1

SWP3.5 in LaTex old File-ikonNew File-General-REVTeX4 (Rus)-ikonFile Import Contence-myFile-Save as1therm Л е к ц и я 1. Термодинамика.Коротко перечислим основные положения термодинамики.Термодинамика - наука феноменологическая. Она опирается на аксиомы, которые выражают обобщение

экспериментально наблюдаемых свойств макроскопических систем - тел, сред, состоящих из очень большогочисла N частиц (или волн) и находящихся в состоянии термодинамического (механического, химического)равновесия или в неравновесном состоянии, близком к равновесному.А.Термодинамические величины.В первую очередь термодинамика использует важнейшие понятия механики , такие как замкнутая система

и аддитивные интегралы движения.Замкнутая система - это макроскопическое тело, которое находится в стационарных внешних условиях

и не взаимодействует с другими телами. Замкнутая система состоит из большого числа подсистем -макроскопических тел, взаимодействие между которыми достаточно мало, чтобы можно было не учитыватьвзаимного влияния на внутренние свойства подсистем, но достаточно большое, чтобы могла произойтирелаксация всей замкнутой системы к полному равновесию. В простейшем случае подсистемы различаютсятолько положением в пространстве и числом частиц, но могут находиться в разных агрегатных состояниях(например, жидкость и пар) или проникать друг в друга (как электроны и кристаллическая решетка из ионовв металле). Аддитивные интегралы движения - сохраняющиеся во времени величины, которые для замкнутойсистемы равны сумме их значений для подсистем. Для газа и жидкости в замкнутом сосуде - это энергияE, объем V и число частиц N . Энергия основного состояния, т.е. минимальная энергия тела принимаетсяравной нулю. Аддитивные интегралы движения и любые функции от них называются термодинамическимивеличинами. Термодинамическая величина, которая характеризует локальные свойства среды, называетсяинтенсивной величиной. В частности, при механическом равновесии одинаковое значение во всех подсистемахимеет интенсивная величина - давление:

p = −∂E

∂V. (1)

При химическом равновесии во всех подсистемах одинаковое значение имеет химический потенциал :

µ =∂E

∂N. (2)

B. Температура.Аксиома 0. Существует интенсивная термодинамическая величина,температура T = T (E, V, N) , которая

характеризует степень нагретости тела и обладает следующими свойствами:1)В основном состоянии температура равна нулю:

T |E=0= 0. (3)

2)Температура монотонно растет с увеличением энергии тела:

∂T

∂E> 0. (4)

3)При термодинамическом равновесии все подсистемы одинаково нагреты, т.е. имеют одинаковуютемпературу:

T1 = T2 = ... (5)

Аддитивная положительная величина

CV =(

∂E

∂T

)

V,N

, (6)

2

равная количеству энергии, необходимому для нагревания тела на один градус, называется теплоемкостьюпри постоянном объеме.

Вид монотонной зависимости температуры от энергии зависит от вещества и выбора температурной шкалы.Мы будем использовать энергетическую шкалу, в которой температура разреженного одноатомного газавычисляется по формуле

T =pV

N=

2E

3N. (7)

Эта шкала отличается от шкалы градусов Кельвина T 0 множителем, который называется константойБольцмана

T = kBT 0, kB = 1.3810−16 erg

grad. (8)

C.Термодинамическое равновесие.Аксиома 1. Состояние термодинамического равновесия замкнутой системы полностью характеризуется

полным набором термодинамических величин.В частности, термодинамическое состояние газа или жидкости полностью описывается одним из наборов

(E, V, N), (T, V,N) или (T, p, N). Если система состоит из подсистем, находящихся в разных агрегатныхсостояниях и имеющих сложный состав, то во всех подсистемах все интенсивные термодинамические величиныимеют одинаковое значение. Например, при фазовом равновесии жидкого раствора с его паром одинаковоезначение в жидкости и паре имеют не только темература и давление, но и химические потенциалы каждой изкомпонент раствора.В рамках термодинамики любое неравновесное состояние замкнутой системы рассматривается как

совокупность равновесных состояний подсистем, равновесие между которыми нарушено (Например, разныечасти тела могут иметь разные температуры и давления).D.Энтропия.Многие важные результаты в различных областях физики наиболее красиво формулируются, если найден

соответствующий вариационный принцип. В термодинамике - это принцип максимальности энтропии.Энтропией тела, находящегося в термодинамическом равновесии, называется аддитивная

термодинамическая величина, равная

S(E) =∫ E

0

dE

T (E). (9)

Из этого определения следуют три важных свойства энтропии:

1)S |E=0= S |T=0= 0. (10)

2)∂S

∂E=

1T

> 0. (11)

3)∂2S

∂E2= − 1

T 2CV< 0. (12)

Неравновесной энтропией замкнутой системы, образованной из двух равновесных подсистем, называетсясумма

S = S1(E1) + S2(E2). (13)

Найдем максимальное значение этой суммы при условии постоянства полной энергии E = E1 + E2:

dS

dE1=

dS1

dE1+

dS2

dE2

d(E − E1)dE1

=1T1− 1

T2= 0, (14)

3

d2S

dE2= −

(1

T 2CV

)

1

−(

1T 2CV

)

2

< 0 (15)

Отсюда следует, что энтропия максимальна, когда обе подсистемы имеют одинаковую температуру.Аналогичным образом, варьируя энтропию системы по объему и числу частиц одной из подсистем при условии

постоянства полного объема и полного числа частиц, находим,что энтропия максимальна, когда равны другдругу давления и химические потенциалы подсистем.Таким образом, три условия термодинамического равновесия - условия постоянства температуры, давления

и химического потенциала - являются следствием одного условия максимальности энтропии в равновесномсостоянии.E. Второй закон термодинамики.Второй закон термодинамики гласит:Аксиома 2. Энтропия неравновесной замкнутой системы с течением времени монотонно растет и

принимает максимальное значение при наступлении термодинамического равновесия.Процессы, при которых рост энтропии играет существенную роль, называются необратимыми

процессами. Процессы, происходящие практически при постоянной энтропии, называются обратимыми илиадиабатическими процессами.

Закон возрастания энтропии задает направление релаксационного процесса. Рассмотрим необратимыйпроцесс установления теплового равновесия в замкнутой системе, состоящей из двух подсистем, имеющихпостоянные объемы и числа частиц, но энергия которых может перетекать от одной подсистемы к другойпри условии сохранения полной энергии.

dE1

dt= −dE2

dt(16)

Возьмем производную по времени от суммарной энтропии (13):

dS

dt=

dS1

dE1E1 +

dS2

dE2E2 = (

1T1− 1

T2)E1 ≥ 0, (17)

Кроме того

dE1

dt= CV 1

dT1

dt= −CV 2

dT2

dt. (18)

Таким образом, общеизвестный факт, что при тепловом контакте холодное тело нагревается, а горячееохлаждается, есть следствие второго закона термодинамики.

Если одна из подсистем много меньше другой (N1 << N2, CV 1 ¿ CV 2), то

dT2

dt= −CV 1

CV 2

dT1

dt,

∣∣∣∣dT2

dt

∣∣∣∣ ¿∣∣∣∣dT1

dt

∣∣∣∣

и температура большой подсистемы практически не меняется. Поэтому большую подсистему по отношениюк малой называют термостатом.F. Термодинамические тождества.Равновесная энтропия тела есть аддитивная функция энергии, объема и числа частиц:

S = S(E, V,N). (19)

Можно, наоборот, энергию рассматривать как функцию энтропии и остальных аддитивных интеграловдвижения:

E = E(S, V,N). (20)

4

В соответствии с аксиомой 1 набор (S, V, N) является одним из эквивалентных наборов термодинамическихвеличин, полностью описывающих равновесное состояние тела.

Напишем дифференциал энергии

dE =∂E

∂SdS +

∂E

∂VdV +

∂E

∂NdN. (21)

Используя физический смысл производных (1),(2), (11) , этот дифференциал можно переписать в стандартнойформе

dE = TdS − pdV + µdN (22)

Это - основное термодинамическое тождество. Оно связывает малые изменения аддитивныхтермодинамических величин при переходе от одного равновесного состояния тела к другому.

Переходя к другим полным наборам термодинамических параметров, получаем другие термодинамическиетождества

dF = −SdT − pdV + µdN, (23)dΦ = −SdT + V dp + µdN, (24)dΩ = −SdT − pdV −Ndµ, (25)

dS =1T

dE +p

TdV − µ

TdN. (26)

Энергия E = E(S, V, N) и функции

F (T, V, N) = E − TS, (27)

Φ(T, p,N) = F + pV = µ(T, p)N, (28)

Ω(T, V, µ) = F − µN = −p(T, µ)V, (29)

называются термодинамическими потенциалами. Последние равенства в (28),(29) являютсянепосредственным следствием аддитивности термодинамических потенциалов. Из них следует, что химическийпотенциал есть термодинамический потенциал, отнесенный к одной частице, а давление - термодинамическийпотенциал, отнесенный к единице объема, причем

dµ = − S

NdT +

V

Ndp, dp = − S

VdT − N

Vdµ, (30)

Любой из термодинамических потенциалов полностью описывает все термодинамические свойства тела.Например, производные от свободной энергии F определяют температурные зависимости давления,химического потенциала и теплоемкости:

p = −(

∂F

∂V

)

TN

, µ =(

∂F

∂N

)

TV

, CV = T

(∂S

∂T

)

V N

= −T

(∂2F

∂T2

)

V N

. (31)

Из термодинамических тождеств следуют также важные соотношения типа

(∂S

∂V

)

TN

=(

∂p

∂T

)

V N

= −T∂2F

∂T∂V. (32)

G. Принцип минимальности термодинамических потенциалов.

5

Рассмотрим необратимый процесс установления термодинамического равновесия в замкнутой системе,состоящей из малой подсистемы - тела 1 и термостата 2. Пусть, в отличие от п.D, в начальный момент временитело находится в состоянии частичного внутреннего равновесия, таком что некоторый параметр тела , напримермагнитный момент, M отличен от своего термодинамически равновесного значения Mterm = M(E1, V1, N1).Будем считать, что в ходе процесса релаксации у тела может меняться не только M , но и E1, V1, N1, при условиисохранения полных энергии, объема и числа частиц Etot, Vtot и Etot. Производная по времени от суммарнойэнтропии такой системы

Stot = S1(E1, V1, N1,M) + S2(Etot − E1, Vtot − V1, Ntot −N1) (33)

равна (см. (26))

Stot = S1 − 1T2

E1 − p2

T2V1 +

µ2

T2N1. (34)

В течение необратимого процесса температура, давление и химический потенциал термостата практическине меняются и, фактически, играют роль внешних условий для малой подсистемы. В дальнейшем параметрытермостата будем писать без индекса 2.Поскольку при необратимом процессе полная энтропия замкнутой системы может только расти Stot ≥ 0, то

из (34) получаем неравенство:

−T S1 + E1 + pV1 − µN1 ≤ 0. (35)

Рассмотрим частные случаи. Пусть тело имеет фиксированные объем и число частиц, и благодаря тепловомуконтакту его температура равна температуре термостата: T1 = T . Это - изотермический процесс, при которомсогласно (35) происходит монотонное понижение свободной энергии тела

F1 =d(E1 − TS1)

dt≤ 0. T1 = T = const, V1 = const,N1 = const. (36)

При изобарическом процессе, в течение которого постоянен не объем, а давление, монотонно уменьшаетсятак называемая свободная энергия Гиббса:

Φ1 =d(E1 − TS1 + pV1)

dt≤ 0. T1 = T = const, p1 = p = const, N1 = const. (37)

Наконец, если на границе тела с термостатом происходит обмен частицами, монотонно убывает Ω- потенциал:

Ω1 =d(E1 − TS1 − µN1)

dt≤ 0. T1 = T = const, V1 = const, µ1 = µ = const. (38)

Таким образом, необратимые процессы сопровождаются уменьшением одного из термодинамическихпотенциалов.

Из формулы (34) следует еще одно важное соотношение. Проинтегрируем (34) в обратном направлении повремени от t = +∞ до t = −∞. Это дает уменьшение энтропии замкнутой системы при переходе тела изравновесного состояния в неравновесное (при постоянных значениях температуры, давления и химическогопотенциала термостата):

∆Stot = −Rmin

T. (39)

Величина

Rmin = ∆E1 + p∆V1 − T∆S1 − µ∆N1 (40)

6

называется минимальной работой.H.Термодинамика фазовых переходов.Существуют различные агрегатные состояния вещества: твердое, жидкое, газообразное. При повышении

температуры ферромагнетик переходит в парамагнитное состояние. При изменении температуры или давленияв твердом теле происходят переходы из одной кристаллической структуры в другую. При определенныхусловиях наблюдаются переходы металл-диэлектрик, возникает сверхпроводимость. Вс„ это - различные фазывещества. Равновесие фаз имеет место , когда температуры, давления и химические потенциалы обеих фазсовпадают:

T1 = T2, p1 = p2, µ1 = µ2. (41)

Эти экспериментальные факты можно вывести из принципа максимальности энтропии. Для температурыэто было уже доказано (см.(14)). Докажем равенство химических потенциалов обеих фаз из условиямаксимальности суммарной энтропии S = S1 + S2 при постоянном числе частиц N = N1 + N2:

dS

dN1=

dS1

dN1+

dS2

dN2

d(N −N1)dN1

=µ1

T1− µ2

T2= 0, (42)

Отсюда, поскольку T1 = T2, то и µ1 = µ2.Химические потенциалы разных фаз по разному зависят от температуры и давления. Вид этих зависимостей

устанавливает статистическая физика, в рамках термодинамики эти зависимости следует предполагатьизвестными. Условие фазового равновесия

µ1(p, T ) = µ2(p, T ) (43)

неявным образом задает вид кривой фазового равновесия p = p(T ). Эту зависимость удобно представить вформе, которая возникает в результате дифференцирования уравнения (43) по температуре:

(∂µ1

∂T

)

p

+(

∂µ1

∂p

)

T

dp

dT=

(∂µ2

∂T

)

p

+(

∂µ2

∂p

)

T

dp

dT. (44)

Из термодинамического тождества

dµ = −sdT + vdp, s = S/N, v = V/N (45)

следует, что

s = − ∂µ

∂T, p =

∂µ

∂p(46)

В результате получаем формулу Клайперона-Клаузиуса

dp

dT=

q

Tv12, q = T (s1 − s2), v12 = v1 − v2, (47)

которая выражает наклон кривой фазового равновесия p(T ) через отношение теплоты перехода q к разностиобъемов v12 , приходящихся на одну молекулу вещества.

Рассмотрим для определенности парообразование. Давление, при котором пар и жидкость находятся вовзаимном термодинамическом равновесии, называется давлением насыщенных паров. Пусть фаза 1 есть пар,а фаза 2 - жидкость, причем s2 << s1, и v2 << v1 = T/p. Тогда приближенно имеем

dp

dT=

s1

v1=

ps1

T. (48)

Энтропия, приходящаяся на одну молекулу пара есть большая безразмерная величина, которая слабо(логарифмически) зависит от температуры и давления. Пренебрегая этой зависимостью, получаем

p = AT s1 (49)

7

Мы видим, что с ростом температуры давление насыщенных паров быстро растет.Фазовые переходы, в которых скачком меняются первые производные химического потениала (s, v),

называются фазовыми переходами первого рода. При фазовых переходах второго рода скачком меняютсявторые производные - теплоемкость и сжимаемость. Здесь мы их рассматривать не будем.Процесс фазового перехода первого рода является медленным - квазистационарным - процессом. Он

происходит путем образования внутри одной фазы компактных зародышей другой фазы. При этом тепловоеи механическое равновесие выполняется, но химические потенциалы зародыша и среды не равны другдругу. Вычислим энергию образования зародыша ε(R), которую определим как разность энергий системысо сферическим зародышем радиуса R и без него с одинаковыми значениями полной энтропии, объема и числачастиц.

ε(R) = E1(S1, V1, N1) + E2(S − S1, V − V1, N −N1) + 4πσR2 − E2(S, V, N). (50)

В фигурных скобках выписана энергия гетерофазного состояния системы, которая равна сумме энергийкаждой фазы и энергии поверхностного натяжения 4πσR2. Радиус сферического зародыша связан с числомчастиц в нем соотношением

R = aN1/31 (51)

,где a = (3v1/4π)1/3, v1 - объем, приходящийся на одну частицу зародыша.Энтропия S1, объем V1 и число частиц N1 зародыша малы по сравнению с энтропией, объемом и числом

частиц среды, так что разность энергий среды в (50) можно заменить с учетом (22) на сумму приращений

E2(S − S1, V − V1, N −N1)− E2(S, V, N) = −T2S1 + p2V1 − µ2N1

и получить

ε(R) = E1(S1, V1, N1)− T2S1 + p2V1 − µ2N1 + 4πσR2 (52)

Из определения термодинамического потенциала Гиббса (28) энергию вещества зародыша можно представитьв форме

E = TS − pV + µN (53)

Это дает

ε(R) = (µ1 − µ2)N1 + (T1 − T2)S1 − (p1 − p2)V1 + 4πσR2. (54)

Предполагая тепловое равновесие, имеем T1 = T2 = T . Механическое равновесие сферического зародышавыполняется, если давление в нем увеличено на давление поверхностного натяжения:

p1 = p +2σ

R, p2 = p, µ1(p1) = µ1(p) +

2σ

Rv1 (55)

Выражение (54) принимает вид

ε(R) = (µ1(p)− µ2(p))N1 + 4πσa2N2/31 . (56)

Существенно, первый член справа растет с увеличением N1 быстрее чем последний. Если химическийпотенциал зародыша (при давлении равном давлению среды) меньше химического потенциала среды, то энергиядостаточно большого зародыша отрицательна. Тогда, согласно принципу минимальности термодинамическихпотенциалов, состояние системы должно релаксировать в сторону увеличения зародыша до тех пор, покасущественная часть вещества не перейдет в новую фазу и химические потенциалы обеих фаз сравняются.Для маленького зародыша основную роль играет энергия поверхностного натяжения и система релаксирует всостояние без зародыша. Производная от (56) по числу частиц в зародыше равна

dε

dN1= (µ1(p)− µ2(p)) +

83πσa2N

−1/31 . (57)

Мы видим, что смена направлений процесса релаксации происходит в критической точке

Nc = [83π

σa2

µ2(p)− µ1(p)]3 (58)

8

Соответствующий критический радиус зародыша равен

Rc = aN1/3 =2σv1

µ2(p)− µ1(p)

Таким образом, система с зародышем критического размера Nc находится в состоянии абсолютнонеустойчивого равновесия. Между состоянием среды без зародышей и состояниями с закритическимизародышами имеется энергетический барьер. Поэтому состояние без зародышей является метастабильными переходит в стабильное, только благодаря гетерогенным флуктуациям.

the end

1

c:\LECTURES\ferromagnLandauЛекция Теория фазовых переходов второго рода на примере ферромагнетиков и сверхпроводников.Вещество может находиться в различных фазовых состояниях: газ, жидкость, твердое тело. Существует два

класса фазовых переходов - переходы первого и второго рода. Переходы первого рода происходят с выделениемтеплоты фазового перехода. При фазовых переходах второго рода скачком меняется теплоемкость. На этойлекции будет изложена теория фазовых переходов второго рода Ландау. При фазовых переходах второго родапроисходит изменение внутренней симметрии вещества. Эту симметрию удобно характеризовать параметромдальнего порядка. У ферромагнетика имеется векторный параметр порядка - спонтанная намагниченность. Усверхпроводника - комплексный параметр порядка, который условно можно интерпретировать как волновуюфункцию куперовских пар. При переходе в более симметричную фазу этот параметр исчезает.

Из электродинамики известно, что при небольшом увеличении магнитного поля энергия единицы объематела увеличивается на величину

dE =14π

HdB

Поэтому термодинамическое тождество для свободной энергии F (T, B) тела в магнитном поле следует писатьв форме

dF = −SdT +14π

HdB

Чтобы не заниматься проблемой размагничивающего фактора, будем считать, что рассматриваемое телоимеет форму длинного цилиндра и внешнее поле H направлено вдоль оси цилиндра. Тогда напряженностьH магнитного поля внутри тела равно внешнему магнитному полю, и более удобно использовать в качественезависимой переменной не индукцию B = H + 4πM , а напряженность H и эффективную свободную энергию

F (T, H) = F (T, B)− 18π

H2 −HM,

для которой термодинамическое тождество имеет вид

dF = −SdT −MdH

В термодинамически равновесном состоянии намагниченность однозначно определяется видом функцииF (T, H)

M = −(

∂F∂H

)

T

У ферромагнитных веществ даже в отсутствии внешнего магнитного поля возможно существование спонтанногомагнитного момента. При заданной температуре равновесное значение спонтанной намагниченностиопределяется минимальным значением свободной энергии F (T, H = 0,M). Если этот минимум отвечаетзначению M = 0 , то тело находится в парамагнитном состоянии. Если опуститься по температуре нижетемпературы Кюри Tc, то минимальному значению свободной энергии отвечает M 6= 0. Количественнуюформулировку этого явления можно получить, записав свободную энергию тела в форме разложения постепеням намагниченности

F = F0 (T ) + a (T )M2 +12b (T ) M4 (1)

Предполагается, что вещество изотропно. Поэтому нечетных степеней ~M в этом разложении нет. Цельтеории Ландау - описать термодинамические и магнитные свойства ферромагнетика в окрестности точки Кюри.Вблизи этой точки намагниченность должна быть малой величиной. Для этого необходимо b (T ) > 0.Тогда более высоких степеней намагниченности в разложении (1) можно не учитыватьМинимум функции (1) определяется соотношениями

∂F∂M = a (T ) M + b (T )M3 = 0∂2F∂M2 = a (T ) + 3b (T )M2 > 0

(2)

2

Если коэффициент a (T ) положителен, то минимум находится в начале координат, и вещество парамагнитно.Если a (T ) < 0 , то минимум находится в точке

M =

√|a (T )|b (T )

(3)

и вещество обладает спонтанным моментом. Простейшей моделью, реализующей эту ситуацию, является

a (T ) = α(T − Tc), α > 0, b (T ) = b = const. (4)

В этой модели намагниченность обращается в нуль по корневому закону

M = M0 (T ) =√

α

b(Tc − T ), T < Tc (5)

M = 0, T > Tc

Равновесное минимальное значение равновесной свободной энергии (1) равно

F = F0 (T )− 12

α2

b (Tc − T )2, T < Tc

F = F0 (T ) , T > Tc

Энтропия тела S = −∂F∂T равна

S = S0 (T )− α2

b (Tc − T ), T < Tc

S = S0 (T ) , T > Tc

В ферромагнитном состоянии энтропия имеет отрицательную добавку, указывающую на некоторыйдополнительный порядок. Эта добавка приводит к скачку теплоемкости

C (T ) = T ∂S∂T

C (T ) = T ∂S∂T = C0 (T ) + α2

b T, T < Tc

C (T ) = C0 (T ) , T > Tc

Реально в точке Кюри теплоемкость имеет более сильную особенность, которая обусловлена так называемымикритическими флуктуациями. Такое поведение теплоемкости можно описать, заменив модель (4) на модельболее общего вида

a (T ) = α(Tc − T )γ , 0 < γ < 1 (6)

Величина γ называется критическим индексом. В этой модели ферромагнитная добавка равна

δF = −12

a2

b= −1

2α2

b(Tc − T )2γ , T < Tc

и добавка к теплоемкости в точке Кюри обращается в бесконечность по закону

δC = +γ (2γ − 1)α2

bT (Tc − T )2γ−2, T < Tc

Эта особенность напоминает греческую букву лямбда и называется лямбда-точкой.Теперь рассмотрим поведение ферромагнетика в магнитном поле. При этом мы ограничимся моделью Ландау

(4). В слабом магнитном поле свободная энергия (1) принимает вид

F (T, H, M) = F0 (T ) + a (T ) M2 +12bM4 −HM (7)

Найдем минимум этой функции

∂F∂M

= a (T )M + bM3 −H = 0 (8)

3

В парамагнитной области, пренебрегая кубическим членом имеем

M =H

a (T ), T > Tc

и магнитная восприимчивость описывается законом Кюри-Вейсса

χ =(

∂M

∂H

)

H=0

=1

α(Tc − Tc), T > Tc

Ниже температуры Кюри равновесная намагниченность близка к спонтанному значению (5)

M = M0 + δM

В линейном приближении имеем

a (T ) δM + 3bM20 δM −H = 0

a (T ) δM − 3a (T ) δM −H = 0

δM =H

2 |a (T )|Как и в парамагнитной области, восприимчивость стремится к бесконечности, но с другим коэффициентом

χ =(

∂M

∂H

)

H=0

=1

2α(Tc − T ), T > Tc

Статистическая теория, которая свободную энергию ферромагнетика вычисляет в приближениисамосогласованного поля, воспроизводит результаты термодинамической теории Ландау и дает количественныеоценки термодинамических параметров. В частности, из статистической теории следует, что температураКюри по порядку величины равна энергии обменного взаимодействия электронов на соседних атомах.

1

G-Landau.texЛекция Теория Гинзбурга-Ландау.Познакомимся с термодинамической теорией сверхпроводимости. Термодинамика не может объяснить

физическую природу сверхпроводимости, но может описать характер сверхпроводящего перехода и зависимоститермодинамических величин от температуры и магнитного поля в окрестности перехода.С точки зрения теории Гинзбурга-Ландау сверхпроводящее состояние отличается от нормального наличием

комплексного параметра дального порядка ψ. Этот параметр отражает существование дальных корреляцийэлектронов с противоположными импульсами и может быть интерпретирован как волновая функциякогерентного бозе-конденсата куперовских пар.Вблизи температуры перехода параметр порядка мал, и свободную энергию единицы объема можно

разложить по степеням плотности, ограничившись квадратичным приближением

F (ψ) = F0 + a (ψ∗ψ) +12b (ψ∗ψ)2 (1)

В состоянии термодинамического равновесия свободная энергия минимальна. Чтобы при T < Tc существовалаотличная от нуля плотность конденсата, необходимо, чтобы коэффициент a был отрицательным, а коэффициентb - положительным. Следуя Ландау-Гинзбургу, полагаем

a = α(T − Tc), b = const.

Тогда равновесная плотность конденсата линейно падает по мере приближения к температуре перехода

(ψ∗ψ) =|a|b

=α

b(Tc − T ), T < Tc (2)

Равновесная свободная энергия равна

F = F0 − 12

a2

b , T < Tc

F = F0, T > Tc(3)

и теплоемкость в точке перехода имеет скачок

C = −T ∂2F∂T 2 = C0 (T ) + α2

b T, T < Tc

C = C0 (T ) , T > Tc(4)

В присутствии неоднородного магнитного поля волновая функция ψ зависит от координат, и свободная энергиясверхпроводника имеет вид функционала от ψ

Ftot =∫

d3r[a (ψ∗ψ) +12b (ψ∗ψ)2 +

18π

~B2 +1

2m2ψ∗(p− e2

c~A)2ψ] (5)

Здесь добавлена энергия магнитного поля и кинетическая энергия куперовских пар. При этом m2 = 2m и -масса e2 = 2e и заряд куперовской пары. Магнитное поле ~B = rot ~A рассматривается в калибровке div ~A = 0.

В равновесии этот функционал минимален. Волновая функция ψ - комплексная величина. Минимум Ftot

можно искать варьируя его по действительной ψ′ и мнимой части ψ′′, но можно варьировать по ψ∗ припостоянном ψ. Второй способ удобнее

δFtot

δψ∗= aψ + b (ψ∗ψ) ψ +

12m2

(p− e2

c~A)2ψ = 0 (6)

Это - уравнение Гигзбурга-Ландау. Оно имеет вид нелинейного уравнения Шредингера, но имеет совершеннодругой физический смысл. Здесь ψ - не волновая функция элементарной частицы, а макроскопическаявеличина - параметр дальнего порядка или амплитуда конденсата куперовских пар. Координатная зависимостьψ(~r) определяется видом ~A(~r). Но при заданном ψ(~r) магнитное поле должно подстраиваться к виду ψ(~r),приводя к минимуму функционала свободной энергии

δFtot =∫

d3r[14π

~Bδrot ~A− e2

m2cδ ~Aψ∗(p− e2

c~A)ψ] = 0 (7)

В последнем члене вариацию векторного потенциала можно поставить на любое место, поскольку

div ~A = 0, divδ ~A = 0

2

Первый член, как при поиске минимума действия в теории поля, следует проинтегрировать по частям∫

d3r14π

~B[∇, δ ~A] =∫

d3rδ ~A14π

rot ~B

Вариация (7) принимает вид

δFtot =∫

d3rδ ~A[14π

rot ~B − e2

m2cψ∗(p− e2

c~A)ψ] = 0 (8)

Сравнивая подинтегральное выражение с уравнением Максвелла

rot ~B =4π

c~j (9)

Получаем формулу

~j =e2

m2Re[ψ∗(p− e2

c~A)ψ], (10)

которая имеет вид плотности электрического тока элементарной частицы с массой m2 и зарядом e2, но имеетсмысл плотности тока бозе-конденсата куперовских пар в магнитном поле.

Пусть сверхпроводник занимает правую полуплоскость x > 0.Если магнитного поля нет, то уравнение Гинзбурга-Ландау (6) вдали от поверхности имеет однородное

решение (2). Вблизи от поверхности сверхпроводника необходимо найти неоднородное решение

−ψ +b

|a| (ψ∗ψ)ψ − ξ2 ∂2ψ

∂x2= 0, x > 0. (11)

Характерный масштаб неоднородности плотности сверхтекучей компоненты 12Ns = |ψ| 1

2 определяетсяравенством

ξ2 =~2

2m2 |a| (12)

Величина ξ называется корреляционной длиной.Непосредственной проверкой можно убедиться, что решение нелинейного уравнения (11) имеет простой вид

ψ =

√|a|b

tanh[1ξ(x + x0)] (13)

Константа зависит от конкретных граничных условий на поверхности. Для многих металлов x0 À ξ , иоднородное решение (2) остается вплоть до поверхности. Для такого металла в магнитном поле

ψ =

√|a|b

eiϕ(r) (14)

и плотность тока (10) равна

~j =e2

m2

|a|b

(~∇ϕ− e2

c~A), (15)

Подставим это выражение в уравнение Максвелла (9)

rot ~B =4π

c

e2

m2

|a|b

(~∇ϕ− e2

c~A) (16)

и возьмем ротор от обеих частей

−∆ ~B = − 1λ2

~B (17)

3

Здесь введена новый параметр размерности длины - глубина проникновения.

1λ2

=4πe2

2

m2c2

|a|b

(18)

Согласно (17) магнитное поле затухает в проводнике на глубине λ.

~B = ~B0e−x/λ (19)

Важной характеристикой сверхпроводников является параметр Гинзбурга-Ландау

κ =λ

ξ=

m2c

e2~

√b

2π

Вещества с малым (большим) κ называются сверхпроводниками первого (второго) рода. Наиболее интереснысверхпроводники второго рода, у которых могут возникать неоднородные состояния - вихри.

Прежде всего выясним, какое поле разрушает однородное состояние сверхпроводника. Для простоты будемрассматривать тело цилиндрической формы в продольном магнитном поле. В этой геометрии минималентермодинамический потенциал, термодинамическое тождество которого имеет вид

dF = −SdT −MdH

Этот потенциал связан со свободной энергией соотношением

F(H) = F (B)− 18π

H2 −MH

В нормальном состоянии магнитное поле свободно пронизывает тело

B = H, Fn(B) = F0 +18π

B2,Fn(H) = F0

В сверхпроводящем состоянии магнитное поле выталкивается из тела (H - внешнее поле!)

B = 0,M = − 14π

H,Fs = F0 − a2

2b,Fs(H) = F0 − a2

2b+

18π

H2

Состояния сосуществуют, когда

Fs(Hc) = Fn(Hc),−a2

2b+

18π

H2c = 0,H2

c =4πa2

b

В высоком магнитном поле (Hc1 < H < Hc2) однородный сверхпроводник неустойчив, в нем появляются вихри- продольные нити нормальной фазы, в которых течет единичный магнитный поток Φ0 = 2π~c/e2. Площадьэтой нити равна πλ2, и поле внутри нити равно H = Φ0/πλ2 ' Hc/κ

Это дает оценку Hc1 ' Hc/κ. Если учесть, что поле вихря спадает логарифмически, то найдем более точнуюоценку нижнего критического поля

Hc1 ' lnκκ√

2Hc.

Легко найти верхнее критическое поле. В большом поле сверхпроводящая фаза слаба, и в уравнении (6)можно пренебречь нелинейностью.

12m2

(p− e2

c~A)2ψ = |a|ψ

Подставим в это уравнение потенциал ~A = (0, Bx, 0) :

12m2

px2ψ +

12m2

(py − e2

cBx)2ψ +

12m2

p2zψ = |a|ψ

4

Подстановкой ψ = ϕ(x) exp(ikyy + ikzz) это уравнение приводится к одномерному уравнению квантовогоосциллятора с частотой ω = e2B/m2c

12m2

px2ψ +

m2ω2

2(x− x0)2ψ = (|a| − 1

2m2~2k2

z)ψ

энергия которого равна

E = ~ω(n +12) = |a| − 1

2m2~2k2

z

Решение существует при условии

12~ω < |a| , B < Hc2 =

√2κHc.

Таким образом, неоднородые состояния возможны в веществах, у которых

κ ≥ 1√2

1

2оснпол-стат Лекция 2. Основные положения статистической физикиТермодинамика устанавливает соотношения между термодинамическими величинами, но не дает способа их

вычисления. Эту задачу решает статистическая физика, которая объединяет методы микроскопической физики- квантовой механики и теории поля с методами теории вероятности и статистической физики для построенияописания равновесных состояний макроскопических систем. (К сожалению, в физической литературе слово”состояние” используется сразу в трех смыслах - это и состояние одной частицы, и собственное состояниемакроскопического гамильтониана, и статистическое среднее состояние макроскопической системы. )

1.Средние значения.Макроскопическая системы, среды - это тела из большого числа частиц или поля с большим числом степеней

свободы. Состояние среды известно всегда весьма приближенно. Поэтому при описании этого состояния важноезначение имеют средние значения физических величин. Среднее значение физической величины A , можноопределить двумя способами. Первый способ - у одной системы многократно повторяется измерение этойвеличины A(t1), A(t2), ..., A(tn), и производится усреднение по результатам измерений. Такое среднее < A >t

называется средним по времениВторой способ заключается в том, что берется множество (ансамбль) одинаковых систем, находящихся

в одинаковых внешних условиях и одинаково приготовленных, и производится усреднение по результатамоднократного измерения величины A у каждого тела:

< A >=1n

(A1 + A2 + ... + An). (1)

Такое среднее, которое мы будем обозначать A или < A > называется средним по ансамблю. Имеет место”эргодическая гипотеза”, согласно которой оба способа усреднения дают одинаковый результат для всехвеличин у всех макроскопических систем, находящихся в равновесных состояниях. Для неравновесных систем,состояние которых эволюционирует во времени, сохраняет смысл только второй способ усреднения. Поэтому внастоящих лекциях под усреднением будет всегда подразумеваться усреднение по ансамблю.

Разность ∆A = A− < A > называется флуктуацией величины A. Величина σA =√

< (∆A)2 > есть средняяквадратичная флуктуация или дисперсия величины A. Среднее значения произведения флуктуаций < ∆A∆B >- есть корреляция величин A и B.

Заметим, что в замкнутой системе энергия и другие интегралы движения J во времени не флуктуируют, идля них < (∆J)2 >t= 0. Так что для дисперсий интегралов движения эргодическая гипотеза несправедлива.

2.Статистическая независимость и закон больших чисел.Две физические величины статистически независимы, некоррелированы, если

< ∆A∆B >= 0. (2)

Два тела статистически независимы, если все физические величины, относящиеся к одному телу некоррелированы со всеми физическими величинами второго тела.

