บทท 2การเคลอนทแบบหนงมต

ในกรณเชนนสำ หรบนกฟสกสแลวเร ส ม รถห ไดว ลกบอลเหลกใชเวล เท ไรกอนจะตกถงพนนำ ด นล ง  อ นตอครบ

จลนศ สตร (kinematics) เปนแขนงหนงของวช กลศ สตร ซงศกษ เกยวกบก รเคลอนทของวตถ โดยไมคำ นงถงส เหตททำ ใหวตถเกดก รเคลอนท ก รเคลอนทของวตถแบงได 2 อย งคอ1. ก รเคลอนทแบบเลอนท (translation) เปนก รเปลยนตำ แหนงของ

วตถในแนวเสนตรงหรอเสนโคง2. ก รเคลอนทแบบหมน (rotation) เปนก รเคลอนทของวตถทมก ร

หมนหรอสนตวอย งก รเคลอนททง ยทสด ไดแก ก รเคลอนทเปนเสนตรง

โดยก รสมมตใหอนภ คหนงมขน ดเลกเกอบเปนจด ไมมก รหมน ก รสน หรอเปลยนแปลงรปร ง เคลอนทเปนเสนตรงอยบนแกน x (หนงมต)

2-1 ป ร ม า ณ ต า ง ๆ ข อ ง ก า รเคลอนท__________________________________

ฟสกสร ชมงคล

21

วนท 26 เด อนกนย ยน 1993 น ยเดพ มนเด ไดไปทนำ ตกไนแองก ร อกครงหนง ซงในครงน เข ไดทำ เร องเสยงต ย (ดงนรก) ซงเคยมคนท ำ ม แล ว 4 คนและทงหมดไดเสยชวตไปแลว โดยเข เข ไปอยในลกบอลเหลกและปลอยใหลกบอลเหลกลอยไปต มกระแสนำ ต มบญต มกรรม จ กรปจะเหนว หน ผ นำ ตก อยข งหน

ในก รศกษ จลนศ สตรของวตถ จะเรมทก รเคลอนทแบบหนงมต เพอง ยตอคว มเข ใจจำ เปนตองศกษ คำ นย มรวมถงสมก รของปรม ณต งๆทเกยวของกบก รเคลอนท ระยะทางและการกระจด ระยะทาง (distance) เปนปรม ณสเกล ร บอกถงระยะท งทงหมดทวตถมก รเคลอนท มหนวยเปนเมตร การกระจด (displacement) เปนปรม ณเวกเตอร บอกใหทร บถงก รเปลยนตำ แหนงของวตถ ก รกระจดขนอยกบตำ แหนงเรมตนและตำ แหนงสดท ยของวตถ ไมขนกบเสนท งก รเคลอนท ห กวตถเคลอนทไปแลวกลบม ทตำ แหนงเรมตนแสดงว ระยะกระจดเปนศนย

วตถหนงเคลอนทจ กจดเรมตน เปนเสนตรงไปต มแกน +x ณ เวล t1 ตำ แหนงของวตถอยทจด P ห งจ กจดเรมตนเท กบ x1 และ ณ เวล t2 ตำ แหนงของวตถอยทจด Q ห งจ กจดเร มตน เท กบ x2 ชวงเวล ระหว ง t1 ถง t2 วตถเคลอนทต มแนวแกน x จ กจด P ถง Q ไดก รกระจดในหนงมตเปน x = x2 - x1 ................... (2-1)

t2 - t1 =t

รป 2-1 (a) อนภ คเคลอนทเปนแนวเสนตรงบนแกน x (b) กร ฟระยะกระจดกบเวล คว มเรวเฉลยในชวง

เวล t1 ถง t2 คอคว มชนของ

เสน pq สวนคว มเรวชวขณะทจด p กคอคว มชนท

จด p

ฟสกสร ชมงคล

22

คว มชน = คว มเรวชวขณะทจด P

x

O x

คว มชน =คว มเรวเฉลย

x2

x1

t O t2t1

(b)

x2 - x1 = x

q

x2

x1

x2-x1 = x

y P

pQx

(a)

ความเรวเฉลยและความเรวชวขณะ คว มเรวเปนปรม ณพนฐ นอนหนง ทใชบรรย ยก รเคลอนทของวตถ เกดขนเพร ะมนษยตองก รทจะวดก รกระจดตอหนวยเวล ในท งฟสกสนน คำ ว ความเรว แตกต งจ ก อตราเรว โดยทคว มเรวเปนปรม ณเวกเตอร มทงขน ดและทศท ง ในขณะทอตร เรวเปนปรม ณสเกล ร ความเรวเฉลย (Average Velocity) บอกถงลกษณะก รเคลอนทของวตถระหว งจด x1 และ x2 คว มเรวเฉลยห ไดจ กระยะกระจดห รดวยเวล ทใช ถ ทเวล วตถอยทตำ แหนง x1 ตอม ทเวล วตถอยทตำ แหนง x2

vav = = ................... (2-2)

คว มเรวแตละตำ แหนงทอยในชวง x1 ถง x2 อ จไมคงท บ งตำ แหนงช บ งตำ แหนงเรว คว มเรวเฉลยจงเปนค เฉลยแทนคว มเรวทงหมดของก รเคลอนทในชวงน จ กกร ฟรป (2-1b) คว มเรวเฉลย แทนดวยคว มชนต มเสน

ตวอยาง 2-2 สมช ยวงจ กจดเรมตนไปไดระยะท ง 50 เมตรภ ยในเวล 8 วน ท เข หยดแลวเดนกลบอย งช ๆ ถงจดเรมตนใชเวล 40 วน ท ถ กำ หนดใหทศทเข วงเปนบวก

ก. คว มเรวเฉลยของก รวงเปนเท ใดข. คว มเรวเฉลยของก รเดนเปนเท ใดค. คว มเรวเฉลยตลอดเสนท งก รไปกลบ

