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四、宇宙学I. 几何宇宙学
■ geometrodynamics over/re-view: ★ 事件、时空与 Riemann 几何 ★局域 Lorentz 几何 ★几何单位制与符号系统 ★时空间隔、 度规与曲率 ★ Einstein 引力定律（场方程） ★ （ Schwarzschild ）黑洞∣引力红移■ 宇宙学原理（假设） Robertson-Walker 度规■ 几何宇宙学：宇宙学假设下 Einstein 引力场方程的解■ 宇宙学原理 revisit 视界疑难 暴胀模型 平坦性疑难
II. 物理宇宙学∣热大爆炸■ 基本观测事实 : ★ 宇宙微波背景辐射 ★星系红移 - 距离 Hubble 关系 ★ 元素丰度 ★宇宙年龄 ■ 宇宙简史 : ★ 时空创生 ★宇宙热历史 ★轻元素合成与原初丰度 ★结构形成与演化
III. “精确（实验）宇宙学”
Astronomy is the luxury of the rich, but the poor can do it better.
I. 几何宇宙学 1.1. geometrodynamics over/re-view
★ 事件、时空 与 Riemann几何宇宙学： “四方上下曰宇，古往今来曰宙” 宇宙学是关于时空的理论。时空： 1 、子曰：“逝者如斯，不舍昼夜” .
2 、 Newton: （ 1 ）时间和空间绝对分离；（ 2 ）空间均匀和各向同性，时间 均匀流逝；（ 3 ）相互作用传播速度是无限大；（ 4 ）只适用于惯性系。 3 、 Einstein ：时空是 4 维流形。数学上用 Riemann 几何描述；物理上用每个时空点上发生的事件来确定（ Characterize spacetime by what happens
when & where ）。事件 = 时空点：空间的一点 + 时间的一瞬。事件的名称可以任意。Coordinates provide a convenient naming system, which generally do not measure
space length or time interval.
证明应通过逐步推理，而不是靠计算来实现。Astronomy is the luxury of the rich, but the poor can do it better.
★ Weightlessness Local Lorentz Geometry （狭义相对论）
• Free fall is the natural state of motion. • Eliminate the acceleration by use of a local inertial frame （等效原理） .• In local inertial frames, physics is Lorentizan 狭义相对论• Local Lorentz geometry is the spacetime analog of local Euclidean
geometry. • The time coordinate of a local Lorentz frame is so defined that motion looks
simple. Good clocks make spacetime trajectories of free particles look straight. 周期事件测量时间，已知速度测量空间 几何单位制与符号系统
Physics is simple only when analyzed locally.
★ geometrized units
c=1, G=1, kB=1. Some useful relations: 1 = c = 2.998×1010 cm/sec 1 = G/c2 = 0.7425×10-28 cm/g 1 = G/c4 = 0.826×10-49 cm/erg 1 = GkB/c4 = 1.140×10-65 cm/Kelvin
One can multiply a factor of unity, expressed in any one of these ways, into any term in any equation without affecting the validity of the equation.
e.g., M ⊙ = 2×1033 g = (2×1033 g) ×(G/c2) = 1.477×105 cm = (2×1033 g) ×(c2) = 1.788×1054 erg.
Planck system of units:
Lp = (hG/c3)1/2 = 1.6×10-33 cm
tp = (hG/c5)1/2 = 5.4×10-44 sec
Mp = (hc/G)1/2 = 1.6×10-5 g
Breakdown in smoothness of space-time at Planck length.
★符号系统 物理学的时空需要有 4 个坐标：时间 t 和 3 个空间坐标 x,y,z （或者 r,, ）。
习惯：x0 = t, x1 = x, x2 = y, x3 = z; x(= 0,1,2,3); xi (i=1,2,3)
从点 x指向其邻域内另外一点 x+ dx的“箭头”构成 4- 位移，可以看成 4 矢量的原型， dx为该矢量的 4 个分量，狭义相对论中称为“逆变矢量”；定义 dx: dx0 = -dx0, dx1 = dx1, dx2 = dx2, dx3 = dx3; 称为“协变矢量”。在（广义） Lorentz 变换下
ds2 ≡ dxdx≡ dx0dx0+dx1dx1+dx2dx2+dx3dx3 ≡ dxdx= -(dx0)2+(dx1)2 +
(dx2)2 +(dx3)2
为不变量，称为点 x与点 x+dx之间的时空间隔。方程中采用了 Einstein 求和约定，其附标“均衡”。生成间隔的机制称为度规。从 dx可以生成各种矢量，例如4- 速度矢量： u≡dxd ，，，，，，，，，，，，，≡ muu.
，，
， ，，，，，，，，
， ，，，，， u≡ u -
u
, , ,, , .Q u T
Q u Tx x x x
★时空间隔、 度规与曲率时空的局域 Lorentz 几何类似于局域 Euclidean 几何。固有时间、固有距离 时空间隔 度规曲线坐标：球面几何作为一个例子 ds2 = r2(d2+sin2d2 )
Spacetime can be curved by matter: Spacetime tells matter how to move. Matter tells spacetime how to curve.
