第 Ⅱ 部　協力ゲームの理論

第Ⅱ部　協力ゲームの理論第 15 章　費用分担問題

2008/07/02( 水 )ゲーム理論合宿

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内容

• 費用配分ゲーム– 費用分担問題とゲーム理論– 費用配分ゲーム

• 費用配分方式• 協力ゲームの公準と解の選択• 神奈川県の水資源共同開発における費用配分• 逐次分担法と規模の決定

– 逐次分担法– 需要量の決定のシナリオ

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１．費用配分ゲーム

• 自治体を越える広域事業• ある企業における複数部門における費用• 競争的関係にある企業間におけるインフ

ラ　費用の分担• 公共財の価格決定の問題

• このような問題は一般に費用分担問題と　　呼ばれる

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例　３つの町での共同水資源事業の費用分担

プレイヤー集合 N={1,2,3}

プレイヤー i の分担額 xi とし、x=(x1,x2,x3) を費用分担ベクトルとよぶ

全体としての全費用 C({1,2,3}) は決まっていて

どう分担するかが問題である

5


})3,2,1({321 Cxxx

NiiCxi 　})({

費用分担ベクトルは全体合理的

プレイヤー iは単独で開発した場合の費用 C({i})を念頭において、　　　　　　　　　　　　それより少なくなるような分担額を考えるはず

さらにプレイヤー 1 はプレイヤー 1 と 2 で提携したとき {1,2} の費用 C({1,2})を計算し、　プレイヤー 3 に対して、提携 {1,2} から提携 {1,2,3} に拡大したことによる追加費用は　プレイヤー 3 が負担すべきと主張するかもしれない

1

2

3

})3,2({})3,2,1({

})3,1({})3,2,1({

})2,1({})3,2,1({

SCCC

SCCC

SCCC

こういう追加費用を分離費用と呼ぶ

6

１．費用分担ゲーム

結局、３つの町の会議には次のような費用がリストアップされる

しかし、実際問題として、全体提携以外の部分提携は行わないので、このような部分提携を考えるのはおかしい！という批判がある。

でも、分担額を交渉する際に、仮にそういう提携をしたらこういう費用になるよ、というのを提示して費用を議論することは可能である。

こういう議論はアメリカでの TVA の費用分担でも同様の考え方がみられた。

よって、費用分担の問題は提携形ゲームとして表し、協力ゲームの枠組みの中で　いかに総費用を分担するか、という問題として考えることが出来る。

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（１）総費用均等配分

総費用 C(N)を均等に分担する方式。個人合理性の公準を満足させないので揉める。

（２）総節約額均等配分法

総節約額 v(N)を均等に配分する方式

（３）残余均等配分法（分離費用と非分離費用）

２．費用配分方式

ii

Nii

yiCx

NiNCiCn

Nvn

y

)(

)()(1

)(1

　

Niii

ii

Nii

i

SCNCn

SC

NSCn

SCx

SCNCNSC

iNCNCSC

)(1

1

)(

}){()(

　　

