Функция нескольких переменных.

Основные понятия.

уравнение плоскости Ax + By + Cz + D =0, С ≠0.

C

Dy

C

Bx

C

A

D

, z-есть функция 2-х

переменных x и y ; x,y

Геометрическая плоскость.Если в общем случае z = f(x,y)- определяет уравнение поверхности. Каждой паре x и y (из области D)- ставится в соответствии z.P-поверхность есть крыша, построенная над областью DЗакон, по которому каждой паре чисел x и y из области D, ставиться в соответствии одно значение z из E , называется функцией 2-х переменных z = f(x,y).

D- область определения функции, E- область значений функции z = f(x,y)D- область определения функции 2-х переменных представляет собой некоторое множество точек плоскостиГрафиком функции f(x,y) называется множество точек (x,y,f(x,y)) пространства, т.е. поверхность.

Полное приращение функции z = f(x,y) в точке M(x,y) определяется формулами:

),(),( yxfyxxfzx

),(),( yxfyyxfzy

Число A называется пределом функции z = f(x,y), при M(x,y)

стремящимся к точке ),( 000 yxM, если для всех ξ >0 существует такое δ >0, что при всех M, расстояние которых до точки

0M меньше f, т.е.

0MM <f; выполняется неравенство AMf )(

Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке ),( 000 yxM, если выполняется условие

),(),(lim 00, 00

yxfyxfyyxx

.

< ξ

Частные производные функции нескольких переменных. Полные дифференциалы.Для функции z = f(x,y) частные производные в точке M(x,y) по x и по y соответственно определяются формулами

x

yxfyxxfyxfz

x

zx

xx

),(),(lim),(

0

//

y

yxfyyxfyxfz

x

zy

yy

),(),(lim),(

0

//

При нахождении частных производных пользуются обычными правилами дифференцирования.Если полное приращение функции z = f(x,y) в точке M(x,y) представлено в виде

yQxPz ξ( 22 yx

, где P и Q постоянные в точке M(x,y), то выражение

yQxP называется полным дифференциалом функции z = f(x,y) в этой точке и обозначается через dz ;

yQxPdz

)

Теорема:

Функция, обладающая непрерывными частными производными, имеет полный дифференциал, причем

dyyxfdxyxfdz yx ),(),( //

Функция, имеющая полный дифференциал, называется дифференцируемой.

Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям. Формула для приближенных вычислений.

dzz

)( 22 yxOdzz

yyxfxyxfyxfyyxxf yx ),(),(),();( //

Частные производные и полный дифференциал высших порядков

),()(

////2

2

22 yxfzxx

z

x

zxx

),(

)(////

2

2

22 yxfzy

y

z

y

zyy

Смешанные производные:

////2 )(

xyxy fzyx

z

yx

z

////2

)(

yxyx fzx

y

z

xy

z

Теорема:

Если функция z = f(x,y) и её смешанные производные определенны в некоторой окрестности точки M(x,y) и непрерывны в этой точке, то

////yxxy zz

22

222

2

22 2 dy

y

zdxdyyx

zdx

x

zzd

Понятие о производной функции по данному направлению.

Под производной

l

z

функции z в данном направлении l

понимается предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения l при условии , что 0l , т.е.

l

z

l

z l

l

0lim

Для функции u = f(x, y, z) по аналогии получаем, что

coscoscosz

u

y

u

x

u

l

z

, где

,, - углы, образованные направлением lи осями координат.

Формула для вычисления

l

z

Градиент.

Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого служат значения частных производных этой функции, т.е.:

jy

zix

zzgrad

/

аналогично: если u = f(x, y, z), то:

kz

uj

y

uix

uugrad

Теорема.Вектор-градиент указывает на направление наискорейшего возрастания функции.

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то уравнением касательной плоскости к поверхности в её точке ),,( 0000 zyxM , где

),( 000 yxfz служит уравнение

)()(: 0),(0),(0 0000yy

y

zxx

x

zzz yxyx

)1;;( ),(),( 0000

yxyx y

z

x

zn -

нормаль плоскости

Если

sn , где s - направляющий вектор прямой,

0M Такая прямая называется нормалью к поверхности в этой точке: из геометрии получим уравнение нормали:

10

),(

0

),(

0

0000

zz

y

zyy

x

zxx

yxyx

проходящий через точку касательной плоскости.

Экстремум функции нескольких переменных.

Точка ),( 000 yxM называется точкой экстремума (максимума или

),( yxfz , если ),( 000 yxfz есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции

),( yxfz в некоторой окрестности точки ),( 000 yxM

Заметим, что )(0 zDM (области определения)

минимума) функции

Теорема.

Необходимый признак экстремума: Если точке ),( 000 yxM функция ),( yxfz

имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю или не существуют.

Теорема.Достаточное условие экстремума для функции ),( yxfz

Пусть в точке ),( 000 yxM

0x

zи 0

y

z

Вычислим

Ax

zyx

),(2

2

00 B

yx

zyx

),(

2

00

Cy

zyx

),(2

2

00

1)Если 02 BAC , то в точке ),( 000 yxM

экстремума нет

02 BAC, то заключение о существовании экстремума сделать нельзя

02 BAC , то экстремум функции ),( yxfz в точке ),( 000 yxM есть и ),( 00max yxfz , при

0,0 CA или ),( 00min yxfz , при

0,0 CA.

2)Если

3)Если

Абсолютный экстремум функции.

Теорема 1.

Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает в этой

области своих наименьшего и наибольшего значений.

Теорема 2.Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в критической

точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.

Условный экстремум.

Дано: ),( yxfz и линия на плоскости: 0),(: yxl

Задача: Найти на l такую точку ),( 000 yxM , в которой значение функции

),( yxf наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции

l , находящихся вблизи точки 0M

Такие точки называются точками условного экстремума функции ),( yxfz на линии lЯсно, что точка обычного экстремума является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. (обратное может и не быть)

Уравнение линии

0),(: yxl называется уравнением связи.

в точках линии

1)Правило нахождения условного экстремума.

Если )(xty , то ))(,( xtxfz

- получаем функцию одной переменной. Находим 0x ,

)( 00 xty

),( 000 yxfz

2)Метод множителей Лагранжа.

Если уравнение связи : 0),( yx , то составляем функцию

),(),(),,( yxyxfyx Значение и координаты точки ),( 000 yxM находятся из условий

).0(),(

0

0

илиyx

y

x

Решая систему, получим значения

0 , ),( 00 yx

, с помощью достаточного условия экстремума в точке

Надо исследовать функцию

),(),(),( 0 yxyxfyx

),( 000 yxM