Gravitation is manifest in relative acceleration of neighboring test particles.
Relative acceleration is caused by curvature.
Curvature is characterized by Riemann tensor.
At each event of spacetime, i.e., at each point of any “Riemannian manifold”, there exists a geometrical object namely the metric tensor g( , ). It is a machine with two input slots for insertion of two vectors.
insert: both with dx,output: spacetime interval ds2=gdxdx
insert: both with u,output: length square: guu
insert: u and v output: the scalar product of uon v: guv
度规张量可用来升高或降低附标使之均衡： u=gu
★ Riemann 曲率张量 联络系数 度规
Riemann tensor is a machine with 3 slots for the insertion of 3 vectors:
Riemann( , , )Riemann tensor, through equation of geodesic deviation, produces relative acceleration:2
20,
D dx dxR
d d d
i.e., the relative acceleration of the two neighboring geodesics.
度规 联络系数（ Christoffel 符号）：* 协变微商：
, , ,
1( )
2g g g
, , .R
联络系数 Riemann 张量：; , .A A A
★ Riemann 曲率张量 Ricci 张量 总曲率
平坦时空中可以选取直线坐标系 度规张量 g=constant Riemann 曲率张量R=0 ；反之，若 R=0 ，可以证明时空平坦。
缩并 R 中的两个附标和 Ricci 张量 R ：
, , .R R
缩并 Ricci 张量 R 总曲率： R = R.
纯数学：间隔 度规 Riemann 张量 Ricci 张量物理学： Einstein 引力定律 Riemann 张量度规时空性质
除引力之外不受其他力作用的质点沿短程线运动： Du/d=0.
★ Einstein 引力定律（场方程） Einstein真空引力场方程：引力场不影响真空，其他场影响真空。
R= 0.
真空：除引力场之外，没有其他物质和其他物理场存在。
平坦时空显然满足 Einstein 引力场方程。此时，短程线为直线（ Newton第一定律）。 Einstein 引力定律对弯曲时空的曲率加以限制，与质点沿短程线运动这一假设结合，可以给出Newton 力学所有结论，例如，太阳系中行星的运动。
引力场不影响真空，其他场影响真空！如何影响：有物质 T存在时 Einstein 引力场方程：1
8 .2
R g R g T
★ 静止球对称条件下的 Einstein 场方程的解：Schwarzschild 黑洞∣引力红移
Einstein真空引力场方程： R= 0.
静止 g= 0 且 g0i = 0
引力红移： 2 = (1-2m/r)t2
考虑 r 处一个静止原子发出一个波长为 e 的光子，该光子被∞处观测者接受观测到的波长为。 几何单位制下 =T ， e = ， o =t. 于是乎，
o = (1-2m/r)-1/2 e > e, 1+z = o/e
一般地， o=g00-1/2 e
Schwarzschild 解：
■ 宇宙学原理（假设） Robertson-Walker 度规
宇宙学原理：大尺度上宇宙均匀各向同性。宇宙中不同位置、同一时刻看到的宇宙图像相同；不同位置看到的宇宙演化历史
也相同。 可以定义宇宙学时间 t 。Copernicus 原理，“宇宙民主原则”
Robertson-Walker 度规：2
2 2 2 2 2 2 22
( )[ ( sin )]; 1,0, 11
drds dt a t r d d k
kr
宇宙尺度因子： a(t) ；共动坐标 (r,, ）；Hubble“常数” : H(t) = a,0(t)/a(t).
宇宙学红移 : (te ,re) 发射一个光子 e ，被
(to ,ro) 观测到的波长 o 。光子走零短程线。
22 2 2 2 2 2 2
2
0
2 2
( )[ ( sin )] 01
( ) ( ) ( )1 1
0( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( )
o o o
e e e e
e e o o o o
e e e e e o
t t t
t r t t
t t t t t t
t t t t t t
e e o o o
e o
drds dt a t r d d
kr
dt dr dt dr dt
a t a t a tkr kr
dt dt dt dt
a t a t a t a t
t tz
a t a t
( )
.( )o
e e
a t
a t宇宙学、引力与 Doppler红移。
宇宙学红移
etee tt
0t
00 tt
rer0
发射星系的世界线观测者的世界线光子的传播 2
2 2 22
0 ( )1
drd dt R t
kr
e
e
rt
t kr
dr
tR
dt
021)(
0
波的开始
波的结束
e
ee
rtt
tt kr
dr
tR
dt
021)(
00
000
)()(
t
t
tt
tt eeetR
dt
tR
dt0 0
0( ) ( )
e e
e
t t t t
t t
dt dt
R t R t
)(
)(
)()(00
0
0
eee
e
tR
tR
t
t
tR
t
tR
t
0 0
e e
c t
c t
)(
)( 00
ee tR
tR
0 0( )
1( )
0
e
e e
e
R tz
R t
t z
■几何宇宙学：宇宙学假设下 Einstein 引力场方程的
解2
2 2 2 2 2 2 22
, 22
, , 22
( )[ ( sin )]; 1,0, 1;1
18 ;
2, ,
0 _ _ .