8


1503/30140

1403/30130

1303/30120

30140130120420

140

130

120

3

2

1

3

2

1

x

x

x

NSC

SC

SC

SC（３）残余均等配分法の続き

さっきの３つのまちの数値例だと

この例を節約ゲームとして表現すると

ここで残余均等配分法によって得られた利益配分 y=(30,40,50) は

このゲームの仁であり、かつ、 τ 値である

9

（４）代替的回避費用法・残余比例配分法

ＮＳＣを単独費用と分離費用の差に比例して分担する方式

（５）シャープレイ値による方式

シャープレイ値は均等配分 eと残余均等配分解 zを端点にもつ線分の中点である（実は）

（６）仁と残余均等配分解

例１では残余均等配分解と仁と τ値が一致している。これは中山の定理により、

N-1人未満の提携の値 v(S)が比較的小さいときに成立する。詳しくは教科書。


NSCSCC

SCiCSCx

Njjj

iii

)(

iii ze2

1

2

1

10


例１において、これまで配分方式をまとめてみると

C(i) 残余均等比例配分 Φ(v) 仁相対仁 τ 値

１ 160 130 128 125 130 128 130

２ 180 140 140 140 140 140 140

３ 200 150 152 155 150 152 150

ゲーム理論の解と TVA の費用分担方式はまったく独立に考えられたものなのに

ある条件の下では仁と均等配分方式が一致し、

ある条件の下では相対仁と比例分担方式が一致するのは

感動的ですという話。（まったく理論的に生み出されたものが事実と同様になる点が）

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３．協力ゲームの公準と解の選択【まとめ】配分が満たすべき１０の公準の整理【難解】

均等配分

残余均等配分

シャープレイ

値

仁相対仁 τ 値

個人合理性 × × ○ ○ ○ ○

全体合理性 ○ ○ ○ ○ ○ ○

ダミプレイヤー排除性

× × ○ ○ よ ×

利得の測定法からの独立性 ○ ○ く ○

対称性と無名性 ○ ○ わ ○整合性、縮小ゲーム性 ○ ○ か ×

総体的単調性 ○ × っ ×

提携の戦略上同等性 ○ × て順序保存性 ○ 不明な安定性 △ ○ い △

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４．具体的な例で手を動かして眠気をとる●快適な研究室問題（ゲーム天国への道）

Ｗみほ：わたし、 DSほしい～！

Ｙかわ：じゃあ、Wiiもいるでしょ。

Ｓや： PS3 もあるとサイコー！

Ｋし：じゃあ、炊飯器もついでに。

\15,000

\25,000

\50,000

\110,000

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４．具体的な例で手を動かして眠気をとる

• ヨ●バシカメラの店員に• １点のみの買物なら定価• ２点同時に買うと 10％オフ、• ３点同時なら 20％オフ、• ４点同時であれば、なんと、すべて 25％オ

フ• といわれました。（これは規模の経済性が働くので凸ゲーム的）

14


150)(

148)(,140)(,120)(

72)(,144)(,5.121)(

5.67)(,5.112)(,5.58)(,36)(

110)(,50)(,25)(,15)(

WYSKC

YSKCWSKCWYKC

WYSCSKCYKC

YSCWKCWSCWYC

KCSCYCWC

C(i) 総費用　均等配分

総節約額均等配分

残余　　均等配分

残余　　比例配分

Φ(v) 仁相対仁 τ 値

W

Y

S

K

次のように定式化できるので、時間があれば計算してみる

15

（１）総費用均等配分

（２）総節約額均等配分

（３）残余均等配分


5.374/150 KSYW xxxx

5.974/50110,5.374/5050

5.124/5025,5.24/5015

50150200)(

KS

YW

xx

xx

Nv総節約額

5.854/3078

5.374/3030

5.174/3010

5.94/302

307830102150

7872150

30120150

10140150

2148150

K

S

Y

W

K

S

Y

W

x

x

x

x

NSC

SC

SC

SC

SC

16

（４）残余比例配分


9030)78110()3050()1025()215(

)78110(78

5.3730)78110()3050()1025()215(

)3050(30

625.1530)78110()3050()1025()215(

)1025(10

875.630)78110()3050()1025()215(

)215(2

307830102150

7872150

30120150

10140150

2148150

K

S

Y

W

K

S

Y

W

x

x

x

x

NSC

SC

SC

SC

SC

17

（５）シャープレイ値

４．具体的な例で手を動かして眠気をとるＷについて

WYSK=15

WKSY=15

WSYK=15

WSKY=15

WKSY=15

WKYS=15

YWSK=11

YWKS=11

YSWK=4.5

YSKW=2

YKWS=-1.5

YKSW=2

SWYK=8.5

SWKY=8.5

SYWK=4.5

SYKW=2

SKWY=-4

SKYW=2

KWYS=2.5

KWSY=2.5

KYWS=-1.5

KYSW=2

KSWY=-4

KSYW=2

この 24通りより、 W のシャープレイ値は 6

同様に Y,S,K も計算すると

Φ=(6, 15, 37.5, 91.5)

