TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚCTỔ TOÁN - TIN

CHUYÊN ĐỀỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Trần Anh Tuấn

Vĩnh Phúc, Năm 2009-2010

Mục lục1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 2

1.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Cực đại và cực tiểu 32.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 63.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị 114.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Tiệm cận 125.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.1.1 Một số chú ý về giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Đồ thị của hàm số mang dấu giá trị tuyệt đối 136.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số 157.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8 Khoảng cách 20

9 Họ đường cong 20

10 Tâm đối xứng. Trục đối xứng của đồ thị hàm số. 2110.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

11 Phần các đề luyện tập 22

1

2

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

1.1 Tóm tắt lí thuyết1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Ta nói:- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x1, x2 ∈ (a; b) màx1 < x2 thì f(x1) < f(x2).- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x1, x2 ∈ (a; b) màx1 < x2 thì f(x1) > f(x2).

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi là đơn điệu trên khoảng đó.

2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu

Định lý 1.1 (Định lí Lagrange) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và cóđạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một điểm c ∈ (a; b) sao cho

f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a) hay f ′(c) =f(b) − f(a)

b − a

Định lý 1.2 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).a) Nếu f ′(x) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng đó.b) Nếu f ′(x) < 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó.

Định lý 1.3 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu f ′(x) ≥ 0 hoặcf ′(x) ≤ 0) ∀x ∈ (a; b), và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a; b)thì hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó.

Chú ý 1 Trong các hàm số sơ cấp được học (ngoại trừ hàm hằng), ta có kết quả sau:- y = f(x) là hàm số đồng biến trên (a; b) ⇐⇒ f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b)- y = f(x) là hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇐⇒ f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b)* Các bước xét tính đơn điệu của hàm số:- Tìm các điểm tới hạn- Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.- Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra chiều biến thiên của hàm số.

3. Nhắc lại định lí dấu tam thức bậc hai1

1.2 Ví dụ và bài tập. 1.1 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

1Phải nhắc lại định lí thuận và định lí đảo

Trần Anh Tuấn

3

a) y = 4x3 − 3x + 1

b) y =3

4x4 + x3 − 3x2 + 1

c) y =x + 1

x − 1

d) y =x2 + 3x + 3

x + 1

e) y =x4 + 2x2 − 3

x2

f) y = x4 − 3x2 + 15

. 1.2 Cho hàm số y = −1

3x3 + (m − 1)x2 + (m + 3)x − 4. Tìm m để hàm số tăng trên

(0; 3)

. 1.3 Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m − 1. Tìm m để hàm số tăng trên (−1; +∞)

. 1.4 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(2m− 1)x + 1. Tìm m để hàm số tăng trên tập xácđịnh

. 1.5 Cho hàm số y =mx2 + 6x − 2

x + 2. Tìm m để hàm số giảm trên (1; +∞)

. 1.6 Cho hàm số y =1

3mx3 − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x +

1

3. Tìm m để hàm số tăng trên

(2; +∞)

. 1.7 Cho hàm số y =2x2 + (1 − m)x + 1 + m

x − m. Tìm m để hàm số tăng trên (1; +∞)

. 1.8 Cho hàm số y =1

3x3 + mx2 − mx + 1. Tìm m để hàm số:

a) Tăng trên tập xác địnhb) Tăng trên (−∞; 0)

. 1.9 Cho hàm số y =x2 + mx − 5

3 − x. Tìm m để hàm số:

a) Giảm trên tập xác định b) Giảm trên (−1; 0) c) Tăng trên (−2; 2)

2 Cực đại và cực tiểu

2.1 Tóm tắt lí thuyết1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Định lý 2.1 (Định lí Fermat) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trịtại điểm đó thì f ′(x0) = 0.

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 2.2 (Dấu hiệu I) Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận củađiểm x0 (có thể trừ điểm x0).i) Nếu f ′(x) > 0 trên khoảng (x0 − δ; x0); f ′(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + δ) thì x0 là mộtđiểm cực đại của hàm số y = f(x).ii) Nếu f ′(x) < 0 trên khoảng (x0 − δ; x0); f ′(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + δ) thì x0 là mộtđiểm cực tiểu của hàm số y = f(x)

Trần Anh Tuấn

2.2 Ví dụ và bài tập 4

Nói một cách vắn tắt: Nếu khi đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì x0 là một điểm cực trị. Vànếu đổi dấu từ + sang - thì x0 là điểm cực đại còn nếu đổi dấu từ - sang + thì x0 là điểmcực tiểu.Quy tắc I- Tìm f ′(x)- Tìm các điểm tới hạn- Xét dấu đạo hàm- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Định lý 2.3 (Dấu hiệu II) Giả sử y = f(x) có đạo hàm tới cấp hai liên tục tại x0 vàf ′(x0) = 0, f ′′(x0) 6= 0 thì x0 là một điểm cực trị hàm số, hơn nữa:- Nếu f ′′(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.- Nếu f ′′(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.

Quy tắc II- Tìm f ′(x). Giải phương trình f ′(x) = 0. Gọi xi là các nghiệm- Tính f ′′(x)- Từ dấu của f ′′(xi) suy ra các điểm cực trị.

Chú ý 2 - Nếu f ′(x0) = f ′′(x0) = 0 thì không thể khẳng định được x0 có là điểm cực trịhay không.- Chúng ta dùng dấu hiệu I trong trường hợp tổng quát, còn dấu hiệu II chỉ dùng khi gặpcác hàm số dễ tính đạo hàm (như hàm đa thức, hàm lượng giác).

2.2 Ví dụ và bài tập. 2.1 Tìm cực trị của các hàm số:

a) y = 2x2 − x4 b) y =x2 − x + 1

x2 + x + 1c) y = x +

√3x2 + 6

d) y =x

ln xe) y = ex sin x f) y =

5√

x4

. 2.2 Xác định m để hàm số y =x2 + mx + 1

x + mđạt cực đại tại x = 2.

. 2.3 Chứng minh rằng hàm số y =x2 + 2x + m

x2 + 2luôn có một cực đại và một cực tiểu.

. 2.4 Tìm a và b để các cực trị của hàm số y =5

3a2x3 + 2ax2 − 9x + b đều là những số

dương và x0 = −5

9là điểm cực đại.

. 2.5 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x− (m2 − 1). Tìm m để hàm số đạt cực đạitại x = 1.

. 2.6 Cho hàm số y = a sin x +1

3sin 3x. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x =

π

3.

. 2.7 Tìm m để hàm số dưới đây đạt cực đại và cực tiểu

Trần Anh Tuấn

2.2 Ví dụ và bài tập 5

a) y =1

3x3 + mx2 + (m + 6)x − 1 b) y =

x2 − 2x + m

4 − x

. 2.8 Cho hàm số y =x2 + mx + 1

x + m. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.

