หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 กราฟ

57

หนวยการเรียนรูที่ 2 กราฟกราฟ

มาตรฐานการเรียนรู

มาตรฐาน ค 4.2 : ขอ 3 และ ขอ 4 มาตรฐาน ค 6.1 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.2 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.3 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.4 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.5 : ขอ 1

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

1. เขียนกราฟแสดงความเก่ียวของ ระหวางปริมาณสองชุดท่ีมี ความสัมพันธเชิงเสนได 2. เขียนกราฟของสมการเชิงเสน สองตัวแปรได 3. อานและแปลความหมายของกราฟ ท่ีกําหนดใหได

สาระการเรียนรู

2.1 กราฟแสดงความเก่ียวของระหวาง ปริมาณสองชุดท่ีมีความสัมพันธเชิงเสน (2 คาบ) 2.2 กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร (7 คาบ) 2.3 กราฟกับการนําไปใช (3 คาบ)

พรอมหรอืยงั ? ถาพรอมแลว ก็เริม่เรยีนแลวนะครับ

58 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

22..11 กราฟแสดงความเก่ียวของระหวางปริมาณกราฟแสดงความเก่ียวของระหวางปริมาณ

สสองชุดท่ีมีความสัมพันธเชิงเสนองชุดท่ีมีความสัมพันธเชิงเสน

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. เขียนกราฟแสดงความเกี่ยวของระหวางปริมาณสองชุดท่ีมี

ความสัมพันธเชิงเสนและแปลความหมายของกราฟได

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 2. การใหเหตุผล 3. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 4. การเช่ือมโยง 5. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค

ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติท่ีดีตอวิชา

คณิตศาสตร

MATH

Series

หนวยการเรียนรูท่ี 2 กราฟ 59


กราฟแสดงความเก่ียวของระหวางปริมาณสองชดุท่ีมีความสัมพันธเชิงเสน

ในชีวิตประจําวันเรามักจะพบกับสถานการณท่ีกลาวถึงความสัมพันธระหวางปริมาณสองชุดอยูเสมอ เชน จํานวนปากกากับราคาปากกา จํานวนผูโดยสารรถตูกับคาโดยสาร ซ่ึงเราสามารถเขียนแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสองชุดเหลานั้นในรูปตาราง แผนภาพ คูอันดับ รวมถึงกราฟได

ใหนักเรียนพิจารณาตารางแสดงความสัมพันธระหวางจํานวนปากกากับราคาปากกา ตอไปน้ี

จํานวนปากกา (แทง) 0 1 2 3 4 5

ราคาปากกา (บาท) 0 5 10 15

จากตาราง สามารถเขียนคูอันดับแสดงความสัมพันธดังกลาวได โดยใหสมาชิกตัวท่ีหนึ่งเปนจํานวนปากกา และสมาชิกตัวท่ีสองเปนราคาปากกา จะไดคูอันดับดังนี้

(0, 0), (1, 5), …………………………………………………………………………. จากความสัมพันธระหวางจํานวนปากกากับราคาปากกาดังกลาวขางตน นอกจากจะเขียนใน

รูปคูอันกับแลว ยังสามารถเขียนกราฟแสดงความสัมพันธไดโดยนําคูอันดับดังกลาวมาเขียนกราฟไดดังนี้

ราคาปากกา (บาท)

0 1 2 3 4 5 6 7 จํานวนปากกา (แทง)

จากกราฟ จะพบวา กราฟของคูอันดับมีลักษณะเปนจุดเรียงในแนวเดียวกัน

35 30

25

20 15 10 5

•

•

•

•



ตัวอยางท่ี 1 จงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางจํานวนสมุดและราคาสมุดจากตารางท่ีกําหนดใหตอไปนี้

จํานวนสมุด (เลม) 0 1 2 3 4 5

ราคาสมุด (บาท) 0 8 16 24 32 40

วิธีทํา จากตารางเขียนคูอันดับ โดยใหสมาชิกตัวที่หนึ่งเปนจํานวนสมุด และสมาชิกตัวท่ีสองเปนราคาสมุด จะไดคูอันดับดังนี้ ………………………………………………………………………………………. นําคูอันดับมาเขียนกราฟไดดังนี้ ราคาสมุด (บาท)

0 1 2 3 4 5 6 จํานวนสมุด (เลม) ตัวอยางท่ี 2 ในแตละวันนองไขไกไดรับเงินคาขนมนจากคุณพอแสดงดังตาราง

วันท่ี 1 2 3 4 5

คาขนม (บาท) 40 40 40 40 40

จงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธจากตารางขางตน โดยใหวันท่ีเปนสมาชิกตัวท่ีหนึ่ง และคาขนมเปนสมาชิกตัวท่ีสอง

วิธีทํา จากตารางเขียนคูอันดับ ไดดังนี้ ………………………………………………………………………………………. นําคูอันดับมาเขียนกราฟไดดังนี้

48

40

32 24 16 8



……………………

0 1 2 3 4 5 ………………………

จากตัวอยางท่ี 1 และ 2 จะเห็นวา เม่ือเขียนกราฟแสดงความสัมพันธของปริมาณสองชุดท่ีกําหนดให เม่ือปริมาณท้ังสองเปล่ียนแปลงอยางไมตอเนื่อง กราฟท่ีไดจะเปนจุดเรียงในแนวเสนตรงเดียวกัน

ตัวอยางท่ี 3 จงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางจํานวนเต็มบวกสองจํานวนเม่ือนํามาบวกกันไดเทากับหก จากตารางท่ีกําหนดใหตอไปนี้

