ИПМЭ им. Г.Е.Пухова НАН Украины

Отдел автоматизации проектирования энергетических установок

С.Д. Винничук 

Современные методы моделирования сложных технологических объектов

2

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА

на примере гидравлических распределительных сетей сжимаемой

жидкости при анализе квазистационарных режимов работы

авиационных систем кондиционирование воздуха

3Понятия Математическая модель и Математическое моделирование

Математическая модель —это математическое представление реальности. Является частным случаем понятия модели, как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе. «A mathematical representation of reality»(Encyclopaedia Britanica)

Математическая модель — это «„эквивалент“ объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т.д.» Существует в триадах «модель – алгоритм – программа». «Создав триаду „модель-алгоритм-программа“, исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробных вычислительных экспериментах. После того, как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту установлена, с моделью проводятся разнообразные и подробные „ опыты“, дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта». Самарский А. А., Михайлов А. П., Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры, — М.: Физматлит, 2001, 320 c

Определение модели по А. А. Ляпунову: Моделирование – это опосредованное практическое или

теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель) :

- находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;

- способная замещать его в определенных отношениях;- дающая при её исследовании, в конечном счете,

информацию о самом моделируемом объекте

(1)

Понятия Математическая модель и Математическое моделирование

4

Новик И. Б. О философских вопросах кибернетического моделирования. М., Знание, 1964

1. Содержательная постановка -  исследовать моделируемый объект или процесс с целью выявления

основных его свойств, параметров и факторов;-   собрать и проверить доступные экспериментальные данные об объектах-

аналогах;-  проанализировать литературные источники и сравнить между собой

построенные ранее модели данного объекта или ему подобные;-  систематизировать и обобщить накопленный ранее материал;-   разработать общий план создания и использования комплекса моделей.

Этапы построения модели 5

2. Концептуальная постановка (этап семантического моделирования )Семантическое моделирование представляет собой моделирование структуры данных, опираясь на смысл этих данных. В качестве инструмента семантического моделирования используются различные варианты диаграмм сущность-связь (ER - Entity-Relationship). Чем более разнородна входная информация по структуре и содержанию, чем менее она унифицирована, тем больший объем семантического моделирования применяется в подсистеме сбора. Чаще всего используется при проектировании баз данных для создания концептуальной модели предметной области и отражение ее спецификаций в среде конкретной СУБД.

Этапы построения модели

3. Качественный анализ Постановка задачи моделирования должна быть подвержена всесторонней

проверке и предварительному качественному анализу. Цель данного этапа состоит в проверке обоснованности концептуальной постановки задачи и коррекции.

Все принятые ранее гипотезы подлежат проверке. Выявляются возможные ошибки. Например, в причинно-следственных диаграммах наиболее распространенными ошибками являются избыточные или же недостающие элементы.

6

4. Построение математической модели На этом этапе конкретизируется постановка задачи с точки зрения ее коректности. Определяются численные методы, необходимые для решения задачи моделирования. При моделировании физических процессов необходимо обеспечение соответствия результатов моделирования физическому смыслу изучаемых процессов. При вычислениях также требуется соблюдение одной и той же системы единиц.Принципиально важным является условие математической корректности модели, что означает:существование и единственность решения и его устойчивость.

Этапы построения модели

5. Разработка компьютерных программ Общая структура компьютерного кода, как правило, содержит три части:

подготовка и проверка исходных данных, проведение вычислений и отображение результатов.

7

6. Анализ и интерпретация результатов моделирования Системное исследование предполагает анализ результатов моделирования и оценку адекватности модели. Анализ  результатов моделирования предназначен для выявления общих закономерностей, связанных с функционированием исследуемого объекта. Проверка адекватности модели проводится путем установления соответствия между результатами моделирования и какими-либо другими данными, непосредственно относящимися к решаемой задаче. Обычно используют для этого эмпирические данные (результаты натурных экспериментов, статистику). Проверка адекватности должна доказать не только правомерность принятых при моделировании гипотез, но и требуемую точность моделирования .Если модель неадекватна, следует изменить значения констант и исходных параметров. Если и при этом положительный результат не достигнут, должны быть изменены принятые гипотезы

Требования к модели

Возможность использования максимально точних непрерывных зависимостей междуж параметрами потока энергии и массы в типовых элементах системи без требования гладкости зависимостей

Простая (локальная) замена математических моделей процессов в произвольном из элементов на новые более точные;

Использование конструктивных параметров типовых конструктивных элементов системы для минимизации ручной работы по подготовке входной информации для расчета режима и возможности проверки соответствия расчетной схемы конструкторськой документации;

Гарантированное получение результатов расчета (желательно без задания начального приближения неизвестных);

Достаточная точность расчетов для широкого диапазона режимов.