. 2.9 Cho hàm số y = x3 − (m− 3)x2 + (4m− 1)x−m. Tìm m để hàm số đạt cực trị tạicác điểm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 < −2 < x2.

. 2.10 Cho hàm số y =x2 − x + m

x + 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2b) Tìm m để hàm số có hai cực trị.c) Tìm m để hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu.

. 2.11 Cho hàm số y =x2 + (m + 1)x + 1 − m

x − m. Tìm m để hàm số có:

a) Một cực đại và một cực tiểu.b) Hai cực trị và các giá trị cực trị trái dấu.c) Cực tiểu có hoành độ nhỏ hơn 1.

. 2.12 Cho hàm số y =mx + 1

1 − x2. Tìm m để hàm số có hai cực trị. Trong trường hợp đó

chứng minh rằng các điểm cực trị của đồ thị ở cùng một phía đối với trục hoành.

. 2.13 Cho hàm số y =mx2 − 2x + m

x2 − x. Tìm m để hàm số:

a) Tăng trên từng khoảng xác định.b) Chỉ có một cực trị.c) Đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương.

. 2.14 Tìm m để hàm số

y = −x3 + 3(m + 1)x2 − (3m2 + 7m − 1)x + m2 − 1

đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.

. 2.15 Tìm m để hàm số sau có ba cực trị

y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1

. 2.16 Cho hàm sốy = x4 + 8mx3 + 3(1 + 2m)x2 − 4

Tìm m để hàm số có một cực tiểu mà không có cực đại.

Trần Anh Tuấn

6

3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

3.1 Tóm tắt lí thuyết1. Phương pháp bất đẳng thức2

2. Phương pháp hàm sốPhương pháp hàm số thường sử dụng khi gặp bài toán tìm GTLN, GTNN hoặc chứng

minh BĐT chỉ có một tham số. Khi đó chúng ta thường tìm điều kiện chặt của tham số.Xét hàm số y = f(x) trên tập X ⊂ D. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

hàm số trên X, ta làm như sau:a. Phương pháp chung:- Lập bảng biến thiên của hàm số trên X

- Dựa và bảng biến thiên (chú ý đến sự thay đổi giá trị của hàm số trên X), ta tìm đượccác giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên X.b. Trường hợp đặc biệt:Khi X = [a; b], ta có thể làm như sau:

- Giải HPT

{

y′ = 0 hoặc y′ không xác định

x ∈ (a; b), giả sử các nghiệm là x1, x2, ..., xn

- Tính f(x1), f(x2), ..., f(xn) và f(a), f(b).- Số lớn nhất trong các số trên là giá trị lớn nhất.- Số nhỏ nhất trong các số trên là giá trị nhỏ nhất.

Chú ý 3 Trong trường hợp hàm số có chu kì chúng ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trênmột đoạn có độ dài bằng chu kì.

3. Phương pháp sự biến thiên để giải và biện luận phương trình có tham sốPhương pháp chung để giải và biện luận phương trình có tham số bằng PP sự biến

thiên là:Bước 1: Đặt ẩn phụ (nếu cần) t = u(x), đặt điều kiện chặt cho t.

Bước 2: Từ giả thiết bài toán biến đổi về một trong các dạng sau:

f(t) = g(m); f(t) ≥ g(m); f(t) ≤ g(m);

f(t) > g(m); f(t) < g(m)

Tức là biến đổi để cô lập m về một vế, còn vế kia độc lập với m.

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) trên miền giá trị của t đã tìm được sau bước1.Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra miền giá trị của f(t). Sử dụng các kết quả bảng biếnthiên, để tìm ra kết luận của bài toán.

Chú ý 4 Điều kiện chặt cho t có nghĩa là tìm các giá trị của t để phương trình t = u(x)có nghiệm.

Giả sử f(x) là một hàm liên tục trên miền D và giả thiết rằng tồn tại các giá trị lớnnhât, nhỏ nhất của f(x), xét trên miền D (kí hiệu là: max

x∈D

f(x), minx∈D

f(x)). Khi đó ta có

các định lí sau:

2Làm kĩ về cách chứng minh BĐT nhờ BĐT Cauchy

Trần Anh Tuấn

3.1 Tóm tắt lí thuyết 7

Định lý 3.1 Giả sử D = [a; b].Nếu như f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b).

Định lý 3.2 Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi:

minx∈D

f(x) ≤ m ≤ maxx∈D

f(x).

Chứng minh. =⇒ Giả sử phương trình đã cho có nghiệm x0 ∈ D =⇒ f(x0) = m.

Ta có:minx∈D

f(x) ≤ f(x0) ≤ maxx∈D

f(x).

hay:minx∈D

f(x) ≤ m ≤ maxx∈D

f(x).

⇐= Giả sử minx∈D

f(x) ≤ m ≤ maxx∈D

f(x).

Do f(x) liên tục nên nó nhận mọi giá trị từ minx∈D

f(x) tới maxx∈D

f(x) do đó nó nhận giá trị m,

tức là ∃x0 ∈ D sao cho f(x0) = m. Điều này có nghĩa là phương trình f(x) = m, x ∈ D

có nghiệm.

Định lý 3.3 a) Bất phương trình f(x) ≥ m, x ∈ D có nghiệm khi và chỉ khi: maxx∈D

f(x) ≥m.

b) Bất phương trình f(x) ≥ m đúng ∀x ∈ D khi và chỉ khi minx∈D

f(x) ≥ m.

Chứng minh. a)=⇒/ Giả sử bất phương trình f(x) ≥ m, x ∈ D có nghiệm =⇒ ∃x0 ∈ D sao chof(x0) ≥ m.

Rõ ràng:maxx∈D

f(x) ≥ f(x0) ≥ m.

⇐=/ Giả sử maxx∈D

f(x) ≥ m.

Phản chứng rằng bất phương trình đã cho vô nghiệm, tức là f(x) < m, ∀x ∈ D =⇒maxx∈D

f(x) < m điều này mâu thuẫn với giả thiết.Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

b) Chứng minh tương tự như phần a).

Định lý 3.4 a) Bất phương trình f(x) ≤ m, x ∈ D có nghiệm khi và chỉ khi: minx∈D

f(x) ≤m.

b) Bất phương trình f(x) ≤ m đúng ∀x ∈ D khi và chỉ khi maxx∈D

f(x) ≤ m.

Định lý 3.5 Cho phương trình f(x) = g(x) với x ∈ D.