จํานวนเต็มบวกตัวท่ี 1 1 2 3 4 5

จํานวนเต็มบวกตัวท่ี 2 5 4 3

วิธีทํา จากตารางเขียนคูอันดับ โดยใหสมาชิกตัวที่หนึ่งเปนจํานวนเต็มบวกตัวที่ 1และสมาชิกตัวท่ีสองเปนจํานวนเต็มบวกตัวท่ี 2 จะไดคูอันดับดังนี้ ………………………………………………………………………………………. นําคูอันดับมาเขียนกราฟไดดังนี้ ……………………

0 ……………………



จากกราฟขางตนถาจํานวนท่ีนํามาบวกกนัเปนจํานวนจริง กราฟของคูอันดับท่ีไดจะเปนกราฟท่ีตอเนื่องกันโดยตลอด จะไดกราฟเปนเสนตรง ดงัรูป

……………………

0 ……………………

จะเห็นวา การเขียนกราฟแสดงความสัมพันธของปริมาณสองชุดท่ีกําหนดให เม่ือปริมาณท้ังสองมีการเปล่ียนแปลงอยางตอเนื่อง กราฟท่ีไดจะเปนกราฟเสนตรง

เรียกความสัมพันธของปริมาณสองชุดท่ีมีกราฟเปนเสนตรงวา ความสัมพันธเชิงเสน

1. เม่ือเกิดพายุ จะเห็นฟาแลบกอนไดยินฟารองเสมอ ซ่ึงความสัมพันธระหวางระยะทางจากจุดสังเกตถึงท่ีเกิดฟาแลบและเวลาท่ีไดยินเสียงฟารอง แสดงดังตาราง

ระยะทาง (ไมล) 1 2 3 4 5

เวลา (นาที) 6 12 18 24 30

1) จงเขียนคูอันดับท่ีมีระยะทางเปนสมาชิกตัวท่ีหนึ่ง และเวลาเปนสมาชิกตัวท่ีสอง …………………………………………………………………………………………

2) จงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางระยะทางกับเวลา ……………………

0 ……………………

กิจกรรมที่ 2.1 : ทักษะการส่ือสาร สื่อความหมายและการนําเสนอ



2. รูปส่ีเหล่ียมผืนผารูปหนึ่งดานยาวยาวกวาสองเทาของดานกวางอยู 2 เซนติเมตร ตารางตอไปนี้แสดงงความสัมพันธระหวางความกวางและความยาวของรูปส่ีเหล่ียมผืนผานี้

ความกวาง (เซนติเมตร) 1 2 3 4

ความยาว (เซนติเมตร) 4 6 8 10

1) จงเขียนคูอันดับท่ีมีความกวางเปนสมาชิกตัวท่ีหนึ่ง และความยาวเปนสมาชิกตัวท่ีสอง …………………………………………………………………………………………

2) จงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางความกวางและความยาวของรูปส่ีเหล่ียมผืนผา ……………………

0 …………………… 3. หนวยงานแหงหนึ่ง มีพนักงานหญิงมากกวาสองเทาของพนักงานชายอยู 1 คน

1) จงเขียนตารางแสดงจํานวนพนักงานหญิง เม่ือจํานวนพนักงานชายเปน 5, 10, 15, 20, 25 และ 30 คน

จํานวนพนกังานชาย (คน)

จํานวนพนกังานหญิง (คน)

2) จงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางจํานวนพนักงานชายและจํานวนพนักงานหญิงของหนวยงานแหงนี้



22..22 กราฟของสมกากราฟของสมการเชิงเสนรเชิงเสน

สองตัวแปรสองตัวแปร

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยง 6. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค

ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติท่ีดีตอวิชา


จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. บอกคูอันดับท่ีสอดคลองกับสมการเชิงเสนสองตัวแปรท่ีกําหนดใหได 2. เขียนกราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปรท่ีกําหนดใหได 3. บอกลักษณะท่ีสําคัญบางประการของกราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปรท่ี

กําหนดใหได

MATH

Series



กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร

สมการเชิงเสนสองตัวแปร

ในช้ันมัธยมศึกปท่ี 1 นักเรียนไดเรียนเร่ืองสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวมาแลว ตัวอยางเชน 3) 2x + 4 = 8 4) 0.5x – 5 = 0 5) 7 – x = 9 + x เรียกประโยคสัญลักษณในขอ 1), 2) และ 3) วา สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว นักเรียน

สังเกตเห็นไหมวา เปนสมการท่ีมีคาตัวแปรหน่ึงตัว คือตัวแปร……… และเลขช้ีกําลังของตัวแปรเปน………

ใหนักเรียนพิจารณาสมการตอไปนี้ 1) x + y – 10 = 0 2) 2x – y + 1 = 0 3) -3x + y – 2 = 0 4) -5x – 6y + 4 = 0 5) (-)x + (-7) + 0 = 0 สมการ 1) – 5) เปนสมการท่ีมีลักษณะสําคัญเบ้ืองตน คือ มีตัวแปร……ตัว ในท่ีนี้คือ

ตัวแปร………และ……… ตัวแปรท้ังสองตางก็ยกกําลัง……… เรียกสมการท่ีมีตัวแปรสอง เลขช้ีกําลังของตัวแปรแตละตัวเปน 1 และไมมีการคูณกัน

ของตัวแปรวา สมการเชิงเสนสองแปรเดียว กลาวไดวา สมการเชิงเสนตัวแปรเดียวเปนสมการท่ีมีลักษณะสําคัญดังนี้ 1. มีตัวแปรสองตัวและตองไมมีการคูณกันของตัวแปร 2. เลขช้ีกําลังของตัวแปรแตละตัวเปน 1 3. สัมประสิทธ์ิของตัวแปร (คาคงตัวท่ีอยูหนาตัวแปร) จะเปนศูนยพรอมกันท้ังสองตัว

