《高等数学》教学课件《高等数学》教学课件

山东信息职业技术学院基础部山东信息职业技术学院基础部

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第六节 微分及其应用第六节 微分及其应用

二、微分的几何意义三、微分公式与法则四、微分在近似计算中的应用

一、微分的定义

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引例 : 问此薄片面积改变了多少 ? 0x 变到 ,0 xx 边长由设正方形面积为 A , 则

xx 02 2)( x关于△ x 的线性主部

故称为函数在 处的微分0x

0x

x

xx 02

的高阶无穷小0x 时为 x

一、微分的定义一、微分的定义

0x 时 ,

xx 0

一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其

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处的微分 ,

在点 x 处的增量可表示为则称函数 )(xfy 而 称为 xA

记作 即xAyd

定理 : 函数 在点 x 处可微的充要条件是

)( xoxA

即xxfyd )(

在点 处可微 ,

定义定义 : : 若函数若函数

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时，当 xy

则有 xdxfyd )(

从而 )(xfxdyd

导数也叫作微商

dy xx)( xdx

已知导数求微分已知微分求导数

若 则

))((limlim00 x

xoAxy

xx

A

故

)( xoxA 在点 x 处可微，

A

若)(lim

0xf

xy

x

)(xfxy )0lim(

0

x

xxxfy )(故 )()( xoxxf 线性主部

即

则

xxfyd )(

必要性 充分性

定理 : 函数 在点 x 处可微的充要条件是 即xxfyd )(

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例 1 求函数 当 x 由 1 改变到 1.01时的微分 .

2xy 解 函数的微分为dxxdy )( 2

，， 01.0101.11 dxx由已知02.001.012 dy所以例 2 求下列函数的微分：

xy sin1 ）（ xxexy 22）（解 )(sin1 xddy ）（)2(2 xxexddy ）（dxxex x )2( dxxee xx )2(

dxx)(sin xdxcos

xdx2

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二、微分的几何意义二、微分的几何意义切线纵坐标的增量

xxfdy )( 0 x tan

xx 0

x

y

o

)(xfy

0x

y

yd)()( 00 xfxxfy

实例M

NTP故 0x 时 ,

设 2

41)( xxf ,

则 x =2 时切线方程为

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三、 微分公式与法则三、 微分公式与法则

)(uvd

（二）设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数 )

vdud

vduudv

（一）基本初等函数的微分公式 ( 见 P61 表 )

例证： dxuv)( dxvuvu )(

dxdxdvuv

dxdu )( udvvdu

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例 3 设 ，求 .05ln yxe y dy

解法一 应用微分和导数的关系方程两边同时求关于 x 的导数得

01 y

yyxee yy

y

y

xyeyey

1

dxxye

yedy y

y

1

解得所以

10

例 3 设 ，求 .05ln yxe y dy

解法二 应用微分法则方程两边分别求微分得

01 dy

ydyxedxe yy

dxxye

yedy y

y

1

即所以

dxedyxey

yy )1(

11

分别可微 ,的微分为xdxuf )()( ud

udufyd )(

微分形式不变性

（三）复合函数的微分则复合函数

例 4 设例 5 求

，求2bxaxey

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例 4 设 ，求2bxaxey

解法一 dxedy bxax )(2

dxbxaxe bxax )( 22

dxebxa bxax 2

)2(

解法二 )(2bxaxeddy

)( 22

bxaxde bxax

dxebxa bxax 2

)2(

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例 5 求

解法二

解法一 dxxdy ])2[ln(sin dxxx

)2(sin2sin

1

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四、 微分在近似计算中的应用四、 微分在近似计算中的应用)()( 0 xoxxfy

当 x 很小时 ,)()( 00 xfxxfy xxf )( 0

xxfxfxxf )()()( 000

xxx 0令

使用原则 : ;)(,)()1 00 好算xfxf

.)2 0 靠近与xx

))(()()( 000 xxxfxfxf

得近似等式 :

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xx ,00 很小时 ,xffxf )0()0()(

常用近似公式 :x1很小 )x(

xxx

x1

证明 :令 )1()( xxf 得 ,1)0( f )0(f

,很小时当 x

特别当

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180d x

的近似值．解 : 设 ,sin)( xxf

取则

18029sin

6sin

6cos

21

23 )0175.0(

)180

( 29sin

例 6 求

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的近似值．解 :

24335

51

)2243(

51

)24321(3

3 )2432

511(

0048.3

xx 1)1(

例 7 计算

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为了提高球面的光洁

解 : 已知球体体积为镀铜体积为 V 在 时体积的增量

01.01

R

R RR 2401.0

1

R

R

)(cm13.0 3因此每只球需用铜约为16.113.09.8 ( g )

只球需用铜多少克 ． 估计一下 , 每度，要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,

例 8 有一批半径为 1cm 的球 ,

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内容小结内容小结1 ． 微分概念

• 微分的定义及几何意义• 可导 可微

2 ． 微分运算法则微分形式不变性 ： udufufd )()(

( u 是自变量或中间变量 )3 ． 微分的应用近似计算

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思考与练习思考与练习1. 设函数 的图形如下 , 试在图中标出的点

0x 处的 ydy , 及 ,ydy 并说明其正负 .

yd 0

xx 00x x

y

o

y 0

0yy d

21

xx eded )(arctan xe 211

xd x

x

ee

21

xdxd

sintan.3 x3sec

dxxd 2sin) (.4 Cx 2cos21

2.2.

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由方程 确定 ,

解 :方程两边求微分 ,得dxx23

当 0x 时 ,0y 由上式得 dxdyx 2

10

求dyy23 dxx3cos3 06 dy

6. 设 ,0a 且 ,nab 则n n ba 1 nan

ba

5. 设

23

P66

4 (1) ， (3 ) ， (5 ) ， (7 ) ，( 9)

作业作业

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