运筹学 Operations Research

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Chapter 2 线性规划Linear Programming

2.1 LP的数学模型 Mathematical Model of LP

2.2 图解法 Graphical Method

2.3 标准型 Standard form of LP

2.4 基本概念 Basic Concepts

2.5 单纯形法 Simplex Method

2.1 2.1 数学模型数学模型

Mathematical Model Mathematical Model


【例 2.1 】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要在设备A 、 B 上加工，需要消耗材料 C 、 D ，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表2.1 所示。已知在计划期内设备的加工能力各为 200 台时，可供材料分别为 360 、 300 公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40 、 30 、 50 元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？

2.1.1 应用模型举例

2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP


产品资源

甲乙丙现有资源

设备 A 3 1 2 200

设备 B 2 2 4 200

材料 C 4 5 1 360

材料 D 2 3 5 300

利润 ( 元 / 件 ) 40 30 50

表 2.1 产品资源消耗



321 503040max xxxZ

000

300532

36054

200422

20023

321

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

，，

【解】设 x1 、 x2 、 x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量 , 则数学模型为：

产品

资源

甲

乙丙现有资源

设备 A 3 1 2 200

设备 B 2 2 4 200

材料 C 4 5 1 360

材料 D 2 3 5 300

利润 ( 元 /件 )

40 30 50

最优解 X=(50,30,10); Z=3400



【例 2.2 】某商场决定：营业员每周连续工作 5 天后连续休息 2 天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表 2.2 所示。表 2.2 营业员需要量统计表

问：商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少？

星期需要人数星期需要人数一 300 五 480

二 300 六 600

三 350 日 550

四 400

【解】设 ( j=1 ， 2 ，…， 7) 为休息 2 天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为

jx



7,,2,1,0

550

600

480

400

350

300

300

min

76543

65432

54321

74321

76321

76521

76541

7654321

jx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxxxxZ

j


星期需要人数星期需要人数一 300 五 480

二 300 六 600

三 350 日 550

四 400


1 ．解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；2 ．解决问题的约束条件约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。

线性规划数学模型的特征：

线性规划数学模型的三要素：

决策变量 ( Decision variables); 目标函数 (Objective

function);

约束条件 (Constraints);建立一个问题的线性规划模型的一般步骤：(1)确定决策变量； (2)确定目标函数； (3)确定约束条件； (4)确定变量是否有非负约束。



【例 2.3 】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5 ， 1 ， 0.7(m) ，这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为 4 m 。现在要制造 1000 辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？

【解】这是一个条材下料问题，设切口宽度为零。设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1 ， y2 ， y3, 则切割方式可用不等式 1.5y1+y2+0.7y3≤4

表示，求这个不等式关于 y1 ， y2 ， y3 的非负整数解。象这样的非负整数解共有 10 组，也就是有 10 种下料方式，如表 2.3 所示。



表 2. 3 下料方案方案规格

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 需求量

y1( 根 ) 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1000

y2 1 0 2 1 0 4 3 2 1 0 1000

y3 0 1 0 2 3 0 1 2 4 5 1000

余料 (m) 0 0.3 0.5 0.1 o.4 0 0.3 0.6 0.2 0.5

1.5y1+y2+0.7y3 ≤ 4

设 xj ( j = 1,2…,10) 为第 j 种下料方案所用圆钢的根数，则用料最少数学模型为为 ::



10,,2,1,0

100054232

10002342

100022

min

10987542

9876431

54321

10

1

jx

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxx

xZ

j

jj

方案规格

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 需求量

y1( 根 ) 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1000

y2 1 0 2 1 0 4 3 2 1 0 1000

y3 0 1 0 2 3 0 1 2 4 5 1000

余料（ m ）

0 0.3 0.5 0.1 o.4 0 0.3 0.6 0.2 0.5



注意求下料方案时，余料不能超过最短毛坯的长度；

最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案。如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。



2.1.2 线性规划的一般模型一般地，假设线性规划数学模型中 , 有 m 个约束 , 有 n 个决策变量 xj(j=1,2…,n) ，目标函数的变量系数用 cj 表示 , cj 称为价值系数。约束条件的变量系数用 aij 表示， aij 称为工艺系数。约束条件右端的常数用 bi 表示， bi 称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达式可写成

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

max(min)

( , )

( , )

( , )

0, 1,2, ,

n n

n n

n n

m m mn n m

j

Z c x c x c x

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

x j n

或或

或

L

L

L

L L L L L L L L L L L L L L L

L

L



1

1

max(min)

( , ) 1,2, ,

0, 1,2, ,

n

j jj

n

ij j ij

j

Z c x

a x b i m

x j n

或 L

L

在实际中一般 xj≥0, 但有时 xj≤0 或 xj 无符号限制。

为了书写方便，上式也可写成：


2.2 图解法 Graphical Method


图解法的步骤：1. 在直角坐标系中画出可行解集：分别画出满足每个约束包括变量非负要求的区域，其交集就是可行解集，或称可行域；；

2. 绘制目标函数图形：先过原点作一条矢量指向点 (c1,c2 ) ，矢量的方向就是目标函数值增加的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；3. 求最优解：依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。

一般地，先将目标函数直线放在可行域中：若要求最大值，则将目标函数直线沿着矢量方向移动；若要求最小值，则将目标函数直线沿着矢量的反方向移动。

2.2 图解法The Graphical Method


x1

x2

O10 20 30 40

10

20

30

40

(3,4)

(15,10) 最优解 X=(15,10)

最优值 Z=85

402 21 xx

305.1 21 xx

0,0

305.1

402

21

21

21

xx

xx

xx

例 1.4 21 43max xxZ



2 4 6 x1

x2

2

4

6

最优解 X=(3,1)

最优值 Z=5(3,1)

00

63

4

63

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

、

min Z=x1+2x2例 2. 5

(1,2)



24 6 x1

x2

2

4

6

X （ 2 ）＝（ 3,1 ）

X （ 1 ）＝（ 1,3 ）

(5,5)

00

63

4

63

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

、

min Z=5x1+5x2例 2.6

有无穷多个最优解即具有多重解 ,通解为

0≤α≤1

当 α=0.5 时Ｘ =(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5(3,1)=(2,2)



2 4 6 x1

x2

2

4

6

(1,2)

00

63

4

63

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

、

无界解 ( 无最优解 )

max Z=x1+2x2例 1.7



x1

x2

O 10 20 30 40

10

20

30

40

50

50

0,0

50

305.1

402

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

无可行解，从而无最优解。

max Z=10x1+x2例 2.8



由以上例题可知，线性规划的解有 4 种形式：

1. 有惟一最优解 ( 例 1.4 、例 1.5)

2. 有多重解 ( 例 1.6)

3. 有无界解 ( 例 1.7)

4. 无可行解 ( 例 1.8)

1 、 2情形为有最优解3 、 4情形为无最优解



4.通过图解法了解线性规划有几种解的形式；5. 作图的关键有三点： (1) 可行解区域要画正确； (2) 目标函数增加的方向不能画错； (3) 目标函数的直线怎样平行移动。

作业：教材 P33 － 34 3 、 7 (2)

下一节：线性规划的标准型


1.什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的几个应用例子；2. 线性规划数学模型的组成及其特征；3. 线性规划数学模型的一般表达式。

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