Giả sử trên miền D hàm f(x) luôn đồng biến, còn hàm g(x) luôn nghịch biến. Khi đó nếuphương trình trên có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Trần Anh Tuấn

3.2 Ví dụ và bài tập 8

Định lý 3.6 Xét bất phương trình f(x) ≤ g(x) trên miền D. Nếu maxx∈D

f(x) ≤ minx∈D

g(x)

thì bất phương trình trên thoả mãn ∀x ∈ D.

Chú ý: maxx∈D

f(x) ≤ minx∈D

g(x) chỉ là điều kiện đủ để f(x) ≤ g(x), x ∈ D chứ không phải

là điều kiện cần và đủ.Giả sử

D = [a; b], α, β ∈ R, α < β.

maxx∈[a;b]

f(x) = β > α = minx∈[a;b]

g(x)

Nhưng f(x) < g(x), ∀x ∈ D.

3.2 Ví dụ và bài tập. 3.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = f(x) =x2 + x + 1

x(x>0)

b) y = f(x) = 1 + 4x − x2

c) y = f(x) = x4 − 2x2 + 5 (x ∈ [−2; 3])

d) y = f(x) =√

x − 2 +√

4 − x

e) y = f(x) =2x2 + 4x + 5

x2 + 1f) y = sin5 x +

√3 cos x

. 3.2 Tìm x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất y = f(x) = lg2 x +1

lg2 x + 2

. 3.3 Giả sử x, y là hai số dương thoả mãn điều kiện x+ y =5

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức S =4

x+

1

4y

. 3.4 Cho x, y, z là các số dương thoả mãn

1

x+

1

y+

1

z= 4

Tìm GTLN của1

2x + y + z+

1

x + 2y + z+

1

x + y + 2z

. 3.5 Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz = 1 Tìm GTNN của√

1 + x3 + y3

xy+

√

1 + y3 + z3

yz+

√1 + z3 + x3

zx

. 3.6 Tìm GTLN, GTNN của y =ln2 x

x, x ∈ [1; e3].

. 3.7 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m(√

1 + x2 −√

1 − x2 + 2) = 2√

1 − x4 +√

1 + x2 −√

1 − x2

Trần Anh Tuấn

3.2 Ví dụ và bài tập 9

. 3.8 Cho phương trình:

log23 x +

√

log23 x + 1 − 2m − 1 = 0

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3√

3]

. 3.9 Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN

x

x + 1+

y

y + 1+

z

z + 1

. 3.10 Với giá trị nào của m bất phương trình sau đúng ∀x ∈ [−5; 1]

4√

5−4x−x2

+ 21+√

5−4x−x2 ≤ m

. 3.11 Cho phương trình 9x − m3x + 2m = 0a) Giải phương trình với m = −1b) Tìm m để phương trình trên có nghiệm.

. 3.12 Tìm GTLN, GTNN của hàm số

y =√

1 + sin x +√

1 + cos x

. 3.13 Cho phương trìnhcos6 x + sin6 x

cos2 x − sin2 x= m tan 2x

a) Giải phương trình khi m =13

8b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.

. 3.14 Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc (0; 1)

4(log2

√x)2 − log1

2

x + m = 0

. 3.15 Tìm GTLN, GTNN của hàm số

y = x6 + 4(1 − x2)3 x ∈ [−1; 1]

. 3.16 Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0;π

2]

2(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + 2 sin 2x + m = 0

. 3.17 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN

(a +1

a)(b +

1

b)(c +

1

c)

. 3.18 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

4x − m.2x − m + 3 ≤ 0

Trần Anh Tuấn

3.2 Ví dụ và bài tập 10

. 3.19 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a)3

sin2 x+ 3 tan2 x + m(cot x + tanx) − 1 = 0

b) 5x2 − (x + 1)2 =m + 2

2x2 − x + 1

c) (1 + x√

x)2 + 2m(

1 + x√x

) + 1 = 0

d)4x2

1 + 2x2 + x4+

2mx

1 + x2+ 1 − m2 = 0

e) x6 + 3x5 + (6 − m)x4 + (7 − 2m)x3 + (6 − m)x2 + 3x + 1 = 0f)

√x2 + x + 1 −

√x2 − x + 1 = m

g)√

2x2 − 2(m + 4)x + 5m + 10 + 3 − x = 0

h)√

3 + x +√

6 − x −√

(3 + x)(6 − x) = m

i)√

x − 1 +√

5 − x = m

j) (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3)

√

x + 1

x − 3= 3m − m2

. 3.20 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm x ∈ [−π

2;π

2]

2 + 2 sin 2x = m(1 + cos x)2

. 3.21 Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau đúng ∀x ∈ [0;π

2]:

sin 3x + m. sin 2x + 3. sin x ≥ 0

. 3.22 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:{

x5 − (x − 3)5 = m

0 ≤ x ≤ 3

. 3.23 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:{√

x + 1 +√

y + 2 = m

x + y = 3m

. 3.24 Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:a)

(4 − 6m). sin3 x + 3(2m − 1) sin x

+2(m − 2) sin2 x cos x − (4m − 3) cos x = 0

0 ≤ x ≤ π

4

b)

2x2 = y +m2

y

2y2 = x +m2

x

Trần Anh Tuấn

11

. 3.25 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x < 0:

x4 + x3 + mx2 + 2x + 4 < 0

. 3.26 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:√

x + 1 −√

4 − x ≥ m

. 3.27 Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x : 3 cos4 x − 5 cos 3x − 36 sin2 x −15 cosx + 36 + 24m − 12m2 ≥ 0

. 3.28 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi |x| ≥ 2:

x4 − 5x2 + x + 4 − m ≥ 0

. 3.29 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm trên [1; 2]:

42x−x2

+ 22x−x2+1 + 2m − 3 ≥ 0

4 Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị

4.1 Tóm tắt lí thuyếtĐịnh lý 4.1 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a; b).i) Nếu f ′′(x) < 0; ∀x ∈ (a; b) thì đồ thị hàm số trên là lồi trên khoảng đó.ii) Nếu f ′′(x) > 0; ∀x ∈ (a; b) thì đồ thị hàm số trên là lõm trên khoảng đó.

Định lý 4.2 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và cóđạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó. Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x0 thìđiểm U(x0; f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.

Chú ý 5 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và có đạohàm tới cấp hai trong lân cận đó. Nếu x0 là hoành độ của điểm uốn thì f ′′(x0) = 0, ngượclại thì không đúng.

4.2 Ví dụ và bài tập. 4.1 Tìm khoảng lõm, lồi và điểm uốn của đồ thị các hàm số sau:

a) y = 2x3 − 6x2 + 2x

b) y =1

2x4 − 3x2 +

5

2

c) y =x2 − x + 4

xd) y = ln x

. 4.2 Tìm a để đồ thị hàm số y = x4 − ax2 + 3a) Có hai điểm uốn.b) Không có điểm uốn.

