Upload
xia
View
92
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ. Выполнила: ученица 9 класса «В» МОУСОШ № 32 Иванова Софья Андрияновна Учитель: Стаханова Полина Александровна. Цель: исследование метода вспомогательной окружности и его свойств, применение данного метода при решении задач. Методы исследования: - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
L/O/G/O
МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ.
МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ.
Выполнила: ученица 9 класса «В» МОУСОШ № 32 Иванова Софья Андрияновна
Учитель: Стаханова Полина Александровна.
Цель: исследование метода вспомогательной окружности и его свойств, применение данного метода при решении задач.
Цель: исследование метода вспомогательной окружности и его свойств, применение данного метода при решении задач.
Методы исследования:• 1.Изучение теории по вспомогательной окружности
• 2. Доказательство признаков задач, которые могут привести к
применению вспомогательной окружности
• 3. Установление связи между методом вспомогательной окружности и
решением задач
• 4. Выполнение практической части.
Вспомогательная окружность - одно из наиболее эстетичных дополнительных построений.
Метод вспомогательной окружности заключается в том, что если геометрическая фигура (многоугольник, треугольник, квадрат и т.п.) имеет ряд конкретных признаков, то вокруг неё можно описать окружность, что значительно облегчит решение ряда задач.
Докажем признаки при которых вокруг многоугольников можно описать окружность:Докажем признаки при которых вокруг многоугольников можно описать окружность:
Первый признак:
Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то вокруг него можно описать окружность.
Второй признак:
Если точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, причём АВD= ACD, то точки A, B, C, D принадлежат одной окружности.
Третий признак:
Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
a + b = c + d.
Углы, связанные с окружностью. Углы, связанные с окружностью.
Угол с вершиной внутри круга равен полусумме дуг, заключенных между сторонами угла.
2
Угол с вершиной вне круга равен полуразности дуг, заключенных между сторонами угла.
2
Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, равен половине дуги, заключенной между ними.Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, равен половине дуги, заключенной между ними.
2
Отрезки, связанные с окружностью.Отрезки, связанные с окружностью.
Радиус перпендикулярен хорде тогда и только тогда, когда он проходит через ее середину.
O
Равные хорды стягивают равные дуги.
CDAB
O
A B
C
D
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
O
A C
D
Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.
dcba
a
bc
d
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
BDBCAB 2
AB
C
D
Задача№4:
Расстояние между основаниями двух высот ВМ и BN ромба ABCD вдвое меньше диагонали BD. Найдите углы ромба.
Первый случай:
Если угол В - тупой1.Вокруг ABCD- можно описать окружность.
2. BD- диаметр
3.так как 2MN= BD=> MN=R(где R- радиус).
4.∆MON-равносторонний
Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.
Практическая часть: Решение задач с помощью метода вспомогательной окружности.Практическая часть: Решение задач с помощью метода вспомогательной окружности.
Задача№1:
Дан прямоугольный треугольник АВС, С= 90°. На катете ВС выбрана произвольная точка М. Из точки М проведён перпендикуляр МN на гипотенузу АВ. Докажите, что ANC= AMC.
Задача№2:
В прямоугольник ABCD вписан равносторонний треугольник АРК так, что вершина К лежит на стороне ВС, а Р- на CD. КН- высота этого треугольника. Докажите, что треугольник ВНС – равносторонний.
АМ
a
b
В
С
1.Вокруг АВМС можно описать окружность;
3.АМ -диаметр
sin2
ВСR
cos222 abbaBC
sin2
cos222 abbaR
sin
cos*22
22 abbaRAM
Задача№3:Дан угол α с вершиной в точке А и точка М внутри угла. В и С- основания
перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла. МВ= a, МС= b. Найдите АМ.
Задача№3:Дан угол α с вершиной в точке А и точка М внутри угла. В и С- основания
перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла. МВ= a, МС= b. Найдите АМ.
Задача№4:
Расстояние между основаниями двух высот ВМ и BN ромба ABCD вдвое меньше диагонали BD. Найдите углы ромба.
Первый случай:
Если угол В - тупой1.Вокруг ABCD- можно описать окружность.
2. BD- диаметр
3.так как 2MN= BD=> MN=R(где R- радиус).
4.∆MON-равносторонний
Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.
Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.
Второй случай:
Если угол В – тупой.Второй случай:
Если угол В – тупой.
Задача№5:
Определить площадь трапеции, у которой длины оснований равны 10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.
1. вокруг ABCD можно описать окружность.
2. AD- диаметр; R=13
3.трапеция равнобедренная, т. к. вокруг неё можно описать окружность.
HD= 26-18=8.
СН= =12
S тр. = =216
Задача №7(теорема о квадрате биссектрисы):
Доказать, что квадрат биссектрисы равен разности произведений сторон содержащих её, и отрезков стороны на которые делит биссектриса сторону на которую падает.
R= =
Задача№8(вспомогательная):
Дан треугольник АВС, СС1 перпендикулярна стороне АВ, АА1 перпендикулярна стороне ВС. Найти чему равен радиус?
Задача№6:
ABCD- параллелограмм, точка О лежит внутри параллелограмма, так что угол AOD равен углу OCD. Доказать, что угол СВО равен углу CDO.
Задача№11(задача Брахмагупта):
Докажите справедливость формулы для треугольника АВС: b*c=h*2R.
Задача № 9:
В параллелограмме АВСD проведены высоты ВN и ВМ. Известно, что МN=15, ВD=17. Найти расстояние от точки В до точки Н – точки пересечения высот треугольника ВМN.
А
В С
DN
M
А
В С
DN
MНМ1
N1
L/O/G/O
“ Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою”.
И.Ф. Шарыгин
“ Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою”.
И.Ф. Шарыгин
www.themegallery.com