Теперь можно дать более полное определение ”макроскопической системы”. Макроскопическая система -это такое тело, которое можно рассматривать как совокупность большого числа M (M >> 1) статистическинезависимых подсистем. Чтобы подсистема была статистически независимой от соседней подсистемы,необходимо, вообще говоря, чтобы взаимодействие между частицами подсистемы было много сильнее, чемпограничное взаимодействие между частицами данной подсистемы и частицами соседней подсистемы. Это,как правило, имеет место, когда число частиц в подсистеме N1 достаточно велико (N1 >> 1). В идеальномгазе, частицы которого не взаимодействуют друг с другом, уже одна частица может рассматриваться какнезависимая подсистема. Так что идеальный газ из ста частиц вполне можно называть макроскопическимтелом. Но мы этого делать не будем, и будем считать, что велико не только число частиц в системе, но иlog N >> 1.Мысленно разобьем макроскопическое однородное тело (газ, жидкость, кристалл) на большое число М

одинаковых статистически независимых подсистем. Средние значения энергий одинаковых подсистем < Ei >равны друг другу. Поэтому средняя энергия всей системы есть

< Etot >=<

M∑

i

Ei >= M < E1 > . (3)

Вычислим дисперсию энергии системы:

2

σ2tot =< ∆E2

tot >=<∑

i

∆Ei

∑

j

∆Ej >=∑

i

< (∆Ei)2 > +∑

i 6=j

< ∆Ei∆Ej > . (4)

Поскольку дисперсии у всех подсистем - одинаковые, а корреляции флуктуаций независимых подсистемравны нулю, то

σ2tot = Mσ2

1 . (5)

Отсюда находим, что относительная флуктуация энергии системы, равная

σtot

Etot=

σ1

E1

√M

, (6)

очень мала, если M >> 1. Очевидно, что этот результат, который в математической статистике называетсязаконом больших чисел, справедлив для любой физической величины.

Большинство результатов статистической физики формулируются в термодинамическом пределе.Термодинамический предел - это предел E, V, N, M →∞ при сохранении плотности энергии E/V и плотностичастиц N/V . В этом пределе физические величины не флуктуируют. Конкретные расчеты удобнее проводитьпри большом, но конечном значении объема системы. А переход к термодинамическому пределу производитсяв конечных формулах.Из закона больших чисел следует, что1) однократное измерение любой физической величины , характеризующей макроскопическую систему, дает

результат, близкий к среднему значению этой величины. Это позволяет доверять описанию экспериментальногоисследования, опубликованного в одной-двух работах, и не ждать многократного повторения эксперимента.2)чтобы предсказать результат измерения любой физической величины макроскопической системы

достаточно вычислить ее среднее значение.3.Число состояний, плотность числа состояний.В классической физике состояние механической системы задается в фазовом пространстве - множестве точек

α = ((~r1, ~p1), (~r2, ~p2), (~r3, ~p3)...)

где ~ri, ~pi -коодината и импульс i-той частицы, принадлежащей системе. Но на языке классической механикисвойства систем многих частиц значительно сложнее формулировать, чем на языке квантовой механики. Сдругой стороны квазиклассическая теория доказывает, что во многих случаях обе механики эквивалентны.Поэтому для формулировки общих законов статистической физики мы будем использовать терминологию ипонятия квантовой механикиВ квантовой механике состояния замкнутой системы описываются уравнением Шредингера

HΨα = EαΨα. (7)

Здесь H - гамильтониан системы. Вид волновой функции Ψα и энергия Eα однозначно задается ”точкой”(фактически, набором квантовых чисел) α. Множество функций Ψα или точек α образуют так называемоеГильбертово пространство.

Равновесное состояние макроскопической системы полностью описывается небольшим набором аддитивныхинтегралов движения. Значит большая часть информации, которая содержится в тачках Гильбертовапространства является излишней.Рассмотрим однородную замкнутую систему, в которой объем и число частиц заданы, а остальные

интегралы движения, такие как импульс, момент импульса, магнитный и электрический моменты, равны нулю.Термодинамически равновесное состояние этой системы полностью характеризуется одной величиной - энергиейсистемы E. Все остальные термодинамические величины являются функциями от E, и задача статистическойфизики сводится к установлению явного вида этих функций, т.е. к определению температуры T (E), давленияp(E) и химического потенциала µ(E) как функций от энергии.

Как мы мы увидим ниже, при вычислении термодинамических величин возникают суммы вида∑α

f(Eα). (8)

3

Чтобы вычислить выражение такого вида следует сначала найти степень вырождения уровня E, т.е. число всехсостояний ∆Γ(E), принадлежащих этому уровню, а затем взять сумму по уровням энергии. Это легко сделать,если спектр энергии имеет эквидистантную структуру. В общем случае эту программу можно выполнить, введяпонятие о плотности состояний. Из определения дельта-функции следует формула

f(Eα) =∫

dEf(E)δ(E − Eα). (9)

Подставим это выражение в (8) и поменяем порядок интегрирования:

∑α

f(Eα) =∫

dEf(E)dΓdE

, (10)

где введено обозначение

dΓdE

≡∑α

δ(E − Eα). (11)

Это - определение плотности состояний системы. Плотность состояний системы численно равна производнойот величины

Γ(E) =∑α

θ(E − Eα), (12)

которая есть полное число состояний в интервале от минимального значения, которое всегда можно принятьравным нулю, до E:

Напомним, что функция Хевисайда равна θ(x) = 1 при x > 0 и θ(x) = 0 при x < 0, причем

dθ(x)dx

= δ(x) (13)

Упомянутое выше число состояний c энергией E связано с плотностью состояний очевидным соотношением:

∆Γ =dΓdE

∆E, (14)

где ∆E есть расстояние между уровнями системы.4.Статистическая энтропия.В статистической физике энтропия определяется как логарифм числа состояний

σ(E) = lnΓ(E) (15)

Обратно, число состояний равно

Γ(E) = eσ(E). (16)

Для макроскопической системы эта величина практически совпадает с логарифмом числа состояний с энергиейЕ (14):

σ∗(E) = ln∆Γ (17)

Действительно, из формулы (16) находим

ln∆Γ = ln(

dΓdE

∆E

)= ln

(eσ(E) dσ

dE∆E

)= σ(E) + ln

(dσ

dE∆E

)(18)

Под знаком логарифма стоит макроскопическая величина. Этот логарифм относится к макроскопическойвеличине σ(E) как lnN к N. Поэтому, опустив в (18) логарифм, мы допустим исчезающе малую ошибку. Врезультате получаем равенство

ln∆Γ = ln Γ (19)

4

При вычислении энтропии конкретных макроскопических тел.в с одинаковой точностью можно использоватьлюбую из формул (15) или (17). Формула (19) есть один из многочисленных примеров, когда две разныемакроскопически большие величины имеют одинаковые логарифмы. В подобных случаях говорят о равенствевеличин в логарифмическом приближении. Имея ввиду непривычность этого равенства, приведем другойвывод, который, возможно сделает его более понятным.

Число состояний Γ(E) тождественно равно интегралу

Γ(E) =

E∫

0

dE′ dΓdE

Используя определение (17), перепишем его в виде

Γ(E) =

E∫

0

dEeσ∗ 1∆E

Подинтегральное выражение максимально на верхней границе интегрирования. Разлагая показательэкспоненты по отклонению от верхнего предела, легко находим

Γ(E) =1

∆E dσ∗dE

eσ∗(E) (20)

Логарифмируя это уравнение, получаем

σ(E) = lnΓ(E) = σ∗(E)− ln

(∆E

dσ∗

dE

)(21)

Как и в (18), последним логарифмом можно пренебречь и, следовательно, σ∗ = σ.Статистическая энтропия систем с большим числом степеней свободы монотонно растет с ростом энергии.

Это означает, что она обладает свойствами

(a) σ |E=0= min, (22)

(b) β =dσ

dE> 0, (23)

Менее тривиальное свойство статистической энтропии выражается неравенством

(c)d2σ

d2E< 0. (24)

Отрицательность второй производной σ(E) по энергии необходима для сходимости последующих интеграловпо энергии. Существуют механические системы, у которых это свойство не выполняется, но для такихсистем отсутствует состояние устойчивого термодинамического равновесия, и они распадаются. Например, длякосмического тела - черной дыры σ ∼ E2, и вторая производная от статистической энтропии положительна.Это находится в соответствии с особенностью эволюции черных дыр: большие дыры неограниченно растут,а малые испаряются за конечное время. Таким же свойством обладают зародыши новой фазы - например,пузырьки пара в кипящей воде.

Кроме того, статистическая энтропия есть аддитивная величина.Докажем последнее утверждение. Пусть система составлена из двух независимых подсистем А и В, и ее

состояния в точке α = (a, b) имеет энергию Eα = Ea + Eb. Число состояний (12) такой системы равно

ΓAB(E) =∑

a

∑

b

θ(E − Ea − Eb). (25)

Здесь сумма по b образует число состояний подсистемы В с энергией (E − Ea). Получаем

ΓAB(E) =∑

a

Γb(E − Ea). (26)

5

Принимая во внимание предыдущие формулы , перепишем эту сумму в виде

ΓAB(E) =∫

dEadΓa

dEaeσb(E−Ea) =

∫dEa

(eσa(Ea) dσa

dEa

)eσb(E−Ea) =

∫dEaβaef (27)

f(Ea) = σa(Ea) + σb(E − Ea) (28)

Величина f(Ea) макроскопически велика и резко зависит от энергии Ea. Это позволяет взять интеграл методомперевала. Функция f имеет острый максимум в точке Ea = Em, в которой

df

dEa|Em= βa − βb = 0 (29)

Разложим функцию f около ее максимума

f = fm +12

d2f

dx2x2, x = Ea − Em. (30)

Вторая производная f” =(

d2σd2E

)a

+(

d2σd2E

)bотрицательна в силу (24). Подставим разложение (30) в (27) и

вынесем предэкспоненциальный множитель в точке (29):

Γ(E) = βaefm

∫dxe−

12 |f”|x2

. (31)

Последний интеграл равен√

2π/ | f” |. В результате получаем

σAB(E) = lnΓAB(E) = σa(Ema ) + σb(Em

b ) + ln(β

√2π

| f” | ). (32)

Опять пренебрегаем логарифмом . Тогда логарифм числа состояний составной макроскопической системыпринимает явно аддитивную форму

(d) σAB(E) = σa(Ema ) + σb(Em

b ). (33)

Таким образом, квантовомеханическая величина σ(E), которая называется статистической энтропиейБольцмана, обладает всеми свойствами термодинамической энтропии: она минимальна в основном состояниисистемы (), монотонно растет с ростом энергии (b), ее вторая производная по энергии отрицательна () и, наконец,это - аддитивная величина (d). Более того, статистическая энтропия составной системы (??) σAB(E) обладаетсвойством экстремальности - она равна максимальному значению суммы статистических энтропий подсистем,причем полная энергия системы разделятся по подсистемам так, что производные от статистических энтропийподсистем по энергии равны друг другу (см.(29)). По этой причине величина β−1, обратная производной отстатистической энтропии по энергии, называется статистической температурой τ :

dσ

dE=

1τ

(34)

5.Три примера. Найдем число состояний Γ (или ∆Γ) и статистическую энтропию σ для несколькихпростейших макроскопических систем.

1)Систему N спинов S = 12 , находящихся в магнитном поле B, будем описывать гамильтонианом

H = −2µB

N∑

i=1

(szi −

12). (35)

Энергия одного спина в магнитном поле, равная −2µBsz(sz = ± 12 ), сдвинута на константу, чтобы минимальная

энергия была равна нулю. , Если (N −M) спинов находятся в основном состоянии (sz = 1/2), а M спинов - ввозбужденном (sz = −1/2), то система имеет энергию E = M∆E , где ∆E = 2µB. Такая энергия может бытьполучена числом способов, равным

6

∆ΓM =N !

M !(N −M)!. (36)

При больших значениях аргумента по формуле Стильтьеса факториал приближенно равен

N ! ≈ (N/e)N , (37)

и выражение (36) принимает вид

∆Γ = (N

e)N (

e

M)M (

e

N −M)N−M =

NN

MM (N −M)N−M. (38)

Логарифм этой величины можно представить в форме

σ∗ = ln∆Γ = −N(nln(n) + (1− n)ln(1− n)) (39)

Величина

n =M

N=

E

(N∆E)(40)

имеет смысл концентрации возбужденных спинов.Кроме самой статистической энтропии важными характеристиками системы являются ее производные по

энергии. Для рассмотренного примера они равны:

1τ

=dσ

dE=

1∆E

ln(1− n

n), (41)

d2σ

dE2= − 1

N(∆E)2n(1− n). (42)

Обратим внимание, что с ростом среднего числа возбужденных спинов n от нуля до половины температураτ растет от нуля до бесконечности, а при дальнейшем возрастании числа n (в интервале 1/2 < n < 1)”температура” τ отрицательна. Состояние с отрицательной температурой возможно только для систем сконечным числом всех состояний системы.В данном случае это число равно 2N

2)Теперь рассмотрим число состояний с заданной энергией в системе N одинаковых осцилляторов. Завычетом энергии нулевых колебаний энергия системы равна

E = ∆E

N∑

i=1

ni, ∆E = ~ω. (43)

где ni- номер возбуждения i-того осциллятора. Это значение энергии может быть получено числом способов,которое следует из комбинаторики

(N + M − 1)!(N − 1)!M !

≈ (N + M)N+M )NNMM

. (44)

Логарифм этого числа (который, как мы уже знаем, есть статистическая энтропия системы) равен

σ = ln∆Γ = N(−nln(n) + (1 + n)ln(1 + n)), n =M

N. (45)

И здесь n = M/N = E/(N∆E) - среднее число возбуждений, приходящихся на один осциллятор. Производныестатистической энтропии (45) равны

dσ

dE=

1∆E

ln(1 + n

n), (46)

7

d2σ

dE2= − 1

N(∆E)2n(1 + n). (47)

Число состояний системы осцилляторов бесконечно, и состояния с отрицательной температурой отсутствуют.3)Последний пример - вычисление числа состояний для идеального газа с числом частиц N и объемом

V . Поступательное движение частиц всегда квазиклассично. В классической механике состояние системыхарактеризуется точкой в 6N - мерном фазовом пространстве

α = (r1,p1, r2,p2, ..., rN,pN) (48)

Число точек в элементе 6-мерного фазового объема dr3dp3 согласно правилу Бора-Зоммерфельда равноотношению этого объема к (2π~)3. Обобщение этого правила на случай N одинаковых частиц даетдифференциал числа состояний

dΓα =1

N !

N∏

i=1

d3rid3pi

(2π~)3. (49)

Произведение дифференциалов поделено на N ! для того, чтобы все конфигурации, положения частиц в 6N -мерном фазовом пространстве, отличающиеся друг от друга лишь перестановками тождественных частиц,учитывались только один раз. С помощью ( 49 ) произвольная сумма по состояниям может быть представленав форме интеграла

∑α

Fα =∫

dΓαFα. (50)

Полное число состояний - число точек в 6N -мерном пространстве с энергией

Eα =N∑

i=1

p2i

2m(51)

в интервале между 0 и E выражается интегралом (см.(12)):

Γ(E) =∫

dΓαθ(E − Eα) =1

N !

∫ N∏

i=1

d3rid3pi

(2π~)3θ(E −

N∑

i=1

p2i

2m). (52)

Интегрирование по пространственным координатам каждой частицы дает объем V , и с учетом формулыСтильтьеса получаем

Γ(E) = (V e

N(2π~)3)NJ3N (E), (53)

J3N (E) =∫ N∏

i=1

d3piθ(E −N∑

i=1

p2i

2m). (54)

Введем обозначение E = P 2/2m, сократим в аргументе θ-функции множитель 1/2m, и перепишем интеграл(54) в форме объема 3N -мерного шара радиуса P :

J3N (E) = V3N (P ) =∫

d3Npθ(P 2 −N∑

i=1

p2i ). (55)

Объем многомерного шара равен

Vn(R) =π

n2

Γ(n2 + 1)

Rn ≈ (2eπR2

n)

n2 . (56)

8

Используя эту формулу, находим логарифм числа состояний (53) , т. е. статистическую энтропию идеальногогаза:

σ(E) = lnΓ(E) = Nln[V e

N(2π~)3(4πemE

3N)

32 ].

Производная от статистической энтропии по энергии определяет обратную статистическую температуруидеального газа (см.(28)):

1τ

=dσ

dE=

3N

2E, τ =

2E

3N. (57)

Но с другой стороны в лекции по термодинамике формулой для энергии идеального газа

E =32NT (58)

определена шкала термодинамической температуры T . Отсюда следует, что τ = T , т.е. статистическаятемпература есть обычная температура , а статистическая энтропия, связанная с температурой формулой (28),есть термодинамическая энтропия макроскопического тела.Вторая производная статистической энтропии (43 ??) равна

d2σ

dE2= − 3N

2E2. (59)

Таким образом, во всех рассмотренных примерах вторая производная статистической энтропии поэнергии,как и должно быть, отрицательна и по порядку величины равна отношению −N/E2. Для квантовыхсистем (см.(42), (47)), находящихся в слабо возбужденных состояниях, эта оценка несколько меняется:

d2σ

dE2∼ −1/E, n << 1. (60)

Конец лекции.

1

4TlnZ Лекция 4. О стат.сумме, распределениях...Статистическая сумма.На предыдущей лекции было доказано, что энтропия макроскопической системы равна логарифму от числа

состояний. Зная энтропию σ как функцию энергии, можно найти температуру и другие термодинамическиевеличины. Однако вычислить число состояний

Γ =∑α

θ(E − Eα), (1)

или плотность состояний системы

dΓdE

=∑α

δ(E − Eα) (2)

сложно из-за наличия в них θ - или δ -функций, которые накладывают жесткие ограничения на суммарнуюэнергию системы. Более удобной для вычислений величиной является, так называемая статистическая сумма

Z(β) =∑α

e−βEα , β > 0. (3)

Статистическая сумма равна образу Лапласа от плотности состояний∫ ∞

0

dEe−βE dΓdE

=∫ ∞

0

dEe−βE∑α

δ(E −Eα) = Z(β). (4)

Поскольку

Γ = eσ,dΓdE

=d

dEeσ = eσ dσ

dE, (5)

то статистическую сумму можно представить в форме интеграла

Z(β) =∫ ∞

0

dEeσ−βE dσ

dE, (6)

Интеграл такого типа мы уже брали на предыдущей лекции. Разложим показатель экспоненты f = σ − βE вряд около точки Em и ограничимся квадратичным приближением:

f(E) = fm + f ′mx +12f”x2, x = E − Em. (7)

Точка Em определяет мaксимум функции, если

f ′ =dσ

dE− β = 0, (8)

f” =d2σ

dE2< 0. (9)

Неравенство (9) выражает одно из основных свойств статистической энтропии σ. Оно выполняется во всехтрех примерах, рассмотренных на предыдущей лекции. В общем случае это условие является необходимымпризнаком возможности установления термодинамического равновесия в системе.Итак, если выбрать в качестве Em положение максимума функции (7),то с учетом знака f” имеем

f(E) = fm − 12| f” | x2, (10)

и интеграл (6) принимает вид

Z(β) = efm

∫ ∞

−∞dx

dσ

dEe−

12 |f”|x2

, (11)

2

Как показано в конце предыдущей лекции, | σ” |∼ N/E2 или 1/E, и подинтегральная экспонета имеет резкиймаксимум в точке Em с шириной

∆E = (σ”)−12 << E. (12)

Поэтому нижний предел интегрирования в (11) заменен на −∞. По этой же причине предэкспоненциальныймножитель можно вынести (с учетом (8)) из под знака интеграла и привести интеграл к форме Гаусса:

Z(β) = βefm

∫ ∞

−∞dxe−

12 |f”|x2

. (13)

После интегрирования получаем

Z(β) = βefm

√2π

| f” | . (14)

Логарифмируя, находим

lnZ(β) = σ(Em)− βEm + ln[β

√2π

| σ” | ]. (15)

Для макроскопических систем два первых аддитивных члена справа велики по сравнению с последнимлогарифмом, и им можно пренебречь. Таким образом, логариф статистической суммы в макроскопическомпределе равен

lnZ(β) = σ(Em)− βEm. (16)

Для системы, составленной из двух независимых подсистем A и B, энергия которой в точке α = (a, b) равнаEα = Ea + Eb, статистическая сумма распадается на множители:

ZA,B(β) =∑

a,b

e−β(Ea+Eb) = ZA(β)ZB(β). (17)

Отсюда непосредственно следует аддитивность логарифма статистической суммы

lnZA,B(β) = lnZA(β) + lnZB(β). (18)

Поэтому формулу (16) можно читать в обе стороны: Если принять во внимание доказанную на предыдущейлекции аддитивность σ (аддитивность энергии не обсуждается), формула (16) демонстрирует аддитивность lnZ.Но если опираться на доказанную в (18) аддитивность lnZ, то (16) переносит это свойство на статистическуюэнтропию.

Кроме того, из (8) получаем

dσ

dE|AB=

dσ

dE|A =

dσ

dE|B = β. (19)

Эта цепочка равенств означает, что производные от статистических энтропий по энергии для подсистем иполной энтропии одинаковы и равны β. Это доказывает, что аргумент статистической суммы (3) β имеет смыслобратной термодинамической температуры:

T =1β

. (20)

а статистическая энтропия есть термодинамическая энтропия

σ(Em) = S(Em), (21)

причем Em = E(T ) есть энергия тела при температуре T .

3

Умножим обе стороны равенства (16) на :

T lnZ(β) = Tσ(Em)− Em, (22)

С учетом термодинамического смысла величин, входящих в это уравнение, перепишем его в виде

T lnZ(1T

) = TS − E, (23)

Эта формула доказывает, что термодинамический потенциал - свободная энергия F = E − TS- равен

F = −T lnZ, (24)

Это главная формула статистической физики. Она дает единый алгоритм вычисления всехтермодинамических величин:

1)Вначале следует задать гамильтониан системы и решить кватовомеханическую задачу - найти вид спектраэнергии Eα.

2)Зная энергетический спектр, следует вычислить статистическую сумму (3).3)После этого по формуле (24) определяем свободную энергию, производные от которой задают все остальные

термодинамические величины.Функция распределения, матрица плотности.Выше при установлении связи между "механическими" величинами - σ, τ, Z и термодинамическими - S, T, F

из математической статистики был использован только закон больших чисел. Для более глубокого пониманиястатистической физики следует использовать основные понятия теории вероятностей и математическойстатистики - вероятность события и функцию распределения.Функция распределения wα есть функция точки α и равна в этой точке вероятности того, что тело находится

в механическом состоянии, характеризуемом набором квантовых чисел α. Если физическая величина A в точкеα принимает значение Aα, то ее среднее значение равно

< A >=∑α

wαAα. (25)

Полагая в этом выражении A = 1, находим, что функция распределения нормируется соотношением

∑α

wα = 1. (26)

Если физическая величина описывается эрмитовым оператором A, который в представлении α имеетнедиагональные элементы, то вместо (25) следует писать выражение более общего вида

< A >=∑

αβ

ραβAβα = Sp(ρA). (27)

Эрмитов оператор ρ, след которого равен единице

Spρ = 1, (28)

называется матрицей плотности или статистическим оператором.Матрица плотности и ее диагональная часть - функция распределения - дают полное описание

статистического состояния тела, так как они определяют средние значения всех физических величин,которые зависят от этого состояния.

Таким образом, если механическое состояние есть точка в фазовом пространстве, или полный наборквантовых чисел, или волновая функция, то статистическое состояние - это совокупность, множествомеханических состояний, размытых по некоторой области фазового или гильбертового пространства.Пусть система находится в заданном механическом состоянии α0. Тогда

ραβ = δαβwα, wα = δαα0 . (29)

4

Такое статистическое состояние полностью определяется соответствующей волновой функцией Ψα0 иназывается чистым состоянием.

Эволюция матрицы плотности замкнутой системы во времени описывается уравнением Лиувилля. Напомним,как оно выводится в курсе квантовой механики. В представлении Гайзенберга волновые функции и матрицаплотности замкнутой системы от времени не зависят, и зависимость от времени переносится на операторы:

A(t) = ei Ht~ Ae−i Ht

~ . (30)

При этом зависимость от времени средней величины < A > задается уравнением

< A >= Sp(ρA(t)) = Sp(ρei Ht~ Ae−i Ht

~ ). (31)

Под знаком шпура можно произвести циклическую перестановку, не меняя величины следа от произведенияматриц. Поэтому формула (31 ) может быть представлена в видоизмененной форме

< A >= Sp(e−i Ht~ ρei Ht

~ A) = Sp(ρ(t)A). (32)

Последнее выражение есть запись среднего значения величины А в представлении Шредингера, в которомоператор A от времени не зависит, а зависимость от времени перенесена на матрицу плотности:

ρ(t) = e−i Ht~ ρei Ht

~ . (33)

Дифференцирование этого выражения по времени приводит к квантовому уравнению Лиувилля:

∂ρ

∂t= − i

~[H, ρ]. (34)

Здесь [f, g] ≡ fg − gf. В классическом пределе правая часть уравнения Лиувилля принимает вид скобокПуассона, но мы классическую форму уравнения Лиувилля использовать не будем.

Из уравнения Лиувилля следует, что матрица плотности стационарного равновесного состояния коммутируетс гамильтонианом:

[H, ρ] = 0. (35)

Это есть квантовомеханическая формулировка того, что равновесная матрица плотности является интеграломдвижения.

Два оператора, которые коммутируют друг с другом, имеют общую систему собственных функций Ψα.Поэтому равновесная матрица плотности в представлении собственных функций гамильтониана диагональнаи сводится к функции распределения - набору диагональных элементов.Вероятности независимых событий перемножаются. Это означает, что вероятность обнаружения системы,

состоящей из независимых подсистем в состоянии α = (α1, α2, ..., αp) равна произведению

wα = wα1wα2 ...wαp . (36)

Логарифмируя, получаем свойство аддитивности логарифма равновесной функции распределения:

lnwα = lnwα1 + lnwα2 + ... + lnwαp . (37)

Объединяя (35) и (37 ), приходим к очень важному результату -Логарифм равновесной функции распределения есть аддитивный интеграл движения. У механической

системы существует не больше 7 независимых аддитивных интегралов движения: энергия, три компонентыимпульса и три компоненты момента импульса. В курсе мы будем рассматривать только такие тела, которыенеподвижны и не вращаются. Тогда остается один единственный аддитивный интеграл движения - энергия,а все другие аддитивные сохраняющиеся величины должны быть линейными функциями энергии. Отсюдаследует, что

lnwα = A + BEα, (38)

5

а сама равновесная функция распределения должна иметь вид

wα = (A+BEα). (39)

Подставим это выражение в (26):∑α

(A+BEα) = 1. (40)

Чтобы эта сумма сходилась при больших энергиях, необходимо, чтобы коэффициет был отрицательным.Положим B = −β, β > 0 и вынесем eA за знак суммы:

eA∑α

−βEα = 1. (41)

Из этой формулы находим связь константы А с логарифмом от статистической суммы (3):

A = −lnZ(β). (42)

Выше было доказано, что аргумент статистической суммы β имеет смысл обратной термодинамическойтемпературы (см.(20)), а логарифм статистической суммы непосредственно связан со свободной энергией (см.(24)). Это дает возможность переписать равновесную функцию распределения (39) в окончательной форме

wα =F−Eα

T . (43)

Это выражение называется статистическим распределением Гиббса или каноническим распределением.Главное свойство распределения Гиббса - все механические состояния α с одинаковой энергией равновероятны.В представлении общего вида, в котором гамильтониан имеет недиагональные матричные элементы,распределение Гиббса превращается в матрицу плотности

ρ = eF−H

T . (44)

Выше были даны две формулировки энтропии равновесного состояния. Термодинамическое определение

S(E) =∫ E

0

dE

T (E)(45)

и статистическое определение Больцмана

S(E) = lnΓ(E) = ln∆Γ. (46)

Еще одно выражение для равновесной энтропии возникает в результате усреднения распределения Гиббса(43):

< lnw >=F− < E >

T= −S. (47)

Отсюда энтропия равновесного состояния равна

S = − < lnw >=∑α

wαlnwα, (48)

или в операторном виде

S = −Sp(ρlnρ). (49)

Энтропия, определяемая как средний логарифм распределения ( со знаком минус), называется энтропиейГиббса.

6

В качестве примера непосредственного применения распределения Гиббса вычислим среднее значение энергиисистемы и ее дисперсию:

< E >=∑α

wαEα =

∑α e−βEαEα∑

α e−βEα= − 1

Z

dZ

dβ= −dlnZ

dβ= −T 2 d

dT

F

T= F + TS. (50)

Заметим, что это вычисление дает новое и более простое доказательство формулы (24). Далее

< E2 >=∑α

wαE2α =

1Z

d2Z

dβ2, (51)

Разность предыдущих выражений образует дисперсию:

< ∆E2 >=< (E− < E >)2 >=< E2 > − < E >2=

1Z

d2Z

dβ2− 1

Z2(dZ

dβ)2 =

d

dβ(1Z

dZ

dβ) = − d

dβ< E >= T 2 dE

dT= T 2CV . (52)

Среднее значение любой функции A(E) от энергии системы в равновесном состоянии вычисляется по формуле

< A >=∑α

w(Eα)A(Eα) =

∫dE

dΓdE

w(E)A(E) =∫

dEf(E)A(E), (53)

где функция

f(E) =dΓdE

w(E) (54)

имеет смысл вероятности обнаружить при измерении равновесной системы данное значение энергии. Другимисловами, это есть распределение по энергии (а формула Гиббса - это распределение по α−состояниям).Распределение по энергии равно произведению монотонно растущей плотности по энергии и монотонноубывающего распределения Гиббса. Легко заметить, что это произведение с точностью до постоянногомножителя совпадает с ядром статистической суммы (6) и имеет острый максимум в точке Em. Функцияв окрестности максимума описывается распределением Гаусса (??):

f(E) ∼ e−12 |σ”|(E−Em)2 . (55)

c очень узкой шириной ∆E, для которой мы можем теперь дать точную термодинамическую оценку:

∆E2 =1

| σ” | , | σ” |=| ∂2S

∂E2|= 1

T 2CV, ∆E = T

√CV . (56)

Не случайно, что эта ширина распределения по энергии равна дисперсии энергии системы (52).Подставим (55) в последний интеграл (53 ):

< A >= A(Em). (57)

Отсюда, в частности, имеем

< E >= Em. (58)

При вычислении (57) важен не конкретный вид распределения (43), а только - чрезвычайная узость функции(55).

7

Можно доказать следующую теорему Каца: Для вычисления средних значений физических величин втермодинамическом пределе (E, V, N → ∞, но E/V = const, N/V = const) в качестве равновесной функциираспределения можно использовать любую положительную функцию, нормированную на единицу и спадающуюпри больших энергиях быстрее, чем dΓ

dE .Поэтому в качестве равновесной функции распределения замкнутой системы часто выбирают

микроканоническое распределение

w(Eα) = constδ(E − Eα), (59)

или функцию

w(Eα) = constθ(E − Eα), (60)

или даже чистое состояние

wα = δα,α0 , (61)

но при этом теряется основное преимущество распределения Гиббса - отсутствие жестких ограничений навеличину энергии системы.Неравновесная (информационная) энтропия.В статистичесокой физике в качестве обобщения формулы (46) на неравновесные системы принимается

информационная энтропия - логарифм числа состояний ∆Γ, в которых система находится с одинаковойвероятностью.

S = ln∆Γ, (62)

Максимально возможную информацию о системе дает задание волновой функции Ψα или точки α. Вэтом случае говорят, что система находится в чистом состоянии. Чистому состоянию отвечает ∆Γ = 1, исоответствующая энтропия S = 0 Если мы ничего не знаем о системе, кроме ее энергии, можно сказать, чтов пространстве состояний система равномерно "размазана" по всем состояниям с заданной энергией, числосостояний максимально.∆Γ(E) и соответствующая энтропия равна равновесной энтропии Больцмана (46) Это-полное отсутствие информации о системе. Чем больше мы знаем о системе, чем больше у нас информации,тем меньше ∆Γ. Таким образом S = ln∆Γ есть математическая мера информации о системе. Именно поэтомунеравновесная энтропия Больцмана в теории информации называется информационной энтропией.

Другое, наиболеее однозначное, определение неравновесной энтропии есть обобщение энтропии Гиббса (49)на случай функции распределения или матрицы плотности общего вида.

S = −Sp(ρlnρ). (63)

Применим формулу (63) для вычисления неравновесной энтропии идеальных ферми- и бозе- газов.У идеальных газов взаимодействие частиц не учитывается, и вероятности w(np) заполнения одночастичных

состояний не зависят друг от друга. Поэтому в представлении чисел заполнения функция распределенияидеального газа имеет вид произведения одночастичных вероятностей

wα = w(np1)w(np2)w(np3)... (64)

Энтропия (63) для этого распределения равна

S = −∑α

wαlnwα =

−∑np1

∑np2

∑np3

...w(np1)w(np2)w(np3)...lnw(np1) + lnw(np2) + lnw(np3) + .... (65)

Суммирование последовательно по np1 , np2 , np3 , ... c учетом нормировки∑

npw(np) = 1 дает:

S = −∑np1

w(np1)lnw(np1) +∑np2

w(np2)lnw(np2) +∑np3

w(np3)lnw(np3) + .... (66)

8

У ферми-газа на каждом одночастичном состоянии р не может находиться больше одной частицы. Поэтомукаждая сумма по числам заполнения

−∑np

w(np)lnw(np). (67)

имеет только два члена∑np

w(np)lnw(np) = w(0p)lnw(0p) + w(1p)lnw(1p). (68)

Вероятность отсутствия частицы с импульсом p - w(Op) и вероятность обнаружить одну частицу с импульсомp - w(1p) можно выразить через среднее число заполнения:

np =∑np

w(np)np = w(1p). w(0p) = 1− w(1p). (69)

Сумма (67) принимает вид

−[(1− np)ln(1− np) + nplnnp]. (70)

В результате мы получаем выражение для неравновесной энтропии ферми газа

S = −∑

p

[(1− np)ln(1− np) + nplnnp]. (71)

В бозе-газе ситуация сложнее - числа заполнения уровня p принимают любое значение от нуля добесконечности, и, в принципе, возможно любое распределение по числам заполнения. Чтобы выразить сумму(67) через один параметр - среднее число частиц на этом уровне, примем, что эта сумма имеет максимальноезначение при заданном n(p). Этому требованию удовлетворяет вероятность

w(n) = (1− q)qn, q =n

1 + n. (72)

Вычисляя с помощью этого выражения сумму (67) и суммируя по импульсам, получаем неравновеснуюэнтропию бозе-газа:

S =∑

p

[(1 + np)ln(1 + np)− nplnnp]. (73)

Если газ имеет высокую температуру, то частицы распределены по числу уровней, которое много большечисла частиц. Тогда n(p) << 1, различие между ферми- и бозе- газами становится несущественным, и формулы(71) ,(73) приводят к одинаковому выражению - энтропии неравновесного больцмановского газа

S = −∑

p

nplnnp

e. (74)

Определения неравновесной энтропии 62 и (63) эквивалентны. Чтобы убедиться в этом уточним связьфункции распределения с числом состояний в неравновесном случае. Рассмотрим неравновесное статистическоесостояние, которое равномерно распределено по механическим состояниям (точкам) в ограниченной областиM гильбертова пространства, которая содержит ∆Γ точек. Такое статистическое состояние описываетсяраспределением вида:

wα = wm для точек, принадлежащих Mwα = 0 в остальных точках.Из условия нормировки находим

∑α

wα = wm∆Γ = 1, wm =1

∆Γ. (75)

Подставляя это распределение в(63), получаем неравновесную энтропию в форме Больцмана

S = −∑

α⊂M

wmlnwm = −∑

α⊂M

1∆Γ

ln

(1

∆Γ

)= ln∆Γ, (76)

КОНЕЦ ЛЕКЦИИ

1

2.3-dS-dT О законе возрастания энтропии...Закон возрастания энтропии.Термодинамика постулирует, что неравновесная замкнутая система с течением времени релаксирует

в состояние термодинамического равновесия, причем энтропия системы монотонно растет и достигаетмаксимального значения в состоянии термодинамического равновесия. В статистической физике законвозрастания энтропии необходимо вывести из законов квантовой механики и математической статистики.

