ПобудоваПобудова графіків функції графіків функції за допомогою геометричних за допомогою геометричних

перетвореньперетворень

Автор: Автор: Леденко М.В.Леденко М.В. учень 11 класу учень 11 класу

Оболонської ЗОШ Оболонської ЗОШ

ЗмЗмістістПобудова графіків функцій:Побудова графіків функцій:

yy == -- f(x)f(x)

yy == f(-x)f(-x)

yy == f(|x|)f(|x|)

у у == |f(x)||f(x)|

у у == f(x)f(x) ±± bb, де , де bb >> 00

у у == f(xf(x ±± a)a),, де де aa >> 00

у у = a f(x)= a f(x), де , де aa >> 00

yy == f(ax)f(ax), де , де aa >> 00

Побудова графіків складних функційПобудова графіків складних функцій

Побудова графПобудова графіка функціїіка функції y = - f(x)y = - f(x)

1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = f(x)y = f(x) 2. Відобразити побудований графік симетрично відносно осі 2. Відобразити побудований графік симетрично відносно осі OOххДістанемо графік функціїДістанемо графік функції y = - f(x)y = - f(x)

Побудувати графПобудувати графік функції ік функції y = - xy = - x22

1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = xy = x22

2. Відобразити побудований графік симетрично відносно2. Відобразити побудований графік симетрично відносно осі осі OOхх

Дістанемо графік функціїДістанемо графік функції y = - xy = - x22

Побудова графПобудова графіка функціїіка функції y =y = f(f(--x)x)

1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = f(x)y = f(x) 2. Відобразити побудований графік симетрично відносно осі 2. Відобразити побудований графік симетрично відносно осі OOууДістанемо графік функціїДістанемо графік функції y = f(y = f(--x)x)

Побудувати графПобудувати графік функції ік функції

1. Побудувати графік1. Побудувати графік

2. Відобразити побудований графік симетрично відносно2. Відобразити побудований графік симетрично відносно осі осі OyOy

Дістанемо графік функціїДістанемо графік функції

ху ху

ху

ху

ху

Побудова графПобудова графіка функціїіка функції y = f(|x|)y = f(|x|)

1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = f(x)y = f(x), для х, для х≥0≥0 2. Відобразити побудований графік симетрично відносно осі 2. Відобразити побудований графік симетрично відносно осі OyOyОбОб’’єднання цих графіків є графіком функціїєднання цих графіків є графіком функції y = f(|x|)y = f(|x|)

Побудувати графПобудувати графік функціїік функції

1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = 2/xy = 2/x, для , для x>0x>0

2. Відобразити побудований графік симетрично відносно2. Відобразити побудований графік симетрично відносно осі осі OyOy

ОбОб’’єднання цих графіків є графіком функціїєднання цих графіків є графіком функції y = 2/|x|y = 2/|x|

ху

2

Побудова графПобудова графіка функціїіка функції

y y = = ||f(x)f(x)|| 1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = f(x)y = f(x) 2. Відобразити симетрично відносно осі 2. Відобразити симетрично відносно осі OOх частину, нижчу від осі Охх частину, нижчу від осі ОхГрафік, що знаходиться над віссю Ох, є графіком функціїГрафік, що знаходиться над віссю Ох, є графіком функції y = y = ||f(x)f(x)||

Побудувати графПобудувати графік функції ік функції

y = y = ||22xx+1+1|| 1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = y = 2х + 12х + 1

2. Відобразити симетрично відносно2. Відобразити симетрично відносно осі осі OOх частину, нижчу від осі Охх частину, нижчу від осі Ох

Графік, що знаходиться над віссю Ох, є графіком функції Графік, що знаходиться над віссю Ох, є графіком функції y y = = ||22 x x+1+1||

Побудова графПобудова графіка функціїіка функції y = f(x)y = f(x) ±± b, b, де де b > 0b > 0

1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = f(x)y = f(x) 2. Паралельно перенести побудований графік у напрямі осі Оу 2. Паралельно перенести побудований графік у напрямі осі Оу

вгору на вгору на b b одиниць одиниць (дістанемо графік (дістанемо графік у = у = f(x) + b, b f(x) + b, b > 0> 0),), і вниз на і вниз на bb одиниць одиниць

( дістанемо графік ( дістанемо графік у = у = f(x) f(x) -- b, b b, b > 0> 0))

Побудувати графПобудувати графік функції ік функції y = xy = x22 + 3 + 3

1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = xy = x22

2. Паралельно перенести побудований графік вгору на 3 одиниці2. Паралельно перенести побудований графік вгору на 3 одиниці

Дістанемо графік функціїДістанемо графік функції y = y = xx22 + 3 + 3

Побудувати графПобудувати графік функції ік функції y = xy = x22 - 2 - 2

1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = xy = x22

2. Паралельно перенести побудований графік вниз на 2 одиниці2. Паралельно перенести побудований графік вниз на 2 одиниці

Дістанемо графік функціїДістанемо графік функції y = xy = x22 - 2- 2

Побудова графПобудова графіка функціїіка функції y = f(xy = f(x ±± aa)), де а , де а >> 00

1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = f(x)y = f(x) 2. Паралельно перенести побудований графік у напрямі осі Ох 2. Паралельно перенести побудований графік у напрямі осі Ох