8

Разработка модели. Принятые гипотезы.

А) Выполняются физические законы прикладной области:- гипотеза сплошности среды- закона сохранения массы- основное уравнение гидростатики- уравнение Бернулли (закон сохранения энергии)- закон сохранения количества движения-критериальные соотношения (критерии Рейнольдса, Прандля, Стентона

и др.) Б) ГРС в общем виде может быть представлена графом, узлами

которого являются места слияния потоков, разделения потоков или граничные узлы

ветви графа содержат типовые элементы с известными значениями конструктивных характеристик, для которых имеются математические описания процессов: труба (круглая или некруглая), поворот трубы, сужение или расширение трубы, дроссельная шайба, другие элементы, для которых имеются математические описания процессов, другие элементы, эквивалентируемые трубой с известным местным сопротивлением;

типовые варианты узлов графа: узлы – тройники, теплообменные аппараты,

компрессоры, другие агрегаты, представляемые как узлы графа расчетной схемы, граничные узлы.

9

Наиболее общий подход к моделированию потокораспределения в гидравлисеских системах был представлен в монографии Меренкова А.П. и Хасилева В.Я. “Теория гидравлических цепей ”, когда соотношения между потерей давления hi(xi) и массовым расходом xi формируются для всей ветви сети в виде

hi(xi) = yi(xi) + Hi , (1)где Hi - напор, i – номер ветви, а функція yi(xi) является непрерывной, гладкой,

нечетной и строго возростающей и с достаточной степенью точности может быть представлена упрощенным соотношением

hi(xi) = si’ xi + si” xi2 + Hi (2)

илиhi(xi) = si xi | xi|m-1, (5)где si , si’ , si” – коэффициенты сопротивлений.При этом неизвестные расходы в ветвях и давления в узлах определяются из

системы уравнений метода контурных расходов, построенной в соответствии с постулатами Кирхгофа:

1. Алгебраическая сумма токов в любом узле равна нулю.2. Алгебраическая сумма потерь напряжения на любом замкнутом контуре сети

равна нулю.

10Разработка модели. Анализ известных моделей.

11Разработка модели. Модели процессов в элементах ГРС.

8 . Т и п о в ы е м о д е л и о п р е д е л е н и я п е р е п а д а д а в л е н и я д л я э л е м е н т о в в е т в е й :

а ) Н е с ж и м а е м а я ж и д к о с т ь ( И з у р а в н е н и е Б е р н у л л и )

2

2vP не с ж

( 2 )

н е с ж ( R e , КП ) – к о э ф ф и ц и е н т п о т е р ь д л я н е с ж и м а е м о й ж и д к о с т и

б ) С ж и м а е м а я ж и д к о с т ь – о д н о м е р н а я м о д е л ь и з о э н т р о п и ч е с к о г о т е ч е н и я с ж и м а е м о й ж и д к о с т и в т р у б еп о с т о я н н о г о с е ч е н и я ( F t ) , п о с т о я н н о й т е м п е р а т у р е т о р м о ж е н и я ( T * ) и р а в н о м е р н о й р а с п р е д е л е н н о с т ик о э ф ф и ц и е н т а п о т е р ь , о п и с ы в а е м а я г а з о д и н а м и ч е с к и м и ф у н к ц и я м и . М е с т н ы е п о т е р и Р у ч и т ы в а ю т с яп р и в е д е н н о й д л и н о й .

