《附錄 3-1 研究者設計教材學習單》____年____班 ____號 姓名___________

一 奇數與偶數

1 偶數的規律

下列是偶數個白子排成的一連串圖形觀察其排列的規律試回答下列問題

⋯

⋯ 第 4圖第 1圖 第 2圖 第 3圖

(1) 請將圖號所對應的白子數填入下列表格找出白子數呈現的規律

圖號 第 1圖 第 2圖 第 3圖 第 4圖 第 5圖 ⋯ 第 11圖 ⋯ 第 n圖

白子數 ⋯ ⋯

白子數的規律

(2) 請你算出第 5圖與第 11圖的白子數並將算法寫下來

第 5圖

第 11圖

(3) 請問第 n圖所對應的白子數有幾個

(4) 請問第 100圖所對應的白子數有幾個

~166~

2 奇數的規律

下列是奇數個黑子排成的一連串圖形觀察其排列的規律試回答下列問題

⋯

第 1圖 第 2圖 第 3圖 第 4圖 ⋯

(1) 請將圖號所對應的黑子數填入下列表格找出黑子數呈現的規律

圖號 第 1圖 第 2圖 第 3圖 第 4圖 第 5圖 ⋯ 第 11圖 ⋯ 第 n圖

黑子數 ⋯ ⋯

黑子數的規律

(2) 將上題的偶數和本題的奇數按順序對齊排在一起觀察偶數的數列和奇

數的數列有怎樣的關係

圖號 第 1圖 第 2圖 第 3圖 第 4圖 第 5圖 ⋯ 第 11圖 ⋯ 第 n圖

偶數

(白子數) ⋯ ⋯

奇數

(黑子數) ⋯ ⋯

奇數數列與偶數數列的關係

(3) 請你利用(2)奇數與偶數的關係算出第 5圖與第 11圖的黑子數

第 5圖

第 11圖

(4) 請問第 n圖所對應黑子個數該如何表示

~167~

(5) 請問第 69圖所對應的黑子數有幾個

3 奇數和偶數的加減關係

(1) 偶數＋偶數rarr____________(填入奇數或偶數)

(2) 奇數＋奇數rarr____________(填入奇數或偶數)

(3) 偶數－偶數rarr______________(填入奇數或偶數)

(4) 奇數－奇數rarr______________(填入奇數或偶數)

~168~

(5) 請你模仿之前的方式來判斷

偶數＋奇數rarr______________(填入奇數或偶數)

奇數＋偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

偶數－奇數rarr______________ (填入奇數或偶數)

奇數－偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

(5) 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

~169~

4 奇數與偶數的乘法關係

(1) 任找兩個偶數相乘請問最後結果是奇數還是偶數為什麼

偶數times偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

(2) 任找一個偶數與一個奇數相乘請問最後結果是奇數還是偶數為什麼

偶數times奇數rarr______________ (填入奇數或偶數)

奇數times偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

(3) 任找兩個奇數相乘請問最後結果是奇數還是偶數為什麼

奇數times奇數rarr______________ (填入奇數或偶數)

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

(4) 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

~170~

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

rarr_____________ rarr_____________ 47 36

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~171~

二猜規律

以下的數列都呈現一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~172~

三形數的規律

1正三角形的規律

利用一些白子排成如下的正三角形觀察其規律試回答下列問題

第二圖

第三圖

第四圖

第一圖 ⋯

⋯

(1) 請將正三角形「一邊上的白子數」與「對應的白子總」數填入下列表格

並算出第 5圖與第 11圖的白子總數

圖號 1 2 3 4 5 ⋯ 11 ⋯ n 邊上

的白

子數 ⋯ ⋯

白子

總數 ⋯ ⋯

(2) 不要畫出第十一圖的三角形請你算出所對應的白子總數請你說明的

方法

(3) 請寫出第 n圖所對應的白子總數

~173~

2正方形的規律

利用一些火柴棒排成如下圖的連續正方形

(1) 請將連續正方形的個數與對應的火柴棒數量填入下表

圖形連排 連續正方形數 火柴棒的數量

1

2

3

4

十一個正方形 11

(2) 不要畫出連續十一個正方形請你算出對應的火柴棒數量並將作法寫

下來

(3) 請算出連續 n個正方形所需的火柴棒數量

(4) 請算出連續 125個正方形所需的火柴棒數量

~174~

練習(1)請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

(2)觀察以下兩個數列分別寫出他們的第 n項第 99項與第 100項

第一組數列(奇數數列) 13579⋯⋯

第二組數列(奇數數列) 357911⋯⋯

四生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一

定的規律排列右圖是前幾個座號的

排列規律請你觀察當中的規律並

回答下列問題

窗 窗

(1) 觀察「右道」這一排請問

該排第 11個座位是幾號

~175~

(2) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(3) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(4) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~176~

《附錄 3-2 研究者設計教材教案》

第一節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動一偶數的規律 學習單一1偶數的規

律 1 將代表偶數的第 1 圖

~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的白子數填入表格

中

分別填入 2468

2 請學生觀察寫下的數

列(即白子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是偶數 (2)都是 2的倍數 (3)從第一項開始恰是 2的 1倍2的 2倍⋯⋯

(4)後一項比前一項多 2

偶數數列有很多規律

但為了教學上的需要

必需引導出(3)(4)的答案

3 請學生嘗試利用觀察

到的規律預測第 5 圖與第 11圖的白子數

寫出 第 5 圖白子數＝2times5＝10第 11 圖白子數＝

2times11＝22

籍由觀察到的規律訓

練學生不根據圖號即

可預測圖形白子數

4 請學生嘗試回答第 n圖的白子數

回答並寫出 第 n 圖白子數＝2timesn＝2n

回答此題學生必需要

有 A-3-1-1 的先備能力

上 說明 2times即為偶數的

樣式 5 請學生利用得到第 n圖白子數的結果預

測第 100圖白子數

回答並寫出 第 100 圖白子數＝

2times100＝200

希望學生能以 n＝100代入 2n以代入求值的方法求出答案

教學活動二奇數的規律 學習單一2奇數的規

律

~177~

1 將代表奇數的第 1 圖~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的黑子數填入表格

中

分別填入 1357

2 請學生觀察寫下的數

列(即黑子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是奇數 (2)後一項比前一項多 2 將規律寫在學習單上

3 詢問學生奇數數列與

偶數數列規律的異

同奇數是否均為某

固定數字的倍數

回答 (1)異分別為奇數與偶

數而偶數可寫成 2 的倍數數列但奇數無法

寫成倍數數列 (2)同兩數列後一項都比

前一項多 2 (3)在此形成的奇數數列

不是某一固定數的倍數

此動作讓學生知道奇

數的第 n 項無法寫成「某固定數字timesn」

4 請學生將偶數數列和

奇數數列的前 4 項按順序排列在一起並

觀察這兩數列的關

係

回答並寫下相同圖號

的奇數都比偶數少 1 可請學生進一步思考是

否能找到 2 的倍數數列

之外的其他倍數數列與

奇數數列均成差不變關

係 5 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 5 圖與第 11圖的黑子數

回答 第 5 圖黑子數＝5times2－1＝9第 11 圖黑子數＝

2times11－1＝21

學生也可能以(首項＋公差times4)的方式回答第 5圖的黑子數但此並不

為本次教學的主要解題

策略 6 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 n 圖的黑子數

回答 第 n 圖的奇數比第 n 圖的偶數少 1故答案為 2timesn－1

此題對學生而言可能比

較難需要較多的解

說 說明 2times－1即為奇數

的樣式 7 請學生利用得到第 n圖黑子數的結果預

測第 69圖黑子數

回答並寫出 第 69圖黑子數 ＝2times69－1＝137

希望學生能以 n＝59代入 2n－1以代入求值的方法求出答案

~178~

第二節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動三奇數和偶數

的加減關係 學習單一3奇數和偶

數的加減關係 1 嘗試讓學生說明任

兩個偶數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】偶數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個偶數相

加形如

故兩個偶數相加必是偶

數

在此的安排讓學生思考

與嘗試發表意見 學生的回答模式亦可能

如下【以實際數字舉例

說明】假設這兩個偶數

分別 4和 64＋6＝10故兩個偶數相加必是偶

數 (除此之外尚有許多回答模式此僅舉出八

年級學生最可能出現的

答題類型)在此建議讓學生以圖型排列的模式

讓學生理解奇偶數的加

減運算規則 2 嘗試讓學生說明任

兩個奇數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】奇數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個奇數相加

形如 故兩

個奇數相加必是偶數

3 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】偶數的

圖形排列形如 任

兩 個 偶 數 相 減 形 如

故兩個偶數

相減必是偶數

⋯

⋯⋯

⋯

~179~

4 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】奇數的

圖形排列形如 任

兩 個 奇 數 相 減 形 如

故兩個奇

數相減必是偶數

5 給學生時間去思考一個奇數與一個偶數的

加減關係

寫下 偶數＋奇數rarr奇數 奇數＋偶數rarr奇數 偶數－奇數rarr奇數 奇數－偶數rarr奇數

適當給予學生引導鼓

勵學生多討論 待大部份學生完成後請

他們上台說明並發表

在此可加入多元評量的

教學技巧 6 帶領學生得出奇偶數

加減關係的規則 寫下結論 (1)同為偶數相加減或同

為奇數相加減rarr偶數 (2)一偶數和一個奇數相

加減rarr奇數

將一開始的 8個規則簡化成 2 個規則在此可以讓學生體會到數會rdquo以簡馭繁rdquo的特性

7 請學生作學習單練習

題共 7題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

提示學生不要算出運算

結果直接以歸納出來

的規則判斷 前 5題學生可能比較容易得到答案最後 2 題則可能需要老師的提示

與引導

~180~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

2 奇數的規律

下列是奇數個黑子排成的一連串圖形觀察其排列的規律試回答下列問題

⋯

第 1圖 第 2圖 第 3圖 第 4圖 ⋯

(1) 請將圖號所對應的黑子數填入下列表格找出黑子數呈現的規律

圖號 第 1圖 第 2圖 第 3圖 第 4圖 第 5圖 ⋯ 第 11圖 ⋯ 第 n圖

黑子數 ⋯ ⋯

黑子數的規律

(2) 將上題的偶數和本題的奇數按順序對齊排在一起觀察偶數的數列和奇

數的數列有怎樣的關係

圖號 第 1圖 第 2圖 第 3圖 第 4圖 第 5圖 ⋯ 第 11圖 ⋯ 第 n圖

偶數

(白子數) ⋯ ⋯

奇數

(黑子數) ⋯ ⋯

奇數數列與偶數數列的關係

(3) 請你利用(2)奇數與偶數的關係算出第 5圖與第 11圖的黑子數

第 5圖

第 11圖

(4) 請問第 n圖所對應黑子個數該如何表示

~167~

(5) 請問第 69圖所對應的黑子數有幾個

3 奇數和偶數的加減關係

(1) 偶數＋偶數rarr____________(填入奇數或偶數)

(2) 奇數＋奇數rarr____________(填入奇數或偶數)

(3) 偶數－偶數rarr______________(填入奇數或偶數)

(4) 奇數－奇數rarr______________(填入奇數或偶數)

~168~

(5) 請你模仿之前的方式來判斷

偶數＋奇數rarr______________(填入奇數或偶數)

奇數＋偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

偶數－奇數rarr______________ (填入奇數或偶數)

奇數－偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

(5) 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

~169~

4 奇數與偶數的乘法關係

(1) 任找兩個偶數相乘請問最後結果是奇數還是偶數為什麼

偶數times偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

(2) 任找一個偶數與一個奇數相乘請問最後結果是奇數還是偶數為什麼

偶數times奇數rarr______________ (填入奇數或偶數)

奇數times偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

(3) 任找兩個奇數相乘請問最後結果是奇數還是偶數為什麼

奇數times奇數rarr______________ (填入奇數或偶數)

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

(4) 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

~170~

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

rarr_____________ rarr_____________ 47 36

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~171~

二猜規律

以下的數列都呈現一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~172~

三形數的規律

1正三角形的規律

利用一些白子排成如下的正三角形觀察其規律試回答下列問題

第二圖

第三圖

第四圖

第一圖 ⋯

⋯

(1) 請將正三角形「一邊上的白子數」與「對應的白子總」數填入下列表格

並算出第 5圖與第 11圖的白子總數

圖號 1 2 3 4 5 ⋯ 11 ⋯ n 邊上

的白

子數 ⋯ ⋯

白子

總數 ⋯ ⋯

(2) 不要畫出第十一圖的三角形請你算出所對應的白子總數請你說明的

方法

(3) 請寫出第 n圖所對應的白子總數

~173~

2正方形的規律

利用一些火柴棒排成如下圖的連續正方形

(1) 請將連續正方形的個數與對應的火柴棒數量填入下表

圖形連排 連續正方形數 火柴棒的數量

1

2

3

4

十一個正方形 11

(2) 不要畫出連續十一個正方形請你算出對應的火柴棒數量並將作法寫

下來

(3) 請算出連續 n個正方形所需的火柴棒數量

(4) 請算出連續 125個正方形所需的火柴棒數量

~174~

練習(1)請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

(2)觀察以下兩個數列分別寫出他們的第 n項第 99項與第 100項

第一組數列(奇數數列) 13579⋯⋯

第二組數列(奇數數列) 357911⋯⋯

四生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一

定的規律排列右圖是前幾個座號的

排列規律請你觀察當中的規律並

回答下列問題

窗 窗

(1) 觀察「右道」這一排請問

該排第 11個座位是幾號

~175~

(2) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(3) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(4) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~176~

《附錄 3-2 研究者設計教材教案》

第一節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動一偶數的規律 學習單一1偶數的規

律 1 將代表偶數的第 1 圖

~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的白子數填入表格

中

分別填入 2468

2 請學生觀察寫下的數

列(即白子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是偶數 (2)都是 2的倍數 (3)從第一項開始恰是 2的 1倍2的 2倍⋯⋯

(4)後一項比前一項多 2

偶數數列有很多規律

但為了教學上的需要

必需引導出(3)(4)的答案

3 請學生嘗試利用觀察

到的規律預測第 5 圖與第 11圖的白子數

寫出 第 5 圖白子數＝2times5＝10第 11 圖白子數＝

2times11＝22

籍由觀察到的規律訓

練學生不根據圖號即

可預測圖形白子數

4 請學生嘗試回答第 n圖的白子數

回答並寫出 第 n 圖白子數＝2timesn＝2n

回答此題學生必需要

有 A-3-1-1 的先備能力

上 說明 2times即為偶數的

樣式 5 請學生利用得到第 n圖白子數的結果預

測第 100圖白子數

回答並寫出 第 100 圖白子數＝

2times100＝200

希望學生能以 n＝100代入 2n以代入求值的方法求出答案

教學活動二奇數的規律 學習單一2奇數的規

律

~177~

1 將代表奇數的第 1 圖~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的黑子數填入表格

中

分別填入 1357

2 請學生觀察寫下的數

列(即黑子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是奇數 (2)後一項比前一項多 2 將規律寫在學習單上

3 詢問學生奇數數列與

偶數數列規律的異

同奇數是否均為某

固定數字的倍數

回答 (1)異分別為奇數與偶

數而偶數可寫成 2 的倍數數列但奇數無法

寫成倍數數列 (2)同兩數列後一項都比

前一項多 2 (3)在此形成的奇數數列

不是某一固定數的倍數

此動作讓學生知道奇

數的第 n 項無法寫成「某固定數字timesn」

4 請學生將偶數數列和

奇數數列的前 4 項按順序排列在一起並

觀察這兩數列的關

係

回答並寫下相同圖號

的奇數都比偶數少 1 可請學生進一步思考是

否能找到 2 的倍數數列

之外的其他倍數數列與

奇數數列均成差不變關

係 5 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 5 圖與第 11圖的黑子數

回答 第 5 圖黑子數＝5times2－1＝9第 11 圖黑子數＝

2times11－1＝21

學生也可能以(首項＋公差times4)的方式回答第 5圖的黑子數但此並不

為本次教學的主要解題

策略 6 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 n 圖的黑子數

回答 第 n 圖的奇數比第 n 圖的偶數少 1故答案為 2timesn－1

此題對學生而言可能比

較難需要較多的解

說 說明 2times－1即為奇數

的樣式 7 請學生利用得到第 n圖黑子數的結果預

測第 69圖黑子數

回答並寫出 第 69圖黑子數 ＝2times69－1＝137

希望學生能以 n＝59代入 2n－1以代入求值的方法求出答案

~178~

第二節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動三奇數和偶數

的加減關係 學習單一3奇數和偶

數的加減關係 1 嘗試讓學生說明任

兩個偶數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】偶數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個偶數相

加形如

故兩個偶數相加必是偶

數

在此的安排讓學生思考

與嘗試發表意見 學生的回答模式亦可能

如下【以實際數字舉例

說明】假設這兩個偶數

分別 4和 64＋6＝10故兩個偶數相加必是偶

數 (除此之外尚有許多回答模式此僅舉出八

年級學生最可能出現的

答題類型)在此建議讓學生以圖型排列的模式

讓學生理解奇偶數的加

減運算規則 2 嘗試讓學生說明任

兩個奇數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】奇數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個奇數相加

形如 故兩

個奇數相加必是偶數

3 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】偶數的

圖形排列形如 任

兩 個 偶 數 相 減 形 如

故兩個偶數

相減必是偶數

⋯

⋯⋯

⋯

~179~

4 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】奇數的

圖形排列形如 任

兩 個 奇 數 相 減 形 如

故兩個奇

數相減必是偶數

5 給學生時間去思考一個奇數與一個偶數的

加減關係

寫下 偶數＋奇數rarr奇數 奇數＋偶數rarr奇數 偶數－奇數rarr奇數 奇數－偶數rarr奇數

適當給予學生引導鼓

勵學生多討論 待大部份學生完成後請

他們上台說明並發表

在此可加入多元評量的

教學技巧 6 帶領學生得出奇偶數

加減關係的規則 寫下結論 (1)同為偶數相加減或同

為奇數相加減rarr偶數 (2)一偶數和一個奇數相

加減rarr奇數

將一開始的 8個規則簡化成 2 個規則在此可以讓學生體會到數會rdquo以簡馭繁rdquo的特性

7 請學生作學習單練習

題共 7題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

提示學生不要算出運算

結果直接以歸納出來

的規則判斷 前 5題學生可能比較容易得到答案最後 2 題則可能需要老師的提示

與引導

~180~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

(5) 請問第 69圖所對應的黑子數有幾個

3 奇數和偶數的加減關係

(1) 偶數＋偶數rarr____________(填入奇數或偶數)

