МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Фи з и ч е с к и й ф а к ул ь т е т

Кафедра общей физики

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ФИЗИКЕ

Измерительный практикум Часть 2

Новосибирск, 1999

2

Лабораторная работа №5.2

Измерение скорости звука в воздухе методом стоячей волны. Цель работы: определение скорости звука в воздухе методом стоячей волны.

Оборудование: установка для измерения скорости звука методом стоячей вол-ны; генератор сигналов звуковой частоты (любого типа с выходной мощностью не ме-нее 1 Вт); осциллограф (любого типа с чувствительностью по вертикальному каналу не хуже 1 мВ/см); цифровой частотомер (любого типа).

1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.

1.1. Распространение звука в трубе.

Если один из концов круглой трубы закрыт стенкой, совершающей гармониче-ские колебания А = Аo sinωt, то вдоль трубы распространяется плоская бегущая звуко-вая волна, описываемая упавнением:

А(x,t) = Aosin(ωt − kx) (1)

где: Аo - амплитуда волны; ω = 2πf - круговая частота; f - линейная частота (1/f=Т - период колебания); k = 2π/λ - волновое число; λ = С/f - длина волны; С - скорость зву-ка в данной среде. Аргумент синуса (ωt−kx) называется полной фазой (или просто фа-зой) волны.

Строго говоря, бегущая звуковая волна образуется только в бесконечно длинной трубе или трубе, на втором конце которой размещен "поглотитель" звука. В трубе ко-нечного размера на открытом конце возникает частичное отражение падающей волны и в трубе образуется стоячая волна.

Уравнение (1) означает, что в любой фиксированный момент времени t1 величи-на А(x,t1) изменяется вдоль оси трубы (вдоль координаты Х) по синусоидальному зако-ну с пространственным периодом λ и неизменной амплитудой Аo. В следующий мо-мент времени t2, такой, что ∆t=t2−t1 мало по сравнению с периодом колебания, картина распределения величины А(x,t2) сместится вдоль оси Ох на некоторое расстояние ∆Х (рис.1). Скорость смещения этой картины распределения в направлении оси Ох посто-янна и равна скорости звука v = ∆х/∆t = C .

а)

б)

Y

X

t2

A0Sin(ωt)

∆Xt1

3

Рис.1. Бегущая волна

Таким образом, для гармонической бегущей волны характерны следующие осо-бенности:

1) в любой фиксированной точке хo на оси Ох значение величины А(xo,t) изме-няется во времени по гармоническому закону, пробегая все значения от −Аo до + Аo, т.е. для бегущей волны нет каких-либо выделенных точек на оси Ох и все точки равноцен-ны;

2) в любой фиксированный момент времени to фаза колебания зависит от коор-динаты Х и различна в различных точках оси;

3) скорость смещения мгновенной картины распределения величины А(x,t) или, что то же самое, скорость изменения фазы вдоль оси Ох постоянна и равна скорости звука С;

4) направление смещения мгновенной картины распределения величины А(x,t) соответствует направлению распространения бегущей волны.

1.2. Стоячие волны.

Если второй конец трубы закрыт "заглушкой" (рис. 2а), то волна отражается от нее и распространяется в обратном направлении. В общем случае при отражении изме-няется как амплитуда, так и фаза отраженной волны.

а)

б)

t1t2 t3

t4 t5

Рис.2. Стоячая волна

Количественные характеристики изменения амплитуды и фазы при отражении зависят как от свойств материала заглушки, так и от ее геометрической формы. Если заглушкой является жесткая стенка, перпендикулярная оси Ох (например торец метал-лического поршня), то амплитуда отраженной волны практически не меняется, а фаза изменяется на ϕo = π.

4

Утверждение об изменении фазы на 180o справедливо, если в качестве параметра А(x,t), описывающего волну, выбрано колебательное смещение частиц среды. Если же параметром А(x,t) служит звуковое давление Po, то фаза отраженной волны при нор-мальном падении (перпендикулярном стенке) не изменяется.

Для расчета фазы отраженной волны в произвольной точке x для трубы, длиной L, мы должны учесть, что после излучения отраженная волна прошла общий путь (2L − х) и кроме того изменила фазу на π при отражении. Поэтому для отраженной волны в точке x мы должны записать

Аoтр(x,t) = − Аosin[ωt − k(2L−x)] (2)

Таким образом, общий волновой процесс, происходящий в закрытой трубе, оп-ределяется суммой прямой и отраженной волн:

А(x,t) = Апр(x,t) + Аoтр(x,t) (3)

Сложив уравнения (1) и (2), после соответствующих тригонометрических преоб-разований получим

А(x,t) = Аст⋅cos(ωt − kL) (4)

где величина

Аст = 2Аo sin[k(L−x)] (5)

не зависит от времени и является амплитудой волны, описываемой уравнением (4).