ไมได เรียกสมการ 1) – 5) ขางตนท่ีอยูในรูป

Ax + By + C = 0 เม่ือ x, y เปนตัวแปร และ A, B, C เปนคาคงตัว โดยท่ี A≠ 0 และ B≠ 0 วา สมการเชิงเสน

สองแปรเดียว



ใหนักเรียนพิจารณาสมการในแตละขอตอไปนี้วาเปนสมการเชิงเสนสองตัวแปรหรือไม เม่ือ x และ y เปนตัวแปร ถาเปนสมการเชิงเสนสองตัวแปร ใหเปรียบเทียบกับสมการ Ax + By + C = 0 แลวหาคาของ A, B, และ C จากสมการ

สมการเชิงเสนสองตัวแปร

เปรียบเทียบกับสมการ Ax + By + C = 0 สมการ

เปน ไมเปน

จัดรูปสมการใหอยูในรูป Ax + By + C = 0

A B C

ตัวอยาง 5x + 8y = -6 5x + 8y + 6 = 0 5 8 6

1. 3x + 2y – 5 = 0 2. 4x + 2y = - 3 3. 3x – 9 = 0 4. 2y = 8 5. 2x + xy – 1 = 2 6. x + y2 = 2 7. 4x = 8 8. 2xy = y + 2 9. 2x + 4(y – 3) = 1 10. -5y = 0

จากสมการเชิงเสนสองตัวแปร

Ax + By + C = 0 เม่ือ x, y เปนตัวแปร และ A, B, C เปนคาคงตัว โดยท่ี A≠ 0 และ B≠ 0 เพื่อความสะดวกใน

การนําไปใช อาจจัดรูปของสมการใหม ดังนี้ Ax + By + C = 0 By = -Ax – C

เนื่องจาก B≠ 0 ดังนั้น y = A- B x – CB

ถาให a = A- B และ b = C- B จะได

y = ax + b

กิจกรรมที่ 2.2 : ทักษะการใหเหตุผล การนําเสนอและการเชื่อมโยง



ตัวอยางท่ี 1 จงเขียนสมการตอไปนี้ใหอยูในรูป y = ax + b 1) 2x + 6y + 1 = 0 2) -8x + 2y – 5 = 0 3) 6x – 3y + 2 = 0 4) -5y – 10 = 0

วิธีทํา 1) 2x + 6y + 1 = 0 6y = -2x – 1

y = 2- 6 x – 16

นั่นคือ y = 1- 3 x – 16 (a = 1- 3 , b = 1- 6 )

2) -8x + 2y – 5 = 0 2y = 8x + 5

y = 82 x + 5

2

นั่นคือ y = 4x + 52 (a = 4, b = 5

2 )

3) 6x – 3y + 2 = 0 ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… 4) -5y – 10 = 0 ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ………………………………………………………………

จงเขียนสมการตอไปนี้ใหอยูในรูป y = ax + b พรอมท้ังหาคาของ a และ b 1. 2x + 4(y – 3) = 1

………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

กิจกรรมที่ 2.3 : ทักษะการใหเหตุผล การนําเสนอและการเชื่อมโยง



2. -2y – 10 = 0 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

3. 7(x + 4) + 2(y – 2) = 0 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

คําตอบของสมการเชิงเสนสองตัวแปร

นักเรียนเคยทราบมาแลววา สมการ 2x + 5 = 7 เปนสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวและเรียกจํานวนท่ีแทนคาของตัวแปร x ในสมการแลวทําใหสมการเปนจริงวาคําตอบของสมการ

จากสมการ 2x + 5 = 7 จะไดวา x = 1 เทานั้นท่ีแทนคาในสมการแลวทําใหสมการเปนจริง ดังน้ันสมการ 2x + 5 = 7 มีคําตอบเพียงคําตอบเดียวคือ 1

ถากําหนดสมการเชิงเสนสองตัวแปร เชน x + y = 6 เม่ือ x และ y เปนจํานวนเต็มบวกมาให คําตอบของสมการเชิงเสนท่ีมี x และ y เปนตัวแปร คือคาของ x และ y ท่ีทําใหสมการเปนจริง

นักเรียนทราบหรือไมวาสมการ x + y = 6 เม่ือ x และ y เปนจํานวนเต็มบวก มีกี่คําตอบ วิธีการหนึ่งในการหาคําตอบคือเขียนตารางแสดงคา x และ y เม่ือ x และ y เปนจํานวน

เต็มบวก ไดดังนี้

x 1 2 3 4 5

y 5 4 3 2 1

เพื่อความสะดวกในการเขียนคําตอบ เราสามารถเขียนคา x และ y ในรูปของคูอันดับ ดังนี้ (1, 5), (2, 4)………………………………………………….และคูอันดับดังกลาวเปนคําตอบของสมการ x + y = 6 เม่ือ x และ y เปนจํานวนเต็มบวก



คําตอบของสมการเชิงเสนสองตัวแปรในรูป Ax + By + C = 0 ท่ีมี x และ y เปนตัวแปร คือ คา x และ y ท่ีทําใหสมการเปนจริง

กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร

นักเรียนเคยเขียนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสองชุด ท่ีมีความสัมพันธ เชิงเสนมาแลว ในหัวขอนี้จะศึกษาการเขียนกราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร

พิจารณาสมการเชิงเสนสองตัวแปร x + y = 6 เม่ือ x เปนจํานวนเต็มต้ังแต -2 ถึง 2 จะไดคําตอบของสมการคือ

x -2 -1 0 1 2

y 8 7 6 5 4

หรือเขียนเปนคูอันดับ……………………………………………………………และเม่ือนําคูอันดับดังกลาวมาเขียนกราฟ จะไดกราฟ

กราฟท่ีไดนี้เปนกราฟของคําตอบของสมการ x + y = 6 เม่ือ x เปนจํานวนเต็มต้ังแต -2 ถึง 2