รป 2-2หลกการคำานวณ

ฟสกสร ชมงคล

23

ก. vav = = = = 6.25

ms-1

ข. vav = = = -1.25 ms-1

ค. vav = = = ms-1

เครองหม ยของคว มเรวแสดงถงทศท งของก รเคลอนท

ความเรวชวขณะ (Instantaneous Velocity) นอกจ กคว มเรวเฉลยของวตถในชวงเวล หนงแลว เร ยงอย กจะทร บว วตถจะเคลอนท ณ เวล หนงดวยคว มเรวเท ใด ซงโดยปกตจะเรยกสน ๆ ว ความเรวชวขณะ จ กรป 2-1a ถ ตองก รจะห คว มเรวชวขณะทจด

กใหเลอนจด เข ใกลจด ม กทสดจนเกอบทบจด เพอจะคำ นวณห คว มเรวเฉลยในชวงเวล ทสนม ก ๆ คว มเรวชวขณะ คอ

v = .................... (2-3)

จ กรป (2-1b) ถ เลอนจด เข ใกลจด คว มชนแนวเสน กเกอบจะเท กบคว มชนทจด จนกระทงเลอนจด เข ใกลทสดหรอทบจด คว มชนกคอคว มชนทจด ดงนน ความเรวชวขณะทตำาแหนงใดๆกคอความชนของกราฟทตำาแหนงนน ๆ นนเอง คว มเรวเฉลย และคว มเรวขณะใดขณะหนง มคว มแตกต งกน ดงตวอย ง กรณเครองบนบนจ กกรงเทพ ฯ ไปยงขอนแกน แลวกกลบม ยงกรงเทพ ฯ อก จะไดว คว มเรวเฉลย ของเครองบนเปนศนยเพร ะก รขจดสทธมค เปนศนย ในขณะทคว มเรวขณะใดขณะหนงระหว งก รบนไมเท กบศนยตวอยาง 2-2 จ กรปเนอสมนอยห งจ กจดบอด 50 m เสอชต ตวหนงกำ ลงยองเพอไปเขมอบเนอสมน ขณะทยองไปไดระยะ 20 m.จ กจดบอด เร มจบเวล t = 0 ก รเคลอนทของเสอชต อธบ ยไดดวยสมก ร x = a+bt2 กำ หนดให a = 20 m และ b = 5 ms-2

ฟสกสร ชมงคล

24

รป 2-3 เสอชต กำ ลงยองเพอไปเขมอบเนอสมน

หลกการคำานวณก) ระยะกระจดของเสอในชวงเวล t1 = 1 s ถง t2 = 2 s

ณ เวล t1 = 1 s และ t2 = 2 s ตำ แหนงของเสอคอ x1 และ x2

ต มลำ ดบx1 = 20 m + (5ms-2)(1 s)2 = 25 mx2 = 20 m + (5ms-2)(2 s)2 = 40 m

เพร ะฉะนน ระยะกระจดของก รเคลอนทคอx2-x1 = 40 m - 25 m = 15 m

ข) คว มเรวเฉลยในชวงเวล ดงกล ว t1 ถง t2

vav = = = 15 ms-1

ค) คว มเรวชวขณะ ณ เวล t1 = 1 s ตำ แหนง ณ เวล t = 1s + t คอ

x = 20m + (5ms-2)(1 s + t)2

= 25m + (10ms-1) t + (5ms-2)(t)2

ระยะกระจดในชวงเวล t คอx = 25m + (10ms-1) t + (5ms-2)(t)2-

25 m= (10ms-1)t + (5ms-2)(t)2

ดงนน คว มเรวเฉลยในชวงเวล t คอ

vav =ให t เปนศนย แทนลงไปในสมก รจะไดคว มเรวชวขณะท t =

1 s v = 10 ms-1 จ กรป 2-1b คอคว มชนทจด p

ง) สมก รทวไปของคว มเรวชวขณะห อนพนธสมก ร x = a+bt2 เทยบกบเวล จะได

ฟสกสร ชมงคล

25

v = = 2bt = (10 ms-1) tณ เวล t = 1 s v = 10 ms-1 และ ณ เวล t = 2 s

v = 20 ms-1

ความเรงเฉลยและความเรงชวขณะ โดยทวไปวตถอ จเคลอนทดวยคว มเรวทไมคงท ซ งเร ส ม รถ

อธบ ยก รเปลยนแปลงคว มเรวนไดดวยคว มเรง โดย คว มเรงเปนก รเปลยนแปลงคว มเรวตอหนวยเวล พจ รณ ก รเคลอนทของวตถในแนวแกน โดยกำ หนดให ทเวล t1 วตถอยทจด P มคว มเรว และเมอเวล t2 วตถอยทจด Q มคว มเรว คว มเรงเฉลย (Average Acceleration)ของวตถในชวงเวล t1 ถง t2 คอ

aav = = .................... (2-4)

ตวอยาง 2-3 เรอเฟอรเดนท งจ กช ยฝ งไปยงเก ะ ช ง ดวยคว มเรว 7.4 m/s ไปต มทศ +x

ก. ถ เรอเฟอรแลนช ลงและจอดภ ยในเวล 12.3 วน ท คว มเรงเฉลยของเรอเฟอรเปนเท ใด

ข. ถ เรอเฟอรแลนกลบช ยฝ งดวยคว มเรว 7.4 m/s จ กนนจอดในเวล 13.1 วน ท คว มเรงเฉลยของเรอเฟอรเปนเท ใด

รป 2-4หลกการคำานวณ

ก. aav = = = = -0.60 ms-2

ข. aav = = = = 0.56 ms-

2

จะเหนว คว มเรงของเรอเฟอรมทศตรงข มกบทศของคว มเรว

ฟสกสร ชมงคล

26

เกาะ ชาง

ชายฝง

+x

ความเรง เปนปรม ณเวกเตอร มหนวยเปน เมตรตอวน ท2 (m/s2) ค ว ม เร ง ใ น ช ว ง เว ล เ ข ใ ก ล ศ น ย เ ร เ ร ยก ว คว ามเ ร งช ว ขณะ (Instantaneous Acceleration)

