1

第十章空間資料結構應用

2

10.1 前言 10.2 基本影像運算

10.3 連續相似影像的壓縮 10.4 漸近傳輸 10.7 作業

10.2.1 影像加密 10.2.2 動差計算

3

10.2 基本影像運算10.2.1 影像加密 ¿é¤J

¼v¹³¥[±K À£ÁY

ºô¸ô¶Ç¿é

¸ÑÀ£»P¸Ñ±K

­ì©l¼v¹³

À£ÁY©M¥[±K«áªº¼v¹³

在圖 10.2.1.1 中，我們首先將輸入的影像，黑白或灰階皆可，轉成四分樹結構。例如，給一影像如圖 10.2.1.2(a) 所示，其對應的四分樹結構如圖 10.2.1.2(b) 所示。

0

1

2

3

¼h

1s

2s 3s4s 5s

6s 7s 8s 9s 10s 11s 12s 13s14s 15s 16s 17s

18s 19s 20s21s 22s 23s

24s 25s

nw se ne sw

(a) 8×8 黑白影像 (b) 四分樹結構圖 10.2.1.2 影像加密的例子

圖 10.2.1.1 影像加密系統

4

定義掃瞄語言假設影像的大小為 ，掃瞄語言可被定義為文法 nn 22 SPVVG TN ,,,

n

iiN LSV

1

,

1

1

4 411 ii

ji

n

iiT jRV

i

代表非終結符號集

代表四分樹中第 i 層的掃瞄圖案 iL

終結符號集

)4( 14 1

次連乘 i

iiiii

i

ijR 圖 10.2.1.3 中定義的 24 個掃瞄圖案中的一個

S 代表起始符號P代表文法 G 中的產生規則

0 1

2 3

0SP

0 1

3 2

1SP

3

0 2

1

2SP

0 3

1 2

3SP

0 3

2 1

4SP

0 2

3 1

5SP

2 0

3 1

6SP

3 0

2 1

7SP

1 0

3 2

8SP

1 0

2 3

9SP

2 0

1 3

10SP

3 0

1 2

11SP

3 2

1 0

12SP

2 3

1 0

13SP

3 1

2 0

14SP

2 1

3 0

15SP

1 2

3 0

16SP

1 3

2 0

17SP

1 3

0 2

18SP

1 2

0 3

19SP

2 3

0 1

20SP

3 2

0 1

21SP

3 1

0 2

22SP

2 1

0 3

23SP

圖 10.2.1.3 24 個掃瞄圖案

iSP為 24 個掃瞄圖案中的第 i 個掃瞄圖案

5

模擬例子假設依據上述的文法，給定一組產生規則如下

321 LLLS 111 RL

24

23

22

212 RRRRL

316

315

314

313

312

311

310

39

38

37

36

35

34

33

32

313 RRRRRRRRRRRRRRRRL

13413

3311

321

31

7244

232

2223

21

111

, , ,

, , ,

SPRSPRSPRSPR

SPRSPRSPRSPR

SPR

1531613

3151

31411

313

213121

31110

3101

39

7380

371

364

35

, , ,

, , ,

, , ,

SPRSPRSPRSPR

SPRSPRSPRSPR

SPRSPRSPRSPR

則圖 10.2.1.2(a) 的黑白影像被加密成圖 10.2.1.4 。圖 10.2.1.4 加密後的結果

接著我們再來設法將圖 10.2.1.4 予以壓縮。利用列掃瞄的方式，圖 10.2.1.4 可表示成 0000000000011111000000000000000011111000000011110000000011110000 ，進而用 011516574844 來表示圖 10.2.1.4 。

6

10.2.2 動差計算

動差 (Moment) 在影像處理的特徵表達上有蠻多的應用。在連續型的函數 f(x,y) 上，其 (p+q) 階的動差可表示為

dxdyyxfyxm qppq

,

yxfyxmx y

qppq ,

5121 5121

此處 f(x,y) 代表位於 (x,y) 的像素之灰階值。式子 (10.2.2.1) 的離散型式可改寫為

此處假設影像的大小為 512×512 。在實際的應用中， (p+q) 的階數通常不大於 3 。換言之，低階的動差計算較常被用到。

動差

質心質心 (Centroid) 是很重要的一個幾何性質，可表示為 ，

00

01

00

10 ,m

m

m

m

(10.2.2.1)

(10.2.2.2)

