第七讲 : §2.6 － 2.8分析、代数与几何

分析的严密化 代数学的新生 几何学的变革

分析的严密化

分析：关于函数的无穷小分析 问题：第二次数学危机 核心：函数、无穷小 贡献：柯西 ( 法 , 1789-1857 )

魏尔斯特拉斯 ( 德 , 1815-1897)

分析的严密化－－函数

初等函数 狄里克雷函

数

处处不可微

的连续函数

解析函数

1837 年狄里克雷 ( 德 , 1805-1859)

• 1817 年波尔查诺 ( 捷 , 1781-1848) 定义了导数、连续• 1821 年柯西 ( 法 , 1789-1857) 《代数分析教程》定义了极

限、连续、导数

分析的严密化－－算术化

1854 年黎曼 ( 德 , 1826-1866) 定义了有界函数的积分 1870 年海涅 ( 德 , 1821-1881) 定义了一致连续 19 世纪 60 年代魏尔斯特拉斯 ( 德 , 1815-1897) 提出 ε-δ语言 1875 年达布 ( 法 , 1842-1917) 提出了大和、小和

• 1817 年波尔查诺 ( 捷 , 1781-1848) 提出确界原理• 1817 年波尔查诺和 19 世纪 60 年代魏尔斯特拉斯

( 德 , 1815-1897) 提出聚点定理• 1821 年柯西 ( 法 , 1789-1857) 提出收敛准则• 19 世纪 60 年代魏尔斯特拉斯提出单调有界原理• 1872 年海涅 ( 德 , 1821-1881) 和 1895 年波莱尔

( 法 , 1871-1956) 提出有限覆盖定理

分析的严密化－－实数理论

1872 年戴德金 ( 德 , 1831-1916) 提出分割理论 1892 年巴赫曼 ( 德 , 1837-1920) 提出区间套原理

分析的严密化

波尔查诺

( 捷克斯洛伐克， 1981 ）

波尔查诺

魏尔斯特拉

斯

狄里克雷

柯西

海涅达布 黎曼 巴赫曼

戴德金

波莱尔

分析的严密化

1874 年起康托 ( 德 , 1845-1918) 一系列论文建立

康托三等分集

分析的严密化－－集合论

希尔伯特：数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最优美的表现之一。

朱利亚集

我看到了它，但我简直不能相信它。

代数 突破传统 方程与根 行列式与矩阵 数系扩张 数论

• 1799 年高斯 ( 德 , 1777-1855) 代数基本定理

代数－－代数方程

高斯和格廷根 ( 尼加拉瓜， 1994)

• 1770 年拉格朗日 ( 法 , 1736-1813) 的预解式

代数－－代数方程根式解

1813 年鲁菲尼 ( 意 , 1765-1822) 定理 1824 年阿贝尔 ( 挪 , 1802-1829) 定理

1829 年伽罗瓦 ( 法 , 1811-1832) 理论

1750 年克莱姆 ( 瑞 , 1704-1752) 法则 1772 年范德蒙 ( 法 , 1735-1796) 、拉普拉斯 ( 法 , 1749-1827)

行列式展开定理 1815 年柯西 ( 法 , 1789-1857) 行列式乘法定理 1841 年凯莱 ( 英 , 1821-1895) 行列式记号、 1841 年雅可比

( 德 , 1804-1851) 行列式 1852 年西尔维斯特 ( 英 , 1814-1897) 惯性定理 1854 年和 1878 年埃尔米特 ( 法 , 1822-1910) 和弗罗贝尼斯

( 德 , 1849-1917) 使用和定义了正交矩阵 1858 年凯莱证明了凯莱 - 哈密顿 ( 爱尔兰 , 1805-1865) 定理 1870 年若尔当 ( 法 , 1838-1921) 建立了若尔当标准形 1879 年弗罗贝尼斯 ( 德 , 1849-1917) 引入矩阵的秩

代数－－行列式与矩阵

柯西克莱姆

拉普拉斯

凯莱

雅可比

西尔维斯特

埃尔米特

弗罗贝尼斯

若尔当

代数－－行列式与矩阵

1837 年哈密顿 ( 爱尔兰 , 1805-1865) 表示复数为有序实数对 1843 年哈密顿 ( 爱尔兰 , 1805-1865) 定义了四元数 1844 年格拉斯曼 ( 德 , 1809-1877) 引进了 n 个分量的超复数 1847 年凯莱 ( 英 , 1821-1895) 定义了八元数