В статистической физике эволюция замкнутой системы описывается уравнением Лиувилля

∂ρ

∂t= − i

~[H, ρ]. (1)

Используя это уравнение, найдем зависимость от времени энтропии Гиббса (3.61):

−∂ < lnρ >

∂t= −Sp[lnρ

∂ρ

∂t]. (2)

Чтобы найти это выражение умножим (1) на −lnρ и возьмем след от обеих частей равенства

−∂ < lnρ >

∂t= − i

~Sp[H, ρ]lnρ = − i

~SpH[ρ, lnρ] = 0. (3)

Итак, из уравнения Лиувилля следует, что энтропия замкнутой системы (1) сохраняется. Такой результатобусловлен тем, что оно описывает эволюцию матрицы плотности в предположении, что элемент статистическойнеопределенности достаточно ввести один раз - при формировании начального распределения, а дальнейшеедвижение системы идет по законам квантовой механики (см.(3.30)):

ρab(t) = e−i~ (Ea−Eb)tρab(0). (4)

По сути дела, чтобы сравнить начальное и конечное состояния системы и их энтропии, следует конечноесостояние измерить. При измерении вносятся дополнительные статистические операции - во первыхнеобходимо усреднить по степени точности измерительной аппаратуры, во вторых следует учесть длительностьэксперимента τ и, наконец, ошибку, вносимую неточностью определения момента времени, в которыйначиналось измерение τ ′. Усреднение по приборным ошибкам мы рассматривать не будем, чтобы не заниматьсяпроблемой конкретного измерения (хотя по этому предмету есть своя интересная наука). Усредним матрицуплотности (4) по времени измерения с помощью функции Гаусса

< ρab(t) >tau=∫

dt′G(t′, τ)e−i~ (Ea−Eb)(t+t′)ρab(0) = ρab(t)e−

12 (

τ(Ea−Eb)~ )2 . (5)

Поскольку энергия системы - аддитивная величина, а масштаб ”неопределенности энергии”, вносимойконечным временем измерения τ очень мал, то после измерения ширина распределения матрицы плотностипо энергии становится практически равной рулю и матрица плотности превращается в диагональную матрицув представлении собственных функций гамильтониана системы. Фактически, измерение является излишним,поскольку ту же роль играет усреднение по точности часов. Точность любых часов ограниченная. Чем большепромежуток времени между начальнным моментом времени t = 0 и моментом времени измерения t , тем большенеточность фиксации этого момента:

τ ′ = ξt. (6)

Здесь ξ- численный параметр. Подставляя в (4) вместо величины τ величину τ ′, получаем, что неточностьчасов приводит к монотонному и очень быстрому превращению неравновесной матрицы плотности в матрицу,диагональную по энергии.Но процесс эволюции системы на этом не останавливается. При реальном описании механических состояний

тела используютсся не представление собственных функций полного гамильтониана замкнутой системы,

2

а представление собственных функций модельного гамильтониана. Например, в газе - это функции, сфиксированными импульсами частиц α = (p1, p2, p3, ...) В результате взаимодействия между частицами этифункции превращаются в их сложную суперпозицию и начальное распредeление wα постепенно размываетсяпо все большему числу ∆Γ состояний с заданной энергией. Эволюция заканчивается, система приходит вравновесное статистическое состояние, когда полностью потерена информация о начальном состоянии и системаравномерно заполняет все точки фазового (гильбертового) пространства с фиксированной энергией, и логарифмчисла состояний ln(∆Γ) - информационная энтропия становится максимальной. Физически это проявляется какзакон возрастания энтропии.

Проведенное выше рассуждение не доказывает возрастание энтропии, а лишь указывает направление, вкотором это доказательство следует искать. При изучении кинетических явлений в некоторых простейшихфизических системах можно привести количественное доказательство закона возрастания ентропии. Здесьже ограничимся демонстрацией того, что одночастичные равновесные распределения Ферми и Бозе, атакже распределение Гиббса непосредственно следуют из требования максимальности энтропии в состояниитермодинамического равновесия. Для Ферми- или Бозе-газов следует искать условный экстремум выраженийдля неравновесной энтропии при постоянных значениях полной энергии и полного числа частиц. Составимфункционал Лагранжа:

L = +∑

p

[(η + np)ln(1 + ηnp)− nplnnp]− β∑

p

npEp − γ∑

p

np, η = ±1. (7)

Приравняем нулю производную от функционала по числу частиц с импульсом р :

∂L

∂np= ln(1 + ηnp)− lnnp − βEp − γ = 0. (8)

Отсюда получаем при η = 1- распределение Бозе, и при η = −1 - распределение Ферми:

np =1

eβEp−γ − η. (9)

Теперь найдем экстремум энтропии Гиббса при условии постоянства энергии системы и нормировки. Исходимиз функционала

L = −Sp(ρlnρ)− βSp(ρH)− γSpρ. (10)

Составляем вариацию

δL = −Spδρ(lnρ + 1 + βH + γ). (11)

Из равенства вариации нулю получаем выражение

ρ = e−(1+γ+βH), (12)

которое с точностью до обозначений совпадает с каноническим распределением Гиббса .11. Теорема Нернста. Согласно термодинамическому определению энтропия основного состояния, энергия

которого равна равна нулю (и Т=0), тождественно равна нулю. Из статистического определения Больцманаминимальное значение энтропии определяется числом состояний Γ(0) с минимальной энергией Е=0. Убольшинства тел основное состояние является невырожденным - Γ(0) = 1 , и

S(0) = lnΓ(0) = 0. (13)

Это равенство составляет содержание теоремы Нернста. Однако, в системе N невзаимодействующих спиновSэнергия каждого спина в отсутствии магнитной энергии (2S + 1) кратно вырождена по направлениям спина.Энтропия этой системы не зависит ни от температуры, ни от давления и равна

3

S(0) = lnΓ(0) = Nln(2S + 1). (14)

Обычно система невзаимодействующих спинов есть подсистема веществ с парамагнитными примесями.Энтропия парамагнетика равно сумме энтропий подсистем - спиновой, фононной и электронной. Энтропияфононной подсистемы пропорциональна T 3, а электронной (в металлах) - T . Таким образом, полная энтропияпарамагнетика при низких температурах равна

S(T ) = lnΓ(0) = Nln(2S + 1) + AT 3 + BT. (15)

Отсюда находим теплоемкость

C(T ) = T∂S

∂T= 3AT 3 + BT. (16)

В системах, которые имеют "щель" ∆ в спектре элементарных возбуждений, энтропия и теплоемкостьобращаются в нуль при T → 0 по экспоненциальному закону

S(T ) ∼ C(T ) ∼ e−∆T . (17)

Обращение теплоемкости в нуль при T → 0 - важнейшее следствие теоремы Нернста. На этом мы заканчиваемизложение основных положений термодинамики и статистической физики.

1

c:\03-lectures\2.4-кв-реш.ЛЕКЦИЯ 4a. ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ И.БОЗЕ-ПОЛЯ.В этой лекции будет коротко изложен полезный математический метод - "вторичное квантование", которое

позволяет компактно формулировать свойства многочастичных квантовомеханических систем. В рамках этогометода квантовая система многих частиц описывается в представлении чисел заполнения. В курсе квантовоймеханики этот метод формулируется для задачи об одномерном осцилляторе. Поскольку в учебных курсах доизложения "вторичного квантования"осциллятора иногда не доходят руки, коротко напомню суть дела.Рассмотрим гамильтониан одномерного осциллятора

H =p2

2M+

Mω2x2

2(1)

где коммутатор координаты x и импульса p = −i~∇ равен

[x, p] = i~ (2)

Этот гамильтониан диагонализуется каноническим преобразованием

x =

√~

2Mω(a + a+), p = i

√12~Mω(a+ − a) (3)

где введены оператор и эрмитовосопряженный ему оператор, которые удовлетворяют коммутационным соот-ношениям

[a, a] =[a+, a+

]= 0,

[a, a+

]= 1 (4)

Подстановка (3) в (1) дает

H = − 12M

12~Mω(a+ − a)2 +

Mω2

2~

2Mω(a + a+)2 =

12~ω(a+a + aa+) (5)

Произведения операторов вторичного квантования принято записывать в "нормальном порядке", когда опера-тор a стоит справа, и a+ - слева. В нормальной форме гамильтониан осциллятора имеет вид

H = ~ω(a+a +12) (6)

Как известно, энергия n-ного состояния осциллятора равна

En = ~ω(n +12) (7)

Сравнение (6) и (7) показывает, что произведение a+a имеет смысл оператора номера возбуждения осцилля-тора, т.е. собственное значение этого оператора для n-ного состояния осциллятора |n〉 равно n .:

a+a |n〉 = n |n〉

Это соотношение выполняется тождественно, если единственные, отличные от нуля матричные элементыоператоров a и a+ равны

〈n− 1| a |n〉 = 〈n| a+ |n− 1〉 =√

n (8)

Действительно

〈n| a+a |n〉 = 〈n| a+ |n− 1〉 〈−1| a |n〉 = n

Для наглядности, состояние осциллятора |n〉 называют состоянием с n фононами. Тогда оператор a+a назы-вают оператором числа фононов, каждый из которых имеет энергию ~ω. При этом матричные элементы (8)читают справа налево и называют оператор a оператором поглощения фонона, а оператор a+ - оператором

2

рождения фонона. В справедливости всех предыдущих формул можно непосредственно убедиться, выражаясобственные функции осциллятора через полиномы Эрмита и записывая оператор поглощения в форме

a = x

√Mω

2~+ ip

√1

2~Mω

Квантовомеханическая задача определения собственных колебаний кристалла сводится к проблеме диагона-лизации гамильтониана:

H =∑

j

p2j

2M+

12

∑

i,j

U(ri − rj). (9)

Здесь первая сумма есть сумма кинетических энергий атомов, которые колеблются около узлов кристаллическойрешетки

Rαj = aα

1 n1 + aα2 n2 + aα

3 n3. (10)

Три вектора aα1 ,aα

2 ,aα3 - это три периода решетки. Примем, что число номеров узлов j = (n1, n2, n3) в каждом

из трех направлений равно N1, а полное число расположенных в узлах атомов кристалла равнo N0 = N31 .

Вторая сумма в (9) есть сумма потенциальных энергий парного взаимодействия атомов. Гамильтониан (9)имеет классический вид, но, фактически, является квантовомеханическим оператором, поскольку координатаи импульс квантовой частицы удовлетворяют коммутационному соотношению (принципу неопределенностиГейзенберга):

[rαi , pβ

j ] = rαi pβ

j − pβj rα

i = i~δαβδij . (11)

Отклонения (смещения) атомов от положений равновесия

uαj = rα

j −Rαj (12)

малы по сравнению с межатомными расстояниями, и потенциалы можно представить в форме разложения поэтим смещениям:

U(ri − rj) = U(Ri −Rj + ui − uj) =

U(Ri −Rj) + Uα(Ri −Rj)(uαi − uα

j ) +12Uαβ(Ri −Rj)(uα

i − uαj )(uβ

i − uβj ) + ... (13)

Кубические и более высокие члены разложения будем опускать. Подставим это выражение в (9). Сумма нулевыхчленов разложения дает потенциальную энергию кристалла, когда все атомы находятся в узлах решетки -U0.Нас интересуют возбуждения кристалла и постоянную величину U0 будем опускать. Совокупность линейныхпо смещениям членов равна нулю

12

∑

i,j

[Uα(Ri −Rj)(uαi − uα

j )] = 0, (14)

т.к. в равновесии равна нулю суммарная сила окружающих атомов∑

j

[Uα(Ri −Rj) = 0 (15)

Определяющую роль в гамильтониане кристалла играют квадратичные по смещениям члены:

H =∑

j

p2j

2M+

12

∑

i,j

12Uαβ(Ri −Rj)(uα

i − uαj )(uβ

i − uβj ). (16)

Это - гамильтониан кристалла в гармоническом приближении. Он задает энергию кристалла как функцию6N переменных смещений атомов uα

j и их импульсов pαj . Совокупность смещений можно рассматривать как

3

3-х компонентную вектор-функцию, заданную в дискретных точках пространства Rj и для всех моментоввремени t. С этой точки зрения гамильтониан кристалла есть функционал от дискретного ПОЛЯ СМЕЩЕНИЙ,аналогично тому как энергия электромагнитного поля есть функционал от векторного потенциала, заданного вовсех точках пространства. Поэтому задача определения собственных колебаний кристалла (и их квантования)полностью эквивалентна задаче определения собственных колебаний электромагнитного поля.

Для полного определения колебаний необходимо задать граничные условия на поверхности кристалла. Еслиспециально не интересоваться поверхностными колебаниями, то на смещения можно наложить условия перио-дичности Блоха

uαn1,n2,n3

= uαn1+N1,n2,n3

= uαn1,n2+N1,n3

= uαn1,n2,n3+N1

. (17)

В результате гамильтониан (16) становится явным образом пространственно однородным, т.к. его вид не меня-ется при переносе начала координат из одного узла в любой другой. Все пространственно однородные формыдиагонализуются в импульсном представлении. Переход к импульсному представлению осуществляется преоб-разованием Фурье, т.е. разложением смещений и импульсов атомов по плоским волнам:

uαj = uα(Rj) =

1√N0

∑

k

uαk eikRj , uα

k = (uα−k)∗ =

1√N0

∑

R

uα(R)e−ikR, (18)

pαj = pα(Rj) =

1√N0

∑

k

pαk e−ikRj , pα

k = (pα−k)∗ =

1√N0

∑

R

pα(R)eikR. (19)

Здесь и далее из соображений удобства преобразования Фурье смещений и импульсов отличаются знаком вэкспоненте. Сопряженность компонент с противоположными волновыми векторами следует из действительно-сти (эрмитовости) смещений и импульсов. Для краткости у радиуса Rj будем опускать номер узла. Подставимразложения Фурье в (8) и поменяем порядок суммирования:

H =∑

k

pαk pα−k

2M+

12

∑

k

uαk uβ

−kUαβk , (20)

Здесь использовано соотношение∑

R

ei(k1+k2)R = N0δk1,−k2 (21)

и введено обозначение

Uαβk =

∑

R

12Uαβ(R)(eikR − 1)(e−ikR − 1) =

∑

R

Uαβ(R)(1− coskR). (22)

Итак, гамильтониан распался на сумму по волновым векторам, но потенциальная энергия попрежнему недиаго-нальна по тензорным индексам. Матрица Uαβ есть вторая производная от потенциала парного взаимодействия.Она действительна и симметрична по верхним индексам.

Соответственно действителен и симметричен тензор (14). Это означает, что потенциальную энергию можнодиагонализовать путем разложения смещений по собственным векторам поляризации колебаний eα

ks:

uαk =

∑s

ukseαks, Uαβ

k eβks = M(ωks)2eα

ks, eαkse

αks′ = δss′ , s = 1, 2, 3 (23)

Такое же преобразование применяем к импульсам:

pαk =

∑s

pkseαks, (24)

В результате гамильтониан (20) принимает вид

H =∑

ks

[pksp−ks

2M+

M

2(ωks)2uksu−ks], (25)

4

Каждый член суммы напоминает гамильтониан независимого одномерного осциллятора с собственной частотойωks, но для окончательной диагонализации гамильтониана следует избавиться от произведений с противопо-ложными волновыми векторами. С учетом того, что компоненты смещений и импульсов с противоположнымиk не являются независимыми величинами, а эрмитово сопряжены по отношению друг к другу, выполним ещеодно преобразование:

uks = Qks(bks + b∗−ks), Qks = Q−ks, pks = iPks(b∗ks − b−ks), Pks = P−ks. (26)

Такой вид преобразований явным образом обеспечивает действительность (эрмитовость) левых частей этихравенств. Строго говоря вместо знака комплесного сопряжения (*) следует писать знак эрмитового сопряжения(+). Я этого не делаю, чтобы подчеркнуть близость формул, описывающих классический и квантовый кристалл.По этой же причине я, как правило, не пишу "галочки"над операторами. Обратное преобразование дает

bks =12(uks

Qks+ i

p−ks

Pks), b∗ks =

12(u−ks

Qks− i

pks

Pks) (27)

Перейдем в (17) к новым переменным:

H =∑

ks

[1

2MP 2

ks(b∗ks − b−ks)(bks − b∗−ks) +

M

2(ωks)2Q2

ks(bks + b∗−ks)(b∗ks + b−ks)] =

∑

ks

[1

2MP 2

ks(b∗ksbks − b−ksbks − b∗ksb

∗−ks + b−ksb−ks∗)+

M

2(ωks)2Q2

ks(bksb∗ks + b∗−ksb

∗ks + bksb−ks + b∗−ksb−ks)]. (28)

Чтобы члены с противоположными волновыми векторами сократились следует положить

12M

P 2ks =

M

2(ωks)2Q2

ks (29)

В результате получаем диагональный гамильтониан

H =∑

ks

1M

P 2ks(b

∗ksbks + b−ksb

∗−ks), (30)

выраженный через амплитуды bks и коэффициент Pks, величину которого выберем ниже из физических со-ображений. До сих пор мы не учитывали квантовую природу движения атомов кристалла. Для смещений иимпульсов атомов кристалла соотношение (3) с учетом того, что величины, относящиеся к разным атомам,коммутативны, принимает вид

[uαi , pβ

j ] = i~δαβδij , (31)

которое почти не изменяется при переходе в пространство волновых векторов

[uαk , pβ

k′ ] = i~δαβδkk′ . (32)

Из (15),(16) находим аналогичное соотношение

[uks, pk′s′ ] = i~δss′δkk′ . (33)

Наконец, для величин (19) коммутационные соотношения имеют вид

[bks, bk′s′ ] = 0, [bks, b∗k′s′ ] =

~2QksPks

δss′δkk′ . (34)

Воспользуемся свободой выбора коэффициента Pks и примем

~2QksPks

= 1 (35)

5

Эта формула вместе с (21) дает

Qks =√

~2Mωks

, Pks =

√12~Mωks. (36)

Теперь вид гамильтониана (22) становится однозначным:

H =∑

k

12~ωks(b∗ksbks + b−ksb−ks∗), (37)

Поскольку выражение (27) приводит второе коммутационное соотношение (26) к виду

[bks, b∗k′s′ ] = δss′δkk′ , (38)

гамильтониан упругого кристалла можно переписать в окончательной форме

H =∑

ks

~ωks(b∗ksbks +12) (39)

Каждый член этой суммы есть энергия собственного колебания с волновым вектором k и одной из трех мод sс различными поляризациями, одна из которых называется продольной звуковой модой, а две других - попе-речными звуковыми модами. Постоянная часть этого гамильтониана

E0 =∑

ks

12~ωks (40)

называется энергией нулевых колебаний кристалла.Операторы возбуждений bks, b

∗ks обладают простыми коммутационными свойствами и имеют прозрачный

физический смысл. Пусть

H ′ = H − E0 =∑

k

~ωksb∗ksbks (41)

и | n > - одна из собственных функций этого гамильтониана:

H ′ | n >= En | n > . (42)

Вычислим энергию состояния ψ = bks | n >:

(H ′ − En)ψ =′∑

k

~ωk′s′ b∗k′s′ bk′s′ bks | n > −bks

′∑

k

ωk′s′ b∗k′s′ bk′s′ | n >

Члены сk 6= k′ сокращаются, и остается

(H ′ − En)ψ = ~ωks[b∗ksbksbks − bksb∗ksbks] | n >= ~ωks[b∗ksbks − bksb

∗ks]bks | n >

Теперь воспользуемся соотношением коммутации (30):

(H ′ − En)ψ = −~ωksψ, H ′ψ = (En − ~ωks)ψ.

Итак, действие оператора bks на некоторое собственное состояние кристалла создает новое собственное состоя-ние с энергией, уменьшенной на энергию одного кванта колебаний -~ωks. Повторив эти вычисления с операторомb∗ks, находим, что он, напротив, увеличивает энергию системы на такую же величину. Следовательно, операторbks есть оператор уничтожения, а b∗ks - оператор рождения одного кванта колебаний Это - ФОНОН, с волновымвектором k, поляризацией s и частотой ωks. Фонон есть бозе-частица, поскольку в одном состоянии с заданнымиks может находится любое (целое) число таких частиц. Пусть | 0 > есть волновая функция основного состояниякристалла в обозначениях Дирака. Тогда волновая функция

| n >=

√1n!

(b∗ks)n | 0 >, < n | n >= 1. (43)

6

нормирована на единицу и описывает возбужденное состояние кристалла с ”числом заполнения” (числом тож-дественных фононов)колебания с волновым вектором k и поляризацией s, равным n и энергией ~ωksn. Многимиспособами можно найти матричные элементы

< n− 1 | bks | n >=< n | b∗ks | n− 1 >=√

n, (44)

и доказать формулу

b∗ksbks | n >= n | n >, (45)

которая означает, что выражение n = b∗ksbks имеет смысл оператора числа частиц. Формулы (38)-(41) относятсяк состояниям кристалла, в которых возбужена одна волна. Состояние с большим числом колебаний с различ-ными длинами волн и поляризациями описывается в представлении чисел заполнения волновой функцией

| nks, nk′s′ ... >=∏

ks

√1

nks!(b∗ks)

nks | 0 > . (46)

Таким образом, колебания квантового гармонического кристалла образуют бозе-газ фононов, который в пред-ставлении чисел заполнения описывается гамильтонианом (31), и вектор смещения связан с операторами по-глощения и рождения фононов формулой (см.(10)(15)(18)(28)):

uα(R) =∑

ks

√~

2N0MωkseikReα

ks(bks + b∗−ks). (47)

Преобразование поля смещений к виду, в котором оно выражается через операторы уничтожения и рожденияфононов, называется вторичным квантованием колебаний решетки.Поле смещений есть действительное векторное поле. Газ бозе-частиц на языке вторичного квантования есть

комплексное скалярное поле, разложение которого по плоским волнам содержит только операторы поглощениячастиц bk в состояниях с соответствующим импульсом

ψ(r) =∑

k

1√V

eikRbk. (48)

Как и при квантовании решетки, операторы bk удовлетворяют коммутационным отношениям вида (38)

[bk, b+k′ ] = δkk′ , (49)

а произведение b+k bk имеет смысл числа частиц в состоянии k. Функция состояния

| α >=| np1 , np2 , np3 ... >=(b+p1

)np1(b+p2

)np2(b+p3

)np3... |0〉 (50)

описывает состояние np1 частиц с импульсом p1, np2 частиц с импульсом p2, np3 частиц с импульсом p3...С точки зрения метода вторичного квантования единственное принципиальное отличие газа бозе-частиц от

газа фононов заключается в условии постоянства числа частиц в замкнутом объеме

N =∫

d3rψ+(r)ψ(r) =∑

k

b+k bk = const

Возможность описания поля и газа в рамках одного математического метода - еще одно проявление единстваволновой и корпускулярной природы квантовой материи. Гамильтониан свободного бозе-газа аналогичен (41)

H =∑

k

εk b+k bk

В основном состоянии решетки нет ни одного фонона. Напротив, в основном состоянии идеального бозе-газавсе частицы находятся в одночастичном состоянии с минимальной энергией, т.е. с нулевым импульсом

|N0〉 =1√N0!

(b+0

)N0 |0〉 , 〈N0| |N0〉 = 1 (51)

7

Это - конденсат Бозе-Эйнштейна. Альтернативой этому состоянию с фиксированным числом частиц являетсятак называемое когерентное состояние

|A〉 = e−12 |A|2

∞∑n=0

An

√n!|n〉 , 〈A| |A〉 = 1. (52)

Когерентное состояние есть собственное состояние оператора поглощения

a0 |A〉 = A |A〉 . (53)

Это состояние есть суперпозиция состояний с разным числом n частиц с нулевым импульсом, но в термодина-мическом пределе состояния (51) и (52) эквивалентны, если |A|2 = N0

Используя определение (53), найдем среднее число частиц в этом состоянии и соответствующую дисперсию

N0 = 〈A| a+0 a0 |A〉 = |A|2 , (54)⟨

(δn0)2⟩

= 〈A| (a+0 a0 −N0

)2 |A〉 = N0 (55)⟨(δn0)

2⟩

/ 〈n0〉2 = N−10 . (56)

Итак, в макроскопическом (N0 → ∞) когерентном состоянии относительная флуктуация числа частиц в кон-денсате, стремится к нулю. Какой вектор состояния лучше описывает бозе-конденсат замкнутой системы, естьвопрос веры. Ниже, следуя Боголюбову, мы будем использовать когерентное состояние конденсата.

1

28/01/02 2quant-electr . ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ.2. Теперь рассмотрим вторичное квантование поля ферми-частиц. Электроны в металле в первом

приближении рассматривают как идеальный ферми-газ. Квантовомеханические волновые функции газа изN ферми-частиц можно описывать в форме разложения

Ψ =∑α

CαΨα (1)

по системе детерминантов Слетера

Ψα,N =1

N !

ψp1(x1) ψp1(x2) . . .ψp2(x1) ψp2(x2) . . .

......

. . .

Здесь α = (p1, p2, ..., pN ) - полный набор квантовых чисел системы, xi = (ri, ξi) - координата и спиноваяпеременная i-того электрона. Одноэлектронные волновые функции ψp(x) принадлежат любой полной системеортонормированных функций, характеризуемых квантовыми числами p. Это может быть, например, наборплоских волн. Тогда p = (p, σ)- импульс и проекция спина электрона. Далее мы будем опускать для краткостиспиновые переменные во всех случаях, в которых обменное и магнитное взаимодействия электронов не играютроли. Детерминанты Слетера образуют полную ортонормированную систему функций

∫d3NxΨ+

α Ψα′ = δα,α′ . (2)

Оказывается, удобнее вместо громоздких детерминантов Слетера использовать функции или векторы состояния

| α >=| np1 , np2 , ... >, (3)

где npj - число электронов в одночастичном состоянии pj , равное нулю или единице. Это - исходное положениепредставления чисел заполнения, или вторичного квантования ферми-частиц. По определению функциисостояния ортонормированы:

< α | β >= δα,β . (4)

В представлении чисел заполнения все операторы физических величин записываются с помощью элементарныхоператоров поглощения ap и рождения a+

p частицы в состоянии p:

ap | 1p >= zp | 0p >, a+p | 0p >= zp | 1p >, zp = ±1. (5)

(Здесь у функции состояния (3) указано только число частиц (0 или 1) в состоянии p )Операторы ap и a+p

эрмитово сопряжены по отношению друг к другу и полностью определяются своими, отличными от нуля,матричными элементами:

< 0p | ap | 1p >=< 1p | a+p | 0p >= zp. (6)

Коэффициент zp = ±1 можно однозначно связать с квантовым числом p. Но его знать нет необходимости,поскольку в любую физическую величину этот коэффициент входит квадратичным образом ((zp)2 = 1). И вдальнейшем мы будем его опускать. Из принципа Паули (в одном состоянии не может находиться больше, чемодна частица) следует, что

a+p | 1p >= (a+

p )2 | 0 >= 0 (7)

Наконец, применяя формулы (5), легко получить

(apa+p + a+

p ap) | 0p >=| 0p >, (apa+p + a+

p ap) | 1p >=| 1p > . (8)

Эти свойства можно переписать в операторном виде:

a2p = 0, (a+

p )2 = 0, ap, a+p = apa

+p + a+

p ap = 1. (9)

2

Последяя формула называется соотношением антикоммутации. Оператор

np = a+p ap (10)

называется оператором числа частиц в состоянии p, так как:

a+p ap | np >= np | np > . (11)

Свойства (9) не должны зависеть от конкретного выбора представления и должны иметь одинаковый виддля любой полной системы ортонормированных функций. Рассмотрим любую нормированную суперпозициюоператоров уничтожения

Am =∑

p

Ampap,∑

p

AmpA∗mp = 1 (12)

Поскольку уничтожение двух электронов с состоянии m невозможно, то

A2m =

∑pq

AmpAmqapaq ≡ 0 (13)

Поменяем под знаком суммы обозначения импульсов и возьмем полусумму:

A2m =

12

∑pq

AmpAmq[apaq + aqap] = 0. (14)

Это равенство не может зависеть от выбора матрицы A. Поэтому

ap, aq = 0, a+p , a+

q = 0. (15)

Третье соотношение (9) для A,A+ дает

Am, A+m =

∑pq

AmpA∗mqap, a

+q = 1. (16)

Это равенство выполняется для любой унитарной матрицы А, если

ap, a+q = δpq. (17)

Таким образом, операторы рождения и уничтожения электрона при любом полном наборе квантовых чиселудовлетворяют соотношениям антикоммутации (15),(17).Потребуем, чтобы оператор

φ(r) =∑

p

ψp(r)ap (18)

имел смысл оператора уничтожения частицы в координатной точке r. Он имеет вид разложения обычнойволновой функции одного электрона по плоским волнам

ψp(r) =1√V

eiprχσ(ξ). (19)

Здесь явно введена спиновая часть волновой функции электрона

χσ(ξ) = δσ,ξ, σ, ξ = ±1. (20)

С выражением (18) связано происхождение термина вторичное квантование. ”Первичное квантование”,т.е. замена физических величин на операторы, приводит к переходу от классической физики к квантовой.”Вторичное квантование” -замена волновой функции на суперпозицию операторов поглощения -толькоэффективный математический метод, позволяющий в компактном виде записывать формулы квантовой

3

механики систем из большого числа одинаковых частиц. Из правил антикоммутации (15),(21) следуютсоотношения

φ(r), φ(r′) = 0, φ(r)+, φ(r′)+ = 0, φ(r), φ(r′)+ =1V

∑p

eip(r−r′) = δ(r − r′). (21)

В справедливости последнего равенства можно убедиться, проинтегрировав по объему.Покажем, что представления ”первого” и ”второго” квантований эквивалентны. Рассмотрим случай двух

электронов с импульсами p и q. Такое состояние можно создать, если подействовать на состояние без электронов- ”вакуум” | 0 > - двумя операторами рождения электронов:

| 1p, 1q >= a+p a+

q | 0 > . (22)

Рассмотрим выражение

< 0 | φ(r1)φ(r2) || 1p, 1q >=∑p1,p2

ψp1(r12)ψp2(r2) < 0 | ap1ap2a+p a+

q | 0 > . (23)

Используя соотношения (15),(17) и нормировку "вакуума" (< 0 | 0 >= 1), находим

< 0 | ap1ap2a+p a+

q | 0 >= δp1,qδp2,p − δp1,pδp2,q. (24)

В результате выражение (23) принимает вид детерминанта Слетера

(ψq(r1) ψq(r2)ψp(r1) ψp(r2)

)

В общем случае N электронов эквивалентность представлений Ψα и | α > устанавливается тождеством,которое доказывается в курсах квантовой механики:

Ψα,N | 0 >=1√N !

φ(rN )...φ(r1) | α, N > . (25)

Обратим внимание на то, что в этом выражении справа благодаря N -кратному действию операторовуничтожения на состояние из N частиц создается состояние, не содержащее ни одной частицы - вакуумноесостояние. Оно и стоит в (25) слева, умноженное на с-число - функцию Слетера.Во вторичном квантовании”норма” операторной волновой функции (??)

N =∫

d3rφ+(r)φ(r) =∑

p

np (26)

есть сумма числа частиц по всем одночастичным состояниям и, следовательно, имеет смысл оператора полногочисла электронов.Оператор кинетической энергии системы электронов во вторичном квантовании имеет вид среднего значения

кинетической энергии одного электрона, в котором волновая функция электрона заменена на оператор (??):

T =∫

(d3rφ+(r)1

2m[−i∇]2φ(r)). (27)

Однако, после интегрирования по координатам это выражение принимает ясную физическую форму суммыкинетических энергий электронов по всем импульсам

T =∑

p

p2

2mnp (28)

4

В общем случае оператор вторичного квантования A(2) любой аддитивной физической величины A(1)(r1, ...rN )должен иметь такой вид, который приводит к матричным элементам, равным значениям матричных элементов,вычисленным с использованием детерминантов Слетера

< β,N | A(2) | α,N >=∫

d3NrΨ+β A(1)(r1, ...rN )Ψα. (29)

Это равенство выполнятся тождественно, если оператор вторичного квантования выражается формулой

A(2) =1

N !

∫d3Nrφ+(r1)...φ+(rN )A(1)(r1, ...rN )φ(rN )...φ(r1). (30)

В этом легко убедиться, если подставить (30) в (29) и применить соотношение (25).Применим (30), чтобы записать гамильтониан системы электронов во внешнем поле U

H(1) =N∑

n=1

hn, hn =p2

n

2m+ U(rn). (31)

в представлении вторичного квантования :

H(2) =1

N !

∫d3Nrφ+(r1)...φ+(rN )

N∑n=1

hnφ(rN )...φ(r1). (32)

Все члены суммы по n равны друг другу, и после замены под знаком интегралов нумерации координат получаем:

H(2) =1

(N − 1)!

∫d3Nrφ+(r1)...φ+(rN−1)φ+(rN )φ(rN )φ(rN−1)...h1φ(r1). (33)

Нам необходимо знать действие этого гамильтониана на подпространство состояний системы из частиц N :

H(2) | α, N >=1

(N − 1)!

∫d3(N−1)rφ+(r1)...φ+(rN−1)

∫

d3rNφ+(rN )φ(rN )φ(rN−1)...h1φ(r1) | α,N > . (34)

Здесь на нижней строке выделено состояние, которое построено действием (N − 1) операторов уничтоженияна состояние из N частиц, т.е. состояние из одной частицы. А на предыдущей строке в фигурных скобкахстоит оператор числа частиц (см.(26)), который по отношению к любому состоянию из одной частицы равенединице. Вычеркнув в интеграле (34) оператор числа частиц, получаем

H(2) | α, N >=1

(N − 1)!

∫d3(N−2)rφ+(r1)...φ+(rN−2)

∫

d3rN−1φ+(rN−1)φ(rN−1)

φ(rN−2)...h1φ(r1) | α,N > . (35)

В этом выражении оператор числа частиц (в фигурных скобках) действует уже на состояние из двух частици равен 2. Следующая пара операторов рождения и поглощения опять образует оператор числа частиц и равен3. Повторяя эту операцию (N − 1)раз, мы приходим к интегралу по координатам одной частицы

5

H(2) | α, N >=∫

d3rφ+(r1)h1φ(r1) | α,N > . (36)

Опустив в этом равенстве вектор состояния | α,N >, получаем оператор энергии системы электроновв координатном представлении. Применив разложение (??), находим энергию электронов в импульсномпредставлении

H(2) =∑

p

p2

2mnp +

∑pq

a+p Upqaq, (37)

Последняя сумма - оператор потенциальной энергии электронов. Каждый член этой суммы описываетпроцесс рассеяния элетрона на внешнем потенциале, который во вторичном квантовании выглядит какпоследовательность исчезновения электрона с импульсом q и рождения электрона с импульсом p. Амплитудаэтого перехода определяется матричным элементом

Upq =∫

d3rψ∗p(r)U(r)ψq(r). (38)

Аналогичным образом можно найти вид во вторичном квантовании части гамильтониана системы,обусловленной парным взаимодействием частиц друг с другом:

V =12

∑m,n

V (rm − rn) (39)

Подставляя эту сумму в (30), получим интеграл вида (33), в котором вместо энергии частицы стоит энергиявзаимодействия двух частиц

V (2) =1

2(N − 2)!

∫d3Nrφ+(r1)...φ+(rN−1)φ+(rN )φ(rN )

φ(rN−1)...V (r1 − r2)φ(r2)φ(r1). (40)

Повторив процедуру исключения оператора числа частиц (N−2) раз, как в (33)-(36), находим, что во вторичномквантовании гамильтониан взаимодействия частиц имеет форму диагонального матричного элемента от энергиивзаимодействия двух частиц, но с волновыми функциями имеющими операторную природу

V (2) =12

∫d3rφ+(r1)...φ+(r2)V (r1 − r2)φ(r2)φ(r1). (41)

В импульсном представлении гамильтониан взаимодействия равен

V (2) =12

∑a+

p1a+p2(p1, p2 | V | p3, p4)ap3ap4. (42)

Каждый член этой суммы описывает рассеяние двух электронов друг на друге (p3, p4 → p1, p2) c амплитудойрассеяния

(p1, p2 | V | p3, p4) =∫

d3r1d3r2ψ

∗p1(r1)ψ∗p2(r2)V (r1 − r2)ψp3(r2)ψp4(r1). (43)

Подставляя в эту амплитуду явный вид одночастичных волновых функций (19) и учитывая, что кромеинтегрирования по координатам r1, r2 следует суммировать по спиновым переменным ξ1, ξ2, получаем

6

(p1, p2 | V | p3, p4) =1

V 2δσ1,σ4δσ2, σ3

∫d3r1d

3r2e−i(p1−p4)r1e−i(p2−p3)r2V (r1 − r2). (44)

Обратим внимание, , что потенциал взаимодействия электронов не зависит от спиновых переменных, азависит только от расстояния между электронами. Поэтому при столкновении спин каждого электрона неменяется: электрон, переходящий из состояния p4 в p1, сохраняет спин σ1, а второй электрон сохраняет спинσ2.

