1

★ 前回までの復習　○無衝突自己重力多体系

　○無衝突ボルツマン方程式　　　 ○　定常解（平衡解）は？ (strong)Jeans 定理　　　積分量　一方、　（巨大）楕円銀河：共通な特徴　　　定常状態

か？　＊光度分布　＊三軸不等楕円体　＊速度分散の非等方性　　しかし、二体散乱は効いていない　　　　　　　 violent relaxation 　 Lynden-Bell 分布？　　　　　　質量発散、数値実験結果とは合わない　　　

　

2

★ ３軸不等楕円銀河の力学構造の構築　　 Lynden-Bell 分布でないとすると、実際は　　どんな力学構造をしているのだろうか？　◎３軸不等かつ速度分散が非等方

　　　　　　　第３積分の存在！

3

従って、非等方　　　　　　 E 以外の積分あり（２つ）　　　　　　しかも、軸対称ではないので、角運動量で

はない、　　　　　　積分　　◎積分量３つ　　　　規則的軌道 (regular orbit) で　　　　　　　　　　　　　　　構成されているはず

等方

に積分なし）オス（エネルギー以外もし、エルゴード的カ

vdvfvvdEfvvEf

322322

2

1

),,( 321 IIIf

4

　★まとめると、　　三軸不等楕円体　　　ほとんど規則的な軌道で　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　構成されているはず

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　速度分散は等方に　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　なってしまう　　 regular orbits で構成　　Ｓｃｈｗａｒ z ｓｃｈｉｌｄ： regular orbits によって、定常的　　　　　　　　　　　　　　な三軸不等楕円ポテンシャルを　　　　　　　　　　　　　　無矛盾に構築可能　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

)(

)()(

:,, ),,(

2

322

321321

VEE

VdEfViViEffif

IIIIIIff

積分量

5

★Schwarzshild の self-consistent model

Schwarzshild(1979)

＊はじめて、３軸不等 (triaxial) ポテンシャル中での定常状態の

　　存在を示した。　

2/32

222

2222

1)(

/3)(

)2/(2)()(,,

RRF

RYXRH

RYXZRGRFZYX

　 　 　 　 　 　

仮定した密度分布：

6

★ 手法

◎ρ の構成

　同じものができるか？

　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　

の構成算番目の粒子の軌道を計

)(),(

eq.)(Poisson given: tritri

tvtr

i

ii

という問題に帰着。

　 　 が存在するか？　となる

従って、

滞在時間番目のグリッドにいる番目の粒子が、

における密度

iiC

jiDiCr

rjiD

i

rr

N

ij

j

jj

for0

,

),(

j

:

1

i

j

7

◎ これは何をやっていることに対応するか？Cf. ２次元系（１自由度系）

：分布関数　 　

　滞在時間：大

を訪問で度々違った

が変化しないが少し違ってもである位置：小　

：大　 　

滞在時間

）を粒子が代表積分量１つのトーラス（ある

i

j

j

i

jjj

IfiC

rv

IvrI

v

I

v

I

v

II

dIrI

vIfdvvrfr

)(weight

if

,

1

8

★ 結果　　 regular orbit(box orbit と tube orbit) の　　組み合わせで、定常状態の存在を示す　　ことができた

9

★ その他の場合

　○ figure rotation がある場合　○軸比を変化　○ポテンシャルの形を変化　 Heisler et al.(1982), Clearly(1989),Martinet et al.(1988) など

　　様々な場合に軌道の安定性と分岐構造が解析されている。

10

★ 解析的に解ける場合　変数分離型　 Stackel potential

* ２次元の場合

　　　

vu

vVuUvu

vu

ppH

vu

vu

22

222

22

cossinh,

,)cos(sinh2

:,

：定数　 　

　 楕円座標

11

第２積分：

momentumamgular dgeneralize2

1

cos,sinh:0

cossinh

2cos

2sinh

,,,

2

22

2

22

2

22

2

22

2

　：

）　　 　 軸対称に帰着（

I

LI

vru

vu

Up

vVp

u

ppvuI

z

uv

vu

12

★ その後の発展　　中心： core 　 cusp がある場合　　 Merritt&Fridman(1996), Merritt(1996)