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150)(

148)(,140)(,120)(

72)(,144)(,5.121)(

5.67)(,5.112)(,5.58)(,36)(

110)(,50)(,25)(,15)(

WYSKC

YSKCWSKCWYKC

WYSCSKCYKC

YSCWKCWSCWYC

KCSCYCWC

C(i) 総費用　均等配分

総節約額均等配分

残余　　均等配分

残余　　比例配分

Φ(v) 仁相対仁 τ 値

W 15 37.5 2.5 9.5 6.875 6

Y 25 37.5 12.5 17.5 15.625 15

S 50 37.5 37.5 37.5 37.5 37.5

K 110 37.5 97.5 85.5 90 91.5

次のように定式化できるので、計算してみたところ、

調子にのって、

４人ゲームにしたら、

解けなくなりました

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５．逐次分担法と規模の決定

• これまでは費用分担問題が提携形ゲームとして定式化される場合を考えてきた

• つまり、全体提携がなされて、部分提携の値をもとに、個人ごとの費用の分担を考えた

• しかし、全体提携が不適切とか、すべての許容提携の費用関数を求めることが無意味とかのため、状況が協力ゲームと考えることが不適切で非協力ゲームの方が適切な場合も存在している

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• たとえば、規模の経済性をもつようなもの、ネットワークとか、電話回線、共同利用施設など、そもそも単独で建設するとか、部分提携するといった仮定は意味がない。

• 規模が大きければ大きいほど効果は大きい• しかし、規模が大きければ費用は増加する• そこで、それぞれの利用者が独自に需要量

を決定した後に、全体としての規模がその和として決定されることが多い。

21


nddd 210

●逐次分担法n人プレイヤーの共同システムを考える

プレイヤーの集合を N={1, 2, ….., n}とする

サービスに対するプレイヤー iの需要量を diとし、

プレイヤー番号を需要量 diの小さい順につける。すなわち、

供給されるサービスの量を q(非負の実数 )とする。

生産量 qを生産する費用関数は C(q)である。

生産量は　　　　　　　　　　　に定まる

すべてのプレイヤーは参加者数 nと費用関数 C(q)について共通認識をもっているとする。

i

idq

22


)(1

11 nqCn

x

● 逐次分担法ここで、最も需要量の小さいプレイヤーであるプレイヤー１の分担額は

すなわち、プレイヤー１は他のすべてのプレイヤーが自分と同じ量だけ需要すると考えた場合の総費用の均等分割額を分担する。

次にプレイヤー２はまず、プレイヤー１の分担額と同じ額を負担し、　　　　　　　　　次にプレイヤー３以下が自分と同じ量だけ需要すると考えた場合の総費用の　　均等分割額を負担する。

))())1(((1

1)(

112112 nqCqnqC

nnqC

nx

プレイヤー３以下も同様である。

23

５．逐次分担法と規模の決定● 逐次分担法すると、 N={1, 2, 3} の場合の分担額は次の図のようにかける。

)2()(

)3()2(2

1

)3(3

1

21321

121

1

qqCqqqCM

qCqqCL

qCK

24

５．逐次分担法と規模の決定● 逐次分担法このようにして決定した逐次分担法は次の６つの公準を満たしている。

（１）全体合理性…全員の分担額の合計は総費用と等しい

（２）単調性…自分の需要量が増えれば、自分の分担額が増える

（３）クロス単調性…自分が i のとき i<j のプレイヤー j の需要量が増加しても影響ない

i>j のプレイヤー j の需要量が増加すると、分担額は増加する

（４）順序保存性…需要量が多い人の方が分担額は大きい

（５）プレイヤーによるインプット（供給）がない場合の非負性…分担額は0 以上

（６）最大限度条件…各プレイヤーの分担額は最大でも総費用 /n 以下

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一方、これまでよく用いられてきた分担方式は

「平均費用価格法」と「限界費用価格法」

●平均費用価格法

●限界費用価格法・・・・・・限界費用関数をMC(q)とすると

生産量がすべてのプレイヤーの需要量をみたしているときの限界価格を価格と　考えて、その価格で各プレイヤーがまず自分の需要量を支払い、不足分を均等に分割して支払う方式


