Embed Size (px)
Citation preview
1
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN 11
Yêu cầu hs: đối với phần giải tích: đọc kiến thức cơ bản và các ví dụ, sau đó làm phần bài tập tự
luyện vào trong vở. Đối với phần hình học: trả lời các câu hỏi lí thuyết và làm bài tập vào vở.
I. PHẦN GIẢI TÍCH:
BÀI : GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
0
0lim
x x
x x
;
0
lim
x x
c c
(c: hằng số)
2. Định lí:
a) Nếu0
lim ( )
x x
f x L
và
0
lim ( )
x x
g x M
thì: 0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x L M
0
( )lim
( )x x
f x L
g x M (nếu M 0)
b) Nếu f(x) 0 và 0
lim ( )
x x
f x L
thì L 0 và 0
lim ( )
x x
f x L
c) Nếu 0
lim ( )
x x
f x L
thì
0
lim ( )
x x
f x L
3. Giới hạn một bên:
0
lim ( )
x x
f x L
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
1. Giới hạn đặc biệt:
limk
x
x
; lim k
x
neáu k chaünx
neáu k leû
lim
x
c c
; lim 0
kx
c
x
0
1lim
x x ;
0
1lim
x x
0 0
1 1lim lim
x xx x
2. Định lí:
Nếu 0
lim ( )
x x
f x L
0 và
0
lim ( )
x x
g x
thì:
0
0
0
lim ( )
lim ( ) ( )lim ( )
x x
x x
x x
neáu L vaø g x cuøngdaáu
f x g xneáu L vaø g x traùi daáu
0
0 0
0
0 lim ( )
( )lim lim ( ) 0 . ( ) 0
( )
lim ( ) 0 . ( ) 0
x x
x x x x
x x
neáu g x
f xneáu g x vaø L g x
g x
neáu g x vaø L g x
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
0
0
,
, – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô
định.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Bài toán 01: Tìm 0
lim ( )x x
f x
biết ( )f x xác định tại 0x .
Phương pháp:
* Nếu ( )f x là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng 0
( )f x
* Nếu ( )f x cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới
hạn trái bằng giới hạn phải).
Ví dụ . Tìm các giới hạn sau:
1. 20
sin 2 3coslim
2 cos 3x
x x x
x x
2.
2
32
3 2lim
6 2 1x
x x
x x
Lời giải:
1. Ta có: 2 20
sin 2 3cos sin0 3cos0 0lim 3
2 cos 3 2.0 cos 0x
x x x
x x
2
2. Ta có: 2 2
3 32
3 2 2 3 2.2 7 4lim
56 2 1 2 6 2.2 1x
x x
x x
.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Tìm các giới hạn sau:
a) 2 3
0
1lim
1x
x x x
x
b)
2
1
3 1lim
1x
x x
x
c)
2
sin
4lim
x
x
x
d) 4
1
1lim
3x
x
x x
e)
2
2
1lim
1x
x x
x
f)
2
1
2 3lim
1x
x x
x
Bài toán 02. Tìm L = 0
( )lim
( )x x
P x
Q x với P(x0) = Q(x0) = 0
Dạng này ta gọi là dạng vô định0
0. Cách khử dạng vô định như sau :
a) L = 0
( )lim
( )x x
P x
Q x với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
VD: 3 2 2
22 2 2
8 ( 2)( 2 4) 2 4 12lim lim lim 3
( 2)( 2) 2 44x x x
x x x x x x
x x xx
b) L = 0
( )lim
( )x x
P x
Q x với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
VD:
0 0 0
2 4 2 4 2 4 1 1lim lim lim
42 42 4x x x
x x x
x xx x
c) L = 0
( )lim
( )x x
P x
Q x với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc
Giả sử: P(x) = 0 0
( ) ( ) ( ) ( )m n m nu x v x vôùi u x v x a .
Ta phân tích P(x) = ( ) ( )m nu x a a v x .