В дальнейшем, чтобы не путать обозначения для потенциала взаимодействия и объема, которые обозначеныодной буквой, положим объем системы равным единице (V = 1).

Перейдем к новым переменным r = r1 − r2, r2. Интеграл по r2 приводит к закону сохранения суммарногоимпульса сталкивающихся частиц

∫d3r2e

−i(p1+p2−p3−p4)r2 = δp1+p2,p3+p4 (45)

а интеграл по r имеет смысл матричного элемента от потенциала взаимодействия :

Vq =∫

d3re−iqrV (r), q = p1 − p4. (46)

Таким образом, гамильтониан взаимодействия электронов в представлении чисел заполнения имеет вид

V (2) =12

∑p1,p2,p3,p4,σ1,σ2

δp1+p2,p3+p4a+p1σ1a

+p2σ2Vq=p1−p4ap3σ2ap4σ1. (47)

Интеграл Vq для экранированного кулоновского взаимодействия электронов

V (r) =e2

re−κr (48)

равен

Vq =4πe2

q2 + κ2. (49)

В модели короткодействующего потенциала имеем

V (r) = −λδ(r), Vq = −λ. (50)

Теперь рассмотрим модель, которая демонстрирует возникновение таких свойств твердых тел, какферромагнетизм и антиферромагнетизм. В отличие от металла в диэлектрике электроны не распространяютсясвободно по кристаллу, а находятся в связанных состояниях внутри атомов, расположенных в узлахкристаллической решетки R. Для простоты будем предполагать, что каждый атом имеет только один электронна незаполненной s -оболочке. В этой модели в гамильтониане взаимодействия (42) квантовое число имеетсмысл координаты атома R, с которым связан электрон и проекции спина σ. Гамильтониан (42) принимаетвид:

V (2) =12

∑a+

R1,σ1a+R2,σ2(R1, R2 | V | R3, R4)aR3,σ2aR4,σ1. (51)

Здесь учтено, что матричный элемент взаимодействия диагонален по спиновым переменным. Покагамильтониан (51) отличается от (42) лишь формой записи: в (42) принято импульсное представление, а в(51) - узельное. Чтобы последний гамильтониан отражал основные черты модели, в нем следует опустить

7

те члены, которые не сохраняют число частиц на каждом узле кристаллической решетки. Следует оставитьчлены, в которых R1 = R4, R2 = R3 или R1 = R3, R2 = R4. В результате получаем

V (2) = V(2)Q + V

(2)S , (52)

V(2)Q =

12

∑a+

R1,σ1aR1,σ1a+R2,σ2aR2,σ2(R1, R2 | V | R2, R1), (53)

V(2)S =

12

∑

R1 6=R2

a+R1,σ1a

+R2,σ2(R1, R2 | V | R1, R2)aR1,σ2aR2,σ1. (54)

Гамильтониан распался на две части. Первая V(2)Q содержит произведение числа частиц в узле R1

n(R1) =∑σ1

a+R1,σ1aR1,σ1 (55)

и числа частиц в узле R2. Поскольку в каждом узле находится ровно один электрон, то

V(2)Q =

12

∑

R1,R2

V (R1 −R2). (56)

Это - классическая энергия кулоновского взаимодействия электронов. Она в точности равна энергиивзаимодействия ионов, с которыми связаны электроны. А энергия взаимодействия электронов с ионами - вдва раза больше и имеет противоположный знак (притяжение). Поэтому полная кулоновская энергия этойэлектронейтральной системы равна нулю.

Вторая часть гамильтониана (52) не имеет классических аналогов и может быть переписана в виде

V(2)S = −1

2

∑

R1 6=R2

[∑

σ1,σ2

a+R1,σ1aR1,σ2a

+R1,σ2aR2,σ1]J(R1 −R2). (57)

Изменение знака произошло из-за перестановки ферми-операторов Величина J называется обменныминтегралом

J(R1 −R2) = (R1, R2 | V | R1, R2) (58)

Это название связано с тем, что каждый член суммы (57) описывает процесс, в ходе которого электроныостаются в узлах R1, R2 , но обмениваются спинами:σ1 ↔ σ2. Возможна и иная трактовка этого процесса:происходит двойной прыжок, при котором электроны обмениваются местами, сохраняя свои спины.

Гамильтониан (57) можно выразить как взаимодействие спинов. Для операторов в любом узле имеют местосоотношения:

a+↑ a↑ =

12

+ Sz, (59)

a+↓ a↓ =

12− Sz, (60)

a+↑ a↓ = S+, (61)

a+↓ a↑ = S−. (62)

Используя эти соотношения, перепишем квадратную скобку в (57) в форме

8

[...] = 2SzR1S

zR2 +

12

+ S+R1S

−R2 + S−R1S

+R2 = 2SR1SR2 +

12

. (63)

Таким образом, мы нашли, что взаимодействие локализованных на узлах решетки электронов сводится кгамильтониану изотропного обменного взаимодействия решетки спинов S = 1

2 :

V(2)S = −1

2

∑

R1 6=R2

J(R1 −R2)[2SR1SR2 +12

]. (64)

Этот гамильтониан называется гамильтонианом Гейзенберга.В заключение, приведем операторы вторичного квантования, которые описывают квазичастицы ферми-газа.По определению, квазичастица ферми-жидкости есть элементарное возбуждение , свободно движущееся

с импульсом ~p, проекцией спина 12σ на ось Z и имеющее положительную энергию относительно основного

состояния. Найдем операторы поглощения и рождения квазичастиц ферми-системы, которая описываетсягамильтонианом

H =∑

εpa+pσapσ (65)

В основном состоянии ферми-жидкости все одночастичные состояния с энергией ниже µ полностьюзаполнены, а выше µ - пусты.

|ground〉 =∏

εp<µ

a+pσ |0〉 (66)

Оператор поглощения электрона apσ связан с операторами поглощения bpσ и рождения b+−p−σ квазичастиц

каноническими соотношениями

apσ =bpσ, εp > µ

−σb+−p−σ, εp < µ

(67)

Аналогичный вид имеют обратные преобразования

bpσ =apσ, εp > µσa+

−p−σ, εp < µ(68)

Эти формулы имеют простой смысл: Если импульс квазичастицы больше импульса на поверхности Ферми

pF =√

2mµ,

и ξp = p2

2m − p2F

2m > 0 , то квазичастица есть электрон над поверхностью Ферми. Если импульсквазичастицы меньше импульса Ферми, и ξp < 0 , то квазичастица есть дырка под поверхностью Фермис противоположными импульсом и направлением спина. В представлении квазичастиц вместо (65) удобнееиспользовать гамильтониан, в котором энергия отсчитывается от энергии Ферми

H ′ = H − µN =∑

ξpa+pσapσ =

∑ξp[θ(ξp)b+

pσ bpσ + θ(−ξp)b−p−σ b+−p−σ] (69)

= E0 +∑

|ξp| b+pσ bpσ (70)

где E0 =∑

ξpθ(−ξp) В представлении квазичастиц полное число электронов, полный заряд, полный импульси полный спин системы равны

N =∑

a+pσapσ = N +

∑[θ(ξp)− θ(−ξp)]b+

pσ bpσ, N =∑

θ(−ξp),

q =∑

ea+pσapσ = eN +

∑esign(ξp)b+

pσ bpσ

Pα =∑

pαa+pσapσ =

∑pαb+

pσ bpσ,

Sz =∑ 1

2σa+

pσapσ =∑ 1

2σb+

pσ bpσ,

Sx =∑ 1

2a+

pσap−σ =∑ 1

2sign(ξp)b+

pσ bp−σ,

Sy = −∑ 1

2iσa+

pσap−σ = −∑ 1

2iσsign(ξp)b+

pσ bp−σ

9

Преобразование (67) есть частный вид канонического преобразования Боголюбова, которое используется втеории сверхпроводимости

apσ = upbpσ − σvpb+−p−σ , u2

p + v2p = 1

1

Задача 10.Термодинамика больцмановского газа. Стат. сумма.

Z =1

N !(∑

e−β( p2

2m +εn)N

Свободная энергия

F = −T ln Z = Fpost − TN ln ζ

Вклад поступательных степеней сободы атома (молекулы)

Fpost = −TN ln(eV (2πmT )3/2

N (2π~)3)

и внутренних степеней свободы молекулы

Fint = −TN ln ζ, ζ =∑

n

e−βεn

Если возбуждены только вращательные степени свободы, то

εn = −ε0 + Bl(l + 1)

где ε0 - энергия связи. При высоких температурах имеем

ζ = eβε0∑

l

(2l + 1)e−βBl(l+1) ' eβε0

∞∫

0

d

(l +

12

)2

e−βB(l+ 12 )2 = eβε0

T

B

Термодинамические величины одноатомного газа

µ1 = −T ln(V (2πmT )3/2

N (2π~)3), p =

TN

V, S = N ln(

e5/2V (2πmT )3/2

N (2π~)3, CV =

32N,

S(p) = N ln(e5/2(2πm)3/2

p (2π~)3T 5/2), Cp =

52N,

Теперь рассмотрим термодинамику двухатомного газа.

F2 = −ε0N − TN ln(eV (2πm2)3/2

N (2π~)3 BT 5/2)

µ2 = −ε0 − T ln(V (2πm2)3/2

N (2π~)3 BT 5/2), p =

TN

V,

CV =52N, Cp =

72N,

Наконец, найдем связь адибатической и изотермической скоростей звука

c2S =

(∂p

∂ρ

)

S

=1

mN

(∂p

∂ 1V

)

S

= − V 2

mN

(∂p

∂V

)

S

∂(p, S)∂(V, S)

=(

∂p

∂V

)

T

∂(p,S)∂(p,T )

∂(V,S)∂(v,T )

=(

∂p

∂V

)

T

Cp

CV

c2S = − V 2

mN

(∂p

∂V

)

T

Cp

CV=

Cp

CVc2T , c2

T =(

∂p

∂ρ

)

T

1

3.2 ID-FERMI-GAS Идеальный ферми - газ.Применим развитые на предыдущих лекциях общие положения статистической физики к описанию

термодинамических свойств конкретных систем. Начнем со статистики идеальных газов.При построении статистических свойств квантовых систем важную роль играет "статистика" элементарных

частиц. В квантовой теории поля доказывается, что элементарные частицы с целым спином удовлетворяютстатистике Бозе-Эйнштейна, а частицы с полуцелым спином - статистике Ферми-Дирака. На этой лекциирассмотрим статистические свойства идеального ферми-газа. Построенная теория будет хорошо описыватьтермодинамику электронов (S = 1/2) в металлах.Основное свойство ферми-частиц: на каждом одночастичном квантовом состоянии p с энергией εp может

находиться одновременно не больше одной частицы (np ≤ 1). Это - принцип Паули. Полное число частиц иполная энергия равны суммам по одночастичным состояниям

N =∑

p

np

E =∑

p

εpnp

В классических системах в качестве подсистем фигурировали пространственно разделенные участки общегообъема. Для квантовых идеальных газов роль естестественных независимых подсистем играют квантовыеp−состояния. С точки зрения усреднения по ансамблю, можно сказать, что на каждом из экземпляров системына состоянии p имеется либо нуль (np = 0), либо одна (np = 1) частица. С точки зрения усреднения по времениможно говорить, что подсистема обменивается частицами с термостатом, образованным множеством остальныхподсистем. Согласно принципа эргодичности обе точки зрения должны приводить к одинаковой вероятностиобнаружить в состоянии данное число частиц.

Свойство аддитивности логарифма равновесной функции распределения в данном случае имеет вид

lnwα =∑

p

lnwp. (1)

Эти логарифмы должны быть линейными функциями сохраняющихся величин, какими являются числочастиц np и энергия εpnp в состоянии p:

lnwp = ωp + γnp − β (εpnp) , lnwα =∑

p

(ωp + γnp − βεpnp) = const + γNα − βEα

В результате распределение Гиббса принимает вид

wα = AeγNα−βEα

В отличие от канонического распределения Гиббса это распределение называется распределением большогоканонического ансамлбя. Оно зависит от значений двух аддитивных интегралов движения Nα, Eα всостоянии α макроскопической системы. Для газа с заданным химическим потенциалом µ и температуройT распределение большого канонического ансамлбя равно

wα = exp(Ω− E + µN

T) (2)

Здесь Ω(T, µ) - термодинамический потенциал. Чтобы убедиться в справедливости такоготермодинамического смысла констант, достаточно вычислить энтропию системы

S = −〈ln w〉 = −∑

p

wαlnwα = −Ω− 〈E〉+ µ 〈N〉T

(3)

и сравнить с определением термодинамического потенциала

Ω = E − TS + µN.

Формула для вычисления термодинамического потенциала получается из условия нормировки

2

∑α

wα = 1 (4)

Отcюда

Ω = −T ln Z, Z =∑α

exp(−Eα + µNα

T) (5)

Вычислим эту статистическую сумму, имея ввиду, что макроскопическое состояние газа однозначноопределяется числами заполнения α = (np1 , np2 , np3 ...) , получаем

Z =∑np1

∑np2

∑np3

... exp(−∑

p(εp − µ)np

T)

=∑

np1=0,1

e−β(εp1−µ)np1

∑np2=0,1

e−β(εp2−µ)np2

∑np3=0,1

e−β(εp3−µ)np3 ...

=∏p

[1 + e−β(εp−µ)np ]

Потенциал Ω записывается в виде

Ω =∑

p

Ωp, Ωp = [1 + e−β(εp−µ)np ]

Из свойств термодинамического потенциала для среднего числа частиц в некотором квантовом состоянии kполучим

np = −∂Ωp

∂µ=

1eβ(εp−µ) + 1

(6)

При нулевой температуре состояния ниже химического потенциала полностью заполнены (np = 1), а выше- пусты (np = 0). Химический потенциал ферми-газа при нулевой температуре называется энергией Ферми(µ (0) = εF ).

Применим полученные результаты к свободному электронному газу. Число состояний в элементе фазовогопространства d3pdV равно

gdpxdpydpzdV

(2π~)3(7)

g = 2s + 1, где s = 1/2− спин электрона. Число частиц в этом элементе фазового пространства равно

dNp =npgdpxdpydpzdV

(2π~)3(8)

Переходя к сферическим координатам получим

dNp =gV p2dp

2π2~3

(e

(εp−µ)T + 1

) (9)

Учитывая, что ε = p2/2m,получим распределение по энергиям

dNε =gV m3/2ε1/2dε

21/2π2~3(e

(ε−µ)T + 1

) =bV ε1/2dε

e(ε−µ)

T + 1, b =

gV m3/2

21/2π2~3(10)

Полное число частиц в системе равно

N =∫

dNε = bV

∫ ∞

0

ε1/2dε

e(ε−µ)

T + 1(11)

3

Энергия системы имеет вид

E =∫

εdNε = bV

∫ ∞

0

ε3/2dε

e(ε−µ)

T + 1(12)

Термодинамический потенциал

Ω = −bV T

∫ ∞

0

ε1/2 ln(1 + e

(µ−ε)T

)dε (13)

Интегрируя это выражение по частям, получим

Ω = −23bV

∫ε3/2dε

e(ε−µ)

T + 1(14)

Откуда имеем

Ω = −23E (15)

Поскольку Ω = −pV,то

p =23b

∫ ∞

0

ε3/2dε

e(ε−µ)

T + 1(16)

При равной нулю температуре термодинамические характеристики просто связаны с химическим потенциалом-энергией Ферми

N =23bV ε

3/2F , E =

25bV ε

5/2F , p =

415

bε5/2F

Отсюда следует, что при абсолютном нуле температуры

εF =(

3N

2bV

)2/3

, p ∼ (N/V )5/3

Таким образом, давление ферми-газа при нулевой температуре пропорционально его плотности в степени 5/3.Найдем зависимость химического потенциала от температуры при постоянной плотности. Выражение для

числа электронов в системе перепишем в форме

N

V=

23bT 3/2

∫ ∞

0

z1/2dz

ez− µT + 1

(17)

Если повышать температуру при постоянной плотности электронов, то интеграл должен уменьшатьсяпропорционально T−3/2 . Для этого множитель e−

µT в знаменателе должен расти. Это означает, что

при достаточно высоких температурах химический потенциал становится большой отрицательной величиной(µ ∼ −T ln T ), и в распределении Ферми можно пренебречь единицей, и прийти к распределению Больцмана

np = eβ(µ−εp).

Вычисление интеграла (17) показывает, что эффективная смена статистик (обращение химического потенциалав нуль) происходит при T ' εF .Вычислим теплоемкость многоэлектронной системы при низких температурах (T ¿ εF ). Из (12) имеем

c =1V

(∂E

∂T

)

V

= b

∫ ∞

0

ε3/2 ∂

∂Tf (ε) (18)

f (ε) =1

e(ε−µ)

T + 1(19)

4

Производная ∂∂T f (ε) имеет вид

∂f

∂T=

∂f

∂ (ε−µ)T

∂ (ε−µ)T

∂T=

∣∣∣∣∂f

∂ε

∣∣∣∣(

(ε− µ)T

+∂µ

∂T

), (20)

причем∣∣∣∣∂f

∂ε

∣∣∣∣ =1T

e(ε−µ)

T

(e

(ε−µ)T + 1

)2 (21)

имеет вид острого пика с центром при ε = µ.Подставляя (20) в (18) и в соотношение ∂N∂T = 0 (см. (11)),

означающее постоянство числа частиц при изменении температуры, получим

c = b∫∞0

ε3/2∣∣∣∂f

∂ε

∣∣∣(

(ε−µ)T + µ′

)dε

∫∞0

ε1/2∣∣∣∂f

∂ε

∣∣∣(

(ε−µ)T + µ′

)dε = 0

(22)

Теория ферми-газа обычно применяется к металлам, для которых в области комнатных температур T ¿ εF .Найдем формулу для вычисления интегралов следующего вида

∫F (ε)

∣∣∣∣∂f

∂ε

∣∣∣∣ dε (23)

По мере удаления от точки ε = µ, функция∣∣∣∂f

∂ε

∣∣∣ быстро убываеn, поэтому пределы интегрирования в интеграле(23) можно заменить на ±∞. По этой же причине в (23) для функции F (ε) можно ограничиться тремя членамиразложения

F (ε) = F (µ) + (ε− µ)F ′ (µ) +12

(ε− µ)2 F ′′ (µ) ... (24)

В силу четности функции (??) вклад в интеграл (23) дают только четные члены разложения (24). Оставшиесяинтегралы равны

∫ ∣∣∣∂f∂ε

∣∣∣ dε = 1∫

(ε− µ)2∣∣∣∂f

∂ε

∣∣∣ dε = 14T

∫z2

ch2(z/2T )dz = π2T 2

3

(25)

Таким образом,∫

F (ε)∣∣∣∣∂f

∂ε

∣∣∣∣ dε = F (µ) +π2T 2

6

(∂2F

∂ε2

)

µ

(26)

Применяя правило (26) к интегралам (22), получаем

c = b

∫ ∞

0

ε3/2

((ε− µ)

T+

∂µ

∂T

) ∣∣∣∣∂f

∂ε

∣∣∣∣ dε = bµ3/2 ∂µ

∂T+

π2T 2

6b

(3µ1/2

T+

34µ1/2

∂µ

∂T

)(27)

и∫ ∞

0

ε1/2

((ε− µ)

T+

∂µ

∂T

) ∣∣∣∣∂f

∂ε

∣∣∣∣ dε = µ1/2 ∂µ

∂T+

π2T 2

6

(µ−1/2

T− 1

4µ−3/2 ∂µ

∂T

)= 0 (28)

Второй член в (28) содержит дополнительный малый множитель(

Tµ

)2

, и им можно пренебречь. Тогда

∂µ

∂T= −π2T

6µ(29)

Подставляя (29) в (27), находим формулу теплоемкости

c =π2bT

3µ(30)

5

Итак, теплоемкость вырожденного ферми-газа линейно зависит от температуры. Этот результат не зависит отразмерности системы.В заключение приведем формулы, определяющие равновесное состояние электронного газа в представлении

чисел заполнения. Для идеального ферми-газа это есть неоправданное усложнение, но при учетевзаимодействия (см. лекцию "сверхпроводимость") применение вторичного квантования неизбежно. Итак,в общем случае статистическая сумма большого канонического ансамбля (5) принимает вид

Z = Spe−β(H−µN), (31)

где

H =∑

p

εpa+p ap, N =

∑p

a+p ap.

Обычно вместо (31) используют выражения, формально совпадающие с формулами канонического ансамбля

Ω = −T ln Z, Z = Spe−βH′, H ′ = H − µN =

∑p

(εp − µ)a+p ap, ,

При этом можно говорить, что при вычислениях энергия частицы отсчитывается от химического потенциала(энергии Ферми), но, по существу, здесь фиксировано не число частиц, а именно химический потенциал.Магнетизм электронного газа.Рассматривается электронный газ в магнитном поле. Наличие спинового магнитного момента приводит

к тому, что спины выстраиваются вдоль магнитного поля - парамагнитный эффект. Однако, нарядус парамагнетизмом электронный газ обнаруживает и диамагнитные свойства, имеющие чисто квантовоепроисхождение. Это следует из известной из теории поля теоремы Бора - Дорфмана - ван-Леевен. Качественноэто можно понять из того, что сила Лоренца действующая на заряд в постоянном магнитном полеперпендикулярна его скорости и не выполняет над ним работу. Поэтому энергия электрона (если отвлечься отэнергии спина в магнитном поле) не зависит от поля и магнитный момент M = − ∂ε

∂H = 0.Как показал Ландау, энергия электрона в постоянном магнитном поле, напрвленном по оси z, квантуется в

поперечном направлении и имеет вид

ε (pz,H) = µBH (2n + 1) +p2

z

2m± µBH, n = 0, 1, .... (1)

µB = e2mc− магнетон Бора, H− величина магнитного поля, направленного по оси z.

Для вывода формулы (1) рассмотрим уравнение Шредингера для электрона в магнитном поле, направленномпо оси z. Выберем вектор потенциал в виде Ay = Hx, Ax = Az = 0. Уравнение Шредингера запишется

− 2

2m

∂2ψ

∂x2+

12m

(−i∇y − e

cHx

)2

ψ − 2

2m

∂ψ

∂z2= εψ (2)

Решение этого уравнения следует искать в виде

ψ (x, y, z) = e−ipyy/e−ipzz/ψ (x) (3)

Подставляя (3) в (2), получим

− 2

2m

∂2ψ (x)∂x2

+1

2m

(py − e

cHx

)2

ψ (x) +p2

z

2mψ (x) = εψ (x) (4)

или

− 2

2m

∂ψ (x)∂x2

+e2H2

2mc2

(x− cpy

eH)2

ψ (x) =(

ε− p2z

2m

)ψ (x) (5)

Введем обозначение ω = eHc . Тогда последнне уравнение перепишется в виде уравнения Шредингера

для осциллятора, с точкой равновесия, смещенной в cpy

eH . Энергетический спектр полученного уравненияШредингера совпадает с выражением (1), в котором учтена энергия спина в магнитном поле.

6

Вычислим число состояний с фиксированным n и продольным импульсом в интервале (pz, pz + dpz) .Рассмотрим движение электрона в прямоугольном ящике размера Lx, Ly, Lz. По своему физическому смыслуx0 = cpy

eH есть равновесное положение осциллятора, которое должно находиться в пределах ящика

0 <cpy

eH < Lx ⇔ 0 < py <eHLx

c(6)

Число состояний в интервале dpy и dpz совпадает с таковым для свободного движения

dny = dpyLy/2π (7)dnz = dpzLz/2π (8)

Число состояний с фиксированным n и продольным импульсом в интервале (pz, pz + dpz) равно

ρzdpz =V

(2π~)2eHc

dpz (9)

Запишем выражение для Ω−потенциала электронного газа в форме

Ω(µ,H, T ) = −T∑

q

ln(1 + e(µ−εq)/T

)(10)

где символ q обозначает набор индексов, определяющих состояние электрона - n, pz и проекцию спина нанаправление магнитного поля. Поэтому

∑q

... =∑

spin

∞∑n=0

∫ρzdpz... (11)

При V = const имеем

dΩ = −SdT −MV dH−Ndµ (12)

Откуда получаем выраажения для числа частиц и намагниченности

N = −(

∂Ω∂µ

)

T,H, M = −

(∂ΩdH

). (13)

Для дальнейшего воспользуемся тремя формулами

12πi

∫ σ+i∞

σ−i∞

πλ

sin πλ

eλξ

λ2dλ = ln

(1 + eξ

)(14)

12πi

∫ σ+i∞

σ−i∞

eλξ

λ2dλ = ξθ (ξ) , (15)

где θ (ξ)− ступенчатая функция Хевисайда и∫ ∞

−∞

eλξ

4ch2 ξ2

dξ =πλ

sin πλ(16)

Используя формулу (14), преобразуем (10) к виду

Ω (µ,H, T ) = − 12πi

∫ σ+∞

σ−i∞

πλT

sin πλT

∑q eλ(µ−εq)

λ2dλ (17)

С помощью (16) приведем (17) к виду

Ω (µ,H, T ) = − 12πi

∫ σ+∞

σ−i∞

dλ

λ2

∫ ∞

−∞dξ

∑q eλ(ξT+µ−εq)

4ch2 ξ2

(18)

7

Положим в (18) T = 0 и проинтегрируем по ξ (используя то, что интеграл (16) равен единице в пределе λ → 0)

Ω(µ,H, 0) = − 12πi

∫ σ+∞σ−i∞

Pq eλ(µ−εq)

dλ

λ2

∫∞−∞

dξ

4ch2 ξ2

=

= − 12πi

∫ σ+∞σ−i∞

Pq eλ(µ−εq)

dλ

λ2

(19)

Изменим в (18) порядок интегрирования

Ω(µ,H, T ) = − 12πi

∫ σ+∞

σ−i∞

dλ

λ2

∫ ∞

−∞dξ

∑q eλ(ξT+µ−εq)

4ch2 ξ2

= (20)

∫ ∞

−∞dξ− 1

2πi

∫ σ+∞σ−i∞

dλλ2

∑q eλ(ξT+µ−εq)

4ch2 ξ2

=∫ ∞

−∞dξ

Ω(µ + ξT,H, 0)4ch2 ξ

2

=

1T

∫ ∞

−∞du

Ω (u,H, 0)4ch2 u−µ

2T

Таким образом, мы связали термодинамический потенциал Ω при произвольной температуре с его значениемпри T = 0. Из предыдущей лекции мы знаем, что

(4Tch2 u−µ

2T

)−1= −∂f

∂u = δ (u− µ) . То есть выражение (20)непротиворечиво.

Воспользуемся теперь формулой (15) и преобразуем (19) к виду

Ω(µ,H, 0) = − 12πi

∑q

∫ σ+∞

σ−i∞

eλ(µ−εq)dλ

λ2= −

∑q

(µ− εq) θ (µ− εq) (21)

Выполним вначале суммирование по n и по проекции спина. Заметим, что разность µ − ε для квантовогочисла n − 1 и спина направленного по полю равна значению этой разности для квантового числа n и спинанаправленного против поля

µ− µBH [2 (n− 1) + 1]− p2z

2m − µBH =µ− µBH [2n + 1]− p2

z

2m + µBH = µ− 2nµBH− p2z

2m

(22)

Это имеет место кроме квантового числа n = 0 и спина направленного вверх. Поэтому

Ω(µ,H, 0) = − V

(2π~)2eHc

∫dpz

[(µ− p2

z

2m

)+ 2

∑n=1

(µ− 2nµBH− p2

z

2m

)](23)

Интегрирование по pz проходит в пределах −√

2m (µ− 2nµBH),√

2m (µ− 2nµBH)

∫dpz

(µ− 2nµBH− p2

z

2m

)= 2 · (µ− 2nµBH)

√2m (µ− 2nµBH)

− 23·2m (2m (µ− 2nµBH))3/2 = 4

3

√2m (µ− 2nµBH)3/2

(24)

Введем обозначения для химического потенциала газа при T = 0

µ0 =(

3N

8πV

)2/3 (2π~)2

2m(25)

Тогда

V

(2π~)2eHc

43

√2m =

8πV

3N

(2m)3/2

(2π~)3eHc

~ ·N2m

= µBNH 1

µ3/20

(26)

Подставляя (24) и (26) в (23), получим

−Ω(µ,H, 0) = µBNH[(

µ

µ0

)3/2

+ 2l∑

n=1

(µ− 2nµBH

µ0

)3/2]

(27)

8

Перепишем это выражение в виде

−Ω (µ,H, 0) = Nµ0

(µBHµ0

)5/2[(

µ

µBH)3/2

+ 2l∑

n=1

(µ

µBH − 2n

)3/2]

(28)

Теперь введем обозначение

x =µ

µBH (29)

и

Ra (x) = axa−1 + 2a

∞∑n=1

(x− 2n)a−1θ (x− 2n) (30)

Дифференцируя последнее выражение

∂Ra(x)∂x = a

[(a− 1)xa−2 + 2 (a− 1)

∑∞n=1 (x− 2n)a−2

θ (x− 2n)]+

2a∑∞

n=1 (x− 2n)a−1δ (x− 2n)

(31)

Отсюда следует, что для любого a > 1

∂Ra (x)∂x

= aRa−1 (x) (32)

Итак,

−Ω(µ,H, 0) =25Nµ0

(µBHµ0

)5/2

R5/2 (x) (33)

Из (13), (32), (33) имеем

N = N

(µBHµ0

)3/2

R3/2 (x) (34)

Откуда следует, что

µ0

µBH =[R3/2 (x)

]2/3 (35)

илиµ

µ0= x

[R3/2 (x)

]−2/3 (36)

Определив восприимчивость как,

χ =M

H = − 1VH

(∂Ω∂H

)=

N

V

µ2B

µ0

(µBHµ0

)1/2 (R5/2 (x)− xR3/2 (x)

)(37)

и введя обозначение χ0 = NV

µ2B

µ0, находим

χ (H, 0)χ0

=(R5/2 (x)− xR3/2 (x)

) [R3/2 (x)

]−1/3 (38)

Рассмотрим некоторые предельные случаи.А. Сильные поля. Если

µ

µBH < 2, (39)

9

то в (28), (30) выживет только первый член и

R5/2 (x) = 5/2x3/2, R3/2 (x) = 3/2x1/2 (40)

Тогда, подставляя эти оценки (36) и (38) и используя (29), получим

µ

µ0=

(23

)2/3 (µ

µBH)2/3

(41)

Откуда

µ

µ0=

49

(µ0

µBH)2

(42)

Аналогично можно получить выражение для восприимчмвости

χ (H, 0)χ0

=827

(µ0

µBH)4

(43)

Б. Чуть сложнее исследуется случай слабых полей x À 1. Выведем асимптотическое выражение для функцииRa (x) . Из (30) имеем

a−1Ra (2l) = (2l)a−1 + 2∑∞

n=1 (2l − 2n)a−1θ (2l − 2n) =

= (2l)a−1 + 2a[(l − 1)a−1 + (l − 2)a−1 + ....2a−1 + 1a−1

]= 2a

l∑n=1

na−1 − (2l)a−1 (44)

Для оценки этого выражения воспользуемся формулой Эйлера (вывод см. в конце лекции)

l∑

k=1

f (k) =∫ l+1/2

1/2

f(x)dx− 124

[f ′ (l + 1/2)− f ′ (1/2)] (45)

Согласно этой формуле при a > 2,

l∑n=1

na−1 =∫ l+1/2

1/2

na−1dn− a− 124

[(l + 1/2)a−2 − 1/2a−2

](46)

≈ (l + 1/2)a − 1/2a

a− a− 1

24la−2 (47)

=la

(1 + a

2l + a(a−1)

2∗(2l)2

)

a− a− 1

6(2l)a−2 (48)

Домножим ответ на 2aa и вычтем a (2l)a−1 (см. (44))

Ra (2l) = (2l)a − a (a− 1)6

(2l)a−2 (49)

Ra (x) = xa

(1 +

a (a− 1)3x2

)(50)

Эта оценка справедлива для a > 2. Для термодинамического потенциала

−Ω(µ,H, 0) =25Nµ0

(µBHµ0

)5/2

x5/2

[1 +

54x2

]= (51)

25Nµ0

(µ

µ0

)5/2[1 +

54

(µBH

µ

)2]

(52)

10

Тогда

N = −∂Ω(µ,H, 0)∂µ

= N

[(µ

µ0

)3/2

+(µBH)2

4µ3/20 µ1/2

](53)

Откуда следует, что в нулевом магнитном поле µ = µ0. В слабом магнитном поле µ = µ0 + ∆µ

3∆µ

2µ0= − (µBH)2

4µ3/20 µ1/2

(54)

∆µ/µ0 = − (µBH)2

6µ20

(55)

Намагниченность

M = −(

∂Ω∂H

)

µ,T

= Nµ2

BHµ0

(56)

а для восприиимчивости

χ (H, 0)χ0

≈ 1 (57)

Последнее выражение показывет, что свободный электронный газ всегда парамагнитен. Напомним, что припренебрежении квантованием электронных уровней в магнитном поле, магнетизм электронного газа связантолько с наличием спинового магнитного момента, при этом парамагнитная восприимчивость равна χpara =3χ0/2. Таким образом, учет квантования приводит к диамагнитному эффекту χdia = − χ0/2.

Несмотря на то, что свободный электронный газ, в целом, парамагнитен, в природе существует большое числодиамагнитных металлов. Этот кажущийся парадокс разрешается следующим образом. Связанная с спиномпарамагнитная восприимчивость зависит от массы электрона через магнетон Бора, который определяетсямассой голого электрона. В то же время, поступательное движение электрона в металле, приводащее кдиамагнитному эффекту, определяется эффективной массой электрона в металле m∗. При этом оказывется,что

χpara/χdia = 1/3 (m/m∗) (58)

Эта величина может быть больше единицы.Рассмотрим предельный случай высоких температур T À µBH. В этой области температур химпотенциал

имеет большое отрицательное значение (это физически понятно и, кроме того, будет подтверждено нижерасчетом). Используя это обстоятельство, можно записать

−Ω(µ,H, T ) = T∑

q

e(µ−εq)/T = T∑

spin

∞∑n=0

∫dpz

V

(2π~)2eHc

eµ−µBH(2n+1)− p2

z2m

∓µBHT (59)

Выполним интегрирование∫

dpze− p2

z2mT = (2πmT )1/2

, (60)

суммирование

∞∑n=0

e−µBH(2n+1)

T =1

eµBH

T − e−µBH

T

(61)

и суммирование по проекции спина, получим

−Ω(µ,H, T ) = V T (2πmT )1/2

(2π~)2eHc

eµBH

T +e−µBH

T

eµBH

T −e−µBH

T

eµT =

= V4

(2mπ~2

)3/2

T 5/2eµT

µBHT cthµBH

T

(62)

11

Число частиц получим дифференцированием последнего выражения по химпотенциалу

N =V

4

(2mTπ~2

)3/2

eµT cth

µBHT

(63)

Логарифмируя (63), находим выражение для химпотенциала

µ = −T ln

[V

4N

(2mTπ~2

)3/2µBH

Tcth

µBHT

], (64)

которое являясь большим отрицательным числом в случае высоких температур перходит в выражение дляхимпотенциала больцмановского газа в отсутствие внешних полей.Для намагниченности получим

M (H, T ) = − 1V

(∂Ω∂H

)µT

=

14H

(2mπ~2

)3/2

T 5/2eµT

(µBH

T cthµBHT −

(µBH

T

)2)

(65)

Подставляя сюда выражение (64) для химпотенциала получим

M (H, T ) =NµB

V

T

µBH

1−

2µBHT

sh(

2µBHT

) (66)

Это выражение существенно отличается от ланжевеновской зависимости M (H,T ) = NµB

V thµBHT , которое

в области высоких температур приводит к насыщению намагниченности. Эта зависимость не учитываетдиамагнитного эффекта. В области высоких температур T À µ0 и сильных магнитных полей T ¿ µBHучет диамагнетизма приводит к тому, что намагнтченность монотоннонно как 1/H →0.

