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半導体電子工学II
神戸大学工学部 電気電子工学科
11/10/'10 1
11/10/'10
日付 内容（予定) 備考
1 10月 6日 半導体電子工学Iの基礎(復習)
2 10月13日 pn接合ダイオード(1)
3 10月20日pn接合ダイオード(2)
4 10月27日pn接合ダイオード(3)
5 11月 10日pn接合ダイオード(4)MOS構造(1)
6 11月17日 MOS構造(2)
7 11月24日 MOS構造(3)
8 12月01日 MOSFET（1）
9 12月 08日 MOSFET（2）
10 12月15日 MOSFET（3）
11 12月22日 講演会 (LR501) 「理解度チェックテスト」に変更予定
12 1月12日 MOSIC(1)
13 1月19日 MOSIC(2) Bipolar Device (1)14 1月26日 期末試験直前対策?
全体の内容
2
1. pn接合 （復習）a. 容量-電圧特性
2. MOS構造
• MOS構造，蓄積，空乏，反転状態
• 表面電位，ゲート電圧と表面キャリア密度
• C-V特性
本日の内容
ポアソン方程式
電子 正孔
キャリア密度の式
電流密度の式
連続の式
基本方程式
( ) ρφε −=∇∇ ( ) ( )ερφ x
dxxd
−=2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
TkEE
nnB
iFi exp ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
TkEEnp
B
Fii exp
nqDEqnJ eee ∇+= μ pqDEqpJ hhh ∇−= μ
( ) ( ) ( )txUtxJxqt
txnee ,,1,
−∂∂
=∂
∂ ( ) ( ) ( )txUtxJxqt
txphh ,,1,
−∂∂
−=∂
∂
11/10/'10 4
（復習） pn接合
11/10/'10 5
pn接合の内部の電位の計算
( ) ρφε −=∇∇( ) ( )
ερφ x
dxxd
−=2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
TkEE
nnB
iFi exp ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
TkEEnp
B
Fii exp
nqDEqnJ nnn ∇+= μ pqDEqpJ ppp ∇−= μ
( ) ( ) ( ) ( )txRtxGtxJqt
txnnnn ,,,1,
−+∇=∂
∂ ( ) ( ) ( ) ( )txRtxGtxJqt
txpppp ,,,1,
−+∇−=∂
∂
（３D）ポアソン
方程式
電子 正孔
キャリア密度の式
電流密度の式
連続の式
p.65~
11/10/'10 6
ポアソン方程式
電子 正孔
キャリア密度の式
電流密度の式
連続の式
Pn接合の電流-電圧特性の計算
( ) ρφε −=∇∇( ) ( )
ερψ x
dxxd
−=2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
Tknn
B
iFi
εεexp ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
Tknp
B
Fii
εεexp
nqDEqnJ eee ∇+= μ pqDEqpJ hhh ∇−= μ
( ) ( ) ( ) ( )txRtxGtxJqt
txneee ,,,1,
−+∇=∂
∂ ( ) ( ) ( ) ( )txRtxGtxJqt
txphhh ,,,1,
−+∇−=∂
∂
（３D）
11/10/'10 7
電流-電圧特性(3)( )
pwxnn dx
xdnqDJ=
=( )
n
pn
nxnU
τ0−
=
( ) ( )n
pn
ntxnx
txnDt
txnτ
02
2 ),(,, −−
∂∂
=∂
∂連続の式より
定常状態: ( ) 0=∂
∂txn
( )n
pn
nxndx
xndDτ
02
2 )(0
−−=
(拡散電流のみ) (再結合率)
(解くべき微分方程式)11/10/'10 8
電流-電圧特性(4)
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
TkqVnwn
Bpp exp0 ( ) 0pnn =∞
( ) 00 exp1exp pn
p
Bp n
Lwx
TkeVnxn +⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
nnn DL τ=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 1exp0 Tk
eVnLDeJ
Bp
n
nn
境界条件
解