(2) 奇數＋奇數rarr____________(填入奇數或偶數)

(3) 偶數－偶數rarr______________(填入奇數或偶數)

(4) 奇數－奇數rarr______________(填入奇數或偶數)

~168~

(5) 請你模仿之前的方式來判斷

偶數＋奇數rarr______________(填入奇數或偶數)

奇數＋偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

偶數－奇數rarr______________ (填入奇數或偶數)

奇數－偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

(5) 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

~169~

4 奇數與偶數的乘法關係

(1) 任找兩個偶數相乘請問最後結果是奇數還是偶數為什麼

偶數times偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

(2) 任找一個偶數與一個奇數相乘請問最後結果是奇數還是偶數為什麼

偶數times奇數rarr______________ (填入奇數或偶數)

奇數times偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

(3) 任找兩個奇數相乘請問最後結果是奇數還是偶數為什麼

奇數times奇數rarr______________ (填入奇數或偶數)

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

(4) 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

~170~

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

rarr_____________ rarr_____________ 47 36

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~171~

二猜規律

以下的數列都呈現一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~172~

三形數的規律

1正三角形的規律

利用一些白子排成如下的正三角形觀察其規律試回答下列問題

第二圖

第三圖

第四圖

第一圖 ⋯

⋯

(1) 請將正三角形「一邊上的白子數」與「對應的白子總」數填入下列表格

並算出第 5圖與第 11圖的白子總數

圖號 1 2 3 4 5 ⋯ 11 ⋯ n 邊上

的白

子數 ⋯ ⋯

白子

總數 ⋯ ⋯

(2) 不要畫出第十一圖的三角形請你算出所對應的白子總數請你說明的

方法

(3) 請寫出第 n圖所對應的白子總數

~173~

2正方形的規律

利用一些火柴棒排成如下圖的連續正方形

(1) 請將連續正方形的個數與對應的火柴棒數量填入下表

圖形連排 連續正方形數 火柴棒的數量

1

2

3

4

十一個正方形 11

(2) 不要畫出連續十一個正方形請你算出對應的火柴棒數量並將作法寫

下來

(3) 請算出連續 n個正方形所需的火柴棒數量

(4) 請算出連續 125個正方形所需的火柴棒數量

~174~

練習(1)請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

(2)觀察以下兩個數列分別寫出他們的第 n項第 99項與第 100項

第一組數列(奇數數列) 13579⋯⋯

第二組數列(奇數數列) 357911⋯⋯

四生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一

定的規律排列右圖是前幾個座號的

排列規律請你觀察當中的規律並

回答下列問題

窗 窗

(1) 觀察「右道」這一排請問

該排第 11個座位是幾號

~175~

(2) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(3) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(4) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~176~

《附錄 3-2 研究者設計教材教案》

第一節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動一偶數的規律 學習單一1偶數的規

律 1 將代表偶數的第 1 圖

~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的白子數填入表格

中

分別填入 2468

2 請學生觀察寫下的數

列(即白子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是偶數 (2)都是 2的倍數 (3)從第一項開始恰是 2的 1倍2的 2倍⋯⋯

(4)後一項比前一項多 2

偶數數列有很多規律

但為了教學上的需要

必需引導出(3)(4)的答案

3 請學生嘗試利用觀察

到的規律預測第 5 圖與第 11圖的白子數

寫出 第 5 圖白子數＝2times5＝10第 11 圖白子數＝

2times11＝22

籍由觀察到的規律訓

練學生不根據圖號即

可預測圖形白子數

4 請學生嘗試回答第 n圖的白子數

回答並寫出 第 n 圖白子數＝2timesn＝2n

回答此題學生必需要

有 A-3-1-1 的先備能力

上 說明 2times即為偶數的

樣式 5 請學生利用得到第 n圖白子數的結果預

測第 100圖白子數

回答並寫出 第 100 圖白子數＝

2times100＝200

希望學生能以 n＝100代入 2n以代入求值的方法求出答案

教學活動二奇數的規律 學習單一2奇數的規

律

~177~

1 將代表奇數的第 1 圖~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的黑子數填入表格

中

分別填入 1357

2 請學生觀察寫下的數

列(即黑子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是奇數 (2)後一項比前一項多 2 將規律寫在學習單上

3 詢問學生奇數數列與

偶數數列規律的異

同奇數是否均為某

固定數字的倍數

回答 (1)異分別為奇數與偶

數而偶數可寫成 2 的倍數數列但奇數無法

寫成倍數數列 (2)同兩數列後一項都比

前一項多 2 (3)在此形成的奇數數列

不是某一固定數的倍數

此動作讓學生知道奇

數的第 n 項無法寫成「某固定數字timesn」

4 請學生將偶數數列和

奇數數列的前 4 項按順序排列在一起並

觀察這兩數列的關

係

回答並寫下相同圖號

的奇數都比偶數少 1 可請學生進一步思考是

否能找到 2 的倍數數列

之外的其他倍數數列與

奇數數列均成差不變關

係 5 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 5 圖與第 11圖的黑子數

回答 第 5 圖黑子數＝5times2－1＝9第 11 圖黑子數＝

2times11－1＝21

學生也可能以(首項＋公差times4)的方式回答第 5圖的黑子數但此並不

為本次教學的主要解題

策略 6 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 n 圖的黑子數

回答 第 n 圖的奇數比第 n 圖的偶數少 1故答案為 2timesn－1

此題對學生而言可能比

較難需要較多的解

說 說明 2times－1即為奇數

的樣式 7 請學生利用得到第 n圖黑子數的結果預

測第 69圖黑子數

回答並寫出 第 69圖黑子數 ＝2times69－1＝137

希望學生能以 n＝59代入 2n－1以代入求值的方法求出答案

~178~

第二節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動三奇數和偶數

的加減關係 學習單一3奇數和偶

數的加減關係 1 嘗試讓學生說明任

兩個偶數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】偶數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個偶數相

加形如

故兩個偶數相加必是偶

數

在此的安排讓學生思考

與嘗試發表意見 學生的回答模式亦可能

如下【以實際數字舉例

說明】假設這兩個偶數

分別 4和 64＋6＝10故兩個偶數相加必是偶

數 (除此之外尚有許多回答模式此僅舉出八

年級學生最可能出現的

答題類型)在此建議讓學生以圖型排列的模式

讓學生理解奇偶數的加

減運算規則 2 嘗試讓學生說明任

兩個奇數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】奇數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個奇數相加

形如 故兩

個奇數相加必是偶數

3 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】偶數的

圖形排列形如 任

兩 個 偶 數 相 減 形 如

故兩個偶數

相減必是偶數

⋯

⋯⋯

⋯

~179~

4 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】奇數的

圖形排列形如 任

兩 個 奇 數 相 減 形 如

故兩個奇

數相減必是偶數

5 給學生時間去思考一個奇數與一個偶數的

加減關係

寫下 偶數＋奇數rarr奇數 奇數＋偶數rarr奇數 偶數－奇數rarr奇數 奇數－偶數rarr奇數

適當給予學生引導鼓

勵學生多討論 待大部份學生完成後請

他們上台說明並發表

在此可加入多元評量的

教學技巧 6 帶領學生得出奇偶數

加減關係的規則 寫下結論 (1)同為偶數相加減或同

為奇數相加減rarr偶數 (2)一偶數和一個奇數相

加減rarr奇數

將一開始的 8個規則簡化成 2 個規則在此可以讓學生體會到數會rdquo以簡馭繁rdquo的特性

7 請學生作學習單練習

題共 7題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

提示學生不要算出運算

結果直接以歸納出來

的規則判斷 前 5題學生可能比較容易得到答案最後 2 題則可能需要老師的提示

與引導

~180~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

(5) 請你模仿之前的方式來判斷

偶數＋奇數rarr______________(填入奇數或偶數)

奇數＋偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

偶數－奇數rarr______________ (填入奇數或偶數)

奇數－偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

(5) 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

~169~

4 奇數與偶數的乘法關係

(1) 任找兩個偶數相乘請問最後結果是奇數還是偶數為什麼

偶數times偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

(2) 任找一個偶數與一個奇數相乘請問最後結果是奇數還是偶數為什麼

偶數times奇數rarr______________ (填入奇數或偶數)

奇數times偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

(3) 任找兩個奇數相乘請問最後結果是奇數還是偶數為什麼

奇數times奇數rarr______________ (填入奇數或偶數)

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

(4) 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

~170~

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

rarr_____________ rarr_____________ 47 36

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~171~

二猜規律

以下的數列都呈現一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~172~

三形數的規律

1正三角形的規律

利用一些白子排成如下的正三角形觀察其規律試回答下列問題

第二圖

第三圖

第四圖

第一圖 ⋯

⋯

(1) 請將正三角形「一邊上的白子數」與「對應的白子總」數填入下列表格

並算出第 5圖與第 11圖的白子總數

圖號 1 2 3 4 5 ⋯ 11 ⋯ n 邊上

的白

子數 ⋯ ⋯

白子

總數 ⋯ ⋯

(2) 不要畫出第十一圖的三角形請你算出所對應的白子總數請你說明的

方法

(3) 請寫出第 n圖所對應的白子總數

~173~

2正方形的規律

利用一些火柴棒排成如下圖的連續正方形

(1) 請將連續正方形的個數與對應的火柴棒數量填入下表

圖形連排 連續正方形數 火柴棒的數量

1

2

3

4

十一個正方形 11

(2) 不要畫出連續十一個正方形請你算出對應的火柴棒數量並將作法寫

下來

(3) 請算出連續 n個正方形所需的火柴棒數量

(4) 請算出連續 125個正方形所需的火柴棒數量

~174~

練習(1)請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

(2)觀察以下兩個數列分別寫出他們的第 n項第 99項與第 100項

第一組數列(奇數數列) 13579⋯⋯

第二組數列(奇數數列) 357911⋯⋯

四生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一

定的規律排列右圖是前幾個座號的

排列規律請你觀察當中的規律並

回答下列問題

窗 窗

(1) 觀察「右道」這一排請問

該排第 11個座位是幾號

~175~

(2) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(3) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(4) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~176~

《附錄 3-2 研究者設計教材教案》

第一節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動一偶數的規律 學習單一1偶數的規

律 1 將代表偶數的第 1 圖

~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的白子數填入表格

中

分別填入 2468

2 請學生觀察寫下的數

列(即白子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是偶數 (2)都是 2的倍數 (3)從第一項開始恰是 2的 1倍2的 2倍⋯⋯

(4)後一項比前一項多 2

偶數數列有很多規律

但為了教學上的需要

必需引導出(3)(4)的答案

3 請學生嘗試利用觀察

到的規律預測第 5 圖與第 11圖的白子數

寫出 第 5 圖白子數＝2times5＝10第 11 圖白子數＝

2times11＝22

籍由觀察到的規律訓

練學生不根據圖號即

可預測圖形白子數

4 請學生嘗試回答第 n圖的白子數

回答並寫出 第 n 圖白子數＝2timesn＝2n

回答此題學生必需要

有 A-3-1-1 的先備能力

上 說明 2times即為偶數的

樣式 5 請學生利用得到第 n圖白子數的結果預

測第 100圖白子數

回答並寫出 第 100 圖白子數＝

2times100＝200

希望學生能以 n＝100代入 2n以代入求值的方法求出答案

教學活動二奇數的規律 學習單一2奇數的規

律

~177~

1 將代表奇數的第 1 圖~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的黑子數填入表格

中

分別填入 1357

2 請學生觀察寫下的數

列(即黑子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是奇數 (2)後一項比前一項多 2 將規律寫在學習單上

3 詢問學生奇數數列與

偶數數列規律的異

同奇數是否均為某

固定數字的倍數

回答 (1)異分別為奇數與偶

數而偶數可寫成 2 的倍數數列但奇數無法

寫成倍數數列 (2)同兩數列後一項都比

前一項多 2 (3)在此形成的奇數數列

不是某一固定數的倍數

此動作讓學生知道奇

數的第 n 項無法寫成「某固定數字timesn」

4 請學生將偶數數列和

奇數數列的前 4 項按順序排列在一起並

觀察這兩數列的關

係

回答並寫下相同圖號

的奇數都比偶數少 1 可請學生進一步思考是

否能找到 2 的倍數數列

之外的其他倍數數列與

奇數數列均成差不變關

係 5 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 5 圖與第 11圖的黑子數

回答 第 5 圖黑子數＝5times2－1＝9第 11 圖黑子數＝

2times11－1＝21

學生也可能以(首項＋公差times4)的方式回答第 5圖的黑子數但此並不

為本次教學的主要解題

策略 6 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 n 圖的黑子數

回答 第 n 圖的奇數比第 n 圖的偶數少 1故答案為 2timesn－1

此題對學生而言可能比

較難需要較多的解

說 說明 2times－1即為奇數

的樣式 7 請學生利用得到第 n圖黑子數的結果預

測第 69圖黑子數

回答並寫出 第 69圖黑子數 ＝2times69－1＝137

希望學生能以 n＝59代入 2n－1以代入求值的方法求出答案

~178~

第二節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動三奇數和偶數

的加減關係 學習單一3奇數和偶

數的加減關係 1 嘗試讓學生說明任

兩個偶數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】偶數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個偶數相

加形如

故兩個偶數相加必是偶

數

在此的安排讓學生思考

與嘗試發表意見 學生的回答模式亦可能

如下【以實際數字舉例

說明】假設這兩個偶數

分別 4和 64＋6＝10故兩個偶數相加必是偶

數 (除此之外尚有許多回答模式此僅舉出八

年級學生最可能出現的

答題類型)在此建議讓學生以圖型排列的模式

讓學生理解奇偶數的加

減運算規則 2 嘗試讓學生說明任

兩個奇數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】奇數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個奇數相加

形如 故兩

個奇數相加必是偶數

3 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】偶數的

圖形排列形如 任

兩 個 偶 數 相 減 形 如

故兩個偶數

相減必是偶數

⋯

⋯⋯

⋯

~179~

4 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】奇數的

圖形排列形如 任

兩 個 奇 數 相 減 形 如

故兩個奇

數相減必是偶數

5 給學生時間去思考一個奇數與一個偶數的

加減關係

寫下 偶數＋奇數rarr奇數 奇數＋偶數rarr奇數 偶數－奇數rarr奇數 奇數－偶數rarr奇數

適當給予學生引導鼓

勵學生多討論 待大部份學生完成後請

他們上台說明並發表

在此可加入多元評量的

教學技巧 6 帶領學生得出奇偶數

加減關係的規則 寫下結論 (1)同為偶數相加減或同

為奇數相加減rarr偶數 (2)一偶數和一個奇數相

加減rarr奇數

將一開始的 8個規則簡化成 2 個規則在此可以讓學生體會到數會rdquo以簡馭繁rdquo的特性

7 請學生作學習單練習

題共 7題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

提示學生不要算出運算

結果直接以歸納出來

的規則判斷 前 5題學生可能比較容易得到答案最後 2 題則可能需要老師的提示

與引導

~180~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

4 奇數與偶數的乘法關係

(1) 任找兩個偶數相乘請問最後結果是奇數還是偶數為什麼

偶數times偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

(2) 任找一個偶數與一個奇數相乘請問最後結果是奇數還是偶數為什麼

偶數times奇數rarr______________ (填入奇數或偶數)

奇數times偶數rarr______________ (填入奇數或偶數)

(3) 任找兩個奇數相乘請問最後結果是奇數還是偶數為什麼

奇數times奇數rarr______________ (填入奇數或偶數)

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

(4) 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

~170~

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

rarr_____________ rarr_____________ 47 36

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~171~

二猜規律

以下的數列都呈現一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~172~

三形數的規律

1正三角形的規律

利用一些白子排成如下的正三角形觀察其規律試回答下列問題

第二圖

第三圖

第四圖

第一圖 ⋯

⋯

(1) 請將正三角形「一邊上的白子數」與「對應的白子總」數填入下列表格

並算出第 5圖與第 11圖的白子總數

圖號 1 2 3 4 5 ⋯ 11 ⋯ n 邊上

的白

子數 ⋯ ⋯

白子

總數 ⋯ ⋯

(2) 不要畫出第十一圖的三角形請你算出所對應的白子總數請你說明的

方法

(3) 請寫出第 n圖所對應的白子總數

~173~

2正方形的規律

利用一些火柴棒排成如下圖的連續正方形

(1) 請將連續正方形的個數與對應的火柴棒數量填入下表

圖形連排 連續正方形數 火柴棒的數量

1

2

3

4

十一個正方形 11

(2) 不要畫出連續十一個正方形請你算出對應的火柴棒數量並將作法寫

下來

(3) 請算出連續 n個正方形所需的火柴棒數量

(4) 請算出連續 125個正方形所需的火柴棒數量

~174~

練習(1)請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

(2)觀察以下兩個數列分別寫出他們的第 n項第 99項與第 100項

第一組數列(奇數數列) 13579⋯⋯

第二組數列(奇數數列) 357911⋯⋯

四生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一

定的規律排列右圖是前幾個座號的

排列規律請你觀察當中的規律並

回答下列問題

窗 窗

(1) 觀察「右道」這一排請問

該排第 11個座位是幾號

~175~

(2) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(3) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(4) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~176~

《附錄 3-2 研究者設計教材教案》

第一節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動一偶數的規律 學習單一1偶數的規

律 1 將代表偶數的第 1 圖

~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的白子數填入表格

中

分別填入 2468

2 請學生觀察寫下的數

列(即白子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是偶數 (2)都是 2的倍數 (3)從第一項開始恰是 2的 1倍2的 2倍⋯⋯