5.2222

5.2*2

*,2

*2

222

5.22

*,22

)6/1(2.1)/ ()(

)6/1/ (2.1)/ ()(

ээсрэ

ээсрэ

FmPTGqPp

FmPTGyPpp

1)(,:,)(

1)(,:,)(

)1()(,:,1)(,:,1

2221

2*

221

222*

2

22

yPpприyy

qPpприqq

yyPpилиqPpпри

v

v

кр

несж6

7)()()l n (2/1)( 212

222

pPPPq *1

*111

11 )()( ( 3 )

12Разработка модели. Модели процессов в элементах ГРС.

10. в) Модель Н.Н.Круминой (ММЗ "Скорость") Fнесжээ kfP ,,1 (4)

kF(Re,КП) – коэффициент площади (эксперименталь-но определяемая величина, учитывающая сжимаемость)

г) Модель изотермических процессов22

221 Gkpp (5)

г) Модель Liеbherr10 ||

GGkP (6)

k, – коэффициенты, определяемые экспериментально; , 0 – плотность воздуха в потоке и на земле.

г) Модель источника*

1*2 PP (7)

i = f( zi=

*1

*1 /РТGотб , dпатр) – таблица данных.

*1

*1,ТР - функции

РУД , Нполета и Тнв при Gотб = 0; dпатр - диаметр входного патрубка

д) Модель воздухозаборника

0** )1( PPPвх (8)

= (М, погр.сл, забКП ) - э ффективность входа; *вхР - полное давление на выходе воздухозаборника;

*Р - полное давление набегающего потока; Р0 - статическое давление.

Разработка модели. Модели процессов в элементах ГРС.

13

I I . Oп р е д е л е н и e п е р е п а д а д а в л е н и я д л я э л е м е н т о в с р а с п р е д е л е н н о й

т е м п е р а т у р о й :

П е р е к р е с н о т o ч н ы й т е п л о о б м е н н и к .

mmdLTG

nndLTG

мгидэффicpiiнесж

мгидэффicpiiнесж

///,

///,

2,2,2,*

,2,2,2,2,

1,1,1,*

,1,1,1,1,

Разработка модели. Модели процессов в элементах ГРС.

1 2 . Т и п о в ы е м о д е л и о п р е д е л е н и я п о т е р ь д а в л е н и я вт р о й н и к а х

П т 1 :

231113

23

221102

2211101

)/(

)/()(

)/()(

bGGhP

baGGhPhP

aGGhPhP

.

В т 1 :

32

1333

32

23302

22

213301

)/(

)/()(

)/()(

bGGhP

aGGhPhP

abGGhPhP

.

С л п :

23

21223

232222

22

1221

)/(

/

/

baGGhP

bGGhP

aGGhP

.

Р п :

23

21223

232222

22

1221

)/(

/

/

baGGhP

bGGhP

aGGhP

.

)3,2,1(,/,, 1221 iFFFGGii

0)(3

)(2

)(1 yyy GGG

a = G Б О / G C б ; b = 1 - a ;

P 1 = P 1 - P 2 ; P 2 = P 2 – P 3 ; P 3 = P 3 – P 1 ;

14

13. Определение потерь давления на основегазодинамических функций и “приведенной длины”

Газодинамические функции

Характеристика участка (расчет против потока)

Разработка модели. Понятие давления в узле

15

15

Общая постановка задачи анализа. Под расчетом потокораспределения в распределительной системе произвольной топологии при известных температурном поле, конструктивных и режимных параметрах всех элементов ветвей и узлов, а также граничных давлениях будем понимать определение неизвестных расходов в ветвях и давлений в узлах при условиях, что перепад давления на произвольном элементе ветви или узла может быть гарантировано определен только против потока, для всех внутренних узлов возможно определение давления в их внутренней точке, для массовых расходов в инцидентных узлам ветвей выполнены условия закона сохранения массы, а зависимости потерь давления на элементах удовлетворяют гидравлическим законам сохранения, а также гипотезе сплошности.

Решением задачи анализа будут такой расход в ветви и давления на границах ее элементов, что с точностью > 0 для каждого элемента имеет место соотношение

(4)

при соблюдении баланса массовых расходов в узлах системы

16Разработка модели. Постановка задачи.

*,,

*,,,

*, ),( расчэвхэвхэвыхэээвыхэвх PPрGfpP

17

АКСИОМЫ ТЕОРИИ РАСЧЕТА ПОТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ1. закон сохранения массы2. единое значение потенциала в узле3. модели элементов ветвей и узлов являются непрерывными

функциями, которые гарантировано позволяют определить перепад давления на элементе хотя бы в направлении против потока, и удовлетворяют гидравлическим законам сохранения.

