Тема 10. Упругие волны

Тема 10. Упругие волны10.1. Общие

определения

Вначале – о волнах вообще.

Пример поверхностной волны

Другие виды волновых процессов.Эффект домино

Виды волновых процессов (пусковая волна)

Виды волновых процессов (пусковая волна)

Можно видеть, как в пусковой волне перемещается точка начала движения – противоположно направлению движения автомобилей.

Распространение продольного волнового импульса по упругому

стержню

Поперечные волны

Необходимыми условиями для возникновения волнового процесса являются:

1.Наличие связей между элементами среды распространения данного типа волн.

2.Сообщение одному из элементов среды достаточной первоначальной энергии.

Волна – это процесс распространения возмущений в окружающей среде.

(Возмущением называют кратковременной отклонение какого-либо параметра среды воздействием извне.)

x1 x2

x

P t1

t2

часы

t1

t2

0

Пусть в какой-то точке х в результате возмущения среды импульсным

образом изменилось значение её некоторого параметра Р .

Через некоторое время за счет волнового процесса импульс достигнет

точки х 1 , а затем и х 2.

x1 x2

x

P t1

t2

12

12

tt

xxv

часы

t1

t2

v

0

Скорость волны:

- одиночная волна (импульс)

- цуг волн

Гармоническая волна:

Форма волны

v

v

v

Простейшая одномерная модель связанной

системы

Модель поперечной волны

Модель продольной волны

волновой фронт

волновые поверхности

луч

Сферическая волна

Цилиндрическая волна

Плоская

волна

Форма волновой поверхности определяет тип волны:

Сферическая волна

Цилиндрическая волна

Плоская

волна

Обратим внимание на то, что вся энергия, создаваемая волновым генератором, в случае плоской волны всё время проходит через поверхность одной и той же площади. Т.е. амплитуда волны в плоской волне не меняется, что не соблюдается в других типах волн. (Ниже, в §10.4 будет приведено строгое доказательство этого положения.)

В этой связи плоская волна проще других в математическом описании, чем мы и воспользуемся при изучении характеристик упругих волн.

Тема 10. Упругие волны

10.2. Плоская волна. Уравнение волны. Параметры волны

А

- А

х0 х

vξ

tA sin0

Пусть генератор поперечных колебаний, который располагается в начале координат, рождает волну, распространяющуюся в направлении оси Х.

Процесс колебаний распространяется со скоростью волны V и через

некоторое время τ начнётся в точке Х.

)](sin[ tA

v

x

А

- А

х0 х

vξ

tA sin0

)](sin[ tA

v

x

Tv

xtA

2sin

T

2

Tv )2

sin( xtA

k2 )sin( kxtA

уравнение плоской волны

волновое число

длина волны

ξ

t

)sin( kxtA T = 2π /ωx = const

x

T

tA 2sin

Из уравнения следует, что в любой фиксированной точке Х происходят те же колебания, что и в начале координат, только с

определённой начальной фазой, равной kx.

ξ

х

ξ

t

)sin( kxtA T = 2π /ω

v

x = const

t = const

Если теперь зафиксировать момент времени наблюдения, то получится своего рода мгновенная фотография колебаний (лучше всего представляется фотография поверхностной волны в бассейне с прозрачной стенкой).

Вместе с тем, полученная картинка движется, бежит со скорость v.

Поэтому записанное выше уравнение называют уравнением бегущей волны.

ξ

х

ξ

t


x2x1

x2 - x1

= λ

v

)(; 2112 xxx

221 kxtkxt

kx2

x = const

t = const

Рассмотрим теперь расстояние (разность координат) между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе:

Это условие означает, что фазы колебаний в двух этих точках

разнятся на 2π:

Откуда следует, что расстояние между ближайшими точками,

колеблющимися в одинаковой фазе равно длине волны:

ξ

х

ξ

t


x2x1

x2 - x1

= λ

v

kx2

скоростьфазоваяvv ф

x = const

t = const

Изображение бегущей волны говорит о том, что со скоростью волны бежит её фаза. Поэтому:

Фазовую скорость не следует путать со скоростью колеблющихся частиц в волне, которые в данном случае совершают поперечные колебания, т.е. перпендикулярно направлению фазовой скорости.

ξ

х

ξ

t


x2x1

x2 - x1

= λ

v

kx2

фvv

T

1 v

Tv

x = const

t = const

- фазовая скорость

Связь длины волны с фазовой скоростью и периодом колебаний частиц среды:

- частота

Связь основных параметров бегущей волны:

длина волны


10.3. Энергия упругой волны. Вектор Умова

l1

l2 l1>l2

Δx

;2

2umEкин

поткин EEE

,поткин EE .2 кинEE

Объемная плотность энергии

ξ

х

Рассмотрим энергию малого элемента массы Δm тела, по которому идёт поперечная упругая волна ( Δx << λ ):

Кинетическая энергия при этом связана с движением частиц тела, а потенциальная – с деформацией упругих связей:

Обратим внимание на то, что деформация связей максимальна при прохождении частицей положения равновесия, где её скорость максимальна.

