第Ⅱ部　協力ゲームの理論

第 10章　コア

2008/07/01(火 )ゲーム理論合宿

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内容

• 配分の支配– 配分間の支配関係– 提携合理性と支配関係

• コア– コアの定義– コアの存在

• 非分割財市場のコア• 負の公共財～ごみ処理ゲーム• 凸ゲーム

– 凸ゲーム– 凸ゲームのコアとシャープレイ値

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１．配分の支配

• ベンチャー企業をプログラマー１，２と営業３で起こす

平均プログラマ１

敏腕プログラマ２

営業３

シャープレイ値は

)50,40,30()( vいま、３人で提携することを考えたときに、利益の配分はどのようになるかを考える

（提携形３人ゲームの配分の集合を図示することを考える）

一般に３人ゲーム (N={1, 2, 3},v)の配分は次のように表される

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１．配分の支配

３次元の利得ベクトルで書くと(a)

高さ v(N)の正三角形で表すと(b)

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１．配分の支配１

２ ３

配分 (120,0,0)

配分 (0,120,0)

配分 (0,0,120)

配分(30,40,50)

30

4050

配分(20,45,55)

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１．配分の支配

シャープレイ値的に (30,40,50)という配分にしましょう！

ふざけんな！オレら二人だけで組むと 100稼げるんだ！

せめて (20,45,55)はもらわないと！

・・・・。（涙目）

配分 a(30,40,50)は提携 {2,3}に関して

配分 b(20,45,55)に支配されているという

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定義１．配分間の支配

ゲーム (N,v)において、２つの配分 x,yについて、提携Ｓに関して

(i)選好条件

(ii)実現可能条件

の２つの条件が成立するとき、提携Ｓに関して、配分 xは配分 yを支配するといい、次のように書く

１．配分の支配

Siyx ii 　

)(SvxSi

i

ydomxS

　

選好条件：提携Ｓのすべてのメンバーにとって、配分 xが配分 yより大きい利得が　　　　得られるため、 yよりも xを選好する

実現可能条件：そのような配分 xを提携Ｓだけで実現可能である

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優加法的提携形 n人ゲームにおける２つの配分を x,yとすると

が可能なのは n 5≧ のとき。

１．配分の支配

ydomx　xdomy

●提携合理性について

ゲーム (N,v)において、利得ベクトル xがすべての提携にとって

をみたすとき、この利得ベクトルは提携合理的であるという

Si

i Svx )(

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２．コアの理論

支配される配分はその提携によって拒否され、実現されることは難しい。そこで、コアという解を定義する

●コアの定義（支配関係による定義）

ゲーム (N,v)において、いかなる配分にも支配されない配分の集合をコアとよぶ

●コアの定義（提携合理性による定義）

ゲーム (N,v,A)が弱優加法的であるならば、コアは提携合理的配分の集合である。すなわち、コアを C(v)とすると

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　である

NSSvxAxvCSi

i 　)(:)(

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２．コアの理論

コアは一次不等式の組の解として与えられ、 n次元ベクトル空間の有界閉集合である

コアはシャープレイ値と異なり、配分の集合として定義された解ただ一つの配分を指定する解ではない

コアが空集合でないゲームはプレイヤー全体が共同で行動した方が部分的な提携で行動するより、大きな利得が得られ、全体としての協力関係が安定的であることを意味する

コアが空集合のゲームは全体提携の値に対して、部分提携の値が相対的に大きく、全体的な協力関係が不安定であることを意味する

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２．コアの理論

３人ゲームの例

提携合理性の条件は

全体合理性の条件は

これらの条件から図示したのが次頁

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２．コアの理論

提携合理性の条件を　　　　　　　　コアの制約条件という

制約条件は　　　　　　　　　　　　　　基本三角形上に図示でき、　　　　三角形 DEFがコアを示す

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２．コアの理論

別の例

この場合、

コアは空である

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２．コアの理論

• ３人ゲームでコアが空でない条件

プレイヤーの集合を N={1,2,3}としたとき、優加法的提携形３人ゲームのコアが存在するための必要十分条件は次の不等式を満たすことである。

)23()13()12()123(2 vvvv

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３．非分割財市場のコア非分割財：文字通り分割できない財。家、車など。

供給者１： a円以上なら売ってもいい　　　　　　　　　　　　　　　　　　　需要者２： b円以下なら買ってもいい　　　　　　　　　　　　　　　　　需要者３： c円以下なら買ってもいい　　　ここでは a<b<cとする価格

数量

c

b

a

1 2

価格 Pは需要曲線と供給曲線の　　交点として定まるから、 b p c≦ ≦ 　　となる

実際、どこに決まるかは交渉によるので、提携形ゲームとして表現

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３．非分割財市場のコア

0)3(,0)2(,)1( vvav

0)23(,)13(,)12( vcvbv

売らなくてもプレイヤー 1は aの価値をもった家を持ってるので、ここで、提携は売買と考えられるので、

三人で交渉され、もっとも高い価格で売買がなされるとcv )123(

このゲームのコアは

またはと表現され、コアを求めることによって、市場における取引の結果として、各プレイヤーが受け取る価値と価格の範囲を求めることができる

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３．非分割市場財のコア具体的な数値例として a=30, b=80, c=120とすると

シャープレイ値は Φ(v)=(80,10,30)で　　コアに属さない。これは提携 {1,2}が満たされる状況も考えているため。

実際に提携される構造は {1,3}{2}となる

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４．凸ゲーム

• ゲーム (N,v)において、提携Ｓにプレイヤー iが参加したときの限界貢献度 v(S {i})-v(S)∪ が提携の規模が大きくなるにつれて、常に増加するとき。すなわち、

• 任意の i N∈ と任意の S T N-{i}⊂ ⊂ について

のとき、このゲームを凸ゲームという

)(}){()(}){( TviTvSviSv

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４．凸ゲーム

• 凸ゲームの性質• Ｎ人凸ゲームにおいてコアは空でなく、かつその範囲が広く、任意の iについて境界 xi=v(i)と共通部分をもつ

• 凸ゲームのシャープレイ値はコアに含まれる