вправо на а одиниць вправо на а одиниць (дістанемо графік функції (дістанемо графік функції у = у = f(xf(x -- aa), а), а > 0 > 0),), і вліво на а одиниць і вліво на а одиниць (дістанемо графік фунції (дістанемо графік фунції у = у = f(x f(x ++ a), a > 0 a), a > 0 ))

Побудувати графПобудувати графік функції ік функції y = (x – 2)y = (x – 2)22

1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = xy = x22

2. Паралельно перенести побудований графік вправо на 2 одиниці2. Паралельно перенести побудований графік вправо на 2 одиниці

Дістанемо графік функціїДістанемо графік функції y = y = ((xx – 2) – 2)22

Побудувати графПобудувати графік функції ік функції y = y = ((xx + 3) + 3)22

1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = xy = x22

2. Паралельно перенести побудований графік вліво на 3 одиниці2. Паралельно перенести побудований графік вліво на 3 одиниці

Дістанемо графік функціїДістанемо графік функції y = y = ((xx + 3) + 3)22

Побудова графПобудова графіка функціїіка функції y = y = а а f(x)f(x), де а , де а >> 00

1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = f(x)y = f(x) 2. Розтягти його в а разів від осі Ох, якщо а 2. Розтягти його в а разів від осі Ох, якщо а > > 1 1 (дістанемо графік функції (дістанемо графік функції у = у = a a · · f(xf(x), а), а > > 11),), і стиснути до осі Ох в 1/а разів, якщо 0і стиснути до осі Ох в 1/а разів, якщо 0 < a < 1 < a < 1 (дістанемо графік функції (дістанемо графік функції у = у = a a · · f(x), 0 < a < 1 f(x), 0 < a < 1 ))

Побудувати графПобудувати графік функції ік функції y = y = 3 3 cos x cos x

1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = cos xy = cos x

2. Розтягти його в 3 рази від осі Ох2. Розтягти його в 3 рази від осі Ох

Дістанемо графік функціїДістанемо графік функції y = y = 3 3 cos xcos x

Побудувати графПобудувати графік функції ік функції

y = 0,5y = 0,5 cos xcos x 1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = cos xy = cos x

2. Стиснути його в 2 рази до осі Ох2. Стиснути його в 2 рази до осі Ох

Дістанемо графік функціїДістанемо графік функції y = 0,5y = 0,5 cos xcos x

Побудова графПобудова графіка функціїіка функції y = f(ax), y = f(ax), де де a > 0a > 0

1. Побудувати графік функції 1. Побудувати графік функції yy = = f(x)f(x)

2. Стиснути його до осі Оу в а разів, якщо а2. Стиснути його до осі Оу в а разів, якщо а > > 11

(дістанемо графік(дістанемо графік y = f(ax), a>1y = f(ax), a>1),),

розтягнути від осі Оу в 1/а разів, якщо 0розтягнути від осі Оу в 1/а разів, якщо 0 < < аа < < 11

(дістанемо графік (дістанемо графік y = f(ax), y = f(ax), 00 < < аа < < 11))

Побудувати графПобудувати графік функції ік функції y = sin y = sin 22x x

1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = sin xy = sin x

2. Стиснути його в 2 рази до осі Ох2. Стиснути його в 2 рази до осі Ох

Дістанемо графік функціїДістанемо графік функції y = sin y = sin 22xx

Побудувати графПобудувати графік функціїік функції y = sin 0,5xy = sin 0,5x

1. Побудувати графік1. Побудувати графік y = sin xy = sin x 2. Розтягнути його в 2 рази від осі Оу2. Розтягнути його в 2 рази від осі Оу Дістанемо графік функціїДістанемо графік функції y = sin 0,5xy = sin 0,5x

Побудова графПобудова графіків складних функцій іків складних функцій

Зауваження 1Зауваження 1 Під час побудови складних функцій основні перетворення можна Під час побудови складних функцій основні перетворення можна

виконувати в будь-якій послідовності. І все-таки паралельні виконувати в будь-якій послідовності. І все-таки паралельні перенесення робити останніми, оскільки стиснення і розтягування перенесення робити останніми, оскільки стиснення і розтягування побудованих графіків зручніше виконувати від початку координат.побудованих графіків зручніше виконувати від початку координат.

Зауваження 2Зауваження 2 Перш ніж виконувати паралельне перенесення вздовж осі Ох, Перш ніж виконувати паралельне перенесення вздовж осі Ох,

треба перевірити, чи дорівнює одиниці у формулі функції коефіцієнт треба перевірити, чи дорівнює одиниці у формулі функції коефіцієнт біля аргументу х. Якщо ні, то слід перетворити формулу на біля аргументу х. Якщо ні, то слід перетворити формулу на потрібний вигляд.потрібний вигляд.

ПобудуваПобудува графграфіка функції іка функції y =y = 1 – 2 1 – 2 sin 2xsin 2x

1. 1. Побудувати графік функції Побудувати графік функції у = у = sin xsin x2. 2. Побудувати графік функції Побудувати графік функції у = у = sin 2xsin 2x3. 3. Побудувати графік функції Побудувати графік функції у = у = 2 sin 2x2 sin 2x4. 4. Побудувати графік функції Побудувати графік функції у = у = -2 sin 2x-2 sin 2x5. 5. Побудувати графік функції Побудувати графік функції у = у = 1 – 2 sin 2x1 – 2 sin 2x