hàm số nghịch biến trên . Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa hàm lượng giác ta để ý đạo hàm của hàm số có thể triệt tiêu

www.VNMATH.com

Sách có tất cả 10 chủ đề , dưới đây là chủ đề 01

CHUÛ ÑEÀ 1

KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ

1.1. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT.

VAÁN ÑEÀ 1

TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ

1. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì ( )f ' x 0≥ với

mọi x I∈ ;

• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì ( )f ' x 0≤ với

mọi x I∈ .

2. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn, f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I (tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ). Khi đó:

• Nếu ( )f ' x 0> với mọi x I∈ thì hàm số f đồng biến trên

khoảng I ;

• Nếu ( )f ' x 0< với mọi x I∈ thì hàm số f nghịch biến trên

khoảng I ;

• Nếu ( )f ' x 0= với mọi x I∈ thì hàm số f không đổi trên

khoảng I .

Ví dụ 1 : Xét sự biến thiên của hàm số : 31= −y x

www.VNMATH.com

Giải:

Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng ( ;1−∞ .

Ta có: 2

3

3xy '

2 1 x= −

−

y ' 0= khi x 0= và y ' 0< khi ( )x ;1∀ ∈ −∞ và x 0≠ .

Do đó hàm số nghịch biến trên nửa khoảng ( ;1−∞ .

Chú ý: y ' 0= tại x 0= thì hàm số không đổi trên nửa

khoảng ( ;1−∞ .

Ví dụ 2 : Xét sự biến thiên của hàm số : 2 2 3= − −y x x

Giải: 2

2

2

x 2x 3 khi x 1 x 3y x 2x 3

x 2x 3 khi 1 x 3

− − ≤ − ∨ ≥= − − = − + + − < <

Hàm số đã cho xác định trên � .

Ta có: 2x 2 khi x 1 x 3

y '2x 2 khi 1 x 3

− < − ∨ >= − + − < <

Hàm số không có đạo hàm tại x 1= − và x 3= . + Trên khoảng ( )1;3− :y ' 0 x 1= ⇔ = ;

+ Trên khoảng ( ); 1−∞ − :y ' 0< ;

+ Trên khoảng ( )3;+∞ :y ' 0> .

Bảng biến thiên: x −∞ 1− 1 3 +∞ y ' − || + 0 − || + y

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( )−1;1 và ( )+∞3; , nghịch

biến trên mỗi khoảng ( )−∞ −; 1 và ( )1;3 .

www.VNMATH.com

Chú ý:

( )( )( )2

2

2 2

2

2 x 1 x 2x 3y x 2x 3 x 2x 3 y '

x 2x 3

− − −= − − = − − ⇒ =

− −

Khi tính đạo hàm của hàm số có dạng ( )=y f x , ta chuyển trị

tuyệt đối vào trong căn thức ( )= 2y f x , khi đó tại những

điểm mà ( ) =f x 0 thì hàm số không có đạo hàm.

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng hàm số : cos2 2 3= − +y x x

nghịch biến trên .�

Giải: Hàm số đã cho xác định trên � .

Ta có: ( )= − − = − + ≤ ∀ ∈ �y ' 2 sin2x 2 2 1 s in2x 0, x và =y ' 0

khi π= − + π ∈ �x k , k

4. Vì =y ' 0 tại vô hạn điểm nên chưa thể

kết luận hàm số nghịch biến trên .�

Với ∀ ∈�1 2x , x và <1 2x x , khi đó luôn tồn tại khoảng ( )a;b

chứa 1 2x , x . Do =y ' 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng ( )a;b nên

hàm số nghịch biến trên khoảng ( )a;b khi đó ( ) ( )> ⇒1 2

y x y x

hàm số nghịch biến trên .� Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa hàm lượng giác ta để ý đạo hàm của hàm số có thể triệt tiêu tại vô hạn điểm, do đó ta chuyển về xét tính đơn điệu trên một khoảng chứa hữu hạn điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu.

Ví dụ 4 : Tìm tham số ∈ �m để hàm số : 1−=

−

mxy

x m

nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Giải:

Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( );m m;−∞ ∪ +∞ .

www.VNMATH.com

Ta có: ( )

2

2

1 my '

x m

−=

−

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi y ' 0,≤ ( ) ( )x ;m m;∀ ∈ −∞ ∪ +∞ và dấu đẳng thức xảy ra tại một

số hữu hạn điểm 2 21 m 0 m 1 m 1⇔ − < ⇔ > ⇒ > .

Vậy m 1> và m ∈ � thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 5 : Giải phương trình : ( )3

1 1.= − +x x

Giải:

Điều kiện: ≥x 0 .

Xét hàm số ( )3y x 1 x 1= − − − xác định trên nửa khoảng

) +∞0; .

Ta có: ( )21y ' 3 1 x 0, x 0 y

2 x = + − > ∀ > ⇒ đồng biến trên

nửa khoảng ) +∞0; . Do đó, nếu phương trình =y 0 có nghiệm

thì nghiệm đó là duy nhất.

Dễ thấy ( ) = ⇒ =y 1 0 x 1 là nghiệm duy nhất của phương

trình đã cho.

Ví dụ 6 : Tìm m ∈ � để phương trình:

( )( )25 434 1 33 1x x m x x− + − − − = có nghiệm.

Giải:

1. Đặt ( )( )25 4 ; v 0u x 34x m, v x 1 x 33 ≥= − + = − −

Ta có hệ: ( )

45

u v 1 v u 1 0

u u 1 m 33

− = ⇒ = − ≥ − − = −

Xét hàm số ( ) ( )4

5f u u u 1= − − với u 1≥ .

www.VNMATH.com

Ta có: ( ) ( ) ( )3

4f ' u 5u 4 u 1 0, u 1 f u= − − > ∀ > ⇒ tăng trên nửa

khoảng )1; +∞ và ( )

xf 1 1; lim

→+∞= = +∞ .

Lập bảng biến thiên, suy ra ( )f u 1 m 33 1 m 34≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ .

Hoạt động : Tìm m ∈ � để phương trình: 23 1

2 12 1

xx mx

x

−= − +

− có nghiệm.

Ví dụ 7 : Tìm m ∈ � để hệ phương trình:

( )( )0 1

2 2

x y m

y xy

− + = + =

có nghiệm.

Giải:

Vì y 0= không là nghiệm của hệ.

Với y 0≠ phương trình ( )2 xy 2 y⇔ = − ( )2

y 2

y 2x

y

≤

⇔ −=

Khi đó phương trình ( )1 viết lại ( )y 1

m 4. 3y−

= . Đặt

( )y 1

f yy−

= với y 2≤ . Để hệ có nghiệm khi phương trình ( )3 có

nghiệm với mọi y 2≤ .

Ta có: ( )2

1f ' y 0

y= > với mọi y 2< và y 0≠ . Khi đó ( )f y

đồng biến trên khoảng ( );0−∞ và nửa đoạn (0;2

Và ( ) ( ) ( )y y 0 y 0lim f y 1; lim f y ; lim f y

− +→∞ → →= = +∞ = −∞

Lập bảng biến thiên, ta suy ra ( ) 1f y > hoặc ( )f y1

2≤ . Khi đó

m 4> hoặc m 2≤ .

www.VNMATH.com

Hoạt động : Tìm m ∈ � để hệ phương trình :

( )2

1

3 1 0

x xy

x y m

+ = + + − =

có 3 cặp nghiệm thực.

Đáp số : 15

44

m− ≤ ≤− hoặc 20 123

m≤ ≤ .

VAÁN ÑEÀ 2

CÖÏC TRÒ HAØM SOÁ

1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:

Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0

x . Khi đó,

nếu f có đạo hàm tại điểm 0

x thì ( )0f ' x 0=

2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng ( )a;b chứa

điểm 0

x và có đạo hàm trên các khoảng ( )0a;x và ( )0x ;b . Khi

đó:

a) Nếu ( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

f ' x 0, x a;x

f ' x 0, x x ;b

< ∈ > ∈

thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0

x .

Nói một cách khác, nếu ( )f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm

0x thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

0x .

x a 0

x b

( )f ' x − 0 +

( )f x

( )f a ( )f b

( )0f x

b) Nếu ( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

f ' x 0, x a;x

f ' x 0, x x ;b

> ∈ < ∈

thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0

x .

Nói một cách khác, nếu ( )f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi xqua điểm

0x

www.VNMATH.com

thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0

x .

x a 0

x b

( )f ' x + 0 −

( )f x

( )0f x

( )f a ( )f b

Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng

( )a;b chứa điểm 0

x , ( )0f ' x 0= và f có đạo hàm cấp hai khác

0 tại điểm 0

x .

a) Nếu ( )0f '' x 0< thì hàm số f đạt cực đại tại điểm 0

x .

b) Nếu ( )0f '' x 0> thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 0

x .

Ví dụ 1 : Tìm cực trị của hàm số : ( )3 .= −y x x

Giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên � .

( )( )

x x 3 khi x 0y

x x 3 khi x 0

− ≥= − − <

.

Ta có

( )3 x 1khi x 0

2 xy '3 x

x khi x 02 x

− >= − − < −

+

Hàm số không có đạo hàm tại =x 0 . Trên khoảng ( );0−∞ :y ' 0> ,trên khoảng ( )0;+∞ :y ' 0 x 1= ⇔ =

Bảng biến thiên x −∞ 0 1

+∞ y ' + − 0 +

y

0

+∞

www.VNMATH.com

−∞ 2− Hàm số đạt điểm cực đại tại điểm ( )x 0, f 0 0= = , hàm số đạt

điểm cực tiểu tại điểm ( )x 1, f 1 2= = − .

Chú ý: Cho dù hàm số không có đạo hàm tại =x 0 , nhưng nó vẫn đạt cực đại tại điểm đó.

Cho hàm số ( )=y f x xác định trên D và điểm = ∈0

x x D là

điểm cực trị của hàm số khi và chỉ khi hai điều kiện sau cùng thỏa mãn:

1. Tại =0

x x đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại.

2. Đạo hàm đổi dấu khi x đi qua 0

x .

Ví dụ 2 : Tìm tham số ∈ �m để hàm số : 2 1+ +

=+

x mxy

x m

đạt cực tiểu tại 1.=x

Giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng

( ) ( )−∞ − ∪ − +∞; m m; .

Ta có: ( )

= −+

2

1y ' 1

x m và

( )=

+3

1y ''

x m.

Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng xác định, nên hàm số đạt cực tiểu tại =x 1 khi thỏa mãn: Điều kiện cần:

( )( )

= ⇔ − = ⇔ = =+

2

1y ' 1 0 1 0 m 0; m 2

1 m

Điều kiện đủ:

( )= ⇒ = > ⇒ =m 0 y '' 1 1 0 x 1 là điểm cực tiểu.

( )= ⇒ = − < ⇒ =m 2 y '' 1 1 0 x 1 là điểm cực đại.

Vậy =m 0 thỏa yêu cầu bài toán.

Chú ý: Để ý định lý 3 chỉ phát biểu khi ( ) ≠y '' 1 0 .

www.VNMATH.com

Nếu trình bày hàm số đạt cực tiểu tại ( )( )

== ⇔

>

y ' 1 0x 1

y '' 1 0 thì

lời giải chưa chính xác. Như vậy, để áp dụng được hệ

( )( )

y ' 1 0

y '' 1 0

=

> ta cần khẳng định ( )y '' 1 0> .

Hoạt động : Cho hàm số ( )3 23 1y x x mx= − + . Tìm tất cả

các giá trị của ∈ �m để hàm số ( )1 có cực đại, cực tiểu và

các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ( )1 đối xứng

nhau qua đường thẳng ( ) : 2 9 0d x y+ − = .

Đáp số: 6m = Ví dụ 3 : Tìm tham số ∈ �m để hàm số :

( )3 215 4 2

3y x mx m x= − + − + có cực đại , cực tiểu và đường

thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng ( ) : 8 3 9 0d x y+ + = .

Giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên � . Ta có: = − + −2y ' x 2mx 5m 4 . Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y ' triệt tiêu và đổi dấu hai lần qua nghiệm x , khi đó phương trình − + − =2x 2mx 5m 4 0 có hai nghiệm phân biệt

1 2x , x ⇔ ∆ = − + > ⇔ <2m 5m 5 0 m 1 hoặc

>m 4 . Thực hiện phép chia y cho y ' , ta được:

( ) ( )= − − − + + − +2 21 2 5 4y x m y ' m 5m 4 x m m 2

3 3 3 3.

Gọi 1 2

x , x là hoành độ cực trị ( )⇒ =1

y ' x 0 và ( ) =2y ' x 0 .

Khi đó ( ) ( )= − − + + − +2 2

1 1

2 5 4y x m 5m 4 x m m 2;

3 3 3

( ) ( )= − − + + − +2 2

2 2

2 5 4y x m 5m 4 x m m 2.

3 3 3

www.VNMATH.com

Vậy, đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu là ( )t :

( )= − − + + − +2 22 5 4y m 5m 4 x m m 2

3 3 3.

Đường thẳng ( ) = − − 8

d : y x 33

. Theo bài toán ( ) ( )�d t khi và

chỉ khi ( )

− − + = − − =⇔ = − + ≠ −

2

2

2 8m 5m 4 m 0

3 35 4 m 5m m 2 3

3 3

.

Vậy: =m 0 hoặc =m 5 là giá trị cần tìm. Hoạt động : Tìm tham số ∈ �m để hàm số :

3 23 2y x mx= − + có hai cực trị ,A B sao cho tam giác AIB

có diện tích bằng 3 2 với ( )1;1I .

Ví dụ 4 : Tìm tham số thực m để hàm số :

( )3 2 32 3 1 6y x m x mx m= − + + + có cực đại A cực tiểu B sao

cho:

1. Khoảng cách giữa A và B bằng 2 .

2. Hai điểm A và B tạo với điểm ( )4; 0C một tam giác

vuông tại .C

Giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên � .

Ta có: ( ) ( ) ( )2y ' 6 x m 1 x m 6 x 1 x m = − + + = − −

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y ' triệt tiêu và đổi dấu hai lần qua nghiệm x , nghĩa là phương trình

( ) ( )6 x 1 x m 0− − = có hai nghiệm phân biệt hay m 1≠ thỏa

mãn đề bài. Giả sử ( ) ( )3 2A 1;m 3m 1 ,B m;3m+ − .

1. 2AB 2 AB 2= ⇒ =

( ) ( )223 2m 1 m 3m 3m 1 2⇔ − + − + − + = ( ) ( )

32 2

m 1 m 1 2 ⇔ − + − =

www.VNMATH.com

( ) ( ) ( )2 4 2

m 1 1 m 1 m 1 2 0 ⇔ − − − + − + = ( )2m 1 1 0⇔ − − = hay

m 0= hoặc m 2= thỏa mãn đề bài. 2. Tam giác ABC vuông tại C , khi đó

( )AC BC AC.BC 0⊥ ⇒ = ∗

��

( ) ( )3 2AC 3; m 3m 1 , BC 4 m; 3m= − − + = − −

��

Đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( )3 23 4 m m 3m 1 3m 0∗ ⇔ − + − − + − =

( ) ( ) ( )2 2 2m 1 m m m 1 3m 5m 4 0 ⇔ + − + + − + = ∗ ∗

Dễ thấy ( )2 2m m m 1 0− + ≥ và 23m 5m 4 0, m− + > ∀ ∈ � .

Do đó ( ) m 1 0∗ ∗ ⇔ + = hay m 1= − thỏa mãn đề bài.

Hoạt động : Cho hàm số 4 2 4y x mx x m= − + + . Tìm

m ∈ � để hàm số có 3 điểm cực trị sao cho tam giác có

đỉnh là 3 điểm cực trị đó nhận gốc tọa độ làm trọng tâm.

Đáp số : 6m = .

Ví dụ 5 : Tìm tham số thực m để hàm số :

( ) ( )4 22 1 1y x m x m= − + + có 3 cực trị , ,A B C sao cho:

OA BC= , O là gốc tọa độ , A là cực trị thuộc trục tung, ,B C là 2 điểm cực trị còn lại.

Đề thi Đại học khối B – năm 2011.

Giải:

( )3y' 4x 4 m 1 x y' 0 x 0= − − ⇒ = ⇔ = hay 2x m 1= +

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y ' 0= và đổi dấu 3 lần qua nghiệm x hay 2x m 1= + có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m 1 0⇔ + > tức m 1> − .

Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị

( )A 0;m , ( )2B m 1; m m 1 ,− + − − − ( )2C m 1; m m 1+ − − −

www.VNMATH.com

Theo bài toán, ta có: OA BC= ( )2m 4 m 1 m 2 2 2⇔ = + ⇔ = ±

thỏa m 1> −

VAÁN ÑEÀ 3

GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ.

Ví dụ 1 : Cho 0, 0x y> > và 5

4x y+ = . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức 4 1

4P

x y= + .

Giải:

Cách 1 : Ta có : + = ⇒ = − ⇒ = +−

5 4 1x y 4y 5 4x P

4 x 5 4x.

Xét hàm số : ( ) = +−

4 1f x

x 5 4x xác định và liên tục trên

khoảng

50;4

Ta có : ( )( )

= − +−

2 2

4 4f ' x

x 5 4x.

Trên khoảng ( ) =

50; : f ' x 04

⇔ =x 1 .

Lập bảng biến thiên, ta được ( ) ( )

∈

= = ⇒ =5

x 0;4

min f x f 1 5 minP 5

khi = = 1

x 1, y4

.

Cách 2 :

( ) ( )4 1 x 4y 17 17 25

x y P x y 2x 4y 4y x 4 4 4

+ = + + = + + ≥ + =

www.VNMATH.com

Suy ra P 5≥ . Đẳng thức xảy ra: x 4y

4y x= và 5

x y4

+ = hay

= = 1

x 1, y4

.

Chú ý: Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số

( )y f x= trên D nếu ( )

0 0

f x m x D

x D : f(x ) m

≥ ∀ ∈∃ ∈ =

, ta kí hiệu

( )x D

m min f x∈

= .

Nếu ( )f x m x D≥ ∀ ∈ thì ta chưa thể suy ra ( )x D

m min f x∈

= .

Hoạt động : Cho , 3; 2x y ∈ − thỏa mãn điều kiện 3 3 2x y+ = . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: 2 2P x y= + .

Ví dụ 2 : Cho 0x > và số thực y thỏa mãn 2 3 0

2 3 14

x xy

x y

− + = + ≤

.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

( )2 2 23 2 1Q x y xy x x= − − − .

Giải:

Từ giả thiết + +

= = − + = ⇒ ⇔ + ≤ + ≤ ≤+ ≤

2 2

2

2

x 3 x 3y yx xy 3 0 x x

2x 3y 14 9x 31 x2x 3. 14

5x

.

Khi đó ( ) + += − − − = −

22 2

2 2x 3 x 3 9Q 3x x 2x x 1 5x

x x x.

Xét hàm số: ( ) = −9

f x 5xx

, xác định và liên tục trên đoạn

91;5

.

www.VNMATH.com

Ta có: ( ) = + > ∀ ∈

2

9 9f ' x 5 0, x 0;

5x, do đó trên đoạn

91;5

hàm số ( )f x luôn đồng biến và ( ) = − =

9f 1 4, f 4

5.

