第 2 章運動與力

2-1 生活中常見的運動2-2 力與運動的關係2-3 生活中的力

第 2 章運動與力

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• 物理慣性之美• 牛頓第二運動定律• 牛頓第三運動定律• 作用力與反作用力

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2-1 生活中常見的運動

位置（ p o s i t i o n ，代號 x ）就是物體所在的座標。一般我們記錄物體的座標可以用三種方式來表達，即直線座標、平面座標、三維座標。譬如在教室中「班長前面一公尺處是講桌」。這段敘述中，班長是參考點（或稱為原點），而一公尺就是講桌的座標。


另外，又譬如使用地圖時，常看見地圖上畫著直、橫相間的經緯線，就是屬於平面座標。不過，為了讓問題簡單化、容易思考，本節所討論的直線運動，都是屬於直線座標上的問題。


若是物體的位置改變了，我們就說該物體有了位移。位移（ displacement ，代號△ x 。△ 是“ 差＂的意思）是運動物體的終點座標減去起點座標，所得到的差值。位移為具有方向的物理量，在一維空間可以以正、負符號表示。若是終點座標大於起點座標，兩者相減後可得到正的位移，這表示物體是往正方向移動的。若是終點座標小於起點座標，兩者相減後可得到負的位移，這表示物體是往負方向移動的。


也就是說，物體位移的正、負號，代表著物體移動的方向。另外，機車儀表板上的里程記錄器，是在記錄運動物體經過的每一段路線的長度，這個長度稱為路程（ p a t h ）。路程與位移的意義是不相同的。路程永遠是正號，只要車子一發動，其所行經的路程就一路增加下去。位移則是起點與終點間的距離，其方向為由起點指向終點。


舉例來說，圖 2 - 1 中，甲、乙、丙三球分別右移 6m 、左移 6m 、右去左回 6m ，則三球的位移將分別為 6m 、－ 6m 、 0m 。


速度（ velocity ，代號 v ）是物體每秒的位移。即

註： △ t 極小時， v 稱為瞬時速度。一般情況叫平均速度。


若位移的單位是 m ，時間的單位是 sec （簡寫 s ），則速度的單位就是 m/ s 。速度為具有方向的物理量，在一維空間可以以正、負符號表示。物理上，將速度的大小，稱為速率（ speed ）。速率是速度的量值、永遠為正號。速率和速度，在日常生活中經常被混用，但是兩者的意義是不相同的。


譬如圖 2 - 2 中，在 3 秒的時間內，甲、乙、丙三球分別右移 6m 、左移 6m 、右去左回 6m ，則三球的平均速度將分別為 2m/ s 、－ 2m/ s 、 0m/ s 。



為了讓速度的概念更具體化，科學家以速度為縱座標、時間為橫座標，將圖 2 - 2 中的三種運動狀態畫成如圖 2 - 3 的 v -t 圖來觀察，此 v -t 圖中，代表物體運動之直線（藍色）與橫座標間的淡綠色區塊面積＝ v × t △ ，就恰好是此球前進的位移△ x 。如此一來，向前走的甲球之位移（＝面積）為正號，向後走的乙球之位移（＝面積）為負號，而右去左回的丙球之位移（＝總面積）則為 0 。


你可能會覺得奇怪！為什麼要創造出負的速度、負的位移呢？其實這一切都與物體所受的力量有關係。將運動方向標出正負號，可以讓我們更方便地研究力對運動的影響。



當車子的速度因外力作用而改變時，就是在加速度運動。假設甲車在 3 秒內增加了 6m/ s 的速度，平常人會說，甲車平均 1 秒改變 2m/ s 的速度。假設乙車在3 秒內減慢了 6m/ s 的速度，科學家會說，乙車平均1 秒改變－ 2 m / s 的速度，這就是加速度的概念。


加速度（ acceleration ，代號 a ）是物體每秒的速度變化。即

註： △ t 極小時， a 稱為瞬時加速度，一般情況叫平均加速度。


其中，速度變化＝末速度－初速度。若速度單位是m/ s ，時間單位是 sec ，則加速度的單位就是 m/ s 2 。用圖形來說明，圖 2 - 4 左， 1 秒內的速度差為a ，於是經過△ t 秒後的速度差為 a t△ ，如圖 2 - 4 右。