. 4.3 Chứng minh rằng đường cong y =x + 1

x2 + 1có ba điểm uốn cùng nằm trên một đường

thẳng.

Trần Anh Tuấn

12

. 4.4 Tìm m để y = −x3

m+ 3mx2 − 2 nhận I(1; 0) làm điểm uốn.

. 4.5 Tìm a, b để y = ax3 + bx2 + x − 4 nhận J(2;−6) làm điểm uốn.

. 4.6 Tìm a, b, c, d để y = x4 + ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm uốn là U1(1; 1), U2(3;−7).

. 4.7 Cho hàm số y = x(x − a)(x − b) với a < 0 < b. Tìm a, b để điểm uốn của đồ thịnằm trên đường cong y = x3

. 4.8 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 +8mx3 +3(2m+1)x2−1 có hai điểm uốn có hoành

độ thoả mãn bất phương trìnhx2 − 2x√

5 − 4x − x2< 0.

. 4.9 Chứng minh rằng y =2x + 1

x2 + x + 1có ba điểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình

đường thẳng đi qua ba điểm uốn đó.

. 4.10 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + (m + 2)x + 2ma) Tìm m để đồ thị của hàm số có điểm uốn nằm trên Parabol y = x2.b) Chứng minh rằng tại điểm uốn thì tiếp tuyến với đồ thị có hệ số góc là nhỏ nhất.

5 Tiệm cận

5.1 Tóm tắt lí thuyếtGiả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C).1. Tiệm cận đứng

Định lý 5.1 Nếu limx−→x0

f(x) = ∞ thì đường thẳng d : x = x0 là một tiệm cận đứng của

đồ thị (C).

Chú ý 6 Nếu limx−→x

−

0

f(x) = ∞ ( limx−→x

+0

f(x) = ∞ ) thì đường thẳng d : x = x0 là một

tiệm cận đứng bên phải (bên trái) của đồ thị (C).

2. Tiệm cận ngang

Định lý 5.2 Nếu limx−→∞

f(x) = y0 thì đường thẳng d : y = y0 là một tiệm cận ngang của

đồ thị (C).

Chú ý 7 Nếu limx−→+∞

f(x) = y0 ( limx−→−∞

f(x) = y0 ) thì đường thẳng d : y = y0 là một

tiệm cận ngang bên phải (bên trái) của đồ thị (C).

3. Tiệm cận xiên

Trần Anh Tuấn

5.2 Ví dụ và bài tập 13

Định lý 5.3 Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d : y = ax+ b là một tiệm cận xiên của(C) là

limx−→+∞

[f(x) − (ax + b)] = 0 (1)

hoặc limx−→−∞

[f(x) − (ax + b)] = 0 (2)

hoặc limx−→∞

[f(x) − (ax + b)] = 0 (3)

Nếu (1) xảy ra thì d được gọi là tiệm cận xiên bên phải của (C). Nếu (2) xảy ra thì d

được gọi là tiệm cận xiên bên trái của (C). Nếu (3) xảy ra thì d được gọi là tiệm cận xiênhai bên của (C).

Cách xác định tiệm cận xiên d : y = ax + b

a = limx−→∞

f(x)

x; b = lim

x−→∞[f(x) − ax]

5.1.1 Một số chú ý về giới hạn hàm số

5.2 Ví dụ và bài tập. 5.1 Tìm tiệm cận của các hàm số sau:

a) y =2x2 − 1

x2 − 3x + 2b) y = 1 + e−x2

c) y =2x2 + x + 1

x + 1d) y =

√x2 − 1

. 5.2 Tìm m để hàm số y =x2

x − mcó tiệm cận.

. 5.3 Tìm m để hàm số y =mx2 + 6x − 2

x + 2không có tiệm cận đứng.

. 5.4 Tìm a để y =−x2 + x + a

x + acó tiệm cận xiên đi qua A(2; 0).

6 Đồ thị của hàm số mang dấu giá trị tuyệt đối

6.1 Tóm tắt lí thuyết+ Hai điểm M0(x0; y0) và M1(−x0;−y0) đối xứng nhau qua gốc toạ độ.+ Hai điểm M0(x0; y0) và M2(x0;−y0) đối xứng nhau qua trục hoành.+ Hai điểm M0(x0; y0) và M3(−x0; y0) đối xứng nhau qua trục trục tung.

Trần Anh Tuấn

6.2 Ví dụ và bài tập 14

6.2 Ví dụ và bài tập. 6.1 Vẽ đồ thị hàm số

y =(x − 1)(x + 2)

x + 1(C0)

Từ đó hãy vẽ các đồ thị các hàm số sau:

y = −(x − 1)(x + 2)

x + 1(C1)

y =∣

∣

(x − 1)(x + 2)

x + 1

∣

∣ (C2)

y =(|x| − 1)(|x| + 2)

|x| + 1(C3)

y =|(x − 1)|(x + 2)

x + 1(C4)

y =(x − 1)|x + 2|

x + 1(C5)

y =(x − 1)(x + 2)

|x + 1| (C6)

Từ (C0) chuyển sang (C1) bằng cách lấy đối xứng (C0) qua trục hoành.Từ (C0) chuyển sang (C2) bằng cách giữ nguyên phần nằm trên trục hoành, lấy đối xứngphần dưới trục hoành của (C0) qua trục hoành.

O

y

xO

y

x

C0

C1

O

y

xO

y

x

C0

C2

Từ (C0) chuyển sang (C3) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải trục tung, lấy đốixứng phần bên phải trục tung của (C0) qua trục tung.Từ (C0) chuyển sang (C4) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = 1,lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x = 1 của (C0) qua trục hoành.

Từ (C0) chuyển sang (C5) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳngx = −2, lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x = −2 của (C0) qua trục hoành.Từ (C0) chuyển sang (C6) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = −1,lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x = −1 của (C0) qua trục hoành.

Trần Anh Tuấn

15

O

y

xO

y

x

C0

C3

O

y

xO

y

x

C0

C4

O

y

xO

y

x

C0

C5

O

y

xO

y

x

C0

C6

Chú ý 8 Với hàm số y = u(x).v(x) (C) hoặc y =u(x)

v(x)muốn vẽ đồ thị các hàm số

y = |u(x)|v(x) (C1) hoặc y =u(x)

|v(x)| . Ta giữ nguyên đồ thị (C) trong miền làm cho

u(x) > 0 hoặc v(x) > 0, (tương ứng). Lấy đố xứng phần còn lại qua trục hoành.