При внешнем сходстве уравнений (1) и (4) процессы, описываемые ими, имеют принципиальные отличия. Волна, описываемая уравнением (4), называется стоячей волной. Она имеет следующие характерные особенности.

1) Из уравнения (5) видно, что амплитуда стоячей волны зависит от x и при лю-бом t равна нулю в некоторых точках xn, удовлетворяющих условию sin[k(L−x)] = 0, откуда

k(L−xn) = nπ, n = 0,1,2,.. (6)

Эти особые точки называются узлами стоячей волны. Расстояние между сосед-ними узлами ∆х равно

∆х = xn − xn−1 = λ/2 (7)

2) Амплитуда стоячей волны максимальна в других особых точках, для которых sin[k(L−x)] = + 1, откуда

k(L−xm) = (2m−1)π/2, m = 1,2,3,... (8)

Эти точки расположены в середине между узлами и называются пучностями стоячей волны. Расстояния между соседними пучностями также равны λ/2.

5

3) Из уравнения (5) и условия (6) видно, что на отражающей жесткой стенке (при х=L) всегда имеет место узел волны, а ближайшая пучность расположена на расстоянии λ/4 от стенки.

Заметим, что данное утверждение справедливо для колебательного смещения частиц среды. Для звукового давления po на стенке имеет место пучность давления, а первый узел отстоит от стенки на λ/4. Микрофон, используемый в качестве приемника звука в нашей работе, "реагирует" на звуковое давление и поэтому "обнаружит" пуч-ность при х=L.

4) На рис.2а показан общий характер изменения стоячей волны вдоль оси Ох для пяти последовательных моментов времени t1 << t2 << t3 << t4 << t5: узлы и пучности со-храняют неизменное положение на оси Ох, а величина амплитуды колебания в каждой точке оси определяется уравнением (5), т.е. зависит от координаты Х.

Картина стоячей волны для звукового давления будет такой, как если бы отра-жающая стенка была сдвинута к началу координат на х=λ/4 (пунктир на рис.2а). Мате-матически отсутствие сдвига фаз при отражении означает отсутствие знака минус перед амплитудой в отраженной волне (уравнение 3). В этом случае сложение прямой и об-ратной волны даст следующее выражение, описывающее стоячую волну для звукового давления:

Р(x,t) = Рст sin(ωt − kL) (9)

Рст = 2Рocos[k(L−x)]

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.

Для проведения измерений в работе используется установка, изображенная на рис.3. Источником звука служит малогабаритный динамик 4, помещенный в специаль-ный держатель со звукопоглощающим наполнением 10 таким образом, чтобы генери-руемая в трубе волна имела форму фронта максимально близкую к плоской.

X

ЗГ Ч ОСЦ

1 2 3

4

56

78910

Рис.3. Установка для измерения скорости звука.

1 – генератор звуковой частоты; 2 – частотомер; 3 – осциллограф; 4 – источник звука (динамик); 5 – приемник звука (микрофон); 6 – "закрылки" щели; 7 – шток; 8 – подвижный поршень; 9 – труба; 10 – звукопоглотитель.

6

Динамик подключен к звуковому генератору 1 и частотомеру 2. Вдоль средней части трубы параллельно ее оси прорезана узкая щель, в которую входит короткий пат-рубок, служащий звуководом для приемника звука (микрофона) 5. Внутренний диаметр звуковода достаточно мал (примерно 2 мм), так что приемник способен фиксировать звуковое давление в "точке" на оси x. Щель по всей длине прикрыта металлическими закрылками 6, соединенными с держателем микрофона. Приемник может перемещаться вдоль трубы. Его положение (координата x) фиксируется по шкале с миллиметровыми делениями, расположенной вдоль трубы. Приемник подсоединен ко входу осциллогра-фа 3. Второй конец трубы закрыт подвижным поршнем 8 со штоком 7, с помощью ко-торого поршень может перемещаться вдоль трубы. Положение его отражающего торца (расстояние L между источником звука и отражающей стенкой) отмечается по шкале с помощью указателя, прикрепленного к штоку.

Измерения скорости звука в трубе методом стоячей волны основаны либо на из-мерении расстояния ∆x между соседними узлами (пучностями) волны, либо на измере-нии разности двух соседних частот ∆f, для которых имеет место минимум сигнала на приемнике звука, установленном в некотором положении xo. Соответствующие расчет-ные формулы:

С = 2∆x⋅∆f и С = 2∆f⋅(L − хo) (10)

Измерить расстояние ∆х между узлами (пучностями) можно двумя способами:

а) перемещая приемник звука при фиксированных частоте f и положении порш-ня L;

б) перемещая поршень при фиксированной частоте f и положении приемника хo.