Do đó ( )

∈

= =9

x 0;5

maxQ max f x 4 khi =9

x5

và

( )

∈

= = −9

x 0;5

minQ min f x 4 khi =x 1.

Cho hàm số xác định trên D

Chú ý: Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số

( )y f x= trên D . Nếu ( )

( )0 0

f x M x D

x D : f x M

≤ ∀ ∈∃ ∈ =

, ta kí hiệu

( )x D

M max f x∈

= .

Nếu ( )f x M x D≤ ∀ ∈ thì ta chưa thể suy ra ( )x D

M max f x∈

=

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )y f x= trên

D mang tính toàn cục, còn giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số chỉ mang tính địa phương.

Hoạt động : Cho ,x y ∈ � , thỏa mãn điều kiện 0, 1x y≥ ≥ và 3x y+ =+ =+ =+ = . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: 3 2 22 3 4 5P x y x xy x= + + + − .

Ví dụ 3: Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn 1; 4 và

x y, x z≥ ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 3

x y zP

x y y z z x= + +

+ + +.

Đề thi Đại học Khối A – năm 2011.

Giải: Cách 1 :

www.VNMATH.com

Đặt y z xa ,b ,c

x y z= = = . Bài toán trở thành : Cho

1a,b,c ;1

4

∈

và abc 1= . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1

P3a 2 b 1 c 1

= + ++ + +

Ta có : 1 1 1 bc 1 bc 21 1

b 1 c 1 bc b c 1 bc 2 bc 1 bc 1

− −+ = + ≥ + =

+ + + + + + + +

Suy ra : ( )2

2

2

1 2 1 2 t 2P f t

3a 2 3 t 1 t 12t 3bc 1 2t

≥ + = + = + =+ + +++ +

với ( )t bc 1 t 2= ≤ ≤

Để tồn tại giá trị nhỏ nhất của P khi tồn tại giá trị nhỏ nhất

của ( )f t trên đoạn 1;2 với ( )2

2

t 2f t

t 12t 3= +

++

Ta có ( )( ) ( )

( )2 22

3t 1f ' t 2 0, t 1;2

t 12t 3

= − < ∀ ∈ ⇒

++

( )f t nghịch

biến trên đoạn 1;2 . Suy ra ( ) ( ) 34P f t f 2

33≥ ≥ = . Đẳng thức

xảy ra khi x 4, y 1, z 2= = = .

Vậy 34minP

33= , khi x 4, y 1, z 2= = =

Chú ý:

Đặt x y za ,b ,c abc 1

y z x= = = ⇒ = , a 1;4 ∈

Ta cần chứng minh : 1 1 2

1 a 1 b 1 ab+ ≥

+ + + với a và b dương,

ab 1≥ . Đẳng thức xảy ra khi a b= hoặc ab 1≥ .

Khi đó a 1 1 a 2P

2a 3 1 ac 1 ab 2a 3 1 a.abc= + + ≥ +

+ + + + + hay

a 2P

2a 3 1 a≥ +

+ + do abc 1= .

www.VNMATH.com

Xét ( ) a 2f a

2a 3 1 a= +

+ +,a 1;4 ∈ . Đặt t a t 1;2 = ⇒ ∈ .

Cách 2 :

x y zP

2x 3y y z z x= + +

+ + +

Lấy đạo hàm theo z ta có :

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2

2 2 2 2

x y z xyy xP' z 0

y z z x y z z x

− −−= + + =

+ + + +

* Nếu x y= thì 6P

5=

* Ta xét x y> thì ( ) 2 yxP P xy

2x 3y y x≥ = +

+ +

Khảo sát hàm P theo z , ta có P nhỏ nhất khi z xy=

Đặt ( )2

2

x t 2t P f t

y 1 t2t 3= ⇒ = + =

++ với (t 1;2∈

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )3 2

2 22

2 4t t 1 3 2t t 3f ' t 0, t 1;2 f t

2t 3 t 1

− − + − + ⇒ = < ∀ ∈ ⇒+ +

nghịch biến trên nửa khoảng (1;2

Vậy ( ) ( ) 34P f t f 2

33≥ ≥ = . Đẳng thức xảy ra khi

x 4, y 1, z 2= = = .

Vậy 34minP

33= , khi x 4, y 1, z 2= = = .

Ví dụ 4: Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn

( ) ( )( )2 22 a b ab a b ab 2+ + = + + . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 3 3 2 2

3 3 2 24 9a b a b

Pb a b a

= + − +

.

Đề thi Đại học Khối B – năm 2011.

Giải:

www.VNMATH.com

Theo giả thiết ta có ( ) ( ) ( )2 22 a b ab a b ab 2+ + = + + . Từ đây

suy ra

( )a b 1 12 1 ab 2

b a a b

+ + = + +

hay

a b 2 22 1 a b

b a b a

+ + = + + +

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :

2 2 a ba b 2 2

b a b a

+ + + ≥ +

Đặt a bt

b a= + , ta suy ra : 2t 1 2 2 t 2+ ≥ +

2 54t 4t 15 0 t

2⇒ − − ≥ ⇒ ≥

Mặt khác:

( ) ( )3 3 2 2

3 2

3 3 2 2

a b a bP 4 9 4 t 3t 9 t 2

b a b a

= + − + = − − −

Xét hàm số ( ) 3 2f t 4t 9t 12t 18= − − + trên nửa khoảng

5;

2

+∞

( ) ( ) ( )2 5f' t 12t 18t 12 6 t 2t 5 2 t 1 0, t ;

2

= − − = − + − > ∀ ∈ +∞

Vậy ( )f t luôn đồng biến trên nửa khoảng 5;

2

+∞

, suy ra

( ) 5 23P f t f

2 4

= ≥ = −

và đẳng thức xảy ra khi 5

t2

= tức là

a 1= và b 2= .

Vậy 23minP

4= − khi a 1= và b 2= hoặc ngược lại.

Để ý : Theo bất đẳng thức TBC – TBN, ta có : ab 2 2 2ab+ ≥ .

Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )2 22 a b ab a b ab 2 2 2ab a b+ + = + + ≥ + Bình

phương 2 vế ta được ( ) ( )2

2 22 a b ab 8ab a b + + ≥ + tức là

www.VNMATH.com

( )2

a b a b2 1 8 2

b a b a

+ + ≥ + + ∗

Đặt a b

t 2b a

= + ≥ .

Khi đó ( )∗ trở thành ( ) ( )2

2t 1 8 t 2+ ≥ + , từ đây ta tìm được

5t

2≥ .

VAÁN ÑEÀ 4

TIEÄM CAÄN HAØM SOÁ

Ví dụ 1 : Tìm trên đồ thị ( ) 2:

3

xC y

x

+=−

những điểm M

sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận

đứng bằng 1

5 khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm

cận ngang. Giải:

Gọi đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang lần lượt là

( ) =1

d : x 3, ( ) =2

d : y 1 .

( ) ( ) 00 0 0

0

x 2M x ;y C M x ;

x 3

+∈ ⇒ −

Ta có ( ) ( ) 01 0 2

0 0

x 2 5d M,d x 3 , d M,d 1

x 3 x 3

+= − = − =

− −

Theo bài ra ta có ( )2 0

0 000

x 41 5x 3 x 3 1

x 25 x 3

=− = ⇔ − = ⇔

=−

Vậy có 2 điểm thỏa mãn ( ) ( )1 2M 2; 4 ,M 4;6− .

Ví dụ 2 : Tìm m ∈ � để hàm số 1

y mxx

= + có cực trị và

khoảng cách từ điểm cực tiểu của hàm số đã cho đến

đường tiệm cận xiên của nó bằng 2

17.

Giải:

www.VNMATH.com

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ( ) ( );0 0;−∞ ∪ +∞ .

Ta có : 2

1y ' m ,x 0

x= − ≠ .

Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình y ' 0= có hai nghiệm phân biệt khác 0 .

Với m 0> thì 1 22

1 1 1y ' 0 m 0 x x

x m m= ⇔ − = ⇔ = − < = và

điểm cực tiểu của hàm số là 1

A ;2 mm

.

Vì x x

1 1lim lim 0

x x→−∞ →+∞= = nên ( )d : y mx= là đường cận xiên.

( )( )2 2

1m 2 m

2 2 m 2md A, d

17 17 17m 1 m 1

−

= ⇔ = ⇔ =+ +

2 217.m 2 m 1 4m 17m 4 0 m 4= + ⇔ − + = ⇔ = hoặc 1m

4= .

VAÁN ÑEÀ 5

PHEÙP TÒNH TIEÁN VAØ TAÂM ÑOÁI XÖÙNG

1. Điểm uốn của đồ thị: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một liên tục trên khoảng

( )a;b chứa điểm 0

x và có đạo hàm cấp hai trên khoảng ( )0a;x và

( )0x ;b .

Nếu f '' đổi dấu khi x qua điểm 0

x thì ( )( )0 0I x ; f x là một điểm uốn

của đồ thị của hàm số ( )y f x= .

Nếu hàm số f có đạo hàm cấp hai tại điểm 0

x và ( )( )0 0I x ; f x là

một điểm uốn của đồ thị hàm số thì ( )0f '' x 0=

2. Phép tịnh tiến hệ tọa độ: Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tình tiến theo vectơ

OI��

là

www.VNMATH.com

o

0

x X x

y Y y

= + = +

, ( )( )0 0I x ; f x .

Ví dụ 1: Cho hàm số 2m x

yx m

−=

+ có đồ thị là ( )mC . Tìm

m ∈ � để trên ( )mC tồn tại điểm B sao cho tam giác

ABI vuông cân tại .A Trong đó ( )0;1A và ( ); 1I m− − .

Giải:

Ta có: ( )= − −��AI m; 2 . Vì điểm ( ) −

∈ ⇒ +

m

2m bB C B b;

m b

−⇒ =

+

�� m 2bAB b;

m b.

Tam giác ABI vuông cân tại ⊥ =

⇔ ⇒ = =

��

2 2

AB AI AB.AI 0A

AB AI AB AI

( )

( )

− −+ = = − + +

⇔ ⇔ − + = + + = + − +

2 2

2 2 2 2

m 2b m 2b bmmb 2. 0 1

m b m b 2

m 2b bmm 4 b m 4 b 2

m b 2

Từ ( ) ⇔ + = + ⇔ = ⇒ = ±

2 22 2 m b

2 m 4 b 1 1 b 24 4

.

Nếu = −b 2 thì ( ) −⇔ = − ⇔ + − = ⇔ =

+2m 4

1 m m 3m 4 0 m 1m 2

hoặc = −m 4 .

Nếu =b 2 thì ( ) +⇔ = ⇔ − − = ⇔ = −

−2m 4

1 m m 3m 4 0 m 1m 2

hoặc =m 4 .

Vậy = ± = ± m 1, m 4 là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Cho hàm số 4 3mx m

yx m

− +=

−, cho m hai giá trị

1m

và 2m . Tìm hệ thức liên hệ giữa

1m và

2m để một trong hai

www.VNMATH.com

đường cong ( )1mC và ( )

2mC suy ra từ đường kia nhờ một

phép tịnh tiến. Giải:

2mx 4m 3 m 4m 3y m ,x m

x m x m

− + − += = + ≠

− −

Xét trường hợp m 1,m 3≠ ≠ .

Tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy theo vec tơ OI��

, công thức chuyển hệ tọa độ: x X m

y Y m

= + = +

Phương trình đường cong ( )mC đối với hệ tọa độ IXY là:

( )2m 4m 3

Y m mX m m

− ++ = +

+ − hay

2m 4m 3Y

X

− += .

Phương trình ( )1

mC đối với hệ tọa độ

1I XY :

2

1 1m 4m 3

YX

− +=

Phương trình ( )2

mC đối với hệ tọa độ

2I XY :

2

2 2m 4m 3

YX

− +=

Một trong hai đường cong ( )1

mC và ( )

2m

C suy ra từ đường kia

nhờ một phép tịnh tiến khi và chỉ khi: 2 2

1 1 2 2m 4m 3 m 4m 3− + = − +

( ) ( ) 1 2

1 2 1 21 2

m mm m m m 4 0

m m 4

=⇔ − + − = ⇔

+ =

Khi 1 2

m 1 m 1= ⇒ = hoặc 2

m 3= . Khi 1 2

m 3 m 1= ⇒ = hoặc

2m 3= .

VAÁN ÑEÀ 6

KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ

Hàm số bậc ba ( )3 2y ax bx cx d a 0 = + + + ≠

www.VNMATH.com

Dáng điệu đồ thị của hàm số ( )3 2y ax bx cx d a 0 = + + + ≠

Một số tính chất thường gặp của hàm số bậc ba

1. Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

( ) ( )1 2

1 2

y ' 0 có 2 x , x

y x .y x 0

=⇔

<

nghieäm phaân bieät

2. Giả sử a 0> ta có: a. Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ > α

( )( ) ( )

1 2

1 2

y ' 0 có 2 x x

y 0

y x .y x 0

= α < <

⇔ α < <


b. Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ < α

( )( ) ( )

1 2

1 2

y ' 0 có 2 x x

y 0

y x .y x 0

= < < α

⇔ α > <


Tương tự cho trường hợp a 0< .

www.VNMATH.com

Hàm số trùng phương ( )4 2y ax bx c a 0= + + ≠

Dáng điệu đồ thị của hàm số ( )4 2y ax bx c a 0= + + ≠

Một số tính chất thường gặp của hàm số trùng phương 1. Đồ thị của hàm số 4 2y ax bx c (a 0)= + + ≠ cắt trục hoành tại 4 điểm

phân biệt lập thành cấp số cộng khi phương trình: 2aX bX c 0,+ + =

( )2X x 0= > có 2 nghiệm dương phân biệt thỏa 1 2

X 9X= .

2. Phương trình trùng phương: ( )4 2ax bx c 0 1 + + =

Đặt 2t x 0 x t= ≥ ⇔ = ± , ta có phương trình: ( )2at bt c 0 2+ + =

Một nghiệm dương của ( )2 ứng với 2 nghiệm của ( )1 .

Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình ( )1 có nghiệm là

phương trình ( )1 có ít nhất một nghiệm không âm.

( )1 có 4 nghiệm ⇔ ( )2 có 2 nghiệm dương 0

P 0

S0

2

∆ >⇔ > >

( )1 có 3 nghiệm ⇔ ( )2 có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm

bằng 0

www.VNMATH.com

P 0

S0

2

=

⇔ >

( )1 có 2 nghiệm ⇔ ( )2 có 1 nghiệm dương

P 0

0

S0

2

< ∆ =⇔

>

( )1 có 1 nghiệm ⇔ ( )2 có nghiệm thỏa 1 2

1 2

P 0

S0

t 0 t 2

t t 0 0

S0

2

= << =

⇔ = = ∆ =

=

( )1 vô nghiệm ⇔ ( )2 vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm

0

0

P 0

S0

2

∆ <∆ ≥⇔ > <

( )1 có 4 nghiệm tạo thành cấp số cộng 1 2

2 1

0 t t

t 3 t

< <⇔ =

.

Ta giải hệ pt: 2 1

1 2

1 2

t 9t

S t t

P t t

= = + =

3. Phương trình bậc 4 có tính đối xứng:

( )4 3 2ax bx cx bx a 0 1+ + + + =

• Nếu a 0= , ta có phương trình: ( )2x bx cx b 0+ + =

• Nếu a 0≠ , ta có phương trình tương đương:

www.VNMATH.com

2

2

1 1a x b x c 0

xx

+ + + + =

Đặt 1t x

x= + , phương trình được viết thành:

( ) ( ) 2a t 2 bt c 0, t 2 2− + + = ≥

Chú ý:

Khi khảo sát hàm số 1t x

x= + , ta có:

* Một nghiệm lớn hơn 2 của phương trình ( )2 tương ứng với 2

nghiệm dương của phương trình ( )1 .

* Một nghiệm nhỏ hơn 2 của phương trình ( )2 tương ứng với 2

nghiệm âm của phương trình ( )1 .

* Một nghiệm t 2= − của phương trình ( )2 tương ứng với nghiệm

x 1= − của phương trình ( )1 .

* Một nghiệm t 2= của phương trình ( )2 tương ứng với nghiệm

x 1= của phương trình ( )1 .

* Phương trình 1t x

x= + vô nghiệm khi t 2<

4. Phương trình bậc 4 có tính đối xứng:

( )4 3 2ax bx cx bx a 0 1+ + − + =

• Nếu a 0= , ta có phương trình: ( )2x bx cx b 0+ − =

• Nếu a 0≠ , ta có phương trình tương đương:

2

2

1 1a x b x c 0

xx

+ + − + =

Đặt 1t x

x= − , phương trình được viết thành:

( ) ( )2a t 2 bt c 0, t 2+ + + = ∈ �

www.VNMATH.com

Chú ý: Phương trình 1t x

x= − có 2 nghiệm trái dấu với mọi

t 5. ( )( )( )( )x a x b x c x d e+ + + + =

Với a b c d+ = + . Đặt ( )2 ab cdt x a b x

2

+= + + + .

6. ( ) ( )4 4

x a x b c+ + + =

Với a b

2

−α = . Đặt a b

t x , t2

+= + ∈ �

Hàm số hữu tỷ ax by ,an bm 0

mx n

+= − ≠

+

( )

2

an bmy '

mx n

−=

+

Dáng điệu đồ thị của hàm số ax by , an bm 0

mx n

+= − ≠

+

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

x

y

m

ay =

m

nx −=

I

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

x

y

m

ay =

m

nx −=

I

Hàm số hữu tỷ ( )2ax bx c A

y xmx n mx n

+ += = λ + µ +

+ +

Dáng điệu đồ thị của hàm số 2ax bx c

ymx n

+ +=

+

www.VNMATH.com

x

y

x3x2nghieäm x1

giao ñieåm A

B

C

O

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

x

y

µλ += xy

m

nx −=

I

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

x

y

µλ += xy

m

nx −=

I

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

x

y

µλ += xy

m

nx −=

I

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

x

y

µλ += xy

m

nx −=

I

VAÁN ÑEÀ 7

GIAO ÑIEÅM CUÛA HAI ÑOÀ THÒ

Phương pháp:

• Lập phương trinh hoành độ giao điểm của hai đồ thị ( )C :

( )y f x= và ( ) ( )C' : y g x= là: ( ) ( ) ( ) f x g x *= .

• Biện luận số nghiệm của phương trình ( )* , số nghiệm

phương trình ( )* là số giao điểm của ( )C và ( )C' .

www.VNMATH.com

Ví dụ 1: Cho hàm số 2

2 2

xy

x

+=

− có đồ thị là ( )C . Tìm tất

cả các giá trị tham số m ∈ � để đường thẳng

( ) :d y x m= + cắt đồ thị ( )C tại 2 điểm phân biệt ,A B

sao cho 2 2 37.2

OA OB+ =

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )C :

+= +

−x 2

x m2x 2

( ) ( ) ( )⇔ = + − − + = ≠ 2g x 2x 2m 3 x 2 m 1 0, x 1

Vì ( )∆ = + + >

∀ ∈= ≠

�

2

g4m 4m 25 0

mg 1 3 0

nên ( )d cắt ( )C tại 2 điểm

phân biệt với ∀ ∈ �m .

Gọi ( ) ( )+ + 1 1 2 2

A x ;x m , B x ;x m là tọa độ giao điểm của ( )d và

( )C .