　　 　　

　 　

　 　

　 　

による観測

cuspweak :1,cusp strong:2

,1

sellipticalbrighter for

sellipticalfainer for

HST

2

2

2

2

2

224

0

1

2

c

z

b

y

a

xmmmm

r

r

13

★ 結果

　○中心部ではカオスが dominate 。　　　ただし、 weak cusp の場合の方がゆっくりと拡散。　○ strong, weak cusp いずれの場合も regular orbit のみ

では　　 self-consistent モデルを構築できない　○ stochastic orbit を入れれば構築できる　　　　　　　“準平衡”（時間が経つと変化）　○ fully mixed stochastic orbit を中心部で使う。　　しかし、 strong ではできない。＊もし、 strong cusp の存在が事実 triaxial ではなく、 spheroid であろう

14

★Schwarzshild 法の問題点

　　定常解の存在は分かるが・・・・・

　　　　　　　　唯一性？　　　　　　　　大局的な安定性？

　実際は、どういう状態が選ばれやすいのか？

＊様々なモデル作り（ template) に適しているかも

15

★ まとめと問題提起　　★ Violent Relaxation 位相空間のミキシング　　　　　　　　　　　　　　　　　　 カオス　　★３体問題：カオス　　　大自由度系は　　　　　　　　　　　　　　　　　もっと複雑？！

　　★三軸不等楕円体　　　　規則的軌道で構成

　　　　　　　　　　　　　矛盾？？　この二面性はどう説明されるのだろうか？

実は、ハミルトン系のカオス、エルゴード性とも関連　　　　　　　　　　　　　　　

16

★ ハミルトン系のカオスと安定カオス★ カオスとは？　　完全可積分系 　　カオス★ 完全可積分系

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　

　　　孤立積分：Ｎ個の保存量　　はポアッソン括弧に　　　　　　　　　　対して互いに包含的である

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

)(

const.

: )(

0

0

0

II

H

IH

I

IIHH

ii

i

ii

i

：角変数　作用変数、

tt iii )0()(

iI

jiII ji , allfor 0 ,

17

　　例：１次元調和振動子

ｑ

ｐ

Ｊ １Ｊ ２

φ

EpdqQPJ

JH

JQ

JP

QPH

qmQm

pP

qm

m

pH

)(2

12

,

2,2cos

)(2

,

22

22

22

222

sin

18

★★ カオスの特徴と定量的判定　◎特徴　・非周期的運動　　　　　　 ・初期条件のずれが指数関数的に拡大　　　　予測困難　◎定量化　 Lyapunov exponent: 位相空間上での軌道

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

t

iidt

N

ii

jj

tXj

ii

N

edtd

eted

etd

tet

txetd

xx

F

dt

xd

tXFdt

tXd

txtxtxtX

)0(~)(0

),(),0(

),(1),(

)(),(

),()(

))(),(),(()(

0)0(,

2/1

1

2

)(

21

0

　 　 　不安定

lnlim

ベクトルでのある一つの単位

におけるは、space

tangent)0(0Xe

19

ポアンカレ切断面

20

ポアンカレ写像

21

★ 可積分系 (regular system)

　

非可積分系　 　 *KAM トーラスの存在

10

0

0

0

0

HHH

I

H

HI

H

　摂動が加わる：　 　 　 　 　

ン可積分なハミルトニア

22

Henon-Heiles 系のポアンカレ写像

1213

1

2

1

2

1 322

21

22

21

22

21 　 　qqqqqppH

23

★★ 安定カオス安定カオス

　　◎大きく分けて２種類のカオス　　　・ ergodic chaos

・ stable chaos

カオスであっても長時間、あたかも　　　“ regular” のようにみえる　　　＊ある場合は、位相空間での残存トーラスの　　　　　複雑な自己相似構造に起因

24

★★ 安定カオスの例　　　　◎ Stagnant motion Y.Aizawa etal.(1989)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Stagnant layerStagnant layer KAM （ or cantor) トーラスの周りを　　　　　　　　　　　　　　　　　長時間まとわりつく　　　　　　　　　　　　　　　　　＊カオスであってもあたかも　　　　　　　　　　　　　　　　　“ regular” のようにみえる

　　　　　　　　　　　　　　◎残存トーラスのフラクタル構造　　　

　　・・ pausing time T:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 long time tail correlation! 　