(4)後一項比前一項多 2

偶數數列有很多規律

但為了教學上的需要

必需引導出(3)(4)的答案

3 請學生嘗試利用觀察

到的規律預測第 5 圖與第 11圖的白子數

寫出 第 5 圖白子數＝2times5＝10第 11 圖白子數＝

2times11＝22

籍由觀察到的規律訓

練學生不根據圖號即

可預測圖形白子數

4 請學生嘗試回答第 n圖的白子數

回答並寫出 第 n 圖白子數＝2timesn＝2n

回答此題學生必需要

有 A-3-1-1 的先備能力

上 說明 2times即為偶數的

樣式 5 請學生利用得到第 n圖白子數的結果預

測第 100圖白子數

回答並寫出 第 100 圖白子數＝

2times100＝200

希望學生能以 n＝100代入 2n以代入求值的方法求出答案

教學活動二奇數的規律 學習單一2奇數的規

律

~177~

1 將代表奇數的第 1 圖~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的黑子數填入表格

中

分別填入 1357

2 請學生觀察寫下的數

列(即黑子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是奇數 (2)後一項比前一項多 2 將規律寫在學習單上

3 詢問學生奇數數列與

偶數數列規律的異

同奇數是否均為某

固定數字的倍數

回答 (1)異分別為奇數與偶

數而偶數可寫成 2 的倍數數列但奇數無法

寫成倍數數列 (2)同兩數列後一項都比

前一項多 2 (3)在此形成的奇數數列

不是某一固定數的倍數

此動作讓學生知道奇

數的第 n 項無法寫成「某固定數字timesn」

4 請學生將偶數數列和

奇數數列的前 4 項按順序排列在一起並

觀察這兩數列的關

係

回答並寫下相同圖號

的奇數都比偶數少 1 可請學生進一步思考是

否能找到 2 的倍數數列

之外的其他倍數數列與

奇數數列均成差不變關

係 5 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 5 圖與第 11圖的黑子數

回答 第 5 圖黑子數＝5times2－1＝9第 11 圖黑子數＝

2times11－1＝21

學生也可能以(首項＋公差times4)的方式回答第 5圖的黑子數但此並不

為本次教學的主要解題

策略 6 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 n 圖的黑子數

回答 第 n 圖的奇數比第 n 圖的偶數少 1故答案為 2timesn－1

此題對學生而言可能比

較難需要較多的解

說 說明 2times－1即為奇數

的樣式 7 請學生利用得到第 n圖黑子數的結果預

測第 69圖黑子數

回答並寫出 第 69圖黑子數 ＝2times69－1＝137

希望學生能以 n＝59代入 2n－1以代入求值的方法求出答案

~178~

第二節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動三奇數和偶數

的加減關係 學習單一3奇數和偶

數的加減關係 1 嘗試讓學生說明任

兩個偶數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】偶數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個偶數相

加形如

故兩個偶數相加必是偶

數

在此的安排讓學生思考

與嘗試發表意見 學生的回答模式亦可能

如下【以實際數字舉例

說明】假設這兩個偶數

分別 4和 64＋6＝10故兩個偶數相加必是偶

數 (除此之外尚有許多回答模式此僅舉出八

年級學生最可能出現的

答題類型)在此建議讓學生以圖型排列的模式

讓學生理解奇偶數的加

減運算規則 2 嘗試讓學生說明任

兩個奇數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】奇數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個奇數相加

形如 故兩

個奇數相加必是偶數

3 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】偶數的

圖形排列形如 任

兩 個 偶 數 相 減 形 如

故兩個偶數

相減必是偶數

⋯

⋯⋯

⋯

~179~

4 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】奇數的

圖形排列形如 任

兩 個 奇 數 相 減 形 如

故兩個奇

數相減必是偶數

5 給學生時間去思考一個奇數與一個偶數的

加減關係

寫下 偶數＋奇數rarr奇數 奇數＋偶數rarr奇數 偶數－奇數rarr奇數 奇數－偶數rarr奇數

適當給予學生引導鼓

勵學生多討論 待大部份學生完成後請

他們上台說明並發表

在此可加入多元評量的

教學技巧 6 帶領學生得出奇偶數

加減關係的規則 寫下結論 (1)同為偶數相加減或同

為奇數相加減rarr偶數 (2)一偶數和一個奇數相

加減rarr奇數

將一開始的 8個規則簡化成 2 個規則在此可以讓學生體會到數會rdquo以簡馭繁rdquo的特性

7 請學生作學習單練習

題共 7題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

提示學生不要算出運算

結果直接以歸納出來

的規則判斷 前 5題學生可能比較容易得到答案最後 2 題則可能需要老師的提示

與引導

~180~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

rarr_____________ rarr_____________ 47 36

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~171~

二猜規律

以下的數列都呈現一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~172~

三形數的規律

1正三角形的規律

利用一些白子排成如下的正三角形觀察其規律試回答下列問題

第二圖

第三圖

第四圖

第一圖 ⋯

⋯

(1) 請將正三角形「一邊上的白子數」與「對應的白子總」數填入下列表格

並算出第 5圖與第 11圖的白子總數

圖號 1 2 3 4 5 ⋯ 11 ⋯ n 邊上

的白

子數 ⋯ ⋯

白子

總數 ⋯ ⋯

(2) 不要畫出第十一圖的三角形請你算出所對應的白子總數請你說明的

方法

(3) 請寫出第 n圖所對應的白子總數

~173~

2正方形的規律

利用一些火柴棒排成如下圖的連續正方形

(1) 請將連續正方形的個數與對應的火柴棒數量填入下表

圖形連排 連續正方形數 火柴棒的數量

1

2

3

4

十一個正方形 11

(2) 不要畫出連續十一個正方形請你算出對應的火柴棒數量並將作法寫

下來

(3) 請算出連續 n個正方形所需的火柴棒數量

(4) 請算出連續 125個正方形所需的火柴棒數量

~174~

練習(1)請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

(2)觀察以下兩個數列分別寫出他們的第 n項第 99項與第 100項

第一組數列(奇數數列) 13579⋯⋯

第二組數列(奇數數列) 357911⋯⋯

四生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一

定的規律排列右圖是前幾個座號的

排列規律請你觀察當中的規律並

回答下列問題

窗 窗

(1) 觀察「右道」這一排請問

該排第 11個座位是幾號

~175~

(2) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(3) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(4) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~176~

《附錄 3-2 研究者設計教材教案》

第一節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動一偶數的規律 學習單一1偶數的規

律 1 將代表偶數的第 1 圖

~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的白子數填入表格

中

分別填入 2468

2 請學生觀察寫下的數

列(即白子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是偶數 (2)都是 2的倍數 (3)從第一項開始恰是 2的 1倍2的 2倍⋯⋯

(4)後一項比前一項多 2

偶數數列有很多規律

但為了教學上的需要

必需引導出(3)(4)的答案

3 請學生嘗試利用觀察

到的規律預測第 5 圖與第 11圖的白子數

寫出 第 5 圖白子數＝2times5＝10第 11 圖白子數＝

2times11＝22

籍由觀察到的規律訓

練學生不根據圖號即

可預測圖形白子數

4 請學生嘗試回答第 n圖的白子數

回答並寫出 第 n 圖白子數＝2timesn＝2n

回答此題學生必需要

有 A-3-1-1 的先備能力

上 說明 2times即為偶數的

樣式 5 請學生利用得到第 n圖白子數的結果預

測第 100圖白子數

回答並寫出 第 100 圖白子數＝

2times100＝200

希望學生能以 n＝100代入 2n以代入求值的方法求出答案

教學活動二奇數的規律 學習單一2奇數的規

律

~177~

1 將代表奇數的第 1 圖~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的黑子數填入表格

中

分別填入 1357

2 請學生觀察寫下的數

列(即黑子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是奇數 (2)後一項比前一項多 2 將規律寫在學習單上

3 詢問學生奇數數列與

偶數數列規律的異

同奇數是否均為某

固定數字的倍數

回答 (1)異分別為奇數與偶

數而偶數可寫成 2 的倍數數列但奇數無法

寫成倍數數列 (2)同兩數列後一項都比

前一項多 2 (3)在此形成的奇數數列

不是某一固定數的倍數

此動作讓學生知道奇

數的第 n 項無法寫成「某固定數字timesn」

4 請學生將偶數數列和

奇數數列的前 4 項按順序排列在一起並

觀察這兩數列的關

係

回答並寫下相同圖號

的奇數都比偶數少 1 可請學生進一步思考是

否能找到 2 的倍數數列

之外的其他倍數數列與

奇數數列均成差不變關

係 5 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 5 圖與第 11圖的黑子數

回答 第 5 圖黑子數＝5times2－1＝9第 11 圖黑子數＝

2times11－1＝21

學生也可能以(首項＋公差times4)的方式回答第 5圖的黑子數但此並不

為本次教學的主要解題

策略 6 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 n 圖的黑子數

回答 第 n 圖的奇數比第 n 圖的偶數少 1故答案為 2timesn－1

此題對學生而言可能比

較難需要較多的解

說 說明 2times－1即為奇數

的樣式 7 請學生利用得到第 n圖黑子數的結果預

測第 69圖黑子數

回答並寫出 第 69圖黑子數 ＝2times69－1＝137

希望學生能以 n＝59代入 2n－1以代入求值的方法求出答案

~178~

第二節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動三奇數和偶數

的加減關係 學習單一3奇數和偶

數的加減關係 1 嘗試讓學生說明任

兩個偶數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】偶數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個偶數相

加形如

故兩個偶數相加必是偶

數

在此的安排讓學生思考

與嘗試發表意見 學生的回答模式亦可能

如下【以實際數字舉例

說明】假設這兩個偶數

分別 4和 64＋6＝10故兩個偶數相加必是偶

數 (除此之外尚有許多回答模式此僅舉出八

年級學生最可能出現的

答題類型)在此建議讓學生以圖型排列的模式

讓學生理解奇偶數的加

減運算規則 2 嘗試讓學生說明任

兩個奇數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】奇數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個奇數相加

形如 故兩

個奇數相加必是偶數

3 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】偶數的

圖形排列形如 任

兩 個 偶 數 相 減 形 如

故兩個偶數

相減必是偶數

⋯

⋯⋯

⋯

~179~

4 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】奇數的

圖形排列形如 任

兩 個 奇 數 相 減 形 如

故兩個奇

數相減必是偶數

5 給學生時間去思考一個奇數與一個偶數的

加減關係

寫下 偶數＋奇數rarr奇數 奇數＋偶數rarr奇數 偶數－奇數rarr奇數 奇數－偶數rarr奇數

適當給予學生引導鼓

勵學生多討論 待大部份學生完成後請

他們上台說明並發表

在此可加入多元評量的

教學技巧 6 帶領學生得出奇偶數

加減關係的規則 寫下結論 (1)同為偶數相加減或同

為奇數相加減rarr偶數 (2)一偶數和一個奇數相

加減rarr奇數

將一開始的 8個規則簡化成 2 個規則在此可以讓學生體會到數會rdquo以簡馭繁rdquo的特性

7 請學生作學習單練習

題共 7題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

提示學生不要算出運算

結果直接以歸納出來

的規則判斷 前 5題學生可能比較容易得到答案最後 2 題則可能需要老師的提示

與引導

~180~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

二猜規律

以下的數列都呈現一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~172~

三形數的規律

1正三角形的規律

利用一些白子排成如下的正三角形觀察其規律試回答下列問題

第二圖

第三圖

第四圖

第一圖 ⋯

⋯

(1) 請將正三角形「一邊上的白子數」與「對應的白子總」數填入下列表格

並算出第 5圖與第 11圖的白子總數

圖號 1 2 3 4 5 ⋯ 11 ⋯ n 邊上

的白

子數 ⋯ ⋯

白子

總數 ⋯ ⋯

(2) 不要畫出第十一圖的三角形請你算出所對應的白子總數請你說明的

方法

(3) 請寫出第 n圖所對應的白子總數

~173~

2正方形的規律

利用一些火柴棒排成如下圖的連續正方形

(1) 請將連續正方形的個數與對應的火柴棒數量填入下表

圖形連排 連續正方形數 火柴棒的數量

1

2

3

4

十一個正方形 11

(2) 不要畫出連續十一個正方形請你算出對應的火柴棒數量並將作法寫

下來

(3) 請算出連續 n個正方形所需的火柴棒數量

(4) 請算出連續 125個正方形所需的火柴棒數量

~174~

練習(1)請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

(2)觀察以下兩個數列分別寫出他們的第 n項第 99項與第 100項

第一組數列(奇數數列) 13579⋯⋯

第二組數列(奇數數列) 357911⋯⋯

四生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一

定的規律排列右圖是前幾個座號的

排列規律請你觀察當中的規律並

回答下列問題

窗 窗

(1) 觀察「右道」這一排請問

該排第 11個座位是幾號

~175~

(2) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(3) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(4) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~176~

《附錄 3-2 研究者設計教材教案》

第一節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動一偶數的規律 學習單一1偶數的規

律 1 將代表偶數的第 1 圖

~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的白子數填入表格

中

分別填入 2468

2 請學生觀察寫下的數

列(即白子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是偶數 (2)都是 2的倍數 (3)從第一項開始恰是 2的 1倍2的 2倍⋯⋯

(4)後一項比前一項多 2

偶數數列有很多規律

但為了教學上的需要

必需引導出(3)(4)的答案

3 請學生嘗試利用觀察

到的規律預測第 5 圖與第 11圖的白子數

寫出 第 5 圖白子數＝2times5＝10第 11 圖白子數＝

2times11＝22

籍由觀察到的規律訓

練學生不根據圖號即

可預測圖形白子數

4 請學生嘗試回答第 n圖的白子數

回答並寫出 第 n 圖白子數＝2timesn＝2n

回答此題學生必需要

有 A-3-1-1 的先備能力

上 說明 2times即為偶數的

樣式 5 請學生利用得到第 n圖白子數的結果預

測第 100圖白子數

回答並寫出 第 100 圖白子數＝

2times100＝200

希望學生能以 n＝100代入 2n以代入求值的方法求出答案

教學活動二奇數的規律 學習單一2奇數的規

律

~177~

1 將代表奇數的第 1 圖~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的黑子數填入表格

中

分別填入 1357

2 請學生觀察寫下的數

列(即黑子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是奇數 (2)後一項比前一項多 2 將規律寫在學習單上

3 詢問學生奇數數列與

偶數數列規律的異

同奇數是否均為某

固定數字的倍數

回答 (1)異分別為奇數與偶

數而偶數可寫成 2 的倍數數列但奇數無法

寫成倍數數列 (2)同兩數列後一項都比

前一項多 2 (3)在此形成的奇數數列

不是某一固定數的倍數

此動作讓學生知道奇

數的第 n 項無法寫成「某固定數字timesn」

4 請學生將偶數數列和

奇數數列的前 4 項按順序排列在一起並

觀察這兩數列的關

係

回答並寫下相同圖號

的奇數都比偶數少 1 可請學生進一步思考是

否能找到 2 的倍數數列

之外的其他倍數數列與

奇數數列均成差不變關

係 5 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 5 圖與第 11圖的黑子數

回答 第 5 圖黑子數＝5times2－1＝9第 11 圖黑子數＝

2times11－1＝21

學生也可能以(首項＋公差times4)的方式回答第 5圖的黑子數但此並不

為本次教學的主要解題

策略 6 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 n 圖的黑子數

回答 第 n 圖的奇數比第 n 圖的偶數少 1故答案為 2timesn－1

此題對學生而言可能比

較難需要較多的解

說 說明 2times－1即為奇數

的樣式 7 請學生利用得到第 n圖黑子數的結果預

測第 69圖黑子數

回答並寫出 第 69圖黑子數 ＝2times69－1＝137

希望學生能以 n＝59代入 2n－1以代入求值的方法求出答案

~178~

第二節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動三奇數和偶數

的加減關係 學習單一3奇數和偶

數的加減關係 1 嘗試讓學生說明任

兩個偶數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】偶數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個偶數相

加形如

故兩個偶數相加必是偶

數

在此的安排讓學生思考

與嘗試發表意見 學生的回答模式亦可能

如下【以實際數字舉例

說明】假設這兩個偶數

分別 4和 64＋6＝10故兩個偶數相加必是偶

數 (除此之外尚有許多回答模式此僅舉出八

年級學生最可能出現的

答題類型)在此建議讓學生以圖型排列的模式

讓學生理解奇偶數的加

減運算規則 2 嘗試讓學生說明任

兩個奇數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】奇數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個奇數相加

形如 故兩

個奇數相加必是偶數

3 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】偶數的

圖形排列形如 任

兩 個 偶 數 相 減 形 如

故兩個偶數

相減必是偶數

⋯

⋯⋯

⋯

~179~

4 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】奇數的

圖形排列形如 任

兩 個 奇 數 相 減 形 如

故兩個奇

數相減必是偶數

5 給學生時間去思考一個奇數與一個偶數的

加減關係

寫下 偶數＋奇數rarr奇數 奇數＋偶數rarr奇數 偶數－奇數rarr奇數 奇數－偶數rarr奇數

適當給予學生引導鼓

勵學生多討論 待大部份學生完成後請

他們上台說明並發表

在此可加入多元評量的

教學技巧 6 帶領學生得出奇偶數

加減關係的規則 寫下結論 (1)同為偶數相加減或同

為奇數相加減rarr偶數 (2)一偶數和一個奇數相

加減rarr奇數

將一開始的 8個規則簡化成 2 個規則在此可以讓學生體會到數會rdquo以簡馭繁rdquo的特性

7 請學生作學習單練習

題共 7題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

提示學生不要算出運算

結果直接以歸納出來

的規則判斷 前 5題學生可能比較容易得到答案最後 2 題則可能需要老師的提示

與引導

~180~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

三形數的規律

1正三角形的規律

利用一些白子排成如下的正三角形觀察其規律試回答下列問題

第二圖

第三圖

第四圖

第一圖 ⋯

⋯

(1) 請將正三角形「一邊上的白子數」與「對應的白子總」數填入下列表格

並算出第 5圖與第 11圖的白子總數

圖號 1 2 3 4 5 ⋯ 11 ⋯ n 邊上

的白

子數 ⋯ ⋯

白子

總數 ⋯ ⋯

(2) 不要畫出第十一圖的三角形請你算出所對應的白子總數請你說明的

方法

(3) 請寫出第 n圖所對應的白子總數

~173~

2正方形的規律

利用一些火柴棒排成如下圖的連續正方形

(1) 請將連續正方形的個數與對應的火柴棒數量填入下表

圖形連排 連續正方形數 火柴棒的數量

1

2

3

4

十一個正方形 11

(2) 不要畫出連續十一個正方形請你算出對應的火柴棒數量並將作法寫

下來

(3) 請算出連續 n個正方形所需的火柴棒數量

(4) 請算出連續 125個正方形所需的火柴棒數量

~174~

練習(1)請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

(2)觀察以下兩個數列分別寫出他們的第 n項第 99項與第 100項

第一組數列(奇數數列) 13579⋯⋯

第二組數列(奇數數列) 357911⋯⋯

四生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一

定的規律排列右圖是前幾個座號的

排列規律請你觀察當中的規律並

回答下列問題

窗 窗

(1) 觀察「右道」這一排請問

該排第 11個座位是幾號

~175~

(2) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(3) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(4) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~176~

