固体力学

大学院工学研究科機械工学専攻

固体力学（２単位）

００２

メッシュ

構成

シミュレーション

計算機としてのＰＣ

シミュレーションのための計算機環境

ハードウエア

ソフトウエア

シミュレーションのための計算法

有限要素法

メッシュ

連立一次方程式の解法

可視化

参考書

有限要素法概説

菊地文雄著，サイエンス社

有限要素法

矢川元基・吉村忍著，培風館

Finite Element ImplementationY.K.Cheung, S.H.Lo, A.Y.T.Leung, Blackwell

Numerical ComputationC.W.Ueberhuber, Springer

計算機による幾何学

計算幾何学Computational Geometry図形に関するアルゴリズム

計算機支援幾何デザインComputer Aided Geometric Design曲線・曲面など

計算機による幾何学

計算幾何学

基本アルゴリズム

２点間の距離

凸包

整列

探索

etc.

計算機による幾何学２点間の距離

問題：　ｎ個の点で構成される点群において，最短距離にある２点を抽出する

総当りではnC2個の距離を計算することになる

距離計算の回数を減らし効率化

計算機による幾何学２点間の距離

分割統治法１．全体を２つに分割

２．各々で最短距離のものを探す

３．２つの領域にまたがった点同士の距離を確認

再帰的探索

計算量　∝　O(nlogn)

計算機による幾何学凸包 (Convex Hull)問題：　ｎ個の点で構成される点群において，凸包（すべての点を包含する最小の凸多面体・多角形）を構築する

凸包はメッシュなどでも使用される重要な概念

計算機による幾何学凸包 (Convex Hull)

Graham’s Scan１．ｙ座標が最小の点をＰ０とする

２．Ｐ０から見た角度の順にＰ１，Ｐ２，Ｐ３，…とする（同じ角度の点は最遠点を選ぶ）

３．Ｐ０－Ｐ１－Ｐ２を結ぶ

４．Ｐ１－Ｐ２－Ｐ３の角度（内角）が180度以上ならＰ２をリストからはずす　→　Ｐ１－Ｐ３　（さらに遡って修正が及ぶこともある）

５．順次くりかえす

計算機による幾何学凸包 (Convex Hull)

Andrew’s Algorithm１．x座標により整列．ｘ座標最小の点をＰ０とする

２．ｘ座標の順にＰ１，Ｐ２，Ｐ３，…とする（同じｘ座標の点はｙ座標最大点を選ぶ）

３．Ｐ０－Ｐ１－Ｐ２を結ぶ

４．Ｐ０－Ｐ１－Ｐ２の角度（内角）が180度以上ならＰ２をリストからはずす　→　Ｐ０－Ｐ２　（さらに遡って修正が及ぶこともある）

５．順次くりかえす

計算機による幾何学凸包 (Convex Hull)

Quickhull Algorithm１．点群からｘ，ｙ座標が最大or最小となる４点を選び四角形を構築し，凸包の第１近似とする．四角形の中の点は以降の検討から除外する．

２．各辺の外側の最遠点を凸包に追加し，凸包を更新する．新たに追加した三角形内の点は以降の検討から除外する．

３．２を繰り返す．

計算機による幾何学凸包 (Convex Hull)

Quickhull Algorithm

メッシュ

２次元（３次元）領域を３角形（４面体）または４角形（６面体）にの集合として表現

メッシュ

２次元（３次元）領域を３角形（４面体）または４角形（６面体）にの集合として表現

規則性による分類規則格子（構造格子）

不規則格子（非構造格子）

自動メッシュ作成 (Automatic Mesh Generation)３角形（４面体）は可能

６面体は自動化できていない

メッシュ

望ましい自動要素分割の特徴

境界が正確に表現される

内部メッシュに境界の情報が反映される

入力データ量が少ない

対象が広い

形状を選ばない

要素形状が良い

節点番号が適切にふられる

速い

メッシュ

自動要素分割法

Ｄｅｌａｕｎａｙ法凸領域に限定される（非凸領域は複数の凸領域に分解）

生成される要素の形状が良い（正三角形に近い）

Ａｄｖａｎｃｉｎｇ　Ｆｒｏｎｔ法非凸領域も可

メッシュ

Ｄｅｌａｕｎａｙ法

Ｖｏｒｏｎｏｉ分割点群が与えられたとき，領域を各点に対して最短距離にある多角形領域に分割する．

{ }NiPP ii ,,1, L==P点群

{ }NiVV ii ,,1, L==V

{ }jii PQPQijQQV −<−≠∀ℜ∈= ,,2

ボロノイ分割

メッシュ

Ｖｏｒｏｎｏｉ分割とＤｅｌａｕｎａｙ三角分割

Ｖｏｒｏｎｏｉ分割 Ｄｅｌａｕｎａｙ三角分割

メッシュ

Ｄｅｌａｕｎａｙ法のアルゴリズム（Ｗａｔｓｏｎ法）

１　点群を包含する仮想三角形を作る．

２　点群の１点Piを追加する．

３　Piを外接円内に含む既存三角形を抽出．

４　選んだ三角形の頂点で多角形を構成．

５　多角形の各頂点とPiを結び，新しい三角形を生成．６　２から５を繰り返す．

メッシュ

アドバンシングフロント法最初に領域境界に節点を配置し，領域内部に節点を配置しながら，順に内部へ三角形を生成していく方法

メッシュアドバンシングフロント法候補節点を含む領域の境界をフロントラインと呼び，フロントラインを更新しながら三角形を生成する．

メッシュアドバンシングフロント法

１　対象領域の境界に節点を発生

２　領域内に節点を発生

３　境界を初期フロントラインに設定

４　フロントラインの任意の１要素分を「先端部」とする

５　先端部近傍から要素生成用節点を選択

メッシュアドバンシングフロント法６　先端部（A-B）と選択した節点（C）により，新しい要素（A-B-C）を生成７　フロントラインをA-BからA-C-Bに更新８　C-Bを新しい「先端部」にする９　フロントラインの任意の１要素分を「先端部」とする

１０　５－９を繰り返す　

A

B

C

メッシュアドバンシングフロント法

節点選択基準

( ) 22232CABCAB

ACABABC

++

×=α

A B

C1 C2

( ) ( ) ( )21121111 ,, CACBCCABC αγαβαα ===

( ) ( ) ( )12212222 ,, CACBCCABC αγαβαα ===

( ) ( )222111 ,max,max γβαγβα ⋅>⋅ なら，C1を選択

メッシュメッシュの改良法

Laplacian Smoothing１　節点Pを選択２　節点Pを含む要素を抽出３　節点Pを，２で抽出した要素の節点の重心へ移動４　１－３を領域内部の全節点に対して行う（境界は除く）

P P