Theo định lý Vi-ét, ta có ( )−+ = − = − +

1 2 1 2

2m 3x x , x .x m 1

2.

Ta có: ( ) ( )+ = + + + + +2 2

2 2 2 2

1 1 2 2OA OB x x m x x m

( ) ( )= + − + + +2

2

1 2 1 2 1 22 x x 4x .x 2m x x 2m

( ) ( ) − −= − + + + − + = + +

2

2 22m 3 2m 3 12 4 m 1 2m 2m 4m 2m 17

2 2 2

Giả thiết: ( )+ = ⇔ + + =2 2 237 1 37OA OB 4m 2m 17

2 2 2

+ − = ⇔ = −2 52m m 10 0 m

2 hoặc =m 2 .

Vậy = −5

m2

hoặc =m 2 là giá trị cần tìm.

www.VNMATH.com

Hoạt động: Cho hàm số 1

xy

x=−

có đồ thị là ( )C . Tìm

tất cả các giá trị tham số m ∈ � để đường thẳng

( ) : 1d y mx m= − − cắt đồ thị ( )C tại 2 điểm phân biệt

,A B sao cho 2 2MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất, với

( )1;1M − .

Đáp số : 1m =− .

Ví dụ 2: Cho hàm số ( )4 22 1 2 1y x m x m= − + + + có đồ thị

là ( )mC . Tìm tất cả các giá trị tham số m ∈ � để đồ thị

hàm số đã cho cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt , , ,A B C D lần lượt có hoành độ

1 2 3 4, , ,x x x x

( )1 2 3 4x x x x< < < sao cho tam giác ACK có diện tích

bằng 4 , biết ( )3; 2K − .

Giải:

( ) ( )− + + + = 4 2x 2 m 1 x 2m 1 0 1 . Đặt ( )= ≥

2t x t 0 , phương

trình ( )1 trở thành ( ) ( )− + + + = 2t 2 m 1 t 2m 1 0 2 .

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình ( )2 có hai nghiệm phân biệt >t 0

( ) ( )( )

∆ = + − +⇔ = + >

= + >

2

' m 1 2m 1

S 2 m 1 0

P 2m 1 0

⇔ ≠m 0 và > −1

m2

.

Với − < ≠1

m 02

thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4

điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự − −1 2 2 1t ; t ; t ; t với

>1 2t t .

www.VNMATH.com

Theo giả thiết ( ) ( )= ACK

1S AC.d K;AC 3

2 với ( ) = K

d K;AC y .

Khi đó ( ) ⇔ + = ⇔ + + =1 2 1 2 1 2

3 t t 4 t t 2 t t 16

Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình ( )2 , ta được:

( )+ + + = ⇔ + = −2 m 1 2 2m 1 16 2m 1 7 m

− ≥⇔ ⇒ = − + =

2

m 7 0m 4

m 16m 48 0.

Hoạt động : Cho hàm số ( )4 22 2 2 3y x m x m=− + + − − có

đồ thị là ( )mC . Tìm tất cả các giá trị tham số m ∈ � để

( )mC cắt trục hoành tại 4điểm phân biệt cách đều nhau.

Đáp số : 13, 39

m m=− = .

VAÁN ÑEÀ 8

SÖÏ TIEÁP XUÙC CUÛA HAI ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ.

Bài toán 1:

Hai đường cong ( ) ( )C : y f x= và ( )C' :

( )y g x= tiếp xúc nhau tại ( )0 0M x ;y

khi điểm ( ) ( )M C C'∈ ∩ và tiếp tuyến

tại M của ( )C trùng với tiếp tuyến tại

M của ( )C' chỉ khi hệ phương trình

sau:

( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

f x g x

f ' x g ' x

= =

có nghiệm 0

x .

Lưu ý: Mệnh đề sau đây không đúng cho mọi trường hợp:

x

y

(C)

M(x0;y0)

www.VNMATH.com

( ) ( )( )C : y f x

d : y ax b

= = +

tiếp xúc nhau

( )f x ax b 0⇒ − − = có nghiệm kép.

Hàm ( )f x nhận 0

x làm nghiệm bội k nếu

( ) ( ) ( ) ( )k 1

0 0 0f x f ' x ... f x 0

−= = = = và ( )k

0f x 0≠ .

Nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 chứ không phải nghiệm kép.

Phép biến đổi tương đương của phương trình nói chung không bảo toàn số bội của nghiệm. Bài toán 2:

* Đường cong ( ) ( )C : y f x= có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0

x

khi và chỉ khi hàm số ( )y f x= khả vi tại 0

x . Trong trường hợp

( )C có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0

x thì tiếp tuyến đó có hệ số

góc ( )0f ' x .

* Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) ( )C : y f x= tại điểm

( )( )0 0M x ;f x có dạng: ( )( ) ( )0 0 0

y f ' x x x f x= − + .

Bài toán 3:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) ( )C : y f x= đi qua

điểm ( )1 1M x ;y

Cách 1: • Phương trình đường thẳng ( )d đi qua điểmM có hệ số góc là k có

dạng: ( )1 1y k x x y= − + .

• ( )d tiếp xúc với đồ thị ( )C tại ( )0 0N x ;y khi hệ sau:

( ) ( )( )

0 0 1 1

0

f x k x x y

f ' x k

= − + =

có nghiệm 0

x .

Cách 2:

www.VNMATH.com

• Gọi ( )0 0N x ;y là tọa độ tiếp điểm của đồ thị ( )C và tiếp tuyến

( )d qua điểm M , nên ( )d cũng có dạng ( )( )0 0 0y y ' x x x y= − + .

• ( )d đi qua điểm M nên có phương trình:

( ) ( )1 0 1 0 0y y '(x ) x x y = − + ∗

• Từ phương trình ( )* ta tìm được tọa độ điểm ( )0 0N x ;y , từ đây ta

tìm được phương trình đường thẳng ( )d .

Bài toán 4:

Cho hai đường cong ( ) ( )C : y f x= và ( ) ( )d : y g x= . Hãy tìm

tất cả các tiếp tuyến chung của ( )C và ( )d .

Giả sử ( )T là tiếp tuyến chung của ( )C và ( )d .

( )T tiếp xúc với ( )C và ( )d lần lượt tại các điểm có hoành độ

1 2x , x .

Khi đó: ( ) ( )( ) ( )1 1 1T : y f ' x x x f x= − + và

( ) ( )( ) ( )2 2 2T : y f ' x x x f x= − +

Ta có hệ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )1 2

1 1 1 2 2 2

f ' x f ' x*

f x x f ' x f x x f ' x

= − = −

Giả sử i

x là nghiệm của hệ ( )* với i 1,2, 3,..., n= thì các tiếp

tuyến cần tìm là ( ) ( )( ) ( )i i i iT : y f ' x x x f x= − + .

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng

y x m= + luôn cắt đồ thị ( ) 1:

2 1

xC y

x

− +=

− tại hai điểm phân

biệt A và B . Gọi 1 2,k k lần lượt là hệ số góc của các tiếp

tuyến với ( )C tại A và B . Tìm m ∈ � để tổng 1 2k k+ đạt giá

trị lớn nhất.

Đề thi Đại học Khối A – năm 2011.

Giải:

www.VNMATH.com

Phương trình hoành độ giao điểm

( ) ( )2x 1 1x m g x 2x 2mx m 1 0 , x

2x 1 2

− += + ⇔ = + − − = ∗ ≠

−

Vì

2

2 1 3' m m 1 m 0, m

2 4

1g 0, m

2

∆ = + + = + + > ∀ ∈

≠ ∀ ∈

�

�

nên phương trình

( )∗ luôn có 2 nghiệm phân biệt với m∀ ∈ � .

Vậy đường thẳng y x m= + luôn cắt đồ thị x 1y

2x 1

− +=

− tại hai

điểm phân biệt A,B .

Gọi 1 2

x , x là hai nghiệm của ( )∗ thì ( ) ( )1 1 2 2A x ;y ,B x ;y .

Tiếp tuyến của ( )C tại A,B lần lượt có hệ số góc là

( )( )

( )( )

1 1 2 22 2

1 2

1 1k y ' x ,k y ' x

2x 1 2x 1= = − = = −

− −

Cách 1 :

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

22 2

1 2 1 2 1 21 2

1 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

4 x x 8x x 4 x x 22x 1 2x 1k k

2x 1 2x 1 4x x 2 x x 1

− + − − + +− − − − + = = − − − + +

Theo định lý Vi – et : 1 2

1 2

x x m

m 1x .x

2

+ = − − −

=

Khi đó ( )21 2k k 4 m 1 2 2+ = − + − ≤ −

Vậy 1 2

k k+ đạt giá trị lớn nhất bằng 2− khi m 1= −

Cách 2 :

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 2

1 21 2

1 1 2k k

2x 1 2x 12x 1 2x 1

+ = − + ≤ − − −− −

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 22x 1 2x 1 4x x 2 x x 1 2 m 1 2m 1 1− − = − + + = − + + + = −

www.VNMATH.com

Nên 1 2 1 2

k k 2 k k+ ≤ − ⇒ + lớn nhất bằng 2− . Đẳng thức xảy ra

khi 1 2 1 2

2x 1 1 2x x x 1 m 1− = − ⇔ + = ⇔ = −

Vậy 1 2

k k+ đạt giá trị lớn nhất bằng 2− khi m 1= −

Ví dụ 2: Tìm m ∈ � , để tiếp tuyến của đồ thị hàm số : 3 1y x mx m= − + − tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt

đường tròn ( ) ( )2 2 12 3

5x y− + − = theo 1dây cung có độ dài

nhỏ nhất.

Giải:

( )= − ⇒ = −2y ' 3x m y ' 1 3 m . Với ( ) ( )= ⇒ = ⇒x 1 y 1 0 M 1;0 .

Phương trình tiếp tuyến tại M : ( ) ( )= −y y ' 1 x 1

( ) ( )⇔ − − − + = 3 m x y 3 m 0 d .

Đường tròn có tâm ( )I 2;3 và bán kính =1

R5

. Vì >IM R

nên độ dài cung nhỏ nhất khi ( )d tiếp xúc với đường tròn, tức

là ( )( ) =d I; d R ( )

( )

− − − +⇔ =

− +2

3 m 2 3 3 m 1

53 m 1

hay

=− +2

m 1

5m 6m 10, bình phương hai vế và rút gọn ta được

phương trình + − =22m 3m 5 0 , giải phương trình này ta được

=m 1 hoặc =5

m2

thỏa bài toán.

Hoạt động: Tìm m ∈ � để từ điểm ( )1; 2M kẻ được 2

tiếp tuyến đến đồ thị ( ) ( )3 2: 2 1 2mC y x x m x m= − + − + .

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của k để tồn tại 2 tiếp

tuyến với ( )C : 3 26 9 3y x x x= + + + phân biệt và có cùng

hệ số góc k , đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm

www.VNMATH.com

của 2 tiếp tuyến đó với ( )C cắt các trục ,Ox Oy tương

ứng tại ,A B sao cho 2011.OA OB= .

Giải:

Hoành độ tiếp điểm 0

x của tiếp tuyến dạng = +y kx m với

( )C là nghiệm của phương trình

( ) ( )= ⇔ + + − = 2

0 0 0f ' x k 3x 12x 9 k 0 1

Để tồn tại 2 tiếp tuyến với ( )C phân biệt nhau thì phương

trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt, khi đó ∆ = + >' 9 3k 0 hay

( )> − k 3 2 .

Khi đó tọa độ tiếp điểm ( )0 0x ;y của 2 tiếp tuyến với ( )C là

nghiệm hệ phương trình: = + + +

+ + =

3 2

0 0 0

2

0 0

y x 6x 9x 3

3x 12x 9 k

( ) ( )= + + + − −

⇔ + + =

2

0 0 0 0

2

0 0

1y x 2 3x 12x 9 2x 3

33x 12x 9 k

( ) − −= + − − = +

⇔ + + =

0 0 0

2

0 0

1 k 6 2k 9y x 2 k 2x 3 x

3 3 33x 12x 9 k

Vậy phương trình đường thẳng đi qua các tiếp điểm là ( )d :

− −= +k 6 2k 9

y x3 3

.

Do ( )d cắt trục Ox,Oy tương ứng tại A và B sao cho

=OA 2011.OB nên có thể xảy ra:

• Nếu ≡A O thì ≡B O , trường hợp này chỉ thỏa nếu ( )d

cũng qua O . Khi đó =9

k2

.

www.VNMATH.com

• Nếu ≠A O , khi đó trong tam giác AOB vuông tại O sao

cho � −= = ⇒ = ± ⇒ =OB k 6

tanOAB 2011 2011 k 6039OA 3

hoặc

= −k 6027 ( không thỏa ( )2 ).

Vậy =9

k2

, =k 6039 thỏa bài toán.

Hoạt động: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị

( ) 2 3:

1

xC y

x

+=

+ tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng

cách đến đường thẳng 3 4 2 0x y+ − = bằng 2 .

VAÁN ÑEÀ 9

KHOAÛNG CAÙCH

Khoảng cách giữa hai điểm ( ) ( )A A B BA x ;y , B x ;y là:

( ) ( )2 2

B A B AAB x x y y= − + −

Khoảng cách từ ( )0 0M x ;y đến đường thẳng

( )d : Ax+By+C 0 = là ( ) 0 0

2 2

Ax By Cd M,

A B

+ +∆ =

+.

Trường hợp đặc biệt:

( ) ( ) 0: x a d M, x a∆ = ⇒ ∆ = −

( ) ( ) 0: y b d M, y b∆ = ⇒ ∆ = −

Tổng khoảng cách từ ( )0 0M x ;y đến Ox, Oy là:

0 0d x y= +

Ví dụ 1: Cho hàm số 2

1

xy

x

+=−

có đồ thị là ( )C . Tìm điểm

M trên đồ thị ( )C sao cho khoảng cách từ :M

1. Đến đường thẳng ( ) : 2 2 0d x y+ − = bằng 6 5 .5

www.VNMATH.com

2. Đến Oy gấp đôi khoảng cách từ M đến .Ox

Giải:

Gọi +

−

m 2M m;

m 1 là điểm thuộc đồ thị ( )C .

1. ( )+

+ − − +−= =

−+

2

2

m 22m 2

2m 3m 4m 1d M;d

5 m 12 1

( )− +

= ⇔ = ⇔ − + = −−

2

22m 3m 46 5 6 5

d M;d 2m 3m 4 6 m 15 55 m 1

− + = ⇒ = =

⇔ + − = ⇒ = − =

2

2

52m 9m 10 0 m 2, m

21

2m 3m 2 0 m 2, m2

Vậy có 4 điểm M cần tìm.

2. ( ) ( ) += ⇔ =

−

m 2d M,Oy 2d M,Ox m 2

m 1

+• = − ⇔ + + =

−

2m 2m 2. m m 4 0

m 1 vô nghiệm với ∀ ∈ �m .

+• = ⇔ − − = ⇔ = − =

−

2m 2m 2. m 3m 4 0 m 1, m 4

m 1.

Vậy ( ) − −

1

M 1; , M 4;22

là hai điểm cần tìm.

Hoạt động : Cho hàm số 3 1

2

xy

x

−=

− có đồ thị là ( )C . Tìm

điểm M trên đồ thị ( )C sao cho khoảng cách từ M đến

đường thẳng ( ) :d 3 4 1 0x y− + = bằng 12 .5

Đáp số : ( ) 16 15 7 111; 2 , ; , 2; , ; 6

3 4 4 3M M M M

− −

.

www.VNMATH.com

Ví dụ 2: Tìm k để đường thẳng 2 1y kx k= + + cắt đồ thị

( ) :C 2 1

1

xy

x

+=

+ tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho

khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

Đề thi Đại học Khố D – năm 2011.

Giải:

Gọi ( )d : y kx 2k 1= + +

Phương trình hoành độ giao điểm: 2x 1kx 2k 1

x 1

+= + +

+ với

( ) ( )2kx 3k 1 x 2k 0⇔ + − + = ∗ ( x 1= − không là nghiệm)

( )d cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt A,B khi và chỉ khi phương

trình ( )∗ có 2 nghiệm phân biệt 2

k 0

k 6k 1 0

≠⇔ ∆ = − + >

k 0

k 3 2 2 k 3 2 2

≠⇔

< − ∨ > +( )∗ ∗

Khi đó ( ) ( )1 1 2 2A x ;kx 2k 1 , B x ;kx 2k 1+ + + + ,

1 2x , x là 2 nghiệm

của ( )∗ . Khoảng cách từ A và B đến Ox bằng nhau

A B

kx 2k 1 kx 2k 1⇔ + + = + + ( )A B

A B

kx kx

k x x 4k 2 0

=⇔

+ + + =

1 3kk 4k 2 0 k 3

k

−⇒ + + = ⇔ = −

thỏa điều kiện ( )∗ ∗ .

Vậy k 3= − .


1

xy

x

+=

+ có đồ thị là ( )C . Tìm

điểm M trên đồ thị ( )C sao cho khoảng cách từ M đến

đường thẳng ( ) : 4 8 0d x y− + = có giá trị nhỏ nhất.

Đáp số : 31;2

M

.

www.VNMATH.com

VAÁN ÑEÀ 10

TÌM ÑIEÅM TREÂN ÑOÀ THÒ COÙ TOÏA ÑOÄ NGUYEÂN

1. Xét ( )ax b

C : y , ad bc 0cx d

+

= − ≠+

Ta có: ( )

ax b a bc ad 1 bc ady a

cx d c c cx dc cx d

+ − − = = + = + + ++

Gọi ( ) ( )M x;y C∈ là điểm có toạ độ nguyên, khi đó:

bc ada c

1 bc ad cx dx, y a x, y

bc adc cx da

cx d

− + − + ∈ ⇒ + ∈ ⇔ ⇒ −+ + ∈ +

�

� �

�

2. Xét ( )2ax bx c

C : y , aa ' 0a ' x b '

+ +

= ≠+

Ta có: ( )2ax bx c

C : ya ' x b '

+ +=

+

( )

( ) ( )2

2

a ' c b ' a ' b b ' a1a.a ' x a ' b b ' a

a ' x b 'a '

− − = + − + +

Gọi ( ) ( )M x;y C∈ là điểm có toạ độ nguyên, khi đó:

( )

( ) ( )2

2

a ' c b ' a ' b b ' a1x, y a.a ' x a ' b b ' a

a ' x b 'a '

− −

∈ ⇒ + − + ∈ +

� �

( ) ( )( )

( ) ( )

2

2

2

a ' c b ' a ' b b ' aa.a ' x a ' b b ' a a '

a ' x b 'x, y

a ' c b ' a ' b b ' aa.a ' x a ' b b ' a

a ' x b '

− − + − + + ⇔ ⇒ − − + − + ∈ +

�

�

www.VNMATH.com

Ví dụ : Cho hàm số 23 5 14

6 1

x xy

x

+ +=

+ có đồ thị ( )C . Tìm tất

cả các điểm trên ( )C có tọa độ là các số nguyên.

Giải:

1 53y 2x 3

4 6x 1

= + + +

Điều kiện cần và đủ để ( ) ( )M x;y C∈ có tọa độ nguyên là

532x 3 4

1 53 6x 12x 3

534 6x 12x 3

6x 1

+ + + + + ∈ ⇔ + + + ∈ +

�

�

�

53532x 3 4 x 0 y 142x 3 46x 1

6x 1x 9 y 453 6x 1 1, 53

6x 1

+ + = ⇒ = + + + ⇔ ⇔ ⇔+ = − ⇒ = − + = ± ±∈ +

� �

�

Vậy có 2 điểm thỏa bài toán ( ) ( )0;14 , 9; 4− − .