如圖 2 - 5 左，物體 1 秒內變化 2m/ s 的速度，於是 3 秒內變化 6m/ s 的速度，如圖 2 - 5 右。


如圖 2 - 6 左，物體 1 秒內變化－ 2 m / s 的速度，於是 3 秒內會變化－ 6m/ s 的速度，如圖 2 - 6 右。




如圖 2 - 7 所示，物體運動過程中，相同的△ t 時，速度變化量始終相同者，稱為等加速度運動（ uniform acceleration ）。自由落體（ free falling body ，僅受重力作用，由高處落下的物體）就是一種等加速度運動，其加速度值為 9 . 8 公尺／秒 2 。等加速度運動的物體具有下列共同特徵：其速度穩定地改變，其 v - t 圖為斜直線（直線運動時），其加速度值始終相同，並且該物體所承受的外力和為固定值。


反之，如圖 2 - 8 所示，物體運動過程中，加速度沒有維持一定值的運動，就不是等加速度運動。


如圖 2 - 9 所示，此圖將加速度運動中的六個物理量對應到 v - t 圖中，可將加速度的概念變得較為具體。


如表 2 - 1 所示，此表為綜合整理本節所提到的，加速度運動中之重要物理量的對照表。


圖 2 - 1 0 為等速度運動的各種物理量與時間之關係圖。


圖 2 - 1 1 為等加速度運動的各種物理量與時間之關係圖。











2-2 力與運動的關係

在許多種情況下我們都可以感受到力的作用。例如鐵匠打鐵、用手捏塑紙黏土、用力拉緊彈簧或橡皮筋、用腳踢球、用手拉車前進、帶靜電的物體會相吸或排斥、磁鐵吸引著鐵釘、蘋果受地球引力而落下。


上述情況中，有些力量必須要施力者接觸物體，才能產生力的作用，如拉力、推力、彈力，這種力量稱為接觸力（ contact force ）。另外有些力，即使不接觸物體也能產生力的作用，如重力、磁力、靜電力，這種力量稱為超距力（ force at a distance ）。物體受到地心引力的大小，稱為該物體的重量，常見重量的單位有公克重（ gw ）、公斤重（ kgw ），這兩者也是力的常用單位。


力量可以改變物體的形狀。例如用力可以拉緊橡皮筋或彈簧、用力可以使塑膠尺彎曲，鐵匠打鐵可以製造出各種工具，這些都是因為力量的作用而改變了物體的形狀。其中，彈簧在未崩潰的情況下，其所受到的外力愈大、伸長量就會愈大。

如圖 2 - 1 6 所示，紅色線的長度與懸吊砝碼的重量是成正比的。如此一來，我們只要測量未知物懸吊在此彈簧的伸長量，即可利用比例關係找出它的重量。彈簧秤就是利用這個原理製成的。




由圖 2-17 知，具體的「長度」可代替抽象的「力量」來思考。如果要完整地描述一個力量，必須同時描述力量的方向和大小。所以科學家常用線段加上箭頭「→ 」來代表力量。其中線段長度代表力的大小，箭頭方向代表力的方向。如圖 2-17 所示，黑點「‧ 」代表受力物體。箭頭向右、長度一格的線段，可以代表 1 kgw 的力量。而箭頭向左、長度三格的線段，則可代表－ 3 kgw 的力量。


力除了造成物體變形以外，也可以改變物體的運動狀態，例如球被踢飛、車子受力前進、磁鐵吸引著鐵釘、蘋果受地球引力而落下，這些都是因為力的作用而改變了物體的運動狀態。


如圖 2-18 所示，當車子起動時，踩下油門，車子就會加速度前進。物體所受的力愈大，就會產生愈大的加速度，因此我們也可以經由觀察物體的加速度來得知物體所受力的大小，也就是說，運動物體的加速度值也可以作為力的測量工具。


如果物體沒有受到力量作用，或者所受到的合力等於零時，物體將會保持原來的狀態不變。例如靜置於桌上的書本，沒有受到推力時，它是不會動的。在光滑平面上滑動的冰塊，沒有受到外力阻擋時，它是不會停下來的。牛頓（ Isaac Newton , 1642 ～ 1729 ）利用力的觀點來描述這種現象，稱為牛頓第一運動定律（ Newton's first law of motion ），也叫慣性定律，其內容如下：物體若不受外力作用，或雖受外力作用但是合力為零時，靜止者將永遠靜止，運動者將永遠在一直線上等速度運動。


如圖 2 - 19 ，由靜止突然啟動的公車內，人會往後倒。這是因為啟動瞬間，馬達拖曳的力量未作用到人身上，車前進但人未前進，所以人會往後倒（靜者恆靜）。


如圖 2 - 20 ，一枚硬幣快速撞擊一疊硬幣後，只有最下層的硬幣會彈出。這是因為最下層硬幣受力移動，上層硬幣沒受到力量，所以會留在原處（靜者恆靜）。果子成熟時，搖動果樹果子會落下，這是因為樹枝受力移動，果子沒受到力量，所以會留在原處而與樹枝分離（靜者恆靜）。曬棉被時，用力拍打懸掛的被單，可以除去灰塵。這是因為被單受力移動，灰塵沒受到力量，所以會留在原處而與被單分離（靜者恆靜）。


