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情 253 「ディジタルシステム設計 」 ( 3 ) Constellation3. ファイヤー和田 [email protected] 琉球大学工学部情報工学科. 直交座標と極座標 [P75]. 極座標 XY 直交座標上の点を、原点からの距離・角度を用いる 極座標を用いて表す。. 直交座標. 極座標. Y 軸. y 0. (x 0 , y 0 ). (A 0 , Φ 0 ). A 0. Φ 0. X 軸. x 0. 0. 0. y. A. Φ. x. 極座標・直交座標変換. - PowerPoint PPT Presentation
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情 253 「ディジタルシステム設計 」
( 3 ) Constellation3ファイヤー和田
琉球大学工学部情報工学科
1
直交座標と極座標 [P75]
• 極座標– XY 直交座標上の点を、原点からの距離・角度を用いる
極座標を用いて表す。
直交座標
0X 軸
Y軸
(x0, y0)
x0
y0
極座標
0
(A0, Φ 0)A0
Φ 0
2
極座標・直交座標変換• 角度 Φ と大きさ A を用いて、平面上の点の位置を示
す。– この角度 Φ が変復調では位相となる。– この大きさが変復調では振幅となる。
Φ
A
x
y
A
xA
y
cos
sin
cos
sin
Ax
Ay
3
BPSK 波形• BPSK とは Binary Phase Shift Keying
• 位相 Φ の値として2つの値を用いて、2つの波形を生成する。• 通信を行うときに、上記2つの波形の一つを送るので、 2 種
類の可能性があり、’ 1’ か’ 0’ かすなわち 1 ビットの情報を送信する。
)2cos( ftAx元の波形
情報’ 0’ を送信する場合: Φ =0 とする
情報’ 1’ を送信する場合: Φ =π ( 180 度)とする。
)2cos( ftAx
)2cos( ftAx
4
SCILAB にて BPSK 波形を作る
5
BPSK の2つの波をコンスタレーションで示す
• BPSK の2つの波の振幅と位相は?– 情報‘0’ :振幅 A=1 、位相 Φ =0– 情報‘1’ :振幅 A=1 、位相 Φ = π
• これを極座標面に表現すると
極座標
0
(A0, θ0)=(1, 0)
(A1, θ1)=(1, π)
6
QPSK 波形• Quadrature Phase Shift Keying
• 4 つの位相を用いる– Φ = 1*π/4– Φ = 3*π/4– Φ = 5*π/4– Φ = 7*π/4
)4/2cos( ftAx)4/32cos( ftAx)4/52cos( ftAx)4/72cos( ftAx
7
SCILAB にて QPSK 波形を作る
8
QPSK の4つの波をコンスタレーションで示す
• QPSK の4つの波の振幅と位相は?– 振幅 A=1 、位相 Φ = 1 π /4– 振幅 A=1 、位相 Φ = 3 π /4– 振幅 A=1 、位相 Φ = 5 π /4– 振幅 A=1 、位相 Φ = 7π /4
極座標
0
(A0, Φ 0)=(1, 1π/4)
(A1, Φ 1)=(1, 3π/4)
(A2, Φ 2)=(1, 5π/4)
(A2, Φ 2)=(1, 7π/4) 9
クイズ1• 以下の2つの送信波形( BPSK, QPSK )の各サイクル( T1 ~ T5
)の波のコンスタレーションポイントを示せ• ただし基準の波の波形として以下の式を仮定せよ!• ( ヒント ) 図の BPSK はこれまで説明した波と異なる。
)2cos( ftAx基準となる波形
10
クイズ2• 以下の4つのコンスタレーションに対応
する波形を SCILAB で生成せよ
極座標
0
x0
x1
x2
x3
1-1
-1
1
11
X 軸、 Y 軸を I 相、 Q 相にチェンジ [p79]
• これまで見てきたように、 X 軸と Y 軸ではちょうど90° の位相差がありました。すなわち、直角です。
• これからは、 X 軸を I 相( In Phase ) ,Y 軸を Q 相(Quadrature Phase)
• 平面を IQ 平面と呼ぶ
IQ平面
0I相
Q相
12
ここからは教科書を超えた事項!
13
新導入1:複素指数関数
• 実数部と虚数部からなるので、複素数である。• 実数部だけみると、これまで使用した三角関数
)2sin()2cos(
)(~ )2(
ftAjftA
Aetx ftj
実数部 虚数部
• これまでは、三角関数を用いたが、もう一歩すすんで複素指数関数を導入する!
14
新導入2:複素平面• IQ 平面
– I 相、 Q 相の2つの値のペアで、平面上の点を指定した。
• 複素平面– 複素数ひとつで、平面上の 1 点を示す方法を導入する。– 実部を I 相に対応:実数軸– 虚部を Q 相に対応:虚数軸
複素平面
0実数軸( I相)
嘘数軸( Q相)
a
ba + j b
15
複素指数関数は複素平面では回転を示す関数となる。
)2sin()2cos(
)(~ )2(
ftAjftA
Aetx ftj
実数部 虚数部
0実数軸、 I相
虚数軸、 Q相 )(~ tx
)2cos( ftA
)2sin( ftAA
ft2
16
時間とともに複素指数関数は回転する。
17
複素振幅
ftjj
ftj
eAe
Aetx
2
)2()(~
tj
j
eXtx
f
AeX
0)(~20
とすると、、
• X は x(t=0) の値であり、回転のスタート位置( t=0 の位置)を示す。
• X を複素振幅という 18
複素指数関数で、 QPSK を示す。
ftjjftjeeetx
24
1)
4
12(
0 )(~
ftjjftjeeetx
24
3)
4
32(
1 )(~
ftjjftjeeetx
24
5)
4
52(
2 )(~
ftjjftjeeetx
24
7)
4
72(
3 )(~
0実数軸、 I相
虚数軸、 Q相
4
1je
4
3je
4
5je 4
7je
複素振幅を、複素平面にプロットすれば、コンスタレーションとなる。
19
複素振幅を SCILAB でプロットする
20
同一周波数の波の合成方法)2sin()2cos()( ftfttx 右式の合成を調べる
それぞれの波のコンスタレーションを調べ、合成する 0
虚数軸、 Q相
実数軸、 I相j01
j10
ftj
ftjftj
ej
ejejtx
2
22
)1(
)10()01()(~
複素指数関数に変換
合成波の振幅と位相がわかる 2A 4
j1
合成波 )4/2cos(2)( fttx 21
振幅、位相の計算
0
虚数軸、 Q相
実数軸、 I相j01
j10 j1
22
HW3
( 1 ) webclass 情報工学科 デジタルシステム設計
に用意したHW2を完了させよ。講義から 2 週間後同一曜日の夜23:00を期限
とする。
• http://webclass.cc.u-ryukyu.ac.jp/
23