VAÁN ÑEÀ 11

ÑIEÅM ÑOÁI XÖÙNG

Điểm ( )0 0I x ;y là tâm đối xứng của đồ thị ( ) ( )C : y f x=

⇔ Tồn tại hai điểm ( ) ( )M x;y , M' x ';y ' thuộc ( )C thỏa:

( ) ( ) ( ) ( )

'

00

0 00

x ' 2x xx x 2x

f x f 2x x 2yf x f x ' 2y

= −+ = ⇔ + − =+ =

Vậy ( )0 0I x ;y là tâm đối xứng của ( ) ( ) ( )0 0

C : f x 2y f 2x x= − − .

www.VNMATH.com

Ví dụ : Cho hàm số : 2 1

1

x xy

x

− +=

− có đồ thị là ( )C . Gọi

( )'C là đồ thị đối xứng với ( )C qua điểm ( )3; 4A . Tìm

phương trình đồ thị ( )'C .

Giải:

Gọi ( ) ( )M x,y C∈ và ( ) ( )M' x ', y ' C '∈ đối xứng qua đồ thị ( )C qua

điểm ( )A 3;4 . Ta có

x x '3 x 6 x '

2y y ' y 4 y '

42

+ = = − ⇔ + = − =

Thay vào đồ thị

( )( ) ( )

226 x ' 6 x ' 1 x ' 11x ' 31

C : 8 y '6 x ' 1 5 x '

− − − + − +− = =

− − −

Hay 2 2x ' 11x ' 31 9 3x ' x '

y ' 85 x ' 5 x '

− + + −= − =

− −.

Vậy phương trình đồ thị ( )2 2x 3x 9 x 3x 9

C' : yx 5 x 5

− + + − −= =

− + −.


1

x xy

x

+ +=

+ có đồ thị là ( )C .

Tìm những cặp điểm trên đồ thị ( )C đối xứng nhau qua

đường thẳng ( ) :d 16 17 33 0x y+ + = .

Đáp số : 21 13

5; , 3;4 4

A B − −

www.VNMATH.com

1.2. ÑEÀ THI MINH HOÏA.

Bài tập 1:

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C : 4 2y x x 6= − − + , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

1y x 1

6= − .

2. Tìm m ∈ � để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của

( )mC : ( )3 2y x 2x m 1 x 2m= − + − + vuông góc với đường

thẳng y x= − .

www.VNMATH.com

Hướng dẫn

Nhắc lại kiến thức:

• Cho hai đường thẳng ( )1 1d : y k x b= + và

( )2 2d : y k x m= + .

1. ( ) ( ) 1 21 2

k kd d

b m

=⇔ ≠

� .

2. ( ) ( )1 2d , d cùng phương

1 2k k⇔ = .

3. ( ) ( )1 2 1 2d d k .k 1⊥ ⇔ = − .

4. ( ) ( )�( ) 2 11 2

1 2

k kd , d tan

1 k .k

−= β ⇒ β =

+.

• Giả sử ( ) ( )1 1 2 2A x ;y , B x ;y , đường thẳng đi qua hai điểm phân

biệt A, B có hệ số góc 2 12 1

2 1

y yk , x x

x x

−= ≠

−.

Trở lại bài toán:

1. Gọi ( )0 0M x ;y là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến ( )t và đồ

thị ( )C của hàm số ( ) 4 20 0 0 0

y y x x x 6⇒ = = − − + .

Tiếp tuyến ( )t tại M : ( )( ) ( )0 0 0y y ' x x x y x= − + .

( ) ( ) ( )0 0

1 1t y x 1 y ' x . 1 y ' x 6

6 6⊥ = − ⇒ = − ⇒ = − .

Khi đó ( )t có dạng: y 6x m= − + .

Cách 1:

* Đường cong ( ) ( )C : y f x= có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0

x

khi và chỉ khi hàm số ( )y f x= khả vi tại 0

x .

Trong trường hợp ( )C có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0

x thì

tiếp tuyến đó có hệ số góc ( )0f ' x .

* Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) ( )C : y f x= tại điểm

www.VNMATH.com

( )( )0 0M x ;f x có dạng: ( )( ) ( )0 0 0

y f ' x x x f x= − + .

Cách 2:

Đường cong ( ) ( )C : y f x= và ( ) ( )t : y g x= tiếp xúc nhau tại

( )0 0M x ;y .Khi và chỉ khi hệ phương trình sau:

( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

f x g x

f ' x g ' x

= =

có nghiệm 0

x .

2. 2

2 2 7 7y ' 3x 4x m 1 3 x m m

3 3 3

= − + − = − + − ≥ −

Giải:

Gọi ( )t là tiếp tuyến của đồ thị ( )C của hàm số và ( )t vuông

góc với đường thẳng 1y x 1

6= − , nên đường thẳng ( )t có hệ số

góc bằng 6− . Cách 1:

Gọi ( )0 0M x ;y là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến ( )t và đồ thị

( )C của hàm số . Khi đó, ta có phương trình:

( ) 30 0 0

y ' x 6 4x 2x 6= − ⇔ − − = −

( )( ) ( )20 0 0

x 1 2x 2x 3 0⇔ − + + = ∗ . Vì 20 0 0

2x 2x 3 0, x+ + > ∀ ∈ �

nên phương trình ( ) ( ) ( )0 0x 1 y y 1 4 M 1;4∗ ⇔ = ⇒ = = ⇒ .

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ( )y 6 x 1 4 6x 10= − − + = − + .

Cách 2:

Phương trình ( )t có dạng y 6x m= − +

( )t tiếp xúc ( )C tại điểm ( )0 0M x ;y khi hệ phương trình sau có

nghiệm 0

x

www.VNMATH.com

4 20 0 030 0

x x 6 6x m

4x 2x 6

− − + = − +− − = −

có nghiệm 00

x 1x

m 10

=⇔ =

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ( )y 6 x 1 4 6x 10= − − + = − + .

Mở rộng bài toán:

Cho hàm số 4 2y x x 6= − − + , có đồ thị ( )C và đường thẳng

( )d : x 6y 6 0− − = .

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C :

a. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1y x 1

6= − .

b. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 6x 2011= + .

2. Viết phương trình tiếp tuyến ( )t tại điểm N có tọa độ

nguyên thuộc đồ thị ( )C :

a. Khoảng cách từ N đến đường thẳng ( )d bằng 29

37.

b. 12cos

37α = , trong đó α là góc giữa ( )t và ( )d .

2. 2

2 2 7 7y ' 3x 4x m 1 3 x m m

3 3 3

= − + − = − + − ≥ −

7y ' m

3⇒ ≥ − và 7

y ' m3

⇒ = − khi 2x

3= .

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 2x

3= có hệ số góc nhỏ

nhất bằng 7

y ' m3

= − .

www.VNMATH.com

Theo bài toán ta có:

( ) ( )7 10

y ' 1 1 m 1 1 m3 3

− = − ⇔ − − = − ⇔ = .

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Cho hàm số 2x 2y

x 1

+=

−, có đồ thị ( )C . Viết phương

trình tiếp tuyến ( )t của đồ thị ( )C tại điểm M thuộc ( )C , sao

cho: 1. ( )t song song với đường thẳng y 4x= − .

2. ( )t cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác

OAB là một tam giác vuông cân tại gốc tọa độO . 3.( )t vuông góc với IM với ( )I 1;2 .

4.( )t tạo với hai tiệm cận, một tam giác có chu vi nhỏ nhất.

5. Khoảng cách từ điểm ( )I 1;2 đến tiếp tuyến ( )t là lớn nhất.

Đs: 1. y 4x 2, y 4x 14 = − − = − + .

2. y x 1, y x 7 = − − = − + .

3.y x 1, y x 7 = − − = − + .

4. y x 1, y x 7 = − − = − + .

Bài tập 2:

1. Tìm tọa độ tiếp điểm M của đồ thị ( )x 4

C : yx 1

−=

− với tiếp tuyến

( )t , biết rằng tiếp tuyến( )t tạo với đường thẳng

( )d : y 2x 2011= − + một góc 045 .

2. Tìm hoành độ nguyên của N là tiếp điểm của đồ thị ( )C :

3 2y x 3x 9x 1= − − + với tiếp tuyến ( )t , biết rằng tiếp tuyến( )t tạo

với đường thẳng ( )d : y x= − một góc α mà 5

cos41

α = .

3. Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị của

hàm số: 2x

yx 1

=−

hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 045 .

www.VNMATH.com

4. Tìm điểm M thuộc đồ thị ( ) 2x 1C : y

x 1

+=

−để tiếp tuyến ( )d của đồ

thị ( )C tại điểm M tạo với đường thẳng ( )d ' : 2x y 10 0− + =

một góc 045 .

Đs: 1. ( )M 0;4 , ( )M 2; 2− . 2. 0 0

x 0, x 2 = = .

Bài tập 3: Cho hàm số 2xy

x 2=

+ có đồ thị ( )C .

1. Tìm trên đồ thị ( )C những điểm mà tiếp tuyến ( )d của

( )C tại đó:

a. Song song với đường thẳng y 4x 3= + .

b. Khoảng cách từ điểm ( )I 2;2− đến ( )d bằng 2

2. Viết phương trình tiếp tuyến ( )d của ( )C biết:

a. ( )d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích

bằng 118

.

b. Khoảng cách từ điểm ( )I 2;2− đến ( )d là lớn nhất.

Bài tập 4:

1. Cho hàm số ( ) 23m 1 x m m

yx m

+ − +=

+có đồ thị là ( )m

C , m là

tham số thực và m 0≠ .Với giá trị nào của m thì tại giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng x y 10 0− − = . Viết phương trình tiếp tuyến đó.

2. Cho hàm số 3y x mx m 1= + + + , trong đó m là tham số thực.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị với trục Oy . Tìm m để tiếp tuyến nói trên tạo với hai trục

toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2?.

3. Cho hàm số ( )

( )23m 1 x m m

y 1 ,x m

+ − +=

+ trong đó m là tham số

thực. Xác định m , để cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )1 tại giao

www.VNMATH.com

điểm của nó với trục hoành tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2?.

Bài tập 5:

1. Tìm trên đồ thị ( )C : 2x

yx 1

=+

những điểm M , sao cho tiếp

tuyến tại M cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm phân biệt A,B

sao cho diện tích tam giác AOBcó diện tích bằng 1

4.

2. Tìm trên đồ thị ( )C : x

yx 1

=+

những điểm M , sao cho tiếp

tuyến tại M cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm phân biệt A,B

sao cho diện tích tam giác AOBcó diện tích bằng 2 .

3. Tìm điểm A trên đường thẳng x 5= sao cho từ A ta có thể vẽ

đến ( )x 3

C : yx 1

+=

− hai tiếp tuyến mà hai tiếp điểm cùng với điểm

( )B 1;3 thẳng hàng. ĐS:

( )A 5; 11−

Bài tập 6: Tìm trên đồ thị ( ) 3 2C : y x 2x x 1= + + + những điểm mà

tiếp tuyến ( )t với đồ thị tại đó :

1. Song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

2. Vuông góc với đường thẳng x 8y 0+ = .

3. Có hệ số góc nhỏ nhất.

4. Vuông góc với một tiếp tuyến khác của đồ thị.

Bài tập 7: Tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số 3x 1

yx

+= . Biết rằng một trong các tiếp tuyến đó cùng với các trục

toạ độ giới hạn một tam giác có diện tích 1

S2

= .

Bài tập 2:

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C :

3 2y x 3x 2= − + biết tiếp tuyến đi qua điểm 23

A ; 29

− .

www.VNMATH.com

2. Tìm m ∈ � để từ điểm ( )M 1;2 kẻ đến ( )mC đúng hai tiếp

tuyến. Biết ( )mC : ( )3 2y x 2x m 1 x 2m= − + − + .


Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) ( )C : y f x= đi qua

điểm ( )1 1M x ;y

Cách 1:

Phương trình đường thẳng ( )d đi qua điểmM có hệ số góc

là k có dạng:

( )1 1y k x x y= − + . ( )d tiếp xúc với đồ thị ( )C tại ( )0 0

N x ;y khi

hệ sau: ( ) ( )( )

0 0 1 1

0

f x k x x y

f ' x k

= − + =

có nghiệm 0

x .

Cách 2:

Gọi ( )0 0N x ;y là tọa độ tiếp điểm của đồ thị ( )C và tiếp tuyến

( )d qua điểm M , nên ( )d cũng có dạng ( )0 0 0y y ' x x y= − + .

( )d đi qua điểm M nên có phương trình:

( ) ( ) 1 0 1 0 0

y y ' x x y *= − +

Từ phương trình ( )* ta tìm được tọa độ điểm ( )0 0N x ;y , từ

đây ta tìm được phương trình đường thẳng ( )d .


1. Cách 1: Gọi ( ) ( ) ( ) 3 20 0 0 0 0 0 0

M x ;y C y y x x 3x 2∈ ⇒ = = − + .

Phương trình tiếp tuyến ( )d của ( )C tại 0

M là:

( )( )0 0 0y y y ' x x x− = −

( ) ( ) ( )0 0

23A ; 2 d x ... y x ... d

9

− ∈ ⇒ = ⇒ = ⇒

www.VNMATH.com

Cách 2:( )d đi qua 23

A ; 29

− có hệ số góc là k , khi đó ( )d có

dạng:

23y k x 2

9

= − − . ( )d tiếp xúc với đồ thị ( )C tại ( )0 0

N x ;y khi

hệ sau:

3 20 0 0

20 0

23x 3x 2 k x 2

9

3x 6x k

− + = − − − =

có nghiệm 0

x .

Từ đây tìm được ( )0x ...

dk ...

= ⇒ =

2. Gọi ( ) ( )0 0N x ;y C∈ . Phương trình tiếp tuyến ( )d của ( )C tại

N là:

( )( ) ( )2 3 20 0 0 0 0 0

y 3x 4x m 1 x x x 2x m 1 x 2m= − + − − + − + − +

( ) ( )3 20 0 0

M d 2x 5x 4x 3 3m ∈ ⇔ + − = − ∗

Dễ thấy ( )∗ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị

y 3 3m= − và ( ) 3 20 0 0 0

f x 2x 5x 4x= + − .

Giải:

1. Gọi ( ) ( )0 0 0M x ;y C∈ . Phương trình tiếp tuyến ( )d của

( )C tại 0

M là

( )( ) ( ) ( )( )3 2 20 0 0 0 0 0 0 0

y y y ' x x x y x 3x 2 3x 6x x x− = − ⇔ − − + = − −

Do ( )d đi qua điểm 23

A ; 29

− nên

( )3 20 02 x 3x 2− − − + ( )2

0 0 0

233x 6x x

9

= − −

3 20 0 06x 32x 46x 12 0⇔ − + − =

www.VNMATH.com

( )( )0

20 0 0 0

0

x 2 y 2

x 2 3x 10x 3 0 x 3 y 9x 25

1 5 61x y x

3 3 27

= ⇒ = −⇔ − − + = ⇔ = ⇒ = − = ⇒ = +

Vậy qua điểm 23

A ; 29

− kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị

hàm số đã cho là: y 2= − ,y 9x 25= − , 5 61y x

3 27= + .

2. Gọi ( ) ( )0 0N x ;y C∈ . Phương trình tiếp tuyến ( )d của ( )C tại

N là:

( )( ) ( )2 3 20 0 0 0 0 0

y 3x 4x m 1 x x x 2x m 1 x 2m= − + − − + − + − +

( ) ( )3 20 0 0

M d 2x 5x 4x 3 3m ∈ ⇔ + − = − ∗

Dễ thấy ( )∗ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị

y 3 3m= − và ( ) 3 20 0 0 0

f x 2x 5x 4x= + − .

Xét hàm số ( ) 3 20 0 0 0

f x 2x 5x 4x= + − có ( ) 20 0 0

f ' x 6x 10x 4= + −

( )0 0f ' x 0 x 2= ⇔ = − hoặc

0

1x

3= .

Lập bảng biến thiên, suy ra 19 100

3 3m m27 81

3 3m 12 m 3

− = − ⇒ =

− = ⇒ = −

Bài tập tương tự: Bài tập 1:

1. Với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của ( )C tại M thuộc ( )C có

hoành độ a cắt ( )C : 4

2x 5y 3x

2 2= − + tại 2 điểm phân biệt khác

M .

www.VNMATH.com

2. Xác định m ∈ � để từ ( )M 0;m kẻ được hai tiếp tuyến đến ( )C :

x 2y

x 1

+=

− sao cho hai tiếp tuyến tương tứng nằm về hai phía đối với

trục Ox .

3. Tìm m ∈ � trên đồ thị ( )mC có hai điểm ( )1 1 1

M x ;y , ( )2 2 2M x ;y

sao cho 1 2

x .x 0> và tiếp tuyến của ( )mC tại mỗi điểm đó vuông góc

với đường thẳng x 3y 1 0− + = . Biết ( )mC :

( ) ( )3 22 5y x m 1 x 3m 2 x

3 3= − + − + − − .

Bài tập 2: Tìm tham số thực m để đồ thị ( )mC tiếp xúc với trục hoành.

1. ( ) 3 2m

C : y x 3x 3mx 3m 4 = − + + +

2. ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2m

C : y x m 1 x 2m 3m 2 x 2m 2m 1 = − + − − + + −

3. ( ) ( ) ( )3 2

mC : y mx m 1 x 4m 3 x 6m= + + − − +

Bài tập 3: Tìm tham số thực m để:

1. ( ) ( )d : y m x 3= − tiếp xúc với đồ thị ( ) 31C : y x 3x

3= − + .

2. Đồ thị ( )2

m

x x 1C : y

x 1

− +=

− tiếp xúc với parabol

( ) 2P : y x m = + .

3. Đồ thị ( ) ( ) ( )3 2

1C : y mx m 1 x m 1 x 1= − − + + + và đồ thị

( ) ( )2

2C : y mx m 1 x m= − + − − tiếp xúc nhau.

Bài tập 4: Viết phương trình tiếp tuyến ( )d của đồ thị hàm số

1. 3 21 8y x 2x 3x

3 3= − + − . Biết ( )d đi qua điểm

8A 0;

3

.

2. 2x 2 x 2

yx 1

− +=

−. Biết ( )d đi qua điểm :

www.VNMATH.com

a. ( )B 3;0 b. ( )C 2;2 c. ( )D 0; 2−

Bài tập 5: Cho hàm số: 4 2y x 2x= − có đồ thị là ( )C .

1. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến đi

qua gốc tọa độ. 2.Tìm những điểm M trên trục Oyđể từ M kẻ được 4 tiếp

tuyến đến ( )C .

3. Tìm những điểmN trên đường thẳng ( )d : y 3= để từ N

kẻ được 4 tiếp tuyến đến ( )C .

4. Viết phương trình tiếp tuyến ( )t , biết ( )t tiếp xúc với ( )C

tại hai điểm phân biệt. Bài tập 6:

1. Tìm m ∈ � để tiếp tuyến đi qua điểm ( )M 2;m 2+ của đồ thị hàm

số 3y x 3x m= − + phải đi qua gốc tọa độ O .