《附錄 3-2 研究者設計教材教案》

第一節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動一偶數的規律 學習單一1偶數的規

律 1 將代表偶數的第 1 圖

~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的白子數填入表格

中

分別填入 2468

2 請學生觀察寫下的數

列(即白子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是偶數 (2)都是 2的倍數 (3)從第一項開始恰是 2的 1倍2的 2倍⋯⋯

(4)後一項比前一項多 2

偶數數列有很多規律

但為了教學上的需要

必需引導出(3)(4)的答案

3 請學生嘗試利用觀察

到的規律預測第 5 圖與第 11圖的白子數

寫出 第 5 圖白子數＝2times5＝10第 11 圖白子數＝

2times11＝22

籍由觀察到的規律訓

練學生不根據圖號即

可預測圖形白子數

4 請學生嘗試回答第 n圖的白子數

回答並寫出 第 n 圖白子數＝2timesn＝2n

回答此題學生必需要

有 A-3-1-1 的先備能力

上 說明 2times即為偶數的

樣式 5 請學生利用得到第 n圖白子數的結果預

測第 100圖白子數

回答並寫出 第 100 圖白子數＝

2times100＝200

希望學生能以 n＝100代入 2n以代入求值的方法求出答案

教學活動二奇數的規律 學習單一2奇數的規

律

~177~

1 將代表奇數的第 1 圖~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的黑子數填入表格

中

分別填入 1357

2 請學生觀察寫下的數

列(即黑子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是奇數 (2)後一項比前一項多 2 將規律寫在學習單上

3 詢問學生奇數數列與

偶數數列規律的異

同奇數是否均為某

固定數字的倍數

回答 (1)異分別為奇數與偶

數而偶數可寫成 2 的倍數數列但奇數無法

寫成倍數數列 (2)同兩數列後一項都比

前一項多 2 (3)在此形成的奇數數列

不是某一固定數的倍數

此動作讓學生知道奇

數的第 n 項無法寫成「某固定數字timesn」

4 請學生將偶數數列和

奇數數列的前 4 項按順序排列在一起並

觀察這兩數列的關

係

回答並寫下相同圖號

的奇數都比偶數少 1 可請學生進一步思考是

否能找到 2 的倍數數列

之外的其他倍數數列與

奇數數列均成差不變關

係 5 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 5 圖與第 11圖的黑子數

回答 第 5 圖黑子數＝5times2－1＝9第 11 圖黑子數＝

2times11－1＝21

學生也可能以(首項＋公差times4)的方式回答第 5圖的黑子數但此並不

為本次教學的主要解題

策略 6 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 n 圖的黑子數

回答 第 n 圖的奇數比第 n 圖的偶數少 1故答案為 2timesn－1

此題對學生而言可能比

較難需要較多的解

說 說明 2times－1即為奇數

的樣式 7 請學生利用得到第 n圖黑子數的結果預

測第 69圖黑子數

回答並寫出 第 69圖黑子數 ＝2times69－1＝137

希望學生能以 n＝59代入 2n－1以代入求值的方法求出答案

~178~

第二節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動三奇數和偶數

的加減關係 學習單一3奇數和偶

數的加減關係 1 嘗試讓學生說明任

兩個偶數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】偶數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個偶數相

加形如

故兩個偶數相加必是偶

數

在此的安排讓學生思考

與嘗試發表意見 學生的回答模式亦可能

如下【以實際數字舉例

說明】假設這兩個偶數

分別 4和 64＋6＝10故兩個偶數相加必是偶

數 (除此之外尚有許多回答模式此僅舉出八

年級學生最可能出現的

答題類型)在此建議讓學生以圖型排列的模式

讓學生理解奇偶數的加

減運算規則 2 嘗試讓學生說明任

兩個奇數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】奇數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個奇數相加

形如 故兩

個奇數相加必是偶數

3 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】偶數的

圖形排列形如 任

兩 個 偶 數 相 減 形 如

故兩個偶數

相減必是偶數

⋯

⋯⋯

⋯

~179~

4 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】奇數的

圖形排列形如 任

兩 個 奇 數 相 減 形 如

故兩個奇

數相減必是偶數

5 給學生時間去思考一個奇數與一個偶數的

加減關係

寫下 偶數＋奇數rarr奇數 奇數＋偶數rarr奇數 偶數－奇數rarr奇數 奇數－偶數rarr奇數

適當給予學生引導鼓

勵學生多討論 待大部份學生完成後請

他們上台說明並發表

在此可加入多元評量的

教學技巧 6 帶領學生得出奇偶數

加減關係的規則 寫下結論 (1)同為偶數相加減或同

為奇數相加減rarr偶數 (2)一偶數和一個奇數相

加減rarr奇數

將一開始的 8個規則簡化成 2 個規則在此可以讓學生體會到數會rdquo以簡馭繁rdquo的特性

7 請學生作學習單練習

題共 7題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

提示學生不要算出運算

結果直接以歸納出來

的規則判斷 前 5題學生可能比較容易得到答案最後 2 題則可能需要老師的提示

與引導

~180~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

2正方形的規律

利用一些火柴棒排成如下圖的連續正方形

(1) 請將連續正方形的個數與對應的火柴棒數量填入下表

圖形連排 連續正方形數 火柴棒的數量

1

2

3

4

十一個正方形 11

(2) 不要畫出連續十一個正方形請你算出對應的火柴棒數量並將作法寫

下來

(3) 請算出連續 n個正方形所需的火柴棒數量

(4) 請算出連續 125個正方形所需的火柴棒數量

~174~

練習(1)請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

(2)觀察以下兩個數列分別寫出他們的第 n項第 99項與第 100項

第一組數列(奇數數列) 13579⋯⋯

第二組數列(奇數數列) 357911⋯⋯

四生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一

定的規律排列右圖是前幾個座號的

排列規律請你觀察當中的規律並

回答下列問題

窗 窗

(1) 觀察「右道」這一排請問

該排第 11個座位是幾號

~175~

(2) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(3) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(4) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~176~

《附錄 3-2 研究者設計教材教案》

第一節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動一偶數的規律 學習單一1偶數的規

律 1 將代表偶數的第 1 圖

~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的白子數填入表格

中

分別填入 2468

2 請學生觀察寫下的數

列(即白子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是偶數 (2)都是 2的倍數 (3)從第一項開始恰是 2的 1倍2的 2倍⋯⋯

(4)後一項比前一項多 2

偶數數列有很多規律

但為了教學上的需要

必需引導出(3)(4)的答案

3 請學生嘗試利用觀察

到的規律預測第 5 圖與第 11圖的白子數

寫出 第 5 圖白子數＝2times5＝10第 11 圖白子數＝

2times11＝22

籍由觀察到的規律訓

練學生不根據圖號即

可預測圖形白子數

4 請學生嘗試回答第 n圖的白子數

回答並寫出 第 n 圖白子數＝2timesn＝2n

回答此題學生必需要

有 A-3-1-1 的先備能力

上 說明 2times即為偶數的

樣式 5 請學生利用得到第 n圖白子數的結果預

測第 100圖白子數

回答並寫出 第 100 圖白子數＝

2times100＝200

希望學生能以 n＝100代入 2n以代入求值的方法求出答案

教學活動二奇數的規律 學習單一2奇數的規

律

~177~

1 將代表奇數的第 1 圖~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的黑子數填入表格

中

分別填入 1357

2 請學生觀察寫下的數

列(即黑子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是奇數 (2)後一項比前一項多 2 將規律寫在學習單上

3 詢問學生奇數數列與

偶數數列規律的異

同奇數是否均為某

固定數字的倍數

回答 (1)異分別為奇數與偶

數而偶數可寫成 2 的倍數數列但奇數無法

寫成倍數數列 (2)同兩數列後一項都比

前一項多 2 (3)在此形成的奇數數列

不是某一固定數的倍數

此動作讓學生知道奇

數的第 n 項無法寫成「某固定數字timesn」

4 請學生將偶數數列和

奇數數列的前 4 項按順序排列在一起並

觀察這兩數列的關

係

回答並寫下相同圖號

的奇數都比偶數少 1 可請學生進一步思考是

否能找到 2 的倍數數列

之外的其他倍數數列與

奇數數列均成差不變關

係 5 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 5 圖與第 11圖的黑子數

回答 第 5 圖黑子數＝5times2－1＝9第 11 圖黑子數＝

2times11－1＝21

學生也可能以(首項＋公差times4)的方式回答第 5圖的黑子數但此並不

為本次教學的主要解題

策略 6 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 n 圖的黑子數

回答 第 n 圖的奇數比第 n 圖的偶數少 1故答案為 2timesn－1

此題對學生而言可能比

較難需要較多的解

說 說明 2times－1即為奇數

的樣式 7 請學生利用得到第 n圖黑子數的結果預

測第 69圖黑子數

回答並寫出 第 69圖黑子數 ＝2times69－1＝137

希望學生能以 n＝59代入 2n－1以代入求值的方法求出答案

~178~

第二節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動三奇數和偶數

的加減關係 學習單一3奇數和偶

數的加減關係 1 嘗試讓學生說明任

兩個偶數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】偶數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個偶數相

加形如

故兩個偶數相加必是偶

數

在此的安排讓學生思考

與嘗試發表意見 學生的回答模式亦可能

如下【以實際數字舉例

說明】假設這兩個偶數

分別 4和 64＋6＝10故兩個偶數相加必是偶

數 (除此之外尚有許多回答模式此僅舉出八

年級學生最可能出現的

答題類型)在此建議讓學生以圖型排列的模式

讓學生理解奇偶數的加

減運算規則 2 嘗試讓學生說明任

兩個奇數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】奇數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個奇數相加

形如 故兩

個奇數相加必是偶數

3 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】偶數的

圖形排列形如 任

兩 個 偶 數 相 減 形 如

故兩個偶數

相減必是偶數

⋯

⋯⋯

⋯

~179~

4 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】奇數的

圖形排列形如 任

兩 個 奇 數 相 減 形 如

故兩個奇

數相減必是偶數

5 給學生時間去思考一個奇數與一個偶數的

加減關係

寫下 偶數＋奇數rarr奇數 奇數＋偶數rarr奇數 偶數－奇數rarr奇數 奇數－偶數rarr奇數

適當給予學生引導鼓

勵學生多討論 待大部份學生完成後請

他們上台說明並發表

在此可加入多元評量的

教學技巧 6 帶領學生得出奇偶數

加減關係的規則 寫下結論 (1)同為偶數相加減或同

為奇數相加減rarr偶數 (2)一偶數和一個奇數相

加減rarr奇數

將一開始的 8個規則簡化成 2 個規則在此可以讓學生體會到數會rdquo以簡馭繁rdquo的特性

7 請學生作學習單練習

題共 7題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

提示學生不要算出運算

結果直接以歸納出來

的規則判斷 前 5題學生可能比較容易得到答案最後 2 題則可能需要老師的提示

與引導

~180~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

練習(1)請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

(2)觀察以下兩個數列分別寫出他們的第 n項第 99項與第 100項

第一組數列(奇數數列) 13579⋯⋯

第二組數列(奇數數列) 357911⋯⋯

四生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一

定的規律排列右圖是前幾個座號的

排列規律請你觀察當中的規律並

回答下列問題

窗 窗

(1) 觀察「右道」這一排請問

該排第 11個座位是幾號

~175~

(2) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(3) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(4) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~176~

《附錄 3-2 研究者設計教材教案》

第一節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動一偶數的規律 學習單一1偶數的規

律 1 將代表偶數的第 1 圖

~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的白子數填入表格

中

分別填入 2468

2 請學生觀察寫下的數

列(即白子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是偶數 (2)都是 2的倍數 (3)從第一項開始恰是 2的 1倍2的 2倍⋯⋯

(4)後一項比前一項多 2

偶數數列有很多規律

但為了教學上的需要

必需引導出(3)(4)的答案

3 請學生嘗試利用觀察

到的規律預測第 5 圖與第 11圖的白子數

寫出 第 5 圖白子數＝2times5＝10第 11 圖白子數＝

2times11＝22

籍由觀察到的規律訓

練學生不根據圖號即

可預測圖形白子數

4 請學生嘗試回答第 n圖的白子數

回答並寫出 第 n 圖白子數＝2timesn＝2n

回答此題學生必需要

有 A-3-1-1 的先備能力

上 說明 2times即為偶數的

樣式 5 請學生利用得到第 n圖白子數的結果預

測第 100圖白子數

回答並寫出 第 100 圖白子數＝

2times100＝200

希望學生能以 n＝100代入 2n以代入求值的方法求出答案

教學活動二奇數的規律 學習單一2奇數的規

律

~177~

1 將代表奇數的第 1 圖~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的黑子數填入表格

中

分別填入 1357

2 請學生觀察寫下的數

列(即黑子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是奇數 (2)後一項比前一項多 2 將規律寫在學習單上

3 詢問學生奇數數列與

偶數數列規律的異

同奇數是否均為某

固定數字的倍數

回答 (1)異分別為奇數與偶

數而偶數可寫成 2 的倍數數列但奇數無法

寫成倍數數列 (2)同兩數列後一項都比

前一項多 2 (3)在此形成的奇數數列

不是某一固定數的倍數

此動作讓學生知道奇

數的第 n 項無法寫成「某固定數字timesn」

4 請學生將偶數數列和

奇數數列的前 4 項按順序排列在一起並

觀察這兩數列的關

係

回答並寫下相同圖號

的奇數都比偶數少 1 可請學生進一步思考是

否能找到 2 的倍數數列

之外的其他倍數數列與

奇數數列均成差不變關

係 5 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 5 圖與第 11圖的黑子數

回答 第 5 圖黑子數＝5times2－1＝9第 11 圖黑子數＝

2times11－1＝21

學生也可能以(首項＋公差times4)的方式回答第 5圖的黑子數但此並不

為本次教學的主要解題

策略 6 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 n 圖的黑子數

回答 第 n 圖的奇數比第 n 圖的偶數少 1故答案為 2timesn－1

此題對學生而言可能比

較難需要較多的解

說 說明 2times－1即為奇數

的樣式 7 請學生利用得到第 n圖黑子數的結果預

測第 69圖黑子數

回答並寫出 第 69圖黑子數 ＝2times69－1＝137

希望學生能以 n＝59代入 2n－1以代入求值的方法求出答案

~178~

第二節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動三奇數和偶數

的加減關係 學習單一3奇數和偶

數的加減關係 1 嘗試讓學生說明任

兩個偶數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】偶數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個偶數相

加形如

故兩個偶數相加必是偶

數

在此的安排讓學生思考

與嘗試發表意見 學生的回答模式亦可能

如下【以實際數字舉例

說明】假設這兩個偶數

分別 4和 64＋6＝10故兩個偶數相加必是偶

數 (除此之外尚有許多回答模式此僅舉出八

年級學生最可能出現的

答題類型)在此建議讓學生以圖型排列的模式

讓學生理解奇偶數的加

減運算規則 2 嘗試讓學生說明任

兩個奇數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】奇數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個奇數相加

形如 故兩

個奇數相加必是偶數

3 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】偶數的

圖形排列形如 任

兩 個 偶 數 相 減 形 如

故兩個偶數

相減必是偶數

⋯

⋯⋯

⋯

~179~

4 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】奇數的

圖形排列形如 任

兩 個 奇 數 相 減 形 如

故兩個奇

數相減必是偶數

5 給學生時間去思考一個奇數與一個偶數的

加減關係

寫下 偶數＋奇數rarr奇數 奇數＋偶數rarr奇數 偶數－奇數rarr奇數 奇數－偶數rarr奇數

適當給予學生引導鼓

勵學生多討論 待大部份學生完成後請

他們上台說明並發表

在此可加入多元評量的

教學技巧 6 帶領學生得出奇偶數

加減關係的規則 寫下結論 (1)同為偶數相加減或同

為奇數相加減rarr偶數 (2)一偶數和一個奇數相

加減rarr奇數

將一開始的 8個規則簡化成 2 個規則在此可以讓學生體會到數會rdquo以簡馭繁rdquo的特性

7 請學生作學習單練習

題共 7題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

提示學生不要算出運算

結果直接以歸納出來

的規則判斷 前 5題學生可能比較容易得到答案最後 2 題則可能需要老師的提示

與引導

~180~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

(2) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(3) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(4) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~176~

《附錄 3-2 研究者設計教材教案》

第一節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動一偶數的規律 學習單一1偶數的規

律 1 將代表偶數的第 1 圖

~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的白子數填入表格

中

分別填入 2468

2 請學生觀察寫下的數

列(即白子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是偶數 (2)都是 2的倍數 (3)從第一項開始恰是 2的 1倍2的 2倍⋯⋯

(4)後一項比前一項多 2

偶數數列有很多規律

但為了教學上的需要

必需引導出(3)(4)的答案

3 請學生嘗試利用觀察

到的規律預測第 5 圖與第 11圖的白子數

寫出 第 5 圖白子數＝2times5＝10第 11 圖白子數＝

2times11＝22

籍由觀察到的規律訓

練學生不根據圖號即

可預測圖形白子數

4 請學生嘗試回答第 n圖的白子數

回答並寫出 第 n 圖白子數＝2timesn＝2n

回答此題學生必需要

有 A-3-1-1 的先備能力

上 說明 2times即為偶數的

樣式 5 請學生利用得到第 n圖白子數的結果預

測第 100圖白子數

回答並寫出 第 100 圖白子數＝

2times100＝200

希望學生能以 n＝100代入 2n以代入求值的方法求出答案

教學活動二奇數的規律 學習單一2奇數的規

律

~177~

1 將代表奇數的第 1 圖~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的黑子數填入表格

中

分別填入 1357

2 請學生觀察寫下的數

列(即黑子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是奇數 (2)後一項比前一項多 2 將規律寫在學習單上