電子による拡散電流 ①
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 1exp0 Tk
eVpLD
eJB
np
pp②
11/10/'10 9
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 1exp0 Tk
eVnLDeJ
Bp
n
nn電子による拡散電流 ①
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 1exp0 Tk
eVpLD
eJB
np
pp
正孔による拡散電流②
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+= 1exp1exp00
TkeVJ
TkeV
LpD
LnD
eJJJB
sBp
np
n
pnpn
電流-電圧特性(5)
11/10/'10 10
2.8 空乏層の容量とC-V特性
p.70～
11/10/'10 11
電荷と容量
( )VNN
NNeKwNN
NNewNwNQ biad
daSi
ad
dapand −
+=
+=== φε 02
( )2/1
2/1
00
10
12
12−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=
−+==
bi
biad
da
bi
Si
bida
daSi
VC
VNN
NNeKVNN
NNeKdVdQC
φ
φφε
φε
(2.32a)
印加バイアス
11/10/'10 12
[Cm-2]
[Fm-2]
空乏層幅、接合容量
空乏層幅Depletion Width ( )V
NNeKW bi
da
Si −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= φε 112 0
接合容量
junction Capacitance( ) ( )
dVVdQ
VC ≡
C-V特性から
ドーピング密度の計算
片側階段接合
( )dV
CdeKN
Sid 2
0 /112
ε−=
da NN >>ただし11/10/'10 13
pn接合の製 造 法
08/11/05 半導体電子工学 II
半導体電子工学 II
pn接合の作成(1)
半導体電子工学 II
pn接合の作成(2)
半導体電子工学 II
pn接合の作成(3)
半導体電子工学 II
pn接合の作成(4)
半導体電子工学 II
pn接合の作成(5)
半導体電子工学 II
pn接合の作成(6)
半導体電子工学 II
pn接合の作成(7)
半導体電子工学 II
pn接合の作成(8)
半導体電子工学 II
pn接合の作成(9)
半導体電子工学 II
第4章 MOS構造
p.134--
24
iPad のマイクロプロセッサ 「A4」
25
26
インテル corei7 （２００８）：クアッドコア（４コア）
クロック周波数：1.06 GHz から 3.33 GHz
テクノロジーノード：45nm から 32nm
CPU内のトランジスタ(MOSFET)の数
半導体電子工学 II
Core2Duo/Extremeで3億個程度
半導体電子工学 II
MOSFET構造
半導体電子工学 II
動作の概略
半導体電子工学 II
半導体電子工学 II
第4章の内容
• MOS構造、蓄積、空乏、反転状態
• 表面電位，ゲート電圧と表面キャリア密度
• C-V特性 厳密解と近似解
半導体電子工学 II
MOS界面
ゲート電圧 VG=0
半導体電子工学 II
小さい正電圧印加
半導体電子工学 II
もう少し大きな正電圧印加
半導体電子工学 II
反転直前の正電圧印加
半導体電子工学 II
閾値以上のゲート電圧印加
半導体電子工学 II
閾値以上のゲート電圧印加
半導体電子工学 II
MOS構造と印加電圧による導電性の変化
蓄積状態 空乏状態 反転状態
半導体電子工学 II
バンド図（理想MOS構造）
fqφ
CE
VE
iEFE
2gE≈
oxt
vacuum level
mqφ
oxcEoxχq
χq
Metal Oxide p-semiconductor
各状態のバンド構造
蓄積状態
空乏状態 反転状態
フラットバンド状態
- -
FBG VV < FBG VV =
thGFB VVV << Gth VV <
+ +
- -
材料 物理量 記号 値 単位
Si
電子親和力 χ 4.05 eV
バンドギャップ Eg 1.12 eV
比誘電率 KSi 11.7
真性キャリア密度 ni 1.50x1016 m-3
SiO2
電子親和力 χSiO2 0.95 eV
バンドギャップ Eg 8.8 eV
比誘電率 KSiO2 3.9
Al 仕事関数 Φm 4.1 eV
物理定数 電子電荷 q 1.60x10-19 C
Boltzmann定数 kB 1.38x10-23 J/K
真空の誘電率 ε0 8.85x10-12 F/m
温度 T 300 K
MOS構造で用いる記号と値，単位