VD: 3 3
0 0
1 1 1 1 1 1lim lim
x x
x x x x
x x x
= 0 2 33
1 1 1 1 5lim
3 2 61 1( 1) 1 1x xx x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Baøi 1: Tìm các giới hạn sau:
a) 3 2
21
1lim
3 2x
x x x
x x
b)
x
x
x x
4
3 21
1lim
2 1
c)
5
31
1lim
1x
x
x
d) 3 2
4 23
5 3 9lim
8 9x
x x x
x x
e)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1lim
x
x x x
x
f)
1
1lim
1
m
nx
x
x
Baøi 2: Tìm các giới hạn sau:
3
a) 2
2
4 1 3lim
4x
x
x
b)
3
31
1lim .
4 4 2x
x
x
c)
0
9 16 7lim
x
x x
x
d) 2
2 2lim
7 3x
x
x
e)
1
2 2 3 1lim
1x
x x
x
f)
30
1 1lim
1 1x
x
x
Baøi 3: Tìm các giới hạn sau:
a) 3
0
1 1lim
x
x x
x
b)
3
22
8 11 7lim
3 2x
x x
x x
c) 0
1 4 . 1 6 1lim
x
x x
x
d)
3
0
1 2 . 1 4 1lim
x
x x
x
Bài toán 03: Tìm( )
lim( )x
f xB
g x , trong đó ( ), ( )f x g x , dạng này là dạng vô định
.
Phương pháp :
– Nếu f(x), g(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu f(x), g(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân
lượng liên hợp.
VD: a) 2
2
2
2
5 32
2 5 3lim lim 2
6 36 31
x x
x x x x
x x
x x
b) 2
2
32
2 3lim lim 1
111 1
x x
x x
x x
x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Tìm các giới hạn sau:
a) 2
2
1lim
2 1x
x
x x
b)
22 1
lim
2x
x x
x
c)
2
3 2
2 1lim
3 2x
x
x x
d) 2
2
2 3 4 1lim
4 1 2x
x x x
x x
e)2
2
4 2 1 2lim
9 3 2x
x x x
x x x
f) 2
1lim
1x
x x
x x
Bài toán 04: Dạng vô định: và 0.
Phương pháp:
Những dạng vô định này ta tìm cách biến đổi đưa về dạng
.
Dạng – : Giới hạn này thường có chứa căn Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
VD:
1 1 1lim 1 lim lim 0
1 1x x x
x x x xx x
x x x x
Dạng 0.:
4
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
VD: 2
2 2
2. 0. 2lim ( 2) lim 0
224x x
x x xx
xx
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Tìm các giới hạn sau:
a) 2lim
x
x x x
b) 2
lim 2 1 4 4 3
x
x x x
c) 32 3
lim 1 1
x
x x
d) lim
x
x x x x
e) 3 3lim 2 1 2 1
x
x x
f) 3 3 2
lim 3 1 2
x
x x
Bài toán 05 : Giới hạn một bên:
Định lí : 0
lim ( )
x x
f x L
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
Ví dụ 1 : Tìm các giới hạn sau:
a) 3
3lim
5 15x
x
x
b)0
limx
x x
x x
c) 1
2 3lim
1x
x
x
d)
1
2 3lim
1x
x
x
LỜI GIẢI
a). Vì 3 3 3 0x x x . Vậy 3 3x x
Ta có 3 3
3 3 1lim lim
5 15 5 3 5x x
x x
x x
.
b). Ta có 0 0 0
1 1lim lim lim 1
11x x x
x xx x x
x x xx x
c) Có 1
lim(2 3) 1 0x
x
và 1
lim( 1) 0x
x
mà 1 1 1 0x x x . Vậy 1
2 3lim
1x
x
x
d) Có 1
lim(2 3) 1 0x
x
và 1
lim( 1) 0x
x
mà 1 1 1 0x x x . Vậy 1
2 3lim
1x
x
x
5
Ví dụ 2: Ví dụ 2. Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm
giới hạn đó?
1.
2
2
3 1 khi 1
2( )3 2
khi 13
x xx
xf xx
x
khi 1x ;
2.