При измерении ∆f фиксированными величинами должны быть положение поршня L и приемника хo.

3. ЗАДАНИЕ

Задание №1.

Перемещая приемник звука, измерьте расстояние ∆х между узлами стоячей вол-ны при фиксированных f и L. Рассчитайте скорость звука по формуле (10) для каждой из частот, на которых проводились измерения, и определите систематическую ("при-борную") и статистическую погрешность измерений.

Методические указания. 1) Прежде чем записывать результаты измерений, обра-тите внимание на следующий факт. При фиксированном выходном напряжении и час-тоте генератора для любого фиксированного положения поршня L при перемещении приемника вдоль трубы наблюдаются максимумы (пучности) и минимумы (узлы) стоя-чей волны. Однако величина сигнала в пучности может зависеть от положения поршня L. Это объясняется тем, что при различном отношении L/λ столб воздуха в трубе пред-ставляет различное сопротивление для излучателя звука: наименьшее сопротивление будет при L/λ = n, где n - целое число. В соответствии с этим КПД преобразования электрической энергии сигнала генератора в энергию упругих (звуковых) колебаний будет различным. Проверку степени влияния этого факта лучше проводить на "сред-них" частотах 4-6 кГц. Если подобное влияние обнаруживается, то для выбора началь-

7

ного положения поршня (величины L) при измерениях можно руководствоваться сле-дующими правилами:

а) установите нужную частоту сигнала f;

б) установите поршень в крайнее правое положение (L = Lmax);

в) перемещая приемник звука, измерьте расстояние между двумя соседними минимумами сигнала: это расстояние будет равно λ/2;

г) установите приемник в пучность волны; д) последовательно перемещая пор-шень в точки с шагом примерно λ/8 в пределах общего расстояния λ/2 "подстраивайте" приемник в каждой такой точке для получения максимума сигнала. Положение поршня, при котором наблюдался наибольший сигнал в пучности (наибольший максимум) и будет "рабочим" при проведении измерений на данной частоте. (Некоторые трудности с выполнением этого "правила" наблюдаются лишь при минимальной частоте измере-ния, для которой полное перемещение поршня сравнимо с длиной волны.)

2) Измерения проделайте для частот f = 1; 2; 4; 6; 8 и 10 кГц. Для каждой часто-ты определите ∆х как среднее арифметическое по всем ∆хi, получающимся в пределах перемещения приемника вдоль трубы

∑=

∆=∆n

iix

nx

1

1 (11)

)1(

)( 2

1

−

∆−∆=

∑=

nn

xxn

ii

σ (12)

Задание №2.

Перемещая отражающий поршень, измерьте расстояние ∆х между узлами стоя-чей волны при фиксированных f и хo. Рассчитайте скорость звука по формуле (10) для каждой частоты и определите систематическую ("приборную") и статистическую по-грешность измерения.

Методические указания. Те же, что и в п.1. (Правила определения "приборной" погрешности описаны во Введении к практикуму. Величину статистической погрешно-сти определите по формуле (12).)

Задание №3.

При изменении частоты генератора в пределах 1-10 кГц и фиксированном по-ложении приемника (Хо) и поршня (L) измерьте частоты fi между соседними миниму-мами сигнала (получится 30-40 значений fi). Расчитайте все величины ∆f = fi − fi-1. По формуле (10) определите скорость звука для среднего арифметического ∆fс, рассчитан-ного по всем i.

Методические указания. 1) Установите частоту генератора равной 4 кгц и пере-местите приемник примерно в среднее положение. Перемещая поршень, добейтесь ми-

8

нимального значения сигнала. Данное положение приемника и поршня будут "рабочи-ми" при последующих измерениях.

2) Проделайте измерения для диапазона частот 1-10 кГц, начиная с наибольшей (примерно 10 кГц).

3) Полагая, что разброс значений ∆f является случайной гауссовой величиной, определите среднее значение и статистическую погрешность измерения σ для довери-тельной вероятности 68% по формулам (13,14). (С тем, что такое распределение Гаусса, доверительная вероятность и стандартное отклонение среднего σ можно познакомиться в теоретическом введении к лабораторной работе № 1 "Измерение случайных вели-чин...")

∑=

∆=∆n

iic f

nf

1

1 (13)

)1(

)( 2

1

−

∆−∆=

∑=

nn

ffc i

n

iσ (14)

Интернет версия подготовлена на основе издания: Описание лабораторных работ по физике. Измерительный практикум. Часть 2. Новосибирск: Изд-во, НГУ, 1999

Физический факультет НГУ, 2000

Лаборатория методов измерений НГУ, 2000, http://www.phys.nsu.ru/measuring/