《土质学与土力学》安徽理工大学资源与环境工程系

第五章 土体中的应力计算 ☆ 概述

☆ 地基中的自重应力计算

☆ 地基中的附加应力

☆ 基底压力计算

☆ 有效应力原理

☆ 应力路径

概述

强度问题

变形问题地基中的应力状态 应力应变关系土力学中应力符号的规定

应力状态及应力应变关系

自重应力

附加应力

基底压力计算

有效应力原理

建筑物修建以后，建筑物重量等外荷载在地基中引起的应力，所谓的“附加”是指在原来自重应力基础上增加的压力。

建筑物修建以前，地基中由土体本身的有效重量所产生的应力。

概述

一、应力～应变关系的假定

1 、关于连续介质问题弹性理论要求：受力体是连续介质。而土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。

2 、关于线弹性体问题理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。

3 、关于均质、等向问题理想弹性体应是均质的各向同性体。而天然地基往往是由成层土组成，为非均质各向异性体。为此进行假设，天然地基作为均质的各向同性体。

yz

xo

1. 一般应力状态——三维问题

xyxy

yz

zx

xz

zyyx

zij =

xy

xyyz

zx

xz

zyyx

zij =

x

yxy

yz

zx

z

概述二、地基中常见的应力状态

应变条件 应力条件

独立变量：

x y z; x y z;

xy yz zx, , 0

x y z

x y z

, ;

,

x

yxy

yz

zx

xz

zyyx

zij =

xy

xyyz

zx

xz

zyyx

zij =

00 0 0

00

000

y

xy yz zx, , 0

0 0

0

x

yxy

yz

zx

z

概述二、地基中常见的应力状态

轴对称三维问题

概述 二、地基中常见的应力状态 2. 二维应变状态（平面应变状态） 应变条件 应力条件 独立变量

;0y

0

EE zxy

y

zxy )z,x(F

;,,

;,,

xzzx

xzzx

x

yxy

yz

zx

xz

zyyx

zij =

xy

xyyz

zx

xz

zyyx

zij =

00 0 0

00

00

0 y

0

;0

zx

yzxy

应变条件 应力条件 独立变量

;0xy

0zxyzxy

;0zxyzxy

;0EE zy

xx

;K1 z0zyx

;yx )z(F, zz

x

yxy

yz

zx

xz

zyyx

zij =

xy

xyyz

zx

xz

zyyx

zij =

00 0 0

00

00

0 y

0

0 0

0

0x

K0 ：侧压力系数

概述 二、地基中常见的应力状态 3. 侧限应力状态

x

z

xz

zx

x

z

xz

zx

材料力学

+-

+-

土力学

正应力 剪应力

拉为正压为负

顺时针为正逆时针为负

压为正拉为负

逆时针为正顺时针为负

摩尔圆应力分析

概述三、土力学中应力符号的规定

地基中的自重应力计算

一、竖向自重应力

天然地面

cz

cx

cy 11

z

zcz

z

cz

σcz= z

土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱的有效重量

地基中的自重应力计算

一、竖向自重应力

注意

若计算点在地下水位以下，由于水对土体有浮力作用，则水下部分土柱的有效重量应采用土的浮容重或饱和容重计算；1. 当位于地下水位以下的土为砂土时，土中水为自由水，计算时用浮容重。2. 当位于地下水位以下的土为坚硬粘土时，在饱和坚硬粘土中只含有结合水，计算自重应力时应采用饱和容重。3. 水下粘土，当 IL≥1 时，用浮容重。4. 如果是介乎砂土和坚硬粘土之间的土，则要按具体情况分析选用适当的容重。

二、成层土的自重应力计算

i

n

iinncz hhhh

1

2211

说明：

1. 地下水位以上土层采用天然重度，地下水位以下土层采用浮重度

2. 非均质土中自重应力沿深度呈折线分布

天然地面

h1

h2

h33

2

1

水位面

1 h1

1 h1 + 2h2

1 h1 + 2h2 + 3h3

地基中的自重应力计算

三、水平向自重应力

czcycx K 0

天然地面

z

cz

cx

cy

zcz

静止侧压力系数

地基中的自重应力计算

地基中的附加应力

条形基底受水平均布荷载作用时的附加应力

条形基底受竖直均布荷载作用时的附加应力 条形基底受竖直三角形分布荷载作用时的附加应力

竖直线荷载作用下的附加应力

矩形基底受水平均布荷载作用时角点下的竖向附加应力

矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时角点以下的竖向附加应力

矩形基底受竖直均布荷载作用时角点下的竖向附加应力

竖直集中力作用下的附加应力 空间问题条件下的

附加应力

平面问题条件下的

附加应力

附加应力

地基中的附加应力一 . 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克公式

y

z

xo

x

yxy

yz

zx

z

P

M

xy

z

r

R β

M’

x y xy yz zxz （ P ； x,y,z ； R, α, β)