เราเรียนกราฟของคําตอบของสมการ x + y = 6 วากราฟของสมการ x + y = 6

เรียกกราฟของคําตอบของสมการท่ีกําหนดวา กราฟของสมการเชิงเสน



จากสมการ x + y = 6 เม่ือ x เปนจํานวนเต็ม จะพบวานอกจากจะมีจํานวนคูอันดับท่ีกลาวมาแลวขางตนเปนคําตอบของสมการ ยังมีคําตอบอ่ืน ๆ อีกมากมาย เชน เม่ือ x เปนจํานวนเต็มลบท่ีนอยกวา -2 จะไดคําตอบเพ่ิมคือ

x … -6 -5 -4 -3

y … 12 11 10 9

หรือเขียนเปนคูอันดับ…………………………………………………………… เม่ือ x เปนจํานวนเต็มท่ีมากกวา 2 จะไดคําตอบเพ่ิมคือ

x 3 4 5 6 …

y 3 2 1 0 …

หรือเขียนเปนคูอันดับ…………………………………………………………… จากน้ันนําคูอันดับซ่ึงเปนคําตอบของสมการนี้ไปเขียนกราฟ จะไดกราฟเปนจุดเรียงอยูใน

แนวเสนตรงเดิม แตมีจุดเรียงตอไปเร่ือย ๆ ไมมีท่ีส้ินสุด ดังรูป



ในกรณีท่ี x เปนจํานวนจริง สมการ x + y = 6 จะมีคูอันดับอ่ืน ๆ อีกมากมายท่ีเปนคําตอบ

ของสมการ ท้ังนี้เพราะ x และ y อาจเปนเศษสวนหรือทศนิยมได เชน (0.5, 5.5), (2.5, 3.5), ( 12 , 11

2 )

เปนตน ดังนั้นเม่ือ x เปนจํานวนจริง จะไดกราฟเปนจุดตอเนื่องกันโดยตลอด และไมขาดตอน ซ่ึง

สามารถเขียนแสดงไดดังนี้

กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร เม่ือ x เปนจํานวนจริง จะเปนเสนตรงท่ีผานคูอันดับซ่ึง

เปนคําตอบของสมการ



ตัวอยางท่ี 1 จงเขียนกราฟของสมการ y = x + 2 วิธีทํา หาจุด (x, y) ท่ีสอดคลองกับสมการ 3 จุด โดยกําหนดคา x จํานวน 3 คา

แลวแทนคา x ตามกําหนดหาคา y จะได y ออกมา 3 คา ดังตาราง

x -2 0 2

y 0 2 4

จากตารางกําหนดจุด (-2, 0), (0, 2) และ (2, 4) แลวลากเสนตรงผานจุดท้ัง 3 เปนกราฟของสมการ y = x + 2 ดังกราฟตอไปนี้



ตัวอยางท่ี 2 จงเขียนกราฟของสมการ y = 2x – 3 วิธีทํา หาจุด (x, y) ท่ีสอดคลองกับสมการ 3 จุด โดยกําหนดคา x จํานวน 3 คา


x -2 0 2

y 1

จากตารางกําหนดจุด………………………………………แลวลากเสนตรงผานจุดท้ัง 3 เปนกราฟของสมการ y = 2x – 3 ดังกราฟตอไปนี้



ตัวอยางท่ี 3 จงเขียนกราฟของสมการ 2x + y = 3 วิธีทํา หาจุด (x, y) ท่ีสอดคลองกับสมการ 3 จุด โดยกําหนดคา x จํานวน 3 คา


x -2 0 2

y = 3 – 2x 7

จากตารางกําหนดจุด………………………………………แลวลากเสนตรงผานจุดท้ัง 3 เปนกราฟของสมการ 2x + y = 3 ดังกราฟตอไปนี้



ใหนักเรียนเขียนกราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้

1. y = x

2. y = x – 4

กิจกรรมที่ 2.4 : ทักษะการคิดคํานวณ การนําเสนอ และการเชื่อมโยง



3. y = 2x + 1

4. y = 2x – 1



5. 2y – 3x + 6 = 0

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จากสมการ y = ax + b กราฟของสมการดังกลาว มีลักษณะของกราฟท้ังหมด 6 กรณี

ไดแก 1) กรณี a > 0 และ b = 0 2) กรณี a > 0 และ b ≠ 0 3) กรณี a < 0 และ b = 0 4) กรณี a < 0 และ b ≠ 0 5) กรณี a = 0 และ b ≠ 0 6) กรณี a = 0 และ b = 0



1) กรณีท่ี a > 0 และ b = 0 ตัวอยางท่ี 1 จงเขียนกราฟของสมการ y = x, y = 2x, y = 3x และ y = 0.5x วิธีทํา y = x y = 2x

x x

y y y = 3x y = 0.5x

x x

y y

จากกราฟ จะเห็นวา กราฟของสมการท้ังหมดผานจุด……………และเม่ือ a มีคามากข้ึน กราฟของสมการจะทํามุม……………กับแกน X เม่ือวัดมุมทวนเข็มนาฬิกา และมุมจะมีขนาดมากขึน้ เม่ือ a มีคามากข้ึน

2) กรณีท่ี a > 0 และ b ≠ 0 ตัวอยางท่ี 2 จงเขียนกราฟของสมการ y = 0.5x + 1, y = 2x + 3, y = 2x – 1 และ y = 2x – 3วิธีทํา y = 0.5x + 1 y = 2x + 3

x x

y y y = 2x – 1 y = 2x – 3

x x

y y



จากกราฟ จะเห็นวา กราฟของสมการท่ีมีคาของ a เทากัน กราฟของสมการจะขนานกันและกราฟของสมการจะทํามุม……………กับแกน X เม่ือวัดมุมทวนเข็มนาฬิกา และตัดแกน Y ท่ีจุด……………

