系统
（注：如果是稳定系统，则所有极点都在单位圆内）
任意非最小相位传输函数都可以表示成为最小相位传输函数与一个稳定全通函数之积
H(z) = H min(z)Hap(z).
为全通系统。是最小相位系统，此处，
，则在单位圆外，即有一零点证明：设
1
c )1
1)((
1c)
11)((
11
1)
11)(()1)(()(
1 )(
1
11
1
1
11
11
11
11
1
zc
czz
czH
zc
czz
czH
zc
czz
czHczzHzH
cczH
最小相位系统特点 :
(a) 对所有相同 |H(e jω)| LTI 系统 ，最小相位系统具有最小相移；
(b) 对相同 |H(e jω)| LTI 系统 ，最小相位系统具有最小群延迟；
)(arg)(arg)(arg)(arg minmin
jj
ap
jj eHeHeHeH
,0,0)(arg ( j
ap eH
.)0)](grd[ and j
apg eH
4.8 互补（ complementary ）传输函数4.8.1 延时互补传输函数（ delay-complementary）
输函数则称它们为延时互补传
为非负整数
，如果满足，，，个传输函数定义：
nzzH
zHzHzHLL
k
nk
L
01
0
110
0
例（略）4.8.2 全通互补传输函数（ allpass-complementary）
称为全通互补
，如果满足，个传输函数定义：
1
0
10M
i
i
i
zAzH
MizHM
例（略）
4.8.3 功率互补传输函数（ power-complementary）
2
13
0
10
2
1
2
00
1
0
1
1
0
2
00
jj
M
i
ii
M
i
ji
i
eHeHfrequencycrossoverdB
KzHzH
KKeH
MizHM
，）：交叉频率（
效于称为功率互补。上式等
为常数
，如果满足，个传输函数定义：
例（略）
4.8.5 幅度互补滤波器（ magnitude-complementary）
称为幅度互补
为常数
，如果满足，个滤波器定义：
0
101
0
M
i
ji
i
eG
MizGM
例（略）
4.8.4 双互补传输函数（ doubly-complementary）同时满足全通互补和功率互补的 M 个传输函数。
4.9 逆系统（ inverse system）4.9.1 z 域的表达方法
nnhnh 21
121 zHzH
最小相位因果系统的因果逆系统总是稳定的
非最小相位系统的逆系统，如果加上因果条件限制则为不稳定的
2/1,
3/12/1
5/14/11
zzz
zzzH
)(5/1
)(4/15/1
)(4/1
5/14/1
3/12/12
反因果、不稳定
不稳定
因果、稳定
三个可能的收敛域：
逆系统：
z
z
z
zz
zzzH
例 4.16 ：
4.9.2 输入信号的递归计算 h n y n x n如果已知因果系统 ，输出 ，则可以递归地计算输入因果序列
而不需要求逆系统
0
1
0
1
0
0
00 0 0 0
0
1
0
1 0 00
n
k
n
k
n
k
y n x k h n k n
yy x h x
h
x n n
y n x n h x k h n k
y n x k h n kx n n h
h
方法一：
对于 ， ，有
Y zX z
H z方法二： （长除法）
例 4.17
h1=input(' 输入冲激响应 =');
y=input(' 输入输出 =');
N=length(y);
x=[y(1)/h1(1) zeros(1,N-1)];
for k=2:N
x(k)=(y(k)-fliplr(h1(2:k))*x(1:k-1)')/h1(1);
end
disp(' 输入样本 ');disp(x);
4.10 系统辩识（ system identification）
zX
zYzH
xnx
knxkhny
nh
x
yh
zHnhnynx
n
k
频域解法：
时域解法：或，求，输出已知输入
0010
0
00
1
0
基于能量密度谱的解法：
1、 x[n] 已知
kxx
nk
n knyx
nxx
k
klrkhlnxknxkh
lnxknxkhlnxnylr
lnxnxlr
knxkhny
][][][][][
][][][][][][
][][][
][][][
已知，互相关序列列假定输入信号自相关序
jxx
jyxj
jxx
jjyx
xxyx
eS
eSeH
eSeHeS
zSzHzS
则有
2、 x[n] 未知，但具有均匀能量密度谱
][*][*][
][][][
][][][][
][][][][
][][][][][
lrlhlh
klmrlmhkh
lmnxknxlmhkh
lmnxlmhknxkh
lnxnylnynylr
xx
mxx
k
m nk
n mk
nnyy
12
2
1
zHzHzSeHKeS
eSeHeS
zSzHzHzS
yyjj
yy
jxx
jjyy
xxyy
谱函数的输入信号对于具有均匀能量密度
则有
1
1
/
zDzD
zPzP
zB
zAzS
zDzPzH
yy
，则如果
例 4.18 ：假设一个因果稳定 LTI 离散时间系统被一个具有均匀能量谱的输入序列激励，输出信号能量密度谱为：
jj
jjj
yy ee
eeeS
25.1
4.004.1
cos25.1
cos4.004.1
11
11
1
11
5.015.0
2.012.0
25.1
4.004.1
zz
zz
zz
zzzHzH