α

222222 zyxzrR tgz/r

地基中的附加应力

法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力学和固体力学都有贡献。

Valentin Joseph Boussinesq  (1842-1929)

地基中的附加应力一 . 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克公式

x:y:z:: zxzyz

222222 zyxzrR

tgz/r

查 P72表 3－ 1集中力作用下的

应力分布系数

地基中的附加应力

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r/z

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

K

y

z

xo

P

M

xy

z

r

R βM’

α

特点1.σz 与 α无关，应力呈轴对称分布

2.σz:τzy:τzx= z:y:x, 合力过原点，与 R同向

一、竖直集中力作用下的附加应力计算

地基中的附加应力一 . 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克公式

特点3.P 作用线上， r=0, K=3/(2π） ,z=0, σz→∞， z→∞ ， σz=0

4. 在某一水平面上 z=const ， r=0, K 最大， r↑， K减小， σz

减小5.在某一圆柱面上 r=const ， z=0, σz=0 ， z↑ ， σz 先增加后减小6.σz 等值线－应力泡

应力泡

PP

0.1P

0.05P

0.02P

0.01P

地基中的附加应力一 . 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克公式

叠加原理 由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、应力

或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参数值的代数和

Pa

z

Pb

a b

两个集中力作用下 σz 的叠加

地基中的附加应力

二、矩形基底受竖直均布荷载作用时角点下的竖向附加应力

z

x

y

B

L

dP1. 角点下的垂直附加应力 —— B 氏解的应用

pK sz

矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数 Ks

查 P75表 3-2

p

（ 3－ 11 ） 74 页

z

M

m=L/B, n=z/B

地基中的附加应力二、矩形基底受竖直均布荷载作用时角点下的竖向附加应力

2. 任意点的垂直附加应力—角点法

a. 矩形面积内

b. 矩形面积外

两种情况：

荷载与应力间满足线性关系

叠加原理角点下垂直附加应力的计算公式

地基中任意点的附加应力

角点法

地基中的附加应力三、矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时角点以下的竖向附加应力

z

x

y

B

L

dP

ttz pK

矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数

查 P78表 3-3

pt

M

z

地基中的附加应力四、矩形基底受水平均布荷载作用时角点下的竖向附加应力

B

L

角点下的垂直附加应力 —— C 氏解的应用

hhz pK

矩形面积作用水平均布荷载时角点下的应力分布系数

z

ph

zz

查 P80表 3-4

地基中的附加应力五、竖直线荷载作用下的附加应力（平面）

基础底面长宽比 l / b→∞

条形基础 基础底面长宽比 l / b≥10

理想情况

实际情况

z 222

32

zx

pz

pdy 布辛涅斯克解

线积分

地基中的附加应力五、竖直线荷载作用下的附加应力（平面）

注意：（ 1 ）在荷载作用点处，即 x=z=o 点，应力值为无穷大，（ σx,σz,τzx→∞ ）→应力集中→ Ez>Ex

（ 2 ）当 x=0 时， σx=τzx=0 ，而 σz=σzmax→ 应力集中→ Ez>Ex

（ 3 ） σz 值离 Z 轴愈远，其值越小；水平位置越深，应力也愈 小——地基土中应力的扩散现象。

地基中的附加应力

px

z

Mxz

b/2b/2 pKszz

均布荷载情况

pt

x

z

Mxz

b

三角形荷载情况

ttzz pK

Ksz ,Ktz 条形基底竖向附加应力系数 , 均为 m ,n 的函数，其中 m=x/b ，n=z/b，可查 P83 表得到

地基中的附加应力

z

Mxz

bhhzz pK

水平分布荷载情况

ph

x

yKhz 条形基底竖向附加应力系数 , 为 m ,n 的函数，其中 m=x/b ， n=z/b ，可查 P85 表得到

总结：对于条形基础地基附加应力计算同样可以采用角点法，利用叠加原理，进行计算，计算中应注意不同分布情况的附加应力系数所对应的附加应力系数表格不同，查表计算时应该注意

地基中的附加应力

“ 土坝（堤）坝身的自重应力和坝基中的附加应力”和“感应图法求附加应力 ”