　　

stagnant layer

KAMエ ル ゴ ー ド

領 域

)20()( TTP

25

トーラスのフラクタル構造

26

★ 問題提起

★ “ 安定カオス”　　　　　・長期的にトーラス付近に　　　　　　　　　　　　　　　　まとわりつく　　　　　　　　　　　　　 ・状態の遷移　　　　　　　　　　　　　　 　・滞在時間の分布　　　ベキ分布　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　トーラスのフラクタル構造　　自己重力多体系でもみられないだろうか？　　＊楕円銀河の力学構造の二面性を説明可能か！？　　　　カオスであり、かつ regular になっている　　

27

★ 大自由度系での緩和と mixing （混合性）

　　カオス：少数自由度でも複雑な運動　　　　熱平衡化

　　大自由度系：自由度を増やす　　　ノイズを加える　　　　　　　　　　　　　　　熱平衡化しやすいと期待　　　系のサイズＮ　　　　∞　の時に、 KAM トーラスの　　　体積は０になるのか？

　　◎大自由度系の保存系は熱平衡になるしかないか？　　◎カオスと regular 領域の混在する系での緩和、　　　熱平衡化に関しては未開拓　

　　　　　　　　　

28

§8 ．自己重力多体系の緩和過程　 8 －１　緩和過程と混合性　

　　 Relaxation Process of Normal Gas(Liquid) on the Ground　 Relaxation:approach to the thermal equilibrium 　 (“thermalization”: 熱平衡化 ) 　　　　　　　　　（熱平衡） 　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 the maximum entropy state 　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 thermal equilibrium 　　　　　 (Maxwell-Boltzmann distribution) microcanonical distribution （ミクロカノニカル分布） We can see this thermalized state at any time after relaxation.

29

★Microscopic dynamics is described as a trajectory

in the Γ space(2×D×N-dimensional phase space) D:spatial dimension N:number of particles

Γ space Relaxation process = Mixing （混合性） ===>Ergodicity （エルゴード性）　　　　　 In the mixing system, a small but finite part of the phase space spread over a whole ergodic region by means of coarse graining .

　　　　 Chaos N>>1 random collision information loss

Relaxation Time τ ～ tKS=1/hKS

(hKS:Kolmogorov-Sinai(KS)entropy)

30

★ エルゴード性と混合性　○エルゴード性：物理量の長時間平均＝集団平均

しかし、　エルゴードだからといっても、混合性ではなく、　　緩和と関係ない場合もある。

　　例：１個の調和振動子：　　　　　エルゴードであるが、しかし、緩和とは　　　　　関係ない

　　布 等エネルギー面上　 ミクロカノニカル分　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　

SE E

T

T

xdxfxdxxff

dttxfT

f

)()()()()(

),(1

lim0

31

★ 混合性：熱平衡に近づくために、エルゴードより強い条件

　 ◎混合系　　　　　エルゴード系　　　（証明は、参考文献の中野・服部の text を参照）

　　　　　　　　位相空間 (Γ 空間）での phase mixing による

　　　　　　　　分布の広がり

　　　　　　　　カオスの発生メカニズムとも対応

32

★ 混合性の定義A B

φ t

AB

の割合全体の中の

ある割合がの中に

長時間後、

は、これが意味するところ

合性の必要十分。以下を満たすときが混の測度が、との共通部分このとき、

とする。によって時間進化するが力学進化を考える。部分空間位相空間の中の可能な

AAAB

B

BA

BABAlim

BAB

A

BA,

t

tt

t

t

33

★ 熱平衡状態への緩和について

　　　混合性　　　　　　　　相関の消滅　　　　　　　　　　　　　　　　（初期情報の消滅）　◎ Mixing と粗視化　　 mixing

( ほぼ全域から）　　軌道が入ってくる　　　　　＋　　粗視化　　（非可逆性が入る！）

Γ 空間の E= 一定面上でどこでも同じ　　“安定”（平衡）

0

34

つまり、　　ミクロカノニカル分布になる　　

)/1,(

lnln

E

),(

:,,,

CpdxdEH

pdxdkkS

pxf

CEpxHCpxN

　 　