3) กรณีท่ี a < 0 และ b = 0 ตัวอยางท่ี 3 จงเขียนกราฟของสมการ y = -x, y = -2x, y = -3x และ y = -0.5x วิธีทํา y = -x y = -2x

x x

y y y = -3x y = -0.5x

x x

y y

80 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3


จากกราฟ จะเห็นวา กราฟของสมการท้ังหมดผานจุด……………และเม่ือ a มีคานอยลง กราฟของสมการจะทํามุม……………กับแกน X เม่ือวัดมุมทวนเข็มนาฬิกา และมุมจะมีขนาดมากขึน้ เม่ือ a มีคานอยลง

4) กรณีท่ี a < 0 และ b ≠ 0 ตัวอยางท่ี 4 จงเขียนกราฟของสมการ y = -0.5x + 1, y = -2x + 3, y = -3x – 1 และ y = -3x – 3 วิธีทํา y = -0.5x + 1 y = -2x + 3

x x

y y y = -3x – 1 y = -3x – 3

x x

y y



จากกราฟ จะเห็นวา กราฟของสมการท่ีมีคาของ a เทากัน กราฟของสมการจะขนานกันและกราฟของสมการจะทํามุม……………กับแกน X เม่ือวัดมุมทวนเข็มนาฬิกา และตัดแกน Y ท่ีจุด……………

5) กรณีท่ี a = 0 และ b ≠ 0 ตัวอยางท่ี 5 จงเขียนกราฟของสมการ y = -5, y = -2, y = 2 และ y = 5 วิธีทํา y = -5 y = -2

x x

y y y = 2 y = 5

x x

y y



จากกราฟ จะเห็นวา กราฟของสมการจะ………………กับแกน X และตัดแกน Y ท่ีจุด……………

6) กรณีท่ี a = 0 และ b = 0

จากกราฟ จะเห็นวา เม่ือ a = 0 และ b = 0 จะเปนจุด……………



1. จงเขียนกราฟของสมการ y = 3x และ y = 3x – 2 โดยใชแกนคูเดียวกันพรอมท้ังพิจารณาวากราฟของสมการทั้งสองเปนอยางไร

y = 3x y = 3x – 2 x x

y y

จากกราฟ จะเห็นวา กราฟของสมการท้ังสอง………………โดยกราฟของสมการ y = 3x ผานจุด……………และกราฟของสมการ y = 3x – 2 ตัดแกน………ท่ีจุด……………

ดังนั้น ไมมีคําตอบของระบบสมการน้ี

กิจกรรมที่ 2.5 : ทักษะการคิดคํานวณ การนําเสนอและการเชื่อมโยง



2. จงเขียนกราฟของสมการ y – x = 1 และ y + x = 3 โดยใชแกนคูเดียวกันพรอมท้ังพิจารณาวากราฟของสมการทั้งสองเปนอยางไร

y = …………… y = ……………

x x

y y

จากกราฟ จะเห็นวา กราฟของสมการท้ังสองตัดกันท่ีจุด………………โดยกราฟของสมการ y – x = 1 ตัดแกน………ท่ีจุด……………และตัดแกน………ท่ีจุด……………และกราฟของสมการ y + x = 3 ตัดแกน………ท่ีจุด……………และตัดแกน………ท่ีจุด……………

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ…………………………



3. จงเขียนกราฟของสมการ x = -1, x = 2, y = 3.5 และ y = -3 โดยใชแกนคูเดียวกันพรอมท้ังพิจารณาวากราฟของสมการทั้งหมดเปนอยางไร

จากกราฟ จะเห็นวา กราฟของสมการ x = -1 และ x = 2 ขนานกัน โดยกราฟของสมการ x = -1 คาของ y จะเปนเทาไรก็ได แตคาของ x = -2 เสมอ และตัดแกน………ท่ีจุด……………และกราฟของสมการ x = 2 คาของ y จะเปนเทาไรก็ได แตคาของ x = 2 เสมอ และตัดแกน………ท่ีจุด……………

สําหรับกราฟ กราฟของสมการ y = 3.5 และ y = -3 ขนานกัน โดยกราฟของสมการ y = 3.5 คาของ x จะเปนเทาไรก็ได แตคาของ y = 3.5 เสมอ และตัดแกน………ท่ีจุด……………และกราฟของสมการ y = -3 คาของ x จะเปนเทาไรก็ได แตคาของ y = -3 เสมอ และตัดแกน………ท่ีจุด……………

จากกิจกรรมท่ี 5 ขอ 1 – 3 พบขอสังเกตเกี่ยวกับสมการเชิงเสนสองตัวแปรได ดังนี้

ในการเขียนกราฟจากสมการเชิงเสนสองตัวแปร นิยมจัดสมการในรูป

y = ax + b

เม่ือ a, b เปนคาคงตัว



y = ax + b เมื่อ a, b เปนคาคงตัว ส่ิงนารูเก่ียวกับคา a ส่ิงนารูเก่ียวกับคา b

a = 0 กราฟขนานแกน X b = 0 กราฟผานจุด (0, 0) a > 0 กราฟทํามุมแหลมกับแกน X b > 0 กราฟตัดแกน Y เหนือแกน X a < 0 กราฟทํามุมปานกับแกน X b < 0 กราฟตัดแกน Y ใตแกน X a ยิ่งมาก กราฟยิ่งชัน เม่ือ x = 0 กราฟตัดแกน Y ท่ีจุด (0, b) ในสมการต้ังแตสองสมการข้ึนไป ถามี คา a เทากันกราฟจะขนานกัน