其實 就是把灰階值加總起來。 00m

7

一個小例子

1 0 1

12 1

3 3 2

0 1 2 x

0

1

2

y

給一 3×3 的影像如圖 10.2.2.1 ，可計算得 12)211(2)31(1)321(010 m

20)233(2)112(101 m

142113132100 m

圖 10.2.2.1 一個小例子

14

20,

14

12所以質心為 。

在連續影像中，質心的變動有時可用來幫助移動物體追蹤用。從二個質心中，我們可求出質心間的距離與角度以為物體追蹤的參考。

8

Q1:給一 3×3 的影像如圖 10.2.2.1.2 ，(1) 請求出此影像的動差 、 、 ，和此影像的質心。(2) 請求出此影像的中心動差 、 、 。

圖 10.2.2.1.2 一個小例子

00m

00m10m 01m

00u 10u 01u

9

中心動差另外有一種中心動差 (Central Moment) 也很常用到，其定義為 yxfyyxxu q

x y

ppq ,

5121 5121

(10.2.2.3)

此處 和 。00

10

m

mx

00

01

m

my

,

yx,

L

x

y 主軸

在圖 10.2.2.2 中，線為 L 待求解的主軸所在處。在 L 上取一點 (x,y) 且假設經過點 (α,β) ，則主軸 L 可由點 (x,y) 和點 (α,β) 表示如下

tancos

sin

x

y

上式亦可改成 0cossin yx

圖 10.2.2.2 物體上求主軸

10

2cossin yx 似乎地可視為一種偏離軸的慣量而f(x,y) 視為加權，如此一來，圖 10.6 中物體上所有點累積的慣量可表示為

yxfyx ,cossin2 (10.2.2.4)

最佳的主軸所在會使得式子 (10.2.2.4) 有最小值，也就是相當於在解下式 yxfyxMin ,cossin 2

,,

(10.2.2.5)

首先式子 (10.2.2.5) 對 α 和 β 分別微分且令為零，可得 0,cossinsin2 yxfyx

0,cossincos2 yxfyx (10.2.2.6)

0,cos,cos yxfyxfy

yxfyxfx ,sin,sin

0coscossinsin 00010010 mmmm

11

0coscossinsin yx

0cossin yx x y和

定理 10.1 物體的主軸會通過質心。

將 和 代入式子 (10.2.2.5) 中，解 θ 的問題變成了這樣的一個最小化問題

x y

yxfyxMin ,cossin 2

(10.2.2.7)

式子 (10.2.2.7) 對 θ 微分後令為零，可得 02cos22sin2sin 110220 uuu

0220

111 2tan

2

1

uu

u

(pp.392-398)

定理 10.2 物體的主軸與 x 軸的夾角為 。0220

111 2tan

2

1

uu

u

12

10.3 連續相似影像的壓縮

0

1

2

3

¼h

1s

2s 3s 4s 5s

6s 7s 8s 9s 10s 11s 12s 13s

14s 15s 16s 17s 18s 19s 20s 21s

nw sene sw

給一 8×8 的黑白影像如圖 10.3.1(a) 所示，其所對應的四分樹結構如圖 10.3.1(b) 所示。再給一張的黑白影像如圖 10.3.2(a) 所示，其所對應的四分樹結構如圖 10.3.2(b) 所示。將圖 10.3.1(b) 和圖 10.3.2(b) 疊在一起，則成為圖 10.3.3 所示的合併式四分樹結構。

合併式四分樹結構

(a) 8×8 的影像 (b) 四分樹結構圖 10.3.1 前一張影像

13

0

1

2

3

¼h

1t

2t 3t 4t 5t

6t 7t 8t 9t 10t11t 12t 13t

14t 15t 16t 17t 18t 19t 20t21t

nw sene sw

(a) 8×8 的影像 (b) 四分樹結構圖 10.3.2 後一張影像

1t

2t

9t

14t 15t 17t

nw

1s

2s 3s 4s 5s

6s 7s 8s 9s 10s 11s 12s 13s

14s 15s 16s 17s 18s 19s 20s 21s

nw sene sw

圖 10.3.3 合併式四分樹結構

14

在圖 10.3.1(b) 上 黑色節點編成碼 1白色節點編成碼 0灰色節點編成碼 2

節點 的第 i 個孩子被編成碼 ，由圖 10.3.4 可得0G 30),( 0 iGCi

2)(,0)(,1)(,2)( 03020100 GCGCGCGC

如此一來， 可編碼成0G

5932313233

0

31000

i

ii GCGP

圖 10.3.4 中的五個灰色節點，依照深先搜尋法，可以用

0G

1G 3G

2G 4G

2

0

2 1 1

1

1111

0 0 0 0 0

000

2

2

圖 10.3.4 編碼於四分樹上

改良式編碼法

36,45,10,54,59G 來代表圖 10.3.1(a) ，共需35 位元而已。

15

接著，我們再引用熵編碼和隨機影像模式來進一步壓縮上述編碼。圖 10.3.5 為我們建造的碼表。依照圖 10.3.5 的碼表，圖 10.3.1(a)的表示法 可進一步表示成36,45,10,54,59G