3 詢問學生奇數數列與

偶數數列規律的異

同奇數是否均為某

固定數字的倍數

回答 (1)異分別為奇數與偶

數而偶數可寫成 2 的倍數數列但奇數無法

寫成倍數數列 (2)同兩數列後一項都比

前一項多 2 (3)在此形成的奇數數列

不是某一固定數的倍數

此動作讓學生知道奇

數的第 n 項無法寫成「某固定數字timesn」

4 請學生將偶數數列和

奇數數列的前 4 項按順序排列在一起並

觀察這兩數列的關

係

回答並寫下相同圖號

的奇數都比偶數少 1 可請學生進一步思考是

否能找到 2 的倍數數列

之外的其他倍數數列與

奇數數列均成差不變關

係 5 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 5 圖與第 11圖的黑子數

回答 第 5 圖黑子數＝5times2－1＝9第 11 圖黑子數＝

2times11－1＝21

學生也可能以(首項＋公差times4)的方式回答第 5圖的黑子數但此並不

為本次教學的主要解題

策略 6 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 n 圖的黑子數

回答 第 n 圖的奇數比第 n 圖的偶數少 1故答案為 2timesn－1

此題對學生而言可能比

較難需要較多的解

說 說明 2times－1即為奇數

的樣式 7 請學生利用得到第 n圖黑子數的結果預

測第 69圖黑子數

回答並寫出 第 69圖黑子數 ＝2times69－1＝137

希望學生能以 n＝59代入 2n－1以代入求值的方法求出答案

~178~

第二節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動三奇數和偶數

的加減關係 學習單一3奇數和偶

數的加減關係 1 嘗試讓學生說明任

兩個偶數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】偶數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個偶數相

加形如

故兩個偶數相加必是偶

數

在此的安排讓學生思考

與嘗試發表意見 學生的回答模式亦可能

如下【以實際數字舉例

說明】假設這兩個偶數

分別 4和 64＋6＝10故兩個偶數相加必是偶

數 (除此之外尚有許多回答模式此僅舉出八

年級學生最可能出現的

答題類型)在此建議讓學生以圖型排列的模式

讓學生理解奇偶數的加

減運算規則 2 嘗試讓學生說明任

兩個奇數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】奇數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個奇數相加

形如 故兩

個奇數相加必是偶數

3 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】偶數的

圖形排列形如 任

兩 個 偶 數 相 減 形 如

故兩個偶數

相減必是偶數

⋯

⋯⋯

⋯

~179~

4 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】奇數的

圖形排列形如 任

兩 個 奇 數 相 減 形 如

故兩個奇

數相減必是偶數

5 給學生時間去思考一個奇數與一個偶數的

加減關係

寫下 偶數＋奇數rarr奇數 奇數＋偶數rarr奇數 偶數－奇數rarr奇數 奇數－偶數rarr奇數

適當給予學生引導鼓

勵學生多討論 待大部份學生完成後請

他們上台說明並發表

在此可加入多元評量的

教學技巧 6 帶領學生得出奇偶數

加減關係的規則 寫下結論 (1)同為偶數相加減或同

為奇數相加減rarr偶數 (2)一偶數和一個奇數相

加減rarr奇數

將一開始的 8個規則簡化成 2 個規則在此可以讓學生體會到數會rdquo以簡馭繁rdquo的特性

7 請學生作學習單練習

題共 7題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

提示學生不要算出運算

結果直接以歸納出來

的規則判斷 前 5題學生可能比較容易得到答案最後 2 題則可能需要老師的提示

與引導

~180~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

《附錄 3-2 研究者設計教材教案》

第一節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動一偶數的規律 學習單一1偶數的規

律 1 將代表偶數的第 1 圖

~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的白子數填入表格

中

分別填入 2468

2 請學生觀察寫下的數

列(即白子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是偶數 (2)都是 2的倍數 (3)從第一項開始恰是 2的 1倍2的 2倍⋯⋯

(4)後一項比前一項多 2

偶數數列有很多規律

但為了教學上的需要

必需引導出(3)(4)的答案

3 請學生嘗試利用觀察

到的規律預測第 5 圖與第 11圖的白子數

寫出 第 5 圖白子數＝2times5＝10第 11 圖白子數＝

2times11＝22

籍由觀察到的規律訓

練學生不根據圖號即

可預測圖形白子數

4 請學生嘗試回答第 n圖的白子數

回答並寫出 第 n 圖白子數＝2timesn＝2n

回答此題學生必需要

有 A-3-1-1 的先備能力

上 說明 2times即為偶數的

樣式 5 請學生利用得到第 n圖白子數的結果預

測第 100圖白子數

回答並寫出 第 100 圖白子數＝

2times100＝200

希望學生能以 n＝100代入 2n以代入求值的方法求出答案

教學活動二奇數的規律 學習單一2奇數的規

律

~177~

1 將代表奇數的第 1 圖~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的黑子數填入表格

中

分別填入 1357

2 請學生觀察寫下的數

列(即黑子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是奇數 (2)後一項比前一項多 2 將規律寫在學習單上

3 詢問學生奇數數列與

偶數數列規律的異

同奇數是否均為某

固定數字的倍數

回答 (1)異分別為奇數與偶

數而偶數可寫成 2 的倍數數列但奇數無法

寫成倍數數列 (2)同兩數列後一項都比

前一項多 2 (3)在此形成的奇數數列

不是某一固定數的倍數

此動作讓學生知道奇

數的第 n 項無法寫成「某固定數字timesn」

4 請學生將偶數數列和

奇數數列的前 4 項按順序排列在一起並

觀察這兩數列的關

係

回答並寫下相同圖號

的奇數都比偶數少 1 可請學生進一步思考是

否能找到 2 的倍數數列

之外的其他倍數數列與

奇數數列均成差不變關

係 5 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 5 圖與第 11圖的黑子數

回答 第 5 圖黑子數＝5times2－1＝9第 11 圖黑子數＝

2times11－1＝21

學生也可能以(首項＋公差times4)的方式回答第 5圖的黑子數但此並不

為本次教學的主要解題

策略 6 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 n 圖的黑子數

回答 第 n 圖的奇數比第 n 圖的偶數少 1故答案為 2timesn－1

此題對學生而言可能比

較難需要較多的解

說 說明 2times－1即為奇數

的樣式 7 請學生利用得到第 n圖黑子數的結果預

測第 69圖黑子數

回答並寫出 第 69圖黑子數 ＝2times69－1＝137

希望學生能以 n＝59代入 2n－1以代入求值的方法求出答案

~178~

第二節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動三奇數和偶數

的加減關係 學習單一3奇數和偶

數的加減關係 1 嘗試讓學生說明任

兩個偶數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】偶數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個偶數相

加形如

故兩個偶數相加必是偶

數

在此的安排讓學生思考

與嘗試發表意見 學生的回答模式亦可能

如下【以實際數字舉例

說明】假設這兩個偶數

分別 4和 64＋6＝10故兩個偶數相加必是偶

數 (除此之外尚有許多回答模式此僅舉出八

年級學生最可能出現的

答題類型)在此建議讓學生以圖型排列的模式

讓學生理解奇偶數的加

減運算規則 2 嘗試讓學生說明任

兩個奇數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】奇數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個奇數相加

形如 故兩

個奇數相加必是偶數

3 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】偶數的

圖形排列形如 任

兩 個 偶 數 相 減 形 如

故兩個偶數

相減必是偶數

⋯

⋯⋯

⋯

~179~

4 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】奇數的

圖形排列形如 任

兩 個 奇 數 相 減 形 如

故兩個奇

數相減必是偶數

5 給學生時間去思考一個奇數與一個偶數的

加減關係

寫下 偶數＋奇數rarr奇數 奇數＋偶數rarr奇數 偶數－奇數rarr奇數 奇數－偶數rarr奇數

適當給予學生引導鼓

勵學生多討論 待大部份學生完成後請

他們上台說明並發表

在此可加入多元評量的

教學技巧 6 帶領學生得出奇偶數

加減關係的規則 寫下結論 (1)同為偶數相加減或同

為奇數相加減rarr偶數 (2)一偶數和一個奇數相

加減rarr奇數

將一開始的 8個規則簡化成 2 個規則在此可以讓學生體會到數會rdquo以簡馭繁rdquo的特性

7 請學生作學習單練習

題共 7題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

提示學生不要算出運算

結果直接以歸納出來

的規則判斷 前 5題學生可能比較容易得到答案最後 2 題則可能需要老師的提示

與引導

~180~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

1 將代表奇數的第 1 圖~第 4 圖排列在黑板

上請學生觀察圖形

排列將第 1圖~第 4圖的黑子數填入表格

中

分別填入 1357

2 請學生觀察寫下的數

列(即黑子數)並回答觀察到的規律

回答 (1)都是奇數 (2)後一項比前一項多 2 將規律寫在學習單上

3 詢問學生奇數數列與

偶數數列規律的異

同奇數是否均為某

固定數字的倍數

回答 (1)異分別為奇數與偶

數而偶數可寫成 2 的倍數數列但奇數無法

寫成倍數數列 (2)同兩數列後一項都比

前一項多 2 (3)在此形成的奇數數列

不是某一固定數的倍數

此動作讓學生知道奇

數的第 n 項無法寫成「某固定數字timesn」

4 請學生將偶數數列和

奇數數列的前 4 項按順序排列在一起並

觀察這兩數列的關

係

回答並寫下相同圖號

的奇數都比偶數少 1 可請學生進一步思考是

否能找到 2 的倍數數列

之外的其他倍數數列與

奇數數列均成差不變關

係 5 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 5 圖與第 11圖的黑子數

回答 第 5 圖黑子數＝5times2－1＝9第 11 圖黑子數＝

2times11－1＝21

學生也可能以(首項＋公差times4)的方式回答第 5圖的黑子數但此並不

為本次教學的主要解題

策略 6 請學生利用奇數與偶

數的關係預測第 n 圖的黑子數

回答 第 n 圖的奇數比第 n 圖的偶數少 1故答案為 2timesn－1

此題對學生而言可能比

較難需要較多的解

說 說明 2times－1即為奇數

的樣式 7 請學生利用得到第 n圖黑子數的結果預

測第 69圖黑子數

回答並寫出 第 69圖黑子數 ＝2times69－1＝137

希望學生能以 n＝59代入 2n－1以代入求值的方法求出答案

~178~

第二節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動三奇數和偶數

的加減關係 學習單一3奇數和偶

數的加減關係 1 嘗試讓學生說明任

兩個偶數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】偶數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個偶數相

加形如

故兩個偶數相加必是偶

數

在此的安排讓學生思考

與嘗試發表意見 學生的回答模式亦可能

如下【以實際數字舉例

說明】假設這兩個偶數

分別 4和 64＋6＝10故兩個偶數相加必是偶

數 (除此之外尚有許多回答模式此僅舉出八

年級學生最可能出現的

答題類型)在此建議讓學生以圖型排列的模式

讓學生理解奇偶數的加

減運算規則 2 嘗試讓學生說明任

兩個奇數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】奇數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個奇數相加

形如 故兩

個奇數相加必是偶數

3 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】偶數的

圖形排列形如 任

兩 個 偶 數 相 減 形 如

故兩個偶數

相減必是偶數

⋯

⋯⋯

⋯

~179~

4 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】奇數的

圖形排列形如 任

兩 個 奇 數 相 減 形 如

故兩個奇

數相減必是偶數

5 給學生時間去思考一個奇數與一個偶數的

加減關係

寫下 偶數＋奇數rarr奇數 奇數＋偶數rarr奇數 偶數－奇數rarr奇數 奇數－偶數rarr奇數

適當給予學生引導鼓

勵學生多討論 待大部份學生完成後請

他們上台說明並發表

在此可加入多元評量的

教學技巧 6 帶領學生得出奇偶數

加減關係的規則 寫下結論 (1)同為偶數相加減或同

為奇數相加減rarr偶數 (2)一偶數和一個奇數相

加減rarr奇數

將一開始的 8個規則簡化成 2 個規則在此可以讓學生體會到數會rdquo以簡馭繁rdquo的特性

7 請學生作學習單練習

題共 7題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

提示學生不要算出運算

結果直接以歸納出來

的規則判斷 前 5題學生可能比較容易得到答案最後 2 題則可能需要老師的提示

與引導

~180~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

第二節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動三奇數和偶數

的加減關係 學習單一3奇數和偶

數的加減關係 1 嘗試讓學生說明任

兩個偶數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】偶數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個偶數相

加形如

故兩個偶數相加必是偶

數

在此的安排讓學生思考

與嘗試發表意見 學生的回答模式亦可能

如下【以實際數字舉例

說明】假設這兩個偶數

分別 4和 64＋6＝10故兩個偶數相加必是偶

數 (除此之外尚有許多回答模式此僅舉出八

年級學生最可能出現的

答題類型)在此建議讓學生以圖型排列的模式

讓學生理解奇偶數的加

減運算規則 2 嘗試讓學生說明任

兩個奇數相加之後

結果會是奇數還是偶

數

回答

【以圖形排說明】奇數

的 圖 形 排 列 形 如

任兩個奇數相加

形如 故兩

個奇數相加必是偶數

3 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】偶數的

圖形排列形如 任

兩 個 偶 數 相 減 形 如

故兩個偶數

相減必是偶數

⋯

⋯⋯

⋯

~179~

4 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】奇數的

圖形排列形如 任

兩 個 奇 數 相 減 形 如

故兩個奇

數相減必是偶數

5 給學生時間去思考一個奇數與一個偶數的

加減關係

寫下 偶數＋奇數rarr奇數 奇數＋偶數rarr奇數 偶數－奇數rarr奇數 奇數－偶數rarr奇數

適當給予學生引導鼓

勵學生多討論 待大部份學生完成後請

他們上台說明並發表

在此可加入多元評量的

教學技巧 6 帶領學生得出奇偶數

加減關係的規則 寫下結論 (1)同為偶數相加減或同

為奇數相加減rarr偶數 (2)一偶數和一個奇數相

加減rarr奇數

將一開始的 8個規則簡化成 2 個規則在此可以讓學生體會到數會rdquo以簡馭繁rdquo的特性

7 請學生作學習單練習

題共 7題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

提示學生不要算出運算

結果直接以歸納出來

的規則判斷 前 5題學生可能比較容易得到答案最後 2 題則可能需要老師的提示

與引導

~180~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

4 嘗試讓學生說明任

兩個偶數數相減之

後結果會是奇數還

是偶數

回答 【以圖形排說明】奇數的

圖形排列形如 任

兩 個 奇 數 相 減 形 如

故兩個奇

數相減必是偶數

5 給學生時間去思考一個奇數與一個偶數的

加減關係

寫下 偶數＋奇數rarr奇數 奇數＋偶數rarr奇數 偶數－奇數rarr奇數 奇數－偶數rarr奇數

適當給予學生引導鼓

勵學生多討論 待大部份學生完成後請

他們上台說明並發表

在此可加入多元評量的

教學技巧 6 帶領學生得出奇偶數

加減關係的規則 寫下結論 (1)同為偶數相加減或同

為奇數相加減rarr偶數 (2)一偶數和一個奇數相

加減rarr奇數

將一開始的 8個規則簡化成 2 個規則在此可以讓學生體會到數會rdquo以簡馭繁rdquo的特性

7 請學生作學習單練習

題共 7題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

提示學生不要算出運算

結果直接以歸納出來

的規則判斷 前 5題學生可能比較容易得到答案最後 2 題則可能需要老師的提示

與引導

~180~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

第三節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動四奇數和偶數

的乘法關係 學習單一4奇數與偶

數的乘法關係 1 引導學生思考(偶數

times偶數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個偶數將這兩

個偶數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為偶數

任選兩個偶數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個偶

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

偶數

再任選兩個偶數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是偶數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故任意偶數相乘之

後必是 2的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式任兩個偶數相乘可寫成 (2times)times(2times) ＝

2times(2timestimes)的模式其

結果必為 2 的倍數即

為偶數

學生可能很容易感受到

任兩個偶數相乘之後必

為偶數但說明的部份

可能比較不容易理解

老師可以適度的引入數

字實例作說明例如(2)的部份老師可以引入 6times8＝(2times3)times(2times4)＝2times(2times3times3)讓學生嘗試理解

學生有可能無法順利的

說明理由老師需要適

度的重新論述 在說明前可先提示學

生偶數必是 2 的倍數所以一個偶數必形

如 2times(為任意整數)

~181~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

2 請學生思考(偶數times奇數)與(奇數times偶數)其結果是奇數或偶

數並請他們發表想

法

回答 (以下為可能答案) (1)任意偶數均是 2的倍數故一個偶數乘以一

個奇數之後必是 2 的倍數 (2)任意偶數均是 2的倍數均可寫成 2times(是任意正整數)的模式一個偶數乘以一個奇數之

後必形如2timestimes奇數

其結果必為 2 的倍數

即為偶數

能理解(偶數times偶數)之後便能很快理解(偶數

times奇數)或(奇數times偶數)建議在此讓學生有更多

發揮的機會

3 引導學生思考(奇數

times奇數)其結果為奇數

或偶數

(1)任選兩個奇數將這兩

個奇數相乘觀察其結

果為奇數或偶數並詢

問全班同學的結果是否

均為奇數

任選兩個奇數實際相

乘 為避免計算錯誤可讓

同學互相檢查如仍有

疑慮可請老師幫助檢

查

(2)請學生再任選兩個奇

數相乘觀察其結果為

奇數或偶數再詢問全

班同學的結果是否仍為

奇數

再任選兩個奇數實作

(3)請學生思考為何兩次

的結果全班均是奇數

並請他們發表想法

回答 (以下為可能答案) (1) 11times7＝11times(6＋1)＝11times6＋11(一個偶數與

一個奇數相關)先將其中一個奇數拆解成一個

偶數與 1所以奇數times奇

數可再利用分配律變成

「奇數times偶數＋奇數」

亦即偶數＋奇數其結

果必為奇數

學生的說明方式可能很

多種嘗試讓他們多發

表老師可以適當獎勵

當中漂亮的答案或修

正學生說法當中的缺

失

~182~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

(2)11times7＝11＋11＋⋯＋11(七個 11 相加)＝22＋⋯＋22(連續偶數相

加)＋11故奇數times奇數

可視為有奇數個相同奇

數相加兩兩相加可形

成一組偶數最後剩下

一個單獨的奇數所以

全部可視為一個偶數和

一個奇數相加其結果

必為奇數 4 帶領學生得出奇偶數

乘法關係的規則 寫下結論 (1)偶數times任意整數(奇數

或偶數均可)rarr偶數 (2)奇數times奇數rarr奇數

學生可能會探索rdquo奇偶數的除法規則rdquo在此老

師可適時向學生說明

「乘法可適用的規則在

除法不一定亦適用」 5 請學生作學習單練習

題共 6題 根據歸納出來的規則

判斷運算結果為奇數或

偶數

這些題目是奇偶數加減

關係與乘法關係的綜合

與延伸題型亦需要指

數律的先備經驗

~183~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

第四節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動五猜規律(暖身活動)