รป 2-5 (a) รถเคลอนทอยบนแกน x (b) กร ฟแสดงก รเคลอนท พลอตระหว งคว มเรวกบเวล

คว มเรงเฉลยในชวงเวล t1 ถง t2 คอคว มชนต มแนวเสน pq

คว มเรงชวขณะทจด P คอคว มชนทจด pพจ รณ รป 2-5 (a) เรมจบเวล รถแขงคนหนงทจด P ณ เวล t1

เคลอนทดวยคว มเรว v1 ถงเสนชยทจด Q ณ เวล t2 ดวยคว มเรว v2

กร ฟระหว งคว มเรวกบเวล แสดงดงรป 2-5 (b) คว มเรงเฉลยในชวงเวล t1 ถง t2 คอคว มชนต มแนวเสน pq คว มเรงชวขณะของอนภ คกคอ คว มเรง ณ ตำ แหนงใดๆ บนกร ฟ ถ ใหจด P เปนจดทเร ตองก รห คว มเรงชวขณะ กใหเลอนจด Q เข ใกลจด P ม กทสดจนเกอบทบจด P เพอคำ นวณห คว มเรวเฉลยในชวงเวล สนม กๆ เกอบเท กบศนยจะได

a = =

…….................... (2-5)

ฟสกสร ชมงคล

27

t2 - t1= t

คว มชน =คว มเรงเฉลย

v

v2v1

p

t O

t2t1 (b)

v2 - v1 = v

q

คว มชน = คว มเรว ชวขณะทจด P

(a

ถ เลอนจด Q เข ใกลจด P จนเกอบทบจด P คว มชนต มแนว pq กคอคว มชนทจด p นนเอง จงสรปไดว ความเรงชวขณะกคอความชนทตำาแหนงนน

ตวอยาง 2-4 ใหคว มเรวของรถดงรป 2-5 เปนไปต มสมก รv = m+nt2

ถ m = 10 ms-1 และ n = 2 ms-3 จงห ก) คว มเรวทเปลยนแปลงในชวงเวล t1 = 2 s ถง t2 = 5s ณ เวล t1 = 2s v1 = 10 ms-1 + (2 ms-3)(2s)2

= 18 ms-1

ณ เวล t2 = 5s v2 = 10 ms-1 + (2 ms-3)(5s)2 = 60 ms-1

เพร ะฉะนนคว มเรวทเปลยนไปคอ v2 - v1 = 60 ms-1 - 18 ms-1

= 42 ms-1

ข) คว มเรงเฉลยในชวงเวล t1 ถง t2 คอ

aav =

= = 14 ms-2

ค) คว มเรงชวขณะ ณ เวล t1 = 2s ณ เวล t = 2s + t V = 10 ms-1 + (2 ms-3)(2s + t)2

= 18 ms-1 + (8 ms-2) t + (2 ms-3)(t)2

คว มเรวทเปลยนแปลงในชวงเวล t คอ v = 18 ms-1 + (8 ms-2) t + (2 ms-3)(t)2 - 18 ms-1

= (8 ms-2) t + (2 ms-3)(t)2

คว มเรงเฉลยในชวงเวล t1 ถง t2 คอ

aav = = (8 ms-2) + (2 ms-3)t

ฟสกสร ชมงคล

28

คว มเรงชวขณะ ณ เวล t = 2s ห ไดโดยก รให t เข ใกลศนย จะได a = 8 ms-2

ง) สมก รทวไปสำ หรบคว มเรงชวขณะ ณ เวล t = 2s และ t = 5s จ ก

v = 10 ms-1 + 2 ms-3t2

ห อนพนธ v เทยบกบเวล จะได

a = = [ 10 ms-1 + (2 ms-3)t2 ] = 2 (2 ms-3)tเมอ t = 2s ,

a = (2)(2 ms-3)(2s) = 8 ms-2

เมอ t = 5s , a = (2)(2 ms-3)(5s) = 20 ms-2

2-2 ก า ร เ ค ล อ น ท ด ว ย ค ว า ม เ ร งคงท_______________________________

ฟสกสร ชมงคล

29

การทดลองก รทดลองนเร จะใหเดกวง

อยในหองก รทดลองเสมอน  โดยเวกเตอรแสดงทศท งคว มเรว v  และคว มเรง a จะปร กฏอยเหนอศรษะของเดกผช ย   คณลองอธบ ยดวยตนเองว  คว มเรวและคว มเรงทแสดงอยนเปน

ก รเคลอนทหล ย ๆ อย งเปนก รเคลอนทดวยคว มเรงคงท ยกตวอย งทเหนไดชดคอก รตกลงม อย งอสระของวตถภ ยใตแรงโนมถวงของโลก

ถ วตถเคล อนท เป นเสนตรงด วยคว มเรงคงท คว มเรวจะเปลยนแปลงสมำ เสมอเมอเทยบกบเวล หรอเมอพลอตกร ฟเทยบกบเวล จะไดเปนกร ฟเสนตรงดงรป 2-6 คว มชนจะเท กนทกจด คว มเรงเฉลยกบคว มเรงชวขณะกจะเท กนดวย

จ ก a = .................... (2-6)

รป 2-6 กร ฟแสดงก รเคลอนทเปนเสนตรง พลอตระหว งคว มเรวกบเวล เมอคว มเรงคงท

ให t1 = 0 , t2 เปนเวล ใด ๆ แทนดวย t, v0 แทนคว มเรว เมอ t = 0 (คว มเรวตน) และ v เปนคว มเรว ณ เวล ใด ๆ แทนลงในสมก ร (2-6) จะได

a = หรอ v = v0 + at .................... (2-7)