2. Chứng minh rằng từ một điểm thuộc đường thẳng x 2= luôn kẻ được

một tiếp tuyến duy nhất đến đồ thị của hàm số 3 2y x 6x 9x 1= − + − .

3. Cho hàm số: 3y x 3x= − có đồ thị là ( )C .Tìm trên đường thẳng

x 2= những điểm có thể kẻ được đúng 3 tiếp tuyến tới ( )C .

Bài tập 3: 1. Tìm tất cả các tham số m ∈ � để đường thẳng

( )t : y 2x m= + cắt đồ thị ( )C : 2x 3y

x 2

+=

−của hàm số tại hai

điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến tại đó song song với nhau.

2. Cho hàm số 4 2y 2x 4x 1= − + , có đồ thị ( )C . Viết phương

trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến tiếp xúc với ( )C tại

hai điểm phân biệt.


Cho hai đường thẳng ( )1 1d : y k x b= + và ( )2 2

d : y k x m= + .

www.VNMATH.com

( ) ( ) 1 21 2

k kd d

b m

=⇔ ≠

� .


Đường thẳng ( ) ( )d : y g x= cắt ( ) ( )C : y f x= tại hai điểm

phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( ) ( )f x g x= có hai

nghiệm phân biệt 1 2

x , x .

Để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 1 2

x , x song song với

nhau khi và chỉ khi ( ) ( )1 2f ' x f ' x= .

Giải:

1. Đường thẳng ( )t : y 2x m= + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt

mà hai tiếp tuyến tại đó song song với nhau khi và chỉ khi phương trình 2x 3

2x mx 2

+= +

− có hai nghiệm phân biệt

1 2x , x thỏa mãn

điều kiện ( ) ( )1 2y ' x y ' x= . Khi đó phương trình

( ) ( )2g x 2x m 6 x 2m 3 0= + − − − = có 2 nghiệm phân biệt

1 2x , x khác 2 và thỏa mãn điều kiện :

( ) ( )2 2

1 2

7 7

x 2 x 2− = −

− −.

Nghĩa là ta luôn có hệ : ( ) ( )

( ) ( )

2

2

1 2

m 6 8 2m 3 0

g 2 2.2 m 6 .2 2m 3 0

m 6x x 4

2

∆ = − + + > = + − − − ≠ −⇔ + = − =

m 2⇔ = − .

2. Gọi ( )( ) ( )( )M m;f m , N n; f n lần lượt là tọa độ tiếp điểm của

tiếp tuyến ( )t và đồ thị ( )C của hàm số và M N≠ .

www.VNMATH.com

Theo bài toán tiếp tuyến tại M N≠ có cùng hệ số góc và

tung độ góc. Hay hệ : ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )y ' m y ' n

my ' m y m ny ' n y n

=− + = − +

có

nghiệm.

Nghĩa là 3 3

4 2 4 2

8m 8m 8n 8n

6m 4m 1 6n 4n 1

− = −− + + = − + +

có nghiệm.

Hay

( )( )

2 22

22 22 2

2 2

m n m nm nm n 1 0

n 1n 1m n 0

42m nm nm nm n 1 0

33113 m n 2 0 mnmn33

= − = − + + − = = ±= + = ⇔ ⇔ + = + = + + − = + − = ==

( )t : y 1

1m n

3

= −⇔ = = ±

. Vậy ( )t : y 1= − thỏa mãn đề bài.


Bài tập 1: Gọi ( )d là tiếp tuyến của đồ thị ( )2x 1

C : yx 1

−=

− tại

M cắt các đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt A,B và ( )I 1;2

. 1. Tìm tọa độ điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất .

2. Tìm tọa độ điểm M để ( )d vuông góc với IM .

3. Tìm tọa độ điểm M để khoảng cách từ I đến ( )d lớn

nhất.

4. Tìm tất cả các tham số m để đường thẳng ( )t : y 2x m= − + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp

tuyến tại đó song song với nhau.

www.VNMATH.com

Bài tập 2: Gọi ( )d là tiếp tuyến của đồ thị ( )2x 3

C : yx 2

−=

−tại M cắt các

đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt A,B .

1. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IABcó diện tích nhỏ nhất, với I là giao điểm hai tiệm cận.

2. Tìm những điểm trên ( )C có hoành độ x 2> sao cho tiếp tuyến tại

đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Bài tập 3: Tìm tất cả các điểm M trên trục hoành mà qua đó vẽ được

đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( )C mà trong đó có 2 tiếp tuyến vuông

góc với nhau. Biết :

1. ( ) 3 2C : y x 3x= + 2. ( ) 3C : y x 3x 2= − + +

Bài tập 4: 1. Tìm tất cả các điểm trên trục Oy sao cho từ đó ta có thể kẻ được ít

nhất một tiếp tuyến đến đồ thị của hàm số 2y x 4x 2x 1= + + + .

2. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng ( )d : y 3x 2= − + sao cho từ

M kẻ đến ( ) 3C : y x 3x 2= − + hai tiếp tuyến và hai tiếp tuyến đó

vuông góc.

3. Tìm các điểm M thuộc đồ thị ( ) 3 2C : y x 3x 1= + + sao cho qua

M chỉ có thể kẻ được một tiếp tuyến đến ( )C . Đs :

( )M 1;3−

4. Tìm trên đường thẳng y 4= − các điểm M mà qua M vẽ được hai

tiếp tuyến đến đồ thị ( ) 3C : y x 12x 12= − + .

Bài tập 5:

1. Chứng minh rằng nếu các tiếp tuyến ( ) ( )d , t của đồ thị ( )C :

3 2y x 6x 9x= − + song song với nhau thì hai tiếp điểm A,B đối

xứng nhau qua ( )M 2;2 .

2. Chứng minh rằng trên đồ thị 3 2y x 3x 3x 5= + + + không tồn tại

hai điểm sao cho tiếp tuyến tại hai điểm đó của đồ thị vuông góc với nhau.

Bài tập 6:

www.VNMATH.com

1. Cho hàm số 22x

yx 1

=−

.Tìm 0;2

π α ∈ sao cho điểm ( )M 1 sin ;9+ α

nằm trên đồ thị ( )C . Chứng minh rằng, tiếp tuyến của ( )C tại điểm

M cắt hai tiệm cận của ( )C tại hai điểm A,Bđối xứng nhau qua điểm

M .

2. Gọi ( )d là tiếp tuyến của đồ thị ( )2x 3

C : yx 1

+=

+tại M cắt các đường

tiệm cận tại hai điểm phân biệt A,B . Tìm tọa độ điểm M sao cho

đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là giao điểm hai tiệm cận.

Bài tập 7: Cho hàm số 3 2y x 3mx mx 1= − + + có đồ thị là ( )mC . Tìm

tất cả các giá trị m ∈ � để :

1. Tiếp tuyến của đồ thị ( )mC tại điểm có hoành độ x 1= − tạo với

đường phân giác thứ nhất một góc 4

π.

2. Trên ( )mC có đúng bốn điểm mà tiếp tuyến của ( )m

C tại đó tạo với

hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

Bài tập 8:

1. Tìm a,b biết rằng đồ thị của hàm số ( )2ax bx

f xx 1

−=

−đi qua

điểm

5A 1;

2

− và tiếp tuyến tại ( )O 0;0 có hệ số góc bằng 3− .

2. Chứng minh hai đường cong 3 25

y x x 2, y x x 24

= + − = + − tiếp xúc nhau tại M , viết phương

trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó. 3. Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số

( ) 2f x x 3x 6,= − + + ( ) 3 2g x x x 4,= − + ( ) 2h x x 7x 8= + + tiếp

xúc nhau tại điểm ( )A 1;2− .

www.VNMATH.com

4. Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số

( )2x 3

f x x,2 2

= + ( )3x

g xx 2

=+

tiếp xúc nhau. Xác định tiếp

điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó.

5. Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số ( ) 3f x x x,= −

( ) 2g x x 1= − tiếp xúc nhau. Xác định tiếp điểm và viết

phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó.

6. Tìm a,b, c để đồ thị ( ) 3 2C : y x ax bx c= + + + cắt Oy ở A

và có đúng hai điểm chung với trục Ox là M và N sao cho

AMNS 1= .

Bài tập 9:

1. Cho họ đường cong ( ) 3 2m

C : y x 3x mx 4 m= − + + − (m là tham

số). Đường thẳng ( )d : y 3 x= − cắt một đường cong bất kỳ ( )C của

họ ( )mC tại 3 điểm phân biệt A,B,C (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A

và tiếp tuyến tại B của ( )C lần lượt cắt đường cong tại điểm thứ hai

là M và N . Tìm m để tứ giác AMBN là hình thoi.

2. Cho đường cong ( ) 4 2C : y x 4x 3= − + − .Tìm m và nđể đường

thẳng ( )d : y mx n= + cắt đường cong ( )C tại 4 điểm phân biệt

A,B,C,D

( theo thứ tự ) sao cho 1

AB CD BC2

= = .

Bài tập 10:

1. Tìm m sao cho tại hai giao điểm của đồ thị ( )mC :

2x 2x m 1

yx m

− − +=

+ của hàm số và trục Ox , các tiếp tuyến vuông

góc nhau, hoặc cùng với trục Ox giới hạn một tam giác đều?

www.VNMATH.com

2. ( )f x 1≤ khi x 1≤ . Gọi 1 2 3

M ,M ,M là các điểm thuộc ( )C mà có

hoành độ lần lượt là: 1 2 3

7 13x cos , x cos , x cos

9 9 9

π π π= = = . Chứng

minh rằng các tiếp tuyến của ( )C tại các điểm 1 2 3

M ,M ,M lần lượt cắt

( )C tại các điểm 1 2 3

N ,N ,N thẳng hàng.

Bài tập 11: Cho hàm số ( ) 3 2y f x 2x 3x 1= = + + có đồ thị ( )C và

parabol ( ) ( ) 2P : y g x 2x 1= = + .

1. Chứng tỏ rằng trong số tiếp tuyến của đồ thị ( )C thì tiếp

tuyến tại điểm uốn I có hệ số góc nhỏ nhất. Viết phương trình tiếp tuyến đó. Chứng tỏ I là tâm đối xứng của đồ thị ( )C .

2. Gọi A,B là giao điểm của đồ thị ( )C và parabol ( )P . Viết

phương trình tiếp tuyến của ( )C và parabol ( )P tại các giao

điểm của chúng.

3. Xác định trên mỗi khoảng 1

;2

−∞ −

và 1;

2

− +∞

thì ( )C

nằm phía trên hoặc phía dưới ( )P .

Bài tập 12: Cho hàm số 3y x 3x 1= − +

1.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn I của nó. Chứng minh rằng trong số tiếp tuyến của đồ thị thì tiếp tuyến tại I có hệ số góc nhỏ nhất. 2. Gọi ( )m

d là đường thẳng đi qua điểm I có hệ số góc m .

Tìm các giá trị m sao cho đường thẳng ( )md cắt đồ thị đã

cho tại ba điểm phân biệt.

Bài tập 4:

1. Tìm m để đồ thị ( )mC : 3 2y x 3mx 3x 3m 2= − − + + cắt

trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là 1 2 3

x , x , x thỏa

mãn 2 2 2

1 2 3x x x 15+ + ≥ .

www.VNMATH.com

2. Tìm trên đồ thị ( )C : 3y x 3x= − + có bao nhiêu bộ bốn

điểm A,B,C,D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông tâm

( )O 0;0 .


Cho hai đồ thị ( ) ( )C : y f x= và ( ) ( )C' : y g x= . Số giao điểm

của ( )C và ( )C' là số nghiệm của phương trình: ( ) ( ) ( ) f x g x *=


1.

• Đồ thị ( ) ( )3 2C : y ax bx cx d a 0= + + + ≠ cắt trục hoành tại

ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình: 3 2ax bx cx d 0+ + + = có ba nghiệm phân biệt

( )( )20

x x Ax Bx C 0⇔ − + + = có ba nghiệm phân biệt

( ) 2h x Ax Bx C 0⇔ = + + = có hai nghiệm phân biệt khác 0

x ,

nghĩa là:

( )

2

0

A 0

B 4AC 0

h x 0

≠∆ = − > ≠

• Có thể trình bày : Đồ thị ( ) ( )3 2C : y ax bx cx d a 0= + + + ≠

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi :

( ) ( )

1 2

1 2

y ' 0 có 2 : x , x

y x .y x 0

= <

nghieäm .

2. Giả sử ( ) ( )3 3A a; a 3a ,B b; b 3b− + − + với a b≠ và a,b 0> .

ABCD là hình vuông tâm ( )O 0;0 OA.OB 0

OA OB

=

=

��

.

Sau đó đặt 2 2 2 2u a b , v a .b= + = .

Ta tìm được u 4, v 2= = hoặc u v 5= = .

www.VNMATH.com

Giải:

1. ( )mC cắt trục Ox : 3 2x 3mx 3x 3m 2 0− − + + =

( ) ( )2x 1 x 3m 1 x 3m 2 =0 ⇔ − − − − −

( ) ( )2

x 1

x 3m 1 x 3m 2 0 2

=⇔ − − − − =

( )mC cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là

1 2 3x , x , x giả sử

3x 1= thì

1 2x , x là nghiệm khác 1 của phương

trình ( )2 .

Theo định lý Vi-et ta có: 1 2

1 2

x x 3m 1

x x 3m 2

+ = − = − −

Theo bài toán ta có:

( )

( )

2

2 2 2 2

1 2 3

2

2

0 9m 6m 9 0

1 3m 1 .1 3m 2 0 m 0

x x x 15 9m 9 0

∆ > + + > − − − − ≠ ⇔ ≠ + + ≥ − ≥

( )m ; 1 1; ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ .

2. Giả sử ( ) ( )3 3A a; a 3a ,B b; b 3b− + − + với a b≠ và a,b 0> .

ABCD là hình vuông tâm ( )OA OB

O 0;0OA OB

⊥⇔ =

OA.OB 0

OA OB

=⇒

=

��

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

2 22 3 2 3

ab ab a 3 b 3 0

a a 3a b b 3b

+ − − =⇔ ∗

+ − = + −

Biến đổi và rút gọn ( )∗ , ta được :

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

22 2 2 2

a b 3 a b 10 0 1

a b 0

a b 3 a b 1 0 2

− + + = + = + − − + =

.

www.VNMATH.com

Trường hợp 1 : a b 0+ = thay vào ( )1 , ta được :

( )4 2a 6a 10 0 3− + = . Rõ ràng phương trình ( )3 không có

nghiệm thực với a∀ ∈ � .

Trường hợp 2: Đặt 2 2 2 2u a b , v a .b= + = .

Khi đó hệ ( ) ( )1 , 2 trở thành :

( )2 2

v 3u 10 0 v 3u 10

u 9u 20 0u 3 v 1 0

− + = = − ⇔ − + =− − + =

.

Giải hệ, ta được u 4, v 2= = hoặc u v 5= = .

* 2 2

2 2

u 4 a b 4 a 2 2

v 2 a .b 2 b 2 2

= + = = − ⇒ ⇒ = = = +

hoặc a 2 2

b 2 2

= + = −

.

* 2 2

2 2

5 5au 5 a b 5 2

v 5 a .b 5 5 5b

2

− = = + = ⇒ ⇒ = = + =

hoặc

5 5a

2

5 5b

2

+ = −

=

.

Vì vai trò A,B như nhau nên trên ( )C có hai bộ bốn điểm

A,B,C,D sao cho ABCD là hình vuông có tâm ( )O 0;0 .


Bài tập 1: Tìm các giá trị của tham số m ∈ � sao cho :

1. ( )d : y x 4= + cắt đồ thị ( ) ( )3 2

mC : y x 2mx m 3 x 4= + + + +

tại

ba điểm phân biệt ( )A 0;4 , B,C sao cho tam giác KBC có diện tích

bằng 4 (đvdt), biết ( )K 1;3 .

2. ( )d : 2x y m 0 − + = cắt đồ thị ( )C : 2x 2y

x 1

−=

+ tại hai điểm

phân

biệt A,B sao cho AB 5≤ .

www.VNMATH.com

3. ( )d : y mx m= + cắt đồ thị hàm số ( )G : 3 2y x 3x 4= − + tại

ba điểm. Gọi A và B là hai điểm có hoành độ khác 1− trong

ba điểm nói ở trên sao cho AB 2 2< .

4. ( )d : y x 3m= − + cắt đồ thị hàm số 1 2y

1 x

x−=

+ tại A,Bsao

cho

AB 2 2= . Tìm tọa độ A,B .

5. ( )d đi qua ( )A 3;1− và có hệ số góc m và cắt đồ thị của

hàm số 3 2y x 3x 1= + + tại 3 điểm phân biệt.

6. ( )d đi qua ( )I 2; 22− và có hệ số góc m và cắt đồ thị của

hàm số : 3 2y x 3x 9x= − − tại 3 điểm phân biệt I,J,K sao

cho JK 5 26= . 7. d đi qua gốc tọa độ có hệ số góc m cắt ( )C :

3 2y x 3x 6x= − + tại ba điểm phân biệt O,A,B sao cho

AB 17= . Bài tập 2:

1. Cho hàm số x 3

yx 2

−=

− có đồ thị là ( )C . Tìm tất cả tham số thực

m để

đường thẳng ( )d : y mx 1= + cắt đồ thị của hàm số tại 2 điểm phân

biệt.

2. Cho hàm số 3 2y x 3x 2= + − có đồ thị là ( )C , đường thẳng ( )d :

y 2mx m 3= + + và điểm 1

M m;m

. Gọi I là hình chiếu của M lên

đường thẳng ( )d . Biện luận số giao điểm của đoạn thẳng MI và đồ thị

( )C của hàm số.

Bài tập 3: Cho hàm số 2x 1

yx 1

−=

+có đồ thị ( )C . Gọi ( )m

d là đường

thẳng

www.VNMATH.com

đi qua điểm ( )A 2;2− và có hệ số góc m . Tìm m để đường thẳng ( )md

cắt đồ thị ( )C tại hai điểm :

1. Phân biệt?. 2. Thuộc hai nhánh của đồ thị ?.

Bài tập 4: Tìm tất cả tham số thực m để đồ thị của hàm số :

1. 3 2y x 3mx m 1= − + − cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ

1 2 3x , x , x thỏa mãn:

1 2 3x 0 x 2m x< < < < ,

1m 19

2< < .

2. 3 2y x x 18mx 2m= − + − cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thỏa mãn

1 2 3x 0 x x< < < .

3. ( )mC : ( )3 2y x 2x 3m 1 x m 3= − − − + + cắt đường thẳng ( )d :

( )y 1 m x m 5= − + − tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là

1 2 3x , x , x thỏa mãn

1 2 3x x 1 x< < < .

Bài tập 5: Tìm tham số thực m để đồ thị ( )mC của hàm số

1. 3 2y x 3m x 2m= − + tiếp xúc với trục Ox .

2. 3 2y x 3x mx m 2= + + + − cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

3. ( )3 2 2y x 3x 4m 1 x 2m 3= + + − + − cắt trục Ox tại ba điểm

phân biệt A,B,C sao cho AB BC= .