半導体電子工学 II半導体電子工学 II
• バンド図（理想MOS構造）=再掲
fqφ
CE
VE
iEFE
2gE≈
oxt
vacuum level
mqφ
oxcEoxχq
χq
Metal Oxide p-semiconductor
MOS構造中の電荷
11/05/08 半導体電子工学 II
古典的デバイスシミュレーションの基本方程式
ポアソン方程式
電子 正孔
キャリア密度の式
電流密度の式
連続の式
( ) ( )ερφ x
dxxd
−=2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
Tknn
B
iFi
εεexp ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
Tknp
B
Fii
εεexp
neDEenJ nnn ∇+= μ peDEepJ ppp ∇−= μ
( ) ( ) ( ) ( )txRtxGtxJxet
txnnnn ,,,1,
−+∂∂
=∂
∂( ) ( ) ( ) ( )txRtxGtxJ
xettxp
ppp ,,,1,−+
∂∂
−=∂
∂
電荷密度（濃度）分布
=pp0
~pp0
空乏層
反転層
フェルミ電位，静電ポテンシャル
φqEi −=
ff qφε −= （フェルミ電位）
（静電ポテンシャル）
[J] [V][C]
これらを用いると
( ) ][expexp fenTk
qnTk
nn ifB
iB
iFi
φφβφφεε −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
( ) ][expexp φφβφϕ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= fen
Tkqn
TkEEnp if
Bi
B
Fii
Tkq B/=β
半導体電子工学 II
表面電位と表面キャリア密度
)(0
)]([ xp
xip epenp B βφφφβ −−− ==
)(0
)]([ xp
xip enenn B βφφφβ
==−−
0=x
■キャリア密度の式（１．６，７）より
を代入して
senn psβφ
0= sepp psβφ−= 0
0pn 0pp 熱平衡状態でのｐ型基板の電子、正孔密度
表面電位と表面キャリア密度の関係
→図4.10を検討せよ
Tke B/=β
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
i
AB
i
pBB n
NeTk
np
eTk lnln 0φ フェルミレベルの位置
数 値 例
• 基板のアクセプタ密度 21105.1 ×=AN [m-3] 0pp=室温 300[K]
]V[3.0105.1105.1ln026.0lnln 16
210 ≈⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
××
×=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
i
AB
i
pBB n
NeTk
np
eTkφ
表面電位と表面キャリア密度（２）
( ) ,pnNNx AD +−−=ρ
00 ppAD pnNN −=−
( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }11 00 −−−= − xp
xp enepex βφβφρ
( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }11 000
2
2
−−−−= − xp
xp enep
Kq
dxxd βφβφ
εφ
（空間電荷密度）
（基板内部の中性条件）
■解くべきポアソン方程式
→
解き方…両辺に を掛けるdxdφ
→ 積分して dxdφ
について解く
2008/11/05
表面電位と表面キャリア密度（３）
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛±=−=
0
0,2)(p
p
D pn
xFLdx
xdx βφβ
φε
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2/1
0
0
0
0 1)1(,⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−+−+=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− xe
pn
xepn
xF x
p
px
p
p βφβφβφ βφβφ
計算法は授業で話したとおり
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==−=
0
000 ,20
p
ps
D
SiSiS p
nF
LKxKQ βφβ
εεε m
ガウスの法則
表面電荷 [C m-2]