ในสมการต้ังแตสองสมการข้ึนไป ถามี คา b เทากัน กราฟจะตัดแกน Y ท่ีจุด เดียวกัน

การหาจุดตัดบนแกน X และแกน Y ของกราฟเสนตรง ในกรณีท่ีมีสมการเชิงเสนมาให และตองการทราบคาของสมการนั้น ๆ จะตัดแกน X และ

แกน Y ท่ีจุดใด อาศัยหลักการดังนี้ 1) กราฟจะตัดแกน X ท่ีจุด y = 0 เสมอ 2) กราฟจะตัดแกน Y ท่ีจุด x = 0 เสมอ

ตัวอยางท่ี 1 จงหาจุดตัดแกน X และแกน Y ของกราฟของสมการ 2x – 3y + 6 = 0 วิธีทํา เนื่องจากกราฟตัดแกน X ท่ีจุด y = 0 เสมอ

สมมติใหกราฟตัดแกน X ท่ีจุด (a, 0) แทนคา x = a, y = 0 ในสมการ 2x – 3y + 6 = 0 จะได

2(a) – 3(0) + 6 = 0

a = -62

= -3

ดังนั้น a = -3 นั่นคือกราฟตัดแกน X ท่ีจุด (-3, 0) เนื่องจากกราฟตัดแกน Y ท่ีจุด x = 0 เสมอ สมมติใหกราฟตัดแกน Y ท่ีจุด (0, b) แทนคา x = 0, y = b ในสมการ 2x – 3y + 6 = 0 จะได

2(0) – 3(b) + 6 = 0

b = -6-3

= 2

ดังนั้น b = 2 นั่นคือกราฟตัดแกน Y ท่ีจุด (0, 2)



ตัวอยางท่ี 2 จงหาวากราฟของสมการ 3x + 4y – 12 = 0 ตัดแกน X และแกน Y ท่ีจุดใด วิธีทํา เนื่องจากกราฟตัดแกน X ท่ีจุด y = 0 เสมอ

สมมติใหกราฟตัดแกน X ท่ีจุด (a, 0) แทนคา x = a, y = 0 ในสมการ 3x + 4y – 12 = 0 จะได ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ดังนั้น…………………… นั่นคือกราฟตัดแกน X ท่ีจุด………………… เนื่องจากกราฟตัดแกน Y ท่ีจุด x = 0 เสมอ สมมติใหกราฟตัดแกน Y ท่ีจุด (0, b) แทนคา x = 0, y = b ในสมการ 3x + 4y – 12 = 0 จะได ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ดังนั้น…………………… นั่นคือกราฟตัดแกน Y ที่จุด…………………

นักเรียนทราบมาแลววา กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร Ax + By + C = 0 โดยท่ี A

และ B ไมเปนศูนย จะไดกราฟของสมการเปนเสนตรงท่ีตัดแกน X และแกน Y การเขียนกราฟของสมการดังกลาวอาจทําไดอีกวิธีหนึ่ง โดยการหาจุดตัดแกน X และแกน Y แลวเขียนเสนตรงท่ีผานจุดตัดบนแกน X และจุดตัดบนแกน Y จะไดกราฟเสนตรงตามตองการ



1. จงเขียนกราฟของสมการ 2x + y = 10 และ x – 2y + 4 = 0 โดยใชแกนคูเดียวกันพรอมท้ังตอบคําถาม

y = …………… y = …………… x x

y y

1) กราฟของสมการ 2x + y = 10 ตัดแกน X ท่ีจุดใด …………………………………………………………………………………………

2) กราฟของสมการ 2x + y = 10 ตัดแกน Y ท่ีจุดใด …………………………………………………………………………………………

3) กราฟของสมการ x – 2y + 4 = 0 ตัดแกน X ท่ีจุดใด …………………………………………………………………………………………

4) กราฟของสมการ x – 2y + 4 = 0 ตัดแกน Y ท่ีจุดใด …………………………………………………………………………………………

5) กราฟของสมการท้ังสองตัดกันท่ีจุดใด …………………………………………………………………………………………

กิจกรรมที่ 2.6 : ทักษะการส่ือสาร การส่ือความหมายและการนําเสนอ



ปญหาชวนคิด

2. จงหาจุดตัดแกน X และแกน Y ของกราฟของสมการ 2x + 3y + 6 = 0 ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

ใหนักเรียนใชเสนตรงเพียง 6 เสน แบงวงกลมออกเปน 22 สวน



22..33 กราฟกราฟกับการนาํไปใชกับการนาํไปใช

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยง 6. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน

1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติท่ีดีตอวิชา


จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. อธิบายการอานและแปลความหมายของกราฟท่ีกําหนดใหได 2. อานและแปลความหมายของกราฟท่ีกําหนดใหได

MATH

Series



ความสูงเหนือระดับน้ําทะเล (กิโลเมตร)

กราฟกับการนําไปใช

ปจจุบันไดนํากราฟมาใชในชีวิตประจําวันกันอยางแพรหลาย ซ่ึงอาจพบไดจากส่ือตาง ๆ ไดแก โทรทัศน หนังสือพิมพ อินเตอรเน็ต เปนตน การแสดงกราฟที่แสดงถึงความสัมพันธระหวางปริมาณสองปริมาณใด ๆ เปนรูปแบบหนึ่งของการนําเสนอขอมูลใหเห็นเปนรูปธรรมมากข้ึน ชวยใหเห็นลักษณะของการเปล่ียนแปลงของขอมูลในลักษณะตาง ๆ ไดอยางชัดเจน นอกจากนี้ยังสามารถอานและแปลความหมายอยางคราว ๆ ของขอมูลท่ีไดจากกราฟ ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยางท่ี 1 กราฟแสดงความเกี่ยวของระหวางอุณหภูมิกับความสูงเหนือระดับน้ําทะเล เปนดังนี้

อุณหภูมิ (องศาเซลเซียส)

