Задачи к лекции № 2

I. Основные задачи

1. Разложите на множители: а) x3 − x2 − x+ 1; б) a3 − b3 − 3b2 − 3b− 1.

2. Докажите, что при всех натуральных n число n4 + n2 + 1 — составное.

3. Произведите сокращение алгебраических дробей:

а)2x+ 3y2

4x2 − 9y4; б)

x3 + x2

3x2 + 4xy + 3x+ 4y; в)

a4 − 3a2 + 2

a3 + 1.

Укажите допустимые значения переменных, при которых верно полученное равенство.

4. Выполните действия с дробями: а)p

p2q − q3− q

p3 − pq2+

p+ q

p− q; б)

4x2 − xy

x2 − 4y2:

16x2 − y2

x2 + 4xy + 4y2.

5. Упростите рациональное алгебраическое выражение:

1

z − 1− 1

1− 1

z + 2

. Ответ запишите в виде тождества.

Является ли полученное тождество абсолютным или условным?

6. Решите дробные рациональные уравнения: а)1

x− 2+

9

x+ 2=

10

x; б) x− 2x+ 1

x− 1=

4x+ 2

1− x2− 1

2.

II. Дополнительные и творческие задачи

7. Разложите на множители выражение 2x2 − xy − y2 + 4x+ 2y.

8. Найдите наименьшее значение выражения (3x− 1)(3x+ 1) + 2y(2y − 6x).

9. Моторная лодка проходит 8 км против течения реки на 3 часа быстрее, чем 50 км по течению.Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 3 км/ч.

10. Различные натуральные числа a, b, c, d таковы, что число ac+ bd делится на a− b. Докажите, чточисло ad+ bc также делится на a− b.