Перейдем теперь к исследованию осцилляционных эффектов в ферми-газе.Еще в 1931 году де Гааз и ван Альфен экспериментально обнаружили периодическое изменение магнитной

восприимчивости в висмуте при изменеиии магнитного поля в области низких температур.Выше подробно был исследован случай низких (в пределе нулевых) температур. Мы выяснили, что если

поле достаточно сильное µµBH < 2 (см. (39)), то имеет место монотонная зависимость химического потенциала

и восприимчивости с ростом поля. Эта область не представляет практического интереса и едва ли достижима.Затем была получена первая поправка к химическому потенциалу.Проанализируем теперь, поведение восприимчивости в области слабых магнитных полей µBH ¿ µ0. Для

простоты рассмотрим случай нулевых температур ограничимся исследованием эффектов в двумерном ферми-газе. В этом случае уровни энергии равны

εl (H) = µBH (2l + 1) , l = 0, 1, .... (67)

В двумерном случае для степени вырождения уровня имеем

gl = 2S

2π~eHc≡ βH, β =

S

π~e

c. (68)

Здесь S− площадь системы. Если gl больше полного числа электронов то все они занимают состояние с l = 0.При этом, полная энергия равна E = NµBH, намагниченность M = −NµB , а восприимчивость равна нулю.По мере уменьшения магнитного поля уменьшается энергия до тех пор, пока gl не станет меньше N. Тогда,вследствие принципа Паули, часть электронов перейдет на уровень с l = 1. При этом энергия системы системывозрастет с уменьшением поля и ситема становится парамагнитной.

Найдем общее выражение для энергии системы E , когда N электронов полностью заполняют r низшихуровней Ландау и, частично r + 1 уровень, согласно неравенству

rβH < N < (r + 1) βH (69)

или

N/ (r + 1) < βH < N/r (70)

12

При этом предполагается, что

βH/N < 1. (71)

Напомним, что уровеню с номером r отвечает l = r − 1 в (67). Энергия электронов целиком, заполняюших rпервых уровней, равна

gl

r−1∑

l=0

µBH (2l + 1) = βµBH2r2 (72)

Энергия остальных (N − rgl) электронов частично заполняющих r + 1 уровень равна

(N − rgl) µBH (2r + 1) (73)

Полная энергия

E =NµBH (2r + 1)− βµBH2r (r + 1) (74)

В интервале значений поля, определенных неравенством (70), имеем

M = −∂E (H, r) /∂H =−NµB [(2r + 1)− 2r (r + 1) βH/N ] (75)

Вывод этой формулы справедлив при условии, когда уровень с r = 1 (l = 0) заполнен полностью, то есть привыполнении условия (71).

Итак, намагниченность как функция магнитного поля ведет себя следующим образом. Если βH/N > 1, топервый уровень Ландау заполнен частично, намагниченность M = − NµB , а восприимчивость не зависит оттемпературы. В области магнитных полей

N/2 < βH < N (76)

намагниченность имеет вид

M = −NµB [3− 4βH/N ] (77)

и с уменьшением поля падает по закону 4µBβH, изменяясь от значения NµB до значения−NµB . Таким образом,при достижении полем значения H = N/β начинает заполняться второй уровень Ландау, что сопровождаетсяскачком намагниченности от значения −NµB до значения NµB . Далее, после того, как магнитное поле станетменьше значения H = N/2β, начнется заполнение третьего уровня Ландау, а намагниченность опять скачкомвозрастет от значения −NµB до значения NµB с последующим изменением по закону 12βH/N до достижениязначения −NµB и т.д. Этот результат был получен Пайерлсом в 1933 гду

Выведем формулу суммирования Пуассона.Рассмотрим интеграл от ”хорошей функции”

∫ l+1/2

1/2

f(x)dx (78)

Аппроксимируем функцию f (x) на интервале k − 1/2, k + 1/2, k = 1, 2, 3...l следующим образом

f (x) = f (k) + f ′ (k) (x− k) +12f ′′ (k) (x− k)2 (79)

Подставляя (79) в (78), и вычисляя интеграл получим (интеграл от первой производной обращается в нуль)

∫ l+1/2

1/2

f(x)dx ≈l∑

k=1

[f (k) +

12f ′′ (k)

∫ k+1/2

k−1/2

(x− k)2 dx

]=

l∑

k=1

[f (k) +

124

f ′′ (k)]

(80)

Перепишем (80) в виде

l∑

k=1

f (k) =∫ l+1/2

1/2

f(x)dx− 124

l∑

k=1

f ′′ (k) (81)

13

Применим эту формулу к сумме∑l

k=1 f ′′ (k) . С требуемой точностью можно ограничится только интегралом

l∑

k=1

f ′′ (k) ≈∫ l+1/2

1/2

f ′′(x)dx = f ′ (l + 1/2)− f ′ (1/2) (82)

В результате получим

l∑

k=1

f (k) =∫ l+1/2

1/2

f(x)dx− 124

[f ′ (l + 1/2)− f ′ (1/2)] (83)

1

3.3-BoseИдеальный бозе-газ.БГ1. Напомним основную схему вычислений термодинамических величин в рамках статистической физи-

ки. Логарифм распределения Гиббса wα замкнутой системы при заданном объеме V системы есть линейнаяфункция единственного аддитивного интеграла движения, энергии Eα :

ln wα = β(F − Eα) (1)

Если рассматривать ансамбль замкнутых систем с фиксированным объемом, но с нефиксированным числомчастиц, то это число частиц в любой конкретной системе ансамбля от времени не зависит. Поэтому логарифмраспределения Гиббса такого ансамбля следует представить в виде линейной функции двух аддитивных инте-гралов движения - энергии Eα и числа Nα частиц

ln wα = β(Ω− Eα + µNα) (2)

с тремя параметрами: объемом системы V , обратной температурой β = 1/T и новым параметром µ, которыйназывается химическим потенциалом. Аддитивная величина Ω является функцией этих параметров и опреде-ляется условием нормировки распределения Гиббса

∑α

wα = eβΩZ = 1, (3)

Z =∑α

e−β(Eα−µNα) (4)

Таким образом, новый термодинамический потенциал

Ω(V, T, µ) = −T ln Z (5)

выражается через логарифм новой статистической суммы (4), в которой проводится суммирование по всемсостояниям α системы со всеми возможными значениями энергии и числа частиц.Свяжем параметры распределения Гиббса (113) с энтропией и средними значениями числа частиц и энергии

системы.

S = −∑α

wα ln wα = −∑α

wαβ(Ω− Eα + µNα) = −β(Ω− E + µN) (6)

N =∑α

wαNα =

∑α

e−β(Eα−µNα)Nα

Z=

1Z

(∂Z

∂ (βµ)

)

β

= −(

∂Ω∂µ

)

β

(7)

E − µN =∑α

wα(Eα − µNα) = − 1Z

(∂Z

∂β

)

µ

= −(

∂ ln Z

∂β

)

µ

=(

∂ (βΩ)∂β

)

µ

= Ω− T

(∂Ω∂T

)

µ

(8)

Из соотношений (6), (8) следует, что

Ω = E − µN − TS (9)(∂Ω∂T

)

µ

= −S (10)

Используя термодинамическое определение потенциала Гиббса

Φ = E − TS + pV = µN (11)

получаем

Ω = −pV (12)

Совокупность формул (6)-(12) доказывает, что параметры β, µ, Ω распределения Гиббса с переменным числомчастиц (2) имеют смысл стандартных термодинамических величин.

2

Заметим, что сопоставляя выражения (2), (6), логарифм распределения Гиббса (со знаком минус) естественноназвать энтропией состояния α, но такое понятие обычно не используется.

БГ2. Применим общие формулы предыдущего параграфа к случаю идеального бозе-газа. Идеальный бозе-газ- это система не взаимодействующих друг с другом тождественных частиц. В представлении чисел заполнениякаждое состояние α системы описывается набором чисел заполнения np одночастичных состояний с энергиямиεp.

Число частиц и энергия этого состояния равны

Nα =∑

p

np, Eα =∑

p

npεp (13)

Число частиц в каждом одночастичном состоянии np может принимать любое значение от 0 до ∞.Из (4), (5) имеем

Ω(V, T, µ) = −T ln∑α

e−β(Eα−µNα) = −T ln∑

npe−βPp

np(εp−µ)

(14)

= −T ln∞∑

n1=0

e−βn1(ε1−µ)∞∑

n2=0

e−βn2(ε2−µ)∞∑

n3=0

e−βn3(ε3−µ)... (15)

=∑

p

Ωp (16)

Здесь мы ввели специальное обозначение для термодинамического потенциала подсистемы частиц в состоянииp :

Ωp = −T ln Zp, Zp =∞∑

n=0

e−βn(εp−µ) (17)

В частности

Z0 =∞∑

n=0

e−βn(ε0−µ) (18)

Чтобы эта сумма имела смысл, необходимо

eβ(µ−ε0) < 1, µ < ε0 (19)

Это означает, что химический потенциал должен быть меньше минимальной энергии одночастичного состояния.Далее мы будем рассматривать только нерелятивистские частицы со спектром εp = p2/2m. Поэтому ε0 = 0, имы будем говорить, что химический потенциал идеального бозе-газа всегда отрицателен

µ < 0 (20)

При этом условии геометрические прогрессии в (17),(18) сходятся и дают

Zp =1

[1− e−β(εp−µ)], Ωp = T ln[1− e−β(εp−µ)] (21)

Из формулы (7) находим среднее число частиц в состоянии p

〈np〉 = Np = −(

∂Ωp

∂µ

)(22)

Np =1

eβ(εp−µ) − 1(23)

Это - функция распределения идеального бозе-газа, распределение Бозе-Эйнштейна.Полное число частиц

N =∑

p

Np =∑

p

1eβ(εp−µ) − 1

(24)

3

не зависит от температуры и, тем самым неявным образом задает зависимость химического потенциала оттемпературы. Найдем эту зависимость. По правилу Бора-Зоммерфельда для любой функции от энергии суммапо импульсам эквивалентна интегралу

I =∑

p

f (εp) =∫

L3d3p

(2π~)3f (εp) = νV

∞∫

0

ε1/2dεf (ε) (25)

где ν = 121/2π2

m3/2

~3 = 0.07m3/2

~3 . Применяя это соотношение и делая замену переменных z = p2/2mT , приводимчисло частиц (052) к виду

N = T 3/2νV

∞∫

0

z1/2dz

eze−βµ − 1(26)

Отсюда

∞∫

0

z1/2dz

eze−βµ − 1=

N

T 3/2νV(27)

Чтобы при росте температуры интеграл падал как T−3/2, необходимо падение подъинтегрального выражения,т.е. фактор e−βµ должен расти. Поэтому при достаточно высоких температурах единицей в подинтегральномвыражении можно пренебречь и получить выражение

N = Γ(3/2)T 3/2νV eβµ (28)

из которого следует понижение химического потенциала по закону

eβµ ∼ T 3/2, µ ∼ −32T ln

1T

(29)

При таких температурах в знаменателе распределения (23) можно пренебречь единицей и перевести распреде-ление Бозе в распределение Максвелла-Больцмана

Np = eβ(µ−εp), (30)

когда заполнение всех уровней мало.С понижением температуры при заданной плотности газа правая часть уравнения (27) растет, химический

потенциал на плоскости (T, µ) приближается снизу к оси абсцисс, и обращается в нуль при температуре

Tc =(

N

νV J3/2

)2/3

= 3.31~2n2/3

m(31)

где

J3/2 =

∞∫

0

z1/2dz

ez − 1' 2.3 (32)

Полезно иметь ввиду, что по порядку величины Tc совпадает с энергией Ферми ферми-газа той же плотности.При T < Tc химический потенциал принимает минимально возможное значение для бозе-газа, т.е. µ = 0.

Равенство (26) теряет смысл. В этой области число частиц на нижнем уровне N0 очень велико, и при вычислениисуммы (24) следует это число выделить и заменить сумму на интеграл (??) только для возбужденных состояний

N =∑

p

Np = N0 + T 3/2νV

∞∫

0

dzz1/2

ez − 1(33)

Отсюда с учетом определения (??) находим температурную зависимость числа N0 :

4

N0 = N [1−(

T

Tc

)3/2

] (34)

Это замечательное явление накапливания макроскопического числа частиц на нижнем уровне называется”конденсацией Бозе-Эйнштейна”.

БГ3. Рассмотрим термодинамические свойства бозе-газа при низких температурах.Термодинамический потенциал идеального бозе-газа согласно (21), (25) равен

Ω = T∑

p

ln[1− e−β(εp−µ)] = TνV

∞∫

0

ε1/2dε ln[1− e−β(ε−µ)] (35)

После интегрирования по частям получаем

Ω = −23νV

∞∫

0

ε3/2dε1

eβ(ε−µ) − 1(36)

Сравним это выражение с энергией бозе-газа

E =∑

p

Npεp = νV

∞∫

0

ε3/2dε1

eβ(ε−µ) − 1(37)

Отсюда

Ω = −23E (38)

Поскольку Ω = −pV , то давление идеального газа p пропорционально плотности его энергии

p =23E/V (39)

Если записать энергию, как функцию температуры, то уравнение (39) задает зависимость давления от тем-пературы, т.е. уравнение состояния газа. При высоких температурах, когда распределение Бозе-Эйнштейнапереходит в распределение Больцмана, получаем

E = νV

∞∫

0

ε3/2dεeβ(µ−ε) = T 5/2νV eβµ

∞∫

0

z5/2−1dze−z = T 5/2νV eβµΓ(5/2) (40)

Поделим эту энергию на число частиц (28):

E

N=

Γ(5/2)Γ(3/2)

T =32T (41)

Отсюда воспроизводится школьный закон Клайперона-Ломоносова

p =23E/V = NT/V (42)

и теплоемкость больцмановского газа

CV =∂E

∂T=

32N (43)

Когда имеет место бозе-конденсация и химический потенциал равен нулю, энергия газа равна

E = νV

∞∫

0

ε3/2dε1

eβε − 1= νV T 5/2J5/2, J5/2 =

∞∫

0

z3/2dz

ez − 1' 1.8 (44)

5

(Вклад в энергию дают только возбужденные частицы) Отсюда находим при T ≤ Tc давление

p =23E/V =

23νT 5/2J5/2 (45)

и теплоемкость бозе-газа

CV =(

∂E

∂T

)

V

=52νV T 3/2J5/2 (46)

В качестве последнего вопроса получим матрицу плотности идеального бозе-газа в представлении вторичногоквантования. Для идеального газа операторная форма матрицы плотности есть стрельба из пушек по воробьям.Но для сравнения с теорией неидеального бозе газа, это полезно. В представлении чисел заполнения матрицаплотности Гиббса для подсистемы частиц в состоянии p имеет вид

ρp =1Zp

e−β(εp−µ)np =1Zp

∑n

|n〉 e−β(εp−µ)n 〈n| , Spρp = 1 (47)

Отсюда непосредственно получаются формулы (17) и (23):

Zp = Spe−β(εp−µ)np =∞∑

n=0

e−β(εp−µ)n (48)

〈np〉 = Sp[e−β(εp−µ)np np] =1Zp

∞∑n=0

[ne−β(εp−µ)n] (49)

В заключение рассмотрим несколько задач.Задача1. Найдем уравнение состояние бозе-газа при переходе через точку бозе-конденсации в переменных

(p, T ), (p, V ) и (V, T ).Изохора (p, T ). температуры при фиксированном объеме от закона (45) при T À Tc постепенно переходит в

(42).Изотерма (p, V ). Зависимость давления от объема при фиксированной температуре, характерная для больц-

мановского газа (p ∼ V −1) с уменьшением объема приближенно сохраняется вплоть до критического объема(см. (??))

Vc =N

νJ3/2T 3/2(50)

Согласно (45) при дальнешем уменьшении объема давление не меняется (увеличение плотности частиц компен-сируется выпадением частиц в Бозе-конденсат).Изобара (V, T ). При постоянном давлении с понижением температуры газ сжимается вплоть до объема (50).

А затем скачком, как при обычном фазовом переходе первого рода, происходит сжатие до нулевого объема,поскольку ниже критической температуры идеальный бозе-газ имеет бесконечную сжимаемость

∂V

∂p= ∞ (51)

Задача 2. Поскольку подсистема частиц в состоянии p является замкнутой системой, к ней можно, как мы ужеговорили, применить все понятия статистической физики замкнутых систем. Найдем, например, среднее числочастиц и его флуктуацию в этом состоянии :

〈np〉 =

∞∑n=0

ne−βn(εp−µ)

Zp= − T

Zp

∂Zp

∂µ= Np =

1eβ(εp−µ) − 1

(52)

⟨n2

p

⟩=

∞∑n=0

n2e−βn(εp−µ)

Zp=

T 2

Zp

∂2Zp

∂µ2(53)

⟨(δnp)

2⟩

=⟨n2

p

⟩− 〈np〉2 =T 2

Zp

∂2Zp

∂µ2−

(T

Zp

∂Zp

∂µ

)2

= T 2 ∂

∂µ

(1Zp

∂Zp

∂µ

)= −T

∂ 〈np〉∂µ

= Np (1 + Np) (54)⟨(δnp)

2⟩

〈np〉2=

1 + Np

Np= eβ(εp−µ) (55)

6

Относительная флуктуация чисел заполнения Бозе-частиц больше единицы. Удивляться этому не стоит, по-скольку свойство уменьшения относительной дисперсии с ростом числа частиц как 1/N (закон больших чисел)относится только к системам, составленным из большого числа независимых подсистем.

Задача 3. Число частиц на нижнем уровне при понижении температуры растет:

N0 =1

e−βµ − 1(56)

и, формально, обращается при µ = 0 в бесконечность. Чтобы снять это противоречие, в области температурпорядка и меньше Tc правую часть уравнения (33) следует вычислять более аккуратно. Учтем, что в этойобласти химический потенциал хотя и очень мал, но не равен нулю:

N =∑

p

Np = N0 + T 3/2νV

∞∫

0

dzz1/2

eze−βµ − 1(57)

Из интеграла выделим часть, отвечающую нулевому химическому потенциалу (см.(32)):

N = N0 + T 3/2νV J3/2 + T 3/2νV

∞∫

0

z1/2dz[1

eze−βµ − 1− 1

ez − 1] (58)

Основной вклад в последний интеграл при |βµ| ¿ 1 дает область z ¿ 1. В этой области он равен

T 3/2νV

1∫

0

z1/2dz[1

z + |βµ| −1z] = −T 3/2νV |βµ|1/2

∞∫

0

z1/2dz

(z + 1)= −πT 3/2νV |βµ|1/2 (59)

Подставляя этот результат в (58), получаем

N = N0 + T 3/2νV J3/2 − πT 3/2νV |βµ|1/2 (60)

Используя определение (??) и полагая, в соответствии с (56), N0 ' |βµ|−1, перепишем эту формулу в виде

N [1−(

T

Tc

)3/2

] =1|βµ| − 1.4N

(T

Tc

)3/2

|βµ|1/2 (61)

Отсюда получаем

|βµ| ' 1

N [1−(

TTc

)3/2

], T ¿ Tc (62)

|βµ| ' 1N2/3

, T = Tc (63)

|βµ| ' 12

(1−

(Tc

T

)3/2)2

, T > Tc (64)

Таким образом, в области ниже критической температуры химический потенциал при конечном числе частицотличен от нуля, но в термодинамическом пределе (N → ∞) равен нулю. В этом пределе в (60) последнимчленом при T ≤ Tc следует пренебречь, и мы получаем формулу (34). При T > Tc , на малом, но конечномрасстоянии от критической температуры, химический потенциал в термодинамическом пределе отличен от нуляи, пренебрегая в (61) членом 1/ |βµ| ¿ N, получаем (64)

µ ' −12Tc

(1−

(Tc

T

)3/2)2

(65)

7

Задача 4. Найдем теплоту фазового перехода Бозе-конденсации. В окрестности Tc давление равно

p =2E

3V=

23ν

∞∫

0

ε3/2dε1

eβ(ε−µ) − 1(66)

=23νT 5/2

∞∫

0

z3/2dz1

eze−βµ − 1=

23T 5/2νJ5/2 +

∞∫

0

z3/2dz[1

eze|βµ| − 1− 1

ez − 1] (67)

=23T 5/2νJ5/2 −

(e|βµ| − 1

) ∞∫

0

z3/2dzez

(eze|βµ| − 1

)(ez − 1)

(68)

В отличие от (58) здесь последний интеграл на нижнем пределе при |βµ| → 0 не расходится. Поэтому подзнаком интеграла химическим потенциалом можно пренебречь и в линейном приближении по |βµ| получить

p =23T 5/2νJ5/2 − |βµ|Jp (69)

Jp =

∞∫

0

z3/2dzez

(ez − 1)2' 3.47 (70)

Отсюда находим химический потенциал, как функцию температуры и давления

µ =32

p

T 3/2νJp− J5/2

JpT (71)

Воспользуемся термодинамическим тождеством

dµ = −sdT +V

Ndp (72)

Из этой формулы,прежде всего, можно найти критический объем (50). Кроме того, получаем энтропию, отне-сенную к одной частице

s = −(

∂µ

∂T

)

p

=(

32

)2p

T 5/2νJp+

J5/2

Jp=

32

1JpJ5/2 − |βµ| Jp+

J5/2

Jp=

52

1Jp

J5/2 −32|βµ| (73)

Поскольку ниже критической температуры µ = 0, то ниже Tc энтропия идеального газа s = −(

∂µ∂T

)p

= 0, и

искомая теплота фазового перехода равна

q =52

1Jp

J5/2Tc ' 1.3Tc (74)

Таким образом, при фиксированном давлении бозе-конденсация есть фазовый переход первого рода.Формулу (69) можно использовать, чтобы найти энергию в окрестности Tc

E =32pV = V T 5/2νJ5/2 − |βµ| Jp

и теплоемкость при постоянном объеме

CV =(

∂E

∂T

)

V

=52V T 3/2νJ5/2 − |βµ| Jp+

52V T 3/2νJp

(1−

(Tc

T

)3/2)

32Tc

Сравнивая эти выражения с формулами найденными выше для T ≤ Tc, находим, что при постоянном объемепереход в состояние бозе-конденсации сопровождается плавным изменением всех основных термодинамическихвеличин и является, как иногда говорят, фазовым переходом двух-с-половинного рода. Зависимость характерафазового перехода от условий есть следствие пренебрежения взаимодействием частиц. В неидеальном бозе газебозе-конденсация являтся переходом второго рода и при постоянном объеме, и при постоянном давлении.

1

D:\LECTURES\01BOOK\01phonons 13.11.01 ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ГАМИЛЬТОНИАНА КРИСТАЛЛИЧЕ-СКОЙ РЕШЕТКИ В ГАРМОНИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ. СПЕКТР КОЛЕБАНИЙ КУБИЧЕСКИХ РЕ-ШЕТОК. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ.Вторичное квантование колебаний кристаллической решетки и общие свойства фононов, были обсуждены

на предыдущей лекции. Здесь будут обсуждены конкретные свойства спектра фононов, плотность состояний,неустойчивость простой кубической решетки. Для удобства изложения проведем дигонализацию гамильтонианарешетки заново.

Динамические свойства кристаллического диэлектрика описываются гамильтонианом, который есть суммакинетической энергии атомов, расположенных около узлов решетки, и потенциальной энергии взаимодействияатомов, которая в гармоническом приближении имеет вид однородной квадратичной формы относительно сме-щений uα

j = rαj −Rα

j :

H =∑

j

p2j

2M+

14

∑

i,j

Uαβ(Ri −Rj)(uαi − uα

j )(uβi − uβ

j ). (1)

Как и на предыдущей лекции, мы ограничимся рассмотрением кристаллов с кристаллической структурой,содержащей один атом в элементарной ячейке. Координаты узлов такой решетки пробегают дискретный рядзначений

Rαj = aα

1 n1 + aα2 n2 + aα

3 n3. (2)

Три вектора aα1 ,aα

2 ,aα3 - это три периода решетки. Число номеров узлов j = (n1, n2, n3) в каждом из трех

направлений равно N1, а полное число узлов кристалла равнo N0 = N31 . На смещения накладываются условия

периодичности

uαn1,n2,n3

= uαn1+N1,n2,n3

= uαn1,n2+N1,n3

= uαn1,n2,n3+N1

. (3)

Замечательной особенностью гамильтониана в гармоническом приближении (1) является то, что он приводитк одинаковым уравнениям и в классической механике и в квантовой механике. В классической механике урав-нения движения имеют вид

∂uαj

∂t=

∂H

∂pαj

,∂pα

j

∂t= − ∂H

∂uαj

Дифференцируя (1), легко находим

∂uαj

∂t=

1M

pαj ,

∂pαj

∂t= −

∑

i

Uαβ(Ri −Rj)(uβj − uβ

i ) (4)

Это же уравнение получается из квантовых уравнений, определяющих производные по времени

∂uαj

∂t= − i

~[uα

j ,H],∂pα

j

∂t= − i

~[pα

j ,H],

с учетом коммутационного соотношения

[uαi , pβ

j ] = i~δαβδij . (5)

Из (4) непосредственно следует система уравнений Ньютона

∂2uαj

∂t2= − 1

M

∑

i

Uαβ(Ri −Rj)(uβj − uβ

i ) (6)

Ищем собственное колебание криcталла в форме плоской волны

uαj = uα

k e−iωt+ikRj (7)

Подстановка этого выражения в (6) дает

ω2uαk = Dαβ

k uβk , (8)

Dαβk =

1M

∑

i

Uαβ(Ri −Rj)[eikRj − eikRi ]e−ikRj . (9)

2

Всегда матрица Uαβ обладает свойствами

Uαβ(R) = Uαβ(−R) = Uβα(R)

и выражение (9) равно

Dαβk =

1M

∑

R

Uαβ(R)(1− cos~k ~R). (10)

Этот симметричный тензор Dαβk называется динамической матрицей. Он диагонален в представлении соб-

ственных векторов

Dαβk eβ

ks = Dkseαks, eα

kseαks′ = δss′ , s = 1, 2, 3 (11)

Динамическая матрица обращается в нуль при k → 0. Следовательно, ее собственные значения при малых kпропорциональны k2 :

Dks = c2sk

2 (12)

Выбирая uαk = const ∗ eα

ks , находим из (8) собственную частоту

ωks =√

Dks, (13)

причем при малом волновом векторе имеет место линейная зависимость (звуковой спектр)

ωks = csk. (14)

Таким образом, для каждого волнового вектора кристалл имеет три моды - три собственных (”нормальных”)колебания с взаимно ортогональными поляризациями ~eks и собственными частотами ωks. В пределе длинныхволн говорят о трех звуковых модах. В общем случае, как следует из (10), собственные частоты являютсяпериодическими функциями волнового вектора

ωks = ωk+B,s

где вектор ~B есть один из трех периодов обратной решетки

~B1=2π

v0(~a2 × ~a3), ~B2=

2π

v0(~a3 × ~a1), ~B3=

2π

v0(~a1 × ~a2),

где v0 = ~a1(~a2 × ~a3) есть объем элементарной ячейки.Рассмотрим динамическую матрицу подробнее в моделях, в которых величина Uαβ(R) есть вторая производ-

ная от потенциала парного взаимодействия атомов. Потенциал зависит только от расстояния между атомами.Градиент потенциала взаимодействия U(R) равен

Uα(R) = U ′nα, nα = Rα/R.

Тензор вторых производных имеет вид

Uαβ(R) = (U ′′ − 1R

U ′)nαnβ + δαβ 1R

U ′

Подставим этот тензор в динамическую матрицу (10)

Dαβk =

1M

∑

R

(1− cos~k ~R)[(U ′′ − 1R

U ′)nαnβ + δαβ 1R

U ′]. (15)

В силу симметрии решетки недиагональные компоненты динамической матрицы равны нулю. Например, вDxy

k недиагональная компонента символа Кронекера равна нулю, а выражение, пропорциональное nxny меняетзнак при замене ~R → −~R и после суммирования по узлам решетки исчезает. Поэтому в рассматриваемоймодели динамическая матрица диагональна с самого начала, и три поляризации направлены по x, y и z. Дляопределенности, рассмотрим z-моду

3

ωkz =√

Dzzk , ~ez = (0, 0, 1)

Dzzk =

1M

∑

R

(1− cos~k ~R)[(U ′′ − 1R

U ′) (nz)2 +1R

U ′] (16)

В случае ~k ‖~ez эта мода является продольной, в случае ~k ⊥~ez - поперечной. Для общего направления волновоговектора, направление поляризации остается неизменным.

Рассмотрим модель простой кубической решетки и ограничимся приближением, которое учитывает тольковзаимодействие шести ближайших соседей, когда ~R = (±a, 0, 0), ~R = (0,±a, 0), или ~R = (0, 0,±a)

Dzzk =

2M

(1− cos kza)(U ′′ − 1aU ′) +

2Ma

U ′γ (17)

γ = (1− cos kxa) + (1− cos kya) + (1− cos kza)

В частности, если kz = 0, то Dzzk = 6

MaU ′γ. Может оказаться, что ближайшие соседи отталкиваются друг отдруга, и U ′ < 0. В этом случае z-мода имеет мнимую частоту

ωkz = i

√2γ

Ma|U ′|

Это указывает на неустойчивость решетки. Такая неустойчивость называется ”неустойчивостью карточногодомика”.В объемноцентрированной решетке координаты восьми ближайших соседей имеют вид

~R =1√3(±a,±a,±a)

и динамическая матрица равна

Dxxk = Dyy

k = Dzzk =

ϕ

M[13(U ′′ − 1

aU ′) +

1aU ′]. (18)

где

ϕ =∑

R

(1− cos~k ~R)

В этой решетке в приближении ближайших соседей все три моды имеют одинаковую частоту ωkz =√

Dzzk , и

решетка стабильна, если

U ′′ +2aU ′ > 0

В частности, при отталкивания по степенному закону имеем

U = U0an

rn, U ′ = −nU0

an

rn+1, U

′′= n(n + 1)U0

an

rn+2

U ′′ +2aU ′ = n(n− 1)U0a

−2

Таким образом, объемноцентрированная решетка более устойчива, чем простая кубическая. Это помогает по-нять, почему кристаллов с симметрией простой кубической решетки в природе не существует.Подчеркнем, что высказанное утверждение нельзя воспринимать как доказательство, поскольку приближе-

ние парного взаимодействия для описания свойств твердых тел является весьма грубым. В качестве альтерна-тивы рассмотрим модель

Dαβk = Akαkβ + Bk2δαβ , A > 0, B > 0.

В этой модели уравнение (8) принимает вид

ω2uαk = Akα(~k~uk) + Bk2uα

k ,

4

Это уравнение дает продольную моду

~k ‖ ~uk, ω2 = (A + B)k2

и две поперечных

~k ⊥ ~uk = 0, ω2 = Bk2

Эта модель демонстрирует общее свойство твердых тел: скорость звука продольной моды всегда больше скоро-стей поперечных мод.16.11.01 конец лекции.

!"# $ %!$ &'"" ()'!#* $ $ "*+ ,'-# '%.')/'"(

01

2-3 $'4'!$5 ! 34'( #. ! $ 6#) 7 8! 9% /4#% $#, #. !" 6) ( 6") (

$.# ,'%!$#3 6#) $ :-')9 $#,

)#;'( ) $ ( )' ,<!5 !* **

Æ

"',6 - =#5 ;! 6"# )>-'$ % !'6'"!>"' $' 6#)9 )6"$-')9 6 ()#!) > 6 -< 5 )6"$-')#'* ! " ( $9/'"' $ *;'!$' # ? (, 8)'"(#3 ) $) ( ! 3)#3 "$)

9 $#,#5 ;! #!' 6"# @A ,'%!$#!'-B) )+ ,#!3 $ &'"" ()#!) ! 3)##5 '-# >!B /'))9% #)!'("- 06-#!>, $.# ,'%!$#31 ',-')) 6,'! >$'-#;')#' "! 3)#3

'=,> 6#)# (, ) $9,'-'))99% 6#) ,'%!$>'! 8&&'*!#$) ' 6 -' ! / -BC ( ;#- *">=<4#+6#) $

> / -BC ( ;#- &->*!>#"><4#+ -('9+ -/ &->*!>#">'! 8! > 6 , .)* >9 =)

;#!!B5 ;! &->*!>D#3 *=, ( 6#) Æ

- E! 6 .$ -3'! $ #+ ,) (#-B! )#)' $

".- =')##

Æ

Æ

Æ

Æ ÆÆ

6"')'/"';B 6" #.$',')#' &->*!>D#% # 6 ->;#!B $ -#)'%) 6"#/-#=')##

Æ

Æ

Æ

0F1

,'B $$',') 8&&'*!#$) ' ()#!) ' 6 -'

0G1

* ! " ' .$##! ! "',)#+ .);')#%

>4'!$')) 5 ;! 6"# )#.*#+ !'6'"!>"+ 8&&'*!#$) ' ()#!) '

6 -' ) ( / -BC' $)'C)'( ()#!) ( 6 -3'-#;#)9

-',>'! $9;#-#!B (- $))9 /". 5 6 !" #$ $9"=')#35 )'3$)9 /".

.,<4#' #+ .);')#3 #-B! )#) 0F1 & "-B) "./#! ) >> )'.$##9+ ;-') $ E! 6 .$ -3'!-'(* $9;#-#!B

Æ

F

. /"=')#% #'!"## 3) 5 ;! $ ,) " ,) ()#!) 6 -' "',)#' .);')#3 6#) $ )6"$-')9 6 ()#!) > 6 -< # )' .$#3! ! * ",#)!9 >.- 8! > 6" 4'

01

6 ->;'

0H1

6"','-' )#.*#+ !'6'"!>" 0 1 $ / ,)3 8)'"(#3 #''! ;')B 6" ! % $#,

#)#-B) ' .);')#' * ! " ( ,'! 6 -)>< )()#;')) !B "# $9 *#+ !'6'"!>"+5 * (, =) #6 -B. $!B ".- =')#'

# 6 ->;#!B

0I1

#)#> 8! ( $9"=')#3 6 ,'!

0J1

6>!#$ *>/#;'*#% ;-')5 )+ ,# )()#;')) !B # ()#!)>< $ 6"##;#$ !B

0K1

* ! "3 /"4'!3 $ /'* )';) !B 6"# !'6'"!>"' <"#L

0M1

#=' !'6'"!>"9 <"# $ !>!!$## ()#!) ( 6 -3 $ .)#*'! 6 )!))3 )()#;')) !B5 * ! "35 **-',>'! #. 0J15 "!'! 6"# 6 )#=')## !'6'"!>"9 6 * ")'$ > .* )>L

0A1

"# )-#;## 6 )!)) % )()#;')) !# ()#!)3 $ 6"##;#$ !B 6"','-3'!3 & ">- %

2-3 8! % $'-#;#)9 >"$)')#' 0J1 ,'!

