Геометрический метод решения задач ЛП

Юдина Наталья Алексеевна

Курганова Наталья Александровна

Алгоритм решения задачи ЛП

• С учетом системы ограничений строим область допустимых решений

• Строим вектор С =(с1, с2) – наискорейшего возрастания целевой функции.

• Проводим произвольную линию уровня• Определяем оптимальный план и

экстремальное значение целевой функции.

Рассмотрим реализацию метода на следующем примере:

3

,33

,623

1

21

21

x

xx

xx

max22)( 21 xxxf

Построение области допустимых решений

2. Что на плоскости задает каждое неравенство системы ограничений?

• Как построить полуплоскость в заданной системе координат?

• Как построить прямую в заданной системе координат?

1. Что на плоскости представляет область допустимых решений?

Построение области допустимых решений

•Как построить прямую в заданной системе координат?

Построение первой прямой

Пусть х1= 0,

(1) 3 х1 – 2 х2 = – 6

Пусть х2= 0,

Координаты первой точки прямой (0; 3)

Координаты второй точки прямой (–2; 0)

3·0 – 2 х2 = – 6,

х2 = 3.

3 х1– 2 · 0 = – 6,

х1 = – 2 .

1 3 x1

x2

-2

3

7.5(1)

Построение второй прямой

Пусть х1= 0,

(2) 3 х1 + х2 = 3

Пусть х2= 0,

Координаты первой точки прямой (0; 3)

Координаты второй точки прямой (1; 0)

3·0 + х2 = 3,

х2 = 3.

3 х1+ 0 = 3,

х1 = 1 .

1 3 x1

x2

-2

3

7.5

-6

(1)

(2)

Построение третьей прямой

(3) х1= 3Что представляет собой прямая, выраженная данным уравнением?

Прямая, проходящая через точку (3;0), параллельно координатной оси ОX2.

1 3 x1

x2

-2

3

7.5

-6

(1)

(2)(3)

Построение области допустимых решений

• Как выбрать полуплоскость для каждой прямой в заданной системе координат?• Заменяя каждое ограничение равенствами, построили прямые .

Построение первой полуплоскости

Выбираем точки А(-2; 3) и В(0;0), принадлежащие разным полуплоскостям.

(1) 3 х1 – 2 х2 – 6

А(-2; 3)

3·(-2) - 2·3 -6

-12 -6

(неверно)

B(0; 0)

3·0 - 2·0 -6

0 -6

(верно)

1 3 x1

x2

-2

3

7.5(1)

A(-2;3)

B(0;0)-12 -6 0 -6

Построение второй полуплоскости

(2) 3 х1 + х2 3Выбираем точки А(3; 3) и В(0;0), принадлежащие разным полуплоскостям.

А(3; 3)

3·3 + 3 3

12 3

(верно)

B(0; 0)

3·0 + 0 3

0 3

(неверно)

1 3 x1

x2

-2

3

7.5(1)

B(0;0)

A(3; 3)

(2)

12 3

0 3

Построение третьей полуплоскости

(3) х1 3

Выбираем точки А(4; 3) и В(0;0), принадлежащие разным полуплоскостям.

А(4; 3)

4 3

(неверно)

B(0; 0)

0 3

(верно)

1 3 x1

x2

-2

3

7.5(1)

B(0;0)

A(4; 3)

(2)

4 30 3

(3)

31 x1

x2

-2

3

7.5(1)

(2)(3)

Построение области допустимых решений

•По знакам неравенств определили область решений задачи.

2. Что на плоскости задает система неравенств?

• Заменяя каждое ограничение равенствами, построили прямые .

1 3 x1

x2

-2

3

7.5

-6

(2)

(1)

(3)

D

A

B

C

Область допустимых решений – выпуклый многоугольник (D).

Построение области допустимых решений

2. Получили ОДР, определенную системой ограничений задачи (заштрихованная на рисунке область ABC).

1. Какие варианты ОДР возможны?

•По знакам неравенств определили область решений задачи.• Заменяя каждое ограничение равенствами, построили прямые .

1 3 x1

x2

-2

3

7.5

-6

(2)

(1)

(3)

D

A

B

C

Область допустимых решений – выпуклый многоугольник (D).

1 x1

x2

-2

3

7.5(1)

(2)

Область допустимых решений – выпуклая многоугольная область.

D

31 x1

x2

-2

3

7.5(1)

(2)(3)

Области допустимых решений – пустое множество.

31 x1

x2

-2

F

7.5(1)

(2)(3)

Области допустимых решений – единственная точка (F).

Построение направляющего вектора

•Как на плоскости построить вектор С = (с1, с2)?

•Как на плоскости построить линии уровня целевой функции?

1. В чем заключается геометрическая интерпретация целевой функции?

Построение направляющего вектора

max22)( 21 xxxf

С = (2; 2) – вектор наискорейшего возрастания

целевой функции.

Всегда началом вектора является точка О(0; 0)!

1 3 x1

x2

-2

3

7.5

-6

(2)

(1)

(3)

D

A

B

C

2

2

1

С = (2;2)

Построение линии уровня

max22)( 21 xxxf

А = (- 2; 2) – одна точка линии уровня.

В = (0; 0) – вторая точка линии уровня.

1 3 x1

x2

-2

3

7.5

-6

D

A

B

C

2

2

1

-2

Линия уровня

Определение оптимального плана

•Как найти точку выхода?

•Как найти координаты точки выхода?

1. В чем заключается геометрическая интерпретация нахождения оптимального плана?

1 3 x1

x2

-2

3

7.5

-6

D

A

B

C

2

2

1

-2

В – точка выхода

1 3 x1

x2

-2

3

7.5

-6

(2)

(1)

(3)

A

B

C

В = (1) (3)

3

,623

1

21

x

xx

В = (3; 7,5)

Оптимальный план X = (3; 7,5)

Определение экстремального значения целевой функции

X = (3; 7,5) - оптимальный план

max22)( 21 xxxf

215.7232max f

,21max f при X = (3; 7,5).