すべての分布の中で）一定面上で与えらるエントロピーは極大（

　 　 　 　 　

ミクロカノニカル分布

一定　 　 　

35

★緩和時間と KS エントロピー　　◎ Kolmogorov-Sinai(KS) エントロピー

　◎物理的意味　　　初期での little phase volume

時刻 t後　　　 mixing する time scale ：その系で、現在までにある巨視的物理量の測定をあらかじめ　　　　　　　　　どんなに多数回測れたとしても、現在の値は確定しない。

　

系の自由度）（

　 リアプノフ指数　

　 　　 　 　

エントロピーハミルトン系の

:N

:

0:for

KS

2,,2,1 Nii

ii

iKS ih

0 thKSt exp0

1 KSmix h

36

Problem: How is the relaxation process in the self - gravitating system?　　 Is the relaxation process similar to the normal 　　 gas? 　　 In general, Ｎ≧３ 　　　　　 Chaos If N>>1 Strong Chaos?? Strong Mixing? Relaxation is strengthened?

37

8 －２　１次元重力シート多体系 ------- Sheet Systems------- N identical plane-parallel mass sheets, each of which has uniform mass

density and infinite in extent in the vertical direction of the moving

　★ Advantages

　○ phase space is compact, which makes the system tractable in considering ergodicity ○the evolution of the system can be followed numerically with a good　　　　　 accuracy. ○we can study the properties induced by long range forces even in the 1-D systems.

) 2(2

:nHamiltonia 2

1

2

ji

ij

N

ii

xxGmm

H v

38

８－３　緩和過程とカオス的遍歴 Complicated approach to “the ｒ malization”

Initial state 　　 (virial equilibrium: ビリアル平衡 ,τ ～ tc ） 　 Microscopic relaxation: 　 energy equipartition ( エネルギー等分配） 　　　“ quasi-equilibrium state(QE)( 準平衡状態）” τ ～Ntc 　

　　　　　　　　 Macroscopic relaxation: transit state(TS) e.g. τ ～ 104Ntc 　（遷移状態）

QE TS QE ---------

　 thermal equilibrium(long time average=ensemble average)

　　　　　　 microcanonical distribution （ミクロカノニカル分

布） τ ～ 106Ntc (tc: crossing time, the typical time in which a sheet crosses the system)

39

★初期条件　例えば、　　 Water Bag と等温分布（ Isothermal)

　　　　 Tsuchiya etal. Physical Review E 50,2607(1994)

40

★ Degree of deviation from equipartition 　　　　 (if fluctuation behaves in the same manner as thermal noise--->

N=64

2/1

1

20

10 )(

1)(

N

ii t

Nt

2/1)( tt

tdtt

tt

it

it

o 0

1limlim

41

★degree of deviation や（有限の）リアプノフ指数の

　　時間進化

　　

42

★ エネルギー分布関数　　 Microscopic relaxation 直後　　

43

★Microscopic relaxation ○ エネルギー等分配が成立 ○ エネルギー分布関数は、ほとんど変化せず。　　“準平衡状態” ○緩和時間 τ～ Ntc

★Macroscopic relaxation　○ degree of deviation やリアプノフ指数の値が　　　変化　○エネルギー分布関数が変化　　　“等温分布”に“似た”状態（遷移状態）に移行

　○緩和時間 τ～ 104Ntc

44

★ エネルギー分布関数　　 Macroscopic relaxation 直後

45

★Macroscopic relaxation 以後について　この緩和で、“等温分布”にいったものと思ったが。。。　実は、これは、カオス的遍歴の始まりに過ぎなかった。◎エネルギー分布関数がもとに“近い”状態にもどった。

46

★Chaotic Itinerancy( カオス的遍歴）　　 e.g.