iN

Ni q

q

qCx

)(

NNNiNi qqMCqCn

qqMCy )()(1

)(

26


「平均費用価格法」「限界費用価格法」「逐次分担法」と公準の関係を示すと

平均限界逐次

単調性 ○ × ○

クロス単調性 × × ○

順序保存性 ○ ○ ○

非負性 ○ × ○

最大限度額条件 × ○ ○

逐次分担法はどの公準も満たし、かつ需要量の小さいプレイヤーに比較的寛容　であり、平均費用法や限界費用法に比べて、優れた方式であるといえる

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さて、共同システムの費用分担について、逐次分担法によることが決定していて、それを利用するプレイヤーに呼びかけようとしている。

しかし、各プレイヤーがどの程度利用するかはその分担額に依存するから、　　　分担額が決まらないと需要量が決まらない。各自の需要量が決まらないと　　　　システムの規模が決まらず、総費用が決まらない。ということもありうる。

このように、全体提携が形成されて、全体のプレイヤーの合意の下で需要量や　分担額を決めるような提携形ゲームの定式化ではこの問題に十分答えられない。

そこで、需要量を決定するような非協力ゲームとして定義する。

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● 需要量決定のシナリオ

この場合の利得 y はサービスを利用することで得られる便益と分担額の差で表す

（１）プレイヤーの数、費用関数、費用分担方式としての逐次分担法をもちいることを全員に知らせる

（２）すべてのプレイヤーが自分が最小量の需要量であると仮定して、　　　　　　　費用分担額と需要量を計算する。つまり、

したがって、利得を最大化する各自の需要量　　　　　　　　　　　　を求められる


)3(3

1

,,)3(3

1

iiii

ii

qCqay

CBAiqCx

　

oC

oB

oA qqq ,,

29

５．逐次分担法と規模の決定（３）需要量　　　　　　　　　が公開される。それによって最小値が求まる。　　　　　　たとえば、プレイヤーＡが最小値であるとすると、 qA=q1*, xA=x1*となる。　　　　　そのことは全員に知らされる。

（４）プレイヤー１とされたＡ以外のプレイヤーは自分が２番目に少ないプレイヤーとして分担額と需要量を計算する。それらの値をまた比較し、最小のプレイヤーを　プレイヤー２とする。そのことは全員に知らされる。

（５）プレイヤー１と２が定まるので、残りのプレイヤーが自分の需要量と　　　　　　分担額を求めることができ、それによってプレイヤー３が決定される。

たとえば利得関数の係数がそれぞれ

aA=10, aB=11, aC=12とすると、各プレイヤーの需要量、分担額、利得は次になる。

oC

oB

oA qqq ,,

122,100,82

168,111,84

24,19,17

3,2,1

*3

*2

*1

*3

*2

*1

*3

*2

*1

yyy

xxx

qqq

CBA

　　

　　

　　

　　

30

５．逐次分担法と規模の決定（６）すべてのプレイヤーの需要量が決定されることによって、共同システムの規模は、総需要量

をみたす規模に決定される。

このように求められた需要量の組、すなわち戦略の組は需要量決定の

非協力ゲームのナッシュ均衡点である。

したがって、どのプレイヤーも自分の需要量を変更する動機を持たない。したがって、各プレイヤーの均衡戦略の和によって、総需要量を確定することができる。

このような逐次分担法は現実の話し合い過程によく似ており、理解しやすい方法　でもあるので、公共財の費用分担をはじめ、広い分野で用いられることになると　思われる。

*3

*2

*1

* qqqqN

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