Bài tập 6: Tìm tham số m để đường thẳng ( )md

1. ( )y m x 1 2= + − cắt đồ thị hàm số ( )x 1

C : yx 1

+=

− tại hai

điểm phân biệt A,Bsao cho hai điểm A,B đối xứng nhau

qua 3 1

M ;2 2

.

2. ( )y m x 2 3= − + cắt đồ thị hàm số ( )x 3

C : yx 1

+=

+ tại hai

điểm phân biệt A,Bsao cho hai điểm A,B đối xứng nhau

qua ( )M 1;2− .

www.VNMATH.com

Bài tập 7: Tìm m ∈ � để đồ thị ( )mC

1. 3 21 2y x mx x m

3 3= − − + + cắt trục Ox tại 3 điểm phân

biệt có hoành độ là 1 2 3

x , x , x thỏa mãn 2 2 2

1 2 3x x x 15+ + > .

2. ( )3 2y x 2x 1 m x m= − + − + cắt trục Ox tại 3 điểm phân

biệt có hoành độ là 1 2 3

x , x , x thỏa mãn 2 2 2

1 2 3x x x 4+ + < .

3. ( )3 2y x 3m 2 x 3mx m 1= + − − + + cắt trục Ox tại 3 điểm

phân biệt có hoành độ là 1 2 3

x , x , x thỏa mãn

1 2 3

3 3 3x x x 13+ + > .

4. ( )3 2y x 3mx 3m 1 x 6m 6= − + − + − cắt trục Ox tại 3 điểm

phân biệt có hoành độ là 1 2 3

x , x , x thỏa mãn

1 2 3

2 2 21 2 3

x x x x .x .x 20+ + + = .

Bài tập 8 :

1. Với giá trị nào của m , đường thẳng y m= cắt đường

cong 4 2y x 2x 3= − − tại 4 điểm phân biệt?. 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , đường thẳng

y x m= − cắt đường cong 2x 2x

yx 1

− +=

− tại hai điểm phân

biệt. 3. Tìm k để đường thẳng y kx 1= + cắt đồ thị hàm số

2x 4x 3y

x 2

+ +=

+ tại 2 điểm phân biệt A,B . Tìm quỹ tích trung

điểm I của AB .

Bài tập 9: Cho hàm số ( )2x 2x 2

y , Cx 1

− +=

−.

1. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2x 2x m x 1 2− = − − .

2. Tìm m để đường thẳng ( )d : y x m= − + cắt đồ thị ( )C tại

2 điểm A,B đối xứng với nhau qua đường thẳng y x 3= + .

www.VNMATH.com

3. Chứng minh rằng qua điểm ( )E 1;0 ta không thể kẻ được

một tiếp tuyến nào đến đồ thị hàm số.

Bài tập 10: Cho hàm số x 2

y2x 1

+=

+có đồ thị ( )G .

1. Chứng minh rằng đường thẳng ( )md : y mx m 1= + − luôn

đi qua điểm cố định của đường cong ( )G khi m thay đổi.

2. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong ( )G tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của ( )G .

Bài tập 11:

1. Cho hàm số 3x 1y

x 1

−=

−Tìm tọa độ hai điểm B,C thuộc hai

nhánh khác nhau của ( )G sao cho tam giác ABC vuông cân

tại ( )A 2;1 .

2. Đường thẳng ( )d : y mx 1= + cắt đồ thị hàm số ( )G : 3y x 3x 1= − + tại ba điểm. Gọi A và B là hai điểm có hoành

độ khác 0 trong ba điểm nói ở trên, gọi D là điểm cực tiểu của ( )G .Tìm m để góc ADB là góc vuông.

Bài tập 5:

1. Xác định đường thẳng d sao cho d cắt ( )2x 1

C : yx 1

+=

−

tại hai điểm phân biệt B, C sao cho tam giác ABCđều, với

( )A 2;5− .

2. Đường thẳng y x= cắt ( )3x 2

C : yx 2

+=

+ tại hai điểm

A, B phân biệt. Tìm m ∈ � để đường thẳng y x m= + cắt ( )C

tại hai điểm C, D phân biệt sao cho ABCD là hình bình hành.


www.VNMATH.com

1. Đường thẳng đi qua A và I giao điểm hai đường tiệm cận là trục đối xứng của đồ thị ( )C . Do đó B,C đối xứng nhau qua

đường thẳng IA .

Gọi M là trung điểm BC M⇒ và luôn có 2 24BC AM

3= .

2. Theo bài toán: phương trình 3x 2

x mx 2

+= +

+ có hai nghiệm phân

biệt, nghĩa là phương trình ( ) ( )2g x x m 1 x 2m 2 0= + − + − = có

hai nghiệm phân biệt khác 2− khi đó ( )g x 0= thỏa

( )g

0 m 1

m 9g 2 0

∆ > < ⇔ >− ≠

Giả sử ( ) ( )1 1 2 2C x ;x m , D x ;x m+ + thỏa bài toán. ABCD là hình

bình hành khi AB CD m 10= ⇒ =��

.

Giải:

1. ( )I 1;2 là tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận. Đường

thẳng ( )IA : y x 3= − + là đường phân giác của góc tạo bởi hai

đường tiệm cận, cũng là trục đối xứng của đồ thị ( )C . Do đó

đường thẳng ( ) ( )d IA d :⊥ ⇒ y x m= + .

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )C là:

2x 1x m

x 1

+= +

−

( ) ( ) ( )2g x x m 3 x m 1 0 ⇔ = + − − + = ∗

Dễ thấy ( )( )

2m 1 12 0 m

g 1 3 0

∆ = − + > ∀ ∈ ⇒ = ≠

� phương trình ( )∗

luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2

x ;x . Do đó ( )d cắt ( )C tại hai

điểm phân biệt ( )1 1B x ;x m+ và ( )2 2

C x ;x m+

www.VNMATH.com

Gọi M là trung điểm BC ⇒ 1 2 1 2x x x x 2m

M ;2 2

+ + + hay

3 m 3 mM ;

2 2

− + .

Do B và C đối xứng qua đường thẳng IA nên tam giác ABC cân tại A . Do đó ABC đều khi

( ) ( )22 2 2AB BC BC 2MB 4 BC AM= ⇒ = = −

( ) ( )2 2

2 22 22 1 2 1

4 3 m 3 mBC AM x x x x 2 5

3 2 2

− + ⇔ = ⇔ − + − = + + −

( )2

2

1 2 1 2

m 72 x x 4x x 2

2

− ⇔ + − = hay

( )2

2 2m 72 m 2m 13 2 m 4m 5 0 m 5,m 1

2

− − + = ⇔ + − = ⇔ = − = .

Vậy có hai đường thẳng cần tìm: y x 5, y x 1= − = + .

2. Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và đường thẳng y x= là :

( )( )

2x 1 y 1 13x 2

x x x 2 0x 2 y 2 2x 2

= − ⇒ − = −+ = ⇔ − − = ⇔ = ⇒ =+

. Giả sử

( )A 1; 1− − , ( )B 2;2 .

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và đường thẳng y x m= +

là :

( ) ( )23x 2x m g x x m 1 x 2m 2 0

x 2

+= + ⇔ = + − + − =

+. Đường thẳng

y x m= + cắt ( )C tại hai điểm ( ) ( )1 1 2 2C x ;x m , D x ;x m+ + phân

biệt khi và chỉ khi phương trình ( )g x 0= có hai nghiệm phân biệt

1 2x ; x

và đều khác ( )

( )( )g0 m 1m 1 m 9 0

2m 9g 2 0 4 0

∆ > <− − > − ⇔ ⇔ ⇔ >− ≠ ≠

.

www.VNMATH.com

ABCD là hình bình hành khi ( )2 1AB CD x x 3 1= ⇔ − =

��

Theo định lí vi – ét ta có: ( )

( )1 2

1 2

x x m 12

x .x 2m 2

+ = − − = −

.

Từ ( )1 và ( )2 suy ra: m 0, m 10= = .

Khi m 0= thì ABCD không là hình bình hành. Khi m 10= thì ABCD là hình bình hành. Do đó m 10= thỏa bài toán.


Bài tập 1:

1. Cho hàm số 2x 1

yx 1

+=

− có đồ thị là ( )C và đường thẳng ( )d đi qua

điểm ( )B 2;2− có hệ số góc m . Tìm m để ( )d cắt ( )C tại hai điểm

phân biệt 1 2

M ,M . Các đường thẳng đi qua 1 2

M ,M song song với các

trục toạ độ tạo thành hình chữ nhật. Tính các cạnh của hình chữ nhật đó theo m , khi nào hình chữ nhật này trở thành hình vuông. Đs: m 1= .

2. Tìm hai điểm B,C thuộc hai nhánh của ( )C : 2x

yx 1

=−

sao cho

tam giác ABC vuông tại ( )A 2;0 . Đs:

( ) ( )B 1;1 ,C 3;3− .

Bài tập 2:

1. Giả sử ( )d là đường thẳng đi qua ( )A 2;0− và có hệ số góc k . Tìm

tất cả tham số thực kđể đường thẳng ( )d cắt đồ thị của hàm số

3y x 3x 2= − + − tại 3 điểm phân biệt A,B,M sao cho tam giác

OBM có trọng tâm 2

G ; 83

− .

www.VNMATH.com

2. Tìm m ∈ � để đường thẳng ( )d : x y m 0− + = cắt trục đồ thị

( )x 2

C : y2x 1

+=

− tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho tam giác AOBcó

diện tích bằng 3 .

3. Tìm m ∈ � để đường thẳng ( )d : x y 2m 0− + = cắt đồ thị

( )C : x 4y

x 1

− −=

+ tại 2 điểm phân biệt A,Bsao cho tam giác

AOBcó diện tích bằng 4 . 4. Tìm m ∈ � để đường thẳng d : 2x 2y 1 0+ − = cắt đồ thị

( )C : x my

x 2

− +=

+ tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành

một tam giác có diện tích bằng 3

8.

Đs: 1m

2= .

Bài tập 3: 1.Tìm m ∈ � để ( )m

C cắt trục hoành tại 3 điểm A,B,C sao cho

Ax 2= và BC 2= . Biết ( )m

C :

( ) ( ) ( )3 2 2y x 3 m 1 x 2 m 4m 1 x 4m 4m 1= − + + + + − +

2. Tìm m ∈ � để đường thẳng y m= cắt đồ thị ( )C :

22x 2x+1y

2x 1

−=

− tại 2 điểm A,B sao cho ( )

10dt OAB

9∆ = .

3. Chứng minh rằng nếu một hình bình hành có tất cả các đỉnh nằm

trên ( ) 3C : y x 2 2x = − thì tâm của hình bình hành đó là gốc

tọa độ O .

Bài tập 6: Tìm trên đồ thị ( )C : 2x 4x 5

yx 2

+ +=

+ những

điểm M có khoảng cách đến đường thẳng 3x y 6 0+ + = nhỏ nhất.


• Khoảng cách giữa hai điểm ( ) ( )A A B BA x ;y , B x ;y là:

www.VNMATH.com

( ) ( )2 2

B A B AAB x x y y= − + −

Khoảng cách từ ( )0 0M x ;y đến đường thẳng

( )d : Ax+By+C 0 = là :

( ) 0 0

2 2

Ax By Cd M,

A B

+ +∆ =

+.

• Cho hai số thực không âm a,b . Ta luôn có: a bab

2

+≥ .

Đẳng thức xảy ra khi a b= . Giải:

Gọi ( ) ( )2

0 00 0 0

0

x 4x 5M x ;y C M x ; )

x 2

+ + ∈ ⇒ + . Gọi ( )d là khoảng

cách từ M đến đường thẳng 3x y 6 0+ + =

( )2

0 00

0 0

4x 16x 171 1 1 4d 4 x 2

x 2 x 210 10 10

+ += = + + ≥

+ +

Đẳng thức xảy ra 0 0

0

00 0

3 5x y1 2 24 x 2

5 5x 2 x y2 2

− = ⇒ =

⇔ + = ⇔ −+ = ⇒ = −

Vậy có hai điểm thoả yêu cầu bài toán là1

3 5M ;

2 2

− và

2

5 5M ;

2 2

− −

Bài tập tương tự: Bài tập 1:

1. Cho hàm số 2y 2x 3x 1= − + có đồ thị là ( )P và đường thẳng

( ) : y x 5∆ = − . Tìm các điểm ( ) ( )M P ,N∈ ∈ ∆ sao cho MN nhỏ

nhất.

www.VNMATH.com

2. GọiA,B là 2 điểm cực trị của hàm số 3 2y x 3x 2= + − . Tìm m ∈ � để tổng khoảng cách từ A,B đến đường thẳng 3mx 3y 2m 2 0+ + + = đạt giá trị lớn nhất.

3. Tìm A,B thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị ( )C : 1 2x

y1 x

−=

− để

AB ngắn nhất.

4. Tìm trên đồ thị ( )C : 2x 1

yx 1

+=

+ những điểm có tổng khoảng cách

đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.


yx 2

−=

−những điểm để tổng khoảng cách

đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.


yx 1

+=

+ những điểm M có tổng khoảng

cách đến hai đường tiệm cận bằng 2.

7. Tìm trên đồ thị ( )x 2

C : yx 3

+=

− điểm M sao cho khoảng cách từ

điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng 1

5 khoảng cách từ điểm M

đến đường tiệm cận ngang.

8. Tìm trên đồ thị ( )C : x 1

yx 2

+=

− những điểm M sao cho tồng khoảng

cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Bài tập 2: 1. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y 3x 2= − sao tổng khoảng cách

từ M tới hai điểm cực trị của đồ thị 3 2y x 3x 2= − + đạt nhỏ nhất.

2. Cho hàm số ( )3 2

my x 3mx 3x 3m 2 C= − − + + . Định m để

( )mC có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng

là bé nhất.

3. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên ( )2x 2

C : yx 1

+=

− có tổng

khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

www.VNMATH.com

4. Tìm các điểm M thuộc ( )2x x 1

C : yx 1

− +=

−có tổng khoảng

cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.

5. Cho hàm số ( )2x 2

C : yx 1

+=

−. Tìm 2 điểm M,N thuộc hai

nhánh khác nhau của ( )C sao cho đoạn MN nhỏ nhất.

6. Tìm 2 điểm M,N thuộc 2 nhánh khác nhau của ( )C :

2x x 1y

x 1

+ +=

+sao cho đoạn MN nhỏ nhất.

Bài tập 3: Cho hàm số ( )2x 2x 1

C : yx 1

+ +=

−

1. Tìm các điểm A thuộc ( )C có tổng khoảng cách đến 2 trục tọa độ

là nhỏ nhất.

2. Tìm 2 điểm M,N thuộc 2 nhánh khác nhau của ( )C sao cho đoạn

MN nhỏ nhất. Bài tập 3:

1. Tìm điểm thuộc đồ thị ( )C của hàm số 2x 2x 2

yx 1

+ +=

+ sao cho

khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung.

2. Viết phương trình đường thẳng qua tâm đối xứng của ( )C :

2x x 1y

x 1

+ −=

−và cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A,B sao cho

khoảng cách giữa 2 tiếp tuyến tại A,B bằng 1.

3. Gọi K là điểm trên ( )C : 2x 1y

x 1

+=

+có hoành độ

( )k k 1≠ − . Xác định k sao cho khoảng cách từ ( )I 1;2− đến

tiếp tuyến với ( )C tại K đạt giá trị lớn nhất.

www.VNMATH.com

4. Tìm trên đồ thị ( ) 3 2C : y x 3x 2= − + điểm K sao cho

khoảng cách từ K đến điểm ( )H 2; 4− là nhỏ nhất.

Bài tập 7: Tìm trên đồ thị ( )C : 2x 3x 6

yx 2

− +=

− tất cả các

cặp điểm đối xứng nhau qua điểm 1

I ;12

.


Điểm ( )0 0I x ;y là tâm đối xứng của đồ thị ( ) ( )C : y f x=

⇔ Tồn tại hai điểm ( ) ( )M x;y ,M ' x '; y ' thuộc ( )C thỏa:

www.VNMATH.com

( ) ( ) ( ) ( )

'

00

0 00

x ' 2x xx x 2x

f x f 2x x 2yf x f x ' 2y

= −+ = ⇔ + − =+ =

Vậy ( )0 0I x ;y là tâm đối xứng của ( ) ( ) ( )0 0

C : f x 2y f 2x x= − −

Giải:

Gọi ( ) ( )M x;y ,M ' x '; y ' thuộc ( )C và đối xứng nhau qua

điểm1

I ;12

.

Khi đó ta có hệ: ( )x x ' 1 x ' 1 x

M ' 1 x;2 yy y ' 2 y ' 2 y

+ = = − ⇔ ⇒ − − + = = −

.

Vì ( ) ( )M x;y ,M ' x '; y ' thuộc ( )C nên ta có

2

2

x 3x 6y

x 2x x 4

2 yx 1

− + = − − + − = − −

2 2x 3x 6 x x 42

x 2 x 1

− + + +⇒ = +

− − −

2 x 2 y 4x x 6 0

x 3 y 6x 1, x 2

= − ⇒ = −+ − = ⇔ ⇔ = ⇒ =≠ − ≠

Vậy trên ( )C có đúng một cặp điểm: ( ) ( )M 2, 4 ,M ' 3;6− −


Bài tập 1: Định m ∈ � để ( )mC có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua

gốc O .

1. 22x 2x 2 m

y2x 3

+ + +=

+ 2.

2 2 2x 2m x my

x 1

+ +=

+

Bài tập 2:

1. Tìm những điểm trên đồ thị ( )C hai điểm M,N đối xứng nhau qua

trục tung. Biết ( )C có phương trình 3

2x 11y x 3x

3 3= − + + −

2. Xác định a,b, c để hàm số 3 2y x ax bx c= + + + có tâm đối xứng là

( )I 0;1 và đi qua điểm ( )M 1; 1− .

www.VNMATH.com

Bài tập 3:

1. Tìm trên đồ thị hàm số 2x 3x 4

y2x 2

− +=

− các cặp điểm đối xứng

nhau qua đường thẳng ( )d : y x= .

2. Tìm trên đồ thị hàm số 3y x 3x 1= − + các cặp điểm đối xứng nhau

qua trục tung mà không nằm trên trục tung.

Bài tập 4: Cho hàm số: 2x x 1

yx 1

− +=

−có đồ thị là ( )C . Gọi ( )C' là đồ

thị đối xứng với ( )C qua điểm ( )A 3;4 . Tìm phương trình đồ thị ( )C' .

Đs: ( )2x 3x 9

C' : yx 5

− −=

−.

Bài tập 5: Cho hàm số ( ) ( )3 2y x m 3 x 2 3m x 2m= − + + + − có đồ thị

là ( )mC , m là tham số thực. Gọi I là điểm có hoành độ là nghiệm

đúng phương trình y '' 0= .Tìm tham số m để đồ thị của hàm số có

cực trị và điểm I nằm trên trục Ox .

Đs: 3m 0 m 3 m .

2= ∨ = ∨ =

Bài tập 6: Tìm tham số thực m để điểm I thuộc đồ thị

( ) ( )3 2C : y x 3mx m 2 x 1= + + + + nằm trên trục hoành, biết rằng

hoành độ của điểm I nghiệm đúng phương trình y '' 0= .

Đs: 1m 1 m 1 m .