7 Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

7.1 Tóm tắt lí thuyếtBài toán 1. Tìm giao điểm hai đường

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C1). Hãytìm các giao điểm của (C) và (C1).Hoành độ giao điểm của (C) và (C1) là nghiệm của phương trình

f(x) = g(x) (1)

Nếu x0, x1, ... là nghiệm của (1) thì các điểmM0(x0; f(x0)), M1(x1; f(x1)), ... là các giao điểm của (C) và (C1).

Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến

Trần Anh Tuấn

7.1 Tóm tắt lí thuyết 16

Cho hàm số y = f(x) .a) Gọi (C) là đồ thị của nó, hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểmM0(x0; f(x0)).b) Hãy viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm M1(x1; y1) và tiếp xúc với (C).c) Hãy viết phương trình các đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với (C).Cách giảia) Tiếp tuyến của (C) tại M0(x0; f((x0)) là y = f ′(x0)(x − x0) + y0.b) Đường thẳng d đi qua M1(x1; y1) và có hệ số góc k có phương trình là y = k(x−x1)+y1.Để đường thẳng d tiếp xúc với (C), hệ phương trình sau phải có nghiệm:

{

f(x) = k(x − x1) + y1

f ′(x) = k

Hệ phương trình này cho phép ta xác định hoành độ x0 của tiếp điểm, và hệ số góck = f ′(x0) của tiếp tuyến.

Chú ý 9 - Số nghiệm của hệ trên không phải lúc nào cũng là số tiếp tuyến.- Có thể mở rộng vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại một điểm chung. Cho hai hàm sốy = f(x) và y = g(x), gọi (C) và (C ′) theo thứ tự là đồ thị của chúng. Hai đồ thị được gọilà tiếp xúc với nhau tại một điểm chung, nếu tại điểm đó chúng có cùng một tiếp tuyến.Khi đó điểm chung được gọi là tiếp điểm. Như vậy, hai đồ thị (C) và (C ′) tiếp xúc vớinhau nếu và chỉ nếu hệ phương trình sau đây có nghiệm:

{

f(x) = g(x)

f ′(x) = g′(x)

Bài toán 3. Biện luận phương trình bằng PP đồ thịGiả sử chúng ta đã có đồ thị hàm số y = f(x) (nhờ khảo sát, hoặc biến đổi từ đồ thị

một hàm số nào đó). Bài toán đặt ra là biện luận số nghiệm phương trình P (x) = Q(x)có chứa tham số m thông thường ta làm như sau.- Biến đổi P (x) = Q(x) về f(x) = g(x, m)- Hạn chế đồ thị hàm số y = f(x) nếu cần- Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của hai đồ thị

(C) : y = f(x)

∆ : y = g(x, m)

- Cho ∆ chuyển động theo sự biến thiên của tham số m, biện luận theo m số giao điểmcủa ∆ và (C) từ đó ta được số nghiệm của phương trình.

Các dạng đồ thị của y = g(x, m)Dạng 1. g(x, m) = h(m) thì ∆ là đường thẳng vuông góc với Oy và cắt trục tung tại điểmcó tung độ bằng h(m).Dạng 2. g(x, m) = kx + h(m), k = const thì ∆ là đường thẳng cùng phương với đường

thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng h(m). Tìm các tiếp tuyến songsong với đường thẳng y = kx.Để giải và biện luận loại hệ này ta cần so sánh h(m) với cáctung độ giao điểm của các tiếp tuyến với Oy.Dạng 3. g(x, m) = h(m)(x − x0) + y0, x0, y0 = const thì ∆ là đường thẳng luôn quay

quanh điểm A(x0; y0) cố định. Tìm các tiếp tuyến đi qua điểm A(x0; y0). Để giải và biệnluận loại hệ này ta cần so sánh h(m) với các hệ số góc của các tiếp tuyến.

Trần Anh Tuấn

7.2 Ví dụ và bài tập 17

7.2 Ví dụ và bài tập. 7.1 Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số

y =x2 − 6x + 3

x + 2và y = x − m

Lời giải. Số giao điểm của đồ thị các hàm số đã cho là số nghiệm của PT:

x2 − 6x + 3

x + 2= x − m (1)

ĐK: x 6= −2

(1) ⇔ (8 − m)x = 3 + 2m (2)

• Nếu m = 8, PT (2) vô nghiệm, suy ra PT (1) vô nghiệm.

• Nếu m 6= 8, PT (2) có nghiệm duy nhất x =3 + 2m

8 − m. Nghiệm này là nghiệm của (1)

⇔ 3 + 2m

8 − m6= −2 ⇔ 3 6= −16.

Kết luận:

• Nếu m = 8 hai đồ thị không cắt nhau.

• Nếu m 6= 8 hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

. 7.2 Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình

x3 + 3x2 − 2 = m

. 7.3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số

y = (2 − x2)2 (C)

biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 4).

. 7.4 Khảo sát vị trí tương đối giữa đồ thị (C) của hàm số y = 4x3 − 3x + 1 và đườngthẳng d : y = m(x − 1) + 2.

Lời giải. Xét PT 4x3 − 3x + 1 = m(x − 1) + 2 ⇔ 4x3 − (m + 3)x + m − 1 = 0

⇔ (x − 1)(4x2 + 4x − m + 1) = 0 ⇔[

x = 1f(x) = 4x2 + 4x − m + 1 = 0 (∗)

PT (*) có ∆′ = 4m, f(1) = 9 − m.Kết luận:

• 0 < m 6= 9: Số giao điểm là 3.

• m < 0: Số giao điểm là 1.

• m = 0 hoặc m = 9: Số giao điểm là 2.

Trần Anh Tuấn

7.2 Ví dụ và bài tập 18

. 7.5 Cho hàm số y =x + 2

x − 2. Chứng minh rằng với mọi b đường thẳng y = x+ b luôn cắt

đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt.

. 7.6 Xác định m sao cho đồ thị của hàm số

y = −x4 + 2mx2 − 2m + 1

cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.

. 7.7 Xác định m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ thị (C) của hàm số

y =x2 − 2x + 2

x − 1

tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 3.

. 7.8 Tìm m để đường thẳng d : y = 3x + m tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số

y =x2 − 3x + 3

1 − x

. 7.9 Cho hàm số y = x3 − 3x có đồ thị (C) và đường thẳng d đi qua điểm A(1;−2) vàcó hệ số góc k. Biện luận theo k vị trí tương đối giữa (C) và d.

. 7.10 Xác định định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3ax2 + 4a3 tạiba biểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC.

. 7.11 Xác định m để hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + m cắt trục hoành tại ba điểm phânbiệt có các hoành độ lập thành cấp số cộng.

. 7.12 Cho hàm số y =(3m + 1)x − m2 + m

x + mvới m 6= 0. Xác định m để tại giao điểm

của đồ thị với trục hoành tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y = x − 10

. 7.13 Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =x2 − x + 1

x − 1đều không đi

qua điểm I(1; 1).