代数－－数系扩张

18 世纪 1736 年欧拉 ( 瑞 , 17

01-1783) 证明了费尔马小定理

1742 年哥德巴赫 ( 德 , 1690-1764) 猜想

1770 年华林 ( 英 , 1734-1798) 定理

1783 年欧拉发现二次互反律

代数－－数论

19 世纪 1801 年高斯 ( 德 , 1777-1855) 出

版《算术研究》 1845-1847 年库默尔 ( 德 , 1810-

1893) 提出理想数 1871 年戴德金 ( 德 , 1831-1916)

创立代数数 1897 年希尔伯特 ( 德 , 1862-194

3)“ 代数数域理论”

1737 年欧拉 ( 瑞 , 1701-1783) 恒等式ζ(s) = =

代数－－解析数论

{a+nb} 1837 年狄里克雷 ( 德 , 1805-1859) 解决素数问题 1859 年黎曼 ( 德 , 1826-1866) 的 π(x) 与 ζ(s) 1896 年阿达玛 ( 法 , 1865-1963) 等证明了素数定理 π(x)~x/lnx

华林

代数－－数论

库默尔

戴德金

希尔伯特

狄里克雷

阿达玛

黎曼

高斯和正十七边形

( 民主德国 , 1977)

代数－－邮票

阿贝尔的塑像

( 挪威 , 1983)

代数－－邮票

维格兰 1908 年雕塑的阿贝尔塑像

伽罗瓦

( 法国 , 1984)

代数－－邮票

哈密顿的四元数

( 爱尔兰 , 1983)

代数－－邮票

戴德金

( 民主德国 , 1981)

代数－－邮票

几何

现实空间与思维空间 射影几何 非欧几何 统一的几何

几何－－射影几何

1799 年蒙日 ( 法 , 1746-1818) 的《画法几何学》

蒙日 ( 法国 , 1953)

1803 年卡尔诺 ( 法 , 1753-1823) 的《位置几何学》

卡尔诺 ( 法国 , 1950)

1799 年蒙日 ( 法 , 1746-1818) 的《画法几何学》

综合方法连续性原理

对偶原理

几何－－射影几何

1822 年庞斯列 ( 法 , 1788-1867) 的《论图形的射影性质》

代数方法

几何－－射影几何

麦比乌斯 ( 德 , 1790-1868)

1827 年麦比乌斯 ( 德 , 1790-1868)的《重心计算》

1829 年普吕克 ( 德 , 1801-1868) 的三线坐标

普吕克 ( 德 , 1801-1868)

平行公理的研究 (公元前 3 世纪至 1800 年 )

A+B+C=2π

几何－－欧氏几何

欧几里得 普莱费尔 (苏格兰 , 1748-1819)　勒让德 ( 法 , 1752-1833)

• 1826 年罗巴切夫斯基 (俄 , 1792-1856)

π(α)

几何－－非欧几何

1816 年高斯 ( 德 , 1777-1855)

1832 年鲍耶 (匈 , 1802-1860)

几何学上的哥白尼

几何－－非欧几何

罗巴切夫斯基 (苏联 , 1951)

几何－－非欧几何

高斯 (联邦德国 , 1955)

几何－－非欧几何

鲍耶 ( 罗马尼亚 , 1960)

1854 年黎曼 ( 德 , 1826-1866) 几何

几何－－非欧几何

模型与相容性几何－－非欧几何

1866 年贝尔特拉米 ( 意 , 1835-1900) 1871 克莱因 ( 德 , 1849-1925)

1882 年庞加莱 ( 法 , 1854-1912)

伪球面曳物线

克莱因 - 庞加莱圆

几何－－非欧几何的模型

1872 年克莱因 ( 德 , 1849-1925) 的《爱尔朗根纲领》

射影几何

仿射几何 单重椭圆几何 二重椭圆几何 双曲几何

欧几里得几何 其它仿射几何

几何－－统一的几何学