เร ส ม รถห สมก ร 2-7 ไดโดยวธอน ดงน

จ กสมก ร a = , เทอมหนงของ v ประกอบดวย at อย ง

แนนอน และจะตองบวกดวยค คงท C เนองเพร ะว อนพนธของค คงทเทยบกบเวล เปนศนย

ฟสกสร ชมงคล

30

O t

at v

v0

vv

v0

t

v = at + C.................... (2-8)

ถ เวล t = 0 คว มเรวเรมตน = v0 จะได

v0 = a (0) + C หรอ C = v0 ..................... (2-9)นำ ค C แทนลงในสมก ร (2-8) จะได

v = v0 + at ตรงกบสมก ร (2-7)

เร ส ม รถใชวธเดยวกนนเพอห ระยะกระจด x ณ ตำ แหนงเวล ใด ๆ ได

x = x0 + v0t + ................... (2-10)

รวมสมก ร (2-7) และ (2-10) เพอตดเทอม t เหลอเพยงระยะกระจด คว มเรว และคว มเรง ดงน

t =

x =

ย ย x0 ไปข งซ ยของสมก ร และคณดวย 2a ทง 2 ข งของสมก ร จะได

2a (x - x0) =

ผลทสดจะได

v2 = ................... (2-11)

คว มชน = v

ฟสกสร ชมงคล

31

O t

x x

t x0

คว มชน = v0

รป 2-7 กร ฟระยะกระจดกบเวล เมอคว มเรงคงท

กร ฟรป 2-7 เปนกร ฟทพลอตระหว งระยะกระจดกบเวล เมอคว มเรงคงทมลกษณะเปนรปพ ร โบล คว มชน ณ เวล t = 0 จะมค เท กบคว มเรวเร มตน v0 สวนคว มชน ณ เวล t ใด ๆ กคอ v สรปคว มสมพนธระหว ง ก รกระจด คว มเรว และคว มเรง ของวตถทเคลอนทในแนวเสนตรงดวยคว มเรงคงทคอ

v = v0 + at x = x0 + v0t + v2 =

ตวอยาง 2-5 นกบดมอเตอรไซดซงไปท งทศตะวนออกดวยคว มเรงคงท a = 4 ms-2 ขณะเรมตนจบเวล t = 0 เข อยทตำ แหนง xo = 5 m. วดจ กจดเรมตนและมคว มเรวเรมตน v0 = 3 ms-1

ก) ตำ แหนงและคว มเรว ณ เวล t = 2 s ข) ตำ แหนงและเวล ขณะคว มเรวของมอเตอรไซดเปน 5 ms-

1

หลกการคำานวณก. จ กสมก ร x = =

= 19 m

จ กสมก ร v = v0 + at = 3 ms-1 + (4 ms-2)(2 s) = 11 ms-1

ฟสกสร ชมงคล

32

ข) จ กสมก ร v2 = (5 ms-1)2 = (3 ms-1)2 + 2(4 ms-2)(x - 5

m)x = 7 m

แทน v = 5 ms-1 ลงในสมก ร v = v0 + at

(5 ms-1)2= 3 ms-1+ (4 ms-2)(t)t =

ใชสมก ร (2-10) ห ตำ แหนงของนกบด

x == 7 m

สมก รสำ เรจร ป (2-7), (2-10) และ (2-11) ใชได ก บกรณทคว มเรงคงทเท นน อย งไรกต ม

ถ ระยะกระจด x เปนฟงกชนกบเวล คว มเรวห ไดจ ก v = เชนเดยวกน

คว มเรงกห ไดจ ก a = ในท งกลบกน ถ ทร บ v เปนฟงกชนกบเวล

เร กคำ นวณกลบไปห ระยะกระจด x ได โดยใชก รอนทเกรตกร ฟรป (2-8) พลอตระหว งคว มเรวกบเวล ในกรณทคว มเรง

ไมสมำ เสมอ พจ รณ ก รเคลอนทในชวงเวล t1 และ t2 โดยแบงเวล ออกเปนชวงเลก ๆ t ชวงเวล นคว มเรวจะเปลยนไปเพยงเลกนอย ส ม รถแทนคว มเรวในชวงเวล t เปนคว มเรวชวขณะได

รป 2-8 พนทใตกร ฟระหว งคว มเรวและเวล คอ ระยะกระจดของก รเคลอนท

ฟสกสร ชมงคล

33

v

t O

t1 t t + tt2

t2

ก รเปลยนแปลงของระยะกระจด คำ นวณไดจ ก x = v t ซงกคอพนทใตกร ฟทไดแรเง ไวเพยงแทงเดยว ดงรป 2-8 ดงนน ถ ตองก รจะห ระยะกระจดทงหมดในชวงเวล t1 ถง t2 กใหนำ ระยะกระจด ในชวงต ง ๆ ทแบงไวตงแต t1 จนถง t2 ม บวกกนทงหมด และถ ให t เลกม ก ๆ เข ใกลศนย จำ นวนชองก รแบงจะเปนอนนต ผลบวกของระยะกระจดจะเรยกอกอย งว ก รอนทกรลของ v จ ก t1 ไป t2 ให x1 เปนตำ แหนงของอนภ ค ณ เวล t1 และ x2 เปนตำ แหนงของอนภ ค ณ เวล t2

x2 - x1 = =

................... (2-12)เมอพจ รณ กร ฟคว มเรงกบเวล ก รวเคร ะหกมลกษณะแบบ

เดยวกน ให v1 คอคว มเรว ณ เวล t1 และ v2 คอคว มเรว ณ เวล t2 ก รเปลยนแปลงของคว มเรว v ในชวงเวล สนๆ t ประม ณเท กบ at ถ t เข ใกลศนย ส ม รถเขยนอยในรปอนทกรลของ a จ ก t1 ถง t2 ไดดงน

v2 - v1 = =

................... (2-13)