. 7.14 Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = x3 − 3x + 1 biết rằng

tiếp tuyến này qua A(2

3;−1).

. 7.15 Tìm điểm A trên trục tung sao cho qua A có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thịcủa hàm số y = x4 − x2 + 1.

. 7.16 Cho hàm số y =x2 − 3x + 4

2x − 2a) Tìm phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số tại điểm A(0;−2)b) Đường thẳng d cắt tiệm cận của đồ thị hàm số tại điểm B, C. Chứng minh rằng A làtrung điểm của đoạn BC

Trần Anh Tuấn

7.2 Ví dụ và bài tập 19

. 7.17 Cho hàm số y =mx2 + (2 − m2)x − 2m − 1

x − m. Tìm m để hàm số có cực trị. Chứng

minh rằng với m tìm được, trên đồ thị hàm số luôn tìm được hai điểm mà tiếp tuyến tạihai điểm đó vuông góc nhau.

. 7.18 Cho hàm số y =x2 + 3x + m

x + 1. Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số trên

có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi hai trục toạ độ.Chứng minh rằng khi đó đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu

. 7.19 Cho hàm số y =2x2 − x + 1

x − 1. Chứng minh rằng trên đường thẳng y = 7 có bốn

điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếptuyến này hợp với nhau một góc 450

. 7.20 Cho hàm số y =−x + 3

2x− 1a) Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đườngphân giác thứ hai của mặt phẳng toạ độ.b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình

2x2 − 2kx − 2x + k + 3 = 0

. 7.21 Cho hàm số y = x3 − 3x. Dựa vào đồ thị của hàm số, hãybiện luận theo m sốnghiệm của phương trình

x3 − x(m + 3) + m − 2 = 0

. 7.22 Cho hàm số y =x2 + mx + 2m − 1

mx + 1a) Xác định m sao cho hàm số có cực trị và đường tiệm cận xiên đi qua gốc toạ độ.b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.c) Biện luân theo m số nghiệm của phương trình

{

cos 2x + 2(1 − m) cos x + 3 − 2m = 0

−π < x < π

. 7.23 Cho hàm số y =−3x2 + mx + 4

4x + ma) Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ bằng không vuônggóc với tiệm cận xiên của đồ thị.b) Xác định các giá trị của a để phương trình sau có nghiệm

sin6 x + cos6 x = a| sin 2x|

. 7.24 Cho hàm số y =2x2 − 3x + m

x − 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình

2x2 − 3x + 2

x − 1+ log1

2

a = 0

Trần Anh Tuấn

20

8 Khoảng cách

. 8.1 Cho hàm số y =x2 − x + 1

x − 1. Xác định hai điểm A, B trên hai nhánh phân biệt của

đồ thị sao cho AB ngắn nhất.

. 8.2 Cho hàm số y =x + 1

x − 1. Gọi d : 2x− y + m = 0. Chứng minh rằng d luôn cắt đồ thị

hàm số tại hai điểm phân biệt A, B trên hai nhánh của đồ thị. Xác định m để độ dài AB

là ngắn nhất.

. 8.3 Cho hàm số y =x2

x − 1. Xác định k sao cho đường thẳng y = k cắt đồ thị hàm số

tại hai điểm có khoảng cách bằng√

5.

. 8.4 Cho hàm số y =x2 + x − 5

x − 2a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.b) Tìm trên hai nhánh phân biệt của (C) hai điểm A, B sao cho khoảng cách AB là ngắnnhất.c) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên (C) đến hai tiệm cậnluôn bằng một hằng số.

. 8.5 Cho (C) : y =x − 1

x + 1. Tìm M ∈ (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ

độ là nhỏ nhất.

. 8.6 Cho đồ thị hàm số (C) : y =x2 + 5x + 15

x + 3a) Tìm M ∈ (C) để toạ độ của M là các ssó nguyên.b) Tìm M ∈ (C) để để khoảng cách từ M đến Ox gấp hai lần khoảng cách từ M đến Oy.

. 8.7 Tìm M ∈ (C) : y =x2 + 3x + 3

x + 2để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là

nhỏ nhất.

. 8.8 Cho (C) : y =x2 + 2x − 2

x − 1. Tìm điểm M ∈ (C) để khoảng cách từ M đến giao

điểm hai tiệm cận là nhỏ nhất.

9 Họ đường congĐịnh lý 9.1 Cho đa thức

Pn(x) = anxn + ... + a1x + a0

Khi đó Pn(x) = 0 có tối đa n nghiệm. Nếu Pn(x) có nhiều hơn n nghiệm thì Pn(x) có tấtcả các hệ số bằng không.

Trần Anh Tuấn

21

. 9.1 Tìm điểm cố định của các họ (Cm):a) y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 2m(2m − 1)

b) y =2x2 + (1 − m)x + (1 + m)

x − mvới m 6= −1

. 9.2 Chứng minh rằng (Cm) : y = (m + 2)x3 − 3(m + 2)x2 − 4x + 2m − 1 có ba điểmcố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm cố định đó.

. 9.3 Cho đường cong (Cm) : y =−x2 + mx − m2

x − m. Tìm các điểm trong mặt phẳng sao

cho có đúng hai đường cong của họ (Cm) đi qua.

. 9.4 Cho họ đường cong

(Cm) : y =mx2 − (m2 + m − 1)x + (m2 − m + 2)

x − m

Chứng minh rằng mỗi điểm ở bên phải đường thẳng x = 1 luôn có đúng hai đường cong(Cm) đi qua.

. 9.5 Tìm trên mặt phẳng những điểm mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua:

a) y =(3m + 1)x − m2 + m

x + mb) y = 2x3 + 3mx2 − m3 − 5m2 − 4

10 Tâm đối xứng. Trục đối xứng của đồ thị hàm số.

10.1 Tóm tắt lí thuyếtCông thức đổi hệ trục toạ độCho hệ trục toạ độ Đềcác Oxy và hệ trục toạ độ IXY . Giải sử điểm M(x; y) và I(x0; y0)trong hệ trục toạ độ Oxy. Khi đó trong hệ trục toạ độ IXY điểm M(X; Y ) và ta có{

x = x0 + X

y = y0 + Y

Định nghĩa 10.1 Hàm số y = f(x) có tập xác định là D được gọi là hàm số chẵn trênD nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f(x) = f(−x). Hàm số y = f(x) có tập xác định là D đượcgọi là hàm số lẻ trên D nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f(x) = −f(−x).