如圖 2 - 21 ，等速度前進的公車內，垂直上拋的物體會再落回手上。這是因為物體在手上時與公車速度相同，上拋時物體沒有受到任何阻力，所以水平方向仍保持原速度，最後落回手上（動者恆等速度）。


如圖 2 - 22 ，緊急剎車的公車內，人會往前倒。這是因為剎車瞬間，阻擋公車的力量未作用到人身上，車停止但人未停止，所以人會往前倒（動者恆等速度）。


如圖 2 - 23 ，向右急轉彎的公車內，人會往左倒。這是因為車子右轉瞬間，向右轉的力量未作用到人身上，人會維持原來的方向繼續前進（動者恆等速度）。


如圖 2 - 24 ，若改換成 v -t 圖來說明牛頓第一運動定律，即，所承受合力為零的物體，其 v -t 圖必呈水平線。也就是說，靜止的物體，其所受的合力必等於零。而且等速度前進的公車，其所受的合力也必等於零。由此觀點推論，當公車等速度前進時，其馬達前進之推力必定等於地面阻擋的力量，互相抵消。


進一步推想，如圖 2 - 25 ，當物體的加速度為正號時，則代表物體受到了正方向的推力。當物體的加速度為負號時，則代表物體受到了負方向的推力。


牛頓利用力的觀點來描述這種加速度的現象，稱為牛頓第二運動定律（ Newton's second law of motion ），也叫運動定律，其內容如下：當物體所受合力≠ 0 時，必定會沿力的方向產生加速度運動。這個加速度在一定質量下，和外力成正比；在一定外力下，則和質量成反比。即


若質量的單位是 kg ，加速度的單位是 m/ s 2 ，則外力的單位就是牛頓（ N ）。

也就是說，使質量 1 公斤的物體產生 1m/ s 2 的加速度，所需的力稱為 1 牛頓。另外，質量 1 kg 的物體，在地表的重量約為 1 kgw ，若是以重力加速度 9.8m/ s 2 代入公式2-3 ，則可推算此物的重量＝ 1 kg × 9.8m/ s 2 ＝ 9.8 牛頓，所以 1 公斤重＝ 9.8 牛頓。












如圖 2-32 所示，走路前進時，你是前腳比較用力還是後腳比較用力呢？答案是後腳比較用力。我們是藉著向後踢地面，而獲得前進的力量。同樣的道理，游泳時用力往後撥水，就可以使我們獲得前進的力量。


牛頓以反作用力的觀點來描述這些現象，稱為牛頓第三運動定律（ Newton's third law of motion ），也叫作用力與反作用力定律，其內容如下：凡對物體施力 F ，必會同時承受物體所生成之反作用力－ F 。此二力大小相等、方向相反、作用在同一直線上、同時發生、同時消失。並且此二力分別作用在不同物體上，不能求合力、不能互相抵消。


如圖 2 - 33 所示，比賽跑步時，腳向地面施力（腳推地），地面則給予腳反作用力（地推腳），於是提供了我們前進所需的力量。


如圖 2 - 34 所示，火箭升空時，噴出大量的氣體（箭推氣），這些被推出的氣體同時給予火箭反作用力（氣推箭），於是提供了火箭升空所需的力量。


如圖 2 - 35 所示，游泳的時侯，手臂用力向後撥水（臂推水），被推到的水則給予手臂反作用力（水推臂），於是提供了我們前進的力量。


如圖 2 - 36 所示，發射大砲時，火藥爆炸將子彈推向天空（砲推彈），被推出的子彈則給予大砲反作用力（彈推砲），於是造成大砲向後退的現象。


如圖 2 - 37 所示，放開充滿空氣的汽球時，汽球收縮的力量將其內部空氣向外噴出（球推氣），這些被推出的空氣同時給予汽球反作用力（氣推球），於是提供了汽球前進所需的力量。


如圖 2 - 38 所示，轉動竹蜻蜓升空時，竹片切割空氣將空氣向下推出（葉推氣），這些被推動的空氣同時給予竹片反作用力（氣推葉），於是提供了竹蜻蜓升空所需的力量。



接下來，我們試著比較說明牛頓第三定律與兩力平衡有何不同。如圖 2 - 39 左方所示， F 1 （地球吸引書本的力量）與 F 2 （桌子撐住書本的力量）兩個力量均作用於書本上，所以可求得合力＝ 0 。而 F 2 （桌子撐住書本的力量）與 F 2' （書本壓向桌子的力量）不是作用在同一個物體上、為作用力與反作用力，所以不可以求合力。另外 F 1 （地球吸引書本的力量）與 F 1' （書本吸引地球的力量）不是作用在同一個物體上、為作用力與反作用力，所以不可以求合力。