00110,11100100,00101 　，總共只需 32 位元，這比剛剛的 35 位元少 3 個位元。

1,1101011

)( jGP c o d e )( jGP c o d e )( jGP c o d e )( jGP c o d e )( jGP c o d e

0 0 0 0 0 － － － － － － － －

1 0 1 0 0 1 1 7 1 1 1 1 0 1 0 1 3 3 1 1 1 0 0 0 1 1 4 9 1 0 1 1 0 1 6 5 1 1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 1 1 1 8 1 0 0 1 0 0 3 4 1 1 1 1 1 1 0 0 5 0 1 0 1 0 0 0 6 6 1 1 1 1 1 1 1 0 1

3 0 1 0 1 1 1 9 1 1 1 0 0 1 1 0 3 5 1 1 1 1 0 0 1 1 5 1 1 1 0 1 0 0 1 6 7 1 0 1 0 1 1

4 0 0 1 1 1 2 0 1 0 0 0 0 0 3 6 0 0 1 1 0 5 2 1 1 1 0 1 1 1 0 6 8 1 1 1 0 0 1 1 1

5 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 3 7 0 1 1 1 0 5 3 1 1 0 0 1 1 0 6 9 1 1 1 1 1 0 0 1

6 1 0 0 1 1 0 2 2 1 1 1 0 0 1 0 1 3 8 1 1 1 1 0 0 0 0 5 4 1 0 0 1 0 1 7 0 1 0 0 0 1 0

7 1 1 1 0 1 0 0 0 2 3 1 1 1 1 0 1 1 1 3 9 0 1 0 1 0 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 0 7 1 1 1 0 0 0 1 1

8 1 0 1 0 1 0 2 4 1 1 1 0 0 0 1 0 4 0 － 5 6 1 1 1 0 0 0 0 1 7 2 1 0 0 0 0 1

9 0 1 1 0 0 2 5 1 1 0 1 1 0 1 4 1 1 0 1 0 0 1 5 7 1 1 0 1 1 1 0 7 3 1 1 1 1 0 1 0 0

1 0 0 0 0 1 2 6 1 1 0 0 0 0 1 4 2 1 1 1 0 1 1 1 1 5 8 1 1 1 0 1 0 1 0 7 4 1 1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 2 7 0 1 0 0 0 4 3 1 0 1 1 1 0 5 9 1 1 0 1 0 1 1 7 5 1 1 1 1 0 0 1 0

1 2 1 1 0 1 0 0 0 2 8 1 1 0 1 0 1 0 4 4 1 0 1 1 0 0 6 0 1 0 0 0 1 1 7 6 1 0 1 1 1 1

1 3 0 1 1 0 1 2 9 1 1 1 1 1 1 1 0 0 4 5 1 1 1 0 0 1 0 0 6 1 1 1 1 1 0 1 1 0 7 7 1 1 0 0 1 1 1

1 4 1 1 1 1 1 0 1 0 3 0 0 0 1 0 1 4 6 1 1 1 1 1 0 1 1 6 2 1 1 0 0 0 0 0 7 8 1 1 0 0 0 1 0

1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 0 1 1 1 1 4 7 1 1 1 1 1 0 0 0 6 3 1 1 1 0 1 0 0 1 7 9 1 1 0 0 1 0 1

1 6 1 1 1 0 1 1 0 0 3 2 1 1 1 0 0 0 0 0 4 8 1 1 1 0 1 0 1 1 6 4 1 1 0 1 1 1 1 8 0 0 0 1 0 0

圖 10.3.5 改良式碼表

16

連續相似影像的壓縮假設連續的二張黑白影像，圖 10.3.6 的 G 和圖 10.3.7 的 H 已轉成

36,45,10,54,20,,,, 43210 GPGPGPGPGPG

1,2,1,2,5GI

36,10,54,56,,, 3210 HPHPHPHPH

1,1,2,4HI

這裡 代表以 為樹根的子樹之內部節點數。 iG)( iGI

在圖 10.3.7(b) 和圖 10.3.6(b) 中，若有 和 則 為樹根的子樹相等於 為樹根的子樹。此時，我們利用 i來取代 。所以，圖 10.3.7(b) 可表示成

ij GIHI ij GPHP jH jG

11 ,...,, iGIjjj HPHPHP

。根據圖 10.3.5 的改良式碼表，圖 10.3.6(a) 可表示成4,1,56

，而圖 10.3.7(a) 可表示成00110,11100100,001,100101,100000

，注意一下！在 0000001 和 0000100 的前四個 0 皆是我們加上去的以便區隔用。

0000100,0000001,11100001

17

0

1

2

3

¼h

v

0

1

2

3

¼h

u

0G

1G

2G

3G

4G

1H

0H

3H

圖 10.3.7 後一張影像

圖 10.3.6 前一張影像

圖 10.3.8 重疊後的結果

(a)