2
2
2 3 1 khi 0( )
3 2 khi 0
x x xf x
x x x
khi 0x
Lời giải:
1. Ta có:1 1
3 2 5lim ( ) lim
3 3x x
xf x
.
2
21 1 1 1
3 1 5 5lim ( ) lim lim ( ) lim ( )
3 32x x x x
x xf x f x f x
x
.
Vậy1
5lim ( )
3xf x
.
2. Ta có:2
0 0lim ( ) lim(2 3 1) 1x x
f x x x
.
2
0 0 0 0lim ( ) lim( 3 2) 2 lim ( ) lim ( )x x x x
f x x x f x f x
.
Vậy hàm số ( )f x không có giới hạn khi 0x .
Ví dụ 3. Tim m để hàm số:
2 2 1 khi 0
1( )
2 3 1 khi 0
1 2
x mx mx
xf x
x mx
x
có giới hạn khi 0x .
Lời giải:
Ta có: 2
0 0
2 1lim ( ) lim 2 1
1x x
x mx mf x m
x
0 0
2 3 1 3 1lim ( ) lim
31 2x x
x m mf x
x
Hàm số có giới hạn khi 0x khi và chỉ khi 0 0
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
3 1 42 1
3 3
mm m
.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
a) 2
15lim
2x
x
x
b)
2
15lim
2x
x
x
c)
2
3
1 3 2lim
3x
x x
x
6
d) 2
2
4lim
2x
x
x
e)
22
2lim
2 5 2x
x
x x
f)
22
2lim
2 5 2x
x
x x
Bài 2. Tìm các giới hạn của hàm số tại điểm được chỉ ra:
a)
1 10
2( ) 0
30
2
xkhi x
xf x taïi x
khi x
b)
29
3( ) 3
3
1 3
xkhi x
f x taïi xx
x khi x
c)
2
3
4
22
8( ) 2
162
2
x xkhi x
xf x taïi x
xkhi x
x
d)
2
2
3 21
1( ) 1
1
2
x xkhi x
xf x taïi x
xkhi x
Bài 3: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra::
a)
31
1( ) 1
1
2 1
xkhi x
f x taïi xx
mx khi x
b) 2
3 1( ) 1
3 1
x m khi xf x taïi x
x x m khi x
C. Bài tập trắc nghiệm:
Bài.1 Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại 0x
2
2
5 3 2 1 0( )
1 2 0
ax x a khi xf x
x x x khi x
.
A. B. C.2
2 D.1
Bài 2 Tìm a để hàm số . 2
2
5 3 2 1 0( )
1 2 0
ax x a khi xf x
x x x khi x
có giới hạn tại 0x
A. B. C.2
2 D.1
Bài 3 Tìm a để hàm số . 2
2
1 khi 1( )
2 3 khi 1
x ax xf x
x x a x
có giới hạn khi 1x .
A. B. C.1
6 D.1
Bài 4 Tìm giới hạn 3 2
21
3 2lim
4 3x
x xA
x x
:
A. B. C.3
2 D.1
Bài 5 Tìm giới hạn 4 2
32
5 4lim
8x
x xB
x
:
A. B. C.1
6 D.1
Bài 6 Tìm giới hạn 3 4
0
(1 3 ) (1 4 )limx
x xC
x
:
A. B. C.1
6 D.25
Bài 7 Tìm giới hạn 0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1limx
x x xD
x
:
7
A. B. C.1
6 D.6
Bài 8 Tìm giới hạn 0
1lim ( , *)
1
n
mx
xA m n
x
:
A. B. C.n
m D.m n
Bài 9 Tìm giới hạn 0
1 1lim ( *, 0)
n
x
axB n a
x
:
A. B. C.a
n D.1
n
a
Bài 10 Tìm giới hạn 0
1 1lim
1 1
n
mx
axA
bx
với 0ab :
A. B. C.am
bn D.1
am
bn
Bài 11 Tìm giới hạn 3 4
0
1 1 1 1limx
x x xB
x
với 0 . :
A. B. C. 4 3 2
B
D. 4 3 2
B
Bài 12. Tìm giới hạn 2
32
2 5 2lim
3 2x
x xA
x x
:
A. B. C.1
3 D.1
Bài 13 Tìm giới hạn 4
31
3 2lim
2 3x
x xB
x x
:
A. B. C.1
5 D.1
Bài 14 Tìm giới hạn 23
2 3lim
4 3x
x xC
x x
:
A. B. C.1
3 D.1
Bài 15. Tìm giới hạn 3
40
1 1lim
2 1 1x
xD
x
:
A. B. C.2
3 D.1
Bài 16. Tìm giới hạn 3
47
4 1 2lim
2 2 2x
x xE
x
:
A. B. C.8
27
D.1
Bài 17. Tìm giới hạn 0
(2 1)(3 1)(4 1) 1limx
x x xF
x
:
A. B. C.9
2 D.1
Bài 18. Tìm giới hạn 3
20
1 4 1 6limx
x xM
x
:
A. B. C.1
3 D.0
Bài 19 Tìm giới hạn 0
1 1lim
m n
x
ax bxN
x
:
8
A. B. C.a b
m n D.