Định lý 10.1 Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số lẻnhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

Chú ý 10 - Muốn chứng minh đồ thị một hàm số có tâm đối xứng hay có trục đối xứngta cần dùng phép đổi hệ trục toạ độ và chứng minh hàm số là hàm số lẻ hay chẵn.- Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Đồ thị các hàm số phân thức(bậc hai/bậc nhất hay bậc nhất/bậc nhất) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.Đồ thị hàm số trùng phương nhận trục tung làm trục đối xứng.

Trần Anh Tuấn

10.2 Ví dụ và bài tập 22

10.2 Ví dụ và bài tập. 10.1 Chứng minh rằng đường thẳng ∆ : x = 1 là trục đối xứng của đồ thị (C) của hàmsố

y = x4 − 4x3 + 7x2 − 6x + 4

. 10.2 Cho đồ thị (C) : y =2x + 3

x − 1.Chứng minh rằng (C) nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng.

11 Phần các đề luyện tập

. 11.1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =2x2 − 4x − 3

2(x − 1).

b) Tìm m để phương trình 2x2 − 4x − 3 + 2m|x − 1| = 0 có hai nghiệm phân biệt.

. 11.2 Cho hàm số

y =x2 + (2m + 1)x + m2 + m + 4

2(x + m)(1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.b) Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thịhàm số (1).

. 11.3 Cho hàm số y = (x − 1)(x2 + mx + m) (1)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 4.b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

. 11.4 Cho hàm số y =2x − 1

x − 1(1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).b) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyếncủa (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM .

. 11.5 Cho hàm số y =x2 + 5x + m2 + 6

x + 3a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).

. 11.6 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2x3 − 3x2 − 1b) Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm M(0;−1) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳngdk cắt (C) tại ba điểm phân biệt.

. 11.7 Cho hàm số y = x4 − mx2 + m − 1 (1)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 8b) Xác định m sao đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

. 11.8 Cho hàm số y =x2 − 2x + m

x − 2a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn [−1; 0].c) Tìm a để phương trình sau có nghiệm:

91+√

1−t2 − (a + 2)31+√

1−t2 + 2a + 1 = 0

Trần Anh Tuấn

23

. 11.9 Cho hàm số y =1

3x3 + mx2 − 2x − 2m − 1

3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =1

2. Viết phương trình tiếp

tuyến của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d : y = 4x+2

b) Tìm m ∈(

0;5

6

)

sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và các đường thẳng

x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4.

. 11.10 Cho hàm số y = (x − m)3 − 3xa) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.c) Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm:

|x − 1|3 − 3x − k < 01

2log2 x2 +

1

3log2(x − 1)3 ≤ 1.

. 11.11 Cho hàm số y =x2 + mx

1 − xa) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0b) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữahai điểm cực trị của hàm số bằng 10.

. 11.12 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =1

3x3 − 2x2 + 3x

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành.

. 11.13 Cho hàm số y =x2 − x + 1

x − 1(1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Dựa vào đồ thị hàm số (1), hãy vẽ đồ thị hàm số sau y =x2 − |x| + 1

|x| − 1

. 11.14 Cho hàm số y =x + 3

x + 2(1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Chứng minh rằng đường thẳng y =1

3x − m luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm

phân biệt A, B. Xác định m sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.

. 11.15 Cho hàm số y = −x3 + 3x − 2 (1)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Viết phương trình tiếp tuyến của (1), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(−2; 0)c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x3 − 3x + 2 + log2 m = m

với m là tham số dương.

Trần Anh Tuấn

24

. 11.16 Cho hàm số y = x + 1 +1

x − 1(1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Tiếp tuyến tuỳ ý với đồ thị (1) của hàm số cắt hai tiệm cận tại A, B, gọi I là giao điểmhai tiệm cận. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi tiếp tuyến thay đổi.

. 11.17 Cho hàm số y =x2 + x − 1

x − 1(1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Tìm m để đường thẳng y = mx − 2m + 2 cắt đồ thị (1) tại hai điểm thuộc hai nhánhcủa (1).

. 11.18 Cho hàm số y =x2 + 2x + 2

x + 1(1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x2 + 2x + 2

x + 1− mx − m = 0

. 11.19 Cho hàm sốy = x3 − (m + 1)x2 + (m − 1)x + 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1b) Chứng minh rằng khi m 6= 0, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

. 11.20 Cho hàm số y =x2 − x + m

1 − xa) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về haiphía của trục tung.

. 11.21 Cho hàm số y =x2 + (m + 2)x + 2(m + 1)

x + 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác códiện tích bằng 8

. 11.22 Cho hàm số y =2

3x3 − mx2 + 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1b) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.

. 11.23 Cho hàm số y =2x + 4

x + 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phânbiệt A, B. Tìm m để AB ngắn nhất.

Trần Anh Tuấn

25

. 11.24 Cho hàm số y =x2 + 1

xa) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x2 + 1

x=

m2 + 1

m

. 11.25 Cho hàm số y =x2 + (m + 2)x − m

x + 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1b) Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểuc) Tìm m để đường thẳng y = −x − 4 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm đối xứng nhau quađường thẳng y = x

. 11.26 Cho hàm số y = x3 + mx2 − x − m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và hoành độ các giaođiểm lập thành cấp số cộng.c) Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.

. 11.27 Cho hàm số y =x2 + 2x + 1

xa) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tìm m để phương trình |x + 2| + 1

x= log2 m có đúng ba nghiệm phân biệt.

. 11.28 Cho hàm số y =x2 − 2x + 2

x − 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Hãy viết phương trình đường thẳng qua I sao chochúng có hệ số góc nguyên và cắt đồ thị hàm số tại bốn điểm phân biệt là bốn đỉnh củamột hình chữ nhật

. 11.29 Cho hàm số y =x2 + 2x − 5

x − 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Xác định m để đường thẳng y = mx cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B saocho gốc toạ độ O là trung điểm AB

. 11.30 Cho hàm số y =2x2 + x + 1

x + 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kì trên đồ thị đến hai đườngtiệm cận của nó luôn là một hằng số.

. 11.31 Cho hàm số y = mx +1

x(1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =1

4b) Tìm m để hàm số (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (1)

đến tiệm cận xiên bằng1√2

Trần Anh Tuấn

26

. 11.32 Cho hàm số

y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2)x + m3 − m2 (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1b) Tìm k để phương trình

−x3 + 3x2 + k3 − 3k2 = 0

có ba nghiệm phân biệtc) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1)

. 11.33 Cho hàm số y =mx2 + x + m

x − 1(1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó cóhaònh độ dương.

. 11.34 Cho hàm số y =−x2 + 3x − 3

2(x − 1)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B sao cho AB = 1

. 11.35 Cho hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1b) Tìm m để hàm số có ba cực trị.

. 11.36 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2b) Tìm m để hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ đô

. 11.37 Cho hàm số y =1

3x3 − 2x2 + 3x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm uốn. Chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến có hệsố góc nhỏ nhất.