(a)

(b)

(b)

18

10.4 漸近傳輸 PIT(Progressive Image Transmission)

使用者透過網路點選影像資料時，先點選較低解析度的影像，若滿意其要求了，則不必進一步點選更高解析度的影像，若使用者不滿意影像的清晰度，則可要求系統再補送進一步的資訊與原傳送影像合成以顯示更清晰的影像，直到滿意為止。 一種植基於 S 樹表示法的新式 PIT 方

法首先我們存整張影像的四個角點之灰階值，如圖 10.4.1(a) 之 、ulI

urI blI brI 、 和 所示。之後再將該影像一分為四並且存其中心和影像四邊的中點之灰階值，如圖 10.4.1(a) 中的 、 、 、 和 所示。圖 10.4.1(a) 的四分樹結構如圖 10.4.1(b) 所示。至於說圖10.4.1(a) 中的區塊內之各像素的估計灰階值仍仿照第九章的線性內插作法。

ca ua la ra ba

19

線性樹表： 0 0100 1001 0111 1110 1111 1111 1111 1110 1111傳輸表： brblurul IIII ,,, crlbu aaaaa ,,,, crlbu bbbbb ,,,, crlbu ccccc ,,,,

crlbu ddddd ,,,, crlbu eeeee ,,,, crlbu fffff ,,,, crlbu ggggg ,,,,

crlbu hhhhh ,,,, crlbu iiiii ,,,,

假設我們將圖 10.4.1(b) 進行橫式切割且得到圖 10.4.2 的分割圖，在圖中，二虛線之間代表一個層。 令 、 、 等。 brblurulI IIIIQ ,,, crlbua aaaaaQ ,,,, crlbub bbbbbQ ,,,,

ua

ba

la raca

ulI urI

blI brI

a

db

e f h

i

c

gg

nw ne sw se

(a) 改良式切割法 (b) 四分樹結構

圖 10.4.1 一個改良式的切割法

20

第一層 第一線性樹表： 0 1110 1111 第一傳輸表：

40

daI QQQ ,,

第二層 第二線性樹表： 0 0100 1111 0111 1111 1111 第二傳輸表：

3040 gcb QQQ ,,

第三層 第三線性樹表： 0 0100 1001 0111 1110 1111 1111 1111 1110 1111 第三傳輸表：

2030

ihfe QQQQ ,,,

a

db

e f h

i

c

gg

50

35 38 45

12

10 8 8 12 10 16 18 20 16 14 6 8

18

18

21 24 34

16 15 12 18 19 20

28

22

12 14 18

16 14 12 6

4030

第一層

第二層

第三層

圖 10.4.2 PIT 的分割圖

21

實驗

(a) RDP 方法

(b) PJPEG 方法

(c) 本節介紹的方法

雖然本節介紹的方法較 PJPEG 來得耗時，但其對特徵保留的能力不遜於上述二個方法。

圖 10.4.4 三種 PIT 方法的比較

22

10.5 隱像術與浮水印假設我們打算將 512512 的 Lena 影像嵌入 512512 的辣椒影像中。首先將 Lena 影像和辣椒影像分別利用 10.4 節介紹的改良式 S 樹表示法予以壓縮。

23

從第一章中，我們已知一個像素的灰階值之位元表示中，若捨去最右邊幾個位元，對影像影響有限。為了有更好的壓縮效果，我們可以用 JPEG 來壓縮 Lena 影像，但是對辣椒影像而言，我們仍建議採用改良式 S 樹表示法較好。主要的原因是 S 樹表示法有很好的幾何特性，對嵌入壓縮後的 Lena 影像有很大的好處，尤其是能滿足單向函數的要求。

24

10.7 作業 習題一： 利用 10.2.1 節所介紹的影像加密方法，寫一 C程式以完成實作。 習題二： 證明下列等式

102

203030

101111

010202

102020

0110

0000

23

0

mxmxmu

mymu

mymu

mxmu

uu

mu