G

9C' ! ;*# <"# 8! $9"=')#' 6"#$ ,#! * 0K15 )#=' 8! % !'6'"!>"9 >;'! 0A1 6 ->;'

01

/"!# $)#)#'5 ;! $ & ">-+ ,-3 $ 6"##;#$ !# $9C' # )#=' ;#-#!'-# !-#;<!3 $ ,$ ". !"# 6 $',')#' !'6- '* !# $ *"'!) !# ! ;*# <"# $ !>!!$#' $)'C)'( 6 -3 ,!$# $ 0I1 $9"=')#' 0A1 #-# L

!<, )+ ,# 8)!" 6#<5 6"#+ ,34><3 ) ,#) 6#)

* # , -=) /9!B5 8)!" 6#3 6#) $ >6 "3, ;')) ( ! 3)#3 ')BC' 8)!" 6## 6 -) !B<)'>6 "3, ;')) ( 6"()#!) ( ! 3)#3 '6- '* !B $ *"'!) !# ! ;*# <"# 6"'!'"6'$'! *;'*

E! )+ ,#!3 $ 6 -) !$'!!$## !' "#'% &. $9+ 6'"'+ , $ $! " ( " , ),> * $ "'.>-B!!#-', $)#3 $ %!$ &'"" ()'!#* $ 6"#/-#=')## (- $)) ( 6 -3 !"# !'6'"B 8-'')!")9' $ ./>=,')#3 &'"" ()'!#* 7 6#) $9' $ -)9 6#C' #+ ,)9%

(#-B! )#) 6 * 6 )')!

0F1

0G1

01

6#) $9' 6'"! "9 >, $-'!$ "3<! * >!D# ))9 !) C')#3

6#C' >"$)')#' 6"'D'## ,-3 6'"! "

8! >"$)')## />,' 6"')'/"'(!B &->*!>D#'% )()#;')) !# # .')# 6" '*D#< 6#) ) )6"$-')#'()#!) ( 6 -3 '( "',)# .);')#'L

0H1

->;#-# -#)'%) ' >"$)')#'5 "'C')#' * ! " ( -'(* )%!# 6'"'+ , * #6>-B) > 6"',!$-')#<" #.$',' 6"' /". $)#' >"B'

! !

. >"$)')#3 0H1 6 ->;'

!

!

!

>#" $)#' 6 6"# &#*#" $)) .);')## ,'!

Æ

N"$)')#' 6"'D'## 6"#)#'! $#,

!

!

!

'C')#' 8! ( >"$)')#3

! !

6 *.9$'!5 ;! $9"=')#'

"

#''! 9- ;! !9 6#) $ % $ -)9 6"# .,)) .);')## $ -) $ ( $'*! " 2-3 -9+ ,-#) $ -) 6'*!"6#) $9+ $ -) )- (#;') 6'*!"> 8-'*!" ) $/-#.# ,) . )9 6" $ ,# !#

" #

$

$

4'-B 6" 6 "D# )-B) ()#!) > 6 -<5 8&&'*!#$)3 "!'! 6 $9C')#' !'6'"!>"9 #.7. >')BC')#3 )()#;')) !# !>!!$## ()#!) ( 6 -3 6'*!" 3$-3'!3 /'.4'-'$9 $ (-## !' "' % -,! >) "# )#.*#+ !'6'"!>"+ 6#) $9' $ -)9 =) "!"#$!B ** / .'7(. () ) $5&>)*D#3 "6"','-')#3 * ! "9+ '!B "6"','-')#' -)*7 .'7E%)C!'%)

!<, 6 -) ' ;#- ;!#D "$)

!"

%#

&

!

() )9 6"','-3<! !'6'"!>")>< .$## !B )()#;')) !# 6"# )#.*#+ !'6'"!>"+

' !" '

# 6 $9C<! 8)'"(#< !'-

!"

"

%#

&

!

#

$

!<, )+ ,# () ))9% $*-, $ !'6- '* !B !'-L

(!" !"

"# , !! ;) )#.*#+ !'6'"!>"+ 8! $'-#;#) 3$-3'!3 6"','-3<4'%5 6 * -B*> & ) ))3 !'6- '* !B6" 6 "D# )-B) ,)* $ &'"" ()#!)9+ '!--+ (-$)>< " -B #("'! !'6- '* !B 8-'*!" ) $6" $ ,# !#

1

2003-lectures\2004Nbose Лекция. Неидеальный бозе-газ и сверхтекучесть.1.Введение В идеальном бозе-газе при низкой температуре имеет место явление накапливания

макроскопического числа частиц на нижнем уровне - конденсация Бозе-Эйнштейна. Конденсация существуети в неидеальном бозе-газе. Кроме того, конденсат в неидеальном газе обладает замечательным свойством -сверхтекучестью. Более того, сверхтекучесть имеется в конденсированной среде - в бозе-жидкости. Такойжидкостью является низкотемпературный гелий.Сверхтекучее вещество имеет нулевую вязкость и его течениепо трубкам малого сечения (каппилярам) не затухает. В 1995 г. экспериментаторы сумели получить вмагнитных ловушках методом лазерного охлаждения небольшие порции (∼ 106 атомов) газообразного рубидия срекордно низкой температурой порядка 10−6. Атом щелочного металла 37Rb85 имеет нечетное число электронов(37) и нечетное число нуклонов (85) и является бозе-частицей. Было экспериментально показано, что вгазе рубидия действительно имеется бозе-конденсация. А наличие в нем незатухающих колебаний указываетна наличие и второго удивительного свойства бозе-систем - на сверхтекучесть. Вначале изложим теориюБоголюбова, а затем теорию сверхтекучести изложим на современном языке.2. Рассмотрим неидеальный бозе-газ.В основном состоянии неидеального бозе-газа и при температуре, малой

по сравнению с температурой бозе-конденсации идеального газа (Tc == 3.31n2/3/m), большинство атомовнаходится на уровне с нулевым импульсом (N0 ' Ntot), т.е. образуют бозе-конденсат. Термодинамическиесвойства этого газа будем описывать в простейшей модели с локальным парным взаимодействием(отталкиванием, U > 0 ) Эффективный гамильтониан модели в импульсном представлении имеет вид

Ω = H − µN =∑

k 6=0

(k2

2m− µ)a+

k ak +12U

∑

k1+k2=k3+k4

a+k1a

+k2ak3ak4 (1)

Чтобы не следить за размерностью, принято V = 1 и ~ = 1. В первой сумме кинетическая энергия частицыотсчитывается от химического потенциала. Каждый член второй суммы описывает s-рассеяние двух частиц ссохранением суммарного импульса.

Здесь и в дальнейшем для краткости опускаем стрелки над векторами. Как и в случае газафононов, операторы поглощения и рождения бозе-частиц с волновым вектором (импульсом) k удовлетворяюткоммутационным соотношениям

[ak, a+k′ ] = δk,k′ , [ak, ak′ ] = [a+

k , a+k′ ] = 0, (2)

и оператор Nk = a+k ak имеет смысл оператора числа частиц в этом состоянии. Квантовомеханическое среднее

от (1) есть термодинамический потенциал Ω, в котором задан химический потенциал µ , а не полное числочастиц

. Из теории одномерного осциллятора и квантовой электродинамики известно, что большое число частицв одном квантовом состоянии можно рассматривать как классическое поле и заменять оператор поля наклассическую амплитуду поля : a0 → a0 =

√N0. Все операторы поглощения и рождения с не равным нулю

импульсом будем учитывать точно.Пренебрегая надконденсатными частицами, будем иметь

Ω0 = −µN0 +12UN2

0 (3)

Минимизируя это выражение по N0 при фиксированном µ, получаем

µ = UN0 (4)

Учитывая в (1) члены, содержащие a40 и a2

0, и пренебрегая взаимодействием надконденсатных частиц, будемиметь

H − µN = Ω0 +∑

k 6=0

(k2

2m− µ)a+

k ak +12UN0

∑

k

[4a+k ak + a−kak + a+

k a+−k]

= Ω0 +∑

k 6=0

[ξka+k ak +

12µ(a−kak + a+

k a+−k)], ξk = (

k2

2m+ µ)

В этом выражении перепутываются бозе-операторы с противоположными импульсами

Ωk = ξk(a+k ak + a+

−ka−k) + µ(a−kak + a+k a+

−k)

2

Эта квадратичная форма диагонализуется каноническим преобразованием Боголюбова-Тябликова

ak = uk bk − v−k b+−k (5)

и его эрмитово сопряженного выражения (с заменой знака импульса)

a+−k = u∗−k b+

−k − v∗k bk. (6)

Здесь введены операторы поглощения bk и рождения b+k квазичастиц, которые должны удовлетворять таким

же правилам коммутации, что и исходные операторы голых частиц” (21)[bk, b+

k′

]= δk,k′ ,

[bk, bk′

]=

[b+k , b+

k′

]= 0. (7)

u2k − v2

k = 1

Ωk = ξk

(u∗k b+

k − v∗−k b−k

)(uk bk − v−k b+

−k

)+ ξk

(u∗−k b+

−k − v∗k bk

)a+−k

(u−k b−k − vk b+

k

)

+ µ(u−k b−k − vk b+

k

)(uk bk − v−k b+

−k

)+ µ

(u∗k b+

k − v∗−k b−k

) (u∗−k b+

−k − v∗k bk

)

b+k b+−k, b−k bk

b+k bk (ξku∗kuk + ξkv∗kvk − µvkuk − µu∗kv∗k)

+ b+−k b−k

(ξku∗−ku−k + ξkv∗−kv−k − µu−kv−k − µv∗−ku∗−k

)

ξkξk

εk

ξkv∗−kv−k − µu−kv−k − µv∗−ku∗−k + ξkv∗kvk = 2ξkv2k − 2µukvk = ξk(

ξk

εk− 1)− µ2

εk= εk − ξk

ξk2ukvk = µ(v2k + u2

k)

2ukvk =µ

εk, (v2

k + u2k) =

ξk

εk, εk =

√ξ2k − µ2

u2k =

12(ξk

εk+ 1), v2

k =12(ξk

εk− 1)

Ωk = (εk − ξk) + εk(b+k bk + b+

−k b−k)

15May20042.Нелинейное уравнение Шредингера Итак, рассмотрим неидеальный бозе-газ. Для простоты ограничимся

температурой, близкой к нулю, когда тепловых возбуждений очень мало T ¿ Tc ' (~2/m)n2/3. В классическоймеханике гамильтониан взаимодействия частиц имеет вид

Hint =12

∫d3r1d

3r2ρ(~r1)U(~r1 − ~r2)ρ(~r2), (8)

где ρ(~r1) - плотность числа частиц. Будем считать, что потенциал взаимодействия двух частиц имеет характеротталкивания

V (~r1 − ~r2) ≥ 0. (9)

В случае притяжения частиц газ неустойчив относительно перехода в жидкую фазу.В квантовой механике в представлении чисел заполнения плотность числа частиц следует заменить на

оператор ρ(t, ~r) = Ψ+(t, ~r)Ψ(t, ~r), где Ψ(t, ~r) - оператор бозе-поля в представлении Гейзенберга.

3

Операторные волновые функции удовлетворяют коммутационным соотношениям:

[Ψ(t, ~r1), Ψ+(t, ~r2)] = δ(~r1 − ~r2) (10)

В гамильтониане взаимодействия операторные волновые функции полагается располагать в ”нормальномпорядке” - справа две частицы исчезают и слева - возникают:

Hint =12

∫d3r1d

3r2Ψ+(t, ~r1)Ψ+(t, ~r2)U(~r1 − ~r2)Ψ(t, ~r2)Ψ(t, ~r1). (11)

Полный гамильтониан системы можно получить, добавив к (11) гамильтониан кинетической энергии

H =∫

d3rΨ+(t, ~r)p2

2mΨ(t, ~r) +

12

∫d3r1d

3r2Ψ+(t, ~r1)Ψ+(t, ~r2)U(~r1 − ~r2)Ψ(t, ~r2)Ψ(t, ~r1). (12)

При низких температурах существуют только низкоэнергетические длинноволновые возбуждения. Поэтомукороткодействующий парный потенциал можно заменить на локальный

U(~r1 − ~r2) = U0δ(~r1 − ~r2). (13)

Параметр U0 имеет размерность энергия×объем и записывается в виде

U0 =4π~2a

m. (14)

Величина a называется длиной рассеяния. Гамильтониан (12) принимает вид

H =∫

d3r[Ψ+(t, ~r)p2

2mΨ(t, ~r) +

12U0Ψ+(t, ~r)Ψ+(t, ~r)Ψ(t, ~r)Ψ(t, ~r)]. (15)

Выпишем также оператор полного числа частиц

N =∫

d3rΨ+(t, ~r)Ψ(t, ~r). (16)

Производная по времени от гайзенберговских операторов равна

i~∂

∂tΨ(t, ~r) = [Ψ(t, ~r), H]. (17)

Производим коммутацию оператора поля с гамильтонианом, с учетом того, что

[Ψ(t, ~r1), Ψ+(t, ~r2)Ψ(t, ~r2)] = δ(~r1 − ~r2)Ψ(t, ~r2) (18)

и приходим к нелинейному ”уравнению Шредингера”

i~∂

∂tΨ(t, ~r) =

p2

2mΨ(t, ~r) + U0Ψ+(t, ~r)Ψ(t, ~r)Ψ(t, ~r)− µΨ(t, ~r). (19)

Здесь введена постоянная µ , которая сдвигает начало отсчета энергии. Ее значение будет выбрано так, чтобыфункция основного состояния не зависела от времени.Получили операторное уравнение для квантового бозе-поля Ψ. Обратим внимание, что в квантовой теории система тождественных бозе-частиц эквивалентна бозе-полю. Это - проявление на новом уровне дуализма волна-частица, о котором говорилось на первых лекциях поквантовой механике. Заметим, что в современной физике принято квантовые поля с массой интерпретироватькак газы частиц, а полями называть квазиклассические пределы безмассовых квантовых полей, таких какэлектромагнитное поле.3.Основное и слабовозбужденное состояние бозе-газа должны содержать бозе-конденсат. Чтобы его выделить,

разложим функцию бозе-поля Ψ по плоским волнам ϕk(r) = V −1/2eikr (V - объем системы):

Ψ =∑

k

ak (t)ϕk(r). (20)

4

Здесь и в дальнейшем для краткости опускаем стрелки над векторами. Как и в случае газа фононов, операторыпоглощения и рождения бозе-частиц с волновым вектором (импульсом) удовлетворяют коммутационнымсоотношениям

[ak, a+k′ ] = δk,k′ , [ak, ak′ ] = [a+

k , a+k′ ] = 0, (21)

и оператор Nk = a+k ak имеет смысл оператора числа частиц в этом состоянии.

В основном состоянии неидеального бозе-газа почти все частицы находятся в конденсате. Если конденсатнеподвижен, то все частицы, составляющие конденсат, имеют нулевой импульс. Даже при T = 0 небольшаядоля частиц из-за взаимного отталкивания имеют ненулевые импульсы. Ниже соответствующее числонадконденсатных частиц Nk будет вычислено.В представлении вторичного квантования конденсат из N0 частиц с нулевым импульсом описывается

вектором состояния, образованном многократным действием оператора рождения на состояние вакуума

|N0〉 =1√N0!

(a+0

)N0 |0〉 , 〈N0 | N0〉 = 1 (22)

В макроскопическом пределе N0 →∞ этот вектор состояния эквивалентен когерентному состоянию.Когерентным состоянием называется собственное состояние оператора поглощения

a0 |Ψ0〉 = a0 |Ψ0〉 . (23)

Это состояние образуется суперпозицией состояний с разным числом n частиц с нулевым импульсом и можетбыть записано в одной из двух форм

|Ψ0〉 = e−12 |a0|2

∞∑n

an0√n!|n〉 = e−

12 |a0|2ea0a+

0 |0〉 (24)

Покажем, что этот вектор состояния удовлетворяет (23). Оператор поглощения бозе-частицы определяетсяуравнением: a0 |n〉 =

√n |n− 1〉

Поэтому

a0

( ∞∑n

an0√n!|n〉

)=

∞∑n

an0√n!

a0 |n〉 =∞∑n

an0√n!

√n |n− 1〉 = a0

∞∑n

an0√n!|n〉 (25)

что и требовалось доказать. Нормировка 〈Ψ0| |Ψ0〉 = 1 доказывается непосредственно.Используя определение (23), найдем среднее число частиц в этом состоянии и соответствующую дисперсию

N0 = 〈Ψ0| a+0 a0 |Ψ0〉 = |a0|2 , (26)⟨

(δN0)2⟩

= 〈Ψ0|(a+0 a0 −N0

)2 |Ψ0〉 = N0,⟨(δN0)

2⟩

/ 〈N0〉2 = N−10 . (27)

Итак, в макроскопическом (N0 → ∞) когерентном состоянии относительная флуктуация числа частицв конденсате, стремится к нулю. Отличие векторов состояния (22),(??) столь же малосущественно какразличие между распределениями Гиббса канонического и большого канонического ансамблей. Ниже мы будемиспользовать когерентное состояние конденсата. Это тем более естественно, что, как и в случае идеального бозе-газа при низкой температуре, мы предполагаем, что в системе зафиксировано не число частиц, а химическийпотенциал.Из операторной функции (20) выделим оператор с нулевым импульсом. Все наблюдаемые величины при

низких температурах являются средними по состоянию с конденсатом. Поэтому, имея ввиду (23), можно в (20)оператор a0 заменить на с-число :

Ψ = Ψ0 + Ψ1, Ψ0 =a0√V

, Ψ1 =∑

k 6=0

ak (t)1√V

eikr (28)

Амплитуда Ψ0 есть статическое решение уравнения (19), если

µ = U0Ψ20, (29)

5

Число конденсатных частиц и энергия конденсата (см. (15)) связаны с амплитудой конденсата Ψ0 формулами

N0 =∫

d3rΨ+0 (t, ~r)Ψ0(t, ~r) = Ψ2

0V, (30)

E00 =12U0

∫d3rΨ+

0 (t, ~r)Ψ+0 (t, ~r)Ψ0(t, ~r)Ψ0(t, ~r) =

12U0Ψ4

0V =U0N

20

2V. (31)

Дифференцируя энергию по числу частиц, находим химический потенциал

µ0 =∂E0

∂N0=

U0N0

V= U0Ψ2

0. (32)

Сравнивая это выражение с (29), мы убеждаемся, что постоянная, введенная в уравнение (19) естьхимический потенциал.неподвижного конденсата. При этом E00 = 1

2µ0N0.В отличие от идеального газа, неидеальный бозе-газ в основном состоянии обладает отличным от нуля

давлением

P = −∂E0

∂V=

U0N20

2V 2=

U0ρ20

2m2

P = −Ω = +µN0 − 12UN2

0 =U0N

20

2V 2(33)

(ρ0 = mN0/V - плотность конденсата) и гидродинамической скоростью звука

c =

öP

∂ρ=

√U0ρ0

m2=

õ0

m. (34)

4. Элементорные возбуждения .Выражения (29)-(34) справедливы для чистого конденсата. Теперь учтем надконденсатные частицы.Подставим выражение (28) в (19), и удержим линейные по Ψ1 члены:

i~∂

∂tΨ1(t, ~r) =

p2

2mΨ1(t, ~r) + 2U0Ψ2

0Ψ1(t, ~r) + U0Ψ20Ψ

+1 (t, ~r)− µ0Ψ1(t, ~r). (35)

с учетом (29) это уравнение приводится к компактному виду

i~∂

∂tΨ1 =

(p2

2m+ µ0

)Ψ1 + µ0Ψ+

1 . (36)

Для каждого члена разложения (??) имеем

i~∂

∂tak (t) = [

(~k)2

2m+ µ0]ak (t) + µ0a

+−k (t) . (37)

В этом уравнении перемешаны бозе-операторы ak (t) и a+−k (t). Диагонализуем это уравнение с помощью

преобразования Боголюбова

ak (t) = [uk bk (t)− vk b+−k (t)] (38)

и его эрмитово сопряженного выражения (с заменой знака импульса)

a+−k (t) = [uk b+

−k (t)− vk bk (t)]. (39)

Здесь введены операторы поглощения bk и рождения b+k квазичастиц, которые должны удовлетворять таким

же правилам коммутации, что и исходные операторы голых частиц” (21)[bk, b+

k′

]= δk,k′ ,

[bk, bk′

]=

[b+k , b+

k′

]= 0. (40)

6

По определению, квазичастицы ведут себя как частицы идеального газа, и соответсвующие операторы являютсясобственными ”функциями” оператора энергии

i~∂

∂tbk = εk bk, i~

∂

∂tb+k = −εk b+

k . (41)

Коэффициенты преобразования uk, vk полагаем действительными, четными функциями вектора k. Это всегдаможно сделать удачным выбором фаз у операторов bk. Правила коммутации (21), (40) не противоречат другдругу, если

u2k − v2

k = 1 (42)

Смысл формулы (38) состоит в том, что поглощение бозе-частицы с импульсом k эквивалентен с вероятностьюu2

k поглощению конденсатом одного кванта элементарного возбуждения и с вероятностью v2k - рождению из

конденсата кванта с противоположным импульсом.Подставив (38),(39) и (41) в (37), получаем

εk[uk bk + vk b+−k] = [

(~k)2

2m+ µ0][uk bk − vk b+

−k] (43)

+ µ0[uk b+−ke+iεkt/~ − vk bke−iεkt/~]. (44)

Это уравнение выполняется тождественно, если приравнять по-отдельности коэффициенты при bk и b+−k:

(εk − ξk)uk + µ0vk = 0,µ0uk − (εk + ξk) vk = 0,

(45)

где ξk = (~k)2

2m + µ0. Отсюда получаем квадратное уравнение

ξ2k − ε2

k = µ20 (46)

и находим спектр элементарных возбуждений

εk =√

ξ2k − µ2

0 =

√√√√ (~k)2

mµ0 +

((~k)2

2m

)2

= c~k, (~k)2

2m ¿ µ0, c =√

µ0m

(~k)2

2m , µ0 ¿ (~k)2

2m

(47)

Химический потенциал µ0 = U0N0/V , определяющий масштаб взаимодействия надконденсатных частиц сконденсатом, делит спектр на две области. Низкочастотные возбуждения имеют звуковой спектр со скоростьюраспространения, совпадающей с гидродинамической скоростью звука (34). А спектр возбуждений с энергией,большей µ0, совпадает со спектром свободных частиц.

Уравнения (42) и (03) определяют коэффициенты преобразования

uk =

√12

(ξk

εk+ 1

), vk =

√12

(ξk

εk− 1

), (48)

Фактически, это коэффициенты поворота в пространстве с гиперболической метрикой (??).Выпишем полезныесоотношения.

u2k + v2

k =ξk

εk, 2ukvk =

µ

εk

Формально, уравнение (46) имеет отрицательное решение εk = −√

ξ2k − µ2

0 . Можно показать, что это решениепротиворечиво, даже если отказаться от предположения о действительности uk , vk.

5.Гамильтониан системы (15) в импульсном представлении в квадратичном приближении по операторам ak (t)имеет вид.

H(2) = E00 +∑

k 6=0

[((~k)2

2m+ 2µ0)a+

k ak +12µ0aka−k +

12µ0a

+−ka+

k ] (49)

7

Химический потенциал µ0 = U0N0/V и энергия конденсата E00 = U0N20 /2V были введены выше. Полное число

частиц (16) равно

N = N0 +∑

k 6=0

a+k ak (50)

В замкнутой системе в разных состояниях полное число частиц N остается неизменным, но меняются ичисло надконденсатных частиц

∑k 6=0

a+k ak , и µ0, и E00. Поэтому для вычисления статистической суммы

и термодинамических величин следует в гамильтониане (49) предварительно записать E00 в квадратичномприближении

E00 =U0

2V(N −

∑

k 6=0

a+k ak)2 = E0 − µ0

∑

k 6=0

a+k ak, E0 =

U0N2

2V

Таким образом, энергия надконденсатных частиц равна

H = H(2) − E0 =∑

k 6=0

[((~k)2

2m+ µ)a+

k ak +12µaka−k +

12µa+

−ka+k ]. (51)

Это выражение после подстановки (38),(39) принимает диагональную форму

H =12

∑

k

(εk − ξk) +∑

k

εk b+k bk. (52)

Первый член есть вклад надконденсатных частиц N1 в энергию основного состояния (”энергия нулевыхколебаний”). Он отрицателен, поскольку выталкивание небольшой доли частиц из конденсата уменьшаетэнергию отталкивания частиц конденсата. Наиболее важным для нас является последний член, описывающийсуммарную энергию возбуждений. Поскольку оператор b+

k bk есть оператор числа квазичастиц, то величина εk

(47) имеет смысл энергии элементарного возбуждения с импульсом ~k. При больших импульсах εk совпадает сэнергией свободной частицы

εk ' (~k)2

2m, εk À µ, (53)

а длинноволновая часть спектра имеет форму звукового спектра, т.е. линейно зависит от импульса.

εk = c~k, c =√

µ

m=

√U0N0

mV, εk ¿ µ. (54)

Заметим, что величина c численно равна гидродинамической скорости звука (34). Таким образом,длинноволновые квазичастицы играют в бозе-жидкости роль звуковых квантов - фононов.

Найдем среднее число надконденстных частиц с ненулевым импульсом

Nk =⟨a+

k ak

⟩(55)

=⟨[uk b+

k eiεkt/~ − vk b−ke−iεkt/~][uk bke−iεkt/~ − vk b+−keiεkt/~]

⟩(56)

= u2k

⟨b+k bk

⟩+ v2

k

⟨b−k b+

−k

⟩− ukvke2iεkt/~

⟨b+k b+−k

⟩− vkuke−2iεkt/~

⟨b−k bk

⟩. (57)

Под знаком последнего среднего стоит произведение двух операторов уничтожения квазичастиц, среднее откоторого по любому состоянию равно нулю. По аналогичной причине равен нулю и предпоследний член.Оператор b+

k bk имеет смысл оператора числа квазичастиц в состоянии с импульсом k, а b−k b+−k = 1 + b+

−k b−k

Nk = v2k + u2

k

⟨b+k bk

⟩+ v2

k

⟨b+−k b−k

⟩. (58)

8

При нулевой температуре квазичастицы отсутствуют, и первый член (58) дает

N(0)k = v2

k =12

(ξk

εk− 1

). (59)

При εk ¿ µ это число весьма велико, но при εk À µ быстро подает. Полное число надконденсатных частиц попорядку величины равно, очевидно, числу состояний свободных частиц с импульсами меньше pmax =

√2mµ .

Это число равно

n(0)1 =

1V

∑N

(0)k ' p3

max

(2π~)3' (2mµ)3/2

/~3. (60)

Применим выражение (58) к случаю, когда газ, находящийся в основном состоянии, возбужден с образованиемnq квазичастиц с импульсом . Тогда число частиц с импульсами q и -q увеличивается:

Nq = v2q + u2

qnq, N−q = v2q + v2

qnq

Это увеличение было измерено и, тем самым, экспериментально доказана реальность боголюбовскогопреобразования.

Выразим химический потенциал (32) через длину рассеяния (14) и найдем отношение

n(0)1 /n0 ' (2mU0n0)

3/2/

(~3n0

) '√

n0a3 (61)

Теория Боголюбова опирается на предположение, что в основном состоянии большинство частиц находится вконденсате, и отношение (61) мало. Отсюда находим оценку максимальной плотности конденсата

maxn0 ' a−3, (62)

выше которой излагаемая теория неприменима. Получили естественный результат: газ можно считатьразреженным, пока среднее расстояние между частицами велико по сравнению с длиной рассеяния. Заметим,что при этом

µ

Tc' an1/3 ¿ 1.

Это означает что температура, имеющая порядок величины µ, много ниже температуры фазового перехода, исуществует широкая область температур (µ ≤ T ≤ Tc), в которой можно пренебрегать отличием квазичастицот частиц.

Плотность возбужденных частиц над неподвижным конденсатом согласно (58) равна

n(T )1 =

∑ ξk

εknbk, nbk =

⟨b+k bk

⟩

Число квазичастиц определяется температурой и,следовательно, описывается распределением с нулевымхимическим потенциалом

nbk =1

exp(β(εk)− 1

В зависимости от рассматриваемой области температур плотность возужденных частиц по порядку величиныравна

n(T )1 ' µ

T

(T

c

)3

, 0 < T < µ (63)

n(T )1 '

∑Nk ' (mT )3/2

, µ < T ¿ Tcµ

Tc= an1/3 (64)

Важной характеристикой бозе-газа при низких температурах является аномальное среднее

A =1V

⟨Ψ1Ψ1

⟩= − 1

V

∑ µ

2εk(1 + 2nbk)

9

Абсолютная величина этого аномального среднего по порядку величины совпадает с числом надконденсатныхчастиц. Отличие этого аномального среднего от нуля явным образом показывает, что сверхтекучий бозе-газ в замкнутом объеме принципиально не описывается волновой функцией или матрицей плотности сфиксированным числом частиц.6.Тяжелая частица, движущаяся сквозь неподвижный бозе-газ, в принципе, может генерировать фононы

и терять свою энергию. Процесс генерации фонона должен удовлетворять законам сохранения энергии иимпульса

12MV 2 =

12MV 2

1 + εk, M ~V = M ~V1 + ~~k. (65)

Подставим ~V1 из нижнего уравнения в верхнее и раскроем скобки

12MV 2 =

12M

(~V − ~

~k

M

)2

+ εk, (66)

Отсюда находим энергию излученного фонона

εk = ~~k~V − ~2

2Mk2.

Излучение фонона возможно, только если

εk ≤ ~~k~V = ~kV cos θ, (67)

где θ- угол между направлением фонона и скоростью. Отсюда получаем критерий Ландау невозможностигенерации

V ≥ Vc, Vc = minεk

~k. (68)

Если спектр квадратичный, как в идеальном газе, то min εk

~k = 0 , при достаточно малом k неравенство(67)выполняется, и частица тормозится, испуская длинноволновые возбуждения. Если же длинноволноваячасть спектра имеет форму звукового спектра, то

Vc = minεk

~k= c, (69)

и частица, имеющая скорость меньше скорости звука, не может испустить фонон и, следовательно, движетсябез трения. Перейдем в систему координат, в которой частица покоится, а газ движется со скоростью −~V .В этом случае частица играет роль примеси, которую газ обтекает без трения, если скорость газового потокаменьше скорости звука. Это означает, что медленный поток бозе-газа в присутствии неподвижных примесейи неподвижных стенок является сверхтекучим. К этому же выводу можно прийти, рассматривая энергиювозбуждений в среде, которая движется со скоростью −~V . Эффект Допплера дает

ε′k = εk − ~~k~V

Если ~kV > εk , то энергия системы с возбуждением, движущимся вдоль ~V , отрицательна, и возникаетизлучение, создающее трение. Наоборот, при ~kV ≤ εk , образование возбуждения энергетически невыгодно.Снова приходим к критерию сверхтекучести Ландау (68)

7. Бозе-конденсат экспериментально исследуют в магнитных ловушках. Рассмотрим свойства основногосостояния газа в ловушке. Введем в стационарное уравнение Гросса-Питаевского (91) член с внешнимпотенциалом V (r) :

p2

2mΨ0 + U0Ψ∗0Ψ0Ψ0 + (V (~r)− µ)Ψ0 = 0. (70)

Для определенности рассмотрим ловушку сигарообразной формы, потенциал которой имеет цилиндрическуюсимметрию с параболической зависимостью от расстояния до оси цилиндра

V (ρ) =12mω2ρ2 (71)

10

и длиной ловушки L. Если частота ловушки достаточно велика, то потенциал (71) играет определяющую роль,и в первом приближении в уравнении (70) можно отбросить нелинейный член. Уравнение принимает видобычного уравнения Шредингера для двумерного осциллятора, решение которого имеет вид

Ψ0(ρ) =√

ne−ρ2/2R2, R2 = ~/mω.

При этом химический потенциал имеет смысл энергии нулевых колебаний

µ = ~ω. (72)

Это приближение справедливо, когда второй член (70) мал по сравнению с последним

U0n ¿ ~ω (73)

В противоположном пределе большой плотности можно в (70) пренебречь кинетической энергией и получить

Ψ0(ρ) =√

1U0

(µ− 12mω2ρ2) =

√n

√(1− ρ2

R2) (74)

В этом приближении, называемом приближением Томаса-Ферми, газ в ловушке имеет вид газового шнура,радиус которого равен

R2 = 2µ/mω2, (75)

Волновой функции (74) отвечает кинетическая энергия порядка величины ~2/mR2, и последняя мала посравнению с µ при условии малости корреляционной длины по сравнению с размером системы

λ = ~ (mµ)−1/2 ¿ R (76)

В приближении Томаса-Ферми плотность газа на оси шнура связана с химическим потенциалом формулой

µ = U0n (77)

8. Заключительные замечания.а) Нелинейное уравнение Шредингера (91) для волновой функции бозе-конденсата, кроме стационарного

решения (??), имеет неоднородные нестационарные решения, отвечающие эволюции конденсата без потерикогерентности. В частности, малые отклонения конденсата от основного состояния (??) описываютсялинеаризованным уравнением вида (35), но вместо операторной волновой функции следует писатьклассическую функцию Ψ1(t, ~r). При выводе спектра возбуждений (47) из (35) мы не использоваликоммутационные свойства оператора Ψ1(t, ~r). Поэтому решение линеаризованного уравнения Шредингера дляΨ1(t, ~r) снова приведет к спектру (47) , но теперь он будет описывать не энергию квантовых квазичастиц,а спектр колебаний классического поля. Поэтому многие свойства возбуждений бозе-газа можно понять,не переходя к вторичному квантованию. В частности, интенсивность генерации возбуждений движущейсятяжелой частицей можно вычислить, не только из квантомеханической вероятности излучения фононов, нои, по аналогии с черенковским излучением, как излучение классического поля - колебаний волновой функцииконденсата. Подчеркнем, что при рассмотрении неоднородных состояний бозе-газа, фактически, используетсяобобщенное понимание бозе-конденсата. Теперь это не совокупность частиц с нулевым импульсом, а когерентноесостояние из макроскопического числа частиц, образующих единое целое, и описание индивидуальногодвижения каждой частицы теряет смысл.в) Уравнение (91) кроме тривиального однородного решения (??) имеет точное решение в форме уединенной

плоской бегущей волны (кинк или солитон)

Ψ(t, x) =√

nc[cos θ − i sin θ tanh(sin θ (x− vt) /λ)], (78)

где v - скорость кинка, которая всегда меньше скорости звука c, cos θ = v/c, λ = ~/√mµ - корреляционнаядлина. Толщина кинка растет с увеличением его скорости, а уменьшение плотности газа в центре кинка -падает

L =λ√

1− (v/c)2, |Ψ(t, vt)|2 = nc

(1− (v/c)2

).

11

Обратим внимание, что вдали от центра кинка газ неподвижен

Ψ(t, x) =√

nc[cos θ ∓ i sin θ], x = ±∞с) Кастин и Дум развили теорию, в которой в качестве состояния конденсата принимается состояние сфиксированным числом частиц (22). В этой теории вместо (28) используется точное разложение (??). Тогдавсе результаты теории Боголюбова можно воспроизвести, если применить каноническое преобразование коператору перехода частицы из возбужденного состояния в состояние с нулевым импульсом

F (t, ~r) =1√N0

a+0 Ψ1(t, ~r)

Очевидно, что предположение о когерентности состояния конденсата переводит этот оператор в Ψ1(t, ~r).конец лекции

Задача: Найти волновую функцию основного состояния неидеального бозе-газа. Исходим из гамильтониана(51)

H =∑

k

[((~k)2

2m+ µ)a+

k ak +12µaka−k +

12µa+−ka+

k ], (79)

описывающего энергию надконденсатных частиц в квадратичном приближенииЕсли выполнить преобразование Боголюбова, то этот гамильтониан принимает диагональный вид (52)

H =12

∑

k

(εk − ξk) +∑

k

εk b+k bk. (80)

Ищем решение уравнения Шредингера

H |Ψ0〉 = E1 |Ψ0〉 (81)

в форме Хуанга (92)

|Ψ0〉 =∏

k>0

Qk |Ψ00〉 , (82)

Qk =∑

j=0

BAj 1j!

(a+

k a+−k

)j (83)

Нормировка функции |Ψ0〉

〈Ψ0 | Ψ0〉 = 1 =∏

k

⟨Q+

k | Qk

⟩(84)

⟨Q+

k | Qk

⟩=

∑

j=0

B2kA2j

k =∏

k

B2k

1−A2k

, B2k = 1−A2

k (85)

Результат действия (79) на (83) имеет вид

HQk |Ψ00〉=

∑

j=0

[BAj 1j!

jξ(a+

k a+−k

)j+ BAj 1

(j − 1)!12µj

(a+

k a+−k

)j−1+ BAj 1

j!12µ

(a+

k a+−k

)j+1] |Ψ00〉

=∑

j=0

[jξ + A12µ (j + 1) +

12A

jµ]BAj 1j!