2-3 生活中的力

如圖 2 - 42 所示，任何兩個星球間都會有相互吸引力存在，稱為萬有引力（ gravity ）。這個現象是牛頓發現的，傳說當他在觀察月亮時，恰好一粒蘋果從樹上掉下來，這時靈感由他腦海中浮現︰作用在蘋果上使蘋果落下的力，和作用在月亮上使月亮做圓周運動的力可能是同一個來源，也就是萬有引力。

2-3 生活中的力

牛頓於是大膽地假設：「任何二物體間，均存在著相互吸引的力，稱為萬有引力。並且當兩物體質量愈大時，其萬有引力愈大。當兩物體距離愈遠時，其萬有引力愈小」。雖然牛頓發現了萬有引力，並總結出引力的規律。但是當時還不能在實驗室裡直接驗證萬有引力的存在，直到 100 多年後才由卡文迪許（ Henry Caverdish , 1731 ～ 1810 ）設計出測量萬有引力的方法。

2-3 生活中的力

如圖 2 - 43 所示，地球與物體間的萬有引力，稱為該物體的重量。由於萬有引力是產生重量的原因，所以萬有引力又稱為重力。

2-3 生活中的力

但是兩物體間相互吸引的萬有引力，取決於它們的質量和彼此間的距離。所以若是物體的質量不夠大，或者距離不夠近時，根本感覺不出萬有引力的存在。至於我們的重量，則是因為地球質量夠大才會使我們感覺到重力的存在。

2-3 生活中的力

如圖 2 - 44 所示，朝水平方向拉動木塊，如果拉力不夠大時，木塊是不會移動的。從兩力平衡（合力＝ 0 ）的觀點來看，此時木塊必定受到一個阻擋的力，而且此力恰與拉力的大小相等、方向相反。這個阻擋的力來自於木塊與地面之間的摩擦力（ friction ）。摩擦力存在於不同物體的接觸面之間，它是阻擋物體運動的力。任何質地的物質表面，甚至玻璃表面，都會有摩擦力的存在。

2-3 生活中的力

摩擦力使我們移動物體時特別吃力，也使我們無法推動大石頭，也會使滑動中的物體減慢下來。所以古代人想到用樹幹當作滾輪，將大石塊放在鋸下來的樹幹上可以減少許多摩擦力，比較容易拉動大石塊，這就是現代車輪的前身。

2-3 生活中的力

摩擦力雖然使我們消耗許多力量，但是其實它也有好處。在光滑的地板上走路或者穿溜冰鞋時，因為沒有摩擦力的幫助，我們會變得寸步難行。所以在鞋底、車輪上增加紋路是為了增加摩擦力，以避免打滑。還有，粗糙的機車、汽車剎車圈，可以提供剎車所需的摩擦力。另外，數鈔票時把手沾濕，也同樣可以增加手指與紙張之間的摩擦力。

2-3 生活中的力

2-3 生活中的力

當物體受力小於 f 0 時，物體仍然靜止不動，此時物體所受的阻力與施力大小相同、方向相反，稱為靜摩擦力（ force of static ），如圖 2 - 45 之斜線部分所示。因為物體始終保持靜止狀態，所以可以推知靜摩擦力的大小必定等於拉力，而且靜摩擦力會因施力的大小而改變。

2-3 生活中的力

當物體將要運動的瞬間，靜摩擦力達到最大值，此時之摩擦力稱之為最大靜摩擦，如圖 2 - 45 所示之 f

0 即為最大靜摩擦。

如圖 2 - 45 ，水平線部分所示，當物體開始運動後，它所受的摩擦阻力會保持在一個定值，不因施力的大小而改變，稱為動摩擦力（ force of kinetic friction ）。

2-3 生活中的力

2-3 生活中的力

2-3 生活中的力

2-3 生活中的力

2-3 生活中的力

2-3 生活中的力

2-3 生活中的力

2-3 生活中的力

2-3 生活中的力

2-3 生活中的力

由以上實驗不難發現，最大靜摩擦力與垂直作用於接觸面上的力量（稱為正向力）有關。當我們在木塊上加放砝碼時，增加了正向力，拉動木塊所需的力量就會跟著變大。

另外，最大靜摩擦力與接觸面的粗糙程度也有關。當我們改用較粗糙的砂紙作實驗時，拉動木塊所需的力量就會跟著變大。

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第 2 章 運動與力

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