ตวอยาง 2-6 รถยนตแลนอยบนท งหลวง มคว มเรงเปนฟงกชนกบเวล ดงนa = 2.0 ms-2- (0.1 ms-3) t t = 0 , x0 = 0 รถยนตมคว มเรวตน v0 = 10 ms-1

จงห ก) คว มเรวและตำ แหนงในรปฟงกชนกบเวล ข) เวล ทรถยนตมคว มเรวสงสดค) คว มเรวสงสดหลกการคำานวณก) ให t1 คอเวล เรมตน = 0 และ t2 คอเวล ขณะใด ๆ แทนดวย t ให v1 คอคว มเรวเร มตน = 10 ms-1 และ v2 คอคว มเรวขณะใด ๆ แทนดวย v จ กสมก ร (2-13)

ฟสกสร ชมงคล

34

v - 10 m.s-1 =

= (2.0 ms-2) t - (0.1 ms-3)t2

จ กสมก ร (2-12) ให x1 คอตำ แหนงเร มตน = 0 และ x2 คอตำ แหนงขณะใด ๆ แทนดวย x

x - 0 =

= (10 ms-1) t + (2.0 ms-2)t2 - (0.1 ms-3)t3

ข) เวล ทรถยนตมคว มเรวสงสดจะเกดขนกตอเมอ

ตรงตำ แหนงนรถยนตมคว มเรวสงสด และกำ ลงเรมจะลดลง เร จะได0 = (2.0 ms-2) - (0.1 ms-3)tt = = 20s

ค) แทน t = 20 s ลงในสมก รขอ a จะไดคว มเรวสงสด

v = (2.0 ms-2)(20 s) - (0.1 ms-3)(20 s)2 + 10 ms-1

= 30 ms-1

รป 2-9 พนทใตกร ฟคว มเรวกบเวล จะเท กบระยะกระจดทงหมดของก รเคลอนท

ฟสกสร ชมงคล

35

v

t

v0

atv0

t

2-3 วตถตกอยางอสระ_____________________________________________

จ กทกล วม แลวว ก รตกอย งอสระของวตถภ ยใตแรงโนมถวงของโลกซงเปนก รเคลอนทในแนวดงเปนกรณหนงของก รเคลอนทดวยคว มเรงคงท โดยคว มเรงของวตถกคอคว มเรงเนองจ กแรงโนมถวงของโลกซงเปนค คงทมค ประม ณ 9.8 เมตรตอวน ท2 แทนดวยสญลกษณ g ก รเคลอนทดวยแรงโนมถวงของโลกเปนก รเคลอนทในแนวแกน y คว มเรงคอ a = -g

ดงนนเร จะไดสมก รก รตกอย งอสระดงน

v = v0 – gt ............. (2-14)

x = x0 + v0t - ................... (2-15) v2 = ................... (2-16)

ฟสกสร ชมงคล

36

การทดลอง

ในหองทดลองน  เปนก รทดลองก รตกอย งอสระของวตถภ ยใตคว มเรงโนมถวงของโลก  ในกรณทเปนก รทดลองก รตกอย งอสระไมมแรงเสยดท นของอ ก ศ  ใหปรบคว มหน แนนของอ ก ศลง

ตวอยาง 2-7

= v0t - รป 2-10

= (v0 - )t = 0 สมก รนเปนจรงเมอ

(i) t = 0 (ii) v0 - = 0คำ ตอบแรกแสดงถงเงอนไขเรมตนนนคอ x = 0 ท t = 0 ดงนนคำ ตอบทเปนไปไดน จะเปนสมก รท 2แก v0 - = 0 เพอห คว มเรวตน จะได

v0 = = = 23.3 m/s

ตวอยาง 2-8 สมมตว คณเหวยงลกบอลขนไปในแนวดง จ กขอบตกบนด ดฟ ของตกใบหยกเท เวอร ขณะทลกบอลหลดออกจ กมอมคว มเรวเรมตน 15 ms-1 จงห

ก) ตำ แหนงและคว มเรวของลกบอล ณ เวล 1 s และ 4 s หลงจ กเหวยงออก

ข) คว มเรวขณะทลกบอลอยเหนอด ดฟ 5 เมตรค) เวล และตำ แหนงขณะทลกบอลอยทจดสงสด

หลกการคำานวณ

ฟสกสร ชมงคล

37

ช ยคนหนงยนสงเกตก รเคลอนทของล ว อนเนองจ กก รระเบดของภเข ไฟลกหนง โดยเข จบเวล ตงแตมนกระเดนออกจ กระดบพน(ระดบอ งอง)ของปลองภเข ไฟขนไป จนกระทงมนหยดแลวตกกลบม ทพนดงรปใชเวล ทงสน 4.75 วน ท และคว มเรงขณะตกลงม คอ 9.8 เมตร/วน ท2 ถ มว คว มเรวเรมตนของก รเคลอนทนเปน

ใหต ำ แหนงเร มตนอยท มอของผเหว ยง แกน y แสดงทศท งเคลอนทในแนวดง จ กจดเรมตนขนไปใชเครองหม ยบวก ตำ แหนงเรมตน y0

= 0, คว มเรวเร มตน v0 = +15 ms-1 คว มเรงโนมถวงของโลก a = -g = -9.8 ms-2

รป 2-11 (a) กร ฟระยะกระจด y กบเวล t (b) กร ฟคว มเรว v กบเวล t

คว มเรว ณ เวล ใด ๆ ห ไดจ กv = v0 + gt

= 15 ms-1 + (-9.8 ms-2)t................... (2-17)ตำ แหนง ณ เวล ใด ๆ ห ไดจ ก

y ==

................... (2-18)คว มเรวทตำ แหนงใด ๆ คอ

v2 = = (15 ms-1)2 + 2(-9.8 ms-2)y

................... (2-19)

ก) แทน t = 1 s ลงในสมก ร (2-17) และ (2-18) จะไดy = + 10.1 m

v = +5.2 ms-1

ฟสกสร ชมงคล

38

(a) (b

)