.2

2lkEпот

Точный расчёт показывает, что: т.е.:

И исчезает в точке максимального смещения частицы, где та останавливается.

l1

l2 l1>l2

Δx

2

2umEкин

)cos( kxtAu

кинEE 2

;Vm

)(cos2222 kxtAuV

Ew

2uw

Объемная плотность энергии

ξ

х

,2uVE

Масса элемента определяется его объёмом и плотностью вещества:

где u – скорость колеблющихся частиц:

Объёмная плотность энергии:

Плотность потока энергии (вектор Умова)

v

vΔt

ΔS

.2uw

ΔV

.tvSV

,VwE

.tS

VwU

,tS

EU

Введём понятие плотность потока энергии

как энергию, переносимую в единицу времени через единичную поверхность:

Рассмотрим энергию, которая переносится волной через площадку ΔS за время Δt.

где

т.е.: Подставив значение объёма, получаем:

Эта энергия заключается в объёме

vwU

v

vΔt

ΔS

2uw

vwU

)(cos2222 kxtvAvuU

U

t

<U>

vAU 22

2

1

5,0cos2

- вектор Умова

vwU Плотность потока энергии имеет направление, которое, естественно, совпадает с направлением скорости волны (фазовой скорости):

Среднее значение плотности потока энергии (среднего по времени модуля вектора Умова) определяется средним значением квадрата косинуса.

По модулю:

Если внимательно посмотреть на график, то можно видеть:


10.4. Поток энергии

αU

S

S

n

;; nSSSUE

coscos wvSUSE

vwU

Потоком энергии называют энергию, переносимую в единицу времени через данную поверхность.

Для плоской волны поток энергии через плоскую площадку определяется скалярным произведением вектора Умова на вектор площадки:

1,, nSплощадкенормальныйвекторединичныйn

Поле вектора Умова для плоской волны является однородным: в любой точке площадки он одинаков по величине и направлению:

S

dSU

dS

Общий случай: произвольная поверхность, поле неоднородное

,cosdSUSdUd E

S

E Sdvw

α

В этом случае сначала выбирается столь малый элемент поверхности, который можно считать плоским и на котором вектор Умова можно считать неизменным по величине и направлению:

cos SS

E dSUSdU

а затем полученные элементарные потоки энергии складываются по всей заданной поверхности, т.е. производится интегрирование:

Плоская волна

constA

Сферическая волна (точечный источник)

U

U

r S

Е dSU

;1

~2r

U

dS

S┴

SUE

constvSAЕ225,0

┴

24 rU const

;1

~2r

wr

A1

~

vAU 22

2

1


10.5. Интерференция встречных волн.

Стоячие волны

ξ

х )cos(01 kxtA

)cos(02 kxtA

2

cos2

cos2coscos

,coscos2 0 tkxA

.cos)( txA

x

AxA2

cos2)( 0kxAxA cos2)( 0

21

0 х

Пусть две одинаковые по частоте и амплитуде волны встречаются в некоторой точке х :

Результирующее смещение будет складываться из смещений, вызванных исходными волнами:

Для сложения косинусов воспользуемся известным из тригонометрии преобразованием:

В результате получим:

т.е. колебания той же частоты, что и в исходных волнах, но с амплитудой,

зависящей от координаты х :

или:

)cos(01 kxtA

)cos(02 kxtA x

AxA2

cos2)( 0

2A0

-2A0

х

пучности

узлы

ξ

txA cos)(21

0

Из последней формулы видно, что в определённых точках амплитуда максимальна и равна удвоенной исходной амплитуде. В таких точках находятся пучности.

Таким образом, вместо двух бегущих волн в результате их интерференции получаются колебания с разными значениями амплитуды – стоячая волна.

В других точках амплитуда равна нулю. Здесь находятся узлы.

1. Координаты пучностей (А = 2А0)

12

cos пучx

nxпуч 22

nxпуч ,..)3,2,1,0( n

2A0

-2A0

х

пучности

узлы

ξ

x

AxA2

cos2)( 0 2. Координаты узлов

0A

)42

(

nxуз

ξ

х

)2

(2

nxуз

стоячая волнабегущая волна


10.6. Стоячие волны в замкнутом пространстве

х

l

l0

)cos(0 kxtA

)2cos(02 kltA

nkltt 2)2(

tA cos01

В точке х = 0 происходит наложение волны, идущей слева

Пусть вдоль оси х в ограниченном с двух сторон пространстве распространяется волна

и волны, пришедшей справа после отражения от правой стенки:

При сложении этих волн будут наблюдаться стоячие волны лишь при условии, что при встрече они будут находиться в одной фазе:

х

l

l0

nkltt 2)2(

,2

k

,..3,2,1,2

nnl

п=1

п=2

п=3

моды(типыволн)

lх

0

Поскольку волновое число

то условием для стоячих волн в замкнутом пространстве будет равенство расстояния между стенками целому числу полуволн:


10.7. Свободные колебания струны

nkL 22

2

k

,..3,2,1,2

nn

L

nL

vv

2

n=1 – основная частота, основной тон

n=2,3,4,.. – обертоны

Образование стоячей волны в струне, закрепленной на

обоих концах

Частота:

Первые пять нормальных мод колебаний струны, закрепленной на

обоих концах

- основной тон

- обертоны

Documents

Тема 10. Упругие волны