第四章 运筹学模型

本章重点：

线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型

及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题

1．营养配餐问题的数学模型

1 1 2min n nZ C x C x C x

),,2,1(0

,

,

,

2211

22222121

11212111

njx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

ts

j

mnmnmm

nn

nn

上式可更简洁的写为

n

jjj xCZ

1

min

),,2,1

,,2,1(0

1

nj

mix

bxa

ts

j

n

jijij

其中的常数 表示第 j 种食品的市场价格， 表示第 j 种食品含第 i 种营养的数量， 表示人或动物对第 i 种营养的最低需求量 .

jC ija

ib

2．合理配料问题的数学模型

有 m 种资源 B1 ， B2 ，…， Bm, 可用于生产 n 种代号为 A1 ， A2 ，…， An 的产品．单位产品 Aj 需用资源Bi 的数量为 aij ，获利为 Cj 单位，第 i 种资源可供给总量为 bi 个单位 . 问如何安排生产，使总利润达到最大？

设生产第 j 种产品 xj 个单位（ j=1,2,…,n ），则有

n

jjj xCz

1

max

nj

mix

bxa

ts

j

n

jijij

,,2,1

,,2,10

1

3．运输问题模型

运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量．假如问题具有 m 个产地和 n 个销地，第 i 个产地用 Ai 表示，其产量为 ai(i=1,2,… ， m) ，第 j 个销地用 Bj 表示，其销量为 bj (j=1,2,…,n) ，从 Ai 运往 Bj 的运价为 cij, 而 表示产销平衡．

m

i

n

jji ba

1 1

那么产销平衡运输问题的一般模型可以写成为

m

i

n

jijij xcZ

1 1

min

nj

mix

bx

ax

ts

ij

m

ijij

n

jiij

,,2,1

,,2,10

1

1

4．目标规划模型 某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理 . 已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为 120小时和 150 小时，每小时费用分别为 80 元和 20 元，其它数据如下表

项目 数据产品

甲车间加工（时 / 件）

乙车间加工（时 / 件）

检验销售（元 /

件）利 润

（元 / 件）

Ⅰ 2 1 50 100

Ⅱ 1 3 30 75

工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标

经与工厂总经理交谈，确定下列几条：p1: 检验和销售费每月不超过 4600 元；p2: 每月售出产品 I 不少于 50 件；p3: 两车间的生产工时充分利用（重要性权系数按两车间每小时费用比确定）；p4 ：甲车间加班不超过 20 小时；p5 ：每月售出产品Ⅱ不少于 80 件；p6 ：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参照第三优先级） .

问题分析与模型假设

模型建立 65544332211 )4(min dpdpddpdpdpz )4( 436

ddp

)6,,2,1(0,,0,

80

20

1503

1202

50

46003050

21

662

553

4421

3321

221

1121

lddxx

ddx

ddd

ddxx

ddxx

ddx

ddxx

ts

ll

5．最小树问题 一个图中若有几个顶点及其边的交替序列形成闭回路，我们就说这个图有圈；若图中所有连顶点间都有边相接，就称该图是连通的；若两个顶点间有不止一条边连接，则称该图具有多重边 . 一个图被称为是树意味着该图是连通的无圈的简单图． 在具有相同顶点的树中，总赋权数最小的树称为最小树 . 最小树的求法有两种，一种称为“避圈法”，一种是“ 破圈法”，两法各具优缺点，它们具有共同的特征——去掉图中的圈并且每次都是去掉圈中边权较大的边．

6．最短路问题的数学模型

最短路问题一般描述如下：在一个图（或者说网络）中，给定一个始点 vs 和一个终点 vt ，求 vs 到 vt 的一条路，使路长最短（即路的各边权数之和最小）．

狄克斯屈（ E.D.Dijkstra）双标号法

该法亦称双标号法，适用于所有权数均为非负（即一切 wij 表示顶点 vi 与 vj 的边的权数）的网络，能够求出网络的任一点 vs 到其它各点的最短路，为目前求这类网络最短路的最好算法． 该法在施行中，对每一个点 vj 都要赋予一个标号，并分为固定标号 P （ vj ）和临时标号 T （ vj ）两种，其含义如下： P （ vj ）——从始点 vs 到 vj 的最短路长； T （ vj ）——从始点 vs 到 vj 的最短路长上界．

开始先给始点 vs 标上 P 标号 0 ，然后检查点 vs ，对其一切关联边（ vs, vj ）的终点 vj ，给出 vj 的 T 标号 wij ；再在网络的已有 T 标号中选取最小者，把它改为 P 标号．以后每次都检查刚得到 P 标号那点，按一定规则修改其一切关联边终点的 T 标号，再在网络的所有 T标号中选取最小者并把它改为 P 标号．这样，每次都把一个 T 标号点改为 P 标号点，因为网络中总共有 n个结点，故最多只需 n-1 次就能把终点 vt改为 P 标号．这意味着已求得了 vs 到 vt 的最短路．

狄克斯屈标号法的计算步骤如下：

１ . 令 S={vs} 为固定标号点集， }{\ svVS 为临时标号

点集，再令 0)( ivP Svt ，

2. 检查点 vi ，对其一切关联边（ vi ， vj ）的终点 Sv j

计算并令

)(})(),(min{ jijij vTwvPvT

狄克斯屈标号法的计算步骤如下：

3. 从一切中选取并令)()()}(min{ rrj vTvTvT

选取相应的弧（ vi, vr ）．再令 SvSSvS rr }{\,}{

4. 若 ，则停止， 即 vs 到 vj 的最短路长，特别 即 vs 到 vt 的最短路长，而已选出的弧即给出 vs 到各点的最短路；否则令 ，返 2 ．

S )( jvP

)( tvP

ir vv 5. 若 r = t 则结束， 即为所求最短路长；否则令 ，返 2.

)( rvP

ir vv