ลกบอลอยเหนอจ กด ดฟ 10.1 m คว มเรว (เปนบวก) = 5.2 ms-1 แสดงว ลกบอลพงขน (สงเกตว มค นอยกว คว มเรวตน) แทน t = 4 s ลงในสมก ร (2-17) และ (2-18) จะได

y = -18.4 m v = -24.2 ms-1

ลกบอลอยต ำ กว ด ดฟ 18.4 m ( y เปนลบ ) คว มเรว (เปนลบ) = 24.2 ms-1 แสดงว ลกบอลกำ ลงดงลง

ข) คว มเรวขณะทลกบอลอยเหนอด ดฟ 5 เมตรy = + 5 m

จ กสมก ร (2-19)v2 = 127 m2s-2 , v = 11.3 ms-1

เครองหม ย + และ - แสดงว ลกบอลผ นตำ แหนงน 2 ครง ครงแรกกำ ลงพงขน และครงทสองดงลง คว มเรวพงขน = +11.3 ms-1 และคว มเรวดงลง = -11.3 ms-1

ค) ทจดสงสด v = 0 จ กสมก ร (2-19)o = (15 ms-1)2 - (19.6 ms-2)y

ดงนน y = 11.5 m จ กสมก ร (2-17) ให v = 0

o = 15 ms-1 + (-9.8 ms-2)tt = 1.53 s

หรอจะแทนค t ลงในสมก ร (2-18) กส ม รถห จดสงสดไดเชนเดยวกน

y = (15 ms-1)(1.53 s) + (-9.8 ms-2)(1.53 s)2

= 11.5 mทจดสงสดคว มเรวเปนศนย แตคว มเรงทจดนคงทท -9.8 ms-2

ดงนนคว มเรวยงคงเปลยนแปลงอย งตอเนอง สงเกตกร ฟรป 2-11 (b)

ฟสกสร ชมงคล

39

2-4 ค ว า ม เ ร วสมพทธ________________________________________

คว มเรวของวตถมลกษณะคล ยกบตำ แหนงของวตถ ก รเขยนบอกคว มเรวและตำ แหนงในระบบพกดฉ ก จะตองกำ หนดจดหรอแกนอ งองขน ดงนน คว มเรวและตำ แหนงของวตถทกประเภทจะตองสมพทธกบจดหรอตำ แหนงหนงตำ แหนงใดเสมอ ดงเชนเมอเร พดถงคว มเรวรถ มคว มหม ยว คว มเรวของรถสมพทธกบโลกและถ เร พดถงก รหมนของโลกใหไปเปรยบเทยบหรอสมพทธกบดวงอ ทตย และถ เร พดถงก รหมนของดวงอ ทตย ใหไปเปรยบเทยบหรอสมพทธกบสรยจกรว ล

รป 2-12 เวกเตอร vFE คอ คว มเรวของรถร ง F สมพทธกบโลก E และ vAF คอ คว มเรวของรถ A สมพทธกบรถร ง F

สมมตใหรถร งเคลอนทไปท งขว ต มรป 2-12 รถร งคนนใหญม ก รถยนตส ม รถแลนอยข งบนไดอย งสบ ย vFE คอคว มเรวของรถร ง F สมพทธกบโลก E และ vAF คอคว มเรวของรถยนต A สมพทธกบรถร ง F ส ม รถห คว มเรวของรถยนต A สมพทธกบโลก E ไดจ กผลบวกของ vAF และ vFE ดงน

vAE = vAF + vFE................... (2-20)

กำ หนดใหคว มเรวของรถร งสมพทธก บโลก (vFE) = 30 Kmh-1 และคว มเรวของรถยนตสมพทธกบรถร ง (vAF) = 40 Kmh-1 คว มเรวของรถยนตสมพทธกบโลก vAE = 40 + 30 = 70 kmhr-1

ฟสกสร ชมงคล

40

เครองหม ยบวกและลบของคว มเรวมไวสำ หรบบอกทศท ง ถ เปนเครองหม ยบวกไปท งขว และลบไปท งซ ย กำ หนดใหมใหคว มเรวของรถยนตสมพทธกบรถร ง vAF = -40 Kmhr-1 คว มเรวของรถสมพทธกบโลกจะได -40 + 30 = -10 Kmhr-1

ในกรณทแกนสมพทธมหล ยแกน ลำ ดบของก รบวกจะชวยใหเร ทร บก รเคลอนทของวตถสมพทธกบแกนใด ๆ ได ตวอย งเชน vAB คอคว มเรวของ A สมพทธกบ B ถ ตองก รจะห vAE คอคว มเรวของ A สมพทธกบ E แตระหว ง A ถง E มแกนสมพทธหล ยแกน จดลำ ดบก รบ ว ก โ ด ย ใ ห อกษรหอยตวหน ของเทอมแรกคอ A ไปสนสดทอกษรหอยตวสดท ยของเทอมหลงคอ E ดงน

vAE = vAB + vBC + vCD + vDE

ตวอยาง 2-9 นกซงผหนงขบรถดวยคว มเรว 65 Kmhr-1 บนถนนทจำ กดคว มเรวไวท 40 Kmhr-1 จร จรเรยกใหหยด แตนกซงไมยอมหยด จร จรจงขมอเตอรไซดไลต มดวยคว มเรว 80 Kmhr-1 นกซงเหนจร จรเคลอนทดวยคว มเรวเท ไร