a b
m n
Bài 20 Tìm giới hạn 0
1 1 1lim
m n
x
ax bxG
x
:
A. B. C.a b
m n D.
a b
m n
Bài 21 Tìm giới hạn
20
1 1lim
n m
x
mx nxV
x
:
A. B. C.
2
mn n m D.
2
mn n m
Bài 21 Tìm giới hạn
3
11
1 1 ... 1lim
1
n
nx
x x xK
x
:
A. B. C.1
!n D. 0
Bài 22 Tìm giới hạn 2 2
0
1 1lim
n n
x
x x x xL
x
:
A. B. C. 2n D. 0
Bài 23 Tìm giới hạn 2
32
2 5 2lim
8x
x xA
x
:
A. B. C.1
4 D. 0
Bài 24 Tìm giới hạn 4 2
31
3 2lim
2 3x
x xB
x x
:
A. B. C.2
5 D. 0
Bài 25 Tìm giới hạn 23
2 3 3lim
4 3x
xC
x x
:
A. B. C.1
6 D. 0
Bài 26 Tìm giới hạn 3
0
1 1lim
2 1 1x
xD
x
:
A. B. C.1
3 D. 0
Bài 27 Tìm giới hạn 3
47
4 1 2lim
2 2 2x
x xE
x
:
A. B. C.8
27 D. 0
Bài 28 Tìm giới hạn 0
(2 1)(3 1)(4 1) 1lim
n
x
x x xF
x
:
A. B. C.9
n D. 0
Bài 29. Tìm giới hạn 3
0
1 4 1 6lim
1 cos3x
x xM
x
:
A. B. C.4
9 D. 0
Bài 30. Tìm giới hạn 0
1 1lim
1 1
m n
x
ax bxN
x
:
9
A. B. C. 2 an bm
mn
D. 0
Bài 31 Tìm giới hạn
30
1 1lim
1 2 1 3
n m
x
mx nxV
x x
:
A. B. C. 2 an bm
mn
D. mn n m
Bài 32 Tìm giới hạn
3
11 2
1 1 ... 1lim
1
n
nx
x x xK
x
:
A. B. C.1
!n D. 0
Bài 33 Tìm giới hạn 3
0
4 1 2 1limx
x xA
x
:
A. B. C.4
3 D. 0
Bài 34 Tìm giới hạn 31
4 5 3lim
5 3 2x
xB
x
:
A. B. C.4
3 D.
2
5
Bài 35. Tìm giới hạn 34
1
2 3 2 3lim
2 1x
x xC
x
:
A. B. C.4
3 D. 3
Bài 36 Tìm giới hạn 32
2lim
3 2x
x xD
x x
:
A. B. C.4
3 D. 1
Bài 37 Tìm giới hạn 3
20
1 2 1 3limx
x xA
x
:
A. B. C.1
2 D. 0
Bài 38. Tìm giới hạn 3
3 21
5 4 7 6lim
1x
x xB
x x x
:
A. B. C.4
3 D. 1
Bài 39 Tìm giới hạn 2
2
2 3 2lim
5 1x
x xC
x x
:
A. B. C.2 3
6
D. 0
Bài 40 Tìm giới hạn 3 4 6
3 4
1lim
1x
x xD
x x
:
A. B. C.4
3 D. 1
Bài 41 Tìm giới hạn 2lim( x 1 )x
E x x
:
A. B. C.1
2 D. 0
Bài 42 Tìm giới hạn 2lim ( 4 1 )x
F x x x
:
10
A. B. C.4
3 D. 0
Bài 43 Tìm giới hạn 2 2lim( 3 1 1)x
M x x x x
:
A. B. C.4
3 D. Đáp án khác
Bài 44 Tìm giới hạn 3 3lim 8x 2x 2xx
N
:
A. B. C.4
3 D. 0
Bài 45 Tìm giới hạn 4 4 2lim 16 3 1 4 2x
H x x x
:
A. B. C.4
3 D. 0
Bài 46 Tìm giới hạn 2 2lim 1 2x
K x x x x
:
A. B. C.1
2 D. 0
Bài 47 Tìm giới hạn 2
2
3 5 1lim
2 1x
x xA
x x
:
A. B. C.3
2 D. 0
Bài 49. Tìm giới hạn 3 4
7
(2 1) ( 2)lim
(3 2 )x
x xA
x
:
A. B. C.1
16 D. 0
Bài 50. Tìm giới hạn 2
2
4 3 4 2lim
1x
x x xB
x x x
:
A. B. C.2 D. 0
II. PHẦN HÌNH HỌC
ÔN TẬP CHƯƠNG 2- QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
A. Câu hỏi lý thuyết:
Câu 1. Nêu các cách xác định một mặt phẳng? phương pháp tìm giao tuyến của hai
mặt phẳng?
Câu 2. Nêu phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
Câu 3. Nêu phương pháp chứng minh 2 đường thẳng song song.
Câu 4. Nêu phương pháp chứng minh đương thẳng song song với mặt phẳng.
Câu 5. Nêu phương pháp chứng minh 2 mặt phẳng song song.
Câu 6. Nêu phương pháp xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Câu 7: Phát biểu định lí Talet trong không gian.
Câu 8: Nêu cách xác định thiết diện tạo bởi một mặt phẳng với hình chóp, hình lăng
trụ.
B. Bài tập tự luận:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M
thuộc cạnh SA . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :
11
a) SAC và SBD b) SAC và MBD
c) MBC và SAD d) SAB và SCD
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD . Gọi I, J
lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và IJG .
b) Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của IJG và hình chóp là một hình bình hành.
Bài 3. Cho tứ diện ABCD , O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD , M là điểm trên đoạn
AO
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MCD với các mặt phẳng ABC , ABD .
b) Gọi I, J là các điểm tương ứng trên các cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD . Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng IJM và ACD .
Bài 4. Cho tứ diện SABC . Trên SA,SB và SC lấy các điểm D,E và F sao cho DE cắt AB tại I , EF
cắt BC tại J , FD cắt CA tại K .
Chứng minh ba điểm I,J,K thẳng hàng.
Bài 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Một mặt
phẳng α cắt các cạnh bên SA,SB,SC,SD tưng ứng tại các điểm M,N,P,Q . Chứng minh các đường
thẳng MP,NQ,SO đồng qui.
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với
nhau và M là một điểm trên cạnh SA .
a) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng MCD .
b) Tìm giao điểm của đường thẳng MC và mặt phẳng SBD .
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , M là một điểm trên cạnh SC , N là trên cạnh BC . Tìm giao
điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng AMN .
Bài 8. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm
trên cạnh SD .
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) .
b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
MNP .
12
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB . Gọi M,N lần lượt
là trung điểm của SA và SB .
a) Chứng minh MN song song với CD .
b) Gọi P là giao điểm của SC và ADN , I là giao điểm của AN và DP . Chứng minh SI song
song với CD .