2= ∨ = − ∨ =

Bài tập 7: Xét đường cong: ( ) 3 2C : y mx nx mx n= − − + .Tìm các cặp

số ( )m;n sao cho trong các giao điểm của ( )C với trục hoành có hai

giao điểm cách nhau 2007 đơn vị và khoảng cách từ tâm đối xứng của

( )C đến trục hoành là 2012đơn vị.

Bài tập 8:

1. Cho hàm số ( )4 2y x m 1 x m= − + + . Tìm các giá trị của m

sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

www.VNMATH.com

Đs: 1m ,m 9

9= = .

2. Cho hàm số ( )3 2 2y x 3mx 2m m 4 x 9m m= − + − + − có đồ

thị là ( )mC . Tìm m để ( )m

C cắt Ox tại ba điểm phân biệt có

hoành độ lập thành một cấp số cộng.

3. Cho hàm số ( ) ( )3 2y x 3m 1 x 5m 4 x 8= − + + + − có đồ thị là

( )mC . Tìm m để ( )m

C cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành

độ lập thành một cấp số nhân.

4. Cho hàm số ( )4 2y x 2 m 1 x 2m 1= − + + + có đồ thị là ( )mC . .

Tìm m để ( )mC cắt Ox tại bốn điểm phân biệt lập thành một

cấp số cộng. Bài tập 8:

1. 3 2y x 3x mx 4= − − + + .Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( )0;+∞ .

2. ( )3 2y x 3x m 1 x 4m= + + + + nghịch biến trên khoảng

( )1;1− .


1. Đặt ( ) ( )2f x ax bx c a 0= + + ≠ .

• ( )f x 0= có hai nghiệm 1 2

x , x thỏa mãn:

1 2 1 2

x x x 0 x< α < ⇔ −α < < −α .

Đặt t x x t= −α ⇒ = +α , khi đó ( ) ( )g t f t= +α .

Bài toán trở thành ( )g t 0= có hai nghiệm trái dấu nghĩa là

1 2 gt 0 t P 0< < ⇔ < .


x , x thỏa mãn

1 2 1 2

x x x x 0≤ < α ⇔ −α ≤ −α < .

Đặt t x x t= −α ⇒ = +α , khi đó ( ) ( )g t f t= +α .

Bài toán trở thành ( )g t 0= có hai nghiệm cùng âm nghĩa là

www.VNMATH.com

g

1 2 g

g

0

t t 0 S 0

P 0

∆ ≥≤ < ⇔ < >

.


x , x thỏa mãn

1 2 1 2

x x 0 x xα < ≤ ⇔ < −α ≤ −α .

Đặt t x x t= −α ⇒ = +α , khi đó ( ) ( )g t f t= +α . Bài toán trở

thành ( )g t 0= có hai nghiệm cùng dương nghĩa là

g

1 2 g

g

0

0 t t S 0

P 0

∆ ≥< ≤ ⇔ > >

2. Hoặc ta có thể làm theo như sau:

Đặt ( ) ( )2f x ax bx c a 0= + + ≠ . ( )f x 0= có hai nghiệm 1 2

x , x thỏa

mãn:

( )( ) ( ) 2

1 2 1 2 1 2 1 2x x x x 0 x .x x x 0< α < ⇔ −α −α < ⇔ −α + +α <

( )( )1 2 1 2

1 2

0

x x x x 2

x x 0

∆ ≥≤ < α ⇔ + < α −α −α >

.

Tương tự cho các trường hợp khác.

3. Cho hàm số ( )y f x= đồ thị là ( )C có tập xác định là miền

D .

• ( )f x đồng biến trên D ( )f ' x 0, x D⇔ ≥ ∀ ∈ .

• ( )f x nghịch biến trên D ( )f ' x 0, x D⇔ ≤ ∀ ∈ .

• Chỉ xét trường hợp ( )f x tại một số hữu hạn điểm trên

miền D . 4. * Hàm số y f(x,m)= tăng

trênx

y ' 0 x min y ' 0∈

⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥�

� � .

www.VNMATH.com

* Hàm số y f(x,m)= giảm trên

xy ' 0 x max y ' 0

∈⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤

�� .

a) Nếu 2y ' ax bx c= + + thì

a b 0

c 0y ' 0 x

a 0

0

�

= = ≥∗ ≥ ∀ ∈ ⇔ > ∆ ≤

a b 0

c 0y ' 0 x

a 0

0

�

= = ≤∗ ≤ ∀ ∈ ⇔ < ∆ ≤

b) Hàm đồng biến trên � thì nó phải xác định trên � . Giải:

1. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( )0;+∞ khi và chỉ

khi

( )2 2y ' 3x 6x m 0, x 0 m 3x 6x f x= − − + ≤ ∀ > ⇔ ≤ + =

Hàm số ( ) 2f x 3x 6x= + liên tục trên ( )0;+∞

Ta có ( )f ' x 6x 6 0, x 0= + > ∀ > và ( )f 0 0= .

Bảng biến thiên:

x 0 +∞

y ' +

y

+∞

0 Từ đó ta được: m 0≤ .

2. Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( )1;1− . Ta có:

2y ' 3x 6x m 1= + + +

Cách 1: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( )1;1− khi và chỉ khi

( )y ' 0, x 1;1≤ ∀ ∈ − hay.

Xét hàm số ( ) ( ) ( )2g x 3x 6x 1 , x 1;1= − + + ∀ ∈ −

www.VNMATH.com

( ) ( ) ( )g ' x 6x 6 0, x 1;1 g x⇒ = − − < ∀ ∈ − ⇒ nghịch biến trên

khoảng ( )1;1− và ( ) ( )x 1 x 1lim g x 2, lim g x 10

+ −→− →= − = −

Bảng biến thiên.

x 1− 1

( )g ' x −

( )g x

2− 10−

Vậy m 10≤ − thoả yêu cầu bài toán. Cách 2: y '' 6x 6= +

Nghiệm của phương trình y '' 0= là x 1 1= − < . Do đó, hàm

số đã cho nghịch biến trên khoảng ( )1;1− khi và chỉ khi

( )x 1

m lim g x 10−→

≤ = − .

Vậy m 10≤ − thoả yêu cầu bài toán. Bài tập tương tự:

Bài tập :Tìm m ∈ � để các hàm số sau

1. 3 2y 2x 2x mx 1= − + − đồng biến trên khoảng ( )1;+∞ .

2. 3 2y mx x 3x m 2= − + + − đồng biến trên khoảng ( )3;0− .

3. Tìm tất cả các tham số m để hàm số 3 2y x 3x mx m= + + + nghịch

biến trên đoạn có độ dài bằng 1?. Đs: 9

m4

= .

Bài tập 9:

1. Tìm m ∈ � để hàm số 2y 2x 2 m x 4x 5= − + + − + có cực đại.

2. Cho hàm số ( )4 2y x 2mx 2m 1 1 = − + − . Định m để hàm

số ( )1 có ba cực trị và các điểm cực trị của đồ thị hàm số ( )1

www.VNMATH.com

tạo thành một tam giác có chu vi bằng ( )4 1 65+ .


1. Cho hàm số ( )y f x= đồ thị là ( )C .

•Nghiệm của phương trình ( )f ' x 0= là hoành độ của điểm

cực trị.

•Nếu ( )( )

0

0

f ' x 0

f '' x 0

= <

thì hàm số đạt cực đại tại 0

x x= .

•Nếu ( )( )

0

0

f ' x 0

f '' x 0

= >

thì hàm số đạt cực tiểu tại 0

x x= .

2. Để hàm số ( )y f x= có 2 cực trị ( )f ' x 0⇔ = có nghiệm

a 0

0

≠⇔ ∆ >

3.* Hàm số f (xác định trên D ) có cực trị 0

x D⇔ ∃ ∈ thỏa

mãn hai điều kiện sau:

i) Tại đạo hàm của hàm số tại 0

x phải triệt tiêu hoặc hàm

số không có đạo hàm tại 0

x

ii) ( )f ' x phải đổi dấu qua điểm 0

x hoặc ( )0f " x 0≠ .

* Nếu ( )f ' x là một tam thức bậc hai hoặc triệt tiêu và cùng

dấu với một tam thức bậc hai thì hàm có cực trị ⇔ phương trình ( )f ' x có hai nghiệm phân biệt thuộc tập xác định.

Giải:

1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên � .

Ta có

( )2 3

2

x 2 my ' 2 m ; y "

x 4x 5 x 4x 5

−= − + =

− + − +

.

www.VNMATH.com

Cách 1:

+ Nếu m 0= thì y 2 0 x= − < ∀ ∈ � nên hàm số không có

cực trị.

+ m 0≠ vì dấu của y ''chỉ phụ thuộc vào m nên để hàm có

cực đại thì trước hết y " 0< m 0⇔ < .

Khi đó hàm số có cực đại ⇔ Phương trình y ' 0= có nghiệm

( )1 .

Ta có: ( ) ( )2

y ' 0 2 x 2 1 m x 2= ⇔ − + = − ( )2 .

Đặt t x 2= − thì ( )2 trở thành:

( ) ( )2

2 2 2

2

t 0t 0mt 2 t 1 11

m 4 t 1 tm 4

≤ ≤ = + ⇔ ⇔ ⇒ − = = −

có

nghiệm 2m 4 0 m 2⇔ − > ⇔ < − (Do m 0< ).

Vậy m 2< − thì hàm số có cực đại. Cách 2:

Hàm số đạt cực đại tại 0

x x=

( )( )

( )( )

20

0 00 2

00 00

m x 2 x 4x 5 m2y ' x 0 1x 2 2x 4x 5

y '' x 0m 0m 0

− − + == = ⇔ ⇔ ⇔ −− + < <<

Với m 0< thì ( ) 01 x 2⇒ < .

Xét hàm số: ( )2

0 0

0 0

0

x 4x 5f x , x 2

x 2

− += <

−

www.VNMATH.com

( )

( )

20 0

0x x

0

20 0

0x 2 x 2

0

x 4x 5lim f x lim 1,

x 2

x 4x 5lim f x lim

x 2− −

→−∞ →−∞

→ →

− += = −

−

− += = −∞

−

Ta có ( )( )

( )0 022

0 0 0

2f ' x 0, x ;2

x 2 x 4x 5

−= < ∀ ∈ −∞

− − +

Bảng biến thiên:

x −∞ 2

( )f ' x −

( )f x 1−

−∞

Phương trình ( )1 có nghiệm 0

mx 2 1 m 2

2< ⇔ < − ⇔ < −


Ta có ( )2y ' 4x x m y ' 0 x 0= − ⇒ = ⇔ = hoặc 2x m=

Hàm số có 3 cực trị m 0⇔ >

Gọi ( ) ( ) ( )2 2A 0;2m 1 ,B m; m 2m 1 ,B m; m 2m 1− − − + − − + −

Chu vi tam giác 4ABC : P 4m 2 m m= + +

( )P 4 1 65 m 4= + ⇔ =


Tìm các hệ số a,b sao cho hàm số ( )2ax bx ab

f xax b

+ +=

+đạt

cực trị tại điểm x 0= và x 4= . Đs: a 2,b 4= − =

Bài tập 10: Xác định giá trị tham số m ∈ � để hàm số:

1. ( )3 2y x 6x 3 m 2 x m 6= − + + − − đạt cực đại và cực tiểu

đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu.

www.VNMATH.com

2. 4 2y x 2mx 2= − + có 3 cực trị tạo một tam giác có

đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm 3 9

D ;5 5

.


1. Cho hàm số ( )y f x= đồ thị là ( )C .

• Để hàm số có hai cực trị có giá trị cực trị cùng dấu

C CTy .y 0⇔ >Ñ .

• Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với hoành

CD CTy .y 0⇔ < .

• Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung

CD CTx .x 0⇔ < .

• Để hàm số có hai cực trị nằm trên trục hoành

C CT

C CT

y y 0

y .y 0

+ >⇔ >

Ñ

Ñ.

• Để hàm số có hai cực trị nằm dưới trục hoành

C CT

C CT

y y 0

y .y 0

+ <⇔ >

Ñ

Ñ.

• Để hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành

CD CTy .y 0⇔ = .

2.

• Trước hết ta tìm điều kiện để hàm số có cực trị,

• Biểu diễn điều kiện của bài toán thông qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số từ đó ta tìm được điều kiện của tham số.

Chú ý:

* Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lí Viét.

www.VNMATH.com

* Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau:

Định lí 1: Cho hàm đa thức ( )y P x= , giả sử ( ) ( ) ( )y ax b P ' x h x= + +

khi đó nếu 0

x là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số

là: ( ) ( )0 0y x h x= và ( )y h x= gọi là phương trình quỹ tích của các

điểm cực trị.

Chứng minh: Giả sử 0

x là điểm cực trị của hàm số, vì P(x) là hàm đa

thức nên ( )0P' x 0= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0y x ax b P ' x h x h x⇒ = + + =

(đpcm).

Định lí 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ ( )( )

u xy

v x= khi đó nếu

0x là điểm

cực

trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số: ( )( )

0

0

0

u ' xy(x )

v ' x= .

Và ( )( )

u ' xy

v ' x= là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị.

Chứng minh: Ta có ( ) ( ) ( ) ( )

( )2

u ' x v x v ' x u xy '

v x

−=

( ) ( ) ( ) ( )y ' 0 u ' x v x v ' x u x 0⇒ = ⇔ − = ( )∗ .

Giả sử 0

x là điểm cực trị của hàm số thì 0

x là nghiệm của

phương trình

( )∗ ( )( )

( )( )

( )0 0

0

0 0

u ' x u xy x

v ' x v x⇒ = = .

Giải:

1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên �

Ta có: ( )2y ' 3x 12x 3 m 2= − + + .

www.VNMATH.com

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y ' 0= có hai nghiệm phân

biệt ( )' 36 9 m 2 0⇔ ∆ = − + > 2 m 0 m 2⇔ − > ⇔ <

( ) ( ) ( )21y x 2 . 3x 12x 3 m 2 2 m 2 x m 2

3 = − − + + + − + −

( ) ( )1

y x 2 .y ' 2 m 2 x m 23

= − + − + −

Gọi ( ) ( )1 1 2 2A x ;y ,B x ;y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số

thì 1 2

x , x

là nghiệm của phương trình ( ) ( )2g x 3x 12x 3 m 2 0= − + + = .

Trong đó: ( ) ( ) ( )

( )

1 1 1 1

1

1y x 2 .y ' x 2 m 2 x m 2

3

y ' x 0

= − + − + − =

( )1 1y 2 m 2 x m 2⇒ = − + −

( ) ( ) ( )( )

2 1 2 2

2

1y x 2 .y ' x 2 m 2 x m 2

3y ' x 0

= − + − + − =

( )2 2y 2 m 2 x m 2⇒ = − + −

Theo định lý Vi-ét, ta có: 1 2 1 2

x x 4, x x m 2+ = = +

Theo bài toán:

( ) ( )1 2 1 2y .y 0 2 m 2 x m 2 2 m 2 x m 2 0 > ⇔ − + − − + − >

( ) ( )( )2

1 2m 2 2x 1 2x 1 0⇔ − + + >

( ) ( )2

1 2 1 2m 2 4x x 2 x x 1 0 ⇔ − + + + >

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 2 1 2m 2 4x x 2 x x 1 0 m 2 4m 17 0 ⇔ − + + + > ⇔ − + >

17

m4

m 2

> −⇔ ≠

So với điều kiện bài toán, vậy 17m 2

4− < < là giá trị cần tìm.

www.VNMATH.com


Ta có: ( )3 2y ' 4x 4mx 4x x m= − = − .

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y ' có 3 nghiệm phân biệt và đổi

dấu khi x qua 3 nghiệm đó, khi đó phương trình 2x m 0− = có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m 0⇔ > .

Với m 0> hàm số có điểm cực trị ( ) ( )2A 0;2 , B m;2 m ,− −

( )2C m;2 m− .

Vì B,C đối xứng nhau qua Oy do đó tâm I đường tròn đi

qua 4 điểm A,B,C,D nằm trên trục Oy và ( )0I 0;x .

Khi đó có hệ: ( )

( ) ( )

22

0 0

22 20 0

9 92 x xIA ID

25 5IA IB

2 x m 2 m x

− = + − = ⇔ =

− = + − −

( ) ( ) ( )00

2

x 1x 1

5 1m m 1 m m 1 0 m 1,m m 02

= = ⇔ ⇔ −− + − = = = >


Bài tập 1: Tìm m để đồ thị của hàm số ( )3 21y x mx 2m 1 x 2

3= − + − +

có 2 điểm cực trị dương.

Đs: 1

m2

m 1

> ≠

.

Bài tập 2: Cho hàm số ( )2x m x 1

yx 2

+ +=

+, hãy tìm tham số m để hàm

số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ 1 2

x , x thỏa mãn hệ

thức: 2 2

1 2

1 2

1 1x x 6

x x

+ = − + .

www.VNMATH.com

Đs: m 2= .

Bài tập 3: Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số 2x 2mx 2

yx 1

+ +=

+có

điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng : x y 2 0∆ + + = bằng nhau.

Đs: 1m

2= .

Bài tập 3:

1. Tìm m để đồ thị của hàm số ( )2x m 1 x m 1

yx 1

− − + +=

− có

điểm cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều trục Ox .

2. Tìm m để đồ thị của hàm số 2x mx

y1 x

+=

− có cực trị và

khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10 .

3. Tìm m để đồ thị của hàm số 2mx x m 1

yx 1

+ − +=

− có cực trị

và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 3 .

4. Tìm m để đồ thị của hàm số 3 2y x mx x 5m 1= − + − + có

cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bé hơn 2 . 5. Tìm m để đồ thị của hàm số

( )3 2y x 3x 3m m 2 x 1= − + + + + có cực trị và khoảng cách giữa

hai điểm cực bằng 2 5 . Bài tập 4:

1.Xác định giá trị tham số m để hàm số ( )2x m 1 x 3m 2

yx 1

− + + +=

− có hai điểm cực đại và cực tiểu cùng

dấu. 2. Định m để đồ thị hàm số

( ) ( )3 2y x 1 2m x 2 m x m 2= + − + − + + có hai cực trị đồng thời

hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 .

www.VNMATH.com

3. Định m để đồ thị hàm số

( ) ( )3 2

m

1y x mx 2m 1 x m 2 C

3= − + − − + có hai cực trị cùng

dương. Bài tập 5:

1. Tìm tham số thực m để đồ thị của hàm số: 2mx x

yx 1

+=

− +

có cực đại tại ( )x 0;1∈ và có cực tiểu xở ngoài khoảng đó.

2. Tìm tham số thực m để đồ thị của hàm số:

( )2x m x 1y

x 2

+ +=

+ có cực đại tại x 0;1 ∈

và có cực tiểu x ở

ngoài đoạn đó. 3. Tìm tham số thực m để đồ thị của hàm số:

( ) 3 2y m 1 x mx x= + + − có một cực trị tại ( )x 1;1∈ − .

4. Cho hàm số ( )3 21y x mx m 2 x 1

3= − + + − . Định m để hàm

số có cực trị trong khoảng ( )0;+∞ .

Bài tập 6: 1. Tìm m để đồ thị của hàm số:

( ) ( )3 21 1y x 3m 1 x 2 m 1 mx

3 2= − − + − có cực đại, cực tiểu đồng

thời hoành độ cực đại, cực tiểu 1 2

x , x thỏa mãn hệ thức: 2

1 2x x 3= + .