學習單二猜規律

1 請學生觀察學習單p7中的每個數列猜

出下一項並說出這個

數列的規律

(1)19後項都比前項多 3(2)18後項都比前項多 3或 3的倍數數列

(3)512後項都是前項的4倍

(4)36平方數的數列 (5)22＋1＋2＋3＋4＋5⋯(即遞迴數列

an＋1＝n＋an) (6)720times1times2times3times4times5⋯(即遞迴數列an＋1＝

ntimesan) (7)13從第三項開始每一項均是前兩項的和(費氏數列)

學生可能不認識「數列」

這個名詞老師需要介

紹一下這個名詞 老師可強調(1)和(2)的差別他們雖然都是公

差為 3 的規律數列但

是(2)可視為 3的倍數數

列但(1)則不行

教學活動六正三角形的

規律 學習單三1正三角形

的規律 1 請學生觀察圖形的排

列先在表格內寫出

1~4 圖「一邊上的白子數」

寫下答案2345 察覺「一邊上的白子數」

都比「圖號數」多 1

2 請學生預測第 5 圖與第 11 圖一邊上的白子數

寫下答案6與 12

3 請學生寫下第 n 圖一邊上的白子數

寫下答案n＋1 回答此題學生必需要

有 A-3-1-1的先備能力

4 詢問 n＝100時n＋1為多少及其答案所

代表的意義

回答n＋1＝101其意義為第 100 圖一邊上的白子數為 101個

回答此題學生必需要

有 A-3-1-4的先備能力

5 請學生再觀察圖形的排列在表格內寫出

1~4 圖的「白子總數」

寫下答案36912

6 請學生預測第 5 圖與 寫下答案15與 33

~184~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

第 11圖的白子總數 7 請學生說明如何得到

第 11圖的白子總數 回答 (以下為可能答案) (1)白子總數恰成一個 3的倍數數列故第 11 圖白子總數為 3times11

(2)

hellip故此法類推

可知第 11圖恰可 11個一數分成三組故第 11圖白子總數為 3times11＝33(3)白子總數＝一邊上白

子數times3－3故第 11圖白子總數為 3times12-3＝33

如果學生回答(1)可再詢問為何可以確定每一

個圖都比前一個圖多 3個白子

8 請學生寫下第 n 圖的白子總數

寫下 (1)3timesn＝3n (2)3timesn＝3n (3)3times(n＋1)-3

這三個答案是一樣的

但學生可能沒有學過未

知數的符號運算故教

師可以「代入任意值驗

証兩者是否相同」的方

式說明三者為同一答

案或亦可利用分配

律簡單的說明(3)的化簡結果與(1)(2)相同

~185~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

第五節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動七正方形的規

律 學習單三2正方形的

規律 1 請學生觀察學習單

p9上的圖形排列先

在表格內寫出 1~4 圖「火柴棒的數量」

寫下答案471013

2 請學生觀察火柴棒數

量所形成的數列其中

的規律

回答公差為 3的等差數列

3 引導學生思考第 11圖的火柴棒數量

(1)請學生回想奇數列與

偶數數列均為公差 2 的等差數列當我們為了

尋找第 n 個奇數時會利

用偶數的數列(即 2的倍數數列)思考為了尋找

公差為 3 的等差數列第

n 項時需要和那一個倍數數列作比較

答3的倍數數列發

現火柴棒數列所形成的

數列和 3 的倍數數列作

比較每一項都多 1

在此向學生強調一個結

論公差為 d 的數列(d是一個正整數)即找 d的倍數數列與之作比

較例如471013hellip是一個公差為 3的倍數數列故找 3 的倍數數列 36912hellip

(2)詢問如何找到第 11圖的火柴棒數量

答3的倍數數列第 11項是 3times11故第 11 圖的火柴數量為 3times11＋1＝34

4 請學生寫下第 n 圖的火柴棒數量

答3 的倍數數列第 n項是 3timesn故第 n 圖的火柴數量為 3timesn＋1

5 請學生以代入求值的方式找出第 125 圖的火柴棒數量

答n＝100 代入 3timesn＋1 得到 3times100＋1＝301

~186~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

6 請學生作練習題共 2題

寫下答案 (1)第 n項 4timesn＋3第 100項 403

(2)第一組數列 第 n 項 2timesn-1第 99 項

197第 100項 199 第二組數列 第 n 項 2timesn＋1第 99項 199第 100項 201

在(2)中老師可提醒學

生形如 2timesn－１或 2timesn＋1 均可視為奇數兩

者差別只在於項數的不

同

第六節課

教師活動 學生活動 評量提示與注意事項 教學活動八 學習單四生活中數字

的規律 1 請學生觀察右道這一排的座號規律

回答 (1)公差為 4的數列 (2)4的倍數數列

2 請學生根據觀察到的規律找出右道第 11個座位是幾號

寫下4times11＝44號

3 請學生觀察左道這一排的座號規律並觀

察左道座號與右道座

號規律的關係

回答 (1)左道座號規律為公差

為 4的等差數列 (2)左道座號都比右道座號少 1

4 請學生求出左道第 11個座號

寫下 已知右道第 11 個座號是4times11故左道第 11個座號為 4times11－1＝43

~187~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

5 請學生分別觀察四排的座號寫下其規

律並分別寫下四排

第 k個座位的座號

寫下 (1)左窗公差 4 的數

列除以 4同餘 1 4k－3 (2)左道公差 4 的數

列除 4同餘 3 4k－1 (3)右道公差 4 的數

列4 的倍數數列除

以 4均整除的數列4k(4)右窗公差 4 的數

列除以 4同餘 2 4k－2

可提示由座號成倍數數

列的一排開始著手

6 引導學生思考座號 27與 37 號的旅客的座

位在第幾排

解一 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗第

k個的座號

寫下 分別為 4k－34k－14k4k－2

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27＝4times7－1故 27號在左道這一排

(2)37＝4times10－3 故 37 號在左窗這一排

解二 (1)請學生分別寫下左窗左道右道右窗的

座位規律

寫下 可分別視為除以 4 同餘1同餘 3整除(或同餘4)同餘 2的數列

(2)請學生判斷 27 與 37號分別符合那一種樣

式並判斷在哪一排

回答 (1)27 除以 4 餘 3故 27號在左道這一排

(2)37 號除以 4 餘 1故37號在左窗這一排

~188~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

~189~

《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》____年_____班 ______號 姓名___________

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

第8行

一 地磚中的規律

1 請問在第 1 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

2 請問在第 2 列裡第 1357⋯行的地磚是那種顏色_________

第 2468⋯行的地磚是那種顏色_________

3 請問第 8 列第 1 行的位置是那種顏色_________

第 8 列第 15 行的位置是那種顏色_________

4 如果以( 列數行數 )來代表一個地磚的位置例如( 35 )代表第 3 列

第 5 行的地磚請你分別寫出黑色與白色地磚的位置

黑色 白色

5 請你觀察「地磚顏色」與「列數＋行數」的關係並寫出當中的規律

6 請問在這個地磚排列中第 8 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

第 15 列第 15 行的地磚是那種顏色_________

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

二 奇數與偶數的樣式

2 4 6 8 10 ⋯⋯

偶數

⋯⋯

2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) 2times( ) ⋯⋯

1 3 5 7 9 ⋯⋯

奇數

⋯⋯

2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 2times( )+1 ⋯⋯

1 偶數的樣式

2 奇數的樣式

[隨堂練習]

1 寫出偶數 518的樣式518＝_______________

寫出奇數 519的樣式519＝_______________

[動動腦]

1 根據奇偶數的樣式判別 0為奇數或偶數

2 「我們知道 3＝2times(23 )所以 3是一個偶數」請問這句話對不對

~190~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

三 奇偶數加減的規律

1 偶數＋偶數rarr_____________ 偶數－偶數rarr_____________

2 奇數＋奇數rarr_____________ 奇數－奇數rarr_____________

3 偶數＋奇數rarr_____________ 偶數－奇數rarr_____________

4 奇數＋偶數rarr_____________ 奇數－偶數rarr_____________

結論同為偶數相加減或同為奇數相加減rarr_____________

一個偶數和一個奇數相加減rarr_____ _______

[隨堂練習]

1 如果任意 5個奇數相加其總和為奇數還是偶數

2 五個奇數和三個偶數相加其總和為奇數還是偶數

3 請問 11＋12＋13＋⋯⋯＋19＋20是奇數還是偶數

~191~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

四 奇偶數的乘法規律

1 偶數times偶數rarr_____________ 2 偶數times奇數rarr_____________

3 奇數times偶數rarr_____________ 3 奇數times奇數rarr_____________

結論偶數times任意整數(奇數或偶數均可)rarr______________

奇數times奇數rarr______________

[隨堂練習]

1 請你判別 是奇數或偶數 27 37 47

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

139287times2549rarr___________ 1234times5678rarr________________

7777times6666rarr_____________ 11times12times13times14times15rarr___________

25513327 times+times rarr_____________ － rarr_____________ 47 36

~192~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

五 尋找規律

以下的數列都呈現著一個規律請你猜出下一項並說出這個數列的規律

(1) 47101316( )⋯⋯

規律

(2) 3691215( )⋯⋯

規律

(3) 212832128( )⋯⋯

規律

(4) 1491625( )⋯⋯

規律

(5) 12471116( )⋯⋯

規律

(6) 112624120( )⋯⋯

規律

(7) 112358( )⋯⋯

規律

等差數列

~193~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

六 有規律的數列

1 有一個數列48121620⋯⋯

(1)這個數列有什麼規律

(2)第 10項是多少

(3)請問這個數列的第 k項是多少

2 有一個數列1591317⋯⋯

(1) 這個數列有什麼規律

(2) 第 6項是多少

(3) 第 50項是多少

(4) 請問這個數列的第 k項是多少

~194~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

(5) 請問數字 99與 121是否在這個數列中

[隨堂練習]

請寫出等差數列 711151923⋯⋯的第 n項與第 100項

3 校慶時有一啦啦隊表演老師將數百人的學生排成中空方陣第一層(最內

層)有 12人第二層有 20人

(1) 請問第三層每邊有多少人第三層的總人數是多少

(2) 請問第四層每邊有多少人第四層總人數是多少

(3) 請問第五層每邊有多少人第五層總人數是多少

~195~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

(4) 請完成下列表格並寫出每邊人數的規律總人數的規律

層數 第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 ⋯⋯ 第 n層

每邊 人數

總人數

每邊人數的規律

總人數的規律

(5) 請問第 n層每邊有多少人第 n層總人數有多少人

七 生活中數字的規律

火車座號的規律 左窗 左道 右道 右窗

1 3 4 2 5 7 8 6 9 11 12 10

走 道

一般對號火車上的座號都會按照一定

的規律排列右圖是前幾個座號的排列

規律請你觀察當中的規律並回答下

列問題

窗 窗

(5) 觀察「右道」這一排請問該

排第 11個座位是幾號

~196~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

(6) 觀察「左窗」這一排請問該排第 11個座號是幾號

(7) 分別觀察左窗左道右道右窗這四排的座號請問這四排的座號各

自有何規律又這四排的第 k個座位分別是幾號

規律 第 k個座位的座號

左窗

左道

右道

右窗

(8) 有一位旅客的火車座位號碼是 27號請問他坐在那一排又另一位旅客

他的座位號碼是 37號請問他坐在那一排

~197~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

~198~

補充練習奇偶數的規律

1 有一面地磚的排列情況如右圖請問 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第 1 列

第 2 列

第 3 列

(1) 第 10 列第 4 列的地磚是什麼

顏色

(2) 第 6 列第 11 行的地磚是什麼

顏色

2 請你判斷下列何者是奇數何者是偶數

1364＋298rarr____________ 1982747－9238rarr___________

2000＋2002＋2004＋2006＋3001rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19rarr_____________

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21rarr_____________

2＋4＋6＋⋯⋯＋98＋100(連續 50個偶數相加)rarr_____________

1＋3＋5＋⋯⋯＋97＋99(連續 50個奇數相加)rarr_____________

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

《附錄 3-4 A-3-1銜接教材》 ____年_____班 ______號 姓名___________

1 小明和哥哥相差 4歲

如果小明 10歲時哥哥_____________歲

如果小明 11歲時哥哥_____________歲

如果小明 12歲時哥哥_____________歲 如果小明 x歲時哥哥______________歲

當 x＝21時代表小明_______歲哥哥___________________歲

2 小明到麥當勞買了 10份相同的套餐

如果小明買的是 99元的套餐共要______________元

如果小明買的是 119元的套餐共要______________元

如果小明買的是 79元的套餐共要______________元 如果小明買的是 a元的套餐共要_______________元

當 a＝124時

＝

3 小明很喜歡到 7-11買純喫茶已知一瓶純喫 15元在沒有打折的情況下

如果小明買了 1瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 2瓶純喫茶共要________________元

如果小明買了 3瓶純喫茶共要________________元 如果小明買了 k瓶純喫茶共要________________元

當 k＝20時

＝

[隨堂練習]

每瓶汽水特價 a元小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買了 3瓶汽水250

元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___________________元

~199~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

《附錄 3-5 認知起點行為前測卷》

在我們開始進行新的學習單元之前我們需要了解各位同學懂

了多少會了多少所以我們設計了一個小小的測驗你愈認真

作答對於接下來的學習有愈大的幫助在開始進行測驗之前

有一些地方要請你配合

1 題目並不多時間很充裕請你仔細作答

2 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白處

3 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需要修

改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~200~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

一 選擇題

A01 ( )1某家服飾店舉辦促銷活動將原價 元的衣服改為 a atimes53 元出售則 下

列那一個敘述可作為此服飾店的促銷標語

(A) 夏季衣服大特價全館三折大特價

(B) 夏季衣服大特價全館三五折大特價

(C) 夏季衣服大特價全館五折大特價

(D) 夏季衣服大特價全館六折大特價

A02

( )2 如右圖請問下列何者無法代表這個圖形的面積

x

3 (A) 3timesx (B) (C) x+3 xtimes3 (D) xxx ++

A03

( )3 阿明是一家台北市貨運公司的運貨司機公司排給他的工作行程如下

星期一三 星期二四 星期五 星期六日

送貨到

桃竹苗

送貨到

北縣基隆

送貨到

台北市區

休假

已知某個月 1號是星期二請問同月的 25號阿明的行程是什麼

(A) 送貨到桃竹苗 (B) 送貨到北縣基隆

(C) 送貨到台北市區 (D) 休假

~201~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

A04 ( )4 「有一對兄弟當弟弟 4歲時哥哥 12歲請問若干年後當弟弟 8歲時

哥哥幾歲」針對這個問題以下四個人的解答請問那一個人才是對的

(A) 小群哥哥的年齡是弟弟的 3倍所以弟弟 8歲時哥哥就是 24歲

(B) 小力哥哥的年齡比弟弟多 8歲所以弟弟 8歲時哥哥就是 16歲

(C) 小英哥哥的年齡是弟弟的年齡 2倍再多 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

就是 20歲

(D) 小漢哥哥的年齡是弟弟的年齡 4倍再少 4歲所以弟弟 8歲時哥哥

是 28歲

A05 ( )5 休閒小鋪的老闆發現1份的奶精加上 4份的紅茶泡出來的奶茶最好喝

現在老闆打算大量生產相同口味的奶茶 60公升請問以下的製作方式

那一個不符合要求

(A) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的 20

(B) 在 60公升的奶茶當中奶精有 12公升

(C) 在 60公升的奶茶當中紅茶的量是奶精的 4倍

(D) 在 60公升的奶茶當中奶精佔全部的41

A06 ( )6 一年 1班一年 2班一年 3班合辦了一次戶外踏青活動為了活動的需

要三班老師決定將所有學生分組以下是三位老師的對話

丁老師「每 2人一組剛好可以分完所有學生」

曾老師「每 3個人一組還多 2個人」

張老師「每 5人一組還少 1人」

請問下列那一項最有可能是三班學生出遊的總人數

(A)94人 (B)104人 (C)110人 (D)119人

~202~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

二 填充題

A07 1 大潤發飲料正在特價每瓶汽水特價 元a 小明為了要準備烤肉到大潤發去採購買

了 3瓶汽水250元烤肉器具和 425元的食材那小明共花了___ ______元(答

案請以含 的式子表示) a

A08 2 一個身高H公分的成年男子標準體重的計算公式為 07)80H( timesminus 公斤如果阿山哥的

身高是 175分那麼他的標準體重為____ ______公斤

三 尋找規律

以下題目的數字或圖形均有各自的規律請依題意在空格或括號中填入一個適當的答

案

A09 1 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

714212835( )

A10 2 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

1119273543( )

A11 3 觀察下列數字的規律請在括號中填入一個適當的數字

261854162( )