จากกราฟ จงตอบคําถามตอไปนี้ 1) ท่ีความสูงเหนือระดับน้ําทะเล 1 กิโลเมตร อุณหภูมิเปนเทาไร 2) ท่ีระดับความสูงเหนือระดับน้ํ าทะเลเทาใด อุณหภูมิจึงจะเทากับศูนย

องศาเซลเซียส 3) แตละ 1 กิโลเมตรท่ีสูงข้ึน อุณหภูมิเปล่ียนแปลงอยางไร

คําตอบของคําถามขางตนเปนดังนี้

1) ท่ีความสูงเหนือระดับน้ําทะเล 1 กิโลเมตร อุณหภูมิเปน………องศาเซลเซียส 2) ท่ีระดับความสูง………กิโลเมตรเหนือระดับน้ําทะเล อุณหภูมิจึงจะเทากับศูนย

องศาเซลเซียส 3) แตละ 1 กิโลเมตรท่ีสูงข้ึน อุณหภูมิเปล่ียนไป เทากับ 35 – 30 = 5 องศาเซลเซียส

นั่นคือ อุณหภูมิลดลงทุก 6 องศาเซลเซียสตอ 1 กิโลเมตร

0 1 2 3 4 5 6 7

35 30 25 20 15 10 5



ตัวอยางท่ี 2 โรงพิมพแหงหนึ่ง คิดคาจางพิมพนามบัตรเปนสองสวนดังนี้ 1) คาบล็อกคิดเปนจํานวนเงินคงท่ีไมวาจะพิมพนามบัตรจํานวนมากหรือนอย 2) คาพิมพนามบัตรคิดตามจํานวนแผนท่ีพิมพ รูปขางลางเปนกราฟแสดงความเกี่ยวของระหวางจํานวนแผนกับคาจางพิมพท้ังหมด

คาจางพิมพ (บาท)

จากกราฟ จงตอบคําถามตอไปนี้ 1. จงหาคาจางเม่ือพิมพนามบัตรจํานวน

1) 100 แผน ตอบ…………………………………………………… 2) 150 แผน ตอบ…………………………………………………… 3) 300 แผน ตอบ……………………………………………………

2. จงหาจํานวนแผนท่ีพิมพ เม่ือคาจางพิมพเปน 1) 100 บาท ตอบ…………………………………………………… 2) 250 บาท ตอบ…………………………………………………… 3) 300 บาท ตอบ……………………………………………………

3. โรงพิมพคิดคาทําบล็อกเปนจํานวนเงินเทาไร ………………………………………………………………………………………………

4. คาพิมพนามบัตร เม่ือไมรวมคาบล็อก แผนละเทาไร ………………………………………………………………………………………………

0 100 200 300

350 300 250 200 150 100 50

จํานวนแผน



ตัวอยางท่ี 3 ตารางขางลางแสดงปริมาณนํ้ามันในถังของรถประจําทางคันหนึ่งหลังจากท่ีแลนไปแลวในระยะทางชวงหนึ่ง

ระยะทางท่ีแลนได (กิโลเมตร) ปริมาณนาํมันในถัง (ลิตร) 0 25 50 75 100 125 150

35 30 25 20 15 10 5

ใหแกน X แสดงปริมาณนํ้ามันในถัง (ลิตร) และแกน Y แสดงระยะทางท่ีแลนได (กิโลเมตร) ………………………………

……………………… ตอบคําถามตอไปนี้จากกราฟ 1. เม่ือรถยนตแลนไดทาง 60 กิโลเมตร จะเหลือน้ํามันในถังกี่ลิตร

……………………………………………………………………………………………… 2. เม่ือมีนํามันเหลืออยูในถัง 12 ลิตร รถยนตแลนไปแลวเปนระยะทางกี่กิโลเมตร

……………………………………………………………………………………………… 3. ถาน้ํามัน 35 ลิตรในถัง รถยนตคันนี้จะแลนไดระยะทางอยางมากท่ีสุดกี่กิโลเมตร

………………………………………………………………………………………………

0



ตัวอยางท่ี 4 จากกราฟแสดงการเดินทางจากรถดวน และรถเร็วออกเดินทางจากกรุงเทพฯ ถึง สถานีบานเบตง

ระยะทาง (กิโลเมตร)

จากกราฟ ตอบคําถามตอไปนี้ 1) ชวงเวลาที่รถดวนหยุดพักนานเทาไร

…………………………………………………………………………………………… 2) รถดวนแลนไดทางเทาไรจึงหยุดพัก

…………………………………………………………………………………………… 3) รถเร็วใชความเร็วเทาไร

…………………………………………………………………………………………… 4) รถเร็วใชเวลาวิ่งกี่ช่ัวโมง

…………………………………………………………………………………………… 5) ขณะท่ีรถดวนหยุดพัก รถเร็ววิ่งไดทางเทาไร

……………………………………………………………………………………………

0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 เวลา (นาฬิกา)

100

200

300

400 รถดวน

รถเร็ว



1. กราฟแสดงอุณหภูมิของอากาศในเชาวันหนึ่งท่ีกรุงเทพฯ ตั้งแตเวลา 01.00 นาฬิกา จนถึง 12.00 นาฬิกา ดังนี้ อุณหภูมิ (องศาเซลเซียส)

จากกราฟตอบคําถามตอไปนี้ 1) เม่ือเวลา 02.00 น. 04.00 น. และ 10.00 น. อากาศมีอุณหภูมิประมาณกี่องศาเซลเซียส

…………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

2) เวลาใดท่ีอุณหภูมิของอากาศเปน 23 องศาเซลเซียส 28 องศาเซลเซียส และ 32 องศาเซลเซียส …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