　　　　 :degree of deviation from equipartition

(if fluctuation behaves in the same manner as thermal noise--->

N=64 N=32

averaged

in time

over the

interval

2/1

1

20

10 )(

1)(

N

ii t

Nt

2/1)( tt

tdtt

tt

it

it

o 0

1limlim

3102t5102t

47

★ 準平衡状態 (quasi-equilibrium state) と　　遷移状態 (transit state)

Life time の分布

48

★ 準平衡状態と遷移状態の遷移メカニズム 　◎遷移状態：１個の粒子が high energy をもつ　　　◎位相空間：　外側にある粒子の“回転”　　　　　　　　　　　　　遅れるーー＞エネルギーをもらう　　　　　　　　　　　　　早くなるーー＞エネルギーを失う　

　　　　　準平衡状態　　　　　　　　遷移状態への移行直前　　　　

49

★Remarks

1. Complicated relaxation process

Chaotic Itinerancy :

Probability distribution of the life-time of TS:

　　　　　　　　　　　　　　　　 (QE: )

Fractal structures of the barriers

in Γspace

2.Time scale of relaxation

What determines the time scale?

Size of the largest barrier?

2)( P

)/1(

/1,/1

minmicro

maxKSKSth

Lyaph

5.0)( P

50

★ 時間尺度の違い

　　

dyn

dyn

dynKS

dynrel

tN

tN

tNh

Nt

1min

5

11

max

5

41

610

51

★ 固有ベクトル（不安定になる方向性）

　　　　　　

　　

に対応max に対応min

52

N ∞ , Chaos Regular(≠Normal Gas) Lyapunov exponent （リアプノフ指数） :

　　　

λ> 0 chaos

N=2:regular, N=3:chaos ===> N ～ 20===> N ∞

most complex regular “Close encounter” (correlation of 2-body) vs. Mean force Chaos Regular (integrable system ：可積分系 ) N:smaller effective vs. N:larger effective

)1for (5/1 NN

d(0)

d(t)ln

1lim

,0)0( ttd

tedtd )0()(

53

★ カオス的遍歴についてーー＞秩序状態ーー＞乱れた状態ーー＞秩序状態ーーー＞例：　乱流　　　非平衡神経回路モデル　　　 GCM （ Globaly Coupled Map ）

　　　個々の変数のカオス性と平均場による　　　引き込みとの競合　　

　　マップ　例 ：ロジスティック 2

11

1)(

)1()(

axxf

jxfN

ixfixN

jnnn

54

　　　　　　　 GCM 1 次元重力シートLocal な ロジスティック　　　　　平均場の振動乱雑性　　　マップ　　　　　　　　　　　　　　 or

離散性によるカオス　　　　　　　　　　　　　　　　　平均場からのずれ　　　

　 vs

平均場　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平均項　　　　　　　　　　平均重力場regular

55

★ 議論 1. Chaos vs. Regular 　 N: finite 　 Chaotic 　itinerancy 2. “Equilibrium state”

relaxed normal gas sheet system after “relaxation”

Maxwell-Boltzmann distribution Transformation!!

This system can be divided into This system cannot be divided into the independent subsytems the independent subsytems

---> “ensemble average”

3. 　 Other systems governed by long range 　　　　　　　　　　　　　　 forces e.g. Potential: 　　　　　　　　 (Ref.L.Milanovic et al. 　 phys.Rev.E57,2763(1998))

-----> slow relaxation is similar.