หลกการคำานวณ ใหอกษร C แทนรถ

M แทนมอเตอรไซด และ E แทนโลก ดงนน vCE = 65 Kmhr-1 และ

vME = 80 Kmhr-1

จ กสมก ร vME = vMC + vCE

80 Kmhr-1 = vMC + 65 Kmhr-1

vMC = 15 Kmhr-1

จร จรเรวกว นกซง 15 Kmhr-1

ฟสกสร ชมงคล

41

บรรยายลงในกระดานฟสกส

สะพ นในข มแมนำ ท รน (Tran River)  ท งตอนใตของประเทศฝรงเศส  เชอมตดตอกบมอเตอรเวย ระหว งเมองแคลรมองต- เฟอรรองด  และเมองเบเซเยร  ดวยค กอสร งมห ศ ล  จดสงสดของสะพ นนสงกว หอไอเฟล 62  ฟต  คว มย วทงสน  1.5  ไมล  ฟสกสร ชมงคลคำ นวณอย งคร วๆว ห กทงขวดไวน  ลงม จ กสะพ น  จะตองใชเวล   7.4  วน ท กอนทมนจะตกถงพน  ใหนกศกษ ทดลองห วธก รคำ นวณ

ฟสกสร ชมงคล

42

วดโอเพอการศกษา บนทะเลทร ยทมแตเกลอ  น ย รช รด  ตองก รเปนคนแรกของโลกทเรวสดบนรถสองลอ   เครองจกรทเข ใชคอ  รถ

ทดสอบกอนและหลง

วธทำ ให ใสชอ  สกล  เลอกวช ทสอบ และจำ นวนขอ แตตองไมเกนจ กทกำ หนดไว เชน กำ หนดไว 10  ขอ เวล เลอกจำ นวนขอ  ใหเลอก  5  และ  10 ขอไมเกนจ กน เปนตนเมอทำ เสรจส ม รถดคะแนนจ กร ยละเอยดผทำ ขอสอบไดทนท

เรองก รเคลอนทแบบหนงมต

แบบฝกหดทายบทพรอม

แบบฝกหดทายบทพรอมเฉลยคลกคะ

1. น ย ก ขบรถจ กห ดใหญไปสงขล ดวยอตร เรว 60 กโลเมตร/ชวโมง แลวทำ ธระทสงขล อย 1 ชวโมง จ กนนขบรถกลบห ดใหญ ดวยอตร เรว 80 กโลเมตร/ชวโมง ถ ถนนจ กห ดใหญถงสงขล เปนเสนตรงย ว 30

ฟสกสร ชมงคล

43

วดโอเพอการศกษา

ภ พอรย บทในชวงต งๆของน ยพน สแตปขณะทขบขอยบนเลอนจรวดดวยคว มเรวสง ภ พแรก เปนจดเรมตนเบรก

แบบฝกหดเรองการเคลอนท

กโลเมตร น ย ก ขบรถดวยอตร เรวเฉลยกกโลเมตร/ชวโมง [ ตอบ 68.6 km/hr ]

2. เมอลงตวหนงขนตนมะพร ว ปร กฏว ทก ๆ 2 น ท มนขนไปได 5 เมตรและลนกลบลงม อก 1 เมตรเสมอ จงห อตร เรวเฉลยและคว มเรวเฉลยเมอสนสดน ทท 2 ในหนวยเมตร/วน ท [ ตอบ 1/20 , 1/30 m/s]

3. จดคอรกกระเดนหลดจ กป กขวดในแนวดงกระทบหลอดไฟซงอยสงขนไป 4 เมตรจ กป กขวดในเวล 0.4 วน ท จงห อตร เรวของจกคอรกขณะกระทบหลอดไฟในหนวยเมตร/วน ท [ ตอบ 8 m/s]

4. รถจกรย นยนตคนหนงวงดวยคว มเรว 50 กโลเมตร/วน ท แลวลดคว มเรวลงเหลอ 35 กโลเมตร/วน ท ในชวงวง 250 เมตรก) จงห ขน ดและทศท งของคว มเรง [ ตอบ 2550 km/hr2 มทศตรงข มกบทศของคว มเรว ]ข) จงห เวล ทเสยไปในชวงวง 250 เมตร [ ตอบ 5.8 × 10-3 s]

5. ก รเคลอนทของอนภ คเปนเสนตรง แสดงไดดวยสมก ร S = 2t2 – 20t + 60 จงห ตำ แหนงและคว มเรงของอนภ คทคว มเรวเท กบศนย [ ตอบ 10 m, 4 m/s2 ]

6. นกแสดงหนมน ยหนงขบรถดวยคว มเรว 100 กโลเมตรตอชวโมง เพอรบไปกองถ ย ในขณะทเข ขบรถอยนนเข มองเหนสงกดขว งอยข งหน ในระยะ 150 เมตร ถ มว เข จะตองเหยยบเบรคใหไดคว มเรงเท ไรจงจะหยดรถหน สงกดขว งพอด [ตอบ -2.572 m/s2 ]

รป 2-13

7. ในหลอดค โธดมลำ อเลกตรอนพงออกในแนวร บดวยคว มเรวตน 1 x 106 เมตร/วน ท เข ไประหว งแผนโลหะขน นคหนงย ว 2 x 10-2 เมตร มสน มไฟฟ ระหว งแผนขน น น ทำ ใหอเลกตรอนเกดคว มเรงในทศท งลงในแนวดงมค 1 x 1014 เมตร/วน ท2 จงห ก ) ก รขจดในแนวดงของลำ อเลกตรอนเมอผ นพนแผนขน น [ตอบ 2 x 10-2 m ]

ฟสกสร ชมงคล

44

100 km/hr

150 m

ข ) คว มเรวของลำ อเลกตรอนเมอพนแผนขน น [ตอบ vx = 1 x 106 m / s, vy = - 0.2 x 106 m / s

8. อนภ คหนงวงต มแกน x ตำ แหนงของมนขนอยกบเวล ต มสมก ร x = at2 - bt3 เมอ x เปนเมตร และ t เปนวน ท หนวยของตวคงท a และ b ควรจะเปนอะไร ถ a = 3.0 , b = 1.0 จงทำ ขอตอไปนก ) น นเท ใดจงจะไดค x เปนบวกสงสด [ตอบ 2 s ]ข ) ภ ยใน 4 วน ท อนภ คนจะเคลอนทไดระยะท งทงหมดเท ใด [ตอบ 24 m ]