Bφ2Bφ
表面電位とキャリア密度
半導体電子工学 II
半導体電子工学 II
ゲート電圧と表面キャリア密度Qs
0CQV S
sG −=φ
Bφ2Bφ
MOSダイオードと容量
半導体電子工学 II
反転閾値電圧 VT
半導体電子工学 II
覚えよう
0SiSi εε K=
MOSダイオードのC-V特性（１）
GV
( )GS VC
oxC
( )GSoxtot VCCC111
+= 全容量
2006/12/06
MOSダイオードのC-V特性（２）
( )( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−
==
−
0
0
0
0
,
11
2p
pS
p
p
D
Si
G
SSS
pnF
epne
LdVdQC
SS
βφ
εφ
βφβφ
( )GSoxtot VCCC111
+=
（４．４９）
C-V特性
規格化されたC-V特性
MOSダイオードのC-V特性（３）
空乏状態蓄積状態
ASi
Gox
ox
Si
ox
SiD qN
VCCCl
εεε 221++−=
（４．２４）
D
SiS l
C ε=
空乏状態の容量の近似式
（４．４１）
( )43.4⇒totC閾値容量の近似式
A
fSiD qN
lφε
2max = （４．４６）
( )47.4⇒totC
仕事関数差，膜中電荷とフラットバンド電圧
• 仕事関数差
• フラットバンド電圧（簡単な解析では零とする）
• ゲート電圧と表面ポテンシャル
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
i
AB
i
pBf n
NqTk
np
qTk lnln 0φ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+−Φ=Φ−Φ=Φ f
iCMSMMS q
EE φχ
( )xdxxCQV oxt
oxox
iMSFB ∫−−Φ=
0
1 ρε
FBB
sG VCQV +−=
0φ
2006/12/06
半導体電子工学 II
電荷分布、ポテンシャル分布、電界分布
( ) ( ) ( )119.12
2
Si
xdx
xdερφ
−=
( ) ( )5.412
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
DD
Si
A
lxlqNx
εφ
( ) ( )7.412⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
DD
S
lx
lxE φ→
まとめ
• MOS構造の反転電子密度
• 閾値電圧
• フラットバンド電圧、表面電位
• 容量-電圧特性
• それぞれの内容を説明できますか?yes
先へ進む（予習）
no
内容を学習し直す（復習）
付録（以前の復習）
11/10/'10 63
中性半導体のフェルミ準位の計算法
• 中性半導体
– 電荷中性条件
（負電荷と正電荷が同じ量）
N,ND≫p,NAのとき （n型半導体）
p,NA≫ N,NDのとき （p型半導体）
それ以外
0=++−− DA NpNn（電子密度 [m-3]）
（アクセプタ密度 [m-3]） （ドナ密度 [m-3]）
（正孔密度 [m-3]）
11/10/'10 64
pn積一定の法則（質量作用の法則）
• 熱平衡状態(バイアスなし,光照射なし）
• 非平衡状態（バイアス印加時など） p, nそれぞれのフェルミレベルが異なるので
constn
Tkn
Tknpn
i
B
iFi
B
Fii
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
2
expexp εεεε
22 exp
expexp
iB
FpFni
B
iFni
B
Fpii
nTk
n
Tkn
Tknpn
≠⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
εε
εεεε
11/10/'10 65
pn接合でのキャリア密度分布
11/10/'10 66
pn接合内のキャリア密度6711/10/'10
出てきた用語
• 半導体
• 伝導帯
• 価電子帯
• バンドギャップ
• 真性半導体
• 外因性半導体
• 中性半導体
• 電荷中性条件
• キャリア密度の式
• フェルミレベル（フェルミ準位）
• pn積
• ポアソン方程式
• ドリフト電流
• 拡散電流
• 電流密度の式
• 移動度
• アインシュタインの式
• フォノン散乱
• イオン化不純物散乱
• 連続の式
11/10/'10 68
自己チェック（1）
フェルミ準位とキャリア密度との関係は?電荷中性条件とは?外因性半導体の中性領域（中性半導体)でのフェルミレベルは計算できる?キャリア密度の式（Boltzmann近似）の導出は?Boltzmann近似ってなんだっけ?pn積一定の法則
11/10/'10 69
拡散電位 の計算biφ
7011/10/'10
拡散電位