ez j令
5.0
2.0
5.01
2.01
1
1
1
1
z
zzH
z
zzH
非最小相位系统：
最小相位系统：
4.11 数字二端口网络（ digital two-pairs）4.11.1 表示方法
02
222
01
221
02
112
01
111
2221
1211
2221212
2121111
2
1
2221
1211
2
1
1212
XXXXX
Yt
X
Yt
X
Yt
X
Yt
functiontransfertt
tt
XtXtY
XtXtY
X
X
tt
tt
Y
Y
，，，
）称为转移矩阵（其中
方法一：
21
22112112
21
11
21
22
21
22211211
221
221
2
2
1
1
1
1
t
ttttD
t
tC
t
tB
tA
A
Bt
At
A
BCADt
A
Ct
functionchainDC
BA
DXCYY
BXAYX
X
Y
DC
BA
Y
X
，，，
，，，
的转换：与
）称为链矩阵（其中
方法二：
4.11.2 互联
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
X
Y
DC
BA
DC
BA
Y
X
X
Y
DC
BA
Y
X
X
Y
DC
BA
Y
X
串联、
2
1
2221
1211
2221
1211
2
1
2
1
2221
1211
2
1
2
1
2221
1211
2
1
2
X
X
tt
tt
tt
tt
Y
Y
X
X
tt
tt
Y
Y
X
X
tt
tt
Y
Y
串联、
zGt
zGttt
zGBA
zGDC
X
YzH
pairstwodconstraine
22
211211
1
1
1
3
）、受限二端口网络（
4.12 代数稳定性检测
4.12.1 稳定三角形
)1)(1(1)( 12
11
22
11
zzzdzdzD
二阶多项式：
212211 )( dd ，
21
2
211
111
dd
d 且
4.12.2 一个稳定性检测的程序基本思想：通过检测一个具有相同分母的全通函数的稳定性来实现目标传输函数的稳定性检测
设传输函数的分母为：
M
ii
M
i
iiM zzdzD
1
1
1
)1()(
MM
MM
MMMM
M
MM zdzdzdzd
zzdzdd
zD
zDzA
1
12
21
1
11
11
.....1
....
)(
)(~
)(
构造 M 阶全通传输函数：
如果系统是稳定的，则有 : 1)1(11
M
ii
MMi d
定义 : MMM dAk )(
则 AM(z) 稳定的必要条件为： 12 Mk
)1('1
2'2
2'2
1'1
)1(2'1
1'2
'1
1 .....1
....)(
M
MM
M
MMMM
M zdzdzdzd
zzdzddzA
.1,2,1,1 2
'
Mid
dddd
M
iMMii
)(1
)()(1 zAd
dzAzzA
MM
MMM
假设上述条件成立，构造函数 AM-1(z)为 :
)(1
)(
)(1
)()(1 zAd
dzAz
zAk
kzAzzA
MM
MM
MM
MMM
)(1
)()(1 zAd
dzAzzA
MM
MMM
Am-1(z) 的极点 0 为：
MM k
A1
)( 0
12 Mk
1)( 0 MA
11
11
11
)(
zfor
zfor
zfor
zA
10
如果 AM(z) 为稳定的全通函数且 ，则 AM-1(z) 为稳定的全通函数
12 Mk
)(1
)()(
11
11
zAzk
zAzkzA
MM
MMM
如果 AM-1(z) 为稳定的全通函数并且 , 则 AM(z) 为稳定的全通函数
12 Mk
如果 0 是 AM(z) 的一个极点，则 :M
M kA
1)( 01
10
12 Mk
001011
0 )(1)(
MM AA
11
11
11
)(
zfor
zfor
zfor
zA
10
逆命题：
综上所述， AM(z) 稳定的充分必要条件为 :
12 Mk
AM-1(z) 稳定
)(1
)()(
11
11
zAzk
zAzkzA
MM
MMM
)(1
)()(1 zAd
dzAzzA
MM
MMM
.1,2,1,1 2
'
Mid
dddd
M
iMMii
稳定性检测方法：所有 ，时，全通函数 稳定12 iK zAM
例 4.22 432 4321
1)(
zzzzzH
4321
321
4
41
41
21
43
1
43
21
41
41
)(
zzzz
zzzzA
解：4
14 k
321
321
3
151
52
1511
1
1511
52
151
)(
zzz
zzzzA
15
13 k
21
21
2
22479
224159
1
224159
22479
)(
zz
zzzA
224
792 k
1
1
2
10153
1
10153
)(
z
zzA
101
531 k
例 4.22
432 25.375.375.25.0
1)(
zzzzzH
4321
4321
4 5.075.275.325.31
25.375.375.25.0)(
zzzz
zzzzzA
解：5.04 k
321
321
3 5.15.25.21
5.25.25.1)(
zzz
zzzzA
5.13 k
例 4.22
den=input(' 输入分母系数 =');
k=poly2rc(den);
knew=fliplr(k');
disp(' 稳定性检测参数是 ');disp(knew);
stable=all(abs(k)<1);