)5.4,5.1,1( 　　

ij xx

56

　８－４　集団運動の規則性　◎通常の気体など　　　粒子数大（大自由度）　　　　　　軌道はカオス（予測不可能）　　　　　　　しかし、　大自由度が幸いして、緩和後の巨視的な　　　系の状態を予測可能（統計力学の勝利）　◎１次元重力系　　　　○大自由度になればなるほど、カオス性は薄れる：　　　　・緩和時間が長くなる　　　　・有限の自由度では、カオスと規則性との競合により　　　　　複雑な遷移現象を起こす 　　○エルゴード性が成立し、長時間平均＝位相平均が　　　　成り立っても、系全体の分布は熱平衡分布には　　　　留まらない　

57

　★　集団運動の規則性　　＊１次元自己重力系での巨視的な状態の変化を　　　　“集団運動”と呼ぶことにする　 　◎ Chaotic Itinerancy prediction

(Transformation) Hamiltonian

　◎ Time scale of relaxation 　　　 prediction

　　 (Probability distribution

of QS and TS life time)

重力多体系における集団運動の規則性を何らかの法則で予測できないか？

58

８－５．おわりに～新しい統計力学の構築に向けて～

★ 集団運動を予測する法則は何か？　　位相空間での幾何学的、測度論的な解析が　　必要では？！　

　　　　　　　新しい“統計力学”の必要性　　　　　

59

★ ３次元自己重力系（楕円銀河など）は　どうなのか？　○長距離という性質は同等：　Ｎ　　　大で平均場が効く　＊位相空間での mixing は完全ではない（無衝突系なので　　　当然）　　　部分的な緩和ではないか？！　　　（ある特徴のみ共通）

　　　○１次元系とのポテンシャルの形の違い　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　どう反映するか？　　　　＊少数の粒子が遠方に移動し（ハローを形成）、　　　　　他の大多数はコアを形成する　 ○（巨大）楕円銀河：準平衡状態ではないか。　　　 regular orbit や安定カオス軌道が dominate かも。　　　　　　　　　本当の力学構造を知りたい　　　アストロメトリ観測

60

★今後の発展　　　　　　　　　　　　　　　理論：カオス、複雑系、新たな統計力学　　　　　　　　　　他の様々な長距離力系のモデル ３拍子　 　　実験：数値シミュレーション　　　　　　　　　　　　（スパコン、専用マシン）　　　　　　　　観測：天の川銀河のハロー、バルジ　　　　　　　　　　　　構造 　　　　　　　　　　　　　高精度アストロメトリ観測欧米の計画： GAIA(ESA) 、 SIM(NASA) ：すべて可視光

日本独自の計画　（赤外線スペースアストロメトリ（ＪＡＳＭＩＮＥ）計画、ＶＥＲＡ計画）http://www.jasmine-galaxy.org/index-j.html

61

62

参考文献 　（Ｉ） References on our work 1. T.Tsuchiya , T.Konishi and N.Gouda,

Physical Review E, 50, 2607(1994). 2. T.Tsuchiya, N.Gouda and T.Konishi, Physical Review E, 53, 2210(1996). 3.T.Tsuchiya, N.Gouda and T.Konishi, Astrophysics and Space Science, 257, 319(1998). 4. T.Tsuchiya and N.Gouda,

Physical Review E, 61, 948(2000).　 5. 　土屋俊夫、小西哲朗、郷田直輝　　　　　「重力シート多体系の緩和過程とカオス的遍歴」、　　　　　　日本物理学会誌　 1997年 10月号 783頁　　　　　6. 　郷田直輝　　　　　「自己重力多体系の物理」、数理科学 2000年 3月号 76頁（サイエンス社）

63

（ II ）重力熱的破局に関する参考文献 1. D.Lynden-Bell and R.Wood M.N.R.A.S, 138, 495(1968). 2. I.Hachisu and D.Sugimoto Progress of Theoretical Physics 60, 123(1978).　 3.　稲垣省吾　　　　　「自己重力系の熱力学的不安定性」、　　　　　　天文月報　 1978 年 3月号 72 頁　　 4.　稲垣省吾　　　　　「恒星系の重力熱的破局」、 天文月報　 1980 年 3月号 60 頁 　 5.　稲垣省吾　　　　　「留守番時代に入った球状星団の力学的進化の研究」、　　　　　　天文月報　 1989 年 10月号 252頁