A12 4 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了____ _____個白點

~203~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

A13 5 觀察下列圖形的規律

⋯⋯

第1圖

第2圖

第3圖

第4圖

第 11 圖比第 10 圖多了_____ ____個白點

A14 6 巧克力蛋糕的熱量關係如下請在空格中填入一個適當的數字

巧克力蛋糕重量

(公克) 40 60 80 ⋯⋯ 200

熱量(大卡) 160 240 320 ⋯⋯

A15 7 以下是rdquo民國年rdquo與rdquo西元年rdquo的關係請在空格中填入一個適當的數字

民國(年) 90 91 92 ⋯⋯ 120

西元(年) 2001 2002 2003 ⋯⋯

A16 8 將一堆糖果分給小真和小美兩人以下是兩人得到糖果個數的關係請在空格中填入

一個適當的數字

小真 8 12 16 ⋯⋯ 30

小美 24 20 16 ⋯⋯

~204~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

《附錄 3-6 認知終點行為後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~205~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

一 選擇題

B02

B01 ( )1 76 23 88 12

甲 丁 乙 丙

~206~

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯ 景平 路

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯

北

甲乙丙丁四個籃子裡各有 76238812 顆蘋果

)2 全班 47人按照 123⋯⋯47開始報數奇數號的同學為甲組

3 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯

間門牌為 100號

4 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下

日

每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果不能剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

(

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

B03

B04

( )

南邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 50

(B) 北邊第 40間門牌為 81號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 50間門牌為 99號

( )

星期一二 星期三五 星期四 星期六

到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年六月 3 30號阿德的活動是什

麼 到醫院當志工

習交際舞 (D)

號是星期二請問同年六月

(A) 到公園運動 (B) (C) 練 陪小孫子

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

二 配合題

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數______ _______________________________________

偶數______ ______________________________________

(A)1024－726 (B)777777－77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋50(連續 25個偶數相加)

(D) 1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋99(連續 50個奇數相加)

(E) 41times51 (F)1times2times3times4times5times6times7times8times9

(G) (H)

(I)3times4times5times6－3 (J) +

三 計算題

1 (1)觀察數列 8162432⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 75個數與第 n個數分別為多少

(a)第 75 個數

(b)第 n 個數

2 37 7

18261324

B05

B07

B08

B09

B11

B13

B06

B10

B12

B14

B15 B16

~207~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

(2)觀察數列 11192735⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少

B17 B18 (a)第 100 個數

(b)第 n 個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續六邊形請問

(1)排出連續 3 個4 個六邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中

竹籤排列 連續六邊形數 竹籤數

1 6

2 11

3

4

(2)若想排出 80個連續六邊形需要幾根竹籤

B19

B20

~208~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

(3)若想排出連續 n個連續六邊形需要幾根竹籤 B21

3文化局舉辦了一個經典電影欣賞活動但名額有限觀眾必需領號碼牌對號入

座右圖是該視聽中心的座位圖

(1)阿菜拿到的號碼牌是 42號請問他坐在

第幾排

B22

(2)大頭拿到的號碼牌是 51號請問他坐在第B23

(3)阿証坐在第二排第 6 列請問他的號碼牌是B24

(4)請問第五排第 n 列的人他的號碼牌是幾號B25

~209~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

1 2 3 4 5 6 第 1 列

7 8 9 1 0 1 1 1 2 第 2 列

幾排

幾號

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

《附錄 3-7 認知終點行為延後測卷》

這裡有一份學習測驗卷主要是想測試各位同學的學習狀

況題目並不多時間很充裕請你仔細作答

在測驗當中請你配合以下事項

1 請不要用計算紙請你把計算過程寫在題目卷的空白

處

2 請你不要使用修正液(帶)或橡皮擦如果計算過程你需

要修改結果請直接用筆劃掉把正確的結果寫在一

旁

班級________________

姓名________________

座號________________

~210~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

一 配合題(每答對一個選項 3分共 30分)

先判斷各小題運算結果為奇數或偶數然後將各小題代號填入適當空格中

奇數____ ______________________________________________

偶數_____ ______________ _______________________________

C09

C07

C05

C04

C03

C01 C02 (A)34675－366 (B) 77777777777777－7

(C)2＋4＋6＋8＋⋯⋯＋100(連續 50個偶數相加)

(D)1＋3＋5＋7＋⋯⋯＋59(連續 30個奇數相加)

C10

C08

C06 (E)133times794 (F)11times12times13times14times15times16times17times18times19

(G) (H)11 211 3

(I)2times3times4times5times6－56 (J)17 1012 20+

二 選擇題(每小題 5分共 20分)

C11 ( )1 全班 39人按照 123⋯⋯39開始報數奇數號的同學為甲組

偶數號的同學為乙組請問哪一組的人數比較多

(A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣多 (D)無法比較

C12 ( )2

丁

99

乙

55

丙

66 33

甲

甲乙丙丁四個籃子裡各有 33556699 顆蘋果每個籃

子均 2個一數哪一個籃子裡的蘋果可以剛好數完

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D)丁

~211~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 景平路

1 3 5 7 9 11 ⋯⋯

北

( )3 阿德是一位退休的公務員他每天早上固定的活動如下 C13

星期一二 星期三五 星期四 星期六日 到公園運動 到醫院當志工 練習交際舞 陪小孫子 已知某年 11月 1號是星期二請問同年 11月 27號阿德的活動是什麼 (A) 到公園運動 (B) 到醫院當志工

(C) 練習交際舞 (D) 陪小孫子

( )4 如圖景平路北邊的門牌號碼編法為 24681012⋯⋯

南邊的門牌號碼編法為 1357911⋯⋯請問下列敘述

何者正確

(A) 北邊第 40間門牌為 81號

(B) 北邊第 30間門牌為 60號

(C) 南邊第 40間門牌為 80號

(D) 南邊第 30間門牌為 61號

三 計算題

1 (1)觀察數列 6121824⋯⋯的規律請根據所發現的規則寫出這個數

列的第 50個數與第 n個數分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 50 個數

C14

C15 C16 第 n個數

~212~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

(2)觀察數列 9152127⋯⋯的規律請問這個數列的第 100個數字與

第 n個數字分別為多少(每個答案 4分共 8分)

第 100 個數

第 n個數

2 利用一些竹籤排成如下的連續五邊形請問

(1)排出連續 3個4個五邊形分別需要幾根竹籤將結果填入下表兩個空格

中(每格 2分共 4分)

竹籤排列 連續五邊形數 竹籤數

1 5

2 9

3

4

(2)若想排出 80個連續五邊形需要幾根竹籤(5分)

C17 C18

C19

C20

~213~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

(3)若想排出連續 n個連續五邊形需要幾根竹籤(5分) C21

3 (每小題 5分共 20分)

一年 3 班的座位是按照號碼安排的右圖是該

班部份的座位表請回答下列問題

(1)小董的號碼是 49號請問他坐在第幾 C22

排

(2)海哥的號碼是 36號請問他坐在第幾排C23

(3)華仔坐在第二排第 7 列請問他的號碼是幾C24

(4)請問第五排第 n 列的學生他的號碼是幾號C35

~214~

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排

1 2 3 4 5 6 7 第 1 列

8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 第 2 列

號

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

《附錄 3-8 三次認知測驗卷給分標準一覽》

【附表 3-8-1】認知前測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

A01 D A02 B A03 C A04 B A05 D A06 B

A07

3a＋6753a ＋250＋450或其他經過化簡運算後能

與 3a＋675一致的答案 顯示出正確的解題策略

但沒有使用數學上約定的

表示方式例a3＋675

顯示出正確的解題策略但

使用錯誤的表示方式例

3timesx＋675 ＋675 3a

A08 665

2133(175－80)times07

或其他經過運算後能與

665一致的答案

A09 42 A10 51 A11 486 A12 4 A13 3 A14 800 A15 2031 A16 2

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~215~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

【附表 3-8-2】認知後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

B01 B B02 A B03 C B04 A B05 偶 B06 偶 B07 偶 B08 偶 B09 奇 B10 偶 B11 奇 B12 奇 B13 奇 B14 奇 B15 600

B16

8n8timesn8＋(n－1)times8或其他經過化簡運算後能與

8n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B17

803 列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 880的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 11＋(100－1)times8計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 880 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

B18

8n＋311＋(n－1)times8 或其他經過化簡運算後能與

8n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B19 (1621)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1521)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~216~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

B20

401 列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 425 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 6＋(80－1)times5計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 425的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

B21

5n＋16＋(n－1)times56n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 5n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

B22 第六排 B23 第三排 B24 32

B25

6n－15＋(n－1)times6 或其他經過化簡運算後能與

6n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~217~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

【附表 3-8-3】認知延後測給分標準

給分 題號

1分 05分 0分

C01 奇 C02 奇 C03 偶 C04 偶 C05 偶 C06 偶 C07 奇 C08 奇 C09 偶 C10 奇 C11 A C12 C C13 D C14 B C15 300

C16

6n6timesn6＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與

6n一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C17

603 列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加

減」的算則而出現 648的答案在訪談中能正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

列出 9＋(100－1)times6計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 648 的答案但在訪談中無法正確答

出類似題或順利偵測出錯

誤者

C18

6n＋39＋(n－1)times6或其他經過化簡運算後能與 6n＋3一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C19 (1317)兩格全對 兩格中有一格答對但另一

格答錯例(1317)

空 白 或 其 他 不 正 確 的 答 案

~218~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

C20

321 列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」

的算則而出現 336 的答案在訪談中能正確答出類

似題或順利偵測出錯誤者

列出 5＋(80－1)times4計算過程忽略「先乘除後加減」的

算則而出現 336的答案但在訪談中無法正確答出

類似題或順利偵測出錯誤

者

C21

4n＋15＋(n－1)times45n－(n－1)或其他經過化簡運算後能與 4n＋1 一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

C22 第七排 C23 第一排 C24 44

C25

7n－25＋(n－1)times7 或其他經過化簡運算後能與

7n－1一致的答案 出現化簡運算的錯誤在

訪談中能解釋如何列式

出現化簡運算的錯誤在訪

談中無法解釋如何列式

空白或

其他不正

確 的 答

案

答案正

確但使

用不合理

的解題策

略

~219~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

《附錄 3-9 數學態度前測卷》

我對數學學習的態度

這份問卷主要是想知道你對學習數學的看法這不是考卷

並沒有正確答案更不會影響到你的成績所以不用顧慮太

多只要將你心裡面真正的想法表達出來勾選與你的意思

最接近的答案即可你的答案很重要可以給老師更多的建

議所以請你放心作答謝謝你的合作

班級________________

姓名________________

座號________________

~220~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

1 我覺得我的數學還不錯

2 任何困難的數學題目都難不倒我

3 只要我上課認真一點就可以把數學學好

4 不管多努力我的數學仍然考不好

5 老師出的數學作業我大部份都會寫

6 在所有的科目當中我對數學最沒有信心

7 就算數學學好對日常生活也沒有什麼幫助

8 要繼續升學就要把數學學好

9 學了數學對其他知識的增進沒有什麼幫助

10 我覺得學數學是件浪費時間的事

11 我覺得數學可以使人變聰明

12 以後工作時會用到數學

13 我喜歡解比較難的數學題目

14 遇到困難的數學題目我就直接放棄

15 我喜歡和同學討論數學問題

16 解數學難題是一件浪費時間的事

17 我喜歡做數學課外題

18 我喜歡數學不同的解法

19 假如我的數學很厲害同學會來問我數學問題

20 數學成績得到高分是一件很光榮的事

21 數學考一百分我會很快樂

22 我不喜歡老師在同學面前誇獎我的數學好

~221~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

非常不同意

不 同 意

不 一 定

同 意

非常 同意

23 數學成績進步我不會感到很高興

24 假如我的數學是全班最好大部份同學會羨慕

我

25 家人常常問我「數學有沒有問題」

26 家人認為我可以把數學學好

27 假如我的數學考得好家人會很高興

28 老師不會在意我的數學考幾分

29 假如我的數學考得很好老師會很高興

30 老師希望我好好學數學

31 我不會怕數學

32 考數學時我不會很緊張

33 想到要上數學課我就覺得不快樂

34 我很怕老師問我數學問題

35 數學不會讓我感到煩躁

36 想到數學我就很憂慮

~222~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

《附錄 3-10 題目適用性分析》

一題目適用性分析

本研究使用WINSTEPS這個軟體進行 IRT分析有關題目適用性的標準則

參考其使用手冊的說明(見【附表 3-10-1】)(Linacre J M 1991)

【附表 3-10-1】題目適用性標準

題目適用性指標MNSQ(INFIT)與

MNSQ(OUTFIT)1的標準 說明

大於 200 不適用的題目

150 ndash 200 不利於建立能力量尺但不會降低量尺的

使用效能

050 ndash 150 適用於建立能力量尺

小於 050 較不利於建立能力量尺但亦不會降低量

尺的使用效能

(p202)

Linacre(1991)曾提到在檢驗題目適用性的時候通常我們只會注意MNSQ

過大時的情形對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意由於本

研究使用 IRT 的目的在建立能力量尺計算每位學生的 IRT 值並非建立經濟型

的測驗卷故採用較寬鬆的標準只有MNSQ 大於 200 的題目才刪除000~200

均為可接受試題

在使用 IRT 的過程中必需進行題目適用性分析第一次我們放進所有題目

(共 32題)檢驗是否有不適用的題目分析的結果如【附表 3-10-2】所示由【附

1此為兩個MNSQ的共同標準兩個MNSQ均需列入考慮只要其中一個不符合標準即為不適

用題目

~223~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

表 3-10-2】的結果我們可以知道 B19這個題目在 OUTFIT MNSQ這個適用性指

標的值超出可接受範圍所以這個 B19這個題目必需剔除

【附表 3-10-2】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372

B04 111 16

A07 101 138

B08 117 129

A04 112 128

A12 095 123

B22 111 122

B14 113 118

B24 106 116

B03 114 115

A15 102 111

A02 095 11

B10 099 11

B02 104 106

B23 104 103

B06 1 102

A13 089 1

B07 098 084

B16 097 078

A10 095 087

B20 094 073

A14 094 093

A09 093 077

B15 093 09

A11 091 082

A16 091 085

B25 09 057

A08 088 086

A01 086 084

~224~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

B21 08 059

B17 071 044

B18 07 036

剔除 B19 這個題目之後剩餘的 31 個題目再繼續進行適用性分析由【附

表 3-10-3】可以知道這 31 題的適用性指標均在可接受範圍內

【表 3-10-3】

適用性指標 題號

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B04 114 166

A07 102 14

B08 121 136

A04 115 132

A12 098 129

B22 114 127

B14 115 123

B24 109 12

B03 102 119

A15 116 119

A02 098 116

B10 104 114

B02 105 109

B23 107 108

B06 101 104

A13 09 103

B07 1 091

B16 098 079

A10 097 076

B20 095 096

A14 095 094

A09 093 089

B15 093 085

A11 092 086

A16 092 083

~225~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

B25 088 086

A08 088 054

A01 085 085

B21 081 059

B17 071 044

B18 068 035

二不適用題目的解讀

本研究經過 IRT 題目適用性分析之後剔除的題目有 B19 一題B19B20

B21 三題恰形成一個題組在題目設計上 B19 檢驗學生是否能察覺非倍數等差樣

式的規律並寫出該樣式第 45 項的值而 B20 則要求學生延伸該規律寫出該

樣式的第 80如果學生能夠答對 B20理應也能答對 B19研究者觀察建立能力

量尺的校準團體(共 394 位學生)在 B19B20 這兩題的答題狀況發現當中有 20

位學生能答對 B20 但在 B19 的作答卻完全空白再加上研究者在實驗班與對照

班的後測訪談過程中發現部份學生曾經漏寫了 B19 這個題目因此研究者推測

這 20 位學生答錯 B19 的原因乃是因為該題的作答欄不明顯造成他們漏答的情

況並非這些學生不具備我們所欲檢測的能力

此外如果我們將 20 位學生在 B19 的得分由 0 分改為 1 分再重新將所有

題目進行題目適用性分析結果發現 B19 這個題目兩個適用性指標全部落在可接

受範圍 000~200(結果請見【表 3-10-4】)因此我們推測 B19 之所以變成不適用

題目的原因可能是該題目作答欄的設計上容易讓學生誤以為它只是題目說明的

一部份而部份有能力答對的學生因為沒有注意到該題目的存在反而未能獲得

他們能力範圍內所應得的分數

【表 3-10-4】

修改給分前適用性指標 修改給分後適用性指標

INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ INFIT MNSQ OUTFIT MNSQ

B19 16 372 134 176

~226~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT值與 IRT層次一覽》

【附表 3-11-1】【附表 3-11-2】分別列出兩班學生在三次認知測驗的 IRT值

與 IRT層次為了說明的方便本研究將研究對象以 5碼的代號表示前三碼代

表班別701-xx是實驗班720-xx是對照班後兩碼代表該生的在該班的序號

實驗班有 30人故代碼由 701-01到 701-30對照班有 37人故代碼由 720-01

到 720-37

【附表 3-11-1】實驗班(701)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次701-01 146 高 378 高 215 高