8( ) _("in _ _ ");
3 3
2 ( ) 8 _(" _
tt rr
t
tt t
drds dt a t r d d k
kr
R g R g T
T T T T p
T when
a kitial value equation
a aa a k
p dynamic equatioa a a
3 3, ,
00 0 0
00
0
");
("in _ _ ") [" _ "_ _( ) ( ) ] (" _ ").
( / )_ _ _ _ _ ,exp _ _ , _ _ _ :
8ˆ , ,
t t
M
n
itial value equation energe conservation of a p a dynamic equation
d a anormalize to the current scale a ansion rate H and curent density
dt
aa H t
a
2
02 2
0 0 0
2 20
2 2
0 02
, , ;3 3
ˆ ˆ( ) 1ˆ1 ( ) 1 ( 1) ( 1).
ˆ
/_ _ ( ) .
( / ) 2
k
M k M
M
ak
H H H
da t current daa
d d a
d a dtdeceleration paramter q a t
da dt
220 0 2
0
8
3 3
kcH G
R
2
02 2 2 20 0 0 0
81
3 3
G kc
H H H R
20
20
2
20
0
31
RH
kc
Hc
G
Hc
8
3 20
km 1
0 02
0
20
2
2 20 0
8
3
3
mc
k
G
H
H
kc
H R
10 kk
10 kk
00 kk
封闭宇宙
开放宇宙平直宇宙
Possible Fates of the UniverseE > 0
E = 0
E < 0
Accelerating universe Requires dark energy.
- 9 + 9
■ 宇宙学原理 revisit 视界疑难 暴胀模型
光速和宇宙年龄有限 可观测宇宙有限 宇宙对观测者的视界。
宇宙中可能有因果联系的区域有限 如果两个时空点之间的固有距离> 视界，则二者之间不可能有因果联系 视界疑难：物理上没有任何机制可以造成宇宙均匀各向同性 宇宙学原理？！
e.g., 大统一破缺相变 Tc=1015 GeV H~1035s-1 只要持续 10-33s ，宇宙尺度因子就可以增大 ~exp(100)~1043 倍 抹平所有不均匀性。
rmt
a
k
a
a
;
33
82
2
,
暴胀,, 43 aa rm
)!exp()(3
8
3
8 4
2
, HttaHTa
acr
t
具有物质和辐射的宇宙
rmkMt
a
k
a
a
;1,
33
82
2
,
zta
taaa
erm 1
)(
)(,, 043
现宇宙中的重子密度 331
0 g/cm103 B
宇宙背景辐射光子密度 334
0 g/cm10 r
.105.1/;7.0,0,3.0 4 mrkM
作业 1 、何时（ z=?) 宇宙辐射主导、暗能量主导？
作业 2 、 Two Extreme Double-peaked Line Emitters in
the Sloan Digital Sky Survey Wang, T.-G.; Dong, X.-B.; Zhang, X.-G.; Zhou, H.-Y.; Wang, J.-X.; Lu, Y.-J.
2005, ApJL, 625, 35 1 、 Estimate the bolometric luminosities of two AGN, SDSS
J094215.12+090015.8 and 2MASX J141742.89+614152.3.
2 、 Give a brief interpretation of the emission line properties.
Transformation of Radiation Quantities
)1)(()(
)1(
)1)(()(
)1(
)1(
)1)(()(
)1)(()(
)1(
)1(
4
3
4
2
3
1
1
zEWEW
zII
zII
z
zFF
zFF
zFF
z
z
rroo
ro
ro
ro
ro
ro
ro
ro
restobs
Frequency
Wavelength
Specific flux
Specific flux
Flux
Surface brightness
Specific intensity
Intensity
Equivalent width
II. 物理宇宙学∣热大爆炸■ 基本观测事实 :
★ 宇宙微波背景辐射 ★星系红移 - 距离 Hubble 关系
★ 元素丰度 ★宇宙年龄 ■ 宇宙简史 :
★ 时空创生 ★宇宙热历史 ★ 轻元素合成与原初丰度 ★结构形成与演化
宇宙学观测事实1 、星系的大尺度分布（ >100 Mpc ）是均匀的
宇宙学红移
室女
大熊
北冕
长蛇
牧夫
观测事实
2 、哈勃关系
3 、宇宙微波背景黑体辐射 2.736 0.016 KT
Best all-sky picture of the Cosmic Microwave Background
(Wilkinson Microwave Anisotropy Probe, 2003)
观测事实
4 、天体时标：球状星团年龄 ~ 100 亿年5 、元素丰度： H ~ 75% He ~ 25% 重金属元素 < 1 %
6 、反物质粒子数非常少：
7 、光子数比重子数多得多：8 、一维时间、三维空间
观测事实
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III 、“精确宇宙学”
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33
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