拡散電位 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2ln
i
ADBbi n
NNqTkV
iFn EE −
Fpi EE −
biV
11/10/'10 71
空乏層幅
( )ε
φ
Si
D
KqN
dxxd
−=2
2
( ) ( )xwxKqNx n
Si
D 22 0
+−=ε
φ ( ) ( )xwxKqNx p
Si
A 22 0
−=ε
φ
pAnD wNwN = ( ) ( )pnbi wwV φφ −−=
( )ADAD
bisipn NN
NqNVKwww +=+= 02 ε
ポアソン方程式
11/10/'10 72
電荷分布・電界分布・電位分布
• 電荷密度分布が既知→ 電位分布を求めたい
p.37~
Poisson方程式を使う
( ) ( )0
2
2
ερφ
SiKx
dxxd
−=
11/10/'10 73
空乏層長の計算→ポアソン方程式
( ) ( )0
2
2
ερφ
SiKx
dxxd
−= （1）
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−<<<−<<−
=
pn
pa
nd
WxWxWxeN
xWeNx
,00
0ρ
（2）
電荷密度分布が右図の場合を考えよう
eNd
-eNa
-Wn Wp0
x
ρ(x)
この形の微分方程式は2年生でやったぞ
11/10/'10 74
境界条件と解法
・ Ｘ＝－Wnで 電界 E=0 ①, 電位 φ＝０ ②
・ Ｘ＝ Wｐで 電界 E=0 ③, 電位 φ＝-Vbi+V ④
( )0
2
2
εφ
Si
d
KeN
dxxd
−= （3）0≤≤− xWn で
１回積分して①を用いる
( ) ( )nSi
d WxKeN
dxdxE +=−=
0εφ
更に積分して②を用いる
（4）
( ) ( )2
02 nSi
d WxKeNx +−=
εφ （5）
eNd
-eN a
-W n Wp0
x
ρ(x)
11/10/'10 75
境界条件と解（続き）
・ Ｘ＝ Wｐで 電界 E=0 ③, 電位 φ＝-Vbi+V ④
( )0
2
2
εφ
Si
a
KeN
dxxd
= （6）pWx ≤≤0 で
１回積分して③を用いる
更に積分して④を用いる
( ) ( )pSi
a WxKeN
dxdxE −−=−=
0εφ
（7）
( ) ( ) VVWxKeNx bin
Si
a +−−= 2
02 εφ （8）
eNd
-eNa
-Wn Wp0
x
ρ(x)
11/10/'10 76
解のまとめ
電界分布(位置ｘの1次式)
電位分布（位置ｘの2次式）
( ) ( )nSi
d WxKeN
dxdxE +=−=
0εφ
（4）
( ) ( )pSi
a WxKeN
dxdxE −−=−=
0εφ
（7）
( ) ( )2
02 nSi
d WxKeNx +−=
εφ （5）
( ) ( ) VVWxKeNx bip
Si
a +−−= 2
02 εφ
（8）
電位
-Vbi+V
11/10/'10 77
x=0で電位と電束連続
x=0で電位と電束密度は連続でなければならない
( ) ( )+− === 00 xx φφ （9）( ) ( )
dxxd
dxxd +− =
== 00 φφ
（5）,(8)と(9)より
pand WNWN =
（10）VVWKeNW
KeN
biSi
a
Si
dpn
+−=− 2
0
2
0 22 εε
（4）,(7)と(9)より
（11）
11/10/'10 78
空乏層幅
( )ad
a
d
bisin NN
NeN
VVKw
+
−= 02 ε
( )adad
bisipn NN
NeNVVK
www +−
=+=)(2 0ε
( )ad
d
a
bisip NN
NeN
VVKw
+
−= 02 ε
（n側）
（p側）
（教2.23）
（教2.24）
Vが変化したらwはどうなる? Nd, Naが変化したら?
11/10/'10 79
出てきた用語
• ドリフト電流
• 拡散電流
• 連続の式
• 発生・再結合(SRH型)• pn接合
• ビルト-インポテンシャル
（拡散電位, 内部電位）
• 空乏層幅
• 固定電荷
• キャリア(可動電荷)
イオン化したドナ，アクセプタは動けない
正孔，電子は動けるドリフト ・拡散
どうやって求める?どんな役割?
どうやって求める?どんな役割?
空乏って何が無いの
11/10/'10 80
2.2 pn接合の電流電圧特性
pp.71~79
11/10/'10 81
電流-電圧特性(1)
(a)熱平衡
(b)順方向バイアス印加
( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
TkeVn
TkVVenwn
Bp
B
binp
exp
exp
0
0( ) ( ) ( )adda
biSi NNNeN
VVKVw +−
= 02 ε
11/10/'10 82
電流-電圧特性(2)
11/10/'10 83