701-02 035 中下 117 中上 042 中下

701-03 -019 低 078 中上 146 高

701-04 098 中上 146 高 378 高

701-05 252 高 215 高 266 高

701-06 064 中上 215 高 215 高

701-07 252 高 065 中上 09 中上

701-08 252 高 065 中上 215 高

701-09 146 高 215 高 266 高

701-10 -019 低 019 中下 065 中上

701-11 098 中上 161 高 09 中上

701-12 146 高 117 中上 065 中上

701-13 252 高 378 高 378 高

701-14 098 中上 215 高 378 高

701-15 146 高 378 高 378 高

701-16 035 中下 042 中下 065 中上

701-17 022 中下 215 高 146 高

701-18 035 中下 161 高 31 高

701-19 035 中下 161 高 266 高

701-20 064 中上 146 高 178 高

701-21 146 高 266 高 266 高

701-22 064 中上 090 中上 215 高

~227~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

701-23 098 中上 065 中上 019 中下

701-24 -092 低 -023 低 -089 低

701-25 098 中上 019 中下 378 高

701-26 252 高 266 高 215 高

701-27 098 中上 378 高 266 高

701-28 252 高 090 中上 266 高

701-29 035 中下 117 中上 065 中上

701-30 -019 低 019 中下 -002 中下

【附表 3-11-2】對照班(720)在三次認知測驗的 IRT值及 IRT層次

認知前測 認知後測 認知延後測 學生代號 IRT 值 IRT層次 IRT值 IRT層次 IRT值 IRT層次720-01 098 中上 117 中上 215 高

720-02 064 中上 042 中下 -002 中下

720-03 -076 低 -023 低 019 中下

720-04 098 中上 161 高 266 高

720-05 146 高 215 高 178 高

720-06 064 中上 195 高 042 中下

720-07 098 中上 -023 低 117 中上

720-08 -076 低 -023 低 103 中上

720-09 252 高 161 高 266 高

720-10 035 中下 146 高 065 中上

720-11 -019 低 -023 低 -023 低

720-12 -143 低 -089 低 019 中下

720-13 146 高 238 高 266 高

720-14 252 高 178 高 146 高

720-15 064 中上 -089 低 019 中下

720-16 035 中下 131 中上 266 高

720-17 -184 低 -191 低 -023 低

720-18 098 中上 019 中下 -023 低

720-19 -347 低 -066 低 -191 低

720-20 098 中上 090 中上 146 高

720-21 035 中下 146 高 178 高

720-22 252 高 117 中上 09 中上

720-23 252 高 215 高 215 高

720-24 064 中上 266 高 09 中上

~228~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

720-25 098 中上 215 高 378 高

720-26 146 高 117 中上 09 中上

720-27 064 中上 042 中下 019 中下

720-28 035 中下 131 中上 065 中上

720-29 -019 低 117 中上 215 高

720-30 022 中下 -044 低 019 中下

720-31 008 中下 -002 中下 019 中下

720-32 035 中下 090 中上 065 中上

720-33 -237 低 -044 低 042 中下

720-34 035 中下 -023 低 065 中上

720-35 064 中上 042 中下 065 中上

720-36 098 中上 065 中上 146 高

720-37 022 中下 -023 低 042 中下

~229~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

《附錄 4-1 實驗班與對照班學生前測能力層次與後測能力類型一覽》

【附表 4-1-1】列出每個學生的前測能力層次與後測能力類型該表是依據

前測能力層次的順序列出

【附表 4-1-1】兩班學生前測能力層次與後測能力類型一覽

認知前測 認知後測

能力指標(數學內容) A-2-3 A-3-5 A-3-1奇偶

樣式 等差

樣式 通過標準 最高分 3 5 24 4 24 4 42 7 66 11

前測能力

層次 學生代碼 得分

能力類型判

別1

720-08 2 1 2 4 3 無

720-12 2 1 0 2 2 無

720-17 2 0 0 0 1 無

720-19 0 0 0 4 1 無

1

(共 5 人)

720-33 0 0 1 4 2 無

701-10 4 1 2 5 4 奇偶

701-16 5 2 2 5 5 奇偶

701-24 3 0 15 5 2 奇偶

701-29 5 2 2 4 9 等差

720-03 4 0 1 4 3 無

720-10 5 2 2 6 8 奇偶+等差

720-11 5 1 1 4 3 無

720-31 5 2 1 4 4 無

2

(共 9 人)

720-34 5 2 2 3 4 無

701-02 5 3 1 6 7 奇偶+等差

701-03 3 1 3 4 75 等差

701-06 5 1 4 6 10 奇偶+等差

701-11 5 4 2 5 95 奇偶+等差

701-14 5 4 2 6 10 奇偶+等差

3

(共 23 人)

701-17 4 2 25 7 9 奇偶+等差

1 奇偶表該生僅在奇偶樣式答對率達六成以上等差表該生僅在等差樣式達六成以上奇偶

+等差該生同時在奇偶樣式與等差樣式答對率達六成以上無該生在兩種類型題目答對率均

在六成以下

~230~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

701-18 3 2 4 6 85 奇偶+等差

701-20 5 2 3 6 8 奇偶+等差

701-22 5 2 3 5 7 奇偶+等差

701-25 5 2 4 6 3 奇偶

701-30 4 0 3 2 7 等差

720-01 5 4 2 6 7 奇偶+等差

720-06 5 3 2 7 85 奇偶+等差

720-07 5 4 2 3 4 無

720-15 5 3 2 1 3 無

720-16 4 2 3 7 65 奇偶

720-20 5 2 4 5 7 奇偶+等差

720-24 5 3 2 6 11 奇偶+等差

720-27 5 2 3 3 7 等差

720-28 3 2 4 7 65 奇偶

720-29 5 4 1 6 7 奇偶+等差

720-32 4 1 4 4 8 等差

720-37 5 1 25 3 4 無

701-01 5 4 3 7 11 奇偶+等差

701-04 4 4 3 5 9 奇偶+等差

701-05 5 4 4 7 9 奇偶+等差

701-07 5 4 4 6 5 奇偶

701-08 5 4 4 7 4 奇偶

701-09 5 3 4 6 10 奇偶+等差

701-12 5 3 4 7 6 奇偶

701-13 5 4 4 7 11 奇偶+等差

701-15 5 3 4 7 11 奇偶+等差

701-19 5 4 3 7 75 奇偶+等差

701-21 5 3 4 7 10 奇偶+等差

701-23 5 3 3 5 6 奇偶

701-26 5 4 4 6 11 奇偶+等差

701-27 4 3 4 7 11 奇偶+等差

701-28 5 4 4 5 7 奇偶+等差

720-02 3 3 4 5 5 奇偶

720-04 5 3 3 6 85 奇偶+等差

720-05 5 4 3 6 10 奇偶+等差

720-09 5 4 4 7 75 奇偶+等差

4

(共 30 人)

720-13 5 4 3 7 95 奇偶+等差

~231~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

720-14 5 4 4 6 9 奇偶+等差

720-18 5 3 3 4 5 無

720-21 3 3 3 6 8 奇偶+等差

720-22 5 4 4 5 8 奇偶+等差

720-23 5 4 4 7 9 奇偶+等差

720-25 4 4 3 6 10 奇偶+等差

720-26 5 4 3 7 6 奇偶

720-30 3 3 25 4 2 無

720-35 4 3 3 5 5 奇偶

720-36 5 3 3 6 5 奇偶

~232~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

《附錄 4-2 實驗班與對照班在 A-3-5的解題策略與人數一覽》

一「A-3-5 能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係」

【附表 4-2-1】A-3-5簡易數量關係「A04」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

察覺哥哥年齡與弟弟年齡之間有差不

變關係 3 3 15 22

誤以為哥哥的年齡與弟弟的年齡之間

有固定倍數關係 1 3 4 5

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 2倍再

多 4歲 0 3 1 0

錯

誤

解

題

劣

誤以為哥哥年齡恆為弟弟年齡的 4倍再

少 4歲 1 0 3 3

【附表 4-2-2】A-3-5簡易數量關係「A14」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

正

確

解

題

優

能發現上下兩數列的倍數關係不必逐

項列出各項的值即可找出答案發現

「所求的熱量(大卡)＝巧克力重量(公

克)times4」所求 = 200times4 = 800大卡

0 2 11 17

~233~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

能發現兩數列當中兩組「前後相同位

置的數字比值」其值相同不必逐項列

出各項的值即可找出答案發現

1

2

1

2

重量

重量

熱量

熱量= 200是 40的 5倍所

求 = 160times5 = 800

0 1 3 2

發現兩個數列當中「相同位置的數字

與其公差形成的比值」其值相同不必

逐項列出各項的值即可找出答案發現

重量變化

重量

熱量變化

熱量= 重量增加 20

公克熱量增加 80大卡200是 20的

10 倍所以所求熱量為 80 大卡times10 =

800大卡

0 0 1 4

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一

列出各項的值才能找到答案發現巧克

力重量每增加 20 公克其熱量就增加

80大卡依此方式逐一向右列出兩組數

字直到找出答案列出

重

量 80 100 120 140 160 180 200

熱

量 320 400 480 560 640 720 800

0 0 0 2

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難

以判定其解題策略 0 0 3 4

~234~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法依

此規律完成解題

1 2 2 0

其他錯誤的答案 2 4 3 1

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 0 0

【附表 4-2-3】A-3-5簡易數量關係「A15」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

解題策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的差不變關係不必逐項

列出各項的值即可找出答案發現「西元

年－民國年 = 1911」所求 = 120＋1911 =

2031

0 0 7 9

優 能發現在兩數列當中兩組「前後相同位置

的數字差值」其值相同不必逐項列出各項

的值即可找出答案發現「西元年2－西元年

1＝民國年2－民國年1」民國 120 年與民國

90 年相差 30所求 = 2001＋30 = 2031

0 3 8 13 正

確

解

題

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐一列出

各項的值才能找到答案發現民國年每增加

1其西元年也增加 1依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

民

國 92 93 94 ⋯ 118 119 120

西

元 2003 2004 2005 ⋯ 2129 2030 2031

0 0 0 3

~235~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而難以判

定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現兩個

數列的個別的變化規律但無法依此規律完

成解題

0 1 3 2

其他錯誤的答案 2 4 4 2

錯

誤

解

題

劣

完全空白 3 1 0 0

【附表 4-2-4】A-3-5簡易數量關係「A16」學生的解題情況整理

前測能力層次 解

題

情

況

策

略

評

價

策略 1 (N=5)

2 (N=9)

3 (N=23)

4 (N=30)

能發現上下兩數列的和不變關係不

必逐項列出各項的值即可找出答案

發現「小真的糖果數＋小美的糖果數

＝32」所求 = 32－30 = 2

0 2 2 10

正

確

解

題

優

能發現在兩數列當中兩組「前後相

同位置的數字差值」其值相同且增

加的方向相反不必逐項列出各項的

值即可找出答案發現「小真的糖果

增加量 = 小美的糖果減少量」小真

的糖果數增加 30－8 = 22個小真的

糖果數也要減少 22個所求 = 24－22

= 2

0 0 1 2

~236~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

劣

能發現兩個數列個別的公差但需逐

一列出各項的值才能找到答案發現

小真的糖果數每增加 4 個小美的糖

果數就少 2 個依此方法逐一向右列

出兩組數直到找出答案列出

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4 2

0 1 6 12

不

明

答案正確但因缺乏足夠的訊息而

難以判定其解題策略 0 0 1 1

能發現單一數列的變化規律或能發現

兩個數列的個別的變化規律但無法

依此規律完成解題

0 2 4 2

發現小真的糖果數每增加 4 個小美

的糖果數就少 2 個依此方法逐一向

右列出兩組數但只找到最接近的數

字列出

＋4 ＋4 ＋4 ＋

小真 16 20 24 28 30

小美 16 12 8 4

－4 －4 －4 －

1 0 4 3

其他錯誤的答案 2 4 4 0

錯

誤

解

題

劣

完全空白 2 0 1 0

~237~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

《附錄 4-3 實驗班與對照班在等差樣式的解題策略與人數一覽》

一「A-3-7-3能察覺自然數列(序數)與倍數等差樣式之間的數量關係並寫出其

特定項與第 n項」

【附表 4-3-1】 A-3-7-3倍數等差樣式「B15B16」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B15 B16 B15 B16

察覺倍數關係將數列 81624⋯視為 8的

倍數數列例

(B15)8times75＝600

(B16) 8timesn

26 27 14 12

正

確

解

題

察覺非倍等差關係使用傳統等差方法將數列

81624⋯視為首項為 8公差為 8的數列

例

(B15) 8＋(75－1)times8＝600

(B16) 8＋(n－1)times8

2 1 8 9

錯

誤

解

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但過

程忽略「先乘除後加減」的算則例

(B15)8＋(75－1)times8＝8＋74times8＝(8＋74)times8＝656

0 0 4 0

~238~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

察覺非倍數等差關係使用傳統等差方法但首

項或公差出錯例

(B15)8＋(75－1)times4

(B16)8＋(n－1)times43

0 0 1 3

使用其他錯誤的公式誤用梯型公式例

(B15)(8＋75)times8divide2＝322

(B16)(8＋n)times8divide2

0 0 3 3

其他無法判別的答案 2 2 3 7

題

空白 0 0 4 3

二「A-3-7-4能察覺自然數列(序數)與非倍數等差樣式之間的數量關係並寫出

非倍數等差樣式的特定項與第 n項」

【附表 4-3-2】 A-3-7-4非倍數等差樣式「B17B18」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B17 B18 B17 B18

正

確

解

使用「數關係方法」例

(B17) 8times100+3 = 803

(B18)8timesn＋3

12 13 1 1

~239~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

題 使用「傳統等差方法」例

(B17)11+ (100－1)times8 = 803

(B18) 11+ (n－1)times8 = 803

3 2 9 12

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 1times100+3 = 103(公差出錯)

8times100+11 = 811(固定差出錯)

(B18)1timesn+3(公差出錯)

8timesn+11 = 811(固定差出錯)

6 5 0 0

使用傳統等差方法但過程「忽略先乘除後加減」

的算則例

(B17) 11+(100－1)times8＝11＋99times8＝(11+99)times8 =

880

0 0 4 0

使用「傳統等差方法首項＋(項數－1)times公差」

列出正確算式但首項或公差出錯例

(B17) 8＋(100－1)times8＝800(首項出錯)

(B18) 8+(n－1)times8

2 2 4 4

錯用比例性策略直接將首項乘以項數例

(B17) 11times100

(B18) 11timesn

2 2 0 0

錯

誤

解

題

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (11＋100)times8divide2

(B18) (11+n)times8divide2

0 0 5 4

~240~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

其他錯誤的答案 5 6 9 8

完全空白 0 0 5 8

【附表 4-3-3】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B20B21」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B20 B21 B20 B21

使用「數關係方法」

(B17) 5times80+1 =401

(B18) 5timesn+1

9 9 1 1

使用「傳統等差方法」

(B17) 6+ (80－1)times5 =401

(B18) 6+(n-1)times5

2 1 1 3

正

確

解

題 使用「幾何方法」

(B17)總火柴數＝6(邊數)times80(個數)－79(重複邊

數)＝401

(B18)6timesn－(n－1)

13 9 12 11

錯

誤

解

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B17) 5times80+6 = 406(固定差出錯)

(B18) 5timesn+6(固定差出錯)

2 2 0 0

~241~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

使用「傳統等差方法」列出正確算式但過程

「忽略先乘除後加減」的算則例

(B17) 6+(80－1)times5＝6＋79times5＝(6+79)times5 = 425

0 0 3 0

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B17) 5＋(80－1)times6＝479(首項與公差同時出錯)

(B18) 5＋(n－1)times6(首項與公差同時出錯)

0 0 1 1

使用幾何方法但當中某個數字出錯例

(B17)總火柴數＝6times80－80(重覆邊)＝400(重覆

邊出錯)

(B18)6timesn－80(重覆邊)＝400

2 2 4 4

錯用比例性策略例

(B17) 6times80

(B18)6timesn

1 1 2 2

與其他公式搞錯錯用梯形公式例

(B17) (1＋80)times80divide2

(B18) (1＋n)times80divide2

0 0 3 1

其他錯誤的答案 0 4 6 4

題

完全空白 1 2 4 10

~242~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

【附表 4-3-4】 A-3-7-4非倍數等差樣式樣式「B24B25」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B24 B25 B24 B25

使用「數關係方法」例

(B24)6times6－4＝32

(B25)6timesn－1

7 7 3 1

使用「傳統等差方法」

(B24)2＋(6－1)times6＝32

(B25)5＋(n－1)times6

6 2 5 5

逐一數出座號找出答案 9 0 18 0

正

確

解

題

其他特殊作法例

(B24)判別第二排的座號為 2times12times42times7⋯

其規律為 2乘上「147101316⋯」(公

差 3的數列故第二排第六列的座號為 2times16=32

(B25)學生觀察全部座位共有六排故猜測答案必

為 6timesn plusmn 逐一嘗試 0~5每個數字最後確認

答案為 6timesn－1而且回頭驗證該排每個數字均符

合此樣式

1 0 0 2

~243~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

使用「數關係方法公差times項數plusmn兩數列固定差」

但公差或兩數列固定差出錯例

(B24)6times6－2＝34

6times6＋2＝38(固定差出錯)

(B25)6timesn－5

6timesn＋5(固定差出錯)

2 3 0 1

使用「傳統等差方法」但首項或公差出錯例

(B25)6＋(n－1)times5 0 2 0 1

錯用比例性策略例

(B25)5timesn＝5n 0 4 0 1

與其他公式搞錯例

(B25)(6＋n)times5divide2 0 0 0 1

其他錯誤的答案 5 9 8 19

錯

誤

解

題

完全空白 0 3 3 6

~244~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

三「A-3-7-5 能察覺連續正整數排列當中的等差樣式」

【附表 4-3-5】A-3-7-5 連續自然數中的等差樣式「B22B23」的解題情況整理

人數

實驗班

(N=30)

對照班

(N=37) 解題情況

B22 B23 B22 B23

使用數量關係方法根據某一行找到最接近目標

座號的數字再向左右找到目標座號例

(B22)由第一排找到座號 43由 43-1=42往回推

到目標座號 42在第六排

(B23)由第六排找到座號 55由 55-3=51往回推

到目標座號 51

1 1 1 2

使用數量關係方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6times7

(B23)判別 51=6times9-3

7 4 6 2

正

確

解

題

使用傳統等差方法在每一行的座號逐一加 6

找到目標座號例

(B22)由 6+6+6+6+6+6+6=4242 號即是在第六

排

(B23)由 3+6+6+6+6+6+6+6+6=5151 即是在第

三排

3 1 4 2

~245~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~

使用傳統等差方法判別數量樣式例

(B22)判別 42=6+6times5

(B23)判別 51=3+6times8

1 2 0 4

判別餘數例

(B22)42divide6=7⋯0rarr整除故在第六排

(B23)51divide6=8⋯3rarr餘 3故在第三排

11 8 6 5

點數所有正整數由左而右寫出所有的座號找

到目標座號 5 6 14 14

使用數量關係方法判別某一行最接近目標座號

的數字後向左右推出目標座號時卻搞錯所在的

行數

1 2 0 1

使用傳統等差方法判別行數時出錯 1 0 2 0

誤用比例性策略判別餘數例

(B22)第二排首位座號為 242divide2 可整除rarr故在

第二排

(B23)第三排首位號碼為 351divide3 可整除rarr故在

第三排

0 5 1 3

其他錯誤的答案 0 1 0 1

錯

誤

解

題

完全空白 0 0 3 3

~246~