9. อเลกตรอนมคว มเรวตน vx0 = 1 x 104 เมตร/วน ท เข สสน มไฟฟ ซงทำ ใหเกด คว มเรงคงทในแกน x น น 10 วน ท เมอหลดจ กสน มคว มเรวมค v = 4 x 106 เมตร/วน ท จงห คว มเรงนน [ตอบ 3.99 x 105 m / s ]

10.เครองบนไอพน มคว มเรวเท กบ 360 กโลเมตร/ ชวโมง บนท งวงเพอจะบนขนได สมมตใหคว มเรงของเครองบนคงท และท งวงย ว 1.8 กโลเมตร จะตองใชคว มเรงเท ใดจ กเครองอยนง [ตอบ 36, 000 km/hr2]

11. อนภ คแอลฟ (นวเคลยสของธ ตฮเลยม) เคลอนทไปต มทอนำ สงอนภ คตรงย ว 2.0 เมตรในเครอง เรงอนภ ค

ก) ถ อนภ คเข ทอนำ สงดวยอตร เรว 1.0 x 104 เมตร/วน ท และหลดออกจ กทอดวยอตร เรว

5.0 x 106 เมตร/วน ท ถ สมมตใหเปนก รเคลอนทดวยคว มเรงคงตว จงคำ นวณห คว มเรงของ

อนภ ค [ตอบ 6.3 x 1012 m / s2 ] ข ) อนภ คใชเวล น นเท ใดในทอนำ สง [ตอบ 0.80 x 10-6 s ]

12. นกกระโดดนำ กระโดดจ กกระด นกระโดดสง 3 เมตร ลงสพนนำ เบองล ง

ก. น นเท ไรเข จงจะตกถงพนนำ [ตอบ 0.782 s ] ข. คว มเรวของเข เปนเท ใดเมอถงพนนำ [ตอบ 7.67 m ]

ฟสกสร ชมงคล

45

รป 2-14

13. นกดงพสธ ผหนงกระโดดจ กบอลลน หลงจ กกระโดดออกม แลวเปนเวล 5 วน ท จงกระตกรม ถ อตร เรวของเข ลดลงจนมค เปน 5 เมตร/วน ท ซงเปนอตร เรวคงทภ ยในเวล 3 วน ท หลงจ กกระตกรม อย กทร บว คว มหนวงสงสดของนกดงพสธ ผนมขน ดกเมตร/(วน ท)2 สมมตว ขน ดของอตร หนวงของเข แปรค อย งสมำ เสมอจ กค สงสดเมอรมก งใหมๆ จนเปนศนย เมออตร เรวของเข คงท กำ หนดใหอตร เรงเนองจ กแรงโนมถวงของโลกเท กบ 10 เมตร/วน ท2 [ ตอบ 30 m/s2 ]

14. โยนกอนหนจ กยอดตกสง 20 เมตร ซงขนไปในแนวดงดวยคว มเรว 40 เมตร/วน ท ถ ตองก รปลอยกอนหนอกกอนหนงจ กยอดตกเดยวกนใหตกถงพนดนพรอมกบกอนแรก ตองปลอยทหลงกอนแรกกวน ท [ตอบ 1.48 s ]

15. ลกบอล A ถกปลอยใหตกลงม จ กขอบหน ผ เมอเวล ผ นไป 1 วน ทลกบอล B ถกขว งลงม ดวยคว มเรวตน 20 เมตร/วน ท ถ มว ลกบอล B จะต มทนลกบอล A ทระยะคว มลกเท ใด [ตอบ 10.7 m ]

16. นกศกษ คนหนงยนอยบนอ ค รหลงหนงซงสง 50 เมตร ถ นกศกษ คนเดยวกนนขว งกอนหนขนดวยคว มเรว 20 เมตรตอวน ทดงรปจงห

ก) เวล ทใชเมอกอนหนขนไปยงตำ แหนงสงสด[ตอบ 2.04 s ] ข) กอนหนจะเคลอนทขนสงจ กยอดตกเท ไร[ตอบ 20.4 m ] ค) เวล ทกอนหนใชในก รเคลอนทจ กตำ แหนงสงสด ม ยงตำ แหนงทนกศกษ ยนอย [ตอบ 4.08 s ]

ง) เมอเวล ผ นไป 5 วน ทกอนหนมคว มเรวเท ไร

ฟสกสร ชมงคล

46

และอยทตำ แหนงใด [ตอบ 29 เมตรตอวน ท, 22.5 m]

รป 2-15

17. เครองบนทงระเบดลำ หนงบนขน นกบพนร บและอยสงจ กพนร บนเปนระยะ 144 เมตร นกบนคอย ๆ ปลอยลกระเบดทละลกในระยะเวล ทห งเท ๆ กน ถ ห กในขณะทระเบดลกแรกตกถงพนร บ ปร กฏว ลกระเบดลกทสองตกลงบนหลงค ตกและลกระเบดลกท 7 กำ ลงถกปลอยจ กเครองบนพอดจงห ว หลงค ตกอยสงจ กพนร บกเมตร [ตอบ 44 m ]

18. บอลลนกำ ลงลอยขนดวยคว มเรว 30 เมตร/วน ท ทระดบ 80 เมตรเหนอพนดน คนบนบอลลน

ปลอยกอนหนกอนหนงจ กบอลลน น นเท ใดกอนหนจงจะกระทบพน กำ หนดให g = 10 เมตร/วน ท2 [ตอบ 8 s ]

19. ขว งวตถ A และ B พรอมๆ กนจ กหอคอยดวยอตร เรว v0 เท ๆ กนโดยวตถ A เคลอนทขนในแนวดงและวตถ B เคลอนทลงในแนวดง เมอวตถ A ยอนกลบม ถงตำ แหนงเรมขว ง วตถ B จะมอตร เรวสมพทธกบวตถ B เท ใด [ตอบ 2v0 ]

ฟสกสร ชมงคล

47