(a+

k a+−k

)j |Ψ00〉

Для каждого волнового вектора функция Qk |Ψ00〉 является собственной функцией гамильтониана ссобственным значением h, если потребовать независимости квадратной скобки от j:

A2 + 2Aξ/µ + 1 = 0,12µA = h

A = −ξ/µ∓√

ξ2

µ2− 1 = −

(ξ/µ± ε

µ

)= −ξ ± ε

µ, h = −1

2(ξ ± ε) (86)

12

Нужен нижний знак, чтобы сумма сходилась. Получили

HQk |Ψ00〉 = −12

(ξk − εk) Qk |Ψ00〉

Отсюда

H |Ψ0〉 =∑

k

[−12

(ξk − εk)Qk]∏

k′Qk′ |Ψ00〉

= [−12

(ξk1 − εk1)Qk1Qk2Qk3...− 12

(ξk2 − εk2) Qk2Qk1Qk3...− 12

(ξk3 − εk3) Qk3Qk1Qk2... + ...] |Ψ00〉

Таким образом, вектор состояния |Ψ0〉 есть точное решение уравнения Шредингера (81) с энергией

E1 = −12

∑

k

(ξk − εk) = −∑

k

v2kεk ' −µn

(0)1

где n(0)1 ' n0

√n0a3 - число надконденсатных частиц. Этот ответ совпадает с боголюбовской энергией нулевых

колебаний, а коэффициенты A и B совпадают с Хуангом

A2 =(ξ − ε)2

µ2=

ξ − ε

ξ + ε=

( v

u

)2

B2k = 1−A2 = 1−

( v

u

)2

=1u2

Покажем, что волновая функция Хуанга содержит нулевое число квазичастиц, т.е. для любого k имеет место

bk |Ψ0〉 = 0

Действительно

bk |Ψ0〉 =(ua + va+

−) ∑

j=0

1u

(− v

u

)j 1j!

(a+

k a+−k

)j |Ψ00〉 =∑

j=0

1u

(− v

u

)j 1j!

[uja+j−1k a+j

−k + va+jk a+j+1

−k ] |Ψ00〉 (87)

=∑

j=1

(− v

u

)j 1j!

ja+j−1k a+j

−k |Ψ00〉+∑

j=0

1u

(− v

u

)j 1j!

va+jk a+j+1

−k |Ψ00〉 (88)

= ... +∑

j=1

(− v

u

)j 1(j − 1)!

a+j−1k a+j

−k |Ψ00〉 = 0 (89)

Отсюда

H |Ψ0〉 = [12

∑

k

(εk − ξk) +∑

k

εk b+k bk] |Ψ0〉 =

12

∑

k

(εk − ξk) |Ψ0〉 . (90)

Эта формула другим способом доказывает, что |Ψ0〉 есть точное решение ур-ия Шредингера.конец 5-02-2002((Амплитуда плотности конденсата Ψ0 =

√N0/V в слабо неравновесном случае есть классическое бозе-

поле Ψ(t, ~r), аналогичное скалярному потенциалу классического электрического поля. Чтобы найтиэволюцию конденсата, следует подставить (28) в (19) и пренебречь операторной частью поля, описывающейнадконденсатные частицы Ψ1 . Имеем

i~∂

∂tΨ(t, ~r) =

p2

2mΨ(t, ~r) + U0Ψ+(t, ~r)Ψ(t, ~r)Ψ(t, ~r)− µΨ(t, ~r). (91)

Это уравнение есть нелинейное уравнение Шредингера, но в физике сверхтекучего бозе-газа оно называетсяуравнением Гросса-Питаевского.))Чтобы доказать сверхтекучеcть, следует показать, что движущийся конденсат с потоком при взаимодействии

с неподвижной стенкой или неподвижной частицей не может образовать возбуждение.

13

В ”Статистической физике” Хуанга (см. задачу в конце лекции) коэффициенты uk, vk использованы дляпостроения явного вида вектора основного состояния неидеального бозе-газа с учетом надконденсатных частиц.

|Ψ0〉 =∏

k 6=0

1uk

∑

j=0

1j!

(− vk

uka+−ka+

k

)j

|Ψ00〉 (92)

=∏

k 6=0

1uk

exp(− vk

uka+−ka+

k

)|Ψ00〉 (93)

Здесь |Ψ00〉 - вектор состояния конденсата частиц с нулевым импульсом. (Для краткости мы опускаемуказание на зависимость гайзенберговских операторов ak,a+

k от времени.) Согласно этому выражению частицыс любым импульсом k, находящиеся в основном состоянии, образуют квазикогерентное состояние, аналогичное(??).

Пусть коммутатор [A,B] есть с-число. Введем оператор

S(λ) = e−λAeλ(A+B) (94)

и продифференцируем его по λ

∂S(λ)/∂λ = e−λABeλ(A+B) = B (λ) S(λ),B (λ) = e−λABeλA (95)

Далее

∂B (λ) /∂λ = −e−λAABeλA + e−λABAeλA = −e−λA [A,B] eλA

Поскольку коммутатор [A,B] есть с-число, то

∂B (λ) /∂λ = − [A,B]

Интегрируя это уравнение с начальным условием B (0) = B, получаем

B (λ) = B − λ [A,B] (96)

Подставим (96) в (95) :

∂S(λ)/∂λ = (B − λ [A,B]) S(λ)

Откуда∫ 1

0

[∂S(λ)/∂λ] dλ = ln [S(1)/S(0)] =∫ 1

0

dλ (B − λ [A,B]) = B − 12

[A,B] (97)

Поскольку S(0) = 1 то

S(1) = exp(

B − 12

[A,B])

Следовательно,

exp (A + B) = exp (A) · exp (B) · exp (− [A,B] /2) (98)

!" # $ %& ' %( "))&

%)& &* %) ) !+ % % ) ) ! ), - !% # ,%"%+ ' ) ) ) "( + ', ) " "!" ! ! ) %!%%)++ ) ) ') * !% ./0)&+ % ))" +) # ! + ' " ! " . ! %1 ) !) ', ) " "!" % )) +) "%!' ' ', %#& ) , !) )) ( )+ ( ', %+ "

2,+ 1 !+ ! + ' " )" ! %%) %) )+ )) )!% # ,

34

2 %) ) " ) ) ) %) )+ 5% ) % * 6 %& ' )) + %) ) " 7%8 8' %) " ' %) ) 34 ! ) ( ) )) ', ( ) !) ")& ', 9 ) ))& ) % )) +)

* 34 ! %%) %) )+ !% ) ' ) : ! ' ' ',

3;4

) ) ' " ! ), &%)+ +

34

$,)%) % ) %) )+ 34 %+ %) )

34

< ! ), " )+ + ') !) !% % ) 1 %) )+ "() !% ) % ' ! %"' )" )! % )

3=4

<# % )!") ' !% ) ))' )"+ ' ', + &"' "! ),"

2 !%( ) ."> %" ?) !% %) ! ), ') "

2 ) % ) "() ! % ! 6%"

3@4

8%" % ) + %% +,)) ) %" % &% % %" % A)' % ) 3=4 !% %% +,))+ ) " ! %) ) %" %"

8%" ') B C%) ) 34 !% )%+ %)" ' " % ) " " ') % ) 6%" ) )) ! # ) 3) )4

3D4

% ) %+ " ) % %% +,))+

) .#) ) % ' ) " % " ) ) !) , )% ) !

;

?%" )") ' , )% ) ) !( )

- ) ) %) ) 5% ) % 34 !% %" ,)%) % )+ 3=4 " ) )%) ) ,)%) % )+ '# )+" ) ) ! % % )) 8% ! % & ( ) " ) ! "",)) ! %% 81" % ) ) %)) %) )+ 5% ) % + ' 6), ) !% ! % 1 " )%)& ( ) ) ! % ) ! ) 1) %)& ', ! % ) ' !+ 81" ") ( ) "() !)+ ) ! % &+ %')" )) * ') ) )) ) %,( ) (# + +( ', "() ' " ( ( ! % ' , ) )" &)' %+) ' )+ 6)) ) ! ) ' % )"' ) " ' ) ' !+ ) ) 6), ) ) 8% 1" % %:) + !% # ) ' )+ % ', " ) %

E ))) ( )+ ) ) "() ) ) ) %) )+ 7%8 ) ) ) %) ) % " %)"' & %) ) ) (

!' 1 %) )+ !" %) ) 34 ) 6), ) ) 6%"

!'" %( ) ")"+ ' % %) ) ) !% %) ) )

3F4

!) ) )

% ! ),) ( )+ ( *

6 )" )" )' % %& ' ( ! ),) %& ' ( )+ ) ))& !

G )+ ' %) )+ 7%8 !%+

3H4

? !"# ! %, )&" ') %) ) ( )+ %& ' (

304

." %" %) ) 5% ) % 34 1 )) " %)"' " %) )+" 3F4 304 !%' " !+))+ 8) & ! ) ' ) % ) + )" ) "

G+ !)+ ) ) %& ") %% +,)) ) "() !

!%( ) ."> %" %" )" ) " "() !% ) % ' ! ) %& ' ( %) ) "

34

I () %) ) 34 " !% ' % ) 3=4B

3;4

J"%" )!%" % 6 %' 6%" ! ), % "

34

8 1 ! ), 3;4 ) " " !) %+)+

34

? +) )&" !%" )" !%( )+ ."> %"

3=4

!% ! % ) ) ) ) % " %) )+ 3F4 34

3@4

E'+ % !' " K K %) )

% % * ! ), 1 %) ) !

%!%%) ) & & ) + 1 )) ) ' !)+ )))& )

* ' !%" % %"%" 6 %' 34 ) " # " -() %!) % ) %) )+

3D4

"

* ' '+ )%) !%%) ! % ) % )) , ,FG!) ) B * %) )+ 7%8 34E&" %) )+ + ) !+

3F4

* ! ), ! %% !+ %+ ! !" )"

3H4

* ) )%)" ! ), 1 %( ) %+ " 8% " ! %% !+ 6%"

3;04

8 % ' ) !% !!% () " )+ ) ) * % +)+ ) ) !% )7 ) % ) % )) +)

3;4

?! %% ! )) )) ', 3" ) ' )) ))& ', ) ),4

3;;4

* !% ) 7 ) % 1,+ !%%) ))+ " ) ) !% + + 6),

3;4

8 !% ) "! %% ) " ') !% ++ % ) ! ) ) % ) ) ! %%) %) )+ 3F4 ! ) ) ' " 3;4 3;;4 !% %) ) 7%8 34 A" " ' )%"% 6), ) ) 3;4 )%"% L)'')L6), ) ),

1

4SUPERCONDUCTIVITYСамым интересным явлением в физике твердого тела является сверхпроводимость. Сверхпроводимость - это

сверхтекучесть электронной ферми-жидкости, наблюдаемая при низких температурах в некоторых металлахи соединениях. Сверхпроводимость была открыта Камерлинг-Оннесом в 1911 г. Сверхпроводимость приводитк выталкиванию из металла магнитного поля, которое было открыто Мейснером и Оксенфельдом в 1933 г.Новый этап в исследовании сверхпроводимости наступил в 1986 г после открытия Беднорцем и Мюллеромвысокотемпературных сверхпроводников.

Согласно теории ферми-жидкости Ландау, чтобы описать сверхпроводимость, в первую очередь необходимонайти элементарные зарядовые возбуждения этой жидкости и доказать, что их спектр удовлетворяет крите-рию сверхтекучести Ландау. Термодинамическая теория сверхпроводимости была сформулирована Гинзбургоми Ландау. Микроскопическая теория сверхпроводимости была создана Бардином, Купером и Шриффером иразвита Боголюбовым и Горьковым.В лекции будет показано, что при низких температурах равновесным состоянием системы электронов с при-

тяжением является состояние со спектром квазичастиц, имеющим щель на поверхности Ферми. Будет най-дена температурная зависимость этой щели и вычислена теплоемкость. Используя калибровочное преобра-зование, будет найдено изменение спектра квазичастиц во внешнем электромагнитном поле, будет полученокалибровочно-инвариантное выражение для термодинамически равновесного состояния сверхпроводника и до-казан эффект Мейснера. В заключение будет рассмотрено квантование магнитного потока в сверхпроводящемкольце.1. Полный гамильтониан подсистемы электронов в представлении вторичного квантования для большого

канонического ансамбля запишем в форме.

H =∫

d3rΨ+σ (t, ~r)(

(p− ec

~A)2

2m+ eϕ− µ)Ψσ(t, ~r) (1)

+12

∫d3r1d

3r2Ψ+σ (t, ~r1)Ψ+

σ′(t, ~r2)U(~r1 − ~r2)Ψσ′(t, ~r2)Ψσ(t, ~r1). (2)

В (1) мы пренебрегаем кристаллической структурой тела, σ = ±1 есть удвоенная проекция спина на одну изосей, постоянная µ есть химический потенциал электронов, ~A, ϕ - потенциалы электромагнитного поля.

Выпишем также оператор полного числа частиц

N =∫

d3rΨ+σ (t, ~r)Ψσ(t, ~r). (3)

Квантовое поле ферми-частиц удовлетворяют коммутационным соотношениям:

Ψσ(t, ~r1), Ψ+σ′(t, ~r2) = δσσ′δ(~r1 − ~r2), (4)

Ψσ(t, ~r1), Ψσ′(t, ~r2) = 0, (5)

где ...- антикоммутатор. Обратим внимание, что в (1) операторы ферми-поля стоят в ”нормальном порядке”- слева операторы рождения фермионов, справа - операторы поглощения.

Потенциал U(~r1 − ~r2) равен сумме кулоновского отталкивания электронов и притяжения, которое возникаеткак результат взаимодействия летящих навстречу друг другу электронов благодаря обмену фононом или маг-ноном. Это - процесс второго порядка, и, согласно теории возмущений, приводит к понижению энергии, т. е. кпритяжению. В металлах кулоновское взаимодействие заэкранировано, и сильно ослаблено. Если притяжениепревалирует, то металл при достаточно низких температурах переходит в сверхпроводящее состояние. В такихметаллах как Cu преобладает отталкивание, и перехода в сверхпроводящее состояния нет. Интересно, что всоединениях, которые называются купратами, причиной сверхпроводимости является сильное взаимодействиеэлектронов проводимости с подсистемой спинов ионов меди во внутрикристаллических плоскостях CuO2.При низких температурах существенны только низкоэнергетические длинноволновые корреляции. Поэтому

короткодействующий парный потенциал эффективного притяжения электронов можно заменить на локальный

U(~r1 − ~r2) = U0δ(~r1 − ~r2). (6)

Параметр U0 имеет размерность энергия×объем и записывается в виде

U0 =4π~2a

m. (7)

2

Величина a называется длиной рассеяния. В случае притяжения величины U0 и a отрицательны.Гамильтониан (1) принимает вид

H =∫

d3r[Ψ+σ (t, ~r)(

(p− ec

~A)2

2m− µ)Ψσ(t, ~r) +

12U0Ψ+

σ (t, ~r)Ψ+−σ(t, ~r)Ψ−σ(t, ~r)Ψσ(t, ~r)]. (8)

В локальном приближении из-за принципа Паули взаимодействуют только электроны с противоположнымиимпульсами. Производная по времени от гайзенберговских операторов равна

i~∂

∂tΨσ(t, ~r) = [Ψσ(t, ~r), H]. (9)

Вычисляя коммутатор с помощью (4), (5), приходим к нелинейному ”уравнению Шредингера”

i~∂

∂tΨσ(t, ~r) = (

(p− ec

~A)2

2m+ eϕ− µ)Ψσ(t, ~r) + U0Ψ+

−σ(t, ~r)Ψ−σ(t, ~r)Ψσ(t, ~r). (10)

В отсутствии внешнего электромагнитного поле имеем

i~∂

∂tΨσ(t, ~r) = (

p2

2m− µ)Ψσ(t, ~r) + U0Ψ+

−σ(t, ~r)Ψ−σ(t, ~r)Ψσ(t, ~r). (11)

Современная наука не может решить это уравнение точно. Но в случае слабого взаимодействия (nU0 ¿ µ),чтобы найти элементарные возбуждения достаточно нелинейный член учесть приближенно. Рассмотрение его врамках теории возмущений дает только перенормировку массы и слабое затухание возбуждений. Чтобы увидетьв (10) сверхпроводимость, неоходимо в решение задачи ввести идею, которая бы отражала физическую причинукачественной перестройки электронной подсистемы, аналогичную той, которая привела к микроскопическомуобъяснению сверхтекучести бозе-газа. В бозе-газе - это конденсация Бозе-Эйнштейна. Явления конденсации вферми-газе не может существовать из-за принципа Паули. Но на уровне коллективных бозе-возбуждений кон-денсация становится возможной. Такими коллективными возбуждениями в ферми-газе являются куперовскиепары.2.Феномен Купера. Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера для двух выделенных электронов с

локальным взаимодействием, которые двигаются на фоне остальных электронов, заполняющих сферу Ферми.

[(p21

2m− µ) + (

p22

2m− µ) + U0δ(~r1 − ~r2)]ψ(r1, r2) = Eψ(r1, r2)

Волновая функция основного состояния есть функция покоющейся пары электронов. Эта функция зависиттолько от расстояния между электронами ~r = (~r1 − ~r2) и может быть представлена в форме

ψ(r1, r2) =∑

k>kF

ψkei~k~r.

При суммировании по импульсам учтено, что все состояния внутри поверхности Ферми заняты. Для краткостиздесь и далее мы полагаем ~ = 1.

∑

k′>kF

[2(k′2

2m− µ)− E]ψk′e

i~k′~r + U0

∑

k′>kF

ψk′δ(~r) = 0

Умножим это уравнение на e−i~k~r и проинтегрируем по объему

V [2(k2

2m− µ)− E]ψk + U0

∑

k′>kF

ψk′ = 0

Отсюда

ψk = − U0/V

2( k2

2m − µ)− E

∑

k′>kF

ψk′

3

Суммируя по импульсам и сокращая на∑

k′>kFψk′ , получаем интегральное уравнение

1 = −∑

k>kF

U0/V

2( k2

2m − µ)− E

которое сводится к интегралу по ξ = k2

2m − µ (∑

k>kF= 1

2Vξ0∫0

dξν(ξ)):

−12U0

ξ0∫

0

dξν(ξ)

2ξ − E= 1.

Верхний предел интегрирования ξ0 задается полушириной зоны проводимости. Решением этого уравнения приU0 < 0 является отрицательное собственное значение E.

Пренебрегая зависимостью плотности электронных состояний в зоне от энергии возбуждения, получаем

12|U0| ν(0) ln

4ξ0

|E| = 1.

Итак, рассмотренная задача показывает, что два электрона на поверхности Ферми образуют связанное состоя-ние с экспоненциально малой энергией связи

|E| = 4ξ0 exp[− 2|U0| ν(0)

]. (12)

3. Квазичастицы и щель. Задача Купера демонстрирует, что при U0 < 0 электроны вблизи поверхности Фермисвязываются в покоющиеся пары. По аналогии с бозе-газом можно говорить о конденсате покоющихся пар. Изтеории атома водорода и теории позитрона (связанного состояния электрон-позитрон) мы знаем, что волноваяфункция связанного состояния двух частиц есть произведение волновых функций этих частиц. Поэтому про-изведение Ψσ(t, ~r)Ψσ(t, ~r) в (11) можно интерпретировать как оператор волновой функции куперовской пары.Поскольку число куперовских пар составляет макроскопическое число, то это произведение можно заменитьна с-число.

Ψ−σ(t, ~r)Ψσ(t, ~r) →⟨Ψ−σ(t, ~r)Ψσ(t, ~r)

⟩(13)

В отличие от лекции по сверхтекучести, здесь мы хотим рассмотреть свойства сверхпроводника при всех темпе-ратурах вплоть до критической температуры перехода в нормальное состояние. Поэтому в (13) справа символусреднения 〈...〉 означает двойное усреднение по когерентному состоянию конденсата куперовских пар и по рас-пределению Гиббса. В однородном случае среднее (13) не зависит ни от времени, ни от координаты, но какследует из (5), меняет знак при изменении знака σ.В приближении (13) уравнение (11) формально становится линейным

i~∂

∂tΨσ(t, ~r) = (

p2

2m− µ)Ψσ(t, ~r) + U0Ψ+

−σ(t, ~r)⟨Ψ−σ(t, ~r)Ψσ(t, ~r)

⟩. (14)

Введем обозначения

ξk =k2

2m− µ, σ∆ = U0

⟨Ψ−σ(t, ~r)Ψσ(t, ~r)

⟩(15)

Аномальное среднее ∆,вообще говоря, есть комплексная величина.Разложим поле по плоским волнам

Ψσ(t, ~r) =∑

k

χσ1√V

eikrakσ (16)

Предыдущее уравнение для akσ принимает вид

i~∂

∂takσ = ξkakσ + σ∆a+

−k−σ, (17)

4

близкий к тому, которое имело место в случае бозе-газа. Диагонализуем это уравнение с помощью преобразо-вания Боголюбова

akσ = uk bkσ − σv∗k b+−k−σ (18)

Операторы поглощения и рождения квазичастиц bkσ, b+−k−σ должны быть собственными функциями оператора

энергии i~ ∂∂t :

i~∂

∂tbkσ = εk bkσ, i~

∂

∂tb+−k−σ = −εk b+

−k−σ

Кроме того,.операторы частиц и квазичастиц должны удовлетворять одинаковым правилам антикоммутации

akσ, a+k′σ′ = u2

kbkσ, b+k′σ′+ v2

kb+−k−σ, b−k′−σ′ = δkk′δσσ′

и, следовательно:

u2k + v2

k = 1 (19)

Подстановка (18) в (17) дает

(εk − ξk)uk bkσ + (εk + ξk)σv∗k b+−k−σ = σ∆(u∗k b+

−k−σ + σvk bkσ)

Отсюда

(εk − ξk)uk = ∆vk

(εk + ξk)vk = ∆∗uk

Решая эту систему уравнений находим энергию квазичастиц

εk =√

ξ2k + |∆|2 (20)

и коэффициенты преобразования

uk =√

12(1 +

ξk

εk), vk =

∆∗

|∆|

√12(1− ξk

εk), 2ukv∗k =

∆εk

, |uk|2 − |vk|2 =ξk

εk. (21)

Преобразование от операторов поглощения и рождения электронов к операторам квазичастиц диагонализуетгамильтониан (8), и он равен сумме энергии основного состояния и энергии квазичастиц

s = E0 +∑

εk b+kσ bkσ (22)

Итак, конденсация куперовских пар привела к тому, что спектр квазичастиц имеет щель |∆| .Критерийсверхтекучести Ландау гласит, что вещество является сверхтекучим, если минимальное значение отношения

vc = minεk

k(23)

отлично от нуля. В данном случае

vc =|∆|kF

. (24)

Следовательно, состояние с конденсатом куперовских пар является сверхтекучим, и максимальная плотностьсверхтекучего тока равна

jc = en|∆|kF

. (25)

5

Соотношения (??) самосогласованным образом определяют величину щели в спектре квазичастиц ∆ . Вы-числим правую часть (15)), используя разложение (16) и преобразования Боголюбова (18), (21):

∆ = σU0

⟨Ψ−σ(t, ~r)Ψσ(t, ~r)

⟩= σU0

⟨∑

k′χ−σ

1√V

eik′rak′−σ

∑

k

χσ1√V

eikrakσ

⟩

=σU0

V

∑

kk′eik′reikr

⟨(uk′ bk′−σ + σv∗k′ b

+−k′σ

)(uk bkσ − σv∗k b+

−k−σ

)⟩(26)

Средние значения для произведений операторов квазичастиц равны⟨bk′−σ bkσ

⟩=

⟨b+−k′σ b+

−k−σ

⟩= 0,

⟨b+−k′σ bkσ

⟩= nbkδ−k′k,

⟨bk′−σ b+

−k−σ

⟩= (1− nbk)δ−k′k

Выражение (??) принимает вид

∆ = − U0

2V

∑

k

∆εk

(1− 2nbk)

Это уравнение имеет тривиальное решение (∆ = 0) Сокращая на щель, получаем неявное интегральное урав-нение на |∆|

1 = − U0

2V

∑

k

1εk

(1− 2nbk)

Заменяя сумму на интеграл (∑k

= 12V

ξ0∫−ξ0

dξν(ξ)) (в определение ν(ξ) входит суммирование по спину), и

прененебрегая зависимостью плотности состояний от энергии, получаем интегральное уравнение

1 =|U0|2

ν(0)

ξ0∫

0

dξ1εk

(1− 2nbk) (27)

Так как число квазичастиц определяется температурой, то оно задается распределением Ферми с нулевымхимическим потенциалом.

nbk =⟨b+kσ bkσ

⟩=

1eβεk + 1

(28)

Чтобы убедиться в этом, вычислим статистическую сумму для гамильтониана (22)

Z = Spe−β(E0+P

εk b+kσ bkσ) = e−βE0 +∏

(1 + e−βεk)

Отсюда⟨b+kσ bkσ

⟩= Sp(ρb+

kσ bkσ) =1Z

Sp[e−β(E0+P

εk b+kσ bkσ)b+kσ bkσ] = − 1

Z

∂Z

∂βεk=

1eβεk + 1

Задача: Найти свободную энергию, энтропию

F = −T ln Z = E0 − T∑

ln(1 + e−βεk)

S = −∂F

∂T=

∑ln(1 + e−βεk) + T−1

∑εk(1 + e−βεk)−1

и энергию квазичастиц

E = F + TS = E0 +∑

εk(1 + e−βεk)−1

Уравнение (27), определяющее величину щели ∆(T ), принимает окончательный вид (для простоты считаемщель действительной величиной)

1 =|U0|2

ν(0)

ξ0∫

0

dξtanh( 1

2T

√ξ2 + ∆2)√

ξ2 + ∆2. (29)

6

Реальное взаимодействие электронов отличается от дельта-функции. Поэтому в качестве верхнего предела ин-тегрирования ξ0 правильнее принять характерную энергию квантов, которыми обмениваются электроны, об-разующие куперовскую пару. В случае фононного механизма взаимодействия - это дебаевская частота, длявзаимодействия через спиновую подсистему - это максимальная энергия спиновых волн.При нулевой температуре число квазичастиц равно нулю, и тангенс равен единице. Тогда

ξ0∫

0

dξ1√

ξ2 + ∆2= arcsh

ξ0

∆' ln

2ξ0

∆

и получаем неявное уравнение на щель

1 =|U0|2

ν(0) ln2ξ0

∆(30)

Таким образом, преобразование Боголюбова приводит к формуле

∆(0) = 2ξ0 exp[− 2|U0| ν(0)

]. (31)

которая от (12) отличается только предэкспоненциальным множителем.Левая часть (29) от температуры не зависит, а тангенс справа с повышением температуры уменьшается.

Чтобы интеграл остался неизменным, щель должна уменьшаться с ростом T и при некоторой Tc обратиться внуль. Критическая температура Tc определяется уравнением

1 =|U0|2

ν(0)

ξ0∫

0

dξtanh( ξ

2Tc)

ξ(32)

Гиперболический тангенс при аргументе, большем единицы, близок к единице. Поэтому приближенно

ξ0∫

0

dξtanh( ξ

2T )ξ

'ξ0∫

2T

dξ1ξ

= lnξ0

2T

Точное значение этого интеграла есть ln 2ξ0γπT , где γ = 1, 78. Таким образом

ξ0∫

0

dξtanh( ξ

2T )ξ

= ln2ξ0γ

πT(33)

В результате имеем

1 =|U0|2

ν(0) ln2ξ0γ

πTc(34)

Сравнение этого выражения с (30) показывает, что критическая температура отличается от значения щели приабсолютном нуле (31) только численным множителем

Tc = 0, 57∆(0) = 1, 14ξ0 exp[− 2|U0| ν(0)

] (35)

Из этой формулы следует, что наибольшей температурой сверхпроводящего перехода следует искать в веще-ствах с максимальной плотностью электронных состояний на поверхности Ферми ν(0), максимальным при-тяжением электронов |U0| и максимальной энергией ξ0. В настоящее время рекордсменом в этом отношенииявляется тройное соединение, содержащее в элементарной ячейке ртуть Hg и три слоя CuO2 c критическойтемпературой Tc = 135. Под давлением эта температура поднимается до Tc = 160.

7

Установим закон, по которому вблизи Tc щель обращается в нуль. Из подъинтегрального выражения (29)выделим его значение с нулевой щелью

1 =|U0|2

ν(0)

ξ0∫

0

dξtanh( 1

2T ξ)ξ

+|U0|2

ν(0)

ξ0∫

0

dξ[tanh( 1

2T

√ξ2 + ∆2)√

ξ2 + ∆2− tanh( 1

2T ξ)ξ

]. (36)

Первый член справа определяется (33), а второй член на верхнем пределе сходится, и этот предел можнозаменить на бесконечность:

J =

∞∫

0

dξ[tanh( 1

2T

√ξ2 + ∆2)√

ξ2 + ∆2− tanh( 1

2T ξ)ξ

]

=

∞∫

0

dx[tanh( 1

2

√x2 + (∆/T )2)

√x2 + (∆/T )2

− tanh( 12x)

x] ' −A (∆/T )2 ,

где A ' 0.1. Уравнение (36) принимает вид

1 =|U0|2

ν(0)(

ln2ξ0γ

πT−A (∆/T )2

)

Из обоих частей равенства вычитаем (34)

0 =|U0|2

ν(0)(

lnTc

T−A (∆/T )2

)

и получаем

∆ =

√Tc

Tc − T

A(37)

Теплоемкость сверхпроводника .Тепловые свойства сверхпроводника определяются его возбужениями - квазичастицами, которые можно рас-

сматривать как ферми-газ с нулевым химическим потенциалом. Энтропия этого газа равна

S = −∑

[n ln n + (1− n) ln(1− n)]

n = (eβε + 1)−1, ε =√

ξ2 + ∆2.Теплоемкость равна

C = T∂S

∂T=

∑T

∂S

∂n

∂n

∂T= −

∑T [ln n− ln(1− n)]

∂n

∂T

ln n− ln(1− n) = lnn

1− n= − ln(

1n− 1) = −βε

Таким образом

C =∑

ε∂n

∂T

При низких температурах , и теплоемкость экспоненциально мала. Вблизи критической температуры самоесложное - найти производную от распределения квазичастиц

∂n

∂T=

∂n

∂βε

∂βε

∂T= T

∂n

∂ε(− ε

T 2+

1T

12ε

∂∆2

∂T)

Квадрат щели линейно зависит от температуры

∂∆2

∂T=

∂

∂TTc

Tc − T

A= −Tc

A

8

Cs =∑ ∣∣∣∣

∂n

∂ε

∣∣∣∣ (ε2

T+

Tc

2A) = Cn +

Tc

2A

∑ ∣∣∣∣∂n

∂ε

∣∣∣∣ = Cn +Tc

2Aν(0)

Так как Cn = π2

3 ν(0)T , то скачек теплоемкости в точке фазового перехода равен

Cs − Cn

Cn=

Tcν(0)2Aπ2

3 ν(0)T=

32Aπ2

= 1, 43

Приведем красивое интегральное соотношение для теплоемкости сверхпроводника. Вычислим интеграл

T∫

0

C(T )T

dT =

T∫

0

dS

dTdT = S(T )

Получили удивительный результат: два тела, имеющие при некоторой высокой температуре одинаковые энтро-пии, имеют одинаковые интегралы от отношений теплоемкостей к температуре.Опишем свойства сверхпроводника в электромагнитном поле. Уравнение Шредингера для одного электрона

в э.м. поле имеет вид

i~∂ψ

∂t=

12m

(−i~∇− e

cA)2ψ + eϕ (38)

Введем фазовое преобразование χ = χ (r, t)

ψ = ψ0eiχ,

i~∂ψ

∂t= eiχ(i~

∂ψ0

∂t− ~∂χ

∂tψ0)

(−i~∇− e

cA)ψ = eiχ(−i~∇− e

cA + (~∇χ))ψ0,

(−i~∇− e

cA)2ψ = eiχ(−i~∇− e

cA + (~∇χ))2ψ0,

и градиентное преобразование

−e

cA0 = −e

cA + (~∇χ) , eϕ0 = eϕ + ~

∂χ

∂t(39)

Выбираем фазу преобразования, так, чтобы в представлении с индексом нуль отсутствовал электрическийпотенциал

∂χ

∂t= − e

~ϕ (40)

Уравнение (38) преобразуется к виду

i~∂ψ0

∂t= [

12m

(−i~∇− e

cA0)2]ψ0 (41)

Переход от (38) к (41) называется калибровочным преобразованием. При этом преобразовании меняются ипотенциалы поля, и фаза волновой функции. Это - формальное преобразование, и оба уравнения описываютодно и то же движение электрона.

В этом представлении гамильтониан системы электронов имеет вид

H =∫

d3r[Ψ+0σ(t, ~r)(

(p− ec

~A0)2

2m− µ)Ψ0σ(t, ~r) +

12U0Ψ+

0σ(t, ~r)Ψ+0−σ(t, ~r)Ψ0−σ(t, ~r)Ψ0σ(t, ~r)]. (42)

Обозначим − ec

~A0 = ~vsm, и ограничимся линейным приближением по магнитному полю

H = H1 + H2 (43)

H1 =∫

d3r[Ψ+0σ(t, ~r)(

p2

2m− µ)Ψ0σ(t, ~r) +

12U0Ψ+

0σ(t, ~r)Ψ+0−σ(t, ~r)Ψ0−σ(t, ~r)Ψ0σ(t, ~r)] (44)

H2 =∫

d3r[Ψ+0σ(t, ~r)(p~vs)Ψ0σ(t, ~r) (45)

9

Первый член этого выражения - гамильтониан сверхпроводника без поля, который в импульсном представленииимеет вид (22), а второй равен

H2 =∫

d3r[Ψ+0σ(t, ~r)(p~vs)Ψ0σ(t, ~r) =

∫d3r

∑ 1√V

e−ikra+k (p~vs)

∑ 1√V

eik′rak′ = ~vs

∑~ka+

k ak

В основном состоянии без поля система электронов находится в состоянии покоя. Поэтому импульс системы вполе равен импульсу квазичастиц. Это легко доказать с помощью преобразования Боголюбова

~P =∑

~ka+k ak =

∑~kb+

kσ bkσ (46)

В результате гамильтониан сверхпроводника в поле принимает вид

= E0 +∑

εk b+kσ bkσ + ~vs

∑~kb+

kσ bkσ = E0 +∑

εk b+kσ bkσ (47)

Мы видим, что энергия квазичастицы в поле деформируется

= E0 +∑

εk b+kσ bkσ, εk = εk + ~vs

~k, ~vs = − e

mc~A0 (48)

Минимальная энергия возбуждения

min εk = |∆| − vspF

становится отрицательной, и сверхпроводящее состояние разрушается, если

vs > vc =|∆|pF

(49)

Это находится в полном соответствии с критерием Ландау (24). Значит, сильное магнитное поле разрушаетсверхпроводник.Свяжем величину vs с электрическим током, который в сверхпроводнике генерируется не электрическим,

а магнитным полем. Согласно квантовой механике плотность электрического тока, создаваемого электронамив присутствии магнитного потенциала, равна (вспомним, что скорость заряженной частицы есть отношениекинематического импульса (~p− e

c~A0) к массе)

~j = e~vn = e

⟨Re Ψ+

0

(p− ec

~A0)m

Ψ0

⟩= e

∑(~k

m+ ~vs)

⟨a+

k ak

⟩

Внесем знак суммы под знак статистического усреднения

~j = e~vs

⟨∑a+

k ak

⟩+

e

m

⟨∑~ka+

k ak

⟩

Тогда в первом члене получаем полное число электронов Ne, а во втором члене - с учетом (46) - ток квази-частиц

~j = e~vsNe +e

m

⟨∑~kb+

kσ bkσ

⟩(50)

При нулевой температуре квазичастиц нет, и в системе существует незатухающий ток

~j = e~vsNe

Из этой формулы следует, что в образовании сверхтекучего электрического тока принимают участие все элек-троны. Это удивительно, поскольку при переходе в сверхпроводящее состояние по Боголюбову перестраиваютсятолько электроны в узкой корочке около поверхности Ферми.