2. Tìm m để đồ thị của hàm

số: ( )3 2 21 my x mx m 1 x

3 3= − + − − có cực đại, cực tiểu đồng thời

hoành độ cực đại, cực tiểu 1 2

x , x thỏa mãn hệ thức:

( )2

1 1 2x x . x 5 12= − + .

3. Tìm m để đồ thị của hàm

số:( )

2m 1

y x m 1 ;m 1x 1

−= + + + ≠

− có cực đại, cực tiểu đồng thời

www.VNMATH.com

hoành độ cực đại, cực tiểu 1 2

x , x thỏa mãn hệ thức: 2

1 2 1x x mx 1− = − .

4. Tìm m 5,m< ∈ � để đồ thị của hàm số:

( ) ( )3 21 1y x m 1 x 3 m 2 x

3 3= − − + − +

có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ cực đại, cực tiểu 1 2

x , x thỏa

mãn hệ thức: 1 2

2 x x 2 7≤ − < .

5. Tìm m +∈ � để đồ thị của hàm số:

( ) ( ) ( )23 2y 2x 3 2m 1 x 6m m 1 x m 1= − + + + + +

có cực đại ( )1 1A x ,y , cực tiểu ( )2 2

B x ,y thỏa mãn hệ thức:

( )( ) ( )2

1 2 2 1y y 6 5m m x x− − > − .

Bài tập 7:

1. Tìm tham số m để hàm số 4 2y 3x mx 2= − − có cực đại

( )A 0; 2− và cực tiểu B,C sao cho 2

C B

m 4m 4x .x

6

+ −< .

2. Tìm tham số m để hàm số 4 2y x 4mx 1= − + có cực đại

( )A 0;1 và cực tiểu B,C sao cho ( )2

C Bx .x 2 m 8m 10> + + .

3. Tìm tham số m để hàm số 4 2y 3x mx 2= − − có cực đại

( )A 0; 2− và cực tiểu B,C sao cho ( )2

C Bx x 6 m m− < − .

4. Tìm tham số m để hàm số 4 2y x 4mx 1= − + có cực đại

( )A 0;1 và cực tiểu B,C sao cho ( )2C Bx x 2 2m m− > − .

Bài tập 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số

1. ( )3 21y x m 2 x 2

3= + − − có điểm cực đại và cực tiểu tại các

điểm có hoành độ 1 2

x , x thỏa mãn ( ) ( )2 1y x y x 2− < .

www.VNMATH.com

2. ( ) ( )4 2y m 1 x 2 m 1 x= + − − có 2điềm cực tiểu khác ( )O 0;0

và hoành độ 1 2

x , x của cực tiểu thỏa mãn ( ) ( )2 1y x y x 1+ > .

3. 22x 3x m

yx m

− +=

− có điểm cực đại và cực tiểu tại các điểm

có hoành độ 1 2x , x thỏa mãn ( ) ( )2 1y x y x 8− > .

4. ( )2x m 2 x 3m 2

yx 1

+ + + +=

+ có giá trị cực trị, đồng thời

2 2

CD CT

1y y

2+ > .

Bài tập 11: Với giá trị nào của m ∈ � thì đồ thị của hàm số:

1. ( )2 2 3mx m 1 x 4m m

yx m

+ + + +=

+ tương ứng có một điểm

cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )II và một điểm cực trị thuộc

góc phần tư thứ ( )IV của mặt phẳng tọa độ.

2. ( )3 2y x 3x m 6 x m 2= − + − + − có hai điểm cực trị và

khoảng cách từ ( )A 1; 4− đến đường thẳng đi qua hai cực trị

bằng 12

265.


1. Cho hàm số ( ) ( )3 2y f x ax bx cx d a 0= = + + + ≠ đồ thị là ( )C .

• Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ nhất còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ ba

1 2

C CT

a 0

y 0 có 2 : x 0 x

y .y 0

> ′⇔ = < < < Ñ

nghieäm .

www.VNMATH.com

• Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ hai còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ tư

1 2

C CT

a 0

y 0 có 2 : x 0 x

y .y 0

< ′⇔ = < < < Ñ

nghieäm .

• Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ nhất còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ hai

1 2

C CT

C CT

y 0 có 2 : x 0 x

y y 0

y .y 0

′ = < <⇔ + > >

Ñ

Ñ

nghieäm

.

• Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ ba còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ tư

1 2

C CT

C CT

y 0 có 2 : x 0 x

y y 0

y .y 0

′ = < <⇔ + < <

Ñ

Ñ

nghieäm

.

• Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ hai còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ ba

1 2

C CT

y 0 có 2 : x x 0

y .y 0

′ = < <⇔ < Ñ

nghieäm .

• Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ nhất còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ tư

1 2

C CT

y 0 có 2 : 0 x x

y .y 0

′ = < <⇔ < Ñ

nghieäm .

2. Cho hàm số:

www.VNMATH.com

( ) ( )2

2ax bx cy f x a.a ' 0;ax bx c a ' x b '

a ' x b '

+ += = ≠ + + +

+�

đồ thị là ( )C .

• Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ nhất còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ ba

1 2

C CT

a.a ' 0

y 0 có 2 : x 0 x

y .y 0

> ′⇔ = < < < Ñ

nghieäm .

• Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ hai còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ tư

1 2

C CT

a.a ' 0

y 0 có 2 : x 0 x

y .y 0

< ′⇔ = < < < Ñ

nghieäm .

• Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ nhất còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ hai

1 2

C CT

C CT

y 0 có 2 : x 0 x

y y 0

y .y 0

′ = < <⇔ + > >

Ñ

Ñ

nghieäm

.

• Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ ba còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ tư

1 2

C CT

C CT

y 0 có 2 : x 0 x

y y 0

y .y 0

′ = < <⇔ + < <

Ñ

Ñ

nghieäm

.

• Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ hai còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ ba

www.VNMATH.com

1 2

C CT

y 0 có 2 : x x 0

y .y 0

′ = < <⇔ < Ñ

nghieäm .

• Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ nhất còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ tư

1 2

C CT

y 0 có 2 : 0 x x

y .y 0

′ = < <⇔ < Ñ

nghieäm .

Giải:

1. Hàm số đã cho xác định trên { }D \ m= −�

Ta có:( )

2 2 3

2

mx 2m x 3my ' , x m

x m

+ −= ≠ −

+

Gọi ( ) ( )1 1 2 2A x ;y ,B x ;y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số

thì 1 2

x , x ( )1 2x x< là nghiệm của phương trình:

( ) 2 2 3g x mx 2m x 3m 0,x m= + − = ≠ −

Đồ thị của hàm số có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )II và

một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )IV của mặt phẳng

tọa độ khi

( ) ( ) ( )41 m.g 0 0 3m 0 m 0 a ⇔ < ⇔ − < ⇔ ≠

( )2 ⇔ Đồ thị của hàm số không cắt trục Ox

( ) ( )2 2 3mx m 1 x 4m m 0 x m⇔ + + + + = ≠ − vô nghiệm

( ) ( )2 4 22 3

m 0 m 0

15m 2m 1 0m 1 4m 4m m 0

≠ ≠ ⇔ ⇔ − − + <∆ = + − + <

( )2

1mm 0

5 b1 1m m55

< − ≠ ⇔ ⇔ > >

www.VNMATH.com

( ) ( )3 m 0 c⇔ < Từ ( ) ( ) ( )a b c suy ra 1m

5< − là giá trị cần

tìm. 2. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên � . Ta có: 2y ' 3x 6x m 6= − + −

Đồ thị hàm số có 2 cực trị khi y ' 0= có 2 nghiệm phân biệt, nghĩa là ( )2' 3 3 m 6 0∆ = − − > hay m 9< .

Và ( )1 2 4

y x 1 y ' m 6 x m 43 3 3

= − + − + − , vì điểm cực trị có

hoành độ là nghiệm của y ' 0= nên đường thẳng ( )d qua 2 cực

trị có phương trình 2 4

y m 6 x m 43 3

= − + − hay

( ) ( )2 m 9 x 3y 4 m 3 0− − + − =

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )2 22

2 m 9 1 3. 4 4 m 3 6m 18d A, d

4m 72m 3332 m 9 3

− − − + − −= =

− + − + −

Theo bài toán ( )( )2

m 312 2d A, d

265 2654m 72m 333

−= ⇔ =

− +

Bình phương hai vế, rút gọn ta được: 2249m 1302m 1053 0− + = , giải phương trình ta được

1053m 1, m

249 = = thỏa m 9< .


Bài tập 1: Cho hàm số ( )2x m 1 x m 1

yx 1

+ + + +=

+. Gọi A,B là hai

điểm cực trị, định m để diện tích tam giác OAB bằng 2 . Với giá trị m vừa tìm được, tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB .

Đs: m 3,m 1= − = . Bài tập 2:

www.VNMATH.com

1. Định m để đồ thị của hàm số

( )3 21y mx 3m 1 x 4x 2

3= − + − − − có cực trị A,B sao cho tam

giác MABdiện tích bằng 1 , biết ( )M 0;1 .

2. Định m để đồ thị của hàm số 4 2 2y x 2m x 1= − + có cực trị A,B,C sao cho tam giác ABCdiện tích bằng 4 .

3. Định m để đồ thị của hàm số 4 2 2y x 2mx m m= + + + có cực trị A,B,C đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có góc bằng �120 .

4. Định m để đồ thị của hàm số 4 2y x 2mx m 1= + − − có cực trị A,B,C đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một

tam giác có diện tích bằng 4 2 . Bài tập 3:

1. Tìm tham số m để hàm số 4 2 2y x 2m x 1= − + có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

2. Tìm tham số m để hàm số ( )3 21y x x m 1 x m

3= − + − + có 2

điểm cực trị A,B sao cho ABO một tam giác vuông cân, với O là gốc tọa độ.

3. Tìm tham số m để hàm số ( )4 21 1y x m 1 x m 2

4 2= − − + −

có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông.

4. Tìm tham số m để hàm số 3 2 33 1y x mx m

2 2= − + có hai

điểm cực trị tạo với gốc tọa độ một tam giác vuông cân tại O , với O là gốc tọa độ.

5. Tìm tham số m để đường thẳng ( )d đi qua ( )A 0;3 có hệ số

góc m cắt đồ thị của hàm số 2x 1y

x 1

+=

− tại hai điểm phân biệt

M,N sao cho tam giác MON vuông tại O .

Bài tập 4:

www.VNMATH.com

1. Tìm m để đồ thị của hàm số 4 2 4y x 2mx 2m m= − + + có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực trị lập thành tam giác đều

2. Tìm m để đồ thị của hàm số ( )4 2 21 1y x m 1 x m m

4 2= − − + −

có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực trị lập thành tam giác đều.

3. Tìm m để đồ thị của hàm số 3 2 23y x m x

2= − + có cực đại A ,

cực tiểu B đồng thời các điểm ABC cực trị lập thành tam giác đều, biết ( )C 2;3− .

4. Tìm m để đồ thị của hàm số 4 2y x 2mx 1= − + có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O. Bài tập 5:

1. Tìm m để đồ thị của hàm số ( )3 23y x x 1 C

2= − + + có điểm

cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị ( )C ở về một phía khác

nhau của đường tròn (phía trong hoặc phía ngoài): ( ) 2 2 2

mC : x y mx 2my m 2 0+ + + + − = .

2. Tìm m để đồ thị của hàm số ( )3 2

my x mx 2m 1 C= + + −

có điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị ( )mC ở về hai phía

khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài): ( ) 2 2C : x y 4+ = .

Bài tập 6:

1. Tìm m để đồ thị của hàm số: 4 2y x 2mx m 1= − + − có ba cực trị. Đồng thời các điểm cực trị A,B, C của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 .

2. Tìm m để đồ thị của hàm số: 4 21 1y x mx m 1

4 2= − + + có ba

cực trị A,B, C sao cho tam giác nội tiếp được trong đường tròn có bán kính R 1= .

www.VNMATH.com

3. Tìm m để đồ thị của hàm số:( )

2x 2x my

2 x 1

− +=

+ có điểm cực

trị A,B sao cho đường tròn đường kính AB có diện tích bằng 2π .

4. Tìm m và n để đồ thị 4 2 2y x 2m x n= − + của hàm số có 3 điểm cực trị là các đỉnh của một tam giác đều ngoại tiếp một đường tròn có tâm là gốc toạ độ. Bài tập 7:

1. Tìm m để đồ thị của hàm số 3 2 2y x 3x m x m= − + + có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5d : y x

2 2= − .

2. Tìm m để đồ thị của hàm số ( ) ( )3 2y x m 4 x 4 m 1 x 4m 1= + − − − + + có cực đại, cực tiểu

và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d : y x= .

3. Tìm m để đồ thị của hàm số

( )3 2y x 3 m 1 x 9x m 2= − + + + − có cực đại, cực tiểu và các

điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua

đường thẳng 1d : y x

2= .

Bài tập 8:

1. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số 2x 2mx 3m 1

yx 2

+ − +=

−

có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng : 2x y 0∆ − = bằng nhau.

2. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số ( )3 2y x 3m 1 x 2m 3= − + − + có điểm cực đại, điểm cực tiểu và

khoảng cách từ cực đại đến đường thẳng ( )d : 2x 3y 0− = nhỏ hơn

11 . Bài tập 9:

www.VNMATH.com

1. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số

( )3 21 1y x mx 2 m 2 x

3 2= − + − có điểm cực tiểu nằm trên đường

thẳng ( )5

d : y x6

= .


( )3 2y x 3 m 1 x 3m 2= − + + − có điểm cực tiểu nằm trên Parabol

( ) 2P : y x= .


( )3 2y mx 3mx m 1 x 4= − + + − có điểm cực tiểu tại một điểm có

hoành độ âm. 4. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số

( ) ( )3 21 1y m 1 x m 1 x 2m 3

3 2= − − − + + có điểm cực tiểu tại

một điểm có hoành độ lớn hơn 2 .

Bài tập 10: 1. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số

3 2 2y x 3x m 4m 2= − + + − có cực trị đồng thời tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số 3 2 23

y x x m m 12

= − + + − + có cực trị đồng thời tích các giá trị

cực đại và cực tiểu đạt giá trị lớn nhất. 3. Chứng tỏ rằng chỉ có một điểm A duy nhất trên mặt

phẳng toạ độ sao cho nó là điểm cực đại của đồ thị

( )2 3x m m 1 x m 1y

x m

− + + +=

− ứng với một giá trị thích hợp của

m và cũng là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với một giá trị thích hợp khác. Tìm toạ độ của A .

BAØI TAÄP TOÅNG HÔÏP

www.VNMATH.com

Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 2y x 2m 1 x 2 m x 2 1= − − + − +

với m là tham số thực.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số ( )1 khi

m 2= .

2. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )1 có cực đại, cực tiểu

và các điểm cực trị của hàm số ( )1 có hoành độ dương.

3. Gọi ( )t là tiếp tuyến của đồ thị ( )C của hàm số và

( )0 0M x ;y là tọa độ tiếp điểm của ( )t và ( )C .

a. Viết phương trình tiếp tuyến ( )t tại điểm M mà tiếp

tuyến tại đó: + Song song với đường thẳng 9x y 5 0− + = ;

+ Vuông góc với đường thẳng x 45y 48 0+ + = ;

+ Tạo với đường thẳng x 3y 4 0− + = một góc 045 ;

+ Cắt hai trục tọa độ tại hai điểm phân biệt A,B sao cho

( )

2OB18

dt AOB=

∆, O là gốc tọa độ.

b. Tìm tọa độ điểm N để ( )t cắt ( )C tại hai điểm N khácM .

4. Gọi I là điểm có hoành độ nghiệm đúng phương trình y '' 0= .

a. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tuyến

theo vectơ OI��

và viết phương trình đường cong ( )C đối với hệ

IXY . Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong ( )C ;

b. Chứng minh rằng tiếp tuyến ( )d tại điểm I có hệ số góc

nhỏ nhất, viết phương trình tiếp tuyến ( )d ;

www.VNMATH.com

c. Xét vị trí tương đối của đường cong ( )C và tiếp tuyến ( )d

(tức là xác định khoảng trên đó ( )C nằm phía trên hoặc phía

tiếp tuyến ( )d .

5. Gọi E,F lần lượt là điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị của hàm số:

a. Viết phương trình đường thẳng nối hai cực trị EF . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng EF và ( )d ;

b. Tìm tham số thực a để hai cực trị E,Fnằm về hai phía

khác nhau của đường tròn ( ) ( ) ( )2 2

2G : x a y a a+ + − = ;

c. Giả sử EF luôn cắt đường tròn ( )G tại hai điểm phân biệt

E ',F ' . Tìm tham số thực a để diện tích tam giác E ' I ' F 'có diện tích lớn nhất, I ' là tâm đường tròn ( )G và E 'F ' 4= .

6. Tìm m để đồ thị của hàm số ( )1 :

a. Nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2 ; b.Đồng biến trên khoảng ( )2;+∞ ;

c. Đạt cực tiểu tại điểmx 2= ; d. Để điểm ( )0;2 là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

7. Khi đồ thị của hàm số ( )1 có cực đại ( )1 1C x ;y , cực tiểu

( )2 2D x ;y .Tìm m để đồ thị của hàm số có:

a. Cực đại, cực tiểu và 2 điểm đó nằm về hai phía với trục Ox ;

b. Cực đại, cực tiểu và 2 điểm đó nằm về hai phía với trục Oy ;

c. Cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều trục Oy ;

d. Cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu; e. Cực đại tại ( )x 3;0∈ − ;

f. Cực đại tại ( )x 0;1∈ và có cực tiểu x ở ngoài khoảng đó;

www.VNMATH.com

g. Cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ 1 2

x , x thỏa mãn

hệ thức:

2 2

1 2

1 2

1 1x x 6

x x

• + = − + ;

2

1 2x x 3• = + ;

( )2

1 1 2x x . x 5 12• = − + ;

2

1 2 1x x mx 1• − = − ;

1 22 x x 2 7• ≤ − < ;

( )( ) ( )2

1 2 2 1y y 6 5m m x x• − − > − .

h. Cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ 1 2

x , x thỏa mãn

hệ thức:

1 2x .x 1• = ;

1 2

2x .x

3 • > ;

1 2

40 x .x

3• < < ;

1 2

2x x

3• + = ;

1 2 1 2x x x .x• + ≤ ;

1 2 1 2

2x x x .x

3• + + = .

i. Cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ 1 2

x , x thỏa mãn

hệ thức:

( ) ( )2 1y x y x 8• − = ;

( ) ( )2 1y x y x 2• − < ;

( ) ( )2 1y x y x 1• + > ;

( ) ( )2 1y x y x 2• + < .

j. Tam giác CDKcó diện tích bằng 1(đvdt), với ( )K 0;2 ;

k. Tam giác CDL đều với ( )L 1;2 ;

l. Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng: ( )d : y x= ;

m. Cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ cực đại đến đường thẳng ( )d : 2x 3y 0− = nhỏ hơn 11 ;

n. Có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )II và một

điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )IV của mặt phẳng tọa độ.

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Documents

hàm số nghịch biến trên . Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa hàm lượng giác ta để ý đạo hàm của hàm số có thể triệt tiêu