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M,N,E,F lần lượt là trung
điểm của các cạnh bên SA,SB,SC và SD .
a) Chứng minh ME,NF,SO đồng qui ( O là giao điểm của AC và BD ).
b) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng.
Bài 11. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần
lượt là O và O' .
a) Chứng minh OO' song song với các mặt phẳng ADF và BCE .
b) Gọi M,N lần lượt là hai điểm trên các cạnh AE,BD sao cho 1 1
AM AE,BN BD3 3
. Chứng minh
MN song song với CDEF .
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD , M và N là hai điểm thuộc cạnh AB và CD , α là mặt phẳng qua
MN và song song với SA .
a) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi α .
b) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là một hình thang.
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD , có đáy là hình vuông cạnh a và tam giác SAB đều. Một điểm M
thuộc cạnh BC sao cho BM x 0 x a , α mặt phẳng đi qua M song song với SA và SB .
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi α .
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x .
Bài 14. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo
AC và BF lần lượt lấy các điểm M,N sao cho AM BN . Các đường thẳng song song với AB vẽ từ
M,N lần lượt cắt AD và AF tại M' và N' . Chứng minh:
a) ADF BCE .
b) DEF MM'N'N .
13
Bài 15. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a . Các điểm M,N
lần lượt trên AD',BD sao cho AM DN x 0 x a 2 .
a) Chứng minh khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
b) Chứng minh khi a 2
x3
thì MN A'C .
C. Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Cho tứ diện .ABCD Gọi I , J và K lần lượt là trung điểm của , AC BC và .BD Giao tuyến
của hai mặt phẳng ABD và IKJ là đường thẳng:
A. .KD B. .KI
C. qua K và song song với .AB D. Không có.
Câu 2. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu hai mặt phẳng và song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong đều
song song với .
B. Nếu hai mặt phẳng và song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong đều
song song với mọi đường thẳng nằm trong .
C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt và
thì và song song với nhau .
D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song
song với mặt phẳng cho trước đó .
Câu 3. Cho tứ diện .ABCD Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , ;AB AC E là điểm trên cạnh CD
với 3 .ED EC Thiết diện tạo bởi mặt phẳng MNE và tứ diện ABCD là:
A. Tam giác .MNE
B. Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh .BD
C. Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà .EF BC
D. Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà .EF BC
Câu 4. Cho hình lăng trụ tam giác . .ABC A B C Gọi , I J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC
và .A B C Thiết diện tạo bởi mặt phẳng AIJ với hình lăng trụ đã cho là:
A. Tam giác cân. B. Tam giác vuông. C. Hình thang. D. Hình bình
hành.
Câu 5. Cho tứ diện đều SABC . Gọi I là trung điểm của đoạn AB , M là điểm di động trên đoạn .AI
Qua M vẽ mặt phẳng song song với .SIC Thiết diện tạo bởi với tứ diện SABC là:
A. Tam giác cân tại .M B. Tam giác đều.
C. Hình bình hành. D. Hình thoi.
14
Câu 6. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng .a Gọi I là trung điểm của đoạn AB , M là điểm di động
trên đoạn .AI Qua M vẽ mặt phẳng song song với .SIC Tính chu vi của thiết diện tạo bởi
với tứ diện SABC , biết .AM x
A. 1 3 .x B. 2 1 3 .x C. 3 1 3 .x D. Không tính được.
Câu 7. Cho hình bình hành .ABCD Gọi , ,Bx Cy Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi
qua , , B C D và nằm về một phía của mặt phẳng ABCD đồng thời không nằm trong mặt phẳng
.ABCD Một mặt phẳng đi qua A cắt , ,Bx Cy Dz lần lượt tại , , B C D với 2, 4.BB DD Khi đó
độ dài CC bằng bao nhiêu?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 8. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau .
B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau .
C. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau .
D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau .
Câu 9. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
điểm di động trên đoạn .AB Qua M vẽ mặt phẳng song song với SBC . Thiết diện tạo bởi
và hình chóp .S ABCD là hình gì?
A. Hình tam giác. B. Hình bình hành.
C. Hình thang. D. Hình vuông.
Câu 10. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M
là điểm di động trên đoạn .AB Qua M vẽ mặt phẳng song song với SBC . Gọi , , N P Q lần lượt
là giao của mặt phẳng với các đường thẳng , , CD SD SA . Tập hợp các giao điểm I của hai đường
thẳng MQ và NP là:
A. Đường thẳng song song với .AB B. Nửa đường thẳng.
C. Đoạn thẳng song song với .AB D. Tập hợp rỗng.
Câu 11. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
A. Ba điểm. B. Một điểm và một đường thẳng.
C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm.
Câu 12. Cho hai đường thẳng a và .b Điều kiện nào sau đây đủ kết luận a và b chéo nhau?
A. a và b không có điểm chung.
B. a và b là hai cạnh của một hình tứ diện.
C. a và b nằm trên hai mặt phẳng phân biệt.
D. a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào.
Câu 13. Cho tam giác ,ABC lấy điểm I trên cạnh AC kéo dài. Mệnh đề nào sau đây là sai?
15
A. .A ABC B. .I ABC
C. .ABC BIC D. .BI ABC
Câu 14. Cho tam giác .ABC Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh tam giác
?ABC
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 15. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu
mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó?
A. 6. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 16. Cho hình chóp .S ABCD với đáy là tứ giác ABCD có các cạnh đối không song song. Giả sử
AC BD O và .AD BC I Giao tuyến của hai mặt phẳng SAC và SBD là:
A. .SC B. .SB C. .SO D. .SI
Câu 17. Cho hình chóp .S ABCD với đáy là tứ giác .ABCD Thiết diện của mặt phẳng tùy ý với
hình chóp không thể là:
A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Tam giác.
Câu 18. Cho hình lập phương . .ABCD A B C D Có bao nhiêu cạnh của hình lập phương chéo nhau với
đường chéo AC của hình lập phương?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 6.
Câu 19. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa
a và .b
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 20. Cho hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng. Có bao nhiêu vị trí tương
đối giữa hai đường thẳng đó?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 21. Cho tứ diện .ABCD Gọi , , , , , M N P Q R S lần lượt là trung điểm các cạnh
, , , , , .AC BD AB CD AD BC Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?
A. , , , .P Q R S B. , , , .M P R S C. , , , .M R S N D. , , , .M N P Q
Câu 22. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
D. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
Câu 23. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với
?b
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
16
Câu 24. Cho tứ diện .ABCD Điểm M thuộc đoạn .AC Mặt phẳng qua M song song với AB và
.AD Thiết diện của với tứ diện ABCD là:
A. Hình tam giác. B. Hình bình hành.
C. Hình chữ nhật. D. Hình vuông.
Câu 25. Cho các giả thiết sau đây. Giả thiết nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng
?
A. a b và .b B. .a
C. a b và .b D. a và .
Câu 26. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu và , a b thì .a b
B. Nếu a và b thì .a b
C. Nếu và a thì .a
D. Nếu a b và , a b thì .
Câu 27. Trong không gian, cho hai mặt phẳng phân biệt và . Có bao nhiêu vị trí tương đối
giữa và ?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 42.
Câu 28. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng
SAD và SBC là đường thẳng song song với đường thẳng nào dưới đây?
A. .AC B. .BD C. .AD D. .SC
Câu 29. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giả sử M thuộc đoạn thẳng .SB
Mặt phẳng ADM cắt hình chóp .S ABCD theo thiết diện là hình gì?
A. Hình tam giác. B. Hình thang.
C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.
Câu 30. Cho tứ diện .ABCD Điểm M thuộc đoạn .BC Mặt phẳng qua M song song với AB và
.CD Thiết diện của với tứ diện ABCD là:
A. Hình thang. B. Hình bình hành.
C. Hình tam giác. D. Hình ngũ giác.