РЕШЕНИЕМ задачи анализа с требуемой точностью > 0 при выполнении условий аксиом 1-3 и последовательном решении задачи расчета расходов в ветвях и давлений в узлах будут такие итерационные значения на k-ой итерации расходов в ветвях и давлений в узлах, что имеют место неравенства

(5)

где расходы в ветвях на всех итерациях являются сбалансированными в узлах, а для давлений в узлах превышают минимально допустимое значение Pmin.

Разработка модели. Понятие итерационного решения задачи

)1(*1,

*, HUUuPP kuku

• А1. Всю задачу нахождения параметров потока раасматриваем как решение системы подзадач , каждая из которых решается относительно своей множества переменных при фиксированных других переменных;

• А2. Система подзадач выполняется в определенной последовательности , где при переходе от одной из подзадач в другую значение найденных ранее переменных передаются как параметры;

• А3. Подзадачи выполняются последовательно и могут образовывать циклические последовательности , которые не пересекаются;

• А4. Каждая циклическая последовательность формирует итерационный процесс нахождения неизвестных подзадачи с повторным входом , где каждый шаг итераций можно представить в виде операторного равенства

• Хn +1 = A ( Xn ) , (6)• где Xn - вектор неизвестных переменных подзадачи ,• А - некоторый оператор в конечномерных пространстве ,• n - натуральное число (порядковый номер итерации ) .

Алгоритм решения задачи.18

Если операторная уравнения (6) имеет решение вида

Х* = A (X*), (7)

то оператор А имеет неподвижную точку X*. Очевидно правильным будет и обратное

утверждение: Если у оператора А существует

неподвижная точка, то уравнение (6) будет иметь решение.

Поэтому для дальнейших исследований важной оказалась следующая теорема о неподвижной точке

Алгоритм решения задачи. 19

Алгоритм решения задачи 20

  Теорема о неподвижной точке  Пусть M - конечномерных банахово пространство , u - норма в нем , А - непрерывный оператор в M ( А : М М ), l(x) - прямая, проходящая через точки х и Ах . Пусть также существует выпуклая подмножество D M , содержащий все свои предельные точки и существует непрерывный оператор С : М М1 (М1 - некоторое конечномерных банахово пространство ( u1 - норма в нем ) такой , что выполнены следующие условия :       - U1 ( Cx ) = 0 только при Ах = х (хD);      - для любого хD и Ах х;      - для любого существует k(), что когда L() ={zM : u(z) k()},               E() ={zD : u(z)>k()}, и E() - непустое множество ,  то для любого х E() u1(Cx)>0.         Тогда для оператора А существует в D неподвижная точка и при любом х1 D существует последовательность такая , что           xn+1 = nAxn + (1-n)xn, ( 8 )

        и u1(Cxn) 0 при n .          Если же х0 - единственная предельная точка последовательности , то

.

)(1)(1inf0)(

CxuCzuDxlz

1nnx

0lim xxnn

20

21Разработка модели. Формирование системы подзадач

22Разработка модели. Варианты системы подзадач

23Описание

прототипа системы

Описаниепрототипа системы

Схема проектного анализа КСКВ и ее структур на основе модели объекта

КонецКонец

Конструктивных параметров

Перебор

Таблицы Графики

БДРезультаты

Профили полетаПрофили полета

Задание на моделирование

Задание на моделирование

МодельобъектаМодельобъекта

Режимов на профилях

Схемных решений

НачалоНачало

ЗАДАЧА: Параметрические исследования системы, построение таблиц и графиков по основным профилям работы и определение на их основе условий обеспечения высотности и других характеристик системы.

Пример расчетной схемы

24

25 Адекватность моделей

1. Обеспечивается:♦ применением при оценке погрешности

современных детальных описаний физических процессов, без их упрощений и линеаризации;

♦ применением численных методов решения частных подзадач, не содержащих методических погрешностей.

2. Подтверждается оценкой уровня погрешности при сравнении с данными натурных экспериментов:♦ dGмах = ± 3%;♦ dTмах = ± 5% ;