. 11.38 Cho hàm số y =x2 + (m + 1)x + m + 1

x + 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1b) Chứng minh rằng với m bất kì, đồ thị hàm số luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu,đồng thời khoảng cách giữa hai điểm đó bằng

√20

. 11.39 Cho hàm số y =(2m − 1)x − m2

x − 1(1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1, gọi (C) là đồ thị của hàmsốb) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục toạ độ.c) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x

Trần Anh Tuấn

27

. 11.40 Cho hàm số y =x2 − 2x + 4

x − 2(1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Tìm m để đường thẳng y = mx + 2− 2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.

. 11.41 Cho hàm số y =1

3x3 − m

2x2 +

1

3a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến với đồthị hàm số tại M song song với đường thẳng 5x − y = 0

. 11.42 Cho hàm số y =1

4x2 − x + 2; (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Chứng minh rằng từ điểm A(7

2; 0) có thể vẽ được hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã

cho và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.c) Gọi d là đường thẳng đi qua B(1;−1) và có hệ số góc k. Biện luận theo k vị trí tươngđối của d và (C).

. 11.43 Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m − 1 có đồ thị là (Cm)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1; m = 2b) Xác định m sao cho hàm số:

1) Đồng biến trong (−1; +∞)2) Có cực trị trong (−1; +∞)

c) Chứng minh rằng (Cm) luôn luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt M, N . Xácđịnh m sao cho MN là nhỏ nhất.

. 11.44 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 9x + 2 (1)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) có tâm đối xứng.c) Gọi a là hoành độ của tâm đối xứng, hãy giải bất phương trình f(x − a) ≥ 2

. 11.45 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Biện luận số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 + m = 0

. 11.46 Cho hàm số y =3x + 2

x + 2a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Tìm các điểm trên đồ thị hàm số có toạ độ là những số nguyên.c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua giao điểm hai tiệmcận.

. 11.47 Cho hàm số y =x + 3

x + 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luôncắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N .c) Xác định m sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất.d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt hai đường tiệm cận của (C) tại P, Q.Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

Trần Anh Tuấn

28

. 11.48 Cho hàm số y = x − 1

xa) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Tìm các toạ độ của tâm đối xứng của đồ thị (C).c) Chứng minh rằng trên (C) tồn tại những cặp điểm mà tiếp tuyến tại đó song song vớinhau.d) Xác định m để đường thẳng y = m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho OA⊥OB

. 11.49 Cho hàm số y =x2 − 3x

x − 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốb) Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Tìm các điểm trên (C) có các toạ độ là các sốnguyên.c) Chứng minh rằng đường thẳng d : y = −x + m luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phânbiệt M, N

d) Giả sử đường thẳng d cắt hai tiệm cận của (C) tại P, Q. Chứng minh rằng hai đoạnMN và PQ có cùng trung điểm.

. 11.50 Cho hàm số y =x2 + mx + 2m − 1

mx + 1(Cm)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1b) Xác định m sao cho hàm số có cực trị và tiệm cận xiên của Cm đi qua gốc toạ độ.c) Biện luận theo tham số h, số nghiệm của phương trình

{

cos 2t + 2(1 − h) cos t + 3 − 2h = 0

−π < t < π

. 11.51 Cho hàm số y =x2 + mx − 2m − 4

x + 2a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1b) Xác định m để hàm số có cực trị.c) Gọi (C) là đồ thị hàm số trên. Giả sử tiếp tuyến tại M ∈ (C) cắt hai tiệm cận tại P, Q.Chứng minh rằng MP = MQ

. 11.52 Cho hàm số y =x2 + mx − m + 8

x − 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = −1b) Viết phương trình Parabol đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (C) và tiếp xúc vớiđường thẳng 2x − y − 10 = 0c) Trong trường hợp tổng quát, hãy xác định tất cả các giá trị của tham số m để điểmcực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho ở về hai phía của đường thẳng 9x− 7y− 1 = 0

. 11.53 Cho hàm số y = x3 + ax + 2a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = −3b) Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm.

. 11.54 Cho hàm số

y =1

3x3 − mx2 − x + m +

2

3(C)

Trần Anh Tuấn

29

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0b) Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số (C)c) Với giá trị nào của m thì đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độlà x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x2

1 + x22 + x2

3 > 15

. 11.55 Cho hàm số y =x2 + mx − m + 8

x − 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = −1b) Viết phương trình Parabol đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị (C) và tiếpxúc với đường thẳng 2x − y − 10 = 0c) Trong trường hợp tổng quát, hãy xác định tất cả các giá trị của tham số m để điểm cựcđại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho ở về hai phía của đường thẳng 9x−7y−9 = 0.

. 11.56 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + (m2 + 2m − 3)x + 4a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1b) Viết phương trình Parabol đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị (C) và tiếpxúc với đường thẳng y = −2x + 2c) Trong trường hợp tổng quát, hãy xác định tất cả các giá trị của tham số m để điểmcực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho ở về hai phía của trục tung.

. 11.57 Cho hàm số y = x3 + ax + 2a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = −3b) Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm.

. 11.58 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 2a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.b) Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến vớiđồ thị.

. 11.59 Cho hàm số y =x2 + x − 1

x − 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.b) Tìm trên đồ thị những điểm cách đều hai trục toạ độ.c) Với những giá trị nào của m thì đường thẳng y = m−x cắt đồ thị hàm số tại hai điểmphân biệt. Chứng minh rằng khi đó hai giao điểm đều thuộc cùng một nhánh của đồ thị.

. 11.60 Cho hàm số y =x2

x − 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.b) Tìm hai điểm A, B trên đồ thị và đối xứng nhau qua đường thẳng y = x − 1.

. 11.61 Cho hàm số y =2x2 + (a + 1)x − 3

x + aa) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 2b) Xác định a để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tiếp xúc với Parabol y = x2 + 5c) Tìm quỹ tích giao điểm của hai tiệm cận khi a thay đổi.

. 11.62 Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 7m + 2)x − 2m(m + 2)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0b) Tìm m để phương trình y(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt ≥ 1.

Trần Anh Tuấn

30

. 11.63 Cho hàm số y =x2

x − 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sốb) Viết phương trình Parabol đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị (C) và tiếp

xúc với đường thẳng y = −1

2c) Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số để khoảng cách giữachúng là nhỏ nhất.

. 11.64 Cho hàm số y = −x + 3 +3

x − 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.b) Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x+m luôn luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm cóhoành độ x1, x2. Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất.

. 11.65 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.b) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình x3 − 3x2 − a = 0 có ba nghiệmphân biệt, trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.

Trần Anh Tuấn