青海师范大学数学与信息科学系

第四章 运 输 问 题

§1 　运 输 模 型 §2 　运输问题的表上作业法 §3 　运输问题的进一步讨论

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一、运输问题的数学模型 设某种物品有 m 个产地 A1,A2,…,Am ，各产地的产

量分别是 a1,a2,…,am ；有 n 个销地 Bl,B2,…,Bn,各销地的销量分别为 bl,b2,…,bn 。假定从产地 Ai(i＝ 1,2,…,m) 向销地 Bj(j＝ 1,2,…,n) 运输单位物品的运价是 cij ，问怎样调运这些物品才能使总运费最小 ?

该问题的运输表，如表 3-1 所示。

§1 　第一节 运输问题及其数学模型

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表 3-1 Bl B2 … Bn 产量

A1 c11 c12 … c1n a1

A2 c21 c22 … c2n a2

… … … … … …

Am cm1 cm2 … cmn am

销量 bl bl … bn

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设 ijx 表示从 Ai运往 Bj的物品数量， ijc 表示从 Ai运往 Bj的单位物品的运价。则对于平衡运输

问题（

n

jj

m

ii ba

11 ），其数学模型的一般形式可表示为：

n

j

m

iijij xcs

1 1

min

njmix

njbx

miax

ij

j

m

iij

i

n

jij

,2,1;,2,10

,,2,1

,,2,1

1

1

(3. 1)

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二、运输问题数学模型的特点

对于平衡运输问题(

n

jj

m

ii ba

11 )，可以证明其有如下两个特点： (1)矩阵 A的秩 R(A)＝m+n-1。

(2)问题必有最优解，而且当 ji ba , 皆为整数时，其最优解必为整数最优解。

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第二节 表上作业法求解运输问题一、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1 、最小元素法解题步骤：⑴ 在运价表中找到最小运价 c1k ；⑵ 将的 AL 产品给 B k ；①若 aL>b k ，则将 aL 改写为 aL-bk ，划掉 bk ，

同时将运价表中 K 列的运价划掉；②若 aL<b k ，则将 aL 改写为 bk-aL ，划掉 aL ，

同时将运价表中 L 列的运价划掉。如此重复 (1)、 (2) ，直到分配完毕。

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2. 沃格尔法（ 1 ）计算运输表中每一行和每一列的次

最小单位运价和最小运价之间的差值。（ 2 ）从行或列差中选择最大者，选择它

所在行或列中的最小元素 cLk ，将 AL的产品优先供应 Bk ，同时将运价表中已满足的行或列划掉。（ 3 ）在运价表中选择剩下的运价再重复（ 1 ）、（ 2 ）。

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3. 西北角法 该法优先满足运输表中西北角上空格的

供销需求 .

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注： 1. 当取定 xij 的值之后，会出现 Ai 的产量与 Bj 的销量

都为零的情况，这时只能划去 Ai 行或 Bj 列，不能同

时划去 Ai 行与 Bj 列。

2. 用最小元素法时，可能会出现只剩下一行或一列的所有格均未填数或未被划掉的情况，此时在这一行或者一列中除去已填上的数外均填上零，不能按空格划掉。这样可以保证填过数或零的格为 m+n-1 个，即保证基变量的个数为 m+n-1 个。

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二、最优解的判别1. 闭回路法 闭回路是在已给出的调运方案的运输表上从一个代

表非基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前进，只有遇到代表基变量的填入数字的格才能向左或右转 90度（当然也可以不改变方向）继续前进，这样继续下去，直至回到出发的那个空格，由此形成的封闭折线叫做闭回路。一个空格存在唯一的闭回路。

对于代表非基变量的空格（其调运量为零），把它的调运量调整为 1 ，由于产销平衡的要求 , 必须对这个空格的闭回路的顶点的调运量加上或减少 1 。最后计算出由这些变化给整个运输方案的总运输费带来的变化。如果所有代表非基变量的空格的检验数也即非基变量的检验数都大于等于零，则已求得最优解，否则继续迭代找出最优解。

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2 、对偶变量法（位势法）（ 1 ）编制位势表：在运价表中，凡是对

应于平衡表中有运量的运价都划上圈，同时在右侧和下边分别增加一行和一列；（ 2 ）填写位势数：最后一列为列位势数有m 个，最后一行为行位势数有 n 个。

这m+n 个位势数必须满足要求：UK+VL+=VKL

(3) 计算检验数： σij=Cij-(Ui+Vj)

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三、解的改进 调整的步骤如下： (1)作第一个出现的负检验数σ kj对应的闭回路； (2)求调整量ε ε： ＝闭回路偶拐角点中的最小运量； (3)调整：闭回路中，奇拐角点处运量加上ε ；偶拐角点处运量减去ε (其中出基变量对应的格子变成空格)；不在闭回路上的格子，运量不变；最后写出新的调运方案。

四、几点说明

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1. 供需不平衡问题例 1 、某公司从两个产地 A1、 A2 将物品运往三个销地 B1、 B2、 B3 ，各产地的产量、各销地的

销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？

解：增加一个虚设的销地 , 运输费用为 0

B1 B2 B3 产量 A1 6 4 6 300 A2 6 5 5 300

销量 150 150 200 600 500

B1 B2 B3 B4 产量 A1 6 4 6 0 300 A2 6 5 5 0 300

销量 150 150 200 100 600 600

§3 　运输问题的进一步讨论