自学

基底压力计算

基底压力：建筑物上部结构荷载和基础自重通过基础传递给地基，作用于基础底面传至地基的单位面积压力

F

基底压力计算

影响基底压力的因素 : 基础的形状、大小、刚度，埋置深度，基础上作用荷载的性质（中心、偏心、倾斜等）及大小、地基土性质

基底压力计算

一、中心荷载作用下的基底压力

A

GFp

若是条形基础，F,G 取单位长度基底面积计算

G= GAd

取室内外平均埋深计算

基底压力计算

二、偏心荷载作用下的基底压力

F+G

e

e

l

b

pmax

pmin

W

M

A

GF

p

p

min

max

作用于基础底面形心上的力矩

M=(F+G)∙e

基础底面的抵抗矩；矩形截面 W=bl2/6

l

e

bl

GF

p

p 61

min

max

基底压力计算

l

e

bl

GF

p

p 61

min

max讨论：

当 e <l/6 时， pmax ， pmin>0 ，基底压力呈梯形分布 当 e=l/6 时， pmax>0 ， pmin=0 ，基底压力呈三角形分布 当 e>l/6 时， pmax>0 ， pmin<0 ，基底出现拉应力，基底压力重分布

pmax

pmin

e<l/6 pmax

pmin=0

e=l/6

e>l/6

pmax

pmin<0

pmax

pmin=0

基底压力重分布

基底压力计算

基底压力重分布

bel

pGF

23

2

1max

偏心荷载作用在基底压力分布图形的形心上

be

lGF

p

23

2max

基底压力计算

P Pv

Ph

倾斜偏心荷载

分解为竖直向和水平向荷载，水平荷载引起的基底水平应力视为均匀分布。

有效应力原理

1. 饱和土中的应力形态

PS

PSV

a a

一 . 有效应力原理的基本概念

PS

A ：

Aw ：As ：

土单元的断面积颗粒接触点的面积孔隙水的断面积

a-a 断面通过土颗粒的接触点

有效应力 σ’

a-a 断面竖向力平衡：

u ：孔隙水压力

有效应力原理一 . 有效应力原理的基本概念2. 饱和土的有效应力原理（ 1）饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为两部分 σ’ 和 u，并且

（ 2）土的变形与强度都只取决于有效应力

一般地，

有效应力总应力已知或易知

孔隙水压测定或算定

通常 ,

有效应力原理及其意义

u u 或（ 1 ）

（ 2 ）土的变形和强度取决于有效应力而不是总应力。

H

h

w satH h

w ( )u H h

（ Terzaghi， 1923 ）

u

( )sat w h h

有效应力原理

1925 年，《土力学》

Karl Von Terzaghi (1

883~1963)

土力学之父

1943年，《理论土力学》

有效应力原理

1. 自重应力情况 （侧限应变条件）

二 . 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算

(1) 静水条件

地下水位

海洋土

毛细饱和区

(2) 稳定渗流条件

2. 附加应力情况

(1) 单向压缩应力状态

(2) 等向压缩应力状态

(3) 偏差应力状态

有效应力原理

sat

1. 自重应力情况二 . 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算

(1) 静水条件 地下水位

地下水位下降引起σ’ 增大的部分

H1

H2

σ’=σ-u u=γwH2 u=γwH2

σ’=σ-u

=γH1+γsatH2-γwH2

=γH1+(γsat-γw)H2

=γH1+γ’H2

地下水位下降会引起σ’ 增大，土会产生压缩，这是城市抽水引起地面沉降的一个主要原因。

有效应力原理

sat

毛细饱和区(1) 静水条件1. 自重应力情况

二 . 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算

毛细饱和区

总应力 孔隙水压力 有效应力＝－

+

-

有效应力原理

H

Δh

砂层，承压水

粘土层γsat

HΔh

砂层，排水

γsat

(2) 稳定渗流条件

1. 自重应力情况二 . 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算

向上渗流 向下渗流

有效应力原理

土水整体分析

A

向上渗流 : 向下渗流 :

)hH(u w

1. 自重应力情况二 . 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算

H

Δh

砂层，承压水

粘土层γsat

渗流压密

渗透压力 :

有效应力原理

取土骨架为隔离体

A

向上渗流 : 向下渗流 :

1. 自重应力情况

二 . 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算

H

Δh

砂层，承压水

粘土层γsat

自重应力 : 渗透力 :H

hij ww

渗透力产生的应力 :

渗透力产生有效应力

有效应力原理

(1) 侧限应力状态及一维渗流固结

2. 附加应力作用情况

物理模型：

钢筒——侧限条件 弹簧——土骨架 水体——孔隙水 带孔活塞——排水顶面 活塞小孔——渗透性大小

初始状态边界条件

渗透固结过程

二 . 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算

p

一般方程

p

有效应力原理

(1) 侧限应力状态及一维渗流固结

2. 附加应力作用情况 二 . 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算

w

ph

p

phh

0h p

附加应力 :σz=p

超静孔压 : u = σz=p

有效应力 :σ’z=0渗透固结过程

附加应力 :σz=p

超静孔压 : u <p

有效应力 :σ’z>0

附加应力 :σz=p

超静孔压 : u =0

有效应力 :σ’z=p

有效应力原理

“孔压系数”和“应力路径”自学