3) อุณหภูมิของอากาศตํ่าสุดเปนเทาใด และเวลาใด ……………………………………………………………………………………………

4) ระหวางเวลา 01.00 น. ถึงเวลา 05.00 น. การเปล่ียนแปลงอุณหภูมิของอากาศเปนเทาใด …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

5) ระหวางเวลา 06.00 น. ถึง เวลา 12.00 น. การเปล่ียนแปลงอุณหภูมิของอากาศเปนอยางไร …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

กิจกรรมท่ี 2.7 : ทักษะการคิดวิเคราะห การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ

0 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 เวลา (นาฬิกา) 20 22 24 26 28 30 32 34



2. กราฟแสดงความเก่ียวของระหวางน้ําหนักและเสนผานศูนยกลางของแทงทองแดงกลมท่ีมีความยาว 1 เมตร เปนดังนี้ น้ําหนัก (กิโลกรัม)

จากกราฟ จงตอบคําถามตอไปนี้ 1) แทงทองแดงกลมยาว 1 เมตร มีเสนผานศูนยยาว 44 มิลลิเมตร หนักประมาณเทาใด

…………………………………………………………………………………………… 2) แทงทองแดงกลมยาว 1 เมตร มีเสนผานศูนยกลางยาว 36 มิลลิเมตร หนักประมาณเทาใด

…………………………………………………………………………………………… 3) แทงทองแดงกลวงยาว 1 เมตร มีเสนผานศูนยกลางภายนอกยาว 44 เมตร และเสนผาน

ศูนยกลางภายในยาว 36 มิลลิเมตร จะหนักประมาณเทาใด ……………………………………………………………………………………………

0 10 20 30 40 50 60 เสนผานศูนยกลาง (มิลลิเมตร)

5

10

15

20



3. สารบางชนิดเม่ือละลายในน้ําจะทําใหอุณหภูมิของน้ําเปล่ียนไป กราฟตอไปนี้เปนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางอุณหภูมิของน้ํากับปริมาณสาร A และ B ท่ีละลายในน้ํา 100 กรัม เปนดังนี้

อุณหภูมิ (องศาเซลเซียส)

จากกราฟจงตอบคําถามตอไปนี้ 1. สาร B ปริมาณ 10 กรัมละลายในน้ํา 100 กรัม ทําใหอุณหภูมิของน้ําเปนกี่องศา

…………………………………………………………………………………………… 2. ปริมาณของสาร A และสาร B จํานวนเทาใดท่ีละลายในน้ํา 100 กรัมแลวทําใหอุณหภูมิ

ของนํ้าเปน 50 องศาเซลเซียส ……………………………………………………………………………………………

3. ถานําสาร A และสาร B ปริมาณ 50 กรัมเทากัน ละลายในน้ํา 100 กรัมแลว สารใดทําใหเกิดอุณหภูมิของน้ําสูงกวาและสูงกวากี่องศาเซลเซียส ……………………………………………………………………………………………

4. สาร A และสาร B ปริมาณก่ีกรัม เม่ือละลายในน้ํา 100 กรัม แลวทําใหเกิดอุณหภูมิของน้ําเปน 70 องศาเซลเซียส ……………………………………………………………………………………………

0 10 20 30 40 50 60 ปริมาณสาร(กรัม) 10 20 30 40 50 60 70

A

B

80



ปญหาชวนคิด

4. กราฟแสดงความเกี่ยวของระหวางพื้นท่ีของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสกับความยาวของดาน เปนดังนี้

พื้นท่ี (ตารางเซนติเมตร)

จากกราฟจงตอบคําถามตอไปนี้ 1. พื้นที่ของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสท่ีมีดานยาว 1.5 เซนติเมตร เปนเทาใด

…………………………………………………………………………………………… 2. ความยาวของดานของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสท่ีมีพื้นที่ 16 ตารางเซนติเมตร เปนเทาใด

…………………………………………………………………………………………… 3. ใหเปรียบเทียบคําตอบในขอ 1. กับขอ 2. ท่ีไดจากกราฟกับคําตอบท่ีหาไดจากสมการ y = x2

เม่ือ x แทนความยาวของดานของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสและ y แทนพื้นท่ีของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส ……………………………………………………………………………………………

ใหนักเรียนใชเสนตรงเพียง 4 เสน แบงวงกลมออกเปน 11 สวน

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ความยาวดาน (เซนติเมตร) 2 4 6 8

10 12 14 16



5. กราฟตอไปนี้แสดงความสัมพันธระหวางเวลาเปนวินาทีกับระยะทางท่ีจรวดอยูสูงจากพื้นดินเปนเมตร

ระยะทาง (เมตร)

จากกราฟจงตอบคําถามตอไปนี้ 1. จรวดข้ึนไปไดสูงสุดกี่เมตรในเวลากี่วินาที

…………………………………………………………………………………………… 2. หลังจากยิงจรวดไปแลว 2 วินาที จรวดข้ึนไปไดสูงกี่เมตร

…………………………………………………………………………………………… 3. จรวดอยูสูง 1,000 เมตร หลังจากยิงข้ึนไปไดนานเทาใด

……………………………………………………………………………………………

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 เวลา (วินาที) 200 400 600 800

1000 1200 1400 1600 1800



ปญหาชวนคิด รูปทรงเรขาคณิตท่ีซอนกันดังรูป มีรูปสามเหล่ียมและรูปบันไดซอนอยูอยางละก่ีรูป

ชวนคิดคณิตศาสตรชวนคิดคณิตศาสตร

ผลบวกไดไหม

ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู

ใหนักเรียนเติม 1 – 9 ลงในชองแตละชอง โดยไมซ้ํากันเลย เม่ือนําจํานวน ทุกจํานวนแตละแถวในแนวนอน แนวต้ัง หรือแนวเสนทแยงมุมมารวมกัน ผลบวกจะได 15 เสมอ

Documents

หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 กราฟ