При Т 6=0 в термодинамическом равновесии число квазичастиц в заданном состоянии равно

nbk =⟨b+kσ bkσ

⟩=

1eβεk + 1

(51)

10

Энергия квазичастиц зависит от направления. Если скорость мала, тоεk = εk + ~vs~k

nbk(εk) = nbk(εk) +(~vs

~k) ∂nbk

∂εk

Квазичастицы создают электрический ток в направлении, противопложном ~vs

~j =e

m

∑~k

(~vs

~k) ∂nbk

∂εk= − e

3m~vs

∑k2

∣∣∣∣∂nbk

∂εk

∣∣∣∣

Таким образом, при Т 6=0 в сверхтекучести принимает только часть электронов:

~j = e~vsNs, Ns < Ne

Используя (49), напишем максимальный (критический) ток

~j = e~vNs, (52)

C помощью формул (39) вернемся в исходное представление

~j =e

mNs

(−e

c~A + (~∇χ)

)(53)

Это есть калибровочно-инвариантная формула для плотности тока сверхпроводящик электронов в электромаг-нитном поле. При калибровочном преобразовании меняется векторный потенциал и фаза волновой функции, новид выражения в скобках остается неизменным. Этот ток существует в состоянии термодинамического равно-весия, в отличие от тока электронов в нормальном состоянии, который есть проявление необратимого процессас выделением тепла.

В феноменологической теории Гинзбурга-Ландау сверхтекучесть описывается как движение комплексногопараметра порядка, который можно интерпретировать как волновую функцию куперовских пар ψ.При этомкуперовские пары имеют заряд e2 = 2e , массу m2 = 2m, фазу ϕ = 2χ и плотность |ψ|2 = Ns/2. Формулу (53)можно переписать как ток куперовских пар

~j =2e

2m

Ns

2

(~∇ϕ− 2e

c~A

)(54)

Ротор тока однозначно связан с магнитным полем ~B = rot ~A

rot~j = −e2

mNs

~B

Найденное выражение позволяет исключить ток из уравнения Максвелла

rot ~B =4π~j

с помощью взятия ротора

rotrot ~B =4π

rot~j

∆ ~B =1λ2

~B

Последнее уравнение называется уравнением Лондонов. Здесь

λ−2 =4πe2

m2Ns

Вблизи плоской границы уравнение Лондонов имеет вид

d2B

dx2=

1λ2

B

11

Решение которого

B(x) = B(0)e−x/λ

показывает, что магнитное поле проникает в глубь сверхпроводника только на глубину λ. Эта величина таки называется - глубина проникновения. Теперь продифференцируем ток сверхпроводника по времени

∂~j

∂t=

e

mNs

(−e

c

∂ ~A

∂t+

(~∇∂χ

∂t

))

и воспользуемся формулой (40)

∂~j

∂t= − e

mNs

(e

c

∂ ~A

∂t+ e∇ϕ

)

Теперь вспомним определение напряженности электрического поля

~E = −∇ϕ− 1c

∂ ~A

∂t

Получаем второе уравнение Лондонов

∂~j

∂t=

e2

mNs

~E (55)

Из этого уравнения следует, что в электрическом поле ток не постоянен, как требует закон Ома, а монотоннорастет, пока не достигнет критического значения (971).Лондоны вывели это уравнения, постулируя, что в сверхпроводнике электроны движутся, как свободные

заряды

m∂~v

∂t= e ~E

Отсюда для тока электронов ~j = e~vNs сразу получаем (55).В заключение покажем, что магнитное поле внутри сверхпроводящего кольца квантуется. Возьмем сверх-

проводящий тор, свернутый из толстой проволоки сечения πa2 (λ ¿ a) и длины 2πR (a ¿ R). Тогда на круге,проведенной вдоль оси проволоки, нет ни магнитного поля ни тока

~j =e

mNs

(−e

c~A + ~∇χ

)= 0 (56)

Проинтегрируем это выражение по замкнутой оси(−e

c

∮~Ad~l + ~

∮∇χd~l

)= 0 (57)

Первый интеграл сводится к магнитному потоку внутри кольца∮

d~l ~A =∫

d~S ~B = Φ

Второй интеграл равен изменению фазы электронной функции при повороте на 360 градусов. Скалярные функ-ции однозначны, и изменение фазы кратно 2π. Электронные функции двузначны, и изменение фазы кратноπ:

∮∇χd~l = π ∗ number

Подставляя эти результаты в (57), получаем

Φ = Φ0 ∗ number,

Φ0 =π~ce

' 10−7 ∗ 2

1

Вихри Абрикосова.Напомню

1λ2

=4πe2

2

m2c2

|a|b

, ξ2 =~2

2m2 |a| ,κ =λ

ξ=

m2c

e2~

√b

2π

Енергия в магнитном поле

dF = −SdT +14π

HdB, dF = −SdT − 14π

BdH, F = F − 14π

HB

Равновесие однородного сверхпроводника с норм. металлом

Fs = Fn

Fs = F0 − 12

a2

b

Fn = (F0 +18π

H2)− 14π

H2 = F0 − 18π

H2

−12

a2

b= − 1

8πH2, H2

c =4πa2

b

В высоком магнитном поле (Hc1 < H < Hc2) однородный сверхпроводник неустойчив, в нем появляются вихри- продольные нити нормальной фазы, в которых течет единичный магнитный поток Φ0 = 2π~c/e2. Радиус нитипо порядку величины равен ξ, но магнитное поле пронизывает площадь πλ2, и поле внутри нити равно

H = Φ0/πλ2 =2π~ce2

4e22

m2c2

|a|b' Hc/κ

Это дает оценку Hc1 ' Hc/κ. Если учтем, что поле вихря спадает логарифмически, то найдем более точнуюоценку нижнего критического поля.

Для этого найдем энергию вихря. Структура вихря: трубка нормального металла радиуса ξ Вокруг трубкитечет вихревой ток, перпендикулярный оси трубки,

~j =e2

m2

|a|b

(~∇ϕ− e2

c~A), (1)

который создает параллельное оси трубки магнитное поле, удовлетворяющее уравнению Максвелла

rot ~B =4π

c~j =

4π

c

e2

m2

|a|b

(~∇ϕ− e2

c~A) (2)

∆B =1λ2

B, B = f(ρ/λ)

xf ′′ + f ′ − xf = 0

Это - уравнение Бесселя. При малых значениях аргумента f = ln x.Поэтому магнитное поля в окрестности оси вихря имеет вид

B = B0 ln(λ

ρ), ξ < ρ < λ (3)

При ρ > λ магнитного поля практически нет, и полный магнитный поток в трубке равен

Φ =∫

BdS =∫

B0 ln(λ

ρ)2πρdρ =

12πB0λ

2 (4)

C другой стороны, интегрируя (2) по окружности радиуса ρ > λ , имеем (как при квантовании поля в кольце)

2π~n =e2

cΦ, Φ = Φ0n, Φ0 =

2π~ce2

2

Отсюда

B0 =2

πλ2Φ0n

Реализуются вихри с единичным потоком.Подставляя магнитное поле (3) в уравнение Максвелла, находим распределение сверхтекучего тока вихря

~j =c

4πrot ~B =

cB0

4πρ

и кинетическую энергию токов(~j = e2~v |ψ|2

)

E =∫

dVm2v

2

2|ψ|2 =

∫dV

2πλ2

c2~j2 = Lε1n

2 (5)

ε1 =(

1πλ

Φ0

)2

lnλ

ξ=

(2~ce2λ

)2

lnλ

ξ

Эта величина играет роль энергии вихря длины L, поскольку магнитная энергия вихря ∼ λ2B20 мала.

Таким образом, сверхпроводник с одним абрикосовским вихрем имеет свободную энергию

F = Fs + Lε1 −∫

dV14π

~H ~B (6)

Магнитное поле B вихря и удовлетворяет неоднородному микроскопическому уравнению Максвелла (2) изависит от расстояния до оси вихря Но напряженность магнитного поля ~H = ~B − 4π ~M постоянна, посколькуудовлетворяет уравнениям Максвелла сплошных сред

div ~H = 0, rot ~H = 0

Поэтому, имея ввиду, что ~H и ~B направлены по оси цилиндра, получаем∫

dV14π

~H ~B = H

∫dV

14π

B = HL

4π

∫dSB =

L

4πHΦ

В результате свободная энергия образца с вихрем равна

F = Fs + Lε1 − L

4πHΦ0 (7)

Безраличное равновесия между состояниями однородного сверхпроводника и сверхпроводника с вихрем имеетместо для внешнего поля

H =4πε1

Φ0

Это минимальное магнитное поле, при котором становится возможным образование вихря, можно выразитьчерез поле Hc:

Hc1 ' lnκκ√

2.

Легко найти верхнее критическое поле. В большом поле сверхпроводящая фаза слаба, и в уравнении (??)можно пренебречь нелинейностью.

12m2

(p− e2

c~A)2ψ = |a|ψ

Подставим в это уравнение потенциал ~A = (0, Bx, 0) :

12m2

px2ψ +

12m2

(py − e2

cBx)2ψ +

12m2

p2zψ = |a|ψ

3

Подстановкой ψ = ϕ(x) exp(ikyy + ikzz) это уравнение приводится к одномерному уравнению квантовогоосциллятора с частотой ω = e2B/m2c

12m2

px2ψ +

m2ω2

2(x− x0)2ψ = (|a| − 1

2m2~2k2

z)ψ

энергия которого равна

E = ~ω(n +12) = |a| − 1

2m2~2k2

z

Решение существует при условии

12~ω < |a| , B < Hc2 =

√2κHc.

Таким образом, неоднородые состояния возможны в веществах, у которых

κ ≥ 1√2

Такие вещества называются сверхпроводниками второго рода. В интервале Hc1 < H < Hc2 в такихсверхпроводниках образуются вихри. Эти вихри отталкиваются друг от друга и образуют двумерную решетку,составленную из равносторонних треугольников. При наличии градиента внешнего магнитного поля вихримогут двигаться, но примеси их останавливают (пиннинг). Это явление аналогично движению и пиннингудислокаций в реальных кристаллах.

1

JOSEPHSON ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНАОдно из важнейших применений сверхпроводимости связано с эффектом Джозефсона. Теория эффекта

подробно обсуждается в "Теории металлов" Абрикосова. Здесь приведем упрощенный вариант этойтеории.|ψ|2 = Ns/2Стационарный эффект. Рассмотрим сверхпроводящий провод, направленный вдоль оси x , разделенный в

начале координат контактом - узкой щелью, заполненной диэлектриком или нормальным металлом. Если щельдостаточно широкая, то сверхпроводящий ток в направлении оси x невозможен

jx = 0

Однако, если ширина контакта меньше корреляционной длины ξ0 ∼ 10−4см, то электроны могут туннелироватьчерез контакт, и образуется единое сверхпроводящее состояние. Это состояние в рамках теории Гинзбурга-Ландау описывается комплексным параметром порядка - волновой функцией куперовских пар ψ. Токкуперовских пар равен

jx =e

mRe[ψ∗(

~i

∂

∂x− 2e

cA)ψ]

С разных сторон от контакта параметр порядка может иметь разную фазу

ψa =

√12Nse

iϕa , ψb =

√12Nse

iϕb

Феноменологически связь сверхпроводников справа и слева описывают туннельным током - матричнымэлементом туннельного перехода

jab = Re ψ∗aMψb

Матричный элемент туннелирования принято выражать через параметр размерности длины M = e~imλ0

.Таким образом,

jab =e

mReψ∗a

~iλ0

ψb

j = ja = jb =2e

2mRe[ψ∗a(

~i

∂

∂x− 2e

cA)ψa] =

e

mReψ∗a

~iλ0

ψb

=e~

mλ0Im ψ∗aψb =

e~Ns

2mλ0Im eiϕba

j = jc sin ϕba, jc =e~Ns

2mλ0' 1mA

b∮

a

jdl =

b∮

a

dleNs

2m(~

∂ϕ

∂x− 2e

cA) = 0

~ϕba =2e

cΦ, ϕba = 2π

ΦΦ0

, Φ0 =2π~c2e

' 10−7 ∗ 2

j = jc sin 2πΦΦ0

Нестационарный эффект 1- в щели электрическое поле. В щели очень слабый ток (λ0 À d, d - размер зазора)

j =eNs

2m(~

∂ϕ

∂x− 2e

cA) ' 0, E = −1

c

∂A

∂t∂

∂t(~

∂ϕ

∂x− 2e

cA) = 0,

∂2ϕ

∂x∂t= −2e

~E,

∂ϕba

∂t= −2e

~Exba = −2e

~V = −ω, ϕba = −ωt

j = jc sin ωt

2

Эти колебания создают излучение э.м. поляНестационарный эффект 2 - в щели переменное электрическое поле.

∂ϕba

∂t= −2e

~(V0 + V1 cos ω1t)

ϕba = −2e

~(V0t +

1ω1

V1 sin ω1t)

Джозефсоновский ток равен

j = jc Im eiϕba = jc Im[e−iω0t exp(−i2eV1

~ω1sin ω1t)]

〈j〉 = jc Im[1T

T∫

0

dte−iω0t exp(−ib sin ω1t)], b =2eV1

~ω1

exp(−ib sin ω1t) =∞∑−∞

Jn(b)einω1t

〈j〉 = jc Im[∞∑−∞

Jn(b)1T

T∫

0

dte−iω0teinω1t]

〈j〉 = jc Im[Jn=ω0ω1

(b)], n =ω0

ω1=

2e

~V0

ω1

Энергия 2eV0 выделяется с испусканием n фотонов с энергией ~ω1.

1

Гинзбург-Ландау и Джозефсон 5 апреля 2002Эффект Джозефсона. Плотность тока в сверхпроводнике имеет вид

j =e2

m2Re ψ∗(p− e2

cA)ψ (1)

Пусть у волновой функции куперовских пар меняется только фаза

ψ =√

neiϕ (2)

Тогда ток (1) равен

j =ne2

m2(~∇ϕ− e2

cA) (3)

Джозефсоновский контакт представляет из себя диэлектрическую пленку между двумя сверхпроводникамиЭлектроны могут туннелировать через диэлектрический барьер. Если туннелирования нет, то ток через пленкуравен нулю

[ψ∗(p− e2

cA)ψ

]a

= 0

Если толщина пленки d меньше корреляционной длины (размера куперовской пары)

ξ = ~/mvc = ~pF /m∆(T ),

то ток слева от пленки пропорционален плотности электронов справа. Феноменологически граничные условияна границах пленки a и b пишут в симметричном виде

[(p− e2

cA)ψ

]a

= − i~λ0

ψb

[(p− e2

cA)ψ

]b

= − i~λ0

ψa

Потоки слева и справа равны

ja = jb =e2

m2Re[ψ∗a(p− e2

cA)ψa] = − e2

m2Re[

i~λ0

ψ∗aψb]

Подставляя функции в форме (2), получаем формулу связи джозефсовского тока с разностью фаз

j = jc sin(ϕa − ϕb), jc =~ne2

λ0m2' 1 ∗mA

Рассмотрим сверхпроводящее кольцо (тор) с джозефсоновским контактом (a, b). Пусть толщина тора многобольше корреляционной длины, тогда ток внутри тора равен нулю, и интегрируя от b до a по длине тора,получаем

0 =∫

jdl =∫

ne2

m2(~∇ϕ− e2

cA)dl =

ne2

m2(~(ϕa − ϕb)− e2

cΦ)

Здесь Φ =∫

Adl =∫

HdS есть магнитный поток внутри кольца

(ϕb − ϕa) =e2

~cΦ = 2π

ΦΦ0

где введен квант магнитного потока Φ0 = π~c/e ' 10−7 ∗ 2

j = jc sin(

2πΦΦ0

)

Эта формула выражает основной результат стационарного эффекта Джозефсона - осциллирующий характерзависимости джозефсоновского тока от величины магнитного поля.

1

13.11.01 Теорема Голдстоуна и спиновые волныНекоторые вещества в основном состоянии обладают так называемым дальним порядком. Этот порядок

характеризуется параметром порядка Mα (~r) - n-компонентной физической величиной, коррелятор которой〈Mα (~r) ,Mα (~r′)〉 остается конечным при неограниченном увеличении расстояния |~r − ~r′| . Например, ферро-магнетик характеризуется трехмерным вектором намагниченности ~M , который имеет одинаковую величи-ну и направление во всех точках ферромагнитного тела. У сегнетоэлектриков параметром порядка являетсявектор электрической поляризации , у сверхпроводников - щель электронного спектра, в основном состояниинеидеального бозе газа роль параметра порядка играет волновая функция когерентного состояния. Мы, дляконкретности, будем говорить об изотропном ферромагнетике, для которого n = 3. Существенно, что энер-гия ферромагнетика в отсутствии магнитного поля не зависит от направления намагниченности. Это свойствоназывается вырождением основного состояния. Направление вектора намагниченности характеризуется двумяуглами (полярным и азимутальным). Это означает, что степень вырождения ν = 2. Слабовозбужденные со-стояния ферромагнетика описываются колебаниями намагниченности со спектром ε (~q). Каждому волновомувектору ~q отвечают три возможных поляризации - три моды - спиновых волн.Теорема Голдстоуна утверждает, что в веществе, которое характеризуется n-компонентным параметром

порядка и имеет степень вырожения ν , имеется по крайней мере ν безщелевых мод колебаний. Например, вферромагнетике, вырожденном по направлениям спонтанной намагниченности должно быть по крайней мередве безщелевых моды спиновых волн.Будем описывать слабовозбужденные состояния функционалом свободной энергии Ландау:

F =∫

d3r[U (M) +12g

∑

j

(∇Mj)2] (1)

Плотность энергии U (M) изотропного ферромагнетика зависит только от M2 и должна принимать минималь-ное значение при величине спонтанной намагниченности M0. В качестве примера примем

U (M) =12b(M2 −M2

0

)2

Последний член в (1) простейшим образом описывает тот факт, что переход от однородного состояния к неод-нородному приводит к увеличению энергии тела.Запишем свободную энергию (1) в квадратичном приближении по амплитуде отклонения параметра M от

равновесного значенияψ = M −M0:

F =∫

d3r[U (M0) + 2b(

~M0~ψ)2

+12g

∑

j

(∇ψj)2]. (2)

Подставим сюда разложение возбуждения по плоским волнам ψ =∑

q ψq exp(i~q~r) и проинтегрируем по объемутела V :

δF = V∑

q

[2b∣∣∣(

~M0~ψ (q)

)∣∣∣2

+12gq2

∑

j

|ψj (q)|2]. (3)

Рассмотрим продольные возбуждения, для которых(

~M0~ψ (q)

)= M0ψ (q) . В этом случае

δF = V∑

q

[2bM0 +12gq2] |ψ (q)|2 . (4)

Величина |ψ (q)|2 есть интенсивность возбуждений с волновым вектором q. Поэтому функция

ε‖ = [2bM0 +12gq2], (5)

характеризует вклад этих возбуждений в энергию тела. В пределе длинных волн (q → 0) эта энергия не исчезает.Такая зависимость энергии возбуждений от волнового вектора называется спектром со щелью.

2

Для двух поляризаций поперечных возбуждений, перпендикулярных к вектору спонтанной поляризации(~M0

~ψ (q))

= 0, имеем

δF = V∑

q,j=1,2

12gq2 |ψ (q)|2 . (6)

Спектр энергии поперечных возбуждений

ε⊥ =12gq2 (7)

является безщелевым. Таким образом, ферромагнетик имеет одну моду спиновых волн со щелью и две без-щелевых моды.

Теперь сформулируем теорему Голдстоуна в общем виде. Пусть имеется многокомпонентное действительноеполе ϕj (t, ~r) , j = 1÷ n, свободная энергия которого имеет вид

F =∫

d3r[U (ϕ) +12g

∑

j

(∇ϕj)2], g ≥ 0. (8)

Предполагается, что система обладает некоторой симметрией, т.е. существует хотя бы одно бесконечно малое(непрерывное) преобразование поля, которое не меняет величину потенциальной энергии

U (ϕ + δϕs) = U (ϕ) , , s = 1÷ ν (9)δϕs

i = iεIsijϕj , , ε → 0 (10)

Число ν независимых преобразований (эрмитовых матриц) Isik, не меняющих энергию, характеризует раз-

мерность симметрии потенциальной энергии - размерность вырождения. Пусть поле ηj (t, ~r) есть одно изосновных состояниий системы, которое обладает минимальной энергией:

U(η) = min U(η) (11)

Основное состояние системы задано неоднозначно. Имеется множество полей с той же энергией, связанныхпреобразованиями (??):

δηsi = iεIs

ijηj (12)

Множество этих полей называется ν-кратно вырожденным вакуумом..Рассмотрим слабое возбуждение основного состояния, представленное в форме разложения по плоским вол-

нам

ϕi = ηi + ψi, ψi =∑

q

ψi(q) exp(iqr) (13)

Подставим это разложение в функционал (8) и ограничимся квадратичным приближением по возбуждениям

δF =∫

d3r[12Uijψiψj +

12g (∇ψj)

2] (14)

= V∑

q

[12Uijψ

∗i (q)ψj (q) +

12gq2ψ∗j (q)ψj (q)] (15)

Матрица

Uij =[

∂2U

∂ϕi∂ϕj

]

ψ=η

(16)

есть квадратная n× n - рядная матрица, которая обладает n собственными векторами

Uijeaj = λaea

i , (17)

eai ea′

i = δaa′ , a = 1÷ n (18)

3

Разложим поля ψj (q) по этим векторам

ψj (q) =∑

a

ψa (q) eaj (19)

и получим

δF = V∑qa

[12λa +

12gq2] |ψa (q)|2 (20)

В результате свободная энергия распалась на независимые члены. Коэффициенты

εa (q) =12λa +

12gq2 (21)

имеют смысл энергии одной из n мод возбуждений с заданным волновым вектором ~q. Энергия этих возбуж-дений при ~q → 0 должна быть неотрицательной.

λa ≥ 0 (22)

Докажем, что некоторые из мод имеют безщелевой спектр, т.е. λa = 0.Уравнение симметрии (9)

U (ϕ + δϕs) = U (ϕ) , (23)

можно переписать в форме:

∂U (ϕ)∂ϕj

δϕsj = 0

Дифференцируя это соотношение по ϕi, находим

∂U (ϕ)∂ϕi∂ϕj

δϕsj +

∂U (ϕ)∂ϕj

δϕsj

∂ϕi= 0 (24)

В основном состояния имеем (16) и[

∂U(ϕ)∂ϕj

]ϕ=η

= 0. Отсюда следует, что для основного состояния уравнение

(24) содержит только первый член

Uijδηsj = 0 (25)

Подставим сюда (12) и сократим на iε:

UijIsijηj = 0 (26)

Из этого выражения следует, что существуют ν векторов, равных

esi = const ∗ Is

ijηj , s = 1÷ ν.

которые, согласно определению (17), являются собственными векторами матрицы Uij с нулевыми собственнымизначениями.

Таким образом, по крайней мере ν из n линейно независимых возбуждений вида ψj (q) = ψs (q) esj имеют

безщелевой спектр

εs (q) =12gq2, s = 1÷ ν. (27)

Теорема Голдстоуна доказана.

1

5exitonЛЕКЦИЯ Экситоны Френкеля как коллективные возбуждения молекулярных кристаллов.Яков Френкель, известный ленинградский физик-теоретик первой половины двадцатого века, был полной

противоположностью Льву Ландау, который его недолюбливал. В противоположность последнему Френкельмало обращал внимания на обоснованность физических гипотез и предпочитал формулировать свои теории напростых наглядных моделях. В частности, теория Френкеля роста зародышей при фазовых переходах первогорода опиралась на наглядную модель случайного блуждания в пространстве размеров зародышей. Эту теориюмы уже обсуждали на одной из предыдущих лекций.

Экситоны малого радиуса (экситоны Френкеля) - это слабозатухающие возбуждения молекул в молекуляр-ных кристаллах. Пусть диэлектрический молекулярный кристалл облучается светом. Если энергия ω фотона- кванта электромагнитного возбуждения - близка к энергии ε возбуждения электрона в молекуле, то этотфотон может поглотиться и возбудить один из электронов молекулы с основного состояния на возбужденноесостояние. Разность энергий ω − ε передается ”термостату”тепловых фононов.Газ таких возбуждений в кристалле описывается гамильтонианом

H0 =∑

R

εb+RbR, (1)

где bR есть оператор исчезновения возбуждения, а b+RbR - оператор числа возбуждений в узле R. Он равен еди-

нице на молекулах, которые возбуждены, и равен нулю на невозбужденных молекулах. Возбужденное состояниемолекулы можно рассматривать как совокупность электрона на незаполненной оболочке и дырки (отсутствиеодного электрона) на заполненной оболочке. Другими словами, экситон - это нейтральная пара ферми-частиц,и, следовательно, экситон есть бозе-частица.Коллективные состояния двух соседних молекул, одна из которых возбуждена, а другая находится в основном

состоянии, вырождены, т. е. имеют одинаковую энергию:

H0 |01, 12〉 = ε |01, 12〉H0 |11, 02〉 = ε |11, 02〉

Как известно из квантовой механики, сколь угодно слабое взаимодействие приводит к качественной пере-стройке вырожденной системы. Собственными состояниями двух узлов становятся суперпозиции

1√2(|11, 02〉 ± |11, 02〉)

Взаимодействие, создающее такие гибридизированные состояния, в представлении вторичного квантованиязаписывается в виде

Ub+1 b2 + Ub+

2 b1 (2)

В первом члене возбуждение исчезает на узле 2 и рождается на узле 1, а второй член переносит возбуждениес узла 1 на узел 2.Таким образом, гамильтониан коллективных возбуждений в кристалле с учетом резонансного взаимодействия

(2) имеет вид

H0 =∑

R

εb+RbR + U

∑

〈R1R2〉b+R1

bR2 . (3)

Во второй сумме суммирование идет по ближайшим соседям (~R1 − ~R2 = ~g, |~g| = a). Такое суммированиепринято обозначать 〈R1R2〉 . Справа в (3) - однородная квадратичная форма. Она диагонализуется переходомк импульсному представлению

bR =1√N0

∑p

bpeipR (4)

,где N0 - число узлов в кристалле. Подставляя это разложение по плоским волнам в (3), получаем

H0 =∑

p

εb+p bp +

U

N0

∑p1p2

b+p1

bp2

∑

R2g

ei(−p1(R2+g)+p2R2) =∑

p

εpb+p bp (5)

2

Здесь после суммирования по R2 возникает равенство p1 = p2 , и коэффициент εp равен

εp = ε + U∑

g

e−ipg (6)

Для простой кубической решетки сумма по 6 соседям дает∑

g

e−ipg = 4(cos apx + cos apy + cos apz)

Если амплитуда отрицательна, то дно зоны находится в точке (~p = 0).Вблизи дна зоны имеем

εp = ε− 4 |U | (3− a2p2

2) = ε0 +

p2

2m∗ ,1

m∗ = 4 |U | a2 (7)

Итак, гамильтониан (5) описывает газ экситонов. Они свободно движутся по кристаллу, и их спектр энергиипо форме совпадает со спектром электронов в узких зонах. Но следует помнить, что экситон есть бозе-частица.Поскольку амплитуда гибридизации |U | в молекулярных кристаллах мала, то эффективная масса экситона m∗

много больше массы электрона.Экситоны, возбужденные состояния системы, имеют конечное время жизни и исчезают, излучая фотоны.

Этот процесс называется люминесценцией.

1

25.12.2002 ЭКСИТОН МОТТА.Нобелевский лауреат Невилл Мотт был одним из самых замечательных английских физиков двадцатого века.

Наиболее известны его исследования в области неупорядоченных сред, но в этой лекции мы обсудим один изпервых его результатов в области теории идеальных полупроводников - теорию экситонов большого радиуса.Напомним, что полупроводник - это вещество, в котором как и металлах, электроны внешних оболочек ато-

мов обобществлены и образуют ферми-жидкость. Но в отличие от металлов, в полупроводниках энергия Фермирасположена посередине между двумя широкими зонами. Все состояния нижней (валентной) зоны заполненыэлектронами, а в верхней зоне (зоне проводимости) при нулевой температуре нет ни одного электрона. Ти-пичное расстояние между зонами δE имеет порядок величины нескольких электронвольт, и при комнатнойтемпературе (T ∼ 0.0εV ) только малая доля электронов тепловыми возбуждениями переносится из валентнойзоны в зону проводимости, образуя газ электронов. Свободные места в валентной зоне (дырки) ведут себя какчастицы с зарядом, противоположным электронному заряду, и образуют газ дырок. Концентрацию этих га-зов экспериментаторы существенно увеличивают, облучая полупроводник светом, у которого фотоны имеютэнергию, превышающую δE .В полупроводнике оба газа неустойчивы. Во-первых возможна аннигиляция электрона и дырки (т.е. падение

электрона из верхней зоны в нижнию). Но для разреженных газов вероятность этого процесса мала, посколькумала вероятность электрону и дырке оказаться близко друг от друга. Большую вероятность имеет ”химическаяреакция” образования связанного состояния частиц противоположных зарядов - электрона и дырки. Это ней-тральное связанное состояние двух ферми-частиц аналогично атому водорода и называется экситоном Мотта.Построим количественную теорию экситона.

Гамильтониан системы двух частиц - электрона и дырки только началом отсчета, массами и эффективнымзарядом отличается от гамильтониана атома водорода

H = δE +p2

e

2me+

p2h

2mh− e2

εr(1)

Здесь me - эффективная масса электрона в зоне проводимости, mh - эффективная масса дырки в валентнойзоне, ε - диэлектрическая проницаемость среды, r - расстояние между электроном и дыркой. В переменных

R =mere + mhrh

me + mh, r = re − rh,M = me + mh, m∗ =

memh

me + mh

гамильтониан экситона принимает вид

H = δE +P 2

2M+ (

p2

2m∗ −e2

εr). (2)

Из этого гамильтониана находим спектр экситона

EPn = δE +P 2

2M− Ry

n2

m∗

mε2, Ry =

me4

2~2. (3)

Основное значение имеет неподвижный экситон в основном состоянии. Его энергия равна

EPn = δE − εex, εex = Rym∗

mε2. (4)

По порядку величины δE и ридберг близки друг к другу. Но у типичных полупроводников m∗/m ' 0.1, аε ' 10. В связи с этим последний член в (4) - энергия связи экситона εex - на два-три порядка меньше ридберга.Наоборот, радиус экситона

R =(~2/me2

)mε/m∗ (5)

- на два порядка больше радиуса атома водорода. Поэтому экситон Мотта имеет большой размер по сравнениюс периодом кристаллической решетки. Это оправдывает модель (1), в которой кристалл заменен на однороднуюсреду.

В принципе, у избранных полупроводников ширина запрещенной зоны может оказаться меньше энергии экси-тона. Тогда энергия образования экситона (4) отрицательна, и система становится неустойчивой относительноспонтанного рождения электрон-дырочных пар в связанном экситонном состоянии. Образуется своеобразнаябозе-жидкость, поскольку рост концентрации экситонов прекращается, когда расстояние между экситонами

2

становится равным их размеру. Это состояние называется экситонным диэлектриком, так как в системе нетсвободных носителей заряда. Казалось бы, эта бозе-жидкость должна обладать сверхтекучими свойствами идаже сверхтеплопроводностью Однако достаточно очень малого количества примесей, чтобы разрушить коге-рентные связи. Поэтому явление сверхтеплопроводности никто не видел. Однако недавно экспериментальнонаблюдено в газе экситонов так называемое сверхизлучение Дикке, которое доказывает, что этот газ образуетбозе-конденсат.

1

Задача 26.Пусть полупроводник облучается очень коротким импульсом света, частота которого находится в резонансе

с энергией экситонов. В объеме фотон превращается в квазичастицу - "поляритон" - гибрид фотона иэкситона. Поэтому энергия возбуждения распространяется не со скоростью света, а значительно медленнее.Это наблюдается по задержке сигнала из полупроводника.

Образование поляритона легко понять в рамках представления чисел заполнения. Во вторичном квантованиигамильтониан задачи имеет вид

H =∑

p

~ωpa∗pap +

∑p

εpb∗pbp +

∑p

g(a∗pbp + b∗pap). (1)

Здесь первый член - гамильтониан фотонов (~ωp = cp), второй член - гамильтониан экситонов (εp ' const).Третий член - гамильтониан гибридизации. Произведение a∗bp описывает превращение экситона в фотон,произведение b∗ap - превращение фотона в экситон, g - амплитуда вероятности этого процесса. Строго говоря,величины ap , bp - суть операторы вторичного квантования. Но для квадратичных гамильтонианов разницамежду квантовым и клссическим полем несущественна.

Этот гамильтониан разбивается на сумму квадратичных форм с разными импульсами p.

H =∑

p

Hp, Hp = [~ωpa∗pap + εpb

∗pbp + g(a∗pbp + b∗pap)] (2)

Проще всего диагонализовать (2) методом уравнений движения

i∂ap

∂t= [ap,H] = ~ωpap + gbp

i∂bp

∂t= [bp,H] = εpbp + gap

Отсюда

(~ωp − Ep) ap + gbp = 0gap + (εp − Ep) bp = 0

(~ωp − Ep) (εp − Ep)− g2 = 0

И собственные значения равны

Ep =12[(~ωp − εp)±

√(~ωp − εp)2 + 4g2]

Более прямой, но более громоздкий метод диагонализации квадратичной формы (2) есть каноническоепреобразование

ap = cp cosϕ− dp sin ϕ

bp = cp sinϕ + dp cos ϕ

Подставляя (2) и раскрывая квадратичную форму, получаем

[~ωp

(cos2 ϕ

)+ εp

(sin2 ϕ

)+ 2g (cos ϕ) sin ϕ]c∗pcp = εcpc

∗pcp (3)

[−~ωp (cos ϕ) sin ϕ + εp (cos ϕ) sin ϕ + g(cos2 ϕ

)− g(sin2 ϕ

)]c∗pdp = 0 (4)

[−~ωp (sin ϕ) cos ϕ + εp (sinϕ) cos ϕ− g(sin2 ϕ

)+ g

(cos2 ϕ

)]d∗c = 0 (5)

[+~ωp

(sin2 ϕ

)+ εp

(cos2 ϕ

)− 2g sin ϕ cosϕ]d∗pdp = εdpd∗pdp (6)

2

Из требования обращения недиагональных членов в нуль, находим

cosϕ sin ϕ = gδE

(cos2 ϕ− sin2 ϕ) = (~ωp−εp)δE

(7)

Отсюда определяем параметр преобразования δE

(cos2 ϕ− sin2 ϕ)2 + 4 (cos ϕ sin ϕ)2 = 1 =(~ωp − εp)2 + 4g2

δE2, δE =

√(~ωp − εp)2 + 4g2

2 cos2 ϕ = 1 +(~ωp − εp)

δE, 2 sin2 ϕ = 1− (~ωp − εp)

δE

Из (3) и (6) выявляем спектры двух ветвей квазичастиц

εcp = ~ωp cos2 ϕ + εp sin2 ϕ + 2g cosϕ sin ϕ =12(~ωp + εp) +

12δE

εdp = ~ωp sin2 ϕ + εp cos2 ϕ− 2g cos ϕ sin ϕ =12(~ωp + εp)− 1

2δE

В результате гамильтониан поляритонов принимает вид

H =∑

εcpc∗pcp +

∑εdpd

∗pdp

Вдали от резонанса

εcp =12(~ωp + εp) +

12|~ωp − εp| = ~ωp, ~ωp > εp

εp, ~ωp < εp

εdp =12(~ωp + εp)− 1

2|~ωp − εp| = ~ωp, ~ωp < εp

εp, ~ωp > εp

т.е. верхняя ветвь поляритонов при больших импульсах есть фотон, а при малых импульсах - экситон.Наоборот, нижняя ветвь при малых импульсах превращается в фотон. При заданном импульсе расстояниемежду ветвями равно

εcp − εdp = δE =√

(~ωp − εp)2 + 4g2

и равно минимальному значению 2g, когда спектры фотона и экситона пересекаются. Это - частный случайзакона отталкивания пересекающихся ветвей.спектров.